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Suites numériques et convergence

Étudier la convergence des suites et les suites définies par récurrence.

Mathématiques Terminale Chapitre 10 / 19 ⏱ 12 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Mener une démonstration par récurrence
  • Étudier la convergence d'une suite récurrente
  • Utiliser une suite auxiliaire géométrique

Depuis la classe de Première, tu manies les suites arithmétiques et géométriques : tu sais calculer un terme, une somme, reconnaître une raison. Cette année, la question change de nature. Ce qui nous intéresse n’est plus seulement le terme u50u_{50} ou u100u_{100}, mais le comportement de la suite tout entière quand nn devient aussi grand que l’on veut. Un capital placé à intérêt composé finit-il par dépasser n’importe quel seuil, ou se stabilise-t-il ? Le nombre de cas d’une épidémie, divisé par deux chaque semaine après une campagne de vaccination, s’approche-t-il vraiment de zéro ? Une suite définie par une relation de récurrence, comme celles que produit un algorithme de calcul approché, converge-t-elle vers une valeur précise ?

Répondre à ces questions exige un outil neuf : la limite d’une suite, définie avec une rigueur totale — non plus « ça se rapproche de… », mais un énoncé mathématique précis que tu sauras vérifier et démontrer. Tu découvriras aussi le raisonnement par récurrence, la technique de démonstration reine de ce chapitre, qui permet d’établir une propriété pour tous les entiers naturels à partir de deux vérifications seulement. Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), suites adjacentes, théorèmes de convergence : chaque outil nouveau viendra combler un manque précis de ce que tu savais déjà faire.

C’est un chapitre exigeant, et c’est aussi l’un des plus présents au baccalauréat : études complètes de suites récurrentes, restitutions organisées de connaissances sur les théorèmes de comparaison, encadrements par suites adjacentes reviennent chaque année. La difficulté n’est presque jamais calculatoire — elle est dans la rédaction : affirmer qu’une suite converge sans le justifier, ou confondre un point fixe avec une limite, coûte cher le jour de l’épreuve. Prends le temps de comprendre pourquoi chaque théorème fonctionne, pas seulement comment l’appliquer : c’est tout l’objet de ce chapitre.

1Rappels : arithmétiques et géométriques

Reprenons les deux familles de suites que tu connais déjà, en insistant sur ce qui te sera utile toute l’année : les formules de somme, et la manière de les redémontrer proprement.

1.1 Suites arithmétiques

Définition

Une suite (un)(u_n) est arithmétique lorsqu’il existe un réel rr, appelé raison, tel que pour tout entier nn :

un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r

On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre rr.

Propriété

Pour tous entiers nn et pp :

un=u0+nret, plus geˊneˊralement,un=up+(n−p)ru_n = u_0 + nr \qquad \text{et, plus généralement,} \qquad u_n = u_p + (n-p)r

La somme de kk termes consécutifs vaut :

S=k×premier terme+dernier terme2S = k \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}

Démonstration — formule de la somme

Notons S=u0+u1+⋯+unS = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n} la somme des n+1n+1 premiers termes, et écrivons-la aussi à l’envers :

  1. S=u0+u1+⋯+un−1+unS = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} + u_n
  2. S=un+un−1+⋯+u1+u0S = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_1 + u_0
  3. ⇒\Rightarrow2S=(u0+un)+(u1+un−1)+⋯+(un+u0)2S = (u_0+u_n) + (u_1+u_{n-1}) + \cdots + (u_n+u_0)on additionne les deux lignes terme à terme

Deux termes « symétriques » uku_k et un−ku_{n-k} ont toujours la même somme u0+unu_0+u_n : en avançant de kk rangs depuis u0u_0 on ajoute krkr, et en reculant de kk rangs depuis unu_n on retranche krkr — les deux effets s’annulent. Les n+1n+1 parenthèses valent donc chacune u0+unu_0+u_n, d’où 2S=(n+1)(u0+un)2S=(n+1)(u_0+u_n), et S=(n+1)u0+un2S=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}, soit la formule annoncée puisqu’il y a n+1n+1 termes de u0u_0 à unu_n. C.Q.F.D.

Math & Co — Le jeune Gauss et les cent premiers entiers

Vers 1787, dans une école de Brunswick, l’instituteur J. G. Büttner demande à sa classe d’additionner tous les entiers de 11 à 100100. Le jeune Carl Friedrich Gauss, âgé d’une dizaine d’années, pose sa réponse — 5 0505\,050 — en quelques instants.

Son idée est celle de la démonstration ci-dessus : il associe 11 et 100100, 22 et 9999, 33 et 9898… cinquante paires, chacune de somme 101101, soit 50×101=5 05050\times101=5\,050. Devenu l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, Gauss racontera lui-même cette anecdote, restée depuis un classique de l’enseignement des suites.

Exemple — suite arithmétique

Soit (un)(u_n) arithmétique de premier terme u0=5u_0=5 et de raison r=3r=3. Calculons u20u_{20} puis S=u0+u1+⋯+u20S=u_0+u_1+\cdots+u_{20}.

  1. u20=u0+20ru_{20} = u_0 + 20r
  2. ==5+20×35 + 20\times3
  3. ==6565
  4. S=21×u0+u202S = 21 \times \dfrac{u_0+u_{20}}{2}21 termes, de u0u_0 à u20u_{20}
  5. ==21×5+65221 \times \dfrac{5+65}{2}
  6. ==735735

1.2 Suites géométriques

Définition

Une suite (un)(u_n) est géométrique lorsqu’il existe un réel qq, appelé raison, tel que pour tout entier nn :

un+1=q×unu_{n+1} = q \times u_n

On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre qq. Si u0≠0u_0\neq0 et q≠0q\neq0, aucun terme ne s’annule.

Propriété

Pour tous entiers nn et pp :

un=u0×qnet, plus geˊneˊralement,un=up×q n−pu_n = u_0 \times q^{n} \qquad \text{et, plus généralement,} \qquad u_n = u_p \times q^{\,n-p}

Si q≠1q\neq1, la somme de kk termes consécutifs à partir du premier terme aa vaut :

S=a×1−qk1−qS = a \times \dfrac{1-q^{k}}{1-q}

Démonstration — formule de la somme

Notons S=a+aq+aq2+⋯+aqk−1S=a+aq+aq^{2}+\cdots+aq^{k-1} (les kk premiers termes) et multiplions par qq :

  1. qS=aq+aq2+⋯+aqk−1+aqkqS = aq+aq^{2}+\cdots+aq^{k-1}+aq^{k}
  2. S−qS=a−aqkS-qS = a-aq^{k}tous les termes intermédiaires s’éliminent (somme télescopique)
  3. ⇒\Rightarrow(1−q)S=a(1−qk)(1-q)S = a(1-q^{k})
  4. ⇒\RightarrowS=a×1−qk1−qS = a\times\dfrac{1-q^{k}}{1-q}car q≠1q\neq1
Attention

La formule suppose q≠1q\neq1 : si q=1q=1, la suite est constante et la somme de kk termes vaut simplement k×ak\times a. Vérifie toujours cette condition avant d’appliquer la formule — c’est une erreur fréquente au bac.

Exemple — un capital placé à intérêt composé

Un capital de 100 000100\,000 F CFA est placé à intérêt composé au taux annuel de 5 %5\,\%. On note unu_n le capital disponible après nn années.

  1. un+1=un+0,05 un=1,05 unu_{n+1} = u_n+0{,}05\,u_n = 1{,}05\,u_nsuite géométrique de raison q=1,05q=1{,}05
  2. ⇒\Rightarrowun=100 000×1,05nu_n = 100\,000\times1{,}05^{n}
  3. u10=100 000×1,0510u_{10} = 100\,000\times1{,}05^{10}
  4. ≈\approx162 889162\,889 F CFA

Après dix ans, le capital a donc augmenté d’un peu plus de 62 %62\,\%.

ArithmétiqueGéométrique
Passage au terme suivantun+1=un+ru_{n+1}=u_n+run+1=q unu_{n+1}=q\,u_n
Terme généralun=u0+nru_n=u_0+nrun=u0 qnu_n=u_0\,q^{n}
Somme de kk termesk×1er+dernier2k\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}{2}a×1−qk1−q (q≠1)a\times\dfrac{1-q^{k}}{1-q}\ (q\neq1)

2Sens de variation et majoration

Avant de parler de limite, il faut savoir décrire précisément comment une suite se comporte : monte-t-elle, descend-t-elle, reste-t-elle dans une zone bornée ? Ces notions déjà entrevues deviennent ici des outils de démonstration à part entière.

2.1 Étudier le sens de variation

Définition

Une suite (un)(u_n) est :

  • croissante si, pour tout nn, un+1⩾unu_{n+1}\geqslant u_n ;
  • strictement croissante si, pour tout nn, un+1>unu_{n+1}>u_n ;
  • décroissante si, pour tout nn, un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_n ;
  • monotone si elle est croissante, ou si elle est décroissante.

Ces propriétés peuvent n’être vraies qu’à partir d’un certain rang : on dit alors que la suite est croissante (ou décroissante) « à partir du rang n0n_0 ».

Méthode — déterminer le sens de variation

Deux techniques principales :

  • La différence : on étudie le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n. S’il est positif pour tout nn, la suite est croissante ; s’il est négatif, elle est décroissante. Cette méthode fonctionne toujours.
  • Le quotient (si tous les termes sont strictement positifs) : on compare un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11. S’il est ⩾1\geqslant1, la suite est croissante ; s’il est ⩽1\leqslant1, elle est décroissante.
Exemple — méthode de la différence, non monotone au départ

Soit un=n2−6n+5u_n=n^{2}-6n+5. Étudions le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n.

  1. un+1−un=[(n+1)2−6(n+1)+5]−[n2−6n+5]u_{n+1}-u_n = \left[(n+1)^{2}-6(n+1)+5\right]-\left[n^{2}-6n+5\right]
  2. ==2n+1−62n+1-6
  3. ==2n−52n-5

2n−5⩾0  ⟺  n⩾2,52n-5\geqslant0 \iff n\geqslant2{,}5, donc n⩾3n\geqslant3 puisque nn est entier. La suite est décroissante de u0u_0 à u3u_3, puis croissante à partir du rang 33 : elle n’est pas monotone sur N\mathbb{N} tout entier, mais elle l’est à partir d’un certain rang.

Exemple — méthode du quotient

Soit un=nn+1u_n=\dfrac{n}{n+1}, suite à termes strictement positifs (pour n⩾1n\geqslant1).

  1. un+1un=n+1n+2×n+1n\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{n+2}\times\dfrac{n+1}{n}
  2. ==(n+1)2n(n+2)\dfrac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}
  3. ==n2+2n+1n2+2n\dfrac{n^{2}+2n+1}{n^{2}+2n}

Le numérateur dépasse le dénominateur de 11 exactement : le quotient est strictement supérieur à 11. La suite (un)(u_n) est strictement croissante.

2.2 Suites majorées, minorées, bornées

Définition

Une suite (un)(u_n) est :

  • majorée s’il existe un réel MM tel que, pour tout nn, un⩽Mu_n\leqslant M (MM est un majorant) ;
  • minorée s’il existe un réel mm tel que, pour tout nn, un⩾mu_n\geqslant m (mm est un minorant) ;
  • bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Attention

Un majorant n’est pas unique : si MM majore (un)(u_n), tout réel plus grand que MM le majore aussi. Et surtout : une suite bornée ne converge pas forcément. La suite un=(−1)nu_n=(-1)^{n} est bornée (−1⩽un⩽1-1\leqslant u_n\leqslant1) mais oscille indéfiniment sans jamais se stabiliser : elle n’a pas de limite. Le fait d’être bornée n’est vraiment utile que combiné à la monotonie (section 4).

Méthode — prouver qu’une suite est majorée

On part souvent d’une inégalité connue et on la transforme par des opérations qui conservent le sens de l’inégalité (ajouter un même nombre, multiplier par un nombre positif, passer à la racine carrée pour des quantités positives…) jusqu’à obtenir l’encadrement voulu. On peut aussi raisonner par récurrence (section 6).

Exemple — majoration directe

Montrons que un=nn+1u_n=\dfrac{n}{n+1} est majorée par 11.

  1. 1−un=1−nn+11-u_n = 1-\dfrac{n}{n+1}
  2. ==n+1−nn+1\dfrac{n+1-n}{n+1}
  3. ==1n+1\dfrac{1}{n+1}

Comme n+1>0n+1>0, on a 1n+1>0\dfrac{1}{n+1}>0 donc un<1u_n<1 pour tout nn : (un)(u_n) est majorée par 11 ; elle est aussi minorée par u0=0u_0=0 (croissante, exemple précédent) : elle est donc bornée.

3Limite d’une suite

Nous voici au cœur du chapitre. Que devient unu_n quand nn tend vers +∞+\infty ? Il faut donner un sens rigoureux à l’expression « unu_n se rapproche de ℓ\ell », faute de quoi elle ne veut rien dire de mathématiquement exploitable.

3.1 Limite finie : suite convergente

Définition

Une suite (un)(u_n) converge vers un réel ℓ\ell, noté lim⁡n→+∞un=ℓ\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell, lorsque :

pour tout ε>0, il existe un entier N tel que, pour tout n⩾N, ∣un−ℓ∣<ε\text{pour tout } \varepsilon>0,\text{ il existe un entier } N \text{ tel que, pour tout } n\geqslant N,\ \left|u_n-\ell\right|<\varepsilon

Autrement dit : aussi petit que soit l’intervalle ]ℓ−ε ; ℓ+ε[\left]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon\right[ choisi autour de ℓ\ell, tous les termes de la suite, à partir d’un certain rang, tombent dedans. On dit aussi que (un)(u_n) est convergente.

Les termes uₙ = 2 − 1/(n+1) s’accumulent près de ℓ = 2 bande ]ℓ−ε ; ℓ+ε[ n 1 1,5 u₀ u₁ u₂ u₃ ℓ = 2
Figure 1 — Les termes de la suite un=2−1n+1u_n=2-\dfrac{1}{n+1} se rapprochent indéfiniment de ℓ=2\ell=2 : à partir d’un certain rang NN, tous les termes tombent dans la bande ]ℓ−ε ; ℓ+ε[\left]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon\right[, aussi petit que soit ε>0\varepsilon>0.
Théorème — unicité de la limite

Si une suite converge, sa limite est unique.

Démonstration

Supposons par l’absurde que (un)(u_n) admette deux limites distinctes ℓ\ell et ℓ′\ell', avec ℓ≠ℓ′\ell\neq\ell'. Posons ε=∣ℓ−ℓ′∣2>0\varepsilon=\dfrac{\left|\ell-\ell'\right|}{2}>0.

  1. comme un→ℓu_n\to\ell, il existe N1N_1 tel que n⩾N1⇒∣un−ℓ∣<εn\geqslant N_1 \Rightarrow \left|u_n-\ell\right|<\varepsilon
  2. comme un→ℓ′u_n\to\ell', il existe N2N_2 tel que n⩾N2⇒∣un−ℓ′∣<εn\geqslant N_2 \Rightarrow \left|u_n-\ell'\right|<\varepsilon
  3. pour n⩾max⁡(N1,N2)n\geqslant\max(N_1,N_2) : ∣ℓ−ℓ′∣⩽∣ℓ−un∣+∣un−ℓ′∣\left|\ell-\ell'\right| \leqslant \left|\ell-u_n\right|+\left|u_n-\ell'\right|inégalité triangulaire
  4. <<ε+ε=∣ℓ−ℓ′∣\varepsilon+\varepsilon = \left|\ell-\ell'\right|

On obtient ∣ℓ−ℓ′∣<∣ℓ−ℓ′∣\left|\ell-\ell'\right|<\left|\ell-\ell'\right|, ce qui est absurde. L’hypothèse ℓ≠ℓ′\ell\neq\ell' est donc fausse : ℓ=ℓ′\ell=\ell'. C.Q.F.D.

3.2 Limite infinie : suite divergente vers +∞+\infty ou −∞-\infty

Définition

Une suite (un)(u_n) tend vers +∞+\infty, noté lim⁡n→+∞un=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty, lorsque :

pour tout A>0, il existe un entier N tel que, pour tout n⩾N, un>A\text{pour tout } A>0,\text{ il existe un entier } N \text{ tel que, pour tout } n\geqslant N,\ u_n>A

Autrement dit, la suite finit par dépasser n’importe quel seuil AA, aussi grand soit-il, et par y rester. On définit de même lim⁡n→+∞un=−∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty en remplaçant un>Au_n>A par un<−Au_n<-A.

Une suite qui tend vers +∞+\infty ou vers −∞-\infty est dite divergente, tout comme une suite qui n’a pas de limite du tout — c’est le cas de un=(−1)nu_n=(-1)^n, qui ne tend ni vers un réel, ni vers +∞+\infty, ni vers −∞-\infty : elle oscille indéfiniment. Diverger ne signifie donc pas toujours « tendre vers l’infini ».

3.3 Opérations sur les limites

Quand (un)(u_n) et (vn)(v_n) ont chacune une limite (finie ou infinie), on additionne, multiplie ou divise ces limites « comme des nombres », avec une précaution : certains cas ne se calculent pas directement.

lim⁡un\lim u_nlim⁡vn\lim v_nlim⁡(un+vn)\lim(u_n+v_n)
ℓ\ellℓ′\ell'ℓ+ℓ′\ell+\ell'
ℓ\ell+∞+\infty+∞+\infty
+∞+\infty+∞+\infty+∞+\infty
+∞+\infty−∞-\inftyforme indéterminée
lim⁡un\lim u_nlim⁡vn\lim v_nlim⁡(un×vn)\lim(u_n\times v_n)
ℓ≠0\ell\neq0ℓ′\ell'ℓ×ℓ′\ell\times\ell'
ℓ>0\ell>0+∞+\infty+∞+\infty
ℓ<0\ell<0+∞+\infty−∞-\infty
00±∞\pm\inftyforme indéterminée
lim⁡un\lim u_nlim⁡vn\lim v_nlim⁡unvn\lim\dfrac{u_n}{v_n}
ℓ\ellℓ′≠0\ell'\neq0ℓℓ′\dfrac{\ell}{\ell'}
ℓ\ell±∞\pm\infty00
±∞\pm\inftyℓ′≠0\ell'\neq0 fini±∞\pm\infty
0000forme indéterminée
±∞\pm\infty±∞\pm\inftyforme indéterminée
Attention — les quatre formes indéterminées

Quatre situations ne se concluent jamais directement : “∞−∞”\text{“}\infty-\infty\text{”}, “0×∞”\text{“}0\times\infty\text{”}, “∞∞”\text{“}\dfrac{\infty}{\infty}\text{”} et “00”\text{“}\dfrac{0}{0}\text{”}. Il faut transformer l’écriture de unu_n (factoriser par le terme dominant, multiplier par la quantité conjuguée…) avant de reprendre le calcul.

Exemple — forme ∞∞\dfrac{\infty}{\infty}, factoriser par le terme dominant

Calculons lim⁡n→+∞3n2−5n+12n2+7\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3n^{2}-5n+1}{2n^{2}+7}.

  1. 3n2−5n+12n2+7=n2(3−5n+1n2)n2(2+7n2)\dfrac{3n^{2}-5n+1}{2n^{2}+7} = \dfrac{n^{2}\left(3-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\dfrac{7}{n^{2}}\right)}on factorise haut et bas par n2n^{2}, le terme dominant
  2. ==3−5n+1n22+7n2\dfrac{3-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{7}{n^{2}}}

Les termes en 1n\dfrac{1}{n} et 1n2\dfrac{1}{n^{2}} tendent vers 00 (limites de référence ci-dessous) : le numérateur tend vers 33, le dénominateur vers 22.

lim⁡n→+∞3n2−5n+12n2+7=32\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3n^{2}-5n+1}{2n^{2}+7} = \dfrac{3}{2}

Exemple — forme ∞−∞\infty-\infty, multiplier par la quantité conjuguée

Calculons lim⁡n→+∞(n+1−n)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).

  1. n+1−n=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}on multiplie par la quantité conjuguée, qui vaut 11
  2. ==(n+1)−nn+1+n\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
  3. ==1n+1+n\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Le dénominateur tend vers +∞+\infty, donc ce quotient tend vers 00 : lim⁡n→+∞(n+1−n)=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=0.

3.4 Limites de référence et croissances comparées

Propriété — limites de référence

lim⁡n→+∞n=lim⁡n→+∞n2=lim⁡n→+∞n3=lim⁡n→+∞n=+∞\lim_{n\to+\infty} n = \lim_{n\to+\infty} n^{2} = \lim_{n\to+\infty} n^{3} = \lim_{n\to+\infty}\sqrt{n} = +\infty

lim⁡n→+∞1n=lim⁡n→+∞1n2=lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n} = \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^{2}} = \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0

Propriété — croissances comparées (admise)

Pour tout entier k⩾1k\geqslant1 et tout réel q>1q>1 :

lim⁡n→+∞qnnk=+∞etlim⁡n→+∞nkqn=0\lim_{n\to+\infty}\dfrac{q^{n}}{n^{k}} = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^{k}}{q^{n}} = 0

Une suite géométrique de raison q>1q>1, aussi lentement qu’elle démarre, finit toujours par « écraser » n’importe quelle puissance de nn.

Exemple — croissances comparées

Comparons un=1,01nu_n=1{,}01^{n} et vn=n5v_n=n^{5}. Malgré une raison très proche de 11 : lim⁡n→+∞unvn=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=+\infty. Pour nn assez grand (n⩾778n\geqslant778 environ), 1,01n1{,}01^{n} dépasse n5n^{5}, et l’écart ne cesse plus de se creuser.

3.5 Limite de la suite géométrique (qn)(q^{n})

C’est l’un des résultats les plus utilisés du programme : il mérite une démonstration complète.

Théorème

Soit qq un réel. Le comportement de (qn)(q^{n}) dépend uniquement de la valeur de qq :

  • si q>1q>1 : lim⁡n→+∞qn=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{n}=+\infty ;
  • si q=1q=1 : qn=1q^{n}=1 pour tout nn, suite constante ;
  • si −1<q<1-1<q<1 : lim⁡n→+∞qn=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{n}=0 ;
  • si q⩽−1q\leqslant-1 : la suite (qn)(q^{n}) n’a pas de limite (ni finie, ni infinie).
La suite géométrique uₙ = qⁿ selon la valeur de q (ici u₀ = 1) n 0 −1 1 2 3 4 5 1234567 q = 1,25 → +∞ q = 0,6 → 0 q = −0,6 → 0 (oscille)
Figure 2 — Trois suites géométriques de premier terme u0=1u_0=1. Si q>1q>1, (qn)(q^n) diverge vers +∞+\infty ; si −1<q<1-1<q<1, elle tend vers 00, en oscillant autour de l’axe quand qq est négatif.
Démonstration

Cas q>1q>1. Posons a=q−1a=q-1, de sorte que a>0a>0 et q=1+aq=1+a. Admettons provisoirement l’inégalité de Bernoulli : pour tout entier nn, (1+a)n⩾1+na(1+a)^{n}\geqslant1+na (nous la démontrerons rigoureusement par récurrence à la section 6 — c’est l’exemple qui ouvre cette technique).

  1. soit A>0A>0 ; comme a>0a>0, la suite 1+na1+na tend vers +∞+\inftylimite de référence, multipliée par la constante a>0a>0 puis décalée de 11
  2. il existe donc NN tel que, pour tout n⩾Nn\geqslant N, 1+na>A1+na>A
  3. or qn=(1+a)n⩾1+naq^{n}=(1+a)^{n}\geqslant1+na pour tout nninégalité de Bernoulli
  4. ⇒\Rightarrowpour tout n⩾Nn\geqslant N : qn>Aq^{n}>A

C’est exactement la définition de lim⁡n→+∞qn=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{n}=+\infty.

Cas 0<q<10<q<1. Alors 1q>1\dfrac{1}{q}>1, donc (1q)n→+∞\left(\dfrac{1}{q}\right)^{n}\to+\infty d’après le cas précédent ; comme qn=1(1/q)nq^{n}=\dfrac{1}{(1/q)^{n}}, quotient dont le dénominateur tend vers +∞+\infty, on obtient qn→0q^{n}\to0.

Cas −1<q<0-1<q<0. On a 0<∣q∣<10<|q|<1, donc ∣q∣n=∣qn∣→0|q|^{n}=|q^{n}|\to0 d’après le cas précédent ; un nombre dont la valeur absolue tend vers 00 tend lui-même vers 00.

Cas q=−1q=-1. La suite vaut alternativement 11 et −1-1 : elle ne peut converger vers un seul réel, et elle est bornée donc ne tend pas vers ±∞\pm\infty : elle n’a pas de limite.

Cas q<−1q<-1. ∣q∣n→+∞|q|^{n}\to+\infty (premier cas, appliqué à ∣q∣>1|q|>1) mais qnq^{n} change de signe à chaque rang : la suite prend des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue, sans jamais se stabiliser ni tendre vers +∞+\infty ou −∞-\infty : elle n’a pas de limite. C.Q.F.D.

Exemple — application directe

lim⁡n→+∞5×0,8n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}5\times0{,}8^{n}=0 car −1<0,8<1-1<0{,}8<1 ; lim⁡n→+∞1 000×1,02n=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}1\,000\times1{,}02^{n}=+\infty car 1,02>11{,}02>1 : un capital placé à taux composé positif croît indéfiniment, aussi lent que soit le taux.

4Théorèmes de convergence (monotone bornée, gendarmes)

Calculer une limite terme à terme, comme à la section précédente, ne fonctionne que si l’on devine déjà sa valeur. Voici des théorèmes qui prouvent qu’une limite existe, parfois sans même la calculer.

4.1 Théorème de convergence monotone (admis)

Théorème (admis)

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Corollaire

Toute suite croissante non majorée tend vers +∞+\infty. Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞-\infty.

Attention

Ce théorème affirme l’existence d’une limite, pas sa valeur ! Il faut souvent une information supplémentaire (une équation vérifiée par la limite, un encadrement) pour la déterminer — voir la section 5.

Exemple — convergence sans calcul explicite de la limite

Soit un=∑k=1n1k2=1+14+19+⋯+1n2u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}} = 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}}.

(un)(u_n) est croissante : un+1−un=1(n+1)2>0u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)^{2}}>0. Elle est majorée : pour k⩾2k\geqslant2, 1k2⩽1k(k−1)=1k−1−1k\dfrac{1}{k^{2}}\leqslant\dfrac{1}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k} (somme télescopique), donc :

  1. un⩽1+∑k=2n(1k−1−1k)u_n \leqslant 1+\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)
  2. ==1+(1−1n)1+\left(1-\dfrac{1}{n}\right)somme télescopique : seuls le premier et le dernier terme subsistent
  3. <<22

Croissante et majorée par 22, (un)(u_n) converge d’après le théorème — sans que nous ayons calculé sa limite exacte. (Ce résultat, le problème de Bâle, fut résolu en 1735 par Leonhard Euler : la limite exacte vaut π26\dfrac{\pi^{2}}{6}.)

4.2 Théorèmes de comparaison

Théorème

Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites telles que un⩾vnu_n\geqslant v_n à partir d’un certain rang.

  • Si lim⁡n→+∞vn=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty, alors lim⁡n→+∞un=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.
  • Si lim⁡n→+∞un=−∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty, alors lim⁡n→+∞vn=−∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty.
Démonstration

Supposons vn→+∞v_n\to+\infty et un⩾vnu_n\geqslant v_n pour n⩾n0n\geqslant n_0. Soit A>0A>0. Il existe N⩾n0N\geqslant n_0 tel que, pour tout n⩾Nn\geqslant N, vn>Av_n>A. Alors, pour tout n⩾Nn\geqslant N : un⩾vn>Au_n\geqslant v_n>A, ce qui est la définition de un→+∞u_n\to+\infty. (Le second point se démontre de façon symétrique.) C.Q.F.D. — c’est exactement l’argument déjà employé section 3 pour la limite de qnq^n, ici généralisé.

Exemple

un=n+(−1)nu_n=n+(-1)^n. Comme un⩾n−1u_n\geqslant n-1 pour tout nn, et n−1→+∞n-1\to+\infty, on conclut un→+∞u_n\to+\infty par comparaison, sans se soucier de l’oscillation de (−1)n(-1)^n.

4.3 Théorème des gendarmes

Théorème (théorème d’encadrement)

Soient (un)(u_n), (vn)(v_n), (wn)(w_n) trois suites telles que vn⩽un⩽wnv_n\leqslant u_n\leqslant w_n à partir d’un certain rang. Si (vn)(v_n) et (wn)(w_n) convergent vers la même limite ℓ\ell, alors (un)(u_n) converge aussi vers ℓ\ell.

Démonstration

Soit ε>0\varepsilon>0. Comme vn→ℓv_n\to\ell, il existe N1N_1 tel que n⩾N1⇒ℓ−ε<vnn\geqslant N_1\Rightarrow\ell-\varepsilon<v_n ; comme wn→ℓw_n\to\ell, il existe N2N_2 tel que n⩾N2⇒wn<ℓ+εn\geqslant N_2\Rightarrow w_n<\ell+\varepsilon. Pour n⩾max⁡(N1,N2,n0)n\geqslant\max(N_1,N_2,n_0) :

ℓ−ε<vn⩽un⩽wn<ℓ+ε\ell-\varepsilon < v_n \leqslant u_n \leqslant w_n < \ell+\varepsilon

donc ∣un−ℓ∣<ε\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon. Ceci prouve un→ℓu_n\to\ell. C.Q.F.D.

Exemple

un=cos⁡nn+1u_n=\dfrac{\cos n}{n+1}. Comme −1⩽cos⁡n⩽1-1\leqslant\cos n\leqslant1 pour tout nn : −1n+1⩽un⩽1n+1-\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{n+1}. Or −1n+1→0-\dfrac{1}{n+1}\to0 et 1n+1→0\dfrac{1}{n+1}\to0 : par le théorème des gendarmes, lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0.

5Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

Beaucoup de suites ne sont pas données par une formule explicite un=…u_n=\ldots en fonction de nn, mais par une relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) : chaque terme se déduit du précédent par une même fonction ff. C’est le cas de la plupart des algorithmes de calcul approché, et c’est un grand classique du baccalauréat.

5.1 Généralités : point fixe

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II, et u0∈Iu_0\in I. La suite (un)(u_n) définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) est une suite récurrente. Un réel ℓ\ell tel que f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell est un point fixe de ff.

Propriété

Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell, et si ff est continue en ℓ\ell, alors ℓ\ell est un point fixe de ff : f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell.

Démonstration (idée)

Si un→ℓu_n\to\ell, alors un+1→ℓu_{n+1}\to\ell aussi (même suite, décalée d’un rang). Comme ff est continue en ℓ\ell, f(un)→f(ℓ)f(u_n)\to f(\ell). Or f(un)=un+1→ℓf(u_n)=u_{n+1}\to\ell : par unicité de la limite, f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell.

Attention — piège classique du bac

Cette propriété ne dit rien sur l’existence de la limite : elle indique seulement ce que vaudrait la limite si elle existe. Ne présente jamais un point fixe comme « la limite » sans avoir prouvé au préalable que la suite converge (en général via le théorème de convergence monotone) : une suite peut diverger alors même que ff admet un point fixe.

5.2 Suites arithmético-géométriques : la suite auxiliaire

Le cas où ff est affine, f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec a≠1a\neq1, se traite entièrement de façon explicite.

Méthode — suite auxiliaire géométrique

Soit un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b, avec a≠1a\neq1.

  1. Point fixe : ℓ=aℓ+b  ⟺  ℓ=b1−a\ell=a\ell+b \iff \ell=\dfrac{b}{1-a}.
  2. On pose vn=un−ℓv_n=u_n-\ell. Alors (vn)(v_n) est géométrique de raison aa : vn+1=un+1−ℓ=(aun+b)−ℓ=a(un−ℓ)=avnv_{n+1}=u_{n+1}-\ell=(au_n+b)-\ell=a(u_n-\ell)=av_n (on utilise b−ℓ=−aℓb-\ell=-a\ell, conséquence de ℓ=aℓ+b\ell=a\ell+b).
  3. D’où vn=v0 anv_n=v_0\,a^{n}, puis un=ℓ+(u0−ℓ) anu_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^{n} : une formule explicite.
  4. Convergence (section 3) : si −1<a<1-1<a<1, un→ℓu_n\to\ell ; sinon (un)(u_n) diverge (sauf si u0=ℓu_0=\ell).
Exemple — suite arithmético-géométrique complète

Soit u0=1u_0=1 et, pour tout nn, un+1=0,5 un+3u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3.

  1. point fixe : ℓ=0,5 ℓ+3\ell=0{,}5\,\ell+3
  2. ⇒\Rightarrow0,5 ℓ=30{,}5\,\ell=3
  3. ⇒\Rightarrowℓ=6\ell=6
  4. on pose vn=un−6v_n=u_n-6, géométrique de raison 0,50{,}5
  5. v0=u0−6=−5v_0=u_0-6=-5
  6. ⇒\Rightarrowvn=−5×0,5nv_n=-5\times0{,}5^{n}
  7. ⇒\Rightarrowun=6−5×0,5nu_n=6-5\times0{,}5^{n}

Comme −1<0,5<1-1<0{,}5<1, 0,5n→00{,}5^{n}\to0 donc un→6u_n\to6 ; la suite est croissante (elle s’écrit 6+vn6+v_n avec vn=−5×0,5nv_n=-5\times0{,}5^n croissante, car elle croît vers 00) : elle converge vers 66 en restant toujours en dessous.

5.3 Construction graphique : escalier et colimaçon

Méthode — construire les premiers termes

On trace la courbe Cf\mathscr{C}_f de ff et la droite Δ:y=x\Delta:y=x. En partant de u0u_0 sur l’axe des abscisses : on monte (ou descend) jusqu’à Cf\mathscr{C}_f pour lire u1=f(u0)u_1=f(u_0) en ordonnée, puis on va horizontalement jusqu’à Δ\Delta pour reporter u1u_1 en abscisse, et l’on recommence. Deux allures typiques apparaissent :

  • si ff est croissante, la construction dessine un escalier : la suite est monotone ;
  • si ff est décroissante, la construction dessine un colimaçon (spirale) : la suite oscille de part et d’autre du point fixe.

Dans les deux cas, si la construction se resserre, le point fixe (intersection de Cf\mathscr{C}_f et Δ\Delta) est la limite.

5.4 Étude complète d’une suite récurrente

Méthode — étude complète de un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
  1. Montrer qu’un intervalle II est stable par ff (x∈I⇒f(x)∈Ix\in I\Rightarrow f(x)\in I), et que u0∈Iu_0\in I : la suite reste dans II (récurrence, section 6).
  2. Étudier le sens de variation (signe de un+1−unu_{n+1}-u_n, ou position de Cf\mathscr{C}_f par rapport à Δ\Delta sur II).
  3. En déduire, avec l’étape 1, que la suite est bornée.
  4. Conclure à la convergence par le théorème de convergence monotone.
  5. Déterminer la limite en résolvant f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell parmi les points fixes compatibles avec II.
Exemple — étude complète, cas croissant (escalier)

Soit u0=0u_0=0 et un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}. Posons f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2}, définie et croissante sur [−2 ;+∞[[-2\,;+\infty[.

Point fixe : ℓ=ℓ+2\ell=\sqrt{\ell+2} avec ℓ⩾0\ell\geqslant0, donc ℓ2=ℓ+2\ell^{2}=\ell+2, soit ℓ2−ℓ−2=0=(ℓ−2)(ℓ+1)\ell^{2}-\ell-2=0=(\ell-2)(\ell+1) : ℓ=2\ell=2 ou ℓ=−1\ell=-1 (rejeté, négatif). Seul ℓ=2\ell=2 convient.

Intervalle stable et monotonie : on admet ici que 0⩽un⩽un+1⩽20\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant2 pour tout nn (démonstration rigoureuse par récurrence à la section 6) : [0 ;2][0\,;2] est stable car ff est croissante avec f(0)=2∈[0 ;2]f(0)=\sqrt2\in[0\,;2] et f(2)=2f(2)=2.

Convergence : croissante et majorée par 22 ⇒\Rightarrow (un)(u_n) converge vers un réel ℓ∈[0 ;2]\ell\in[0\,;2] vérifiant f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell : donc lim⁡n→+∞un=2\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2.

Construction en escalier de uₙ₊₁ = √(uₙ+2) x y 1 2 1 2 0 y = f(x) = √(x+2) y = x u₀ u₁ ℓ = 2 (point fixe) u₂, u₃, u₄… → ℓ
Figure 3 — Construction en escalier de la suite u0=0u_0=0, un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2} : ff est croissante, l’escalier « monte » vers le point fixe ℓ=2\ell=2, intersection de Cf\mathscr{C}_f et de la droite y=xy=x.

5.5 Cas d’une fonction décroissante : le colimaçon

Quand ff est décroissante, f∘ff\circ f est croissante : les sous-suites des rangs pairs et impairs sont chacune monotones (en sens contraire), et la suite complète oscille en spirale autour du point fixe. L’étude rigoureuse de la convergence utilisera les suites adjacentes (section 7).

Exemple — cas décroissant (colimaçon)

Soit u0=0u_0=0 et un+1=11+unu_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_n}. Posons f(x)=11+xf(x)=\dfrac{1}{1+x}, décroissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.

  1. point fixe : ℓ=11+ℓ\ell=\dfrac{1}{1+\ell} avec ℓ⩾0\ell\geqslant0
  2. ⇒\Rightarrowℓ(1+ℓ)=1\ell(1+\ell)=1
  3. ⇒\Rightarrowℓ2+ℓ−1=0\ell^{2}+\ell-1=0
  4. ⇒\Rightarrowℓ=−1+52\ell=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}racine positive du trinôme, Δ=5\Delta=5

Les premiers termes valent u0=0u_0=0, u1=1u_1=1, u2=0,5u_2=0{,}5, u3≈0,667u_3\approx0{,}667, u4=0,6u_4=0{,}6, u5=0,625u_5=0{,}625, u6≈0,615u_6\approx0{,}615… : ils oscillent en se rapprochant de ℓ=5−12≈0,618\ell=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618, le nombre d’or moins un. Nous prouverons proprement cette convergence à la section 7.

Construction en colimaçon de uₙ₊₁ = 1/(1+uₙ) x y 0,5 1 0,5 1 0 y = f(x) = 1/(1+x) y = x u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ ℓ = (√5−1)/2 ≈ 0,618
Figure 4 — Construction en colimaçon de la suite u0=0u_0=0, un+1=11+unu_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_n} : ff est décroissante, la spirale se resserre autour du point fixe ℓ=5−12\ell=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.

6Raisonnement par récurrence

Nous avons déjà utilisé ce raisonnement sans le formaliser (l’inégalité de Bernoulli section 3, la stabilité de l’intervalle section 5). Il est temps d’en poser les règles précises.

6.1 Principe et rédaction modèle

Principe de récurrence

Soit P(n)P(n) une propriété dépendant d’un entier nn, et n0n_0 un entier. Si :

  • Initialisation : P(n0)P(n_0) est vraie ;
  • Hérédité : pour tout n⩾n0n\geqslant n_0, P(n)P(n) vraie ⇒\Rightarrow P(n+1)P(n+1) vraie ;

alors P(n)P(n) est vraie pour tout entier n⩾n0n\geqslant n_0.

L’image classique est celle des dominos alignés : si le premier tombe (initialisation), et si chaque domino qui tombe entraîne la chute du suivant (hérédité), alors tous les dominos tombent, aussi longue soit la rangée.

Méthode — rédaction modèle
  1. Initialisation : on vérifie explicitement P(n0)P(n_0) (calcul direct).
  2. Hérédité : on suppose P(n)P(n) vraie pour un entier n⩾n0n\geqslant n_0 fixé quelconque (« hypothèse de récurrence », HR), et l’on démontre P(n+1)P(n+1) en utilisant HR — c’est le cœur de la preuve.
  3. Conclusion : on invoque le principe de récurrence pour affirmer que P(n)P(n) est vraie pour tout n⩾n0n\geqslant n_0.
Attention — erreurs classiques

Oublier l’initialisation : sans elle, la chaîne d’implications ne démarre jamais. Ne pas utiliser HR dans l’hérédité : si la preuve de P(n+1)P(n+1) ne se sert jamais de P(n)P(n), ce n’est pas une récurrence. Confondre « ce qu’on suppose » (HR) et « ce qu’on doit démontrer » (P(n+1)P(n+1)) : écris-les explicitement avant de calculer.

6.2 Exemples fondamentaux

Démonstration — inégalité de Bernoulli

Propriété. Pour tout réel a>0a>0 et tout entier nn, (1+a)n⩾1+na(1+a)^{n}\geqslant1+na. (Admise section 3, où elle servait à établir lim⁡n→+∞qn=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{n}=+\infty pour q>1q>1.)

Initialisation (n=0n=0) : (1+a)0=1(1+a)^{0}=1 et 1+0×a=11+0\times a=1 : 1⩾11\geqslant1 est vraie.

Hérédité. Supposons que, pour un entier nn fixé, (1+a)n⩾1+na(1+a)^{n}\geqslant1+na (HR).

  1. (1+a)n+1=(1+a)n×(1+a)(1+a)^{n+1} = (1+a)^{n}\times(1+a)
  2. ⩾\geqslant(1+na)(1+a)(1+na)(1+a)HR, multipliée par 1+a>01+a>0 qui conserve le sens de l’inégalité
  3. ==1+(n+1)a+na21+(n+1)a+na^{2}
  4. ⩾\geqslant1+(n+1)a1+(n+1)acar na2⩾0na^{2}\geqslant0

Donc (1+a)n+1⩾1+(n+1)a(1+a)^{n+1}\geqslant1+(n+1)a : P(n+1)P(n+1) est vraie. Conclusion : par récurrence, (1+a)n⩾1+na(1+a)^{n}\geqslant1+na pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}. C.Q.F.D.

Math & Co — Pascal et le triangle arithmétique

C’est à Blaise Pascal (1623-1662) que l’on doit la première formulation claire du raisonnement par récurrence, dans son Traité du triangle arithmétique, rédigé en 1654 (publié en 1665). Pascal y étudie les coefficients binomiaux et énonce le principe : une propriété vraie au premier rang, et qui se transmet d’un rang au suivant, est vraie à tous les rangs.

Le nom « récurrence » et sa formalisation moderne avec les axiomes de l’arithmétique viendront plus tard, sous la plume du mathématicien italien Giuseppe Peano, en 1889. Mais l’intuition remonte à Pascal — et déjà, avant lui, à des traces chez le mathématicien perse al-Karajî, vers l’an 1000.

Démonstration — une formule de somme

Montrons par récurrence que, pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*} : ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Initialisation (n=1n=1) : à gauche 12=11^{2}=1 ; à droite 1×2×36=1\dfrac{1\times2\times3}{6}=1. Vérifié.

Hérédité. Supposons que, pour un entier n⩾1n\geqslant1 fixé, ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} (HR).

  1. ∑k=1n+1k2=∑k=1nk2+(n+1)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^{2} = \sum_{k=1}^{n}k^{2} + (n+1)^{2}
  2. ==n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}HR
  3. ==(n+1)[n(2n+1)6+(n+1)](n+1)\left[\dfrac{n(2n+1)}{6}+(n+1)\right]on factorise par (n+1)(n+1)
  4. ==(n+1)×2n2+7n+66(n+1)\times\dfrac{2n^{2}+7n+6}{6}
  5. ==(n+1)×(n+2)(2n+3)6(n+1)\times\dfrac{(n+2)(2n+3)}{6}2n2+7n+6=(n+2)(2n+3)2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)
  6. ==(n+1)(n+2)(2n+3)6\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}

C’est la formule attendue au rang n+1n+1. Conclusion : par récurrence, la formule est vraie pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}.

Démonstration — monotonie et bornes de l’exemple escalier

Reprenons l’exemple de la section 5 : u0=0u_0=0, un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}. Montrons par récurrence P(n)P(n) : « 0⩽un⩽un+1⩽20\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant2 ».

Initialisation (n=0n=0) : u0=0u_0=0, u1=2u_1=\sqrt2 : 0⩽0⩽2⩽20\leqslant0\leqslant\sqrt2\leqslant2 (car 2≈1,414\sqrt2\approx1{,}414).

Hérédité. Supposons 0⩽un⩽un+1⩽20\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant2 (HR) pour un entier nn fixé.

  1. 0⩽un⩽un+1⩽20\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant2HR
  2. ⇒\Rightarrow2⩽un+2⩽un+1+2⩽42\leqslant u_n+2\leqslant u_{n+1}+2\leqslant4on ajoute 22 partout
  3. ⇒\Rightarrow2⩽un+2⩽un+1+2⩽2\sqrt2\leqslant\sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{u_{n+1}+2}\leqslant2la racine carrée est croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[
  4. ⇒\Rightarrow2⩽un+1⩽un+2⩽2\sqrt2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant2par définition, un+1=un+2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}, un+2=un+1+2u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}+2}
  5. ⇒\Rightarrow0⩽un+1⩽un+2⩽20\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant2car 2>0\sqrt2>0

C’est exactement P(n+1)P(n+1). Conclusion : par récurrence, 0⩽un⩽un+1⩽20\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant2 pour tout nn : la suite est croissante et majorée par 22, ce qui achève rigoureusement l’étude amorcée section 5.

7Suites adjacentes

Voici un dernier outil, taillé pour les suites qui « encadrent » une même valeur par deux côtés à la fois — comme les deux sous-suites du colimaçon de la section 5.

7.1 Définition et théorème

Définition

Deux suites (vn)(v_n) et (wn)(w_n) sont adjacentes lorsque :

  • (vn)(v_n) est croissante ;
  • (wn)(w_n) est décroissante ;
  • lim⁡n→+∞(wn−vn)=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(w_n-v_n)=0.
Attention

Les trois conditions sont indispensables : une suite croissante et une décroissante dont la différence ne tend pas vers 00 peuvent très bien ne jamais se rejoindre.

Théorème

Deux suites adjacentes convergent, et elles convergent vers la même limite.

Démonstration

Montrons d’abord que, pour tout nn, vn⩽wnv_n\leqslant w_n. Posons dn=wn−vnd_n=w_n-v_n : dn+1−dn=(wn+1−wn)−(vn+1−vn)⩽0d_{n+1}-d_n=(w_{n+1}-w_n)-(v_{n+1}-v_n)\leqslant0 (le premier terme est ⩽0\leqslant0 car (wn)(w_n) décroît, on retranche un nombre ⩾0\geqslant0 car (vn)(v_n) croît) : (dn)(d_n) est décroissante. Comme dn→0d_n\to0, une suite décroissante de limite 00 est toujours positive ou nulle (sinon elle ne pourrait remonter vers 00) : dn⩾0d_n\geqslant0, c’est-à-dire vn⩽wnv_n\leqslant w_n pour tout nn.

On en déduit vn⩽wn⩽w0v_n\leqslant w_n\leqslant w_0 : (vn)(v_n) est croissante et majorée par w0w_0, donc converge (théorème de convergence monotone) vers un réel ℓ\ell. De même wn⩾vn⩾v0w_n\geqslant v_n\geqslant v_0 : (wn)(w_n) est décroissante et minorée, donc converge vers un réel ℓ′\ell'. Enfin :

ℓ′−ℓ=lim⁡n→+∞(wn−vn)=0\ell'-\ell = \lim_{n\to+\infty}(w_n-v_n) = 0

donc ℓ=ℓ′\ell=\ell' : les deux suites convergent vers la même limite. C.Q.F.D.

Exemple — vérification directe

vn=1−1n+1v_n=1-\dfrac{1}{n+1} et wn=1+1(n+1)2w_n=1+\dfrac{1}{(n+1)^{2}} : (vn)(v_n) est croissante, (wn)(w_n) est décroissante, et wn−vn=1(n+1)2+1n+1→0w_n-v_n=\dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{n+1}\to0. Les deux suites sont adjacentes, de limite commune 11.

7.2 Application : la suite un+1=11+unu_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_n}

Reprenons l’exemple du colimaçon (section 5) : u0=0u_0=0, un+1=11+unu_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_n}. Posons vk=u2kv_k=u_{2k} (rangs pairs) et wk=u2k+1w_k=u_{2k+1} (rangs impairs). Comme ff est décroissante, f∘ff\circ f est croissante sur [0 ;1][0\,;1], ce qui entraîne que (vk)(v_k) et (wk)(w_k) sont chacune monotones ; le calcul des premiers termes confirme le sens de variation.

  1. v0=0 ; v1=u2=0,5 ; v2=u4=0,6 ; v3=u6≈0,615 ; v4=u8≈0,6176v_0=0\ ;\ v_1=u_2=0{,}5\ ;\ v_2=u_4=0{,}6\ ;\ v_3=u_6\approx0{,}615\ ;\ v_4=u_8\approx0{,}6176(vk)(v_k) croît
  2. w0=1 ; w1=u3≈0,667 ; w2=u5=0,625 ; w3=u7≈0,619 ; w4=u9≈0,6182w_0=1\ ;\ w_1=u_3\approx0{,}667\ ;\ w_2=u_5=0{,}625\ ;\ w_3=u_7\approx0{,}619\ ;\ w_4=u_9\approx0{,}6182(wk)(w_k) décroît
  3. wk−vkw_k-v_k : 1 ; 0,167 ; 0,025 ; 0,004 ; …→01\ ;\ 0{,}167\ ;\ 0{,}025\ ;\ 0{,}004\ ;\ \ldots \to 0l’écart se resserre très vite

(vk)(v_k) et (wk)(w_k) sont donc adjacentes : elles convergent vers la même limite ℓ=5−12≈0,618\ell=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618 (point fixe calculé section 5). Puisque les rangs pairs et impairs de (un)(u_n) convergent tous deux vers ℓ\ell, la suite (un)(u_n) tout entière converge vers ℓ\ell : la convergence du colimaçon, annoncée section 5, est ainsi complètement établie.

Sous-suites vₖ = u₂ₖ et wₖ = u₂ₖ₊₁ : suites adjacentes k 0 0,5 1 12345 ℓ = (√5−1)/2 ≈ 0,618 v₀v₁ w₀w₁
Figure 5 — Les sous-suites vk=u2kv_k=u_{2k} (croissante, verte) et wk=u2k+1w_k=u_{2k+1} (décroissante, violette) de la suite colimaçon un+1=11+unu_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_n} sont adjacentes : elles se resserrent toutes deux autour de ℓ=5−12\ell=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.
Math & Co — Le nombre d’or et Fibonacci

Le nombre ℓ=5−12≈0,618\ell=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618 est l’inverse du fameux nombre d’or φ=1+52≈1,618\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618 (on a ℓ=φ−1=1φ\ell=\varphi-1=\dfrac1\varphi), déjà étudié par les géomètres grecs sous le nom de « partage en extrême et moyenne raison » — on en trouve une définition chez Euclide, vers −300-300, dans les Éléments.

Le lien avec les suites récurrentes est profond : le mathématicien italien Leonardo Fibonacci, dans son Liber Abaci (1202), introduit la suite 1,1,2,3,5,8,13,21,…1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots (chaque terme est la somme des deux précédents) à travers un problème de reproduction de lapins. Or le rapport FnFn+1\dfrac{F_n}{F_{n+1}} de deux termes consécutifs de cette suite tend précisément vers ℓ≈0,618\ell\approx0{,}618 — la même limite que nous venons d’établir par une tout autre voie, celle des suites adjacentes.

Fiche mémo

  • Arithmétique : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r, un=u0+nru_n=u_0+nr, somme == nb termes ×1er+dernier2\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}{2}.
  • Géométrique : un+1=q unu_{n+1}=q\,u_n, un=u0 qnu_n=u_0\,q^{n}, somme =a×1−qk1−q=a\times\dfrac{1-q^{k}}{1-q} (q≠1q\neq1).
  • Sens de variation : signe de un+1−unu_{n+1}-u_n, ou comparaison de un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11 si un>0u_n>0.
  • Convergence : ∀ε>0, ∃N, ∀n⩾N, ∣un−ℓ∣<ε\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n\geqslant N,\ \left|u_n-\ell\right|<\varepsilon — presque tous les termes entrent dans n’importe quelle bande autour de ℓ\ell.
  • lim⁡n→+∞qn\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{n} : +∞+\infty si q>1q>1 ; 11 si q=1q=1 ; 00 si −1<q<1-1<q<1 ; pas de limite si q⩽−1q\leqslant-1.
  • Convergence monotone (admis) : croissante majorée (ou décroissante minorée) ⇒\Rightarrow converge — sans donner la valeur de la limite.
  • Gendarmes : vn⩽un⩽wnv_n\leqslant u_n\leqslant w_n et vn,wn→ℓv_n,w_n\to\ell ⇒\Rightarrow un→ℓu_n\to\ell. Comparaison : un⩾vnu_n\geqslant v_n et vn→+∞v_n\to+\infty ⇒\Rightarrow un→+∞u_n\to+\infty.
  • Suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) : si elle converge vers ℓ\ell et ff continue en ℓ\ell, alors f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell — jamais l’inverse sans preuve de convergence.
  • Arithmético-géométrique un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b (a≠1a\neq1) : point fixe ℓ=b1−a\ell=\dfrac{b}{1-a}, suite auxiliaire vn=un−ℓv_n=u_n-\ell géométrique de raison aa, un=ℓ+(u0−ℓ)anu_n=\ell+(u_0-\ell)a^{n}.
  • Récurrence : Initialisation (rang n0n_0) + Hérédité (P(n)⇒P(n+1)P(n)\Rightarrow P(n+1), en utilisant HR) + Conclusion (∀n⩾n0\forall n\geqslant n_0).
  • Suites adjacentes : l’une croissante, l’autre décroissante, différence →0\to0 ⇒\Rightarrow convergent vers la même limite.
  • Escalier (ff croissante) : suite monotone. Colimaçon (ff décroissante) : suite oscillante, sous-suites paire/impaire adjacentes.

8Exercices corrigés

Quatre niveaux, du plus mécanique au plus proche de ton quotidien. Cherche avant de regarder le corrigé : c’est en butant sur une difficulté, puis en comprenant pourquoi la méthode fonctionne, que le cours devient vraiment tien.

Niveau 1 — Application directe
1

(un)(u_n) est arithmétique de premier terme u0=7u_0=7 et de raison r=−4r=-4. Calcule u15u_{15} puis S=u0+u1+⋯+u15S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}.

Voir le corrigé détaillé
  1. u15=u0+15ru_{15}=u_0+15r
  2. ==7+15×(−4)7+15\times(-4)
  3. ==−53-53
  4. S=16×u0+u152S=16\times\dfrac{u_0+u_{15}}{2}16 termes, de u0u_0 à u15u_{15}
  5. ==16×7−53216\times\dfrac{7-53}{2}
  6. ==−368-368
2

(un)(u_n) est géométrique de premier terme u0=2u_0=2 et de raison q=3q=3. Calcule u10u_{10} puis S=u0+u1+⋯+u10S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}.

Voir le corrigé détaillé
  1. u10=u0×310u_{10}=u_0\times3^{10}
  2. ==2×59 0492\times59\,049
  3. ==118 098118\,098
  4. S=2×1−3111−3S=2\times\dfrac{1-3^{11}}{1-3}
  5. ==311−13^{11}-1
  6. ==177 146177\,146
3

Soit un=3n2−2n+1u_n=3n^{2}-2n+1. Étudie le sens de variation de (un)(u_n) à l’aide de la différence un+1−unu_{n+1}-u_n.

Voir le corrigé détaillé
  1. un+1−un=[3(n+1)2−2(n+1)+1]−[3n2−2n+1]u_{n+1}-u_n = \left[3(n+1)^{2}-2(n+1)+1\right]-\left[3n^{2}-2n+1\right]
  2. ==6n+3−26n+3-2
  3. ==6n+16n+1

Pour tout n⩾0n\geqslant0, 6n+1⩾1>06n+1\geqslant1>0 : la suite (un)(u_n) est strictement croissante sur N\mathbb{N} tout entier.

4

Calcule les limites suivantes : lim⁡n→+∞(5−3n2)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(5-\dfrac{3}{n^{2}}\right) ; lim⁡n→+∞(n2+2n)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(n^{2}+2n\right) ; lim⁡n→+∞(1n−4)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt n}-4\right) ; lim⁡n→+∞(−2n3)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(-2n^{3}\right).

Voir le corrigé détaillé

Toutes s’obtiennent directement à partir des limites de référence, sans forme indéterminée :

  1. 3n2→0\dfrac{3}{n^{2}}\to0limite de référence
  2. ⇒\Rightarrow5−3n2→55-\dfrac{3}{n^{2}}\to5
  3. n2→+∞n^{2}\to+\infty et 2n→+∞2n\to+\infty
  4. ⇒\Rightarrown2+2n→+∞n^{2}+2n\to+\inftysomme de deux limites +∞+\infty
  5. 1n→0\dfrac{1}{\sqrt n}\to0
  6. ⇒\Rightarrow1n−4→−4\dfrac{1}{\sqrt n}-4\to-4
  7. n3→+∞n^{3}\to+\infty
  8. ⇒\Rightarrow−2n3→−∞-2n^{3}\to-\inftyproduit par une constante négative
5

Pour chacune des valeurs de qq suivantes, indique et justifie le comportement de la suite (qn)(q^{n}) : q=2q=2 ; q=0,3q=0{,}3 ; q=−0,5q=-0{,}5 ; q=−2q=-2 ; q=1q=1.

Voir le corrigé détaillé

D’après le théorème de la section 3 :

  • q=2>1q=2>1 : lim⁡n→+∞2n=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}2^{n}=+\infty ;
  • q=0,3q=0{,}3, et −1<0,3<1-1<0{,}3<1 : lim⁡n→+∞0,3n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}3^{n}=0 ;
  • q=−0,5q=-0{,}5, et −1<−0,5<1-1<-0{,}5<1 : lim⁡n→+∞(−0,5)n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(-0{,}5)^{n}=0 ;
  • q=−2⩽−1q=-2\leqslant-1 : la suite ((−2)n)\left((-2)^{n}\right) n’a pas de limite ;
  • q=1q=1 : la suite est constante, égale à 11.
Niveau 2 — Approfondissement
6

Soit u0=4u_0=4 et, pour tout nn, un+1=13un+4u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4. Détermine le point fixe ℓ\ell, montre que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique, exprime unu_n en fonction de nn, puis calcule lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n.

Voir le corrigé détaillé
  1. point fixe : ℓ=13ℓ+4\ell=\dfrac13\ell+4
  2. ⇒\Rightarrow23ℓ=4\dfrac23\ell=4
  3. ⇒\Rightarrowℓ=6\ell=6
  4. vn=un−6v_n=u_n-6 est géométrique de raison 13\dfrac13 (méthode section 5.2)
  5. v0=4−6=−2v_0=4-6=-2
  6. ⇒\Rightarrowvn=−2×(13)nv_n=-2\times\left(\dfrac13\right)^{n}
  7. ⇒\Rightarrowun=6−2×(13)nu_n=6-2\times\left(\dfrac13\right)^{n}

Comme −1<13<1-1<\dfrac13<1, (13)n→0\left(\dfrac13\right)^{n}\to0, donc lim⁡n→+∞un=6\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=6.

7

Soit un=2n+3n+2u_n=\dfrac{2n+3}{n+2}. Étudie la monotonie de (un)(u_n), montre qu’elle est majorée, et détermine lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n.

Voir le corrigé détaillé

Réécrivons unu_n en faisant apparaître une constante et un reste :

  1. un=2n+3n+2=2(n+2)−1n+2u_n = \dfrac{2n+3}{n+2} = \dfrac{2(n+2)-1}{n+2}
  2. ==2−1n+22-\dfrac{1}{n+2}

Sous cette forme, tout devient direct : 1n+2>0\dfrac{1}{n+2}>0 donc un<2u_n<2 pour tout nn : (un)(u_n) est majorée par 22. De plus 1n+2\dfrac{1}{n+2} est décroissante, donc −1n+2-\dfrac{1}{n+2} est croissante : (un)(u_n) est croissante. Enfin 1n+2→0\dfrac{1}{n+2}\to0, donc lim⁡n→+∞un=2\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2.

8

Démontre par récurrence que, pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*} : ∑k=1nk3=13+23+⋯+n3=(n(n+1)2)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.

Voir le corrigé détaillé

Initialisation (n=1n=1) : à gauche 13=11^{3}=1 ; à droite (1×22)2=1\left(\dfrac{1\times2}{2}\right)^{2}=1. Vérifié.

Hérédité. Supposons ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} pour un entier n⩾1n\geqslant1 fixé (HR).

  1. ∑k=1n+1k3=∑k=1nk3+(n+1)3\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^{3} = \sum_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}
  2. ==(n(n+1)2)2+(n+1)3\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}HR
  3. ==(n+1)2[n24+(n+1)](n+1)^{2}\left[\dfrac{n^{2}}{4}+(n+1)\right]on factorise par (n+1)2(n+1)^{2}
  4. ==(n+1)2×n2+4n+44(n+1)^{2}\times\dfrac{n^{2}+4n+4}{4}
  5. ==(n+1)2×(n+2)24(n+1)^{2}\times\dfrac{(n+2)^{2}}{4}
  6. ==((n+1)(n+2)2)2\left(\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^{2}

C’est la formule attendue au rang n+1n+1. Conclusion : par récurrence, la formule est vraie pour tout n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}.

9

Soient, pour n⩾1n\geqslant1, vn=4−1nv_n=4-\dfrac1n et wn=4+1nw_n=4+\dfrac1n. Montre que (vn)(v_n) et (wn)(w_n) sont adjacentes, et donne leur limite commune.

Voir le corrigé détaillé

1n\dfrac1n est décroissante, donc vn=4−1nv_n=4-\dfrac1n est croissante et wn=4+1nw_n=4+\dfrac1n est décroissante. Enfin :

  1. wn−vn=2nw_n-v_n = \dfrac2n
  2. →\to00

Les trois conditions sont réunies : (vn)(v_n) et (wn)(w_n) sont adjacentes, et convergent vers la même limite, immédiate ici : lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=4\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}w_n=4.

Niveau 3 — Type bac
10

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et, pour tout nn, un+1=un3+2u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3}+2.

  1. Démontre par récurrence que, pour tout nn, 0⩽un⩽un+1⩽30\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3.
  2. En déduire que (un)(u_n) converge.
  3. Détermine lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n.
Voir le corrigé détaillé

1. Récurrence. Notons P(n)P(n) : « 0⩽un⩽un+1⩽30\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3 ».

Initialisation (n=0n=0) : u0=0u_0=0, u1=03+2=2u_1=\dfrac03+2=2 : 0⩽0⩽2⩽30\leqslant0\leqslant2\leqslant3, vraie.

Hérédité. Supposons 0⩽un⩽un+1⩽30\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3 (HR) pour un entier nn fixé.

  1. 0⩽un⩽un+1⩽30\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant3HR
  2. ⇒\Rightarrow0⩽un3⩽un+13⩽10\leqslant\dfrac{u_n}{3}\leqslant\dfrac{u_{n+1}}{3}\leqslant1on divise par 3>03>0
  3. ⇒\Rightarrow2⩽un3+2⩽un+13+2⩽32\leqslant\dfrac{u_n}{3}+2\leqslant\dfrac{u_{n+1}}{3}+2\leqslant3on ajoute 22
  4. ⇒\Rightarrow2⩽un+1⩽un+2⩽32\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant3par définition de la suite
  5. ⇒\Rightarrow0⩽un+1⩽un+2⩽30\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant3car 2⩾02\geqslant0

C’est P(n+1)P(n+1). Par récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout nn.

2. P(n)P(n) donne un+1⩾unu_{n+1}\geqslant u_n : (un)(u_n) est croissante ; et un⩽3u_n\leqslant3 : elle est majorée. Croissante et majorée, elle converge (théorème de convergence monotone).

3. La fonction f(x)=x3+2f(x)=\dfrac{x}{3}+2 est continue : la limite ℓ\ell vérifie f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell, soit ℓ=ℓ3+2\ell=\dfrac{\ell}{3}+2, donc 2ℓ3=2\dfrac{2\ell}{3}=2, d’où ℓ=3\ell=3. Ainsi lim⁡n→+∞un=3\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3.

Escalier associé à uₙ₊₁ = uₙ/3 + 2 x y 1 2 3 1 2 3 0 y = f(x) = x/3+2 y = x u₀ u₁ u₂ ℓ = 3
Figure 6 — Escalier associé à l’exercice 10 : u0=0u_0=0, un+1=un3+2u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3}+2, fonction affine croissante, convergence vers le point fixe ℓ=3\ell=3.
11

Restitution organisée de connaissances. On suppose connu le théorème de convergence monotone. Démontre le théorème des gendarmes : si, à partir d’un certain rang, vn⩽un⩽wnv_n\leqslant u_n\leqslant w_n, et si (vn)(v_n) et (wn)(w_n) convergent vers une même limite ℓ\ell, alors (un)(u_n) converge vers ℓ\ell.

Voir le corrigé détaillé

Soit ε>0\varepsilon>0. Puisque vn→ℓv_n\to\ell, il existe N1N_1 tel que, pour tout n⩾N1n\geqslant N_1, ∣vn−ℓ∣<ε\left|v_n-\ell\right|<\varepsilon, c’est-à-dire ℓ−ε<vn\ell-\varepsilon<v_n. Puisque wn→ℓw_n\to\ell, il existe de même N2N_2 tel que, pour tout n⩾N2n\geqslant N_2, wn<ℓ+εw_n<\ell+\varepsilon. Soit n0n_0 le rang à partir duquel vn⩽un⩽wnv_n\leqslant u_n\leqslant w_n.

  1. pour tout n⩾max⁡(N1,N2,n0)n\geqslant\max(N_1,N_2,n_0) : ℓ−ε<vn⩽un⩽wn<ℓ+ε\ell-\varepsilon<v_n\leqslant u_n\leqslant w_n<\ell+\varepsilon
  2. ⇒\Rightarrow∣un−ℓ∣<ε\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon

On a montré : pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe un rang à partir duquel ∣un−ℓ∣<ε\left|u_n-\ell\right|<\varepsilon. C’est la définition de lim⁡n→+∞un=ℓ\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. C.Q.F.D.

12

Pour n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}, on pose un=∑k=0n1k!u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!} et vn=un+1n×n!v_n=u_n+\dfrac{1}{n\times n!} (avec 0!=10!=1).

  1. Justifie que (un)(u_n) est croissante.
  2. Démontre que vn+1−vn=−1n×n!×(n+1)2v_{n+1}-v_n=-\dfrac{1}{n\times n!\times(n+1)^{2}}, et conclus sur la monotonie de (vn)(v_n).
  3. Montre que (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes. On admet que leur limite commune est le nombre e\mathrm{e}. Calcule u4u_4 et v4v_4, et donne un encadrement de e\mathrm{e} d’amplitude inférieure à 0,020{,}02.
Voir le corrigé détaillé

1. un+1−un=1(n+1)!>0u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)!}>0 : chaque terme ajouté est strictement positif, donc (un)(u_n) est strictement croissante.

2.

  1. vn+1−vn=(un+1−un)+1(n+1)(n+1)!−1n×n!v_{n+1}-v_n = (u_{n+1}-u_n)+\dfrac{1}{(n+1)(n+1)!}-\dfrac{1}{n\times n!}
  2. ==1(n+1)!+1(n+1)(n+1)!−1n×n!\dfrac{1}{(n+1)!}+\dfrac{1}{(n+1)(n+1)!}-\dfrac{1}{n\times n!}
  3. ==1n![n+2(n+1)2−1n]\dfrac{1}{n!}\left[\dfrac{n+2}{(n+1)^{2}}-\dfrac{1}{n}\right]on met 1n!\dfrac1{n!} en facteur, avec (n+1)!=(n+1) n!(n+1)!=(n+1)\,n!
  4. ==1n!×n(n+2)−(n+1)2n(n+1)2\dfrac{1}{n!}\times\dfrac{n(n+2)-(n+1)^{2}}{n(n+1)^{2}}
  5. ==−1n×n!×(n+1)2-\dfrac{1}{n\times n!\times(n+1)^{2}}n(n+2)−(n+1)2=−1n(n+2)-(n+1)^2=-1

Cette quantité est strictement négative : (vn)(v_n) est strictement décroissante.

3. vn−un=1n×n!→0v_n-u_n=\dfrac{1}{n\times n!}\to0 : (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont donc adjacentes, et convergent vers la même limite, le nombre e\mathrm{e}.

  1. u4=1+1+12+16+124u_4 = 1+1+\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{24}
  2. ==2,708 32{,}708\,3
  3. v4=u4+14×24v_4 = u_4+\dfrac{1}{4\times24}
  4. ==2,708 3+0,010 42{,}708\,3+0{,}010\,4
  5. ==2,718 72{,}718\,7

Comme (un)(u_n) croît et (vn)(v_n) décroît vers e\mathrm{e} : 2,708 3<e<2,718 72{,}708\,3<\mathrm{e}<2{,}718\,7, un encadrement d’amplitude 0,010 4<0,020{,}010\,4<0{,}02.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Un emprunt à Dakar. Fatou emprunte 500 000500\,000 F CFA auprès de sa banque à Dakar. Chaque mois, la banque ajoute 1 %1\,\% d’intérêt au capital restant dû, puis Fatou verse 30 00030\,000 F CFA. On note unu_n le capital restant dû après le nn-ième versement, avec u0=500 000u_0=500\,000.

  1. Justifie que un+1=1,01 un−30 000u_{n+1}=1{,}01\,u_n-30\,000, et détermine le point fixe ℓ\ell de cette relation.
  2. Exprime unu_n en fonction de nn.
  3. Détermine le nombre de mensualités nécessaires pour que le prêt soit intégralement remboursé (un⩽0u_n\leqslant0).
Voir le corrigé détaillé

1. Intérêt puis versement : un+1=1,01 un−30 000u_{n+1}=1{,}01\,u_n-30\,000.

  1. ℓ=1,01 ℓ−30 000\ell=1{,}01\,\ell-30\,000
  2. ⇒\Rightarrow0,01 ℓ=30 0000{,}01\,\ell=30\,000
  3. ⇒\Rightarrowℓ=3 000 000\ell=3\,000\,000

2. vn=un−3 000 000v_n=u_n-3\,000\,000 est géométrique de raison 1,011{,}01, de premier terme v0=500 000−3 000 000=−2 500 000v_0=500\,000-3\,000\,000=-2\,500\,000.

  1. vn=−2 500 000×1,01nv_n=-2\,500\,000\times1{,}01^{n}
  2. ⇒\Rightarrowun=3 000 000−2 500 000×1,01nu_n=3\,000\,000-2\,500\,000\times1{,}01^{n}

3. On cherche le plus petit nn tel que un⩽0u_n\leqslant0, soit 1,01n⩾1,21{,}01^{n}\geqslant1{,}2. Le calcul donne u18≈9 500>0u_{18}\approx9\,500>0 et u19≈−20 250<0u_{19}\approx-20\,250<0 : le prêt est intégralement remboursé au cours du 19ᵉ mois (un peu plus d’un an et demi).

14

Un ballon qui rebondit, à Abidjan. Sur un terrain de basket, un ballon est lâché d’une hauteur de 33 m. À chaque rebond, il remonte à 60 %60\,\% de la hauteur précédente. On note hnh_n la hauteur atteinte après le nn-ième rebond, pour n⩾1n\geqslant1.

  1. Justifie que (hn)(h_n) est géométrique, et calcule h5h_5.
  2. Exprime Sn=h1+h2+⋯+hnS_n=h_1+h_2+\cdots+h_n en fonction de nn.
  3. Détermine lim⁡n→+∞Sn\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n.
Voir le corrigé détaillé

1. hn=3×0,6nh_n=3\times0{,}6^{n} (géométrique de raison 0,60{,}6).

  1. h5=3×0,65h_5=3\times0{,}6^{5}
  2. ==3×0,077 763\times0{,}077\,76
  3. ≈\approx0,2330{,}233 m

2.

  1. Sn=3×0,6×1−0,6n1−0,6S_n = 3\times0{,}6\times\dfrac{1-0{,}6^{n}}{1-0{,}6}somme géométrique, premier terme h1=1,8h_1=1{,}8, raison 0,60{,}6
  2. ==4,5×(1−0,6n)4{,}5\times\left(1-0{,}6^{n}\right)

3. Comme −1<0,6<1-1<0{,}6<1, 0,6n→00{,}6^{n}\to0, donc lim⁡n→+∞Sn=4,5\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=4{,}5 m : la somme des hauteurs de rebond ne dépassera jamais 4,54{,}5 mètres.

15

Un étang près de Ndjamena. Un pisciculteur exploite un étang qui compte u0=500u_0=500 poissons. Chaque année, 10 %10\,\% du stock disparaît (pêche, mortalité), et il réintroduit 200200 alevins.

  1. Justifie que un+1=0,9 un+200u_{n+1}=0{,}9\,u_n+200, et détermine le point fixe ℓ\ell.
  2. Montre que vn=un−ℓv_n=u_n-\ell est géométrique, puis exprime unu_n en fonction de nn.
  3. Étudie la convergence de (un)(u_n) et interprète le résultat pour le pisciculteur.
Voir le corrigé détaillé
  1. ℓ=0,9 ℓ+200\ell=0{,}9\,\ell+200
  2. ⇒\Rightarrow0,1 ℓ=2000{,}1\,\ell=200
  3. ⇒\Rightarrowℓ=2 000\ell=2\,000

2. vn=un−2 000v_n=u_n-2\,000 est géométrique de raison 0,90{,}9, de premier terme v0=500−2 000=−1 500v_0=500-2\,000=-1\,500.

  1. vn=−1 500×0,9nv_n=-1\,500\times0{,}9^{n}
  2. ⇒\Rightarrowun=2 000−1 500×0,9nu_n=2\,000-1\,500\times0{,}9^{n}

3. Comme −1<0,9<1-1<0{,}9<1, 0,9n→00{,}9^{n}\to0, donc lim⁡n→+∞un=2 000\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\,000 : le stock de poissons, toujours croissant depuis 500500, se stabilise durablement autour de 2 0002\,000 individus — un équilibre entre prélèvement et réintroduction.

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Une suite (un)(u_n) est arithmétique de raison rr lorsque, pour tout nn :

Explication : Une suite arithmétique passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison rr.

Une suite (un)(u_n) est majorée s'il existe un réel MM tel que :

Explication : MM est un majorant : tous les termes de la suite restent inférieurs ou égaux à MM.

La suite un=(−1)nu_n = (-1)^n est bornée mais :

Explication : Une suite bornée ne converge pas forcément : (−1)n(-1)^n oscille indéfiniment entre −1-1 et 11 sans jamais se stabiliser, elle n'a pas de limite.

Dire que lim⁡n→+∞un=ℓ\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell signifie que :

Explication : C'est la définition rigoureuse de la convergence : aussi petit que soit l'intervalle autour de ℓ\ell, tous les termes finissent par y entrer et y rester.

Parmi ces quatre formes, laquelle est une forme indéterminée ?

Explication : Les quatre formes indéterminées sont ∞−∞\infty-\infty, 0×∞0\times\infty, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} et 00\dfrac00 : elles exigent de transformer l'écriture avant de conclure.

Soit qq un réel avec −1<q<1-1<q<1. Que vaut lim⁡n→+∞qn\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n ?

Explication : Pour −1<q<1-1<q<1, la suite géométrique (qn)(q^n) tend vers 00. C'est différent du cas q⩽−1q\leqslant-1, où la suite n'a pas de limite.

Calcule lim⁡n→+∞3n2−5n+12n2+7\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2-5n+1}{2n^2+7}.

Explication : On factorise haut et bas par n2n^2, le terme dominant :
3−5/n+1/n22+7/n2\dfrac{3-5/n+1/n^2}{2+7/n^2}
les termes en 1/n1/n tendent vers 00, il reste 32\dfrac32.

Pour lever la forme ∞−∞\infty-\infty dans n+1−n\sqrt{n+1}-\sqrt n, la technique standard est de :

Explication : Multiplier par n+1+nn+1+n\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} transforme la différence de racines en 1n+1+n\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}, qui tend vers 00.

Pour tout entier k⩾1k\geqslant1 et tout réel q>1q>1, les croissances comparées donnent :

Explication : Une suite géométrique de raison q>1q>1 finit toujours par « écraser » n'importe quelle puissance de nn : qnnk→+∞\dfrac{q^n}{n^k}\to+\infty.

Soient (un)(u_n), (vn)(v_n), (wn)(w_n) telles que vn⩽un⩽wnv_n\leqslant u_n\leqslant w_n à partir d'un certain rang, avec (vn)(v_n) et (wn)(w_n) convergeant vers la même limite ℓ\ell. Le théorème des gendarmes affirme que :

Explication : Coincée entre deux suites de même limite ℓ\ell, (un)(u_n) est forcée de converger elle aussi vers ℓ\ell.

D'après le théorème de convergence monotone (admis), toute suite croissante et majorée :

Explication : C'est le théorème central de la section 4 : toute suite croissante et majorée converge (de même, décroissante et minorée). Il affirme l'existence de la limite, sans en donner la valeur.

Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et ff est continue en ℓ\ell, avec un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), alors ℓ\ell vérifie nécessairement :

Explication : ℓ\ell est un point fixe de ff. Attention au piège classique : cette propriété ne prouve pas que la suite converge, elle dit seulement ce que vaudrait la limite si elle existe.

Pour un+1=0,5 un+3u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3 avec u0=1u_0=1, on pose vn=un−ℓv_n=u_n-\ell où ℓ\ell est le point fixe. La suite (vn)(v_n) est alors :

Explication : Pour une suite arithmético-géométrique un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b, la suite auxiliaire vn=un−ℓv_n=u_n-\ell (avec ℓ\ell point fixe) est toujours géométrique de raison aa, ici a=0,5a=0{,}5.

Dans la construction graphique d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), si ff est décroissante, l'allure typique est :

Explication : Quand ff est décroissante, f∘ff\circ f est croissante : les rangs pairs et impairs sont chacun monotones en sens contraire, et la construction dessine une spirale (colimaçon) autour du point fixe.

Dans un raisonnement par récurrence pour établir P(n)P(n) à partir du rang n0n_0, l'étape « hérédité » consiste à démontrer que :

Explication : L'hérédité montre que la propriété se transmet d'un rang au suivant, en utilisant l'hypothèse de récurrence (HR) : P(n)P(n) vraie ⇒P(n+1)\Rightarrow P(n+1) vraie.

Un piège classique en récurrence est de rédiger l'hérédité sans jamais utiliser :

Explication : Si la preuve de P(n+1)P(n+1) ne se sert jamais de l'hypothèse P(n)P(n) (HR), ce n'est pas une véritable récurrence.

Deux suites (vn)(v_n) et (wn)(w_n) sont dites adjacentes lorsque :

Explication : C'est la définition des suites adjacentes : l'une croissante, l'autre décroissante, et leur différence tend vers 00.

Deux suites adjacentes convergent toujours :

Explication : C'est le théorème des suites adjacentes : les deux suites convergent, et elles convergent vers la même limite ℓ\ell.

Un capital de 100 000100\,000 F CFA est placé à intérêt composé au taux annuel de 5 %5\,\%, avec unu_n le capital après nn années. Quelle relation de récurrence vérifie (un)(u_n) ?

Explication : Chaque année, le capital augmente de 5 %5\,\% : un+1=un+0,05un=1,05 unu_{n+1}=u_n+0{,}05u_n=1{,}05\,u_n, une suite géométrique de raison 1,051{,}05.

Soit un=nn+1u_n=\dfrac{n}{n+1}. Pour montrer que (un)(u_n) est croissante avec la méthode du quotient, on doit comparer un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à :

Explication : Pour une suite à termes strictement positifs, la méthode du quotient compare un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11 : ici ce quotient vaut (n+1)2n(n+2)>1\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}>1, donc la suite est strictement croissante.
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