Étude de fonctions et courbes

Conduire une étude complète et exploiter la courbe obtenue.

Mathématiques Terminale Chapitre 3 / 19 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Rédiger une étude de fonction complète
Étudier la convexité
Discuter graphiquement le nombre de solutions d'une équation

Depuis la seconde, tu apprends à observer les fonctions morceau par morceau : un domaine ici, une dérivée là, une limite ailleurs. Ce chapitre assemble enfin toutes les pièces. L'étude complète d'une fonction est l'exercice roi du baccalauréat : presque chaque sujet de série C ou D contient un « problème » qui commence par « Soit $f$ la fonction définie par… » et se termine par « tracer la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ». Savoir dérouler ce plan sans hésiter, c'est déjà s'assurer une grosse partie des points.

Mais il ne s'agit pas seulement de réussir un exercice imposé. Une courbe bien tracée raconte le phénomène qu'elle représente : le coût moyen d'un atelier de Dakar qui passe par un minimum, la consommation d'un camion entre Ndjamena et Abéché qui dépend de la vitesse, le nombre d'adhérents d'un club qui sature sous un seuil. Les asymptotes, les extremums, les points d'inflexion sont les mots de ce langage graphique.

Par rapport à la première, deux nouveautés majeures t'attendent : les branches infinies (asymptotes obliques, branches paraboliques) et la convexité avec les points d'inflexion. Tu apprendras aussi à exploiter la courbe en sens inverse : discuter graphiquement le nombre de solutions d'une équation. On y va, avec méthode.

1Plan d'étude complet

Commençons par fixer le vocabulaire. Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur une partie $D_f$ de $\mathbb{R}$ . La courbe représentative de $f$ , notée $(\mathcal{C}_f)$ , est l'ensemble des points $M(x\ ;\ f(x))$ lorsque $x$ décrit $D_f$ . Autrement dit :

$M(x\ ;\ y) \in (\mathcal{C}_f) \iff x \in D_f \text{ et } y = f(x)$

Étudier une fonction, c'est répondre dans l'ordre à une liste de questions toujours identique. Ce plan doit devenir un réflexe : au bac, il te sert de fil conducteur même quand l'énoncé ne détaille pas les étapes.

Méthode — le plan d'étude en sept étapes

Ensemble de définition $D_f$ : valeurs interdites (dénominateurs nuls), radicandes positifs ou nuls.
Réduction du domaine d'étude : parité, périodicité, éléments de symétrie éventuels.
Limites aux bornes de $D_f$ et asymptotes ou branches infinies.
Dérivée $f'$ et étude de son signe.
Tableau de variations complet : flèches, extremums, limites.
Points remarquables : intersections avec les axes, tangentes particulières, points d'inflexion.
Tracé soigné : asymptotes d'abord, points ensuite, courbe enfin.

Attention — le domaine avant tout

Ne calcule jamais $f'$ avant d'avoir déterminé $D_f$ . Dériver $f(x) = \dfrac{x^{2}+1}{x-1}$ sans exclure $x = 1$ , c'est parler d'un nombre $f'(1)$ qui n'existe pas — et au bac, l'examinateur le sanctionne dès la première ligne.

1.1 Réduire le domaine d'étude

Deux propriétés permettent de ne travailler que sur une moitié (ou une période) du domaine, puis de compléter la courbe par symétrie ou par translation.

Propriété — parité et périodicité

$f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$ . On étudie $f$ sur $D_f \cap [0\ ;\ +\infty[$ .
$f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ .
$f$ est périodique de période $T$ si pour tout $x \in D_f$ , $x + T \in D_f$ et $f(x+T) = f(x)$ : la courbe est invariante par la translation de vecteur $T\,\vec{i}$ . On étudie $f$ sur un intervalle de longueur $T$ .

Exemple — domaine et parité

a) Soit $f(x) = \dfrac{x}{x^{2}-4}$ . Le dénominateur s'annule pour $x = -2$ et $x = 2$ :

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\ ;\ 2\}$ domaine symétrique par rapport à $0$
$f(-x) = \dfrac{-x}{(-x)^{2}-4}$
$=$ $\dfrac{-x}{x^{2}-4}$
$=$ $-f(x)$ $f$ est impaire : symétrie de centre $O$

b) Soit $g(x) = \cos(2x)$ . Pour tout réel $x$ :

$g(x + \pi) = \cos(2x + 2\pi)$
$=$ $\cos(2x)$ la fonction cosinus est $2\pi$ -périodique
$=$ $g(x)$ $g$ est $\pi$ -périodique : on l'étudie sur $\left[-\frac{\pi}{2}\ ;\ \frac{\pi}{2}\right]$

1.2 Une étude modèle rédigée

Voici, rédigée comme sur une copie de bac, l'étude de la fonction polynôme $f(x) = x^{3} - 3x + 1$ . Observe la structure : chaque étape est annoncée, chaque affirmation est justifiée.

Exemple — étude complète de

f(x) = x^{3} - 3x + 1

1. Domaine. $f$ est une fonction polynôme : $D_f = \mathbb{R}$ .

2. Parité. $f(1) = -1$ et $f(-1) = 3$ : comme $f(-1) \neq f(1)$ et $f(-1) \neq -f(1)$ , $f$ n'est ni paire ni impaire.

3. Limites. À l'infini, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré :

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^{3} = +\infty$

4. Dérivée et signe. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

$f'(x) = 3x^{2} - 3$
$=$ $3(x^{2} - 1)$
$=$ $3(x-1)(x+1)$ identité remarquable $a^{2}-b^{2}$

Trinôme du second degré de racines $-1$ et $1$ , positif à l'extérieur des racines : $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\ ;\ -1[$ et sur $]1\ ;\ +\infty[$ , $f'(x) < 0$ sur $]-1\ ;\ 1[$ .

5. Tableau de variations. On calcule $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ et $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	↗	$3$	↘	$-1$	↗	$+\infty$

$f$ admet un maximum local $3$ en $x = -1$ et un minimum local $-1$ en $x = 1$ ; en ces points, la tangente à $(\mathcal{C}_f)$ est horizontale.

6. Points remarquables. $f(0) = 1$ : la courbe coupe l'axe $(Oy)$ au point $(0\ ;\ 1)$ , avec une tangente de coefficient directeur $f'(0) = -3$ , soit la droite $y = -3x + 1$ .

7. Tracé. Voir la figure 1 : la courbe monte, culmine en $A(-1\ ;\ 3)$ , redescend jusqu'à $B(1\ ;\ -1)$ , puis remonte définitivement.

Figure 1 — Étude complète de

f(x) = x^{3} - 3x + 1

: maximum local

A(-1\ ;\ 3)

, minimum local

B(1\ ;\ -1)

, tangentes horizontales aux extremums, et limites infinies aux deux bouts. La courbe traduit fidèlement le tableau de variations.

Math & Co — Quand l'algèbre rencontre le dessin

Associer une courbe à une équation nous paraît naturel ; c'est pourtant une invention datée. En 1637, le Français René Descartes publie La Géométrie, en appendice du Discours de la méthode : il y montre qu'un point du plan peut être repéré par deux nombres, et qu'une relation entre ces nombres dessine une courbe. Au même moment, Pierre de Fermat, magistrat à Toulouse, développe indépendamment la même idée et une méthode pour trouver les maximums et minimums — l'ancêtre direct de notre dérivée.

Le mot « repère cartésien » vient du nom latinisé de Descartes, Cartesius. C'est Leonhard Euler qui, dans son Introductio in analysin infinitorum (1748), systématisera l'étude des fonctions telle que tu la pratiques dans ce chapitre.

2Branches infinies et asymptotes

Quand $x$ tend vers une borne du domaine ou vers l'infini, la courbe « part » : on dit qu'elle possède une branche infinie. Le travail consiste à décrire cette fuite le plus précisément possible, et le plus souvent une droite suffit à la résumer : c'est l'asymptote.

Définition — les trois asymptotes

La droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à $(\mathcal{C}_f)$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (limite à gauche ou à droite de $a$ ).
La droite d'équation $y = b$ est asymptote horizontale à $(\mathcal{C}_f)$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$ ) si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ (resp. en $-\infty$ ).
La droite d'équation $y = ax + b$ ( $a \neq 0$ ) est asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - (ax + b) \right] = 0.$

Dans le troisième cas, la quantité $d(x) = f(x) - (ax+b)$ mesure l'écart vertical entre la courbe et la droite : il s'écrase vers $0$ , la courbe « se couche » sur la droite. Le signe de cet écart renseigne sur la position relative.

Propriété — position relative de la courbe et de son asymptote

Soit $(\Delta)$ : $y = ax + b$ une asymptote (horizontale si $a = 0$ , oblique sinon). Sur tout intervalle $I$ :

si $f(x) - (ax+b) > 0$ sur $I$ , alors $(\mathcal{C}_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ ;
si $f(x) - (ax+b) < 0$ sur $I$ , alors $(\mathcal{C}_f)$ est en dessous de $(\Delta)$ ;
si $f(x_0) - (ax_0 + b) = 0$ , la courbe coupe son asymptote au point d'abscisse $x_0$ — c'est possible !

Figure 2 — Panorama des branches infinies. ①

y = 2 + \dfrac{3}{x}

se couche sur la droite

y = 2

; ②

y = \dfrac{1}{x-2}

explose de part et d'autre de

x = 2

; ③

y = x + \dfrac{2}{x}

se colle à la droite

y = x

; ④

y = \dfrac{x^{2}}{4}

monte plus vite que toute droite (direction

(Oy)

) tandis que

y = 2\sqrt{x}

monte moins vite que toute droite (direction

(Ox)

), sans asymptote ni l'une ni l'autre.

2.1 Reconnaître une branche infinie en l'infini

Lorsque $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$ , la courbe part vers le haut ou le bas, mais comment ? Comme une droite (asymptote oblique) ? Plus vite (comme une parabole « debout ») ? Moins vite (comme une parabole « couchée ») ? Le quotient $\dfrac{f(x)}{x}$ , qui compare $f$ à la fonction identité, tranche la question.

Méthode — étudier une branche infinie quand

\lim f(x) = \pm\infty

On calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ (de même en $-\infty$ ).

Si cette limite est infinie : branche parabolique de direction $(Oy)$ .
Si cette limite est nulle : branche parabolique de direction $(Ox)$ .
Si cette limite est un réel $a \neq 0$ $a \neq = 0$ , on calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - ax \right]$ $x \to + \infty lim [f (x) - a x]$ :
- limite finie $b$ : la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique ;
- limite infinie : branche parabolique de direction la droite $y = ax$ .

Théorème — caractérisation de l'asymptote oblique

La droite $y = ax + b$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ en $+\infty$ si et seulement si

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - ax \right] = b.$

Démonstration

Sens direct. On suppose $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ et on pose $\varepsilon(x) = f(x) - ax - b$ , de sorte que $f(x) = ax + b + \varepsilon(x)$ avec $\varepsilon(x) \to 0$ .

$\dfrac{f(x)}{x} = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{\varepsilon(x)}{x}$ on divise par $x \neq 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a$ car $\dfrac{b}{x} \to 0$ et $\dfrac{\varepsilon(x)}{x} \to 0$
$f(x) - ax = b + \varepsilon(x)$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = b$

Réciproque. Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = b$ , alors $f(x) - (ax + b) = [f(x) - ax] - b$ tend vers $b - b = 0$ : la droite $y = ax+b$ est bien asymptote. C.Q.F.D.

Exemple — asymptotes verticale et horizontale de

f(x) = \dfrac{3x - 2}{x + 1}

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . En l'infini, on factorise par les termes dominants :

$f(x) = \dfrac{x\left(3 - \frac{2}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)}$
$=$ $\dfrac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$ la droite $y = 3$ est asymptote horizontale en $-\infty$ et en $+\infty$

En $-1$ , le numérateur tend vers $-5 \neq 0$ et le dénominateur vers $0$ : il faut le signe de $x + 1$ .

$x \to -1^{-}$ : $x + 1 \to 0^{-}$ et $3x - 2 \to -5$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = +\infty$ quotient de deux nombres négatifs
$x \to -1^{+}$ : $x + 1 \to 0^{+}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} f(x) = -\infty$ la droite $x = -1$ est asymptote verticale

Position relative : $f(x) - 3 = \dfrac{3x - 2 - 3x - 3}{x+1} = \dfrac{-5}{x+1}$ , négatif pour $x > -1$ , positif pour $x < -1$ . La courbe est en dessous de $y = 3$ sur $]-1\ ;\ +\infty[$ et au-dessus sur $]-\infty\ ;\ -1[$ .

Exemple — asymptote oblique de

g(x) = \dfrac{x^{2} + 2x - 1}{x + 1}

$D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . On cherche à écrire $g(x) = ax + b + \dfrac{c}{x+1}$ . En réduisant au même dénominateur, $ax + b + \dfrac{c}{x+1} = \dfrac{ax^{2} + (a+b)x + b + c}{x+1}$ , et par identification :

$a = 1$ , $a + b = 2$ , $b + c = -1$
$\Rightarrow$ $a = 1$ , $b = 1$ , $c = -2$
$\Rightarrow$ $g(x) = x + 1 - \dfrac{2}{x+1}$ vérification : $\dfrac{(x+1)^{2} - 2}{x+1} = \dfrac{x^{2}+2x-1}{x+1}$
$g(x) - (x+1) = -\dfrac{2}{x+1}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \left[ g(x) - (x+1) \right] = 0$ la droite $y = x + 1$ est asymptote oblique en $-\infty$ et en $+\infty$

Le signe de $-\dfrac{2}{x+1}$ donne la position : la courbe est en dessous de la droite pour $x > -1$ , au-dessus pour $x < -1$ .

Attention — deux pièges classiques

1. Un dénominateur qui s'annule ne donne pas toujours une asymptote verticale : il faut une limite infinie. Ainsi $h(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1} = x + 1$ pour $x \neq 1$ tend vers $2$ en $1$ : la courbe a un simple « trou », pas d'asymptote.

2. Étudie séparément $+\infty$ et $-\infty$ : une fonction peut avoir une asymptote oblique d'un côté et une asymptote horizontale de l'autre (tu le verras avec $x + \sqrt{x^{2}+1}$ dans les exercices).

Math & Co — Un mot grec vieux de vingt-deux siècles

Le mot asymptote vient du grec asumptôtos, « qui ne tombe pas ensemble », c'est-à-dire « qui ne se rencontre pas ». On le doit à Apollonius de Perge (vers 262 – vers 190 av. J.-C.), l'auteur des Coniques, huit livres consacrés à l'ellipse, à la parabole et à l'hyperbole — trois noms qu'il a lui-même forgés. Apollonius démontre que l'hyperbole se rapproche indéfiniment de deux droites sans jamais les atteindre.

Le sens moderne est plus large : aujourd'hui une courbe peut parfaitement couper son asymptote, pourvu qu'elle finisse par s'en rapprocher indéfiniment. La fonction $x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}$ , par exemple, traverse une infinité de fois son asymptote $y = 0$ .

3Points d'inflexion et convexité

Le tableau de variations dit si la courbe monte ou descend ; il ne dit pas si elle monte « en creux » ou « en bosse ». Cette information supplémentaire, la convexité, se lit sur la dérivée seconde et permet un tracé beaucoup plus fidèle.

Définition

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est convexe sur $I$ si $(\mathcal{C}_f)$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ (la courbe « tourne sa concavité vers le haut », en forme de creux).
$f$ est concave sur $I$ si $(\mathcal{C}_f)$ est en dessous de chacune de ses tangentes sur $I$ (forme de bosse).
Un point d'inflexion est un point de $(\mathcal{C}_f)$ où la courbe traverse sa tangente : la convexité y change de sens.

Théorème — convexité et dérivée seconde

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est convexe sur $I$ $\iff$ $f'$ est croissante sur $I$ $\iff$ $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ .
$f$ est concave sur $I$ $\iff$ $f'$ est décroissante sur $I$ $\iff$ $f''(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in I$ .
$(\mathcal{C}_f)$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$ $\iff$ $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe.

Démonstration

Montrons que si $f'$ est croissante sur $I$ , la courbe est au-dessus de ses tangentes (l'équivalence entre « $f'$ croissante » et « $f'' \geqslant 0$ » est le théorème du chapitre précédent appliqué à $f'$ ). Soit $a \in I$ ; la tangente en $a$ a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ . On pose, pour $x \in I$ :

$\varphi(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x - a)$ écart vertical entre la courbe et la tangente
$\varphi'(x) = f'(x) - f'(a)$ $f(a)$ et $f'(a)$ sont des constantes
si $x \leqslant a$ : $f'(x) \leqslant f'(a)$ , donc $\varphi'(x) \leqslant 0$ $f'$ croissante
si $x \geqslant a$ : $f'(x) \geqslant f'(a)$ , donc $\varphi'(x) \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $\varphi$ décroît puis croît : elle admet un minimum en $a$
$\varphi(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0$
$\Rightarrow$ $\varphi(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ la courbe est au-dessus de la tangente en $a$

Comme $a$ est quelconque dans $I$ , $f$ est convexe. Le cas concave s'obtient en appliquant ce résultat à $-f$ . Enfin, si $f''$ change de signe en $a$ , la courbe passe du dessous au dessus de ses tangentes (ou l'inverse) : elle traverse sa tangente en $a$ . C.Q.F.D.

Exemple — convexité de

g(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4

$g'(x) = 3x^{2} - 6x$
$g''(x) = 6x - 6$
$=$ $6(x - 1)$ négatif si $x < 1$ , positif si $x > 1$

$g$ est donc concave sur $]-\infty\ ;\ 1]$ et convexe sur $[1\ ;\ +\infty[$ . Comme $g''$ s'annule en $1$ en changeant de signe, le point $I(1\ ;\ g(1)) = I(1\ ;\ 2)$ est un point d'inflexion. La tangente en $I$ a pour coefficient directeur $g'(1) = -3$ :

$y = g'(1)(x - 1) + g(1)$
$=$ $-3(x-1) + 2$
$=$ $-3x + 5$ c'est la droite rouge de la figure 3 : la courbe la traverse en $I$

Figure 3 — Convexité de

g(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4

. À gauche de

I

, la courbe reste sous ses tangentes (concave) ; à droite, elle reste au-dessus (convexe). En

I(1\ ;\ 2)

, point d'inflexion, la tangente rouge

y = -3x + 5

traverse la courbe.

Exemple — points d'inflexion de

k(x) = x^{4} - 6x^{2}

$k'(x) = 4x^{3} - 12x$
$k''(x) = 12x^{2} - 12$
$=$ $12(x-1)(x+1)$ positif à l'extérieur des racines $-1$ et $1$

$k$ est convexe sur $]-\infty\ ;\ -1]$ , concave sur $[-1\ ;\ 1]$ , convexe sur $[1\ ;\ +\infty[$ . $k''$ change de signe en $-1$ et en $1$ : la courbe admet deux points d'inflexion, $(-1\ ;\ -5)$ et $(1\ ;\ -5)$ , puisque $k(\pm 1) = 1 - 6 = -5$ .

Attention —

f''(a) = 0

ne suffit pas

Pour $f(x) = x^{4}$ , $f''(x) = 12x^{2}$ s'annule en $0$ sans changer de signe : $f''\geqslant 0$ partout, la fonction est convexe sur $\mathbb{R}$ et l'origine n'est pas un point d'inflexion. Vérifie toujours le changement de signe.

Ne confonds pas non plus « convexe » et « croissante » : $x \mapsto x^{2}$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout en étant décroissante sur $]-\infty\ ;\ 0]$ . Convexité et sens de variation sont deux informations indépendantes.

Pour le tracé : Un point d'inflexion est un point où la courbe est presque droite : trace-y un petit segment de tangente, la courbe s'y appuie. C'est souvent le point le plus « raide » d'une montée ou d'une descente.

4Éléments de symétrie

La parité n'est qu'un cas particulier : une courbe peut être symétrique par rapport à n'importe quelle droite verticale, ou par rapport à n'importe quel point. Repérer un tel élément de symétrie divise le travail par deux et fait gagner de précieuses minutes le jour du bac.

Théorème — axe de symétrie

Soit $a$ un réel. La droite $(\Delta)$ d'équation $x = a$ est axe de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ :

$2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) = f(x).$

Formulation équivalente : pour tout réel $h$ tel que $a + h \in D_f$ , on a $a - h \in D_f$ et $f(a + h) = f(a - h)$ .

Théorème — centre de symétrie

Soient $a$ et $b$ deux réels. Le point $I(a\ ;\ b)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ :

$2a - x \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a - x) + f(x) = 2b.$

Formulation équivalente : $f(a + h) + f(a - h) = 2b$ pour tout $h$ convenable.

Démonstration

Traitons le centre de symétrie ; l'axe se démontre de la même façon. Soit $M(x\ ;\ y)$ un point du plan. Son symétrique $M'$ par rapport à $I(a\ ;\ b)$ est tel que $I$ soit le milieu de $[MM']$ :

$\dfrac{x + x_{M'}}{2} = a$ et $\dfrac{y + y_{M'}}{2} = b$ coordonnées du milieu
$\iff$ $M'(2a - x\ ;\ 2b - y)$

Dire que $I$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ , c'est dire que le symétrique de tout point de la courbe est encore sur la courbe. Or, pour $M(x\ ;\ f(x)) \in (\mathcal{C}_f)$ :

$M' \in (\mathcal{C}_f)$
$\iff$ $2a - x \in D_f$ et $2b - f(x) = f(2a - x)$ définition de la courbe
$\iff$ $2a - x \in D_f$ et $f(2a - x) + f(x) = 2b$

Pour l'axe $x = a$ , le symétrique de $M(x\ ;\ y)$ est $M'(2a - x\ ;\ y)$ , et la même démarche donne $f(2a - x) = f(x)$ . C.Q.F.D.

Cas particuliers : avec

a = 0

, l'axe

x = 0

est

(Oy)

et la condition devient

f(-x) = f(x)

: c'est la parité. Avec

I = O

, la condition

f(-x) + f(x) = 0

est l'imparité. Les théorèmes ci-dessus généralisent donc ce que tu connais déjà.

Méthode — prouver une symétrie

Vérifier que le domaine est symétrique par rapport à $a$ : si $x \in D_f$ alors $2a - x \in D_f$ .
Calculer $f(2a - x)$ en remplaçant chaque $x$ par $2a - x$ , puis simplifier.
Comparer à $f(x)$ (axe) ou calculer $f(2a - x) + f(x)$ et vérifier qu'on trouve la constante $2b$ (centre).

Astuce : pour une fonction rationnelle $f(x) = \alpha x + \beta + \dfrac{\gamma}{x - x_0}$ , le point d'intersection des deux asymptotes, $I\left(x_0\ ;\ \alpha x_0 + \beta\right)$ , est toujours centre de symétrie.

Exemple — un axe de symétrie pour

p(x) = x^{2} - 4x + 1

$D_p = \mathbb{R}$ , symétrique par rapport à tout réel. Montrons que $(\Delta)$ : $x = 2$ est axe de symétrie, avec la formulation en $h$ :

$p(2 + h) = (2+h)^{2} - 4(2+h) + 1$
$=$ $4 + 4h + h^{2} - 8 - 4h + 1$
$=$ $h^{2} - 3$
$p(2 - h) = (2-h)^{2} - 4(2-h) + 1$
$=$ $4 - 4h + h^{2} - 8 + 4h + 1$
$=$ $h^{2} - 3$ $p(2+h) = p(2-h)$ : la droite $x = 2$ est axe de symétrie

On retrouve le fait que le sommet $S(2\ ;\ -3)$ de la parabole est sur son axe. Il suffit d'étudier $p$ sur $[2\ ;\ +\infty[$ .

Exemple — un centre de symétrie pour

h(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1}

$D_h = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ : si $x \neq 1$ alors $2 - x \neq 1$ , le domaine est symétrique par rapport à $1$ . Montrons que $I(1\ ;\ 2)$ est centre de symétrie :

$h(2 - x) = \dfrac{2(2 - x) - 1}{(2 - x) - 1}$
$=$ $\dfrac{3 - 2x}{1 - x}$
$=$ $\dfrac{2x - 3}{x - 1}$ on multiplie numérateur et dénominateur par $-1$
$h(2 - x) + h(x) = \dfrac{2x - 3 + 2x - 1}{x - 1}$
$=$ $\dfrac{4x - 4}{x - 1}$
$=$ $4 = 2 \times 2$ $I(1\ ;\ 2)$ est centre de symétrie

Ce n'est pas un hasard : $h(x) = 2 + \dfrac{1}{x - 1}$ , et $I$ est l'intersection des asymptotes $x = 1$ et $y = 2$ .

Figure 4 — Deux éléments de symétrie. ① Pour

p(x) = x^{2} - 4x + 1

, les points

M

M'

d'abscisses

2 - h

2 + h

ont la même ordonnée : la droite

x = 2

est axe de symétrie. ② Pour

h(x) = \dfrac{2x-1}{x-1}

I(1\ ;\ 2)

, intersection des asymptotes, est le milieu de tout segment

[MM']

joignant deux points d'abscisses

1 - h

1 + h

: c'est un centre de symétrie.

5Tracé de courbes

Le tracé n'est pas une formalité artistique : c'est la synthèse de toute l'étude, et l'examinateur y vérifie d'un coup d'œil que tu as compris les asymptotes, les extremums et les tangentes. Une courbe fausse contredit ton propre tableau de variations.

Méthode — tracer une courbe dans l'ordre

Choisir les unités (souvent imposées) et placer un repère propre, à la règle.
Tracer en pointillés les asymptotes (verticales, horizontales, obliques) et repérer les éventuels centres ou axes de symétrie.
Placer les points remarquables : extremums (avec un petit trait de tangente horizontale), intersections avec les axes, points d'inflexion (avec leur tangente), points aux bornes du domaine.
Tracer les tangentes particulières demandées (verticales, en un point donné).
Relier d'un trait régulier en respectant le tableau de variations, la convexité et l'approche des asymptotes (la courbe se colle à l'asymptote sans la toucher, sauf point d'intersection calculé).
Compléter par symétrie ou translation si le domaine d'étude a été réduit.

5.1 Étude modèle d'une fonction rationnelle

Exemple — étude complète de

f(x) = \dfrac{x^{2} - x + 4}{x - 1}

1. Domaine. $x - 1 = 0 \iff x = 1$ , donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty\ ;\ 1[\ \cup\ ]1\ ;\ +\infty[$ .

2. Forme réduite. On effectue la division : $x^{2} - x + 4 = x(x - 1) + 4$ , donc pour tout $x \neq 1$ :

$f(x) = \dfrac{x(x-1) + 4}{x - 1}$
$=$ $x + \dfrac{4}{x - 1}$ forme idéale pour les limites, la dérivée et l'asymptote

3. Limites et asymptotes.

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ car $\dfrac{4}{x-1} \to 0$ et $x \to \pm\infty$
$x \to 1^{-}$ : $x - 1 \to 0^{-}$ , donc $\dfrac{4}{x-1} \to -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty$
$x \to 1^{+}$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$ la droite $x = 1$ est asymptote verticale
$f(x) - x = \dfrac{4}{x-1} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 0$ la droite $(\Delta)$ : $y = x$ est asymptote oblique en $-\infty$ et en $+\infty$

Position relative : $f(x) - x = \dfrac{4}{x-1}$ est du signe de $x - 1$ . Sur $]1\ ;\ +\infty[$ , $(\mathcal{C}_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ ; sur $]-\infty\ ;\ 1[$ , elle est en dessous.

4. Dérivée. $f$ est dérivable sur $D_f$ comme somme de fonctions dérivables :

$f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x-1)^{2}}$ dérivée de $\dfrac{4}{u}$ : $-\dfrac{4u'}{u^{2}}$ avec $u = x - 1$
$=$ $\dfrac{(x-1)^{2} - 4}{(x-1)^{2}}$
$=$ $\dfrac{(x - 1 - 2)(x - 1 + 2)}{(x-1)^{2}}$ $a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)$
$=$ $\dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x-1)^{2}}$

Le dénominateur est strictement positif sur $D_f$ : $f'(x)$ a le signe de $(x-3)(x+1)$ , positif à l'extérieur des racines $-1$ et $3$ .

5. Tableau de variations. $f(-1) = -1 + \dfrac{4}{-2} = -3$ et $f(3) = 3 + \dfrac{4}{2} = 5$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	∥	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	↗	$-3$	↘	$-\infty$ ∥ $+\infty$	↘	$5$	↗	$+\infty$

6. Centre de symétrie. Pour $x \neq 1$ , $2 - x \neq 1$ et :

$f(2 - x) + f(x) = (2 - x) + \dfrac{4}{1 - x} + x + \dfrac{4}{x - 1}$
$=$ $2 - \dfrac{4}{x-1} + \dfrac{4}{x-1}$
$=$ $2 = 2 \times 1$ $I(1\ ;\ 1)$ , intersection des asymptotes, est centre de symétrie

7. Tracé (figure 5). On trace $x = 1$ et $y = x$ en pointillés, on place $A(-1\ ;\ -3)$ et $B(3\ ;\ 5)$ avec leurs tangentes horizontales, puis les deux branches d'hyperbole, symétriques par rapport à $I$ .

Figure 5 — La courbe de

f(x) = \dfrac{x^{2}-x+4}{x-1}

: asymptote verticale

x = 1

, asymptote oblique

(\Delta)

y = x

, extremums locaux

A(-1\ ;\ -3)

B(3\ ;\ 5)

, centre de symétrie

I(1\ ;\ 1)

. À droite de

1

la courbe est au-dessus de

(\Delta)

, à gauche elle est en dessous.

5.2 Étude modèle d'une fonction irrationnelle

Exemple — étude complète de

g(x) = \sqrt{x^{2} - 4}

1. Domaine. $g(x)$ existe si et seulement si $x^{2} - 4 \geqslant 0$ , soit $(x-2)(x+2) \geqslant 0$ : $D_g = ]-\infty\ ;\ -2]\ \cup\ [2\ ;\ +\infty[$ .

2. Parité. $D_g$ est symétrique par rapport à $0$ et $g(-x) = \sqrt{(-x)^{2} - 4} = g(x)$ : $g$ est paire. On l'étudie sur $[2\ ;\ +\infty[$ et on complétera par symétrie par rapport à $(Oy)$ .

3. Limite et branche infinie en $+\infty$ . $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ . Pour $x > 0$ , $\sqrt{x^{2}} = x$ :

$\dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{\sqrt{x^{2}\left(1 - \frac{4}{x^{2}}\right)}}{x}$
$=$ $\sqrt{1 - \dfrac{4}{x^{2}}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$
$g(x) - x = \dfrac{\left(\sqrt{x^{2}-4} - x\right)\left(\sqrt{x^{2}-4} + x\right)}{\sqrt{x^{2}-4} + x}$ on multiplie par la quantité conjuguée
$=$ $\dfrac{x^{2} - 4 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4} + x}$
$=$ $\dfrac{-4}{\sqrt{x^{2}-4} + x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$ la droite $y = x$ est asymptote oblique en $+\infty$

Cet écart est strictement négatif : la courbe est en dessous de $y = x$ . Par symétrie, la droite $y = -x$ est asymptote en $-\infty$ .

4. Dérivée. Sur $]2\ ;\ +\infty[$ , $x^{2} - 4 > 0$ et $g$ est dérivable : $g'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}-4}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}} > 0$ . $g$ est strictement croissante sur $[2\ ;\ +\infty[$ , de $g(2) = 0$ à $+\infty$ .

5. Comportement en $2$ . $g$ n'est pas dérivable en $2$ (le radicande s'y annule). On étudie le taux d'accroissement :

$\dfrac{g(x) - g(2)}{x - 2} = \dfrac{\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x - 2}$
$=$ $\sqrt{\dfrac{x + 2}{x - 2}}$ pour $x > 2$ , $x - 2 = \sqrt{x-2}\,\sqrt{x-2}$
$\xrightarrow[x \to 2^{+}]{}$ $+\infty$ numérateur vers $4$ , dénominateur vers $0^{+}$

La courbe admet donc en $A(2\ ;\ 0)$ une demi-tangente verticale, et de même en $B(-2\ ;\ 0)$ par symétrie.

6. Tableau et tracé (figure 6) : sur $[2\ ;\ +\infty[$ , $g$ croît de $0$ à $+\infty$ en se collant par en dessous à la droite $y = x$ ; on complète par la symétrie d'axe $(Oy)$ .

Figure 6 — La courbe de

g(x) = \sqrt{x^{2}-4}

: deux branches symétriques par rapport à

(Oy)

, demi-tangentes verticales en

A(2\ ;\ 0)

B(-2\ ;\ 0)

, asymptotes obliques

y = x

+\infty

y = -x

-\infty

, la courbe restant en dessous de ses asymptotes.

Attention — aux bornes d'une racine carrée

Quand le radicande s'annule en une borne du domaine, la fonction y est continue mais pas dérivable : il faut étudier la limite du taux d'accroissement. Une limite infinie donne une demi-tangente verticale, qu'il faut dessiner. Écrire « $g'(2) = \dfrac{2}{0}$ » n'a aucun sens.

Math & Co — Le premier manuel d'étude de courbes

En 1748, à Milan, Maria Gaetana Agnesi publie les Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, premier traité complet qui enchaîne algèbre, étude de courbes et calcul différentiel à l'intention des élèves. L'ouvrage est traduit en français dès 1775 et en anglais en 1801. Il est resté célèbre pour la courbe d'équation $y = \dfrac{8a^{3}}{x^{2} + 4a^{2}}$ , qu'Agnesi appelle versiera ; une confusion du traducteur anglais avec le mot avversiera (« sorcière ») lui a valu le nom de « sorcière d'Agnesi » — une courbe en cloche, paire, avec pour asymptote l'axe des abscisses, exactement le type de courbe que tu étudies ici.

6Discussion graphique du nombre de solutions

Une fois la courbe tracée, on peut la faire parler. Résoudre $f(x) = m$ , c'est chercher les points de $(\mathcal{C}_f)$ situés à la hauteur $m$ , c'est-à-dire les intersections avec la droite horizontale $y = m$ . En faisant glisser cette droite de bas en haut, on lit combien de solutions l'équation possède selon la valeur du paramètre $m$ .

Théorème — lecture du nombre de solutions

Les solutions de l'équation $f(x) = m$ sont les abscisses des points d'intersection de $(\mathcal{C}_f)$ et de la droite $(D_m)$ : $y = m$ .

Sur chaque intervalle $I$ où $f$ est continue et strictement monotone, l'équation $f(x) = m$ admet exactement une solution si $m$ appartient à l'intervalle image $f(I)$ (bornes lues dans le tableau de variations), et aucune sinon. C'est le théorème de la bijection, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires vu au chapitre 1.

Méthode — discuter suivant

m

Dresser le tableau de variations de $f$ , avec les limites et les valeurs des extremums.
Sur chaque « branche » monotone, lire l'intervalle des valeurs prises par $f$ .
Découper l'axe des $m$ selon les valeurs des extremums et des limites ; pour chaque zone, compter les branches qui atteignent la hauteur $m$ .
Traiter à part les valeurs frontières ( $m$ égal à un extremum), où deux solutions se confondent.
Conclure par un tableau récapitulatif.

Exemple — nombre de solutions de

x^{3} - 3x + 1 = m

D'après l'étude de la section 1, $f(x) = x^{3} - 3x + 1$ est strictement croissante sur $]-\infty\ ;\ -1]$ de $-\infty$ à $3$ , strictement décroissante sur $[-1\ ;\ 1]$ de $3$ à $-1$ , strictement croissante sur $[1\ ;\ +\infty[$ de $-1$ à $+\infty$ . Sur chaque branche, $f$ est continue et strictement monotone.

si $m < -1$ : seule la première branche atteint $m$ 1 solution
si $m = -1$ : première branche, et $x = 1$ (minimum)2 solutions
si $-1 < m < 3$ : les trois branches atteignent $m$ 3 solutions
si $m = 3$ : $x = -1$ (maximum) et la troisième branche2 solutions
si $m > 3$ : seule la troisième branche1 solution

La figure 7 montre les droites $y = m$ pour $m = 4$ , $m = 3$ , $m = 1$ et $m = -1$ , avec respectivement $1$ , $2$ , $3$ et $2$ points d'intersection.

Figure 7 — Discussion graphique de

x^{3} - 3x + 1 = m

. La droite

y = m

coupe la courbe en

1

2

3

points selon que

m

est en dehors, sur le bord ou à l'intérieur de l'intervalle

[-1\ ;\ 3]

délimité par les deux extremums locaux.

Exemple — une équation qui peut n'avoir aucune solution

Reprenons $f(x) = x + \dfrac{4}{x-1}$ (section 5). D'après son tableau, la branche sur $]-\infty\ ;\ 1[$ prend toutes les valeurs de $]-\infty\ ;\ -3]$ , chaque valeur strictement inférieure à $-3$ étant atteinte deux fois ; la branche sur $]1\ ;\ +\infty[$ prend toutes les valeurs de $[5\ ;\ +\infty[$ , chaque valeur strictement supérieure à $5$ étant atteinte deux fois. D'où, pour l'équation $f(x) = m$ :

$m$	$m < -3$	$m = -3$	$-3 < m < 5$	$m = 5$	$m > 5$
nombre de solutions	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Sur la figure 5, aucune horizontale $y = m$ avec $-3 < m < 5$ ne rencontre la courbe : la bande comprise entre les deux extremums est vide.

Propriété — généralisations utiles

Équation $f(x) = g(x)$ : ses solutions sont les abscisses des points communs à $(\mathcal{C}_f)$ et $(\mathcal{C}_g)$ ; on étudie souvent la fonction $d = f - g$ et l'on se ramène à $d(x) = 0$ .
Paramètre caché : une équation comme $x^{3} - 3x + 1 - m = 0$ ou $x^{3} - 3x = m - 1$ se ramène à $f(x) = m$ en isolant le paramètre d'un côté.
Droites de pente fixe : les solutions de $f(x) = x + m$ se lisent avec les droites parallèles à $y = x$ ; on étudie alors $f(x) - x = m$ .

Attention — les valeurs frontières

L'erreur la plus fréquente consiste à oublier les cas $m =$ extremum, où la droite est tangente à la courbe : deux solutions « fusionnent ». Une réponse complète distingue toujours les inégalités strictes et les égalités, et vérifie que le total est cohérent avec le degré quand $f$ est un polynôme (au plus $3$ solutions pour un degré $3$ ).

Fiche mémo

Plan d'étude : $D_f$ → parité / périodicité → limites et asymptotes → $f'$ et signe → tableau de variations → points remarquables → tracé.
Paire : $f(-x) = f(x)$ , symétrie d'axe $(Oy)$ ; impaire : $f(-x) = -f(x)$ , symétrie de centre $O$ ; $T$ -périodique : $f(x+T) = f(x)$ , étude sur une période.
Asymptote verticale $x = a$ : $\displaystyle\lim_{x \to a} f = \pm\infty$ ; horizontale $y = b$ : $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f = b$ ; oblique $y = ax + b$ : $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ .
Branche infinie quand $f \to \pm\infty$ : étudier $\dfrac{f(x)}{x}$ → $\pm\infty$ : direction $(Oy)$ ; → $0$ : direction $(Ox)$ ; → $a \neq 0$ : calculer $f(x) - ax$ (limite $b$ : asymptote $y = ax + b$ ).
Position relative : signe de $f(x) - (ax+b)$ (positif : courbe au-dessus).
Convexe $\iff f'' \geqslant 0$ (courbe au-dessus de ses tangentes) ; concave $\iff f'' \leqslant 0$ ; point d'inflexion : $f''$ s'annule en changeant de signe, la courbe traverse sa tangente.
Axe de symétrie $x = a$ : $f(2a - x) = f(x)$ ; centre de symétrie $I(a\ ;\ b)$ : $f(2a - x) + f(x) = 2b$ (domaine symétrique par rapport à $a$ ).
Fonction $ax + b + \dfrac{c}{x - x_0}$ : asymptotes $x = x_0$ et $y = ax + b$ , centre de symétrie à leur intersection.
Racine carrée : aux bornes où le radicande s'annule, taux d'accroissement infini → demi-tangente verticale.
Tracé : asymptotes en pointillés, points et tangentes remarquables, puis la courbe, enfin les symétries.
$f(x) = m$ : solutions = abscisses des intersections avec $y = m$ ; une solution par branche strictement monotone contenant $m$ dans ses valeurs ; traiter à part $m =$ extremum.

7Exercices corrigés

Les exercices sont classés en quatre niveaux. Cherche sérieusement avant d'ouvrir le corrigé, et rédige comme au bac : domaine, justification de chaque limite, tableau complet, phrase de conclusion.

Niveau 1 — Application directe

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions : $f_1(x) = \dfrac{2x + 1}{x^{2} - 9}$ ; $f_2(x) = \sqrt{2x - 6}$ ; $f_3(x) = \sqrt{x^{2} - 2x - 3}$ .

Voir le corrigé détaillé

$x^{2} - 9 = 0 \iff x = -3$ ou $x = 3$
$\Rightarrow$ $D_{f_1} = \mathbb{R} \setminus \{-3\ ;\ 3\}$
$2x - 6 \geqslant 0 \iff x \geqslant 3$
$\Rightarrow$ $D_{f_2} = [3\ ;\ +\infty[$
$x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ racines $-1$ et $3$ , car $-1 + 3 = 2$ et $-1 \times 3 = -3$
$(x-3)(x+1) \geqslant 0 \iff x \leqslant -1$ ou $x \geqslant 3$ trinôme positif à l'extérieur des racines
$\Rightarrow$ $D_{f_3} = ]-\infty\ ;\ -1]\ \cup\ [3\ ;\ +\infty[$

Étudier la parité de $f(x) = x^{4} - 3x^{2} + 1$ , $g(x) = x^{3} - 5x$ et $h(x) = x^{2} + x$ . Quelle conséquence graphique en tire-t-on ?

Voir le corrigé détaillé

Les trois fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ , symétrique par rapport à $0$ .

$f(-x) = (-x)^{4} - 3(-x)^{2} + 1 = x^{4} - 3x^{2} + 1 = f(x)$ $f$ est paire : $(\mathcal{C}_f)$ est symétrique par rapport à $(Oy)$
$g(-x) = (-x)^{3} - 5(-x) = -x^{3} + 5x = -g(x)$ $g$ est impaire : $(\mathcal{C}_g)$ est symétrique par rapport à $O$
$h(1) = 2$ et $h(-1) = 0$
$\Rightarrow$ $h(-1) \neq h(1)$ et $h(-1) \neq -h(1)$ $h$ n'est ni paire ni impaire

Pour $f$ et $g$ , il suffit d'étudier la fonction sur $[0\ ;\ +\infty[$ puis de compléter la courbe par la symétrie correspondante.

Soit $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ . Déterminer $D_f$ , les limites aux bornes de $D_f$ , et en déduire les asymptotes à $(\mathcal{C}_f)$ .

Voir le corrigé détaillé

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ .

$f(x) = \dfrac{x\left(3 - \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)} = \dfrac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$ pour $x \neq 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ asymptote horizontale $y = 3$ en $-\infty$ et en $+\infty$
en $-2$ : $3x - 1 \to -7$ et $x + 2 \to 0$
$x \to -2^{-}$ : $x + 2 \to 0^{-}$ , donc $\displaystyle\lim_{x \to -2^{-}} f(x) = +\infty$
$x \to -2^{+}$ : $x + 2 \to 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x \to -2^{+}} f(x) = -\infty$ asymptote verticale $x = -2$

Position relative : $f(x) - 3 = \dfrac{3x - 1 - 3x - 6}{x + 2} = \dfrac{-7}{x + 2}$ , négatif si $x > -2$ : la courbe est en dessous de $y = 3$ sur $]-2\ ;\ +\infty[$ et au-dessus sur $]-\infty\ ;\ -2[$ .

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{3}{x}$ . Montrer que la droite $(D)$ : $y = 2x + 1$ est asymptote à $(\mathcal{C}_f)$ en $-\infty$ et en $+\infty$ , puis étudier la position relative de $(\mathcal{C}_f)$ et $(D)$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(x) - (2x + 1) = \dfrac{3}{x}$
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3}{x} = 0$ par définition, $(D)$ est asymptote oblique en $-\infty$ et en $+\infty$
$\dfrac{3}{x} > 0 \iff x > 0$

Sur $]0\ ;\ +\infty[$ , $(\mathcal{C}_f)$ est au-dessus de $(D)$ ; sur $]-\infty\ ;\ 0[$ , elle est en dessous. La courbe ne coupe jamais son asymptote puisque $\dfrac{3}{x}$ ne s'annule pas.

Soit $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$ . Étudier la convexité de $f$ et déterminer le point d'inflexion de $(\mathcal{C}_f)$ ainsi que l'équation de la tangente en ce point.

Voir le corrigé détaillé

$f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$
$f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$
$\Rightarrow$ $f''(x) < 0$ si $x < 2$ , $f''(x) > 0$ si $x > 2$ $f$ concave sur $]-\infty\ ;\ 2]$ , convexe sur $[2\ ;\ +\infty[$
$f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$ $f''$ change de signe en $2$ : $I(2\ ;\ 3)$ est point d'inflexion
$f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$
$T$ : $y = -3(x - 2) + 3$
$\iff$ $y = -3x + 9$

Au point $I(2\ ;\ 3)$ , la courbe traverse sa tangente $y = -3x + 9$ .

Montrer que la droite $(\Delta)$ : $x = 2$ est un axe de symétrie de la courbe de $f(x) = x^{2} - 4x + 7$ . Que représente le point de $(\mathcal{C}_f)$ situé sur $(\Delta)$ ?

Voir le corrigé détaillé

$D_f = \mathbb{R}$ . Pour tout réel $h$ :

$f(2 + h) = (2 + h)^{2} - 4(2 + h) + 7$
$=$ $4 + 4h + h^{2} - 8 - 4h + 7 = h^{2} + 3$
$f(2 - h) = (2 - h)^{2} - 4(2 - h) + 7$
$=$ $4 - 4h + h^{2} - 8 + 4h + 7 = h^{2} + 3$
$\Rightarrow$ $f(2 + h) = f(2 - h)$ $(\Delta)$ est axe de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$

Le point $S(2\ ;\ f(2)) = S(2\ ;\ 3)$ est le sommet de la parabole : comme $f(2 + h) = 3 + h^{2} \geqslant 3$ , c'est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Soit $f(x) = x^{4} - 2x^{2}$ .

Étudier la parité de $f$ ; en déduire un domaine d'étude.
Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et la nature de la branche infinie.
Étudier les variations de $f$ sur $[0\ ;\ +\infty[$ , puis dresser le tableau de variations complet sur $\mathbb{R}$ .
Étudier la convexité et déterminer les points d'inflexion.
Déterminer les points d'intersection de $(\mathcal{C}_f)$ avec l'axe des abscisses et décrire l'allure de la courbe.

Voir le corrigé détaillé

1. $D_f = \mathbb{R}$ et $f(-x) = (-x)^{4} - 2(-x)^{2} = x^{4} - 2x^{2} = f(x)$ : $f$ est paire. On l'étudie sur $[0\ ;\ +\infty[$ et l'on complète par symétrie d'axe $(Oy)$ .

$f(x) = x^{4}\left(1 - \dfrac{2}{x^{2}}\right) \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty$
$\dfrac{f(x)}{x} = x^{3} - 2x \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty$ branche parabolique de direction $(Oy)$

$f'(x) = 4x^{3} - 4x$
$=$ $4x(x - 1)(x + 1)$
sur $[0\ ;\ +\infty[$ : $4x \geqslant 0$ et $x + 1 > 0$ $f'(x)$ a le signe de $x - 1$
$f(0) = 0$ et $f(1) = 1 - 2 = -1$

$f$ est décroissante sur $[0\ ;\ 1]$ et croissante sur $[1\ ;\ +\infty[$ . Par parité, $f$ est croissante sur $[-1\ ;\ 0]$ et décroissante sur $]-\infty\ ;\ -1]$ :

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$+\infty$	↘	$-1$	↗	$0$	↘	$-1$	↗	$+\infty$

$f''(x) = 12x^{2} - 4 = 4(3x^{2} - 1)$
$f''(x) = 0 \iff x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$f\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{5}{9}$

$f''$ est négative entre les racines, positive à l'extérieur : $f$ est concave sur $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3}\ ;\ \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$ , convexe ailleurs, et les points $\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\ ;\ -\frac{5}{9}\right)$ sont deux points d'inflexion.

5. $f(x) = x^{2}(x^{2} - 2) = 0 \iff x = 0$ ou $x = \pm\sqrt{2}$ . La courbe coupe l'axe des abscisses en $O$ , $(-\sqrt{2}\ ;\ 0)$ et $(\sqrt{2}\ ;\ 0)$ . Allure en « W » : deux minimums $(-1\ ;\ -1)$ et $(1\ ;\ -1)$ , un maximum local en $O$ où la tangente est horizontale, symétrie par rapport à $(Oy)$ , et branches qui montent de plus en plus vite.

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1}$ . Montrer que $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x+1}$ , déterminer les asymptotes de $(\mathcal{C}_f)$ , puis démontrer que le point $I(-1\ ;\ 2)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ .

Voir le corrigé détaillé

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .

$2 + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2(x+1) + 1}{x+1} = \dfrac{2x + 3}{x + 1} = f(x)$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$ asymptote horizontale $y = 2$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} f(x) = +\infty$ asymptote verticale $x = -1$

Symétrie : si $x \neq -1$ , alors $2(-1) - x = -2 - x \neq -1$ , le domaine est symétrique par rapport à $-1$ .

$f(-2 - x) = 2 + \dfrac{1}{-2 - x + 1} = 2 - \dfrac{1}{x + 1}$
$f(-2 - x) + f(x) = 2 - \dfrac{1}{x+1} + 2 + \dfrac{1}{x+1}$
$=$ $4 = 2 \times 2$ $I(-1\ ;\ 2)$ est centre de symétrie

Comme prévu, $I$ est le point d'intersection des deux asymptotes.

Soit $f(x) = \sqrt{x^{2} + 2x}$ . Déterminer $D_f$ , puis étudier les branches infinies de $(\mathcal{C}_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$ (nature, équation des éventuelles asymptotes, position relative).

Voir le corrigé détaillé

$x^{2} + 2x = x(x + 2) \geqslant 0 \iff x \leqslant -2$ ou $x \geqslant 0$ , donc $D_f = ]-\infty\ ;\ -2]\ \cup\ [0\ ;\ +\infty[$ . Dans les deux directions, $f(x) \to +\infty$ .

En $+\infty$ ( $x > 0$ , donc $\sqrt{x^{2}} = x$ ) :

$\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{x\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{x} = \sqrt{1 + \dfrac{2}{x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$
$f(x) - x = \dfrac{x^{2} + 2x - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2x} + x}$ quantité conjuguée
$=$ $\dfrac{2x}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + x} = \dfrac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$
$\Rightarrow$ la droite $y = x + 1$ est asymptote oblique en $+\infty$
$f(x) - (x + 1) = \dfrac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} - 1 < 0$ car $\sqrt{1 + \frac{2}{x}} > 1$ : la courbe est en dessous

En $-\infty$ ( $x < 0$ , donc $\sqrt{x^{2}} = -x$ ) :

$\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{x} = -\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}} \xrightarrow[x \to -\infty]{} -1$
$f(x) + x = \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+2x} - x} = \dfrac{2x}{-x\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1\right)} = \dfrac{-2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} \xrightarrow[x \to -\infty]{} -1$
$\Rightarrow$ la droite $y = -x - 1$ est asymptote oblique en $-\infty$
$f(x) - (-x - 1) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} < 0$ pour $x < -2$ , $\sqrt{1 + \frac{2}{x}} < 1$ : la courbe est encore en dessous

Remarque : $f(x) = \sqrt{(x+1)^{2} - 1}$ , la courbe est la translatée de celle de $\sqrt{x^{2} - 1}$ : ses asymptotes se coupent au point $(-1\ ;\ 0)$ , et $x = -1$ est axe de symétrie.

Soit $g(x) = x^{3} - 3x^{2}$ . Dresser le tableau de variations de $g$ , puis discuter, suivant les valeurs du réel $m$ , le nombre de solutions de l'équation $x^{3} - 3x^{2} = m$ . Vérifier le résultat pour $m = 0$ et $m = -4$ par le calcul.

Voir le corrigé détaillé

$g'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2)$ positif à l'extérieur de $0$ et $2$
$g(0) = 0$ , $g(2) = 8 - 12 = -4$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$ , $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g$	$-\infty$	↗	$0$	↘	$-4$	↗	$+\infty$

Sur chacun des trois intervalles, $g$ est continue et strictement monotone. Les solutions de $g(x) = m$ sont les abscisses des points communs à $(\mathcal{C}_g)$ et à la droite $y = m$ :

$m$	$m < -4$	$m = -4$	$-4 < m < 0$	$m = 0$	$m > 0$
nombre de solutions	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$

Vérification.

$m = 0$ : $x^{3} - 3x^{2} = x^{2}(x - 3) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 3$ deux solutions ( $0$ est racine double : tangente horizontale)
$m = -4$ : $x^{3} - 3x^{2} + 4 = (x + 1)(x - 2)^{2} = 0 \iff x = -1$ ou $x = 2$ deux solutions, conformément au tableau

Soient $(\mathcal{C})$ la courbe d'équation $y = x^{3}$ et $(D)$ la droite d'équation $y = x$ . Déterminer leurs points communs et étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(D)$ .

Voir le corrigé détaillé

On étudie le signe de $d(x) = x^{3} - x$ .

$d(x) = x(x^{2} - 1) = x(x - 1)(x + 1)$
$d(x) = 0 \iff x \in \{-1\ ;\ 0\ ;\ 1\}$ points communs $(-1\ ;\ -1)$ , $O$ et $(1\ ;\ 1)$

$x$	$-\infty$	$-1$	$0$	$1$	$+\infty$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$d(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$

Dans la dernière ligne, le signe entre deux zéros consécutifs est celui de la colonne : $d < 0$ sur $]-\infty\ ;\ -1[$ , $d > 0$ sur $]-1\ ;\ 0[$ , $d < 0$ sur $]0\ ;\ 1[$ et $d > 0$ sur $]1\ ;\ +\infty[$ . Ainsi $(\mathcal{C})$ est en dessous de $(D)$ sur $]-\infty\ ;\ -1[$ et sur $]0\ ;\ 1[$ , au-dessus sur $]-1\ ;\ 0[$ et sur $]1\ ;\ +\infty[$ ; elle traverse la droite en chacun des trois points communs.

Niveau 3 — Type bac

Étude complète (problème type bac). Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x^{2} - 3}{x - 2}$ et $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé.

Déterminer $D_f$ et trois réels $a$ , $b$ , $c$ tels que, pour tout $x \in D_f$ , $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 2}$ .
Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ . En déduire que $(\mathcal{C}_f)$ admet deux asymptotes dont on précisera les équations, et étudier la position de $(\mathcal{C}_f)$ par rapport à son asymptote oblique.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Démontrer que le point $I(2\ ;\ 4)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ .
Tracer les asymptotes et $(\mathcal{C}_f)$ .
Discuter graphiquement, suivant les valeurs de $m$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . On réduit $ax + b + \dfrac{c}{x-2}$ au même dénominateur : $\dfrac{(ax + b)(x - 2) + c}{x - 2} = \dfrac{ax^{2} + (b - 2a)x - 2b + c}{x - 2}$ . Par identification avec $x^{2} - 3$ :

$a = 1$ , $b - 2a = 0$ , $-2b + c = -3$
$\Rightarrow$ $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 1$
$\Rightarrow$ $f(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x - 2}$ vérification : $(x+2)(x-2) + 1 = x^{2} - 3$

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ $\frac{1}{x-2} \to 0$ , $x + 2 \to \pm\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty$ $x - 2 \to 0^{-}$ puis $0^{+}$ , numérateur $\to 1$ : asymptote verticale $x = 2$
$f(x) - (x + 2) = \dfrac{1}{x - 2} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 0$ asymptote oblique $(\Delta)$ : $y = x + 2$ en $-\infty$ et en $+\infty$

$\dfrac{1}{x-2}$ est du signe de $x - 2$ : $(\mathcal{C}_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ sur $]2\ ;\ +\infty[$ , en dessous sur $]-\infty\ ;\ 2[$ .

3. $f$ est dérivable sur $D_f$ :

$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x - 2)^{2}}$
$=$ $\dfrac{(x - 2)^{2} - 1}{(x - 2)^{2}}$
$=$ $\dfrac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 2)^{2}}$ $a^{2} - 1 = (a - 1)(a + 1)$ avec $a = x - 2$
$f(1) = \dfrac{1 - 3}{1 - 2} = 2$ et $f(3) = \dfrac{9 - 3}{3 - 2} = 6$

Le dénominateur est strictement positif ; $f'(x)$ a le signe de $(x-3)(x-1)$ , positif à l'extérieur de $[1\ ;\ 3]$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$2$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	∥	$-$	$0$	$+$
$f$	$-\infty$	↗	$2$	↘	$-\infty$ ∥ $+\infty$	↘	$6$	↗	$+\infty$

4. Pour $x \neq 2$ , $4 - x \neq 2$ et :

$f(4 - x) + f(x) = (4 - x) + 2 + \dfrac{1}{2 - x} + x + 2 + \dfrac{1}{x - 2}$
$=$ $8 - \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 2}$
$=$ $8 = 2 \times 4$ $I(2\ ;\ 4)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$

5. Points utiles : $f(0) = \dfrac{3}{2}$ ; $f(x) = 0 \iff x = \pm\sqrt{3}$ ; extremums $A(1\ ;\ 2)$ et $B(3\ ;\ 6)$ à tangente horizontale. La figure 8 rassemble le tout.

Figure 8 — Courbe de

f(x) = \dfrac{x^{2}-3}{x-2}

: asymptotes

x = 2

(\Delta)

y = x + 2

, extremums locaux

A(1\ ;\ 2)

B(3\ ;\ 6)

, centre de symétrie

I(2\ ;\ 4)

à l'intersection des asymptotes. Les petits points noirs sont les intersections avec les axes :

\left(0\ ;\ \frac{3}{2}\right)

(-\sqrt{3}\ ;\ 0)

(\sqrt{3}\ ;\ 0)

6. Sur $]-\infty\ ;\ 2[$ , $f$ prend toutes les valeurs de $]-\infty\ ;\ 2]$ , chaque valeur strictement inférieure à $2$ étant atteinte deux fois (une fois sur chaque branche monotone) et $2$ une seule fois. Sur $]2\ ;\ +\infty[$ , $f$ prend toutes les valeurs de $[6\ ;\ +\infty[$ , chaque valeur strictement supérieure à $6$ étant atteinte deux fois.

$m$	$m < 2$	$m = 2$	$2 < m < 6$	$m = 6$	$m > 6$
nombre de solutions	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Graphiquement, la bande horizontale $2 < y < 6$ ne contient aucun point de la courbe : c'est la zone comprise entre les deux tangentes horizontales de la figure 8.

Restitution organisée de connaissances.

Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ un réel. Démontrer que la droite $(\Delta)$ : $x = a$ est un axe de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si, pour tout $x \in D_f$ , $2a - x \in D_f$ et $f(2a - x) = f(x)$ .
Application : soit $f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} - 1$ . Vérifier que $f(x) = \left(x^{2} - 2x\right)^{2} - 1$ , puis démontrer que la droite $x = 1$ est axe de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ et vérifier sa cohérence avec la symétrie.
En déduire, suivant $m$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Soit $M(x\ ;\ y)$ un point du plan et $M'$ son symétrique par rapport à $(\Delta)$ . La symétrie orthogonale d'axe vertical conserve l'ordonnée et envoie l'abscisse $x$ sur $x'$ tel que $a$ soit le milieu de $[x\ ;\ x']$ :

$\dfrac{x + x'}{2} = a \iff x' = 2a - x$
$\Rightarrow$ $M'(2a - x\ ;\ y)$

$(\Delta)$ est axe de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si le symétrique de tout point de $(\mathcal{C}_f)$ appartient à $(\mathcal{C}_f)$ . Pour $M(x\ ;\ f(x))$ avec $x \in D_f$ :

$M'(2a - x\ ;\ f(x)) \in (\mathcal{C}_f)$
$\iff$ $2a - x \in D_f$ et $f(2a - x) = f(x)$ définition de la courbe représentative — C.Q.F.D.

$\left(x^{2} - 2x\right)^{2} - 1 = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} - 1 = f(x)$ $(u - v)^{2} = u^{2} - 2uv + v^{2}$
$(2 - x)^{2} - 2(2 - x) = 4 - 4x + x^{2} - 4 + 2x = x^{2} - 2x$
$\Rightarrow$ $f(2 - x) = \left(x^{2} - 2x\right)^{2} - 1 = f(x)$ et $D_f = \mathbb{R}$ : la droite $x = 1$ est axe de symétrie

3. En dérivant la forme $u^{2} - 1$ avec $u = x^{2} - 2x$ :

$f'(x) = 2u'u = 2(2x - 2)(x^{2} - 2x)$
$=$ $4(x - 1)\,x\,(x - 2)$ racines $0$ , $1$ , $2$ ; signe alterné, positif pour $x > 2$
$f(0) = -1$ , $f(1) = (1 - 2)^{2} - 1 = 0$ , $f(2) = 0 - 1 = -1$

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$+\infty$	↘	$-1$	↗	$0$	↘	$-1$	↗	$+\infty$

Le tableau est bien symétrique par rapport à $x = 1$ : les deux minimums $-1$ en $0$ et $2$ sont à égale distance de $1$ , où se trouve le maximum local $0$ .

4. Lecture du tableau (quatre branches monotones) :

$m$	$m < -1$	$m = -1$	$-1 < m < 0$	$m = 0$	$m > 0$
nombre de solutions	$0$	$2$	$4$	$3$	$2$

Pour $m = 0$ , on vérifie : $u^{2} = 1 \iff x^{2} - 2x = \pm 1 \iff (x - 1)^{2} = 2$ ou $(x - 1)^{2} = 0$ , soit $x = 1 \pm \sqrt{2}$ ou $x = 1$ : trois solutions, symétriques par rapport à $1$ .

Fonction irrationnelle (type bac). Soit $g(x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ .

Justifier que $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ et que $g(x) > 0$ pour tout réel $x$ .
Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x)$ (on pourra multiplier par la quantité conjuguée) et interpréter graphiquement.
Étudier la branche infinie en $+\infty$ et préciser la position de la courbe par rapport à son asymptote.
Calculer $g'(x)$ , montrer que $g'(x) = \dfrac{g(x)}{\sqrt{x^{2}+1}}$ et dresser le tableau de variations de $g$ .
En déduire que, pour tout réel $m > 0$ , l'équation $g(x) = m$ admet une unique solution, et la calculer.

Voir le corrigé détaillé

1. $x^{2} + 1 > 0$ pour tout $x$ : $D_g = \mathbb{R}$ . Si $x \geqslant 0$ , $g(x) \geqslant \sqrt{x^{2}+1} > 0$ . Si $x < 0$ :

$x^{2} + 1 > x^{2}$
$\Rightarrow$ $\sqrt{x^{2} + 1} > \sqrt{x^{2}} = |x| = -x$ la racine carrée est strictement croissante
$\Rightarrow$ $g(x) = x + \sqrt{x^{2}+1} > x + (-x) = 0$

2. En $-\infty$ , $x \to -\infty$ et $\sqrt{x^{2}+1} \to +\infty$ : forme indéterminée.

$g(x) = \dfrac{\left(x + \sqrt{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{x^{2}+1} - x\right)}{\sqrt{x^{2}+1} - x}$
$=$ $\dfrac{x^{2} + 1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1} - x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1} - x}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0$ le dénominateur tend vers $+\infty$

L'axe des abscisses $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ , et la courbe est au-dessus puisque $g > 0$ .

3. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ . Pour $x > 0$ :

$\dfrac{g(x)}{x} = 1 + \dfrac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = 1 + \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 2$
$g(x) - 2x = \sqrt{x^{2}+1} - x = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1} + x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$ quantité conjuguée

La droite $y = 2x$ est asymptote oblique en $+\infty$ , et $g(x) - 2x > 0$ : la courbe est au-dessus. Voilà une fonction avec une asymptote horizontale d'un côté et oblique de l'autre.

4. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ( $x^{2} + 1$ ne s'annule pas) :

$g'(x) = 1 + \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}} = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$
$=$ $\dfrac{\sqrt{x^{2}+1} + x}{\sqrt{x^{2}+1}} = \dfrac{g(x)}{\sqrt{x^{2}+1}}$
$\Rightarrow$ $g'(x) > 0$ pour tout réel $x$ d'après la question 1

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$
$g$	$0$	↗	$+\infty$

5. $g$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec $\displaystyle\lim_{-\infty} g = 0$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} g = +\infty$ : d'après le théorème de la bijection, $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0\ ;\ +\infty[$ et l'équation $g(x) = m$ admet une unique solution pour tout $m > 0$ (aucune si $m \leqslant 0$ ). Calcul :

$x + \sqrt{x^{2}+1} = m$
$\iff$ $\sqrt{x^{2}+1} = m - x$
$\iff$ $m - x \geqslant 0$ et $x^{2} + 1 = m^{2} - 2mx + x^{2}$ élévation au carré, licite si les deux membres sont positifs
$\iff$ $m - x \geqslant 0$ et $x = \dfrac{m^{2} - 1}{2m}$
$m - \dfrac{m^{2} - 1}{2m} = \dfrac{m^{2} + 1}{2m} > 0$ la condition est bien vérifiée pour $m > 0$

La solution est $x = \dfrac{m^{2} - 1}{2m}$ . Par exemple, $g(x) = 1 \iff x = 0$ , ce qui est cohérent avec $g(0) = 1$ .

Fonction trigonométrique (type bac). Soit $f(x) = \sin x\,(1 + \cos x)$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

Montrer que $f$ est $2\pi$ -périodique et impaire. Quel domaine d'étude peut-on choisir ?
Montrer que $f'(x) = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$ .
Étudier le signe de $f'$ sur $[0\ ;\ \pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
Déterminer les tangentes à la courbe aux points d'abscisses $0$ et $\pi$ .
Décrire le tracé de la courbe sur $[-\pi\ ;\ \pi]$ puis sur $\mathbb{R}$ , et donner le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Pour tout réel $x$ :

$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi)\,(1 + \cos(x + 2\pi)) = \sin x\,(1 + \cos x) = f(x)$ $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$ -périodiques
$f(-x) = \sin(-x)\,(1 + \cos(-x)) = -\sin x\,(1 + \cos x) = -f(x)$ $\sin$ impaire, $\cos$ paire

On étudie $f$ sur $[0\ ;\ \pi]$ ; la symétrie de centre $O$ donne la courbe sur $[-\pi\ ;\ \pi]$ , intervalle de longueur $2\pi$ , puis les translations de vecteurs $2k\pi\,\vec{i}$ donnent toute la courbe.

2. Dérivée d'un produit :

$f'(x) = \cos x\,(1 + \cos x) + \sin x\,(-\sin x)$
$=$ $\cos x + \cos^{2} x - \sin^{2} x$
$=$ $\cos x + \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x)$ $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$
$=$ $2\cos^{2} x + \cos x - 1$
$=$ $(2\cos x - 1)(\cos x + 1)$ développer redonne $2\cos^{2}x + 2\cos x - \cos x - 1$

3. Sur $[0\ ;\ \pi]$ , $\cos x + 1 \geqslant 0$ (nul seulement en $\pi$ ). Donc $f'(x)$ a le signe de $2\cos x - 1$ :

$2\cos x - 1 \geqslant 0 \iff \cos x \geqslant \dfrac{1}{2} \iff x \in \left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{3}\right]$ $\cos$ est décroissante sur $[0\ ;\ \pi]$ et $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$f(0) = 0$ , $f(\pi) = 0$
$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}30$

$x$	$0$		$\dfrac{\pi}{3}$		$\pi$
$f'(x)$	$2$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f$	$0$	↗	$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$	↘	$0$

$f'(0) = (2 - 1)(1 + 1) = 2$ tangente en $O$ : $y = 2x$
$f'(\pi) = (-2 - 1)(-1 + 1) = 0$ tangente horizontale au point $(\pi\ ;\ 0)$

5. Sur $[0\ ;\ \pi]$ , la courbe part de $O$ avec la pente $2$ , culmine en $\left(\frac{\pi}{3}\ ;\ \frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$ , passe par $\left(\frac{\pi}{2}\ ;\ 1\right)$ et revient tangentiellement sur l'axe en $(\pi\ ;\ 0)$ . La symétrie de centre $O$ donne sur $[-\pi\ ;\ 0]$ une arche négative avec un minimum $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ en $-\frac{\pi}{3}$ et une tangente horizontale en $(-\pi\ ;\ 0)$ , de sorte que le raccordement en $\pm\pi$ est lisse. On reproduit ensuite ce motif de longueur $2\pi$ . Le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ , atteint en $\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

L'atelier de couture de Fatou (Dakar). Fatou dirige un atelier qui produit des lots d'uniformes scolaires. Pour $q$ lots produits dans le mois ( $0 < q \leqslant 60$ ), le coût total de production, en milliers de francs CFA, est $C(q) = q^{2} + 900$ (les $900$ milliers correspondent au loyer et aux salaires fixes).

Exprimer le coût moyen par lot $M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ .
Étudier les variations de $M$ sur $]0\ ;\ 60]$ . Pour quelle production le coût moyen est-il minimal, et que vaut-il ?
Déterminer $\displaystyle\lim_{q \to 0^{+}} M(q)$ et interpréter. Montrer que la droite $y = q$ serait asymptote à la courbe de $M$ si la production pouvait croître indéfiniment ; interpréter.
Pour quelles productions le coût moyen ne dépasse-t-il pas $65\,000$ F CFA par lot ?

Voir le corrigé détaillé

1. $M(q) = \dfrac{q^{2} + 900}{q} = q + \dfrac{900}{q}$ (en milliers de F CFA par lot).

$M'(q) = 1 - \dfrac{900}{q^{2}} = \dfrac{q^{2} - 900}{q^{2}}$
$=$ $\dfrac{(q - 30)(q + 30)}{q^{2}}$ signe de $q - 30$ sur $]0\ ;\ 60]$
$M(30) = 30 + 30 = 60$ ; $M(60) = 60 + 15 = 75$

$q$	$0$		$30$		$60$
$M'(q)$		$-$	$0$	$+$
$M$	$+\infty$	↘	$60$	↗	$75$

Le coût moyen est minimal pour 30 lots par mois : il vaut alors 60 000 F CFA par lot.

$\displaystyle\lim_{q \to 0^{+}} M(q) = +\infty$ $\dfrac{900}{q} \to +\infty$ : asymptote verticale $q = 0$
$M(q) - q = \dfrac{900}{q} \xrightarrow[q \to +\infty]{} 0$ la droite $y = q$ est asymptote oblique

Interprétation : avec très peu de lots, les charges fixes de $900\,000$ F CFA se répartissent sur presque rien et le coût moyen explose. À l'inverse, pour de très grandes productions, la part des charges fixes $\dfrac{900}{q}$ devient négligeable et le coût moyen se rapproche de $q$ , le coût variable par lot.

4. On résout $M(q) \leqslant 65$ avec $q > 0$ :

$q + \dfrac{900}{q} \leqslant 65$
$\iff$ $q^{2} - 65q + 900 \leqslant 0$ multiplication par $q > 0$
$\Delta = 65^{2} - 4 \times 900 = 4225 - 3600 = 625 = 25^{2}$
$\Rightarrow$ racines $\dfrac{65 - 25}{2} = 20$ et $\dfrac{65 + 25}{2} = 45$
$\iff$ $20 \leqslant q \leqslant 45$ trinôme négatif entre ses racines

Fatou doit produire entre 20 et 45 lots par mois pour que chaque lot lui revienne à $65\,000$ F CFA au plus.

Le camion de Mahamat (Ndjamena – Abéché). Mahamat transporte des sacs de mil de Ndjamena à Abéché, soit environ $900$ km. À la vitesse constante $v$ (en km/h, avec $40 \leqslant v \leqslant 100$ ), son camion consomme $c(v) = 6 + \dfrac{v^{2}}{600}$ litres de gazole par heure.

Exprimer la durée du trajet en fonction de $v$ , puis montrer que la quantité de gazole consommée sur le trajet est $K(v) = \dfrac{5400}{v} + 1{,}5\,v$ .
Étudier les variations de $K$ sur $[40\ ;\ 100]$ et déterminer la vitesse la plus économique. Combien de litres consomme alors le camion, et combien de temps dure le trajet ?
Le gazole coûte $850$ F CFA le litre. Comparer le coût en carburant à $60$ km/h et à $90$ km/h, ainsi que les durées. Que conseillerais-tu à Mahamat ?

Voir le corrigé détaillé

1. À vitesse constante, durée $t = \dfrac{900}{v}$ heures. La consommation totale est le produit de la durée par la consommation horaire :

$K(v) = \dfrac{900}{v}\left(6 + \dfrac{v^{2}}{600}\right)$
$=$ $\dfrac{5400}{v} + \dfrac{900\,v^{2}}{600\,v}$
$=$ $\dfrac{5400}{v} + 1{,}5\,v$

$K'(v) = -\dfrac{5400}{v^{2}} + 1{,}5 = \dfrac{1{,}5\,v^{2} - 5400}{v^{2}}$
$=$ $\dfrac{1{,}5\,(v - 60)(v + 60)}{v^{2}}$ $v^{2} - 3600 = (v-60)(v+60)$
$K(40) = 135 + 60 = 195$ ; $K(60) = 90 + 90 = 180$ ; $K(100) = 54 + 150 = 204$

$v$	$40$		$60$		$100$
$K'(v)$		$-$	$0$	$+$
$K$	$195$	↘	$180$	↗	$204$

La vitesse la plus économique est 60 km/h : le camion consomme alors 180 L et le trajet dure $\dfrac{900}{60} = 15$ h.

à $60$ km/h : $180 \times 850 = 153\,000$ F CFA, durée $15$ h
à $90$ km/h : $K(90) = 60 + 135 = 195$ L
$\Rightarrow$ $195 \times 850 = 165\,750$ F CFA, durée $\dfrac{900}{90} = 10$ h
surcoût : $12\,750$ F CFA pour $5$ h gagnées

Rouler à $90$ km/h coûte $12\,750$ F CFA de plus mais fait gagner cinq heures ; si Mahamat est payé à la livraison ou doit repartir le jour même, ce surcoût est modeste. En revanche, sur la piste après Mongo, la sécurité impose souvent de rester en dessous de $60$ km/h : la vitesse optimale est aussi la plus prudente.

La boîte de concentré de tomate (Douala). Une conserverie de Douala fabrique des boîtes cylindriques fermées de volume $500$ cm³. On note $r$ le rayon et $h$ la hauteur, en centimètres. Le métal coûte cher : on veut minimiser l'aire totale de tôle $A$ (deux disques et la paroi latérale).

Exprimer $h$ en fonction de $r$ , puis montrer que $A(r) = 2\pi r^{2} + \dfrac{1000}{r}$ pour $r > 0$ .
Déterminer les limites de $A$ en $0^{+}$ et en $+\infty$ , puis étudier les variations de $A$ sur $]0\ ;\ +\infty[$ .
Déterminer les dimensions de la boîte la plus économique (valeurs exactes puis arrondies au millimètre) et montrer qu'alors $h = 2r$ . Calculer l'aire minimale.

Voir le corrigé détaillé

$\pi r^{2} h = 500 \iff h = \dfrac{500}{\pi r^{2}}$
$A = 2\pi r^{2} + 2\pi r h$ deux disques + rectangle déroulé de côtés $2\pi r$ et $h$
$=$ $2\pi r^{2} + 2\pi r \times \dfrac{500}{\pi r^{2}}$
$=$ $2\pi r^{2} + \dfrac{1000}{r}$

2. $\displaystyle\lim_{r \to 0^{+}} A(r) = +\infty$ (boîte très fine et très haute) et $\displaystyle\lim_{r \to +\infty} A(r) = +\infty$ (boîte très plate et très large).

$A'(r) = 4\pi r - \dfrac{1000}{r^{2}} = \dfrac{4\pi r^{3} - 1000}{r^{2}}$
$A'(r) = 0 \iff r^{3} = \dfrac{1000}{4\pi} = \dfrac{250}{\pi} \iff r = r_0 = \sqrt[3]{\dfrac{250}{\pi}}$
$A'(r) < 0$ si $r < r_0$ , $A'(r) > 0$ si $r > r_0$ $r \mapsto 4\pi r^{3} - 1000$ est croissante

$A$ est décroissante sur $]0\ ;\ r_0]$ , croissante sur $[r_0\ ;\ +\infty[$ : elle admet un minimum en $r_0$ .

$r_0 = \sqrt[3]{\dfrac{250}{\pi}} \approx \sqrt[3]{79{,}58} \approx 4{,}30$ cm
$\pi r_0^{2} = \dfrac{\pi r_0^{3}}{r_0} = \dfrac{250}{r_0}$ car $\pi r_0^{3} = 250$
$\Rightarrow$ $h_0 = \dfrac{500}{\pi r_0^{2}} = \dfrac{500\,r_0}{250} = 2 r_0 \approx 8{,}60$ cm
$A(r_0) = 2\pi r_0^{2} + \dfrac{1000}{r_0} = \dfrac{500}{r_0} + \dfrac{1000}{r_0} = \dfrac{1500}{r_0}$
$\approx$ $\dfrac{1500}{4{,}30} \approx 349$ cm²

La boîte la plus économique a un rayon d'environ 4,3 cm et une hauteur d'environ 8,6 cm : sa hauteur est égale à son diamètre, et elle utilise environ 349 cm² de tôle. Les boîtes réelles sont souvent plus hautes, car il faut aussi tenir compte des chutes de découpe des disques et de la prise en main.

Le club de soccer de Côte-des-Neiges (Montréal). Le nombre d'adhérents d'un club de quartier, $t$ années après sa création, est modélisé par $N(t) = \dfrac{200t + 50}{t + 1}$ pour $t \geqslant 0$ .

Calculer $N(0)$ , $N(1)$ , $N(4)$ et $N(9)$ .
Montrer que $N(t) = 200 - \dfrac{150}{t + 1}$ , puis étudier le sens de variation de $N$ .
Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} N(t)$ . Interpréter ce résultat pour le club.
Étudier la convexité de $N$ et interpréter concrètement.
À partir de quelle année le club comptera-t-il au moins $190$ adhérents ?

Voir le corrigé détaillé

1. $N(0) = 50$ ; $N(1) = \dfrac{250}{2} = 125$ ; $N(4) = \dfrac{850}{5} = 170$ ; $N(9) = \dfrac{1850}{10} = 185$ . Le club grandit, mais de moins en moins vite.

$200 - \dfrac{150}{t+1} = \dfrac{200(t + 1) - 150}{t + 1} = \dfrac{200t + 50}{t + 1} = N(t)$
$N'(t) = \dfrac{150}{(t + 1)^{2}} > 0$ dérivée de $-\dfrac{150}{u}$ : $\dfrac{150u'}{u^{2}}$ avec $u = t + 1$

$N$ est strictement croissante sur $[0\ ;\ +\infty[$ : le club ne perd jamais d'adhérents.

3. $\dfrac{150}{t+1} \to 0$ , donc $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} N(t) = 200$ : la droite $y = 200$ est asymptote horizontale. Le nombre d'adhérents se rapproche indéfiniment de $200$ sans jamais l'atteindre (car $\dfrac{150}{t+1} > 0$ ) : $200$ est un seuil de saturation, lié par exemple à la capacité des terrains du quartier.

$N''(t) = -\dfrac{300}{(t + 1)^{3}} < 0$ $N$ est concave sur $[0\ ;\ +\infty[$

La concavité signifie que $N'$ , la vitesse de recrutement, diminue : le club gagne $75$ adhérents la première année, mais seulement $15$ entre la quatrième et la neuvième. C'est la croissance « freinée » typique d'un phénomène qui sature.

$N(t) \geqslant 190 \iff 200 - \dfrac{150}{t+1} \geqslant 190$
$\iff$ $\dfrac{150}{t+1} \leqslant 10$
$\iff$ $t + 1 \geqslant 15$ $t + 1 > 0$ , on peut multiplier et diviser sans changer le sens
$\iff$ $t \geqslant 14$

Le club atteindra $190$ adhérents quatorze ans après sa création ( $N(14) = 190$ exactement), et en comptera toujours moins de $200$ .

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La courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ d'une fonction $f$ définie sur $D_f$ est l'ensemble des points $M(x\ ;\ y)$ tels que :

x \in D_f

y = f'(x)

y \in D_f

x = f(y)

x \in D_f

y = f(x)

x = D_f

y = f(x)

Explication : Par définition,

M(x\ ;\ y) \in (\mathcal{C}_f) \iff x \in D_f

y = f(x)

Dans le plan d'étude d'une fonction, quelle est la toute première étape ?

déterminer l'ensemble de définition

D_f

calculer la dérivée

f'

tracer la courbe étudier la convexité

Explication : Il ne faut jamais calculer

f'

avant d'avoir déterminé

D_f

: dériver en un point exclu du domaine n'a aucun sens.

Une fonction $f$ est dite paire sur un domaine symétrique par rapport à $0$ lorsque, pour tout $x \in D_f$ :

f(-x) = -f(x)

f(-x) = f(x)

f(x) = -f(-x)

f(2x) = f(x)

Explication : La parité se traduit par

f(-x) = f(x)

pour tout

x \in D_f

; la courbe est alors symétrique par rapport à l'axe

(Oy)

Si $f$ est impaire sur un domaine symétrique par rapport à $0$ , la courbe $(\mathcal{C}_f)$ est symétrique par rapport à :

l'axe

(Ox)

l'axe

(Oy)

la droite

y = x

l'origine

O

Explication : L'imparité,

f(-x) = -f(x)

, correspond à une symétrie de centre

O

, l'origine du repère.

La droite $x = a$ est asymptote verticale à $(\mathcal{C}_f)$ lorsque :

\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = a

f(a) = 0

f'(a) = 0

Explication : Une asymptote verticale traduit une limite infinie de

f

quand

x

tend vers la valeur interdite

a

(à gauche ou à droite).

Sur un intervalle $I$ , une fonction $f$ deux fois dérivable est convexe si et seulement si :

f'(x) \geqslant 0

sur

I

f''(x) \leqslant 0

sur

I

f''(x) \geqslant 0

sur

I

f(x) \geqslant 0

sur

I

Explication :

f

est convexe sur

I

si et seulement si

f''(x) \geqslant 0

sur

I

: la courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes.

Soit $f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ . Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ ?

-3

2

-1

+\infty

Explication : On factorise par

x

f(x) = \dfrac{x(2 - \frac{1}{x})}{x(1 + \frac{3}{x})} = \dfrac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}}

qui tend vers

2

\pm\infty

: la droite

y=2

est asymptote horizontale.

Pour $f(x) = \dfrac{x^{2}+1}{x-1}$ , la droite $x = 1$ est asymptote verticale car, quand $x \to 1^{+}$ :

le numérateur tend vers

0

f(x)

tend vers

1

f

n'est pas définie en

0

le numérateur tend vers

2

et le dénominateur vers

0^{+}

, donc

f(x) \to +\infty

Explication : Quand

x \to 1^{+}

x^{2}+1 \to 2

x-1 \to 0^{+}

: le quotient explose vers

+\infty

, ce qui caractérise l'asymptote verticale

x=1

Soit $f(x) = 3x + 2 + \dfrac{5}{x-1}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . L'asymptote oblique de $(\mathcal{C}_f)$ a pour équation :

y = 3x + 7

y = 5x

y = 3x + 2

x = 1

Explication :

f(x) - (3x+2) = \dfrac{5}{x-1} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 0

, donc la droite

y = 3x+2

est asymptote oblique.

Avec le même $f(x) = 3x + 2 + \dfrac{5}{x-1}$ , sur quel intervalle la courbe est-elle au-dessus de son asymptote oblique ?

]-\infty\ ;\ 1[

]1\ ;\ +\infty[

jamais, elle est toujours en dessous seulement en

x=1

Explication :

f(x) - (3x+2) = \dfrac{5}{x-1}

est positif quand

x - 1 > 0

, c'est-à-dire sur

]1\ ;\ +\infty[

: la courbe y est au-dessus de l'asymptote.

Pour étudier la nature d'une branche infinie quand $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \pm\infty$ , on calcule d'abord la limite de :

\dfrac{f(x)}{x}

f(x) - x

f'(x)

x \times f(x)

Explication : On calcule

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}

: si elle est infinie, direction

(Oy)

; si elle est nulle, direction

(Ox)

; si elle vaut

a \neq 0

, on poursuit avec

f(x)-ax

Soit $g(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5$ . On calcule $g''(x) = 6x - 6$ . Quelle est la nature du point d'abscisse $1$ sur $(\mathcal{C}_g)$ ?

un maximum local un point d'inflexion une asymptote verticale un point où

g

n'est pas définie

Explication :

g''(x) = 6(x-1)

change de signe en

x=1

(négatif avant, positif après) : la courbe traverse sa tangente en ce point, c'est un point d'inflexion.

Pour $f(x) = x^{4}$ , on a $f''(x) = 12x^{2}$ , qui s'annule en $x=0$ sans changer de signe. Que peut-on en conclure ?

l'origine est un point d'inflexion

f

est concave sur

\mathbb{R}

f

est convexe sur

\mathbb{R}

et l'origine n'est pas un point d'inflexion

f

n'a pas de dérivée seconde

Explication :

f''(x) = 12x^2 \geqslant 0

partout :

f

est convexe sur

\mathbb{R}

tout entier. Comme

f''

ne change pas de signe en

0

, ce n'est pas un point d'inflexion — piège classique.

Le point $I(a\ ;\ b)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ si, pour tout $x \in D_f$ :

2a - x \in D_f

f(2a-x) + f(x) = 2b

2a - x \in D_f

f(2a-x) = f(x)

f(a) = b

uniquement

f(x) = ax + b

Explication : La condition de centre de symétrie s'écrit

f(2a-x) + f(x) = 2b

(la moyenne des deux images vaut

b

), alors que

f(2a-x)=f(x)

caractérise un axe de symétrie.

Pour une fonction rationnelle de la forme $f(x) = \alpha x + \beta + \dfrac{\gamma}{x-x_0}$ , le centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ est toujours :

l'origine

O

le point

(0\ ;\ \beta)

un point de l'axe

(Ox)

le point d'intersection des deux asymptotes,

I(x_0\ ;\ \alpha x_0 + \beta)

Explication : C'est un résultat classique : pour une telle fonction, l'intersection de l'asymptote verticale

x=x_0

et de l'asymptote oblique

y=\alpha x+\beta

est toujours centre de symétrie de la courbe.

Soit $g(x) = \sqrt{x^2-9}$ sur $D_g = ]-\infty\,;-3]\cup[3\,;+\infty[$ . Au point $x=3$ , la courbe présente :

une tangente horizontale une demi-tangente verticale (fonction continue mais non dérivable) une asymptote verticale un point d'inflexion

Explication : Le radicande s'annule en

x=3

: le taux d'accroissement

\dfrac{g(x)-g(3)}{x-3}

tend vers

+\infty

quand

x \to 3^+

, donnant une demi-tangente verticale, sans que

g

soit dérivable en

3

Un coût moyen de production $C(x)$ (en francs CFA par unité) admet le tableau de variations suivant : décroissant sur $[0\ ;\ 200]$ jusqu'à un minimum $C(200)=1500$ , puis croissant sur $[200\ ;\ +\infty[$ . L'équation $C(x) = 1800$ admet alors :

aucune solution exactement une solution exactement deux solutions (une de chaque côté du minimum) une infinité de solutions

Explication :

1800 > 1500

est atteint une fois par la branche décroissante et une fois par la branche croissante : chaque branche est continue et strictement monotone, donc deux solutions au total (théorème de la bijection).

Une fonction $f$ , continue et strictement croissante sur $[2\ ;\ 10]$ , vérifie $f(2)=-3$ et $f(10)=7$ . Combien de solutions admet l'équation $f(x)=0$ sur $[2\ ;\ 10]$ ?

exactement une, car

0 \in [-3\,;\,7]

f

est strictement monotone aucune exactement deux on ne peut pas savoir sans le tableau de signe de

f'

Explication : D'après le théorème de la bijection, une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle prend chaque valeur de son intervalle image exactement une fois ;

0

appartient bien à

f([2\,;\,10])=[-3\,;\,7]

Soit $f(x) = x^3-3x+1$ , de maximum local $3$ en $x=-1$ et minimum local $-1$ en $x=1$ . Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'équation $f(x)=m$ admet-elle exactement deux solutions ?

pour tout

m

réel seulement si

-1 < m < 3

seulement si

m < -1

m > 3

m = -1

m = 3

(valeurs frontières où deux solutions fusionnent)

Explication : Aux valeurs des extremums, la droite

y=m

est tangente à la courbe en ce point (une solution) et coupe encore la troisième branche (une autre solution) : c'est le piège classique des valeurs frontières, à traiter à part.

Soit $f(x) = x + \dfrac{9}{x-2}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ , d'extremums locaux $A(-1\ ;\ -4)$ et $B(5\ ;\ 8)$ . Combien de solutions admet $f(x) = 2$ ?

quatre deux aucune :

2

est strictement compris entre les deux extremums

-4

8

, zone que la courbe n'atteint pas une infinité

Explication : Comme pour

f(x)=x+\frac{4}{x-1}

du cours, la bande entre les deux extremums locaux (ici

]-4\ ;\ 8[

) n'est atteinte par aucune branche : aucune horizontale

y=m

avec

-4<m<8

ne coupe la courbe.

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Classe : Classe de Terminale (séries scientifiques)
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 11 h
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Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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