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Primitives

Reconnaître et calculer les primitives des fonctions usuelles.

Mathématiques Terminale Chapitre 7 / 19 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Reconnaître une forme dérivée usuelle
  • Déterminer la primitive vérifiant une condition
  • Vérifier un résultat par dérivation

Depuis la classe de Première, tu sais dériver : face à une fonction FF, tu sais calculer sa fonction dérivée F′F', qui donne en chaque point la pente de la tangente à sa courbe. Ce chapitre te propose de parcourir le chemin inverse. Connaissant une fonction ff, peut-on retrouver une fonction FF dont elle serait la dérivée ? La réponse est oui, et cette fonction FF porte un nom : une primitive de ff.

Ce « chemin inverse » n'est pas un simple exercice de style. En cinématique, connaître l'accélération a(t)a(t) d'un mobile permet, par primitivations successives, de retrouver sa vitesse v(t)v(t) puis sa position x(t)x(t). En économie, le coût marginal est la dérivée du coût total : retrouver le coût total à partir du coût marginal, c'est chercher une primitive. Et ce chapitre est surtout la porte d'entrée du suivant : tout le calcul intégral — les aires, les volumes, les valeurs moyennes — repose entièrement sur les primitives. Pas de primitives, pas d'intégrales.

Un changement de point de vue t'attend cependant. Dériver une fonction donne une seule réponse. Chercher une primitive en donne une infinité : si FF convient, alors F+5F+5, F−2F-\sqrt{2} ou F+πF+\pi conviennent tout autant, car ajouter une constante ne change rien à la dérivée. Toute la rigueur de ce chapitre — et une bonne partie des points perdus au baccalauréat — se joue sur cette nuance : on ne parle jamais de « la » primitive d'une fonction, sauf lorsqu'une condition supplémentaire vient fixer cette constante.

Le programme est dense mais progressif : après avoir posé les définitions, tu apprendras un tableau de primitives usuelles, puis la manière de reconnaître des formes composées comme u′euu'\mathrm{e}^{u}, avant de savoir imposer une condition initiale et, enfin, de combiner toutes ces techniques — linéarisation trigonométrique, décomposition en éléments simples — pour venir à bout de n'importe quelle fonction du programme. Une bonne nouvelle pour finir : dans ce chapitre plus que tout autre, tu peux toujours vérifier ton résultat, simplement en dérivant la réponse trouvée.

1Définition et existence

1.1  Définition d'une primitive

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. On dit qu'une fonction FF est une primitive de ff sur II lorsque :

  • FF est dérivable sur II ;
  • pour tout x∈Ix \in I, F′(x)=f(x)F'(x) = f(x).

Chercher une primitive de ff, c'est donc chercher une fonction dont ff est la dérivée. Primitiver et dériver sont deux opérations inverses l'une de l'autre, tout comme extraire une racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré.

Exemple — vérifier qu'une fonction est une primitive

Vérifions que F(x)=x2F(x) = x^{2} est une primitive de f(x)=2xf(x) = 2x sur R\mathbb{R}.

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} comme fonction polynôme
  2. F′(x)=2xF'(x) = 2x
  3. ==f(x)f(x)

FF vérifie les deux conditions de la définition : F(x)=x2F(x) = x^{2} est donc une primitive de f(x)=2xf(x) = 2x sur R\mathbb{R}.

Exemple — un second cas

Vérifions que F(x)=−cos⁡xF(x) = -\cos x est une primitive de f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x sur R\mathbb{R}.

  1. F′(x)=−(−sin⁡x)F'(x) = -(-\sin x)
  2. ==sin⁡x\sin x
  3. ==f(x)f(x)
Attention

Une fonction qui admet une primitive en admet en réalité une infinité (tu le démontreras au 1.2). N'écris donc jamais « la primitive de ff » sans précision : dis « une primitive de ff », et n'oublie jamais le « +C+C » final lorsque l'énoncé ne fixe aucune condition — c'est l'erreur la plus sanctionnée au baccalauréat sur ce chapitre.

1.2  Existence et ensemble des primitives

Les exemples précédents supposaient qu'une primitive existait déjà. Le théorème suivant garantit que ce sera toujours le cas pour les fonctions que tu rencontres en Terminale.

Théorème (admis)

Toute fonction ff continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.

La démonstration de ce théorème dépasse le programme de Terminale : elle demande de construire explicitement une primitive à partir de l'aire sous la courbe de ff, ce que tu entreverras au chapitre suivant. Retiens simplement que la continuité — une propriété que tu sais établir depuis le chapitre sur les limites — suffit à garantir l'existence.

Math & Co — Le problème inverse de Barrow

En 1670, le mathématicien anglais Isaac Barrow (1630-1677), professeur à Cambridge, publie ses Lectiones Geometricae. Il y démontre, par des méthodes géométriques, que le problème des tangentes (trouver la pente d'une courbe) et le problème des aires (calculer la surface sous une courbe) sont deux problèmes inverses l'un de l'autre — l'idée même qui fonde ce chapitre.

Barrow est aussi le professeur, puis en 1669 le prédécesseur direct à la chaire lucasienne de Cambridge, d'un certain Isaac Newton. C'est Newton, avec l'Allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, qui donnera quelques années plus tard à cette relation inverse toute sa puissance de calcul.

Une fois qu'une primitive existe, combien y en a-t-il ? La propriété suivante répond complètement à la question.

Propriété

Soit ff une fonction admettant une primitive F0F_0 sur un intervalle II. Les primitives de ff sur II sont exactement les fonctions de la forme :

F(x)=F0(x)+C,C∈RF(x) = F_0(x) + C, \qquad C \in \mathbb{R}

Démonstration

On utilise un résultat déjà rencontré dans le chapitre sur les variations : si une fonction est dérivable sur un intervalle II et si sa dérivée est nulle sur II, alors cette fonction est constante sur II.

Les fonctions F0+CF_0+C sont des primitives. Pour tout réel CC, la fonction F0+CF_0+C est dérivable sur II et :

  1. (F0+C)′(x)=F0′(x)(F_0+C)'(x) = F_0'(x)
  2. ==f(x)f(x)

donc F0+CF_0+C est bien une primitive de ff sur II.

Réciproquement, soit FF une primitive quelconque de ff sur II, et posons g=F−F0g = F - F_0. La fonction gg est dérivable sur II comme différence de fonctions dérivables, et :

  1. g′(x)=F′(x)−F0′(x)g'(x) = F'(x) - F_0'(x)
  2. ==f(x)−f(x)f(x) - f(x)
  3. ==00

gg est donc dérivable sur l'intervalle II, de dérivée nulle sur II : d'après le résultat rappelé plus haut, gg est constante sur II. Il existe donc C∈RC \in \mathbb{R} tel que g(x)=Cg(x) = C pour tout x∈Ix \in I, c'est-à-dire F(x)=F0(x)+CF(x) = F_0(x) + C. C.Q.F.D.

La figure suivante précise le sens géométrique de l'égalité F′=fF' = f : la pente de la tangente à la courbe d'une primitive FF, en un point d'abscisse x0x_0, est exactement la valeur f(x0)f(x_0).

-2 -1 1 2 0 -1 1 2 3 4 5 6 x y F(x) = x² tangente en x₀ Δx Δy pente = f(x₀) = 3 x₀
Figure 1 — La courbe de F(x)=x2F(x) = x^{2}, une primitive de f(x)=2xf(x) = 2x. Au point d'abscisse x0=1,5x_0 = 1{,}5, la tangente a pour pente f(x0)=2×1,5=3f(x_0) = 2 \times 1{,}5 = 3 : la pente de la tangente à la courbe d'une primitive FF, en un point, est la valeur de ff en ce point.

Conséquence directe de la propriété précédente : les courbes de deux primitives d'une même fonction se déduisent l'une de l'autre par translation verticale, comme le montre la figure suivante pour f(x)=2xf(x)=2x.

-2 -1 1 2 0 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y +1 x²−2 x²−1 x² x²+1 x²+2
Figure 2 — La famille des primitives de f(x)=2xf(x) = 2x sur R\mathbb{R} : les courbes de FC(x)=x2+CF_C(x) = x^{2} + C se déduisent toutes de l'une d'elles par une translation verticale (ici, de +1+1 entre deux courbes consécutives).

2Primitives des fonctions usuelles

2.1  Linéarité

Propriété — linéarité

Soit FF une primitive de ff sur II et GG une primitive de gg sur II. Pour tous réels aa et bb, la fonction aF+bGaF+bG est une primitive de af+bgaf+bg sur II :

(aF+bG)′=aF′+bG′=af+bg(aF+bG)' = aF' + bG' = af+bg

(conséquence immédiate de la linéarité de la dérivation).

Cette propriété est ta permission officielle de primitiver terme à terme une somme, et de sortir les constantes multiplicatives — exactement comme tu le fais déjà pour dériver.

2.2  Tableau des primitives usuelles

Le tableau suivant se lit dans les deux sens. Lu de gauche à droite, c'est un tableau de dérivées, que tu connais depuis la Première. Lu de droite à gauche, c'est le tableau des primitives usuelles : il suffit de « remonter » chaque dérivée connue.

Fonction ffUne primitive FFIntervalle
f(x)=kf(x) = k (constante)F(x)=kxF(x) = kxR\mathbb{R}
f(x)=xnf(x) = x^{n}, n∈Nn \in \mathbb{N}F(x)=xn+1n+1F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}R\mathbb{R}
f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}F(x)=ln⁡xF(x) = \ln x]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[
f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}F(x)=−1xF(x) = -\dfrac{1}{x}]−∞ ;0[\left]-\infty\,;0\right[ ou ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[
f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}F(x)=2xF(x) = 2\sqrt{x}]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[
f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}F(x)=exF(x) = \mathrm{e}^{x}R\mathbb{R}
f(x)=cos⁡xf(x) = \cos xF(x)=sin⁡xF(x) = \sin xR\mathbb{R}
f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xF(x)=−cos⁡xF(x) = -\cos xR\mathbb{R}
f(x)=1cos⁡2x=1+tan⁡2xf(x) = \dfrac{1}{\cos^{2}x} = 1+\tan^{2}xF(x)=tan⁡xF(x) = \tan x]−π2+kπ ;π2+kπ[\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\,;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[, k∈Zk \in \mathbb{Z}
Méthode — retrouver une ligne du tableau

Pour retrouver, par exemple, la primitive de xnx^{n}, pose-toi la question à l'envers : « quelle fonction, dérivée, donne xnx^{n} ? ». Tu sais que la dérivée de xn+1x^{n+1} est (n+1)xn(n+1)x^{n} : il manque un facteur 1n+1\dfrac{1}{n+1}, d'où F(x)=xn+1n+1F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. C'est cette « lecture à l'envers » que tu systématiseras au §\S5.

Exemple — une primitive de polynôme

Déterminons les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=3x2−5x+2f(x) = 3x^{2} - 5x + 2.

  1. primitive de 3x23x^{2} : x3x^{3}
  2. primitive de −5x-5x : −52x2-\dfrac{5}{2}x^{2}
  3. primitive de 22 : 2x2x
  4. ⇒\RightarrowF(x)=x3−52x2+2x+CF(x) = x^{3} - \dfrac{5}{2}x^{2} + 2x + C, C∈RC \in \mathbb{R}linéarité (§\S2.1)
Exemple — combiner deux lignes du tableau

Déterminons les primitives sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ de f(x)=4x2−3xf(x) = \dfrac{4}{x^{2}} - \dfrac{3}{\sqrt{x}}.

  1. primitive de 4x2\dfrac{4}{x^{2}} : −4x-\dfrac{4}{x}4×(−1x)4 \times \left(-\frac{1}{x}\right)
  2. primitive de −3x-\dfrac{3}{\sqrt{x}} : −6x-6\sqrt{x}−3×2x-3 \times 2\sqrt{x}
  3. ⇒\RightarrowF(x)=−4x−6x+CF(x) = -\dfrac{4}{x} - 6\sqrt{x} + C, C∈RC \in \mathbb{R}
Attention — le piège de R∗\mathbb{R}^{*}

La propriété du §\S1.2 (« deux primitives diffèrent d'une constante ») exige que le domaine soit un intervalle. Or R∗=]−∞ ;0[∪]0 ;+∞[\mathbb{R}^{*} = \left]-\infty\,;0\right[ \cup \left]0\,;+\infty\right[ n'en est pas un ! Sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[, une primitive de f(x)=1x2f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} peut s'écrire F(x)=−1x+5F(x) = -\dfrac{1}{x} + 5 ; sur ]−∞ ;0[\left]-\infty\,;0\right[, une autre primitive de la même fonction ff peut très bien s'écrire F(x)=−1x−12F(x) = -\dfrac{1}{x} - 12 : ce sont deux primitives légitimes de ff sur R∗\mathbb{R}^{*}, qui ne diffèrent pas d'une constante unique. Précise donc toujours sur quel intervalle tu travailles.

Math & Co — Le mot « primitive »

Le terme fonction primitive est introduit par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) dans sa Théorie des fonctions analytiques, publiée en 1797. Lagrange y tente de fonder le calcul différentiel sans recourir aux « infiniment petits », jugés peu rigoureux : la fonction FF y est dite « primitive » de ff au sens où ff en dérive — FF est première, primitive, dans l'ordre logique de la construction.

3Formes u′unu'u^{n}, u′/uu'/u, u′euu'\mathrm{e}^{u}

3.1  Repérer une forme composée

De nombreuses fonctions du programme ne sont pas de simples xnx^{n}, mais des composées : une fonction uu est « prise dans » xnx^{n}, dans ex\mathrm{e}^{x}, dans cos⁡x\cos x... La méthode ci-dessous s'applique à toutes.

Méthode — reconnaître une forme u′×g(u)u' \times g(u)
  1. Repère dans l'expression de ff une fonction « intérieure » u(x)u(x) plausible (souvent : ce qui est élevé à une puissance, ce qui est sous une racine, ce qui est en exposant).
  2. Calcule u′(x)u'(x) et compare-la à ce qui multiplie le reste de l'expression.
  3. Si un facteur constant manque, fais-le apparaître en multipliant et divisant par ce facteur (il « sort » de la primitive).
  4. Applique la ligne correspondante du tableau ci-dessous.

3.2  Tableau des formes composées usuelles

Dans tout ce tableau, uu désigne une fonction dérivable sur un intervalle II.

FonctionUne primitiveCondition
u′unu'u^{n}, n∈Nn \in \mathbb{N}un+1n+1\dfrac{u^{n+1}}{n+1}—
u′un\dfrac{u'}{u^{n}}, n⩾2n \geqslant 2 entier−1(n−1) un−1-\dfrac{1}{(n-1)\,u^{n-1}}uu ne s'annule pas sur II
u′u\dfrac{u'}{u}ln⁡∣u∣\ln|u|uu ne s'annule pas sur II
u′u\dfrac{u'}{\sqrt{u}}2u2\sqrt{u}u>0u > 0 sur II
u′euu'\mathrm{e}^{u}eu\mathrm{e}^{u}—
u′cos⁡uu'\cos usin⁡u\sin u—
u′sin⁡uu'\sin u−cos⁡u-\cos u—
Attention — une forme hors programme

Tu pourrais être tenté d'ajouter au tableau la ligne u′1+u2\dfrac{u'}{1+u^{2}}, dont une primitive est arctan⁡u\arctan u (la fonction « arc tangente »). Cette fonction n'est pas au programme de Terminale C/D : si une telle expression apparaît dans un exercice, c'est le signe qu'il faut la traiter autrement (décomposition, changement d'écriture), et non l'intégrer telle quelle.

3.3  Exemples résolus

Exemple A — puissances de uu

1) Primitive sur R\mathbb{R} de f(x)=2x(x2+1)3f(x) = 2x(x^{2}+1)^{3} : on pose u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1, u′(x)=2xu'(x)=2x, qui correspond exactement au facteur présent.

  1. f=u′u3f = u'u^{3}
  2. ⇒\RightarrowF(x)=(x2+1)44+CF(x) = \dfrac{(x^{2}+1)^{4}}{4} + C

2) Primitive sur R\mathbb{R} de f(x)=4x(x2+1)3f(x) = \dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{3}} : ici u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1, u′(x)=2xu'(x)=2x, et f=2×u′u3f = 2 \times \dfrac{u'}{u^{3}}.

  1. primitive de u′u3\dfrac{u'}{u^{3}} : −12u2-\dfrac{1}{2u^{2}}
  2. ⇒\RightarrowF(x)=2×(−12(x2+1)2)+CF(x) = 2 \times \left(-\dfrac{1}{2(x^{2}+1)^{2}}\right) + C
  3. ==−1(x2+1)2+C-\dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}} + C
Exemple B — quotient u′/uu'/u et exponentielle

1) Primitive sur R\mathbb{R} de f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{x^{2}+1} : u(x)=x2+1>0u(x)=x^{2}+1 > 0, u′(x)=2xu'(x)=2x, donc f=12×u′uf = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u'}{u}.

  1. primitive de u′u\dfrac{u'}{u} : ln⁡(u)\ln(u)u>0u>0, donc ln⁡∣u∣=ln⁡u\ln|u|=\ln u
  2. ⇒\RightarrowF(x)=12ln⁡(x2+1)+CF(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C

2) Primitive sur R\mathbb{R} de f(x)=3x2ex3f(x) = 3x^{2}\mathrm{e}^{x^{3}} : u(x)=x3u(x)=x^{3}, u′(x)=3x2u'(x)=3x^{2}, correspondance exacte.

  1. f=u′euf = u'\mathrm{e}^{u}
  2. ⇒\RightarrowF(x)=ex3+CF(x) = \mathrm{e}^{x^{3}} + C
Exemple C — trigonométrie et racine

1) Primitive sur R\mathbb{R} de f(x)=(2x−1)cos⁡(x2−x)f(x) = (2x-1)\cos(x^{2}-x) : u(x)=x2−xu(x)=x^{2}-x, u′(x)=2x−1u'(x)=2x-1, correspondance exacte.

  1. f=u′cos⁡uf = u'\cos u
  2. ⇒\RightarrowF(x)=sin⁡(x2−x)+CF(x) = \sin(x^{2}-x) + C

2) Primitive sur R\mathbb{R} de f(x)=xsin⁡(x2)f(x) = x\sin(x^{2}) : u(x)=x2u(x)=x^{2}, u′(x)=2xu'(x)=2x, donc f=12×u′sin⁡uf = \dfrac{1}{2} \times u'\sin u.

  1. primitive de u′sin⁡uu'\sin u : −cos⁡u-\cos u
  2. ⇒\RightarrowF(x)=−12cos⁡(x2)+CF(x) = -\dfrac{1}{2}\cos(x^{2}) + C

3) Primitive sur R\mathbb{R} de f(x)=2x−3x2−3x+5f(x) = \dfrac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-3x+5}} : le discriminant de x2−3x+5x^{2}-3x+5 vaut 9−20=−11<09-20=-11<0, donc x2−3x+5>0x^{2}-3x+5>0 sur R\mathbb{R} ; on pose u(x)=x2−3x+5u(x)=x^{2}-3x+5, u′(x)=2x−3u'(x)=2x-3, correspondance exacte.

  1. f=u′uf = \dfrac{u'}{\sqrt{u}}
  2. ⇒\RightarrowF(x)=2x2−3x+5+CF(x) = 2\sqrt{x^{2}-3x+5} + C
Attention

L'erreur la plus fréquente : oublier le facteur d'ajustement. Écrire que xex2x\mathrm{e}^{x^{2}} a pour primitive ex2\mathrm{e}^{x^{2}} est faux — en dérivant, tu obtiendrais 2xex22x\mathrm{e}^{x^{2}}, pas xex2x\mathrm{e}^{x^{2}} ! La bonne primitive est 12ex2\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^{2}}. Le réflexe qui sauve des points : dérive toujours ta réponse pour vérifier.

4Primitive vérifiant une condition initiale

4.1  Théorème d'existence et d'unicité

Une primitive générale traîne toujours sa constante CC indéterminée. En physique comme en mathématiques, on dispose souvent d'une information supplémentaire — une position initiale, un point connu de la courbe — qui permet de fixer cette constante une fois pour toutes.

Théorème

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, x0∈Ix_0 \in I et y0∈Ry_0 \in \mathbb{R}. Il existe une unique primitive FF de ff sur II telle que F(x0)=y0F(x_0) = y_0.

Démonstration

Existence. D'après le théorème du §\S1.2, ff admet au moins une primitive F0F_0 sur II. Posons C0=y0−F0(x0)C_0 = y_0 - F_0(x_0) et F=F0+C0F = F_0+C_0 : d'après la propriété du §\S1.2, FF est une primitive de ff sur II, et :

  1. F(x0)=F0(x0)+C0F(x_0) = F_0(x_0) + C_0
  2. ==F0(x0)+y0−F0(x0)F_0(x_0) + y_0 - F_0(x_0)
  3. ==y0y_0

donc FF convient.

Unicité. Toute primitive GG de ff sur II s'écrit G=F0+CG = F_0+C pour un certain C∈RC \in \mathbb{R} (§\S1.2). La condition G(x0)=y0G(x_0)=y_0 équivaut alors à :

  1. F0(x0)+C=y0F_0(x_0) + C = y_0
  2.   ⟺  \iffC=y0−F0(x0)C = y_0 - F_0(x_0)

cette valeur de CC est unique : il ne peut donc exister qu'une seule primitive de ff sur II vérifiant G(x0)=y0G(x_0)=y_0. C.Q.F.D.

4.2  Méthode et exemples

Méthode — déterminer la primitive vérifiant une condition
  1. Détermine la primitive générale de ff sur II, avec sa constante +C+C (§\S2 ou §\S3).
  2. Écris l'équation donnée par la condition, par exemple F(x0)=y0F(x_0) = y_0.
  3. Résous cette équation pour trouver la valeur de CC.
  4. Conclus en donnant l'expression explicite de FF, sans « +C+C » puisqu'il est désormais déterminé.
Exemple — condition sur un polynôme

Déterminons la primitive FF de f(x)=6x−4f(x)=6x-4 sur R\mathbb{R} telle que F(1)=5F(1) = 5.

  1. primitive générale : F(x)=3x2−4x+CF(x) = 3x^{2} - 4x + C
  2. F(1)=3−4+CF(1) = 3 - 4 + C
  3. ==−1+C-1+C
  4. F(1)=5  ⟺  −1+C=5F(1) = 5 \iff -1+C=5
  5.   ⟺  \iffC=6C = 6

La primitive cherchée est F(x)=3x2−4x+6F(x) = 3x^{2} - 4x + 6.

Exemple — condition sur une exponentielle

Déterminons la primitive FF de f(x)=e2xf(x)=\mathrm{e}^{2x} sur R\mathbb{R} telle que F(0)=3F(0) = 3.

  1. f(x)=12×2e2xf(x) = \dfrac{1}{2} \times 2\mathrm{e}^{2x}forme u′euu'\mathrm{e}^{u}, u=2xu=2x
  2. primitive générale : F(x)=12e2x+CF(x) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + C
  3. F(0)=12+CF(0) = \dfrac{1}{2} + C
  4. F(0)=3  ⟺  12+C=3F(0)=3 \iff \dfrac{1}{2}+C=3
  5.   ⟺  \iffC=52C = \dfrac{5}{2}

La primitive cherchée est F(x)=12e2x+52F(x) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} + \dfrac{5}{2}.

Exemple — condition sur une famille de paraboles

Déterminons la primitive FF de f(x)=−2x+4f(x) = -2x+4 sur R\mathbb{R} dont la courbe passe par le point A(3 ;2)A(3\,;2).

  1. primitive générale : F(x)=−x2+4x+CF(x) = -x^{2}+4x+C
  2. F(3)=−9+12+CF(3) = -9+12+C
  3. ==3+C3+C
  4. F(3)=2  ⟺  3+C=2F(3)=2 \iff 3+C=2
  5.   ⟺  \iffC=−1C=-1

La primitive cherchée est F(x)=−x2+4x−1F(x) = -x^{2}+4x-1. La figure suivante représente plusieurs primitives de ff, et met en évidence celle-ci, seule à passer par AA.

1 2 3 4 0 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y A(3 ; 2) C = −3 C = 3 C = −1
Figure 3 — Plusieurs primitives de f(x)=−2x+4f(x) = -2x+4 : les courbes de FC(x)=−x2+4x+CF_C(x) = -x^{2}+4x+C, pour C=−3C=-3 et C=3C=3 (en grisé), et pour C=−1C=-1 (en bleu) — seule courbe de la famille à passer par le point A(3 ;2)A(3\,;2).
Attention

L'ordre des opérations est impératif : détermine d'abord la primitive générale avec sa constante, puis seulement applique la condition. Appliquer la condition directement à ff au lieu de FF, ou oublier la constante CC avant de l'égaler à une valeur, sont les deux erreurs les plus fréquentes sur ce type de question.

5Lecture inverse du tableau des dérivées

5.1  Stratégie générale

Tu as maintenant tous les outils : le tableau usuel (§\S2), les formes composées (§\S3). Reste à savoir, face à une fonction inconnue, dans quel ordre les mobiliser. La méthode ci-dessous te sert de feuille de route pour tout le chapitre — et pour le baccalauréat.

Méthode — face à une fonction à primitiver
  1. Cherche si ff correspond directement à une ligne du tableau usuel (§\S2).
  2. Sinon, cherche une forme composée u′×g(u)u' \times g(u) (§\S3), quitte à ajuster une constante multiplicative.
  3. Si des carrés ou des produits trigonométriques apparaissent (cos⁡2\cos^{2}, sin⁡2\sin^{2}, cos⁡×sin⁡\cos \times \sin...), linéarise d'abord (§\S5.2).
  4. Si c'est une fraction rationnelle qui ne se ramène pas à u′/uu'/u, décompose-la en éléments simples (§\S5.3).
  5. Dans tous les cas : vérifie ton résultat en le dérivant.

5.2  Linéarisation trigonométrique

Aucune ligne du tableau ne donne directement une primitive de cos⁡2x\cos^{2}x ou de sin⁡2x\sin^{2}x : ce ne sont pas des formes u′×g(u)u' \times g(u). La solution consiste à transformer l'écriture avant de primitiver, à l'aide des formules de duplication.

Méthode — linéariser un carré trigonométrique

On utilise les formules, conséquences de cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 2\cos^{2}x - 1 = 1-2\sin^{2}x :

cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\cos^{2}x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \qquad \qquad \sin^{2}x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}

Une fois linéarisée, l'expression ne contient plus que des termes constants et des cos⁡(2x)\cos(2x) ou sin⁡(2x)\sin(2x), directement primitivables.

Exemple — primitive de cos⁡2x\cos^{2}x

Déterminons les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=cos⁡2xf(x) = \cos^{2}x.

  1. f(x)=1+cos⁡(2x)2f(x) = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}
  2. ==12+12cos⁡(2x)\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos(2x)

Le premier terme a pour primitive 12x\dfrac{1}{2}x. Pour le second, on pose u=2xu=2x, u′=2u'=2, donc 12cos⁡(2x)=14×2cos⁡(2x)=14u′cos⁡u\dfrac{1}{2}\cos(2x) = \dfrac{1}{4} \times 2\cos(2x) = \dfrac{1}{4}u'\cos u, de primitive 14sin⁡(2x)\dfrac{1}{4}\sin(2x).

  1. ⇒\RightarrowF(x)=x2+14sin⁡(2x)+CF(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C

5.3  Décomposition en éléments simples

Certaines fractions rationnelles ne sont pas de la forme u′/uu'/u : c'est le cas dès que le dénominateur se factorise en plusieurs facteurs distincts. On les décompose alors en une somme de fractions plus simples, chacune primitivable séparément.

Méthode — décomposer 1(x−a)(x−b)\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}

On cherche deux réels AA et BB tels que, pour tout xx du domaine :

1(x−a)(x−b)=Ax−a+Bx−b\dfrac{1}{(x-a)(x-b)} = \dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b}

On réduit au même dénominateur, on identifie les numérateurs, puis on résout le système obtenu (ou, plus rapidement, on remplace xx par aa puis par bb après avoir multiplié par chaque dénominateur).

Exemple — primitive de 1x2−1\dfrac{1}{x^{2}-1}

Déterminons une primitive de f(x)=1x2−1=1(x−1)(x+1)f(x) = \dfrac{1}{x^{2}-1} = \dfrac{1}{(x-1)(x+1)} sur ]1 ;+∞[\left]1\,;+\infty\right[.

On cherche A,BA,B tels que 1(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}, soit 1=A(x+1)+B(x−1)1 = A(x+1)+B(x-1).

  1. en x=1x=1 : 1=2A1 = 2A
  2. ⇒\RightarrowA=12A = \dfrac{1}{2}
  3. en x=−1x=-1 : 1=−2B1 = -2B
  4. ⇒\RightarrowB=−12B = -\dfrac{1}{2}

Donc, sur ]1 ;+∞[\left]1\,;+\infty\right[ (où x−1>0x-1>0 et x+1>0x+1>0) :

  1. f(x)=12×1x−1−12×1x+1f(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{x+1}
  2. ⇒\RightarrowF(x)=12ln⁡(x−1)−12ln⁡(x+1)+CF(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x-1) - \dfrac{1}{2}\ln(x+1) + C
Attention

Comme au §\S2.2, l'intervalle compte : sur ]−1 ;1[\left]-1\,;1\right[, on aurait x−1<0x-1<0 et il faudrait écrire ln⁡∣x−1∣=ln⁡(1−x)\ln|x-1|=\ln(1-x). Vérifie toujours le signe de chaque facteur avant de retirer les valeurs absolues, et n'oublie pas de dériver ton résultat pour te contrôler.

5.4  Un avant-goût : l'aire sous une courbe

Pourquoi tant d'efforts pour maîtriser les primitives ? Voici un premier indice, que le prochain chapitre développera entièrement.

Math & Co — Un signe né d'une somme

Le 29 octobre 1675, dans un manuscrit resté célèbre, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) introduit pour la première fois le symbole ∫\displaystyle\int, un « S » allongé pour summa (somme, en latin). Il l'utilise pour noter une somme d'aires infinitésimales — ce que nous appelons aujourd'hui une intégrale. Leibniz avait compris ce que Barrow avait entrevu : cette « somme d'aires » se calcule, comme par magie, à l'aide d'une primitive.

Voici l'idée, que tu retrouveras en détail au chapitre suivant : l'aire de la région comprise entre la courbe d'une fonction positive hh, l'axe des abscisses, et deux droites verticales d'équations x=ax=a et x=bx=b, s'exprime à l'aide d'une primitive de hh.

1 2 3 4 0 1 2 3 4 x y a b aire h(x) = −x² + 4x
Figure 4 — L'aire de la région colorée, comprise entre la courbe de h(x)=−x2+4xh(x) = -x^{2}+4x, l'axe des abscisses et les droites x=a=1x=a=1 et x=b=3x=b=3, se calcule à l'aide d'une primitive de hh : c'est tout l'objet du chapitre « Calcul intégral ».

Tu sais désormais reconnaître, construire et déterminer une primitive dans toutes les situations du programme. C'est très exactement ce dont tu auras besoin, dès le prochain chapitre, pour donner un sens rigoureux au mot « aire ».

Fiche mémo

  • FF primitive de ff sur II   ⟺  \iff FF dérivable sur II et F′=fF'=f sur II.
  • ff continue sur II ⇒\Rightarrow ff admet des primitives sur II (admis).
  • FF, GG primitives de ff sur l'intervalle II   ⟺  \iff il existe C∈RC \in \mathbb{R} tel que G=F+CG=F+C sur II.
  • Une condition F(x0)=y0F(x_0)=y_0 détermine une unique primitive.
  • Tableau usuel : xn→xn+1n+1x^{n} \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1} ; 1x→ln⁡x\dfrac{1}{x} \to \ln x ; 1x2→−1x\dfrac{1}{x^{2}} \to -\dfrac{1}{x} ; 1x→2x\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x} ; ex→ex\mathrm{e}^{x} \to \mathrm{e}^{x} ; cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin x ; sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos x ; 1cos⁡2x→tan⁡x\dfrac{1}{\cos^{2}x} \to \tan x.
  • Formes composées : u′un→un+1n+1u'u^{n} \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1} ; u′u→ln⁡∣u∣\dfrac{u'}{u} \to \ln|u| ; u′eu→euu'\mathrm{e}^{u} \to \mathrm{e}^{u} ; u′cos⁡u→sin⁡uu'\cos u \to \sin u ; u′sin⁡u→−cos⁡uu'\sin u \to -\cos u ; u′u→2u\dfrac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u}.
  • Toujours ajuster une constante multiplicative manquante avant d'appliquer une formule composée.
  • Linéariser avant de primitiver cos⁡2x\cos^{2}x ou sin⁡2x\sin^{2}x : cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}, sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}.
  • Décomposer en éléments simples une fraction rationnelle qui n'est pas de la forme u′/uu'/u.
  • Une primitive sans son « +C+C » est une réponse incomplète, sauf condition initiale fixée.
  • Sur un ensemble qui n'est pas un intervalle (par exemple R∗\mathbb{R}^{*}), les constantes peuvent différer d'un morceau à l'autre.
  • Réflexe systématique : vérifier un résultat en dérivant la primitive trouvée.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Détermine, sur l'intervalle indiqué, une primitive de chacune des fonctions suivantes.

  1. f(x)=5x4f(x) = 5x^{4} sur R\mathbb{R}
  2. f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^{2}} sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[
  3. f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x sur R\mathbb{R}
  4. f(x)=ex−2f(x) = \mathrm{e}^{x} - 2 sur R\mathbb{R}
Voir le corrigé détaillé
  1. 1) F(x)=x5F(x) = x^{5}
  2. 2) F(x)=−1xF(x) = -\dfrac{1}{x}
  3. 3) F(x)=3sin⁡xF(x) = 3\sin x
  4. 4) F(x)=ex−2xF(x) = \mathrm{e}^{x} - 2x
2

Vérifie que F(x)=(x2+1)exF(x) = (x^{2}+1)\mathrm{e}^{x} est une primitive de f(x)=(x2+2x+1)exf(x) = (x^{2}+2x+1)\mathrm{e}^{x} sur R\mathbb{R}.

Voir le corrigé détaillé

FF est dérivable sur R\mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables. Avec u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^{x}, F=uvF=uv donc F′=u′v+uv′F'=u'v+uv'.

  1. F′(x)=2x ex+(x2+1) exF'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x} + (x^{2}+1)\,\mathrm{e}^{x}
  2. ==(x2+2x+1)ex\left(x^{2}+2x+1\right)\mathrm{e}^{x}
  3. ==f(x)f(x)

FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}. Remarque : x2+2x+1=(x+1)2x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.

3

Détermine les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=4x3−6x2+x−5f(x) = 4x^{3}-6x^{2}+x-5.

Voir le corrigé détaillé
  1. primitive de 4x34x^{3} : x4x^{4}
  2. primitive de −6x2-6x^{2} : −2x3-2x^{3}
  3. primitive de xx : x22\dfrac{x^{2}}{2}
  4. primitive de −5-5 : −5x-5x
  5. ⇒\RightarrowF(x)=x4−2x3+x22−5x+CF(x) = x^{4}-2x^{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-5x+C, C∈RC \in \mathbb{R}
4

Détermine les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=sin⁡x+cos⁡x−4f(x) = \sin x + \cos x - 4.

Voir le corrigé détaillé
  1. F(x)=−cos⁡x+sin⁡x−4x+CF(x) = -\cos x + \sin x - 4x + C, C∈RC \in \mathbb{R}
5

Détermine les primitives sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ de f(x)=3x−2x2f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^{2}}.

Voir le corrigé détaillé
  1. primitive de 3x\dfrac{3}{\sqrt{x}} : 6x6\sqrt{x}
  2. primitive de −2x2-\dfrac{2}{x^{2}} : 2x\dfrac{2}{x}
  3. ⇒\RightarrowF(x)=6x+2x+CF(x) = 6\sqrt{x} + \dfrac{2}{x} + C, C∈RC \in \mathbb{R}
6

Détermine les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=2x(x2+5)4f(x) = 2x(x^{2}+5)^{4}.

Voir le corrigé détaillé

On pose u(x)=x2+5u(x)=x^{2}+5, u′(x)=2xu'(x)=2x : correspondance exacte avec la forme u′u4u'u^{4}.

  1. ⇒\RightarrowF(x)=(x2+5)55+CF(x) = \dfrac{(x^{2}+5)^{5}}{5} + C, C∈RC \in \mathbb{R}
Niveau 2 — Approfondissement
7

Détermine les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=x e−x2f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}.

Voir le corrigé détaillé

On pose u(x)=−x2u(x)=-x^{2}, u′(x)=−2xu'(x)=-2x.

  1. f(x)=−12×(−2x) e−x2f(x) = -\dfrac{1}{2} \times (-2x)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}
  2. f=−12u′euf = -\dfrac{1}{2}u'\mathrm{e}^{u}
  3. ⇒\RightarrowF(x)=−12e−x2+CF(x) = -\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-x^{2}} + C, C∈RC \in \mathbb{R}
8

Détermine les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=4x−2x2−x+3f(x) = \dfrac{4x-2}{x^{2}-x+3}.

Voir le corrigé détaillé

Le discriminant de x2−x+3x^{2}-x+3 vaut 1−12=−11<01-12=-11<0 : ce trinôme est strictement positif sur R\mathbb{R}. On pose u(x)=x2−x+3u(x)=x^{2}-x+3, u′(x)=2x−1u'(x)=2x-1.

  1. f(x)=2×2x−1x2−x+3f(x) = 2 \times \dfrac{2x-1}{x^{2}-x+3}
  2. f=2×u′uf = 2 \times \dfrac{u'}{u}
  3. ⇒\RightarrowF(x)=2ln⁡(x2−x+3)+CF(x) = 2\ln(x^{2}-x+3) + C, C∈RC \in \mathbb{R}u>0u>0 donc ln⁡∣u∣=ln⁡u\ln|u|=\ln u
9

Détermine les primitives sur R\mathbb{R} de f(x)=4sin⁡2xf(x) = 4\sin^{2}x.

Voir le corrigé détaillé
  1. f(x)=4×1−cos⁡(2x)2f(x) = 4 \times \dfrac{1-\cos(2x)}{2}
  2. ==2−2cos⁡(2x)2 - 2\cos(2x)

Primitive de 22 : 2x2x. Pour −2cos⁡(2x)-2\cos(2x), on pose u=2xu=2x, u′=2u'=2 : −2cos⁡(2x)=−u′cos⁡u-2\cos(2x) = -u'\cos u, de primitive −sin⁡u=−sin⁡(2x)-\sin u = -\sin(2x).

  1. ⇒\RightarrowF(x)=2x−sin⁡(2x)+CF(x) = 2x - \sin(2x) + C, C∈RC \in \mathbb{R}
10

Détermine une primitive de f(x)=2x+7(x+1)(x+3)f(x) = \dfrac{2x+7}{(x+1)(x+3)} sur ]−1 ;+∞[\left]-1\,;+\infty\right[.

Voir le corrigé détaillé

On cherche A,BA,B tels que 2x+7(x+1)(x+3)=Ax+1+Bx+3\dfrac{2x+7}{(x+1)(x+3)} = \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+3}, soit 2x+7=A(x+3)+B(x+1)2x+7 = A(x+3)+B(x+1).

  1. en x=−1x=-1 : 5=2A5 = 2A
  2. ⇒\RightarrowA=52A = \dfrac{5}{2}
  3. en x=−3x=-3 : 1=−2B1 = -2B
  4. ⇒\RightarrowB=−12B = -\dfrac{1}{2}

Sur ]−1 ;+∞[\left]-1\,;+\infty\right[, x+1>0x+1>0 et x+3>0x+3>0, donc :

  1. f(x)=52×1x+1−12×1x+3f(x) = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{x+3}
  2. ⇒\RightarrowF(x)=52ln⁡(x+1)−12ln⁡(x+3)+CF(x) = \dfrac{5}{2}\ln(x+1) - \dfrac{1}{2}\ln(x+3) + C, C∈RC \in \mathbb{R}
11

Soit f(x)=6x2(x3−1)2f(x) = 6x^{2}(x^{3}-1)^{2}. Détermine la primitive FF de ff sur R\mathbb{R} telle que F(1)=10F(1) = 10.

Voir le corrigé détaillé

On pose u(x)=x3−1u(x)=x^{3}-1, u′(x)=3x2u'(x)=3x^{2}.

  1. f(x)=2×3x2(x3−1)2f(x) = 2 \times 3x^{2}(x^{3}-1)^{2}
  2. f=2u′u2f = 2u'u^{2}
  3. primitive générale : F(x)=23(x3−1)3+CF(x) = \dfrac{2}{3}(x^{3}-1)^{3} + C
  4. F(1)=23(1−1)3+CF(1) = \dfrac{2}{3}(1-1)^{3}+C
  5. ==CC
  6. F(1)=10  ⟺  C=10F(1)=10 \iff C=10

La primitive cherchée est F(x)=23(x3−1)3+10F(x) = \dfrac{2}{3}(x^{3}-1)^{3} + 10.

Niveau 3 — Type bac
12

Restitution organisée de connaissances.

  1. Démontre que si FF et GG sont deux primitives d'une même fonction ff sur un intervalle II, alors il existe un réel CC tel que G=F+CG=F+C sur II.
  2. Vérifie que F(x)=x3−x2+x−4F(x)=x^{3}-x^{2}+x-4 est une primitive de f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^{2}-2x+1 sur R\mathbb{R}.
  3. En utilisant le résultat de la question 1, détermine la primitive GG de ff sur R\mathbb{R} telle que G(0)=5G(0)=5, sans reprendre le calcul d'une primitive depuis le début.
Voir le corrigé détaillé

1. La fonction g=G−Fg=G-F est dérivable sur II comme différence de fonctions dérivables.

  1. g′(x)=G′(x)−F′(x)g'(x) = G'(x)-F'(x)
  2. ==f(x)−f(x)f(x)-f(x)
  3. ==00

gg est donc dérivable sur l'intervalle II, de dérivée nulle sur II : gg est constante sur II. Il existe donc C∈RC \in \mathbb{R} tel que g(x)=Cg(x)=C pour tout x∈Ix \in I, c'est-à-dire G(x)=F(x)+CG(x)=F(x)+C. C.Q.F.D.

2. FF est dérivable sur R\mathbb{R} comme fonction polynôme.

  1. F′(x)=3x2−2x+1F'(x) = 3x^{2}-2x+1
  2. ==f(x)f(x)

FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

3. D'après la question 1, G=F+CG=F+C sur R\mathbb{R} pour un certain C∈RC \in \mathbb{R}.

  1. G(0)=F(0)+CG(0) = F(0)+C
  2. ==−4+C-4+C
  3. G(0)=5  ⟺  −4+C=5G(0)=5 \iff -4+C=5
  4.   ⟺  \iffC=9C=9

D'où G(x)=x3−x2+x−4+9=x3−x2+x+5G(x) = x^{3}-x^{2}+x-4+9 = x^{3}-x^{2}+x+5.

13

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f(x)=x2−4f(x) = x^{2}-4.

-3 -2 -1 1 2 3 0 -4 -2 2 4 6 8 x y f(x) = x² − 4
Figure 5 — La parabole d'équation y=x2−4y=x^{2}-4 coupe l'axe des abscisses en −2-2 et 22 : ff est négative entre ces deux racines, positive à l'extérieur.
  1. Détermine le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb{R} (tu pourras factoriser f(x)f(x)).
  2. FF est la primitive de ff sur R\mathbb{R} qui s'annule en 00. Sans calculer l'expression de FF, dresse son tableau de variations, en justifiant à partir du signe de f=F′f=F'.
  3. Détermine l'expression de F(x)F(x), puis calcule F(−2)F(-2), F(0)F(0) et F(2)F(2) ; vérifie la cohérence avec le tableau de variations obtenu à la question 2.
Voir le corrigé détaillé

1. f(x)=x2−4=(x−2)(x+2)f(x) = x^{2}-4 = (x-2)(x+2), un trinôme du second degré de racines −2-2 et 22, de coefficient dominant positif : il est donc négatif entre les racines, positif à l'extérieur.

xx−∞-\infty−2-222+∞+\infty
f(x)f(x)++00−-00++

2. Puisque F′=fF'=f, le signe de F′F' est celui de ff : FF est croissante là où f⩾0f \geqslant 0, décroissante là où f⩽0f \leqslant 0.

xx−∞-\infty−2-222+∞+\infty
F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)++00−-00++
FF↗↘↗

3. Une primitive générale de ff est x33−4x+C\dfrac{x^{3}}{3}-4x+C.

  1. F(0)=0+CF(0) = 0+C
  2. F(0)=0  ⟺  C=0F(0)=0 \iff C=0

D'où F(x)=x33−4xF(x) = \dfrac{x^{3}}{3}-4x.

  1. F(−2)=−83+8F(-2) = -\dfrac{8}{3}+8
  2. ==163\dfrac{16}{3}
  3. F(0)=0F(0) = 0
  4. F(2)=83−8F(2) = \dfrac{8}{3}-8
  5. ==−163-\dfrac{16}{3}

On a bien F(−2)=163>0F(-2)=\dfrac{16}{3}>0 (maximum local), F(2)=−163<0F(2)=-\dfrac{16}{3}<0 (minimum local), et FF décroît de l'un à l'autre en passant par F(0)=0F(0)=0 : c'est cohérent avec le tableau de variations. On remarque même que F(−2)=−F(2)F(-2)=-F(2) : FF est une fonction impaire, car ff est paire et F(0)=0F(0)=0.

14

Soit ff la fonction définie sur I=]−1 ;+∞[I=\left]-1\,;+\infty\right[ par f(x)=3x+5(x+1)(x+2)f(x) = \dfrac{3x+5}{(x+1)(x+2)}.

  1. Justifie que ff est continue sur II, puis détermine deux réels aa et bb tels que, pour tout x∈Ix \in I, f(x)=ax+1+bx+2f(x) = \dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x+2}.
  2. En déduire une primitive de ff sur II (tu justifieras l'absence de valeurs absolues).
  3. Détermine la primitive FF de ff sur II telle que F(0)=3F(0)=3.
Voir le corrigé détaillé

1. Sur I=]−1 ;+∞[I=\left]-1\,;+\infty\right[, x+1≠0x+1\neq0 et x+2≠0x+2\neq0 : ff est un quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s'annule pas sur II, donc ff est continue sur II. On cherche a,ba,b tels que 3x+5=a(x+2)+b(x+1)3x+5 = a(x+2)+b(x+1).

  1. en x=−1x=-1 : 2=a2 = a
  2. ⇒\Rightarrowa=2a = 2
  3. en x=−2x=-2 : −1=−b-1 = -b
  4. ⇒\Rightarrowb=1b = 1

2. Sur II, x+1>0x+1>0 et x+2>0x+2>0, donc ln⁡∣x+1∣=ln⁡(x+1)\ln|x+1|=\ln(x+1) et ln⁡∣x+2∣=ln⁡(x+2)\ln|x+2|=\ln(x+2).

  1. f(x)=2x+1+1x+2f(x) = \dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}
  2. ⇒\Rightarrowune primitive : F0(x)=2ln⁡(x+1)+ln⁡(x+2)F_0(x) = 2\ln(x+1)+\ln(x+2)

3. La primitive générale sur II est F(x)=2ln⁡(x+1)+ln⁡(x+2)+CF(x) = 2\ln(x+1)+\ln(x+2)+C.

  1. F(0)=2ln⁡1+ln⁡2+CF(0) = 2\ln1+\ln2+C
  2. ==ln⁡2+C\ln2+C
  3. F(0)=3  ⟺  ln⁡2+C=3F(0)=3 \iff \ln2+C=3
  4.   ⟺  \iffC=3−ln⁡2C=3-\ln2

D'où F(x)=2ln⁡(x+1)+ln⁡(x+2)+3−ln⁡2F(x) = 2\ln(x+1)+\ln(x+2)+3-\ln2, que l'on peut aussi écrire, en regroupant les logarithmes, F(x)=ln⁡ ⁣((x+1)2(x+2)2)+3F(x) = \ln\!\left(\dfrac{(x+1)^{2}(x+2)}{2}\right) + 3.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
15

Le bus de Dakar. Un bus démarre de la gare routière de Dakar. Son accélération est constante et vaut a(t)=1,5 m/s2a(t) = 1{,}5\ \text{m/s}^{2} pendant les 1212 premières secondes suivant le départ (tt en secondes). Initialement, le bus est à l'arrêt (v(0)=0v(0)=0) et on choisit l'origine des distances au niveau de la gare (x(0)=0x(0)=0).

  1. Détermine v(t)v(t), la vitesse du bus à l'instant tt, sachant que vv est la primitive de aa qui vérifie v(0)=0v(0)=0.
  2. Détermine x(t)x(t), la distance parcourue depuis la gare à l'instant tt, sachant que xx est la primitive de vv qui vérifie x(0)=0x(0)=0.
  3. Calcule la distance parcourue et la vitesse atteinte après 1010 secondes.
Voir le corrigé détaillé

1. aa est constante sur [0 ;12][0\,;12], donc v(t)=1,5 t+Cv(t) = 1{,}5\,t+C.

  1. v(0)=Cv(0) = C
  2. v(0)=0  ⟺  C=0v(0)=0 \iff C=0

D'où v(t)=1,5 tv(t) = 1{,}5\,t.

2. v(t)=1,5 tv(t)=1{,}5\,t, donc x(t)=0,75 t2+C′x(t) = 0{,}75\,t^{2}+C'.

  1. x(0)=C′x(0) = C'
  2. x(0)=0  ⟺  C′=0x(0)=0 \iff C'=0

D'où x(t)=0,75 t2x(t) = 0{,}75\,t^{2}.

2 4 6 8 10 12 0 5 10 15 20 t (s) v (m/s) v(10) = 15 v(t) = 1,5t
Figure 6 — La vitesse v(t)=1,5tv(t) = 1{,}5t du bus, fonction affine du temps puisque l'accélération est constante. À t=10 st=10\ \text{s}, v(10)=15 m/sv(10)=15\ \text{m/s}.

3.

  1. v(10)=1,5×10v(10) = 1{,}5\times10
  2. ==15 m/s15\ \text{m/s}
  3. x(10)=0,75×102x(10) = 0{,}75\times10^{2}
  4. ==75 m75\ \text{m}

Après 1010 secondes, le bus a parcouru 7575 m et roule à 15 m/s15\ \text{m/s}, soit 15×3,6=54 km/h15\times3{,}6=54\ \text{km/h}.

16

La citerne d'Abéché. Une citerne se remplit à un débit D(t)=6−0,3tD(t) = 6-0{,}3t (en m³/h), où tt est le temps écoulé, en heures, depuis l'ouverture de la vanne (t∈[0 ;20]t \in [0\,;20]). À l'instant t=0t=0, la citerne contient déjà 55 m³ d'eau.

  1. Détermine V(t)V(t), le volume d'eau contenu dans la citerne à l'instant tt, sachant que VV est la primitive de DD qui vérifie V(0)=5V(0)=5.
  2. Calcule le volume contenu après 1010 heures.
  3. À quel instant le débit s'annule-t-il ? Quel volume la citerne contient-elle alors ?
Voir le corrigé détaillé

1. Une primitive générale de DD est V(t)=6t−0,15t2+CV(t) = 6t-0{,}15t^{2}+C.

  1. V(0)=CV(0) = C
  2. V(0)=5  ⟺  C=5V(0)=5 \iff C=5

D'où V(t)=6t−0,15t2+5V(t) = 6t-0{,}15t^{2}+5.

2.

  1. V(10)=60−15+5V(10) = 60-15+5
  2. ==50 m350\ \text{m}^{3}

3.

  1. D(t)=0  ⟺  6−0,3t=0D(t)=0 \iff 6-0{,}3t=0
  2.   ⟺  \ifft=20t=20
  3. V(20)=120−60+5V(20) = 120-60+5
  4. ==65 m365\ \text{m}^{3}

Le débit s'annule à t=20t=20 h : la vanne cesse d'alimenter la citerne, qui contient alors 6565 m³ d'eau.

17

Le cacaoyer d'Abidjan. Dans une plantation près d'Abidjan, la hauteur d'un jeune cacaoyer croît à une vitesse h′(t)=0,9t−0,03t2h'(t) = 0{,}9t-0{,}03t^{2} (en cm/mois), où tt est le nombre de mois écoulés depuis la plantation (t∈[0 ;24]t \in [0\,;24]). À la plantation (t=0t=0), l'arbre mesure 2020 cm.

  1. Détermine h(t)h(t), sachant que h(0)=20h(0)=20.
  2. Quelle est la hauteur de l'arbre après 1010 mois ? après 2020 mois ?
  3. Vérifie ton résultat en dérivant h(t)h(t).
Voir le corrigé détaillé

1. Une primitive générale de h′h' est h(t)=0,45t2−0,01t3+Ch(t) = 0{,}45t^{2}-0{,}01t^{3}+C.

  1. h(0)=Ch(0) = C
  2. h(0)=20  ⟺  C=20h(0)=20 \iff C=20

D'où h(t)=0,45t2−0,01t3+20h(t) = 0{,}45t^{2}-0{,}01t^{3}+20.

2.

  1. h(10)=0,45×100−0,01×1 000+20h(10) = 0{,}45\times100-0{,}01\times1\,000+20
  2. ==45−10+2045-10+20
  3. ==55 cm55\ \text{cm}
  4. h(20)=0,45×400−0,01×8 000+20h(20) = 0{,}45\times400-0{,}01\times8\,000+20
  5. ==180−80+20180-80+20
  6. ==120 cm120\ \text{cm}

Après 1010 mois, le cacaoyer mesure 5555 cm ; après 2020 mois, 120120 cm.

3.

  1. h′(t)=0,9t−0,03t2h'(t) = 0{,}9t-0{,}03t^{2}

On retrouve exactement l'expression de départ : le résultat est confirmé.

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Une primitive de ff sur un intervalle II est une fonction FF telle que :

Explication : Par définition, FF est une primitive de ff sur II lorsque FF est dérivable sur II et que F′=fF' = f.

Toute fonction continue sur un intervalle II admet sur II :

Explication : Si FF est une primitive de ff, alors toutes les primitives sont les fonctions x↦F(x)+kx \mapsto F(x)+k, avec kk réel : il y en a une infinité.

Une primitive de f(x)=x3f(x) = x^3 sur R\mathbb{R} est :

Explication : Pour f(x)=xnf(x)=x^n, une primitive est F(x)=xn+1n+1F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Ici n=3n=3, donc F(x)=x44F(x)=\dfrac{x^4}{4}. On vérifie : F′(x)=x3F'(x)=x^3.

Une primitive de f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ est :

Explication : Sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}, donc ln⁡x\ln x est une primitive de 1x\dfrac{1}{x}.

Une primitive de f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x sur R\mathbb{R} est :

Explication : (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, donc sin⁡x\sin x est une primitive de cos⁡x\cos x. Attention au signe : c'est −cos⁡x-\cos x qui est une primitive de sin⁡x\sin x.

La primitive de f(x)=2xf(x) = 2x sur R\mathbb{R} qui vaut 55 en x=1x=1 est :

Explication : Les primitives de 2x2x sont x2+kx^2 + k. La condition F(1)=5F(1)=5 donne :
1+k=51 + k = 5
donc k=4k = 4,
d'où F(x)=x2+4F(x) = x^2 + 4.

Une primitive de f(x)=e3xf(x) = e^{3x} sur R\mathbb{R} est :

Explication : Une primitive de eaxe^{ax} est 1aeax\dfrac{1}{a}e^{ax}. Ici a=3a=3 : on vérifie (13e3x)′=33e3x=e3x\left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right)' = \dfrac{3}{3}e^{3x} = e^{3x}.

Les primitives de f(x)=3x2−4x+1f(x) = 3x^2 - 4x + 1 sur R\mathbb{R} sont de la forme :

Explication : On prend une primitive de chaque terme :
3x2→x33x^2 \to x^3
−4x→−2x2-4x \to -2x^2
1→x1 \to x
d'où F(x)=x3−2x2+x+kF(x) = x^3 - 2x^2 + x + k.

Une primitive de u′u3u'u^3 (avec uu dérivable) est :

Explication : Forme u′unu'u^n : une primitive est un+1n+1\dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Ici n=3n=3, donc u44\dfrac{u^4}{4}, car (u44)′=u′u3\left(\dfrac{u^4}{4}\right)' = u'u^3.

Une primitive de f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1} sur R\mathbb{R} est :

Explication : On reconnaît la forme u′u\dfrac{u'}{u} avec u(x)=x2+1>0u(x) = x^2+1 > 0 et u′(x)=2xu'(x)=2x : une primitive est ln⁡u=ln⁡(x2+1)\ln u = \ln(x^2+1).

Une primitive de f(x)=u′euf(x) = u'e^{u} est :

Explication : (eu)′=u′eu(e^u)' = u'e^u : la dérivée de eue^u redonne exactement u′euu'e^u, donc eue^u est une primitive.

Une primitive de f(x)=sin⁡(2x)f(x) = \sin(2x) sur R\mathbb{R} est :

Explication : Une primitive de sin⁡(ax)\sin(ax) est −1acos⁡(ax)-\dfrac{1}{a}\cos(ax). Vérification :
(−12cos⁡(2x))′=−12×(−2sin⁡(2x))\left(-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\right)' = -\dfrac{1}{2} \times (-2\sin(2x))
=sin⁡(2x)= \sin(2x).

Sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, les primitives de f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^2} sont :

Explication : (−1x)′=1x2\left(-\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}. La réponse d est la dérivée de ff, pas une primitive — c'est le piège classique.

Une primitive de f(x)=u′uf(x) = \dfrac{u'}{\sqrt{u}} (avec u>0u > 0) est :

Explication : (2u)′=2×u′2u=u′u(2\sqrt{u})' = 2 \times \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{u'}{\sqrt{u}}. Le facteur 2 est indispensable.

La fonction F(x)=xln⁡x−xF(x) = x\ln x - x est une primitive, sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, de :

Explication : On dérive :
F′(x)=1×ln⁡x+x×1x−1F'(x) = 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1
=ln⁡x+1−1= \ln x + 1 - 1
=ln⁡x= \ln x.

Deux primitives FF et GG d'une même fonction ff sur un intervalle II vérifient toujours :

Explication : (F−G)′=f−f=0(F-G)' = f - f = 0 sur l'intervalle II, donc F−GF - G est une fonction constante sur II.

Une primitive de f(x)=(2x+1)(x2+x−3)4f(x) = (2x+1)(x^2+x-3)^4 sur R\mathbb{R} est :

Explication : Avec u(x)=x2+x−3u(x) = x^2+x-3, on a u′(x)=2x+1u'(x) = 2x+1 : c'est la forme u′u4u'u^4, de primitive u55\dfrac{u^5}{5}.

Une primitive de f(x)=cos⁡ ⁣(3x−π4)f(x) = \cos\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right) est :

Explication : Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos(ax+b) est 1asin⁡(ax+b)\dfrac{1}{a}\sin(ax+b). Ici a=3a = 3.

La vitesse d'un mobile est v(t)=3t2+2v(t) = 3t^2 + 2 (en m/s). Sa position x(t)x(t), avec x(0)=1x(0) = 1, est :

Explication : La position est une primitive de la vitesse :
x(t)=t3+2t+kx(t) = t^3 + 2t + k
or x(0)=1x(0) = 1 donne k=1k = 1,
d'où x(t)=t3+2t+1x(t) = t^3 + 2t + 1.

Parmi ces affirmations, laquelle est VRAIE ?

Explication : La condition initiale F(x0)=y0F(x_0) = y_0 fixe la constante kk de manière unique. Attention : la primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives.
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