Fonction exponentielle

Depuis le début de l'année, tu maîtrises le logarithme népérien : cette fonction $\ln$ qui transforme les produits en sommes, et qui permet de « redescendre » d'une puissance vers son exposant. Ce chapitre te présente sa fonction réciproque : la fonction exponentielle. Là où $\ln$ part d'un nombre strictement positif et renvoie un réel quelconque, l'exponentielle part d'un réel quelconque et renvoie toujours un nombre strictement positif. Les deux fonctions sont les deux faces d'une même pièce, et tu vas apprendre à passer sans effort de l'une à l'autre.

L'exponentielle n'est pas un objet abstrait réservé à la salle de classe : elle est la loi mathématique de tout ce qui croît ou décroît proportionnellement à ce qu'il est déjà. Une population qui grandit d'autant plus vite qu'elle est déjà nombreuse, une substance radioactive qui perd d'autant plus de noyaux qu'il lui en reste, un capital qui rapporte d'autant plus d'intérêts qu'il est déjà élevé : dans chacune de ces situations, une seule et même fonction gouverne l'évolution du phénomène. C'est elle que tu étudies dans ce chapitre, avec quatre exemples de modélisation concrets en section 7.

Au baccalauréat, la fonction exponentielle est incontournable : elle apparaît presque chaque année, seule ou combinée à d'autres fonctions, dans des études complètes (limites, dérivée, variations, tangentes) et dans des problèmes de modélisation. Les techniques que tu vas maîtriser ici — propriétés algébriques, dérivée de $\mathrm{e}^{u}$, résolution d'équations et d'inéquations — sont réutilisées dans presque tous les chapitres qui suivent, en particulier celui sur les équations différentielles.

Ce qui change par rapport à tes habitudes : jusqu'ici, une équation comme $\mathrm{e}^{x} = 5$ restait hors de portée. Désormais, plus aucune équation de ce type ne te résiste : la fonction exponentielle, en tant que bijection, te donne le droit de composer par $\ln$ aussi naturellement que tu élèves au carré ou que tu prends une racine carrée. Prends ton temps sur la section 1 : toute la suite du chapitre en découle directement.

1Définition et propriétés algébriques

1.1  Rappel : le théorème de la bijection appliqué à $\ln$

Dans le chapitre sur le logarithme népérien, tu as établi que $\ln$ est continue et strictement croissante sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, avec $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

Appliqué à $\ln$ sur $I = \left]0\,;\,+\infty\right[$, ce théorème affirme que $\ln$ est une bijection de $\left]0\,;\,+\infty\right[$ sur $\mathbb{R}$ (l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle, et les deux limites infinies donnent $\ln(I)=\mathbb{R}$ tout entier). Autrement dit : pour tout réel $x$, l'équation $\ln(y) = x$, d'inconnue $y>0$, admet une unique solution. C'est cette unique solution que l'on va nommer.

1.2  La fonction exponentielle

1.3  Les nombres $\exp(0)$, $\exp(1)$ et l'écriture $\mathrm{e}^{x}$

Comme $\ln(1)=0$, la définition donne directement $\exp(0)=1$. Dans le chapitre précédent, tu as défini le nombre $\mathrm{e}$ comme l'unique réel positif tel que $\ln(\mathrm{e})=1$ (avec $\mathrm{e}\approx2{,}718\,28$) ; la définition donne alors $\exp(1)=\mathrm{e}$.

La propriété algébrique $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}=\mathrm{e}^{na}$, démontrée au paragraphe suivant, montre que $\exp(x)$ coïncide, pour $x$ entier, avec la puissance $n$-ième de $\mathrm{e}$ au sens usuel. Cette cohérence autorise, pour tout réel $x$, à remplacer l'écriture $\exp(x)$ par l'écriture en puissance : on note désormais $\mathrm{e}^{x}$ le nombre $\exp(x)$. On retiendra en particulier :

$$\mathrm{e}^{0}=1 \qquad \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e} \qquad \ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x\ (x\in\mathbb{R}) \qquad \mathrm{e}^{\ln x}=x\ (x>0)$$

1.4  Propriétés algébriques

Comme le logarithme, la fonction exponentielle transforme une opération en une autre : elle envoie les sommes sur des produits — c'est l'opération inverse de celle de $\ln$.

2Limites et croissance comparée

2.1  Une inégalité fondamentale

Pour étudier le comportement de l'exponentielle en $+\infty$ et en $-\infty$, on part d'une inégalité déjà rencontrée dans le chapitre sur $\ln$ : pour tout réel $X>0$, $\ln(X)\leqslant X-1$, avec égalité si et seulement si $X=1$.

2.2  Limites en $+\infty$ et en $-\infty$

Géométriquement, cette seconde limite signifie que la courbe de la fonction exponentielle admet la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) comme asymptote horizontale en $-\infty$ (voir la courbe, section 4).

2.3  Croissances comparées

En $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur n'importe quelle puissance de $x$ : même si $x^{n}$ part très vite, $\mathrm{e}^{x}$ finit toujours par le dépasser durablement. C'est ce que précisent les croissances comparées.

Généralisation (admise). La méthode de la première limite s'adapte à n'importe quelle puissance : pour tout entier naturel $n\geqslant1$,

$$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}} = +\infty \qquad\qquad \displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^{n}\,\mathrm{e}^{x} = 0$$

On dit que l'exponentielle l'emporte sur toutes les puissances de $x$. C'est ce que montre la figure 1, avec $n=3$.

3Dérivée de $\mathrm{e}^{u}$

3.1  Dérivée de la fonction exponentielle

Cette égalité est unique en son genre : $\exp$ est, à un facteur multiplicatif près, la seule fonction égale à sa propre dérivée — propriété que tu retrouveras si tu étudies les équations différentielles (section 7).

3.2  Dérivée de $\mathrm{e}^{u}$

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{u(x)}$ est la composée de $u$ par la fonction exponentielle. En appliquant la formule de dérivation d'une composée, $(g\circ u)'=u'\times(g'\circ u)$, avec $g=\exp$ et $g'=\exp$, on obtient :

4Étude de la fonction exponentielle

4.1  Sens de variation et tableau de variations

Rassemblons les résultats des sections précédentes : la fonction exponentielle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $\left(\mathrm{e}^{x}\right)'=\mathrm{e}^{x}$, strictement positive pour tout $x$ (section 1). Le signe de la dérivée donne directement le sens de variation.

Cette stricte croissance a une conséquence immédiate, très utilisée dans les sections 5 et 6 :

4.2  Tangentes remarquables

La tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$, soit ici $y=\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{a}(x-a)=\mathrm{e}^{a}(x-a+1)$, puisque $f=f'=\exp$.

Deux remarques méritent d'être retenues. D'abord, $T_{0}$ a pour coefficient directeur $1$ : c'est exactement la limite $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=1$ établie en section 2, puisque ce taux de variation en $0$ est le nombre dérivé $\exp'(0)$. Ensuite, fait remarquable, $T_{1}$ a pour équation $y=\mathrm{e}\,x$ : elle passe par l'origine $O$ du repère.

4.3  Symétrie avec la courbe de $\ln$

Les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont réciproques l'une de l'autre : un point $M(x\,;\,y)$ appartient à la courbe de $\exp$ si et seulement si $y=\mathrm{e}^{x}$, c'est-à-dire $x=\ln y$, c'est-à-dire que le point $M'(y\,;\,x)$ — symétrique de $M$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ — appartient à la courbe de $\ln$.

5Équations et inéquations

5.1  Égalités et comparaisons directes

La stricte croissance de l'exponentielle (section 4) permet de résoudre directement de nombreuses équations et inéquations, sans jamais recourir à $\ln$.

5.2  Équations et inéquations du type $\mathrm{e}^{u(x)} = k$

5.3  Équations polynomiales en $\mathrm{e}^{x}$ : la substitution $X=\mathrm{e}^{x}$

Certaines équations font apparaître $\mathrm{e}^{x}$ et $\mathrm{e}^{2x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}$ : on les ramène à une équation du second degré grâce au changement d'inconnue $X=\mathrm{e}^{x}$.

6Exponentielle de base $a$

6.1  Définition

Tu connais déjà $a^{n}$ pour $a>0$ et $n$ entier. Comment donner un sens à $a^{x}$ lorsque $x$ est un réel quelconque, par exemple $2^{\sqrt{2}}$ ? L'exponentielle permet de répondre.

Pour $a=\mathrm{e}$, on retrouve $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x\ln\mathrm{e}}=\mathrm{e}^{x\times1}=\mathrm{e}^{x}$ : cohérent. Les propriétés algébriques de la section 1 se transmettent sans changement : pour $a,b>0$ et $x,y\in\mathbb{R}$, $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$, $a^{-x}=\dfrac{1}{a^{x}}$, $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{xy}$, $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$.

6.2  Étude selon la valeur de $a$

Soit $a>0$. La fonction $x\mapsto a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a}$ est la composée de $x\mapsto x\ln a$ (affine) par $\exp$ ; elle est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Comme $a^{x}>0$ toujours, le signe de la dérivée est celui de $\ln a$, ce qui détermine entièrement le sens de variation :

Dans tous les cas, $a^{0}=1$ : toutes les courbes passent par le point $(0\,;\,1)$, comme le montre la figure 4.

7Modélisation

7.1  L'équation $y'=ky$

De nombreux phénomènes évoluent à une vitesse proportionnelle à la quantité déjà présente : plus il y a de bactéries, plus la population croît vite ; plus il reste de noyaux radioactifs, plus il s'en désintègre par seconde. Mathématiquement, cela s'écrit $y'=ky$, où $y$ est la quantité étudiée en fonction du temps $t$, et $k$ une constante réelle.