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Produit vectoriel et applications

Introduire le produit vectoriel et l'utiliser pour les aires, volumes et orthogonalité.

Mathématiques Terminale Chapitre 17 / 19 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer un produit vectoriel
  • Déterminer une aire ou un volume
  • Caractériser la colinéarité et la coplanarité

Depuis la classe de Première, tu sais calculer le produit scalaire de deux vecteurs : une opération qui, à partir de deux vecteurs, produit un nombre. Ce chapitre t’en présente le complément naturel, le produit vectoriel : une opération qui, à partir de deux vecteurs de l’espace, produit cette fois un troisième vecteur. C’est ce changement de nature — un vecteur en sortie, et non un nombre — qui fait toute la richesse, et toute la subtilité, de cette notion nouvelle.

Le produit vectoriel est l’outil naturel de la géométrie dans l’espace : il fournit d’un seul calcul un vecteur orthogonal à deux autres, il mesure une aire de parallélogramme ou de triangle sans transporter aucun angle, il donne le volume d’un tétraèdre, et il teste en une ligne si des points sont alignés ou coplanaires. Tu le retrouveras aussi bien dans les exercices « type bac » de géométrie repérée que dans les problèmes de physique : le moment d’une force qui fait tourner un écrou, la force qui dévie une particule chargée dans un champ magnétique, ou celle qui propulse un haut-parleur, reposent toutes sur ce même outil.

Un avertissement s’impose avant même la définition : ne confonds jamais les deux produits. Le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v est un nombre, il est commutatif, et il s’annule quand les vecteurs sont orthogonaux. Le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est un vecteur, il change de signe quand on inverse l’ordre, et il s’annule quand les vecteurs sont colinéaires. Les deux notions sont, en un sens, complémentaires l’une de l’autre.

Le plan de ce chapitre suit une progression naturelle : orientation de l’espace et définition (§1), calcul pratique en coordonnées (§2), puis trois grandes applications géométriques — aires (§3), volumes (§4), distances (§5) — avant d’ouvrir sur la physique (§6). Chaque résultat nouveau est démontré, ou, quand la démonstration dépasse le programme, honnêtement admis comme tel.

1Définition et propriétés

1.1  Orientation de l’espace

Avant même de définir le produit vectoriel, il faut se donner une convention de sens dans l’espace : c’est ce qu’on appelle orienter l’espace. On dit qu’un triplet de vecteurs non coplanaires (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u,\vec v,\vec w) forme un trièdre direct lorsqu’il respecte la règle suivante, unanimement adoptée par les mathématiciens et les physiciens.

Définition — trièdre direct, règle des trois doigts

Un triplet (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u,\vec v,\vec w) de vecteurs non coplanaires est direct lorsque, en plaçant le pouce de la main droite selon u⃗\vec u et l’index selon v⃗\vec v, le majeur — tenu perpendiculairement aux deux premiers — pointe selon w⃗\vec w.

Cette convention, purement conventionnelle mais universelle, donne un sens à l’espace : c’est elle qui permettra de définir sans ambiguïté le produit vectoriel.

Règle des trois doigts de la main droite O pouce : u index : v majeur : u ∧ v
Figure 1 — La règle des trois doigts (règle de la main droite) : elle donne le sens du vecteur u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v, toujours orthogonal au plan formé par u⃗\vec u et v⃗\vec v.

1.2  Définition du produit vectoriel

Définition — produit vectoriel

Soit u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs de l’espace. Le produit vectoriel de u⃗\vec u par v⃗\vec v, noté u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v, est le vecteur défini ainsi :

  • si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires (l’un des deux pouvant être nul), alors u⃗∧v⃗=0⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0 ;
  • si u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires, alors u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est l’unique vecteur tel que :
    • u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v ;
    • le triplet (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)\left(\vec u, \vec v, \vec u \wedge \vec v\right) est direct (règle des trois doigts) ;
    • ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥×∥v⃗∥×sin⁡θ\left\|\vec u \wedge \vec v\right\| = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \sin\theta, où θ\theta est une mesure en radians de l’angle géométrique (u⃗,v⃗)\left(\vec u, \vec v\right), avec θ∈[0 ; π]\theta \in [0\,;\,\pi].

Remarque essentielle sur la norme : comme θ∈[0 ; π]\theta \in [0\,;\,\pi], on a toujours sin⁡θ⩾0\sin\theta \geqslant 0, donc ∥u⃗∧v⃗∥⩾0\left\|\vec u \wedge \vec v\right\| \geqslant 0 : c’est heureux, une norme ne peut pas être négative.

Le trièdre direct (u, v, u ∧ v) θ O u v u ∧ v
Figure 2 — Le trièdre direct (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)\left(\vec u, \vec v, \vec u \wedge \vec v\right) : le vecteur u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est orthogonal au plan de u⃗\vec u et v⃗\vec v (ici en pointillé), et son sens est donné par la règle des trois doigts de la Figure 1.

1.3  Propriétés

Propriété — règles de calcul

Pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec u, \vec v, \vec w de l’espace et tout réel λ\lambda :

  • Antisymétrie : v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)\vec v \wedge \vec u = -\left(\vec u \wedge \vec v\right) ;
  • Bilinéarité : u⃗∧(v⃗+w⃗)=u⃗∧v⃗+u⃗∧w⃗\vec u \wedge \left(\vec v + \vec w\right) = \vec u \wedge \vec v + \vec u \wedge \vec w, et (λu⃗)∧v⃗=u⃗∧(λv⃗)=λ(u⃗∧v⃗)\left(\lambda \vec u\right) \wedge \vec v = \vec u \wedge \left(\lambda \vec v\right) = \lambda\left(\vec u \wedge \vec v\right) ;
  • u⃗∧u⃗=0⃗\vec u \wedge \vec u = \vec 0 pour tout vecteur u⃗\vec u ;
  • u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0 \iff \vec u et v⃗\vec v sont colinéaires.

Dans une base orthonormée directe (ı⃗,ȷ⃗,k⃗)\left(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right) : ı⃗∧ȷ⃗=k⃗\vec\imath \wedge \vec\jmath = \vec k, ȷ⃗∧k⃗=ı⃗\vec\jmath \wedge \vec k = \vec\imath, k⃗∧ı⃗=ȷ⃗\vec k \wedge \vec\imath = \vec\jmath — et les trois produits « dans l’autre sens » changent de signe.

Démonstration — u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗,v⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0 \iff \vec u, \vec v colinéaires

L’antisymétrie et la bilinéarité se lisent sur la construction géométrique (échanger u⃗\vec u et v⃗\vec v échange le pouce et l’index, ce qui retourne le majeur) ; on les admet ici. L’équivalence sur la colinéarité, elle, se déduit proprement de la définition.

Si u⃗=0⃗\vec u = \vec 0 ou v⃗=0⃗\vec v = \vec 0 : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, et u⃗∧v⃗=0⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0 par définition. L’équivalence est vraie dans ce cas.

Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont non nuls, notons θ∈[0 ; π]\theta \in [0\,;\,\pi] une mesure de leur angle géométrique.

  1. u⃗∧v⃗=0⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0
  2.   ⟺  \iff∥u⃗∧v⃗∥=0\left\|\vec u \wedge \vec v\right\| = 0un vecteur est nul si, et seulement si, sa norme l’est
  3.   ⟺  \iff∥u⃗∥ ∥v⃗∥ sin⁡θ=0\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\theta = 0définition de la norme du produit vectoriel
  4.   ⟺  \iffsin⁡θ=0\sin\theta = 0car ∥u⃗∥≠0\|\vec u\| \neq 0 et ∥v⃗∥≠0\|\vec v\| \neq 0
  5.   ⟺  \iffθ=0\theta = 0 ou θ=π\theta = \picar θ∈[0 ; π]\theta \in [0\,;\,\pi]
  6.   ⟺  \iffu⃗\vec u et v⃗\vec v colinéairesde même sens si θ=0\theta = 0, de sens contraires si θ=π\theta = \pi

C.Q.F.D.

Exemple — calculer une norme

On donne ∥u⃗∥=3\|\vec u\| = 3, ∥v⃗∥=4\|\vec v\| = 4, et un angle géométrique θ=30°\theta = 30° entre u⃗\vec u et v⃗\vec v. Calcule ∥u⃗∧v⃗∥\left\|\vec u \wedge \vec v\right\|.

  1. ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥×∥v⃗∥×sin⁡θ\left\|\vec u \wedge \vec v\right\| = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \sin\theta
  2. ==3×4×sin⁡30°3 \times 4 \times \sin 30°
  3. ==12×1212 \times \dfrac{1}{2}sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}
  4. ==66
Exemple — produits des vecteurs de base

Dans une base orthonormée directe (ı⃗,ȷ⃗,k⃗)\left(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right), détermine ı⃗∧ȷ⃗\vec\imath \wedge \vec\jmath.

  1. ı⃗\vec\imath et ȷ⃗\vec\jmath sont orthogonaux et unitaires
  2. ⇒\Rightarrow∥ı⃗∧ȷ⃗∥=1×1×sin⁡90°=1\left\|\vec\imath \wedge \vec\jmath\right\| = 1 \times 1 \times \sin 90° = 1
  3. pouce selon ı⃗\vec\imath, index selon ȷ⃗\vec\jmath : la règle des trois doigts donne le majeur selon k⃗\vec k
  4. ⇒\Rightarrowı⃗∧ȷ⃗=k⃗\vec\imath \wedge \vec\jmath = \vec k
Attention

Le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est un vecteur, jamais un nombre : une réponse du type « u⃗∧v⃗=7\vec u \wedge \vec v = 7 » est nécessairement fausse. Ne confonds pas non plus u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v (orthogonal à u⃗\vec u et v⃗\vec v, nul quand ils sont colinéaires) avec u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v (un nombre, nul quand ils sont orthogonaux). Et surtout : u⃗∧v⃗≠v⃗∧u⃗\vec u \wedge \vec v \neq \vec v \wedge \vec u, l’ordre compte !

Math & Co — De Hamilton à Gibbs

Le produit vectoriel naît d’une intuition du mathématicien irlandais William Rowan Hamilton. Cherchant depuis des années à multiplier les vecteurs de l’espace comme on multiplie les nombres complexes, il a une illumination le 16 octobre 1843, en promenade avec son épouse le long du Royal Canal à Dublin : il grave aussitôt, sur la pierre du pont de Broom Bridge, la formule fondatrice des quaternions, i2=j2=k2=ijk=−1\mathrm{i}^{2} = \mathrm{j}^{2} = \mathrm{k}^{2} = \mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k} = -1.

Un quaternion combine une partie « scalaire » et une partie « vectorielle » ; en 1844, l’Allemand Hermann Grassmann publie de son côté, dans son Ausdehnungslehre, une théorie plus générale du calcul vectoriel — mais l’ouvrage, jugé trop abstrait, reste ignoré de ses contemporains. Ce sont finalement le physicien américain Josiah Willard Gibbs et le Britannique Oliver Heaviside qui, indépendamment, extraient dans les années 1880 la seule partie vectorielle du calcul de Hamilton : ils créent ainsi l’analyse vectorielle moderne, avec le produit scalaire et le produit vectoriel que tu utilises aujourd’hui.

2Expression analytique

La définition géométrique du paragraphe précédent est indispensable pour comprendre le produit vectoriel, mais elle est peu pratique pour le calculer : mesurer un angle à la main n’est ni rapide ni précis. Voici la formule qui, dans un repère, transforme ce calcul en une suite d’opérations élémentaires sur des coordonnées.

2.1  Formule en coordonnées

Théorème — expression analytique

L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O ; ı⃗,ȷ⃗,k⃗)\left(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right). Si u⃗\vec u a pour coordonnées (x ; y ; z)(x\,;\,y\,;\,z) et v⃗\vec v pour coordonnées (x′ ; y′ ; z′)(x'\,;\,y'\,;\,z'), alors u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v a pour coordonnées :

u⃗∧v⃗  ( yz′−zy′  ;  zx′−xz′  ;  xy′−yx′ )\vec u \wedge \vec v \;\left(\,yz'-zy'\;;\;zx'-xz'\;;\;xy'-yx'\,\right)

Cette formule se déduit de la définition géométrique et de la bilinéarité, en développant u⃗∧v⃗=(xı⃗+yȷ⃗+zk⃗)∧(x′ı⃗+y′ȷ⃗+z′k⃗)\vec u \wedge \vec v = \left(x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k\right)\wedge\left(x'\vec\imath+y'\vec\jmath+z'\vec k\right) à l’aide des neuf produits de vecteurs de base rencontrés au paragraphe précédent ; le détail, un peu long, est admis en Terminale.

Attention

C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre : ne pas inverser l’ordre des trois coordonnées. Retiens que la deuxième coordonnée est zx′−xz′zx' - xz', et non xz′−zx′xz'-zx' : c’est le seul terme où l’ordre « naturel » x,y,zx,y,z est inversé en z,xz,x. Une seule coordonnée fausse change entièrement le vecteur.

2.2  Méthode pratique

Méthode — calculer u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v en pratique

On écrit les coordonnées de u⃗\vec u puis, juste en dessous, celles de v⃗\vec v, dans l’ordre x,y,zx,y,z. Pour obtenir la première coordonnée du résultat, on « cache » la colonne des xx et l’on fait le produit en croix des deux coordonnées restantes : yz′−zy′yz'-zy'. On répète en décalant d’un cran, dans l’ordre cyclique x→y→z→xx \to y \to z \to x, pour les deux coordonnées suivantes.

Exemple — calcul en coordonnées

On donne u⃗ (2 ; −1 ; 3)\vec u\,(2\,;\,-1\,;\,3) et v⃗ (0 ; 1 ; −2)\vec v\,(0\,;\,1\,;\,-2). Calcule u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v.

  1. 1re coordonnée : (−1)×(−2)−3×1=2−3=−1(-1)\times(-2) - 3\times 1 = 2-3=-1
  2. 2e coordonnée : 3×0−2×(−2)=0+4=43\times 0 - 2\times(-2) = 0+4=4
  3. 3e coordonnée : 2×1−(−1)×0=2−0=22\times 1 - (-1)\times 0 = 2-0=2
  4. ⇒\Rightarrowu⃗∧v⃗ (−1 ; 4 ; 2)\vec u \wedge \vec v \,(-1\,;\,4\,;\,2)

Vérification utile : u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v doit être orthogonal à u⃗\vec u. Or u⃗⋅(u⃗∧v⃗)=2×(−1)+(−1)×4+3×2=−2−4+6=0\vec u \cdot \left(\vec u \wedge \vec v\right) = 2\times(-1) + (-1)\times 4 + 3\times 2 = -2-4+6 = 0. ✓

2.3  Vecteur normal à un plan

Une application immédiate et très utile : trouver un vecteur orthogonal à un plan défini par trois points, pour en écrire l’équation cartésienne sans résoudre de système.

Méthode — équation cartésienne du plan (ABC)

Pour trois points AA, BB, CC non alignés :

  1. on calcule un vecteur normal n⃗=AB→∧AC→\vec n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}, orthogonal au plan (ABC)(ABC) puisqu’orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan ;
  2. si n⃗ (a ; b ; c)\vec n\,(a\,;\,b\,;\,c), le plan admet une équation de la forme ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 ;
  3. on détermine dd en écrivant que AA appartient au plan.
Exemple — équation d’un plan

On donne A(1 ; 1 ; 0)A(1\,;\,1\,;\,0), B(2 ; 0 ; 1)B(2\,;\,0\,;\,1), C(0 ; 2 ; 2)C(0\,;\,2\,;\,2). Détermine une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC).

  1. AB→ (1 ; −1 ; 1)\overrightarrow{AB}\,(1\,;\,-1\,;\,1) et AC→ (−1 ; 1 ; 2)\overrightarrow{AC}\,(-1\,;\,1\,;\,2)
  2. n⃗=AB→∧AC→\vec n = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} a pour coordonnées ((−1)(2)−(1)(1) ; (1)(−1)−(1)(2) ; (1)(1)−(−1)(−1))\left((-1)(2)-(1)(1)\,;\,(1)(-1)-(1)(2)\,;\,(1)(1)-(-1)(-1)\right)
  3. ==n⃗ (−3 ; −3 ; 0)\vec n\,(-3\,;\,-3\,;\,0)
  4. le plan admet une équation −3x−3y+d=0-3x-3y+d=0, soit x+y+d′=0x+y+d'=0on a divisé par −3-3
  5. A(1 ; 1 ; 0)A(1\,;\,1\,;\,0) appartient au plan : 1+1+d′=01+1+d'=0
  6. ⇒\Rightarrowd′=−2d'=-2
  7. ⇒\Rightarrowle plan (ABC)(ABC) a pour équation x+y−2=0x+y-2=0

Vérification : BB et CC appartiennent bien à ce plan, puisque 2+0−2=02+0-2=0 et 0+2−2=00+2-2=0. On remarque que zz n’intervient pas dans l’équation : le plan « contient » la direction k⃗\vec k, il est donc vertical.

3Aire d’un parallélogramme et d’un triangle

La définition même de la norme du produit vectoriel — ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\left\|\vec u\wedge\vec v\right\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta — est déjà, sous une autre forme, une formule d’aire. C’est la première grande application du chapitre : plus besoin de mesurer un angle, un simple calcul de coordonnées suffit.

3.1  Aire du parallélogramme

Théorème — aire du parallélogramme

Soit ABCDABCD un parallélogramme de l’espace. Son aire vaut :

AABCD=∥AB→∧AD→∥\mathcal{A}_{ABCD} = \left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\right\|

Démonstration

Notons θ\theta l’angle géométrique (AB→,AD→)\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right). L’aire d’un parallélogramme est le produit d’un côté par la hauteur relative à ce côté.

  1. AABCD=AB×h\mathcal A_{ABCD} = AB \times h, avec h=AD×sin⁡θh = AD \times \sin\thetahauteur issue de DD
  2. ==AB×AD×sin⁡θAB \times AD \times \sin\theta
  3. ==∥AB→∥×∥AD→∥×sin⁡θ\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\times\left\|\overrightarrow{AD}\right\|\times\sin\theta
  4. ==∥AB→∧AD→∥\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\right\|définition de la norme du produit vectoriel

3.2  Aire du triangle

Propriété — aire du triangle

Le triangle ABCABC est la moitié du parallélogramme construit sur AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} (de diagonale [BC][BC]) :

AABC=12∥AB→∧AC→∥\mathcal A_{ABC} = \dfrac{1}{2}\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|

L’ordre des deux vecteurs importe peu pour une aire, puisque ∥u⃗∧v⃗∥=∥v⃗∧u⃗∥\left\|\vec u\wedge\vec v\right\| = \left\|\vec v\wedge\vec u\right\| (l’antisymétrie ne change pas la norme).

Le parallélogramme ABCD A B C D H Aire(ABCD) = ‖AB ∧ AD‖ = 5
Figure 3 — Le parallélogramme ABCDABCD construit sur AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} : son aire vaut ∥AB→∧AD→∥=5\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\right\| = 5 ; la diagonale (BD)(BD) le partage en deux triangles de même aire 2,52{,}5. Le segment pointillé [DH][DH] est la hauteur issue de DD.
Exemple — aire d’un parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme tel que AB→ (3 ; 0 ; 1)\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,0\,;\,1) et AD→ (1 ; 0 ; 2)\overrightarrow{AD}\,(1\,;\,0\,;\,2). Calcule son aire, puis celle du triangle ABDABD.

  1. AB→∧AD→ (0×2−1×0  ;  1×1−3×2  ;  3×0−0×1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,\left(0\times 2-1\times 0\;;\;1\times 1-3\times 2\;;\;3\times 0-0\times 1\right)
  2. ==AB→∧AD→ (0 ; −5 ; 0)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,-5\,;\,0)
  3. ∥AB→∧AD→∥=02+(−5)2+02=5\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\right\| = \sqrt{0^{2}+(-5)^{2}+0^{2}} = 5
  4. ⇒\RightarrowAABCD=5\mathcal A_{ABCD} = 5
  5. AABD=12×5\mathcal A_{ABD} = \dfrac{1}{2}\times 5
  6. ==2,52{,}5
Exemple — un triangle équilatéral

On donne A(1 ; 0 ; 0)A(1\,;\,0\,;\,0), B(0 ; 1 ; 0)B(0\,;\,1\,;\,0), C(0 ; 0 ; 1)C(0\,;\,0\,;\,1). Calcule l’aire du triangle ABCABC.

  1. AB→ (−1 ; 1 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(-1\,;\,1\,;\,0) et AC→ (−1 ; 0 ; 1)\overrightarrow{AC}\,(-1\,;\,0\,;\,1)
  2. AB→∧AC→ (1×1−0×0  ;  0×(−1)−(−1)×1  ;  (−1)×0−1×(−1))\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\left(1\times 1-0\times 0\;;\;0\times(-1)-(-1)\times 1\;;\;(-1)\times 0-1\times(-1)\right)
  3. ==AB→∧AC→ (1 ; 1 ; 1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(1\,;\,1\,;\,1)
  4. ∥AB→∧AC→∥=1+1+1=3\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt 3
  5. ⇒\RightarrowAABC=32\mathcal A_{ABC} = \dfrac{\sqrt 3}{2}

On pouvait s’y attendre : par symétrie des rôles de x,y,zx,y,z, le triangle ABCABC est équilatéral de côté 2\sqrt 2, et l’on retrouve A=34×(2)2=32\mathcal A = \dfrac{\sqrt3}{4}\times\left(\sqrt2\right)^{2} = \dfrac{\sqrt3}{2}.

Attention

Pour l’aire du parallélogramme ABCDABCD, utilise deux côtés issus du même sommet : AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}, jamais AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} (la diagonale). Et n’oublie pas le facteur 12\frac12 pour un triangle : c’est l’erreur la plus fréquente de ce paragraphe.

4Produit mixte et volume

Comment étendre l’idée d’aire à la troisième dimension ? En combinant le produit vectoriel avec le produit scalaire, on obtient un nombre — le produit mixte — qui mesure un volume.

4.1  Le produit mixte

Définition — produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec u, \vec v, \vec w de l’espace est le nombre réel, noté [u⃗,v⃗,w⃗]\left[\vec u,\vec v,\vec w\right], défini par :

[u⃗,v⃗,w⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅w⃗\left[\vec u,\vec v,\vec w\right] = \left(\vec u \wedge \vec v\right)\cdot \vec w

4.2  Volume du parallélépipède et du tétraèdre

Théorème — volumes

Soit A,B,C,DA,B,C,D quatre points de l’espace tels que AB→,AC→,AD→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ne sont pas coplanaires. Le parallélépipède construit sur ces trois vecteurs a pour volume :

Vparall.=∣[AB→,AC→,AD→]∣V_{\text{parall.}} = \left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|

Le tétraèdre ABCDABCD a pour volume :

VABCD=16∣[AB→,AC→,AD→]∣V_{ABCD} = \dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|

Démonstration

Le volume d’un parallélépipède est le produit de l’aire d’une face par la hauteur relative.

  1. on choisit pour base le parallélogramme sur AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, d’aire ∥n⃗∥\left\|\vec n\right\|, où n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}§3
  2. n⃗\vec n est orthogonal à cette base ; la hauteur hh est la longueur de la projection de AD→\overrightarrow{AD} sur n⃗\vec n
  3. h=∣AD→⋅n⃗∣∥n⃗∥h = \dfrac{\left|\overrightarrow{AD}\cdot \vec n\right|}{\|\vec n\|}
  4. Vparall.=∥n⃗∥×h=∥n⃗∥×∣AD→⋅n⃗∣∥n⃗∥V_{\text{parall.}} = \|\vec n\| \times h = \|\vec n\|\times\dfrac{\left|\overrightarrow{AD}\cdot\vec n\right|}{\|\vec n\|}
  5. ==∣AD→⋅(AB→∧AC→)∣=∣[AB→,AC→,AD→]∣\left|\overrightarrow{AD}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\right| = \left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|

Le tétraèdre ABCDABCD a pour base le triangle ABCABC, d’aire 12∥n⃗∥\frac12\|\vec n\|, et la même hauteur hh que le parallélépipède. Comme Vteˊtra.=13×V_{\text{tétra.}} = \frac13\timesbase×h\times h, on obtient un facteur 13×12=16\frac13\times\frac12=\frac16 par rapport au parallélépipède. C.Q.F.D.

4.3  Coplanarité

Propriété — caractérisation de la coplanarité

Quatre points A,B,C,DA,B,C,D sont coplanaires si, et seulement si, [AB→,AC→,AD→]=0\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right] = 0 — autrement dit, si le « tétraèdre » ABCDABCD est aplati, de volume nul.

Le tétraèdre ABCD A B C D h
Figure 4 — Le tétraèdre ABCDABCD, avec A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(3 ; 0 ; 0)B(3\,;\,0\,;\,0), C(1 ; 2 ; 0)C(1\,;\,2\,;\,0), D(1 ; 1 ; 2)D(1\,;\,1\,;\,2) : AB→∧AC→=(0 ; 0 ; 6)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(0\,;\,0\,;\,6), donc AABC=3\mathcal A_{ABC}=3 ; le produit mixte vaut 1212, donc VABCD=2V_{ABCD}=2. Les arêtes en pointillé gris sont cachées, le segment vert la hauteur issue de DD.
Exemple — volume d’un tétraèdre

On donne A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(3 ; 0 ; 0)B(3\,;\,0\,;\,0), C(1 ; 2 ; 0)C(1\,;\,2\,;\,0), D(1 ; 1 ; 2)D(1\,;\,1\,;\,2) (Figure 4). Calcule le volume du tétraèdre ABCDABCD.

  1. AB→ (3 ; 0 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,0\,;\,0), AC→ (1 ; 2 ; 0)\overrightarrow{AC}\,(1\,;\,2\,;\,0), AD→ (1 ; 1 ; 2)\overrightarrow{AD}\,(1\,;\,1\,;\,2)
  2. AB→∧AC→ (0×0−0×2  ;  0×1−3×0  ;  3×2−0×1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\left(0\times 0-0\times 2\;;\;0\times 1-3\times 0\;;\;3\times 2-0\times 1\right)
  3. ==AB→∧AC→ (0 ; 0 ; 6)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(0\,;\,0\,;\,6)
  4. [AB→,AC→,AD→]=(0 ; 0 ; 6)⋅(1 ; 1 ; 2)=0+0+12\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right] = (0\,;\,0\,;\,6)\cdot(1\,;\,1\,;\,2) = 0+0+12
  5. ==1212
  6. ⇒\RightarrowVABCD=16×∣12∣=2V_{ABCD} = \dfrac{1}{6}\times\left|12\right| = 2

Vérification par la formule « classique » : la base ABCABC a pour aire 12×6=3\frac12\times 6=3, et DD est à la hauteur h=2h=2 au-dessus du plan z=0z=0 qui contient A,B,CA,B,C ; or 13×3×2=2\frac13\times 3\times 2 = 2. ✓

Exemple — tester une coplanarité

Les points A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(1 ; 1 ; 0)B(1\,;\,1\,;\,0), C(1 ; 0 ; 1)C(1\,;\,0\,;\,1), D(2 ; 1 ; 1)D(2\,;\,1\,;\,1) sont-ils coplanaires ?

  1. AB→ (1 ; 1 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(1\,;\,1\,;\,0), AC→ (1 ; 0 ; 1)\overrightarrow{AC}\,(1\,;\,0\,;\,1), AD→ (2 ; 1 ; 1)\overrightarrow{AD}\,(2\,;\,1\,;\,1)
  2. AB→∧AC→ (1×1−0×0  ;  0×1−1×1  ;  1×0−1×1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,\left(1\times 1-0\times 0\;;\;0\times 1-1\times 1\;;\;1\times 0-1\times 1\right)
  3. ==AB→∧AC→ (1 ; −1 ; −1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(1\,;\,-1\,;\,-1)
  4. [AB→,AC→,AD→]=(1 ; −1 ; −1)⋅(2 ; 1 ; 1)=2−1−1\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right] = (1\,;\,-1\,;\,-1)\cdot(2\,;\,1\,;\,1) = 2-1-1
  5. ==00

Le produit mixte est nul : les quatre points A,B,C,DA,B,C,D sont coplanaires.

Attention

Le volume d’un tétraèdre se calcule avec le facteur 16\dfrac16, pas 13\dfrac13 (qui ne concerne que le rapport base-hauteur, pas le passage du parallélépipède au tétraèdre). N’oublie pas non plus les barres de valeur absolue : un produit mixte peut être négatif, un volume jamais.

5Distance d’un point à une droite

Dernière application géométrique du chapitre : calculer, dans l’espace, la distance d’un point à une droite — sans avoir besoin de déterminer explicitement le projeté orthogonal.

Théorème — distance d’un point à une droite

Soit Δ\Delta une droite passant par un point AA, de vecteur directeur u⃗\vec u non nul, et soit MM un point de l’espace. La distance de MM à Δ\Delta vaut :

d(M,Δ)=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥d(M,\Delta) = \dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\wedge \vec u\right\|}{\|\vec u\|}

Démonstration

Notons HH le projeté orthogonal de MM sur Δ\Delta : par définition, d(M,Δ)=MHd(M,\Delta)=MH. Le triangle AHMAHM, rectangle en HH, est la moitié du parallélogramme construit sur AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec u.

  1. l’aire de ce parallélogramme vaut, d’une part, ∥AM→∧u⃗∥\left\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\right\|§3
  2. et, d’autre part, base ×\times hauteur =∥u⃗∥×MH=\|\vec u\|\times MHbase [AH]\left[AH\right] portée par u⃗\vec u
  3. ⇒\Rightarrow∥u⃗∥×MH=∥AM→∧u⃗∥\|\vec u\|\times MH = \left\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\right\|
  4. ⇒\RightarrowMH=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥MH = \dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\right\|}{\|\vec u\|}∥u⃗∥≠0\|\vec u\|\neq 0

Or MH=d(M,Δ)MH=d(M,\Delta). C.Q.F.D.

Distance d’un point à une droite B H A u d Δ
Figure 5 — Distance du point AA à la droite Δ\Delta, passant par BB et de vecteur directeur u⃗\vec u : d(A,Δ)=∥BA→∧u⃗∥∥u⃗∥d(A,\Delta) = \dfrac{\left\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\right\|}{\|\vec u\|}. Le segment vert [AH][AH] matérialise la distance, HH étant le pied de la perpendiculaire.
Exemple — distance d’un point à une droite

La droite Δ\Delta passe par B(0 ; 0 ; 0)B(0\,;\,0\,;\,0) et a pour vecteur directeur u⃗ (2 ; 1 ; −1)\vec u\,(2\,;\,1\,;\,-1). Calcule la distance du point A(3 ; 2 ; 2)A(3\,;\,2\,;\,2) à Δ\Delta (Figure 5).

  1. BA→ (3 ; 2 ; 2)\overrightarrow{BA}\,(3\,;\,2\,;\,2)
  2. BA→∧u⃗ (2×(−1)−2×1  ;  2×2−3×(−1)  ;  3×1−2×2)\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\,\left(2\times(-1)-2\times 1\;;\;2\times 2-3\times(-1)\;;\;3\times 1-2\times 2\right)
  3. ==BA→∧u⃗ (−4 ; 7 ; −1)\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\,(-4\,;\,7\,;\,-1)
  4. ∥BA→∧u⃗∥=16+49+1=66\left\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\right\| = \sqrt{16+49+1} = \sqrt{66}
  5. ∥u⃗∥=4+1+1=6\|\vec u\| = \sqrt{4+1+1} = \sqrt 6
  6. ⇒\Rightarrowd(A,Δ)=666=666=11d(A,\Delta) = \dfrac{\sqrt{66}}{\sqrt 6} = \sqrt{\dfrac{66}{6}} = \sqrt{11}

Soit d(A,Δ)=11≈3,3d(A,\Delta) = \sqrt{11} \approx 3{,}3.

Exemple — une distance entière

La droite Δ\Delta passe par A(2 ; −1 ; 3)A(2\,;\,-1\,;\,3), de vecteur directeur u⃗ (1 ; 2 ; 2)\vec u\,(1\,;\,2\,;\,2). Calcule la distance de M(4 ; −3 ; 4)M(4\,;\,-3\,;\,4) à Δ\Delta.

  1. AM→ (2 ; −2 ; 1)\overrightarrow{AM}\,(2\,;\,-2\,;\,1)
  2. AM→∧u⃗ ((−2)×2−1×2  ;  1×1−2×2  ;  2×2−(−2)×1)\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\,\left((-2)\times 2-1\times 2\;;\;1\times 1-2\times 2\;;\;2\times 2-(-2)\times 1\right)
  3. ==AM→∧u⃗ (−6 ; −3 ; 6)\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\,(-6\,;\,-3\,;\,6)
  4. ∥AM→∧u⃗∥=36+9+36=81=9\left\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\right\| = \sqrt{36+9+36} = \sqrt{81} = 9
  5. ∥u⃗∥=1+4+4=3\|\vec u\| = \sqrt{1+4+4} = 3
  6. ⇒\Rightarrowd(M,Δ)=93=3d(M,\Delta) = \dfrac{9}{3} = 3
Attention

Au dénominateur, c’est bien la norme du vecteur directeur u⃗\vec u de la droite qui figure — jamais celle de AM→\overrightarrow{AM}. Le point AA utilisé peut être n’importe quel point de Δ\Delta : le résultat ne dépend pas de ce choix.

6Applications physiques

Le produit vectoriel n’est pas qu’un outil de géomètre : c’est le langage naturel de nombreuses lois de la physique, chaque fois qu’un effet dépend conjointement de deux directions et s’annule quand elles sont colinéaires.

6.1  Moment d’une force

Définition — moment d’une force

Soit une force F⃗\vec F appliquée en un point AA. Le moment de F⃗\vec F par rapport à un point OO est le vecteur :

M⃗O ⁣(F⃗)=OA→∧F⃗\vec{\mathcal M}_O\!\left(\vec F\right) = \overrightarrow{OA} \wedge \vec F

Il s’exprime en newton-mètre (N ⁣⋅ ⁣m\text{N}\!\cdot\!\text{m}) et mesure l’effet de rotation que F⃗\vec F produit autour de OO.

Exemple — une potence porte une charge

Une potence fixée en OO porte, en un point AA tel que OA→ (0,3 ; 0,4 ; 0)\overrightarrow{OA}\,(0{,}3\,;\,0{,}4\,;\,0) (en m), une charge qui exerce en AA une force verticale F⃗ (0 ; 0 ; −50)\vec F\,(0\,;\,0\,;\,-50) (en N). Calcule le moment de F⃗\vec F en OO.

  1. M⃗O(F⃗) (0,4×(−50)−0×0  ;  0×0−0,3×(−50)  ;  0,3×0−0,4×0)\vec{\mathcal M}_O(\vec F)\,\left(0{,}4\times(-50)-0\times 0\;;\;0\times 0-0{,}3\times(-50)\;;\;0{,}3\times 0-0{,}4\times 0\right)
  2. ==M⃗O(F⃗) (−20 ; 15 ; 0)\vec{\mathcal M}_O(\vec F)\,(-20\,;\,15\,;\,0)
  3. ∥M⃗O(F⃗)∥=(−20)2+152=625\left\|\vec{\mathcal M}_O(\vec F)\right\| = \sqrt{(-20)^{2}+15^{2}} = \sqrt{625}
  4. ==25 N⋅m25\ \text{N·m}

Le moment a une intensité de 25 N⋅m25\ \text{N·m} : c’est cette grandeur qui doit rester inférieure à la résistance mécanique de la potence.

6.2  Force de Lorentz

Définition — force de Lorentz

Une particule de charge qq (en C), animée d’une vitesse v⃗\vec v (en m·s⁻¹) dans un champ magnétique B⃗\vec B (en T), subit la force de Lorentz :

F⃗=q v⃗∧B⃗\vec F = q\,\vec v \wedge \vec B

Exemple — un proton dans un champ magnétique

Un proton, de charge q=1,6×10−19 Cq=1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}, se déplace à la vitesse v⃗ (1×106 ; 0 ; 0)\vec v\,(1\times 10^{6}\,;\,0\,;\,0) (m·s⁻¹) dans un champ uniforme B⃗ (0 ; 0 ; 0,5)\vec B\,(0\,;\,0\,;\,0{,}5) (T). Calcule la force de Lorentz.

  1. v⃗∧B⃗ (0×0,5−0×0  ;  0×0−106×0,5  ;  106×0−0×0)\vec v \wedge \vec B\,\left(0\times 0{,}5-0\times 0\;;\;0\times 0-10^{6}\times 0{,}5\;;\;10^{6}\times 0-0\times 0\right)
  2. ==v⃗∧B⃗ (0 ; −5×105 ; 0)\vec v \wedge \vec B\,(0\,;\,-5\times 10^{5}\,;\,0)
  3. F⃗=q(v⃗∧B⃗)=1,6×10−19×(0 ; −5×105 ; 0)\vec F = q\left(\vec v\wedge\vec B\right) = 1{,}6\times 10^{-19}\times(0\,;\,-5\times 10^{5}\,;\,0)
  4. ==F⃗ (0 ; −8×10−14 ; 0) N\vec F\,(0\,;\,-8\times 10^{-14}\,;\,0)\ \text{N}

Cette force, perpendiculaire à v⃗\vec v, ne travaille pas : elle incurve la trajectoire sans changer la vitesse du proton, qui décrit une trajectoire circulaire — le principe des cyclotrons.

6.3  Force de Laplace

Définition — force de Laplace

Un fil conducteur, parcouru par un courant d’intensité II (en A) et représenté par un vecteur L⃗\vec L (dans le sens du courant, de norme la longueur du fil), placé dans un champ magnétique B⃗\vec B (en T), subit la force de Laplace :

F⃗=I L⃗∧B⃗\vec F = I\,\vec L \wedge \vec B

Méthode — trouver le sens d’une force magnétique

Pour F⃗=qv⃗∧B⃗\vec F=q\vec v\wedge\vec B ou F⃗=IL⃗∧B⃗\vec F=I\vec L\wedge\vec B, la règle des trois doigts (§1.1) donne directement le sens : pouce selon le premier vecteur (v⃗\vec v ou L⃗\vec L), index selon B⃗\vec B, majeur selon v⃗∧B⃗\vec v\wedge\vec B — à inverser si q<0q<0. En physique, on utilise aussi la règle du bonhomme d’Ampère, strictement équivalente.

Exemple — une tige sur des rails

Une tige conductrice de longueur 0,30{,}3 m, parcourue par un courant I=2I=2 A représenté par L⃗ (0,3 ; 0 ; 0)\vec L\,(0{,}3\,;\,0\,;\,0), est placée dans un champ B⃗ (0 ; 0 ; 0,4)\vec B\,(0\,;\,0\,;\,0{,}4) (T). Calcule la force de Laplace.

  1. L⃗∧B⃗ (0×0,4−0×0  ;  0×0−0,3×0,4  ;  0,3×0−0×0)\vec L \wedge \vec B\,\left(0\times 0{,}4-0\times 0\;;\;0\times 0-0{,}3\times 0{,}4\;;\;0{,}3\times 0-0\times 0\right)
  2. ==L⃗∧B⃗ (0 ; −0,12 ; 0)\vec L \wedge \vec B\,(0\,;\,-0{,}12\,;\,0)
  3. F⃗=I(L⃗∧B⃗)=2×(0 ; −0,12 ; 0)\vec F = I\left(\vec L\wedge\vec B\right) = 2\times(0\,;\,-0{,}12\,;\,0)
  4. ==F⃗ (0 ; −0,24 ; 0) N\vec F\,(0\,;\,-0{,}24\,;\,0)\ \text{N}

La force a une intensité de 0,240{,}24 N : ce principe propulse les haut-parleurs électrodynamiques et les rails de Laplace.

Attention

Si la charge qq est négative (électron), la force de Lorentz F⃗=qv⃗∧B⃗\vec F=q\vec v\wedge\vec B est de sens opposé à v⃗∧B⃗\vec v\wedge\vec B : n’oublie jamais le signe de qq. N’intervertis pas non plus v⃗∧B⃗\vec v\wedge\vec B et B⃗∧v⃗\vec B\wedge\vec v, qui sont opposés.

Math & Co — Ørsted, Ampère et le bonhomme

Le 21 juillet 1820, le physicien danois Hans Christian Ørsted observe qu’un fil parcouru par un courant fait dévier l’aiguille d’une boussole voisine : il découvre, presque par accident au cours d’une démonstration publique, le lien entre électricité et magnétisme. La nouvelle traverse l’Europe en quelques semaines.

Dès septembre 1820, le Français André-Marie Ampère reprend l’expérience, la systématise et en tire des lois mathématiques précises, fondant l’électrodynamique. Pour aider ses étudiants à retenir le sens du champ créé par un courant, il popularise l’image du « bonhomme d’Ampère » : un personnage couché dans le fil, le courant entrant par ses pieds et sortant par sa tête, qui regarde le point où l’on cherche le champ — sa main gauche en indique le sens. Un siècle avant la formalisation moderne du produit vectoriel, cette image encodait déjà la même règle d’orientation que ta règle des trois doigts.

Fiche mémo

  • Définition : u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est orthogonal à u⃗\vec u et v⃗\vec v ; (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)\left(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v\right) est direct (règle des trois doigts) ; ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\left\|\vec u\wedge\vec v\right\| = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta.
  • u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗,v⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 \iff \vec u,\vec v colinéaires.
  • Antisymétrie : v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)\vec v\wedge\vec u=-\left(\vec u\wedge\vec v\right) ; bilinéarité par rapport à chaque vecteur.
  • Coordonnées : u⃗∧v⃗ (yz′−zy′ ; zx′−xz′ ; xy′−yx′)\vec u\wedge\vec v\,\left(yz'-zy'\,;\,zx'-xz'\,;\,xy'-yx'\right).
  • Vecteur normal à (ABC)(ABC) : n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} ; équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0.
  • Aires : parallélogramme ABCD=∥AB→∧AD→∥ABCD = \left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\right\| ; triangle ABC=12∥AB→∧AC→∥ABC=\frac12\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|.
  • Produit mixte : [u⃗,v⃗,w⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅w⃗\left[\vec u,\vec v,\vec w\right]=\left(\vec u\wedge\vec v\right)\cdot\vec w.
  • Volumes : parallélépipède =∣[AB→,AC→,AD→]∣=\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right| ; tétraèdre =16∣[AB→,AC→,AD→]∣=\frac16\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|.
  • Coplanarité : A,B,C,DA,B,C,D coplanaires   ⟺  [AB→,AC→,AD→]=0\iff \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=0.
  • Distance point-droite : d(M,Δ)=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥d(M,\Delta)=\dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\right\|}{\|\vec u\|}, avec A∈ΔA\in\Delta et u⃗\vec u directeur de Δ\Delta.
  • Physique : moment M⃗O(F⃗)=OA→∧F⃗\vec{\mathcal M}_O(\vec F)=\overrightarrow{OA}\wedge\vec F ; Lorentz F⃗=qv⃗∧B⃗\vec F=q\vec v\wedge\vec B ; Laplace F⃗=IL⃗∧B⃗\vec F=I\vec L\wedge\vec B.

7Exercices corrigés

L’espace est muni, dans tout ce qui suit, d’un repère orthonormé direct (O ; ı⃗,ȷ⃗,k⃗)\left(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right).

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v pour u⃗ (1 ; 2 ; −1)\vec u\,(1\,;\,2\,;\,-1) et v⃗ (3 ; 0 ; 2)\vec v\,(3\,;\,0\,;\,2).

Voir le corrigé détaillé
  1. 1re coordonnée : 2×2−(−1)×0=4−0=42\times 2-(-1)\times 0 = 4-0=4
  2. 2e coordonnée : (−1)×3−1×2=−3−2=−5(-1)\times 3-1\times 2=-3-2=-5
  3. 3e coordonnée : 1×0−2×3=0−6=−61\times 0-2\times 3=0-6=-6
  4. ⇒\Rightarrowu⃗∧v⃗ (4 ; −5 ; −6)\vec u\wedge\vec v\,(4\,;\,-5\,;\,-6)
2

Les vecteurs u⃗ (2 ; −4 ; 6)\vec u\,(2\,;\,-4\,;\,6) et v⃗ (−1 ; 2 ; −3)\vec v\,(-1\,;\,2\,;\,-3) sont-ils colinéaires ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 1re coordonnée : (−4)×(−3)−6×2=12−12=0(-4)\times(-3)-6\times 2=12-12=0
  2. 2e coordonnée : 6×(−1)−2×(−3)=−6+6=06\times(-1)-2\times(-3)=-6+6=0
  3. 3e coordonnée : 2×2−(−4)×(−1)=4−4=02\times 2-(-4)\times(-1)=4-4=0
  4. ⇒\Rightarrowu⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0

Les vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont donc colinéaires ; en effet v⃗=−12u⃗\vec v=-\dfrac12\vec u.

3

On donne ∥u⃗∥=5\|\vec u\|=5, ∥v⃗∥=2\|\vec v\|=2 et un angle géométrique θ=60°\theta=60° entre u⃗\vec u et v⃗\vec v. Calcule ∥u⃗∧v⃗∥\left\|\vec u\wedge\vec v\right\|.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥×∥v⃗∥×sin⁡θ\left\|\vec u\wedge\vec v\right\|=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\sin\theta
  2. ==5×2×sin⁡60°5\times 2\times\sin 60°
  3. ==10×3210\times\dfrac{\sqrt3}{2}
  4. ==535\sqrt3
4

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. a. u⃗∧v⃗=v⃗∧u⃗\vec u\wedge\vec v=\vec v\wedge\vec u. b. u⃗∧u⃗=0⃗\vec u\wedge\vec u=\vec 0. c. (3u⃗)∧v⃗=3(u⃗∧v⃗)(3\vec u)\wedge\vec v=3(\vec u\wedge\vec v). d. Si u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 et u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec 0, alors v⃗=0⃗\vec v=\vec 0.

Voir le corrigé détaillé

a. Faux. Par antisymétrie, v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)\vec v\wedge\vec u=-\left(\vec u\wedge\vec v\right) : les deux ne sont égaux que si u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0, ce qui n’est pas toujours le cas.

b. Vrai. C’est une propriété directe du produit vectoriel (deux vecteurs colinéaires — ici confondus — ont un produit vectoriel nul).

c. Vrai. C’est exactement la bilinéarité du produit vectoriel.

d. Faux. u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 signifie que u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires, pas que v⃗\vec v est nul. Contre-exemple : v⃗=2u⃗\vec v=2\vec u avec u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec 0 : alors u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 mais v⃗≠0⃗\vec v\neq\vec 0.

5

On donne A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(2 ; 0 ; 0)B(2\,;\,0\,;\,0), C(0 ; 3 ; 0)C(0\,;\,3\,;\,0). Calcule l’aire du triangle ABCABC.

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  1. AB→ (2 ; 0 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,0\,;\,0) et AC→ (0 ; 3 ; 0)\overrightarrow{AC}\,(0\,;\,3\,;\,0)
  2. AB→∧AC→ (0×0−0×3  ;  0×0−2×0  ;  2×3−0×0)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(0\times0-0\times3\;;\;0\times0-2\times0\;;\;2\times3-0\times0)
  3. ==AB→∧AC→ (0 ; 0 ; 6)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(0\,;\,0\,;\,6)
  4. ∥AB→∧AC→∥=6\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|=6
  5. ⇒\RightarrowAABC=12×6=3\mathcal A_{ABC}=\dfrac12\times 6=3
6

On donne A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(1 ; 0 ; 0)B(1\,;\,0\,;\,0), C(0 ; 1 ; 0)C(0\,;\,1\,;\,0), D(0 ; 0 ; 1)D(0\,;\,0\,;\,1). Calcule le volume du tétraèdre ABCDABCD.

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  1. AB→ (1 ; 0 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(1\,;\,0\,;\,0), AC→ (0 ; 1 ; 0)\overrightarrow{AC}\,(0\,;\,1\,;\,0), AD→ (0 ; 0 ; 1)\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,0\,;\,1)
  2. AB→∧AC→ (0×0−0×1  ;  0×0−1×0  ;  1×1−0×0)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(0\times0-0\times1\;;\;0\times0-1\times0\;;\;1\times1-0\times0)
  3. ==AB→∧AC→ (0 ; 0 ; 1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(0\,;\,0\,;\,1)
  4. [AB→,AC→,AD→]=(0 ; 0 ; 1)⋅(0 ; 0 ; 1)=1\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=(0\,;\,0\,;\,1)\cdot(0\,;\,0\,;\,1)=1
  5. ⇒\RightarrowVABCD=16×∣1∣=16V_{ABCD}=\dfrac16\times|1|=\dfrac16
Niveau 2 — Approfondissement
7

Les points A(1 ; 0 ; 0)A(1\,;\,0\,;\,0), B(0 ; 1 ; 0)B(0\,;\,1\,;\,0), C(0 ; 0 ; 1)C(0\,;\,0\,;\,1), D(1 ; 1 ; 1)D(1\,;\,1\,;\,1) sont-ils coplanaires ?

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→ (−1 ; 1 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(-1\,;\,1\,;\,0), AC→ (−1 ; 0 ; 1)\overrightarrow{AC}\,(-1\,;\,0\,;\,1), AD→ (0 ; 1 ; 1)\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,1\,;\,1)
  2. AB→∧AC→ (1×1−0×0  ;  0×(−1)−(−1)×1  ;  (−1)×0−1×(−1))\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(1\times1-0\times0\;;\;0\times(-1)-(-1)\times1\;;\;(-1)\times0-1\times(-1))
  3. ==AB→∧AC→ (1 ; 1 ; 1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(1\,;\,1\,;\,1)
  4. [AB→,AC→,AD→]=(1 ; 1 ; 1)⋅(0 ; 1 ; 1)=0+1+1\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=(1\,;\,1\,;\,1)\cdot(0\,;\,1\,;\,1)=0+1+1
  5. ==22

Le produit mixte vaut 2≠02\neq0 : les points A,B,C,DA,B,C,D ne sont pas coplanaires.

8

On donne A(1 ; 0 ; 0)A(1\,;\,0\,;\,0), B(0 ; 2 ; 0)B(0\,;\,2\,;\,0), C(0 ; 0 ; 3)C(0\,;\,0\,;\,3). Détermine une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC).

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→ (−1 ; 2 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(-1\,;\,2\,;\,0) et AC→ (−1 ; 0 ; 3)\overrightarrow{AC}\,(-1\,;\,0\,;\,3)
  2. n⃗=AB→∧AC→ (2×3−0×0  ;  0×(−1)−(−1)×3  ;  (−1)×0−2×(−1))\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(2\times3-0\times0\;;\;0\times(-1)-(-1)\times3\;;\;(-1)\times0-2\times(-1))
  3. ==n⃗ (6 ; 3 ; 2)\vec n\,(6\,;\,3\,;\,2)
  4. le plan a une équation 6x+3y+2z+d=06x+3y+2z+d=0
  5. A(1 ; 0 ; 0)A(1\,;\,0\,;\,0) appartient au plan : 6+d=06+d=0
  6. ⇒\Rightarrowd=−6d=-6
  7. ⇒\Rightarrowle plan (ABC)(ABC) a pour équation 6x+3y+2z−6=06x+3y+2z-6=0

Vérification : B(0 ; 2 ; 0)B(0\,;\,2\,;\,0) donne 0+6+0−6=00+6+0-6=0 ✓, et C(0 ; 0 ; 3)C(0\,;\,0\,;\,3) donne 0+0+6−6=00+0+6-6=0 ✓.

9

La droite Δ\Delta passe par A(1 ; 1 ; 0)A(1\,;\,1\,;\,0) et a pour vecteur directeur u⃗ (1 ; −1 ; 2)\vec u\,(1\,;\,-1\,;\,2). Calcule la distance du point M(2 ; 0 ; 3)M(2\,;\,0\,;\,3) à Δ\Delta.

Voir le corrigé détaillé
  1. AM→ (1 ; −1 ; 3)\overrightarrow{AM}\,(1\,;\,-1\,;\,3)
  2. AM→∧u⃗ ((−1)×2−3×(−1)  ;  3×1−1×2  ;  1×(−1)−(−1)×1)\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\,((-1)\times2-3\times(-1)\;;\;3\times1-1\times2\;;\;1\times(-1)-(-1)\times1)
  3. ==AM→∧u⃗ (1 ; 1 ; 0)\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\,(1\,;\,1\,;\,0)
  4. ∥AM→∧u⃗∥=1+1+0=2\left\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\right\|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2
  5. ∥u⃗∥=1+1+4=6\|\vec u\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6
  6. ⇒\Rightarrowd(M,Δ)=26=13=33d(M,\Delta)=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt6}=\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}
10

Développe et simplifie (u⃗+2v⃗)∧(u⃗−v⃗)\left(\vec u+2\vec v\right)\wedge\left(\vec u-\vec v\right) en fonction de u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v.

Voir le corrigé détaillé
  1. (u⃗+2v⃗)∧(u⃗−v⃗)=u⃗∧u⃗−u⃗∧v⃗+2v⃗∧u⃗−2v⃗∧v⃗\left(\vec u+2\vec v\right)\wedge\left(\vec u-\vec v\right)=\vec u\wedge\vec u-\vec u\wedge\vec v+2\vec v\wedge\vec u-2\vec v\wedge\vec vbilinéarité
  2. ==0⃗−u⃗∧v⃗+2v⃗∧u⃗−0⃗\vec 0-\vec u\wedge\vec v+2\vec v\wedge\vec u-\vec 0u⃗∧u⃗=v⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec u=\vec v\wedge\vec v=\vec 0
  3. ==−u⃗∧v⃗−2(u⃗∧v⃗)-\vec u\wedge\vec v-2\left(\vec u\wedge\vec v\right)v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)\vec v\wedge\vec u=-\left(\vec u\wedge\vec v\right)
  4. ==−3(u⃗∧v⃗)-3\left(\vec u\wedge\vec v\right)
11

ABCDABCD est un parallélogramme avec A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(4 ; 0 ; 0)B(4\,;\,0\,;\,0), D(1 ; 3 ; 0)D(1\,;\,3\,;\,0). Donne les coordonnées de CC, puis l’aire de ABCDABCD.

Voir le corrigé détaillé
  1. ABCDABCD parallélogramme ⇒AC→=AB→+AD→\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}
  2. C=A+AB→+AD→=(0+4+1 ; 0+0+3 ; 0)C=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(0+4+1\,;\,0+0+3\,;\,0)
  3. ==C(5 ; 3 ; 0)C(5\,;\,3\,;\,0)
  4. AB→∧AD→ (0×3−0×0  ;  0×1−4×0  ;  4×3−0×1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\times3-0\times0\;;\;0\times1-4\times0\;;\;4\times3-0\times1)
  5. ==AB→∧AD→ (0 ; 0 ; 12)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,0\,;\,12)
  6. ⇒\RightarrowAABCD=12\mathcal A_{ABCD}=12
Niveau 3 — Type bac
12

Restitution organisée de connaissances et application.

  1. Démontrer que, pour tous vecteurs u⃗,v⃗\vec u,\vec v de l’espace : u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 \iff \vec u et v⃗\vec v sont colinéaires.
  2. Application : les points A(1 ; 2 ; 0)A(1\,;\,2\,;\,0), B(3 ; 5 ; 1)B(3\,;\,5\,;\,1), C(−1 ; −1 ; −2)C(-1\,;\,-1\,;\,-2) sont-ils alignés ?
Voir le corrigé détaillé

1. Si u⃗=0⃗\vec u=\vec 0 ou v⃗=0⃗\vec v=\vec 0, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, et u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 par définition : l’équivalence est vraie. Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont non nuls, notons θ∈[0 ; π]\theta\in[0\,;\,\pi] une mesure de leur angle géométrique.

  1. u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0
  2.   ⟺  \iff∥u⃗∧v⃗∥=0\left\|\vec u\wedge\vec v\right\|=0
  3.   ⟺  \iff∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ=0\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta=0
  4.   ⟺  \iffsin⁡θ=0\sin\theta=0∥u⃗∥≠0\|\vec u\|\neq0, ∥v⃗∥≠0\|\vec v\|\neq0
  5.   ⟺  \iffθ=0\theta=0 ou θ=π\theta=\pi
  6.   ⟺  \iffu⃗\vec u et v⃗\vec v colinéaires

2. Les points A,B,CA,B,C sont alignés si, et seulement si, AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, c’est-à-dire si AB→∧AC→=0⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0 d’après la question 1.

  1. AB→ (2 ; 3 ; 1)\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,3\,;\,1) et AC→ (−2 ; −3 ; −2)\overrightarrow{AC}\,(-2\,;\,-3\,;\,-2)
  2. AB→∧AC→ (3×(−2)−1×(−3)  ;  1×(−2)−2×(−2)  ;  2×(−3)−3×(−2))\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(3\times(-2)-1\times(-3)\;;\;1\times(-2)-2\times(-2)\;;\;2\times(-3)-3\times(-2))
  3. ==AB→∧AC→ (−3 ; 2 ; 0)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(-3\,;\,2\,;\,0)

Ce vecteur n’est pas nul : AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires, donc les points AA, BB, CC ne sont pas alignés.

13

On donne A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(4 ; 0 ; 0)B(4\,;\,0\,;\,0), C(0 ; 3 ; 0)C(0\,;\,3\,;\,0), D(0 ; 0 ; 6)D(0\,;\,0\,;\,6).

  1. Calculer AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}, puis l’aire du triangle ABCABC.
  2. Calculer le volume du tétraèdre ABCDABCD.
  3. En déduire la distance du point DD au plan (ABC)(ABC).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. AB→ (4 ; 0 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(4\,;\,0\,;\,0) et AC→ (0 ; 3 ; 0)\overrightarrow{AC}\,(0\,;\,3\,;\,0)
  2. AB→∧AC→ (0×0−0×3  ;  0×0−4×0  ;  4×3−0×0)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(0\times0-0\times3\;;\;0\times0-4\times0\;;\;4\times3-0\times0)
  3. ==AB→∧AC→ (0 ; 0 ; 12)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(0\,;\,0\,;\,12)
  4. ⇒\RightarrowAABC=12×12=6\mathcal A_{ABC}=\dfrac12\times12=6

2.

  1. AD→ (0 ; 0 ; 6)\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,0\,;\,6)
  2. [AB→,AC→,AD→]=(0 ; 0 ; 12)⋅(0 ; 0 ; 6)=72\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=(0\,;\,0\,;\,12)\cdot(0\,;\,0\,;\,6)=72
  3. ⇒\RightarrowVABCD=16×72=12V_{ABCD}=\dfrac16\times72=12

3. Le volume du tétraèdre s’écrit aussi VABCD=13×AABC×d(D,(ABC))V_{ABCD}=\dfrac13\times\mathcal A_{ABC}\times d\big(D,(ABC)\big), où d(D,(ABC))d\big(D,(ABC)\big) est la hauteur issue de DD.

  1. 12=13×6×d(D,(ABC))12=\dfrac13\times6\times d\big(D,(ABC)\big)
  2. 12=2×d(D,(ABC))12=2\times d\big(D,(ABC)\big)
  3. ⇒\Rightarrowd(D,(ABC))=6d\big(D,(ABC)\big)=6

Ce résultat est cohérent : le plan (ABC)(ABC) est le plan z=0z=0, et D(0 ; 0 ; 6)D(0\,;\,0\,;\,6) est bien à la distance 66 de ce plan.

14

Le bras articulé. Un bras robotisé, fixé en OO, atteint le point AA tel que OA→ (0,4 ; 0 ; 0,3)\overrightarrow{OA}\,(0{,}4\,;\,0\,;\,0{,}3) (en m). Un vérin y exerce une force F⃗ (0 ; 40 ; 0)\vec F\,(0\,;\,40\,;\,0) (en N).

  1. Calculer le moment M⃗O(F⃗)=OA→∧F⃗\vec{\mathcal M}_O(\vec F)=\overrightarrow{OA}\wedge\vec F.
  2. En déduire son intensité, en N⋅m\text{N·m}.
  3. Un technicien fait pivoter le bras de sorte que OA′→ (0 ; 0,5 ; 0)\overrightarrow{OA'}\,(0\,;\,0{,}5\,;\,0), sans changer F⃗\vec F. Que devient le moment ? Interpréter.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. M⃗O(F⃗) (0×0−0,3×40  ;  0,3×0−0,4×0  ;  0,4×40−0×0)\vec{\mathcal M}_O(\vec F)\,(0\times0-0{,}3\times40\;;\;0{,}3\times0-0{,}4\times0\;;\;0{,}4\times40-0\times0)
  2. ==M⃗O(F⃗) (−12 ; 0 ; 16)\vec{\mathcal M}_O(\vec F)\,(-12\,;\,0\,;\,16)

2.

  1. ∥M⃗O(F⃗)∥=(−12)2+02+162=144+256\left\|\vec{\mathcal M}_O(\vec F)\right\|=\sqrt{(-12)^{2}+0^{2}+16^{2}}=\sqrt{144+256}
  2. ==400=20 N⋅m\sqrt{400}=20\ \text{N·m}

3.

  1. OA′→∧F⃗ (0×0−0×40  ;  0×0−0×0  ;  0×40−0,5×0)\overrightarrow{OA'}\wedge\vec F\,(0\times0-0\times40\;;\;0\times0-0\times0\;;\;0\times40-0{,}5\times0)
  2. ==OA′→∧F⃗ (0 ; 0 ; 0)=0⃗\overrightarrow{OA'}\wedge\vec F\,(0\,;\,0\,;\,0)=\vec 0

Le moment devient nul. C’est cohérent : OA′→ (0 ; 0,5 ; 0)\overrightarrow{OA'}\,(0\,;\,0{,}5\,;\,0) et F⃗ (0 ; 40 ; 0)\vec F\,(0\,;\,40\,;\,0) sont colinéaires (l’une portée par ȷ⃗\vec\jmath, l’autre aussi) — la force est appliquée dans l’axe du bras, elle ne le fait donc plus du tout pivoter autour de OO.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
15

Le champ de Ramat (Ndjamena). Ramat cultive, près de Ndjamena, un champ en forme de parallélogramme ABCDABCD. Avec un repère local en mètres, AB→ (80 ; 0 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(80\,;\,0\,;\,0) et AD→ (20 ; 60 ; 0)\overrightarrow{AD}\,(20\,;\,60\,;\,0).

  1. Calculer l’aire du champ, en m².
  2. Un sac d’engrais traite 200200 m². Combien de sacs Ramat doit-il acheter ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. AB→∧AD→ (0×0−0×60  ;  0×20−80×0  ;  80×60−0×20)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\times0-0\times60\;;\;0\times20-80\times0\;;\;80\times60-0\times20)
  2. ==AB→∧AD→ (0 ; 0 ; 4 800)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,0\,;\,4\,800)
  3. ⇒\RightarrowAABCD=4 800 m2\mathcal A_{ABCD}=4\,800\ \text{m}^{2}

2.

  1. nombre de sacs =4 800200=\dfrac{4\,800}{200}
  2. ==2424

Ramat doit acheter 24 sacs d’engrais.

16

Le panneau solaire (Dakar). Sur un toit à Dakar, on installe un panneau solaire rectangulaire ABCDABCD, avec AA à l’origine d’un repère local (en mètres), AB→ (2 ; 0 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,0\,;\,0) et AD→ (0 ; 1,2 ; 0,9)\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,1{,}2\,;\,0{,}9).

  1. Justifier que ABCDABCD est un rectangle.
  2. Calculer un vecteur normal au panneau, puis son aire.
  3. L’inclinaison du panneau par rapport à l’horizontale est l’angle φ\varphi entre sa normale et la verticale k⃗ (0 ; 0 ; 1)\vec k\,(0\,;\,0\,;\,1). Sachant que cos⁡φ=n⃗⋅k⃗∥n⃗∥\cos\varphi=\dfrac{\vec n\cdot\vec k}{\|\vec n\|}, calculer φ\varphi au degré près.
Voir le corrigé détaillé

1. AB→⋅AD→=2×0+0×1,2+0×0,9=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2\times0+0\times1{,}2+0\times0{,}9=0 : les côtés [AB][AB] et [AD][AD] sont perpendiculaires, et ABCDABCD est un parallélogramme (par construction) à angle droit : c’est un rectangle.

2.

  1. n⃗=AB→∧AD→ (0×0,9−0×1,2  ;  0×0−2×0,9  ;  2×1,2−0×0)\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\times0{,}9-0\times1{,}2\;;\;0\times0-2\times0{,}9\;;\;2\times1{,}2-0\times0)
  2. ==n⃗ (0 ; −1,8 ; 2,4)\vec n\,(0\,;\,-1{,}8\,;\,2{,}4)
  3. ∥n⃗∥=02+(−1,8)2+2,42=3,24+5,76=9\|\vec n\|=\sqrt{0^{2}+(-1{,}8)^{2}+2{,}4^{2}}=\sqrt{3{,}24+5{,}76}=\sqrt{9}
  4. ==33

Le panneau a une aire de 33 m² (ce que confirme ∥AB→∥×∥AD→∥=2×1,5=3\|\overrightarrow{AB}\|\times\|\overrightarrow{AD}\|=2\times1{,}5=3, les côtés étant perpendiculaires).

3.

  1. n⃗⋅k⃗=0×0+(−1,8)×0+2,4×1=2,4\vec n\cdot\vec k=0\times0+(-1{,}8)\times0+2{,}4\times1=2{,}4
  2. cos⁡φ=2,43=0,8\cos\varphi=\dfrac{2{,}4}{3}=0{,}8
  3. ⇒\Rightarrowφ=cos⁡−1(0,8)≈37°\varphi=\cos^{-1}(0{,}8)\approx 37°

Le panneau est incliné d’environ 37°37° par rapport à l’horizontale, une valeur réaliste pour optimiser l’ensoleillement à la latitude de Dakar.

17

Route maritime (Douala). Au large de Douala, une route maritime rectiligne est balisée par deux bouées P(0 ; 0 ; 0)P(0\,;\,0\,;\,0) et Q(6 ; 8 ; 0)Q(6\,;\,8\,;\,0) (coordonnées en km, dans un repère local où z=0z=0 est la surface de la mer). Un bateau se trouve au point M(10 ; 2 ; 0)M(10\,;\,2\,;\,0).

  1. Donner un vecteur directeur u⃗\vec u de la route (PQ)(PQ).
  2. Calculer la distance du bateau à la route.
Voir le corrigé détaillé

1. u⃗=PQ→ (6 ; 8 ; 0)\vec u=\overrightarrow{PQ}\,(6\,;\,8\,;\,0) convient.

2.

  1. PM→ (10 ; 2 ; 0)\overrightarrow{PM}\,(10\,;\,2\,;\,0)
  2. PM→∧u⃗ (2×0−0×8  ;  0×6−10×0  ;  10×8−2×6)\overrightarrow{PM}\wedge\vec u\,(2\times0-0\times8\;;\;0\times6-10\times0\;;\;10\times8-2\times6)
  3. ==PM→∧u⃗ (0 ; 0 ; 68)\overrightarrow{PM}\wedge\vec u\,(0\,;\,0\,;\,68)
  4. ∥PM→∧u⃗∥=68\left\|\overrightarrow{PM}\wedge\vec u\right\|=68
  5. ∥u⃗∥=62+82=100=10\|\vec u\|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10
  6. ⇒\Rightarrowd(M,(PQ))=6810=6,8d(M,(PQ))=\dfrac{68}{10}=6{,}8

Le bateau se trouve à 6,86{,}8 km de la route maritime.

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Le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v de deux vecteurs de l'espace est :

Explication : Contrairement au produit scalaire (qui donne un nombre), le produit vectoriel donne un troisième vecteur, orthogonal aux deux premiers.

Un triplet (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u,\vec v,\vec w) de vecteurs non coplanaires est dit direct lorsque, pouce selon u⃗\vec u et index selon v⃗\vec v sur la main droite, le majeur pointe selon :

Explication : C'est la règle des trois doigts de la main droite : pouce = u⃗\vec u, index = v⃗\vec v, majeur (perpendiculaire aux deux) = w⃗\vec w.

Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont non colinéaires, le vecteur u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v vérifie :

Explication : Par définition, u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v, le triplet (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v) est direct, et sa norme vaut ∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta (pas simplement le produit des normes).

Que vaut u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v lorsque u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires ?

Explication : Par définition, si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires (l'un pouvant être nul), alors u⃗∧v⃗=0⃗\vec u \wedge \vec v = \vec 0.

Quelle relation lie l'antisymétrie du produit vectoriel ?

Explication : Le produit vectoriel est antisymétrique : échanger l'ordre des deux vecteurs change le signe du résultat.

Dans une base orthonormée directe (ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k), que vaut ı⃗∧ȷ⃗\vec\imath \wedge \vec\jmath ?

Explication : Pouce selon ı⃗\vec\imath, index selon ȷ⃗\vec\jmath : la règle des trois doigts donne le majeur selon k⃗\vec k. Comme ∥ı⃗∥=∥ȷ⃗∥=1\|\vec\imath\|=\|\vec\jmath\|=1 et qu'ils sont orthogonaux, ı⃗∧ȷ⃗=k⃗\vec\imath\wedge\vec\jmath=\vec k.

On donne ∥u⃗∥=3\|\vec u\|=3, ∥v⃗∥=4\|\vec v\|=4 et un angle géométrique θ=30°\theta=30° entre eux. Combien vaut ∥u⃗∧v⃗∥\left\|\vec u \wedge \vec v\right\| ?

Explication : ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥×∥v⃗∥×sin⁡θ\left\|\vec u \wedge \vec v\right\| = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\sin\theta
=3×4×sin⁡30°=12×12= 3\times 4\times\sin 30° = 12\times\dfrac12
=6= 6.

Dans un repère orthonormé direct, si u⃗ (x ; y ; z)\vec u\,(x\,;\,y\,;\,z) et v⃗ (x′ ; y′ ; z′)\vec v\,(x'\,;\,y'\,;\,z'), la deuxième coordonnée de u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v est :

Explication : La formule est u⃗∧v⃗ (yz′−zy′ ; zx′−xz′ ; xy′−yx′)\vec u\wedge\vec v\,(yz'-zy'\,;\,zx'-xz'\,;\,xy'-yx') : la deuxième coordonnée est zx′−xz′zx'-xz', c'est le seul terme où l'ordre naturel x,y,zx,y,z est inversé — le piège classique du chapitre.

On donne u⃗ (2 ; −1 ; 3)\vec u\,(2\,;\,-1\,;\,3) et v⃗ (0 ; 1 ; −2)\vec v\,(0\,;\,1\,;\,-2). Quelle est la première coordonnée de u⃗∧v⃗\vec u \wedge \vec v ?

Explication : 1re coordonnée : yz′−zy′=(−1)×(−2)−3×1yz'-zy' = (-1)\times(-2) - 3\times 1
=2−3= 2 - 3
=−1= -1.

ABCDABCD est un parallélogramme de l'espace. Son aire vaut :

Explication : L'aire d'un parallélogramme ABCDABCD est la norme du produit vectoriel des deux côtés issus du même sommet, AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} — jamais la diagonale AC→\overrightarrow{AC}.

ABCDABCD est un parallélogramme avec AB→ (3 ; 0 ; 1)\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,0\,;\,1) et AD→ (1 ; 0 ; 2)\overrightarrow{AD}\,(1\,;\,0\,;\,2). Quelle est son aire ?

Explication : AB→∧AD→ (0×2−1×0  ;  1×1−3×2  ;  3×0−0×1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\times2-1\times0\;;\;1\times1-3\times2\;;\;3\times0-0\times1)
=(0 ; −5 ; 0)=(0\,;\,-5\,;\,0)
∥AB→∧AD→∥=0+25+0=5\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\right\| = \sqrt{0+25+0} = 5.

Le produit mixte [u⃗,v⃗,w⃗]\left[\vec u,\vec v,\vec w\right] est défini par :

Explication : Le produit mixte combine un produit vectoriel puis un produit scalaire : [u⃗,v⃗,w⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅w⃗\left[\vec u,\vec v,\vec w\right] = (\vec u \wedge \vec v)\cdot \vec w, c'est un nombre réel.

Le volume du tétraèdre ABCDABCD (avec AB→,AC→,AD→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} non coplanaires) vaut :

Explication : Le volume du parallélépipède est ∣[AB→,AC→,AD→]∣\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right| ; celui du tétraèdre en est le sixième, facteur 13\frac13 (pyramide) ×12\times\frac12 (triangle au lieu du parallélogramme).

Quatre points A,B,C,DA,B,C,D de l'espace sont coplanaires si, et seulement si :

Explication : Le produit mixte nul signifie que le « tétraèdre » ABCDABCD est aplati (volume nul), donc que les quatre points sont coplanaires.

La distance d'un point MM à une droite Δ\Delta passant par AA, de vecteur directeur u⃗\vec u non nul, vaut :

Explication : d(M,Δ)=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥d(M,\Delta) = \dfrac{\left\|\overrightarrow{AM}\wedge \vec u\right\|}{\|\vec u\|}, avec au dénominateur la norme du vecteur directeur de la droite, jamais celle de AM→\overrightarrow{AM}.

La droite Δ\Delta passe par A(2 ; −1 ; 3)A(2\,;\,-1\,;\,3), de vecteur directeur u⃗ (1 ; 2 ; 2)\vec u\,(1\,;\,2\,;\,2). Quelle est la distance de M(4 ; −3 ; 4)M(4\,;\,-3\,;\,4) à Δ\Delta ?

Explication : AM→ (2 ; −2 ; 1)\overrightarrow{AM}\,(2\,;\,-2\,;\,1)
AM→∧u⃗ (−6 ; −3 ; 6)\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\,(-6\,;\,-3\,;\,6), de norme 36+9+36=81=9\sqrt{36+9+36}=\sqrt{81}=9
∥u⃗∥=1+4+4=3\|\vec u\|=\sqrt{1+4+4}=3
d(M,Δ)=93=3d(M,\Delta)=\dfrac{9}{3}=3.

Le moment d'une force F⃗\vec F appliquée en AA, par rapport à un point OO, est défini par :

Explication : M⃗O(F⃗)=OA→∧F⃗\vec{\mathcal M}_O(\vec F) = \overrightarrow{OA} \wedge \vec F, un vecteur exprimé en newton-mètre, qui mesure l'effet de rotation de F⃗\vec F autour de OO.

Une particule de charge qq et de vitesse v⃗\vec v dans un champ magnétique B⃗\vec B subit la force de Lorentz F⃗=q v⃗∧B⃗\vec F=q\,\vec v\wedge\vec B. Si la charge est négative, le sens de F⃗\vec F par rapport à v⃗∧B⃗\vec v\wedge\vec B est :

Explication : Multiplier par un scalaire négatif q<0q<0 inverse le sens du vecteur : F⃗=q(v⃗∧B⃗)\vec F=q(\vec v\wedge\vec B) est alors de sens opposé à v⃗∧B⃗\vec v\wedge\vec B.

Un champ ABCDABCD est un parallélogramme avec AB→ (80 ; 0 ; 0)\overrightarrow{AB}\,(80\,;\,0\,;\,0) et AD→ (20 ; 60 ; 0)\overrightarrow{AD}\,(20\,;\,60\,;\,0) (en mètres). Un sac d'engrais traite 200 m2200\ \text{m}^2. Combien de sacs faut-il acheter ?

Explication : AB→∧AD→ (0 ; 0 ; 4 800)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}\,(0\,;\,0\,;\,4\,800), donc l'aire du champ vaut 4 800 m24\,800\ \text{m}^2.
Nombre de sacs =4 800200=24=\dfrac{4\,800}{200}=24.

On donne A(1 ; 2 ; 0)A(1\,;\,2\,;\,0), B(3 ; 5 ; 1)B(3\,;\,5\,;\,1), C(−1 ; −1 ; −2)C(-1\,;\,-1\,;\,-2). On calcule AB→∧AC→ (−3 ; 2 ; 0)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,(-3\,;\,2\,;\,0). Que peut-on en conclure sur A,B,CA,B,C ?

Explication : A,B,CA,B,C sont alignés si, et seulement si, AB→∧AC→=0⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0. Ici ce vecteur n'est pas nul (−3 ; 2 ; 0)≠0⃗(-3\,;\,2\,;\,0)\ne\vec 0, donc les points ne sont pas alignés.
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