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Calcul intégral

Définir l'intégrale, la calculer et l'interpréter géométriquement.

Mathématiques Terminale Chapitre 8 / 19 ⏱ 12 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
  • Utiliser l'intégration par parties
  • Calculer une aire entre deux courbes

Depuis la Première, tu sais dériver : passer d'une fonction à sa vitesse de variation instantanée. Ce chapitre te fait parcourir le chemin inverse et, avec lui, un problème vieux de plus de deux mille ans : celui de l'aire. Comment mesurer la surface délimitée par une courbe qui n'est ni un rectangle, ni un triangle, ni aucune figure « simple » ? La réponse tient en un mot — intégrer — et en un signe, ∫\displaystyle\int, que tu vas désormais manier aussi naturellement que le ′' de la dérivation.

Le calcul intégral n'est pas qu'un exercice d'école. Il permet de calculer la distance parcourue à partir d'une vitesse, le travail d'une force, la quantité d'électricité traversant un circuit, le volume d'un réservoir, le coût total à partir d'un coût marginal, la probabilité qu'une variable continue tombe dans un intervalle. Partout où une grandeur s'accumule progressivement, une intégrale travaille en coulisses.

Techniquement, tu verras que l'intégrale se calcule à l'aide d'une primitive : tout le travail que tu as fourni en Première sur les primitives usuelles va enfin porter ses fruits. Tu apprendras aussi une technique nouvelle et puissante, l'intégration par parties, qui permet d'intégrer des produits de fonctions là où aucune primitive évidente n'apparaît. Enfin, tu généraliseras le calcul d'aires à des situations plus riches : aire entre deux courbes, domaines où le signe change, volumes de solides de révolution, et encadrements par la méthode des rectangles.

Une exigence traverse tout le chapitre : la rigueur. Une intégrale est un nombre parfaitement défini, obtenu par un calcul en plusieurs étapes propres — jamais une estimation approximative. C'est cette rigueur, exigée au baccalauréat, que nous allons travailler ensemble.

1Intégrale et aire sous la courbe

1.1  Primitives : un rappel indispensable

Toute la théorie de l'intégrale repose sur la notion de primitive, étudiée en Première. Un bref rappel s'impose avant d'aller plus loin.

Définition

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II. On appelle primitive de ff sur II toute fonction FF dérivable sur II telle que, pour tout x∈Ix \in I :

F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)

Propriété (admise)

Si FF est une primitive de ff sur II, alors toutes les primitives de ff sur II sont les fonctions x↦F(x)+kx \mapsto F(x) + k, où kk est une constante réelle. Deux primitives d'une même fonction, sur un même intervalle, diffèrent donc toujours d'une constante.

Cette propriété va se révéler décisive dès le paragraphe suivant : elle garantit que l'intégrale que nous allons définir ne dépend pas de la primitive choisie pour la calculer.

1.2  Définition de l'intégrale d'une fonction continue

Définition

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, et aa, bb deux réels de II. Soit FF une primitive quelconque de ff sur II. On appelle intégrale de aa à bb de ff le nombre réel F(b)−F(a)F(b) - F(a). On le note :

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)

Les réels aa et bb sont les bornes de l'intégrale ; ff est la fonction intégrande.

Propriété — l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie

Si FF et GG sont deux primitives de ff sur II, alors F(b)−F(a)=G(b)−G(a)F(b) - F(a) = G(b) - G(a).

Démonstration

D'après la propriété du paragraphe 1.1, il existe une constante kk telle que G=F+kG = F + k sur II.

  1. G(b)−G(a)=(F(b)+k)−(F(a)+k)G(b) - G(a) = \big(F(b) + k\big) - \big(F(a) + k\big)
  2. ==F(b)−F(a)F(b) - F(a)les constantes kk s'éliminent

Le nombre F(b)−F(a)F(b)-F(a) est donc bien le même quelle que soit la primitive utilisée. C.Q.F.D.

La lettre xx qui apparaît sous le signe ∫\int est une variable muette : elle ne désigne rien à l'extérieur de l'intégrale et peut être renommée sans changer le résultat, ∫abf(x) dx=∫abf(t) dt\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(t)\,dt. Par convention, on pose aussi :

  1. ∫aaf(x) dx=0\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0
  2. ∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dxéchanger les bornes change le signe
Math & Co — Un signe né en 1675

Le symbole ∫\displaystyle\int que tu utilises à chaque ligne de ce chapitre a une origine précise : c'est Gottfried Wilhelm Leibniz qui l'introduit à Paris, dans un manuscrit daté du 29 octobre 1675. Il s'agit d'un « S » allongé, initiale du mot latin summa (somme) : pour Leibniz, l'intégrale est en effet une somme de quantités infinitésimales.

Au même moment, en Angleterre, Isaac Newton développe de son côté un calcul équivalent, qu'il appelle « méthode des fluxions ». La découverte quasi simultanée et indépendante du calcul infinitésimal par les deux savants donnera lieu à l'une des querelles de priorité les plus célèbres de l'histoire des sciences — mais c'est la notation ∫⋯ dx\int \cdots \,dx de Leibniz, plus souple, qui s'imposera dans le monde entier.

Méthode — calculer une intégrale à l'aide d'une primitive

Pour calculer ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx : on détermine une primitive FF de ff sur un intervalle contenant aa et bb (à l'aide des primitives usuelles), puis on calcule F(b)F(b), on calcule F(a)F(a), et on soustrait — sur des lignes séparées, jamais en une seule étape.

Exemple — deux calculs directs

Calculons ∫13(2x−1) dx\displaystyle\int_{1}^{3} (2x-1)\,dx.

  1. une primitive de x↦2x−1x \mapsto 2x-1 est F:x↦x2−xF : x \mapsto x^{2}-x
  2. ∫13(2x−1) dx=[x2−x]13\displaystyle\int_{1}^{3} (2x-1)\,dx = \Big[x^{2}-x\Big]_{1}^{3}
  3. ==(32−3)−(12−1)(3^{2}-3) - (1^{2}-1)
  4. ==6−06 - 0
  5. ==66

Calculons à présent ∫0π/2cos⁡x dx\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx.

  1. une primitive de cos⁡\cos est sin⁡\sin
  2. ∫0π/2cos⁡x dx=[sin⁡x]0π/2\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos x\,dx = \Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi/2}
  3. ==sin⁡ ⁣(π2)−sin⁡(0)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0)
  4. ==1−0=11 - 0 = 1

1.3  Interprétation graphique : une aire

Le repère (O ; ı⃗,ȷ⃗)(O~;~\vec{\imath},\vec{\jmath}) étant fixé, on appelle unité d'aire (notée u.a.) l'aire du rectangle construit sur les vecteurs ı⃗\vec{\imath} et ȷ⃗\vec{\jmath}.

Propriété

Soit ff une fonction continue et positive sur [a ; b][a~;~b] (avec a⩽ba \leqslant b). L'intégrale ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine D\mathcal{D} délimité par la courbe de ff, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=ax=a et x=bx=b :

D={M(x ; y)  ∣  a⩽x⩽b et 0⩽y⩽f(x)}\mathcal{D} = \Big\{ M(x~;~y) \; \big| \; a \leqslant x \leqslant b \text{ et } 0 \leqslant y \leqslant f(x) \Big\}

-112-112345670xyB(2 ; 4)y = x²Aire sous la parabole entre 0 et 2Aire grisée = ∫₀² x² dx = 8/3 u.a. ≈ 2,67 u.a.
Figure 1 — La fonction x↦x2x \mapsto x^{2} est continue et positive sur [0 ; 2][0~;~2] : l'aire grisée vaut exactement ∫02x2 dx\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
Exemple — l'aire sous une parabole

Calculons l'aire du domaine compris entre la courbe de f(x)=x2f(x) = x^{2}, l'axe des abscisses et les droites x=0x=0, x=2x=2 (Figure 1). La fonction ff est continue et positive sur [0 ; 2][0~;~2], donc cette aire vaut ∫02x2 dx\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.

  1. une primitive de x↦x2x \mapsto x^{2} est F:x↦x33F : x \mapsto \dfrac{x^{3}}{3}
  2. ∫02x2 dx=[x33]02\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}
  3. ==233−033\dfrac{2^{3}}{3} - \dfrac{0^{3}}{3}
  4. ==83−0\dfrac{8}{3} - 0
  5. ==83 u.a.≈2,67 u.a.\dfrac{8}{3}\ \text{u.a.} \approx 2{,}67\ \text{u.a.}
Attention

La propriété ci-dessus exige que ff soit positive sur [a ; b][a~;~b]. Si ff change de signe, l'intégrale n'est plus l'aire du domaine — nous reviendrons en détail sur ce piège classique du baccalauréat au paragraphe 5.2.

1.4  La fonction aire est une primitive de ff

Pourquoi la définition de l'intégrale — un simple F(b)−F(a)F(b)-F(a) — coïncide-t-elle avec l'aire sous la courbe ? Ce n'est pas un hasard : c'est un théorème, que nous allons démontrer dans un cas particulier.

Théorème fondamental de l'analyse

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle II, et a∈Ia \in I. La fonction

A:x⟼∫axf(t) dtA : x \longmapsto \int_{a}^{x} f(t)\,dt

(l'aire sous la courbe de ff entre aa et xx) est dérivable sur II, et A′=fA' = f. Autrement dit, AA est la primitive de ff sur II qui s'annule en aa.

On admet ce théorème dans toute sa généralité ; démontrons-le dans le cas particulier, très éclairant, où ff est de plus croissante sur [a ; b]⊂I[a~;~b] \subset I.

xx+hf(x)f(x+h)Encadrement de A(x+h) − A(x) par deux rectanglesh×f(x) ≤ A(x+h) − A(x) ≤ h×f(x+h)
Figure 2 — L'accroissement d'aire A(x+h)−A(x)A(x+h)-A(x) (bande violette) est encadré par deux rectangles de largeur hh.
Démonstration (cas où ff est continue, croissante et positive sur [a ; b][a~;~b])

Soit x∈[a ; b[x \in [a~;~b[ et h>0h > 0 tel que x+h⩽bx+h \leqslant b (Figure 2). Le nombre A(x+h)−A(x)A(x+h) - A(x) est l'aire de la bande verticale comprise entre les abscisses xx et x+hx+h.

Comme ff est croissante sur [x ; x+h][x~;~x+h], cette bande est comprise entre le rectangle « inférieur », de largeur hh et de hauteur f(x)f(x), et le rectangle « supérieur », de largeur hh et de hauteur f(x+h)f(x+h) :

  1. h×f(x)⩽A(x+h)−A(x)⩽h×f(x+h)h \times f(x) \leqslant A(x+h) - A(x) \leqslant h \times f(x+h)
  2. ⇒\Rightarrowf(x)⩽A(x+h)−A(x)h⩽f(x+h)f(x) \leqslant \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} \leqslant f(x+h)on divise par h>0h>0

Or ff est continue en xx, donc lim⁡h→0+f(x+h)=f(x)\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}} f(x+h) = f(x). Le taux d'accroissement A(x+h)−A(x)h\dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} est ainsi encadré par deux quantités qui tendent toutes deux vers f(x)f(x) : par le théorème des gendarmes,

  1. lim⁡h→0+A(x+h)−A(x)h=f(x)\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(x)

Un raisonnement symétrique avec h<0h<0 donne la même limite à gauche. La fonction AA est donc dérivable en xx, de nombre dérivé f(x)f(x) : ceci étant vrai pour tout xx, A′=fA' = f sur [a ; b][a~;~b]. Comme de plus A(a)=∫aaf(t) dt=0A(a) = \displaystyle\int_{a}^{a} f(t)\,dt = 0, la fonction AA est la primitive de ff qui s'annule en aa. C.Q.F.D.

Attention

Ce théorème donne une primitive particulière de ff, celle qui s'annule en aa. Pour calculer une intégrale ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx en pratique, n'importe quelle primitive convient (paragraphe 1.2) : nul besoin de choisir celle qui s'annule en aa.

2Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité

L'intégrale hérite de propriétés algébriques simples, qui découlent toutes de sa définition à partir des primitives. Elles sont d'un usage constant : elles permettent de décomposer un calcul compliqué en une somme de calculs élémentaires, ou de comparer deux intégrales sans les calculer.

2.1  Linéarité de l'intégrale

Propriété — linéarité

Soit ff et gg deux fonctions continues sur [a ; b][a~;~b], et kk un réel. Alors :

∫ab(f(x)+g(x)) dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dxet∫abk f(x) dx=k∫abf(x) dx\int_{a}^{b} \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx \qquad \text{et} \qquad \int_{a}^{b} k\,f(x)\,dx = k \int_{a}^{b} f(x)\,dx

Démonstration

Soit FF une primitive de ff et GG une primitive de gg sur [a ; b][a~;~b]. Comme (F+G)′=F′+G′=f+g(F+G)' = F'+G' = f+g, la fonction F+GF+G est une primitive de f+gf+g :

  1. ∫ab(f(x)+g(x)) dx=(F+G)(b)−(F+G)(a)\displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \big(F+G\big)(b) - \big(F+G\big)(a)
  2. ==(F(b)−F(a))+(G(b)−G(a))\big(F(b)-F(a)\big) + \big(G(b)-G(a)\big)
  3. ==∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx

De même, kFkF est une primitive de kfkf puisque (kF)′=kF′=kf(kF)' = kF' = kf, d'où la seconde égalité en suivant le même raisonnement.

Exemple

Calculons ∫01(3x2−2x+5) dx\displaystyle\int_{0}^{1} (3x^{2}-2x+5)\,dx.

  1. une primitive de x↦3x2−2x+5x \mapsto 3x^{2}-2x+5 est F:x↦x3−x2+5xF : x \mapsto x^{3}-x^{2}+5x
  2. ∫01(3x2−2x+5) dx=[x3−x2+5x]01\displaystyle\int_{0}^{1} (3x^{2}-2x+5)\,dx = \Big[x^{3}-x^{2}+5x\Big]_{0}^{1}
  3. ==(1−1+5)−0(1-1+5) - 0
  4. ==55

2.2  Relation de Chasles

Propriété — relation de Chasles

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, et aa, bb, cc trois réels de II, dans un ordre quelconque. Alors :

∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx

Démonstration

Soit FF une primitive de ff sur II.

  1. ∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=(F(b)−F(a))+(F(c)−F(b))\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \big(F(b)-F(a)\big)+\big(F(c)-F(b)\big)
  2. ==F(c)−F(a)F(c)-F(a)le terme F(b)F(b) s'élimine
  3. ==∫acf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,dx

La relation de Chasles est l'outil naturel pour intégrer une fonction définie par morceaux, ou pour scinder un calcul en plusieurs étapes plus simples.

Exemple — intégrer une valeur absolue

Calculons ∫03∣x−1∣ dx\displaystyle\int_{0}^{3} |x-1|\,dx. Sur [0 ; 1][0~;~1], x−1⩽0x-1 \leqslant 0 donc ∣x−1∣=1−x|x-1| = 1-x ; sur [1 ; 3][1~;~3], x−1⩾0x-1 \geqslant 0 donc ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1. La relation de Chasles impose de découper en x=1x=1.

  1. ∫03∣x−1∣ dx=∫01(1−x) dx+∫13(x−1) dx\displaystyle\int_{0}^{3} |x-1|\,dx = \int_{0}^{1} (1-x)\,dx + \int_{1}^{3} (x-1)\,dx
  2. ==[x−x22]01+[x22−x]13\Big[x-\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{1} + \Big[\dfrac{x^{2}}{2}-x\Big]_{1}^{3}
  3. ==(1−12)+((92−3)−(12−1))\left(1-\dfrac{1}{2}\right) + \left(\left(\dfrac{9}{2}-3\right)-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\right)
  4. ==12+2\dfrac{1}{2} + 2
  5. ==52\dfrac{5}{2}

2.3  Positivité, ordre et comparaison

Propriété — positivité

Soit ff continue sur [a ; b][a~;~b] avec a⩽ba \leqslant b. Si f⩾0f \geqslant 0 sur [a ; b][a~;~b], alors :

∫abf(x) dx⩾0\int_{a}^{b} f(x)\,dx \geqslant 0

Démonstration

Soit FF une primitive de ff sur [a ; b][a~;~b]. Comme F′=f⩾0F' = f \geqslant 0, la fonction FF est croissante sur [a ; b][a~;~b].

  1. a⩽ba \leqslant b et FF croissante
  2. ⇒\RightarrowF(a)⩽F(b)F(a) \leqslant F(b)
  3. ⇒\Rightarrow∫abf(x) dx=F(b)−F(a)⩾0\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a) \geqslant 0
Propriété — comparaison (ordre)

Soit ff et gg continues sur [a ; b][a~;~b] avec a⩽ba \leqslant b. Si f⩽gf \leqslant g sur [a ; b][a~;~b], alors :

∫abf(x) dx⩽∫abg(x) dx\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leqslant \int_{a}^{b} g(x)\,dx

On l'obtient en appliquant la positivité à la fonction g−fg-f, qui est positive sur [a ; b][a~;~b], puis la linéarité.

Attention

Toutes ces propriétés (positivité, comparaison) supposent a⩽ba \leqslant b. Si a>ba > b, les inégalités s'inversent — pense toujours à vérifier l'ordre des bornes avant de conclure.

Exemple — comparer sans tout calculer

Sur [0 ; 1][0~;~1], on a x2⩽xx^{2} \leqslant x (car 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1). Par comparaison :

  1. ∫01x2 dx⩽∫01x dx\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx \leqslant \int_{0}^{1} x\,dx

Vérification : ∫01x2 dx=13\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3} et ∫01x dx=12\displaystyle\int_{0}^{1} x\,dx = \dfrac{1}{2}, et en effet 13⩽12\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{2}.

De même, on sait que pour tout x⩾0x \geqslant 0, ex⩾1+x\mathrm{e}^{x} \geqslant 1+x (convexité de l'exponentielle). On en déduit, sans calculer la première intégrale :

  1. ∫01ex dx⩾∫01(1+x) dx=32\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\,dx \geqslant \int_{0}^{1} (1+x)\,dx = \dfrac{3}{2}

2.4  Inégalité de la moyenne

Théorème — inégalité de la moyenne

Soit ff continue sur [a ; b][a~;~b] avec a⩽ba \leqslant b. S'il existe deux réels mm et MM tels que m⩽f(x)⩽Mm \leqslant f(x) \leqslant M pour tout x∈[a ; b]x \in [a~;~b], alors :

m(b−a)⩽∫abf(x) dx⩽M(b−a)m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leqslant M(b-a)

Démonstration

Les fonctions constantes x↦mx \mapsto m et x↦Mx \mapsto M sont continues, et m⩽f(x)⩽Mm \leqslant f(x) \leqslant M sur [a ; b][a~;~b] : la comparaison (2.3), appliquée deux fois, donne ∫abm dx⩽∫abf(x) dx⩽∫abM dx\displaystyle\int_{a}^{b} m\,dx \leqslant \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leqslant \int_{a}^{b} M\,dx. Or une primitive de la fonction constante mm est x↦mxx \mapsto mx, donc ∫abm dx=mb−ma=m(b−a)\displaystyle\int_{a}^{b} m\,dx = mb-ma = m(b-a), et de même pour MM. D'où le résultat.

Exemple — encadrer sans primitive explicite

Encadrons ∫121x dx\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x}\,dx sans calculer de logarithme. Pour x∈[1 ; 2]x \in [1~;~2], la fonction x↦1xx \mapsto \dfrac{1}{x} est décroissante, donc 12⩽1x⩽1\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 1.

  1. 12 (2−1)⩽∫121x dx⩽1 (2−1)\dfrac{1}{2}\,(2-1) \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x}\,dx \leqslant 1\,(2-1)
  2. ⇒\Rightarrow12⩽∫121x dx⩽1\dfrac{1}{2} \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x}\,dx \leqslant 1

La valeur exacte, ln⁡2≈0,693\ln 2 \approx 0{,}693, confirme bien l'encadrement.

3Valeur moyenne

3.1  Définition de la valeur moyenne

Définition

Soit ff continue sur [a ; b][a~;~b], avec a<ba < b. On appelle valeur moyenne de ff sur [a ; b][a~;~b] le réel :

μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\,dx

Lorsque ff est positive, cette définition a une lecture graphique immédiate : le rectangle de base [a ; b][a~;~b] et de hauteur μ\mu a exactement la même aire que le domaine compris sous la courbe de ff. C'est ce que montre la Figure 3 : ce que la courbe donne en trop d'un côté de la droite y=μy=\mu, elle le reprend en creux de l'autre.

123456-1123450xyμ = 3y = f(x)Le rectangle de hauteur μ a la même aire que le domaine sous f
Figure 3 — Le rectangle en pointillés verts, de hauteur μ=3\mu = 3, a la même aire que le domaine violet compris sous la courbe de ff.
Méthode — calculer une valeur moyenne

On calcule ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx à l'aide d'une primitive, puis on divise le résultat par la longueur b−ab-a de l'intervalle. Ne jamais oublier ce facteur 1b−a\dfrac{1}{b-a} : c'est l'erreur la plus fréquente sur cette notion.

Exemple — calcul direct

Calculons la valeur moyenne de f(x)=−x22+3xf(x) = -\dfrac{x^{2}}{2}+3x sur [0 ; 6][0~;~6] (Figure 3).

  1. une primitive de ff est F:x↦−x36+3x22F : x \mapsto -\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{3x^{2}}{2}
  2. ∫06f(x) dx=[F(x)]06=(−36+54)−0=18\displaystyle\int_{0}^{6} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{0}^{6} = \left(-36+54\right)-0 = 18
  3. μ=16−0×18\mu = \dfrac{1}{6-0} \times 18
  4. ==33
Exemple — un débit moyen

Le débit d'un robinet, en litres par minute, est modélisé sur [0 ; 10][0~;~10] par d(t)=−0,3t2+3td(t) = -0{,}3t^{2}+3t. Calculons le débit moyen sur ces dix minutes.

  1. ∫010d(t) dt=[−0,1t3+1,5t2]010\displaystyle\int_{0}^{10} d(t)\,dt = \Big[-0{,}1t^{3}+1{,}5t^{2}\Big]_{0}^{10}
  2. ==(−100+150)−0(-100+150)-0
  3. ==5050
  4. μ=110×50\mu = \dfrac{1}{10}\times 50
  5. ==5 L/min5\ \text{L/min}

3.2  Théorème de la moyenne

Théorème de la moyenne

Soit ff continue sur [a ; b][a~;~b], avec a<ba<b. Il existe (au moins) un réel c∈[a ; b]c \in [a~;~b] tel que :

f(c)=μ,c’est-aˋ-dire∫abf(x) dx=(b−a) f(c)f(c) = \mu, \quad \text{c'est-à-dire} \quad \int_{a}^{b} f(x)\,dx = (b-a)\,f(c)

Démonstration (idée de preuve)

On admet qu'une fonction continue sur un segment [a ; b][a~;~b] y est bornée et atteint ses bornes : il existe donc mm et MM tels que m⩽f(x)⩽Mm \leqslant f(x) \leqslant M pour tout x∈[a ; b]x \in [a~;~b], avec mm et MM effectivement atteints par ff. L'inégalité de la moyenne (2.4) donne alors m⩽μ⩽Mm \leqslant \mu \leqslant M. Comme ff est continue sur [a ; b][a~;~b] et prend les valeurs mm et MM, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'un réel c∈[a ; b]c \in [a~;~b] tel que f(c)=μf(c) = \mu. C.Q.F.D.

Exemple — déterminer cc explicitement

Soit f(x)=x2f(x) = x^{2} sur [0 ; 3][0~;~3]. Déterminons un réel cc tel que f(c)=μf(c) = \mu.

  1. μ=13∫03x2 dx=13×9=3\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3}\times 9 = 3
  2. on cherche c∈[0 ; 3]c \in [0~;~3] tel que c2=3c^{2} = 3
  3. ⇒\Rightarrowc=3c = \sqrt{3}on écarte −3∉[0 ; 3]-\sqrt{3} \notin [0~;~3]

Le réel c=3≈1,73c = \sqrt{3} \approx 1{,}73 appartient bien à [0 ; 3][0~;~3].

Attention

Ne confonds pas la valeur moyenne μ\mu d'une fonction continue (une intégrale divisée par une longueur) avec la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs isolées : ce sont deux notions différentes, même si la seconde est un cas particulier discret de la première.

4Intégration par parties

Toutes les techniques vues jusqu'ici supposent qu'on connaît une primitive de la fonction à intégrer. Mais que faire d'un produit comme x↦x exx \mapsto x\,\mathrm{e}^{x}, dont aucune primitive usuelle ne saute aux yeux ? L'intégration par parties répond exactement à ce problème.

4.1  La formule et sa démonstration

Théorème — intégration par parties

Soit uu et vv deux fonctions dérivables sur [a ; b][a~;~b], dont les dérivées u′u' et v′v' sont continues sur [a ; b][a~;~b] (on dit que uu et vv sont de classe C1\mathcal{C}^{1}). Alors :

∫abu′(x) v(x) dx=[u(x) v(x)]ab−∫abu(x) v′(x) dx\int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\,dx

Démonstration

La fonction uvuv est dérivable sur [a ; b][a~;~b], de dérivée (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v+uv' (dérivée d'un produit). On isole le terme u′vu'v :

  1. u′(x) v(x)=(uv)′(x)−u(x) v′(x)u'(x)\,v(x) = (uv)'(x) - u(x)\,v'(x)

Les fonctions (uv)′(uv)' et uv′uv' étant continues sur [a ; b][a~;~b] (produits et sommes de fonctions continues), on intègre les deux membres entre aa et bb, en utilisant la linéarité :

  1. ∫abu′(x)v(x) dx=∫ab(uv)′(x) dx−∫abu(x)v′(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} u'(x)v(x)\,dx = \int_{a}^{b} (uv)'(x)\,dx - \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,dx
  2. or uvuv est une primitive de (uv)′(uv)'
  3. ⇒\Rightarrow∫ab(uv)′(x) dx=[u(x)v(x)]ab\displaystyle\int_{a}^{b} (uv)'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_{a}^{b}
  4. ⇒\Rightarrow∫abu′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} u'(x)v(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,dx

C.Q.F.D.

Méthode — mettre en œuvre une intégration par parties

Le principe : on transforme ∫u′v\displaystyle\int u'v en ∫uv′\displaystyle\int uv', en espérant que cette seconde intégrale soit plus simple que la première. Il faut donc choisir uu et vv avec soin :

  • on dérive (v→v′v \to v') la partie qui se simplifie par dérivation — typiquement un polynôme, dont le degré baisse ;
  • on intègre (u′→uu' \to u) la partie dont une primitive est immédiate — typiquement ex\mathrm{e}^{x}, cos⁡x\cos x, sin⁡x\sin x ;
  • cas particulier fréquent : pour intégrer ln⁡x\ln x seul, on l'écrit 1×ln⁡x1 \times \ln x, avec u′(x)=1u'(x)=1 et v(x)=ln⁡xv(x) = \ln x.
Attention

Deux pièges classiques du baccalauréat : oublier le signe moins devant la seconde intégrale, et choisir uu et vv dans le mauvais sens. Par exemple, pour ∫x ex dx\displaystyle\int x\,\mathrm{e}^{x}\,dx, poser u′(x)=xu'(x)=x (donc u(x)=x22u(x)=\frac{x^{2}}{2}) et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^{x} conduit à l'intégrale ∫x22 ex dx\displaystyle\int \frac{x^{2}}{2}\,\mathrm{e}^{x}\,dx, plus compliquée que la question de départ : le choix doit toujours simplifier le problème, jamais l'alourdir.

4.2  Trois exemples de référence

Exemple 1 — ∫x ex dx\displaystyle\int x\,\mathrm{e}^{x}\,dx

Calculons ∫01x ex dx\displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x}\,dx. On pose v(x)=xv(x)=x (donc v′(x)=1v'(x)=1) et u′(x)=exu'(x)=\mathrm{e}^{x} (donc u(x)=exu(x)=\mathrm{e}^{x}).

  1. ∫01x ex dx=[x ex]01−∫011×ex dx\displaystyle\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{x}\,dx = \Big[x\,\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 \times \mathrm{e}^{x}\,dx
  2. ==[x ex]01−[ex]01\Big[x\,\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} - \Big[\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1}
  3. ==[(x−1) ex]01\Big[(x-1)\,\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1}on regroupe les deux crochets
  4. ==(1−1)e1−(0−1)e0(1-1)\mathrm{e}^{1} - (0-1)\mathrm{e}^{0}
  5. ==0−(−1)0 - (-1)
  6. ==11
Exemple 2 — ∫ln⁡x dx\displaystyle\int \ln x\,dx

Calculons ∫1eln⁡x dx\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x\,dx. On écrit ln⁡x=1×ln⁡x\ln x = 1 \times \ln x, et l'on pose u′(x)=1u'(x)=1 (donc u(x)=xu(x)=x) et v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x (donc v′(x)=1xv'(x) = \dfrac{1}{x}, sur [1 ; e][1~;~\mathrm{e}]).

  1. ∫1eln⁡x dx=[xln⁡x]1e−∫1ex×1x dx\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_{1}^{\mathrm{e}} - \int_{1}^{\mathrm{e}} x \times \dfrac{1}{x}\,dx
  2. ==[xln⁡x]1e−∫1e1 dx\Big[x\ln x\Big]_{1}^{\mathrm{e}} - \int_{1}^{\mathrm{e}} 1\,dx
  3. ==[xln⁡x−x]1e\Big[x\ln x - x\Big]_{1}^{\mathrm{e}}
  4. ==(e×1−e)−(1×0−1)(\mathrm{e}\times 1 - \mathrm{e}) - (1\times 0 - 1)ln⁡e=1\ln \mathrm{e} = 1 et ln⁡1=0\ln 1 = 0
  5. ==0−(−1)0 - (-1)
  6. ==11
Exemple 3 — ∫xcos⁡x dx\displaystyle\int x\cos x\,dx

Calculons ∫0π/2xcos⁡x dx\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx. On pose v(x)=xv(x)=x (donc v′(x)=1v'(x)=1) et u′(x)=cos⁡xu'(x)=\cos x (donc u(x)=sin⁡xu(x)=\sin x).

  1. ∫0π/2xcos⁡x dx=[xsin⁡x]0π/2−∫0π/21×sin⁡x dx\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx = \Big[x\sin x\Big]_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} 1 \times \sin x\,dx
  2. ==[xsin⁡x]0π/2−[−cos⁡x]0π/2\Big[x\sin x\Big]_{0}^{\pi/2} - \Big[-\cos x\Big]_{0}^{\pi/2}
  3. ==[xsin⁡x+cos⁡x]0π/2\Big[x\sin x + \cos x\Big]_{0}^{\pi/2}
  4. ==(π2×1+0)−(0+1)\left(\dfrac{\pi}{2}\times 1 + 0\right) - \big(0 + 1\big)
  5. ==π2−1\dfrac{\pi}{2} - 1

5Calcul d'aires et de volumes

Munis de l'intégrale, de ses propriétés et de l'intégration par parties, nous pouvons enfin traiter des situations géométriques plus riches qu'une simple aire sous une courbe positive : l'aire entre deux courbes, l'aire d'un domaine où le signe change, et le volume d'un solide de révolution.

5.1  Aire entre deux courbes

Propriété

Soit ff et gg deux fonctions continues sur [a ; b][a~;~b] telles que f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) pour tout x∈[a ; b]x \in [a~;~b]. L'aire du domaine compris entre les courbes de ff et de gg, pour x∈[a ; b]x \in [a~;~b], vaut :

A=∫ab(f(x)−g(x)) dx u.a.\mathcal{A} = \int_{a}^{b} \big(f(x)-g(x)\big)\,dx \ \text{u.a.}

Méthode — calculer une aire entre deux courbes
  1. Déterminer les abscisses des points d'intersection en résolvant f(x)=g(x)f(x)=g(x).
  2. Étudier le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x) entre ces abscisses, pour savoir quelle courbe est au-dessus.
  3. Intégrer la différence (fonction du haut moins fonction du bas), qui est positive.
-2-1123-1123456780xyA(−1 ; 1)B(2 ; 4)d : y = x+2P : y = x²Aire entre la droite d et la parabole P
Figure 4 — La droite dd est au-dessus de la parabole PP sur [−1 ; 2][-1~;~2] : l'aire violette se calcule par ∫−12((x+2)−x2) dx\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx.
Exemple

Calculons l'aire entre la droite d:y=x+2d : y=x+2 et la parabole P:y=x2P : y=x^{2} (Figure 4). Les points d'intersection vérifient x+2=x2x+2=x^{2}, soit x2−x−2=0x^{2}-x-2=0, c'est-à-dire (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 : on trouve x=−1x=-1 et x=2x=2. Sur [−1 ; 2][-1~;~2], en testant x=0x=0 : d(0)=2>P(0)=0d(0)=2 > P(0)=0, donc dd est au-dessus de PP.

  1. A=∫−12((x+2)−x2) dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^{2} \big((x+2)-x^{2}\big)\,dx
  2. ==[x22+2x−x33]−12\left[\dfrac{x^{2}}{2}+2x-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}
  3. ==(2+4−83)−(12−2+13)\left(2+4-\dfrac{8}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}\right)
  4. ==103−(−76)\dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right)
  5. ==206+76\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}
  6. ==276=92 u.a.\dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}\ \text{u.a.}

5.2  Aire d'un domaine où le signe change

Attention — le piège le plus classique du chapitre

Si ff change de signe sur [a ; b][a~;~b], l'intégrale ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx n'est plus l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses : les parties où f<0f<0 sont comptées négativement, et viennent annuler les parties où f>0f>0.

Prenons f(x)=x2−4f(x)=x^{2}-4 sur [0 ; 3][0~;~3] : ff s'annule en x=2x=2, négative avant, positive après (Figure 5).

  1. ∫03(x2−4) dx=[x33−4x]03\displaystyle\int_{0}^{3} (x^{2}-4)\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}-4x\right]_{0}^{3}
  2. ==(9−12)−0(9-12)-0
  3. ==−3-3

Cette intégrale vaut −3-3 : un nombre négatif, alors qu'une aire est toujours positive ou nulle ! La partie négative (sous l'axe, entre 00 et 22) a plus « pesé » que la partie positive (entre 22 et 33). Ce nombre −3-3 n'est donc pas l'aire du domaine grisé sur la figure.

123-4-3-2-1123450xy2f ≤ 0f ≥ 0f(x) = x² − 4 change de signe en x = 2
Figure 5 — La courbe traverse l'axe en x=2x=2 : l'aire réelle est la somme des aires rose (partie négative) et verte (partie positive), toutes deux comptées positivement.
Méthode — calculer l'aire quand le signe change
  1. Étudier le signe de ff sur [a ; b][a~;~b] (tableau de signes), pour repérer les zéros de ff.
  2. Découper l'intervalle en sous-intervalles où ff garde un signe constant (relation de Chasles).
  3. Sur chaque sous-intervalle, calculer l'intégrale et en prendre la valeur absolue ; additionner ces valeurs absolues.

En résumé, A=∫ab∣f(x)∣ dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.

xx002233
signe de f(x)=x2−4f(x)=x^{2}-4−-00++
Exemple — l'aire correcte
  1. A=∣∫02(x2−4) dx∣+∣∫23(x2−4) dx∣\mathcal{A} = \displaystyle\left|\int_{0}^{2}(x^{2}-4)\,dx\right| + \left|\int_{2}^{3}(x^{2}-4)\,dx\right|
  2. ∫02(x2−4) dx=[x33−4x]02=(83−8)−0=−163\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{2}-4)\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}-4x\right]_{0}^{2} = \left(\dfrac{8}{3}-8\right)-0 = -\dfrac{16}{3}
  3. ∫23(x2−4) dx=[x33−4x]23=(9−12)−(83−8)=73\displaystyle\int_{2}^{3}(x^{2}-4)\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}-4x\right]_{2}^{3} = (9-12)-\left(\dfrac{8}{3}-8\right) = \dfrac{7}{3}
  4. ⇒\RightarrowA=∣−163∣+∣73∣\mathcal{A} = \left|-\dfrac{16}{3}\right| + \left|\dfrac{7}{3}\right|
  5. ==163+73\dfrac{16}{3}+\dfrac{7}{3}
  6. ==233 u.a.≈7,67 u.a.\dfrac{23}{3}\ \text{u.a.} \approx 7{,}67\ \text{u.a.}

5.3  Volume d'un solide de révolution

Définition et propriété

Soit ff continue et positive sur [a ; b][a~;~b]. En faisant tourner la courbe de ff autour de l'axe (Ox)(Ox), on engendre un solide de révolution. Son volume, exprimé en unité de volume (u.v.), vaut :

V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi \int_{a}^{b} \big[f(x)\big]^{2}\,dx

L'idée : en découpant le solide par des plans perpendiculaires à (Ox)(Ox), chaque tranche d'abscisse xx et d'épaisseur infinitésimale dxdx est assimilable à un cylindre de rayon f(x)f(x), donc de volume π [f(x)]2 dx\pi\,[f(x)]^{2}\,dx (aire du disque ×\times épaisseur). En « sommant » ces tranches — ce que réalise précisément l'intégrale — on obtient VV. Ce passage à la limite sera justifié au paragraphe 6.2.

xf(x)Ox = 4Solide engendré par la rotation de y = √x autour de (Ox)V = π∫₀⁴ f(x)² dx = π∫₀⁴ x dx = 8π u.v.
Figure 6 — Le solide engendré par la rotation de y=xy=\sqrt{x}, pour x∈[0 ; 4]x \in [0~;~4], autour de (Ox)(Ox) ; les ellipses en pointillés symbolisent les disques de section.
Exemple 1

Calculons le volume engendré par la rotation, autour de (Ox)(Ox), de la courbe de f(x)=xf(x)=\sqrt{x} sur [0 ; 4][0~;~4] (Figure 6).

  1. V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dxV = \pi\displaystyle\int_{0}^{4} \big(\sqrt{x}\big)^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{4} x\,dx
  2. ==π[x22]04\pi\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}
  3. ==π×8\pi \times 8
  4. ==8π u.v.≈25,1 u.v.8\pi\ \text{u.v.} \approx 25{,}1\ \text{u.v.}
Exemple 2 — vérification sur un cône

Vérifions la formule sur un solide connu : la rotation de f(x)=x2f(x)=\dfrac{x}{2} sur [0 ; 4][0~;~4] engendre un cône de rayon r=f(4)=2r=f(4)=2 et de hauteur h=4h=4.

  1. V=π∫04(x2)2dx=π∫04x24 dxV = \pi\displaystyle\int_{0}^{4} \left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}dx = \pi\int_{0}^{4} \dfrac{x^{2}}{4}\,dx
  2. ==π4[x33]04\dfrac{\pi}{4}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4}
  3. ==π4×643\dfrac{\pi}{4}\times\dfrac{64}{3}
  4. ==16π3 u.v.\dfrac{16\pi}{3}\ \text{u.v.}

Comparons avec la formule géométrique du cône, V=13πr2hV=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h :

  1. 13π×22×4=16π3\dfrac{1}{3}\pi \times 2^{2} \times 4 = \dfrac{16\pi}{3}

Les deux méthodes donnent le même résultat : la formule intégrale généralise bien les formules de géométrie usuelles.

Attention

Ne pas oublier le carré de f(x)f(x) dans V=π∫ab[f(x)]2 dxV=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx : c'est l'erreur la plus fréquente, qui confond ce calcul avec celui d'une aire.

Math & Co — Archimède et la quadrature de la parabole

Archimède de Syracuse (vers 287–212 av. J.-C.) n'avait ni intégrale ni algèbre, et pourtant il a calculé, vingt-deux siècles avant ce chapitre, l'aire exacte d'un segment de parabole. Dans son traité La Quadrature de la parabole, par la méthode d'exhaustion — encadrer inlassablement l'aire cherchée par des triangles de plus en plus nombreux et petits — il démontre qu'elle vaut 43\dfrac{4}{3} de l'aire du triangle inscrit.

Dans De la sphère et du cylindre, il établit également que le volume d'une sphère vaut les 23\dfrac{2}{3} du volume du cylindre qui la contient exactement. Il considérait ce résultat comme son plus bel accomplissement, et avait demandé qu'une sphère inscrite dans un cylindre soit gravée sur sa tombe. Le général et orateur romain Cicéron, questeur en Sicile, raconte l'avoir retrouvée et restaurée en −137-137, près de 75 ans après la mort du savant.

6Inégalités et encadrements

Certaines fonctions — comme x↦e−x2x \mapsto \mathrm{e}^{-x^{2}} — n'admettent aucune primitive exprimable avec les fonctions usuelles du programme. Faut-il pour autant renoncer à en dire quelque chose ? Non : on peut encadrer leur intégrale, l'approcher, et étudier son comportement à la limite. C'est l'objet de cette dernière section.

6.1  Comparer sans calculer : encadrer une intégrale

Méthode — encadrer une intégrale sans la calculer

On détermine deux réels mm et MM tels que m⩽f(x)⩽Mm \leqslant f(x) \leqslant M sur [a ; b][a~;~b] (souvent à l'aide du tableau de variations de ff), puis on applique l'inégalité de la moyenne (2.4) : m(b−a)⩽∫abf(x) dx⩽M(b−a)m(b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leqslant M(b-a).

Exemple — une intégrale sans primitive usuelle

La fonction x↦e−x2x \mapsto \mathrm{e}^{-x^{2}} n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions du programme ; pourtant, on peut encadrer ∫01e−x2 dx\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx. Sur [0 ; 1][0~;~1], 0⩽x2⩽10 \leqslant x^{2} \leqslant 1, et la fonction t↦e−tt \mapsto \mathrm{e}^{-t} est décroissante, donc e−1⩽e−x2⩽e0\mathrm{e}^{-1} \leqslant \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \mathrm{e}^{0}.

  1. e−1⩽e−x2⩽1\mathrm{e}^{-1} \leqslant \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant 1 sur [0 ; 1][0~;~1]
  2. ⇒\Rightarrowe−1×(1−0)⩽∫01e−x2 dx⩽1×(1−0)\mathrm{e}^{-1}\times(1-0) \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx \leqslant 1\times(1-0)
  3. ⇒\Rightarrow1e⩽∫01e−x2 dx⩽1\dfrac{1}{\mathrm{e}} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx \leqslant 1

Soit 0,368⩽∫01e−x2 dx⩽10{,}368 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}}\,dx \leqslant 1 : un encadrement grossier, mais rigoureux et obtenu sans aucune primitive.

6.2  La méthode des rectangles

L'encadrement précédent peut être affiné en découpant [a ; b][a~;~b] en plusieurs sous-intervalles : c'est le principe de la méthode des rectangles, qui donne également tout son sens à l'écriture ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx comme une « somme continue ».

Math & Co — donner un sens rigoureux à la somme

Leibniz et Newton manipulaient des « infiniment petits » sans définition totalement rigoureuse. Il faut attendre 1823 pour qu'Augustin-Louis Cauchy, dans son Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique, définisse enfin l'intégrale d'une fonction continue comme la limite de sommes de rectangles, quand leur nombre tend vers l'infini.

Bernhard Riemann généralise cette construction en 1854, dans son mémoire d'habilitation à Göttingen, à des fonctions beaucoup moins régulières. C'est en son honneur que l'on parle aujourd'hui d'intégrale de Riemann — la construction précise que la méthode des rectangles, ci-dessous, met en œuvre.

Définition — sommes de rectangles

Soit ff continue et croissante sur [a ; b][a~;~b], et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}. On partage [a ; b][a~;~b] en nn intervalles de même largeur h=b−anh = \dfrac{b-a}{n}, aux points xk=a+khx_{k} = a+kh (0⩽k⩽n0 \leqslant k \leqslant n). On pose :

sn=h∑k=0n−1f(xk)etSn=h∑k=1nf(xk)s_{n} = h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k}) \qquad \text{et} \qquad S_{n} = h\sum_{k=1}^{n} f(x_{k})

sns_n est la somme des rectangles inférieurs (hauteur prise au bord gauche), SnS_n celle des rectangles supérieurs (hauteur prise au bord droit).

Propriété

Pour tout nn, sn⩽∫abf(x) dx⩽Sns_{n} \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \leqslant S_{n} ; et lorsque n→+∞n \to +\infty, sns_{n} et SnS_{n} tendent tous deux vers ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx (admis).

123123450xyrectangles inférieursrectangles supérieursEncadrement de ∫₀³ f(x) dx par 6 rectangles
Figure 7 — Encadrement de ∫03f(x) dx\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx par n=6n=6 rectangles inférieurs (verts) et supérieurs (orange).
Exemple — encadrer avec 6 rectangles

Encadrons ∫03f(x) dx\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx pour f(x)=0,5x2+0,5f(x)=0{,}5x^{2}+0{,}5, avec n=6n=6 (Figure 7), donc h=0,5h=0{,}5.

  1. s6=0,5(f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)+f(2,5))s_{6} = 0{,}5\big(f(0)+f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)+f(2{,}5)\big)
  2. ==0,5 (0,5+0,625+1+1,625+2,5+3,625)0{,}5\,(0{,}5+0{,}625+1+1{,}625+2{,}5+3{,}625)
  3. ==0,5×9,875=4,93750{,}5 \times 9{,}875 = 4{,}9375
  4. S6=0,5(f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)+f(2,5)+f(3))S_{6} = 0{,}5\big(f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)+f(2{,}5)+f(3)\big)
  5. ==0,5 (0,625+1+1,625+2,5+3,625+5)0{,}5\,(0{,}625+1+1{,}625+2{,}5+3{,}625+5)
  6. ==0,5×14,375=7,18750{,}5 \times 14{,}375 = 7{,}1875

On obtient 4,9375⩽∫03f(x) dx⩽7,18754{,}9375 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx \leqslant 7{,}1875. La valeur exacte, ∫03(0,5x2+0,5) dx=6\displaystyle\int_{0}^{3}(0{,}5x^{2}+0{,}5)\,dx = 6, est bien comprise dans cet encadrement.

6.3  Suites d'intégrales : monotonie et limite

Un grand classique du baccalauréat consiste à étudier une suite (In)(I_{n}) définie par une intégrale dépendant d'un entier nn, sans jamais calculer InI_n explicitement.

Exemple guidé — la suite In=∫01xne−x dxI_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,dx

Encadrement et limite. Sur [0 ; 1][0~;~1], 0⩽e−x⩽10 \leqslant \mathrm{e}^{-x} \leqslant 1 (car −x⩽0-x \leqslant 0), donc 0⩽xne−x⩽xn0 \leqslant x^{n}\mathrm{e}^{-x} \leqslant x^{n} pour tout x∈[0 ; 1]x \in [0~;~1] (on a multiplié par xn⩾0x^{n}\geqslant 0).

  1. 0⩽In⩽∫01xn dx0 \leqslant I_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} x^{n}\,dx
  2. ⇒\Rightarrow0⩽In⩽[xn+1n+1]01=1n+10 \leqslant I_{n} \leqslant \left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{n+1}

Comme 1n+1→0\dfrac{1}{n+1} \to 0 quand n→+∞n \to +\infty, le théorème des gendarmes donne lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_{n} = 0.

Monotonie. Pour x∈[0 ; 1]x \in [0~;~1], xn+1⩽xnx^{n+1} \leqslant x^{n} (car 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant 1), donc xn+1e−x⩽xne−xx^{n+1}\mathrm{e}^{-x} \leqslant x^{n}\mathrm{e}^{-x} (on a multiplié par e−x⩾0\mathrm{e}^{-x}\geqslant 0). Par comparaison (2.3) :

  1. In+1=∫01xn+1e−x dx⩽∫01xne−x dx=InI_{n+1} = \displaystyle\int_{0}^{1} x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\,dx \leqslant \int_{0}^{1} x^{n}\mathrm{e}^{-x}\,dx = I_{n}

La suite (In)(I_{n}) est donc décroissante. Étant de plus minorée par 00, elle converge — ce qui confirme, par un second argument, la limite trouvée ci-dessus.

Cette combinaison — encadrement, théorème des gendarmes, étude du signe de In+1−InI_{n+1}-I_{n} — est la méthode de référence pour toute suite d'intégrales. Tu la retrouveras, dans une variante légèrement différente, à l'exercice 10 et à l'exercice 14 type bac.

Fiche mémo

  • ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a), où FF est une primitive de ff sur un intervalle contenant aa et bb.
  • Si ff est continue et positive sur [a ; b][a~;~b], ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx est l'aire sous la courbe, en u.a.
  • Linéarité : ∫(f+g)=∫f+∫g\displaystyle\int (f+g) = \int f + \int g ; ∫kf=k∫f\displaystyle\int k f = k\int f. Chasles : ∫abf+∫bcf=∫acf\displaystyle\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f = \int_{a}^{c} f.
  • Positivité et ordre (pour a⩽ba \leqslant b) : f⩾0⇒∫abf⩾0f \geqslant 0 \Rightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f \geqslant 0 ; f⩽g⇒∫abf⩽∫abgf \leqslant g \Rightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f \leqslant \int_{a}^{b} g.
  • Inégalité de la moyenne : m⩽f⩽Mm \leqslant f \leqslant M sur [a ; b][a~;~b] ⇒\Rightarrow m(b−a)⩽∫abf⩽M(b−a)m(b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f \leqslant M(b-a).
  • Valeur moyenne : μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx ; il existe c∈[a ; b]c \in [a~;~b] tel que f(c)=μf(c)=\mu.
  • Intégration par parties : ∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′\displaystyle\int_{a}^{b} u'v = \Big[uv\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} uv' (choisir vv qui se simplifie en dérivant).
  • Aire entre deux courbes (f⩾gf \geqslant g sur [a ; b][a~;~b]) : A=∫ab(f−g) dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)\,dx.
  • Si le signe change : A=∫ab∣f(x)∣ dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx — découper aux zéros de ff, sommer les valeurs absolues.
  • Volume de révolution autour de (Ox)(Ox) : V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx.
  • Méthode des rectangles : sn⩽∫abf⩽Sns_{n} \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f \leqslant S_{n}, et sn,Sn→∫abfs_{n}, S_{n} \to \displaystyle\int_{a}^{b} f quand n→+∞n \to +\infty.
  • Suite d'intégrales : encadrer InI_n pour trouver sa limite ; étudier le signe de In+1−InI_{n+1}-I_n pour sa monotonie.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule, à l'aide d'une primitive : ∫02(3x2−4x+1) dx\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^{2}-4x+1)\,dx ; ∫14x dx\displaystyle\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx ; ∫−11x3 dx\displaystyle\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx.

Voir le corrigé détaillé
  1. une primitive de 3x2−4x+13x^{2}-4x+1 est x3−2x2+xx^{3}-2x^{2}+x
  2. ∫02(3x2−4x+1) dx=[x3−2x2+x]02=(8−8+2)−0=2\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^{2}-4x+1)\,dx = \Big[x^{3}-2x^{2}+x\Big]_{0}^{2} = (8-8+2)-0 = 2
  3. une primitive de x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2} est 23x3/2\dfrac{2}{3}x^{3/2}
  4. ∫14x dx=[23x3/2]14=23(8−1)=143\displaystyle\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx = \left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4} = \dfrac{2}{3}(8-1) = \dfrac{14}{3}
  5. une primitive de x3x^{3} est x44\dfrac{x^{4}}{4}, fonction paire
  6. ∫−11x3 dx=[x44]−11=14−14=0\displaystyle\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4} = 0
2

Calcule : ∫0πsin⁡x dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx ; ∫0π/3cos⁡x dx\displaystyle\int_{0}^{\pi/3} \cos x\,dx ; ∫−π/4π/4cos⁡x dx\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x\,dx.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=(−cos⁡π)−(−cos⁡0)=1+1=2\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = 1+1 = 2
  2. ∫0π/3cos⁡x dx=[sin⁡x]0π/3=32−0=32\displaystyle\int_{0}^{\pi/3} \cos x\,dx = \Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi/3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}-0 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. ∫−π/4π/4cos⁡x dx=[sin⁡x]−π/4π/4=22−(−22)=2\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x\,dx = \Big[\sin x\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}
3

Calcule : ∫01ex dx\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\,dx ; ∫01e−2x dx\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-2x}\,dx ; ∫241x dx\displaystyle\int_{2}^{4} \dfrac{1}{x}\,dx.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∫01ex dx=[ex]01=e−1\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\,dx = \Big[\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} = \mathrm{e}-1
  2. une primitive de e−2x\mathrm{e}^{-2x} est −12e−2x-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}
  3. ∫01e−2x dx=[−12e−2x]01=−12e−2+12\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-2x}\,dx = \left[-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right]_{0}^{1} = -\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2}+\dfrac{1}{2}
  4. ==12(1−e−2)≈0,432\dfrac{1}{2}\big(1-\mathrm{e}^{-2}\big) \approx 0{,}432
  5. ∫241x dx=[ln⁡x]24=ln⁡4−ln⁡2=ln⁡2\displaystyle\int_{2}^{4} \dfrac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_{2}^{4} = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2
4

Soit ff définie sur [−2 ; 3][-2~;~3] par f(x)={x2si x⩽12x−1si x>1f(x) = \begin{cases} x^{2} & \text{si } x \leqslant 1 \\ 2x-1 & \text{si } x > 1 \end{cases}. Calcule ∫−23f(x) dx\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx.

Voir le corrigé détaillé

ff est continue en 11 (les deux expressions y valent 11) : on découpe en x=1x=1 grâce à la relation de Chasles.

  1. ∫−23f(x) dx=∫−21x2 dx+∫13(2x−1) dx\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = \int_{-2}^{1} x^{2}\,dx + \int_{1}^{3} (2x-1)\,dx
  2. ==[x33]−21+[x2−x]13\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{1} + \Big[x^{2}-x\Big]_{1}^{3}
  3. ==(13−(−83))+((9−3)−(1−1))\left(\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{8}{3}\right)\right) + \big((9-3)-(1-1)\big)
  4. ==3+63 + 6
  5. ==99
5

Soit f(x)=−x2+4f(x) = -x^{2}+4 sur [−2 ; 2][-2~;~2]. Vérifie que f⩾0f \geqslant 0 sur cet intervalle, puis calcule l'aire du domaine sous la courbe de ff.

Voir le corrigé détaillé

ff est un polynôme du second degré, de racines −2-2 et 22 (car f(x)=0  ⟺  x2=4f(x)=0 \iff x^{2}=4), et de coefficient dominant négatif : f⩾0f \geqslant 0 exactement sur [−2 ; 2][-2~;~2].

  1. A=∫−22(−x2+4) dx=[−x33+4x]−22\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-2}^{2} (-x^{2}+4)\,dx = \left[-\dfrac{x^{3}}{3}+4x\right]_{-2}^{2}
  2. ==(−83+8)−(83−8)\left(-\dfrac{8}{3}+8\right) - \left(\dfrac{8}{3}-8\right)
  3. ==163−(−163)\dfrac{16}{3} - \left(-\dfrac{16}{3}\right)
  4. ==323 u.a.≈10,67 u.a.\dfrac{32}{3}\ \text{u.a.} \approx 10{,}67\ \text{u.a.}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Calcule, à l'aide d'une intégration par parties, ∫01(2x+1) ex dx\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\,\mathrm{e}^{x}\,dx.

Voir le corrigé détaillé

On pose v(x)=2x+1v(x)=2x+1 (donc v′(x)=2v'(x)=2) et u′(x)=exu'(x)=\mathrm{e}^{x} (donc u(x)=exu(x)=\mathrm{e}^{x}).

  1. ∫01(2x+1)ex dx=[(2x+1)ex]01−∫012 ex dx\displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\mathrm{e}^{x}\,dx = \Big[(2x+1)\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2\,\mathrm{e}^{x}\,dx
  2. ==[(2x+1)ex]01−[2ex]01\Big[(2x+1)\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1} - \Big[2\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1}
  3. ==[(2x−1)ex]01\Big[(2x-1)\mathrm{e}^{x}\Big]_{0}^{1}
  4. ==(2−1)e1−(−1)e0(2-1)\mathrm{e}^{1} - (-1)\mathrm{e}^{0}
  5. ==e+1\mathrm{e} + 1
7

Soit PP la parabole d'équation y=−x2+2x+3y=-x^{2}+2x+3 et dd la droite d'équation y=3y=3. Calcule l'aire du domaine compris entre PP et dd.

Voir le corrigé détaillé

Intersections : −x2+2x+3=3  ⟺  −x2+2x=0  ⟺  x(2−x)=0-x^{2}+2x+3=3 \iff -x^{2}+2x=0 \iff x(2-x)=0, donc x=0x=0 ou x=2x=2. En x=1x=1 : P(1)=4>d(1)=3P(1)=4 > d(1)=3, donc PP est au-dessus de dd sur [0 ; 2][0~;~2].

  1. A=∫02((−x2+2x+3)−3) dx=∫02(−x2+2x) dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^{2} \big((-x^{2}+2x+3)-3\big)\,dx = \int_{0}^{2} (-x^{2}+2x)\,dx
  2. ==[−x33+x2]02\left[-\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}\right]_{0}^{2}
  3. ==(−83+4)−0\left(-\dfrac{8}{3}+4\right)-0
  4. ==43 u.a.\dfrac{4}{3}\ \text{u.a.}
8

Sans calculer aucune des deux intégrales, compare ∫0111+x2 dx\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx et ∫0111+x dx\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x}\,dx.

Voir le corrigé détaillé

Sur [0 ; 1][0~;~1], 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 donne x2⩽xx^{2} \leqslant x (en multipliant par x⩾0x \geqslant 0), donc 1+x2⩽1+x1+x^{2} \leqslant 1+x. Comme la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[]0~;~+\infty[ et que 1+x21+x^{2}, 1+x1+x sont strictement positifs :

  1. 1+x2⩽1+x1+x^{2} \leqslant 1+x
  2. ⇒\Rightarrow11+x2⩾11+x\dfrac{1}{1+x^{2}} \geqslant \dfrac{1}{1+x}la fonction inverse retourne les inégalités
  3. ⇒\Rightarrow∫0111+x2 dx⩾∫0111+x dx\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx \geqslant \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x}\,dxcomparaison, 0⩽10 \leqslant 1
9

Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose Jn=∫01xn(1−x) dxJ_{n} = \displaystyle\int_{0}^{1} x^{n}(1-x)\,dx.

  1. Calcule J0J_{0} et J1J_{1}.
  2. Montre que 0⩽Jn⩽1n+10 \leqslant J_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1} pour tout nn.
  3. Détermine lim⁡n→+∞Jn\displaystyle\lim_{n \to +\infty} J_{n}.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. J0=∫01(1−x) dx=[x−x22]01=12J_{0} = \displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \Big[x-\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}
  2. J1=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=16J_{1} = \displaystyle\int_{0}^{1} (x-x^{2})\,dx = \Big[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{1} = \dfrac{1}{6}

2. Sur [0 ; 1][0~;~1], 0⩽1−x⩽10 \leqslant 1-x \leqslant 1 ; en multipliant par xn⩾0x^{n} \geqslant 0, on obtient 0⩽xn(1−x)⩽xn0 \leqslant x^{n}(1-x) \leqslant x^{n}.

  1. ⇒\Rightarrow0⩽Jn⩽∫01xn dx=1n+10 \leqslant J_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} x^{n}\,dx = \dfrac{1}{n+1}

3. Comme 1n+1→0\dfrac{1}{n+1} \to 0, le théorème des gendarmes donne lim⁡n→+∞Jn=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} J_{n} = 0.

10

Calcule le volume du solide engendré par la rotation, autour de (Ox)(Ox), de la courbe de f(x)=x+1f(x)=x+1 sur [0 ; 3][0~;~3].

Voir le corrigé détaillé
  1. V=π∫03(x+1)2 dx=π∫03(x2+2x+1) dxV = \pi\displaystyle\int_{0}^{3} (x+1)^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{3} (x^{2}+2x+1)\,dx
  2. ==π[x33+x2+x]03\pi\left[\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\right]_{0}^{3}
  3. ==π (9+9+3)\pi\,(9+9+3)
  4. ==21π u.v.≈65,97 u.v.21\pi\ \text{u.v.} \approx 65{,}97\ \text{u.v.}
Niveau 3 — Type bac
11

Restitution organisée de connaissances. On suppose connue la définition de l'intégrale à l'aide des primitives. Démontre que si ff est continue, croissante et positive sur [a ; b][a~;~b], alors la fonction AA définie sur [a ; b][a~;~b] par A(x)=∫axf(t) dtA(x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt est dérivable et vérifie A′=fA' = f.

Voir le corrigé détaillé

Soit x∈[a ; b[x \in [a~;~b[ et h>0h>0 tel que x+h⩽bx+h \leqslant b. Le nombre A(x+h)−A(x)A(x+h)-A(x) est l'aire de la bande comprise entre les abscisses xx et x+hx+h. Comme ff est croissante sur [x ; x+h][x~;~x+h], cette aire est encadrée par les rectangles de hauteurs f(x)f(x) et f(x+h)f(x+h) :

  1. h f(x)⩽A(x+h)−A(x)⩽h f(x+h)h\,f(x) \leqslant A(x+h)-A(x) \leqslant h\,f(x+h)
  2. ⇒\Rightarrowf(x)⩽A(x+h)−A(x)h⩽f(x+h)f(x) \leqslant \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} \leqslant f(x+h)division par h>0h>0

La continuité de ff en xx donne lim⁡h→0+f(x+h)=f(x)\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}} f(x+h) = f(x) ; par le théorème des gendarmes, lim⁡h→0+A(x+h)−A(x)h=f(x)\displaystyle\lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(x). Un raisonnement symétrique pour h<0h<0 donne la même limite à gauche : AA est donc dérivable en xx, avec A′(x)=f(x)A'(x)=f(x). Ceci valant pour tout x∈[a ; b]x \in [a~;~b], on conclut A′=fA'=f sur [a ; b][a~;~b]. C.Q.F.D.

12

Soit ff définie sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ par f(x)=x e−xf(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.

  1. Étudie les variations de ff sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ et dresse son tableau de variations (on admet que lim⁡x→+∞x e−x=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,\mathrm{e}^{-x} = 0).
  2. Justifie que f⩾0f \geqslant 0 sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[.
  3. Calcule, à l'aide d'une intégration par parties, l'aire du domaine délimité par la courbe de ff, l'axe des abscisses et les droites x=0x=0 et x=3x=3.
Voir le corrigé détaillé

1. ff est dérivable sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ comme produit de fonctions dérivables.

  1. f′(x)=1×e−x+x×(−e−x)f'(x) = 1\times\mathrm{e}^{-x} + x\times(-\mathrm{e}^{-x})
  2. ==(1−x) e−x(1-x)\,\mathrm{e}^{-x}

Comme e−x>0\mathrm{e}^{-x}>0 pour tout xx, f′(x)f'(x) a le signe de 1−x1-x : positif sur [0 ; 1[[0~;~1[, nul en 11, négatif sur ]1 ; +∞[]1~;~+\infty[.

xx0011+∞+\infty
signe de f′(x)f'(x)++00−-
variations de ff00↗\nearrow1e\frac{1}{\mathrm{e}}↘\searrow00

2. Pour x⩾0x \geqslant 0, x⩾0x \geqslant 0 et e−x>0\mathrm{e}^{-x}>0 : f(x)=x e−xf(x)=x\,\mathrm{e}^{-x} est un produit de deux facteurs positifs ou nuls, donc f(x)⩾0f(x) \geqslant 0.

3. Comme f⩾0f \geqslant 0 sur [0 ; 3][0~;~3], l'aire cherchée est ∫03x e−x dx\displaystyle\int_{0}^{3} x\,\mathrm{e}^{-x}\,dx. On pose v(x)=xv(x)=x (donc v′(x)=1v'(x)=1) et u′(x)=e−xu'(x)=\mathrm{e}^{-x} (donc u(x)=−e−xu(x)=-\mathrm{e}^{-x}).

  1. ∫03x e−x dx=[−x e−x]03−∫03(−e−x) dx\displaystyle\int_{0}^{3} x\,\mathrm{e}^{-x}\,dx = \Big[-x\,\mathrm{e}^{-x}\Big]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} (-\mathrm{e}^{-x})\,dx
  2. ==[−x e−x]03+[−e−x]03\Big[-x\,\mathrm{e}^{-x}\Big]_{0}^{3} + \Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_{0}^{3}
  3. ==[−(x+1) e−x]03\Big[-(x+1)\,\mathrm{e}^{-x}\Big]_{0}^{3}
  4. ==−4 e−3−(−1)-4\,\mathrm{e}^{-3} - (-1)
  5. ==1−4 e−3 u.a.≈0,80 u.a.1-4\,\mathrm{e}^{-3}\ \text{u.a.} \approx 0{,}80\ \text{u.a.}
1230,10,20,30,40xymax en x=1y = xe⁻ˣAire sous la courbe de f(x) = xe⁻ˣ entre 0 et 3
Figure 8 — La fonction f(x)=x e−xf(x)=x\,\mathrm{e}^{-x} croît sur [0 ; 1][0~;~1] puis décroît : l'aire violette, entre 00 et 33, vaut 1−4 e−31-4\,\mathrm{e}^{-3} u.a.
13

Soit f(x)=x2f(x)=x^{2} et g(x)=2xg(x)=2x, définies sur [0 ; 2][0~;~2].

  1. Étudie la position relative des courbes de ff et gg sur [0 ; 2][0~;~2].
  2. Calcule l'aire du domaine compris entre les deux courbes sur [0 ; 2][0~;~2].
  3. Calcule le volume VgV_{g} engendré par la rotation autour de (Ox)(Ox) de la courbe de gg sur [0 ; 2][0~;~2], puis le volume VfV_{f} engendré par celle de ff. Compare VgV_{g} et VfV_{f}.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. g(x)−f(x)=2x−x2=x(2−x)g(x)-f(x) = 2x-x^{2} = x(2-x)
  2. sur [0 ; 2][0~;~2] : x⩾0x \geqslant 0 et 2−x⩾02-x \geqslant 0
  3. ⇒\Rightarrowg(x)−f(x)⩾0g(x)-f(x) \geqslant 0, donc g⩾fg \geqslant f sur [0 ; 2][0~;~2]

2.

  1. A=∫02(2x−x2) dx=[x2−x33]02\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^{2} (2x-x^{2})\,dx = \left[x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}
  2. ==(4−83)−0\left(4-\dfrac{8}{3}\right)-0
  3. ==43 u.a.\dfrac{4}{3}\ \text{u.a.}

3.

  1. Vg=π∫02(2x)2 dx=π∫024x2 dx=π[4x33]02=32π3V_{g} = \pi\displaystyle\int_{0}^{2} (2x)^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{2} 4x^{2}\,dx = \pi\left[\dfrac{4x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{32\pi}{3}
  2. Vf=π∫02(x2)2 dx=π∫02x4 dx=π[x55]02=32π5V_{f} = \pi\displaystyle\int_{0}^{2} (x^{2})^{2}\,dx = \pi\int_{0}^{2} x^{4}\,dx = \pi\left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \dfrac{32\pi}{5}
  3. ⇒\RightarrowVg>VfV_{g} > V_{f}car 13>15\frac{1}{3} > \frac{1}{5}

Cohérent avec la question 1 : la courbe de gg est plus « haute » sur ]0 ; 2[]0~;~2[, donc plus éloignée de l'axe de rotation, ce qui engendre un solide plus volumineux.

14

Pour tout entier naturel nn, on pose In=∫01xn1+x dxI_{n} = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{n}}{1+x}\,dx.

  1. Calcule I0I_{0}.
  2. Montre que pour tout nn, 0⩽In⩽1n+10 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}.
  3. En déduire lim⁡n→+∞In\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_{n}.
  4. Montre que la suite (In)(I_{n}) est décroissante.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. I0=∫0111+x dx=[ln⁡(1+x)]01I_{0} = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x}\,dx = \Big[\ln(1+x)\Big]_{0}^{1}
  2. ==ln⁡2−ln⁡1\ln 2 - \ln 1
  3. ==ln⁡2\ln 2

2. Sur [0 ; 1][0~;~1], 1+x⩾11+x \geqslant 1, donc 11+x⩽1\dfrac{1}{1+x} \leqslant 1 ; en multipliant par xn⩾0x^{n} \geqslant 0, on obtient 0⩽xn1+x⩽xn0 \leqslant \dfrac{x^{n}}{1+x} \leqslant x^{n}.

  1. ⇒\Rightarrow0⩽In⩽∫01xn dx=1n+10 \leqslant I_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} x^{n}\,dx = \dfrac{1}{n+1}

3. Comme 1n+1→0\dfrac{1}{n+1} \to 0 quand n→+∞n \to +\infty, le théorème des gendarmes donne lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_{n} = 0.

4.

  1. In+1−In=∫01xn+1−xn1+x dx=∫01xn(x−1)1+x dxI_{n+1}-I_{n} = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{n+1}-x^{n}}{1+x}\,dx = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n}(x-1)}{1+x}\,dx
  2. sur [0 ; 1][0~;~1] : xn⩾0x^{n}\geqslant 0, x−1⩽0x-1\leqslant 0, 1+x>01+x>0
  3. ⇒\Rightarrowl'intégrande xn(x−1)1+x⩽0\dfrac{x^{n}(x-1)}{1+x} \leqslant 0 sur [0 ; 1][0~;~1]
  4. ⇒\RightarrowIn+1−In⩽0I_{n+1}-I_{n} \leqslant 0positivité, 0⩽10 \leqslant 1

La suite (In)(I_{n}) est donc décroissante — ce qui est cohérent avec une suite positive de limite 00.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
15

Silo à grains (Abéché, Tchad). L'ingénieure Aïcha conçoit un silo à grains dont le profil intérieur est obtenu en faisant tourner, autour de l'axe vertical (Ox)(Ox), la courbe de f(x)=0,2x+1f(x) = 0{,}2x+1 (en mètres) pour x∈[0 ; 6]x \in [0~;~6].

  1. Quelle est la nature géométrique du solide obtenu ?
  2. Calcule le volume de grains, en m³, que peut contenir le silo (arrondi au centième).
  3. Un silo de ce type coûte 45 00045\,000 F CFA par m³ à construire. Estime le coût total, arrondi au millier de francs.
Voir le corrigé détaillé

1. ff est une fonction affine : sa courbe est un segment de droite. La rotation d'un segment de droite non parallèle à l'axe engendre un tronc de cône (cône tronqué).

2. Une primitive de (0,2x+1)2(0{,}2x+1)^{2} est (0,2x+1)33×0,2=(0,2x+1)30,6\dfrac{(0{,}2x+1)^{3}}{3\times 0{,}2} = \dfrac{(0{,}2x+1)^{3}}{0{,}6}.

  1. V=π∫06(0,2x+1)2 dx=π[(0,2x+1)30,6]06V = \pi\displaystyle\int_{0}^{6} (0{,}2x+1)^{2}\,dx = \pi\left[\dfrac{(0{,}2x+1)^{3}}{0{,}6}\right]_{0}^{6}
  2. ==π×2,23−130,6\pi\times\dfrac{2{,}2^{3}-1^{3}}{0{,}6}
  3. ==π×10,648−10,6\pi\times\dfrac{10{,}648-1}{0{,}6}
  4. ==π×16,08\pi\times 16{,}08
  5. ==16,08 π m3≈50,52 m316{,}08\,\pi\ \text{m}^{3} \approx 50{,}52\ \text{m}^{3}

3.

  1. coût ≈50,52×45 000\approx 50{,}52 \times 45\,000
  2. ≈\approx2 273 4002\,273\,400 F CFA

Le silo doit contenir environ 50,52 m³ de grains, pour un coût de construction estimé à environ 2 273 000 F CFA.

16

Débit sanguin (Yaoundé, Cameroun). À l'hôpital de Yaoundé, le débit sanguin d'un patient pendant un effort de 8 minutes est modélisé par d(t)=−0,05t2+0,6t+4d(t) = -0{,}05t^{2}+0{,}6t+4 (en L/min), pour t∈[0 ; 8]t \in [0~;~8]. Calcule le débit moyen sur ces 8 minutes, au centième de L/min près.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∫08d(t) dt=[−0,05t33+0,3t2+4t]08\displaystyle\int_{0}^{8} d(t)\,dt = \left[-\dfrac{0{,}05t^{3}}{3}+0{,}3t^{2}+4t\right]_{0}^{8}
  2. ==(−25,63+19,2+32)−0\left(-\dfrac{25{,}6}{3}+19{,}2+32\right)-0
  3. ==1283\dfrac{128}{3}
  4. μ=18×1283\mu = \dfrac{1}{8}\times\dfrac{128}{3}
  5. ==163≈5,33 L/min\dfrac{16}{3} \approx 5{,}33\ \text{L/min}

Le débit sanguin moyen du patient pendant l'effort est d'environ 5,33 L/min.

17

Terrain agricole (entre Yaoundé et Douala, Cameroun). Une voie ferrée longe une rivière. Dans un repère où l'unité représente 100100 m, la rive de la rivière suit la courbe d'équation y=−0,06x2+8y=-0{,}06x^{2}+8, et la voie ferrée suit la droite d'équation y=2y=2.

  1. Détermine les abscisses des deux points où la rivière croise la voie ferrée.
  2. Calcule, en hectares, la superficie du terrain agricole compris entre la voie ferrée et la rivière.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. −0,06x2+8=2-0{,}06x^{2}+8 = 2
  2. ⇔\Leftrightarrow0,06x2=60{,}06x^{2} = 6
  3. ⇔\Leftrightarrowx2=100x^{2} = 100
  4. ⇔\Leftrightarrowx=−10x = -10 ou x=10x = 10

2. En x=0x=0, la rivière est à 88, au-dessus de la voie ferrée (à 22) : sur [−10 ; 10][-10~;~10], la rivière est au-dessus de la voie.

  1. A=∫−1010((−0,06x2+8)−2) dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-10}^{10} \big((-0{,}06x^{2}+8)-2\big)\,dx
  2. ==∫−1010(−0,06x2+6) dx\displaystyle\int_{-10}^{10} (-0{,}06x^{2}+6)\,dx
  3. ==[−0,02x3+6x]−1010\left[-0{,}02x^{3}+6x\right]_{-10}^{10}
  4. ==(−20+60)−(20−60)(-20+60)-(20-60)
  5. ==40−(−40)=80 u.a.40-(-40) = 80\ \text{u.a.}

Ici, 11 unité représente 100100 m, donc 11 u.a. représente un carré de 100 m×100 m=10 000 m2=1100\text{ m}\times 100\text{ m} = 10\,000\ \text{m}^{2} = 1 hectare. La superficie du terrain agricole est donc de 80 hectares.

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Si FF est une primitive de ff sur II, l'intégrale ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx est définie par :

Explication : Par définition, ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a), où FF est une primitive quelconque de ff sur un intervalle contenant aa et bb.

Échanger les bornes d'une intégrale :

Explication : Par convention, ∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx : échanger les bornes change le signe.

Calcule ∫02(3x2) dx\displaystyle\int_0^2 (3x^2)\,dx.

Explication : Une primitive de 3x23x^2 est x3x^3, donc
∫023x2 dx=[x3]02=8−0=8\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx = [x^3]_0^2 = 8-0 = 8.

Si ff est continue et positive sur [a ; b][a~;~b], l'intégrale ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx représente :

Explication : Lorsque ff est continue et positive sur [a ; b][a~;~b], ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx est exactement l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites x=ax=a, x=bx=b.

D'après le théorème fondamental de l'analyse, si ff est continue et positive sur II et a∈Ia\in I, la fonction A:x↦∫axf(t) dtA : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt vérifie :

Explication : Le théorème fondamental de l'analyse affirme que AA est dérivable sur II avec A′=fA'=f : AA est la primitive de ff qui s'annule en aa.

La propriété de linéarité de l'intégrale donne, pour f,gf,g continues et kk réel :

Explication : La linéarité donne ∫ab(f+g) dx=∫abf dx+∫abg dx\int_a^b(f+g)\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx et ∫abkf dx=k∫abf dx\int_a^b kf\,dx = k\int_a^b f\,dx — l'intégrale d'un produit n'est en général pas le produit des intégrales.

La relation de Chasles s'écrit, pour a,b,ca, b, c dans un intervalle où ff est continue :

Explication : C'est l'énoncé exact de la relation de Chasles ; elle permet de découper un calcul en plusieurs étapes, notamment pour intégrer une fonction définie par morceaux comme une valeur absolue.

Si ff est continue et f⩾0f \geqslant 0 sur [a ; b][a~;~b] avec a⩽ba \leqslant b, alors :

Explication : C'est la propriété de positivité : une primitive FF de ff est croissante (F′=f⩾0F'=f\geqslant0), donc F(a)⩽F(b)F(a)\leqslant F(b), c'est-à-dire ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)⩾0\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\geqslant0.

La valeur moyenne μ\mu d'une fonction ff continue sur [a ; b][a~;~b] (a<ba<b) est définie par :

Explication : La valeur moyenne est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle : μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. Ne jamais oublier ce facteur 1b−a\frac{1}{b-a}, c'est l'erreur la plus fréquente.

Calcule la valeur moyenne de f(x)=2xf(x)=2x sur [1 ; 5][1~;~5].

Explication : ∫152x dx=[x2]15=25−1=24\displaystyle\int_1^5 2x\,dx = [x^2]_1^5 = 25-1=24
μ=15−1×24=6\mu = \dfrac{1}{5-1}\times24 = 6.

Le théorème de la moyenne affirme que pour ff continue sur [a ; b][a~;~b] (a<ba<b) :

Explication : C'est l'énoncé du théorème de la moyenne, conséquence du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à ff, continue et bornée entre mm et MM.

La formule d'intégration par parties s'écrit, pour u,vu,v de classe C1\mathcal{C}^1 sur [a ; b][a~;~b] :

Explication : C'est la formule exacte, obtenue en intégrant (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' : ∫abu′v dx=[uv]ab−∫abuv′ dx\int_a^b u'v\,dx = [uv]_a^b - \int_a^b uv'\,dx. Oublier le signe moins est un piège classique.

Pour calculer ∫01x ex dx\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,dx par IPP, le choix judicieux est :

Explication : On dérive la partie qui se simplifie (le polynôme xx, dont la dérivée est 11) et on intègre la partie dont une primitive est immédiate (ex\mathrm{e}^x). Le choix inverse alourdirait le calcul.

Pour calculer l'aire entre deux courbes ff et gg sur [a ; b][a~;~b] avec f(x)⩾g(x)f(x)\geqslant g(x), on calcule :

Explication : L'aire entre deux courbes vaut l'intégrale de la fonction du haut moins la fonction du bas, ici f−gf-g, qui est positive sur [a ; b][a~;~b] par hypothèse.

Piège classique : si ff change de signe sur [a ; b][a~;~b], l'intégrale ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx :

Explication : Quand ff change de signe, l'intégrale n'est plus une aire : les parties où f<0f<0 sont comptées négativement. Pour obtenir l'aire réelle, il faut découper et sommer les valeurs absolues, soit A=∫ab∣f(x)∣ dx\mathcal{A}=\int_a^b|f(x)|\,dx.

On a ∫03(x2−4) dx=−3\displaystyle\int_0^3 (x^2-4)\,dx = -3. Cette valeur négative signifie que :

Explication : f(x)=x2−4f(x)=x^2-4 change de signe en x=2x=2 : négative avant, positive après. L'intégrale globale, −3-3, traduit que la partie négative l'emporte sur la partie positive — ce n'est pas l'aire du domaine.

Le volume d'un solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de ff, continue et positive sur [a ; b][a~;~b], autour de (Ox)(Ox), vaut :

Explication : Chaque tranche est assimilable à un disque de rayon f(x)f(x), d'aire π[f(x)]2\pi[f(x)]^2 : en sommant sur l'épaisseur, V=π∫ab[f(x)]2 dxV=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx. Oublier le carré est l'erreur la plus fréquente.

Le volume engendré par la rotation de f(x)=xf(x)=\sqrt{x} sur [0 ; 4][0~;~4] autour de (Ox)(Ox) vaut :

Explication : V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dx=π[x22]04=π×8=8πV = \pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi\times8 = 8\pi.

L'inégalité de la moyenne dit : si m⩽f(x)⩽Mm \leqslant f(x) \leqslant M sur [a ; b][a~;~b] (a⩽ba\leqslant b), alors :

Explication : C'est l'inégalité de la moyenne, très utile pour encadrer une intégrale d'une fonction sans primitive usuelle, comme x↦e−x2x\mapsto\mathrm{e}^{-x^2}.

Dans la méthode des rectangles, pour ff continue et croissante sur [a ; b][a~;~b], les sommes sns_n (rectangles inférieurs) et SnS_n (rectangles supérieurs) vérifient :

Explication : Les rectangles inférieurs sous-estiment l'aire, les rectangles supérieurs la surestiment : sn⩽∫abf(x) dx⩽Sns_n\leqslant\int_a^b f(x)\,dx\leqslant S_n, et cet encadrement se resserre jusqu'à l'intégrale quand n→+∞n\to+\infty (intégrale de Riemann).
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