Limites et continuité

Maîtriser le calcul des limites et les théorèmes de continuité.

Mathématiques Terminale Chapitre 1 / 19 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Lever toutes les formes indéterminées classiques
Appliquer le TVI pour prouver l'existence d'une solution
Déterminer les asymptotes d'une courbe

Jusqu’en Première, tu as surtout étudié une fonction localement : sa dérivée te disait comment elle se comporte tout près d’un point, sa tangente te donnait la pente à cet endroit. Ce chapitre change d’échelle. Il pose deux questions nouvelles : que devient $f(x)$ lorsque $x$ s’en va vers l’infini, ou lorsqu’il s’approche d’une valeur interdite ? Et une courbe peut-elle « sauter » d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires ?

La première question conduit à la notion de limite et à ses conséquences graphiques, les asymptotes, ces droites dont la courbe se rapproche indéfiniment. La seconde conduit à la continuité et au théorème des valeurs intermédiaires, l’outil qui te permettra de prouver qu’une équation comme $x^{3} + x = 3$ admet une solution, puis de l’encadrer aussi finement que tu le souhaites, même sans savoir la calculer exactement.

Ces outils sont partout : dans la concentration d’un médicament qui se stabilise, dans le coût moyen d’une production qui se rapproche d’un plancher, dans la vitesse d’un corps qui chute. Au baccalauréat, presque tout problème d’analyse commence par « déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition » et contient une question du type « montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ ». Ce chapitre est donc un investissement pour toute l’année.

1Limites d’une fonction en un point et à l’infini

Dans tout le chapitre, $f$ désigne une fonction définie sur un ensemble $D_f$ qui est un intervalle ou une réunion d’intervalles, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1.1 Limite finie ou infinie en l’infini

Prenons $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x}$ et regardons ce qui se passe quand $x$ devient très grand.

$x$	$10$	$100$	$1\,000$	$10^{6}$
$f(x)$	$2{,}1$	$2{,}01$	$2{,}001$	$2{,}000\,001$

Les valeurs $f(x)$ se rapprochent de $2$ autant qu’on le veut : il suffit de prendre $x$ assez grand. C’est exactement l’idée de limite, que voici formalisée.

Définition — limite finie en l’infini

Soit $\ell$ un réel. On dit que $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note :

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$

On définit de même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell$ en remplaçant « $x$ assez grand » par « $x$ assez grand en valeur absolue et négatif ».

Définition — limite infinie en l’infini

On dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ lorsque tout intervalle de la forme $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

On définit de la même façon $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ (avec des intervalles $]-\infty\,;\,A[$ ), ainsi que les limites infinies en $-\infty$ .

Autrement dit, « $f(x)$ tend vers $+\infty$ » signifie que $f(x)$ finit par dépasser n’importe quel seuil $A$ , aussi grand soit-il, et le dépasse définitivement.

Propriété — limites de référence en l’infini

$f(x)$	$x$	$x^{2}$	$x^{3}$	$x^{n}$ ( $n \geqslant 1$ )	$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{1}{x^{n}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$0$	$0$	$0$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair	non définie	$0$	$0$	non définie

Une fonction constante $x \mapsto k$ a pour limite $k$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Exemple — lire et justifier des limites de référence

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{3} = -\infty$ le cube d’un nombre négatif très grand en valeur absolue est négatif et très grand
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{4} = +\infty$ exposant pair : $x^{4} = (x^{2})^{2} \geqslant 0$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^{2}} = 0$ pour $x > 1\,000$ , on a déjà $0 < \dfrac{1}{x^{2}} < 10^{-6}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ $\sqrt{x} > A$ dès que $x > A^{2}$

1.2 Limite en un point

On s’intéresse maintenant au comportement de $f(x)$ quand $x$ s’approche d’un réel $a$ . Le réel $a$ est soit un point de $D_f$ , soit une borne de $D_f$ (typiquement une valeur interdite, comme $0$ pour $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ ).

Définition — limites en un point

a

Limite finie. On dit que $f$ a pour limite $\ell$ en $a$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$ . On note $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ .

Limite infinie. On dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ lorsque tout intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$ . On note $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ , et on définit de même une limite $-\infty$ en $a$ .

Propriété — limites en un point des fonctions usuelles

Si $f$ est une fonction polynôme, rationnelle, racine carrée, sinus ou cosinus, et si $a$ appartient à son ensemble de définition, alors :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Cette propriété est celle de la continuité, que l’on étudiera en détail à la section 5. Les limites de référence en $0$ sont :

$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{2}} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{2n}} = +\infty \qquad \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$

Exemple — deux limites en un point

$\displaystyle\lim_{x \to 3} \left(x^{2} - 2x + 5\right) = 3^{2} - 2 \times 3 + 5$ fonction polynôme, définie en $3$
$=$ $8$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{2}} = +\infty$ pour $|x| < 10^{-3}$ , on a $\dfrac{1}{x^{2}} > 10^{6}$ : tout seuil est dépassé

1.3 Limite à gauche, limite à droite

La fonction inverse pose un problème nouveau : quand $x$ s’approche de $0$ par valeurs négatives, $\dfrac{1}{x}$ devient très grand négatif ; par valeurs positives, très grand positif. Il n’y a pas une limite en $0$ , mais deux comportements distincts selon le côté.

Définition — limites à gauche et à droite

La limite à gauche de $f$ en $a$ est la limite obtenue en ne considérant que des $x < a$ . On la note $\displaystyle\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x)$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x)$ .

La limite à droite est définie avec des $x > a$ et notée $\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x)$ .

$\lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty$

Propriété — recollement des deux limites

Soit $a$ un réel qui n’appartient pas à $D_f$ mais qui en est une borne des deux côtés. Alors $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si ses limites à gauche et à droite en $a$ existent et sont égales ; cette valeur commune est alors la limite de $f$ en $a$ .

Si $a \in D_f$ , il faut de plus que cette valeur commune soit égale à $f(a)$ : c’est la continuité en $a$ (section 5).

Exemple — étudier les deux côtés de

f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 3}

3

Le numérateur tend vers $5$ , qui est strictement positif. Tout dépend du signe du dénominateur, que l’on lit dans un tableau de signes : $x - 3 < 0$ pour $x < 3$ et $x - 3 > 0$ pour $x > 3$ .

$\displaystyle\lim_{x \to 3^{-}} (x - 3) = 0^{-}$ le dénominateur tend vers $0$ en restant négatif
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 3^{-}} \dfrac{x + 2}{x - 3} = -\infty$ « $5$ divisé par un négatif minuscule »
$\displaystyle\lim_{x \to 3^{+}} (x - 3) = 0^{+}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 3^{+}} \dfrac{x + 2}{x - 3} = +\infty$

Les deux limites sont différentes : $f$ n’a pas de limite en $3$ , mais on sait exactement ce qu’elle fait de chaque côté.

Attention — le signe du dénominateur

Quand un dénominateur tend vers $0$ , écrire seulement « $\dfrac{5}{0} = \infty$ » ne rapporte aucun point au bac. Il faut préciser le signe : $0^{-}$ ou $0^{+}$ , justifié par un tableau de signes ou une phrase, et en déduire $-\infty$ ou $+\infty$ . Une seule limite à gauche ou à droite infinie suffit à créer une asymptote verticale.

1.4 Asymptotes horizontale et verticale

Définition — asymptote horizontale, asymptote verticale

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (ou $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell$ ), la droite d’équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$ ).

Si $\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x)$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x)$ est infinie, la droite d’équation $x = a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ .

Géométriquement, la distance entre le point de la courbe d’abscisse $x$ et la droite tend vers $0$ : la courbe vient se « coller » à la droite sans jamais s’en éloigner à nouveau.

Figure 1 — Courbe de

f(x) = 2 + \dfrac{1}{x-1}

. Aux bornes du domaine, deux comportements : près de

x = 1

, la courbe « s’échappe » vers l’infini le long de la droite

x = 1

(asymptote verticale) ; vers

\pm\infty

, elle se colle à la droite

y = 2

(asymptote horizontale).

Exemple — les asymptotes de

f(x) = 2 + \dfrac{1}{x - 1}

(figure 1)

$f$ est définie sur $]-\infty\,;\,1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$ . On étudie les quatre bornes.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x - 1} = 0$ car $x - 1 \to +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ et de même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$
$\Rightarrow$ la droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} \dfrac{1}{x - 1} = -\infty$ $x - 1 \to 0^{-}$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} \dfrac{1}{x - 1} = +\infty$ $x - 1 \to 0^{+}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty$ , $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$ : la droite $x = 1$ est asymptote verticale

Math & Co — Deux siècles pour apprivoiser l’infini

Newton et Leibniz calculent avec des « quantités infiniment petites » dès les années 1670, mais sans définition solide : l’évêque Berkeley se moque en 1734 de ces « fantômes de quantités disparues ». En 1765, d’Alembert rédige l’article « Limite » de l’Encyclopédie et affirme que la limite est « la vraie métaphysique du calcul différentiel ». La notation « lim » apparaît en 1786 sous la plume du Genevois Simon L’Huilier.

C’est Augustin-Louis Cauchy, dans son Cours d’analyse de l’École polytechnique (1821), qui fonde l’analyse sur la limite ; puis Karl Weierstrass, dans ses cours de Berlin des années 1860, donne la formulation « en $\varepsilon$ et $\delta$ » encore utilisée aujourd’hui, dont la définition « tout intervalle ouvert contenant $\ell$ … » est la traduction. La flèche $x \to a$ n’arrive qu’en 1908, dans un manuel du Britannique G. H. Hardy.

2Opérations et formes indéterminées

Calculer une limite « à la main » avec la définition serait épuisant. Heureusement, les limites se comportent bien vis-à-vis des opérations : dans la plupart des cas, la limite d’une somme est la somme des limites, etc. Les quelques cas où cette règle tombe en défaut sont les formes indéterminées, et savoir les lever est l’une des compétences majeures de l’année.

2.1 Somme, produit, quotient

Dans les trois tableaux ci-dessous, $\ell$ et $\ell'$ sont des réels, et toutes les limites sont prises au même endroit ( $a$ , $a^{\pm}$ , $+\infty$ ou $-\infty$ ). Ces résultats sont admis.

Propriété — limite d’une somme

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim (f + g)$	$\ell + \ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

Propriété — limite d’un produit

$\lim f$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\lim g$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\lim (f \times g)$	$\ell \times \ell'$	$\pm\infty$ (règle des signes)	$\pm\infty$ (règle des signes)	F.I.

Propriété — limite d’un quotient

$\lim f$	$\ell$	$\ell$	$\pm\infty$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\lim g$	$\ell' \neq 0$	$\pm\infty$	$\ell' \neq 0$	$0^{+}$ ou $0^{-}$	$\pm\infty$	$0$
$\lim \dfrac{f}{g}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$0$	$\pm\infty$ (signes)	$\pm\infty$ (signes)	F.I.	F.I.

La « règle des signes » est celle du produit et du quotient de deux réels : par exemple $(-3) \times (+\infty) = -\infty$ et $\dfrac{5}{0^{-}} = -\infty$ .

Exemple — appliquer les tableaux

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(3 - \dfrac{1}{x}\right) = 3$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(3 - \dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x} = +\infty$ produit : $3 \times (+\infty)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \left(x^{2} + 1\right) = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x = 0^{+}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{x^{2} + 1}{x} = +\infty$ quotient : $\dfrac{1}{0^{+}}$

2.2 Les quatre formes indéterminées

Attention — les quatre formes indéterminées

Les tableaux laissent quatre cases vides, notées F.I. Ce sont les formes, écrites entre guillemets car elles n’ont pas de sens en tant que calcul :

$+\infty - \infty \qquad\qquad 0 \times \infty \qquad\qquad \dfrac{\infty}{\infty} \qquad\qquad \dfrac{0}{0}$

« Indéterminée » ne veut pas dire « sans limite » : cela veut dire que la connaissance des deux limites ne suffit pas pour conclure. Il faut transformer l’écriture de la fonction avant de pouvoir répondre.

Exemple — pourquoi «

+\infty - \infty

» ne se calcule pas

Les trois fonctions suivantes sont toutes de la forme « $+\infty - \infty$ » en $+\infty$ , et pourtant :

$x^{2} - x = x(x - 1) \to +\infty$
$x - x^{2} = x(1 - x) \to -\infty$
$(x + 3) - x = 3 \to 3$

Trois résultats différents pour la même « forme » : c’est bien la preuve qu’il faut travailler l’expression.

2.3 Lever une forme indéterminée

Théorème — polynômes et fonctions rationnelles en l’infini

En $+\infty$ comme en $-\infty$ :

une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

$\lim_{x \to \pm\infty} \left(a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} a_{n}x^{n} \qquad \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}}{b_{p}x^{p} + \dots + b_{0}} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_{n}x^{n}}{b_{p}x^{p}}$

Démonstration

Soit $P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{0}$ avec $a_{n} \neq 0$ . Pour $x \neq 0$ , on factorise par le terme dominant :

$P(x) = a_{n}x^{n}\left(1 + \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}x} + \dots + \dfrac{a_{0}}{a_{n}x^{n}}\right)$
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_{k}}{a_{n}x^{n-k}} = 0$ pour chaque $k < n$ limite de référence $\dfrac{1}{x^{m}} \to 0$ , multipliée par une constante
$\Rightarrow$ la parenthèse tend vers $1$ somme de limites
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} P(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_{n}x^{n}$ produit par une fonction de limite $1 \neq 0$

Pour une fonction rationnelle $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , on factorise de la même façon le numérateur par $a_{n}x^{n}$ et le dénominateur par $b_{p}x^{p}$ ; les deux parenthèses tendent vers $1$ , et il reste $\dfrac{a_{n}x^{n}}{b_{p}x^{p}}$ . C.Q.F.D.

Attention

Ce théorème n’est valable qu’en $\pm\infty$ . En un réel $a$ , on n’a pas le droit de « garder le terme dominant » : par exemple $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(x^{2} + 3\right) = 3$ , et non $0$ .

Exemple — terme dominant

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(2x^{3} - 5x^{2} + 1\right) = \lim_{x \to -\infty} 2x^{3}$ forme « $-\infty + \infty$ », levée par le théorème
$=$ $-\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^{2} + 1}{3x^{2} - x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^{2}}{3x^{2}}$ forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ »
$=$ $\dfrac{2}{3}$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x + 1}{x^{2} + 3} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{x^{2}} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x}$
$=$ $0$

Au bac, on rédige la factorisation au moins une fois : $\dfrac{2x^{2} + 1}{3x^{2} - x} = \dfrac{x^{2}\left(2 + \frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(3 - \frac{1}{x}\right)} = \dfrac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{3 - \frac{1}{x}}$ , puis on conclut avec les tableaux.

Méthode — la quantité conjuguée pour les racines carrées

Face à une différence de racines carrées de la forme « $+\infty - \infty$ », on multiplie et on divise par l’expression conjuguée : $\left(\sqrt{A} - \sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A} + \sqrt{B}\right) = A - B$ . La différence disparaît du numérateur et la forme indéterminée avec elle.

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right)

C’est une forme « $+\infty - \infty$ ». Pour $x > 0$ :

$\sqrt{x^{2} + 1} - x = \dfrac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right)\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}$
$=$ $\dfrac{x^{2} + 1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}$ identité $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$
$=$ $\dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right) = +\infty$ somme de deux limites $+\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right) = 0$ quotient $\dfrac{1}{+\infty}$

En $-\infty$ , la même expression n’est pas indéterminée : $\sqrt{x^{2} + 1} \to +\infty$ et $-x \to +\infty$ , donc la limite vaut $+\infty$ . Vérifie toujours la forme avant de te lancer dans un calcul.

Méthode — factoriser pour lever «

\dfrac{0}{0}

» en un réel

a

Si le numérateur et le dénominateur s’annulent tous deux en $a$ , alors ils sont tous deux factorisables par $(x - a)$ . On factorise, on simplifie par $(x - a)$ (légitime car $x \neq a$ ), puis on calcule la limite de l’expression simplifiée.

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1}

En $1$ , numérateur et dénominateur valent $0$ : forme « $\dfrac{0}{0}$ ». Pour $x \neq 1$ :

$x^{2} + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$ $1$ est racine évidente ; on vérifie en développant
$x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$
$\Rightarrow$ $\dfrac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1} = \dfrac{x + 2}{x + 1}$ simplification par $x - 1 \neq 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1} = \dfrac{1 + 2}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}$

Réflexe de bac : devant une limite, commence toujours par écrire la forme obtenue avec les tableaux. Si elle n’est pas indéterminée, conclus en une ligne. Si elle l’est, nomme-la (« forme

\infty - \infty

») puis choisis l’outil : terme dominant, conjuguée, factorisation par

(x - a)

, ou, plus tard dans l’année, croissances comparées.

3Limites de fonctions composées

Beaucoup de fonctions du programme s’écrivent comme un « emboîtement » : $\sqrt{x^{2} - 4x}$ est la racine carrée de $x^{2} - 4x$ , $\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$ est le cosinus de $\dfrac{1}{x}$ . Rappelle-toi que la composée $g \circ u$ est la fonction $x \mapsto g\big(u(x)\big)$ : on applique d’abord $u$ , puis $g$ au résultat. Pour calculer la limite d’une composée, on suit le même ordre.

Théorème — limite d’une fonction composée

Soient $a$ , $b$ et $c$ des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$ . Si

$\lim_{x \to a} u(x) = b \qquad \text{et} \qquad \lim_{X \to b} g(X) = c$

alors

$\lim_{x \to a} g\big(u(x)\big) = c$

Démonstration

Idée de la preuve (résultat admis au programme). Prenons un intervalle ouvert $J$ contenant $c$ . Comme $g(X) \to c$ quand $X \to b$ , il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $b$ tel que $g(X) \in J$ dès que $X \in I$ . Comme $u(x) \to b$ quand $x \to a$ , on a $u(x) \in I$ pour $x$ assez proche de $a$ . En enchaînant : $g\big(u(x)\big) \in J$ pour $x$ assez proche de $a$ , ce qui est la définition de $\displaystyle\lim_{x \to a} g\big(u(x)\big) = c$ . Les cas où $a$ , $b$ ou $c$ sont infinis se traitent de la même façon en remplaçant les intervalles ouverts par des intervalles $]A\,;\,+\infty[$ ou $]-\infty\,;\,A[$ .

Méthode — rédiger une limite de composée

Repérer la fonction « intérieure » $u$ et la fonction « extérieure » $g$ ; poser $X = u(x)$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b$ (avec les outils des sections 1 et 2).
Calculer $\displaystyle\lim_{X \to b} g(X) = c$ (limite de référence ou continuité de $g$ ).
Conclure par le théorème : $\displaystyle\lim_{x \to a} g\big(u(x)\big) = c$ .

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{2x + 1}{x + 3}}

On pose $X = u(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 3}$ et $g(X) = \sqrt{X}$ .

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{x} = 2$ quotient des termes dominants
$\displaystyle\lim_{X \to 2} \sqrt{X} = \sqrt{2}$ la fonction racine carrée est définie en $2$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{2x + 1}{x + 3}} = \sqrt{2}$ théorème de composition

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} - 4x}

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^{2} - 4x\right) = \lim_{x \to -\infty} x^{2} = +\infty$ terme dominant ; la fonction est bien définie car $x^{2} - 4x = x(x - 4) > 0$ pour $x < 0$
$\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \sqrt{X} = +\infty$ limite de référence
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} - 4x} = +\infty$

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$
$\displaystyle\lim_{X \to 0} \cos X = \cos 0 = 1$ la fonction cosinus est définie (et continue) en $0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) = 1$

Attention — l’ordre des étapes et le point où l’on prend la limite de

g

La limite de $g$ doit être prise en $b$ , valeur limite de $u$ , et non en $a$ . Erreur classique : pour $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{2x + 1}{x + 3}}$ , écrire « $\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \sqrt{X} = +\infty$ » est faux, puisque $X$ tend vers $2$ , pas vers $+\infty$ . Par ailleurs, la fonction $x \mapsto \cos x$ n’a pas de limite en $+\infty$ (elle oscille sans fin entre $-1$ et $1$ ) : $\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$ a une limite en $+\infty$ uniquement parce que $\dfrac{1}{x}$ tend vers un réel.

4Théorème des gendarmes

Certaines fonctions résistent aux méthodes précédentes : $\dfrac{\cos x}{x}$ en $+\infty$ , par exemple, est le quotient d’une fonction sans limite par une fonction qui tend vers $+\infty$ . Aucun tableau ne s’applique. L’idée est alors de comparer $f$ à des fonctions plus simples dont on connaît la limite : si $f$ est coincée entre deux fonctions qui convergent vers le même réel, elle n’a pas d’autre choix que d’y converger aussi.

4.1 Théorèmes de comparaison

Théorème — comparaison (limites infinies)

Soient $f$ et $u$ deux fonctions définies sur un intervalle $[A\,;\,+\infty[$ .

Si $f(x) \geqslant u(x)$ pour tout $x \geqslant A$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x) = +\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .
Si $f(x) \leqslant v(x)$ pour tout $x \geqslant A$ et si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = -\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ .

Les énoncés analogues en $-\infty$ et en un réel $a$ sont vrais.

Démonstration

Démontrons le premier point. Soit $M$ un réel quelconque : on doit montrer que l’intervalle $]M\,;\,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x) = +\infty$ hypothèse
$\Rightarrow$ il existe un réel $B$ tel que, pour tout $x > B$ , $u(x) > M$ définition de la limite $+\infty$
pour tout $x > \max(A\,;\,B)$ : $f(x) \geqslant u(x) > M$ hypothèse de comparaison
$\Rightarrow$ $f(x) \in \,]M\,;\,+\infty[$ pour tout $x$ assez grand
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ c’est la définition

Le second point se démontre de la même manière avec des intervalles $]-\infty\,;\,M[$ . C.Q.F.D.

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x + 2\sin x\right)

La fonction sinus n’a pas de limite en $+\infty$ , mais elle est bornée : c’est la clé.

pour tout réel $x$ , $\sin x \geqslant -1$
$\Rightarrow$ $x + 2\sin x \geqslant x - 2$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - 2) = +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x + 2\sin x\right) = +\infty$ théorème de comparaison

4.2 Le théorème des gendarmes

Théorème — des gendarmes (ou d’encadrement)

Soient $f$ , $u$ et $v$ trois fonctions définies sur $[A\,;\,+\infty[$ et $\ell$ un réel. Si

$u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x) \text{ pour tout } x \geqslant A \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to +\infty} v(x) = \ell$

alors $f$ admet une limite en $+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ .

Le même énoncé vaut en $-\infty$ et en un réel $a$ (l’encadrement devant alors être vrai pour $x$ proche de $a$ ).

Démonstration

Soit $J$ un intervalle ouvert contenant $\ell$ . On peut le supposer de la forme $]\ell - r\,;\,\ell + r[$ avec $r > 0$ .

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x) = \ell$
$\Rightarrow$ il existe $B_{1}$ tel que, pour $x > B_{1}$ , $\ell - r < u(x) < \ell + r$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} v(x) = \ell$
$\Rightarrow$ il existe $B_{2}$ tel que, pour $x > B_{2}$ , $\ell - r < v(x) < \ell + r$
pour $x > \max(A\,;\,B_{1}\,;\,B_{2})$ : $\ell - r < u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x) < \ell + r$ encadrement de l’hypothèse
$\Rightarrow$ $f(x) \in J$ pour tout $x$ assez grand
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ définition de la limite finie

C.Q.F.D. Le nom du théorème vient de l’image de deux gendarmes qui encadrent un prisonnier : s’ils entrent tous les deux au commissariat, le prisonnier y entre aussi.

Figure 2 — La courbe de

x \mapsto \dfrac{\cos x}{x}

(violet) est coincée entre celles des deux « gendarmes »

x \mapsto -\dfrac{1}{x}

x \mapsto \dfrac{1}{x}

(vert), qui tendent tous deux vers

0

: elle est donc forcée d’y tendre aussi.

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x}

(figure 2)

pour tout réel $x$ , $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$
$\Rightarrow$ pour $x > 0$ , $-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\cos x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$ division par $x > 0$ , qui conserve l’ordre
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0$ théorème des gendarmes

La droite $y = 0$ est donc asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ , bien que la courbe la traverse une infinité de fois.

Exemple —

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{E}(x)}{x}

$\mathrm{E}(x)$ désigne la partie entière de $x$ , c’est-à-dire l’unique entier $n$ tel que $n \leqslant x < n + 1$ . On dispose donc pour tout réel $x$ de l’encadrement $x - 1 < \mathrm{E}(x) \leqslant x$ .

$x - 1 < \mathrm{E}(x) \leqslant x$
$\Rightarrow$ pour $x > 0$ , $\dfrac{x - 1}{x} < \dfrac{\mathrm{E}(x)}{x} \leqslant 1$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \dfrac{1}{x}\right) = 1$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{E}(x)}{x} = 1$ gendarmes, le gendarme de droite étant la constante $1$

Attention — les conditions du théorème

Les deux gendarmes doivent avoir la même limite finie. Si $u \to 0$ et $v \to 1$ , l’encadrement $u \leqslant f \leqslant v$ ne permet pas de conclure. De même, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ ne prouve pas que $\sin x$ a une limite en $+\infty$ (elle n’en a pas !) : c’est seulement après division par $x$ que les gendarmes se rejoignent en $0$ . Enfin, l’encadrement doit être justifié pour tous les $x$ assez grands, pas seulement « en général ».

Math & Co — Archimède, premier utilisateur des gendarmes

Vers 250 avant notre ère, dans son traité De la mesure du cercle, Archimède de Syracuse encadre le périmètre d’un cercle entre ceux de deux polygones réguliers à $96$ côtés, l’un inscrit, l’autre circonscrit. Il en déduit l’encadrement resté célèbre :

$3 + \dfrac{10}{71} < \pi < 3 + \dfrac{1}{7}$

soit $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$ . En doublant sans cesse le nombre de côtés, les deux « gendarmes » se rapprochent l’un de l’autre et forcent le nombre $\pi$ à se révéler : c’est exactement le mécanisme du théorème que tu viens d’étudier, avec deux mille ans d’avance sur sa formulation moderne.

5Continuité et prolongement

Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. La notion de limite permet d’en donner une définition précise, indispensable pour énoncer correctement le théorème des valeurs intermédiaires de la section suivante.

5.1 Continuité en un point, sur un intervalle

Définition — continuité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque $f$ admet une limite en $a$ et que cette limite vaut $f(a)$ :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

On dit que $f$ est continue sur $I$ lorsqu’elle est continue en tout point de $I$ .

Propriété — fonctions continues usuelles (admise)

Les fonctions polynômes, la fonction racine carrée, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur leur ensemble de définition.
Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
La somme, le produit, le quotient (là où le dénominateur ne s’annule pas) et la composée de fonctions continues sont continues.
Toute fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ (la réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable).

Exemple — justifier une continuité et l’utiliser

Soit $f(x) = \dfrac{2x^{2} - 1}{x + 3}$ . Alors $f$ est continue sur $]-\infty\,;\,-3[$ et sur $]-3\,;\,+\infty[$ comme quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s’annule pas. En particulier, en $1$ :

$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ continuité en $1$
$=$ $\dfrac{2 - 1}{1 + 3}$
$=$ $\dfrac{1}{4}$

Exemple — une fonction non continue : la partie entière (figure 3)

La fonction partie entière $\mathrm{E}$ associe à tout réel $x$ l’unique entier $n$ tel que $n \leqslant x < n + 1$ : $\mathrm{E}(2{,}7) = 2$ , $\mathrm{E}(-1{,}3) = -2$ , $\mathrm{E}(4) = 4$ . Étudions-la en $2$ .

pour $1 \leqslant x < 2$ , $\mathrm{E}(x) = 1$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} \mathrm{E}(x) = 1$
pour $2 \leqslant x < 3$ , $\mathrm{E}(x) = 2$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} \mathrm{E}(x) = 2 = \mathrm{E}(2)$
$\Rightarrow$ $\mathrm{E}$ n’est pas continue en $2$ la limite à gauche diffère de $\mathrm{E}(2)$

Le même raisonnement vaut en chaque entier : $\mathrm{E}$ est continue sur chaque intervalle $[n\,;\,n + 1[$ , mais discontinue en tout entier $n$ . Sa courbe est un escalier : impossible de la tracer sans lever le crayon.

Figure 3 — Courbe de la fonction partie entière

\mathrm{E}

: sur chaque intervalle

[n\,;\,n+1[

, elle est constante (point plein à gauche, point vide à droite). En

x = 2

, la limite à gauche vaut

1

alors que

\mathrm{E}(2) = 2

: la fonction n’est pas continue en

2

5.2 Prolongement par continuité

Il arrive qu’une fonction ne soit pas définie en un point $a$ alors qu’elle y admet une limite finie. Le « trou » dans la courbe peut alors être comblé.

Définition — prolongement par continuité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ privé d’un réel $a$ , telle que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ avec $\ell$ réel. La fonction $g$ définie sur $I$ par

$g(x) = f(x) \text{ si } x \neq a \qquad \text{et} \qquad g(a) = \ell$

est continue en $a$ : on l’appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$ .

Méthode — prolonger une fonction par continuité

Vérifier que $a$ n’appartient pas à l’ensemble de définition de $f$ mais en est une borne.
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ (souvent une forme « $\dfrac{0}{0}$ » à lever) et vérifier qu’elle est finie.
Définir $g$ en posant $g(a) = \ell$ , et conclure que $g$ est continue en $a$ .

Si la limite est infinie ou n’existe pas, le prolongement est impossible : la courbe possède alors une asymptote verticale ou un « saut ».

Exemple — prolonger

f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

0

$f$ est définie sur $[-1\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[$ . En $0$ , c’est une forme « $\dfrac{0}{0}$ » ; on utilise la quantité conjuguée. Pour $x \neq 0$ :

$f(x) = \dfrac{\left(\sqrt{x + 1} - 1\right)\left(\sqrt{x + 1} + 1\right)}{x\left(\sqrt{x + 1} + 1\right)}$
$=$ $\dfrac{x + 1 - 1}{x\left(\sqrt{x + 1} + 1\right)}$
$=$ $\dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}$ simplification par $x \neq 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{1}{2}$

La fonction $g$ définie sur $[-1\,;\,+\infty[$ par $g(x) = f(x)$ si $x \neq 0$ et $g(0) = \dfrac{1}{2}$ est le prolongement par continuité de $f$ en $0$ .

Exemple — le cas emblématique de

\dfrac{\sin x}{x}

(figure 4)

La fonction $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^{*}$ . On démontre en trigonométrie, par un encadrement d’aires dans le cercle trigonométrique puis le théorème des gendarmes, la limite de référence :

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$

Le prolongement par continuité de $f$ en $0$ est donc la fonction $g$ qui coïncide avec $f$ sur $\mathbb{R}^{*}$ et telle que $g(0) = 1$ . Cette fonction, continue sur $\mathbb{R}$ , joue un rôle important en physique (diffraction, traitement du signal).

Figure 4 — Courbe de

f(x) = \dfrac{\sin x}{x}

, définie sur

\mathbb{R}^{*}

. Comme

\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1

, la fonction

g

qui coïncide avec

f

sur

\mathbb{R}^{*}

et vaut

1

0

est continue sur $\mathbb{R}$ : c’est le prolongement par continuité de

f

0

. Observe aussi que la courbe coupe une infinité de fois son asymptote horizontale

y = 0

6Théorème des valeurs intermédiaires

Imagine une route continue qui part d’une altitude de $200$ m et arrive à $800$ m : tu es certain qu’à un moment elle passe par $500$ m, même sans connaître son tracé. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est la version mathématique de cette évidence, et il ne fonctionne que grâce à la continuité : un escalier peut passer de $1$ à $2$ sans jamais valoir $1{,}5$ .

6.1 Le théorème

Théorème — des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un réel $c \in [a\,;\,b]$ tel que $f(c) = k$ .

Autrement dit : l’équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$ , et $f$ prend toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Démonstration

Ce théorème est admis au programme : sa preuve complète repose sur une propriété fine de $\mathbb{R}$ (toute partie non vide majorée admet une borne supérieure). En voici l’idée, par dichotomie, dans le cas $f(a) < k < f(b)$ . On coupe $[a\,;\,b]$ en deux au milieu $m$ : si $f(m) = k$ c’est fini ; si $f(m) < k$ on garde $[m\,;\,b]$ ; sinon on garde $[a\,;\,m]$ . Dans les deux cas, le nouvel intervalle vérifie encore « $f$ est inférieure à $k$ à gauche et supérieure à $k$ à droite », et il est deux fois plus court. En recommençant indéfiniment, on construit des intervalles emboîtés de longueur $\dfrac{b - a}{2^{n}} \to 0$ , qui se resserrent sur un réel $c$ . Par continuité de $f$ en $c$ , on a à la fois $f(c) \leqslant k$ et $f(c) \geqslant k$ , donc $f(c) = k$ . C’est aussi la méthode pratique que tu utiliseras pour encadrer les solutions.

Propriété — cas particulier

k = 0

Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires (c’est-à-dire $f(a) \times f(b) < 0$ ), alors l’équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a\,;\,b[$ .

Démonstration

Si $f(a) \times f(b) < 0$ , l’un des deux nombres est strictement négatif et l’autre strictement positif : $0$ est donc strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ . Le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c \in [a\,;\,b]$ tel que $f(c) = 0$ , et $c \neq a$ , $c \neq b$ puisque $f(a) \neq 0$ et $f(b) \neq 0$ . C.Q.F.D.

Figure 5 — Sur

[-3\,;\,3]

, la fonction

f(x) = x^{3} - 3x + 1

est continue et prend les valeurs

f(-3) = -17

f(3) = 19

. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’elle atteint

1

au moins une fois ; comme elle n’est pas monotone, elle l’atteint en fait trois fois, en

-\sqrt{3}

0

\sqrt{3}

Exemple — vérifier le théorème sur

f(x) = x^{3} - 3x + 1

(figure 5)

$f$ est continue sur $[-3\,;\,3]$ (polynôme), $f(-3) = -17$ et $f(3) = 19$ . Comme $1 \in [-17\,;\,19]$ , le TVI affirme que l’équation $f(x) = 1$ a au moins une solution dans $[-3\,;\,3]$ . Ici on peut même toutes les trouver :

$x^{3} - 3x + 1 = 1$
$\iff$ $x^{3} - 3x = 0$
$\iff$ $x\left(x - \sqrt{3}\right)\left(x + \sqrt{3}\right) = 0$ $x^{2} - 3 = x^{2} - \left(\sqrt{3}\right)^{2}$
$\iff$ $x = 0$ ou $x = \sqrt{3}$ ou $x = -\sqrt{3}$

Trois solutions : le TVI garantit l’existence, jamais l’unicité. Pour obtenir l’unicité, il faut une hypothèse supplémentaire : la stricte monotonie.

6.2 Corollaire de la bijection

Théorème — de la bijection (corollaire du TVI)

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\,;\,b]$ . Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\,b]$ .

On dit que $f$ réalise une bijection de $[a\,;\,b]$ sur $[f(a)\,;\,f(b)]$ (ou $[f(b)\,;\,f(a)]$ si $f$ est décroissante).

Démonstration

Supposons $f$ strictement croissante (l’autre cas est identique).

Existence. $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [a\,;\,b]$ tel que $f(c) = k$ .

Unicité. Supposons qu’il existe deux solutions $c_{1}$ et $c_{2}$ avec $c_{1} < c_{2}$ .

$c_{1} < c_{2}$
$\Rightarrow$ $f(c_{1}) < f(c_{2})$ $f$ strictement croissante
or $f(c_{1}) = k = f(c_{2})$ ce sont deux solutions
$\Rightarrow$ contradiction : $k < k$ est impossible

Il n’y a donc qu’une seule solution. C.Q.F.D.

Propriété — extension aux intervalles ouverts ou non bornés

Le théorème reste vrai sur un intervalle $I$ quelconque ( $]a\,;\,b[$ , $[a\,;\,+\infty[$ , $\mathbb{R}$ …) : on remplace $f(a)$ ou $f(b)$ par la limite de $f$ à la borne correspondante. Par exemple, si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a\,;\,+\infty[$ avec $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , alors pour tout $k \geqslant f(a)$ , l’équation $f(x) = k$ a une unique solution dans $[a\,;\,+\infty[$ .

En pratique, on lit tout cela dans le tableau de variations : par convention, une flèche continue signifie que la fonction est continue et strictement monotone sur l’intervalle.

6.3 Mise en œuvre et encadrement d’une solution

Méthode — rédiger « l’équation

f(x) = k

admet une unique solution

\alpha

Continuité : justifier que $f$ est continue sur l’intervalle $I$ (fonction usuelle, somme, produit… ou fonction dérivable).
Stricte monotonie : justifier le sens de variation (étude du signe de $f'$ , ou somme de fonctions de même monotonie).
Valeurs aux bornes : calculer $f(a)$ et $f(b)$ (ou les limites) et vérifier que $k$ est compris entre elles.
Conclure par le théorème de la bijection, puis encadrer $\alpha$ par balayage (tableau de valeurs) ou par dichotomie.

Exemple — l’équation

x^{3} + x = 3

On pose $f(x) = x^{3} + x - 3$ sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ fonction polynôme
$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ somme des fonctions strictement croissantes $x \mapsto x^{3}$ et $x \mapsto x$ , et d’une constante
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ terme dominant $x^{3}$
$\Rightarrow$ $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ ; comme $0 \in \mathbb{R}$ , l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$
$f(1) = -1 < 0$ et $f(2) = 7 > 0$
$\Rightarrow$ $1 < \alpha < 2$ $f$ croissante : $f(1) < 0 = f(\alpha) < f(2)$

On affine ensuite par balayage à la calculatrice :

$x$	$1{,}1$	$1{,}2$	$1{,}3$	$1{,}21$	$1{,}22$
$f(x)$ (arrondi)	$-0{,}569$	$-0{,}072$	$0{,}497$	$-0{,}018$	$0{,}036$

$f(1{,}2) < 0 < f(1{,}3)$
$\Rightarrow$ $1{,}2 < \alpha < 1{,}3$
$f(1{,}21) < 0 < f(1{,}22)$
$\Rightarrow$ $1{,}21 < \alpha < 1{,}22$ encadrement d’amplitude $10^{-2}$

Attention — les trois hypothèses sont indispensables

Sans continuité, pas de solution garantie : $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ vaut $-1$ en $-1$ et $1$ en $1$ , mais ne s’annule jamais (elle n’est pas définie en $0$ ). Sans stricte monotonie, pas d’unicité : la figure 5 montre une équation à trois solutions. Et il faut vérifier que $k$ est bien entre les valeurs aux bornes : $x^{2} = -1$ n’a pas de solution bien que $x \mapsto x^{2}$ soit continue et strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Math & Co — Bolzano, le prêtre qui refusa l’évidence

Pendant des siècles, le fait qu’une courbe continue passant du négatif au positif coupe l’axe des abscisses a semblé trop évident pour être démontré. En 1817, à Prague, le prêtre et mathématicien Bernard Bolzano publie un mémoire au titre programme : Démonstration purement analytique du théorème selon lequel, entre deux valeurs qui donnent des résultats de signes opposés, se trouve au moins une racine réelle de l’équation. Il y refuse tout recours au dessin et donne la première définition rigoureuse de la continuité.

Son travail passe presque inaperçu ; Cauchy redémontre le résultat indépendamment en 1821 dans son Cours d’analyse, et c’est Weierstrass qui, cinquante ans plus tard, complètera la preuve en établissant la propriété de la borne supérieure sur laquelle elle repose. Le théorème porte aujourd’hui, dans de nombreux pays, le nom de « théorème de Bolzano ».

7Asymptotes obliques

Quand $f(x)$ tend vers l’infini en $+\infty$ , la courbe peut s’éloigner « n’importe comment », mais il arrive qu’elle se rapproche d’une droite non horizontale. C’est le cas de toutes les fonctions rationnelles dont le numérateur a un degré de plus que le dénominateur, très fréquentes au bac.

7.1 Définition et caractérisation

Définition — asymptote oblique

Soient $a \neq 0$ et $b$ deux réels. La droite $\Delta$ d’équation $y = ax + b$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ lorsque

$\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$

On définit de même une asymptote oblique en $-\infty$ . L’asymptote horizontale correspond au cas $a = 0$ .

La quantité $f(x) - (ax + b)$ est la différence des ordonnées du point de la courbe et du point de la droite de même abscisse. Dire qu’elle tend vers $0$ , c’est dire que la courbe vient se coller à la droite.

Propriété — position relative de la courbe et de l’asymptote

Le signe de $d(x) = f(x) - (ax + b)$ donne la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ :

si $d(x) > 0$ , $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ ;
si $d(x) < 0$ , $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\Delta$ ;
si $d(x) = 0$ , la courbe et la droite se coupent.

7.2 Méthode pratique

Méthode — trouver une asymptote oblique

Cas le plus fréquent : l’énoncé demande de montrer que $f(x) = ax + b + \varphi(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = 0$ . On procède par identification (réduction au même dénominateur) ou par division euclidienne, puis on conclut : $f(x) - (ax + b) = \varphi(x) \to 0$ , donc $y = ax + b$ est asymptote oblique. Le signe de $\varphi(x)$ donne la position relative.

Si $a$ et $b$ ne sont pas donnés : on calcule $a = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ , puis $b = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - ax\big]$ . Si ces limites existent et sont finies (avec $a \neq 0$ ), la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique.

Figure 6 — Courbe de

f(x) = x + \dfrac{1}{x-1}

. L’écart vertical entre la courbe et la droite

y = x

vaut

\dfrac{1}{x-1}

: il tend vers

0

\pm\infty

(asymptote oblique) et son signe donne la position relative. La droite

x = 1

est asymptote verticale ; les points

(0\,;\,-1)

(2\,;\,3)

sont les extremums locaux.

Exemple — étude complète de

f(x) = \dfrac{x^{2} - x + 1}{x - 1}

(figure 6)

$f$ est définie sur $]-\infty\,;\,1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$ . Étape 1 : la forme $ax + b + \varphi(x)$ . Cherchons des réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 1}$ .

$ax + b + \dfrac{c}{x - 1} = \dfrac{(ax + b)(x - 1) + c}{x - 1}$
$=$ $\dfrac{ax^{2} + (b - a)x + (c - b)}{x - 1}$
$\Rightarrow$ $a = 1$ , $b - a = -1$ , $c - b = 1$ identification avec $x^{2} - x + 1$
$\Rightarrow$ $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 1$ : $f(x) = x + \dfrac{1}{x - 1}$

Étape 2 : l’asymptote oblique.

$f(x) - x = \dfrac{1}{x - 1}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x - 1} = 0$
$\Rightarrow$ la droite $\Delta : y = x$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$

Étape 3 : position relative. Le signe de $f(x) - x = \dfrac{1}{x - 1}$ est celui de $x - 1$ : pour $x > 1$ , $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ ; pour $x < 1$ , elle est en dessous. Étape 4 : l’asymptote verticale. $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$ (car $x \to 1$ et $\dfrac{1}{x - 1} \to \mp\infty$ ) : la droite $x = 1$ est asymptote verticale.

Exemple — retrouver

a

b

par les limites, pour

f(x) = \dfrac{2x^{2} + 3x}{x + 2}

$a = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^{2} + 3x}{x^{2} + 2x} = \dfrac{2}{1} = 2$ termes dominants
$f(x) - 2x = \dfrac{2x^{2} + 3x - 2x(x + 2)}{x + 2} = \dfrac{-x}{x + 2}$
$\Rightarrow$ $b = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{-x}{x + 2} = -1$
$f(x) - (2x - 1) = \dfrac{-x}{x + 2} + 1 = \dfrac{2}{x + 2} \to 0$ vérification
$\Rightarrow$ la droite $y = 2x - 1$ est asymptote oblique en $+\infty$ (et en $-\infty$ )

7.3 Bilan : les trois types d’asymptotes

Condition	Asymptote	Où la chercher
$\displaystyle\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty$	verticale $x = a$	aux valeurs interdites, bornes finies de $D_f$
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$	horizontale $y = \ell$	en $\pm\infty$ , quand la limite est finie
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$	oblique $y = ax + b$	en $\pm\infty$ , quand $f(x) \to \pm\infty$

Attention — trois idées fausses sur les asymptotes

« La courbe ne touche jamais son asymptote. » Faux pour les asymptotes horizontales et obliques : la courbe de $\dfrac{\sin x}{x}$ (figure 4) coupe l’axe des abscisses une infinité de fois. Ce qui compte, c’est que l’écart tende vers $0$ .
« Toute fonction qui tend vers l’infini a une asymptote oblique. » Faux : $x \mapsto x^{2}$ et $x \mapsto \sqrt{x}$ tendent vers $+\infty$ sans se rapprocher d’aucune droite (on parle de branches paraboliques).
« Si $f$ n’est pas définie en $a$ , la droite $x = a$ est asymptote. » Faux : il faut une limite infinie. Pour $\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}$ , la limite en $1$ vaut $2$ : il y a un trou, pas une asymptote.

Fiche mémo

Limites de référence : $x^{n} \to +\infty$ en $+\infty$ ; en $-\infty$ , $+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair ; $\dfrac{1}{x^{n}} \to 0$ en $\pm\infty$ ; $\dfrac{1}{x} \to \pm\infty$ en $0^{\pm}$ ; $\dfrac{1}{x^{2}} \to +\infty$ en $0$ .
Quatre formes indéterminées : « $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ », « $\dfrac{0}{0}$ ». Toujours nommer la forme avant de la lever.
En $\pm\infty$ , polynôme = terme de plus haut degré ; fonction rationnelle = quotient des termes de plus haut degré.
Racines : quantité conjuguée $\left(\sqrt{A} - \sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A} + \sqrt{B}\right) = A - B$ . « $\dfrac{0}{0}$ » en $a$ : factoriser par $(x - a)$ et simplifier.
Quotient $\dfrac{\ell}{0}$ : préciser $0^{+}$ ou $0^{-}$ par un tableau de signes, conclure $\pm\infty$ avec la règle des signes.
Composée : si $u(x) \to b$ en $a$ et $g(X) \to c$ en $b$ , alors $g(u(x)) \to c$ en $a$ . Poser $X = u(x)$ .
Comparaison : $f \geqslant u$ et $u \to +\infty$ donnent $f \to +\infty$ . Gendarmes : $u \leqslant f \leqslant v$ et $u, v \to \ell$ donnent $f \to \ell$ .
Continuité en $a$ : $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Polynômes, rationnelles, racine, sinus, cosinus, fonctions dérivables : continues sur leur domaine. La partie entière ne l’est pas.
Prolongement par continuité en $a$ : possible si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ fini ; on pose $g(a) = \ell$ .
TVI : $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ , $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ ⇒ $f(x) = k$ a au moins une solution. Bijection : si de plus $f$ est strictement monotone ⇒ solution unique.
Rédaction bac : continuité + stricte monotonie + $k$ entre les valeurs (ou limites) aux bornes, puis encadrement de $\alpha$ par balayage.
Asymptotes : verticale $x = a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^{\pm}} f = \pm\infty$ ; horizontale $y = \ell$ si $\displaystyle\lim_{\pm\infty} f = \ell$ ; oblique $y = ax + b$ si $\displaystyle\lim_{\pm\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$ .
Position relative : signe de $f(x) - (ax + b)$ ; positif ⇒ courbe au-dessus, négatif ⇒ en dessous. La courbe peut couper son asymptote.

8Exercices corrigés

Les exercices sont classés en quatre niveaux. Cherche-les vraiment avant d’ouvrir le corrigé : c’est en butant sur une forme indéterminée qu’on apprend à la lever.

Niveau 1 — Application directe

Détermine les limites suivantes : (a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{3}$ ; (b) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{4}$ ; (c) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-3x^{2} + x + 10\right)$ ; (d) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^{5} - 4x^{2} + 7\right)$ ; (e) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(5 - \dfrac{1}{x^{2}}\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

(a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{3} = +\infty$ limite de référence
(b) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{4} = +\infty$ exposant pair
(c) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-3x^{2} + x + 10\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(-3x^{2}\right)$ terme de plus haut degré
$=$ $-\infty$ $(-3) \times (+\infty)$
(d) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^{5} - 4x^{2} + 7\right) = \lim_{x \to -\infty} x^{5} = -\infty$ exposant impair
(e) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^{2}} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(5 - \dfrac{1}{x^{2}}\right) = 5$ somme de limites

Détermine : (a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2} - 1}{x^{2} + 5}$ ; (b) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x + 1}{x^{2} + 3}$ ; (c) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3} + 1}{x + 2}$ ; (d) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^{3} + 1}{x + 2}$ .

Voir le corrigé détaillé

Toutes ces limites sont des formes « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » en l’infini : on applique le théorème du quotient des termes dominants.

(a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2} - 1}{x^{2} + 5} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}}{x^{2}} = 3$
(b) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x + 1}{x^{2} + 3} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x}{x^{2}} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{2}{x} = 0$
(c) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3} + 1}{x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{x} = \lim_{x \to +\infty} x^{2} = +\infty$
(d) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^{3} + 1}{x + 2} = \lim_{x \to -\infty} x^{2} = +\infty$ même simplification, et $x^{2} \to +\infty$ en $-\infty$

Soit $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ . Détermine son ensemble de définition, ses limites aux bornes de cet ensemble, puis les asymptotes de sa courbe.

Voir le corrigé détaillé

$f$ est définie pour $x + 1 \neq 0$ , donc $D_f = \,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]-1\,;\,+\infty[$ . Il y a quatre bornes à étudier.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{x} = 2$ et de même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ termes dominants
$\Rightarrow$ la droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -1} (2x - 1) = -3 < 0$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} (x + 1) = 0^{-}$ donc $\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = +\infty$ $\dfrac{-3}{0^{-}}$ , règle des signes
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} (x + 1) = 0^{+}$ donc $\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} f(x) = -\infty$
$\Rightarrow$ la droite $x = -1$ est asymptote verticale

Détermine, en précisant la composition utilisée : (a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^{2} + x}$ ; (b) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{9x + 1}{x + 4}}$ ; (c) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(2 + \dfrac{1}{x}\right)^{3}$ ; (d) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Voir le corrigé détaillé

(a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(4x^{2} + x\right) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \sqrt{X} = +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^{2} + x} = +\infty$ composition
(b) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{9x + 1}{x + 4} = \dfrac{9}{1} = 9$ et $\displaystyle\lim_{X \to 9} \sqrt{X} = 3$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{9x + 1}{x + 4}} = 3$
(c) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(2 + \dfrac{1}{x}\right) = 2$ et $\displaystyle\lim_{X \to 2} X^{3} = 8$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(2 + \dfrac{1}{x}\right)^{3} = 8$
(d) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} + 1} = +\infty$ composition : $x^{2} + 1 \to +\infty$ puis $\sqrt{X} \to +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$ quotient $\dfrac{1}{+\infty}$

Lève les formes indéterminées : (a) $\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{x^{2} - 25}{x - 5}$ ; (b) $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} + x - 6}{x - 2}$ ; (c) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(x + 3)^{2} - 9}{x}$ .

Voir le corrigé détaillé

Dans les trois cas, numérateur et dénominateur s’annulent au point considéré : forme « $\dfrac{0}{0}$ », on factorise.

(a) $\dfrac{x^{2} - 25}{x - 5} = \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$ pour $x \neq 5$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 5} \dfrac{x^{2} - 25}{x - 5} = 10$
(b) $x^{2} + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ $2$ est racine ; on vérifie en développant
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5$
(c) $(x + 3)^{2} - 9 = x^{2} + 6x = x(x + 6)$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(x + 3)^{2} - 9}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 6) = 6$

On définit sur $\mathbb{R}$ les fonctions $f$ et $g$ par : $f(x) = x^{2} + 1$ si $x < 2$ et $f(x) = 6x - 7$ si $x \geqslant 2$ ; $g(x) = x^{2} + 1$ si $x < 2$ et $g(x) = 3x - 2$ si $x \geqslant 2$ . Étudie la continuité de $f$ et de $g$ en $2$ .

Voir le corrigé détaillé

Sur $]-\infty\,;\,2[$ et sur $]2\,;\,+\infty[$ , les deux fonctions sont polynomiales, donc continues. Tout se joue en $2$ , où l’on compare la limite à gauche, la limite à droite et la valeur.

$\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} \left(x^{2} + 1\right) = 5$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (6x - 7) = 5 = f(2)$
$\Rightarrow$ $f$ est continue en $2$ , donc sur $\mathbb{R}$ les deux limites coïncident avec $f(2)$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = 5$ mais $g(2) = 3 \times 2 - 2 = 4$
$\Rightarrow$ $g$ n’est pas continue en $2$ sa courbe fait un « saut » de $5$ à $4$

Niveau 2 — Approfondissement

Détermine à l’aide d’une quantité conjuguée : (a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2} + x} - x\right)$ ; (b) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ .

Voir le corrigé détaillé

(a) Forme « $+\infty - \infty$ ». Pour $x > 0$ :

$\sqrt{x^{2} + x} - x = \dfrac{\left(x^{2} + x\right) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$ multiplication par la quantité conjuguée
$=$ $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$ forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » : on factorise par $x$
$=$ $\dfrac{x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + x}$ $\sqrt{x^{2} + x} = \sqrt{x^{2}}\sqrt{1 + \frac{1}{x}} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ car $x > 0$
$=$ $\dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2} + x} - x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{x} \to 0$ puis composition avec la racine

(b) Forme « $\dfrac{0}{0}$ ». Pour $x \neq 0$ , $x \geqslant -9$ :

$\dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} = \dfrac{(x + 9) - 9}{x\left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$
$=$ $\dfrac{1}{\sqrt{x + 9} + 3}$ simplification par $x$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$

(a) Soit $f(x) = \dfrac{2x + \cos x}{x}$ pour $x > 0$ . Montre que $\dfrac{2x - 1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{2x + 1}{x}$ , puis détermine $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ . (b) Détermine $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(3x + \sin x\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

(a) Encadrement puis gendarmes.

$-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$
$\Rightarrow$ $2x - 1 \leqslant 2x + \cos x \leqslant 2x + 1$ on ajoute $2x$
$\Rightarrow$ $\dfrac{2x - 1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{2x + 1}{x}$ division par $x > 0$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \dfrac{1}{x}\right) = 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x} = 2$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ théorème des gendarmes

(b) Majoration puis théorème de comparaison.

$\sin x \leqslant 1$ donc $3x + \sin x \leqslant 3x + 1$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (3x + 1) = -\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(3x + \sin x\right) = -\infty$ théorème de comparaison (majoration par une fonction de limite $-\infty$ )

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x^{3} - 8}{x - 2}$ . Montre que $f$ admet un prolongement par continuité en $2$ et définis-le.

Voir le corrigé détaillé

En $2$ , numérateur et dénominateur sont nuls : forme « $\dfrac{0}{0}$ ». On factorise $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ grâce à l’identité $a^{3} - b^{3} = (a - b)\left(a^{2} + ab + b^{2}\right)$ .

$x^{3} - 8 = (x - 2)\left(x^{2} + 2x + 4\right)$ on vérifie : $(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = x^{3} + 2x^{2} + 4x - 2x^{2} - 4x - 8 = x^{3} - 8$
$\Rightarrow$ $f(x) = x^{2} + 2x + 4$ pour $x \neq 2$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 4 + 4 + 4 = 12$ limite finie : le prolongement existe

Le prolongement par continuité de $f$ en $2$ est la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x)$ si $x \neq 2$ et $g(2) = 12$ , c’est-à-dire tout simplement $g(x) = x^{2} + 2x + 4$ pour tout réel $x$ : la courbe de $f$ est une parabole privée du point $(2\,;\,12)$ , et $g$ rebouche ce trou.

Soit $f(x) = \dfrac{x^{2} + 3x - 1}{x + 1}$ , définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .

Détermine trois réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x + 1}$ .
Détermine les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition et les asymptotes de $\mathcal{C}_f$ .
Étudie la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de son asymptote oblique.

Voir le corrigé détaillé

1. Identification.

$ax + b + \dfrac{c}{x + 1} = \dfrac{(ax + b)(x + 1) + c}{x + 1} = \dfrac{ax^{2} + (a + b)x + (b + c)}{x + 1}$
$\Rightarrow$ $a = 1$ , $a + b = 3$ , $b + c = -1$ identification avec $x^{2} + 3x - 1$
$\Rightarrow$ $a = 1$ , $b = 2$ , $c = -3$ : $f(x) = x + 2 - \dfrac{3}{x + 1}$

2. Limites et asymptotes.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ $x + 2 \to \pm\infty$ et $\dfrac{3}{x + 1} \to 0$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} \left(-\dfrac{3}{x + 1}\right) = +\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = +\infty$ $x + 1 \to 0^{-}$ et $\dfrac{-3}{0^{-}} = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} f(x) = -\infty$ $\dfrac{-3}{0^{+}} = -\infty$
$\Rightarrow$ la droite $x = -1$ est asymptote verticale
$f(x) - (x + 2) = -\dfrac{3}{x + 1} \to 0$ en $\pm\infty$
$\Rightarrow$ la droite $\Delta : y = x + 2$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$

3. Le signe de $f(x) - (x + 2) = -\dfrac{3}{x + 1}$ est l’opposé de celui de $x + 1$ : pour $x > -1$ , il est négatif et $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\Delta$ ; pour $x < -1$ , il est positif et $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ .

Niveau 3 — Type bac

Restitution organisée de connaissances.

Soient $f$ et $u$ deux fonctions définies sur $[A\,;\,+\infty[$ telles que $f(x) \geqslant u(x)$ pour tout $x \geqslant A$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x) = +\infty$ . Démontre que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .
Application : détermine $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x + 3\sin x\right)$ .
Peut-on en déduire $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + 3\sin x}{x}$ ? Détermine cette limite.

Voir le corrigé détaillé

1. Soit $M$ un réel quelconque. Montrons que $f(x) > M$ pour tout $x$ assez grand.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x) = +\infty$
$\Rightarrow$ il existe un réel $B$ tel que $u(x) > M$ pour tout $x > B$ définition : l’intervalle $]M\,;\,+\infty[$ contient $u(x)$ pour $x$ assez grand
pour $x > \max(A\,;\,B)$ : $f(x) \geqslant u(x) > M$
$\Rightarrow$ tout intervalle $]M\,;\,+\infty[$ contient $f(x)$ pour $x$ assez grand, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

2. Application.

$\sin x \geqslant -1$ donc $x + 3\sin x \geqslant x - 3$ pour tout réel $x$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - 3) = +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x + 3\sin x\right) = +\infty$ d’après la question 1

3. Non : le quotient de deux fonctions tendant vers $+\infty$ est une forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On revient à un encadrement. Pour $x > 0$ :

$\dfrac{x + 3\sin x}{x} = 1 + \dfrac{3\sin x}{x}$
$-\dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{3\sin x}{x} \leqslant \dfrac{3}{x}$ $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ , division par $x > 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3\sin x}{x} = 0$ gendarmes : $\pm\dfrac{3}{x} \to 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + 3\sin x}{x} = 1$

Étude complète d’une fonction rationnelle. Soit $g(x) = \dfrac{x^{2} + 2x + 4}{x + 1}$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe dans un repère orthonormé.

Détermine l’ensemble de définition $D_g$ et les limites de $g$ aux bornes de $D_g$ .
Montre que, pour tout $x \in D_g$ , $g(x) = x + 1 + \dfrac{3}{x + 1}$ . En déduire que $\mathcal{C}_g$ admet deux asymptotes dont on donnera les équations.
Étudie la position relative de $\mathcal{C}_g$ et de son asymptote oblique $\Delta$ .
Calcule $g'(x)$ , étudie son signe et dresse le tableau de variations de $g$ .
Trace $\Delta$ , l’autre asymptote et $\mathcal{C}_g$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $D_g = \,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]-1\,;\,+\infty[$ .

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2}}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ termes dominants
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} x = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -1} \left(x^{2} + 2x + 4\right) = 1 - 2 + 4 = 3 > 0$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} (x + 1) = 0^{-}$ donc $\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} g(x) = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} (x + 1) = 0^{+}$ donc $\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} g(x) = +\infty$

2. On réduit au même dénominateur.

$x + 1 + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{(x + 1)^{2} + 3}{x + 1}$
$=$ $\dfrac{x^{2} + 2x + 1 + 3}{x + 1}$
$=$ $\dfrac{x^{2} + 2x + 4}{x + 1} = g(x)$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^{\pm}} g(x) = \pm\infty$ question 1
$\Rightarrow$ la droite $x = -1$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_g$
$g(x) - (x + 1) = \dfrac{3}{x + 1}$ et $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3}{x + 1} = 0$
$\Rightarrow$ la droite $\Delta : y = x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_g$ en $-\infty$ et en $+\infty$

3. $g(x) - (x + 1) = \dfrac{3}{x + 1}$ est du signe de $x + 1$ . Sur $]-1\,;\,+\infty[$ , $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\Delta$ ; sur $]-\infty\,;\,-1[$ , elle est en dessous.

4. $g$ est dérivable sur $D_g$ comme somme de fonctions dérivables, avec $\left(\dfrac{3}{x + 1}\right)' = -\dfrac{3}{(x + 1)^{2}}$ .

$g'(x) = 1 - \dfrac{3}{(x + 1)^{2}}$
$=$ $\dfrac{(x + 1)^{2} - 3}{(x + 1)^{2}}$
$=$ $\dfrac{\left(x + 1 - \sqrt{3}\right)\left(x + 1 + \sqrt{3}\right)}{(x + 1)^{2}}$ $a^{2} - b^{2}$ avec $b = \sqrt{3}$
le dénominateur est strictement positif sur $D_g$ : $g'(x)$ a le signe du trinôme $(x + 1)^{2} - 3$
$\Rightarrow$ $g'(x) \geqslant 0$ si et seulement si $x \leqslant -1 - \sqrt{3}$ ou $x \geqslant -1 + \sqrt{3}$ trinôme positif à l’extérieur des racines
$g\left(-1 - \sqrt{3}\right) = -\sqrt{3} + \dfrac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$ $\dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$g\left(-1 + \sqrt{3}\right) = \sqrt{3} + \dfrac{3}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

$x$	$-\infty$		$-1 - \sqrt{3}$		$-1$		$-1 + \sqrt{3}$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$	∥	$-$	$0$	$+$
$g$	$-\infty$	↗	$-2\sqrt{3}$	↘	$-\infty$ ∥ $+\infty$	↘	$2\sqrt{3}$	↗	$+\infty$

5. La figure 7 rassemble tout : les deux asymptotes en pointillés, les deux extremums locaux $\left(-1 - \sqrt{3}\,;\,-2\sqrt{3}\right) \approx (-2{,}73\,;\,-3{,}46)$ et $\left(-1 + \sqrt{3}\,;\,2\sqrt{3}\right) \approx (0{,}73\,;\,3{,}46)$ , et la position de la courbe par rapport à $\Delta$ , conforme à la question 3.

Figure 7 — Courbe de

g(x) = \dfrac{x^{2} + 2x + 4}{x + 1}

avec ses deux asymptotes :

x = -1

(verticale) et

y = x + 1

(oblique). Les points

\left(-1-\sqrt{3}\,;\,-2\sqrt{3}\right)

\left(-1+\sqrt{3}\,;\,2\sqrt{3}\right)

sont les extremums locaux lus dans le tableau de variations.

Existence et encadrement d’une solution. Soit $f(x) = x^{3} + 3x - 7$ .

Justifie que $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Détermine les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ .
Démontre que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ , et que $1 < \alpha < 2$ .
Donne un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ .
Déduis-en le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ . Les fonctions $x \mapsto x^{3}$ et $x \mapsto 3x$ sont strictement croissantes sur $\mathbb{R}$ ; leur somme, diminuée de la constante $7$ , l’est aussi. (On peut aussi calculer $f'(x) = 3x^{2} + 3 > 0$ .)

2. Terme dominant : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

3. Théorème de la bijection.

$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec $\displaystyle\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} f = +\infty$
$\Rightarrow$ $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ comme $0 \in \mathbb{R}$ , l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$
$f(1) = 1 + 3 - 7 = -3 < 0$ et $f(2) = 8 + 6 - 7 = 7 > 0$
$\Rightarrow$ $1 < \alpha < 2$ $f(1) < f(\alpha) = 0 < f(2)$ et $f$ strictement croissante

4. Balayage au dixième puis au centième.

$x$	$1{,}3$	$1{,}4$	$1{,}5$	$1{,}40$	$1{,}41$
$f(x)$ (arrondi)	$-0{,}903$	$-0{,}056$	$0{,}875$	$-0{,}056$	$0{,}033$

$f(1{,}4) < 0 < f(1{,}5)$ donc $1{,}4 < \alpha < 1{,}5$
$f(1{,}40) \approx -0{,}056 < 0$ et $f(1{,}41) = 1{,}41^{3} + 4{,}23 - 7 \approx 0{,}033 > 0$
$\Rightarrow$ $1{,}40 < \alpha < 1{,}41$

5. Comme $f$ est strictement croissante et s’annule uniquement en $\alpha$ : $f(x) < 0$ pour $x < \alpha$ , $f(\alpha) = 0$ , et $f(x) > 0$ pour $x > \alpha$ . C’est ce type de résultat qui sert ensuite à étudier le signe d’une dérivée dans les problèmes de bac.

Vrai ou faux ? Pour chaque affirmation, réponds en justifiant (une démonstration si c’est vrai, un contre-exemple si c’est faux).

Si $f$ n’est pas définie en $a$ , alors $f$ n’a pas de limite en $a$ .
Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ .
Si $f$ est continue sur $[0\,;\,1]$ avec $f(0) = -2$ et $f(1) = 3$ , alors l’équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $]0\,;\,1[$ .
Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$ , alors l’équation $f(x) = 0$ a exactement une solution dans $]a\,;\,b[$ .
Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - (2x + 1)\big] = 0$ , alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 2$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Faux. $f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}$ n’est pas définie en $1$ , mais $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 1$ , donc $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ . C’est même toute l’idée du prolongement par continuité.

2. Faux. C’est une forme indéterminée. Avec $f(x) = x^{2}$ et $g(x) = x$ : $\dfrac{f(x)}{g(x)} = x \to +\infty \neq 1$ .

3. Vrai. $f$ est continue sur $[0\,;\,1]$ et $0$ est compris entre $f(0) = -2$ et $f(1) = 3$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [0\,;\,1]$ tel que $f(c) = 0$ , et $c \neq 0$ , $c \neq 1$ car $f(0) \neq 0$ et $f(1) \neq 0$ .

4. Faux. L’existence est garantie, pas l’unicité : il manque la stricte monotonie. Contre-exemple : $f(x) = x^{3} - 3x + 1$ sur $[-2\,;\,2]$ .

$f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$ et $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0$
$f(-2) \times f(2) < 0$ , mais $f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = -1 < 0$
$\Rightarrow$ $f$ s’annule sur $]-2\,;\,0[$ , sur $]0\,;\,1[$ et sur $]1\,;\,2[$ : au moins trois solutionsTVI sur chacun des trois intervalles ; voir la figure 5

5. Vrai. Posons $\varphi(x) = f(x) - (2x + 1)$ , qui tend vers $0$ . Pour $x > 0$ :

$\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{2x + 1 + \varphi(x)}{x} = 2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\varphi(x)}{x}$
$\dfrac{1}{x} \to 0$ et $\dfrac{\varphi(x)}{x} \to 0$ produit d’une fonction de limite $0$ par une fonction de limite $0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 2$

C’est le coefficient directeur de l’asymptote oblique : la réciproque, en revanche, est fausse ( $f(x) = 2x + \sqrt{x}$ vérifie $\dfrac{f(x)}{x} \to 2$ sans avoir d’asymptote).

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La perfusion d’Awa (Ndjamena). Awa, infirmière à l’hôpital de la Renaissance, pose une perfusion à un patient. La concentration du médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée en fonction du temps $t$ (en heures) par $C(t) = \dfrac{8t}{t + 4}$ pour $t \geqslant 0$ .

Calcule $C(0)$ et montre que $C(t) = 8 - \dfrac{32}{t + 4}$ . En déduire le sens de variation de $C$ sur $[0\,;\,+\infty[$ .
Détermine $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} C(t)$ . Interprète ce résultat pour le patient, et graphiquement.
Le médicament est efficace dès que la concentration atteint $6$ mg/L. Montre qu’il existe un unique instant $t_{0}$ où $C(t_{0}) = 6$ , puis calcule-le.
La concentration peut-elle atteindre $8$ mg/L ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. $C(0) = 0$ : au départ, le sang ne contient pas de médicament.

$8 - \dfrac{32}{t + 4} = \dfrac{8(t + 4) - 32}{t + 4}$
$=$ $\dfrac{8t + 32 - 32}{t + 4} = \dfrac{8t}{t + 4} = C(t)$
$t \mapsto t + 4$ est strictement croissante et strictement positive sur $[0\,;\,+\infty[$
$\Rightarrow$ $t \mapsto \dfrac{32}{t + 4}$ est strictement décroissante, donc $t \mapsto -\dfrac{32}{t + 4}$ strictement croissante
$\Rightarrow$ $C$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ on ajoute la constante $8$

2. Limite et interprétation.

$\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \dfrac{32}{t + 4} = 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} C(t) = 8$

La concentration se stabilise autour de $8$ mg/L : c’est le plateau de la perfusion, l’apport compensant l’élimination. Graphiquement, la droite $y = 8$ est asymptote horizontale à la courbe de $C$ .

3. $C$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$ (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas), strictement croissante, avec $C(0) = 0$ et $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} C(t) = 8$ . Comme $6 \in [0\,;\,8[$ , le théorème de la bijection assure l’existence d’un unique $t_{0}$ tel que $C(t_{0}) = 6$ .

$8 - \dfrac{32}{t + 4} = 6$
$\iff$ $\dfrac{32}{t + 4} = 2$
$\iff$ $t + 4 = 16$
$\iff$ $t = 12$

Le médicament devient efficace au bout de 12 heures.

4. Pour tout $t \geqslant 0$ , $\dfrac{32}{t + 4} > 0$ , donc $C(t) = 8 - \dfrac{32}{t + 4} < 8$ . La concentration n’atteint jamais $8$ mg/L : elle s’en approche indéfiniment sans y parvenir, ce qui est exactement le sens d’une asymptote.

L’atelier de Moussa (Douala). Moussa fabrique des tables dans son atelier de menuiserie du quartier Bonabéri. Pour une commande de $q$ tables ( $q \geqslant 1$ ), le coût total de production, en milliers de F CFA, est $C(q) = 40q + 360$ (les $360$ milliers correspondent aux frais fixes : loyer, machines). Le coût moyen par table est $M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ .

Montre que $M(q) = 40 + \dfrac{360}{q}$ et calcule le coût moyen pour $10$ tables.
Détermine le sens de variation de $M$ et $\displaystyle\lim_{q \to +\infty} M(q)$ . Que signifie cette limite pour Moussa ?
Un client accepte de payer $50\,000$ F CFA la table. À partir de combien de tables la commande est-elle rentable ?
Moussa peut-il, en produisant énormément, faire descendre son coût moyen à $38\,000$ F CFA ?

Voir le corrigé détaillé

1. Coût moyen.

$M(q) = \dfrac{40q + 360}{q} = \dfrac{40q}{q} + \dfrac{360}{q}$
$=$ $40 + \dfrac{360}{q}$
$M(10) = 40 + 36 = 76$ soit $76\,000$ F CFA par table

2. Sur $[1\,;\,+\infty[$ , $q \mapsto \dfrac{360}{q}$ est strictement décroissante, donc $M$ aussi : plus la commande est grosse, plus le coût par table baisse, car les frais fixes se répartissent sur davantage de tables.

$\displaystyle\lim_{q \to +\infty} \dfrac{360}{q} = 0$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{q \to +\infty} M(q) = 40$

Le coût moyen se rapproche de $40\,000$ F CFA, le coût de fabrication d’une table hors frais fixes : la droite $y = 40$ est asymptote horizontale à la courbe de $M$ . C’est ce que les économistes appellent les économies d’échelle.

3. La commande est rentable dès que le coût moyen ne dépasse pas $50$ milliers de F CFA.

$M(q) \leqslant 50$
$\iff$ $\dfrac{360}{q} \leqslant 10$
$\iff$ $360 \leqslant 10q$ multiplication par $q > 0$
$\iff$ $q \geqslant 36$

La commande est rentable à partir de 36 tables (pour $36$ tables, le coût moyen vaut exactement $50\,000$ F CFA).

4. Non : pour tout $q \geqslant 1$ , $\dfrac{360}{q} > 0$ , donc $M(q) > 40$ . Le coût moyen ne descend jamais sous $40\,000$ F CFA ; $38\,000$ F CFA est inaccessible, quelle que soit la taille de la commande.

Le trajet d’Aïcha (Bamako – Ségou). Aïcha doit parcourir les $240$ km qui séparent Bamako de Ségou. En roulant à la vitesse moyenne $v$ (en km/h), et en comptant $30$ minutes d’arrêts incompressibles (péage, pause), la durée totale du trajet en heures est $T(v) = \dfrac{240}{v} + 0{,}5$ , pour $v \in \,]0\,;\,130]$ .

Détermine $\displaystyle\lim_{v \to 0^{+}} T(v)$ et interprète ce résultat.
Si la limitation de vitesse n’existait pas, que vaudrait $\displaystyle\lim_{v \to +\infty} T(v)$ ? Interprète.
Justifie que $T$ est strictement décroissante sur $]0\,;\,130]$ , puis montre qu’il existe une unique vitesse $v_{0}$ pour laquelle le trajet dure exactement $4$ h $30$ min. Calcule $v_{0}$ .
Aïcha roule finalement à $80$ km/h de moyenne. Combien de temps dure son trajet ?

Voir le corrigé détaillé

1. Limite en $0^{+}$ .

$\displaystyle\lim_{v \to 0^{+}} \dfrac{240}{v} = +\infty$ $\dfrac{240}{0^{+}}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{v \to 0^{+}} T(v) = +\infty$

Plus la vitesse moyenne est faible (embouteillages à la sortie de Bamako, route dégradée), plus le trajet s’allonge, sans aucune limite : l’axe des ordonnées ( $v = 0$ ) est asymptote verticale à la courbe de $T$ .

2. $\displaystyle\lim_{v \to +\infty} \dfrac{240}{v} = 0$ , donc $\displaystyle\lim_{v \to +\infty} T(v) = 0{,}5$ . Même à une vitesse gigantesque, le trajet ne descendrait jamais sous $30$ minutes à cause des arrêts : la droite $y = 0{,}5$ est asymptote horizontale.

3. $v \mapsto \dfrac{240}{v}$ est strictement décroissante sur $]0\,;\,130]$ , donc $T$ aussi. De plus $T$ est continue sur cet intervalle (fonction rationnelle sans valeur interdite sur $]0\,;\,130]$ ).

$T(130) = \dfrac{240}{130} + 0{,}5 \approx 2{,}35$ et $\displaystyle\lim_{v \to 0^{+}} T(v) = +\infty$
$\Rightarrow$ $T$ réalise une bijection de $]0\,;\,130]$ sur $[T(130)\,;\,+\infty[$
$\Rightarrow$ comme $4{,}5 \in [2{,}35\,;\,+\infty[$ , il existe une unique vitesse $v_{0}$ telle que $T(v_{0}) = 4{,}5$
$\dfrac{240}{v_{0}} + 0{,}5 = 4{,}5$
$\iff$ $\dfrac{240}{v_{0}} = 4$
$\iff$ $v_{0} = 60$ km/h

4. À $80$ km/h :

$T(80) = \dfrac{240}{80} + 0{,}5$
$=$ $3 + 0{,}5 = 3{,}5$ h

Le trajet dure 3 h 30 min. Remarque : passer de $60$ à $80$ km/h fait gagner une heure, mais passer de $80$ à $100$ km/h n’en ferait gagner que $36$ minutes : c’est la décroissance de plus en plus lente de $T$ vers son asymptote.

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Dire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (avec $\ell$ réel) signifie que :

f(x) = \ell

pour

x

assez grand

f

est croissante et majorée par

\ell

tout intervalle ouvert contenant

\ell

contient toutes les valeurs

f(x)

pour

x

assez grand

f(x) \geqslant \ell

pour tout

x

Explication : C'est la définition de la limite finie en

+\infty

: aussi étroit que soit l'intervalle autour de

\ell

, les valeurs

f(x)

finissent par y rester, pour

x

suffisamment grand.

Quelle est la limite en $+\infty$ de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ?

1

0

+\infty

elle n'existe pas

Explication : C'est une limite de référence :

\dfrac{1}{x^{n}} \to 0

quand

x \to +\infty

, pour tout

n \geqslant 1

Quelle est la limite en $-\infty$ de $f(x) = x^{4}$ ?

+\infty

-\infty

0

la limite n'existe pas

Explication : L'exposant

4

est pair, donc

x^{4} = (x^{2})^{2} \geqslant 0

: quand

x \to -\infty

x^{4} \to +\infty

, comme en

+\infty

La limite à gauche de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $0$ est :

+\infty

0

elle n'existe pas

-\infty

Explication : Pour

x \to 0^{-}

x

est négatif et tend vers

0

, donc

\dfrac{1}{x}

devient négatif et tend en valeur absolue vers l'infini :

\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty

Une fonction $f$ admet une limite en un réel $a$ qui n'est pas dans $D_f$ , lorsque ses limites à gauche et à droite existent et :

sont toutes deux finies sont égales sont toutes deux infinies valent

f(a)

Explication : C'est la propriété de recollement :

f

a une limite en

a

si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et coïncident ; cette valeur commune est alors la limite en

a

$\displaystyle\lim_{x \to 3} (x^{2} - 5x + 2)$ vaut :

-4

4

0

+\infty

Explication : Fonction polynôme, continue en

3

3^{2} - 5\times 3 + 2 = 9 - 15 + 2

= -4

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (3x^{3} - 100x^{2} + 1)$ vaut :

+\infty

1

-\infty

on ne peut pas conclure (forme indéterminée)

Explication : En l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré :

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} 3x^{3} = 3 \times (-\infty) = -\infty

.
Le

-100x^2

ne change rien à ce comportement dominant.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^{2} + 3x}{5x^{2} - 1}$ vaut :

0

\dfrac{2}{5}

+\infty

3

Explication : Forme

\dfrac{\infty}{\infty}

: on garde les termes de plus haut degré.

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^{2}}{5x^{2}} = \dfrac{2}{5}

Quelle est la forme indéterminée obtenue en calculant $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\right)$ directement ?

\dfrac{0}{0}

0 \times \infty

\dfrac{\infty}{\infty}

+\infty - \infty

Explication :

\sqrt{x+1} \to +\infty

\sqrt{x} \to +\infty

: leur différence est une forme «

+\infty - \infty

», qu'on lève avec la quantité conjuguée.

Pour lever la forme « $\dfrac{0}{0}$ » de $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}$ , on :

applique directement le théorème des gendarmes remplace

x

par sa limite dans chaque terme séparément factorise le numérateur par

(x-2)

puis simplifie multiplie par la quantité conjuguée

Explication : Numérateur et dénominateur s'annulent en

2

: ils sont donc tous deux factorisables par

(x-2)

x^2-4=(x-2)(x+2)

, donc

\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2 \to 4

On pose $X = u(x)$ et on utilise le théorème de composition pour calculer $\displaystyle\lim_{x \to a} g(u(x))$ . Il faut alors calculer la limite de $g$ :

b

, où

b = \displaystyle\lim_{x \to a} u(x)

a

0

, toujours en

+\infty

, toujours

Explication : Le théorème de composition dit : si

u(x) \to b

quand

x \to a

, puis

g(X) \to c

quand

X \to b

, alors

g(u(x)) \to c

quand

x \to a

. La limite de

g

se prend bien au point

b

, pas à

a

Pour tout réel $x$ , on a $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ , donc $-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$ pour $x>0$ . Par le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ vaut :

1

-1

n'existe pas

0

Explication : Les deux « gendarmes »

-\dfrac{1}{x}

\dfrac{1}{x}

tendent tous deux vers

0

+\infty

, donc

\dfrac{\sin x}{x}

est coincée et tend aussi vers

0

La fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ pour $x \neq 0$ et $g(0) = 1$ est le prolongement par continuité de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ en $0$ , car :

f(0)

existe déjà et vaut

1

\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1

, une limite finie qu'on choisit comme valeur en

0

f

est continue sur

\mathbb{R}^{*}

\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty

Explication :

f

n'est pas définie en

0

, mais admet une limite finie

1

0

(résultat de référence) : on prolonge en posant

g(0)=1

, ce qui rend

g

continue en

0

La fonction partie entière $\mathrm{E}$ est :

continue sur

\mathbb{R}

discontinue partout continue sur chaque

[n\,;\,n+1[

, mais discontinue en tout entier

n

continue seulement en

0

Explication : En un entier

n

, la limite à gauche vaut

n-1

alors que

\mathrm{E}(n) = n

: les deux ne coïncident pas, donc

\mathrm{E}

est discontinue en

n

. Entre deux entiers, elle est constante donc continue.

Soit $f(x) = x^{3} + x - 5$ , continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , avec $f(1) = -3$ et $f(2) = 5$ . D'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = 0$ admet dans $[1\,;\,2]$ :

une unique solution exactement deux solutions aucune solution une infinité de solutions

Explication :

f

continue et strictement croissante sur

[1;2]

, et

0

est compris entre

f(1)=-3

f(2)=5

: le théorème de la bijection garantit existence et unicité de la solution.

Le théorème des valeurs intermédiaires « simple » (sans hypothèse de monotonie) garantit, pour $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ avec $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ :

l'unicité mais pas l'existence d'une solution à

f(x)=k

ni l'existence ni l'unicité l'existence et l'unicité de la solution l'existence d'au moins une solution à

f(x) = k

, sans garantir l'unicité

Explication : Le TVI seul assure qu'il existe au moins un

c

tel que

f(c)=k

; il peut y en avoir plusieurs si

f

n'est pas strictement monotone (l'exemple

x^3-3x+1=1

donne trois solutions).

On étudie $f(x) = \dfrac{x^{2}+1}{x-2}$ au voisinage de $2$ . Le numérateur tend vers $5>0$ et $x - 2 \to 0^{+}$ quand $x \to 2^{+}$ . On en déduit $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ égale à :

-\infty

+\infty

5

0

Explication : On divise «

5

» par un dénominateur qui tend vers

0^{+}

(positif et minuscule) : le quotient devient positif et immense, donc

\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty

Une équipe agricole modélise le rendement $R(t)$ (en tonnes/ha) d'une parcelle irriguée par $R(t) = 8 - \dfrac{6}{t+1}$ , où $t \geqslant 0$ est le nombre d'années après la mise en service du système. Quel est le rendement limite quand $t \to +\infty$ ?

0

6

8

le rendement diverge vers

+\infty

Explication :

\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \dfrac{6}{t+1} = 0

, donc

\displaystyle\lim_{t \to +\infty} R(t) = 8 - 0 = 8

: le rendement se stabilise à

8

t/ha, sans jamais l'atteindre (asymptote horizontale

y=8

Pour $f(x) = x + \dfrac{2}{x-1}$ , la droite $y = x$ est asymptote oblique en $+\infty$ car :

f

n'est pas définie en

x=1

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

f(x) = x

pour tout

x

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = 0

Explication : Par définition,

y=ax+b

est asymptote oblique quand

f(x)-(ax+b) \to 0

. Ici

f(x) - x = \dfrac{2}{x-1} \to 0

quand

x \to +\infty

, donc

y=x

est bien asymptote oblique.

Un opérateur de télécommunications observe qu'une équation liée à la couverture réseau, $f(x) = x^{3} - 6x + 2$ , est continue et vérifie $f(0) = 2 > 0$ et $f(1) = -3 < 0$ . Que peut-on affirmer d'après la propriété du TVI pour $k=0$ ?

f

ne s'annule jamais sur

[0\,;\,1]

l'équation

f(x) = 0

admet au moins une solution dans

]0\,;\,1[

f

est strictement croissante sur

[0\,;\,1]

f(x) = 0

a exactement deux solutions dans

[0\,;\,1]

Explication :

f

est continue sur

[0;1]

f(0)\times f(1) = 2\times(-3) <0

: les valeurs sont de signes contraires, donc l'équation

f(x)=0

admet au moins une solution dans

]0;1[

(l'unicité demanderait en plus la stricte monotonie).

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En bref

Classe : Classe de Terminale (séries scientifiques)
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 11 h
8 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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