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Fonctions puissances et croissances comparées

Comparer les vitesses de croissance des fonctions usuelles.

Mathématiques Terminale Chapitre 6 / 19 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Utiliser les croissances comparées pour lever une indétermination
  • Étudier une fonction puissance
  • Justifier le comportement asymptotique

Depuis la seconde, tu manipules des puissances : x2x^{2}, x3x^{3}, x−1x^{-1}, et depuis peu x\sqrt{x}, que l’on peut voir comme « xx puissance 12\dfrac{1}{2} ». Mais que pourrait bien signifier 2π2^{\pi}, ou x2x^{\sqrt{2}} ? Multiplier xx par lui-même « 2\sqrt{2} fois » n’a aucun sens… et pourtant ta calculatrice affiche une valeur sans hésiter. Le secret, tu le possèdes déjà : ce sont les fonctions ln⁡\ln et exp⁡\exp, rencontrées dans les chapitres précédents. Grâce à la formule xα=eαln⁡xx^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x}, l’exposant devient n’importe quel nombre réel, et toutes les puissances que tu connais se rangent dans une seule et même famille : les fonctions puissances.

Ce chapitre répond ensuite à une question fondamentale : quand xx tend vers +∞+\infty, les fonctions ln⁡x\ln x, xαx^{\alpha} et ex\mathrm{e}^{x} tendent toutes vers +∞+\infty… mais pas à la même vitesse. Qui gagne la course ? Les théorèmes de croissances comparées donnent le classement définitif : l’exponentielle écrase toute puissance, et toute puissance écrase le logarithme. C’est l’outil décisif pour lever les formes indéterminées « ∞−∞\infty - \infty », « ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} » ou « 0×∞0 \times \infty » qui apparaissent dans presque tous les problèmes d’analyse du bac.

Ces idées dépassent largement la salle de classe : croissance d’une population ou d’un capital placé à intérêts composés, lois d’échelle en biologie, temps de calcul des algorithmes, décroissance radioactive… Partout où une grandeur évolue, la première question d’un scientifique est : « à quelle vitesse ? ». À la fin du chapitre, tu sauras y répondre avec des théorèmes, et non avec des impressions.

1Fonction x↦xαx \mapsto x^{\alpha}

Tout part d’une idée simple : pour x>0x > 0, on sait que x=eln⁡xx = \mathrm{e}^{\ln x}. En élevant à la puissance nn, on obtient xn=enln⁡xx^{n} = \mathrm{e}^{n \ln x}. Rien n’empêche alors de remplacer l’entier nn par un réel quelconque α\alpha : la formule garde un sens, puisque αln⁡x\alpha \ln x est un réel et que l’exponentielle est définie sur R\mathbb{R} tout entier.

1.1  Définition et premières conséquences

Définition

Soit α\alpha un nombre réel. La fonction puissance d’exposant α\alpha est la fonction définie sur ]0 ;+∞[\left] 0 \, ; +\infty \right[ par :

xα=eαln⁡xx^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x}

En particulier xα>0x^{\alpha} > 0 pour tout x>0x > 0, car une exponentielle est toujours strictement positive.

Cette définition est cohérente avec tout ce que tu sais déjà. Vérifions-le sur deux cas familiers.

Exemple — la définition retrouve les anciennes puissances

Pour un exposant entier, par exemple α=3\alpha = 3 :

  1. e3ln⁡x=(eln⁡x)3\mathrm{e}^{3 \ln x} = \left(\mathrm{e}^{\ln x}\right)^{3}propriété e3a=(ea)3\mathrm{e}^{3a} = (\mathrm{e}^{a})^{3}
  2. ==x3x^{3}car eln⁡x=x\mathrm{e}^{\ln x} = x

Pour α=12\alpha = \dfrac{1}{2} : posons u=e12ln⁡xu = \mathrm{e}^{\frac{1}{2} \ln x}.

  1. u2=e12ln⁡x×e12ln⁡xu^{2} = \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\ln x} \times \mathrm{e}^{\frac{1}{2}\ln x}
  2. ==eln⁡x\mathrm{e}^{\ln x}ea eb=ea+b\mathrm{e}^{a}\,\mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a+b}
  3. ==xx
  4. ⇒\Rightarrowu=xu = \sqrt{x}u>0u > 0 et u2=xu^{2} = x : c’est la définition de la racine carrée

Ainsi x1/2=xx^{1/2} = \sqrt{x} : la nouvelle définition prolonge fidèlement l’ancienne.

Attention — l’exposant réel exige x>0x > 0

L’écriture xα=eαln⁡xx^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x} impose x>0x > 0, car ln⁡x\ln x n’existe que pour x>0x > 0. Ainsi (−2)2(-2)^{\sqrt{2}} n’a aucun sens, et 0α0^{\alpha} n’est pas défini par la formule. Lorsque α>0\alpha > 0, on convient de prolonger par continuité en posant 0α=00^{\alpha} = 0 ; en revanche 000^{0} reste indéfini. Réserve donc les exposants réels aux nombres strictement positifs — les puissances entières, elles, gardent leur sens pour tout xx.

Exemple — calculer une puissance d’exposant réel
  1. 2π=eπln⁡22^{\pi} = \mathrm{e}^{\pi \ln 2}
  2. ==e3,1416×0,6931\mathrm{e}^{3{,}1416 \times 0{,}6931}valeurs approchées
  3. ≈\approxe2,1776≈8,82\mathrm{e}^{2{,}1776} \approx 8{,}82
  4. 52=e2ln⁡55^{\sqrt{2}} = \mathrm{e}^{\sqrt{2} \ln 5}
  5. ≈\approxe1,4142×1,6094≈e2,2763\mathrm{e}^{1{,}4142 \times 1{,}6094} \approx \mathrm{e}^{2{,}2763}
  6. ≈\approx9,749{,}74

C’est exactement ce que fait ta calculatrice quand tu tapes la touche des puissances : elle passe par ln⁡\ln puis par exp⁡\exp.

1.2  Propriétés algébriques

Bonne nouvelle : toutes les règles de calcul sur les puissances entières restent vraies pour les exposants réels. Elles se déduisent des propriétés de exp⁡\exp et ln⁡\ln.

Propriété — règles de calcul

Pour tous réels x>0x > 0, y>0y > 0 et tous réels α\alpha, β\beta :

  • xα×xβ=xα+βx^{\alpha} \times x^{\beta} = x^{\alpha + \beta} et xαxβ=xα−β\dfrac{x^{\alpha}}{x^{\beta}} = x^{\alpha - \beta} ;
  • (xα)β=xαβ\left(x^{\alpha}\right)^{\beta} = x^{\alpha\beta} ;
  • (xy)α=xα yα(xy)^{\alpha} = x^{\alpha}\, y^{\alpha} et (xy)α=xαyα\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\alpha} = \dfrac{x^{\alpha}}{y^{\alpha}} ;
  • x−α=1xαx^{-\alpha} = \dfrac{1}{x^{\alpha}}, et x0=1x^{0} = 1, 1α=11^{\alpha} = 1 ;
  • ln⁡(xα)=αln⁡x\ln\left(x^{\alpha}\right) = \alpha \ln x.
Démonstration (deux règles, les autres sont analogues)

Produit.

  1. xα×xβ=eαln⁡x×eβln⁡xx^{\alpha} \times x^{\beta} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x} \times \mathrm{e}^{\beta \ln x}définition
  2. ==eαln⁡x+βln⁡x\mathrm{e}^{\alpha \ln x + \beta \ln x}ea eb=ea+b\mathrm{e}^{a}\,\mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a+b}
  3. ==e(α+β)ln⁡x\mathrm{e}^{(\alpha + \beta)\ln x}
  4. ==xα+βx^{\alpha + \beta}définition, lue à l’envers

Logarithme d’une puissance.

  1. ln⁡(xα)=ln⁡(eαln⁡x)\ln\left(x^{\alpha}\right) = \ln\left(\mathrm{e}^{\alpha \ln x}\right)
  2. ==αln⁡x\alpha \ln xln⁡(ea)=a\ln(\mathrm{e}^{a}) = a pour tout réel aa

La règle (xα)β=xαβ\left(x^{\alpha}\right)^{\beta} = x^{\alpha\beta} s’obtient en combinant les deux : (xα)β=eβln⁡(xα)=eαβln⁡x\left(x^{\alpha}\right)^{\beta} = \mathrm{e}^{\beta \ln (x^{\alpha})} = \mathrm{e}^{\alpha\beta \ln x}. C.Q.F.D.

Méthode — résoudre une équation xα=kx^{\alpha} = k

Pour k>0k > 0 et α≠0\alpha \neq 0, on applique ln⁡\ln aux deux membres (les deux sont strictement positifs), ce qui « fait descendre » l’exposant : αln⁡x=ln⁡k\alpha \ln x = \ln k. On isole ln⁡x\ln x, puis on repasse à l’exponentielle. La solution est unique : x=k1/αx = k^{1/\alpha}.

Exemple — résoudre x2,5=100x^{2{,}5} = 100 sur ]0 ;+∞[\left]0\,; +\infty\right[
  1. x2,5=100x^{2{,}5} = 100
  2.   ⟺  \iff2,5ln⁡x=ln⁡1002{,}5 \ln x = \ln 100on applique ln⁡\ln, strictement croissante
  3.   ⟺  \iffln⁡x=ln⁡1002,5\ln x = \dfrac{\ln 100}{2{,}5}
  4.   ⟺  \iffx=eln⁡1002,5=1001/2,5x = \mathrm{e}^{\frac{\ln 100}{2{,}5}} = 100^{1/2{,}5}
  5. ==1000,4=100,8100^{0{,}4} = 10^{0{,}8}car 100=102100 = 10^{2} et 2×0,4=0,82 \times 0{,}4 = 0{,}8
  6. ≈\approx6,316{,}31
Exemple — comparer 232^{\sqrt{3}} et 323^{\sqrt{2}} sans calculatrice de valeurs

On compare les logarithmes, car ln⁡\ln conserve l’ordre des nombres strictement positifs.

  1. ln⁡(23)=3ln⁡2≈1,732×0,693≈1,200\ln\left(2^{\sqrt{3}}\right) = \sqrt{3} \ln 2 \approx 1{,}732 \times 0{,}693 \approx 1{,}200
  2. ln⁡(32)=2ln⁡3≈1,414×1,099≈1,554\ln\left(3^{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \ln 3 \approx 1{,}414 \times 1{,}099 \approx 1{,}554
  3. ⇒\Rightarrowln⁡(23)<ln⁡(32)\ln\left(2^{\sqrt{3}}\right) < \ln\left(3^{\sqrt{2}}\right)
  4. ⇒\Rightarrow23<322^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}ln⁡\ln est strictement croissante

1.3  Dérivée, variations et limites

Théorème — dérivée d’une fonction puissance

Pour tout réel α\alpha, la fonction f:x↦xαf : x \mapsto x^{\alpha} est dérivable sur ]0 ;+∞[\left]0\,; +\infty\right[ et :

f′(x)=α xα−1f'(x) = \alpha\, x^{\alpha - 1}

La formule que tu connais pour xnx^{n} est donc valable pour tout exposant réel.

Démonstration

La fonction ff est la composée x↦αln⁡x↦eαln⁡xx \mapsto \alpha \ln x \mapsto \mathrm{e}^{\alpha \ln x}, dérivable sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ comme composée de fonctions dérivables. La formule (eu)′=u′ eu\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\,\mathrm{e}^{u} donne :

  1. f′(x)=(αln⁡x)′×eαln⁡xf'(x) = \left(\alpha \ln x\right)' \times \mathrm{e}^{\alpha \ln x}
  2. ==αx×xα\dfrac{\alpha}{x} \times x^{\alpha}(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x} et définition de xαx^{\alpha}
  3. ==α xα x−1\alpha\, x^{\alpha}\, x^{-1}
  4. ==α xα−1\alpha\, x^{\alpha - 1}règle xaxb=xa+bx^{a}x^{b} = x^{a+b} — C.Q.F.D.
Propriété — sens de variation et limites

Sur ]0 ;+∞[\left]0\,; +\infty\right[ :

  • si α>0\alpha > 0 : x↦xαx \mapsto x^{\alpha} est strictement croissante, avec lim⁡x→0+xα=0\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{\alpha} = 0 et lim⁡x→+∞xα=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{\alpha} = +\infty ;
  • si α<0\alpha < 0 : x↦xαx \mapsto x^{\alpha} est strictement décroissante, avec lim⁡x→0+xα=+∞\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{\alpha} = +\infty et lim⁡x→+∞xα=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{\alpha} = 0 ;
  • si α=0\alpha = 0 : la fonction est constante égale à 11.
Démonstration

Le signe de f′(x)=α xα−1f'(x) = \alpha\,x^{\alpha - 1} est celui de α\alpha, car xα−1=e(α−1)ln⁡x>0x^{\alpha - 1} = \mathrm{e}^{(\alpha - 1)\ln x} > 0. D’où les variations. Pour les limites, on raisonne par composition avec α>0\alpha > 0 :

  1. quand x→+∞x \to +\infty : αln⁡x→+∞\alpha \ln x \to +\inftyln⁡x→+∞\ln x \to +\infty et α>0\alpha > 0
  2. ⇒\Rightarrowxα=eαln⁡x→+∞x^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x} \to +\inftylim⁡X→+∞eX=+∞\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \mathrm{e}^{X} = +\infty
  3. quand x→0+x \to 0^{+} : αln⁡x→−∞\alpha \ln x \to -\infty
  4. ⇒\Rightarrowxα=eαln⁡x→0x^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x} \to 0lim⁡X→−∞eX=0\displaystyle\lim_{X \to -\infty} \mathrm{e}^{X} = 0

Le cas α<0\alpha < 0 s’en déduit en écrivant xα=1x−αx^{\alpha} = \dfrac{1}{x^{-\alpha}} avec −α>0-\alpha > 0. C.Q.F.D.

xx00+∞+\infty
xαx^{\alpha}, cas α>0\alpha > 000↗+∞+\infty
xαx^{\alpha}, cas α<0\alpha < 0+∞+\infty↘00

L’allure des courbes dépend finement de la position de α\alpha par rapport à 00 et à 11. Observe la figure : toutes les courbes passent par le point (1 ;1)(1\,;1), car 1α=11^{\alpha} = 1 pour tout α\alpha.

Courbes des fonctions puissances pour cinq valeurs de α 123120xy (1 ; 1) α = 2α = 1α = 0,5α = 1/3α = −1
Figure 1 — Le faisceau des courbes y=xαy = x^{\alpha}. Toutes passent par (1 ;1)(1\,;1). Pour α>1\alpha > 1 la courbe part de 00 « à plat » puis file vers le haut ; pour 0<α<10 < \alpha < 1 elle démarre verticalement en 00 puis s’aplatit ; pour α<0\alpha < 0 elle décroît avec les deux axes pour asymptotes.
À retenir sur l’allure : près de 00, plus α\alpha est petit, plus la courbe est haute ; après 11, c’est l’inverse : plus α\alpha est grand, plus la courbe grimpe vite. En 00, la demi-tangente est horizontale si α>1\alpha > 1 et verticale si 0<α<10 < \alpha < 1 — compare y=x2y = x^{2} et y=xy = \sqrt{x}, symétriques par rapport à la droite y=xy = x.
Math & Co — Deux siècles pour apprivoiser l’exposant

La notation x3x^{3} avec l’exposant « en l’air » apparaît en 1637 dans La Géométrie de René Descartes. Mais c’est Isaac Newton qui ose généraliser : dans deux lettres célèbres adressées à Leibniz en 1676 (les epistolae), il manipule couramment des exposants fractionnaires comme x1/2x^{1/2} ou négatifs comme x−1x^{-1}, pour les besoins de sa formule du binôme généralisé. Restait à donner un sens à x2x^{\sqrt{2}} : ce pas est franchi au XVIIIe siècle par Leonhard Euler, qui dans son Introductio in analysin infinitorum (1748) définit les puissances quelconques exactement comme nous : par eαln⁡x\mathrm{e}^{\alpha \ln x}. C’est aussi Euler qui impose la lettre e\mathrm{e} pour la base des exponentielles, dès 1727.

2Fonction racine nn-ième

La racine carrée « défait » l’élévation au carré. De la même façon, la racine nn-ième défait l’élévation à la puissance nn. Pour qu’elle soit bien définie, il faut d’abord s’assurer que x↦xnx \mapsto x^{n} réalise une bijection : c’est le premier théorème de cette section.

Théorème — bijection de x↦xnx \mapsto x^{n}

Soit nn un entier naturel non nul. La fonction x↦xnx \mapsto x^{n} est une bijection de [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[ sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[ : pour tout réel a⩾0a \geqslant 0, l’équation xn=ax^{n} = a admet une unique solution dans [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[.

Démonstration

Sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[, la fonction g:x↦xng : x \mapsto x^{n} est continue (fonction polynôme) et dérivable, avec g′(x)=nxn−1>0g'(x) = n x^{n-1} > 0 pour x>0x > 0 : elle est strictement croissante. De plus g(0)=0g(0) = 0 et lim⁡x→+∞xn=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{n} = +\infty. D’après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), gg réalise une bijection de [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[ sur g([0 ;+∞[)=[0 ;+∞[g\left(\left[0\,;+\infty\right[\right) = \left[0\,;+\infty\right[. Tout a⩾0a \geqslant 0 a donc un unique antécédent. C.Q.F.D.

Définition

Soit n⩾1n \geqslant 1 un entier et a⩾0a \geqslant 0. La racine nn-ième de aa, notée an\sqrt[n]{a}, est l’unique réel positif ou nul dont la puissance nn-ième vaut aa :

an=t  ⟺  {t⩾0 et tn=a}\sqrt[n]{a} = t \iff \left\{ t \geqslant 0 \text{ et } t^{n} = a \right\}

Pour a>0a > 0, on a an=a1/n=e1nln⁡a\sqrt[n]{a} = a^{1/n} = \mathrm{e}^{\frac{1}{n}\ln a}. La fonction x↦xnx \mapsto \sqrt[n]{x} est la bijection réciproque de x↦xnx \mapsto x^{n} sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[.

Justifions l’égalité an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n} : le nombre a1/na^{1/n} est strictement positif et (a1/n)n=a1n×n=a\left(a^{1/n}\right)^{n} = a^{\frac{1}{n} \times n} = a. Il possède les deux caractéristiques de an\sqrt[n]{a}, qui est unique. Cas particuliers : a1=a\sqrt[1]{a} = a, a2=a\sqrt[2]{a} = \sqrt{a} et a3\sqrt[3]{a} se lit « racine cubique de aa ».

Propriété — règles de calcul et exposants rationnels

Pour a>0a > 0, b>0b > 0, n,mn, m entiers non nuls et pp entier :

  • abn=an bn\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b} et abn=anbn\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} ;
  • (an)p=apn=ap/n\left(\sqrt[n]{a}\right)^{p} = \sqrt[n]{a^{p}} = a^{p/n} ;
  • anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} ;
  • sur R\mathbb{R}, l’équation xn=ax^{n} = a a pour solutions : an\sqrt[n]{a} et −an-\sqrt[n]{a} si nn est pair ; an\sqrt[n]{a} seulement si nn est impair.

Ces règles ne sont que les règles de la section 1 écrites avec α=1n\alpha = \dfrac{1}{n} ; par exemple anm=(a1/n)1/m=a1mn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(a^{1/n}\right)^{1/m} = a^{\frac{1}{mn}}.

Exemple — calculs de racines
  1. 163×43=643\sqrt[3]{16} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{64}racine d’un produit
  2. ==44car 43=644^{3} = 64 et 4⩾04 \geqslant 0
  3. 814=3\sqrt[4]{81} = 3car 34=813^{4} = 81
  4. 323/5=(325)332^{3/5} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^{3}
  5. ==23=82^{3} = 8car 25=322^{5} = 32
Exemple — comparer 23\sqrt[3]{2} et 34\sqrt[4]{3}

Ces deux nombres sont positifs : on les élève à une même puissance qui efface les deux racines, ici 1212 (multiple commun de 33 et 44).

  1. (23)12=212/3=24=16\left(\sqrt[3]{2}\right)^{12} = 2^{12/3} = 2^{4} = 16
  2. (34)12=312/4=33=27\left(\sqrt[4]{3}\right)^{12} = 3^{12/4} = 3^{3} = 27
  3. ⇒\Rightarrow23<34\sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{3}x↦x12x \mapsto x^{12} est strictement croissante sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[ et 16<2716 < 27
Exemple — résoudre x5=40x^{5} = 40 dans R\mathbb{R}
  1. x5=40x^{5} = 40
  2.   ⟺  \iffx=405x = \sqrt[5]{40}55 est impair : solution unique
  3. ==e15ln⁡40≈e0,738\mathrm{e}^{\frac{1}{5}\ln 40} \approx \mathrm{e}^{0{,}738}
  4. ≈\approx2,092{,}09

Avec un exposant pair, on n’oublie pas la solution négative : x4=5  ⟺  x=54x^{4} = 5 \iff x = \sqrt[4]{5} ou x=−54x = -\sqrt[4]{5}.

Attention — pas de racine nn-ième d’un nombre négatif

Dans ce cours, an\sqrt[n]{a} n’est défini que pour a⩾0a \geqslant 0. Certes (−2)3=−8(-2)^{3} = -8, mais l’écriture (−8)1/3=e13ln⁡(−8)(-8)^{1/3} = \mathrm{e}^{\frac{1}{3}\ln(-8)} n’a aucun sens. Si l’on t’impose de résoudre x3=−8x^{3} = -8 dans R\mathbb{R}, écris x3=−8  ⟺  (−x)3=8  ⟺  −x=2  ⟺  x=−2x^{3} = -8 \iff (-x)^{3} = 8 \iff -x = 2 \iff x = -2 : on se ramène toujours à une racine d’un nombre positif.

2.1  Dérivée et allure de la courbe

D’après le théorème de la section 1 appliqué à α=1n\alpha = \dfrac{1}{n}, la fonction x↦xn=x1/nx \mapsto \sqrt[n]{x} = x^{1/n} est dérivable sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ et :

(xn)′=1n x1n−1=1n x n−1n\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n} - 1} = \dfrac{1}{n\,\sqrt[n]{x^{\,n-1}}}

En 00, en revanche, elle n’est pas dérivable dès que n⩾2n \geqslant 2 : le taux d’accroissement explose.

  1. hn−0nh−0=h1/nh\dfrac{\sqrt[n]{h} - \sqrt[n]{0}}{h - 0} = \dfrac{h^{1/n}}{h}
  2. ==h1n−1h^{\frac{1}{n} - 1}règle du quotient de puissances
  3. →\to+∞+\infty quand h→0+h \to 0^{+}exposant 1n−1<0\dfrac{1}{n} - 1 < 0, section 1

La courbe admet donc en OO une demi-tangente verticale. Comme 0<1n<10 < \dfrac{1}{n} < 1, elle démarre à la verticale puis s’aplatit de plus en plus, d’autant plus vite que nn est grand.

Courbes des racines n-ièmes (n = 2, 3, 5), repère orthonormé 1234120xy y = x demi-tangente verticale en O (1 ; 1) n = 2 : y = √xn = 3n = 5
Figure 2 — Les courbes de x↦xx \mapsto \sqrt{x}, x↦x3x \mapsto \sqrt[3]{x} et x↦x5x \mapsto \sqrt[5]{x}. Toutes démarrent verticalement en OO et passent par (1 ;1)(1\,;1) ; entre 00 et 11, la racine est plus grande que le nombre (0,53≈0,79\sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}79), au-delà de 11 elle est plus petite. La droite y=xy = x est l’axe de symétrie entre la courbe de xn\sqrt[n]{x} et celle de xnx^{n}.
Math & Co — La peste d’Athènes et la racine cubique de 2

Vers 430430 avant notre ère, la peste ravage Athènes. Selon la légende rapportée par Ératosthène, les Déliens consultent l’oracle d’Apollon, qui exige que l’on double le volume de son autel cubique. Les artisans doublent l’arête… et obtiennent un volume huit fois plus grand ! Doubler le volume d’un cube d’arête 11, c’est construire une arête de longueur 23≈1,26\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26. Hippocrate de Chios, puis Ménechme (vers −350-350, en inventant les coniques) trouvent des constructions par courbes auxiliaires ; mais à la règle et au compas seuls, personne n’y parvient. Il faudra attendre 1837 pour que le mathématicien français Pierre-Laurent Wantzel démontre que cette construction est impossible : 23\sqrt[3]{2} n’est pas un nombre « constructible ». Le problème de la « duplication du cube » aura résisté vingt-deux siècles.

3Croissances comparées de ln⁡\ln, xαx^{\alpha} et ex\mathrm{e}^{x}

Quand xx tend vers +∞+\infty, les fonctions ln⁡x\ln x, xαx^{\alpha} (avec α>0\alpha > 0) et ex\mathrm{e}^{x} tendent toutes vers +∞+\infty. Mais un simple tableau de valeurs montre qu’elles ne jouent pas dans la même catégorie.

xx10101001001 0001\,000
ln⁡x\ln x2,32{,}34,64{,}66,96{,}9
x\sqrt{x}3,163{,}16101031,631{,}6
x2x^{2}10010010410^{4}10610^{6}
ex\mathrm{e}^{x}≈2,2×104\approx 2{,}2 \times 10^{4}≈2,7×1043\approx 2{,}7 \times 10^{43}≈2×10434\approx 2 \times 10^{434}

Le logarithme avance à pas de fourmi : multiplier xx par 1010 ne l’augmente que de ln⁡10≈2,3\ln 10 \approx 2{,}3. L’exponentielle, elle, est multipliée par e10≈22 000\mathrm{e}^{10} \approx 22\,000 chaque fois que xx augmente de 1010. Les théorèmes qui suivent transforment cette observation en certitude.

Théorème — lemme fondamental

lim⁡x→+∞exx=+∞\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} = +\infty

Démonstration

On démontre d’abord que ex>x22\mathrm{e}^{x} > \dfrac{x^{2}}{2} pour tout x⩾0x \geqslant 0. Posons φ(x)=ex−x22\varphi(x) = \mathrm{e}^{x} - \dfrac{x^{2}}{2} sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[.

  1. φ′(x)=ex−x\varphi'(x) = \mathrm{e}^{x} - x et φ′′(x)=ex−1\varphi''(x) = \mathrm{e}^{x} - 1
  2. φ′′(x)⩾0\varphi''(x) \geqslant 0 pour x⩾0x \geqslant 0car ex⩾e0=1\mathrm{e}^{x} \geqslant \mathrm{e}^{0} = 1
  3. ⇒\Rightarrowφ′\varphi' est croissante, donc φ′(x)⩾φ′(0)=1>0\varphi'(x) \geqslant \varphi'(0) = 1 > 0
  4. ⇒\Rightarrowφ\varphi est croissante, donc φ(x)⩾φ(0)=1>0\varphi(x) \geqslant \varphi(0) = 1 > 0
  5. ⇒\Rightarrowex>x22\mathrm{e}^{x} > \dfrac{x^{2}}{2} pour tout x⩾0x \geqslant 0
  6. ⇒\Rightarrowexx>x2\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} > \dfrac{x}{2} pour tout x>0x > 0on divise par x>0x > 0

Comme lim⁡x→+∞x2=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} = +\infty, le théorème de comparaison donne lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} = +\infty. C.Q.F.D.

Théorème — croissances comparées

Pour tout réel α>0\alpha > 0 :

lim⁡x→+∞exxα=+∞lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0lim⁡x→0+xαln⁡x=0lim⁡x→−∞∣x∣α ex=0\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{\alpha}} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{\alpha}} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x^{\alpha} \ln x = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} |x|^{\alpha}\, \mathrm{e}^{x} = 0

En particulier, pour tout entier n⩾1n \geqslant 1 : lim⁡x→+∞xne−x=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{n}\mathrm{e}^{-x} = 0, lim⁡x→−∞xnex=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{n}\mathrm{e}^{x} = 0, lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 et lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0.

On résume : à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance, et toute puissance l’emporte sur le logarithme.

Démonstration

1. Exponentielle contre puissance. On se ramène au lemme par le changement de variable t=xαt = \dfrac{x}{\alpha}, qui tend vers +∞+\infty avec xx.

  1. exxα=eαt(αt)α\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{\alpha}} = \dfrac{\mathrm{e}^{\alpha t}}{(\alpha t)^{\alpha}}car x=αtx = \alpha t
  2. ==1αα×(et)αtα\dfrac{1}{\alpha^{\alpha}} \times \dfrac{\left(\mathrm{e}^{t}\right)^{\alpha}}{t^{\alpha}}eαt=(et)α\mathrm{e}^{\alpha t} = (\mathrm{e}^{t})^{\alpha} et (αt)α=ααtα(\alpha t)^{\alpha} = \alpha^{\alpha} t^{\alpha}
  3. ==1αα×(ett)α\dfrac{1}{\alpha^{\alpha}} \times \left(\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\right)^{\alpha}puissance d’un quotient
  4. →\to+∞+\inftyett→+∞\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t} \to +\infty et u↦uαu \mapsto u^{\alpha} tend vers +∞+\infty en +∞+\infty (α>0\alpha > 0)

2. Logarithme contre puissance. On pose x=etx = \mathrm{e}^{t}, c’est-à-dire t=ln⁡xt = \ln x, qui tend vers +∞+\infty.

  1. ln⁡xxα=teαt\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}} = \dfrac{t}{\mathrm{e}^{\alpha t}}
  2. ==1α×αteαt\dfrac{1}{\alpha} \times \dfrac{\alpha t}{\mathrm{e}^{\alpha t}}
  3. →\to1α×0=0\dfrac{1}{\alpha} \times 0 = 0ueu→0\dfrac{u}{\mathrm{e}^{u}} \to 0 avec u=αt→+∞u = \alpha t \to +\infty, inverse du lemme

3. Puissance contre logarithme en 00. On pose x=1tx = \dfrac{1}{t} avec t→+∞t \to +\infty : xαln⁡x=1tα×(−ln⁡t)=−ln⁡ttα→0x^{\alpha} \ln x = \dfrac{1}{t^{\alpha}} \times (-\ln t) = -\dfrac{\ln t}{t^{\alpha}} \to 0 d’après le point 2.

4. En −∞-\infty. On pose x=−tx = -t avec t→+∞t \to +\infty : ∣x∣αex=tαet→0|x|^{\alpha}\mathrm{e}^{x} = \dfrac{t^{\alpha}}{\mathrm{e}^{t}} \to 0, inverse du point 1. C.Q.F.D.

Exemple — deux limites immédiates
  1. lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0théorème avec α=12\alpha = \dfrac{1}{2}
  2. lim⁡x→+∞exx100=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{100}} = +\inftythéorème avec α=100\alpha = 100

La seconde limite surprend : pour x=100x = 100, x100=10200x^{100} = 10^{200} écrase encore e100≈1043\mathrm{e}^{100} \approx 10^{43}. Mais pour x=1 000x = 1\,000, ex≈10434\mathrm{e}^{x} \approx 10^{434} a dépassé x100=10300x^{100} = 10^{300}, et l’écart ne cesse plus de grandir. Le théorème parle de l’infini, pas des premiers kilomètres de la course.

La course vers l’infini : eˣ, x³ et ln x 12345501001500xy x₁ ≈ 1,86x₂ ≈ 4,54 eˣx³ln x, écrasé sur l’axe entre x₁ et x₂, x³ mène……puis eˣ gagne pour toujours
Figure 3 — Trois coureurs vers +∞+\infty. La courbe de x3x^{3} dépasse celle de ex\mathrm{e}^{x} entre x1≈1,86x_{1} \approx 1{,}86 et x2≈4,54x_{2} \approx 4{,}54 (solutions de ex=x3\mathrm{e}^{x} = x^{3}), mais au-delà de x2x_{2} l’exponentielle reprend définitivement la tête. Pendant ce temps, ln⁡x\ln x ne dépasse pas 1,71{,}7 sur tout l’intervalle.
Exemple — retrouver par le calcul les deux croisements de la figure 3

Pour x>0x > 0, on transforme l’équation ex=x3\mathrm{e}^{x} = x^{3} en appliquant ln⁡\ln, puis on étudie le signe de φ(x)=x−3ln⁡x\varphi(x) = x - 3\ln x.

  1. ex=x3  ⟺  x=3ln⁡x\mathrm{e}^{x} = x^{3} \iff x = 3\ln xln⁡\ln bijective et ln⁡(x3)=3ln⁡x\ln(x^{3}) = 3\ln x
  2.   ⟺  \iffφ(x)=0\varphi(x) = 0
  3. φ(1,8)≈1,8−1,763>0\varphi(1{,}8) \approx 1{,}8 - 1{,}763 > 0 et φ(1,9)≈1,9−1,926<0\varphi(1{,}9) \approx 1{,}9 - 1{,}926 < 0
  4. ⇒\Rightarrow1,8<x1<1,91{,}8 < x_{1} < 1{,}9φ\varphi continue : théorème des valeurs intermédiaires
  5. φ(4,5)≈4,5−4,512<0\varphi(4{,}5) \approx 4{,}5 - 4{,}512 < 0 et φ(4,6)≈4,6−4,578>0\varphi(4{,}6) \approx 4{,}6 - 4{,}578 > 0
  6. ⇒\Rightarrow4,5<x2<4,64{,}5 < x_{2} < 4{,}6

Entre x1x_{1} et x2x_{2}, φ(x)<0\varphi(x) < 0, donc x3>exx^{3} > \mathrm{e}^{x} : la puissance mène. Après x2x_{2}, il n’y a plus de croisement : φ′(x)=1−3x>0\varphi'(x) = 1 - \dfrac{3}{x} > 0 pour x>3x > 3, donc φ\varphi reste strictement positive, ce que confirme lim⁡x→+∞exx3=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}} = +\infty. L’exponentielle a gagné définitivement.

Attention — « l’exponentielle est plus forte » n’est pas une justification

Au bac, on attend la mention explicite du théorème des croissances comparées, avec la forme exacte utilisée : « d’après le théorème des croissances comparées, lim⁡x→+∞x2e−x=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{2}\mathrm{e}^{-x} = 0 ». Une forme « 0×∞0 \times \infty » ou « ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} » ne vaut jamais 00 ou ∞\infty par défaut : c’est une indétermination, et seul un théorème la lève. Pense aussi que ces théorèmes ne disent rien sur une limite en un réel fini : lim⁡x→1ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x} = 0 parce que ln⁡1=0\ln 1 = 0, pas à cause d’une croissance comparée.

Math & Co — De Malthus aux « ordres d’infini »

En 1798, l’économiste anglais Thomas Malthus publie son Essai sur le principe de population : la population croît « géométriquement » (comme une exponentielle) tandis que les ressources croissent « arithmétiquement » (comme une droite). Sa conclusion pessimiste est une croissance comparée avant la lettre : quelle que soit l’avance de départ des ressources, l’exponentielle finit par les rattraper. Un siècle plus tard, le mathématicien allemand Paul du Bois-Reymond construit (1870-1875) une véritable échelle des infinis classant les fonctions selon leur vitesse de croissance, théorie que le Britannique G. H. Hardy systématise en 1910 dans Orders of Infinity. La hiérarchie ln⁡x≪xα≪ex\ln x \ll x^{\alpha} \ll \mathrm{e}^{x} que tu apprends aujourd’hui en est le premier échelon — et elle gouverne toujours l’analyse des algorithmes en informatique.

4Limites indéterminées classiques

Les théorèmes de la section 3 sont des outils : voyons comment les utiliser face aux formes indéterminées « ∞−∞\infty - \infty », « ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} », « 0×∞0 \times \infty » et aux exposants variables. La stratégie est toujours la même.

Méthode — lever une indétermination par croissances comparées
  1. Identifier la forme indéterminée et les fonctions en présence (ln⁡\ln, puissance, exp⁡\exp).
  2. Factoriser par le terme dominant (l’exponentielle avant la puissance, la puissance avant le logarithme), ou changer de variable (t=−xt = -x, t=ln⁡xt = \ln x, t=xt = \sqrt{x}…) pour faire apparaître une forme du théorème.
  3. Conclure en citant le théorème des croissances comparées et les opérations sur les limites.

4.1  Formes « ∞−∞\infty - \infty » et « ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} »

Exemple — lim⁡x→+∞(ex−x3)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x^{3}\right)

Forme « ∞−∞\infty - \infty ». On factorise par le terme dominant ex\mathrm{e}^{x}.

  1. ex−x3=ex(1−x3ex)\mathrm{e}^{x} - x^{3} = \mathrm{e}^{x}\left(1 - \dfrac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}}\right)
  2. lim⁡x→+∞x3ex=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}} = 0croissances comparées
  3. ⇒\Rightarrowlim⁡x→+∞(1−x3ex)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \dfrac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}}\right) = 1
  4. ⇒\Rightarrowlim⁡x→+∞(ex−x3)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x^{3}\right) = +\inftyproduit +∞×1+\infty \times 1
Exemple — lim⁡x→+∞(x−ln⁡x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x) et lim⁡x→+∞(ln⁡x)3x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^{3}}{x}
  1. x−ln⁡x=x(1−ln⁡xx)x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)factorisation par le terme dominant xx
  2. →\to+∞+\inftyln⁡xx→0\dfrac{\ln x}{x} \to 0, donc la parenthèse tend vers 11
  3. (ln⁡x)3x=(ln⁡xx1/3)3\dfrac{(\ln x)^{3}}{x} = \left(\dfrac{\ln x}{x^{1/3}}\right)^{3}car (x1/3)3=x\left(x^{1/3}\right)^{3} = x
  4. →\to03=00^{3} = 0croissances comparées avec α=13\alpha = \dfrac{1}{3}, puis continuité du cube

4.2  Forme « 0×∞0 \times \infty »

Exemple — lim⁡x→+∞(x2−5x+1)e−x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^{2} - 5x + 1\right)\mathrm{e}^{-x}

Le polynôme tend vers +∞+\infty, l’exponentielle e−x\mathrm{e}^{-x} vers 00 : forme « ∞×0\infty \times 0 ». On développe pour isoler des formes du théorème.

  1. (x2−5x+1)e−x=x2e−x−5xe−x+e−x\left(x^{2} - 5x + 1\right)\mathrm{e}^{-x} = x^{2}\mathrm{e}^{-x} - 5x\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}
  2. x2e−x→0x^{2}\mathrm{e}^{-x} \to 0, xe−x→0x\mathrm{e}^{-x} \to 0, e−x→0\mathrm{e}^{-x} \to 0croissances comparées (n=2n = 2, n=1n = 1) et limite de e−x\mathrm{e}^{-x}
  3. ⇒\Rightarrowlim⁡x→+∞(x2−5x+1)e−x=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^{2} - 5x + 1\right)\mathrm{e}^{-x} = 0somme de limites
Exemple — lim⁡x→0+x2ln⁡x\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln x et lim⁡x→−∞x2ex\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{2}\mathrm{e}^{x}
  1. lim⁡x→0+x2ln⁡x=0\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln x = 0forme 0×(−∞)0 \times (-\infty), théorème avec α=2\alpha = 2
  2. pour x2exx^{2}\mathrm{e}^{x} en −∞-\infty, on pose t=−x→+∞t = -x \to +\infty
  3. x2ex=t2e−t=t2etx^{2}\mathrm{e}^{x} = t^{2}\mathrm{e}^{-t} = \dfrac{t^{2}}{\mathrm{e}^{t}}
  4. →\to00croissances comparées

Retiens le réflexe : une limite en −∞-\infty avec ex\mathrm{e}^{x} se traite toujours en posant t=−xt = -x.

4.3  Exposants variables : les formes 000^{0}, 1∞1^{\infty}, ∞0\infty^{0}

Dès que l’inconnue figure dans l’exposant, on revient à la définition uv=evln⁡uu^{v} = \mathrm{e}^{v \ln u} et l’on étudie l’exposant vln⁡uv \ln u.

Exemple — lim⁡x→0+xx\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} et lim⁡x→+∞x1/x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}
  1. xx=exln⁡xx^{x} = \mathrm{e}^{x \ln x}définition, valable pour x>0x > 0
  2. lim⁡x→0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x\ln x = 0croissances comparées
  3. ⇒\Rightarrowlim⁡x→0+xx=e0=1\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = \mathrm{e}^{0} = 1continuité de exp⁡\exp en 00
  4. x1/x=eln⁡xxx^{1/x} = \mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}} et ln⁡xx→0\dfrac{\ln x}{x} \to 0 en +∞+\infty
  5. ⇒\Rightarrowlim⁡x→+∞x1/x=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{1/x} = 1
Attention — 000^{0} et 1∞1^{\infty} sont indéterminés

Le résultat lim⁡x→0+xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1 ne signifie pas que « 00=10^{0} = 1 ». Par exemple lim⁡x→0+(e−1/x)x=e−1\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \left(\mathrm{e}^{-1/x}\right)^{x} = \mathrm{e}^{-1}, pourtant la base tend aussi vers 00 et l’exposant vers 00. Chaque limite à exposant variable doit être calculée via evln⁡u\mathrm{e}^{v\ln u}, sans raccourci.

5Applications aux études de fonctions

Les problèmes du bac enchaînent presque toujours : limites (souvent par croissances comparées), dérivée, tableau de variations, comportement asymptotique, tracé. Voici le plan à suivre, puis une étude modèle.

Méthode — étudier complètement une fonction
  1. Ensemble de définition et éventuelle parité ; continuité et prolongement par continuité aux bornes.
  2. Limites aux bornes : lever les indéterminations (section 4) ; en déduire les asymptotes.
  3. Dérivée, factorisée pour lire son signe ; tableau de variations avec les valeurs exactes des extremums.
  4. Points particuliers : intersections avec les axes, tangentes remarquables ; branches infinies (voir 5.2).
  5. Tracé soigné, cohérent avec le tableau.

5.1  Étude modèle de f(x)=x2e−xf(x) = x^{2}\mathrm{e}^{-x}

Exemple — étude complète de f:x↦x2e−xf : x \mapsto x^{2}\mathrm{e}^{-x} sur R\mathbb{R}

Limites. En +∞+\infty, f(x)=x2exf(x) = \dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}} est une forme « ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} » : d’après le théorème des croissances comparées, lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. L’axe des abscisses est asymptote horizontale en +∞+\infty. En −∞-\infty, x2→+∞x^{2} \to +\infty et e−x→+∞\mathrm{e}^{-x} \to +\infty : pas d’indétermination, lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty.

Dérivée. ff est dérivable sur R\mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables.

  1. f′(x)=2x e−x+x2×(−e−x)f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{-x} + x^{2} \times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
  2. ==(2x−x2)e−x\left(2x - x^{2}\right)\mathrm{e}^{-x}
  3. ==x(2−x) e−xx(2 - x)\,\mathrm{e}^{-x}forme factorisée : le signe se lit

Comme e−x>0\mathrm{e}^{-x} > 0, f′(x)f'(x) a le signe de x(2−x)x(2 - x) : négatif sur ]−∞ ;0[\left]-\infty\,;0\right[, positif sur ]0 ;2[\left]0\,;2\right[, négatif sur ]2 ;+∞[\left]2\,;+\infty\right[. Valeurs : f(0)=0f(0) = 0 et f(2)=4e−2≈0,54f(2) = 4\mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}54.

xx−∞-\infty0022+∞+\infty
f′(x)f'(x)−-00++00−-
f(x)f(x)+∞+\infty↘00↗4e−24\mathrm{e}^{-2}↘00

Points particuliers. f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 partout, et f(x)=0  ⟺  x=0f(x) = 0 \iff x = 0 : la courbe touche l’axe des abscisses en OO, avec une tangente horizontale (f′(0)=0f'(0) = 0). Le maximum local est atteint au point M(2 ;4e−2)M\left(2\,; 4\mathrm{e}^{-2}\right).

Courbe de f(x) = x²e⁻ˣ sur [−1 ; 8] −11234567812Oxy asymptote y = 0 en +∞ M(2 ; 4e⁻²) f(x) = x²e⁻ˣ
Figure 4 — La courbe de f(x)=x2e−xf(x) = x^{2}\mathrm{e}^{-x}. Elle « rebondit » sur l’axe en OO (tangente horizontale), culmine en M(2 ;4e−2)M\left(2\,;4\mathrm{e}^{-2}\right) puis se recolle à l’axe des abscisses : c’est la traduction graphique de lim⁡x→+∞x2e−x=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{2}\mathrm{e}^{-x} = 0. Vers la gauche, elle s’envole vers +∞+\infty.

5.2  Comportement asymptotique et branches infinies

Propriété — branches infinies d’une courbe

Soit ff telle que lim⁡x→+∞f(x)=±∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty. On étudie lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} :

  • si f(x)x→0\dfrac{f(x)}{x} \to 0 : branche parabolique de direction (Ox)(Ox) (la courbe s’aplatit, comme ln⁡x\ln x ou x\sqrt{x}) ;
  • si f(x)x→±∞\dfrac{f(x)}{x} \to \pm\infty : branche parabolique de direction (Oy)(Oy) (la courbe se redresse, comme x2x^{2} ou ex\mathrm{e}^{x}) ;
  • si f(x)x→a≠0\dfrac{f(x)}{x} \to a \neq 0 : on étudie f(x)−axf(x) - ax. Si cette différence tend vers un réel bb, la droite y=ax+by = ax + b est asymptote oblique ; si elle tend vers ±∞\pm\infty, la courbe admet une branche parabolique de direction la droite y=axy = ax.

Même énoncé en −∞-\infty. Les croissances comparées fournissent immédiatement la nature des branches de ln⁡\ln, des puissances et de exp⁡\exp.

Exemple — h(x)=x−ln⁡xh(x) = x - \ln x sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ : variations, inégalité et branche infinie
  1. h′(x)=1−1x=x−1xh'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}
  2. ⇒\Rightarrowhh décroît sur ]0 ;1]\left]0\,;1\right], croît sur [1 ;+∞[\left[1\,;+\infty\right[, minimum h(1)=1h(1) = 1
  3. ⇒\Rightarrowx−ln⁡x⩾1>0x - \ln x \geqslant 1 > 0, soit ln⁡x<x\ln x < x pour tout x>0x > 0inégalité classique à connaître
  4. lim⁡x→+∞h(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\inftysection 4 : h(x)=x(1−ln⁡xx)h(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)
  5. h(x)x=1−ln⁡xx→1\dfrac{h(x)}{x} = 1 - \dfrac{\ln x}{x} \to 1croissances comparées
  6. h(x)−1×x=−ln⁡x→−∞h(x) - 1 \times x = -\ln x \to -\infty
  7. ⇒\Rightarrowbranche parabolique de direction la droite y=xy = x en +∞+\infty

En 0+0^{+}, h(x)→+∞h(x) \to +\infty car −ln⁡x→+∞-\ln x \to +\infty : l’axe des ordonnées est asymptote verticale. Pour f(x)=x2e−xf(x) = x^{2}\mathrm{e}^{-x} de l’étude modèle, on trouve de même en −∞-\infty : f(x)x=xe−x→−∞\dfrac{f(x)}{x} = x\mathrm{e}^{-x} \to -\infty, d’où une branche parabolique de direction (Oy)(Oy).

Le réflexe bac : une fonction dont l’expression contient ex\mathrm{e}^{x}, e−x\mathrm{e}^{-x} ou ln⁡x\ln x aura presque toujours une limite à lever par croissances comparées, et une asymptote horizontale du côté où l’exponentielle « tue » le polynôme. Repère ce côté dès la lecture de l’énoncé : il te dit où la courbe se recolle à une droite.

Fiche mémo

  • Définition : pour x>0x > 0 et α∈R\alpha \in \mathbb{R}, xα=eαln⁡xx^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha\ln x} ; xα>0x^{\alpha} > 0 et ln⁡(xα)=αln⁡x\ln\left(x^{\alpha}\right) = \alpha\ln x.
  • Règles : xαxβ=xα+βx^{\alpha}x^{\beta} = x^{\alpha+\beta}, (xα)β=xαβ\left(x^{\alpha}\right)^{\beta} = x^{\alpha\beta}, (xy)α=xαyα(xy)^{\alpha} = x^{\alpha}y^{\alpha}, x−α=1xαx^{-\alpha} = \dfrac{1}{x^{\alpha}}.
  • Dérivée : (xα)′=αxα−1\left(x^{\alpha}\right)' = \alpha x^{\alpha-1} ; croissante si α>0\alpha > 0, décroissante si α<0\alpha < 0 ; toutes les courbes passent par (1 ;1)(1\,;1).
  • Limites (α>0\alpha > 0) : xα→0x^{\alpha} \to 0 en 0+0^{+} et →+∞\to +\infty en +∞+\infty ; l’inverse pour α<0\alpha < 0.
  • Racine nn-ième : an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n} (a⩾0a \geqslant 0), réciproque de x↦xnx \mapsto x^{n} sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[ ; xn=ax^{n} = a a deux solutions ±an\pm\sqrt[n]{a} si nn pair, une seule si nn impair.
  • Lemme : lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x} = +\infty (car ex>x22\mathrm{e}^{x} > \dfrac{x^{2}}{2} pour x⩾0x \geqslant 0).
  • Croissances comparées (α>0\alpha > 0) : exxα→+∞\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{\alpha}} \to +\infty, ln⁡xxα→0\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}} \to 0 en +∞+\infty ; xαln⁡x→0x^{\alpha}\ln x \to 0 en 0+0^{+} ; ∣x∣αex→0|x|^{\alpha}\mathrm{e}^{x} \to 0 en −∞-\infty.
  • Hiérarchie : ln⁡x≪xα≪ex\ln x \ll x^{\alpha} \ll \mathrm{e}^{x} — l’exponentielle bat toute puissance, toute puissance bat le logarithme.
  • Méthode : factoriser par le terme dominant ; en −∞-\infty poser t=−xt = -x ; exposant variable : uv=evln⁡uu^{v} = \mathrm{e}^{v\ln u} (ainsi xx→1x^{x} \to 1 en 0+0^{+}).
  • Branches infinies : f(x)x→0\dfrac{f(x)}{x} \to 0 : direction (Ox)(Ox) ; →±∞\to \pm\infty : direction (Oy)(Oy) ; →a≠0\to a \neq 0 : étudier f(x)−axf(x) - ax.
  • Inégalités à connaître : ln⁡x<x\ln x < x pour x>0x > 0 ; ex>x22\mathrm{e}^{x} > \dfrac{x^{2}}{2} pour x⩾0x \geqslant 0 ; eπ>πe\mathrm{e}^{\pi} > \pi^{\mathrm{e}}.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule sans calculatrice : 82/38^{2/3} ; 16−3/416^{-3/4} ; 272/327^{2/3} ; 322/532^{2/5}. Écris ensuite 2π2^{\pi} sous la forme e k\mathrm{e}^{\,k} et donne-en une valeur approchée au centième.

Voir le corrigé détaillé
  1. 82/3=(23)2/3=22=48^{2/3} = \left(2^{3}\right)^{2/3} = 2^{2} = 4(xa)b=xab(x^{a})^{b} = x^{ab}
  2. 16−3/4=(24)−3/4=2−3=1816^{-3/4} = \left(2^{4}\right)^{-3/4} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}
  3. 272/3=(33)2/3=32=927^{2/3} = \left(3^{3}\right)^{2/3} = 3^{2} = 9
  4. 322/5=(25)2/5=22=432^{2/5} = \left(2^{5}\right)^{2/5} = 2^{2} = 4
  5. 2π=eπln⁡2≈e2,1782^{\pi} = \mathrm{e}^{\pi \ln 2} \approx \mathrm{e}^{2{,}178}
  6. ≈\approx8,828{,}82
2

Pour x>0x > 0, simplifie : A=(x2)2xA = \dfrac{\left(x^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}}{x} ; B=x1/2×x1/3B = x^{1/2} \times x^{1/3} ; C=(x−3)2×x7C = \left(x^{-3}\right)^{2} \times x^{7} ; D=ln⁡(x5)ln⁡xD = \dfrac{\ln\left(x^{\sqrt{5}}\right)}{\ln x} (pour x≠1x \neq 1).

Voir le corrigé détaillé
  1. A=x2×2x=x2xA = \dfrac{x^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}}{x} = \dfrac{x^{2}}{x}
  2. ==xx
  3. B=x12+13=x5/6B = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = x^{5/6}c’est aussi x56\sqrt[6]{x^{5}}
  4. C=x−6×x7=x1=xC = x^{-6} \times x^{7} = x^{1} = x
  5. D=5 ln⁡xln⁡x=5D = \dfrac{\sqrt{5}\,\ln x}{\ln x} = \sqrt{5}ln⁡(xα)=αln⁡x\ln(x^{\alpha}) = \alpha \ln x, et ln⁡x≠0\ln x \neq 0
3

Calcule la dérivée sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ de : f(x)=x5/2f(x) = x^{5/2} ; g(x)=x−3g(x) = x^{-3} ; h(x)=xπh(x) = x^{\pi} ; k(x)=x×x3k(x) = \sqrt{x} \times \sqrt[3]{x}.

Voir le corrigé détaillé
  1. f′(x)=52 x3/2=52 xxf'(x) = \dfrac{5}{2}\,x^{3/2} = \dfrac{5}{2}\,x\sqrt{x}(xα)′=αxα−1(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}
  2. g′(x)=−3x−4=−3x4g'(x) = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^{4}}
  3. h′(x)=π xπ−1h'(x) = \pi\, x^{\pi - 1}
  4. k(x)=x1/2×x1/3=x5/6k(x) = x^{1/2} \times x^{1/3} = x^{5/6}on simplifie avant de dériver
  5. ⇒\Rightarrowk′(x)=56 x−1/6=56x6k'(x) = \dfrac{5}{6}\,x^{-1/6} = \dfrac{5}{6\sqrt[6]{x}}
4

Calcule 325\sqrt[5]{32}, 814\sqrt[4]{81}, 1253\sqrt[3]{125}, 0,0013\sqrt[3]{0{,}001}. Résous ensuite dans R\mathbb{R} : x3=20x^{3} = 20 puis x4=5x^{4} = 5.

Voir le corrigé détaillé
  1. 325=2\sqrt[5]{32} = 2, 814=3\sqrt[4]{81} = 3, 1253=5\sqrt[3]{125} = 5, 0,0013=0,1\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}125=322^{5} = 32, 34=813^{4} = 81, 53=1255^{3} = 125, 0,13=0,0010{,}1^{3} = 0{,}001
  2. x3=20  ⟺  x=203=eln⁡203x^{3} = 20 \iff x = \sqrt[3]{20} = \mathrm{e}^{\frac{\ln 20}{3}}33 impair : solution unique
  3. ≈\approx2,712{,}71
  4. x4=5  ⟺  x=54x^{4} = 5 \iff x = \sqrt[4]{5} ou x=−54x = -\sqrt[4]{5}44 pair : deux solutions opposées
  5. ≈\approxx≈1,50x \approx 1{,}50 ou x≈−1,50x \approx -1{,}50
5

Détermine : lim⁡x→+∞ln⁡xx2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{2}} ; lim⁡x→+∞x5e−x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{5}\mathrm{e}^{-x} ; lim⁡x→0+x3ln⁡x\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{3}\ln x ; lim⁡x→+∞exx\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{x}}.

Voir le corrigé détaillé

Ce sont quatre applications directes du théorème des croissances comparées.

  1. lim⁡x→+∞ln⁡xx2=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{2}} = 0α=2\alpha = 2
  2. lim⁡x→+∞x5e−x=lim⁡x→+∞x5ex=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{5}\mathrm{e}^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{5}}{\mathrm{e}^{x}} = 0α=5\alpha = 5
  3. lim⁡x→0+x3ln⁡x=0\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{3}\ln x = 0α=3\alpha = 3
  4. lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{x}} = +\inftyα=12\alpha = \dfrac{1}{2}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Compare sans calculatrice : 1° 3\sqrt{3} et 53\sqrt[3]{5} ; 2° 23002^{300} et 32003^{200}.

Voir le corrigé détaillé

1. Les deux nombres sont positifs ; on les élève à la puissance 66, qui efface les deux racines.

  1. (3)6=33=27\left(\sqrt{3}\right)^{6} = 3^{3} = 27 et (53)6=52=25\left(\sqrt[3]{5}\right)^{6} = 5^{2} = 25
  2. ⇒\Rightarrow3>53\sqrt{3} > \sqrt[3]{5}x↦x6x \mapsto x^{6} strictement croissante sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[ et 27>2527 > 25

2. On fait apparaître un exposant commun.

  1. 2300=(23)100=81002^{300} = \left(2^{3}\right)^{100} = 8^{100} et 3200=(32)100=91003^{200} = \left(3^{2}\right)^{100} = 9^{100}
  2. ⇒\Rightarrow2300<32002^{300} < 3^{200}8<98 < 9 et x↦x100x \mapsto x^{100} est croissante sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[
7

Résous sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ : 1° x2=3x^{\sqrt{2}} = 3 ; 2° x2/3=4x^{2/3} = 4 ; 3° x−1/2⩾2x^{-1/2} \geqslant 2.

Voir le corrigé détaillé
  1. x2=3  ⟺  2ln⁡x=ln⁡3x^{\sqrt{2}} = 3 \iff \sqrt{2}\ln x = \ln 3on applique ln⁡\ln, bijective
  2.   ⟺  \iffx=eln⁡32=32/2≈2,17x = \mathrm{e}^{\frac{\ln 3}{\sqrt{2}}} = 3^{\sqrt{2}/2} \approx 2{,}17
  3. x2/3=4  ⟺  23ln⁡x=ln⁡4x^{2/3} = 4 \iff \dfrac{2}{3}\ln x = \ln 4
  4.   ⟺  \iffln⁡x=32ln⁡4=ln⁡(43/2)=ln⁡8\ln x = \dfrac{3}{2}\ln 4 = \ln\left(4^{3/2}\right) = \ln 843/2=(4)3=84^{3/2} = \left(\sqrt{4}\right)^{3} = 8
  5.   ⟺  \iffx=8x = 8
  6. x−1/2⩾2  ⟺  1x⩾2x^{-1/2} \geqslant 2 \iff \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geqslant 2
  7.   ⟺  \iffx⩽12\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2}passage à l’inverse entre nombres strictement positifs : l’ordre change
  8.   ⟺  \iffx⩽14x \leqslant \dfrac{1}{4}élévation au carré, croissante sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[

Solutions : 32/23^{\sqrt{2}/2} ; 88 ; et pour l’inéquation S=]0 ;14]S = \left]0\,;\dfrac{1}{4}\right].

8

Résous dans R\mathbb{R} l’équation 4x−3×2x−4=04^{x} - 3 \times 2^{x} - 4 = 0. On rappelle que pour a>0a > 0, ax=exln⁡aa^{x} = \mathrm{e}^{x \ln a}.

Voir le corrigé détaillé

On remarque que 4x=(22)x=(2x)24^{x} = \left(2^{2}\right)^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}. On pose X=2xX = 2^{x}, avec X>0X > 0.

  1. X2−3X−4=0X^{2} - 3X - 4 = 0
  2. Δ=9+16=25\Delta = 9 + 16 = 25
  3. ⇒\RightarrowX=3+52=4X = \dfrac{3 + 5}{2} = 4 ou X=3−52=−1X = \dfrac{3 - 5}{2} = -1
  4. X=−1X = -1 est impossiblecar 2x>02^{x} > 0
  5. 2x=4  ⟺  exln⁡2=e2ln⁡22^{x} = 4 \iff \mathrm{e}^{x\ln 2} = \mathrm{e}^{2\ln 2}
  6.   ⟺  \iffx=2x = 2exp⁡\exp est bijective

L’équation a une unique solution : S={2}S = \{2\}. Vérification : 16−12−4=016 - 12 - 4 = 0.

9

Détermine : 1° lim⁡x→0+xx\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}} ; 2° lim⁡x→+∞ex−x2x3+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x} - x^{2}}{x^{3} + 1} ; 3° lim⁡x→−∞(x3−2x)ex\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^{3} - 2x\right)\mathrm{e}^{x}.

Voir le corrigé détaillé
  1. xx=exln⁡xx^{\sqrt{x}} = \mathrm{e}^{\sqrt{x}\ln x} et xln⁡x=x1/2ln⁡x→0\sqrt{x}\ln x = x^{1/2}\ln x \to 0croissances comparées en 0+0^{+}, α=12\alpha = \dfrac{1}{2}
  2. ⇒\Rightarrowlim⁡x→0+xx=e0=1\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}} = \mathrm{e}^{0} = 1
  3. ex−x2x3+1=exx3×1−x2ex1+1x3\dfrac{\mathrm{e}^{x} - x^{2}}{x^{3} + 1} = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}} \times \dfrac{1 - \dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}}}{1 + \dfrac{1}{x^{3}}}factorisation par les termes dominants
  4. →\to+∞×1−01+0=+∞+\infty \times \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = +\inftyexx3→+∞\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{3}} \to +\infty et x2ex→0\dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}} \to 0
  5. on pose t=−x→+∞t = -x \to +\infty : (x3−2x)ex=(−t3+2t)e−t=−t3et+2 tet\left(x^{3} - 2x\right)\mathrm{e}^{x} = \left(-t^{3} + 2t\right)\mathrm{e}^{-t} = -\dfrac{t^{3}}{\mathrm{e}^{t}} + 2\,\dfrac{t}{\mathrm{e}^{t}}
  6. →\to0+0=00 + 0 = 0croissances comparées
10

Soit ff définie sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ par f(x)=xxf(x) = x^{x}.

  1. Écris f(x)f(x) à l’aide de l’exponentielle et détermine les limites de ff en 0+0^{+} et en +∞+\infty.
  2. Calcule f′(x)f'(x) et dresse le tableau de variations de ff.
  3. Étudie la branche infinie de la courbe en +∞+\infty.
Voir le corrigé détaillé

1. f(x)=exln⁡xf(x) = \mathrm{e}^{x\ln x}. En 0+0^{+}, xln⁡x→0x\ln x \to 0 (croissances comparées) donc f(x)→1f(x) \to 1. En +∞+\infty, xln⁡x→+∞x\ln x \to +\infty donc f(x)→+∞f(x) \to +\infty.

2. ff est dérivable comme composée.

  1. f′(x)=(xln⁡x)′exln⁡xf'(x) = \left(x\ln x\right)' \mathrm{e}^{x\ln x}
  2. ==(ln⁡x+1)xx\left(\ln x + 1\right) x^{x}(xln⁡x)′=1×ln⁡x+x×1x(x\ln x)' = 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x}
  3. f′(x)>0  ⟺  ln⁡x>−1  ⟺  x>e−1f'(x) > 0 \iff \ln x > -1 \iff x > \mathrm{e}^{-1}car xx>0x^{x} > 0
  4. f(e−1)=e e−1ln⁡(e−1)=e−1/e≈0,69f\left(\mathrm{e}^{-1}\right) = \mathrm{e}^{\,\mathrm{e}^{-1}\ln(\mathrm{e}^{-1})} = \mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}} \approx 0{,}69
xx00e−1\mathrm{e}^{-1}+∞+\infty
f′(x)f'(x)∥−-00++
f(x)f(x)11↘e−1/e\mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}}↗+∞+\infty

(La valeur 11 en 00 est une limite : ff n’est pas définie en 00.)

3. f(x)x=xx−1=e(x−1)ln⁡x→+∞\dfrac{f(x)}{x} = x^{x-1} = \mathrm{e}^{(x-1)\ln x} \to +\infty car (x−1)ln⁡x→+∞(x - 1)\ln x \to +\infty. La courbe admet une branche parabolique de direction (Oy)(Oy) : elle grimpe encore plus vite qu’une exponentielle.

Niveau 3 — Type bac
11

Restitution organisée de connaissances. On admet le lemme lim⁡t→+∞ett=+∞\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t} = +\infty.

  1. En posant t=ln⁡xt = \ln x, démontre que lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0.
  2. Soit α>0\alpha > 0. En remarquant que ln⁡x=1αln⁡(xα)\ln x = \dfrac{1}{\alpha}\ln\left(x^{\alpha}\right), démontre que lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{\alpha}} = 0.
  3. Application : calcule lim⁡x→+∞(ln⁡x)2x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^{2}}{\sqrt{x}}.
Voir le corrigé détaillé

1. Pour x>0x > 0, posons t=ln⁡xt = \ln x, soit x=etx = \mathrm{e}^{t}. Quand x→+∞x \to +\infty, t→+∞t \to +\infty.

  1. ln⁡xx=tet=1  ett  \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{t}{\mathrm{e}^{t}} = \dfrac{1}{\;\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\;}
  2. ett→+∞\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t} \to +\inftylemme admis
  3. ⇒\Rightarrowlim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0inverse d’une fonction tendant vers +∞+\infty

2. Posons X=xαX = x^{\alpha} ; comme α>0\alpha > 0, X→+∞X \to +\infty quand x→+∞x \to +\infty.

  1. ln⁡xxα=1αln⁡(xα)xα=1α×ln⁡XX\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}} = \dfrac{\frac{1}{\alpha}\ln\left(x^{\alpha}\right)}{x^{\alpha}} = \dfrac{1}{\alpha} \times \dfrac{\ln X}{X}
  2. →\to1α×0=0\dfrac{1}{\alpha} \times 0 = 0question 1 appliquée à XX

3.

  1. (ln⁡x)2x=(ln⁡xx1/4)2\dfrac{(\ln x)^{2}}{\sqrt{x}} = \left(\dfrac{\ln x}{x^{1/4}}\right)^{2}car (x1/4)2=x1/2=x\left(x^{1/4}\right)^{2} = x^{1/2} = \sqrt{x}
  2. →\to02=00^{2} = 0question 2 avec α=14\alpha = \dfrac{1}{4}, puis continuité du carré
12

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}, et C\mathcal{C} sa courbe dans un repère orthogonal.

  1. Détermine les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty. Interprète graphiquement.
  2. Calcule f′(x)f'(x) et dresse le tableau de variations de ff.
  3. Donne une équation de la tangente TT à C\mathcal{C} au point d’abscisse 00.
  4. Démontre que l’équation f(x)=1f(x) = 1 admet exactement deux solutions α\alpha et β\beta (α<β\alpha < \beta), et donne un encadrement de chacune d’amplitude 0,10{,}1.
  5. Trace TT, la droite d’équation y=1y = 1 et C\mathcal{C}.
Voir le corrigé détaillé

1. En −∞-\infty : x+2→−∞x + 2 \to -\infty et e−x→+∞\mathrm{e}^{-x} \to +\infty, donc lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty (pas d’indétermination). En +∞+\infty :

  1. f(x)=xe−x+2e−xf(x) = x\mathrm{e}^{-x} + 2\mathrm{e}^{-x}
  2. xe−x→0x\mathrm{e}^{-x} \to 0 et e−x→0\mathrm{e}^{-x} \to 0croissances comparées ; limite de exp⁡\exp en −∞-\infty
  3. ⇒\Rightarrowlim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

L’axe des abscisses est asymptote horizontale à C\mathcal{C} en +∞+\infty.

2. ff est dérivable sur R\mathbb{R} (produit).

  1. f′(x)=1×e−x+(x+2)×(−e−x)f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{-x} + (x + 2) \times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)
  2. ==−(x+1) e−x-(x + 1)\,\mathrm{e}^{-x}
  3. f′(x)>0  ⟺  x<−1f'(x) > 0 \iff x < -1e−x>0\mathrm{e}^{-x} > 0
  4. f(−1)=1×e1=ef(-1) = 1 \times \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}
xx−∞-\infty−1-1+∞+\infty
f′(x)f'(x)++00−-
f(x)f(x)−∞-\infty↗e\mathrm{e}↘00

3. f(0)=2f(0) = 2 et f′(0)=−1f'(0) = -1, donc T:y=f′(0)(x−0)+f(0)T : y = f'(0)(x - 0) + f(0), soit T:y=−x+2T : y = -x + 2.

4. Sur ]−∞ ;−1]\left]-\infty\,;-1\right], ff est continue et strictement croissante, et f(]−∞ ;−1])=]−∞ ;e]f\left(\left]-\infty\,;-1\right]\right) = \left]-\infty\,;\mathrm{e}\right] contient 11 : d’après le théorème de la bijection, l’équation f(x)=1f(x) = 1 a une unique solution α\alpha dans cet intervalle. Sur [−1 ;+∞[\left[-1\,;+\infty\right[, ff est continue et strictement décroissante de e\mathrm{e} vers 00 (non atteint), et 1∈]0 ;e]1 \in \left]0\,;\mathrm{e}\right] : unique solution β\beta. Au total, exactement deux solutions. Encadrements à la calculatrice :

  1. f(−1,9)=0,1 e1,9≈0,67<1f(-1{,}9) = 0{,}1\,\mathrm{e}^{1{,}9} \approx 0{,}67 < 1 et f(−1,8)=0,2 e1,8≈1,21>1f(-1{,}8) = 0{,}2\,\mathrm{e}^{1{,}8} \approx 1{,}21 > 1
  2. ⇒\Rightarrow−1,9<α<−1,8-1{,}9 < \alpha < -1{,}8
  3. f(1,1)=3,1 e−1,1≈1,03>1f(1{,}1) = 3{,}1\,\mathrm{e}^{-1{,}1} \approx 1{,}03 > 1 et f(1,2)=3,2 e−1,2≈0,96<1f(1{,}2) = 3{,}2\,\mathrm{e}^{-1{,}2} \approx 0{,}96 < 1
  4. ⇒\Rightarrow1,1<β<1,21{,}1 < \beta < 1{,}2

5. Tracé : C\mathcal{C} coupe l’axe des abscisses en (−2 ;0)(-2\,;0), l’axe des ordonnées en (0 ;2)(0\,;2), culmine en S(−1 ;e)S(-1\,;\mathrm{e}), puis se recolle à l’axe des abscisses.

Courbe de f(x) = (x + 2)e⁻ˣ, tangente T en 0 et droite y = 1 −2−1123456−112Oxy y = 1 asymptote y = 0 T : y = −x + 2 S(−1 ; e) αβ C : y = (x + 2)e⁻ˣ
Figure 5 — La courbe C\mathcal{C} de f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)\mathrm{e}^{-x}, sa tangente T:y=−x+2T : y = -x + 2 en (0 ;2)(0\,;2), son maximum S(−1 ;e)S(-1\,;\mathrm{e}) et l’asymptote y=0y = 0. La droite y=1y = 1 coupe C\mathcal{C} en deux points d’abscisses α≈−1,84\alpha \approx -1{,}84 et β≈1,15\beta \approx 1{,}15, conformément à la question 4.
13

Soit gg définie sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ par g(x)=ln⁡xxg(x) = \dfrac{\ln x}{x}.

  1. Détermine les limites de gg en 0+0^{+} et en +∞+\infty, et les asymptotes de sa courbe.
  2. Calcule g′(x)g'(x), puis dresse le tableau de variations de gg.
  3. En déduire une comparaison de eπ\mathrm{e}^{\pi} et πe\pi^{\mathrm{e}}, sans calculatrice.
  4. Discute, selon la valeur du réel kk, le nombre de solutions de l’équation ln⁡x=kx\ln x = kx.
Voir le corrigé détaillé

1. En 0+0^{+} : ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty et 1x→+∞\dfrac{1}{x} \to +\infty, donc g(x)=ln⁡x×1x→−∞g(x) = \ln x \times \dfrac{1}{x} \to -\infty (produit de limites, pas d’indétermination) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale. En +∞+\infty : lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 par croissances comparées : l’axe des abscisses est asymptote horizontale.

2.

  1. g′(x)=1x×x−ln⁡x×1x2g'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^{2}}(uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}
  2. ==1−ln⁡xx2\dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}
  3. g′(x)>0  ⟺  ln⁡x<1  ⟺  x<eg'(x) > 0 \iff \ln x < 1 \iff x < \mathrm{e}
  4. g(e)=ln⁡ee=1eg(\mathrm{e}) = \dfrac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}} = \dfrac{1}{\mathrm{e}}
xx00e\mathrm{e}+∞+\infty
g′(x)g'(x)∥++00−-
g(x)g(x)−∞-\infty↗1e\dfrac{1}{\mathrm{e}}↘00

3. Comme e<π\mathrm{e} < \pi et que gg est strictement décroissante sur [e ;+∞[\left[\mathrm{e}\,;+\infty\right[ :

  1. g(e)>g(π)g(\mathrm{e}) > g(\pi)
  2.   ⟺  \iff1e>ln⁡ππ\dfrac{1}{\mathrm{e}} > \dfrac{\ln \pi}{\pi}
  3.   ⟺  \iffπ>eln⁡π\pi > \mathrm{e}\ln \piproduit en croix, tout est positif
  4.   ⟺  \iffln⁡(eπ)>ln⁡(πe)\ln\left(\mathrm{e}^{\pi}\right) > \ln\left(\pi^{\mathrm{e}}\right)π=πln⁡e=ln⁡(eπ)\pi = \pi \ln \mathrm{e} = \ln(\mathrm{e}^{\pi}) et eln⁡π=ln⁡(πe)\mathrm{e}\ln\pi = \ln(\pi^{\mathrm{e}})
  5.   ⟺  \iffeπ>πe\mathrm{e}^{\pi} > \pi^{\mathrm{e}}ln⁡\ln strictement croissante

Vérification : eπ≈23,14\mathrm{e}^{\pi} \approx 23{,}14 et πe≈22,46\pi^{\mathrm{e}} \approx 22{,}46.

4. Pour x>0x > 0, ln⁡x=kx  ⟺  g(x)=k\ln x = kx \iff g(x) = k : on lit sur le tableau le nombre d’antécédents de kk. Si k⩽0k \leqslant 0 : une seule solution (dans ]0 ;1]\left]0\,;1\right]), car sur [e ;+∞[\left[\mathrm{e}\,;+\infty\right[ gg reste strictement positive. Si 0<k<1e0 < k < \dfrac{1}{\mathrm{e}} : deux solutions, une dans ]1 ;e[\left]1\,;\mathrm{e}\right[ et une dans ]e ;+∞[\left]\mathrm{e}\,;+\infty\right[. Si k=1ek = \dfrac{1}{\mathrm{e}} : une seule, x=ex = \mathrm{e}. Si k>1ek > \dfrac{1}{\mathrm{e}} : aucune. Géométriquement : la droite y=kxy = kx passant par l’origine est tangente à la courbe de ln⁡\ln pour k=1ek = \dfrac{1}{\mathrm{e}}, au point (e ;1)(\mathrm{e}\,;1).

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Urbanisme à Ndjamena. La population de Ndjamena est estimée à 1,61{,}6 million d’habitants en 2026 et augmente d’environ 3,53{,}5 % par an. On note N(t)N(t) la population, en millions, tt années après 2026, de sorte que N(t)=1,6×1,035tN(t) = 1{,}6 \times 1{,}035^{t}.

  1. Écris N(t)N(t) à l’aide de la fonction exponentielle.
  2. Au bout de combien d’années la population aura-t-elle doublé ?
  3. Estime la population en 2050.
  4. La mairie prévoit de construire chaque année des logements pour 56 00056\,000 habitants supplémentaires. Ce plan « linéaire » suffira-t-il en 2050 ? Que dit la croissance comparée à long terme ?
Voir le corrigé détaillé

1. N(t)=1,6 etln⁡1,035N(t) = 1{,}6\,\mathrm{e}^{t\ln 1{,}035}, avec ln⁡1,035≈0,0344\ln 1{,}035 \approx 0{,}0344.

2. On résout N(t)=2×1,6N(t) = 2 \times 1{,}6.

  1. 1,035t=21{,}035^{t} = 2
  2.   ⟺  \ifftln⁡1,035=ln⁡2t\ln 1{,}035 = \ln 2
  3.   ⟺  \ifft=ln⁡2ln⁡1,035≈0,69310,0344t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}035} \approx \dfrac{0{,}6931}{0{,}0344}
  4. ≈\approx20,120{,}1 ans

La population double en environ 20 ans, c’est-à-dire vers 2046.

3. En 2050, t=24t = 24.

  1. N(24)=1,6 e24×0,0344≈1,6 e0,826N(24) = 1{,}6\,\mathrm{e}^{24 \times 0{,}0344} \approx 1{,}6\,\mathrm{e}^{0{,}826}
  2. ≈\approx1,6×2,28≈3,651{,}6 \times 2{,}28 \approx 3{,}65 millions

4. Le plan linéaire loge L(t)=1,6+0,056 tL(t) = 1{,}6 + 0{,}056\,t millions d’habitants ; L(24)=1,6+1,344=2,944L(24) = 1{,}6 + 1{,}344 = 2{,}944 millions. Il manquera donc des logements pour environ 0,70{,}7 million de personnes dès 2050. À long terme, N(t)L(t)\dfrac{N(t)}{L(t)} est de la forme ektat+b\dfrac{\mathrm{e}^{kt}}{at + b} avec k>0k > 0 : par croissances comparées, ce rapport tend vers +∞+\infty. Un effort constant ne peut pas suivre une croissance exponentielle : le nombre de logements construits chaque année doit lui-même augmenter de 3,53{,}5 % par an.

15

Élevage près de Bamako — la loi de Kleiber. En biologie, la dépense énergétique quotidienne d’un mammifère de masse MM (en kg) suit la loi de Kleiber : P(M)=70 M3/4P(M) = 70\,M^{3/4}, en kilocalories par jour. Moussa élève des zébus de 400400 kg et des chèvres de 2525 kg.

  1. Calcule la dépense quotidienne d’un zébu et d’une chèvre (valeurs exactes puis arrondies).
  2. Le zébu est 1616 fois plus lourd que la chèvre. Combien de fois dépense-t-il plus d’énergie ? Justifie par un calcul de puissance.
  3. On note q(M)=P(M)Mq(M) = \dfrac{P(M)}{M} la dépense par kilogramme. Étudie le sens de variation de qq et interprète.
  4. Un kilogramme de fourrage apporte 2 0002\,000 kcal. Compare la ration quotidienne d’un zébu à celle de huit chèvres.
Voir le corrigé détaillé

1. On utilise M3/4=(M1/2)3/2M^{3/4} = \left(M^{1/2}\right)^{3/2} ou, plus simplement, des carrés parfaits.

  1. 4003/4=(202)3/4=203/2=2020=405400^{3/4} = \left(20^{2}\right)^{3/4} = 20^{3/2} = 20\sqrt{20} = 40\sqrt{5}
  2. ⇒\RightarrowP(400)=70×405=2 8005≈6 261P(400) = 70 \times 40\sqrt{5} = 2\,800\sqrt{5} \approx 6\,261 kcal/j
  3. 253/4=(52)3/4=53/2=5525^{3/4} = \left(5^{2}\right)^{3/4} = 5^{3/2} = 5\sqrt{5}
  4. ⇒\RightarrowP(25)=3505≈783P(25) = 350\sqrt{5} \approx 783 kcal/j

2.

  1. P(400)P(25)=(40025)3/4=163/4\dfrac{P(400)}{P(25)} = \left(\dfrac{400}{25}\right)^{3/4} = 16^{3/4}(ab)α=aαbα\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha} = \dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}
  2. ==(24)3/4=23=8\left(2^{4}\right)^{3/4} = 2^{3} = 8

Seize fois plus lourd, le zébu ne dépense que huit fois plus d’énergie : c’est l’effet de l’exposant 34<1\dfrac{3}{4} < 1.

3. q(M)=70 M3/4−1=70 M−1/4q(M) = 70\,M^{3/4 - 1} = 70\,M^{-1/4}. Comme l’exposant est négatif, qq est strictement décroissante sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ (on peut aussi calculer q′(M)=−17,5 M−5/4<0q'(M) = -17{,}5\,M^{-5/4} < 0). Plus l’animal est gros, moins il dépense par kilogramme : q(25)≈31,3q(25) \approx 31{,}3 kcal/kg contre q(400)≈15,7q(400) \approx 15{,}7 kcal/kg. C’est pourquoi les petits animaux doivent manger sans cesse.

4. Zébu : 6 2612 000≈3,1\dfrac{6\,261}{2\,000} \approx 3{,}1 kg de fourrage par jour. Huit chèvres : 8×7832 000≈3,18 \times \dfrac{783}{2\,000} \approx 3{,}1 kg également. Pour la même masse totale de 200200 kg, huit chèvres consomment autant qu’un zébu de 400400 kg : à ration égale, Moussa nourrit deux fois plus de masse vive avec le zébu.

16

Cybersécurité à Abidjan. Aminata, ingénieure dans une fintech du Plateau, doit fixer la longueur minimale nn des mots de passe de l’application de paiement mobile. Chaque caractère est choisi parmi 6262 symboles (lettres majuscules, minuscules, chiffres). Un pirate peut tester 10910^{9} mots de passe par seconde ; dans le pire cas il doit tous les essayer, ce qui prend T(n)=62n109T(n) = \dfrac{62^{n}}{10^{9}} secondes.

  1. Écris T(n)T(n) à l’aide de la fonction exponentielle.
  2. Calcule T(8)T(8) en jours, puis T(12)T(12) en années (11 an ≈3,156×107\approx 3{,}156 \times 10^{7} s).
  3. Aminata exige que le pire cas dépasse 100100 ans. Détermine la longueur minimale nn.
  4. Le pirate achète un matériel 1 0001\,000 fois plus rapide. De combien de caractères Aminata doit-elle allonger les mots de passe pour compenser ?
Voir le corrigé détaillé

1. T(n)=enln⁡62109T(n) = \dfrac{\mathrm{e}^{n\ln 62}}{10^{9}}, avec ln⁡62≈4,127\ln 62 \approx 4{,}127 : TT est une fonction exponentielle de nn.

2.

  1. 628=e8×4,127≈2,18×101462^{8} = \mathrm{e}^{8 \times 4{,}127} \approx 2{,}18 \times 10^{14}
  2. ⇒\RightarrowT(8)≈2,18×105 s≈60,6 h≈2,5T(8) \approx 2{,}18 \times 10^{5}\ \text{s} \approx 60{,}6\ \text{h} \approx 2{,}5 jours
  3. 6212≈3,23×102162^{12} \approx 3{,}23 \times 10^{21}
  4. ⇒\RightarrowT(12)≈3,23×1012 s≈3,23×10123,156×107≈102 000T(12) \approx 3{,}23 \times 10^{12}\ \text{s} \approx \dfrac{3{,}23 \times 10^{12}}{3{,}156 \times 10^{7}} \approx 102\,000 ans

Quatre caractères de plus font passer le temps de cassage de deux jours et demi à cent mille ans.

3. 100100 ans représentent 3,156×1093{,}156 \times 10^{9} s.

  1. T(n)⩾3,156×109T(n) \geqslant 3{,}156 \times 10^{9}
  2.   ⟺  \iff62n⩾3,156×101862^{n} \geqslant 3{,}156 \times 10^{18}
  3.   ⟺  \iffnln⁡62⩾ln⁡(3,156×1018)≈42,60n\ln 62 \geqslant \ln\left(3{,}156 \times 10^{18}\right) \approx 42{,}60ln⁡\ln croissante ; ln⁡(3,156)+18ln⁡10\ln(3{,}156) + 18\ln 10
  4.   ⟺  \iffn⩾42,604,127≈10,3n \geqslant \dfrac{42{,}60}{4{,}127} \approx 10{,}3

Comme nn est entier, la longueur minimale est n=11n = 11 (alors T(11)≈1 650T(11) \approx 1\,650 ans, contre 2727 ans seulement pour n=10n = 10).

4. Il faut multiplier 62n62^{n} par 1 0001\,000, c’est-à-dire ajouter mm caractères avec 62m⩾1 00062^{m} \geqslant 1\,000, soit m⩾ln⁡1 000ln⁡62≈6,9084,127≈1,67m \geqslant \dfrac{\ln 1\,000}{\ln 62} \approx \dfrac{6{,}908}{4{,}127} \approx 1{,}67 : deux caractères suffisent. Une amélioration multiplicative du matériel ne coûte qu’un allongement additif du mot de passe : c’est la croissance comparée de l’exponentielle qui protège les utilisateurs.

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Pour α\alpha un réel et x>0x>0, la fonction puissance x↦xαx \mapsto x^{\alpha} est définie par :

Explication : Pour x>0x>0, on pose par définition xα=eαln⁡xx^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x}, ce qui donne un sens à un exposant réel quelconque, pas seulement entier.

L'écriture xα=eαln⁡xx^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x} impose quelle condition sur xx ?

Explication : ln⁡x\ln x n'existe que pour x>0x>0 : l'écriture (−2)2(-2)^{\sqrt{2}} n'a donc aucun sens dans ce cadre, contrairement aux puissances entières qui restent définies pour tout xx.

Pour tout réel α\alpha, la dérivée de f(x)=xαf(x) = x^{\alpha} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ est :

Explication : La formule connue pour les exposants entiers reste valable pour tout exposant réel : f′(x)=α xα−1f'(x) = \alpha\,x^{\alpha-1}.

Sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, pour α<0\alpha < 0, la fonction x↦xαx \mapsto x^{\alpha} est :

Explication : Pour α<0\alpha<0, le signe de f′(x)=αxα−1f'(x)=\alpha x^{\alpha-1} est celui de α\alpha, donc négatif : la fonction est strictement décroissante, avec lim⁡x→0+xα=+∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^\alpha=+\infty et lim⁡x→+∞xα=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0.

Toutes les courbes y=xαy=x^{\alpha}, quel que soit α\alpha, passent par un même point. Lequel ?

Explication : Comme 1α=11^{\alpha}=1 pour tout réel α\alpha, toutes les courbes passent par le point (1 ;1)(1\,;1).

Pour n⩾1n \geqslant 1 entier et a⩾0a \geqslant 0, la racine nn-ième an\sqrt[n]{a} est définie comme :

Explication : an\sqrt[n]{a} est, par définition, l'unique réel positif ou nul dont la puissance nn-ième vaut aa — c'est la bijection réciproque de x↦xnx\mapsto x^n sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[.

Sur R\mathbb{R}, combien de solutions admet l'équation x4=16x^{4} = 16 ?

Explication : Comme n=4n=4 est pair, l'équation xn=ax^n=a (avec a>0a>0) a deux solutions : an\sqrt[n]{a} et −an-\sqrt[n]{a}, soit ici 22 et −2-2.

En x=0x=0, la fonction x↦xnx \mapsto \sqrt[n]{x} (avec n⩾2n \geqslant 2) présente :

Explication : Le taux d'accroissement en 00 vaut h1n−1h^{\frac{1}{n}-1}, qui tend vers +∞+\infty quand h→0+h\to0^+ (exposant négatif) : la courbe admet une demi-tangente verticale en OO, sans être dérivable.

Que vaut lim⁡x→+∞exx\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}, lemme fondamental des croissances comparées ?

Explication : C'est le lemme fondamental, démontré à partir de l'inégalité ex>x22\mathrm{e}^x > \dfrac{x^2}{2} : lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty.

Dans la hiérarchie des croissances comparées en +∞+\infty, quel est l'ordre correct, du plus lent au plus rapide ?

Explication : À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme : ln⁡x≪xα≪ex\ln x \ll x^{\alpha} \ll \mathrm{e}^{x}.

Que vaut lim⁡x→+∞exx100\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{100}} ?

Explication : Même si x100x^{100} dépasse ex\mathrm{e}^{x} pour les premières valeurs de xx, le théorème garantit qu'en +∞+\infty, l'exponentielle finit toujours par l'emporter définitivement : la limite vaut +∞+\infty.

Que vaut lim⁡x→0+x2ln⁡(x)\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln(x) ?

Explication : C'est une forme 0×(−∞)0 \times (-\infty) que lève le théorème des croissances comparées : lim⁡x→0+xαln⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to0^+} x^{\alpha}\ln x = 0 pour α>0\alpha>0, ici α=2\alpha=2.

Calcule lim⁡x→+∞(ex−x3)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - x^{3}\right) en factorisant par le terme dominant ex\mathrm{e}^{x}.

Explication : ex−x3=ex(1−x3ex)\mathrm{e}^x - x^3 = \mathrm{e}^x\left(1 - \dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x}\right). Comme x3ex→0\dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x}\to0, la parenthèse tend vers 11, et le produit ex×1→+∞\mathrm{e}^x \times 1 \to +\infty.

Face à une forme indéterminée « ∞−∞\infty - \infty » avec exponentielle et polynôme, la méthode consiste à :

Explication : La stratégie constante est : identifier la forme indéterminée, factoriser par le terme dominant (ou changer de variable), puis conclure en citant le théorème des croissances comparées.

Pour calculer lim⁡x→−∞x2ex\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{2}\mathrm{e}^{x}, quel changement de variable est recommandé ?

Explication : Une limite en −∞-\infty avec ex\mathrm{e}^{x} se traite toujours en posant t=−x→+∞t=-x\to+\infty : ici x2ex=t2e−t→0x^2\mathrm{e}^x = t^2\mathrm{e}^{-t} \to 0 par croissances comparées.

Que vaut lim⁡x→0+xx\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} (forme 000^0) ?

Explication : On écrit xx=exln⁡xx^x = \mathrm{e}^{x\ln x} ; comme xln⁡x→0x\ln x \to 0 (croissance comparée), par continuité de exp⁡\exp, xx→e0=1x^x \to \mathrm{e}^0 = 1.

Pourquoi lim⁡x→0+xx=1\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x=1 ne signifie-t-il pas que « 00=10^0=1 » en général ?

Explication : 000^0, 1∞1^{\infty} et ∞0\infty^0 sont des formes indéterminées : chaque limite à exposant variable doit être recalculée via evln⁡u\mathrm{e}^{v\ln u}, sans raccourci ni généralisation abusive d'un résultat particulier.

Résous dans ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ l'équation x3=64x^{3} = 64 grâce à la méthode xα=k  ⟺  x=k1/αx^{\alpha}=k \iff x = k^{1/\alpha}.

Explication : On applique ln⁡\ln : 3ln⁡x=ln⁡643\ln x = \ln 64, donc x=641/3=643=4x = 64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4, car 43=644^3=64.

Une bactérie voit sa population évoluer selon N(t)=N0 tα e−tN(t) = N_0 \, t^{\alpha} \, \mathrm{e}^{-t} pour t⩾1t \geqslant 1 (modèle simplifié, tt en heures). Que vaut lim⁡t→+∞N(t)\displaystyle\lim_{t \to +\infty} N(t) pour tout α>0\alpha > 0 ?

Explication : Comme tαet→0\dfrac{t^{\alpha}}{\mathrm{e}^{t}} \to 0 quel que soit α>0\alpha>0 (croissances comparées), N(t)=N0×tαe−t→0N(t) = N_0 \times t^{\alpha}\mathrm{e}^{-t} \to 0 : l'exponentielle décroissante finit toujours par dominer, quelle que soit la puissance en facteur.

Pour comparer 232^{\sqrt{3}} et 323^{\sqrt{2}} sans calculatrice, on calcule ln⁡(23)=3ln⁡2≈1,200\ln\left(2^{\sqrt3}\right)=\sqrt3\ln2\approx1{,}200 et ln⁡(32)=2ln⁡3≈1,554\ln\left(3^{\sqrt2}\right)=\sqrt2\ln3\approx1{,}554. Quelle est la conclusion ?

Explication : Comme ln⁡\ln est strictement croissante et conserve l'ordre des réels strictement positifs, ln⁡(23)<ln⁡(32)\ln\left(2^{\sqrt3}\right) < \ln\left(3^{\sqrt2}\right) entraîne directement 23<322^{\sqrt3} < 3^{\sqrt2}.
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