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Nombres complexes : forme algébrique

Introduire ℂ, calculer et résoudre les équations du second degré à coefficients réels.

Mathématiques Terminale Chapitre 11 / 19 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer avec les complexes sous forme algébrique
  • Résoudre az² + bz + c = 0 dans ℂ
  • Interpréter géométriquement module et conjugué

Depuis la classe de Seconde, tu résous des équations du second degré et tu sais qu'une équation comme x2+1=0x^{2}+1=0 n'a aucune solution réelle : un carré est toujours positif ou nul, et x2x^{2} ne peut donc jamais valoir −1-1. Ce chapitre part de ce constat, mais pour le dépasser plutôt que pour s'en contenter. Comme les Grecs ont dû accepter 2\sqrt{2} alors qu'aucune fraction ne lui était égale, comme il a fallu inventer les nombres négatifs pour que x+5=2x+5=2 ait une solution, les mathématiciens du XVIe siècle ont fini par accepter un nouveau nombre, noté i\mathrm{i}, dont le carré vaut −1-1. Avec lui naît un ensemble de nombres entièrement nouveau : l'ensemble C\mathbb{C} des nombres complexes.

Ce qui change vraiment par rapport à tes années précédentes, c'est que toute équation du second degré à coefficients réels possède désormais une ou deux solutions, même quand le discriminant est strictement négatif. Ce résultat, que tu vas démontrer intégralement dans ce chapitre, referme un dossier resté ouvert depuis la Première. Il s'accompagne d'une lecture géométrique élégante : chaque nombre complexe devient un point du plan, chaque opération algébrique devient une transformation géométrique (symétrie, translation), et le module devient une distance.

Ce chapitre se limite volontairement à la forme algébrique z=x+iyz=x+\mathrm{i}y : addition, produit, quotient, conjugué, module, équations, géométrie du plan complexe. La forme trigonométrique et l'écriture exponentielle, qui donnent un sens à l'angle d'un nombre complexe, feront l'objet d'un chapitre ultérieur. Inutile donc, ici, de chercher un angle ou un argument : tout se joue sur la partie réelle, la partie imaginaire, le conjugué et le module.

Au programme : la construction de C\mathbb{C} et les quatre opérations, le conjugué et le module avec leurs propriétés démontrées, la lecture géométrique dans le plan complexe, la résolution complète des équations du second degré — y compris quand le discriminant est négatif — et enfin l'affixe des points et des vecteurs, avec les ensembles de points qu'elle permet de décrire. Tous les résultats utiles au baccalauréat y sont démontrés : une matière exigeante, mais d'une remarquable cohérence une fois les bases posées.

1Construction et forme algébrique

1.1  L'ensemble des nombres complexes

On admet, et c'est le résultat fondamental de tout ce chapitre, l'existence d'un ensemble de nombres, noté C\mathbb{C}, qui contient R\mathbb{R}, dans lequel l'addition et la multiplication prolongent celles de R\mathbb{R} en conservant toutes leurs règles de calcul habituelles (associativité, commutativité, distributivité), et qui contient un nombre, noté i\mathrm{i}, vérifiant i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1.

Définition

Un nombre complexe est un nombre qui peut s'écrire sous la forme

z=x+iyavec x∈R et y∈Rz = x + \mathrm{i}y \qquad \text{avec } x \in \mathbb{R} \text{ et } y \in \mathbb{R}

Cette écriture s'appelle la forme algébrique de zz. Le réel xx est la partie réelle de zz, notée Re(z)\mathrm{Re}(z) ; le réel yy est la partie imaginaire de zz, notée Im(z)\mathrm{Im}(z) — c'est un nombre réel, malgré son nom. L'ensemble des nombres complexes est noté C\mathbb{C}.

Le nombre i\mathrm{i} s'appelle l'unité imaginaire. Ce n'est pas un mystère : un nouveau nombre, au même titre que 2\sqrt{2} en fut un pour les Grecs, que l'on manipule exactement comme les autres, avec une seule règle supplémentaire à ne jamais oublier :

i2=−1\mathrm{i}^{2} = -1

Attention

N'écris jamais i=−1\mathrm{i}=\sqrt{-1} : le symbole x\sqrt{\phantom{x}} n'est défini que pour des nombres positifs. Écrire −1\sqrt{-1} t'exposerait au raisonnement suivant, faux et redoutable au baccalauréat :

  1. −1=−1×−1-1 = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1}règle ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}, valable seulement pour a,b⩾0a,b\geqslant0
  2. ==(−1)×(−1)\sqrt{(-1)\times(-1)}
  3. ==1=1\sqrt{1} = 1

On aboutirait à −1=1-1=1 ! La règle ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} est réservée aux nombres positifs : retiens uniquement i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1, jamais une écriture faisant apparaître une racine carrée d'un nombre négatif.

Math & Co — Des équations, pas de la curiosité

Contrairement à une idée reçue, les nombres complexes ne sont pas nés pour résoudre x2=−1x^{2}=-1 : au XVIe siècle, une équation sans solution ne dérangeait personne. C'est un problème bien plus concret qui les impose. En 1545, le mathématicien italien Jérôme Cardan publie dans son Ars Magna une formule pour résoudre les équations du troisième degré. Or, appliquée à des équations qui possèdent pourtant trois solutions réelles évidentes, sa formule fait apparaître des racines carrées de nombres négatifs au beau milieu du calcul.

En 1572, l'ingénieur bolonais Raphaël Bombelli a l'audace de manipuler ces quantités « impossibles » comme des nombres ordinaires, en leur appliquant i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 — et constate qu'elles finissent par s'annuler dans le calcul, laissant apparaître la bonne solution réelle. Il vient d'inventer, sans le nommer, le calcul sur C\mathbb{C}. Le nom « imaginaire » est dû à Descartes (1637), la notation i\mathrm{i} à Euler (1777) ; il faudra encore deux siècles pour que ces nombres soient pleinement légitimés.

Exemple — reconnaître une forme algébrique

Le nombre z=3−5iz=3-5\mathrm{i} est déjà sous forme algébrique, avec x=3x=3 et y=−5y=-5 : donc Re(z)=3\mathrm{Re}(z)=3 et Im(z)=−5\mathrm{Im}(z)=-5. Le nombre z′=7z'=7 est un complexe particulier, de partie réelle 77 et de partie imaginaire 00. Le nombre z′′=−4iz''=-4\mathrm{i} a pour partie réelle 00 et pour partie imaginaire −4-4.

1.2  Unicité de la forme algébrique

Pour que la forme algébrique soit vraiment utile, il faut qu'un nombre complexe ne s'écrive que d'une seule façon sous cette forme. C'est effectivement le cas, et cela mérite une démonstration.

Théorème — unicité de la forme algébrique

Tout nombre complexe zz s'écrit z=x+iyz=x+\mathrm{i}y avec x∈Rx\in\mathbb{R} et y∈Ry\in\mathbb{R} uniques. Autrement dit, pour tous réels x,y,x′,y′x,y,x',y' :

x+iy=x′+iy′  ⟺  {x=x′y=y′x+\mathrm{i}y = x'+\mathrm{i}y' \iff \left\{\begin{array}{l}x=x' \\ y=y'\end{array}\right.

Démonstration

Le sens ⇐\Leftarrow est évident. Montrons ⇒\Rightarrow. On suppose x+iy=x′+iy′x+\mathrm{i}y=x'+\mathrm{i}y', et l'on raisonne par l'absurde en supposant y≠y′y\neq y'.

  1. x+iy=x′+iy′x+\mathrm{i}y = x'+\mathrm{i}y'
  2. ⇒\Rightarrowi(y−y′)=x′−x\mathrm{i}(y-y') = x'-x
  3. ⇒\Rightarrowi=x′−xy−y′\mathrm{i} = \dfrac{x'-x}{y-y'}on divise par y−y′y-y', non nul par hypothèse absurde

Le membre de droite, quotient de deux réels, est un nombre réel. On aurait donc i∈R\mathrm{i}\in\mathbb{R}, et en particulier i2\mathrm{i}^{2} serait le carré d'un réel, donc positif ou nul. Or i2=−1<0\mathrm{i}^{2}=-1<0 : contradiction. L'hypothèse y≠y′y\neq y' est donc absurde, si bien que y=y′y=y'. L'égalité de départ donne alors immédiatement x=x′x=x'. C.Q.F.D.

Ce théorème autorise l'identification des parties réelle et imaginaire : c'est l'outil le plus utilisé du chapitre pour résoudre une équation dont les inconnues sont réelles.

Méthode — identifier parties réelle et imaginaire

Pour résoudre une équation entre deux nombres complexes dont les inconnues sont réelles : on regroupe chaque membre sous la forme A+iBA+\mathrm{i}B avec A,BA,B réels, puis on égale séparément les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres. On obtient un système d'équations réelles.

Exemple — résoudre par identification

Déterminer les réels xx et yy tels que (2x−y)+i(x+3y)=5+6i(2x-y)+\mathrm{i}(x+3y) = 5+6\mathrm{i}.

Par unicité de la forme algébrique, cette égalité équivaut au système :

  1. {2x−y=5x+3y=6\left\{\begin{array}{l}2x-y=5 \\ x+3y=6\end{array}\right.
  2. ⇒\Rightarrowy=2x−5y = 2x-5d'après la première équation
  3. ⇒\Rightarrowx+3(2x−5)=6x+3(2x-5) = 6on substitue dans la seconde
  4. ⇒\Rightarrow7x−15=67x-15=6
  5. ⇒\Rightarrowx=3x=3
  6. ⇒\Rightarrowy=2×3−5=1y = 2\times3-5 = 1

On vérifie : (2×3−1)+i(3+3×1)=5+6i(2\times3-1)+\mathrm{i}(3+3\times1) = 5+6\mathrm{i}, ce qui est cohérent. D'où x=3x=3 et y=1y=1.

1.3  Cas particuliers : réels et imaginaires purs

Propriété

Soit z=x+iyz=x+\mathrm{i}y un nombre complexe (x,yx,y réels).

  • zz est un nombre réel si et seulement si y=0y=0, c'est-à-dire Im(z)=0\mathrm{Im}(z)=0. On a ainsi R⊂C\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.
  • zz est un imaginaire pur si et seulement si x=0x=0, c'est-à-dire Re(z)=0\mathrm{Re}(z)=0. L'ensemble des imaginaires purs se note souvent iR\mathrm{i}\mathbb{R}.

Ces deux équivalences découlent immédiatement de la définition de la forme algébrique.

Le nombre 0=0+i×00=0+\mathrm{i}\times0 est ainsi le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur.

Exemple — déterminer un paramètre pour un cas particulier

On pose z=(x−2)+i(x+2)z=(x-2)+\mathrm{i}(x+2), où xx est un réel. Pour quelle valeur de xx le nombre zz est-il réel ? Imaginaire pur ?

  1. z∈R  ⟺  x+2=0z\in\mathbb{R} \iff x+2=0partie imaginaire nulle
  2.   ⟺  \iffx=−2x=-2on obtient alors z=−4z=-4
  1. z imaginaire pur  ⟺  x−2=0z \text{ imaginaire pur} \iff x-2=0partie réelle nulle
  2.   ⟺  \iffx=2x=2on obtient alors z=4iz=4\mathrm{i}, bien non nul

2Conjugué, module

Deux outils vont désormais accompagner chaque nombre complexe : son conjugué, qui permettra en particulier de diviser par un complexe (section 3), et son module, qui généralise la valeur absolue et deviendra une distance dans le plan complexe (section 4).

2.1  Conjugué d'un nombre complexe

Définition

Soit z=x+iyz=x+\mathrm{i}y un nombre complexe (x,yx,y réels). Le conjugué de zz, noté z‾\overline{z}, est le nombre complexe

z‾=x−iy\overline{z} = x - \mathrm{i}y

On passe donc de zz à z‾\overline{z} en changeant le signe de la partie imaginaire, la partie réelle restant inchangée.

Exemple — calculer un conjugué

5−2i‾=5+2i\overline{5-2\mathrm{i}} = 5+2\mathrm{i}  ·  −3+i‾=−3−i\overline{-3+\mathrm{i}} = -3-\mathrm{i}  ·  7‾=7\overline{7} = 7  ·  4i‾=−4i\overline{4\mathrm{i}} = -4\mathrm{i}.

Propriété

Pour tous nombres complexes z=x+iyz=x+\mathrm{i}y et z′z', et tout entier n⩾1n\geqslant1 :

  • z‾‾=z\overline{\overline{z}} = z  (conjuguer deux fois redonne zz) ;
  • z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z'} = \overline{z}+\overline{z'}  et  z−z′‾=z‾−z′‾\overline{z-z'} = \overline{z}-\overline{z'} ;
  • z×z′‾=z‾×z′‾\overline{z\times z'} = \overline{z}\times\overline{z'}  et  zn‾=(z‾)n\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^{n} ;
  • si z≠0z\neq0 : (1z)‾=1z‾\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\overline{z}}  et, si de plus z′≠0z'\neq0 : (zz′)‾=z‾z′‾\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}} ;
  • z∈R  ⟺  z‾=zz\in\mathbb{R} \iff \overline{z}=z  ·  zz imaginaire pur   ⟺  z‾=−z\iff \overline{z}=-z ;
  • Re(z)=z+z‾2\mathrm{Re}(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2}  et  Im(z)=z−z‾2i\mathrm{Im}(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2\mathrm{i}}.
Démonstration

Conjugué d'un produit. Posons z=x+iyz=x+\mathrm{i}y et z′=x′+iy′z'=x'+\mathrm{i}y', avec x,y,x′,y′x,y,x',y' réels.

  1. zz′=(xx′−yy′)+i(xy′+x′y)zz' = (xx'-yy') + \mathrm{i}(xy'+x'y)développement, en utilisant i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1
  2. ⇒\Rightarrowzz′‾=(xx′−yy′)−i(xy′+x′y)\overline{zz'} = (xx'-yy') - \mathrm{i}(xy'+x'y)
  1. z‾ z′‾=(x−iy)(x′−iy′)\overline{z}\,\overline{z'} = (x-\mathrm{i}y)(x'-\mathrm{i}y')
  2. ==(xx′−yy′)−i(xy′+x′y)(xx'-yy') - \mathrm{i}(xy'+x'y)même développement, avec deux signes « −- »

Les deux expressions coïncident : zz′‾=z‾ z′‾\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}. La formule pour zn‾\overline{z^{n}} s'en déduit par récurrence immédiate, et celle pour 1/z‾\overline{1/z} en écrivant z×1z=1z\times\dfrac{1}{z}=1 puis en conjuguant les deux membres (le conjugué de 11 est 11).

Parties réelle et imaginaire. z+z‾=(x+iy)+(x−iy)=2xz+\overline{z} = (x+\mathrm{i}y)+(x-\mathrm{i}y) = 2x, d'où Re(z)=x=z+z‾2\mathrm{Re}(z)=x=\dfrac{z+\overline{z}}{2}. De même z−z‾=2iyz-\overline{z}=2\mathrm{i}y, d'où Im(z)=y=z−z‾2i\mathrm{Im}(z)=y=\dfrac{z-\overline{z}}{2\mathrm{i}}. Enfin z=z‾  ⟺  x+iy=x−iy  ⟺  2iy=0  ⟺  y=0  ⟺  z∈Rz=\overline{z} \iff x+\mathrm{i}y=x-\mathrm{i}y \iff 2\mathrm{i}y=0 \iff y=0 \iff z\in\mathbb{R} par unicité de la forme algébrique ; on montre de même que z‾=−z  ⟺  x=0\overline{z}=-z \iff x=0. C.Q.F.D.

Attention

Le conjugué de i\mathrm{i} est i‾=−i\overline{\mathrm{i}} = -\mathrm{i} (car i=0+1i\mathrm{i}=0+1\mathrm{i}, de partie réelle nulle). Une erreur fréquente consiste à « oublier » de conjuguer un facteur i\mathrm{i} :

iz‾=i‾×z‾=−i z‾et surtout pasi z‾\overline{\mathrm{i}z} = \overline{\mathrm{i}}\times\overline{z} = -\mathrm{i}\,\overline{z} \qquad \text{et surtout } \textbf{pas} \quad \mathrm{i}\,\overline{z}

2.2  Module d'un nombre complexe

Définition

Soit z=x+iyz=x+\mathrm{i}y un nombre complexe (x,yx,y réels). Le module de zz, noté ∣z∣|z|, est le nombre réel positif

∣z∣=x2+y2|z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Lorsque zz est réel (y=0y=0), ∣z∣=x2=∣x∣|z|=\sqrt{x^{2}}=|x| : le module prolonge donc bien la valeur absolue.

Propriété fondamentale

Pour tout nombre complexe zz :

∣z∣2=z z‾|z|^{2} = z\,\overline{z}

Démonstration

Avec z=x+iyz=x+\mathrm{i}y :

  1. z z‾=(x+iy)(x−iy)z\,\overline{z} = (x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)
  2. ==x2−(iy)2x^{2} - (\mathrm{i}y)^{2}identité remarquable (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
  3. ==x2−i2y2x^{2} - \mathrm{i}^{2}y^{2}
  4. ==x2+y2x^{2}+y^{2}car i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1
  5. ==∣z∣2|z|^{2}par définition du module

Cette identité, extrêmement utile, permet de démontrer d'un seul coup toutes les propriétés du module.

Propriété

Pour tous nombres complexes z,z′z,z' :

  • ∣z∣⩾0|z|\geqslant0, et ∣z∣=0  ⟺  z=0|z|=0 \iff z=0 ;
  • ∣z‾∣=∣z∣|\overline{z}|=|z|  et  ∣−z∣=∣z∣|-z|=|z| ;
  • ∣z×z′∣=∣z∣×∣z′∣|z\times z'| = |z|\times|z'| ;
  • si z′≠0z'\neq0 : ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}.
Démonstration

Les deux premiers points découlent immédiatement de ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} : une racine carrée est positive, et nulle seulement si x=y=0x=y=0 ; changer le signe de xx, de yy, ou des deux, ne change pas x2+y2x^{2}+y^{2}. Pour le produit :

  1. ∣zz′∣2=(zz′)(zz′)‾|zz'|^{2} = (zz')\overline{(zz')}propriété fondamentale, appliquée à zz′zz'
  2. ==zz′ z‾ z′‾zz'\,\overline{z}\,\overline{z'}conjugué d'un produit
  3. ==(zz‾)(z′z′‾)(z\overline{z})(z'\overline{z'})commutativité, associativité de ×\times
  4. ==∣z∣2 ∣z′∣2|z|^{2}\,|z'|^{2}
  5. ==(∣z∣ ∣z′∣)2\left(|z|\,|z'|\right)^{2}

Deux nombres positifs dont les carrés sont égaux sont égaux, d'où ∣zz′∣=∣z∣ ∣z′∣|zz'|=|z|\,|z'|. La formule du quotient s'obtient en appliquant ce résultat à l'égalité z=zz′×z′z = \dfrac{z}{z'}\times z'. C.Q.F.D.

Exemple — calculer un module
  1. z=6−8iz=6-8\mathrm{i}
  2. ⇒\Rightarrow∣z∣=62+(−8)2=36+64=100|z| = \sqrt{6^{2}+(-8)^{2}} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}
  3. ==1010

Vérification par la propriété fondamentale : zz‾=(6−8i)(6+8i)=36+64=100=102z\overline{z} = (6-8\mathrm{i})(6+8\mathrm{i}) = 36+64 = 100 = 10^{2}, ce qui confirme le résultat.

Exemple — module d'un nombre non entier

Pour z=−3+4iz=-3+4\mathrm{i} : ∣z∣=(−3)2+42=9+16=25=5|z|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Tu verras en section 4 que ce 55 mesure très exactement une distance dans le plan complexe.

Attention

Ne confonds jamais ∣z∣2|z|^{2} et z2z^{2} : ce sont deux nombres en général différents. Seule l'identité ∣z∣2=zz‾|z|^{2}=z\overline{z} est toujours vraie. Par exemple pour z=iz=\mathrm{i} : z2=i2=−1z^{2}=\mathrm{i}^{2}=-1, alors que ∣z∣2=12=1|z|^{2} = 1^{2} = 1. Les deux ne coïncident que lorsque zz est réel — auquel cas ∣z∣2=z2=x2|z|^{2}=z^{2}=x^{2}.

3Opérations et inverse

L'ensemble C\mathbb{C} a été construit pour que l'addition et la multiplication de R\mathbb{R} s'y prolongent sans perdre aucune de leurs règles de calcul. Calculer avec des complexes revient donc, la plupart du temps, à calculer comme avec des expressions littérales — à condition de ne jamais oublier de remplacer i2\mathrm{i}^{2} par −1-1 dès qu'il apparaît.

3.1  Somme et produit

Propriété

Soit z=x+iyz=x+\mathrm{i}y et z′=x′+iy′z'=x'+\mathrm{i}y' deux nombres complexes (x,y,x′,y′x,y,x',y' réels).

z+z′=(x+x′)+i(y+y′)z−z′=(x−x′)+i(y−y′)z+z' = (x+x') + \mathrm{i}(y+y') \qquad\qquad z-z' = (x-x') + \mathrm{i}(y-y')

z×z′=(xx′−yy′)+i(xy′+x′y)z\times z' = (xx'-yy') + \mathrm{i}(xy'+x'y)

La formule du produit se retrouve immédiatement en développant (x+iy)(x′+iy′)(x+\mathrm{i}y)(x'+\mathrm{i}y') : elle a d'ailleurs déjà été établie dans la démonstration de la section 2.

Méthode — calculer un produit

On ne retient pas la formule par cœur : on développe le produit comme celui de deux binômes, on remplace chaque i2\mathrm{i}^{2} par −1-1, puis on regroupe séparément les termes réels et les termes en i\mathrm{i}.

Exemple — somme et produit

Avec z=2−3iz=2-3\mathrm{i} et z′=−1+4iz'=-1+4\mathrm{i} : z+z′=(2+(−1))+i(−3+4)=1+iz+z' = \left(2+(-1)\right) + \mathrm{i}\left(-3+4\right) = 1+\mathrm{i}.

  1. z×z′=(2−3i)(−1+4i)z\times z' = (2-3\mathrm{i})(-1+4\mathrm{i})
  2. ==2×(−1)+2×4i+(−3i)×(−1)+(−3i)×4i2\times(-1) + 2\times4\mathrm{i} + (-3\mathrm{i})\times(-1) + (-3\mathrm{i})\times4\mathrm{i}on distribue chaque terme
  3. ==−2+8i+3i−12i2-2 + 8\mathrm{i} + 3\mathrm{i} - 12\mathrm{i}^{2}
  4. ==−2+11i+12-2 + 11\mathrm{i} + 12car −12i2=−12×(−1)=12-12\mathrm{i}^{2}=-12\times(-1)=12
  5. ==10+11i10 + 11\mathrm{i}
Propriété — puissances de i\mathrm{i}

Puisque i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1, on a i3=−i\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i} et i4=(i2)2=1\mathrm{i}^{4}=\left(\mathrm{i}^{2}\right)^{2}=1 : les puissances de i\mathrm{i} se répètent avec une période 4. Si n=4q+rn=4q+r est la division euclidienne de l'entier nn par 44 (0⩽r⩽30\leqslant r\leqslant3), alors in=ir\mathrm{i}^{n} = \mathrm{i}^{r}.

Méthode — calculer une puissance de i\mathrm{i}

On effectue la division euclidienne de l'exposant par 44 : seul le reste compte, puisque i4=1\mathrm{i}^{4}=1.

Exemple — puissance de i\mathrm{i}
  1. 2 023=4×505+32\,023 = 4\times505+3division euclidienne de 2 0232\,023 par 44
  2. ⇒\Rightarrowi2 023=i4×505+3=(i4)505×i3\mathrm{i}^{2\,023} = \mathrm{i}^{4\times505+3} = \left(\mathrm{i}^{4}\right)^{505}\times\mathrm{i}^{3}
  3. ==1505×(−i)1^{505}\times(-\mathrm{i})
  4. ==−i-\mathrm{i}

3.2  Inverse et quotient

Propriété — inverse d'un complexe non nul

Pour tout nombre complexe z≠0z\neq0 :

1z=z‾∣z∣2\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}

Démonstration

Puisque z≠0z\neq0, on a ∣z∣2≠0|z|^{2}\neq0 d'après les propriétés du module. Or, par la propriété fondamentale du module (section 2) :

  1. z z‾=∣z∣2z\,\overline{z} = |z|^{2}
  2. ⇒\Rightarrowz×z‾∣z∣2=1z\times\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}} = 1on divise les deux membres par le réel non nul ∣z∣2|z|^{2}

Le nombre z‾∣z∣2\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}} multiplié par zz donne 11 : c'est donc bien l'inverse de zz. C.Q.F.D.

Méthode — écrire un quotient sous forme algébrique

Pour écrire zz′\dfrac{z}{z'} (z′≠0z'\neq0) sous forme algébrique : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué z′‾\overline{z'} du dénominateur. Le nouveau dénominateur, z′z′‾=∣z′∣2z'\overline{z'}=|z'|^{2}, est un réel : il ne reste plus qu'à développer le numérateur.

Exemple — calculer un inverse
  1. z=3−4i⇒∣z∣2=32+(−4)2=25z = 3-4\mathrm{i} \Rightarrow |z|^{2} = 3^{2}+(-4)^{2} = 25
  2. 1z=z‾∣z∣2=3+4i25\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}} = \dfrac{3+4\mathrm{i}}{25}
  3. ==325+425i\dfrac{3}{25} + \dfrac{4}{25}\mathrm{i}
Exemple — calculer un quotient
  1. 2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)\dfrac{2+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} = \dfrac{(2+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}on multiplie par le conjugué du dénominateur
  2. (1−i)(1+i)=12−i2=1+1=2(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 1^{2}-\mathrm{i}^{2} = 1+1 = 2
  3. (2+i)(1+i)=2+2i+i+i2=2+3i−1=1+3i(2+\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 2+2\mathrm{i}+\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2} = 2+3\mathrm{i}-1 = 1+3\mathrm{i}
  4. ⇒\Rightarrow2+i1−i=1+3i2=12+32i\dfrac{2+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} = \dfrac{1+3\mathrm{i}}{2} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i}
Attention

Une erreur classique consiste à ne multiplier que le numérateur par le conjugué, en « oubliant » le dénominateur — ce qui change la valeur du quotient. Il faut multiplier les deux par le même nombre z′‾\overline{z'} : c'est le principe d'une écriture équivalente d'une fraction, ab=akbk\dfrac{a}{b}=\dfrac{ak}{bk} pour k≠0k\neq0, pas une opération magique réservée aux complexes.

4Représentation dans le plan complexe

Jusqu'ici, un nombre complexe n'était qu'une écriture algébrique. Il va maintenant devenir un point — et cette lecture géométrique, loin d'être un simple habillage, rendra concrètes des propriétés que l'algèbre seule laissait abstraites.

4.1  Point image et affixe

Définition

On munit le plan d'un repère orthonormé direct (O ; u⃗,v⃗)(O~;~\vec{u},\vec{v}), appelé plan complexe. À tout nombre complexe z=x+iyz=x+\mathrm{i}y (x,yx,y réels), on associe le point M(x ; y)M(x~;~y), appelé point image de zz ; réciproquement, à tout point M(x ; y)M(x~;~y) du plan, on associe le nombre complexe z=x+iyz=x+\mathrm{i}y, appelé affixe de MM, noté zMz_{M}. L'axe des abscisses est l'axe des réels, l'axe des ordonnées l'axe des imaginaires.

Cette correspondance z↔M(x ; y)z\leftrightarrow M(x~;~y) est une bijection entre C\mathbb{C} et le plan : c'est une conséquence directe de l'unicité de la forme algébrique (théorème de la section 1). Chaque nombre complexe a un unique point image, et réciproquement chaque point du plan est l'image d'un unique nombre complexe.

Exemple — placer des points images

Les points images de z1=3+2iz_{1}=3+2\mathrm{i}, z2=−4+iz_{2}=-4+\mathrm{i}, z3=−2−3iz_{3}=-2-3\mathrm{i} et z4=5z_{4}=5 sont respectivement M1(3 ; 2)M_{1}(3~;~2), M2(−4 ; 1)M_{2}(-4~;~1), M3(−2 ; −3)M_{3}(-2~;~-3) et M4(5 ; 0)M_{4}(5~;~0) — ce dernier est situé sur l'axe des réels, comme il se doit pour un nombre réel.

4.2  Interprétation géométrique du conjugué et du module

Propriété

Soit MM le point image d'un nombre complexe zz.

  • Le point image de z‾\overline{z} est le symétrique de MM par rapport à l'axe des réels.
  • Le point image de −z-z est le symétrique de MM par rapport à l'origine OO.
  • Le module ∣z∣|z| est égal à la distance OMOM.
Démonstration

Si z=x+iyz=x+\mathrm{i}y, le point image de z‾=x−iy\overline{z}=x-\mathrm{i}y a pour coordonnées (x ; −y)(x~;~-y) : c'est le symétrique de M(x ; y)M(x~;~y) par rapport à l'axe des abscisses (l'ordonnée change de signe, l'abscisse ne bouge pas). De même, le point image de −z=−x−iy-z=-x-\mathrm{i}y a pour coordonnées (−x ; −y)(-x~;~-y), symétrique de MM par rapport à OO (les deux coordonnées changent de signe). Enfin, dans le repère orthonormé (O ; u⃗,v⃗)(O~;~\vec{u},\vec{v}), la distance OMOM se calcule par OM=x2+y2OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}} — exactement la définition du module ∣z∣|z|. C.Q.F.D.

La figure ci-dessous illustre ces trois symétries sur un même exemple.

-5-4-3-2-112345 4i3i2ii-i-2i-3i-4i O M(4+3i)M′(4−3i)P(−4−3i)
Figure 1 — Le point MM, son symétrique par conjugaison M′M' d'affixe z‾\overline{z} (par rapport à l'axe des réels), et son symétrique PP d'affixe −z-z (par rapport à OO), pour z=4+3iz=4+3\mathrm{i}.
Exemple — symétriques d'un point image

Le point AA d'affixe zA=−6+2iz_{A}=-6+2\mathrm{i} a pour symétrique par rapport à l'axe des réels le point d'affixe zA‾=−6−2i\overline{z_{A}}=-6-2\mathrm{i}, et pour symétrique par rapport à OO le point d'affixe −zA=6−2i-z_{A}=6-2\mathrm{i}.

L'égalité ∣z∣=OM|z|=OM n'est pas qu'une formule : elle rend concrète l'origine du module, qui n'est rien d'autre qu'une application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par OO, MM, et le projeté de MM sur l'axe des réels.

-5-4-3-2-112345 6i5i4i3i2ii-i O 34|z| = 5 M(−3+4i) OM² = (−3)² + 4² = 9+16 = 25 donc OM = |z| = 5
Figure 2 — Le module ∣z∣|z| est la distance OMOM : dans le triangle rectangle formé par OO, le projeté de MM sur l'axe des réels et MM, le théorème de Pythagore redonne exactement ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Exemple — module et distance à l'origine

Le point MM d'affixe z=−3+4iz=-3+4\mathrm{i} (figure 2) est à la distance OM=∣z∣=(−3)2+42=25=5OM=|z|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5 de l'origine OO.

Math & Co — Un plan pour des nombres

Pendant près de deux siècles après Bombelli, les nombres complexes restent des outils de calcul suspects, sans existence propre. Le tournant géométrique vient de trois auteurs, indépendamment. En 1799, l'arpenteur danois Caspar Wessel présente à l'Académie royale du Danemark une représentation des nombres complexes comme points du plan — son mémoire, rédigé en danois, restera longtemps ignoré hors de Scandinavie. En 1806, le comptable et mathématicien amateur Jean-Robert Argand, à Paris, redécouvre la même idée et lui laisse son nom : on parle encore aujourd'hui de plan d'Argand. C'est enfin Carl Friedrich Gauss qui, en 1831, popularise durablement cette représentation et forge l'expression « nombre complexe » pour remplacer le mot « imaginaire », qu'il jugeait trompeur : ces nombres ne sont pas moins réels que les autres, ils vivent seulement dans un plan plutôt que sur une droite.

Attention

Le point image de z=x+iyz=x+\mathrm{i}y a pour coordonnées (x ; y)(x~;~y) — deux nombres réels — et non (x ; iy)(x~;~\mathrm{i}y). L'axe des « imaginaires » est gradué avec des réels ordinaires : l'ordonnée yy représente seulement le coefficient de i\mathrm{i}, ce n'est pas une droite peuplée de nombres imaginaires.

5Équations du second degré à coefficients réels

Depuis la classe de Première, tu sais résoudre az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 dans R\mathbb{R} lorsque Δ⩾0\Delta\geqslant0, et tu as appris qu'il n'existe aucune solution réelle lorsque Δ<0\Delta<0. Grâce à C\mathbb{C}, ce dernier cas cesse d'être une impasse : toute équation du second degré à coefficients réels possède désormais deux solutions, sans exception. Cette section démontre ce résultat, puis l'étend aux équations à coefficients complexes et à quelques équations de degré 3.

5.1  Retour sur le discriminant

Théorème — équation du second degré dans C\mathbb{C}, coefficients réels

Soit a,b,ca,b,c trois réels, a≠0a\neq0, et Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac. L'équation az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0, d'inconnue z∈Cz\in\mathbb{C}, admet toujours des solutions :

  • si Δ>0\Delta>0 : deux solutions réelles distinctes z1,2=−b±Δ2az_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} ;
  • si Δ=0\Delta=0 : une solution réelle double z0=−b2az_{0}=-\dfrac{b}{2a} ;
  • si Δ<0\Delta<0 : deux solutions complexes non réelles, conjuguées l'une de l'autre, z1,2=−b±i−Δ2az_{1,2}=\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}.

Dans tous les cas, az2+bz+c=a(z−z1)(z−z2)az^{2}+bz+c=a(z-z_{1})(z-z_{2}).

Démonstration

On part de la forme canonique, valable dans C\mathbb{C} car elle n'utilise que les règles de calcul usuelles :

  1. az2+bz+c=a[(z+b2a)2−Δ4a2]az^{2}+bz+c = a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right]

Si Δ⩾0\Delta\geqslant0, on pose δ=Δ\delta=\sqrt{\Delta} (réel) ; si Δ<0\Delta<0, on pose δ=i−Δ\delta=\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}, qui existe puisque −Δ>0-\Delta>0. Dans les deux cas δ2=Δ\delta^{2}=\Delta, donc Δ4a2=(δ2a)2\dfrac{\Delta}{4a^{2}}=\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^{2}.

  1. az2+bz+c=a[(z+b2a)2−(δ2a)2]az^{2}+bz+c = a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^{2}\right]
  2. ==a(z+b2a−δ2a)(z+b2a+δ2a)a\left(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\delta}{2a}\right)\left(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\delta}{2a}\right)identité X2−Y2=(X−Y)(X+Y)X^{2}-Y^{2}=(X-Y)(X+Y), valable dans C\mathbb{C}
  3. ==a(z−−b+δ2a)(z−−b−δ2a)a\left(z-\dfrac{-b+\delta}{2a}\right)\left(z-\dfrac{-b-\delta}{2a}\right)

Un produit de facteurs (avec a≠0a\neq0) est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : les solutions sont donc exactement z1=−b−δ2az_{1}=\dfrac{-b-\delta}{2a} et z2=−b+δ2az_{2}=\dfrac{-b+\delta}{2a}. Si Δ⩾0\Delta\geqslant0, δ\delta est réel et l'on retrouve les formules connues depuis la Première. Si Δ<0\Delta<0, δ=i−Δ\delta=\mathrm{i}\sqrt{-\Delta} avec a,b,−Δa,b,\sqrt{-\Delta} réels, donc z2=z1‾z_{2}=\overline{z_{1}} : les deux solutions sont bien conjuguées. C.Q.F.D.

Méthode — résoudre az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 dans C\mathbb{C}

On calcule Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac, puis on applique directement la formule correspondant à son signe, donnée par le théorème ci-dessus.

Exemple — discriminant strictement négatif

Résoudre dans C\mathbb{C} : z2−2z+5=0z^{2}-2z+5=0.

  1. Δ=(−2)2−4×1×5=4−20=−16<0\Delta = (-2)^{2}-4\times1\times5 = 4-20 = -16 < 0
  2. ⇒\Rightarrowz=2±i162=2±4i2z = \dfrac{2\pm\mathrm{i}\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2\pm4\mathrm{i}}{2}
  3. ==1±2i1\pm2\mathrm{i}

L'ensemble des solutions est S={1−2i ; 1+2i}S=\{1-2\mathrm{i}~;~1+2\mathrm{i}\}, deux nombres conjugués.

Attention

Comme en section 1, n'écris jamais Δ\sqrt{\Delta} lorsque Δ<0\Delta<0 : le symbole x\sqrt{\phantom{x}} n'est défini que pour un réel positif. On écrit i−Δ\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}, où −Δ>0-\Delta>0 cette fois puisque Δ<0\Delta<0.

5.2  Racines carrées d'un nombre complexe

Pour résoudre une équation à coefficients complexes (sous-section suivante), le signe de Δ\Delta n'a plus de sens : il faut savoir calculer directement une racine carrée d'un nombre complexe quelconque.

Définition

Soit ZZ un nombre complexe. On appelle racine carrée de ZZ tout nombre complexe δ\delta tel que δ2=Z\delta^{2}=Z. Contrairement au cas réel positif, aucune des deux racines carrées n'est privilégiée : il n'existe pas de symbole Z\sqrt{Z} pour ZZ complexe non réel.

Méthode — calculer les racines carrées de Z=a+ibZ=a+\mathrm{i}b

On cherche δ=x+iy\delta=x+\mathrm{i}y (x,yx,y réels) tel que δ2=Z\delta^{2}=Z.

  1. Développer δ2=x2−y2+2xy i\delta^{2}=x^{2}-y^{2}+2xy\,\mathrm{i} et identifier avec ZZ : x2−y2=ax^{2}-y^{2}=a et 2xy=b2xy=b.
  2. Ajouter la relation ∣δ∣2=∣Z∣|\delta|^{2}=|Z|, soit x2+y2=a2+b2x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  3. Des deux relations en x2,y2x^{2},y^{2}, tirer ∣x∣|x| et ∣y∣|y| par somme et différence.
  4. Fixer le signe relatif de xx et yy avec 2xy=b2xy=b (même signe si b>0b>0, opposés si b<0b<0). On obtient deux valeurs opposées ±δ\pm\delta.
Démonstration — validité du système

Si δ2=Z\delta^{2}=Z, alors ∣δ∣2=∣δ2∣=∣Z∣|\delta|^{2}=|\delta^{2}|=|Z| par les propriétés du module (section 2) : c'est une conséquence de δ2=Z\delta^{2}=Z, pas une hypothèse ajoutée arbitrairement.

  1. x2+y2=∣Z∣=a2+b2x^{2}+y^{2} = |Z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}  et  x2−y2=ax^{2}-y^{2}=a
  2. ⇒\Rightarrowx2=a+a2+b22x^{2} = \dfrac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}  et  y2=a2+b2−a2y^{2} = \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}somme, puis différence, des deux relations

Ces deux quantités sont positives car a2+b2⩾∣a∣\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geqslant|a| : elles déterminent ∣x∣|x| et ∣y∣|y|, et la relation 2xy=b2xy=b fixe leur signe relatif. C.Q.F.D.

Exemple — racines carrées de Z=−3+4iZ=-3+4\mathrm{i}
  1. ∣Z∣=(−3)2+42=25=5|Z| = \sqrt{(-3)^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5
  2. x2=−3+52=1⇒∣x∣=1x^{2} = \dfrac{-3+5}{2} = 1 \Rightarrow |x|=1
  3. y2=5−(−3)2=4⇒∣y∣=2y^{2} = \dfrac{5-(-3)}{2} = 4 \Rightarrow |y|=2
  4. 2xy=4>02xy=4>0xx et yy sont donc de même signe
  5. ⇒\Rightarrowδ=1+2i\delta=1+2\mathrm{i}  ou  δ=−1−2i\delta=-1-2\mathrm{i}

Vérification : (1+2i)2=1+4i−4=−3+4i=Z(1+2\mathrm{i})^{2}=1+4\mathrm{i}-4=-3+4\mathrm{i}=Z. Les racines carrées de ZZ sont 1+2i1+2\mathrm{i} et −1−2i-1-2\mathrm{i}.

5.3  Équations à coefficients complexes

Propriété

Soit a,b,ca,b,c trois complexes, a≠0a\neq0, Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac, et δ\delta une racine carrée de Δ\Delta (section 5.2). L'équation az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 admet :

  • si Δ≠0\Delta\neq0 : deux solutions distinctes z1,2=−b±δ2az_{1,2}=\dfrac{-b\pm\delta}{2a} ;
  • si Δ=0\Delta=0 : une solution double z0=−b2az_{0}=-\dfrac{b}{2a}.

La démonstration de la section 5.1 ne fait intervenir que la forme canonique et l'identité X2−Y2=(X−Y)(X+Y)X^{2}-Y^{2}=(X-Y)(X+Y), valables dans C\mathbb{C} quels que soient a,b,ca,b,c : elle se transpose donc à l'identique, à condition de remplacer Δ\sqrt{\Delta} — qui n'a plus de sens, Δ\Delta n'étant en général pas réel — par une racine carrée δ\delta de Δ\Delta au sens de 5.2.

Exemple — équation à coefficients complexes

Résoudre dans C\mathbb{C} : z2−(3+i)z+(2+i)=0z^{2}-(3+\mathrm{i})z+(2+\mathrm{i})=0.

  1. Δ=(3+i)2−4(2+i)\Delta = (3+\mathrm{i})^{2}-4(2+\mathrm{i})
  2. ==(8+6i)−(8+4i)(8+6\mathrm{i})-(8+4\mathrm{i})(3+i)2=9+6i+i2=8+6i(3+\mathrm{i})^{2}=9+6\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=8+6\mathrm{i}
  3. ==2i2\mathrm{i}
  4. δ=1+i\delta=1+\mathrm{i} est une racine carrée de Δ\Delta(1+i)2=2i(1+\mathrm{i})^{2}=2\mathrm{i}, méthode de 5.2
  5. ⇒\Rightarrowz1=(3+i)−(1+i)2=22=1z_{1} = \dfrac{(3+\mathrm{i})-(1+\mathrm{i})}{2} = \dfrac{2}{2} = 1
  6. ⇒\Rightarrowz2=(3+i)+(1+i)2=4+2i2=2+iz_{2} = \dfrac{(3+\mathrm{i})+(1+\mathrm{i})}{2} = \dfrac{4+2\mathrm{i}}{2} = 2+\mathrm{i}

D'où S={1 ; 2+i}S=\{1~;~2+\mathrm{i}\}. Remarque : z2≠z1‾z_{2}\neq\overline{z_{1}} — les coefficients n'étant pas réels, rien ne garantit plus que les solutions soient conjuguées.

5.4  Équations de degré 3

Une équation de degré 3 se résout dès que l'on en connaît — ou en devine — une solution, appelée racine évidente.

Méthode — résoudre P(z)=0P(z)=0 de degré 3 connaissant une racine évidente z0z_{0}
  1. Vérifier que P(z0)=0P(z_{0})=0 par un calcul explicite.
  2. Factoriser P(z)=(z−z0) Q(z)P(z)=(z-z_{0})\,Q(z), où Q(z)=αz2+βz+γQ(z)=\alpha z^{2}+\beta z+\gamma ; les coefficients s'obtiennent par identification avec ceux de PP, après développement.
  3. Résoudre Q(z)=0Q(z)=0 par les méthodes de 5.1 (ou 5.3 si les coefficients sont complexes).
  4. Conclure : les solutions de P(z)=0P(z)=0 sont z0z_{0} et celles de Q(z)=0Q(z)=0.
Exemple — équation de degré 3

Résoudre dans C\mathbb{C} : P(z)=z3−6z2+21z−26=0P(z)=z^{3}-6z^{2}+21z-26=0, sachant que PP admet la racine évidente z0=2z_{0}=2.

  1. P(2)=23−6×22+21×2−26P(2) = 2^{3}-6\times2^{2}+21\times2-26
  2. ==8−24+42−268-24+42-26
  3. ==00z0=2z_{0}=2 est bien racine de PP

On factorise P(z)=(z−2)(αz2+βz+γ)P(z)=(z-2)(\alpha z^{2}+\beta z+\gamma) et l'on identifie après développement.

  1. (z−2)(αz2+βz+γ)=αz3+(β−2α)z2+(γ−2β)z−2γ(z-2)(\alpha z^{2}+\beta z+\gamma) = \alpha z^{3}+(\beta-2\alpha)z^{2}+(\gamma-2\beta)z-2\gamma
  2. α=1\alpha=1  ·  β−2α=−6⇒β=−4\beta-2\alpha=-6\Rightarrow\beta=-4  ·  −2γ=−26⇒γ=13-2\gamma=-26\Rightarrow\gamma=13identification avec z3−6z2+21z−26z^{3}-6z^{2}+21z-26
  3. contrôle : γ−2β=13−2×(−4)=21\gamma-2\beta = 13-2\times(-4) = 21coïncide avec le coefficient de zz : identification correcte
  4. ⇒\RightarrowP(z)=(z−2)(z2−4z+13)P(z) = (z-2)(z^{2}-4z+13)

Il reste à résoudre z2−4z+13=0z^{2}-4z+13=0.

  1. Δ=(−4)2−4×1×13=16−52=−36<0\Delta = (-4)^{2}-4\times1\times13 = 16-52 = -36 < 0
  2. ⇒\Rightarrowz=4±i362=4±6i2z = \dfrac{4\pm\mathrm{i}\sqrt{36}}{2} = \dfrac{4\pm6\mathrm{i}}{2}
  3. ==2±3i2\pm3\mathrm{i}

D'où S={2 ; 2−3i ; 2+3i}S=\{2~;~2-3\mathrm{i}~;~2+3\mathrm{i}\}. Les deux solutions non réelles sont conjuguées, comme attendu (section 5.1) puisque les coefficients de PP sont réels.

O 2 z₀=2 z₁=2+3i z₂=2−3i
Figure 3 — Les points images des trois solutions de z3−6z2+21z−26=0z^{3}-6z^{2}+21z-26=0 : la solution réelle z0=2z_{0}=2, et les deux solutions complexes z1=2+3iz_{1}=2+3\mathrm{i}, z2=z1‾=2−3iz_{2}=\overline{z_{1}}=2-3\mathrm{i}, symétriques par rapport à l'axe des réels.
Attention

Avant de factoriser, vérifie toujours P(z0)=0P(z_{0})=0 par un calcul explicite : une racine évidente mal lue invalide toute la suite. Le contrôle final sur le coefficient restant (ici γ−2β\gamma-2\beta) est une vérification gratuite : ne le saute pas.

6Affixe d'un point et d'un vecteur

Depuis la section 4, tout point du plan a une affixe. Cette correspondance s'étend aux vecteurs, à leurs milieux, à leurs barycentres — et elle permet surtout de décrire par une simple égalité sur le module des figures géométriques usuelles : cercles et médiatrices.

6.1  Affixe d'un vecteur

Définition

Soit AA et BB deux points d'affixes zAz_{A} et zBz_{B}. L'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le nombre complexe

zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}} = z_{B}-z_{A}

Plus généralement, un vecteur w⃗\vec{w} de coordonnées (x ; y)(x~;~y) a pour affixe zw⃗=x+iyz_{\vec w}=x+\mathrm{i}y : deux vecteurs égaux ont la même affixe, quels que soient leurs points de départ et d'arrivée.

Propriété

Pour tous points A,B,C,DA,B,C,D, tous vecteurs w⃗,w⃗′\vec w,\vec w' et tout réel kk :

  • AB→=CD→  ⟺  zB−zA=zD−zC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \iff z_{B}-z_{A}=z_{D}-z_{C} ;
  • zw⃗+w⃗′=zw⃗+zw⃗′z_{\vec w+\vec w'} = z_{\vec w}+z_{\vec w'}  et  zkw⃗=k zw⃗z_{k\vec w} = k\,z_{\vec w} ;
  • ∥AB→∥=AB=∣zB−zA∣\left\lVert\overrightarrow{AB}\right\rVert = AB = |z_{B}-z_{A}|.
Démonstration

Les deux premiers points sont immédiats : les coordonnées d'un vecteur s'additionnent, et se multiplient par un réel, composante par composante — exactement comme les parties réelle et imaginaire d'une somme ou d'un produit par un réel. Pour la norme, AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur OM→\overrightarrow{OM}, où MM est le point d'affixe zB−zAz_{B}-z_{A} ; sa longueur vaut donc OM=∣zB−zA∣OM=|z_{B}-z_{A}| d'après l'interprétation du module comme distance (section 4.2). C.Q.F.D.

Exemple — affixe et norme d'un vecteur

Avec A(−2+3i)A(-2+3\mathrm{i}) et B(4−i)B(4-\mathrm{i}) :

  1. zAB→=zB−zA=(4−i)−(−2+3i)z_{\overrightarrow{AB}} = z_{B}-z_{A} = (4-\mathrm{i})-(-2+3\mathrm{i})
  2. ==6−4i6-4\mathrm{i}
  3. AB=∣6−4i∣=62+42=52AB = |6-4\mathrm{i}| = \sqrt{6^{2}+4^{2}} = \sqrt{52}
  4. ==2132\sqrt{13}

6.2  Affixe du milieu et du barycentre

Propriété

Soit II le milieu du segment [AB][AB]. Alors zI=zA+zB2z_{I} = \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}.

Démonstration
  1. II milieu de [AB][AB]   ⟺  AI→=IB→\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}
  2.   ⟺  \iffzI−zA=zB−zIz_{I}-z_{A} = z_{B}-z_{I}
  3.   ⟺  \iff2zI=zA+zB2z_{I} = z_{A}+z_{B}

Ce résultat se généralise à un barycentre pondéré.

Propriété — affixe d'un barycentre

Soit GG le barycentre du système de points pondérés {(A1,α1),…,(An,αn)}\{(A_{1},\alpha_{1}),\dots,(A_{n},\alpha_{n})\}, avec α1+⋯+αn≠0\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}\neq0. Alors :

zG=α1zA1+⋯+αnzAnα1+⋯+αnz_{G} = \dfrac{\alpha_{1}z_{A_{1}}+\cdots+\alpha_{n}z_{A_{n}}}{\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}}

En particulier, l'isobarycentre (centre de gravité) d'un triangle ABCABC a pour affixe zG=zA+zB+zC3z_{G}=\dfrac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}.

Démonstration

Par définition, GG vérifie α1GA1→+⋯+αnGAn→=0⃗\alpha_{1}\overrightarrow{GA_{1}}+\cdots+\alpha_{n}\overrightarrow{GA_{n}}=\vec{0}. En passant aux affixes (linéarité, section 6.1) :

  1. α1(zA1−zG)+⋯+αn(zAn−zG)=0\alpha_{1}(z_{A_{1}}-z_{G})+\cdots+\alpha_{n}(z_{A_{n}}-z_{G}) = 0
  2. ⇒\Rightarrow(α1zA1+⋯+αnzAn)−zG(α1+⋯+αn)=0\left(\alpha_{1}z_{A_{1}}+\cdots+\alpha_{n}z_{A_{n}}\right) - z_{G}\left(\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}\right) = 0
  3. ⇒\RightarrowzG=α1zA1+⋯+αnzAnα1+⋯+αnz_{G} = \dfrac{\alpha_{1}z_{A_{1}}+\cdots+\alpha_{n}z_{A_{n}}}{\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}}on divise par α1+⋯+αn≠0\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}\neq0
Exemple — milieu et centre de gravité

Avec A(1+2i)A(1+2\mathrm{i}) et B(5−2i)B(5-2\mathrm{i}), le milieu II de [AB][AB] a pour affixe zI=(1+2i)+(5−2i)2=62=3z_{I}=\dfrac{(1+2\mathrm{i})+(5-2\mathrm{i})}{2}=\dfrac{6}{2}=3.

Avec A(2+i)A(2+\mathrm{i}), B(−4+i)B(-4+\mathrm{i}), C(2+7i)C(2+7\mathrm{i}), le centre de gravité GG du triangle ABCABC a pour affixe :

  1. zG=(2+i)+(−4+i)+(2+7i)3z_{G} = \dfrac{(2+\mathrm{i})+(-4+\mathrm{i})+(2+7\mathrm{i})}{3}
  2. ==0+9i3\dfrac{0+9\mathrm{i}}{3}
  3. ==3i3\mathrm{i}

6.3  Ensembles de points

Le module, interprété comme une distance, permet de décrire par le calcul des figures géométriques bien connues.

Théorème — cercle et médiatrice

Soit AA et BB deux points d'affixes aa et bb, avec A≠BA\neq B, et rr un réel strictement positif. L'ensemble des points MM d'affixe zz tel que :

  • ∣z−a∣=r|z-a|=r est le cercle de centre AA et de rayon rr ;
  • ∣z−a∣=∣z−b∣|z-a|=|z-b| est la médiatrice du segment [AB][AB].
Démonstration

Par définition du module comme distance (section 4.2), ∣z−a∣=AM|z-a|=AM et ∣z−b∣=BM|z-b|=BM. Ainsi ∣z−a∣=r  ⟺  AM=r|z-a|=r \iff AM=r, qui est exactement la définition du cercle de centre AA et de rayon rr. De même, ∣z−a∣=∣z−b∣  ⟺  AM=BM  ⟺  M|z-a|=|z-b| \iff AM=BM \iff M équidistant de AA et BB, qui caractérise la médiatrice de [AB][AB]. C.Q.F.D.

Méthode — décrire un ensemble de points

On interprète chaque expression ∣z−c∣|z-c| comme la distance du point M(z)M(z) au point fixe C(c)C(c), puis on compare cette distance à une constante (cercle) ou à une autre distance (médiatrice).

Exemple — un cercle

L'ensemble des points MM d'affixe zz tels que ∣z−(2−i)∣=3|z-(2-\mathrm{i})|=3 est le cercle de centre A(2 ; −1)A(2~;~-1) et de rayon 33.

Exemple — une médiatrice

Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que ∣z−1∣=∣z+3i∣|z-1|=|z+3\mathrm{i}|.

On écrit z+3i=z−(−3i)z+3\mathrm{i}=z-(-3\mathrm{i}), si bien que l'égalité devient ∣z−1∣=∣z−(−3i)∣|z-1|=|z-(-3\mathrm{i})|, de la forme ∣z−a∣=∣z−b∣|z-a|=|z-b| avec a=1a=1 et b=−3ib=-3\mathrm{i}. C'est donc la médiatrice du segment [A′B′][A'B'], où A′(1 ; 0)A'(1~;~0) et B′(0 ; −3)B'(0~;~-3).

O A(2−i) M r=3 cercle de centre A(2;−1), rayon 3 O A′(1;0) B′(0;−3) I M médiatrice de [A′B′]
Figure 4 — Deux ensembles de points définis par le module : à gauche, le cercle ∣z−(2−i)∣=3|z-(2-\mathrm{i})|=3, de centre A(2 ; −1)A(2~;~-1) et de rayon 33 ; à droite, la médiatrice ∣z−1∣=∣z+3i∣|z-1|=|z+3\mathrm{i}| du segment [A′B′][A'B'], avec A′(1 ; 0)A'(1~;~0) et B′(0 ; −3)B'(0~;~-3) — tout point MM de la droite vérifie MA′=MB′MA'=MB'.
Attention

Dans ∣z−a∣=r|z-a|=r, le centre a pour affixe aa — pas −a-a. Écrire ∣z−(2−i)∣=3|z-(2-\mathrm{i})|=3 donne un centre d'affixe 2−i2-\mathrm{i}, donc de coordonnées (2 ; −1)(2~;~-1) : un oubli de signe le transformerait en (2 ; 1)(2~;~1), un point différent. Identifie toujours ∣z−a∣|z-a| à ∣z−(⋯ )∣|z-(\cdots)| avant de lire les coordonnées du centre.

Fiche mémo

  • Forme algébrique : z=x+iyz=x+\mathrm{i}y avec x,y∈Rx,y\in\mathbb{R} uniques (x=Re(z)x=\mathrm{Re}(z), y=Im(z)y=\mathrm{Im}(z)) ; i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1.
  • Conjugué z‾=x−iy\overline{z}=x-\mathrm{i}y : z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}, zz′‾=z‾ z′‾\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}, Re(z)=z+z‾2\mathrm{Re}(z)=\dfrac{z+\overline z}{2}, Im(z)=z−z‾2i\mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\overline z}{2\mathrm i}.
  • Module ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, ∣z∣2=zz‾|z|^{2}=z\overline z ; ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|zz'|=|z||z'|, ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}.
  • Inverse 1z=z‾∣z∣2\dfrac1z=\dfrac{\overline z}{|z|^{2}} (z≠0z\neq0) ; quotient : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur.
  • Plan complexe : M(z)M(z) ; symétrique par rapport à (O ; u⃗)(O~;~\vec u) d'affixe z‾\overline z, par rapport à OO d'affixe −z-z ; ∣z∣=OM|z|=OM.
  • az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 (a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb R, a≠0a\neq0), Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac : Δ>0\Delta>0 deux réelles −b±Δ2a\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} ; Δ=0\Delta=0 une double −b2a-\dfrac b{2a} ; Δ<0\Delta<0 deux conjuguées −b±i−Δ2a\dfrac{-b\pm\mathrm i\sqrt{-\Delta}}{2a}. Jamais Δ\sqrt\Delta si Δ<0\Delta<0.
  • Racine carrée de Z=a+ibZ=a+\mathrm ib : résoudre x2−y2=ax^{2}-y^{2}=a, 2xy=b2xy=b, x2+y2=a2+b2x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} ; signe de xyxy = signe de bb.
  • Coefficients complexes : mêmes formules avec δ\delta, une racine carrée de Δ∈C\Delta\in\mathbb C ; z=−b±δ2az=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}.
  • Degré 3, racine évidente z0z_{0} : factoriser par (z−z0)(z-z_{0}) par identification, puis résoudre le facteur du second degré.
  • Affixe d'un vecteur AB→\overrightarrow{AB} : zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}}=z_{B}-z_{A} ; AB=∣zB−zA∣AB=|z_{B}-z_{A}|.
  • Milieu II de [AB][AB] : zI=zA+zB2z_{I}=\dfrac{z_{A}+z_{B}}2 ; barycentre : zG=∑αizAi∑αiz_{G}=\dfrac{\sum \alpha_{i} z_{A_{i}}}{\sum \alpha_{i}}.
  • ∣z−a∣=r|z-a|=r : cercle de centre A(a)A(a), rayon rr.   ∣z−a∣=∣z−b∣|z-a|=|z-b| : médiatrice de [AB][AB].

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Soit z=4−3iz=4-3\mathrm{i} et z′=−1+2iz'=-1+2\mathrm{i}. Calculer z+z′z+z', z−z′z-z' et z×z′z\times z' sous forme algébrique.

Voir le corrigé détaillé
  1. z+z′=(4−1)+i(−3+2)=3−iz+z' = (4-1)+\mathrm{i}(-3+2) = 3-\mathrm{i}
  2. z−z′=(4−(−1))+i(−3−2)=5−5iz-z' = (4-(-1))+\mathrm{i}(-3-2) = 5-5\mathrm{i}
  3. z×z′=(4−3i)(−1+2i)=−4+8i+3i−6i2z\times z' = (4-3\mathrm{i})(-1+2\mathrm{i}) = -4+8\mathrm{i}+3\mathrm{i}-6\mathrm{i}^{2}
  4. ==−4+11i+6=2+11i-4+11\mathrm{i}+6 = 2+11\mathrm{i}
2

Soit z1=6+8iz_{1}=6+8\mathrm{i} et z2=−5+12iz_{2}=-5+12\mathrm{i}. Calculer z1‾\overline{z_{1}}, ∣z1∣|z_{1}|, z2‾\overline{z_{2}} et ∣z2∣|z_{2}|.

Voir le corrigé détaillé
  1. z1‾=6−8i\overline{z_{1}} = 6-8\mathrm{i}
  2. ∣z1∣=62+82=100=10|z_{1}| = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = \sqrt{100} = 10
  3. z2‾=−5−12i\overline{z_{2}} = -5-12\mathrm{i}
  4. ∣z2∣=(−5)2+122=169=13|z_{2}| = \sqrt{(-5)^{2}+12^{2}} = \sqrt{169} = 13
3

Écrire sous forme algébrique 1z\dfrac{1}{z} pour z=1−2iz=1-2\mathrm{i}, puis z′z\dfrac{z'}{z} pour z′=3+iz'=3+\mathrm{i}.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∣z∣2=12+(−2)2=5|z|^{2} = 1^{2}+(-2)^{2} = 5
  2. ⇒\Rightarrow1z=z‾∣z∣2=1+2i5=15+25i\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline z}{|z|^{2}} = \dfrac{1+2\mathrm{i}}{5} = \dfrac15+\dfrac25\mathrm{i}
  3. (3+i)(1+2i)=3+6i+i+2i2=1+7i(3+\mathrm{i})(1+2\mathrm{i}) = 3+6\mathrm{i}+\mathrm{i}+2\mathrm{i}^{2} = 1+7\mathrm{i}
  4. ⇒\Rightarrowz′z=z′×1z=1+7i5=15+75i\dfrac{z'}{z} = z'\times\dfrac1z = \dfrac{1+7\mathrm{i}}{5} = \dfrac15+\dfrac75\mathrm{i}
4

Résoudre dans C\mathbb{C} : z2+4z+13=0z^{2}+4z+13=0.

Voir le corrigé détaillé
  1. Δ=42−4×1×13=16−52=−36<0\Delta = 4^{2}-4\times1\times13 = 16-52 = -36 < 0
  2. ⇒\Rightarrowz=−4±i362=−4±6i2z = \dfrac{-4\pm\mathrm{i}\sqrt{36}}{2} = \dfrac{-4\pm6\mathrm{i}}{2}
  3. ==−2±3i-2\pm3\mathrm{i}

S={−2−3i ; −2+3i}S=\{-2-3\mathrm{i}~;~-2+3\mathrm{i}\}.

5

Soit A(3+5i)A(3+5\mathrm{i}) et B(−1+i)B(-1+\mathrm{i}). Déterminer l'affixe du milieu II de [AB][AB], puis la distance ABAB.

Voir le corrigé détaillé
  1. zI=(3+5i)+(−1+i)2=2+6i2=1+3iz_{I} = \dfrac{(3+5\mathrm{i})+(-1+\mathrm{i})}{2} = \dfrac{2+6\mathrm{i}}{2} = 1+3\mathrm{i}
  2. AB=∣zB−zA∣=∣(−1+i)−(3+5i)∣=∣−4−4i∣AB = |z_{B}-z_{A}| = |(-1+\mathrm{i})-(3+5\mathrm{i})| = |-4-4\mathrm{i}|
  3. ==16+16=32=42\sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Calculer les racines carrées de Z1=5+12iZ_{1}=5+12\mathrm{i}, puis celles de Z2=7−24iZ_{2}=7-24\mathrm{i}.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∣Z1∣=52+122=13|Z_{1}| = \sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13  ;  x2=5+132=9x^{2}=\dfrac{5+13}{2}=9, y2=13−52=4y^{2}=\dfrac{13-5}{2}=4
  2. 2xy=24>02xy=24>0même signe
  3. ⇒\Rightarrowracines carrées de Z1Z_{1} : ±(3+2i)\pm(3+2\mathrm{i})
  4. ∣Z2∣=72+242=25|Z_{2}| = \sqrt{7^{2}+24^{2}} = 25  ;  x2=7+252=16x^{2}=\dfrac{7+25}{2}=16, y2=25−72=9y^{2}=\dfrac{25-7}{2}=9
  5. 2xy=−24<02xy=-24<0signes opposés
  6. ⇒\Rightarrowracines carrées de Z2Z_{2} : ±(4−3i)\pm(4-3\mathrm{i})

Vérification : (3+2i)2=5+12i(3+2\mathrm{i})^{2}=5+12\mathrm{i} et (4−3i)2=7−24i(4-3\mathrm{i})^{2}=7-24\mathrm{i}.

7

Déterminer les réels xx tels que z=(x−2)+i(2x−1)z=(x-2)+\mathrm{i}(2x-1) ait pour module 5\sqrt{5}.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∣z∣2=(x−2)2+(2x−1)2=5|z|^{2} = (x-2)^{2}+(2x-1)^{2} = 5
  2. ⇒\Rightarrow(x2−4x+4)+(4x2−4x+1)=5(x^{2}-4x+4)+(4x^{2}-4x+1) = 5
  3. ⇒\Rightarrow5x2−8x+5=55x^{2}-8x+5=5
  4. ⇒\Rightarrow5x2−8x=05x^{2}-8x=0
  5. ⇒\Rightarrowx(5x−8)=0x(5x-8)=0

D'où x=0x=0 ou x=85x=\dfrac85.

8

Sachant que −1-1 est une racine évidente de P(z)=z3+3z2+7z+5P(z)=z^{3}+3z^{2}+7z+5, résoudre P(z)=0P(z)=0 dans C\mathbb{C}.

Voir le corrigé détaillé
  1. P(−1)=−1+3−7+5=0P(-1) = -1+3-7+5 = 0racine confirmée
  2. P(z)=(z+1)(z2+βz+γ)P(z) = (z+1)(z^{2}+\beta z+\gamma)
  3. β+1=3⇒β=2\beta+1=3\Rightarrow\beta=2  ·  γ=5\gamma=5identification, contrôle : γ+β=7\gamma+\beta=7 ✓
  4. ⇒\RightarrowP(z)=(z+1)(z2+2z+5)P(z) = (z+1)(z^{2}+2z+5)
  5. z2+2z+5=0⇒Δ=4−20=−16z^{2}+2z+5=0 \Rightarrow \Delta = 4-20=-16
  6. ⇒\Rightarrowz=−2±4i2=−1±2iz = \dfrac{-2\pm4\mathrm{i}}{2} = -1\pm2\mathrm{i}

S={−1 ; −1−2i ; −1+2i}S=\{-1~;~-1-2\mathrm{i}~;~-1+2\mathrm{i}\}.

9

Déterminer l'ensemble EE des points MM d'affixe z=x+iyz=x+\mathrm{i}y tels que ∣z−3∣=∣z−1−2i∣|z-3|=|z-1-2\mathrm{i}|, sous forme d'une équation en xx et yy, puis trouver le point où EE coupe l'axe des réels.

Voir le corrigé détaillé

EE est la médiatrice de [AB][AB], avec A(3 ; 0)A(3~;~0) et B(1 ; 2)B(1~;~2) ; retrouvons son équation par le calcul.

  1. ∣z−3∣2=∣z−1−2i∣2  ⟺  (x−3)2+y2=(x−1)2+(y−2)2|z-3|^{2}=|z-1-2\mathrm{i}|^{2} \iff (x-3)^{2}+y^{2} = (x-1)^{2}+(y-2)^{2}
  2.   ⟺  \iffx2−6x+9+y2=x2−2x+1+y2−4y+4x^{2}-6x+9+y^{2} = x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4
  3.   ⟺  \iff−6x+9=−2x−4y+5-6x+9 = -2x-4y+5
  4.   ⟺  \iff−4x+4y+4=0-4x+4y+4=0
  5.   ⟺  \iffy=x−1y = x-1

EE coupe l'axe des réels (y=0y=0) au point d'abscisse x=1x=1, c'est-à-dire au point d'affixe 11. Vérification : ∣1−3∣=2|1-3|=2 et ∣1−1−2i∣=2|1-1-2\mathrm{i}|=2 : bien égaux.

Niveau 3 — Type bac
10

Restitution organisée de connaissances.

  1. Démontrer que, pour a,b,ca,b,c réels avec a≠0a\neq0 et Δ=b2−4ac<0\Delta=b^{2}-4ac<0, les solutions dans C\mathbb{C} de az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0 sont −b±i−Δ2a\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}.
  2. Application : résoudre 2z2−4z+10=02z^{2}-4z+10=0.
Voir le corrigé détaillé

1. On part de la forme canonique az2+bz+c=a[(z+b2a)2−Δ4a2]az^{2}+bz+c = a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right], valable dans C\mathbb{C}. Comme Δ<0\Delta<0, on pose δ=i−Δ\delta=\mathrm{i}\sqrt{-\Delta} (qui existe car −Δ>0-\Delta>0) ; alors δ2=i2(−Δ)=Δ\delta^{2}=\mathrm{i}^{2}(-\Delta)=\Delta, donc Δ4a2=(δ2a)2\dfrac{\Delta}{4a^{2}}=\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^{2}.

  1. az2+bz+c=a[(z+b2a)2−(δ2a)2]az^{2}+bz+c = a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^{2}\right]
  2. ==a(z−−b−δ2a)(z−−b+δ2a)a\left(z-\dfrac{-b-\delta}{2a}\right)\left(z-\dfrac{-b+\delta}{2a}\right)différence de deux carrés

Le produit s'annule si et seulement si l'un des deux facteurs s'annule, d'où les deux solutions annoncées. C.Q.F.D.

2.

  1. Δ=(−4)2−4×2×10=16−80=−64\Delta = (-4)^{2}-4\times2\times10 = 16-80 = -64
  2. ⇒\Rightarrowz=4±i644=4±8i4z = \dfrac{4\pm\mathrm{i}\sqrt{64}}{4} = \dfrac{4\pm8\mathrm{i}}{4}
  3. ==1±2i1\pm2\mathrm{i}
11

On considère P(z)=z3−7z2+17z−15P(z)=z^{3}-7z^{2}+17z-15.

  1. Vérifier que 33 est une racine de PP.
  2. Déterminer les réels β,γ\beta,\gamma tels que P(z)=(z−3)(z2+βz+γ)P(z)=(z-3)(z^{2}+\beta z+\gamma), puis résoudre P(z)=0P(z)=0 dans C\mathbb{C}.
  3. On note AA, BB, CC les points images des trois solutions. Calculer ABAB, ACAC et BCBC, et en déduire la nature du triangle ABCABC.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. P(3)=33−7×32+17×3−15P(3) = 3^{3}-7\times3^{2}+17\times3-15
  2. ==27−63+51−1527-63+51-15
  3. ==00

2. En développant (z−3)(z2+βz+γ)(z-3)(z^{2}+\beta z+\gamma) et en identifiant avec PP :

  1. β−3=−7⇒β=−4\beta-3=-7\Rightarrow\beta=-4  ·  −3γ=−15⇒γ=5-3\gamma=-15\Rightarrow\gamma=5contrôle : γ−3β=5+12=17\gamma-3\beta=5+12=17 ✓
  2. ⇒\RightarrowP(z)=(z−3)(z2−4z+5)P(z) = (z-3)(z^{2}-4z+5)
  3. z2−4z+5=0⇒Δ=16−20=−4z^{2}-4z+5=0 \Rightarrow \Delta = 16-20=-4
  4. ⇒\Rightarrowz=4±2i2=2±iz = \dfrac{4\pm2\mathrm{i}}{2} = 2\pm\mathrm{i}

S={3 ; 2−i ; 2+i}S=\{3~;~2-\mathrm{i}~;~2+\mathrm{i}\}, soit A(3)A(3), B(2+i)B(2+\mathrm{i}), C(2−i)=B‾C(2-\mathrm{i})=\overline{B}.

3. Comme C=B‾C=\overline{B} et que AA est réel (donc situé sur l'axe des réels, axe de symétrie de la conjugaison), on a nécessairement AB=ACAB=AC sans aucun calcul (section 4.2). Vérifions, et calculons BCBC :

  1. AB=∣zB−zA∣=∣(2+i)−3∣=∣−1+i∣=2AB = |z_{B}-z_{A}| = |(2+\mathrm{i})-3| = |-1+\mathrm{i}| = \sqrt{2}
  2. AC=∣zC−zA∣=∣(2−i)−3∣=∣−1−i∣=2AC = |z_{C}-z_{A}| = |(2-\mathrm{i})-3| = |-1-\mathrm{i}| = \sqrt{2}
  3. BC=∣zC−zB∣=∣−2i∣=2BC = |z_{C}-z_{B}| = |-2\mathrm{i}| = 2
  4. AB2+AC2=2+2=4=BC2AB^{2}+AC^{2} = 2+2 = 4 = BC^{2}
O A(3) B(2+i) C(2−i)
Figure 5 — Les images AA, BB, CC des trois solutions de P(z)=0P(z)=0 : BB et CC sont conjugués, donc symétriques par rapport à l'axe des réels qui porte AA ; on vérifie que AB2+AC2=BC2AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}, donc ABCABC est rectangle isocèle en AA.

Le triangle ABCABC est rectangle et isocèle en AA.

12

Soit AA et BB deux points distincts d'affixes aa et bb, et II le milieu de [AB][AB].

  1. Démontrer que, quels que soient aa et bb, ∣zI−a∣=∣zI−b∣|z_{I}-a| = |z_{I}-b| (autrement dit : II appartient toujours à la médiatrice de [AB][AB]).
  2. Application : A(2−3i)A(2-3\mathrm{i}), B(−4+5i)B(-4+5\mathrm{i}). Calculer zIz_{I}, puis vérifier numériquement l'égalité précédente.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. zI−a=a+b2−a=b−a2z_{I}-a = \dfrac{a+b}{2}-a = \dfrac{b-a}{2}
  2. zI−b=a+b2−b=a−b2=−b−a2z_{I}-b = \dfrac{a+b}{2}-b = \dfrac{a-b}{2} = -\dfrac{b-a}{2}
  3. ⇒\Rightarrow∣zI−a∣=∣b−a2∣|z_{I}-a| = \left|\dfrac{b-a}{2}\right|  et  ∣zI−b∣=∣−b−a2∣=∣b−a2∣|z_{I}-b| = \left|-\dfrac{b-a}{2}\right| = \left|\dfrac{b-a}{2}\right|∣−Z∣=∣Z∣|-Z|=|Z|, propriété du module

Les deux quantités sont égales. C.Q.F.D.

2.

  1. zI=(2−3i)+(−4+5i)2=−2+2i2=−1+iz_{I} = \dfrac{(2-3\mathrm{i})+(-4+5\mathrm{i})}{2} = \dfrac{-2+2\mathrm{i}}{2} = -1+\mathrm{i}
  2. ∣zI−a∣=∣(−1+i)−(2−3i)∣=∣−3+4i∣=5|z_{I}-a| = |(-1+\mathrm{i})-(2-3\mathrm{i})| = |-3+4\mathrm{i}| = 5
  3. ∣zI−b∣=∣(−1+i)−(−4+5i)∣=∣3−4i∣=5|z_{I}-b| = |(-1+\mathrm{i})-(-4+5\mathrm{i})| = |3-4\mathrm{i}| = 5

Les deux distances valent bien 55, conformément à la question 1.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Circuit électrique (Douala). Un technicien étudie, à Douala, un circuit en régime sinusoïdal formé d'une résistance et d'une bobine en série. L'impédance complexe totale est Z=R+iLωZ=R+\mathrm{i}L\omega, avec R=30 ΩR=30\ \Omega, L=0,08 HL=0{,}08\ \text{H} et ω=500 rad⋅s−1\omega=500\ \text{rad·s}^{-1}.

  1. Calculer LωL\omega, puis écrire ZZ sous forme algébrique.
  2. Calculer le module ∣Z∣|Z| : c'est l'impédance totale, en ohms.
  3. L'intensité efficace vaut I=U∣Z∣I=\dfrac{U}{|Z|} avec U=230 VU=230\ \text{V}. Calculer II.
Voir le corrigé détaillé
  1. Lω=0,08×500=40L\omega = 0{,}08\times500 = 40
  2. ⇒\RightarrowZ=30+40i ΩZ = 30+40\mathrm{i}\ \Omega
  3. ∣Z∣=302+402=900+1 600=2 500|Z| = \sqrt{30^{2}+40^{2}} = \sqrt{900+1\,600} = \sqrt{2\,500}
  4. ==50 Ω50\ \Omega
  5. I=23050I = \dfrac{230}{50}
  6. ==4,6 A4{,}6\ \text{A}
14

Navigation (Dakar). Un bateau quitte le port de Dakar. Sa position est repérée par un nombre complexe (11 unité =1=1 km, axe réel vers l'est, axe imaginaire vers le nord). À 8 h, il est en A(3+4i)A(3+4\mathrm{i}) ; à 10 h, en B(15+9i)B(15+9\mathrm{i}).

  1. Calculer l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB}, puis la distance parcourue.
  2. En déduire la vitesse moyenne du bateau, en km/h.
  3. Une balise doit être posée au milieu II du trajet [AB][AB]. Donner l'affixe de II et ses coordonnées.
Voir le corrigé détaillé
  1. zAB→=zB−zA=(15+9i)−(3+4i)=12+5iz_{\overrightarrow{AB}} = z_{B}-z_{A} = (15+9\mathrm{i})-(3+4\mathrm{i}) = 12+5\mathrm{i}
  2. AB=∣12+5i∣=144+25=169=13 kmAB = |12+5\mathrm{i}| = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13\ \text{km}
  3. v=132v = \dfrac{13}{2}
  4. ==6,5 km/h6{,}5\ \text{km/h}
  5. zI=(3+4i)+(15+9i)2=18+13i2z_{I} = \dfrac{(3+4\mathrm{i})+(15+9\mathrm{i})}{2} = \dfrac{18+13\mathrm{i}}{2}
  6. ==9+6,5i9+6{,}5\mathrm{i}soit I(9 ; 6,5)I(9~;~6{,}5)
15

Champ triangulaire (Bamako). Un géomètre repère, en hectomètres (11 unité =100=100 m), les trois coins d'un champ près de Bamako : A(1+i)A(1+\mathrm{i}), B(9+i)B(9+\mathrm{i}), C(5+7i)C(5+7\mathrm{i}).

  1. Calculer ABAB, ACAC et BCBC, et en déduire la nature du triangle ABCABC.
  2. Le propriétaire veut un puits au centre de gravité GG du champ. Donner l'affixe de GG, puis ses coordonnées en mètres.
  3. Calculer le périmètre du champ en mètres (donner une valeur arrondie au mètre).
Voir le corrigé détaillé
  1. AB=∣zB−zA∣=∣8∣=8AB = |z_{B}-z_{A}| = |8| = 8
  2. AC=∣zC−zA∣=∣4+6i∣=16+36=52=213AC = |z_{C}-z_{A}| = |4+6\mathrm{i}| = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
  3. BC=∣zC−zB∣=∣−4+6i∣=16+36=213BC = |z_{C}-z_{B}| = |-4+6\mathrm{i}| = \sqrt{16+36} = 2\sqrt{13}

Comme AC=BCAC=BC, le triangle ABCABC est isocèle en CC.

  1. zG=(1+i)+(9+i)+(5+7i)3=15+9i3z_{G} = \dfrac{(1+\mathrm{i})+(9+\mathrm{i})+(5+7\mathrm{i})}{3} = \dfrac{15+9\mathrm{i}}{3}
  2. ==5+3i5+3\mathrm{i}soit G(5 ; 3)G(5~;~3) en hm, donc G(500 ; 300)G(500~;~300) en mètres
  3. peˊrimeˋtre=8+213+213=8+413 hm\text{périmètre} = 8+2\sqrt{13}+2\sqrt{13} = 8+4\sqrt{13}\ \text{hm}
  4. ≈\approx8+14,42≈22,42 hm8+14{,}42 \approx 22{,}42\ \text{hm}
  5. ≈\approx2 242 m2\,242\ \text{m}

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Nombres complexes : forme algébrique et trigonométrique

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Le nombre i\mathrm{i}, unité imaginaire, vérifie par définition :

Explication : La seule propriété fondamentale à retenir est i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1. L'écriture i=−1\mathrm{i}=\sqrt{-1} est à proscrire : le symbole racine carrée n'est défini que pour des réels positifs.

Pour z=−2+7iz = -2+7\mathrm{i}, quelles sont sa partie réelle Re(z)\mathrm{Re}(z) et sa partie imaginaire Im(z)\mathrm{Im}(z) ?

Explication : Dans la forme algébrique z=x+iyz=x+\mathrm{i}y, xx est la partie réelle et yy (un nombre réel, sans le i\mathrm{i}) est la partie imaginaire. Ici x=−2x=-2 et y=7y=7.

Un nombre complexe z=x+iyz=x+\mathrm{i}y (x,yx,y réels) est un imaginaire pur si et seulement si :

Explication : zz est imaginaire pur quand sa partie réelle est nulle, c'est-à-dire x=0x=0. (À l'inverse, zz est réel quand y=0y=0.)

Le conjugué de z=4−3iz = 4-3\mathrm{i} est :

Explication : Le conjugué z‾\overline{z} s'obtient en changeant uniquement le signe de la partie imaginaire : 4−3i‾=4+3i\overline{4-3\mathrm{i}} = 4+3\mathrm{i}.

Le module de z=5−12iz = 5-12\mathrm{i} est :

Explication : ∣z∣=x2+y2=52+(−12)2=25+144=169=13|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{5^{2}+(-12)^{2}} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13.

Quelle identité est toujours vraie pour tout nombre complexe zz ?

Explication : C'est la propriété fondamentale du module : zz‾=∣z∣2z\overline{z}=|z|^{2}, toujours vraie. Elle diffère en général de z2z^2 : par exemple pour z=iz=\mathrm{i}, z2=−1z^2=-1 alors que ∣z∣2=1|z|^2=1.

Le produit (2+3i)(1−i)(2+3\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) développé et simplifié vaut :

Explication : On développe : 2−2i+3i−3i2=2+i−3×(−1)=2+i+3=5+i2-2\mathrm{i}+3\mathrm{i}-3\mathrm{i}^2 = 2+\mathrm{i}-3\times(-1) = 2+\mathrm{i}+3 = 5+\mathrm{i}.

Quelle est la valeur de i4\mathrm{i}^{4} ?

Explication : i4=(i2)2=(−1)2=1\mathrm{i}^{4} = (\mathrm{i}^{2})^{2} = (-1)^{2} = 1. Les puissances de i\mathrm{i} sont périodiques de période 44 : i,−1,−i,1\mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}, 1, puis ça recommence.

L'inverse de z=1−2iz = 1-2\mathrm{i} (avec ∣z∣2=5|z|^{2}=5) est :

Explication : 1z=z‾∣z∣2=1+2i5\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}} = \dfrac{1+2\mathrm{i}}{5}, car z‾=1+2i\overline{z}=1+2\mathrm{i} et ∣z∣2=12+(−2)2=5|z|^2 = 1^2+(-2)^2=5.

Dans le plan complexe, le point image de z=−3+5iz = -3+5\mathrm{i} a pour coordonnées :

Explication : Le point image de z=x+iyz=x+\mathrm{i}y a pour coordonnées (x ; y)(x~;~y), deux nombres réels — ici (−3 ; 5)(-3~;~5), et non (−3 ; 5i)(-3~;~5\mathrm{i}), l'axe des « imaginaires » étant gradué avec des réels ordinaires.

Le point image de z‾\overline{z} s'obtient à partir du point image MM de zz par :

Explication : Conjuguer change le signe de la partie imaginaire uniquement : le point image de z‾\overline z est le symétrique de MM par rapport à l'axe des abscisses (axe des réels).

Pour AA et BB d'affixes zAz_A et zBz_B, l'affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est :

Explication : Par définition, l'affixe d'un vecteur AB→\overrightarrow{AB} est la différence « arrivée moins départ » : zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A.

On résout dans C\mathbb{C} l'équation z2+9=0z^{2}+9=0. L'ensemble des solutions est :

Explication : z2=−9=(3i)2z^{2}=-9=(3\mathrm{i})^{2}, donc z2−(3i)2=0z^{2}-(3\mathrm{i})^{2}=0, soit (z−3i)(z+3i)=0(z-3\mathrm{i})(z+3\mathrm{i})=0 : les solutions sont 3i3\mathrm{i} et −3i-3\mathrm{i}.

Pour l'équation z2−4z+13=0z^{2}-4z+13=0 à coefficients réels, on calcule Δ=(−4)2−4×1×13=−36<0\Delta = (-4)^2-4\times1\times13 = -36 < 0. Les solutions dans C\mathbb{C} sont :

Explication : Quand Δ<0\Delta<0, les solutions sont z1,2=−b±i−Δ2a=4±i362=4±6i2=2±3iz_{1,2}=\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{4\pm\mathrm{i}\sqrt{36}}{2} = \dfrac{4\pm6\mathrm{i}}{2} = 2\pm3\mathrm{i}.

Quand une équation du second degré à coefficients réels a un discriminant Δ<0\Delta<0, ses deux solutions complexes sont :

Explication : Lorsque a,b,ca,b,c sont réels et Δ<0\Delta<0, les deux solutions −b±i−Δ2a\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire : elles sont conjuguées.

Un ingénieur électricien de Cotonou calcule l'impédance d'un circuit et obtient Z=6+8iZ = 6+8\mathrm{i} (en ohms). Le module ∣Z∣|Z|, qui représente l'impédance totale « ressentie » par le circuit, vaut :

Explication : ∣Z∣=62+82=36+64=100=10|Z| = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 ohms.

Dans le plan complexe, l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que ∣z−(1+2i)∣=4|z-(1+2\mathrm{i})| = 4 est :

Explication : ∣z−a∣=r|z-a|=r décrit le cercle de centre le point d'affixe aa et de rayon rr. Ici a=1+2ia=1+2\mathrm{i}, donc le centre est A(1 ; 2)A(1~;~2) — pas OO — et le rayon est 44.

L'équation de degré 3 P(z)=z3−3z2+z+5=0P(z)=z^{3}-3z^{2}+z+5=0 admet la racine évidente z0=−1z_0=-1. On factorise P(z)=(z+1)(z2−4z+5)P(z)=(z+1)(z^{2}-4z+5). Les solutions de z2−4z+5=0z^2-4z+5=0 (Δ=−4\Delta=-4) sont 2±i2\pm\mathrm{i}. L'ensemble des solutions de P(z)=0P(z)=0 est :

Explication : Les solutions de P(z)=0P(z)=0 sont la racine évidente z0=−1z_0=-1 et les deux solutions de z2−4z+5=0z^2-4z+5=0, donc S={−1 ; 2−i ; 2+i}S=\{-1~;~2-\mathrm{i}~;~2+\mathrm{i}\} — ne pas oublier la racine évidente dans l'ensemble final.

Soit zz un nombre complexe non nul. Laquelle de ces affirmations est FAUSSE en général ?

Explication : z‾=z\overline{z}=z n'est vrai que si zz est réel (partie imaginaire nulle), pas pour tout complexe : c'est faux en général, par exemple pour z=iz=\mathrm{i}. Les trois autres propriétés sont, elles, toujours vraies.

On veut déterminer les réels xx et yy tels que (x+y)+i(x−y)=7+3i(x+y)+\mathrm{i}(x-y) = 7+3\mathrm{i}. Par unicité de la forme algébrique, on obtient le système x+y=7x+y=7, x−y=3x-y=3, d'où :

Explication : En ajoutant les deux équations : 2x=102x=10, donc x=5x=5 ; puis y=7−x=2y=7-x=2. Vérification : (5+2)+i(5−2)=7+3i(5+2)+\mathrm{i}(5-2)=7+3\mathrm{i}, correct.
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