Dérivation et applications

Utiliser la dérivée pour étudier une fonction et démontrer des inégalités.

Mathématiques Terminale Chapitre 2 / 19 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Dériver toute fonction du programme
Étudier les variations et les extremums
Démontrer une inégalité par étude de fonction

En Première, tu as fait connaissance avec la dérivée : le nombre dérivé mesure la « pente » d’une courbe en un point, et le signe de $f'$ renseigne sur les variations de $f$ . En Terminale, cet outil devient le cœur de toute l’analyse : c’est lui qui te permettra d’étudier les fonctions logarithme et exponentielle, de résoudre des équations différentielles, de calculer des intégrales et de mener à bien la plupart des problèmes du baccalauréat.

La dérivée est partout autour de toi. La vitesse affichée au compteur d’un taxi de Dakar est la dérivée de la distance parcourue ; le coût marginal qu’un artisan de Ndjamena calcule pour fabriquer une pièce de plus est la dérivée de son coût total ; la forme d’une boîte de conserve qui économise le plus de métal se trouve en annulant une dérivée. Et lorsqu’un radar « tronçon » contrôle une voiture, il s’appuie — sans le dire — sur le théorème des accroissements finis que tu vas démontrer ici.

Ce qui change cette année : on ne se contente plus d’appliquer des formules. On démontre (dérivable implique continue, dérivée d’un produit, théorème de Rolle, accroissements finis), on apprend à dériver toute fonction du programme — y compris les composées $u^{n}$ , $\sqrt{u}$ , $\cos u$ — et on découvre trois applications majeures : l’étude des extremums, la démonstration d’inégalités par étude de fonction, et la dérivée des fonctions réciproques. Prends ton temps : chaque notion est illustrée par au moins deux exemples résolus.

1Dérivées usuelles et opérations

1.1 Nombre dérivé, tangente et dérivabilité

Définition — nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$ . Pour $h \neq 0$ tel que $a + h \in I$ , le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient $\tau_a(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ .

On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque $\tau_a(h)$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ . Cette limite s’appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ :

$f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Géométriquement, $\tau_a(h)$ est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ qui joint les points $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a+h\,;\,f(a+h))$ de la courbe. Quand $h$ tend vers $0$ , le point $M$ glisse vers $A$ et la sécante pivote vers une position limite : la tangente en $A$ .

Propriété — équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $A(a\,;\,f(a))$ une tangente $T$ de coefficient directeur $f'(a)$ , d’équation :

$T : \quad y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$

Exemple — nombre dérivé de

x \mapsto x^{2}

1

On revient à la définition, avec $f(x) = x^{2}$ et $a = 1$ .

$\tau_1(h) = \dfrac{(1+h)^{2} - 1^{2}}{h}$
$=$ $\dfrac{1 + 2h + h^{2} - 1}{h}$ identité $(a+b)^{2}$
$=$ $\dfrac{h(2 + h)}{h}$
$=$ $2 + h$ simplification par $h \neq 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_1(h) = 2$ , donc $f'(1) = 2$

La tangente en $A(1\,;\,1)$ a pour équation :

$y = f'(1)(x - 1) + f(1)$
$=$ $2(x - 1) + 1$
$=$ $2x - 1$

Figure 1 — Courbe de

f(x) = x^{2}

. Les sécantes

(AM)

(AM')

ont pour pentes

3

2{,}6

; quand

M

se rapproche de

A(1\,;\,1)

, la pente tend vers

f'(1) = 2

, pente de la tangente

T : y = 2x - 1

Définition — fonction dérivée

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ lorsqu’elle est dérivable en tout point de $I$ . La fonction qui à tout $x \in I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ .

Si $\tau_a(h)$ admet une limite finie seulement quand $h \to 0^{+}$ (resp. $h \to 0^{-}$ ), on parle de dérivabilité à droite (resp. à gauche) en $a$ ; la courbe admet alors une demi-tangente. La fonction est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche avec le même nombre dérivé.

Théorème — dérivable implique continue

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ .

Démonstration

Pour $h \neq 0$ , on écrit la différence $f(a+h) - f(a)$ à l’aide du taux d’accroissement.

$f(a+h) - f(a) = h \times \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$
$=$ $h \times \tau_a(h)$
$\displaystyle\lim_{h \to 0} h = 0$ et $\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_a(h) = f'(a)$ $f$ dérivable en $a$ , limite finie
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} \left[f(a+h) - f(a)\right] = 0 \times f'(a) = 0$ limite d’un produit
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)$

C’est exactement la définition de la continuité de $f$ en $a$ . C.Q.F.D.

Attention — la réciproque est fausse

Une fonction continue n’est pas forcément dérivable. Deux exemples à connaître, tous deux en $a = 0$ :

$f(x) = |x|$ : $\tau_0(h) = \dfrac{|h|}{h}$
$=$ $1$ si $h > 0$ , $-1$ si $h < 0$ limites à droite et à gauche différentes : point anguleux, pas de tangente
$g(x) = \sqrt{x}$ : $\tau_0(h) = \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}} \tau_0(h) = +\infty$ limite infinie : demi-tangente verticale, non dérivable en $0$

Retiens : $\sqrt{x}$ est définie et continue sur $[0\,;\,+\infty[$ , mais dérivable seulement sur $]0\,;\,+\infty[$ .

1.2 Dérivées des fonctions usuelles

Voici le tableau à connaître parfaitement. Les fonctions $\ln$ et $\exp$ viendront le compléter dans les chapitres 4 et 5.

Fonction $f$	Dérivée $f'$	Ensemble de dérivabilité
$f(x) = k$ (constante)	$f'(x) = 0$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x$	$f'(x) = 1$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^{n}$ ( $n \in \mathbb{N}^{*}$ )	$f'(x) = n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$f(x) = \dfrac{1}{x}$	$f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}$	$\mathbb{R}^{*}$
$f(x) = \dfrac{1}{x^{n}} = x^{-n}$ ( $n \in \mathbb{N}^{*}$ )	$f'(x) = -\dfrac{n}{x^{n+1}} = -n\,x^{-n-1}$	$\mathbb{R}^{*}$
$f(x) = \sqrt{x}$	$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$
$f(x) = \sin x$	$f'(x) = \cos x$	$\mathbb{R}$
$f(x) = \cos x$	$f'(x) = -\sin x$	$\mathbb{R}$
$f(x) = \tan x$	$f'(x) = 1 + \tan^{2} x = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$	$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Démonstration — dérivée de

\sqrt{x}

Soit $a > 0$ . On calcule le taux d’accroissement de $f(x) = \sqrt{x}$ en $a$ , en multipliant par la quantité conjuguée.

$\tau_a(h) = \dfrac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h}$
$=$ $\dfrac{\left(\sqrt{a+h} - \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+h} + \sqrt{a}\right)}{h\left(\sqrt{a+h} + \sqrt{a}\right)}$ on multiplie haut et bas par $\sqrt{a+h} + \sqrt{a} \neq 0$
$=$ $\dfrac{(a + h) - a}{h\left(\sqrt{a+h} + \sqrt{a}\right)}$ identité $(p-q)(p+q) = p^{2} - q^{2}$
$=$ $\dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}$ simplification par $h$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_a(h) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ $\sqrt{a+h} \to \sqrt{a}$ par continuité de la racine carrée

Ainsi $\sqrt{x}$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . C.Q.F.D. La formule $(x^{n})' = n x^{n-1}$ se démontre de la même façon pour $n = 2$ , puis par récurrence grâce à la dérivée d’un produit (paragraphe 1.3).

Exemple — lecture du tableau

$f(x) = x^{5}$ donne $f'(x) = 5x^{4}$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = \dfrac{1}{x^{3}}$ donne $g'(x) = -\dfrac{3}{x^{4}}$ sur $\mathbb{R}^{*}$
$h(x) = \tan x$ donne $h'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1 + \tan^{2}\dfrac{\pi}{4}$
$=$ $1 + 1 = 2$ la tangente à la courbe de $\tan$ en $\frac{\pi}{4}$ a pour pente $2$

1.3 Opérations sur les dérivées

Propriété — opérations

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un réel. Les fonctions suivantes sont dérivables sur $I$ (sur $I$ privé des zéros de $v$ pour les quotients) et :

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$\lambda\,u$	$\lambda\,u'$
$u \times v$	$u'v + uv'$
$\dfrac{1}{v}$ ( $v \neq 0$ )	$-\dfrac{v'}{v^{2}}$
$\dfrac{u}{v}$ ( $v \neq 0$ )	$\dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$

Démonstration — dérivée d’un produit

Soit $a \in I$ . On étudie le taux d’accroissement de $uv$ en $a$ en faisant apparaître le terme $u(a+h)\,v(a)$ , que l’on ajoute et retranche au numérateur.

$\tau(h) = \dfrac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}$
$=$ $\dfrac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}$ on ajoute et retranche $u(a+h)v(a)$
$=$ $u(a+h) \times \dfrac{v(a+h) - v(a)}{h} + v(a) \times \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ factorisations
$\displaystyle\lim_{h \to 0} u(a+h) = u(a)$ $u$ dérivable donc continue en $a$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = u(a)\,v'(a) + v(a)\,u'(a)$ limites d’un produit et d’une somme

D’où $(uv)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ pour tout $a \in I$ . C.Q.F.D. La formule de $\dfrac{1}{v}$ s’obtient de même à partir de $\dfrac{1}{v(a+h)} - \dfrac{1}{v(a)} = \dfrac{v(a) - v(a+h)}{v(a)v(a+h)}$ , et celle du quotient en écrivant $\dfrac{u}{v} = u \times \dfrac{1}{v}$ .

Méthode — dériver une fonction

Repérer la structure de l’expression : somme, produit, quotient, composée ?
Nommer les briques $u$ , $v$ et écrire séparément $u'$ , $v'$ .
Appliquer la formule correspondante, sans rien sauter.
Réduire et factoriser le résultat : c’est la forme factorisée qui servira à étudier le signe de $f'$ .

Exemple — un polynôme

Soit $f(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + 3x - 7$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables.

$f'(x) = 2 \times 3x^{2} - 5 \times 2x + 3 \times 1 - 0$ dérivée d’une somme et de $\lambda u$
$=$ $6x^{2} - 10x + 3$

Exemple — un produit et un quotient

Soit $g(x) = (x^{2} + 1)(2x - 3)$ . On pose $u(x) = x^{2} + 1$ , $u'(x) = 2x$ , $v(x) = 2x - 3$ , $v'(x) = 2$ .

$g'(x) = u'v + uv' = 2x(2x - 3) + 2(x^{2} + 1)$
$=$ $4x^{2} - 6x + 2x^{2} + 2$
$=$ $6x^{2} - 6x + 2$ on peut vérifier en développant $g$ d’abord

Soit $q(x) = \dfrac{2x - 1}{x^{2} + 1}$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ car $x^{2} + 1 \neq 0$ . On pose $u(x) = 2x - 1$ , $u'(x) = 2$ , $v(x) = x^{2} + 1$ , $v'(x) = 2x$ .

$q'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{2(x^{2} + 1) - (2x - 1)(2x)}{(x^{2} + 1)^{2}}$
$=$ $\dfrac{2x^{2} + 2 - 4x^{2} + 2x}{(x^{2} + 1)^{2}}$
$=$ $\dfrac{-2x^{2} + 2x + 2}{(x^{2} + 1)^{2}}$
$=$ $\dfrac{-2(x^{2} - x - 1)}{(x^{2} + 1)^{2}}$ forme factorisée, prête pour l’étude du signe

Attention — la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées

Avec $u(x) = v(x) = x$ : $(uv)(x) = x^{2}$ a pour dérivée $2x$ , alors que $u'(x) \times v'(x) = 1 \times 1 = 1$ . De même $\left(\dfrac{1}{v}\right)' \neq \dfrac{1}{v'}$ : la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^{2}}$ , et non $\dfrac{1}{1} = 1$ .

Math & Co — Newton, Leibniz et la querelle du calcul

Le calcul différentiel naît deux fois. Entre 1665 et 1666, le jeune Isaac Newton, réfugié à la campagne pendant la peste de Londres, invente sa « méthode des fluxions » : il note $\dot{x}$ la vitesse de variation d’une grandeur $x$ . Mais il ne publie presque rien. En octobre 1684, Gottfried Wilhelm Leibniz fait paraître dans les Acta Eruditorum un article de six pages, Nova methodus pro maximis et minimis, où apparaissent les notations $\mathrm{d}x$ et $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ que les physiciens utilisent encore.

S’ensuit l’une des querelles les plus célèbres de l’histoire des sciences : en 1712, une commission de la Royal Society — présidée par Newton lui-même — accuse Leibniz de plagiat. On sait aujourd’hui que les deux hommes ont découvert le calcul indépendamment. La notation $f'(x)$ que tu utilises est plus tardive : elle est due à Joseph-Louis Lagrange, dans sa Théorie des fonctions analytiques (1797).

2Dérivée d’une composée

Comment dériver $\sqrt{x^{2} + 1}$ , $(2x - 3)^{7}$ ou $\cos(3x)$ ? Ces fonctions sont des composées : on applique d’abord une fonction $u$ , puis une fonction usuelle $g$ . Un seul théorème règle toutes ces situations.

Théorème — dérivée de

g \circ u

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , à valeurs dans un intervalle $J$ , et $g$ une fonction dérivable sur $J$ . Alors la fonction composée $g \circ u : x \mapsto g\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x \in I$ :

$(g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'\big(u(x)\big)$

Démonstration — idée de la preuve

Soit $a \in I$ . On pose $k = u(a+h) - u(a)$ , de sorte que $u(a+h) = u(a) + k$ . Lorsque $u$ ne prend pas la valeur $u(a)$ au voisinage de $a$ (donc $k \neq 0$ pour $h$ petit non nul), on peut écrire :

$\dfrac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \dfrac{g(u(a) + k) - g(u(a))}{k} \times \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}$ on multiplie et divise par $k$
$\displaystyle\lim_{h \to 0} k = 0$ $u$ est continue en $a$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{g(u(a)+k) - g(u(a))}{k} = g'\big(u(a)\big)$ $g$ dérivable en $u(a)$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = g'\big(u(a)\big) \times u'(a)$

Le cas où $k$ s’annule une infinité de fois près de $a$ demande un argument supplémentaire ; la démonstration complète est hors programme, et le théorème est admis dans le cas général.

Propriété — formules à connaître

Soit $u$ dérivable sur $I$ . Les cas particuliers suivants sont d’usage constant :

Fonction	Dérivée	Condition
$u^{n}$ ( $n \in \mathbb{Z}^{*}$ )	$n\,u'\,u^{n-1}$	$u \neq 0$ si $n < 0$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^{2}}$	$u \neq 0$
$\sin u$	$u' \cos u$	—
$\cos u$	$-u' \sin u$	—
$x \mapsto g(ax + b)$	$x \mapsto a\,g'(ax + b)$	$g$ dérivable

Méthode — dériver une composée

On lit l’expression de l’extérieur vers l’intérieur : la dernière opération effectuée donne $g$ (puissance, racine, cosinus…), ce qui reste « à l’intérieur » donne $u$ . On écrit $u'$ , puis on applique la formule : $u'$ multiplié par la dérivée usuelle prise en $u$ .

Exemple — puissance et racine

Soit $f(x) = (x^{2} - 3x + 1)^{4}$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ . Ici $u(x) = x^{2} - 3x + 1$ , $u'(x) = 2x - 3$ et $g = (\cdot)^{4}$ .

$f'(x) = 4\,u'(x)\,u(x)^{3}$
$=$ $4(2x - 3)(x^{2} - 3x + 1)^{3}$

Soit $h(x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ . Comme $u(x) = x^{2} + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ , $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , avec $u'(x) = 2x$ .

$h'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}}$
$=$ $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Exemple — cosinus et puissance négative

Soit $p(x) = \cos\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ : c’est $g(ax + b)$ avec $g = \cos$ , $a = 3$ .

$p'(x) = 3 \times \left(-\sin\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)\right)$
$=$ $-3\sin\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$

Soit $k(x) = \dfrac{1}{(x^{2} + 1)^{2}} = (x^{2} + 1)^{-2}$ : c’est $u^{n}$ avec $n = -2$ et $u'(x) = 2x$ .

$k'(x) = -2 \times 2x \times (x^{2} + 1)^{-3}$
$=$ $-\dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{3}}$

Attention — deux pièges du bac

Oublier le facteur $u'$ : la dérivée de $\sin(5x)$ est $5\cos(5x)$ , pas $\cos(5x)$ . Vérifie toujours qu’il y a bien le $u'$ devant.

L’ensemble de dérivabilité de $\sqrt{u}$ : la fonction $x \mapsto \sqrt{x - 2}$ est définie sur $[2\,;\,+\infty[$ mais dérivable seulement sur $]2\,;\,+\infty[$ ; au point d’abscisse $2$ , la courbe admet une demi-tangente verticale.

3Dérivées successives

Définition — dérivées successives

Soit $f$ dérivable sur $I$ . Si la fonction $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée s’appelle la dérivée seconde de $f$ , notée $f''$ . En itérant, on définit la dérivée troisième $f'''$ , puis la dérivée $n$ -ième, notée $f^{(n)}$ :

$f^{(0)} = f, \qquad f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$

On dit que $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ lorsque $f^{(n)}$ existe.

Exemple — un polynôme

Soit $f(x) = x^{4} - 2x^{3} + 5x - 1$ .

$f'(x) = 4x^{3} - 6x^{2} + 5$
$f''(x) = 12x^{2} - 12x$
$f'''(x) = 24x - 12$
$f^{(4)}(x) = 24$ $= 4!$ , le coefficient dominant multiplié par $4 \times 3 \times 2 \times 1$
$f^{(5)}(x) = 0$ , et $f^{(n)} = 0$ pour tout $n \geqslant 5$

Plus généralement, un polynôme de degré $n$ a une dérivée $n$ -ième constante et toutes ses dérivées d’ordre supérieur nulles.

Exemple — les dérivées de

\sin

tournent en rond

$f(x) = \sin x$ , $f'(x) = \cos x$ , $f''(x) = -\sin x$ , $f'''(x) = -\cos x$
$f^{(4)}(x) = \sin x = f(x)$ on retrouve $f$ : le cycle recommence tous les $4$ rangs
$f^{(n)}(x) = \sin\!\left(x + n\dfrac{\pi}{2}\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ car $\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ ; se démontre par récurrence

On remarque que $f'' + f = 0$ : $\sin$ et $\cos$ sont solutions de l’équation différentielle $y'' + y = 0$ , que tu étudieras au chapitre 9.

En physique : si

x(t)

est l’abscisse d’un mobile à l’instant

t

, la vitesse est

v(t) = x'(t)

et l’accélération est

a(t) = v'(t) = x''(t)

. Pour une chute libre sans vitesse initiale,

x(t) = \dfrac{1}{2} g t^{2} = 4{,}9\,t^{2}

(en mètres,

t

en secondes) ; on obtient

v(t) = 9{,}8\,t

a(t) = 9{,}8\ \text{m·s}^{-2} = g

: l’accélération est constante, c’est bien la signature d’un champ de pesanteur uniforme.

4Sens de variation et extremums

Théorème — signe de la dérivée et sens de variation

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ ;
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in I$ ;
$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ ;
si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$ , sauf éventuellement en un nombre fini de points où $f'$ s’annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ (énoncé analogue pour la stricte décroissance).

Admis en Première, ce théorème sera démontré à la section 5, comme conséquence du théorème des accroissements finis.

Attention — un intervalle, pas une réunion

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ a une dérivée $-\dfrac{1}{x^{2}} < 0$ sur $\mathbb{R}^{*}$ , pourtant elle n’est pas décroissante sur $\mathbb{R}^{*}$ : $-1 < 1$ et $f(-1) = -1 < f(1) = 1$ . Elle est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ , séparément. Le théorème exige un intervalle.

Méthode — étudier les variations d’une fonction

Préciser l’ensemble de définition et justifier la dérivabilité.
Calculer $f'(x)$ et l’écrire sous forme factorisée.
Étudier le signe de $f'(x)$ (tableau de signes si nécessaire).
Dresser le tableau de variations, en y reportant les valeurs de $f$ aux points où $f'$ s’annule (et les limites aux bornes).

Exemple — étude de

f(x) = x^{3} - 3x

$f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x) = 3x^{2} - 3$
$=$ $3(x^{2} - 1)$
$=$ $3(x - 1)(x + 1)$ identité $a^{2} - b^{2}$

Le trinôme $x^{2} - 1$ a pour racines $-1$ et $1$ ; il est du signe de son coefficient dominant (positif) à l’extérieur des racines, négatif entre elles. Valeurs remarquables : $f(-1) = -1 + 3 = 2$ et $f(1) = 1 - 3 = -2$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	↗	$2$	↘	$-2$	↗	$+\infty$

Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ , strictement décroissante sur $[-1\,;\,1]$ et strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ . Les limites aux bornes découlent du chapitre 1 (terme de plus haut degré).

Figure 2 — Courbe de

f(x) = x^{3} - 3x

. Aux points d’abscisses

-1

1

, la tangente est horizontale (segments rouges) :

f'

s’y annule en changeant de signe, ce qui produit un maximum local puis un minimum local.

Définition — extremum local

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ admet un maximum local en $a$ s’il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ tel que, pour tout $x \in I \cap J$ , $f(x) \leqslant f(a)$ . On définit de même un minimum local avec $f(x) \geqslant f(a)$ . Un extremum local est un maximum ou un minimum local ; il est dit global (ou absolu) si l’inégalité est vraie sur $I$ tout entier.

Théorème — condition nécessaire d’extremum

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$ . Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors $f'(a) = 0$ .

Démonstration

Supposons que $f$ admette un maximum local en $a$ (le cas du minimum est identique en changeant les sens des inégalités). Pour $h$ assez petit, $f(a+h) - f(a) \leqslant 0$ .

si $h > 0$ : $\tau_a(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \leqslant 0$ numérateur négatif, dénominateur positif
$\Rightarrow$ $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0^{+}} \tau_a(h) \leqslant 0$ passage à la limite dans une inégalité large
si $h < 0$ : $\tau_a(h) \geqslant 0$ numérateur négatif, dénominateur négatif
$\Rightarrow$ $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0^{-}} \tau_a(h) \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $f'(a) \leqslant 0$ et $f'(a) \geqslant 0$ , donc $f'(a) = 0$ C.Q.F.D.

Ce raisonnement utilise le fait que l’on peut prendre $h$ des deux côtés de $a$ : c’est pour cela que l’intervalle doit être ouvert (ou $a$ intérieur à $I$ ).

Attention —

f'(a) = 0

ne suffit pas

La réciproque est fausse : $f(x) = x^{3}$ vérifie $f'(0) = 0$ , mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n’a aucun extremum en $0$ (la tangente horizontale traverse la courbe). Par ailleurs, aux bornes d’un intervalle fermé, un extremum peut exister sans que la dérivée s’annule : sur $[0\,;\,1]$ , $x \mapsto x$ atteint son maximum en $1$ alors que $f'(1) = 1$ .

Propriété — condition suffisante d’extremum

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$ . Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$ , un minimum si elle passe de $-$ à $+$ . C’est une conséquence directe du théorème sur le sens de variation.

Exemple — minimum de

g(x) = x + \dfrac{4}{x}

sur

]0\,;\,+\infty[

$g'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^{2}}$
$=$ $\dfrac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ réduction au même dénominateur
$=$ $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^{2}}$

Sur $]0\,;\,+\infty[$ , $x^{2} > 0$ et $x + 2 > 0$ : $g'(x)$ est du signe de $x - 2$ . Et $g(2) = 2 + 2 = 4$ .

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
signe de $g'(x)$	∥	$-$	$0$	$+$
variations de $g$	∥	↘	$4$	↗

$g'$ s’annule en $2$ en passant du signe $-$ au signe $+$ : $g$ admet un minimum en $2$ , égal à $4$ . Comme ce minimum est atteint après une décroissance et avant une croissance sur tout l’intervalle, il est même global : pour tout $x > 0$ , $x + \dfrac{4}{x} \geqslant 4$ . Tu viens de démontrer une inégalité par étude de fonction !

Math & Co — Fermat, trente ans avant Newton

Dès 1636, le magistrat toulousain Pierre de Fermat rédige une Méthode pour la recherche du maximum et du minimum, qu’il envoie à Paris en 1638. Pour trouver l’extremum d’une expression, il compare $f(a)$ et $f(a + e)$ , divise par $e$ , puis « efface » $e$ — exactement ce que tu fais en calculant la limite du taux d’accroissement et en écrivant $f'(a) = 0$ . Descartes, d’abord sceptique, dut reconnaître que la méthode fonctionnait. Fermat l’applique aussi à l’optique : son principe de moindre temps (1662) explique les lois de la réfraction en cherchant le trajet de durée minimale. C’est pourquoi la condition $f'(a) = 0$ est parfois appelée théorème de Fermat.

5Théorème des accroissements finis

Jusqu’ici, la dérivée décrivait un comportement local, au voisinage d’un point. Le théorème des accroissements finis relie l’accroissement global $f(b) - f(a)$ à la valeur de la dérivée en un point bien choisi. On l’établit en deux temps : d’abord le théorème de Rolle, puis le résultat général.

Théorème de Rolle

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ (avec $a < b$ ), dérivable sur $]a\,;\,b[$ et telle que $f(a) = f(b)$ . Alors il existe au moins un réel $c \in ]a\,;\,b[$ tel que $f'(c) = 0$ .

Démonstration

Une fonction continue sur un intervalle fermé borné $[a\,;\,b]$ admet un minimum $m$ et un maximum $M$ , tous deux atteints (théorème admis au chapitre 1). Deux cas se présentent.

si $m = M$ : $f$ est constante sur $[a\,;\,b]$
$\Rightarrow$ $f'(x) = 0$ pour tout $x \in ]a\,;\,b[$ , n’importe quel $c$ convient
si $m < M$ : l’une au moins des valeurs $m$ ou $M$ est différente de $f(a) = f(b)$
$\Rightarrow$ cette valeur est atteinte en un point $c$ distinct de $a$ et de $b$ , donc $c \in ]a\,;\,b[$
$\Rightarrow$ $f$ admet un extremum en $c$ , point intérieur, et $f$ est dérivable en $c$
$\Rightarrow$ $f'(c) = 0$ condition nécessaire d’extremum (section 4) — C.Q.F.D.

Théorème des accroissements finis (T.A.F.)

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ (avec $a < b$ ) et dérivable sur $]a\,;\,b[$ . Alors il existe au moins un réel $c \in ]a\,;\,b[$ tel que :

$f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a), \qquad \text{c’est-à-dire} \qquad f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Démonstration

On note $m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ la pente de la corde $(AB)$ et on introduit la fonction auxiliaire $\varphi(x) = f(x) - f(a) - m\,(x - a)$ , écart entre la courbe et la corde.

$\varphi$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et dérivable sur $]a\,;\,b[$ somme de $f$ et d’une fonction affine
$\varphi(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0$
$\varphi(b) = f(b) - f(a) - m(b - a) = f(b) - f(a) - \big(f(b) - f(a)\big) = 0$
$\Rightarrow$ il existe $c \in ]a\,;\,b[$ tel que $\varphi'(c) = 0$ théorème de Rolle appliqué à $\varphi$
$\varphi'(x) = f'(x) - m$ pour tout $x \in ]a\,;\,b[$
$\Rightarrow$ $f'(c) - m = 0$ , soit $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ C.Q.F.D.

Figure 3 — Courbe de

f(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - x + 1

sur

[a\,;\,b] = [-0{,}5\,;\,2{,}2]

. La corde

(AB)

a pour pente

0{,}33

; l’équation

f'(c) = c^{2} - 1 = 0{,}33

donne

c = \sqrt{1{,}33} \approx 1{,}153

, point où la tangente (en vert) est exactement parallèle à la corde.

Interprétation cinématique : si

x(t)

est la position d’un véhicule,

\dfrac{x(b) - x(a)}{b - a}

est sa vitesse moyenne entre les instants

a

b

, et

x'(c)

sa vitesse instantanée. Le T.A.F. affirme qu’à un instant

c

au moins, la vitesse instantanée a été exactement égale à la vitesse moyenne. C’est le principe des radars « tronçons » : un véhicule qui parcourt

10

km en

5

min a une moyenne de

120\ \text{km·h}^{-1}

, donc a roulé au moins une fois à

120\ \text{km·h}^{-1}

Démonstration — le théorème « signe de

f'

et variations » (section 4)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ . Soient $a < b$ deux réels de $I$ .

$f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et dérivable sur $]a\,;\,b[$ dérivable sur $I$ , donc continue
$\Rightarrow$ il existe $c \in ]a\,;\,b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ T.A.F.
$f'(c) \geqslant 0$ et $b - a > 0$
$\Rightarrow$ $f(b) - f(a) \geqslant 0$ , soit $f(a) \leqslant f(b)$

Ainsi $f$ est croissante sur $I$ . Le cas $f' \leqslant 0$ se traite de même, et $f' = 0$ donne à la fois croissante et décroissante, donc constante. Réciproquement, si $f$ est croissante, tous ses taux d’accroissement sont positifs et leur limite $f'(x)$ l’est aussi.

Stricte monotonie. Supposons $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points. Si l’on avait $f(a) = f(b)$ pour deux réels $a < b$ , la fonction croissante $f$ serait constante sur $[a\,;\,b]$ , donc $f'$ nulle en une infinité de points de $]a\,;\,b[$ : contradiction. Donc $f(a) < f(b)$ : $f$ est strictement croissante. C.Q.F.D.

Exemple — déterminer le réel

c

Pour $f(x) = x^{2}$ sur $[1\,;\,3]$ , les hypothèses du T.A.F. sont vérifiées (polynôme).

$\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = 4$
$f'(c) = 2c = 4$
$\iff$ $c = 2$ bien dans $]1\,;\,3[$ : pour une parabole, $c$ est toujours le milieu

Pour $g(x) = x^{3}$ sur $[0\,;\,3]$ :

$\dfrac{g(3) - g(0)}{3 - 0} = \dfrac{27}{3} = 9$
$g'(c) = 3c^{2} = 9$
$\iff$ $c = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ on garde la solution positive, seule dans $]0\,;\,3[$

Math & Co — Rolle, Lagrange, Cauchy : un théorème en trois actes

Ironie de l’histoire : Michel Rolle (1652-1719) était un adversaire déclaré du calcul infinitésimal, qu’il jugeait « un amas d’erreurs ingénieuses ». C’est pourtant dans sa Démonstration d’une méthode pour résoudre les égalitez de tous les degrez (1691) qu’il énonce, pour les polynômes, le résultat qui porte son nom : entre deux racines d’un polynôme, sa dérivée s’annule.

Le théorème des accroissements finis sous sa forme actuelle apparaît chez Lagrange en 1797, dans la Théorie des fonctions analytiques — les Italiens l’appellent d’ailleurs teorema di Lagrange. Enfin, Augustin-Louis Cauchy lui donne en 1823, dans son Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal professées à l’École polytechnique, la démonstration rigoureuse que tu viens de lire, fondée sur la notion précise de limite.

6Inégalités des accroissements finis

Le T.A.F. garantit l’existence du réel $c$ sans dire où il se trouve. Mais si l’on sait encadrer la dérivée sur tout l’intervalle, on encadre l’accroissement de $f$ — et c’est là que le théorème devient un outil de calcul redoutable.

Théorème — inégalités des accroissements finis

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

1. S’il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m \leqslant f'(x) \leqslant M$ pour tout $x \in I$ , alors pour tous réels $a \leqslant b$ de $I$ :

$m\,(b - a) \leqslant f(b) - f(a) \leqslant M\,(b - a)$

2. S’il existe un réel $k \geqslant 0$ tel que $|f'(x)| \leqslant k$ pour tout $x \in I$ , alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ :

$|f(b) - f(a)| \leqslant k\,|b - a|$

Démonstration

1. Si $a = b$ , les trois membres sont nuls. Si $a < b$ :

il existe $c \in ]a\,;\,b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ T.A.F., $f$ dérivable donc continue
$m \leqslant f'(c) \leqslant M$ hypothèse, valable en tout point de $I$
$\Rightarrow$ $m(b - a) \leqslant f'(c)(b - a) \leqslant M(b - a)$ on multiplie par $b - a > 0$

Exemple — encadrer

\sqrt{101}

sans calculatrice

On applique le théorème à $f(x) = \sqrt{x}$ sur $I = [100\,;\,101]$ , avec $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

$100 \leqslant x \leqslant 101 < 121$
$\Rightarrow$ $10 \leqslant \sqrt{x} < 11$ la racine carrée est croissante
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{22} < \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \leqslant \dfrac{1}{20}$ la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{22}(101 - 100) \leqslant \sqrt{101} - \sqrt{100} \leqslant \dfrac{1}{20}(101 - 100)$ inégalité 1 avec $m = \frac{1}{22}$ , $M = \frac{1}{20}$
$\Rightarrow$ $10{,}045 \leqslant \sqrt{101} \leqslant 10{,}05$ car $\frac{1}{22} \approx 0{,}0455$ ; la calculatrice donne $10{,}0499$

Exemple — le sinus est « plus lent » que l’identité

La fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $|\sin'(x)| = |\cos x| \leqslant 1$ : l’inégalité 2 s’applique avec $k = 1$ .

pour tous réels $a$ , $b$ : $|\sin b - \sin a| \leqslant |b - a|$
$\Rightarrow$ $|\sin x| \leqslant |x|$ pour tout réel $x$ cas $a = 0$ , $b = x$ , avec $\sin 0 = 0$
$\Rightarrow$ $\sin x \leqslant x$ pour tout $x \geqslant 0$

Figure 4 — Repère orthonormé : la courbe de

\sin

reste sous la droite

y = x

pour

x \geqslant 0

(et au-dessus pour

x \leqslant 0

). Les deux courbes ont la même tangente en

O

, ce qui traduit

\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1

Méthode — démontrer une inégalité par étude de fonction

Pour prouver que $f(x) \leqslant g(x)$ pour tout $x$ d’un intervalle $I$ :

poser la fonction auxiliaire $h = g - f$ et vérifier qu’elle est dérivable sur $I$ ;
calculer $h'$ et déterminer son signe (souvent grâce à une inégalité déjà connue) ;
dresser le tableau de variations de $h$ et repérer son minimum ;
conclure : si ce minimum est positif ou nul (typiquement $h(a) = 0$ en une borne et $h$ croissante), alors $h \geqslant 0$ , c’est-à-dire $f \leqslant g$ sur $I$ .

Exemple — retrouver

\sin x \leqslant x

sur

[0\,;\,+\infty[

par la méthode

On pose $h(x) = x - \sin x$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$h'(x) = 1 - \cos x$
$\geqslant$ $0$ car $\cos x \leqslant 1$ pour tout réel $x$
$\Rightarrow$ $h$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
$\Rightarrow$ $h(x) \geqslant h(0) = 0 - \sin 0 = 0$ pour tout $x \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $\sin x \leqslant x$ pour tout $x \geqslant 0$ C.Q.F.D.

De plus $h'$ ne s’annule qu’aux points $2k\pi$ , isolés : $h$ est strictement croissante et l’inégalité est stricte pour $x > 0$ . Cette technique en cascade permet d’obtenir ensuite $\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^{2}}{2}$ , puis $\sin x \geqslant x - \dfrac{x^{3}}{6}$ : c’est l’objet de l’exercice 11.

Pour plus tard : l’inégalité

|f(b) - f(a)| \leqslant k|b - a|

est l’outil clé des suites récurrentes

u_{n+1} = f(u_n)

. Si

|f'| \leqslant k < 1

sur un intervalle stable contenant la limite

\ell = f(\ell)

, alors

|u_{n+1} - \ell| \leqslant k\,|u_n - \ell|

, d’où

|u_n - \ell| \leqslant k^{n}|u_0 - \ell| \to 0

. Tu retrouveras cette idée au chapitre 10.

7Fonctions réciproques et dérivée

Élever au carré et prendre la racine carrée ; multiplier par $3$ et diviser par $3$ : certaines fonctions « défont » ce qu’une autre a fait. Ce sont les fonctions réciproques. Dans quelques chapitres, la fonction exponentielle sera définie exactement ainsi, comme réciproque du logarithme : il est donc essentiel de savoir dériver une réciproque.

Théorème de la bijection (rappel)

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l’intervalle $J = f(I)$ : tout réel $y \in J$ admet un unique antécédent $x \in I$ . La bijection réciproque $f^{-1} : J \to I$ est définie par :

$\text{pour } x \in I \text{ et } y \in J : \quad y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

De plus $f^{-1}$ est continue sur $J$ et strictement monotone, de même sens que $f$ . On a $f^{-1}\big(f(x)\big) = x$ pour tout $x \in I$ et $f\big(f^{-1}(y)\big) = y$ pour tout $y \in J$ .

Propriété — courbes symétriques

Dans un repère orthonormé, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$ d’équation $y = x$ . En effet, $M(x\,;\,y) \in \mathcal{C}_f \iff y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \iff M'(y\,;\,x) \in \mathcal{C}_{f^{-1}}$ , et $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $\Delta$ .

Théorème — dérivée d’une fonction réciproque

Soit $f$ une bijection de l’intervalle $I$ sur l’intervalle $J$ , dérivable sur $I$ . Soit $x_0 \in I$ et $y_0 = f(x_0)$ . Si $f'(x_0) \neq 0$ , alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et :

$\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)} = \dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(y_0)\big)}$

Si $f'$ ne s’annule pas sur $I$ , alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $\left(f^{-1}\right)' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$ .

Démonstration — idée de la preuve

Vision géométrique. La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A(x_0\,;\,y_0)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(1\,;\,f'(x_0))$ . La symétrie par rapport à $\Delta$ échange les coordonnées : elle transforme cette tangente en la tangente à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ en $A'(y_0\,;\,x_0)$ , de vecteur directeur $(f'(x_0)\,;\,1)$ , donc de pente $\dfrac{1}{f'(x_0)}$ lorsque $f'(x_0) \neq 0$ .

Calcul. En admettant que $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ (c’est le point délicat, hors programme), on dérive l’identité $f\big(f^{-1}(y)\big) = y$ grâce au théorème de dérivation des composées :

$\left(f^{-1}\right)'(y) \times f'\big(f^{-1}(y)\big) = 1$ dérivée de $g \circ u$ avec $u = f^{-1}$ , $g = f$ ; dérivée de $y \mapsto y$
$\Rightarrow$ $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(y_0)\big)} = \dfrac{1}{f'(x_0)}$ division possible car $f'(x_0) \neq 0$

Figure 5 — Repère orthonormé. La tangente à la parabole en

A(2\,;\,4)

a pour pente

f'(2) = 4

; sa symétrique par rapport à

\Delta

est la tangente à la courbe de

\sqrt{\phantom{x}}

A'(4\,;\,2)

, de pente

\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2\sqrt{4}}

Attention — quand

f'(x_0) = 0

Si $f'(x_0) = 0$ , la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ est horizontale ; sa symétrique est verticale, et $f^{-1}$ n’est pas dérivable en $y_0 = f(x_0)$ . Exemple : $f(x) = x^{3}$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ avec $f'(0) = 0$ ; sa réciproque, la racine cubique $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ , n’est pas dérivable en $0$ (demi-tangentes verticales). Autre exemple : $\sqrt{x}$ en $0$ , réciproque de $x^{2}$ dont la dérivée s’annule en $0$ .

Exemple — retrouver la dérivée de

\sqrt{x}

La fonction $f(x) = x^{2}$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , et $f\big([0\,;\,+\infty[\big) = [0\,;\,+\infty[$ : c’est une bijection, de réciproque $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ . Pour $y_0 > 0$ , on pose $x_0 = \sqrt{y_0} > 0$ .

$f'(x_0) = 2x_0 = 2\sqrt{y_0} \neq 0$
$\Rightarrow$ $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)} = \dfrac{1}{2\sqrt{y_0}}$ on retrouve la formule de la section 1

En $y_0 = 0$ , $f'(0) = 0$ : la racine carrée n’est pas dérivable en $0$ , en accord avec le paragraphe 1.1.

Exemple — dériver une réciproque que l’on ne sait pas expliciter

Soit $f(x) = x^{3} + x$ sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0$ pour tout réel $x$
$\Rightarrow$ $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
$\Rightarrow$ $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ théorème de la bijection
$f(1) = 1 + 1 = 2$ , donc $f^{-1}(2) = 1$
$\Rightarrow$ $\left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{3 + 1} = \dfrac{1}{4}$

On ne connaît aucune formule simple pour $f^{-1}$ , et pourtant on sait que la tangente à sa courbe au point $(2\,;\,1)$ a pour équation $y = \dfrac{1}{4}(x - 2) + 1 = \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{2}$ . C’est toute la puissance du théorème.

Ce qui t’attend : au chapitre 5, la fonction exponentielle sera définie comme la réciproque de

\ln

sur

]0\,;\,+\infty[

; comme

\ln'(x) = \dfrac{1}{x} \neq 0

, le théorème ci-dessus donnera immédiatement

\exp'(y) = \dfrac{1}{\ln'(\exp y)} = \exp y

. De même, la racine

n

-ième sera la réciproque de

x \mapsto x^{n}

sur

[0\,;\,+\infty[

Fiche mémo

Nombre dérivé : $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ ; tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Dérivable $\Rightarrow$ continue ; la réciproque est fausse ( $|x|$ et $\sqrt{x}$ en $0$ ).
Usuelles : $(x^{n})' = nx^{n-1}$ , $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}}$ , $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ , $\tan' = 1 + \tan^{2}$ .
Opérations : $(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^{2}}$ , $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$ .
Composée : $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$ ; $(u^{n})' = n u' u^{n-1}$ , $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ , $(\sin u)' = u'\cos u$ , $(\cos u)' = -u'\sin u$ , $\big(g(ax+b)\big)' = a\,g'(ax+b)$ .
Successives : $f'' = (f')'$ , $f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ ; $\sin^{(n)}(x) = \sin\!\left(x + n\dfrac{\pi}{2}\right)$ ; $v = x'$ , $a = x''$ .
Sur un intervalle : $f' \geqslant 0 \iff f$ croissante ; $f' > 0$ sauf en des points isolés $\Rightarrow$ strictement croissante ; $f' = 0 \iff f$ constante.
Extremum local en $a$ intérieur $\Rightarrow f'(a) = 0$ (réciproque fausse : $x^{3}$ ) ; $f'$ s’annule en changeant de signe $\Rightarrow$ extremum.
Rolle : $f(a) = f(b) \Rightarrow \exists\, c \in ]a\,;\,b[,\ f'(c) = 0$ . T.A.F. : $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ .
I.A.F. : $m \leqslant f' \leqslant M \Rightarrow m(b - a) \leqslant f(b) - f(a) \leqslant M(b - a)$ ; $|f'| \leqslant k \Rightarrow |f(b) - f(a)| \leqslant k|b - a|$ .
Inégalité par étude de fonction : poser $h = g - f$ , signe de $h'$ , tableau, minimum $\geqslant 0$ . Exemple : $\sin x \leqslant x$ sur $[0\,;\,+\infty[$ .
Réciproque : courbes symétriques par rapport à $y = x$ ; $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}$ avec $y_0 = f(x_0)$ , si $f'(x_0) \neq 0$ .

8Exercices corrigés

Seize exercices, du calcul d’automatisme au problème de synthèse. Cherche d’abord seul, rédige comme au tableau, puis compare avec le corrigé.

Niveau 1 — Application directe

Dérive chaque fonction en précisant son ensemble de dérivabilité : $f(x) = 3x^{4} - 5x^{2} + 7x - 2$ ; $g(x) = (2x - 1)(x^{2} + 3)$ ; $h(x) = \dfrac{5}{x} - 2\sqrt{x}$ .

Voir le corrigé détaillé

$f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x) = 3 \times 4x^{3} - 5 \times 2x + 7$
$=$ $12x^{3} - 10x + 7$

$g$ est un produit, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $u = 2x - 1$ , $u' = 2$ , $v = x^{2} + 3$ , $v' = 2x$ .

$g'(x) = 2(x^{2} + 3) + (2x - 1)(2x)$
$=$ $2x^{2} + 6 + 4x^{2} - 2x$
$=$ $6x^{2} - 2x + 6$

$h$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ (la racine carrée n’est pas dérivable en $0$ ).

$h'(x) = 5 \times \left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right) - 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$=$ $-\dfrac{5}{x^{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Dérive : $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ ; $g(x) = (x^{2} + x + 1)^{5}$ ; $h(x) = \sqrt{4x + 3}$ ; $k(x) = \sin\!\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ ; $m(x) = \cos^{2} x$ .

Voir le corrigé détaillé

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ : $u = 3x - 1$ , $u' = 3$ , $v = x + 2$ , $v' = 1$ .

$f'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1) \times 1}{(x + 2)^{2}}$
$=$ $\dfrac{3x + 6 - 3x + 1}{(x + 2)^{2}} = \dfrac{7}{(x + 2)^{2}}$

$g = u^{5}$ avec $u = x^{2} + x + 1$ , $u' = 2x + 1$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$g'(x) = 5(2x + 1)(x^{2} + x + 1)^{4}$

$h = \sqrt{u}$ avec $u = 4x + 3 > 0 \iff x > -\dfrac{3}{4}$ : $h$ est dérivable sur $\left]-\dfrac{3}{4}\,;\,+\infty\right[$ .

$h'(x) = \dfrac{4}{2\sqrt{4x + 3}}$
$=$ $\dfrac{2}{\sqrt{4x + 3}}$

$k$ est de la forme $\sin(ax + b)$ avec $a = 2$ , et $m = (\cos x)^{2} = u^{2}$ avec $u' = -\sin x$ ; toutes deux dérivables sur $\mathbb{R}$ .

$k'(x) = 2\cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
$m'(x) = 2 \times (-\sin x) \times \cos x$
$=$ $-2\sin x \cos x = -\sin(2x)$ formule de duplication

Soit $f(x) = x^{2} - 3x + 1$ et $\mathcal{C}$ sa courbe. Détermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $2$ , puis au point d’abscisse $0$ . En quel point la tangente est-elle horizontale ?

Voir le corrigé détaillé

$f'(x) = 2x - 3$ pour tout réel $x$ .

$f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$ et $f'(2) = 1$
$\Rightarrow$ $T_2 : y = 1 \times (x - 2) - 1 = x - 3$
$f(0) = 1$ et $f'(0) = -3$
$\Rightarrow$ $T_0 : y = -3x + 1$

La tangente est horizontale lorsque $f'(x) = 0$ .

$2x - 3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$
$f\!\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} + 1 = -\dfrac{5}{4}$

La tangente est horizontale au point $S\!\left(\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{5}{4}\right)$ , sommet de la parabole.

Calcule les dérivées successives de $f(x) = 2x^{4} - x^{3} + 3x - 5$ jusqu’à ce qu’elles soient nulles. Puis, pour $g(x) = \cos(2x)$ , calcule $g''$ et vérifie que $g'' + 4g = 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$f'(x) = 8x^{3} - 3x^{2} + 3$
$f''(x) = 24x^{2} - 6x$
$f'''(x) = 48x - 6$
$f^{(4)}(x) = 48$
$f^{(5)}(x) = 0$ , puis $f^{(n)} = 0$ pour tout $n \geqslant 5$

$g'(x) = -2\sin(2x)$ dérivée de $\cos(ax + b)$
$g''(x) = -2 \times 2\cos(2x) = -4\cos(2x)$
$\Rightarrow$ $g''(x) + 4g(x) = -4\cos(2x) + 4\cos(2x) = 0$

Étudie les variations de $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$ sur $\mathbb{R}$ et précise ses extremums locaux.

Voir le corrigé détaillé

$f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$
$=$ $3(x^{2} - 4x + 3)$
$=$ $3(x - 1)(x - 3)$ racines $1$ et $3$ : somme $4$ , produit $3$
$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ et $f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

$x$	$-\infty$		$1$		$3$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	↗	$5$	↘	$1$	↗	$+\infty$

$f'$ s’annule en changeant de signe : $f$ admet un maximum local égal à $5$ en $x = 1$ et un minimum local égal à $1$ en $x = 3$ . Ce ne sont pas des extremums globaux puisque $f$ tend vers $\pm\infty$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Soit $h(x) = x^{2} + \dfrac{16}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Montre que $h'(x) = \dfrac{2(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x^{2}}$ .
Dresse le tableau de variations de $h$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ , $x^{2} + \dfrac{16}{x} \geqslant 12$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $h$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ comme somme.

$h'(x) = 2x - \dfrac{16}{x^{2}}$
$=$ $\dfrac{2x^{3} - 16}{x^{2}} = \dfrac{2(x^{3} - 8)}{x^{2}}$
$=$ $\dfrac{2(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x^{2}}$ identité $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$ avec $b = 2$

2. Le trinôme $x^{2} + 2x + 4$ a pour discriminant $4 - 16 = -12 < 0$ : il est strictement positif. Comme $x^{2} > 0$ , $h'(x)$ est du signe de $x - 2$ . Et $h(2) = 4 + 8 = 12$ .

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
signe de $h'(x)$	∥	$-$	$0$	$+$
variations de $h$	∥	↘	$12$	↗

3. D’après le tableau, $h$ admet en $2$ un minimum global sur $]0\,;\,+\infty[$ , égal à $12$ . Donc pour tout $x > 0$ , $h(x) \geqslant 12$ , c’est-à-dire $x^{2} + \dfrac{16}{x} \geqslant 12$ , avec égalité si et seulement si $x = 2$ .

Soit $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ .
Démontre que pour tout réel $x$ , $-\dfrac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{2}$ .
Donne une équation de la tangente à la courbe de $f$ à l’origine.

Voir le corrigé détaillé

1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car $x^{2} + 1 \neq 0$ ; $u = x$ , $u' = 1$ , $v = x^{2} + 1$ , $v' = 2x$ .

$f'(x) = \dfrac{1 \times (x^{2} + 1) - x \times 2x}{(x^{2} + 1)^{2}}$
$=$ $\dfrac{1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}} = \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{(x^{2} + 1)^{2}}$

Le dénominateur est strictement positif : $f'(x)$ est du signe de $1 - x^{2}$ , positif entre les racines $-1$ et $1$ . On calcule $f(-1) = -\dfrac{1}{2}$ et $f(1) = \dfrac{1}{2}$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
variations de $f$	$0$	↘	$-\dfrac{1}{2}$	↗	$\dfrac{1}{2}$	↘	$0$

2. Sur $[-1\,;\,1]$ , $f$ est croissante, donc $f(-1) \leqslant f(x) \leqslant f(1)$ . Pour $x \geqslant 1$ , $f$ est décroissante donc $f(x) \leqslant f(1) = \dfrac{1}{2}$ , et $f(x) > 0 > -\dfrac{1}{2}$ car $x > 0$ . Pour $x \leqslant -1$ , $f$ est décroissante donc $f(x) \geqslant f(-1) = -\dfrac{1}{2}$ , et $f(x) < 0 < \dfrac{1}{2}$ . Dans tous les cas, $-\dfrac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{2}$ : les extremums locaux sont ici globaux.

3. $f(0) = 0$ et $f'(0) = 1$ : la tangente à l’origine est la droite $y = x$ .

Soit $\mathcal{C}$ la courbe de $f(x) = x^{3} - 3x$ .

Détermine les points de $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à la droite $D : y = 9x + 2$ , et donne les équations de ces tangentes.
Existe-t-il une tangente à $\mathcal{C}$ de coefficient directeur $-4$ ?

Voir le corrigé détaillé

1. Une tangente est parallèle à $D$ si et seulement si son coefficient directeur vaut $9$ .

$f'(x) = 9 \iff 3x^{2} - 3 = 9$
$\iff$ $x^{2} = 4$
$\iff$ $x = 2$ ou $x = -2$
$f(2) = 8 - 6 = 2$ et $f(-2) = -8 + 6 = -2$
$\Rightarrow$ en $(2\,;\,2)$ : $y = 9(x - 2) + 2 = 9x - 16$
$\Rightarrow$ en $(-2\,;\,-2)$ : $y = 9(x + 2) - 2 = 9x + 16$

2. Il faudrait $f'(x) = -4$ , soit $3x^{2} - 3 = -4$ , c’est-à-dire $x^{2} = -\dfrac{1}{3}$ : impossible. Autrement dit, $f'(x) = 3x^{2} - 3 \geqslant -3$ pour tout $x$ : aucune tangente de $\mathcal{C}$ n’a une pente inférieure à $-3$ , et il n’existe donc pas de tangente de coefficient directeur $-4$ .

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + 1$ si $x \leqslant 1$ et $f(x) = ax + b$ si $x > 1$ , où $a$ et $b$ sont deux réels. Détermine $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable en $1$ .

Voir le corrigé détaillé

Pour être dérivable en $1$ , $f$ doit d’abord y être continue.

$f(1) = 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = a + b$
$\Rightarrow$ $a + b = 2$ condition de continuité

On compare ensuite les taux d’accroissement à gauche et à droite de $1$ .

pour $x < 1$ : $\dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 \xrightarrow[x \to 1^{-}]{} 2$
pour $x > 1$ : $\dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{ax + b - (a + b)}{x - 1} = \dfrac{a(x - 1)}{x - 1} = a$ on utilise $a + b = 2$
$\Rightarrow$ $f$ dérivable en $1$ $\iff$ $a = 2$ , puis $b = 0$

Avec $a = 2$ et $b = 0$ , la fonction vaut $2x$ pour $x > 1$ : la demi-droite prolonge exactement la tangente à la parabole en $1$ , qui a pour équation $y = 2x$ . Le raccordement est « lisse ».

Niveau 3 — Type bac

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 3x + 1$ et $\mathcal{C}$ sa courbe.

Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations (limites comprises).
Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement trois solutions $\alpha < \beta < \gamma$ , et que $\alpha \in ]-2\,;\,-1[$ , $\beta \in ]0\,;\,1[$ , $\gamma \in ]1\,;\,2[$ .
Donner un encadrement de $\beta$ d’amplitude $10^{-1}$ .
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ , puis étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ , positif à l’extérieur des racines $-1$ et $1$ . On a $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ , $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ , et les limites sont celles de $x^{3}$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	↗	$3$	↘	$-1$	↗	$+\infty$

2. On applique le théorème de la bijection sur chacun des trois intervalles.

sur $]-\infty\,;\,-1]$ , $f$ est continue, strictement croissante, de $-\infty$ à $3$ ; or $0 \in ]-\infty\,;\,3]$
$\Rightarrow$ l’équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty\,;\,-1]$
$f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$ et $f(-1) = 3 > 0$ , donc $\alpha \in ]-2\,;\,-1[$
sur $[-1\,;\,1]$ , $f$ est continue, strictement décroissante, de $3$ à $-1$ , et $0 \in [-1\,;\,3]$
$\Rightarrow$ unique solution $\beta$ ; $f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = -1 < 0$ , donc $\beta \in ]0\,;\,1[$
sur $[1\,;\,+\infty[$ , $f$ est continue, strictement croissante, de $-1$ à $+\infty$
$\Rightarrow$ unique solution $\gamma$ ; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0$ , donc $\gamma \in ]1\,;\,2[$

Les trois intervalles recouvrent $\mathbb{R}$ : l’équation admet exactement trois solutions.

3. Par balayage au pas de $0{,}1$ :

$f(0{,}3) = 0{,}027 - 0{,}9 + 1 = 0{,}127 > 0$
$f(0{,}4) = 0{,}064 - 1{,}2 + 1 = -0{,}136 < 0$
$\Rightarrow$ $0{,}3 < \beta < 0{,}4$ $f$ strictement décroissante sur $[-1\,;\,1]$

4. $f(0) = 1$ et $f'(0) = -3$ , donc $T : y = -3x + 1$ . Position relative :

$f(x) - (-3x + 1) = x^{3} - 3x + 1 + 3x - 1$
$=$ $x^{3}$

Cette différence est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$ : $\mathcal{C}$ est en dessous de $T$ sur $]-\infty\,;\,0[$ et au-dessus sur $]0\,;\,+\infty[$ . La courbe traverse sa tangente en $O$ : c’est un point d’inflexion, notion approfondie au chapitre 3.

Restitution organisée de connaissances.

Énoncer le théorème des accroissements finis. Démontrer que si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et s’il existe $k \geqslant 0$ tel que $|f'(x)| \leqslant k$ pour tout $x \in I$ , alors pour tous $a, b \in I$ : $|f(b) - f(a)| \leqslant k\,|b - a|$ .
En déduire que pour tout réel $x$ , $|\sin x| \leqslant |x|$ .
Démontrer que pour tout $x \geqslant 0$ : $\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^{2}}{2}$ , puis $\sin x \geqslant x - \dfrac{x^{3}}{6}$ .
En déduire un encadrement de $\sin(0{,}3)$ d’amplitude inférieure à $5 \times 10^{-3}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Théorème : si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et dérivable sur $]a\,;\,b[$ , il existe $c \in ]a\,;\,b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ .

Démonstration de l’inégalité. Si $a = b$ , les deux membres sont nuls. Si $a < b$ :

$f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et dérivable sur $]a\,;\,b[$ dérivable sur $I$
$\Rightarrow$ il existe $c \in ]a\,;\,b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$
$\Rightarrow$ $|f(b) - f(a)| = |f'(c)| \times |b - a| \leqslant k\,|b - a|$ car $|f'(c)| \leqslant k$

Si $b < a$ , on échange les rôles de $a$ et $b$ ; comme $|f(a) - f(b)| = |f(b) - f(a)|$ et $|a - b| = |b - a|$ , l’inégalité est la même. C.Q.F.D.

2. $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $|\sin'(x)| = |\cos x| \leqslant 1$ . Avec $k = 1$ , $a = 0$ et $b = x$ : $|\sin x - \sin 0| \leqslant |x - 0|$ , soit $|\sin x| \leqslant |x|$ .

3. On pose $g(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^{2}}{2}$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$g'(x) = -\sin x + x = x - \sin x$
$\geqslant$ $0$ pour $x \geqslant 0$ d’après 2 : $\sin x \leqslant |\sin x| \leqslant |x| = x$
$\Rightarrow$ $g$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , et $g(0) = 1 - 1 + 0 = 0$
$\Rightarrow$ $g(x) \geqslant 0$ , soit $\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^{2}}{2}$ pour $x \geqslant 0$

On pose ensuite $p(x) = \sin x - x + \dfrac{x^{3}}{6}$ .

$p'(x) = \cos x - 1 + \dfrac{3x^{2}}{6} = \cos x - 1 + \dfrac{x^{2}}{2} = g(x)$
$\geqslant$ $0$ pour $x \geqslant 0$ résultat précédent
$\Rightarrow$ $p$ croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et $p(0) = 0$ , donc $p(x) \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $\sin x \geqslant x - \dfrac{x^{3}}{6}$ pour tout $x \geqslant 0$ C.Q.F.D.

4. Pour $x = 0{,}3 \geqslant 0$ , on combine $\sin x \leqslant x$ (question 2) et la minoration de la question 3.

$0{,}3 - \dfrac{0{,}3^{3}}{6} \leqslant \sin(0{,}3) \leqslant 0{,}3$
$\dfrac{0{,}027}{6} = 0{,}0045$
$\Rightarrow$ $0{,}2955 \leqslant \sin(0{,}3) \leqslant 0{,}3$ amplitude $0{,}0045 < 5 \times 10^{-3}$ ; la calculatrice donne $0{,}29552$

Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]-1\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$ .

Étudier les variations de $f$ sur $I$ et calculer ses limites aux bornes. En déduire que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.
Pour $y \in J$ , résoudre l’équation $f(x) = y$ d’inconnue $x \in I$ . En déduire l’expression de $f^{-1}(y)$ .
Calculer $\left(f^{-1}\right)'(1)$ de deux façons : à l’aide du théorème du cours, puis en dérivant directement l’expression de $f^{-1}$ .
Donner une équation de la tangente à la courbe de $f^{-1}$ au point d’abscisse $1$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $f$ est dérivable sur $I$ (quotient à dénominateur non nul) ; $u = 2x$ , $u' = 2$ , $v = x + 1$ , $v' = 1$ .

$f'(x) = \dfrac{2(x + 1) - 2x \times 1}{(x + 1)^{2}} = \dfrac{2}{(x + 1)^{2}}$
$>$ $0$ pour tout $x \in I$ : $f$ est strictement croissante sur $I$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} f(x) = -\infty$ numérateur $\to -2$ , dénominateur $\to 0^{+}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{1 + \frac{1}{x}} = 2$

$f$ est continue et strictement croissante sur $I$ : elle réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I) = ]-\infty\,;\,2[$ .

2. Soit $y < 2$ et $x > -1$ .

$\dfrac{2x}{x + 1} = y$
$\iff$ $2x = y(x + 1)$ $x + 1 \neq 0$
$\iff$ $x(2 - y) = y$
$\iff$ $x = \dfrac{y}{2 - y}$ $2 - y > 0$

Donc $f^{-1}(y) = \dfrac{y}{2 - y}$ pour tout $y \in ]-\infty\,;\,2[$ . Vérification : $f(1) = 1$ et $f^{-1}(1) = \dfrac{1}{1} = 1$ .

3. Par le théorème : $f^{-1}(1) = 1$ et $f'(1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \neq 0$ .

$\left(f^{-1}\right)'(1) = \dfrac{1}{f'\big(f^{-1}(1)\big)} = \dfrac{1}{f'(1)}$
$=$ $\dfrac{1}{1/2} = 2$

Directement : avec $u = y$ , $u' = 1$ , $v = 2 - y$ , $v' = -1$ :

$\left(f^{-1}\right)'(y) = \dfrac{1 \times (2 - y) - y \times (-1)}{(2 - y)^{2}} = \dfrac{2}{(2 - y)^{2}}$
$\Rightarrow$ $\left(f^{-1}\right)'(1) = \dfrac{2}{1^{2}} = 2$ les deux méthodes concordent

4. Tangente au point $(1\,;\,f^{-1}(1)) = (1\,;\,1)$ : $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

L’enclos de Moussa (Abéché). Moussa dispose de $60$ m de grillage pour construire un enclos rectangulaire pour ses chèvres, adossé au mur de sa concession : le côté le long du mur n’a pas besoin de grillage. On note $x$ (en mètres) la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

Exprime la longueur $L$ du troisième côté, puis l’aire $A(x)$ de l’enclos, en fonction de $x$ . Dans quel intervalle $x$ varie-t-il ?
Étudie les variations de $A$ .
Quelles dimensions Moussa doit-il choisir pour que l’enclos ait la plus grande aire possible ? Quelle est cette aire ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le grillage couvre les deux côtés de longueur $x$ et le côté $L$ : $2x + L = 60$ .

$L = 60 - 2x$
$A(x) = x \times L = x(60 - 2x) = 60x - 2x^{2}$
$x > 0$ et $L > 0 \iff x < 30$ , donc $x \in ]0\,;\,30[$

2. $A$ est un polynôme, dérivable sur $]0\,;\,30[$ .

$A'(x) = 60 - 4x$
$=$ $4(15 - x)$ positif si $x < 15$ , négatif si $x > 15$
$A(15) = 15 \times (60 - 30) = 450$

$x$	$0$		$15$		$30$
signe de $A'(x)$		$+$	$0$	$-$
variations de $A$	$0$	↗	$450$	↘	$0$

3. $A'$ s’annule en $15$ en passant du signe $+$ au signe $-$ : l’aire est maximale pour $x = 15$ m. Alors $L = 60 - 30 = 30$ m. Moussa doit construire un enclos de 15 m sur 30 m, d’aire 450 m² : le côté le long du mur est le double des deux autres.

Figure 6 — À gauche, le schéma de l’enclos : deux côtés de longueur

x

et un côté de longueur

60 - 2x

. À droite, la parabole

A(x) = 60x - 2x^{2}

sur

[0\,;\,30]

: son sommet, d’abscisse

15

, donne l’aire maximale

450

m².

La boîte de Mariam (Douala). Mariam fabrique des boîtes sans couvercle à partir de feuilles de carton carrées de $30$ cm de côté : elle découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis relève les bords.

Montre que le volume de la boîte est $V(x) = x(30 - 2x)^{2}$ et précise l’intervalle de définition.
Montre que $V'(x) = 12(15 - x)(5 - x)$ .
Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Donne ce volume en litres.

Voir le corrigé détaillé

1. Après découpe, le fond est un carré de côté $30 - 2x$ et la hauteur vaut $x$ . Il faut $x > 0$ et $30 - 2x > 0$ , soit $x \in ]0\,;\,15[$ , et $V(x) = x(30 - 2x)^{2}$ (en cm³).

2. $V = u \times w$ avec $u = x$ , $u' = 1$ , $w = (30 - 2x)^{2}$ et, par dérivation d’une composée, $w' = 2 \times (-2)(30 - 2x) = -4(30 - 2x)$ .

$V'(x) = 1 \times (30 - 2x)^{2} + x \times \big(-4(30 - 2x)\big)$
$=$ $(30 - 2x)\big[(30 - 2x) - 4x\big]$ factorisation par $30 - 2x$
$=$ $(30 - 2x)(30 - 6x)$
$=$ $2(15 - x) \times 6(5 - x) = 12(15 - x)(5 - x)$

3. Sur $]0\,;\,15[$ , $15 - x > 0$ : $V'(x)$ est du signe de $5 - x$ , positif sur $]0\,;\,5[$ et négatif sur $]5\,;\,15[$ . $V$ est donc croissante puis décroissante : le volume est maximal pour $x = 5$ cm.

$V(5) = 5 \times (30 - 10)^{2} = 5 \times 400$
$=$ $2\,000\ \text{cm}^{3} = 2\ \text{dm}^{3} = 2\ \text{L}$

La boîte optimale mesure $20 \times 20 \times 5$ cm et contient exactement 2 litres.

L’atelier d’Awa (Dakar). L’atelier de couture d’Awa produit chaque mois $q$ boubous brodés, avec $1 \leqslant q \leqslant 120$ . Le coût total mensuel, en francs CFA, est modélisé par $C(q) = 25q^{2} + 10\,000\,q + 90\,000$ .

Exprime le coût moyen par boubou $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ .
Étudie les variations de $C_M$ sur $[1\,;\,120]$ .
Quelle production rend le coût moyen minimal ? Quel est alors ce coût ?
Le coût marginal est $C'(q)$ . Vérifie qu’au minimum du coût moyen, coût marginal et coût moyen sont égaux.

Voir le corrigé détaillé

1. Pour $q \in [1\,;\,120]$ :

$C_M(q) = \dfrac{25q^{2} + 10\,000\,q + 90\,000}{q}$
$=$ $25q + 10\,000 + \dfrac{90\,000}{q}$

2. $C_M$ est dérivable sur $[1\,;\,120]$ .

$C_M'(q) = 25 - \dfrac{90\,000}{q^{2}}$
$=$ $\dfrac{25q^{2} - 90\,000}{q^{2}} = \dfrac{25(q^{2} - 3\,600)}{q^{2}}$
$=$ $\dfrac{25(q - 60)(q + 60)}{q^{2}}$

Sur $[1\,;\,120]$ , $q + 60 > 0$ et $q^{2} > 0$ : $C_M'(q)$ est du signe de $q - 60$ . $C_M$ est donc décroissante sur $[1\,;\,60]$ et croissante sur $[60\,;\,120]$ .

3. Le coût moyen est minimal pour une production de 60 boubous par mois.

$C_M(60) = 25 \times 60 + 10\,000 + \dfrac{90\,000}{60}$
$=$ $1\,500 + 10\,000 + 1\,500 = 13\,000$ F CFA

4. $C'(q) = 50q + 10\,000$ , donc $C'(60) = 3\,000 + 10\,000 = 13\,000 = C_M(60)$ . C’est un résultat général : quand $C_M' = 0$ , on a $C' q - C = 0$ , soit $C' = \dfrac{C}{q} = C_M$ . Le $61^{\text{e}}$ boubou coûte exactement le prix moyen des $60$ premiers.

Le château d’eau de Kaltouma (Ndjamena). Pour nettoyer la cuve du château d’eau de son quartier, Kaltouma ouvre la vanne de vidange. Le volume d’eau restant, en m³, est modélisé par $V(t) = 80\left(1 - \dfrac{t}{40}\right)^{2}$ , où $t$ est le temps en minutes, $0 \leqslant t \leqslant 40$ .

Calcule le volume initial et le volume final.
Le débit de vidange à l’instant $t$ est $D(t) = -V'(t)$ . Montre que $D(t) = 4 - \dfrac{t}{10}$ (en m³/min). Quel est le débit initial ? Comment évolue-t-il ?
À quel instant le débit vaut-il la moitié du débit initial ?
Calcule le débit moyen sur les $40$ minutes. Montre, à l’aide du théorème des accroissements finis, qu’il existe un instant où le débit instantané est égal au débit moyen, et détermine cet instant.

Voir le corrigé détaillé

1. $V(0) = 80 \times 1 = 80$ m³ et $V(40) = 80 \times 0 = 0$ m³ : la cuve est vide au bout de $40$ minutes.

2. $V = 80\,u^{2}$ avec $u(t) = 1 - \dfrac{t}{40}$ et $u'(t) = -\dfrac{1}{40}$ .

$V'(t) = 80 \times 2\,u'(t)\,u(t) = 160 \times \left(-\dfrac{1}{40}\right)\left(1 - \dfrac{t}{40}\right)$
$=$ $-4\left(1 - \dfrac{t}{40}\right)$
$\Rightarrow$ $D(t) = -V'(t) = 4 - \dfrac{t}{10}$

Le débit initial est $D(0) = 4$ m³/min. $D$ est une fonction affine de coefficient directeur $-\dfrac{1}{10} < 0$ : le débit diminue régulièrement jusqu’à s’annuler à $t = 40$ — plus la cuve se vide, moins la pression pousse l’eau (loi de Torricelli).

$D(t) = 2 \iff 4 - \dfrac{t}{10} = 2$
$\iff$ $t = 20$ min

4. Le débit moyen est le volume écoulé divisé par la durée :

$D_{\text{moy}} = \dfrac{V(0) - V(40)}{40 - 0} = \dfrac{80}{40} = 2$ m³/min

$V$ est dérivable (donc continue) sur $[0\,;\,40]$ : d’après le T.A.F., il existe $c \in ]0\,;\,40[$ tel que $V(40) - V(0) = V'(c)(40 - 0)$ .

$V'(c) = \dfrac{V(40) - V(0)}{40} = \dfrac{-80}{40} = -2$
$\Rightarrow$ $D(c) = 2 = D_{\text{moy}}$
$\iff$ $c = 20$ mind’après la question 3

À la vingtième minute, le débit instantané est exactement égal au débit moyen : le théorème des accroissements finis se lit directement sur la vanne de Kaltouma.

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Le nombre dérivé $f'(a)$ est défini comme :

f(a+h)-f(a)

\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

\dfrac{f(a)}{a}

\displaystyle\lim_{h\to0}f(a+h)

Explication : Le nombre dérivé est la limite, quand elle existe et est finie, du taux d'accroissement

\tau_a(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

lorsque

h\to0

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ , lorsque $f$ est dérivable en $a$ , est :

y = f(a)x + f'(a)

y = f'(a)

y = f'(a)(x-a) + f(a)

y = f(a)(x-a) + f'(a)

Explication : La tangente en

A(a\,;\,f(a))

a pour coefficient directeur

f'(a)

et passe par

A

, d'où

y = f'(a)(x-a)+f(a)

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors :

f

est continue en

a

f

est nécessairement croissante en

a

f'(a)=0

f

n'est pas continue en

a

Explication : Dérivable implique continue (théorème du paragraphe 1.1). La réciproque est fausse :

x\mapsto|x|

est continue mais non dérivable en

0

La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est :

dérivable sur

[0~;~+\infty[

dérivable en

0

uniquement non continue en

0

continue sur

[0~;~+\infty[

mais dérivable seulement sur

]0~;~+\infty[

Explication : En

0

, le taux d'accroissement

\tau_0(h)=\dfrac{1}{\sqrt{h}}

tend vers

+\infty

: demi-tangente verticale, pas de dérivabilité en

0

, bien que la fonction y soit continue.

La dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x^3}$ sur $\mathbb{R}^*$ est :

f'(x) = \dfrac{1}{3x^2}

f'(x) = -\dfrac{1}{x^4}

f'(x) = -\dfrac{3}{x^4}

f'(x) = 3x^2

Explication : Avec

f(x)=x^{-3}

f'(x) = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}

, conforme au tableau des dérivées usuelles.

Pour $u,v$ dérivables, la dérivée du produit $uv$ est :

u'v'

u'v + uv'

u'v - uv'

\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Explication : C'est la formule de dérivation d'un produit. Attention, la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : avec

u=v=x

(x^2)'=2x

alors que

u'v'=1

Soit $g(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}$ . Avec $u=2x-1$ , $v=x^2+1$ , la dérivée $g'$ vaut :

\dfrac{2}{2x}

u'v+uv'

\dfrac{2x+1}{(x^2+1)^2}

\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Explication : La dérivée d'un quotient

\dfrac{u}{v}

est

\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

, formule directement applicable ici avec

u'=2

v'=2x

D'après le théorème de dérivation des composées, $(g \circ u)'(x)$ vaut :

u'(x) \times g'\big(u(x)\big)

g'(x) \times u'\big(g(x)\big)

u'(x) + g'(x)

g\big(u'(x)\big)

Explication : C'est l'énoncé exact du théorème : la dérivée de

g\circ u

est le produit de

u'

par la dérivée usuelle de

g

prise en

u

La dérivée de $f(x)=\sin(5x)$ est :

\cos(5x)

5\cos x

5\cos(5x)

-5\cos(5x)

Explication : Avec

u(x)=5x

u'(x)=5

, et

(\sin u)'=u'\cos u

, donc

f'(x) = 5\cos(5x)

. Oublier le facteur

u'=5

est un piège classique du bac.

Sur un intervalle $I$ , si $f$ est dérivable et $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ , alors :

f

est décroissante sur

I

f

est croissante sur

I

f

est constante sur

I

f

admet un extremum sur

I

Explication : C'est le théorème liant signe de la dérivée et sens de variation, valable sur un intervalle (attention, ce théorème échoue sur une réunion d'intervalles comme

\mathbb{R}^*

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $a \in I$ , alors :

f(a) = 0

f'(a) > 0

f

n'est pas dérivable en

a

f'(a) = 0

Explication : C'est la condition nécessaire d'extremum. Attention, la réciproque est fausse :

f(x)=x^3

vérifie

f'(0)=0

sans avoir d'extremum en

0

Pour que $f$ admette réellement un extremum local en $a$ (condition suffisante), il faut que $f'$ :

soit nulle sur tout un intervalle autour de

a

soit strictement positive en

a

s'annule en

a

en changeant de signe n'existe pas en

a

Explication : Si

f'

s'annule en

a

en changeant de signe (de

+

-

, ou de

-

+

), alors

f

admet effectivement un extremum local en

a

— sinon, comme pour

x^3

0

, la tangente horizontale traverse simplement la courbe.

Le théorème de Rolle affirme : si $f$ est continue sur $[a~;~b]$ , dérivable sur $]a~;~b[$ et $f(a)=f(b)$ , alors :

il existe

c \in ]a~;~b[

tel que

f'(c)=0

f

est constante sur

[a~;~b]

f'(a)=f'(b)

f

n'a pas d'extremum sur

[a~;~b]

Explication : C'est l'énoncé exact du théorème de Rolle : sous ces hypothèses, il existe un point intérieur où la tangente est horizontale.

Le théorème des accroissements finis (T.A.F.) affirme qu'il existe $c \in ]a~;~b[$ tel que :

f(b) = f(a)

f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)

f'(c) = 0

f(c) = 0

Explication : C'est l'énoncé du T.A.F. : l'accroissement global

f(b)-f(a)

est égal à la dérivée en un point intermédiaire

c

, multipliée par

b-a

Pour $f(x)=x^2$ sur $[1~;~3]$ , le réel $c$ donné par le T.A.F. vaut :

c=1

c=3

c=4

c=2

Explication :

\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = \dfrac{9-1}{2}=4

. On résout

f'(c)=2c=4

, soit

c=2

, bien dans

]1~;~3[

Si $m \leqslant f'(x) \leqslant M$ sur $[a~;~b]$ , l'inégalité des accroissements finis donne :

f(b)-f(a) = M-m

f'(a) \leqslant M

seulement

m(b-a) \leqslant f(b)-f(a) \leqslant M(b-a)

f(b)-f(a) \geqslant M(b-a)

Explication : C'est l'inégalité des accroissements finis, conséquence directe du T.A.F. appliqué avec l'encadrement de

f'(c)

par

m

M

Pour démontrer $f(x) \leqslant g(x)$ sur un intervalle $I$ par étude de fonction, la méthode consiste à :

poser

h=g-f

, étudier le signe de

h'

, puis montrer que le minimum de

h

est positif ou nul calculer directement

f(x)

g(x)

pour toutes les valeurs de

x

montrer que

f'(x) = g'(x)

pour tout

x

poser

h=f \times g

et étudier son signe

Explication : On pose la fonction auxiliaire

h=g-f

, on étudie son sens de variation via le signe de

h'

, puis on montre que son minimum sur

I

est

\geqslant0

: c'est la méthode standard illustrée par

\sin x \leqslant x

sur

[0~;~+\infty[

Si $f$ est une bijection dérivable de $I$ sur $J$ , avec $y_0=f(x_0)$ et $f'(x_0) \neq 0$ , la dérivée de la réciproque en $y_0$ est :

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = f'(x_0)

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = -f'(x_0)

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = f'(y_0)

Explication : C'est le théorème de dérivation d'une fonction réciproque :

\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}

, à condition que

f'(x_0) \neq 0

Si $f'(x_0) = 0$ , que peut-on dire de la dérivabilité de $f^{-1}$ en $y_0=f(x_0)$ ?

f^{-1}

est dérivable en

y_0

, de dérivée

0

f^{-1}

est dérivable en

y_0

, de dérivée

1

cela ne concerne pas

f^{-1}

f^{-1}

n'est pas dérivable en

y_0

(tangente verticale)

Explication : Si

f'(x_0)=0

, la tangente en

A

est horizontale ; sa symétrique par rapport à

y=x

est verticale, donc

f^{-1}

n'est pas dérivable en

y_0

— comme la racine cubique en

0

, réciproque de

x^3

Soit $f(x)=x^3+x$ sur $\mathbb{R}$ , bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ . Sachant $f(1)=2$ , la dérivée de $f^{-1}$ en $2$ vaut :

2

1

\dfrac{1}{4}

4

Explication :

f'(x)=3x^2+1

, donc

f'(1)=3+1=4

. D'après le théorème,

\left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}

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Classe : Classe de Terminale (séries scientifiques)
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 11 h
8 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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