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Vecteurs du plan

Introduire le calcul vectoriel et ses applications géométriques.

Mathématiques Seconde Chapitre 11 / 15 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer avec la relation de Chasles
  • Démontrer un alignement par colinéarité
  • Utiliser les coordonnées pour résoudre un problème géométrique

Un footballeur qui frappe un ballon ne se contente pas de lui donner de la force : il choisit une direction, un sens et une intensité. Un pilote de pirogue qui traverse le fleuve n'affiche pas seulement une vitesse : il vise un point précis sur l'autre rive. Ces informations réunies — direction, sens, longueur — sont exactement ce qu'un mathématicien appelle un vecteur. Ce chapitre te donne l'outil qui permettra, jusqu'à la Terminale, de décrire tout déplacement, toute force, toute vitesse, avec la même précision qu'un nombre.

Tu as déjà rencontré la translation au collège : une figure « glisse » sans tourner ni changer de taille. Le vecteur est l'objet mathématique qui mesure exactement ce glissement. C'est la nouveauté de la Seconde : on ne se contente plus de dessiner la figure déplacée, on nomme et on calcule avec le déplacement lui-même.

Et c'est là que ce chapitre transforme ta façon de faire de la géométrie : les vecteurs s'additionnent grâce à la relation de Chasles, se multiplient par un nombre, et surtout, dans un repère, ils se traduisent par de simples couples de nombres. Tu vas apprendre à enchaîner des déplacements, à reconnaître deux vecteurs colinéaires pour démontrer un alignement de points sans tracer la moindre figure, et à mener un calcul de coordonnées pour résoudre entièrement un problème de géométrie. C'est le tout début de la géométrie algébrique, que tu approfondiras en Première et en Terminale.

1Vecteur, égalité, translation

1.1  Vecteur associé à une translation

Reprenons la translation du collège : une figure se déplace tout entière, sans tourner, dans une direction fixe. Cette translation est entièrement déterminée par le trajet d'un seul point. C'est ce trajet que l'on appelle un vecteur.

Définition

Soient AA et BB deux points du plan. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est caractérisé par trois éléments :

  • sa direction : la droite (AB)(AB), ou toute droite qui lui est parallèle ;
  • son sens : celui qui va de AA vers BB ;
  • sa norme (ou longueur), notée ∥AB→∥\lVert\overrightarrow{AB}\rVert ou simplement ABAB : la distance entre AA et BB.

Le point AA est l'origine du vecteur, le point BB son extrémité. La translation qui transforme AA en BB transforme, plus généralement, tout point MM du plan en un point M′M' tel que MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}.

Attention

AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} ont la même direction et la même norme, mais un sens opposé : ce sont deux vecteurs différents dès que A≠BA \neq B. Ne confonds jamais la norme ABAB (un nombre positif, une longueur) et le vecteur AB→\overrightarrow{AB} (qui porte en plus une direction et un sens, et qu'on ne peut ni comparer avec <<, ni transformer en nombre).

Pour tout point AA, le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est appelé vecteur nul et noté 0⃗\vec{0} : sa norme vaut 00, et il n'a ni direction ni sens définis. On le retrouvera très souvent dans les calculs.

La translation qui transforme le triangle PQR en P'Q'R' P Q R P' Q' R' trois flèches parallèles, de même sens et de même longueur : c'est le même vecteur qui transporte P, Q et R A B u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB}
Figure 1 — Une translation transporte tous les points du plan dans la même direction, le même sens, à la même distance : elle envoie le triangle PQRPQR sur un triangle P′Q′R′P'Q'R' superposable, et se laisse résumer par un seul vecteur u⃗\vec{u}.
Exemple — direction, sens, norme sur un quadrillage

Sur un quadrillage, on lit AB→\overrightarrow{AB} en comptant les carreaux : 44 vers la droite et 11 vers le haut. Sa direction est celle de la droite qui « monte » légèrement, son sens va vers la droite, et sa norme se calcule avec Pythagore :

  1. AB2=42+12AB^{2} = 4^{2} + 1^{2}
  2. ==1717
  3. ⇒\RightarrowAB=17AB = \sqrt{17} carreauxune longueur est positive

1.2  Égalité de deux vecteurs

Un vecteur ne dépend pas du point où on le dessine : il est le même partout, pourvu qu'il garde sa direction, son sens et sa norme. C'est cette idée que l'on précise maintenant.

Définition — vecteurs égaux

Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Un vecteur non nul peut donc s'écrire AB→\overrightarrow{AB} avec une infinité de choix pour AA et BB : on dit que CD→\overrightarrow{CD} est un représentant du vecteur AB→\overrightarrow{AB} dès que CD→=AB→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.

Propriété — égalité et parallélogramme

Soient AA, BB, CC, DD quatre points tels que AA, BB, CC ne soient pas alignés. Alors :

AB→=CD→  ⟺  ABDC est un paralleˊlogramme\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}

Remarque l'ordre des lettres : c'est AA, BB, DD, CC, pas AA, BB, CC, DD.

Démonstration

Sens direct. Supposons AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}. La translation qui envoie AA sur BB a pour vecteur AB→\overrightarrow{AB} ; comme CD→=AB→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}, cette même translation envoie aussi CC sur DD. Une translation conserve les longueurs et les directions : le segment [AC][AC] est donc transformé en un segment [BD][BD] parallèle à [AC][AC] et de même longueur. Le quadrilatère ABDCABDC a alors deux côtés opposés, [AC][AC] et [BD][BD], parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.

Réciproque. Si ABDCABDC est un parallélogramme, ses côtés opposés [AB][AB] et [CD][CD] sont parallèles, de même longueur, et — la disposition du parallélogramme l'impose — orientés dans le même sens : donc AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ont même direction, même sens, même norme, donc sont égaux. C.Q.F.D.

AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} ⟺ ABDC parallélogramme (attention à l'ordre !) A B D C AB→\overrightarrow{AB} CD→\overrightarrow{CD} I I, intersection des diagonales, est le milieu commun de [AD] et [BC]
Figure 2 — Le parallélogramme ABDCABDC : les côtés [AB][AB] et [CD][CD] sont parallèles, de même longueur et orientés dans le même sens, donc AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
Exemple — utiliser le parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme (dans cet ordre). Que dire de AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} ?

Dans un parallélogramme ABCDABCD, les côtés opposés sont [AB][AB]-[DC][DC] et [BC][BC]-[AD][AD]. D'après la propriété (avec les lettres A,B,C,DA,B,C,D jouant ici le rôle de A,B,D,CA,B,D,C de l'énoncé général, réécrit dans cet ordre-ci) :

AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

et de même AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.

Attention — le piège classique

Ne confonds pas les deux écritures. Dans un parallélogramme nommé ABCDABCD (sommets consécutifs dans cet ordre), c'est AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} (et non AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, qui donnerait un sens inversé !). Vérifie toujours en repérant les côtés réellement parallèles sur la figure avant d'écrire une égalité de vecteurs.

Math & Co — Bellavitis et les segments « équipollents »

L'idée de faire des calculs sur des segments orientés apparaît bien avant le mot « vecteur ». En 1832, le mathématicien italien Giusto Bellavitis (1803-1880) publie sa théorie des « équipollences » : deux segments ABAB et CDCD sont dits équipollents lorsqu'ils sont parallèles, de même longueur et de même sens — exactement la définition que tu viens d'apprendre pour l'égalité de deux vecteurs ! Bellavitis va jusqu'à écrire des « équations » entre segments et à les additionner, posant les fondations du calcul vectoriel plusieurs décennies avant qu'il ne soit formalisé par les physiciens.

2Somme et relation de Chasles

2.1  Somme de deux vecteurs et relation de Chasles

Comment additionner deux déplacements ? L'idée est naturelle : on effectue le premier, puis le second à partir de l'endroit où l'on est arrivé.

Définition — somme de deux vecteurs

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs. On choisit trois points AA, BB, CC tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=BC→\vec{v} = \overrightarrow{BC} (l'extrémité du premier représentant sert d'origine au second). La somme u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} est le vecteur AC→\overrightarrow{AC} :

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Cette égalité s'appelle la relation de Chasles.

Démonstration — idée de preuve (la définition ne dépend pas du point choisi)

Pour que la définition ait un sens, il faut vérifier qu'on obtient le même vecteur AC→\overrightarrow{AC} quel que soit le point AA choisi pour représenter u⃗\vec u. Notons t1t_1 la translation de vecteur u⃗\vec u et t2t_2 la translation de vecteur v⃗\vec v. Par définition, t1t_1 envoie AA sur BB, puis t2t_2 envoie BB sur CC : la composée « t2t_2 après t1t_1 » envoie donc AA directement sur CC. Or la composée de deux translations est toujours une translation, et son vecteur ne dépend pas du point de départ choisi (une translation agit de façon identique sur tout le plan). Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est donc bien le même, quel que soit le représentant choisi pour AA : la somme u⃗+v⃗\vec u + \vec v est bien définie.

Chasles en chaîne : AB + BC + CD = AD A B C D u v w u + v + w = AD
Figure 3 — En chaînant trois vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, BC→\overrightarrow{BC}, CD→\overrightarrow{CD} (chaque extrémité sert d'origine au suivant), leur somme est directement le vecteur AD→\overrightarrow{AD} : c'est la relation de Chasles, appliquée deux fois de suite.
Exemple — appliquer Chasles en chaîne

Simplifie MN→+NP→+PQ→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ}.

  1. MN→+NP→+PQ→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ}
  2. ==MP→+PQ→\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ}Chasles sur MN→+NP→\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}
  3. ==MQ→\overrightarrow{MQ}Chasles à nouveau
Attention

La relation de Chasles ne s'applique que si la lettre du milieu se répète exactement : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} est vrai, mais AB→+CD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} ne se simplifie pas en général si B≠CB \neq C — rien ne relie directement ces deux vecteurs. Repère toujours la lettre commune avant de simplifier.

Math & Co — le géomètre Michel Chasles

Michel Chasles (1793-1880), polytechnicien et professeur à la Sorbonne, est l'un des grands artisans de la géométrie moderne au XIXe siècle. Son Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (1837) systématise l'usage des segments orientés pour simplifier les démonstrations : la relation qui porte aujourd'hui son nom lui doit son écriture compacte et sa généralisation à un nombre quelconque de points. Chasles obtient d'ailleurs, en 1875, la première médaille Copley jamais décernée à un mathématicien français par la Royal Society de Londres.

2.2  Vecteur opposé et différence de deux vecteurs

Définition

Le vecteur opposé de AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}, noté −AB→-\overrightarrow{AB} : même direction, même norme, sens contraire. Pour deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v, la différence u⃗−v⃗\vec u - \vec v est définie par :

u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v)

Propriété

Pour tous points AA, BB, CC :

AB→−AC→=CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}

Démonstration
  1. AB→−AC→=AB→+(−AC→)\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \left(-\overrightarrow{AC}\right)
  2. ==AB→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}−AC→=CA→-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}
  3. ==CA→+AB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}l'ordre de l'écriture n'importe pas
  4. ==CB→\overrightarrow{CB}relation de Chasles
Exemple — deux calculs vectoriels

1. Simplifier RS→−TS→\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{TS}.

  1. RS→−TS→=RS→+ST→\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{TS} = \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST}−TS→=ST→-\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{ST}
  2. ==RT→\overrightarrow{RT}Chasles

2. Prouver que AB→+AB→=AA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AA} est fausse en général — c'est l'occasion de rappeler que AB→+BA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec 0 (un vecteur et son opposé s'annulent), mais AB→+AB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB} est tout autre chose : on le retrouvera au paragraphe suivant, sous la forme 2AB→2\overrightarrow{AB}.

Propriété — règle du parallélogramme

Deux vecteurs de même origine u⃗=OM→\vec u=\overrightarrow{OM} et v⃗=ON→\vec v=\overrightarrow{ON} ont pour somme la diagonale du parallélogramme OMSNOMSN issue de OO :

u⃗+v⃗=OS→ouˋ OMSN est un paralleˊlogramme\vec u + \vec v = \overrightarrow{OS} \quad \text{où } OMSN \text{ est un parallélogramme}

C'est une autre façon de construire la même somme que la relation de Chasles : au lieu de mettre les deux vecteurs « bout à bout », on les trace à partir du même point et l'on referme le parallélogramme.

Règle du parallélogramme : u + v = OS O M N S u v u + v
Figure 4 — Depuis l'origine commune OO, on trace u⃗=OM→\vec u=\overrightarrow{OM} et v⃗=ON→\vec v=\overrightarrow{ON} ; la diagonale OS→\overrightarrow{OS} du parallélogramme OMSNOMSN donne directement la somme u⃗+v⃗\vec u+\vec v.

3Produit par un réel

3.1  Produit d'un vecteur par un réel

Additionner un vecteur à lui-même, AB→+AB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}, doit donner « deux fois AB→\overrightarrow{AB} » : un vecteur deux fois plus long, dans la même direction et le même sens. On généralise cette idée à n'importe quel nombre réel.

Définition

Soit u⃗\vec u un vecteur non nul et kk un nombre réel non nul. Le vecteur ku⃗k\vec u est le vecteur de :

  • même direction que u⃗\vec u ;
  • même sens que u⃗\vec u si k>0k>0, sens contraire si k<0k<0 ;
  • norme ∣k∣×∥u⃗∥\lvert k \rvert \times \lVert \vec u \rVert.

Si k=0k=0 ou si u⃗=0⃗\vec u = \vec 0, on pose ku⃗=0⃗k\vec u = \vec 0.

Attention

Une norme est toujours positive ou nulle. −3u⃗-3\vec u n'est pas « un vecteur de norme négative » : c'est un vecteur de norme 3∥u⃗∥3\lVert\vec u\rVert, simplement orienté dans le sens opposé à u⃗\vec u. Et ku⃗k\vec u reste un vecteur : l'écriture ku⃗>0⃗k\vec u > \vec 0 n'a aucun sens.

Propriété — règles de calcul

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v et tous réels kk, k′k' :

k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗(k+k′)u⃗=ku⃗+k′u⃗k(k′u⃗)=(kk′)u⃗k(\vec u + \vec v) = k\vec u + k\vec v \qquad (k+k')\vec u = k\vec u + k'\vec u \qquad k\left(k'\vec u\right) = (kk')\vec u

et 1u⃗=u⃗1\vec u = \vec u,  (−1)u⃗=−u⃗\ (-1)\vec u = -\vec u. On calcule avec les vecteurs exactement comme avec les nombres, à condition de ne jamais additionner un vecteur et un nombre.

Exemple — construire des multiples d'un vecteur

Soit u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB} avec AB=2AB = 2 cm. Alors 3u⃗3\vec u est un vecteur de même sens que u⃗\vec u, de norme 66 cm ; −12u⃗-\dfrac{1}{2}\vec u est un vecteur de sens contraire, de norme 11 cm.

Propriété — caractérisation vectorielle du milieu

II est le milieu du segment [AB][AB] si et seulement si :

AI→=12AB→ou, de fac¸on eˊquivalente,IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \qquad \text{ou, de façon équivalente,} \qquad \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0

Démonstration

Si II est le milieu de [AB][AB], alors I∈[AB]I \in [AB], donc AI→\overrightarrow{AI} a la même direction et le même sens que AB→\overrightarrow{AB}, et AI=12ABAI = \dfrac{1}{2}AB : c'est bien AI→=12AB→\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}. Réciproquement, cette égalité place II sur la demi-droite [AB)[AB) à exactement la moitié de la distance ABAB : c'est le milieu. Pour la seconde forme :

  1. IA→+IB→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}
  2. ==−AI→+(AB→−AI→)-\overrightarrow{AI} + \left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}\right)Chasles : IB→=IA→+AB→\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}, réarrangé
  3. ==AB→−2AI→\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AI}
  4. ==AB→−2×12AB→=0⃗\overrightarrow{AB} - 2 \times \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \vec 0
Math & Co — pourquoi le mot « vecteur » ?

Le mot vecteur vient du latin vector, « celui qui transporte », de vehere, « transporter » — la même racine que « véhicule ». C'est le mathématicien et physicien irlandais William Rowan Hamilton (1805-1865) qui introduit ce terme en 1846, dans le cadre de sa théorie des quaternions : il découvre en 1843, en gravant la formule sur la pierre d'un pont de Dublin, une nouvelle sorte de nombres à quatre composantes dont la partie « imaginaire » se comporte exactement comme un vecteur du plan ou de l'espace. Le nom était bien choisi : un vecteur, c'est précisément ce qui décrit un transport, un déplacement.

4Colinéarité

4.1  Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls ont soit la même direction, soit des directions différentes. Quand ils ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires : l'un est un multiple de l'autre.

Définition

Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires lorsque l'un des deux est nul, ou lorsqu'il existe un réel kk tel que v⃗=ku⃗\vec v = k\vec u (avec u⃗≠0⃗\vec u \neq \vec 0).

Concrètement, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs représentants sont parallèles (portés par des droites parallèles, ou par la même droite).

Attention

Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs (on peut écrire 0⃗=0×u⃗\vec 0 = 0 \times \vec u pour n'importe quel u⃗\vec u). C'est une convention utile pour les formules, mais elle interdit d'utiliser un vecteur nul pour « prouver » un alignement : si AC→=0⃗\overrightarrow{AC} = \vec 0, c'est-à-dire A=CA = C, la colinéarité de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne dit rien sur la position de BB.

4.2  Premières applications

Propriété — alignement de trois points

Soient AA, BB, CC trois points distincts. Alors :

A,B,C aligneˊs  ⟺  AB→ et AC→ sont colineˊairesA, B, C \text{ alignés} \iff \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC} \text{ sont colinéaires}

Démonstration

Si AA, BB, CC sont alignés, les trois points appartiennent à une même droite dd : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, tous deux portés par dd, ont donc la même direction, donc sont colinéaires. Réciproquement, si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires (et non nuls, car A,B,CA,B,C distincts), ils ont la même direction : le point CC, atteint depuis AA en suivant cette direction, se trouve donc sur la droite (AB)(AB). C.Q.F.D.

Propriété — parallélisme de deux droites

Deux droites (d)(d) et (d′)(d'), munies chacune d'un vecteur directeur (un vecteur non nul porté par la droite), sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Colinéaires (même droite) ou non colinéaires ? O U u V v = 2u u et v colinéaires : U, O, V alignés O U u W w u et w non colinéaires : directions différentes
Figure 5 — À gauche, v⃗=2u⃗\vec v = 2\vec u : les deux vecteurs sont colinéaires, OO, UU, VV sont alignés. À droite, u⃗\vec u et w⃗\vec w n'ont pas la même direction : ils ne sont pas colinéaires.
Exemple — reconnaître une colinéarité sur quadrillage

Sur un quadrillage, AB→\overrightarrow{AB} correspond à 33 carreaux à droite et 11 vers le haut ; AC→\overrightarrow{AC} correspond à 66 carreaux à droite et 22 vers le haut. Comme (6,2)=2×(3,1)(6,2) = 2 \times (3,1), on a AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} : les vecteurs sont colinéaires, donc AA, BB, CC sont alignés. On formalisera ce type de calcul, bien plus rapide, dès la section suivante grâce aux coordonnées.

5Coordonnées d'un vecteur

5.1  Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Muni d'un repère (O;i⃗,j⃗)(O; \vec i, \vec j), chaque point du plan est repéré par un couple de nombres. Il en va de même pour chaque vecteur : c'est ce qui va transformer toute la géométrie de ce chapitre en simples calculs.

Définition

Dans un repère (O;i⃗,j⃗)(O; \vec i, \vec j), tout vecteur u⃗\vec u du plan s'écrit de façon unique u⃗=xi⃗+yj⃗\vec u = x\vec i + y\vec j ; le couple (x ;y)(x\,;y) est appelé coordonnées de u⃗\vec u, noté u⃗(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.

Si A(xA;yA)A(x_A;y_A) et B(xB;yB)B(x_B;y_B), alors :

AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Démonstration
  1. AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}Chasles : OA→+AB→=OB→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}
  2. ==(xBi⃗+yBj⃗)−(xAi⃗+yAj⃗)\left(x_B\vec i + y_B\vec j\right) - \left(x_A\vec i + y_A\vec j\right)coordonnées de AA et de BB
  3. ==(xB−xA)i⃗+(yB−yA)j⃗\left(x_B-x_A\right)\vec i + \left(y_B - y_A\right)\vec j

Les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} sont donc bien (xB−xA ;yB−yA)(x_B - x_A\,; y_B - y_A).

Propriété — calculs en coordonnées

Si u⃗(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, v⃗(x′y′)\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} et k∈Rk \in \mathbb{R} :

u⃗+v⃗(x+x′y+y′)u⃗−v⃗(x−x′y−y′)ku⃗(kxky)\vec u + \vec v \begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix} \qquad \vec u - \vec v \begin{pmatrix} x-x' \\ y-y' \end{pmatrix} \qquad k\vec u \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

01234 0123 xy A B Δx = 3 Δy = 2 A(1 ;1)B(4 ;3)A(1\,;1)\quad B(4\,;3) AB→(4−13−1)=(32)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}
Figure 6 — Les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} s'obtiennent en soustrayant celles de l'origine à celles de l'extrémité : on lit Δx\Delta x et Δy\Delta y directement sur le quadrillage du repère.
Exemple — calculer des coordonnées

A(−2 ;3)A(-2\,;3), B(1 ;−1)B(1\,;-1), C(4 ;2)C(4\,;2). Calcule les coordonnées de w⃗=AB→+2AC→\vec w = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}.

  1. AB→(1−(−2)−1−3)=(3−4)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-2)\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}
  2. AC→(4−(−2)2−3)=(6−1)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-2)\\2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}
  3. 2AC→(12−2)2\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}12\\-2\end{pmatrix}
  4. ⇒\Rightarroww⃗(3+12−4−2)=(15−6)\vec w\begin{pmatrix}3+12\\-4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\-6\end{pmatrix}

5.2  Norme d'un vecteur en coordonnées

Théorème

Dans un repère orthonormé, si u⃗(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, alors :

∥u⃗∥=x2+y2\lVert \vec u \rVert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Démonstration

Soit u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB}, avec BB obtenu depuis AA en avançant de xx horizontalement puis de yy verticalement (repère orthonormé). Le point HH tel que AH→\overrightarrow{AH} soit horizontal et HB→\overrightarrow{HB} vertical forme, avec AA et BB, un triangle AHBAHB rectangle en HH, de côtés AH=∣x∣AH = \lvert x \rvert et HB=∣y∣HB = \lvert y \rvert. Le théorème de Pythagore donne AB2=AH2+HB2=x2+y2AB^{2} = AH^{2}+HB^{2} = x^{2}+y^{2}, d'où ∥u⃗∥=AB=x2+y2\lVert\vec u\rVert = AB = \sqrt{x^{2}+y^{2}} (une norme est positive). C.Q.F.D.

Exemple — calculer une norme

u⃗(−34)\vec u \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}.

  1. ∥u⃗∥=(−3)2+42\lVert\vec u\rVert = \sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}
  2. ==9+16\sqrt{9+16}
  3. ==25\sqrt{25}
  4. ==55

5.3  Critère de colinéarité par les coordonnées

La colinéarité, définie géométriquement à la section précédente, devient à présent un simple calcul.

Théorème

Soient u⃗(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} deux vecteurs. Alors :

u⃗ et v⃗ colineˊaires  ⟺  xy′−x′y=0\vec u \text{ et } \vec v \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0

Démonstration

Traitons le cas u⃗≠0⃗\vec u \neq \vec 0 avec x≠0x \neq 0 (les autres cas, symétriques ou triviaux avec le vecteur nul, se traitent de la même manière).

Sens direct. Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires, il existe kk tel que v⃗=ku⃗\vec v = k\vec u, donc x′=kxx' = kx et y′=kyy'=ky.

  1. xy′−x′y=x(ky)−(kx)yxy' - x'y = x(ky) - (kx)y
  2. ==kxy−kxykxy - kxy
  3. ==00

Réciproque. Supposons xy′−x′y=0xy'-x'y=0, donc xy′=x′yxy' = x'y, soit (puisque x≠0x \neq 0) y′=x′x yy' = \dfrac{x'}{x}\,y. Posons k=x′xk = \dfrac{x'}{x} : on a bien x′=kxx' = kx par construction, et y′=kyy' = k y d'après ce qui précède. Donc v⃗=ku⃗\vec v = k\vec u : les vecteurs sont colinéaires. C.Q.F.D.

Méthode — tester une colinéarité par le calcul

On calcule xy′−x′yxy'-x'y (produit en croix). S'il vaut 00, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple — appliquer le critère

u⃗(46)\vec u \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}, v⃗(69)\vec v \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}. Sont-ils colinéaires ?

  1. xy′−x′y=4×9−6×6xy'-x'y = 4\times 9 - 6\times 6
  2. ==36−3636-36
  3. ==00
  4. ⇒\Rightarrowu⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaireson peut même écrire v⃗=32u⃗\vec v = \dfrac{3}{2}\vec u
Attention

Le nombre xy′−x′yxy'-x'y change de signe si l'on échange u⃗\vec u et v⃗\vec v, mais reste nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires : l'ordre n'a donc pas d'incidence sur la conclusion. En revanche, une erreur de signe dans le produit en croix est l'erreur la plus fréquente : écris toujours xy′−x′yxy' - x'y avec les deux produits bien alignés avant de soustraire.

6Milieu, alignement, parallélisme

Les coordonnées et le critère de colinéarité mis en place à la section précédente permettent maintenant de résoudre entièrement au calcul les problèmes classiques de géométrie plane.

6.1  Milieu d'un segment

Théorème

Si A(xA;yA)A(x_A;y_A) et B(xB;yB)B(x_B;y_B), le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées :

xI=xA+xB2yI=yA+yB2x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2} \qquad y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2}

Démonstration

D'après la caractérisation vectorielle du milieu (section 3), AI→=12AB→\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

  1. xI−xA=12(xB−xA)x_I - x_A = \dfrac{1}{2}\left(x_B-x_A\right)coordonnées de AI→\overrightarrow{AI} et de 12AB→\dfrac12\overrightarrow{AB}
  2. ⇒\RightarrowxI=xA+xB−xA2=2xA+xB−xA2x_I = x_A + \dfrac{x_B-x_A}{2} = \dfrac{2x_A+x_B-x_A}{2}
  3. ==xA+xB2\dfrac{x_A+x_B}{2}

Le même calcul sur la deuxième coordonnée donne yI=yA+yB2y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2}. C.Q.F.D.

Exemple — calculer un milieu

A(−2 ;1)A(-2\,;1), B(4 ;5)B(4\,;5). Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées xI=−2+42=1x_I = \dfrac{-2+4}{2}=1 et yI=1+52=3y_I=\dfrac{1+5}{2}=3, donc I(1 ;3)I(1\,;3).

Milieu I de [AB], et alignement de A, B, C A B I C u 1,5 u I milieu de [AB] : AI = ½ AB A, B, C alignés : AC = 1,5 · AB (colinéaires)
Figure 7 — II, milieu de [AB][AB], vérifie AI→=12AB→\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB} ; le point CC, lui, est aligné avec AA et BB car AC→\overrightarrow{AC} est un multiple de AB→\overrightarrow{AB}.

6.2  Alignement de trois points

Méthode — démontrer que trois points sont alignés

On calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, puis on calcule xy′−x′yxy'-x'y. S'il est nul, AA, BB, CC sont alignés.

Exemple — démontrer un alignement

A(1 ;2)A(1\,;2), B(3 ;5)B(3\,;5), C(7 ;11)C(7\,;11). AA, BB, CC sont-ils alignés ?

  1. AB→(23)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}
  2. AC→(69)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}
  3. 2×9−6×3=18−18=02\times 9 - 6\times 3 = 18-18=0
  4. ⇒\RightarrowAB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaireset de même origine AA
  5. ⇒\RightarrowAA, BB, CC sont alignés

6.3  Parallélisme de deux droites

Méthode — démontrer un parallélisme

Pour deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD), on calcule les coordonnées de deux vecteurs directeurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD}, puis on teste leur colinéarité.

Exemple — droites parallèles

A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;2)B(4\,;2), C(1 ;3)C(1\,;3), D(3 ;4)D(3\,;4). Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles parallèles ?

  1. AB→(42)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}
  2. CD→(21)\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}
  3. 4×1−2×2=4−4=04\times 1 - 2\times 2 = 4-4=0
  4. ⇒\RightarrowAB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} colinéairesAB→=2CD→\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}
  5. ⇒\Rightarrow(AB)∥(CD)(AB) \parallel (CD)CC n'appartient pas à (AB)(AB) : les droites sont bien distinctes

6.4  Quatrième sommet d'un parallélogramme

Méthode — trouver le quatrième sommet

Pour que ABCDABCD (dans cet ordre) soit un parallélogramme, il faut et il suffit que AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. On calcule les coordonnées de DD en résolvant cette égalité.

Exemple — trouver un quatrième sommet

A(−1 ;2)A(-1\,;2), B(3 ;1)B(3\,;1), C(4 ;5)C(4\,;5). Trouve DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

  1. ABCDABCD parallélogramme   ⟺  AB→=DC→\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
  2. AB→(3−(−1)1−2)=(4−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1)\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}
  3. DC→(4−xD5−yD)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4-x_D\\5-y_D\end{pmatrix}
  4. ⇒\Rightarrow4−xD=44-x_D = 4 et 5−yD=−15-y_D=-1
  5. ⇒\RightarrowxD=0x_D = 0 et yD=6y_D = 6

Donc D(0 ;6)D(0\,;6).

Attention

Vérifie toujours quel parallélogramme l'énoncé demande : ABCDABCD (côtés [AB][AB]-[DC][DC] et [BC][BC]-[AD][AD]) ne donne pas le même quatrième sommet que ABDCABDC (côtés [AB][AB]-[CD][CD]). Relis l'ordre des lettres avant de poser l'égalité vectorielle.

Fiche mémo

  • AB→\overrightarrow{AB} : direction (AB)(AB), sens de AA vers BB, norme ABAB. AB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \iff ABDC parallélogramme.
  • Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} — la lettre du milieu doit se répéter exactement.
  • Opposé : −AB→=BA→-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}. Différence : AB→−AC→=CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.
  • ku⃗k\vec u : même direction que u⃗\vec u, sens selon le signe de kk, norme ∣k∣∥u⃗∥\lvert k\rvert \lVert\vec u\rVert.
  • II milieu de [AB][AB]   ⟺  AI→=12AB→  ⟺  IA→+IB→=0⃗\iff \overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0.
  • u⃗,v⃗\vec u,\vec v colinéaires   ⟺  ∃k,v⃗=ku⃗\iff \exists k, \vec v = k\vec u (ou u⃗=0⃗\vec u = \vec 0)   ⟺  \iff directions parallèles.
  • Coordonnées : AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix} ; somme, différence, produit par un réel : coordonnée par coordonnée.
  • Norme (repère orthonormé) : ∥u⃗∥=x2+y2\lVert\vec u\rVert = \sqrt{x^{2}+y^{2}} (Pythagore).
  • Critère de colinéarité : u⃗(xy)\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, v⃗(x′y′)\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} colinéaires   ⟺  xy′−x′y=0\iff xy'-x'y=0.
  • A,B,CA,B,C alignés   ⟺  AB→\iff \overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires. (d)∥(d′)  ⟺  (d)\parallel(d') \iff vecteurs directeurs colinéaires.
  • Milieu de [AB][AB] : xI=xA+xB2 , yI=yA+yB2x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}\,,\ y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
  • ABCDABCD parallélogramme   ⟺  AB→=DC→\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} (attention à l'ordre des sommets).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Dans un repère, A(1 ;2)A(1\,;2) et B(4 ;3)B(4\,;3). Calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} puis de BA→\overrightarrow{BA}.

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→(4−13−2)=(31)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
  2. BA→(1−42−3)=(−3−1)\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}1-4\\2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}
  3. on remarque BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}vecteurs opposés : coordonnées opposées
2

Simplifie, en utilisant la relation de Chasles et le vecteur opposé :

  1. AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}
  2. MN→−PN→\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}
  3. RS→+ST→−RT→\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST}-\overrightarrow{RT}
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. AB→+BC→+CA→=AC→+CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}Chasles sur les deux premiers
  2. ==0⃗\vec 0un vecteur et son opposé

2.

  1. MN→−PN→=MN→+NP→\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}−PN→=NP→-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{NP}
  2. ==MP→\overrightarrow{MP}Chasles

3.

  1. RS→+ST→−RT→=RT→−RT→\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST}-\overrightarrow{RT} = \overrightarrow{RT}-\overrightarrow{RT}Chasles sur RS→+ST→\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{ST}
  2. ==0⃗\vec 0
3

u⃗(2−3)\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}. Calcule les coordonnées de 3u⃗3\vec u, de −u⃗-\vec u et de 12u⃗\dfrac{1}{2}\vec u.

Voir le corrigé détaillé
  1. 3u⃗(3×23×(−3))=(6−9)3\vec u\begin{pmatrix}3\times 2\\3\times(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}
  2. −u⃗(−23)-\vec u\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}
  3. 12u⃗(1−32)\dfrac{1}{2}\vec u\begin{pmatrix}1\\-\frac32\end{pmatrix}
4

Les vecteurs sont-ils colinéaires ?

  1. u⃗(34)\vec u\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} et v⃗(68)\vec v\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}
  2. u⃗(25)\vec u\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} et v⃗(37)\vec v\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. xy′−x′y=3×8−6×4xy'-x'y = 3\times 8 - 6\times 4
  2. ==24−24=024-24=0
  3. ⇒\Rightarrowcolinéairesv⃗=2u⃗\vec v = 2\vec u

2.

  1. xy′−x′y=2×7−3×5xy'-x'y = 2\times 7 - 3\times 5
  2. ==14−15=−114-15=-1
  3. ⇒\Rightarrownon colinéaires−1≠0-1 \neq 0
5

A(−2 ;1)A(-2\,;1), B(4 ;5)B(4\,;5). Calcule les coordonnées du milieu II de [AB][AB], puis la norme de AB→\overrightarrow{AB}.

Voir le corrigé détaillé
  1. xI=−2+42=1x_I = \dfrac{-2+4}{2} = 1
  2. yI=1+52=3y_I = \dfrac{1+5}{2} = 3I(1 ;3)I(1\,;3)
  3. AB→(64)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}
  4. ∥AB→∥=62+42=52\lVert\overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{6^{2}+4^{2}} = \sqrt{52}
  5. ==213≈7,22\sqrt{13} \approx 7{,}2
Niveau 2 — Approfondissement
6

A(2 ;1)A(2\,;1), B(5 ;3)B(5\,;3), C(11 ;7)C(11\,;7). Démontre que AA, BB, CC sont alignés.

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→(32)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}
  2. AC→(96)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix}
  3. 3×6−9×2=18−18=03\times 6 - 9\times 2 = 18-18=0
  4. ⇒\RightarrowAB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéairesAC→=3AB→\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}
  5. ⇒\RightarrowAA, BB, CC sont alignés
7

A(−1 ;2)A(-1\,;2), B(3 ;1)B(3\,;1), C(4 ;5)C(4\,;5). Détermine les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Voir le corrigé détaillé

ABCDABCD parallélogramme   ⟺  AB→=DC→\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

  1. AB→(4−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}
  2. DC→(4−xD5−yD)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4-x_D\\5-y_D\end{pmatrix}
  3. ⇒\Rightarrow4−xD=44-x_D=4 et 5−yD=−15-y_D=-1
  4. ⇒\RightarrowxD=0x_D=0 et yD=6y_D=6

Donc D(0 ;6)D(0\,;6).

8

A(0 ;1)A(0\,;1), B(3 ;2)B(3\,;2), C(5 ;−1)C(5\,;-1), D(2 ;0)D(2\,;0). Vérifie, par le calcul des coordonnées, que AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→(31)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, BC→(2−3)\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}, CD→(−31)\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}
  2. somme des coordonnées : (3+2−31−3+1)=(2−1)\begin{pmatrix}3+2-3\\1-3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}
  3. AD→(2−00−1)=(2−1)\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2-0\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}
  4. ⇒\Rightarrowles deux calculs coïncidentla relation de Chasles est vérifiée numériquement
9

A(1 ;1)A(1\,;1), B(5 ;2)B(5\,;2), C(6 ;6)C(6\,;6), D(2 ;5)D(2\,;5). Démontre que ABCDABCD est un parallélogramme.

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→(5−12−1)=(41)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-1\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}
  2. DC→(6−26−5)=(41)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}6-2\\6-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}
  3. ⇒\RightarrowAB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
  4. ⇒\RightarrowABCDABCD est un parallélogramme
Niveau 3 — Défi
10

Le théorème de Varignon. A(0 ;0)A(0\,;0), B(6 ;1)B(6\,;1), C(7 ;5)C(7\,;5), D(1 ;6)D(1\,;6) sont quatre points formant un quadrilatère. On note II, JJ, KK, LL les milieux respectifs de [AB][AB], [BC][BC], [CD][CD], [DA][DA].

  1. Calcule les coordonnées de II, JJ, KK, LL.
  2. Calcule les coordonnées de IJ→\overrightarrow{IJ} et de LK→\overrightarrow{LK}. Que peux-tu en conclure pour le quadrilatère IJKLIJKL ?
  3. Montre que IJ→=12AC→\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.
Voir le corrigé détaillé

1. On applique la formule du milieu à chaque côté.

  1. I(0+62 ;0+12)=I(3 ;0,5)I\left(\dfrac{0+6}{2}\,;\dfrac{0+1}{2}\right) = I(3\,;0{,}5)
  2. J(6+72 ;1+52)=J(6,5 ;3)J\left(\dfrac{6+7}{2}\,;\dfrac{1+5}{2}\right) = J(6{,}5\,;3)
  3. K(7+12 ;5+62)=K(4 ;5,5)K\left(\dfrac{7+1}{2}\,;\dfrac{5+6}{2}\right) = K(4\,;5{,}5)
  4. L(1+02 ;6+02)=L(0,5 ;3)L\left(\dfrac{1+0}{2}\,;\dfrac{6+0}{2}\right) = L(0{,}5\,;3)

2.

  1. IJ→(6,5−33−0,5)=(3,52,5)\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}6{,}5-3\\3-0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}
  2. LK→(4−0,55,5−3)=(3,52,5)\overrightarrow{LK}\begin{pmatrix}4-0{,}5\\5{,}5-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}
  3. ⇒\RightarrowIJ→=LK→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK}
  4. ⇒\RightarrowIJKLIJKL est un parallélogrammepropriété de la section 1

3.

  1. AC→(7−05−0)=(75)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}7-0\\5-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}
  2. 12AC→(3,52,5)\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}
  3. ==IJ→\overrightarrow{IJ}résultat de la question 2

Quel que soit le quadrilatère ABCDABCD de départ, les milieux de ses côtés forment donc toujours un parallélogramme : c'est le théorème de Varignon.

Théorème de Varignon : IJKL est un parallélogramme A B C D I J K L IJKL (en vert) : les côtés opposés IJ et LK vérifient IJ = LK = ½ AC (diagonale, en tirets bleus)
Figure 8 — Quel que soit le quadrilatère ABCDABCD, le quadrilatère IJKLIJKL formé par les milieux de ses côtés est un parallélogramme : c'est le théorème de Varignon (exercice 10).
11

A(1 ;1)A(1\,;1), B(4 ;3)B(4\,;3), C(m ;7)C(m\,;7), où mm est un nombre réel. Détermine la valeur de mm pour laquelle AA, BB, CC sont alignés.

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→(32)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}
  2. AC→(m−16)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}m-1\\6\end{pmatrix}
  3. A,B,CA,B,C alignés   ⟺  \iff AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires
  4.   ⟺  \iff3×6−(m−1)×2=03\times 6 - (m-1)\times 2 = 0
  5.   ⟺  \iff18−2m+2=018 - 2m+2=0
  6.   ⟺  \iff20=2m20 = 2m
  7.   ⟺  \iffm=10m=10

Pour m=10m=10, les points AA, BB, C(10 ;7)C(10\,;7) sont alignés. On peut vérifier : AC→(96)=3AB→\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix} = 3\overrightarrow{AB}, colinéaire.

12

A(1 ;2)A(1\,;2), B(7 ;5)B(7\,;5). Détermine les coordonnées du point MM tel que AM→=2MB→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.

Voir le corrigé détaillé

Notons M(x ;y)M(x\,;y) le point cherché.

  1. AM→(x−1y−2)\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y-2\end{pmatrix}
  2. MB→(7−x5−y)\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}7-x\\5-y\end{pmatrix}
  3. AM→=2MB→  ⟺  x−1=2(7−x)\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB} \iff x-1 = 2(7-x) et y−2=2(5−y)y-2=2(5-y)
  4.   ⟺  \iffx−1=14−2xx-1=14-2x et y−2=10−2yy-2=10-2y
  5.   ⟺  \iff3x=153x=15 et 3y=123y=12
  6.   ⟺  \iffx=5x=5 et y=4y=4

Donc M(5 ;4)M(5\,;4). Vérification : AM→(42)\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} et MB→(21)\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} ; on a bien AM→=2MB→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

La tournée de Fatou (Dakar). Fatou est coursière à vélo à Dakar. Elle part du marché Sandaga, pris comme origine P(0 ;0)P(0\,;0) d'un repère orthonormé (unité : 11 km), livre un colis au Plateau en Q(3 ;4)Q(3\,;4), puis termine sa tournée à Ouakam en R(7 ;2)R(7\,;2).

  1. Calcule les coordonnées de PQ→\overrightarrow{PQ} et de QR→\overrightarrow{QR}.
  2. En utilisant la relation de Chasles, donne les coordonnées du déplacement direct PR→\overrightarrow{PR}.
  3. Calcule la distance à vol d'oiseau entre Sandaga et Ouakam, puis la distance totale réellement parcourue par Fatou. Que remarques-tu ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. PQ→(3−04−0)=(34)\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}3-0\\4-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
  2. QR→(7−32−4)=(4−2)\overrightarrow{QR}\begin{pmatrix}7-3\\2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}

2.

  1. PR→=PQ→+QR→\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}relation de Chasles
  2. ==(3+44−2)=(72)\begin{pmatrix}3+4\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}

3.

  1. PR=72+22=53≈7,3PR = \sqrt{7^{2}+2^{2}} = \sqrt{53} \approx 7{,}3 kmdistance directe
  2. PQ=32+42=25=5PQ = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5 km
  3. QR=42+22=20=25≈4,5QR = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt5 \approx 4{,}5 km
  4. distance parcourue ≈5+4,5=9,5\approx 5 + 4{,}5 = 9{,}5 km

Fatou a réellement parcouru environ 9,59{,}5 km, alors que Sandaga et Ouakam ne sont qu'à 7,37{,}3 km à vol d'oiseau : faire un détour par le Plateau allonge toujours le trajet par rapport au déplacement direct.

La tournée de Fatou à Dakar (unité : 1 km) Sandaga P Plateau Q Ouakam R PQ = 5 km QR ≈ 4,5 km PR ≈ 7,3 km (direct)
Figure 9 — La tournée réelle de Fatou (bleu puis vert) est plus longue que le déplacement direct PR→\overrightarrow{PR} (rouge, en pointillés) donné par la relation de Chasles.
14

Le champ d'Adoum (près de Ndjamena). Adoum, agriculteur près de Ndjamena, place quatre piquets PP, QQ, RR, SS délimitant son champ, repérés (en mètres) par P(0 ;0)P(0\,;0), Q(40 ;30)Q(40\,;30), R(49 ;42)R(49\,;42), S(9 ;12)S(9\,;12).

  1. Calcule les coordonnées de PQ→\overrightarrow{PQ} et de SR→\overrightarrow{SR}. Que peux-tu en conclure sur la forme du champ PQRSPQRS ?
  2. Calcule les longueurs PQPQ et PSPS des deux côtés du champ, puis le périmètre exact du champ.
  3. Un grillage coûte 2 5002\,500 F CFA le mètre. Calcule le coût total de la clôture.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. PQ→(4030)\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}40\\30\end{pmatrix}
  2. SR→(49−942−12)=(4030)\overrightarrow{SR}\begin{pmatrix}49-9\\42-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40\\30\end{pmatrix}
  3. ⇒\RightarrowPQ→=SR→\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}
  4. ⇒\RightarrowPQRSPQRS est un parallélogrammepropriété de la section 1

2.

  1. PQ=402+302=1 600+900=2 500=50PQ = \sqrt{40^{2}+30^{2}} = \sqrt{1\,600+900} = \sqrt{2\,500} = 50 m
  2. PS→(912)\overrightarrow{PS}\begin{pmatrix}9\\12\end{pmatrix}
  3. PS=92+122=81+144=225=15PS = \sqrt{9^{2}+12^{2}} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15 m
  4. périmètre =2×(50+15)= 2\times(50+15)
  5. ==130130 mdans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur

3.

  1. coût =130×2 500= 130 \times 2\,500
  2. ==325 000325\,000 F CFA

Adoum doit prévoir 130 m de grillage, pour un coût de 325 000 F CFA.

15

Le chantier d'Ibrahima (Bamako). Ibrahima, maçon à Bamako, construit un mur repéré par les points M(0 ;0)M(0\,;0) et N(8 ;3)N(8\,;3) (coordonnées en mètres). Il doit vérifier que ce mur est parallèle au mur de clôture de la parcelle voisine, repéré par P(3 ;7)P(3\,;7) et Q(19 ;13)Q(19\,;13).

  1. Calcule les coordonnées de MN→\overrightarrow{MN} et de PQ→\overrightarrow{PQ}, et détermine si les deux murs sont parallèles.
  2. Calcule la longueur exacte du mur [MN][MN], puis une valeur approchée au centimètre près.
  3. Si Ibrahima pose 6060 briques par mètre de mur, combien de briques doit-il prévoir (arrondis à la brique supérieure) ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. MN→(83)\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}
  2. PQ→(166)\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}16\\6\end{pmatrix}
  3. 8×6−16×3=48−48=08\times 6 - 16\times 3 = 48-48=0
  4. ⇒\RightarrowMN→\overrightarrow{MN} et PQ→\overrightarrow{PQ} colinéairesPQ→=2MN→\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{MN}
  5. ⇒\Rightarrowles deux murs sont parallèles

2.

  1. MN=82+32=73MN = \sqrt{8^{2}+3^{2}} = \sqrt{73} m
  2. ≈\approx8,548{,}54 m

3.

  1. nombre de briques ≈8,54×60\approx 8{,}54 \times 60
  2. ≈\approx512,5512{,}5
  3. ⇒\RightarrowIbrahima doit prévoir 513513 briqueson arrondit à la brique supérieure

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est caractérisé par :

Explication : Un vecteur AB→\overrightarrow{AB} réunit trois éléments : la direction de la droite (AB)(AB), le sens de AA vers BB, et la norme (longueur) ABAB.

Avec A≠BA \neq B, que peut-on dire de AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} ?

Explication : AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} partagent la même droite support et la même longueur, mais pointent en sens contraire : dès que A≠BA \neq B, ce sont deux vecteurs distincts.

Soient AA, BB, CC, DD quatre points, avec AA, BB, CC non alignés. L'égalité AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à :

Explication : AB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \iff ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres : A,B,D,CA,B,D,C, pas A,B,C,DA,B,C,D).

ABCDABCD est un parallélogramme, ses sommets étant nommés dans cet ordre. Que peut-on affirmer ?

Explication : Dans un parallélogramme ABCDABCD nommé dans l'ordre, les côtés opposés sont [AB][AB]-[DC][DC] : c'est bien AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, et non AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} qui inverserait le sens.

Simplifie MN→+NP→+PQ→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} grâce à la relation de Chasles :

Explication :
MN→+NP→+PQ→=MP→+PQ→\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}
=MQ→=\overrightarrow{MQ}.

Peut-on simplifier AB→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} directement par la relation de Chasles, sachant que B≠CB \neq C ?

Explication : La relation de Chasles AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} exige que l'extrémité du premier vecteur soit l'origine du second. Si B≠CB \neq C, rien ne relie directement AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} : c'est le piège classique.

Pour tous points AA, BB, CC, le vecteur AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} est égal à :

Explication :
AB→−AC→=AB→+CA→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}
=CA→+AB→=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}
=CB→=\overrightarrow{CB} (Chasles).

Soit u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB} avec AB=2AB = 2 cm. Le vecteur −3u⃗-3\vec u est un vecteur de :

Explication : La norme est toujours positive : ∥−3u⃗∥=∣−3∣×∥u⃗∥=3×2=6\lVert -3\vec u\rVert = \lvert-3\rvert \times \lVert\vec u\rVert = 3 \times 2 = 6 cm. Le signe négatif de −3-3 inverse simplement le sens, il ne rend pas la norme négative.

II est le milieu du segment [AB][AB] si et seulement si :

Explication : C'est la caractérisation vectorielle du milieu, équivalente à AI→=12AB→\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB} : les deux vecteurs IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés, donc leur somme est nulle.

Le vecteur nul 0⃗\vec 0 est colinéaire à un vecteur u⃗\vec u pour :

Explication : 0⃗=0×u⃗\vec 0 = 0\times\vec u pour tout u⃗\vec u : le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs par convention. Mais si AC→=0⃗\overrightarrow{AC}=\vec 0 (c'est-à-dire A=CA=C), la colinéarité avec AB→\overrightarrow{AB} ne dit rien sur la position de BB : ce n'est pas une preuve d'alignement utilisable.

Soient AA, BB, CC trois points distincts. AA, BB, CC alignés équivaut à :

Explication : Si les trois points sont alignés, AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont tous deux portés par la même droite, donc colinéaires ; réciproquement, la colinéarité place CC sur la droite (AB)(AB).

Soit A(−2 ;3)A(-2\,;3) et B(1 ;−1)B(1\,;-1). Quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

Explication :
xAB→=xB−xA=1−(−2)=3x_{\overrightarrow{AB}} = x_B - x_A = 1-(-2) = 3
yAB→=yB−yA=−1−3=−4y_{\overrightarrow{AB}} = y_B - y_A = -1-3 = -4
d'où AB→(3 ;−4)\overrightarrow{AB}(3\,;-4).

Soit u⃗(68)\vec u \begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix} dans un repère orthonormé. Sa norme ∥u⃗∥\lVert\vec u\rVert vaut :

Explication :
∥u⃗∥=62+82=36+64\lVert\vec u\rVert = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = \sqrt{36+64}
=100=10=\sqrt{100} = 10.

Soit u⃗(35)\vec u\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} et v⃗(69)\vec v\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}. Sont-ils colinéaires ?

Explication :
xy′−x′y=3×9−6×5=27−30=−3xy'-x'y = 3\times9 - 6\times5 = 27-30 = -3
Ce nombre n'est pas nul, donc u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires.

Soit A(2 ;1)A(2\,;1), B(5 ;7)B(5\,;7), C(8 ;13)C(8\,;13). Ces trois points sont-ils alignés ?

Explication :
AB→(3 ;6)\overrightarrow{AB}(3\,;6), AC→(6 ;12)\overrightarrow{AC}(6\,;12)
3×12−6×6=36−36=03\times12-6\times6 = 36-36=0
donc AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires (AC→=2AB→\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}) : AA, BB, CC sont alignés.

Soit A(−3 ;5)A(-3\,;5) et B(7 ;−1)B(7\,;-1). Quelles sont les coordonnées du milieu II de [AB][AB] ?

Explication :
xI=−3+72=2x_I = \dfrac{-3+7}{2} = 2
yI=5+(−1)2=2y_I = \dfrac{5+(-1)}{2} = 2
d'où I(2 ;2)I(2\,;2).

Pour trouver le sommet DD tel que ABCDABCD (dans cet ordre) soit un parallélogramme, quelle égalité vectorielle faut-il poser ?

Explication : Dans un parallélogramme ABCDABCD nommé dans l'ordre, les côtés opposés [AB][AB] et [DC][DC] donnent AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} : c'est cette égalité qu'il faut résoudre pour trouver DD.

Soit A(1 ;2)A(1\,;2), B(5 ;3)B(5\,;3), C(4 ;7)C(4\,;7). Trouve le point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Explication :
AB→(4 ;1)\overrightarrow{AB}(4\,;1) et l'égalité AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} donne :
4=4−xD⇒xD=04 = 4-x_D \Rightarrow x_D = 0
1=7−yD⇒yD=61 = 7-y_D \Rightarrow y_D = 6
d'où D(0 ;6)D(0\,;6).

Un pilote de pirogue rame avec un vecteur vitesse u⃗\vec u de norme 33 km/h, dirigé perpendiculairement vers l'autre rive, pendant que le courant du fleuve a un vecteur vitesse v⃗\vec v de norme 44 km/h, parallèle à la rive (donc u⃗\vec u et v⃗\vec v perpendiculaires). Quelle est la norme du vecteur vitesse résultant u⃗+v⃗\vec u + \vec v ?

Explication : u⃗\vec u et v⃗\vec v étant perpendiculaires, le triangle formé est rectangle (règle du parallélogramme). Par Pythagore :
∥u⃗+v⃗∥=32+42\lVert\vec u+\vec v\rVert = \sqrt{3^{2}+4^{2}}
=9+16=25=5=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 km/h.

Sur une carte quadrillée, un livreur va de AA à BB en se déplaçant de 66 rues vers l'est et 22 rues vers le nord (AB→(6 ;2)\overrightarrow{AB}(6\,;2)), puis de CC à DD en se déplaçant de 99 rues vers l'est et 33 rues vers le nord (CD→(9 ;3)\overrightarrow{CD}(9\,;3)). Les trajets (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-ils parallèles ?

Explication :
xy′−x′y=6×3−9×2=18−18=0xy'-x'y = 6\times3 - 9\times2 = 18-18=0
Les vecteurs directeurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires (CD→=1,5 AB→\overrightarrow{CD}=1{,}5\,\overrightarrow{AB}), donc les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles.
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