Fonction logarithme népérien

Définir ln, établir ses propriétés et l'utiliser en calcul et en étude de fonctions.

Mathématiques Terminale Chapitre 4 / 19 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Utiliser les propriétés algébriques de ln
Résoudre équations et inéquations avec ln
Étudier une fonction contenant un logarithme

Depuis la classe de Première, tu sais étudier des fonctions construites à partir de puissances, de polynômes, de quotients : tu calcules une dérivée, tu dresses un tableau de variations, tu traces une courbe. Ce chapitre change la donne. Tu vas rencontrer une fonction d'une nature entièrement nouvelle, la fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , qui n'est ni un polynôme, ni une fraction rationnelle : elle est définie directement à partir de son nombre dérivé. C'est ta première rencontre avec une fonction construite « à l'envers », comme primitive d'une fonction connue.

Cette fonction est partout : le pH d'une solution en chimie, la magnitude d'un séisme sur l'échelle de Richter, le niveau sonore en décibels, le nombre d'années nécessaires pour qu'un capital double, le nombre de chiffres d'un très grand entier utilisé en cryptographie : dans tous ces cas, on « compresse » des nombres qui varient sur une immense plage en une échelle lisible, et c'est exactement ce que fait $\ln$ . Au baccalauréat, ce chapitre est l'un des plus exploités : étude de fonction, équation, inéquation, ROC (restitution organisée de connaissances) y prennent presque toujours appui sur $\ln$ .

La nouveauté méthodologique est de taille : pour démontrer les propriétés de $\ln$ , tu ne factoriseras pas une expression, tu étudieras une fonction auxiliaire — un raisonnement que tu vas retrouver sans cesse cette année. Tu verras aussi apparaître un nombre fondamental, $\mathrm{e}$ , qui joue pour $\ln$ le rôle que joue $1$ pour l'addition, et tu découvriras que $\ln$ grandit vers $+\infty$ , mais infiniment plus lentement que n'importe quelle puissance de $x$ : c'est la notion de croissance comparée, un classique absolu du bac.

Le chapitre suit un fil précis : définir $\ln$ et maîtriser son calcul algébrique, étudier ses limites, dériver des fonctions qui la contiennent, dresser son tableau de variations complet, résoudre équations et inéquations, puis découvrir sa cousine pratique, le logarithme décimal, et ses applications concrètes. Prends ton temps sur les démonstrations : elles reviennent presque à l'identique dans chaque type d'exercice.

1Définition et propriétés algébriques

Commençons par le commencement : que veut dire exactement $\ln$ , et pourquoi une simple définition suffit-elle à reconstruire toutes les règles de calcul que tu connais peut-être déjà par cœur ?

1.1 Définition de la fonction logarithme népérien

Définition

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est continue sur $\left]0 ; +\infty\right[$ ; elle admet donc des primitives sur cet intervalle (théorème admis, vu en cours sur les primitives). On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , l'unique primitive sur $\left]0 ; +\infty\right[$ de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$ .

Autrement dit, $\ln$ est dérivable sur $\left]0 ; +\infty\right[$ et, pour tout $x > 0$ :

$\ln'(x) = \dfrac{1}{x} \qquad \text{et} \qquad \ln(1) = 0$

Cette définition tient en deux lignes, mais elle contient déjà tout : le domaine ( $\ln$ n'existe que pour $x$ strictement positif, aucun sens à donner à $\ln(0)$ ou à $\ln(-2)$ ), le nombre dérivé et une valeur particulière.

Propriété — sens de variation

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$ .

En effet, pour tout $x > 0$ , $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ : le nombre dérivé est strictement positif sur tout l'intervalle, donc $\ln$ est strictement croissante (théorème connu depuis le chapitre sur la dérivation).

Exemple — signe de

\ln(x)

selon les valeurs de

x

Comme $\ln$ est strictement croissante et que $\ln(1) = 0$ , on compare simplement chaque nombre à $1$ .

si $0 < x < 1$ : $\ln(x) < \ln(1)$ $\ln$ croissante
$\Rightarrow$ $\ln(x) < 0$
si $x = 1$ : $\ln(x) = 0$
si $x > 1$ : $\ln(x) > \ln(1)$
$\Rightarrow$ $\ln(x) > 0$

1.2 Relation fonctionnelle fondamentale

Voici la propriété qui justifie le nom de « logarithme » : elle transforme un produit en somme, exactement ce qui rendait cette fonction si précieuse avant l'invention des calculatrices.

Théorème

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$

Démonstration

Soit $a > 0$ fixé. On définit sur $\left]0 ; +\infty\right[$ la fonction auxiliaire $\varphi(x) = \ln(ax) - \ln(x)$ . La fonction $x \mapsto ax$ est dérivable et strictement positive sur $\left]0 ; +\infty\right[$ , donc $\varphi$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables, et :

$\varphi'(x) = a \times \ln'(ax) - \ln'(x)$ dérivée de $x \mapsto \ln(ax)$ , composée
$=$ $a \times \dfrac{1}{ax} - \dfrac{1}{x}$
$=$ $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x}$
$=$ $0$

La fonction $\varphi$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\left]0 ; +\infty\right[$ : elle est donc constante sur cet intervalle. Sa valeur constante s'obtient en l'évaluant en $x = 1$ :

$\varphi(1) = \ln(a \times 1) - \ln(1)$
$=$ $\ln(a) - 0$
$=$ $\ln(a)$

Donc, pour tout $x > 0$ , $\varphi(x) = \ln(a)$ , c'est-à-dire $\ln(ax) - \ln(x) = \ln(a)$ . En choisissant $x = b$ , on obtient $\ln(ab) - \ln(b) = \ln(a)$ , soit $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ . C.Q.F.D.

Exemple — utiliser la relation fonctionnelle

Sachant que $\ln(2) \approx 0{,}693$ et $\ln(3) \approx 1{,}099$ , donne une valeur approchée de $\ln(6)$ , puis simplifie $B = \ln(4) + \ln(25)$ .

$\ln(6) = \ln(2 \times 3) = \ln(2) + \ln(3)$
$\approx$ $0{,}693 + 1{,}099$
$\approx$ $1{,}792$
$B = \ln(4) + \ln(25) = \ln(4 \times 25)$
$=$ $\ln(100)$

1.3 Conséquences algébriques

Propriété

Pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :

$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a) \qquad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$

$\ln\left(a^{n}\right) = n\ln(a) \qquad \ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$

Démonstration

Inverse. D'après le théorème précédent appliqué à $a$ et $\dfrac{1}{a}$ : $\ln\!\left(a \times \dfrac{1}{a}\right) = \ln(a) + \ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)$ , soit $\ln(1) = \ln(a) + \ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)$ . Comme $\ln(1) = 0$ , on isole $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ .

Quotient. On écrit $\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}$ , puis on applique les deux résultats déjà connus : $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) + \ln\!\left(\dfrac{1}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ .

Puissance entière. Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ , on applique $n - 1$ fois la relation fonctionnelle à $\ln(a \times a \times \cdots \times a)$ (récurrence immédiate) : $\ln(a^{n}) = n\ln(a)$ . Pour $n = 0$ , $a^{0} = 1$ et $\ln(1) = 0 = 0 \times \ln(a)$ : la formule reste vraie. Pour $n$ entier négatif, $n = -p$ avec $p \in \mathbb{N}^{*}$ , et $\ln(a^{-p}) = \ln\!\left(\dfrac{1}{a^{p}}\right) = -\ln(a^{p}) = -p\ln(a)$ : la formule s'étend à tout $n \in \mathbb{Z}$ .

Racine carrée. Comme $\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$ , on applique $\ln$ aux deux membres et la formule de puissance avec $n = 2$ : $\ln(a) = \ln\!\left(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\right) = 2\ln\!\left(\sqrt{a}\right)$ , d'où $\ln\!\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$ .

Exemple — combiner les propriétés

Simplifie $C = 2\ln(3) + \ln(2) - \ln(18)$ , puis exprime $\ln(72)$ en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(3)$ .

$2\ln(3) = \ln\left(3^{2}\right) = \ln(9)$
$C = \ln(9) + \ln(2) - \ln(18)$
$=$ $\ln(9 \times 2) - \ln(18)$
$=$ $\ln(18) - \ln(18)$
$=$ $0$

$72 = 2^{3} \times 3^{2}$
$\ln(72) = \ln\left(2^{3}\right) + \ln\left(3^{2}\right)$
$=$ $3\ln(2) + 2\ln(3)$ $\approx 3(0{,}693) + 2(1{,}099) \approx 4{,}277$

Attention

Deux pièges classiques du bac. D'abord, il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$ : $\ln(1+1) = \ln(2) \approx 0{,}693$ alors que $\ln(1) + \ln(1) = 0$ . Ne « distribue » jamais $\ln$ sur une somme.

Ensuite, la relation $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ exige $a > 0$ et $b > 0$ séparément — pas seulement $ab > 0$ . Par exemple $a = -2$ et $b = -3$ donnent $ab = 6 > 0$ , donc $\ln(6)$ existe bien, mais $\ln(a)$ et $\ln(b)$ n'existent pas : on ne peut donc pas écrire $\ln(6) = \ln(-2) + \ln(-3)$ . Tu retrouveras ce piège, sous une autre forme, dans les équations de la section 5 : toujours déterminer le domaine avant de manipuler une expression contenant $\ln$ .

Math & Co — Neper et la naissance des logarithmes

En $1614$ , l'Écossais John Napier (francisé en « Neper »), baron de Merchiston, publie à Édimbourg Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (« Description de la merveilleuse règle des logarithmes »). Son idée est révolutionnaire pour l'époque : construire une correspondance qui transforme tout produit de deux grands nombres en une simple somme. Pour les astronomes et les navigateurs du XVIIe siècle, qui multipliaient à la main des nombres à sept ou huit chiffres, ce fut un gain de temps immense — l'astronome Pierre-Simon Laplace dira plus tard que les logarithmes, « en abrégeant les calculs, doublèrent la vie des astronomes ».

Le logarithme de Neper n'était pas exactement notre $\ln$ actuel (il le définissait à partir d'un problème de cinématique, sans notion de primitive), mais l'idée essentielle — remplacer un produit par une somme — est restée. C'est cette même idée que tu viens de démontrer proprement avec les outils de la Terminale : la fonction auxiliaire et la dérivée.

2Limites et croissance comparée

Maintenant que le calcul algébrique est maîtrisé, il faut comprendre comment $\ln$ se comporte aux bornes de son domaine — et surtout, comparer sa vitesse de croissance à celle des fonctions puissances, un point que le bac interroge presque systématiquement.

2.1 Limites aux bornes

Théorème

$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \qquad \qquad \lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty$

Démonstration

En $+\infty$ . Comme $2 > 1$ et que $\ln$ est strictement croissante avec $\ln(1) = 0$ , on a $\ln(2) > 0$ . D'après la formule des puissances, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\ln\left(2^{n}\right) = n\ln(2)$ . Puisque $\ln(2) > 0$ , la suite $n\ln(2)$ tend vers $+\infty$ : pour tout réel $M$ , il existe un entier $n$ tel que $n\ln(2) > M$ . Comme $\ln$ est croissante, pour tout $x \geqslant 2^{n}$ , $\ln(x) \geqslant \ln\left(2^{n}\right) = n\ln(2) > M$ . Ceci étant vrai pour tout $M$ , on conclut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ .

En $0^{+}$ . On pose $X = \dfrac{1}{x}$ : quand $x \to 0^{+}$ , $X \to +\infty$ . Or $\ln(x) = \ln\!\left(\dfrac{1}{X}\right) = -\ln(X)$ . D'après le premier résultat, $\ln(X) \to +\infty$ quand $X \to +\infty$ , donc $-\ln(X) \to -\infty$ . Par composition des limites, $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty$ . C.Q.F.D.

Exemple — limite d'une fonction composée

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to \left(\frac{5}{3}\right)^{+}} \ln(3x - 5)$ .

on pose $u(x) = 3x - 5$
$u(x) \to 0^{+}$ quand $x \to \left(\dfrac{5}{3}\right)^{+}$ $u$ affine croissante, $u\left(\frac{5}{3}\right)=0$
$\Rightarrow$ $\ln(3x-5) \to -\infty$ composition avec $\lim_{X \to 0^{+}} \ln X = -\infty$

2.2 Limite de référence en $0$

Propriété — limite de référence

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$

Démonstration

Cette limite n'est autre que le nombre dérivé de $\ln$ en $1$ , écrit avec la définition du taux d'accroissement :

$\ln'(1) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h) - \ln(1)}{h}$
$=$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}$ $\ln(1) = 0$

Or $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ , donc $\ln'(1) = 1$ . En renommant $h$ en $x$ , on obtient $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$ . C.Q.F.D.

Exemple — appliquer la limite de référence

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+5x)}{x}$ .

on pose $t = 5x$ ; quand $x \to 0$ , $t \to 0$
$\dfrac{\ln(1+5x)}{x} = 5 \times \dfrac{\ln(1+t)}{t}$
$\to$ $5 \times 1$ limite de référence
$=$ $5$

2.3 Croissance comparée en $+\infty$

$\ln(x)$ tend vers $+\infty$ , mais on va voir qu'il le fait extrêmement lentement : plus lentement que $x$ , et même que $\sqrt{x}$ .

Propriété

Pour tout $x > 0$ : $\ln(x) \leqslant x - 1$ , avec égalité si et seulement si $x = 1$ .

Démonstration

On étudie la fonction auxiliaire $g(x) = x - 1 - \ln(x)$ sur $\left]0 ; +\infty\right[$ .

$g'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$
pour $0 < x < 1$ : $x - 1 < 0$ et $x > 0$ , donc $g'(x) < 0$
pour $x > 1$ : $x - 1 > 0$ , donc $g'(x) > 0$

$g$ est donc strictement décroissante sur $\left]0;1\right]$ puis strictement croissante sur $\left[1;+\infty\right[$ : elle admet un minimum en $x = 1$ , qui vaut $g(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0$ . Donc, pour tout $x > 0$ , $g(x) \geqslant 0$ , c'est-à-dire $x - 1 - \ln(x) \geqslant 0$ , soit $\ln(x) \leqslant x - 1$ , avec égalité uniquement au minimum, en $x = 1$ . C.Q.F.D.

Figure 1 — La courbe de

\ln

est entièrement située sous la droite

y = x - 1

, qui est la tangente à la courbe au point d'abscisse

1

; les deux courbes se touchent uniquement en ce point.

Théorème — croissance comparée en

+\infty

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$

Démonstration

Pour tout $x > 0$ , on applique la propriété précédente à $\sqrt{x}$ : $\ln\!\left(\sqrt{x}\right) \leqslant \sqrt{x} - 1 < \sqrt{x}$ . Or $\ln\!\left(\sqrt{x}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(x)$ , donc $\dfrac{1}{2}\ln(x) < \sqrt{x}$ , c'est-à-dire $\ln(x) < 2\sqrt{x}$ .

Pour $x > 0$ , on divise cette inégalité par $x > 0$ (le sens est conservé) :

$0 < \dfrac{\ln(x)}{x} < \dfrac{2\sqrt{x}}{x} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}$ pour $x \geqslant 1$ , $\ln(x)\geqslant 0$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{\sqrt{x}} = 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ théorème des gendarmes

On admet — la démonstration se fait par un changement de variable analogue — que ce résultat se généralise : pour tout entier $n \geqslant 1$ ,

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^{n}} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left(\ln(x)\right)^{n}}{x} = 0$

Autrement dit : en $+\infty$ , $x$ l'emporte toujours sur $\ln(x)$ , quelle que soit la puissance de $\ln(x)$ au numérateur ou la puissance de $x$ au dénominateur.

Figure 2 — Sur

\left]0 ; 10\right]

, la droite

y=x

domine largement la courbe

y=\sqrt{x}

, elle-même largement au-dessus de

y = \ln(x)

: plus l'échelle s'agrandit, plus l'écart se creuse.

Exemple — croissances comparées en

+\infty

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left(\ln x\right)^{2}}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x - \ln x\right)$ .

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left(\ln x\right)^{2}}{x} = 0$ croissance comparée, cas $n=2$ au numérateur
$x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$
$\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ donc $1 - \dfrac{\ln x}{x} \to 1$
$\Rightarrow$ $x - \ln x \to +\infty \times 1 = +\infty$ produit de limites

2.4 Croissance comparée en $0^{+}$

Théorème — croissance comparée en

0^{+}

$\lim_{x \to 0^{+}} x\ln(x) = 0$

Démonstration

On pose $X = \dfrac{1}{x}$ : quand $x \to 0^{+}$ , $X \to +\infty$ .

$x\ln(x) = \dfrac{1}{X}\ln\!\left(\dfrac{1}{X}\right)$
$=$ $\dfrac{1}{X} \times \left(-\ln X\right)$ $\ln(1/X) = -\ln X$
$=$ $-\dfrac{\ln X}{X}$
$\to$ $-0 = 0$ croissance comparée en $+\infty$ , $X \to +\infty$

Par composition des limites, $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x\ln(x) = 0$ . C.Q.F.D.

De même, on admet la généralisation : pour tout entier $n \geqslant 1$ , $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{n}\ln(x) = 0$ .

Méthode — lever une forme indéterminée avec

\ln

Face à une forme « $0 \times \infty$ » ou « $\infty - \infty$ » contenant $\ln$ , factorise pour faire apparaître $\dfrac{\ln x}{x}$ , $x\ln x$ ou l'une de leurs généralisations, puis applique directement le résultat de croissance comparée. N'essaie jamais de raisonner « terme à terme » : $x$ et $\ln x$ tendent tous deux vers $+\infty$ , mais leur différence ou leur produit avec une puissance de $x \to 0$ a un comportement qui dépend entièrement du rapport de force entre les deux croissances.

Exemple — croissances comparées en

0^{+}

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \left(x\ln(x) - x\right)$ .

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\ln(x) = 0$ croissance comparée, cas $n=2$
$x\ln(x) \to 0$ et $x \to 0$
$\Rightarrow$ $x\ln(x) - x \to 0 - 0 = 0$ somme de limites finies

Attention

« $\ln(x) \to +\infty$ » ne signifie pas que $\ln(x)$ devient un jour plus grand que $x$ ou que $\sqrt{x}$ : c'est même l'inverse, $\ln(x) < \sqrt{x} < x$ pour tout $x$ assez grand (et même pour tout $x>0$ pour la première inégalité). Une erreur fréquente au bac consiste à conclure trop vite qu'une somme ou une différence de deux limites infinies « se voit » terme à terme : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\ln x - x\right)$ n'est pas une forme évidente égale à $+\infty$ , c'est une forme indéterminée $\infty - \infty$ qui se résout par factorisation et vaut en réalité $-\infty$ (c'est $-x$ qui l'emporte).

3Dérivée de ln u

La dérivée de $\ln$ seule est connue depuis sa définition. Reste à traiter le cas beaucoup plus fréquent en pratique : une fonction composée $\ln(u(x))$ , où $u$ est elle-même une fonction dérivable.

3.1 Théorème et démonstration

Théorème

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ . Alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ , et pour tout $x \in I$ :

$\left(\ln u\right)'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Démonstration

$\ln u$ est la composée $\ln \circ u$ , avec $u$ dérivable sur $I$ à valeurs dans $\left]0 ; +\infty\right[$ où $\ln$ est dérivable. D'après le théorème de dérivation d'une fonction composée (vu au chapitre « Dérivation ») :

$\left(\ln \circ u\right)'(x) = u'(x) \times \ln'\left(u(x)\right)$
$=$ $u'(x) \times \dfrac{1}{u(x)}$ $\ln'(t) = \frac{1}{t}$ appliqué en $t = u(x)$
$=$ $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

C.Q.F.D.

3.2 La fonction $\ln|u|$

Propriété

Soit $u$ une fonction dérivable qui ne s'annule pas sur un intervalle $I$ (elle peut changer de signe d'un intervalle à l'autre, mais pas sur $I$ lui-même). Alors $\ln|u|$ est dérivable sur $I$ , et :

$\left(\ln|u|\right)'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

C'est la même formule que pour $\ln(u)$ , mais elle s'applique sans condition de signe sur $u$ .

Démonstration

Deux cas se présentent, selon le signe de $u$ sur $I$ (constant, puisque $u$ ne s'annule pas et est dérivable donc continue).

Si $u > 0$ sur $I$ : $|u| = u$ , donc $\ln|u| = \ln(u)$ , et la formule découle directement du théorème 3.1.

Si $u < 0$ sur $I$ : $|u| = -u$ , donc $\ln|u| = \ln(-u)$ , avec $-u > 0$ sur $I$ . En appliquant le théorème 3.1 à la fonction $-u$ :

$\left(\ln(-u)\right)'(x) = \dfrac{(-u)'(x)}{(-u)(x)}$
$=$ $\dfrac{-u'(x)}{-u(x)}$
$=$ $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Dans les deux cas, on obtient la même expression $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ . C.Q.F.D.

3.3 Méthode et exemples

Méthode — dériver une fonction du type

\ln(u(x))

1) Détermine le domaine : l'ensemble des $x$ où $u(x) > 0$ (ou $u(x) \neq 0$ pour $\ln|u|$ ). 2) Calcule $u'(x)$ . 3) Applique directement la formule $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ , sans oublier de diviser par $u(x)$ .

Exemple — dériver

\ln(u(x))

Dérive $f(x) = \ln\left(x^{2}+1\right)$ sur $\mathbb{R}$ , puis $g(x) = \ln(3-2x)$ sur son domaine.

$u(x) = x^{2}+1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ domaine de $f$ : $\mathbb{R}$
$u'(x) = 2x$
$\Rightarrow$ $f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2}+1}$
$3 - 2x > 0 \iff x < \dfrac{3}{2}$ domaine de $g$ : $\left]-\infty ; \frac{3}{2}\right[$
$u(x)=3-2x$ , $u'(x) = -2$
$\Rightarrow$ $g'(x) = \dfrac{-2}{3-2x}$

Exemple — dériver

\ln|u(x)|

Dérive $h(x) = \ln\left|x^{2}-4\right|$ sur son domaine.

$x^{2}-4 = 0 \iff x = -2$ ou $x = 2$ domaine de $h$ : $\mathbb{R}\setminus\{-2\,;\,2\}$
$u(x) = x^{2}-4$ , $u'(x) = 2x$
$\Rightarrow$ $h'(x) = \dfrac{2x}{x^{2}-4}$ formule valable sans condition de signe

Attention

Trois erreurs à bannir : écrire $\left(\ln u\right)' = \ln(u')$ (faux : la dérivée de $\ln u$ n'est jamais le logarithme de $u'$ ) ; oublier de diviser par $u(x)$ ; et confondre le domaine de $u$ avec celui de $\ln(u)$ — il faut $u(x) > 0$ strictement, une simple existence de $u(x)$ ne suffit pas.

Retiens bien cette formule : tu la retrouveras « à l'envers » dans le chapitre sur les primitives, où une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ s'écrit $\ln|u| + k$ .

4Étude de la fonction ln

Rassemblons maintenant tout ce que nous savons — domaine, dérivée, limites — pour dresser le tableau de variations complet de $\ln$ et tracer sa courbe avec précision.

4.1 Ensemble de définition et sens de variation

$\ln$ est définie et dérivable sur $\left]0 ; +\infty\right[$ , avec $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ pour tout $x$ de cet intervalle (section 1.1) : $\ln$ est donc strictement croissante sur tout son domaine, sans aucun extremum local.

4.2 Limites et tableau de variations

D'après la section 2.1, $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ . On peut donc dresser le tableau de variations complet.

$x$	$0$	$+\infty$
Signe de $\ln'(x)$	∥	$+$
Variations de $\ln$	∥ $-\infty$	↗ $+\infty$

Ce tableau donne une information capitale, utilisée sans cesse en section 5 : $\ln$ , étant continue et strictement croissante sur $\left]0;+\infty\right[$ avec pour limites $-\infty$ et $+\infty$ , réalise une bijection de $\left]0;+\infty\right[$ sur $\mathbb{R}$ (théorème de la bijection, vu au chapitre « Étude de fonctions »). Tout réel $k$ possède donc un unique antécédent par $\ln$ .

Exemple — encadrer un antécédent

Justifie que l'équation $\ln(x) = 1{,}5$ admet une unique solution, puis encadre-la par deux entiers consécutifs.

$\ln$ est une bijection de $\left]0;+\infty\right[$ sur $\mathbb R$ continue, strictement croissante
$\Rightarrow$ $1{,}5$ admet un unique antécédent
$\ln(4) \approx 1{,}386$ et $\ln(5) \approx 1{,}609$
$\Rightarrow$ $4 < x < 5$ $\ln$ croissante, $1{,}386 < 1{,}5 < 1{,}609$

4.3 Le nombre $\mathrm{e}$

Définition

Puisque $\ln$ est une bijection de $\left]0;+\infty\right[$ sur $\mathbb{R}$ , le réel $1$ admet un unique antécédent par $\ln$ . On appelle ce nombre $\mathrm{e}$ : c'est l'unique réel strictement positif tel que

$\ln(\mathrm{e}) = 1$

Par la formule des puissances, $\ln\left(\mathrm{e}^{n}\right) = n$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ . La calculatrice donne $\mathrm{e} \approx 2{,}718\,28$ .

Math & Co — Euler et le nombre e

La lettre $\mathrm{e}$ apparaît pour la première fois sous la plume du mathématicien suisse Leonhard Euler, dans un manuscrit de $1727$ - $1728$ , puis dans son ouvrage Mechanica ( $1736$ ). Euler ne choisit sans doute pas ce nom par vanité (« e » comme « Euler ») mais plus probablement parce que $a$ , $b$ , $c$ , $d$ désignaient déjà d'autres quantités dans ses travaux : $e$ était simplement la voyelle suivante disponible.

C'est dans son traité magistral Introductio in analysin infinitorum ( $1748$ ) qu'Euler expose la théorie complète des logarithmes et de $\mathrm{e}$ , établit le lien entre logarithme népérien et fonction exponentielle (que tu étudieras au chapitre suivant), et calcule $\mathrm{e}$ avec dix-huit décimales exactes — un exploit sans calculatrice. Le nombre $\mathrm{e}$ , comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ , est irrationnel (démontré par Euler lui-même) et même transcendant (démontré par Charles Hermite en $1873$ ).

4.4 Tangentes remarquables et courbe

L'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $a$ est $y = \ln(a) + \ln'(a)(x-a) = \ln(a) + \dfrac{1}{a}(x-a)$ . Deux tangentes sont particulièrement utiles.

Exemple — les deux tangentes remarquables

en $a=1$ : $y = \ln(1) + \dfrac{1}{1}(x-1)$
$=$ $x - 1$ pente $1$
en $a=\mathrm{e}$ : $y = \ln(\mathrm{e}) + \dfrac{1}{\mathrm{e}}(x-\mathrm{e})$
$=$ $1 + \dfrac{x}{\mathrm{e}} - 1$
$=$ $\dfrac{x}{\mathrm{e}}$ pente $\frac{1}{\mathrm e}$ , la tangente passe par l'origine !

$x$	$0{,}5$	$1$	$2$	$\mathrm{e}$	$3$	$5$	$10$
$\ln(x)$	$-0{,}693$	$0$	$0{,}693$	$1$	$1{,}099$	$1{,}609$	$2{,}303$

Figure 3 — La courbe de

\ln

avec ses tangentes aux points d'abscisses

1

\mathrm{e}

; remarque que la seconde tangente passe exactement par l'origine du repère.

4.5 Convexité

Propriété

$\ln$ est concave sur $\left]0;+\infty\right[$ : sa courbe est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

En effet, $\ln''(x) = \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}} < 0$ pour tout $x > 0$ : la dérivée seconde est strictement négative, donc $\ln$ est concave sur tout son domaine. C'est précisément cette concavité qui explique géométriquement la Figure 1 : la courbe reste sous la tangente en $x=1$ , c'est-à-dire sous la droite $y=x-1$ , retrouvant ainsi l'inégalité $\ln(x) \leqslant x-1$ démontrée en section 2.3.

5Équations et inéquations logarithmiques

La bijectivité de $\ln$ , établie en 4.2, est l'outil clé pour résoudre équations et inéquations. La règle d'or ne change jamais : domaine d'abord, calcul ensuite.

5.1 Résoudre une équation logarithmique

Propriété

Pour tous $a > 0$ , $b > 0$ et tout réel $k$ :

$\ln(a) = \ln(b) \iff a = b \qquad \qquad \ln(a) = k \iff a = \mathrm{e}^{k}$

Méthode — résoudre une équation avec

\ln

1) Détermine le domaine : l'ensemble des $x$ pour lesquels chaque logarithme de l'équation existe. 2) Regroupe les termes en $\ln$ grâce aux propriétés algébriques, pour obtenir une seule expression de chaque côté. 3) Utilise la propriété ci-dessus (bijectivité). 4) Vérifie que chaque solution appartient au domaine trouvé à l'étape 1 — sinon, rejette-la.

Exemple — résoudre

\ln(x) + \ln(x-3) = \ln(4)

domaine : $x > 0$ et $x - 3 > 0$ soit $x > 3$
$\ln\left(x(x-3)\right) = \ln(4)$ relation fonctionnelle
$\iff$ $x(x-3) = 4$ bijectivité, les deux membres sont $>0$
$\iff$ $x^{2} - 3x - 4 = 0$
$\iff$ $(x-4)(x+1) = 0$ racines évidentes $4$ et $-1$
$\iff$ $x = 4$ ou $x = -1$

Seul $x = 4$ appartient au domaine $\left]3;+\infty\right[$ ; $x=-1$ est à rejeter. L'équation a une unique solution : $S = \{4\}$ .

5.2 Résoudre une inéquation logarithmique

Propriété

Pour tous $a > 0$ , $b > 0$ : $\ln(a) < \ln(b) \iff a < b$ . Le sens de l'inégalité ne change jamais, puisque $\ln$ est strictement croissante.

Exemple — résoudre

\ln(3x-1) > \ln(5)

domaine : $3x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{3}$
$\iff$ $3x - 1 > 5$ $\ln$ strictement croissante
$\iff$ $x > 2$

Comme $\left]2;+\infty\right[ \subset \left]\frac{1}{3};+\infty\right[$ , l'intersection avec le domaine ne change rien : $S = \left]2;+\infty\right[$ .

Attention

Contrairement à des fonctions comme $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ ou $x \mapsto -x$ , $\ln$ est croissante : on ne change jamais le sens d'une inégalité en lui appliquant $\ln$ , ni en « déln-ifiant ». L'erreur la plus fréquente reste d'oublier l'intersection avec le domaine : une inéquation en $\ln$ se résout toujours en deux temps, domaine puis inégalité, et la réponse finale est l'intersection des deux ensembles.

5.3 Changement de variable $X = \ln x$

Méthode — équation ou inéquation « polynomiale en

\ln x

Quand une équation ne fait intervenir $x$ qu'à travers $\ln(x)$ (par exemple $\left(\ln x\right)^{2} - 3\ln x + 2 = 0$ ), pose $X = \ln(x)$ : l'équation devient polynomiale en $X$ , que tu sais résoudre. Reviens ensuite à $x$ en résolvant $\ln(x) = X$ , c'est-à-dire $x = \mathrm{e}^{X}$ pour chaque valeur de $X$ trouvée.

Exemple — équation quadratique en

\ln x

Résous $\left(\ln x\right)^{2} - 3\ln(x) + 2 = 0$ .

domaine : $x > 0$ ; on pose $X = \ln(x)$
$X^{2} - 3X + 2 = 0$
$\Delta = 9 - 8 = 1$
$\Rightarrow$ $X = \dfrac{3-1}{2} = 1$ ou $X = \dfrac{3+1}{2} = 2$
$\ln(x) = 1 \Rightarrow x = \mathrm{e}$ $\ln(x) = 2 \Rightarrow x = \mathrm{e}^{2}$

Les deux solutions sont positives, donc dans le domaine : $S = \left\{\mathrm{e}\, ;\, \mathrm{e}^{2}\right\}$ .

Exemple — inéquation avec changement de variable

Résous $\left(\ln x\right)^{2} - 5\ln(x) + 6 \leqslant 0$ .

domaine : $x>0$ ; on pose $X=\ln(x)$
$X^{2} - 5X + 6 \leqslant 0$
racines : $X = 2$ et $X = 3$ $(X-2)(X-3)=X^2-5X+6$
$\Rightarrow$ parabole vers le haut, négative entre les racines
$\iff$ $2 \leqslant X \leqslant 3$
$\iff$ $2 \leqslant \ln(x) \leqslant 3$
$\iff$ $\mathrm{e}^{2} \leqslant x \leqslant \mathrm{e}^{3}$ $\ln$ croissante

$S = \left[\mathrm{e}^{2}\, ;\, \mathrm{e}^{3}\right]$ .

6Logarithme décimal

Pour les sciences expérimentales (chimie, physique, informatique), on préfère souvent un logarithme « calé » sur la base $10$ de notre numération : c'est le logarithme décimal.

6.1 Définition et propriétés

Définition

Pour tout $x > 0$ , on appelle logarithme décimal de $x$ , noté $\log(x)$ , le nombre :

$\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$

Propriété

$\log$ est un simple multiple de $\ln$ (par la constante $\frac{1}{\ln 10}$ ), donc elle vérifie les mêmes règles algébriques : $\log(ab)=\log a + \log b$ , $\log(a/b)=\log a-\log b$ , $\log(a^{n})=n\log a$ . De plus, pour tout $n \in \mathbb{Z}$ :

$\log\left(10^{n}\right) = n \qquad \text{en particulier } \log(1)=0,\ \log(10)=1,\ \log\!\left(\dfrac{1}{10}\right) = -1$

En effet, $\log(10^{n}) = \dfrac{\ln(10^{n})}{\ln(10)} = \dfrac{n\ln(10)}{\ln(10)} = n$ .

Exemple — calculs avec

\log

$\log(1\,000) = \log\left(10^{3}\right) = 3$
$\log(0{,}01) = \log\left(10^{-2}\right) = -2$
$\log(2) + \log(50) = \log(2 \times 50)$
$=$ $\log(100) = 2$

Figure 4 — La courbe de

\log

a la même allure que celle de

\ln

(même sens de variation, même asymptote verticale en

x=0

), mais elle est « aplatie » d'un facteur

\frac{1}{\ln 10} \approx 0{,}434

Attention

Dans ce chapitre (et dans toute la filière C/D), $\log$ désigne toujours le logarithme décimal (base $10$ ), tandis que $\ln$ désigne le logarithme népérien (base $\mathrm{e}$ ). Ne les confonds jamais dans un calcul : $\log(100)=2$ mais $\ln(100) \approx 4{,}605$ .

6.2 Nombre de chiffres d'un entier

Théorème

Soit $N$ un entier naturel non nul et $d$ son nombre de chiffres en écriture décimale. Alors :

$d = \left\lfloor \log(N) \right\rfloor + 1$

Démonstration

Un entier $N$ possède $d$ chiffres si et seulement si $10^{d-1} \leqslant N < 10^{d}$ (par exemple, les entiers à $3$ chiffres sont ceux de $100$ à $999$ , soit $10^{2} \leqslant N < 10^{3}$ ).

$10^{d-1} \leqslant N < 10^{d}$
$\iff$ $d - 1 \leqslant \log(N) < d$ $\log$ strictement croissante

Or $d-1$ est un entier, et $d-1 \leqslant \log(N) < d$ signifie exactement que $d-1$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $\log(N)$ , c'est-à-dire $d - 1 = \left\lfloor \log(N) \right\rfloor$ . D'où $d = \left\lfloor \log(N) \right\rfloor + 1$ . C.Q.F.D.

Exemple — combien de chiffres a

2^{100}

$\log\left(2^{100}\right) = 100\log(2)$
$\approx$ $100 \times 0{,}301$
$\approx$ $30{,}1$
$\Rightarrow$ $d = \lfloor 30{,}1 \rfloor + 1 = 30 + 1 = 31$

$2^{100}$ s'écrit avec $31$ chiffres.

Math & Co — Henry Briggs et les tables décimales

En $1615$ , le mathématicien anglais Henry Briggs rend visite à Neper en Écosse. Les deux hommes s'accordent sur une amélioration pratique : construire des logarithmes en base $10$ , calés sur notre système de numération, plutôt que sur la base d'origine de Neper. Briggs publie en $1624$ son Arithmetica Logarithmica, contenant les logarithmes décimaux de $30\,000$ nombres calculés à quatorze décimales — un travail manuel titanesque.

Ces tables resteront l'outil de calcul de référence des scientifiques, ingénieurs et navigateurs pendant plus de trois siècles, jusqu'à l'apparition des calculatrices électroniques dans les années 1970. La règle à calcul, instrument emblématique des ingénieurs jusqu'à cette époque (elle a permis, entre autres, les calculs de la mission Apollo 11 en 1969), n'est rien d'autre qu'une addition physique de longueurs proportionnelles à des logarithmes décimaux.

7Applications

Le logarithme décimal n'est pas qu'un outil de calcul abstrait : il structure des échelles que tu croises tous les jours, précisément parce qu'il « compresse » des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur en une échelle lisible et régulière.

7.1 Le pH en chimie

Définition

Le pH d'une solution aqueuse est défini à partir de la concentration en ions oxonium $\left[\text{H}_3\text{O}^{+}\right]$ , exprimée en $\text{mol·L}^{-1}$ :

$\text{pH} = -\log\left[\text{H}_3\text{O}^{+}\right]$

Exemple — calculer un pH, et sa réciproque

a) Un jus de citron a une concentration $\left[\text{H}_3\text{O}^{+}\right] = 4{,}0 \times 10^{-3}\ \text{mol·L}^{-1}$ .

$\text{pH} = -\log\left(4{,}0 \times 10^{-3}\right)$
$=$ $-\left(\log(4) + \log\left(10^{-3}\right)\right)$
$=$ $-\left(2\log(2) - 3\right)$ $\log 2 \approx 0{,}301$
$\approx$ $3 - 0{,}602$
$\approx$ $2{,}4$

b) L'eau de mer a un pH $\approx 8{,}1$ : sa concentration vaut $\left[\text{H}_3\text{O}^{+}\right] = 10^{-8{,}1} \approx 7{,}9 \times 10^{-9}\ \text{mol·L}^{-1}$ .

Figure 5 — L'échelle de pH : chaque unité correspond à une concentration en

\text{H}_3\text{O}^{+}

multipliée ou divisée par

10

, exactement comme une échelle logarithmique.

7.2 La magnitude de Richter

Définition

La magnitude d'un séisme, sur l'échelle de Richter, est donnée par $M = \log\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$ , où $A$ est l'amplitude des oscillations enregistrées par un sismographe et $A_0$ une amplitude de référence fixée.

Exemple — comparer deux séismes

Un séisme de magnitude $M_1 = 4$ et un autre de magnitude $M_2 = 6$ : quel est le rapport de leurs amplitudes ?

$M_2 - M_1 = \log\!\left(\dfrac{A_2}{A_0}\right) - \log\!\left(\dfrac{A_1}{A_0}\right)$
$=$ $\log\!\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)$ propriété du quotient
$6 - 4 = \log\!\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)$
$\Rightarrow$ $\dfrac{A_2}{A_1} = 10^{2} = 100$

Un séisme de magnitude $6$ a une amplitude $100$ fois plus grande qu'un séisme de magnitude $4$ : deux points de magnitude changent tout.

7.3 Les décibels

Définition

Le niveau d'intensité sonore, en décibels ( $\text{dB}$ ), est donné par $L = 10\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ , où $I$ est l'intensité sonore (en $\text{W·m}^{-2}$ ) et $I_0 = 10^{-12}\ \text{W·m}^{-2}$ le seuil d'audibilité humaine.

Exemple — niveau sonore d'une conversation

Une conversation normale correspond à $I = 10^{-6}\ \text{W·m}^{-2}$ .

$L = 10\log\!\left(\dfrac{10^{-6}}{10^{-12}}\right)$
$=$ $10\log\left(10^{6}\right)$
$=$ $10 \times 6$
$=$ $60\ \text{dB}$

7.4 Combien de chiffres a un très grand nombre ?

Le théorème de la section 6.2 est précieux dès qu'on manipule de très grands entiers, par exemple en cryptographie (les clés RSA utilisent des nombres premiers de plusieurs centaines de chiffres).

Exemple — le nombre de chiffres de

3^{40}

$\log\left(3^{40}\right) = 40\log(3)$
$\approx$ $40 \times 0{,}477$
$\approx$ $19{,}08$
$\Rightarrow$ $d = \lfloor 19{,}08\rfloor + 1 = 20$

$3^{40}$ s'écrit avec $20$ chiffres — un calcul instantané qui, sans logarithme, exigerait de calculer explicitement $3^{40} = 12\,157\,665\,459\,056\,928\,801$ .

Fiche mémo

$\ln$ est l'unique primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\left]0;+\infty\right[$ qui s'annule en $1$ : $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ , $\ln(1)=0$ , $\ln(\mathrm{e})=1$ .
$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ ; $\ln(1/a)=-\ln a$ ; $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ ; $\ln(a^{n})=n\ln a$ ; $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln a$ (pour $a,b>0$ ).
Pour tout $x>0$ : $\ln x \leqslant x-1$ , égalité seulement en $x=1$ (courbe sous sa tangente en $1$ , $\ln$ est concave).
$\lim_{0^{+}}\ln x=-\infty$ ; $\lim_{+\infty}\ln x=+\infty$ ; $\lim_{+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ ; $\lim_{0^{+}}x\ln x=0$ ; $\lim_{0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ .
$\ln$ strictement croissante sur $\left]0;+\infty\right[$ , bijection vers $\mathbb{R}$ : c'est ainsi qu'on définit $\mathrm{e}$ ( $\ln \mathrm{e}=1$ ) et qu'on résout les équations.
$\left(\ln u\right)' = \frac{u'}{u}$ là où $u>0$ ; $\left(\ln|u|\right)' = \frac{u'}{u}$ là où $u \neq 0$ .
$\ln a=\ln b \iff a=b$ ; $\ln a<\ln b \iff 0<a<b$ (le sens de l'inégalité ne change jamais).
Tangente en $x=1$ : $y=x-1$ . Tangente en $x=\mathrm{e}$ : $y = x/\mathrm{e}$ (passe par l'origine).
$\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$ ; $\log(10^{n})=n$ ; nombre de chiffres d'un entier $N$ : $\lfloor \log N\rfloor+1$ .
Applications : pH $=-\log[\text{H}_3\text{O}^{+}]$ ; magnitude $M=\log(A/A_0)$ ; niveau sonore $L=10\log(I/I_0)$ .

8Exercices corrigés

Dix-sept exercices, du plus direct au plus proche du bac, chacun corrigé intégralement. Cherche d'abord seul, puis compare avec le corrigé — c'est ainsi que tu progresses le plus vite.

Niveau 1 — Application directe

Sachant que $\ln 2 \approx 0{,}693$ et $\ln 3 \approx 1{,}099$ , calcule sans calculatrice : $A=\ln\left(\mathrm e^{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{\mathrm e}\right)$ ; $B=\ln 8-\ln 2$ ; $C=3\ln 2-\ln 4$ .

Voir le corrigé détaillé

$A=3-1=2$ $\ln(\mathrm e^3)=3,\ \ln(1/\mathrm e)=-1$
$B=\ln\left(\dfrac{8}{2}\right)=\ln 4=2\ln 2$ $\approx 1{,}386$
$C=\ln 8-\ln 4=\ln 2$ $\approx 0{,}693$

Calcule la dérivée de chaque fonction, en précisant son domaine : $f(x)=\ln(3x+1)$ ; $g(x)=\ln\left(x^{2}+5\right)$ ; $h(x)=\ln(5-2x)$ .

Voir le corrigé détaillé

$f$ : domaine $x>-\frac13$ ; $f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}$
$g$ : domaine $\mathbb R$ $x^2+5>0$ toujours
$g'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+5}$
$h$ : domaine $x<\frac52$ ; $h'(x)=\dfrac{-2}{5-2x}$

Résous dans $\mathbb R$ : $\ln(x)=2$ ; $\ln(2x-1)=0$ ; $\ln(x)=\ln(3)+\ln(4)$ .

Voir le corrigé détaillé

$\ln x=2 \iff x=\mathrm e^{2}$ domaine $x>0$ vérifié
$\ln(2x-1)=0 \iff 2x-1=1 \iff x=1$ domaine $x>\frac12$ vérifié
$\ln x=\ln(3\times4)=\ln 12 \iff x=12$

Résous dans $\mathbb R$ : $\ln(x)\leqslant 2$ ; $\ln(2x+3)\geqslant \ln(7)$ .

Voir le corrigé détaillé

domaine : $x>0$ ; $\ln x \leqslant 2 \iff x \leqslant \mathrm e^{2}$
$\Rightarrow$ $S_1=\left]0\,;\,\mathrm e^{2}\right]$
domaine : $2x+3>0 \iff x>-\frac32$
$2x+3\geqslant 7 \iff x\geqslant 2$
$\Rightarrow$ $S_2=\left[2\,;\,+\infty\right[$ inclus dans le domaine

Calcule : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{3}}$ ; $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{3}\ln x$ ; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\ln x-x^{2}\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{3}}=0$ croissance comparée, $n=3$
$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{3}\ln x=0$ croissance comparée en $0^+$
$\ln x-x^{2}=x^{2}\left(\dfrac{\ln x}{x^{2}}-1\right)$
$\to$ $+\infty \times(0-1)=-\infty$

Calcule $\log(100\,000)$ ; $\log(0{,}001)$ ; $\log(4)+\log(25)$ ; puis détermine le nombre de chiffres de $5^{50}$ (on donne $\log 5\approx 0{,}699$ ).

Voir le corrigé détaillé

$\log(100\,000)=\log\left(10^{5}\right)=5$
$\log(0{,}001)=\log\left(10^{-3}\right)=-3$
$\log4+\log25=\log100=2$
$\log\left(5^{50}\right)=50\log5\approx 34{,}95$
$\Rightarrow$ $d=\lfloor 34{,}95\rfloor+1=35$ chiffres

Niveau 2 — Approfondissement

Résous dans $\mathbb R$ : $\left(\ln x\right)^{2}-\ln(x)-6=0$ .

Voir le corrigé détaillé

domaine $x>0$ ; on pose $X=\ln x$
$X^{2}-X-6=0$
$\Delta=1+24=25$
$\Rightarrow$ $X=\dfrac{1-5}{2}=-2$ ou $X=\dfrac{1+5}{2}=3$
$\ln x=-2 \Rightarrow x=\mathrm e^{-2}$ $\ln x=3 \Rightarrow x=\mathrm e^{3}$

$S=\left\{\mathrm e^{-2}\,;\,\mathrm e^{3}\right\}$ .

Résous dans $\mathbb R$ : $\ln(x+2)+\ln(x)\leqslant \ln(3)$ .

Voir le corrigé détaillé

domaine : $x+2>0$ et $x>0$ soit $x>0$
$\ln\left(x(x+2)\right)\leqslant \ln(3)$
$\iff$ $x^{2}+2x\leqslant 3$ $\ln$ croissante, deux membres $>0$
$\iff$ $x^{2}+2x-3\leqslant 0$
$\iff$ $(x+3)(x-1)\leqslant 0$
$\iff$ $-3\leqslant x\leqslant 1$

Intersection avec le domaine $x>0$ : $S=\left]0\,;\,1\right]$ .

Soit $f(x)=x^{2}-2\ln(x)$ sur $\left]0;+\infty\right[$ . Détermine les limites de $f$ aux bornes, étudie le signe de $f'$ , dresse le tableau de variations de $f$ , et donne le minimum de $f$ .

Voir le corrigé détaillé

en $0^{+}$ : $x^{2}\to0$ et $-2\ln x\to+\infty$ $\Rightarrow f\to+\infty$
en $+\infty$ : $f(x)=x^{2}\left(1-\dfrac{2\ln x}{x^{2}}\right)\to+\infty\times1$ croissance comparée
$f'(x)=2x-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2\left(x^{2}-1\right)}{x}$
pour $x>0$ : signe de $f'(x)$ = signe de $x^{2}-1$
$f(1)=1-2\ln(1)=1-0=1$

$x$	$0$	$1$	$+\infty$
Signe de $f'(x)$	∥	$-$ 0 $+$
Variations de $f$	∥ $+\infty$	↘ $1$ ↗	$+\infty$

Le minimum de $f$ sur $\left]0;+\infty\right[$ vaut $1$ , atteint en $x=1$ .

Calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\ln(x+1)-\ln(x)\right]$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2x)}{3x}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\!\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=\ln\!\left(1+\dfrac1x\right)$
$\dfrac1x\to0$ donc $\ln\!\left(1+\dfrac1x\right)\to\ln(1)=0$ continuité de $\ln$ en $1$
$\dfrac{\ln(1+2x)}{3x}=\dfrac23\times\dfrac{\ln(1+2x)}{2x}$
$\to$ $\dfrac23\times1=\dfrac23$ limite de référence, $t=2x\to0$

Détermine une primitive de $f(x)=\dfrac{4}{4x+1}$ sur $\left]-\frac14;+\infty\right[$ , puis une primitive de $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$ sur chacun des intervalles de son domaine.

Voir le corrigé détaillé

$f=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=4x+1>0$ sur $\left]-\frac14;+\infty\right[$
$\Rightarrow$ $F(x)=\ln(4x+1)+k$
$g=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x-2$ , qui s'annule en $2$
$\Rightarrow$ $G(x)=\ln|x-2|+k$ sur $\left]-\infty;2\right[$ et sur $\left]2;+\infty\right[$

Niveau 3 — Type bac

ROC. On admet que pour tout $x>0$ , $\ln(x)\leqslant x-1$ .

En appliquant cette inégalité à $\sqrt x$ , montre que pour tout $x>0$ : $\ln(x) < 2\sqrt x$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ , en rédigeant une démonstration complète.

Voir le corrigé détaillé

$\ln\left(\sqrt x\right)\leqslant \sqrt x-1$ inégalité admise, appliquée à $\sqrt x>0$
$\ln\left(\sqrt x\right)=\dfrac12\ln x$
$\Rightarrow$ $\dfrac12\ln x \leqslant \sqrt x-1 < \sqrt x$
$\Rightarrow$ $\ln x < 2\sqrt x$

2. Pour $x>0$ , on divise l'inégalité par $x>0$ :

$0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{2\sqrt x}{x}=\dfrac{2}{\sqrt x}$ pour $x\geqslant1$ , $\ln x\geqslant0$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{\sqrt x}=0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ théorème des gendarmes

On considère $f(x)=\ln(x)-x+2$ sur $\left]0;+\infty\right[$ , de courbe représentative $\mathcal C$ .

Détermine les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$ .
Calcule $f'(x)$ , étudie son signe et dresse le tableau de variations de $f$ .
Justifie que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]3;4\right[$ , puis donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ .
Détermine une équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse $1$ .

Voir le corrigé détaillé

en $0^{+}$ : $\ln x\to-\infty$ et $-x+2\to2$ $\Rightarrow f\to-\infty$
en $+\infty$ : $f(x)=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-1+\dfrac2x\right)$
$\to$ $+\infty\times(0-1+0)=-\infty$ croissance comparée

$f'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}{x}$
pour $x>0$ : signe de $f'(x)$ = signe de $1-x$
$f(1)=\ln(1)-1+2=1$

$x$	$0$	$1$	$+\infty$
Signe de $f'(x)$	∥	$+$ 0 $-$
Variations de $f$	∥ $-\infty$	↗ $1$ ↘	$-\infty$

3. Sur $\left[3;4\right]$ , $f$ est continue (dérivable) et strictement décroissante. Or :

$f(3)=\ln(3)-1\approx0{,}099>0$
$f(4)=\ln(4)-2\approx-0{,}614<0$

$f(3)$ et $f(4)$ sont de signes contraires : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]3;4\right[$ . De plus $f(3{,}1)\approx0{,}031>0$ et $f(3{,}2)\approx-0{,}037<0$ , donc $3{,}1 < \alpha < 3{,}2$ .

4. $f'(1)=1-1=0$ : la tangente en $x=1$ est horizontale (cohérent, $x=1$ est un maximum). Son équation est $y=f(1)=1$ .

Figure 6 — La courbe de

f(x)=\ln x-x+2

: maximum en

\left(1\,;\,1\right)

avec tangente horizontale, et unique racine

\alpha \approx 3{,}15

entre

3

4

Résous dans $\mathbb R$ l'inéquation $\ln(x-1)+\ln(x+1)\leqslant \ln(2x+3)$ .

Voir le corrigé détaillé

domaine : $x-1>0$ , $x+1>0$ , $2x+3>0$ soit $x>1$
$\ln\left((x-1)(x+1)\right)\leqslant \ln(2x+3)$
$\iff$ $\ln\left(x^{2}-1\right)\leqslant \ln(2x+3)$
$\iff$ $x^{2}-1\leqslant 2x+3$ $\ln$ croissante, deux membres $>0$ sur le domaine
$\iff$ $x^{2}-2x-4\leqslant 0$
$\Delta=4+16=20$ $\sqrt{20}=2\sqrt5$
$\Rightarrow$ racines $1-\sqrt5$ et $1+\sqrt5$
$\iff$ $1-\sqrt5\leqslant x\leqslant 1+\sqrt5$

Intersection avec le domaine $x>1$ : comme $1-\sqrt5<1$ , il reste $S=\left]1\,;\,1+\sqrt5\right]$ , soit $S\approx\left]1\,;\,3{,}24\right]$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Qualité de l'eau à Dakar. Au laboratoire d'analyse des eaux de Dakar, un technicien étudie deux échantillons : l'eau du robinet, de concentration $\left[\text H_3\text O^{+}\right]=5{,}0\times10^{-8}\ \text{mol·L}^{-1}$ , et une eau de pluie légèrement acide, de pH $=5{,}6$ .

Calcule le pH de l'eau du robinet (on donne $\log5\approx0{,}699$ ).
Calcule la concentration en ions oxonium de l'eau de pluie.
Laquelle des deux eaux est la plus acide ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

$\text{pH}=-\log\left(5{,}0\times10^{-8}\right)$
$=$ $-\left(\log5-8\right)$
$\approx$ $8-0{,}699$
$\approx$ $7{,}3$
$\left[\text H_3\text O^{+}\right]=10^{-5{,}6}$
$\approx$ $2{,}5\times10^{-6}\ \text{mol·L}^{-1}$

Le pH de l'eau de pluie ( $5{,}6$ ) est plus petit que celui de l'eau du robinet ( $\approx 7{,}3$ ) : l'eau de pluie est la plus acide (rappel : plus le pH est petit, plus la solution est acide).

Bruit au marché de Yaoundé. Un sonomètre installé au marché central de Yaoundé indique un niveau sonore $L=75\ \text{dB}$ aux heures de pointe.

Calcule l'intensité sonore $I$ correspondante (rappel : $I_0=10^{-12}\ \text{W·m}^{-2}$ ).
Un camion qui klaxonne fait grimper le niveau à $95\ \text{dB}$ . Calcule le rapport entre les deux intensités sonores.

Voir le corrigé détaillé

$75=10\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$
$\Rightarrow$ $\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)=7{,}5$
$\Rightarrow$ $I=I_0\times10^{7{,}5}=10^{-4{,}5}\approx3{,}2\times10^{-5}\ \text{W·m}^{-2}$
$L_2-L_1=10\log\!\left(\dfrac{I_2}{I_0}\right)-10\log\!\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right)=10\log\!\left(\dfrac{I_2}{I_1}\right)$
$95-75=10\log\!\left(\dfrac{I_2}{I_1}\right)$
$\Rightarrow$ $\log\!\left(\dfrac{I_2}{I_1}\right)=2$
$\Rightarrow$ $\dfrac{I_2}{I_1}=100$

Le klaxon du camion multiplie l'intensité sonore par $100$ .

Abonnés téléphoniques à Bamako. Un opérateur de téléphonie mobile comptait $1{,}2$ million d'abonnés à Bamako au 1er janvier 2020, avec une croissance annuelle de $8\,\%$ . On modélise le nombre d'abonnés (en millions), $n$ années plus tard, par $u_n=1{,}2\times1{,}08^{n}$ .

Résous dans $\mathbb N$ l'inéquation $1{,}08^{n}\geqslant2$ .
Au bout de combien d'années le nombre d'abonnés aura-t-il doublé ? En quelle année ?

Voir le corrigé détaillé

$1{,}08^{n}\geqslant2$
$\iff$ $\ln\left(1{,}08^{n}\right)\geqslant\ln(2)$ $\ln$ croissante
$\iff$ $n\ln(1{,}08)\geqslant\ln(2)$
$\iff$ $n\geqslant\dfrac{\ln2}{\ln(1{,}08)}$ $\ln(1{,}08)>0$ , le sens ne change pas
$\approx$ $n\geqslant\dfrac{0{,}693}{0{,}0770}\approx9{,}01$

Comme $n$ est un entier, la plus petite valeur possible est $n=10$ (on vérifie que $1{,}08^{9}\approx1{,}999<2$ tandis que $1{,}08^{10}\approx2{,}159>2$ ). Le nombre d'abonnés aura donc doublé au bout de 10 ans, soit en 2030.

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8 questions

Nombres complexes : forme algébrique et trigonométrique

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8 questions

Logarithme népérien et exponentielle

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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La fonction $\ln$ est définie comme :

la fonction réciproque de

x \mapsto x^2

la primitive de

x \mapsto x

qui s'annule en

0

l'unique primitive sur

]0\,;+\infty[

x \mapsto \dfrac{1}{x}

qui s'annule en

1

la dérivée de

x \mapsto \dfrac{1}{x}

Explication : Par définition,

\ln

est l'unique primitive sur

]0\,;+\infty[

x \mapsto \dfrac{1}{x}

qui vaut

0

1

: ainsi

\ln'(x) = \dfrac{1}{x}

\ln(1)=0

Quel est l'ensemble de définition de la fonction $\ln$ ?

]0\,;+\infty[

\mathbb{R}

\mathbb{R}^{*}

[0\,;+\infty[

Explication :

\ln

n'existe que pour les réels strictement positifs : aucun sens à donner à

\ln(0)

ou à

\ln(-2)

Pour $0 < x < 1$ , quel est le signe de $\ln(x)$ ?

positif négatif nul on ne peut pas savoir

Explication : Comme

\ln

est strictement croissante et

\ln(1)=0

, pour

0<x<1

on a

\ln(x) < \ln(1) = 0

Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ , la relation fonctionnelle fondamentale du logarithme s'écrit :

\ln(a+b) = \ln(a)\ln(b)

\ln(a) + \ln(b) = \ln(a+b)

\ln(ab) = \ln(a) - \ln(b)

\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)

Explication : C'est la propriété qui donne son nom au logarithme : elle transforme un produit en une somme,

\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)

Pour tout réel $a>0$ et tout entier relatif $n$ , on a :

\ln(a^n) = a^n

\ln(a^n) = n + \ln(a)

\ln(a^n) = n\ln(a)

\ln(a^n) = \left(\ln a\right)^n

Explication : C'est une conséquence directe de la relation fonctionnelle, appliquée

n

fois (ou étendue aux entiers négatifs et nuls) :

\ln(a^n) = n\ln(a)

Que valent $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln(x)$ ?

+\infty

-\infty

+\infty

0

1

-\infty

+\infty

+\infty

Explication :

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln(x)=-\infty

: la droite

x=0

est asymptote verticale.

Pour tout réel $x>0$ , quelle inégalité de référence relie $\ln(x)$ et $x-1$ ?

\ln(x) \geqslant x-1

toujours

\ln(x) = x - 1

\ln(x) \geqslant x

\ln(x) \leqslant x-1

, avec égalité seulement en

x=1

Explication : Cette inégalité fondamentale se démontre en étudiant la fonction auxiliaire

g(x)=x-1-\ln(x)

, qui admet un minimum nul en

x=1

: la courbe de

\ln

reste toujours sous la droite

y=x-1

, sa tangente en

1

Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$ ?

+\infty

0

1

cette limite n'existe pas

Explication : C'est le théorème de croissance comparée en

+\infty

: en

+\infty

x

l'emporte toujours sur

\ln(x)

, donc le quotient tend vers

0

Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}} x\ln(x)$ ?

+\infty

-\infty

0

1

Explication : C'est la croissance comparée en

0^{+}

: bien que

\ln(x)\to-\infty

, le facteur

x\to0

l'emporte, et le produit tend vers

0

Pour $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , la dérivée de $\ln(u)$ est :

\dfrac{u'(x)}{u(x)}

u'(x)\ln(u(x))

\ln(u'(x))

\dfrac{1}{u'(x)}

Explication :

\ln(u)

est la composée

\ln \circ u

: d'après la formule de dérivation d'une composée,

\left(\ln u\right)'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}

. Écrire

\ln(u')

est une erreur fréquente à bannir.

Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(4x-1)$ sur son domaine ?

f'(x) = \ln(4)

f'(x) = \dfrac{1}{4x-1}

f'(x) = 4\ln(4x-1)

f'(x) = \dfrac{4}{4x-1}

Explication : Ici

u(x)=4x-1

, donc

u'(x)=4

, et

f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{4}{4x-1}

Le nombre $\mathrm{e}$ , base du logarithme népérien, est caractérisé par :

\mathrm{e} = 0

\ln(\mathrm{e}) = 1

\ln(\mathrm{e}) = \mathrm{e}

\mathrm{e}

est l'unique solution de

\ln(x)=0

Explication :

\mathrm{e}

est, par définition, l'unique réel strictement positif tel que

\ln(\mathrm{e})=1

(antécédent de

1

par la bijection

\ln

) ;

\mathrm{e} \approx 2{,}71828

Sur $]0\,;+\infty[$ , la fonction $\ln$ est :

convexe ni convexe ni concave concave constante

Explication :

\ln

est concave sur

]0\,;+\infty[

: sa courbe est entièrement en dessous de chacune de ses tangentes (cohérent avec

\ln(x) \leqslant x-1

, l'inégalité de la tangente en

1

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x) + \ln(x-3) = \ln(4)$ . Après avoir posé le domaine $x>3$ et factorisé, on obtient $(x-4)(x+1)=0$ . Quelle est la conclusion ?

x=4

est l'unique solution ;

x=-1

est rejeté car hors du domaine

x=4

x=-1

sont toutes deux solutions

x=-1

est l'unique solution l'équation n'a aucune solution

Explication : Le domaine impose

x>3

(il faut

x>0

x-3>0

). Seul

x=4

appartient à ce domaine ;

x=-1

doit être rejeté, même s'il vérifie l'équation algébrique intermédiaire.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x-1) < \ln(7)$ .

x < 4

x > 4

\dfrac{1}{2} < x < 4

x < \dfrac{1}{2}

Explication : Domaine :

2x-1>0 \iff x>\dfrac12

. Comme

\ln

est croissante :

2x-1<7 \iff x<4

. L'intersection des deux conditions donne

\dfrac12 < x < 4

Pour résoudre $(\ln x)^2 - 3\ln(x) + 2 = 0$ , on pose $X=\ln(x)$ et on trouve $X=1$ ou $X=2$ . Quelles sont les solutions en $x$ ?

x=1

x=2

x=\ln(1)

x=\ln(2)

il n'y a pas de solution

x=\mathrm{e}

x=\mathrm{e}^{2}

Explication : On revient à

x

grâce à

\ln(x)=X \iff x=\mathrm{e}^{X}

\ln(x)=1 \Rightarrow x=\mathrm{e}

\ln(x)=2 \Rightarrow x=\mathrm{e}^{2}

, toutes deux positives donc valides.

Le logarithme décimal $\log(x)$ , utilisé en sciences expérimentales, est défini par :

\log(x) = \ln(x) \times \ln(10)

\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}

\log(x) = \ln(10x)

\log(x) = \ln(x) - 10

Explication : Par définition,

\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}

: c'est un simple multiple de

\ln

, ce qui donne

\log(10^n)=n

pour tout entier

n

Le pH d'une solution vérifie $\text{pH} = -\log\left[\text{H}_3\text{O}^{+}\right]$ . Une solution a une concentration $\left[\text{H}_3\text{O}^{+}\right] = 10^{-5}\ \text{mol·L}^{-1}$ . Quel est son pH ?

\text{pH} = -5

\text{pH} = 10

\text{pH} = 5

\text{pH} = 0{,}5

Explication :

\text{pH} = -\log\left(10^{-5}\right) = -(-5) = 5

, en utilisant

\log(10^n)=n

Sur l'échelle de Richter, la magnitude vérifie $M = \log\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$ . Un séisme de magnitude $7$ a une amplitude combien de fois plus grande qu'un séisme de magnitude $5$ ?

100

fois plus grande

2

fois plus grande

10

fois plus grande

1\,000

fois plus grande

Explication :

M_2 - M_1 = \log\!\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)

, donc

7-5 = 2 = \log\!\left(\dfrac{A_2}{A_1}\right)

, d'où

\dfrac{A_2}{A_1} = 10^{2} = 100

: deux points de magnitude multiplient l'amplitude par

100

Combien de chiffres possède l'entier $2^{50}$ , sachant que $\log(2)\approx0{,}301$ et que $d = \lfloor\log(N)\rfloor+1$ ?

50

chiffres

16

chiffres

14

chiffres

2

chiffres

Explication :

\log(2^{50}) = 50\log(2) \approx 50 \times 0{,}301 = 15{,}05

. Donc

d = \lfloor15{,}05\rfloor+1 = 15+1 = 16

chiffres.

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En bref

Classe : Classe de Terminale (séries scientifiques)
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 11 h
8 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme

Fonction logarithme népérien

Ce que tu sauras faire à la fin

1Définition et propriétés algébriques

1.1 Définition de la fonction logarithme népérien

1.2 Relation fonctionnelle fondamentale

1.3 Conséquences algébriques

2Limites et croissance comparée

2.1 Limites aux bornes

2.2 Limite de référence en 000

2.3 Croissance comparée en +∞+\infty+∞

2.4 Croissance comparée en 0+0^{+}0+

3Dérivée de ln u

3.1 Théorème et démonstration

3.2 La fonction ln⁡∣u∣\ln|u|ln∣u∣

3.3 Méthode et exemples

4Étude de la fonction ln

4.1 Ensemble de définition et sens de variation

4.2 Limites et tableau de variations

4.3 Le nombre e\mathrm{e}e

4.4 Tangentes remarquables et courbe

4.5 Convexité

5Équations et inéquations logarithmiques

5.1 Résoudre une équation logarithmique

5.2 Résoudre une inéquation logarithmique

5.3 Changement de variable X=ln⁡xX = \ln xX=lnx

6Logarithme décimal

6.1 Définition et propriétés

6.2 Nombre de chiffres d'un entier

7Applications

7.1 Le pH en chimie

7.2 La magnitude de Richter

7.3 Les décibels

7.4 Combien de chiffres a un très grand nombre ?

Fiche mémo

8Exercices corrigés

Teste-toi gratuitement

Nombres complexes : forme algébrique et trigonométrique

Logarithme népérien et exponentielle

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

2.2 Limite de référence en $0$

2.3 Croissance comparée en $+\infty$

2.4 Croissance comparée en $0^{+}$

3.2 La fonction $\ln|u|$

4.3 Le nombre $\mathrm{e}$

5.3 Changement de variable $X = \ln x$