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Nombres complexes : forme trigonométrique et applications

Passer à la forme exponentielle et l'utiliser en géométrie.

Mathématiques Terminale Chapitre 12 / 19 ⏱ 12 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Passer d'une forme à l'autre
  • Utiliser Moivre et Euler en trigonométrie
  • Caractériser une configuration géométrique par un quotient d'affixes

Depuis la Première, tu sais écrire un nombre complexe sous forme algébrique z=a+ibz = a + \mathrm{i}b et calculer avec lui comme avec un couple de réels (a,b)(a,b). Cette écriture est parfaite pour additionner ou soustraire, mais elle devient lourde dès qu'il s'agit de multiplier, de diviser ou d'élever à la puissance nn : il faut développer, réduire, simplifier des radicaux… Ce chapitre t'offre un second regard sur les nombres complexes, entièrement géométrique : chaque nombre zz devient un point MM du plan repéré par une distance rr à l'origine et un angle θ\theta. Sous cette forme trigonométrique, puis sous sa notation condensée, la forme exponentielle z=r eiθz = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, les produits deviennent des sommes d'angles, les puissances de simples multiplications : un changement de point de vue qui transforme des calculs pénibles en identités presque évidentes.

Tu retrouveras ce formalisme partout où l'on manipule des grandeurs sinusoïdales : en physique, l'étude des circuits en courant alternatif ou des ondes repose entièrement sur la notation exponentielle complexe ; en géométrie, un quotient d'affixes bien choisi permet de démontrer en trois lignes un alignement, une orthogonalité ou la nature d'un triangle, là où la géométrie classique demandait de longues constructions. Les racines nn-ièmes de l'unité, que tu découvriras en section 4, dessinent très exactement les sommets des polygones réguliers.

Au baccalauréat, ce chapitre est l'un des plus transversaux : il croise l'algèbre (résolution d'équations zn=az^n = a), la trigonométrie (formules de Moivre et d'Euler, linéarisation en vue d'un calcul de primitive) et la géométrie plane (transformations, lieux de points). La rigueur y est reine — un argument n'est jamais défini qu'« à 2π2\pi près », et l'ordre des termes dans un quotient d'affixes ne se néglige jamais. Prends ton temps sur les démonstrations : elles reposent presque toutes sur les mêmes formules de trigonométrie que tu maîtrises déjà.

1Module et argument

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u⃗,v⃗)(O~;~\vec{u},\vec{v}). À tout nombre complexe z=a+ibz = a + \mathrm{i}b (avec a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}) on associe le point M(a ; b)M(a~;~b), appelé image de zz, et le vecteur OM→\overrightarrow{OM}. Réciproquement, zz est l'affixe de MM et de OM→\overrightarrow{OM}. Deux nouvelles grandeurs, purement géométriques, vont décrire MM : sa distance à l'origine, et l'angle que fait OM→\overrightarrow{OM} avec l'axe des réels.

Définition

Soit z=a+ibz = a + \mathrm{i}b un nombre complexe non nul, d'image MM.

Le module de zz, noté ∣z∣|z|, est la distance OMOM :

∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

Un argument de zz, noté arg⁡(z)\arg(z), est une mesure en radians de l'angle orienté (u⃗ ; OM→)\left(\vec{u}~;~\overrightarrow{OM}\right) :

arg⁡(z)≡θ(mod2π)ouˋcos⁡θ=a∣z∣  et  sin⁡θ=b∣z∣\arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi} \quad \text{où} \quad \cos\theta = \dfrac{a}{|z|} \ \text{ et } \ \sin\theta = \dfrac{b}{|z|}

Attention

Le module ∣z∣|z| est un nombre positif unique (c'est une distance), mais un argument n'est jamais unique : si θ\theta convient, alors θ+2kπ\theta + 2k\pi convient aussi pour tout k∈Zk \in \mathbb{Z}. On écrit arg⁡(z)≡θ [2π]\arg(z) \equiv \theta \ [2\pi], et jamais arg⁡(z)=θ\arg(z) = \theta. Enfin, 00 n'a pas d'argument : quand M=OM = O, aucun angle n'est défini.

Le module généralise la valeur absolue des réels : si zz est réel, ∣z∣|z| est bien la valeur absolue de zz, et si zz est réel positif, arg⁡(z)≡0 [2π]\arg(z) \equiv 0\ [2\pi] ; si zz est réel négatif, arg⁡(z)≡π [2π]\arg(z) \equiv \pi\ [2\pi].

1.1  Calculer module et argument à partir de la forme algébrique

Méthode — déterminer ∣z∣|z| et arg⁡(z)\arg(z) connaissant aa et bb

On calcule d'abord r=∣z∣=a2+b2r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}, puis on cherche θ\theta tel que cos⁡θ=ar\cos\theta = \dfrac{a}{r} et sin⁡θ=br\sin\theta = \dfrac{b}{r}, en général à l'aide des valeurs remarquables du tableau ci-dessous, en repérant le quadrant grâce aux signes de aa et bb.

θ\theta00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
cos⁡θ\cos\theta1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00
sin⁡θ\sin\theta0012\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}11
Exemple — module et argument de z=1+iz = 1 + \mathrm{i}
  1. ∣z∣=12+12=2|z| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}
  2. cos⁡θ=12=22  et  sin⁡θ=22\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \text{ et }\ \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}on divise aa et bb par rr
  3. ⇒\Rightarrowθ=π4\theta = \dfrac{\pi}{4}valeurs remarquables du tableau
  4. ∣z∣=2  et  arg⁡(z)≡π4 [2π]|z| = \sqrt{2}\ \text{ et }\ \arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]
Exemple — module et argument de z=−3+iz = -\sqrt{3} + \mathrm{i}
  1. ∣z∣=(−3)2+12=3+1=2|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+1^{2}} = \sqrt{3+1} = 2
  2. cos⁡θ=−32  et  sin⁡θ=12\cos\theta = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\ \text{ et }\ \sin\theta = \dfrac{1}{2}
  3. a<0a < 0 et b>0b > 0MM est dans le 2e quadrant
  4. ⇒\Rightarrowθ=π−π6=5π6\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}angle associé à π6\dfrac{\pi}{6} dans le 2e quadrant
  5. ∣z∣=2  et  arg⁡(z)≡5π6 [2π]|z| = 2\ \text{ et }\ \arg(z) \equiv \dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]
Module et argument d'un nombre complexe Re Im 1 θ r M O r cos θ r sin θ
Figure 1 — Le point MM d'affixe zz est repéré par ses coordonnées polaires : le module r=OMr = OM et l'argument θ\theta, mesure de l'angle (u⃗ ; OM→)\left(\vec{u}~;~\overrightarrow{OM}\right). Le cercle en pointillés est le cercle trigonométrique (rayon 11).
Math & Co — Naissance du plan complexe

Pendant plus de deux siècles après leur invention par les algébristes italiens du XVIe siècle, les nombres complexes ne furent que des intermédiaires de calcul mystérieux, sans existence géométrique. C'est le géomètre norvégien Caspar Wessel qui, en 1797, propose le premier de représenter a+iba+\mathrm{i}b par le point de coordonnées (a,b)(a,b) — mais son mémoire, publié en danois, passe inaperçu.

L'idée est redécouverte indépendamment par le comptable suisse Jean-Robert Argand, qui la publie à Paris en 1806 : le plan porte encore aujourd'hui, dans plusieurs pays, le nom de plan d'Argand. Il faudra les travaux du grand Carl Friedrich Gauss, qui popularise cette représentation dès 1811, pour que les mathématiciens acceptent enfin les complexes comme des objets géométriques à part entière, et non plus comme des « nombres impossibles ».

2Forme trigonométrique et exponentielle

Le module et l'argument permettent de reconstruire entièrement zz : puisque a=rcos⁡θa = r\cos\theta et b=rsin⁡θb = r\sin\theta, on obtient une nouvelle écriture de zz, purement trigonométrique.

Définition — forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul zz, de module rr et d'argument θ\theta, s'écrit :

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)

Cette écriture est la forme trigonométrique de zz. Elle est unique pour r>0r > 0 fixé, à 2π2\pi près sur θ\theta.

2.1  La notation exponentielle eiθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}

Définition — notation d'Euler

Pour tout réel θ\theta, on pose :

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta

Cette écriture n'est a priori qu'une notation : rien ne définit encore une « puissance imaginaire » de e\mathrm{e}. On la justifie a posteriori, car — comme tu vas le démontrer — elle vérifie exactement les mêmes règles de calcul que les puissances réelles de e\mathrm{e}.

Tout complexe non nul de module rr et d'argument θ\theta s'écrit alors sous forme exponentielle :

z=r eiθz = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}

Propriété — règles de calcul sur eiθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}

Pour tous réels θ,θ′\theta,\theta' et tout entier relatif nn :

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′)eiθeiθ′=ei(θ−θ′)(eiθ)n=einθeiθ‾=e−iθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')} \qquad \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\theta')} \qquad \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta} \qquad \overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}

et ∣eiθ∣=1\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right| = 1.

Démonstration — la règle du produit

Posons Z=eiθ eiθ′Z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}. On développe grâce aux formules d'addition de la trigonométrie.

  1. Z=(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)Z = (\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)(\cos\theta' + \mathrm{i}\sin\theta')
  2. ==cos⁡θcos⁡θ′+icos⁡θsin⁡θ′+isin⁡θcos⁡θ′+i2sin⁡θsin⁡θ′\cos\theta\cos\theta' + \mathrm{i}\cos\theta\sin\theta' + \mathrm{i}\sin\theta\cos\theta' + \mathrm{i}^{2}\sin\theta\sin\theta'on développe le produit
  3. ==(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′)\left(\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta'\right) + \mathrm{i}\left(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta'\right)on regroupe parties réelle et imaginaire, i2=−1\mathrm{i}^2=-1
  4. ==cos⁡(θ+θ′)+isin⁡(θ+θ′)\cos(\theta+\theta') + \mathrm{i}\sin(\theta+\theta')formules d'addition cos⁡(θ+θ′)\cos(\theta+\theta'), sin⁡(θ+θ′)\sin(\theta+\theta')
  5. ==ei(θ+θ′)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}

D'où eiθ eiθ′=ei(θ+θ′)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}. C.Q.F.D.

La règle du quotient s'en déduit : e−iθ′×eiθ′=ei0=1\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta'}\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}0} = 1, donc 1eiθ′=e−iθ′\dfrac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta'} ; ainsi eiθeiθ′=eiθ×e−iθ′=ei(θ−θ′)\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta'} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\theta')} par la règle du produit. La règle du conjugué vient de la parité : cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta et sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta, donc cos⁡θ+isin⁡θ‾=cos⁡θ−isin⁡θ=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=e−iθ\overline{\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta} = \cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta = \cos(-\theta)+\mathrm{i}\sin(-\theta) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}. La règle de la puissance (formule de Moivre) est démontrée en section 3.

Propriété — module et argument d'une combinaison de complexes
ExpressionModuleArgument
zz′zz'∣z∣ ∣z′∣|z|\,|z'|arg⁡(z)+arg⁡(z′) [2π]\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]
zz′ (z′≠0)\dfrac{z}{z'}\ (z' \ne 0)∣z∣∣z′∣\dfrac{|z|}{|z'|}arg⁡(z)−arg⁡(z′) [2π]\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]
zn (n∈Z)z^{n}\ (n \in \mathbb{Z})∣z∣n|z|^{n}narg⁡(z) [2π]n\arg(z)\ [2\pi]
z‾\overline{z}∣z∣|z|−arg⁡(z) [2π]-\arg(z)\ [2\pi]
−z-z∣z∣|z|arg⁡(z)+π [2π]\arg(z)+\pi\ [2\pi]
Attention

arg⁡(zz′)\arg(zz') est la somme des arguments, jamais leur produit. Ne confonds pas non plus ∣z+z′∣|z+z'| avec ∣z∣+∣z′∣|z|+|z'| : le module d'une somme n'a, en général, aucune formule simple — seuls les produits, quotients et puissances se comportent bien avec module et argument.

2.2  Passer d'une forme à l'autre

Méthode — de la forme algébrique à la forme exponentielle, et retour

Pour passer de a+iba+\mathrm{i}b à r eiθr\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} : on calcule rr et θ\theta comme en section 1. Pour revenir de r eiθr\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} à a+iba+\mathrm{i}b : on calcule a=rcos⁡θa = r\cos\theta et b=rsin⁡θb = r\sin\theta.

Exemple — produit et quotient sous forme exponentielle

Soit z=3 eiπ/3z = 3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3} et z′=2 eiπ/4z' = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}. Calculons zz′zz' et zz′\dfrac{z}{z'}.

  1. zz′=3×2×ei(π/3+π/4)zz' = 3 \times 2 \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/3+\pi/4)}on multiplie les modules, on ajoute les arguments
  2. ==6 ei 7π/126\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,7\pi/12}π3+π4=4π12+3π12=7π12\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{4\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{7\pi}{12}
  3. zz′=32 ei(π/3−π/4)\dfrac{z}{z'} = \dfrac{3}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/3-\pi/4)}on divise les modules, on soustrait les arguments
  4. ==32 eiπ/12\dfrac{3}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/12}
Exemple — forme algébrique de z=4 ei 5π/6z = 4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,5\pi/6}
  1. a=4cos⁡5π6=4×(−32)a = 4\cos\dfrac{5\pi}{6} = 4 \times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
  2. ==−23-2\sqrt{3}
  3. b=4sin⁡5π6=4×12b = 4\sin\dfrac{5\pi}{6} = 4 \times \dfrac{1}{2}
  4. ==22
  5. ⇒\Rightarrowz=−23+2iz = -2\sqrt{3} + 2\mathrm{i}
Math & Co — La plus belle formule des mathématiques

C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui, dans son traité Introductio in analysin infinitorum publié en 1748, établit systématiquement le lien entre exponentielle et trigonométrie que porte la notation eiθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}. En choisissant θ=π\theta = \pi, sa relation donne l'identité :

eiπ+1=0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0

Régulièrement élue « plus belle formule des mathématiques » lors de sondages auprès de mathématiciens, elle réunit en une seule égalité les cinq constantes fondamentales 00, 11, i\mathrm{i}, π\pi et e\mathrm{e}, ainsi que les trois opérations d'addition, de multiplication et d'exponentiation.

3Formules de Moivre et d'Euler

La forme exponentielle rend presque triviale l'élévation à une puissance entière : c'est la formule de Moivre. Combinée aux formules d'addition, elle permet d'exprimer cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta) en fonction de cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta. Inversement, les formules d'Euler permettent de « redescendre » : exprimer une puissance de cos⁡θ\cos\theta ou sin⁡θ\sin\theta comme une somme de cos⁡(kθ)\cos(k\theta), une opération appelée linéarisation, indispensable pour calculer certaines primitives.

3.1  La formule de Moivre

Théorème — formule de Moivre

Pour tout réel θ\theta et tout entier naturel nn :

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)^{n} = \cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta)

Démonstration — par récurrence

Notons P(n)P(n) la propriété. Grâce à la notation exponentielle, (cos⁡θ+isin⁡θ)n=(eiθ)n(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n = \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^n, et la règle du produit (section 2) donne immédiatement le résultat pour tout nn entier ; en voici toutefois la preuve directe par récurrence, indépendante de cet argument.

  1. P(0)P(0) : (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡(0)+isin⁡(0)(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{0} = 1 = \cos(0)+\mathrm{i}\sin(0)initialisation vraie
  2. on suppose P(n)P(n) vraie pour un n⩾0n \geqslant 0
  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n×(cos⁡θ+isin⁡θ)(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{n+1} = (\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{n}\times(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)
  4. ==[cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)]×[cos⁡θ+isin⁡θ]\left[\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\right]\times\left[\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right]hypothèse de récurrence
  5. ==cos⁡(nθ+θ)+isin⁡(nθ+θ)\cos(n\theta+\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta+\theta)même calcul que pour la règle du produit
  6. ==cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\cos\big((n+1)\theta\big) + \mathrm{i}\sin\big((n+1)\theta\big)

P(n+1)P(n+1) est vraie : par le principe de récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. C.Q.F.D.

Méthode — exprimer cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta) avec Moivre

On développe (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{n} avec la formule du binôme de Newton, puis on identifie partie réelle (qui donne cos⁡(nθ)\cos(n\theta)) et partie imaginaire (qui donne sin⁡(nθ)\sin(n\theta)), en n'oubliant pas que i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1, i3=−i\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}, i4=1\mathrm{i}^{4}=1, etc.

Exemple — cos⁡(3θ)\cos(3\theta) et sin⁡(3θ)\sin(3\theta) en fonction de cos⁡θ,sin⁡θ\cos\theta,\sin\theta

Notons c=cos⁡θc = \cos\theta et s=sin⁡θs = \sin\theta. On développe (c+is)3(c+\mathrm{i}s)^{3} avec le binôme de Newton.

  1. (c+is)3=c3+3c2(is)+3c(is)2+(is)3(c+\mathrm{i}s)^{3} = c^{3} + 3c^{2}(\mathrm{i}s) + 3c(\mathrm{i}s)^{2} + (\mathrm{i}s)^{3}
  2. ==c3+3ic2s+3ci2s2+i3s3c^{3} + 3\mathrm{i}c^{2}s + 3c\mathrm{i}^{2}s^{2} + \mathrm{i}^{3}s^{3}
  3. ==c3+3ic2s−3cs2−is3c^{3} + 3\mathrm{i}c^{2}s - 3cs^{2} - \mathrm{i}s^{3}i2=−1\mathrm{i}^2=-1, i3=−i\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}
  4. ==(c3−3cs2)+i(3c2s−s3)\left(c^{3}-3cs^{2}\right) + \mathrm{i}\left(3c^{2}s - s^{3}\right)parties réelle et imaginaire

Or, par Moivre, (c+is)3=cos⁡(3θ)+isin⁡(3θ)(c+\mathrm{i}s)^{3} = \cos(3\theta)+\mathrm{i}\sin(3\theta). Par unicité des parties réelle et imaginaire :

cos⁡(3θ)=cos⁡3θ−3cos⁡θsin⁡2θsin⁡(3θ)=3cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡3θ\cos(3\theta) = \cos^{3}\theta - 3\cos\theta\sin^{2}\theta \qquad \sin(3\theta) = 3\cos^{2}\theta\sin\theta - \sin^{3}\theta

3.2  Les formules d'Euler et la linéarisation

Propriété — formules d'Euler

Pour tout réel θ\theta :

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2} \qquad\qquad \sin\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}

Démonstration

Par définition, eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta et e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} = \cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta (on remplace θ\theta par −θ-\theta, en utilisant la parité de cos⁡\cos et l'imparité de sin⁡\sin). En additionnant ces deux égalités, les termes en sin⁡θ\sin\theta s'éliminent et il reste eiθ+e−iθ=2cos⁡θ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} = 2\cos\theta, d'où la première formule. En les soustrayant, les termes en cos⁡θ\cos\theta s'éliminent et il reste eiθ−e−iθ=2isin⁡θ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} = 2\mathrm{i}\sin\theta, d'où la seconde. C.Q.F.D.

Attention

N'oublie jamais le 2i2\mathrm{i} au dénominateur de la formule du sinus (et non 22) : c'est l'erreur la plus fréquente. Une astuce pour la retrouver sans hésiter : sin⁡θ\sin\theta est impaire, la formule doit donc être impaire en (eiθ↔e−iθ)(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \leftrightarrow \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}) — ce que garantit précisément le facteur i\mathrm{i} au dénominateur.

Méthode — linéariser cos⁡pθsin⁡qθ\cos^{p}\theta\sin^{q}\theta

On remplace cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta par leurs expressions d'Euler, on développe avec le binôme de Newton, puis on regroupe les termes conjugués eikθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta} et e−ikθ\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\theta} pour faire réapparaître des cos⁡(kθ)\cos(k\theta) ou des sin⁡(kθ)\sin(k\theta) grâce aux formules d'Euler, lues cette fois « à l'envers ». Le résultat est une somme (sans produit) de sinus et cosinus d'angles multiples de θ\theta : d'où le nom de linéarisation, précieux pour intégrer.

Exemple — linéariser cos⁡2θ\cos^{2}\theta
  1. cos⁡2θ=(eiθ+e−iθ2)2\cos^{2}\theta = \left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}\right)^{2}
  2. ==e2iθ+2 eiθe−iθ+e−2iθ4\dfrac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta} + 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} + \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta}}{4}identité (x+y)2(x+y)^2
  3. ==e2iθ+e−2iθ+24\dfrac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta} + \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta} + 2}{4}eiθe−iθ=e0=1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}=\mathrm{e}^{0}=1
  4. ==2cos⁡(2θ)4+24\dfrac{2\cos(2\theta)}{4} + \dfrac{2}{4}formule d'Euler « à l'envers » sur e2iθ+e−2iθ\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta}
  5. ==12cos⁡(2θ)+12\dfrac{1}{2}\cos(2\theta) + \dfrac{1}{2}

On en déduit aussitôt une primitive : ∫cos⁡2θ dθ=14sin⁡(2θ)+θ2+C\displaystyle\int \cos^{2}\theta \, \mathrm{d}\theta = \dfrac{1}{4}\sin(2\theta) + \dfrac{\theta}{2} + C.

Exemple — linéariser sin⁡3θ\sin^{3}\theta
  1. sin⁡3θ=(eiθ−e−iθ2i)3\sin^{3}\theta = \left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}\right)^{3}
  2. ==e3iθ−3e2iθe−iθ+3eiθe−2iθ−e−3iθ(2i)3\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\theta} - 3\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} + 3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\theta}}{(2\mathrm{i})^{3}}binôme de Newton, (x−y)3(x-y)^3
  3. ==e3iθ−e−3iθ−3(eiθ−e−iθ)−8i\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\theta} - 3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\right)}{-8\mathrm{i}}(2i)3=−8i(2\mathrm{i})^3=-8\mathrm{i} ; on regroupe les exposants ±iθ\pm\mathrm{i}\theta et ±3iθ\pm 3\mathrm{i}\theta
  4. ==2isin⁡(3θ)−3×2isin⁡θ−8i\dfrac{2\mathrm{i}\sin(3\theta) - 3\times 2\mathrm{i}\sin\theta}{-8\mathrm{i}}formule d'Euler « à l'envers »
  5. ==sin⁡(3θ)−3sin⁡θ−4\dfrac{\sin(3\theta) - 3\sin\theta}{-4}
  6. ==3sin⁡θ−sin⁡(3θ)4\dfrac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}
Exemple — linéariser cos⁡θsin⁡2θ\cos\theta\sin^{2}\theta
  1. cos⁡θsin⁡2θ=eiθ ⁣[t]\cos\theta\sin^{2}\theta = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\!\begin{aligned}[t]&\end{aligned}on part des formules d'Euler séparément
  2. sin⁡2θ=1−cos⁡(2θ)2\sin^{2}\theta = \dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}obtenu comme pour cos⁡2θ\cos^2\theta, avec un signe −- car (2i)2=−4(2\mathrm{i})^2=-4
  3. cos⁡θsin⁡2θ=cos⁡θ×1−cos⁡(2θ)2\cos\theta\sin^{2}\theta = \cos\theta \times \dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}
  4. ==12cos⁡θ−12cos⁡θcos⁡(2θ)\dfrac{1}{2}\cos\theta - \dfrac{1}{2}\cos\theta\cos(2\theta)
  5. ==12cos⁡θ−14[cos⁡(3θ)+cos⁡θ]\dfrac{1}{2}\cos\theta - \dfrac{1}{4}\Big[\cos(3\theta)+\cos\theta\Big]produit-somme : cos⁡pcos⁡q=12[cos⁡(p+q)+cos⁡(p−q)]\cos p \cos q = \tfrac12[\cos(p+q)+\cos(p-q)]
  6. ==14cos⁡θ−14cos⁡(3θ)\dfrac{1}{4}\cos\theta - \dfrac{1}{4}\cos(3\theta)

Cette linéarisation intervient par exemple dans le calcul de la primitive de cos⁡θsin⁡2θ\cos\theta\sin^2\theta, ou dans la démonstration de certaines identités trigonométriques du programme de Terminale.

Attention

Une linéarisation ne se devine pas : elle se calcule, systématiquement, avec la méthode ci-dessus. Ne cherche jamais à « lire » directement le résultat sans passer par l'écriture en eiθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}.

4Racines nn-ièmes de l'unité

Résoudre zn=1z^{n}=1 dans R\mathbb{R} ne donne au plus que deux solutions (±1\pm 1). Dans C\mathbb{C}, la forme exponentielle révèle une richesse insoupçonnée : il y a exactement nn solutions, et elles se répartissent avec une parfaite régularité géométrique.

Définition

Soit nn un entier naturel non nul. On appelle racine nn-ième de l'unité tout nombre complexe zz tel que zn=1z^{n}=1.

Théorème

L'équation zn=1z^{n}=1 admet exactement nn solutions distinctes dans C\mathbb{C}, les nombres :

zk=ei 2kπ/nk∈{0,1,2,…,n−1}z_{k} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2k\pi/n} \qquad k \in \{0,1,2,\dots,n-1\}

Leurs images sont les nn sommets d'un polygone régulier à nn côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d'affixe 11.

Démonstration

Soit z=r eiθz = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} (avec r>0r>0) une solution de zn=1z^{n}=1.

  1. zn=rn einθ=1=1×ei×0z^{n} = r^{n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta} = 1 = 1\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0}forme exponentielle de 11
  2. ⇒\Rightarrowrn=1r^{n} = 1égalité des modules, r>0r>0
  3. ⇒\Rightarrowr=1r = 1rr réel positif
  4. et\text{et}nθ≡0 [2π]n\theta \equiv 0 \ [2\pi]égalité des arguments
  5. ⇒\Rightarrowθ=2kπn\theta = \dfrac{2k\pi}{n}, k∈Zk \in \mathbb{Z}

Les valeurs de kk donnant des angles distincts modulo 2π2\pi sont exactement k=0,1,…,n−1k=0,1,\dots,n-1 : au-delà, θ\theta reprend les mêmes valeurs à 2π2\pi près. Il y a donc exactement nn solutions. Comme ∣zk∣=1|z_k|=1 pour chaque kk, tous les points sont sur le cercle trigonométrique, séparés par un angle constant 2πn\dfrac{2\pi}{n} : ce sont les sommets d'un polygone régulier. C.Q.F.D.

Propriété — somme des racines nn-ièmes de l'unité

Pour n⩾2n \geqslant 2, la somme des nn racines nn-ièmes de l'unité est nulle :

∑k=0n−1ei 2kπ/n=0\sum_{k=0}^{n-1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2k\pi/n} = 0

En effet, en notant ω=ei2π/n (≠1)\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/n} \ (\ne 1), cette somme est une somme géométrique de raison ω\omega : ∑k=0n−1ωk=ωn−1ω−1=1−1ω−1=0\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k} = \dfrac{\omega^{n}-1}{\omega-1} = \dfrac{1-1}{\omega - 1} = 0, car ωn=ei2π=1\omega^{n} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi} = 1.

4.1  Deux exemples : racines cubiques et racines cinquièmes

Exemple — résoudre z3=1z^{3}=1
  1. les solutions sont zk=ei 2kπ/3z_{k} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2k\pi/3}, k=0,1,2k=0,1,2
  2. z0=ei×0=1z_{0} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\times 0} = 1
  3. z1=ei 2π/3=−12+i32z_{1} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2\pi/3} = -\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}, noté ω\omega
  4. z2=ei 4π/3=−12−i32z_{2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,4\pi/3} = -\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}, égal à ω2\omega^{2} et à ω‾\overline{\omega}

L'ensemble des solutions est {1, ω, ω2}\left\{1,\ \omega,\ \omega^{2}\right\}, et l'on vérifie 1+ω+ω2=01+\omega+\omega^{2}=0 grâce à la propriété ci-dessus (ou en additionnant directement les parties réelles et imaginaires).

Les 3 racines cubiques de l'unité 2π/3 1 ω ω² O
Figure 2 — Les trois racines cubiques de l'unité, sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique : 11, ω=ei2π/3\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3} et ω2=ei4π/3\omega^{2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}4\pi/3}.

Le même raisonnement, pour n=5n=5, donne cinq solutions ei 2kπ/5\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2k\pi/5} pour k=0,…,4k=0,\dots,4, sommets d'un pentagone régulier : plus nn est grand, plus le polygone approche le cercle lui-même.

Les 5 racines cinquièmes de l'unité 2π/5 1 ω ω² ω³ ω⁴ O
Figure 3 — Les cinq racines cinquièmes de l'unité, sommets d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

4.2  Racines nn-ièmes d'un complexe quelconque

Méthode — résoudre zn=Zz^{n} = Z (ZZ complexe non nul donné)

On écrit Z=R eiΦZ = R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi} sous forme exponentielle. En cherchant z=r eiθz = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, l'égalité zn=Zz^{n}=Z devient rneinθ=R eiΦr^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta} = R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi}, d'où r=R1/nr = R^{1/n} et nθ≡Φ [2π]n\theta \equiv \Phi\ [2\pi]. Les nn solutions sont :

zk=R1/n ei(Φ+2kπ)/nk∈{0,1,…,n−1}z_{k} = R^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Phi+2k\pi)/n} \qquad k \in \{0,1,\dots,n-1\}

Exemple — résoudre z3=8iz^{3} = 8\mathrm{i}
  1. 8i=8 eiπ/28\mathrm{i} = 8\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}forme exponentielle de Z=8iZ=8\mathrm{i} : R=8R=8, Φ=π/2\Phi=\pi/2
  2. r=81/3=2r = 8^{1/3} = 2
  3. θk=π/2+2kπ3=π6+2kπ3\theta_{k} = \dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}, k=0,1,2k=0,1,2
  4. k=0k=0 : z0=2 eiπ/6=3+iz_{0} = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6} = \sqrt{3}+\mathrm{i}
  5. k=1k=1 : z1=2 ei 5π/6=−3+iz_{1} = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,5\pi/6} = -\sqrt{3}+\mathrm{i}
  6. k=2k=2 : z2=2 ei 3π/2=−2iz_{2} = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,3\pi/2} = -2\mathrm{i}

Vérification sur z0z_0 : ∣z0∣3=23=8|z_0|^3 = 2^3=8 et 3arg⁡(z0)=3×π6=π23\arg(z_0) = 3\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}, donc z03=8 eiπ/2=8iz_0^{3} = 8\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2} = 8\mathrm{i}. ✓

Attention

Une équation zn=Zz^{n}=Z (avec Z≠0Z \ne 0) possède toujours exactement nn solutions complexes distinctes, jamais une seule. Ne confonds pas avec la racine nn-ième « usuelle » Zn\sqrt[n]{Z} définie uniquement pour ZZ réel positif : ici, on travaille dans C\mathbb{C}, et toutes les solutions sont légitimes.

5Interprétation géométrique des quotients

Le module et l'argument ne mesurent pas seulement un point par rapport à l'origine : la même idée, appliquée à une différence d'affixes, mesure un point par rapport à n'importe quel autre point. C'est ce qui va transformer un simple quotient de deux nombres complexes en un puissant outil de géométrie plane.

Propriété — rappel

Pour deux points A(zA)A(z_A) et M(z)M(z) distincts, ∣z−zA∣=AM|z - z_A| = AM et arg⁡(z−zA)≡(u⃗ ; AM→) [2π]\arg(z-z_A) \equiv \left(\vec{u}~;~\overrightarrow{AM}\right)\ [2\pi] : le complexe z−zAz-z_A est l'affixe du vecteur AM→\overrightarrow{AM}.

Théorème

Soit AA, BB, CC trois points d'affixes deux à deux distinctes. Alors :

∣zC−zAzB−zA∣=ACABarg⁡(zC−zAzB−zA)≡(AB→ ; AC→) [2π]\left|\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right| = \dfrac{AC}{AB} \qquad\qquad \arg\left(\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right) \equiv \left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right) \ [2\pi]

Démonstration

Le quotient zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} est le quotient des affixes des vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et AB→\overrightarrow{AB}. Le module d'un quotient est le quotient des modules, ce qui donne ACAB\dfrac{AC}{AB}. L'argument d'un quotient est la différence des arguments :

  1. arg⁡(zC−zAzB−zA)≡arg⁡(zC−zA)−arg⁡(zB−zA) [2π]\arg\left(\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right) \equiv \arg(z_C-z_A) - \arg(z_B-z_A)\ [2\pi]
  2. ≡\equiv(u⃗ ; AC→)−(u⃗ ; AB→) [2π]\left(\vec{u}~;~\overrightarrow{AC}\right) - \left(\vec{u}~;~\overrightarrow{AB}\right)\ [2\pi]
  3. ≡\equiv(AB→ ; AC→) [2π]\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)\ [2\pi]relation de Chasles sur les angles orientés

C.Q.F.D.

Angle orienté et quotient d'affixes θ A B C
Figure 4 — L'argument du quotient zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} est exactement la mesure θ\theta de l'angle orienté (AB→ ; AC→)\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right).

5.1  Trois configurations classiques

Propriété — caractérisations usuelles
  • A,B,CA,B,C alignés   ⟺  zC−zAzB−zA∈R∗\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \in \mathbb{R}^{*} (argument ≡0\equiv 0 ou π [2π]\pi\ [2\pi])
  • (AB)⊥(AC)  ⟺  zC−zAzB−zA∈iR∗(AB) \perp (AC) \iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \in \mathrm{i}\mathbb{R}^{*} (argument ≡±π2 [2π]\equiv \pm\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]), donc ABCABC rectangle en AA
  • ABCABC équilatéral (direct)   ⟺  zC−zAzB−zA=eiπ/3\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3} (module 11 : AB=ACAB=AC ; argument π3\dfrac{\pi}{3} : angle de 60°60°)
Triangle équilatéral : un cas particulier du quotient 60° A B C
Figure 5 — Triangle ABCABC équilatéral direct : les trois côtés sont égaux (marques) et chaque angle vaut 60°=π360°=\dfrac{\pi}{3} rad.
Méthode — démontrer une configuration géométrique par un quotient

On calcule zC−zAz_C-z_A et zB−zAz_B-z_A (attention à l'ordre !), on forme le quotient, on le met sous forme algébrique ou exponentielle selon ce qu'on cherche à prouver (réel/imaginaire pur pour alignement/orthogonalité ; module et argument pour une longueur ou un angle précis), puis on conclut avec la propriété ci-dessus.

Exemple — démontrer un alignement

Soit A(1+i)A(1+\mathrm{i}), B(3+2i)B(3+2\mathrm{i}), C(7+4i)C(7+4\mathrm{i}). Montrons que A,B,CA,B,C sont alignés.

  1. zB−zA=(3+2i)−(1+i)=2+iz_B-z_A = (3+2\mathrm{i})-(1+\mathrm{i}) = 2+\mathrm{i}
  2. zC−zA=(7+4i)−(1+i)=6+3iz_C-z_A = (7+4\mathrm{i})-(1+\mathrm{i}) = 6+3\mathrm{i}
  3. zC−zAzB−zA=6+3i2+i=3(2+i)2+i\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \dfrac{6+3\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} = \dfrac{3(2+\mathrm{i})}{2+\mathrm{i}}
  4. ==33

Le quotient vaut 3∈R∗3 \in \mathbb{R}^{*} : les points AA, BB, CC sont alignés (et même, AC→=3AB→\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}).

Exemple — reconnaître un triangle rectangle isocèle

Soit A(2)A(2), B(2+3i)B(2+3\mathrm{i}), C(−1)C(-1). Étudions le quotient zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}.

  1. zB−zA=3iz_B-z_A = 3\mathrm{i}
  2. zC−zA=−3z_C-z_A = -3
  3. zC−zAzB−zA=−33i=−1i=−ii2\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \dfrac{-3}{3\mathrm{i}} = \dfrac{-1}{\mathrm{i}} = \dfrac{-\mathrm{i}}{\mathrm{i}^{2}}on multiplie haut et bas par i\mathrm{i}
  4. ==i\mathrm{i}

Le quotient i\mathrm{i} est imaginaire pur non nul, de module 11 : donc (AB)⊥(AC)(AB)\perp(AC) et AB=ACAB=AC. Le triangle ABCABC est rectangle et isocèle en AA.

Attention

Le quotient zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} n'est pas symétrique : le point qui figure seul au numérateur et seul au dénominateur est toujours le sommet de l'angle étudié. Se tromper d'ordre inverse le rôle des trois points et change la valeur du quotient.

6Transformations complexes

Pour finir, tu vas voir que les transformations du plan étudiées en géométrie — translations, homothéties, rotations, et leurs compositions — s'écrivent toutes sous la forme z′=az+bz' = az+b, et que les coefficients aa et bb suffisent à lire instantanément leur nature.

6.1  Translation, homothétie et rotation

Définition
  • Translation de vecteur w⃗\vec{w} d'affixe bb : z′=z+bz' = z+b.
  • Homothétie de centre Ω(ω)\Omega(\omega), de rapport k∈R∗k \in \mathbb{R}^{*} : z′−ω=k(z−ω)z'-\omega = k(z-\omega).
  • Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega), d'angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega).
Démonstration — la rotation conserve les distances et tourne d'un angle θ\theta

Soit M(z)M(z), M′(z′)M'(z') avec z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega), et M≠ΩM \ne \Omega.

  1. ∣z′−ω∣=∣eiθ∣×∣z−ω∣=∣z−ω∣|z'-\omega| = \left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right|\times|z-\omega| = |z-\omega|∣eiθ∣=1\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right|=1
  2. ⇒\RightarrowΩM′=ΩM\Omega M' = \Omega M
  3. arg⁡(z′−ω)≡arg⁡(z−ω)+θ [2π]\arg(z'-\omega) \equiv \arg(z-\omega) + \theta\ [2\pi]argument d'un produit
  4. ⇒\Rightarrow(ΩM→ ; ΩM′→)≡θ [2π]\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right) \equiv \theta\ [2\pi]

M′M' est donc bien l'image de MM par la rotation de centre Ω\Omega et d'angle θ\theta. C.Q.F.D.

Rotation de centre Ω et d'angle θ θ Ω A A'
Figure 6 — Image A′A' de AA par la rotation de centre Ω\Omega et d'angle θ\theta : ΩA′=ΩA\Omega A' = \Omega A (marques) et (ΩA→ ; ΩA′→)=θ\left(\overrightarrow{\Omega A}~;~\overrightarrow{\Omega A'}\right) = \theta.

6.2  Similitudes directes

Définition

Une similitude directe du plan complexe est une transformation d'écriture z′=az+bz' = az+b, avec a∈C∗a \in \mathbb{C}^{*} et b∈Cb \in \mathbb{C}.

Propriété — éléments caractéristiques (cas a≠1a \ne 1)

Si a≠1a \ne 1, la similitude z′=az+bz'=az+b admet un unique point fixe Ω(ω)\Omega(\omega), avec ω=b1−a\omega = \dfrac{b}{1-a}, et s'écrit alors z′−ω=a(z−ω)z'-\omega = a(z-\omega) : c'est la composée, de centre Ω\Omega, d'une rotation d'angle arg⁡(a)\arg(a) et d'une homothétie de rapport ∣a∣|a|. On dit que Ω\Omega est le centre, ∣a∣|a| le rapport et arg⁡(a)\arg(a) l'angle de la similitude. Si a=1a=1, c'est la translation de vecteur d'affixe bb (pas de point fixe si b≠0b\ne 0).

Méthode — déterminer les éléments d'une similitude z′=az+bz'=az+b

Le rapport est ∣a∣|a|, l'angle est arg⁡(a)\arg(a) (à calculer comme en section 1). Le centre Ω\Omega est le point fixe : on résout ω=aω+b\omega = a\omega+b, soit ω=b1−a\omega = \dfrac{b}{1-a}.

Exemple — nature et éléments de z′=(1+i3)z−2z' = \left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)z - 2
  1. a=1+i3a = 1+\mathrm{i}\sqrt{3}, donc ∣a∣=1+3=2|a| = \sqrt{1+3}=2
  2. cos⁡θ=12  et  sin⁡θ=32\cos\theta = \dfrac{1}{2}\ \text{ et }\ \sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. ⇒\Rightarrowarg⁡(a)=π3\arg(a) = \dfrac{\pi}{3}
  4. ω=−21−(1+i3)=−2−i3=2i3\omega = \dfrac{-2}{1-\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)} = \dfrac{-2}{-\mathrm{i}\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\mathrm{i}\sqrt{3}}
  5. ==2i3×−i−i=−2i3=−233i\dfrac{2}{\mathrm{i}\sqrt{3}}\times\dfrac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}} = \dfrac{-2\mathrm{i}}{\sqrt{3}} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{i}

z′=(1+i3)z−2z'=\left(1+\mathrm{i}\sqrt3\right)z-2 est la similitude directe de centre Ω ⁣(−233i)\Omega\!\left(-\dfrac{2\sqrt3}{3}\mathrm{i}\right), de rapport 22 et d'angle π3\dfrac{\pi}{3}.

Propriété — composées

La composée de deux rotations de même centre Ω\Omega, d'angles θ1\theta_1 et θ2\theta_2, est la rotation de centre Ω\Omega et d'angle θ1+θ2\theta_1+\theta_2 (les écritures z′−ω=eiθ1(z−ω)z'-\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}(z-\omega) puis z′′−ω=eiθ2(z′−ω)z''-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_2}(z'-\omega) se composent en z′′−ω=ei(θ1+θ2)(z−ω)z''-\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta_1+\theta_2)}(z-\omega)). Plus généralement, la composée de deux similitudes directes de rapports k1,k2k_1,k_2 et d'angles θ1,θ2\theta_1,\theta_2 est une similitude directe de rapport k1k2k_1k_2 et d'angle θ1+θ2\theta_1+\theta_2.

6.3  Lieux géométriques

Module et argument permettent aussi de décrire des ensembles de points, définis par une condition sur leur affixe zz, en fixant un point A(a)A(a) :

Exemple — deux lieux classiques

a) L'ensemble des points M(z)M(z) tels que ∣z−3−2i∣=4|z-3-2\mathrm{i}| = 4 est le cercle de centre A(3+2i)A(3+2\mathrm{i}) et de rayon 44, car ∣z−zA∣=AM|z-z_A|=AM.

b) L'ensemble des points M(z)M(z), M≠AM\ne A, tels que arg⁡(z−1)≡π4 [2π]\arg(z-1) \equiv \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi] est la demi-droite d'origine A(1)A(1) (exclue), dirigée par l'angle π4\dfrac{\pi}{4} avec l'axe des réels.

Attention

Ne confonds pas le rapport kk d'une homothétie, toujours réel, avec le module ∣a∣|a| d'une similitude, qui ne fixe que la dilatation, indépendamment de la rotation associée. Une similitude de rapport 22 et d'angle non nul n'est pas une homothétie.

Math & Co — Le théorème de Napoléon

Une légende, invérifiable mais tenace, prête à Napoléon Bonaparte — passionné de géométrie et proche du mathématicien Gaspard Monge — la découverte suivante, attestée dans la littérature mathématique dès le début du XIXe siècle : si l'on construit un triangle équilatéral extérieur sur chacun des trois côtés d'un triangle quelconque ABCABC, alors les centres de ces trois triangles équilatéraux forment eux-mêmes un triangle équilatéral.

La démonstration la plus rapide de ce résultat utilise précisément les rotations complexes d'angle π3\dfrac{\pi}{3} que tu viens d'étudier : chaque sommet équilatéral s'obtient comme image d'un sommet de ABCABC par une rotation bien choisie, et il suffit alors de calculer l'affixe de chaque centre pour vérifier la propriété du quotient égal à eiπ/3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}.

Fiche mémo

  • z=a+ib=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r eiθz = a+\mathrm{i}b = r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, avec r=∣z∣=a2+b2>0r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}>0 et θ=arg⁡(z) [2π]\theta=\arg(z)\ [2\pi].
  • a=rcos⁡θa=r\cos\theta, b=rsin⁡θb=r\sin\theta ; cos⁡θ=ar\cos\theta=\dfrac{a}{r}, sin⁡θ=br\sin\theta=\dfrac{b}{r}.
  • eiθeiθ′=ei(θ+θ′)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')} ; eiθeiθ′=ei(θ−θ′)\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\theta')} ; (eiθ)n=einθ\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta} (Moivre).
  • ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|zz'|=|z||z'|, arg⁡(zz′)=arg⁡z+arg⁡z′ [2π]\arg(zz')=\arg z+\arg z'\ [2\pi] (quotient : on soustrait ; puissance nn : on multiplie par nn).
  • z‾=r e−iθ\overline{z} = r\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} ; −z=r ei(θ+π)-z = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\pi)}.
  • Moivre : (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{n}=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta).
  • Euler : cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}, sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}} (linéarisation : Euler, binôme, Euler « à l'envers »).
  • Racines nn-ièmes de l'unité : zn=1  ⟺  z=ei2kπ/nz^{n}=1 \iff z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}2k\pi/n}, k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1 (polygone régulier ; somme nulle).
  • Racines nn-ièmes de Z=ReiΦZ=R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi} : zk=R1/nei(Φ+2kπ)/nz_k = R^{1/n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Phi+2k\pi)/n}.
  • arg⁡ ⁣(zC−zAzB−zA)≡(AB→ ; AC→) [2π]\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) \equiv \left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)\ [2\pi] ; module =ACAB=\dfrac{AC}{AB}.
  • Alignés   ⟺  \iff quotient réel ; (AB)⊥(AC)  ⟺  (AB)\perp(AC) \iff quotient imaginaire pur ; équilatéral direct   ⟺  \iff quotient =eiπ/3=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}.
  • Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega), angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega). Homothétie, rapport k∈R∗k\in\mathbb{R}^{*} : z′−ω=k(z−ω)z'-\omega=k(z-\omega).
  • Similitude directe z′=az+bz'=az+b (a≠0,1a\ne 0,1) : rapport ∣a∣|a|, angle arg⁡(a)\arg(a), centre ω=b1−a\omega=\dfrac{b}{1-a}.
  • ∣z−a∣=r|z-a|=r : cercle de centre AA, rayon rr. arg⁡(z−a)≡θ [2π]\arg(z-a)\equiv\theta\ [2\pi] : demi-droite d'origine AA.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Détermine le module et un argument de chacun des complexes suivants : z1=3+iz_1=\sqrt{3}+\mathrm{i} ; z2=−2iz_2=-2\mathrm{i} ; z3=−1−iz_3=-1-\mathrm{i}.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∣z1∣=3+1=2|z_1|=\sqrt{3+1}=2
  2. cos⁡θ1=32\cos\theta_1=\dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡θ1=12\sin\theta_1=\dfrac12
  3. ⇒\Rightarrowarg⁡(z1)≡π6 [2π]\arg(z_1)\equiv\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]
  4. ∣z2∣=2|z_2|=2, cos⁡θ2=0\cos\theta_2=0, sin⁡θ2=−1\sin\theta_2=-1
  5. ⇒\Rightarrowarg⁡(z2)≡−π2 [2π]\arg(z_2)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]
  6. ∣z3∣=1+1=2|z_3|=\sqrt{1+1}=\sqrt2, cos⁡θ3=−22\cos\theta_3=-\dfrac{\sqrt2}{2}, sin⁡θ3=−22\sin\theta_3=-\dfrac{\sqrt2}{2}a<0a<0 et b<0b<0 : 3e quadrant
  7. ⇒\Rightarrowarg⁡(z3)≡−3π4 [2π]\arg(z_3)\equiv-\dfrac{3\pi}{4}\ [2\pi]
2

Donne la forme algébrique de z=6 ei2π/3z=6\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3} et de z′=2 e−iπ/4z'=\sqrt2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}.

Voir le corrigé détaillé
  1. a=6cos⁡2π3=6×(−12)=−3a=6\cos\dfrac{2\pi}{3}=6\times\left(-\dfrac12\right)=-3
  2. b=6sin⁡2π3=6×32=33b=6\sin\dfrac{2\pi}{3}=6\times\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3
  3. ⇒\Rightarrowz=−3+33 iz=-3+3\sqrt3\,\mathrm{i}
  4. a′=2cos⁡(−π4)=2×22=1a'=\sqrt2\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=1
  5. b′=2sin⁡(−π4)=2×(−22)=−1b'=\sqrt2\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\times\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-1
  6. ⇒\Rightarrowz′=1−iz'=1-\mathrm{i}
3

Soit z=2 eiπ/6z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6} et z′=5 eiπ/3z'=5\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}. Calcule zz′zz' et zz′\dfrac{z}{z'} sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

Voir le corrigé détaillé
  1. zz′=2×5×ei(π/6+π/3)=10 eiπ/2zz'=2\times5\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/6+\pi/3)}=10\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}
  2. ==10(cos⁡π2+isin⁡π2)=10i10\big(\cos\tfrac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\tfrac{\pi}{2}\big)=10\mathrm{i}
  3. zz′=25 ei(π/6−π/3)=25 e−iπ/6\dfrac{z}{z'}=\dfrac{2}{5}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/6-\pi/3)}=\dfrac25\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}
  4. ==25(32−i2)=35−15i\dfrac25\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\mathrm{i}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt3}{5}-\dfrac{1}{5}\mathrm{i}
4

Calcule (1+i)10(1+\mathrm{i})^{10} en utilisant la forme exponentielle.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1+i=2 eiπ/41+\mathrm{i}=\sqrt2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}
  2. (1+i)10=(2)10 ei 10π/4(1+\mathrm{i})^{10}=\left(\sqrt2\right)^{10}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,10\pi/4}
  3. ==25 ei 5π/22^{5}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,5\pi/2}(2)10=25=32(\sqrt2)^{10}=2^{5}=32
  4. ==32 eiπ/232\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}5π2≡π2 [2π]\dfrac{5\pi}{2}\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]
  5. ==32i32\mathrm{i}
5

Résous dans C\mathbb{C} l'équation z4=1z^{4}=1.

Voir le corrigé détaillé
  1. les solutions sont zk=ei 2kπ/4=ei kπ/2z_k=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2k\pi/4}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,k\pi/2}, k=0,1,2,3k=0,1,2,3
  2. z0=1z_0=1 ; z1=iz_1=\mathrm{i} ; z2=−1z_2=-1 ; z3=−iz_3=-\mathrm{i}

L'ensemble des solutions est {1,i,−1,−i}\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}, sommets d'un carré inscrit dans le cercle trigonométrique.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Linéarise cos⁡3θ\cos^{3}\theta, puis donne une primitive de θ↦cos⁡3θ\theta \mapsto \cos^{3}\theta.

Voir le corrigé détaillé
  1. cos⁡3θ=(eiθ+e−iθ2)3\cos^{3}\theta=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}\right)^{3}
  2. ==e3iθ+3e2iθe−iθ+3eiθe−2iθ+e−3iθ8\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\theta}+3\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\theta}}{8}binôme, (x+y)3(x+y)^3
  3. ==e3iθ+e−3iθ+3(eiθ+e−iθ)8\dfrac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\theta}+3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\right)}{8}
  4. ==2cos⁡(3θ)+3×2cos⁡θ8\dfrac{2\cos(3\theta)+3\times2\cos\theta}{8}
  5. ==cos⁡(3θ)+3cos⁡θ4\dfrac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}

D'où une primitive : ∫cos⁡3θ dθ=sin⁡(3θ)12+34sin⁡θ+C\displaystyle\int\cos^{3}\theta\,\mathrm{d}\theta = \dfrac{\sin(3\theta)}{12}+\dfrac{3}{4}\sin\theta+C.

7

Résous dans C\mathbb{C} l'équation z4=−16z^{4}=-16. Donne une interprétation géométrique de l'ensemble des solutions.

Voir le corrigé détaillé
  1. −16=16 eiπ-16=16\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}R=16R=16, Φ=π\Phi=\pi
  2. r=161/4=2r=16^{1/4}=2
  3. θk=π+2kπ4\theta_k=\dfrac{\pi+2k\pi}{4}, k=0,1,2,3k=0,1,2,3
  4. z0=2 eiπ/4=2+i2z_0=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}=\sqrt2+\mathrm{i}\sqrt2
  5. z1=2 ei3π/4=−2+i2z_1=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}3\pi/4}=-\sqrt2+\mathrm{i}\sqrt2
  6. z2=2 ei5π/4=−2−i2z_2=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}5\pi/4}=-\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2
  7. z3=2 ei7π/4=2−i2z_3=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}7\pi/4}=\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2

Les quatre images, toutes à distance 22 de OO et régulièrement espacées de π2\dfrac{\pi}{2}, forment un carré centré en OO, inscrit dans le cercle de rayon 22.

8

Soit A(1+i)A(1+\mathrm{i}), B(4+2i)B(4+2\mathrm{i}), C(−1+7i)C(-1+7\mathrm{i}). Montre que le triangle ABCABC est rectangle en AA, et précise le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB}.

Voir le corrigé détaillé
  1. zB−zA=3+iz_B-z_A=3+\mathrm{i}
  2. zC−zA=−2+6iz_C-z_A=-2+6\mathrm{i}
  3. zC−zAzB−zA=−2+6i3+i=(−2+6i)(3−i)(3+i)(3−i)\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{-2+6\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}=\dfrac{(-2+6\mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{(3+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})}on multiplie par le conjugué
  4. ==−6+2i+18i−6i29+1=20i10\dfrac{-6+2\mathrm{i}+18\mathrm{i}-6\mathrm{i}^{2}}{9+1}=\dfrac{20\mathrm{i}}{10}
  5. ==2i2\mathrm{i}

Le quotient 2i2\mathrm{i} est imaginaire pur non nul : (AB)⊥(AC)(AB)\perp(AC), le triangle est rectangle en AA, et ACAB=∣2i∣=2\dfrac{AC}{AB}=|2\mathrm{i}|=2.

9

Détermine la nature précise et les éléments caractéristiques de la transformation z′=(−1+i3)z+4−2i3z'=\left(-1+\mathrm{i}\sqrt3\right)z+4-2\mathrm{i}\sqrt3.

Voir le corrigé détaillé
  1. a=−1+i3a=-1+\mathrm{i}\sqrt3, ∣a∣=1+3=2|a|=\sqrt{1+3}=2
  2. cos⁡θ=−12\cos\theta=-\dfrac12, sin⁡θ=32\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}
  3. ⇒\Rightarrowarg⁡(a)=2π3\arg(a)=\dfrac{2\pi}{3}
  4. ω=4−2i31−a=4−2i32−i3=2(2−i3)2−i3\omega=\dfrac{4-2\mathrm{i}\sqrt3}{1-a}=\dfrac{4-2\mathrm{i}\sqrt3}{2-\mathrm{i}\sqrt3}=\dfrac{2\left(2-\mathrm{i}\sqrt3\right)}{2-\mathrm{i}\sqrt3}on factorise le numérateur
  5. ==22

C'est la similitude directe de centre Ω(2)\Omega(2), de rapport 22 et d'angle 2π3\dfrac{2\pi}{3}.

10

En utilisant la formule de Moivre et le binôme de Newton, exprime cos⁡(4θ)\cos(4\theta) uniquement en fonction de cos⁡θ\cos\theta.

Voir le corrigé détaillé

Notons c=cos⁡θc=\cos\theta, s=sin⁡θs=\sin\theta. On développe (c+is)4(c+\mathrm{i}s)^{4}.

  1. (c+is)4=c4+4c3(is)+6c2(is)2+4c(is)3+(is)4(c+\mathrm{i}s)^{4}=c^{4}+4c^{3}(\mathrm{i}s)+6c^{2}(\mathrm{i}s)^{2}+4c(\mathrm{i}s)^{3}+(\mathrm{i}s)^{4}
  2. ==c4+4ic3s−6c2s2−4ics3+s4c^{4}+4\mathrm{i}c^{3}s-6c^{2}s^{2}-4\mathrm{i}cs^{3}+s^{4}
  3. partie réelle =cos⁡(4θ)=\cos(4\theta)identification avec Moivre, (c+is)4=cos⁡4θ+isin⁡4θ(c+\mathrm{i}s)^4=\cos4\theta+\mathrm{i}\sin4\theta
  4. ⇒\Rightarrowcos⁡(4θ)=c4−6c2s2+s4\cos(4\theta)=c^{4}-6c^{2}s^{2}+s^{4}
  5. =c4−6c2(1−c2)+(1−c2)2=c^{4}-6c^{2}(1-c^{2})+(1-c^{2})^{2}s2=1−c2s^2=1-c^2
  6. ==c4−6c2+6c4+1−2c2+c4c^{4}-6c^{2}+6c^{4}+1-2c^{2}+c^{4}
  7. ==8c4−8c2+18c^{4}-8c^{2}+1

cos⁡(4θ)=8cos⁡4θ−8cos⁡2θ+1\cos(4\theta)=8\cos^{4}\theta-8\cos^{2}\theta+1

Niveau 3 — Type bac
11

Restitution organisée de connaissances. On rappelle les formules d'addition, admises : cos⁡(θ+θ′)=cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′\cos(\theta+\theta')=\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta' et sin⁡(θ+θ′)=sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′\sin(\theta+\theta')=\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta'.

  1. Démontre que pour tous réels θ,θ′\theta,\theta' : eiθeiθ′=ei(θ+θ′)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}.
  2. En déduire, par récurrence sur n∈Nn\in\mathbb{N}, la formule de Moivre (eiθ)n=einθ\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}.
Voir le corrigé détaillé

1. Par définition, eiθeiθ′=(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)(\cos\theta'+\mathrm{i}\sin\theta').

  1. =cos⁡θcos⁡θ′+icos⁡θsin⁡θ′+isin⁡θcos⁡θ′+i2sin⁡θsin⁡θ′=\cos\theta\cos\theta'+\mathrm{i}\cos\theta\sin\theta'+\mathrm{i}\sin\theta\cos\theta'+\mathrm{i}^{2}\sin\theta\sin\theta'
  2. ==(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′)\left(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'\right)+\mathrm{i}\left(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta'\right)
  3. ==cos⁡(θ+θ′)+isin⁡(θ+θ′)\cos(\theta+\theta')+\mathrm{i}\sin(\theta+\theta')formules d'addition rappelées
  4. ==ei(θ+θ′)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}

2. Notons P(n)P(n) : « (eiθ)n=einθ\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta} ». P(0)P(0) est vraie car les deux membres valent 11. Si P(n)P(n) est vraie pour un entier n⩾0n\geqslant0, alors (eiθ)n+1=(eiθ)n×eiθ=einθ×eiθ\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n+1}=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^{n}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, et d'après la question 1 (avec θ′=θ\theta'=\theta répété, ou directement nθn\theta et θ\theta), cela vaut ei(n+1)θ\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)\theta} : P(n+1)P(n+1) est vraie. Par récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}. C.Q.F.D.

12

Soit ff la transformation du plan complexe qui, à tout point M(z)M(z), associe le point M′(z′)M'(z') tel que z′=iz+2z'=\mathrm{i}z+2.

  1. Détermine la nature précise de ff et ses éléments caractéristiques.
  2. Soit A(3)A(3). Calcule l'affixe de A′=f(A)A'=f(A).
  3. Soit C\mathscr{C} le cercle de centre AA et de rayon 33. Détermine, sans nouveau calcul de longueur, l'image de C\mathscr{C} par ff.
Voir le corrigé détaillé

1. Ici a=ia=\mathrm{i}, donc ∣a∣=1|a|=1 et arg⁡(a)=π2\arg(a)=\dfrac{\pi}{2} : ff est une rotation (rapport 11). Son centre Ω(ω)\Omega(\omega) vérifie ω=iω+2\omega=\mathrm{i}\omega+2.

  1. ω(1−i)=2\omega(1-\mathrm{i})=2
  2. ⇒\Rightarrowω=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)\omega=\dfrac{2}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{2(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}
  3. ==2(1+i)2=1+i\dfrac{2(1+\mathrm{i})}{2}=1+\mathrm{i}

ff est donc la rotation de centre Ω(1+i)\Omega(1+\mathrm{i}) et d'angle π2\dfrac{\pi}{2}.

2. zA′=i×3+2=2+3iz_{A'}=\mathrm{i}\times3+2=2+3\mathrm{i}.

3. Une rotation conserve les distances : l'image d'un cercle de centre AA et de rayon 33 est le cercle de centre A′(2+3i)A'(2+3\mathrm{i}) et de même rayon 33.

13

Soit Ω(ω)\Omega(\omega) un point fixé du plan et M(z)M(z) un point quelconque, distinct de Ω\Omega. On note M′M' le point d'affixe z′=i(z−ω)+ωz'=\mathrm{i}(z-\omega)+\omega.

  1. Montre que ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M.
  2. Montre que (ΩM→ ; ΩM′→)≡π2 [2π]\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi].
  3. En déduire la nature du triangle ΩMM′\Omega MM'. Applique ceci à ω=1+2i\omega=1+2\mathrm{i} et z=4+3iz=4+3\mathrm{i} : calcule z′z' et vérifie numériquement ΩM=ΩM′\Omega M=\Omega M'.
Voir le corrigé détaillé

1. z′−ω=i(z−ω)z'-\omega=\mathrm{i}(z-\omega), donc ∣z′−ω∣=∣i∣×∣z−ω∣=∣z−ω∣|z'-\omega|=|\mathrm{i}|\times|z-\omega|=|z-\omega| car ∣i∣=1|\mathrm{i}|=1 : ainsi ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M.

2. arg⁡(z′−ω)≡arg⁡(z−ω)+arg⁡(i) [2π]\arg(z'-\omega)\equiv\arg(z-\omega)+\arg(\mathrm{i})\ [2\pi], et arg⁡(i)=π2\arg(\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}, donc (ΩM→ ; ΩM′→)≡π2 [2π]\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi].

3. M′M' est l'image de MM par la rotation de centre Ω\Omega et d'angle π2\dfrac{\pi}{2} : le triangle ΩMM′\Omega MM' est donc rectangle et isocèle en Ω\Omega (deux côtés égaux, angle droit entre eux).

  1. z−ω=(4+3i)−(1+2i)=3+iz-\omega=(4+3\mathrm{i})-(1+2\mathrm{i})=3+\mathrm{i}
  2. i(z−ω)=i(3+i)=3i+i2=−1+3i\mathrm{i}(z-\omega)=\mathrm{i}(3+\mathrm{i})=3\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=-1+3\mathrm{i}
  3. ⇒\Rightarrowz′=ω+(−1+3i)=(1+2i)−1+3i=5iz'=\omega+(-1+3\mathrm{i})=(1+2\mathrm{i})-1+3\mathrm{i}=5\mathrm{i}
  4. ΩM=∣z−ω∣=∣3+i∣=10\Omega M=|z-\omega|=|3+\mathrm{i}|=\sqrt{10}
  5. ΩM′=∣z′−ω∣=∣−1+3i∣=10\Omega M'=|z'-\omega|=|-1+3\mathrm{i}|=\sqrt{10}

On retrouve bien ΩM=ΩM′=10\Omega M=\Omega M'=\sqrt{10}.

Triangle ΩMM' rectangle isocèle en Ω Ω M M'
Figure 7 — M′M', image de MM par la rotation de centre Ω\Omega et d'angle π2\dfrac{\pi}{2} : ΩM=ΩM′\Omega M=\Omega M' et l'angle en Ω\Omega est droit.
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Un circuit électrique à Ndjamena. Un technicien teste une installation en régime sinusoïdal. La tension complexe aux bornes du circuit est U‾=220 eiπ/6\underline{U}=220\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6} (en volts) et l'impédance complexe mesurée est Z‾=443+44i\underline{Z}=44\sqrt3+44\mathrm{i} (en ohms).

  1. Écris Z‾\underline{Z} sous forme exponentielle.
  2. Calcule le courant complexe I‾=U‾Z‾\underline{I}=\dfrac{\underline{U}}{\underline{Z}} sous forme exponentielle.
  3. Donne l'intensité efficace du courant et le déphasage de la tension par rapport au courant.
Voir le corrigé détaillé
  1. ∣Z‾∣=(443)2+442=443+1=88|\underline{Z}|=\sqrt{\left(44\sqrt3\right)^{2}+44^{2}}=44\sqrt{3+1}=88
  2. cos⁡φZ=44388=32\cos\varphi_Z=\dfrac{44\sqrt3}{88}=\dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡φZ=4488=12\sin\varphi_Z=\dfrac{44}{88}=\dfrac12
  3. ⇒\RightarrowZ‾=88 eiπ/6\underline{Z}=88\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}
  4. I‾=U‾Z‾=22088 ei(π/6−π/6)\underline{I}=\dfrac{\underline{U}}{\underline{Z}}=\dfrac{220}{88}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/6-\pi/6)}
  5. ==2,5 ei×0=2,52{,}5\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\times0}=2{,}5

L'intensité efficace vaut 2,5 A2{,}5\ \text{A}. Le déphasage tension/courant est φU−φI=π6−0=π6 rad\varphi_U-\varphi_I=\dfrac{\pi}{6}-0=\dfrac{\pi}{6}\ \text{rad} (soit 30°30°) : la tension est en avance sur le courant, signature d'un circuit à caractère inductif.

15

Un rond-point à Yaoundé. La mairie installe 66 lampadaires régulièrement espacés sur la bordure circulaire d'un rond-point de rayon 30 m30\ \text{m}. On repère le plan par un axe complexe d'origine le centre du rond-point, le premier lampadaire étant placé à l'affixe 3030 (plein est).

  1. Donne, sous forme exponentielle, les affixes exactes des 66 lampadaires.
  2. Calcule les coordonnées du 3e lampadaire, arrondies au décimètre.
Voir le corrigé détaillé
  1. les 66 affixes sont zk=30 ei 2kπ/6=30 ei kπ/3z_k=30\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2k\pi/6}=30\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,k\pi/3}, k=0,…,5k=0,\dots,5sommets d'un hexagone régulier
  2. 3e lampadaire : k=2k=2, z2=30 ei 2π/3z_2=30\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2\pi/3}
  3. x=30cos⁡2π3=30×(−12)=−15x=30\cos\dfrac{2\pi}{3}=30\times\left(-\dfrac12\right)=-15
  4. y=30sin⁡2π3=30×32=153≈25,98y=30\sin\dfrac{2\pi}{3}=30\times\dfrac{\sqrt3}{2}=15\sqrt3\approx25{,}98

Le 3e lampadaire se trouve environ au point de coordonnées (−15,0 m ; 26,0 m)(-15{,}0~\text{m}~;~26{,}0~\text{m}).

16

Une rosace à Bamako. Une artisane dessine une rosace à 55 pétales en répétant un motif de base par rotations successives de centre OO et d'angle 2π5\dfrac{2\pi}{5}. La pointe du premier pétale est à l'affixe z0=3+4iz_0=3+4\mathrm{i} (en centimètres). Calcule, sous forme algébrique et arrondie à 0,1 cm0{,}1\ \text{cm} près, l'affixe z1z_1 de la pointe du pétale suivant.

Voir le corrigé détaillé
  1. z1=ei 2π/5×z0z_1=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2\pi/5}\times z_0rotation de centre OO, angle 2π5=72°\frac{2\pi}{5}=72°
  2. cos⁡72°≈0,309\cos72°\approx0{,}309, sin⁡72°≈0,951\sin72°\approx0{,}951
  3. ei 2π/5≈0,309+0,951 i\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2\pi/5}\approx0{,}309+0{,}951\,\mathrm{i}
  4. z1≈(0,309+0,951i)(3+4i)z_1\approx(0{,}309+0{,}951\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})
  5. ==(0,309×3−0,951×4)+i(0,309×4+0,951×3)(0{,}309\times3-0{,}951\times4)+\mathrm{i}(0{,}309\times4+0{,}951\times3)
  6. ≈\approx−2,9+4,1 i-2{,}9+4{,}1\,\mathrm{i}

Vérification : ∣z1∣≈(−2,9)2+4,12≈8,41+16,81≈5,0|z_1|\approx\sqrt{(-2{,}9)^2+4{,}1^2}\approx\sqrt{8{,}41+16{,}81}\approx5{,}0, identique à ∣z0∣=9+16=5|z_0|=\sqrt{9+16}=5 — la rotation conserve bien la distance au centre.

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Le module ∣z∣|z| d'un nombre complexe non nul est :

Explication : Le module est une distance (OMOM) : c'est toujours un réel positif unique, contrairement à l'argument qui n'est défini qu'à 2π2\pi près.

Un argument de zz est défini à :

Explication : Si θ\theta est un argument de zz, alors θ+2kπ\theta+2k\pi (pour tout entier kk) en est aussi un : on écrit arg⁡(z)≡θ [2π]\arg(z) \equiv \theta\ [2\pi], jamais arg⁡(z)=θ\arg(z)=\theta.

Le nombre complexe 00 a-t-il un argument ?

Explication : Quand M=OM=O, aucun angle n'est défini : 00 est le seul nombre complexe sans argument.

Module et argument de z=1+iz=1+\mathrm{i} sont :

Explication : ∣z∣=12+12=2|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. Puis cos⁡θ=sin⁡θ=22\cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}, donc θ=π4\theta=\dfrac{\pi}{4}.

La notation d'Euler eiθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} est définie, par convention, comme :

Explication : C'est la définition de la notation exponentielle : eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta.

Soit z=3 eiπ/6z=3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6} et z′=2 eiπ/3z'=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}. Le produit zz′zz' s'écrit sous forme exponentielle :

Explication : On multiplie les modules (3×2=63\times2=6) et on additionne les arguments (π6+π3=π6+2π6=3π6=π2\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}) : zz′=6 eiπ/2zz'=6\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}.

Pour tous complexes non nuls zz et z′z', l'argument du quotient zz′\dfrac{z}{z'} est :

Explication : L'argument d'un quotient est la différence des arguments (numérateur moins dénominateur), tout comme l'argument d'un produit est la somme des arguments.

Quelle affirmation sur le module d'une somme est correcte ?

Explication : Contrairement au produit, au quotient et à la puissance, le module d'une somme ne se calcule pas simplement à partir de ∣z∣|z| et ∣z′∣|z'| : c'est un piège classique à éviter.

D'après la formule de Moivre, (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^{n} est égal à :

Explication : C'est exactement l'énoncé de la formule de Moivre : élever cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta à la puissance nn revient à multiplier l'angle par nn, pas à élever chaque terme séparément.

La formule d'Euler pour le sinus s'écrit :

Explication : Attention au piège classique : le dénominateur est 2i2\mathrm{i}, pas 22 (qui est réservé à la formule du cosinus). Le facteur i\mathrm{i} garantit que la formule est bien impaire, comme sin⁡θ\sin\theta.

L'équation z4=1z^{4}=1 admet dans C\mathbb{C} :

Explication : L'équation zn=1z^{n}=1 admet toujours exactement nn solutions distinctes dans C\mathbb{C}, les racines nn-ièmes de l'unité ei2kπ/n\mathrm{e}^{\mathrm{i}2k\pi/n} pour k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1. Ici n=4n=4 : quatre solutions.

Les images des racines nn-ièmes de l'unité, dans le plan complexe, forment :

Explication : Toutes ces racines ont pour module 11 (elles sont sur le cercle trigonométrique) et sont séparées par un angle constant 2πn\dfrac{2\pi}{n} : ce sont les sommets d'un polygone régulier à nn côtés.

L'équation z3=Zz^{3}=Z, avec ZZ complexe non nul donné, admet dans C\mathbb{C} :

Explication : Comme pour les racines de l'unité, l'équation zn=Zz^n=Z (Z≠0Z\neq0) possède toujours exactement nn solutions distinctes dans C\mathbb{C} — ici n=3n=3.

Pour trois points AA, BB, CC d'affixes deux à deux distinctes, A,B,CA,B,C sont alignés si et seulement si :

Explication : Un quotient réel a un argument égal à 00 ou π\pi, c'est-à-dire que AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires : c'est exactement la caractérisation de l'alignement de A,B,CA,B,C.

Pour trois points AA, BB, CC, si zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} est un imaginaire pur non nul, alors le triangle ABCABC est :

Explication : Un quotient imaginaire pur a pour argument ±π2\pm\dfrac{\pi}{2}, donc (AB)⊥(AC)(AB)\perp(AC) : le triangle est rectangle en AA, le sommet qui figure seul dans le numérateur et le dénominateur.

Dans le quotient zC−zAzB−zA\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} utilisé pour étudier une configuration géométrique, le point qui joue le rôle du sommet de l'angle étudié est :

Explication : Le point qui apparaît seul au numérateur (avec CC) et seul au dénominateur (avec BB) est toujours AA, sommet de l'angle (AB→ ; AC→)\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}\right) étudié. Inverser l'ordre change le résultat.

La transformation d'écriture complexe z′−ω=eiθ(z−ω)z' - \omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega) est :

Explication : C'est la définition de la rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega) et d'angle θ\theta : elle conserve les distances à Ω\Omega (car ∣eiθ∣=1|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|=1) et fait tourner d'un angle θ\theta.

Pour une similitude directe z′=az+bz' = az+b avec a≠1a\neq1, le rapport et l'angle de la similitude sont respectivement :

Explication : Dans l'écriture z′=az+bz'=az+b, le module ∣a∣|a| donne le rapport (dilatation) et l'argument arg⁡(a)\arg(a) donne l'angle (rotation) de la similitude, quel que soit bb.

Un architecte de Lomé conçoit un pavage utilisant une similitude directe de rapport 22 et d'angle π4\dfrac{\pi}{4}, pour transformer un motif de départ. Quel nombre complexe aa correspond à cette similitude z′=az+bz'=az+b ?

Explication : Le coefficient aa d'une similitude z′=az+bz'=az+b a pour module le rapport et pour argument l'angle : ici rapport 22 et angle π4\dfrac{\pi}{4}, donc a=2 eiπ/4a = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}.

L'ensemble des points M(z)M(z) tels que arg⁡(z−2)≡π3 [2π]\arg(z-2) \equiv \dfrac{\pi}{3}\ [2\pi] (avec M≠AM \neq A, A(2)A(2)) est :

Explication : Une condition sur l'argument de z−az-a fixe la direction du vecteur AM→\overrightarrow{AM}, donc décrit une demi-droite d'origine AA (exclue, car l'argument de 00 n'est pas défini), et non un cercle (qui correspondrait à une condition sur le module).
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