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Calcul littéral et équations

Développer, factoriser et résoudre équations et équations-produits.

Mathématiques Seconde Chapitre 3 / 15 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Factoriser une expression pour résoudre
  • Déterminer un domaine de validité
  • Traduire un problème par une équation

Depuis la 4e et la 3e, tu sais développer une expression avec des lettres, factoriser un facteur commun, et résoudre une équation simple du type ax+b=cax+b=c. En Seconde, ce chapitre reprend ces outils pour les rendre rigoureux et complets : tu vas démontrer les identités remarquables au lieu de les admettre, apprendre à factoriser toute expression qui s'y prête, et surtout découvrir deux idées entièrement nouvelles — l'équation-produit et la notion de valeur interdite — qui te suivront jusqu'au baccalauréat.

Le calcul littéral n'est pas un exercice gratuit : c'est le langage qui permet de manipuler une situation sans connaître d'avance le nombre cherché. Un ingénieur qui dimensionne un pont, un commerçant qui calcule une marge, un physicien qui isole une grandeur dans une formule — tous manipulent des lettres avant de manipuler des nombres. En Première, ces mêmes techniques serviront à étudier le signe d'une expression et les fonctions polynômes : autant les maîtriser dès maintenant.

Deux réflexes nouveaux structurent ce chapitre. D'abord, une équation ne se résout jamais en divisant par une expression contenant l'inconnue tant qu'on ignore si elle peut s'annuler : c'est pourquoi on factorise et on utilise le produit nul. Ensuite, dès qu'une lettre apparaît au dénominateur, certaines valeurs deviennent interdites : les repérer avant de résoudre évite bien des erreurs. Ce sont exactement les deux pièges que ce chapitre t'apprend à éviter.

1Identités remarquables

Une identité remarquable est une égalité entre deux expressions qui reste vraie quels que soient les nombres aa et bb choisis. Il en existe trois, que tu dois savoir développer, mais aussi reconnaître « à l'envers » pour factoriser.

1.1  Carré d'une somme

Théorème

Pour tous nombres aa et bb :

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

Démonstration

Preuve algébrique. (a+b)2(a+b)^{2} signifie (a+b)×(a+b)(a+b)\times(a+b) : on développe avec la double distributivité.

  1. (a+b)2=(a+b)(a+b)(a+b)^{2} = (a+b)(a+b)
  2. ==a×a+a×b+b×a+b×ba\times a + a\times b + b\times a + b\times bchaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second
  3. ==a2+ab+ab+b2a^{2} + ab + ab + b^{2}
  4. ==a2+2ab+b2a^{2} + 2ab + b^{2}

Preuve géométrique (pour aa et bb positifs). Un carré de côté a+ba+b a pour aire (a+b)2(a+b)^{2}. Il se découpe en un carré d'aire a2a^{2}, un carré d'aire b2b^{2}, et deux rectangles d'aire abab chacun (Figure 1). L'aire totale s'écrit donc de deux façons, ce qui redonne la même égalité. C.Q.F.D.

Aire du grand carré de côté (a + b) a² ab ab b² a b a b a + b (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Figure 1 — Le carré de côté a+ba+b se découpe en quatre rectangles d'aires a2a^{2}, abab, abab et b2b^{2} : l'aire totale redonne l'identité (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Exemple — calculer 1032103^{2} sans poser d'opération

On écrit 103=100+3103 = 100+3 puis on applique l'identité.

  1. 1032=(100+3)2103^{2} = (100+3)^{2}
  2. ==1002+2×100×3+32100^{2} + 2\times100\times3 + 3^{2}
  3. ==10 000+600+910\,000 + 600 + 9
  4. ==10 60910\,609

1.2  Carré d'une différence

Propriété

Pour tous nombres aa et bb :

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

Démonstration

On écrit a−b=a+(−b)a-b = a+(-b) et on applique l'identité précédente à aa et −b-b.

  1. (a−b)2=(a+(−b))2(a-b)^{2} = \left(a+(-b)\right)^{2}
  2. ==a2+2×a×(−b)+(−b)2a^{2} + 2\times a\times(-b) + (-b)^{2}
  3. ==a2−2ab+b2a^{2} - 2ab + b^{2}(−b)2=b2(-b)^{2}=b^{2}
Exemple — développer (2x−5)2(2x-5)^{2}
  1. (2x−5)2=(2x)2−2×2x×5+52(2x-5)^{2} = (2x)^{2} - 2\times2x\times5 + 5^{2}
  2. ==4x2−20x+254x^{2} - 20x + 25
Attention

(a+b)2(a+b)^{2} n'est jamais égal à a2+b2a^{2}+b^{2} : le double produit 2ab2ab est indispensable. Vérifie sur un exemple numérique : (3+2)2=25(3+2)^{2}=25, alors que 32+22=133^{2}+2^{2}=13.

1.3  Produit de la somme par la différence

Propriété

Pour tous nombres aa et bb :

(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}

Démonstration
  1. (a−b)(a+b)=a2+ab−ab−b2(a-b)(a+b) = a^{2} + ab - ab - b^{2}
  2. ==a2−b2a^{2} - b^{2}les deux termes abab et −ab-ab s'annulent
Exemple — calculer 98×10298\times102 sans poser d'opération
  1. 98×102=(100−2)(100+2)98\times102 = (100-2)(100+2)
  2. ==1002−22100^{2} - 2^{2}
  3. ==10 000−410\,000 - 4
  4. ==9 9969\,996
Math & Co — L'algèbre en dessins

Bien avant l'invention des lettres pour désigner des nombres inconnus, les mathématiciens grecs démontraient des identités comme celle de (a+b)2(a+b)^{2} par des découpages d'aires, exactement comme la Figure 1. C'est ce qu'on trouve dans le Livre II des Éléments d'Euclide, rédigés vers −300-300 à Alexandrie : chaque proposition algébrique y est énoncée et prouvée comme un théorème de géométrie.

Il faudra attendre les mathématiciens arabes du IXe siècle, puis le Français François Viète à la fin du XVIe siècle, pour que les lettres aa, bb, xx remplacent peu à peu les figures — donnant naissance au calcul littéral tel que tu le pratiques aujourd'hui.

2Développement et factorisation

Développer et factoriser sont deux opérations inverses l'une de l'autre : développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit. Tu auras besoin des deux à chaque étape de résolution d'équation.

2.1  Développer une expression

Méthode — développer un produit de deux sommes

Pour développer (a+b)(c+d)(a+b)(c+d), on multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second, puis on réduit :

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Exemple — développer (2x−3)(x+4)(2x-3)(x+4)
  1. (2x−3)(x+4)=2x×x+2x×4−3×x−3×4(2x-3)(x+4) = 2x\times x + 2x\times4 - 3\times x - 3\times4
  2. ==2x2+8x−3x−122x^{2} + 8x - 3x - 12
  3. ==2x2+5x−122x^{2} + 5x - 12on réduit les termes en xx
Exemple — développer 3x(x−2)−(x+1)(x−5)3x(x-2) - (x+1)(x-5)
  1. 3x(x−2)=3x2−6x3x(x-2) = 3x^{2} - 6x
  2. (x+1)(x−5)=x2−5x+x−5=x2−4x−5(x+1)(x-5) = x^{2} - 5x + x - 5 = x^{2} - 4x - 5
  3. 3x(x−2)−(x+1)(x−5)=3x2−6x−(x2−4x−5)3x(x-2) - (x+1)(x-5) = 3x^{2} - 6x - \left(x^{2} - 4x - 5\right)
  4. ==3x2−6x−x2+4x+53x^{2} - 6x - x^{2} + 4x + 5on distribue le signe −- sur toute la parenthèse
  5. ==2x2−2x+52x^{2} - 2x + 5
Attention

Devant une parenthèse précédée d'un signe −-, tous les termes changent de signe : −(x2−4x−5)=−x2+4x+5-\left(x^{2}-4x-5\right) = -x^{2}+4x+5. Oublier de changer un seul signe est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

2.2  Factoriser avec un facteur commun

Méthode — mettre un facteur commun en évidence

Si un même facteur kk apparaît dans chaque terme d'une somme, on l'écrit une seule fois devant une parenthèse :

ka+kb=k(a+b)ka + kb = k(a+b)

Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une expression entière comme (x+1)(x+1).

Exemple — facteur commun numérique et littéral
  1. 15x2−9x=3x×5x−3x×315x^{2} - 9x = 3x\times5x - 3x\times3
  2. ==3x(5x−3)3x(5x-3)
Exemple — le facteur commun est une expression

Factorise B=(2x+1)(x−3)+(2x+1)(x+5)B = (2x+1)(x-3) + (2x+1)(x+5).

  1. B=(2x+1)×(x−3)+(2x+1)×(x+5)B = (2x+1)\times(x-3) + (2x+1)\times(x+5)
  2. ==(2x+1)[(x−3)+(x+5)](2x+1)\left[(x-3)+(x+5)\right](2x+1)(2x+1) est commun aux deux termes
  3. ==(2x+1)(2x+2)(2x+1)(2x+2)
  4. ==2(2x+1)(x+1)2(2x+1)(x+1)on peut encore factoriser 2x+22x+2 par 22

2.3  Factoriser avec une identité remarquable

Méthode — reconnaître une identité remarquable « à l'envers »

On lit les trois identités du paragraphe 1 de droite à gauche :

a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2} \qquad a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2} \qquad a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

Le repère le plus utile est la différence de deux carrés a2−b2a^{2}-b^{2} : dès que tu vois « carré moins carré », factorise.

Exemple — trois factorisations avec identités remarquables
  1. x2−9=x2−32=(x−3)(x+3)x^{2}-9 = x^{2}-3^{2} = (x-3)(x+3)
  2. x2+6x+9=x2+2×x×3+32=(x+3)2x^{2}+6x+9 = x^{2}+2\times x\times3+3^{2} = (x+3)^{2}
  3. 4x2−25=(2x)2−52=(2x−5)(2x+5)4x^{2}-25 = (2x)^{2}-5^{2} = (2x-5)(2x+5)
Attention

Cherche toujours un facteur commun avant de tenter une identité remarquable : 2x2−8=2(x2−4)=2(x−2)(x+2)2x^{2}-8 = 2\left(x^{2}-4\right) = 2(x-2)(x+2). Et surtout : une somme de deux carrés comme x2+9x^{2}+9 ne se factorise pas avec les nombres que tu connais en Seconde — ne force jamais une identité qui ne s'applique pas.

3Équations du premier degré

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Une équation du premier degré est celle où l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 11, jamais élevée au carré ni au dénominateur.

3.1  Vocabulaire

Définition

Une équation d'inconnue xx est une égalité contenant la lettre xx. Une solution (ou racine) est un nombre qui, mis à la place de xx, rend l'égalité vraie. Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble SS de toutes ses solutions.

Par exemple, 44 est solution de 2x+3=x+72x+3=x+7 car 2×4+3=112\times4+3=11 et 4+7=114+7=11 : les deux membres sont égaux. On dit que 44 vérifie l'équation.

3.2  Résoudre ax+b=cx+dax+b=cx+d

Propriété — principes d'équivalence

On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation si l'on effectue la même opération sur ses deux membres :

  • ajouter ou soustraire un même nombre (ou une même expression) ;
  • multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
Une équation, c'est une balance en équilibre 2x + 3 x + 7 x x 3 x 7
Figure 2 — L'équation 2x+3=x+72x+3=x+7 est une balance en équilibre : chaque membre a le même « poids ». Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser (par un nombre non nul) la même quantité de chaque côté préserve l'égalité.
Méthode — résoudre ax+b=cx+dax+b=cx+d

On regroupe les termes en xx d'un côté, les nombres de l'autre, en appliquant à chaque étape le même principe des deux côtés de la balance.

Exemple — résoudre 2x+3=x+72x+3=x+7
  1. 2x+3=x+72x+3=x+7
  2. ⇔\Leftrightarrow2x−x=7−32x-x=7-3on retranche xx et 33 aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrowx=4x=4

L'ensemble des solutions est S={4}S=\{4\}.

3.3  Équations avec parenthèses et fractions

Méthode

On développe d'abord chaque membre — et on multiplie toute l'équation par un dénominateur commun s'il y a des fractions — avant de regrouper les termes.

Exemple — résoudre 3(2x−1)−4=5(x+2)3(2x-1)-4=5(x+2)
  1. 3(2x−1)−4=5(x+2)3(2x-1)-4=5(x+2)
  2. ⇔\Leftrightarrow6x−3−4=5x+106x-3-4=5x+10on développe les deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrow6x−7=5x+106x-7=5x+10
  4. ⇔\Leftrightarrow6x−5x=10+76x-5x=10+7
  5. ⇔\Leftrightarrowx=17x=17

S={17}S=\{17\}.

Exemple — résoudre x2−1=x+13\dfrac{x}{2}-1=\dfrac{x+1}{3}
  1. x2−1=x+13\dfrac{x}{2}-1=\dfrac{x+1}{3}
  2. ⇔\Leftrightarrow6×(x2−1)=6×x+136\times\left(\dfrac{x}{2}-1\right)=6\times\dfrac{x+1}{3}on multiplie par 66, dénominateur commun de 22 et 33
  3. ⇔\Leftrightarrow3x−6=2(x+1)3x-6=2(x+1)
  4. ⇔\Leftrightarrow3x−6=2x+23x-6=2x+2
  5. ⇔\Leftrightarrowx=8x=8

S={8}S=\{8\}.

Attention

Quand on multiplie une équation par un nombre pour supprimer les fractions, ce nombre doit multiplier chaque terme des deux membres — y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur. Oublier un terme est une erreur classique.

Math & Co — Le mot « algèbre »

Vers 820, à Bagdad, le savant al-Khwârizmî écrit un traité intitulé Kitāb al-jabr wa'l-muqābala. Le mot « al-jabr », qui signifie « restauration », désigne l'opération consistant à faire passer un terme négatif d'un membre à l'autre pour le rendre positif — exactement ce que tu fais en écrivant 2x−x=7−32x-x=7-3 ! C'est de ce mot arabe que vient notre mot « algèbre ».

Son nom latinisé, Algoritmi, a lui aussi traversé les siècles : il est à l'origine du mot « algorithme ».

4Équations-produits et équations quotients

Certaines équations ne se résolvent pas en regroupant les termes : x2−5x+6=0x^{2}-5x+6=0 n'est pas du premier degré, et diviser par xx serait dangereux si xx pouvait valoir 00. La solution consiste à factoriser le premier membre pour se ramener à un produit nul.

4.1  Le principe du produit nul

Théorème — produit nul

Pour tous nombres AA et BB :

A×B=0  ⟺  A=0 ou B=0A\times B = 0 \iff A=0 \text{ ou } B=0

Démonstration

Sens direct. Supposons A×B=0A\times B=0. Si A=0A=0, la condition « A=0A=0 ou B=0B=0 » est vraie. Si A≠0A\neq0, on divise les deux membres par AA (non nul) :

  1. A×B=0A\times B=0
  2. ⇒\RightarrowB=0AB=\dfrac{0}{A}on divise par A≠0A\neq0
  3. ⇒\RightarrowB=0B=0

Dans tous les cas, A=0A=0 ou B=0B=0. Réciproquement, si A=0A=0 alors A×B=0×B=0A\times B=0\times B=0 quel que soit BB, et de même si B=0B=0. C.Q.F.D.

A(x) × B(x) = 0 ou A(x) = 0 B(x) = 0 x = x₁ x = x₂ S = { x₁ ; x₂ }
Figure 3 — Schéma de résolution d'une équation-produit : dès que A(x)×B(x)=0A(x)\times B(x)=0, on examine séparément chaque facteur, puis on réunit les solutions trouvées.

4.2  Résoudre une équation-produit

Méthode

On vérifie que l'équation est écrite sous la forme « produit =0=0 » — sinon on développe, on regroupe tout d'un côté, puis on factorise — avant d'appliquer le principe du produit nul à chaque facteur.

Exemple — résoudre (2x−5)(x+3)=0(2x-5)(x+3)=0
  1. (2x−5)(x+3)=0(2x-5)(x+3)=0
  2. ⇔\Leftrightarrow2x−5=02x-5=0 ou x+3=0x+3=0
  3. ⇔\Leftrightarrowx=52x=\dfrac{5}{2} ou x=−3x=-3

S={−3 ; 52}S=\left\{-3\,;\,\dfrac{5}{2}\right\}.

Exemple — factoriser avant de résoudre : (x−2)2−9=0(x-2)^{2}-9=0
  1. (x−2)2−9=0(x-2)^{2}-9=0
  2. ⇔\Leftrightarrow(x−2)2−32=0(x-2)^{2}-3^{2}=0
  3. ⇔\Leftrightarrow[(x−2)−3][(x−2)+3]=0\left[(x-2)-3\right]\left[(x-2)+3\right]=0identité a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) avec a=x−2a=x-2, b=3b=3
  4. ⇔\Leftrightarrow(x−5)(x+1)=0(x-5)(x+1)=0
  5. ⇔\Leftrightarrowx=5x=5 ou x=−1x=-1

S={−1 ; 5}S=\{-1\,;\,5\}.

Attention

Le principe du produit nul ne s'applique qu'à une équation de la forme A×B=0A\times B=0. Face à (x−1)(x+2)=6(x-1)(x+2)=6, il est faux d'écrire x−1=6x-1=6 ou x+2=6x+2=6 : il faut développer, tout ramener à 00, puis factoriser à nouveau.

4.3  Équations quotients

Théorème — quotient nul

Pour AA et BB deux expressions, avec BB non identiquement nul :

AB=0  ⟺  A=0 et B≠0\dfrac{A}{B}=0 \iff A=0 \text{ et } B\neq0

Exemple — résoudre 3x−6x+1=0\dfrac{3x-6}{x+1}=0

Condition d'existence : x+1≠0x+1\neq0, soit x≠−1x\neq-1.

  1. 3x−6x+1=0\dfrac{3x-6}{x+1}=0
  2. ⇔\Leftrightarrow3x−6=03x-6=0un quotient s'annule quand son numérateur s'annule
  3. ⇔\Leftrightarrowx=2x=2

2≠−12\neq-1 : la valeur est acceptable. S={2}S=\{2\}.

Attention — le piège classique

Résous x−4x−4=0\dfrac{x-4}{x-4}=0. Le numérateur s'annule seulement en x=4x=4 — mais cette valeur annule aussi le dénominateur : elle est interdite. Aucune valeur ne convient donc : S=∅S=\varnothing. Toujours vérifier la condition d'existence avant de conclure.

4.4  Équations du type x2=ax^{2}=a

Théorème

Soit aa un nombre. L'équation x2=ax^{2}=a d'inconnue xx admet :

  • si a>0a>0 : deux solutions, a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a} ;
  • si a=0a=0 : une seule solution, 00 ;
  • si a<0a<0 : aucune solution.
Démonstration (cas a>0a>0)
  1. x2=ax^{2}=a
  2. ⇔\Leftrightarrowx2−a=0x^{2}-a=0
  3. ⇔\Leftrightarrowx2−(a)2=0x^{2}-\left(\sqrt{a}\right)^{2}=0a=(a)2a=\left(\sqrt{a}\right)^{2} car a>0a>0
  4. ⇔\Leftrightarrow(x−a)(x+a)=0\left(x-\sqrt{a}\right)\left(x+\sqrt{a}\right)=0identité remarquable a2−b2a^{2}-b^{2}
  5. ⇔\Leftrightarrowx=ax=\sqrt{a} ou x=−ax=-\sqrt{a}

Si a=0a=0, x2=0x^{2}=0 équivaut à x×x=0x\times x=0, donc x=0x=0 (solution unique par le produit nul avec A=B=xA=B=x). Si a<0a<0, aucun carré n'est négatif : x2=ax^{2}=a n'a pas de solution.

Exemple — trois équations x2=ax^{2}=a
  1. x2=25⇔x=5x^{2}=25 \Leftrightarrow x=5 ou x=−5x=-525>025>0
  2. x2=7⇔x=7x^{2}=7 \Leftrightarrow x=\sqrt{7} ou x=−7x=-\sqrt{7}7≈2,646\sqrt{7}\approx2{,}646
  3. x2=−3x^{2}=-3 : aucune solution, S=∅S=\varnothingun carré n'est jamais négatif

5Conditions d'existence

Dès qu'une expression contient une lettre au dénominateur, certaines valeurs de cette lettre sont interdites : elles annuleraient le dénominateur, et une division par zéro n'a pas de sens. Repérer ces valeurs est un réflexe à prendre avant toute résolution.

5.1  Valeurs interdites

Définition

Une valeur interdite d'une expression littérale est une valeur de la lettre qui annule un dénominateur de cette expression. L'ensemble des valeurs autorisées s'appelle le domaine de définition (ou de validité).

Exemple — valeur interdite de 2x+1x−3\dfrac{2x+1}{x-3}

Le dénominateur s'annule quand x−3=0x-3=0, soit x=3x=3. La valeur 33 est donc interdite : l'expression est définie pour tout x≠3x\neq3.

5.2  Déterminer le domaine de validité

Méthode

On factorise le dénominateur si nécessaire, puis on résout « dénominateur =0=0 » avec le principe du produit nul : chaque solution trouvée est une valeur interdite.

Exemple — domaine de 2x+1x2−4\dfrac{2x+1}{x^{2}-4}
  1. x2−4=0x^{2}-4=0
  2. ⇔\Leftrightarrow(x−2)(x+2)=0(x-2)(x+2)=0identité remarquable
  3. ⇔\Leftrightarrowx=2x=2 ou x=−2x=-2

L'expression est définie pour tout x≠2x\neq2 et x≠−2x\neq-2.

5.3  Résoudre une équation quotient en respectant les conditions

Méthode — les trois étapes
  1. Déterminer la (ou les) valeur(s) interdite(s).
  2. Résoudre l'équation, souvent en multipliant les deux membres par le dénominateur (« produit en croix »).
  3. Vérifier que chaque solution trouvée respecte la condition d'existence ; l'écarter sinon.
Exemple — résoudre x+1x−3=2\dfrac{x+1}{x-3}=2

Condition : x≠3x\neq3.

  1. x+1x−3=2\dfrac{x+1}{x-3}=2
  2. ⇔\Leftrightarrowx+1=2(x−3)x+1=2(x-3)on multiplie les deux membres par x−3x-3
  3. ⇔\Leftrightarrowx+1=2x−6x+1=2x-6
  4. ⇔\Leftrightarrow1+6=2x−x1+6=2x-x
  5. ⇔\Leftrightarrowx=7x=7

7≠37\neq3 : la valeur est acceptable. S={7}S=\{7\}.

Attention — simplifier ne supprime pas la condition

L'équation x2−1x−1=x+1\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=x+1 semble toujours vraie, car x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1=x+1\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 pour x≠1x\neq1. Mais en x=1x=1, le membre de gauche n'existe pas : il faut écrire S=R∖{1}S=\mathbb{R}\setminus\{1\}, et non S=RS=\mathbb{R}.

6Mise en équation

Face à un problème énoncé en français, la difficulté n'est presque jamais de résoudre l'équation : c'est de la construire. La mise en équation traduit une situation concrète en langage mathématique.

6.1  La méthode

Méthode — mettre un problème en équation
  1. Choisir l'inconnue : nommer clairement ce qu'on cherche, avec son unité — par exemple « soit xx l'âge de… en années ».
  2. Traduire chaque phrase de l'énoncé par une expression ou une égalité en xx.
  3. Résoudre l'équation obtenue.
  4. Vérifier et conclure dans le contexte : rejeter les solutions non pertinentes (longueur négative, âge négatif…), répondre à la question posée avec l'unité.
Attention

Une solution mathématiquement correcte de l'équation peut être physiquement absurde dans le problème (longueur négative, âge négatif, nombre de personnes non entier…). Toujours revenir au contexte avant de conclure.

6.2  Exemple guidé — le jardin rectangulaire

Aïcha, à Dakar, veut clôturer un jardin rectangulaire dont la longueur mesure 55 mètres de plus que la largeur. Elle dispose de 4646 mètres de grillage, qu'elle veut utiliser entièrement pour faire le tour du jardin. Quelles sont les dimensions du jardin ?

Un jardin rectangulaire à Dakar (x + 5) m x m x(x + 5) m² clôture
Figure 4 — Le jardin d'Aïcha : largeur xx, longueur x+5x+5, entouré d'une clôture de 4646 m.
Résolution

1. Inconnue. Soit xx la largeur du jardin, en mètres (x>0x>0). La longueur vaut alors x+5x+5.

2. Traduction. Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur :

  1. 2[x+(x+5)]=462\left[x+(x+5)\right]=46

3. Résolution.

  1. 2(2x+5)=462(2x+5)=46
  2. ⇔\Leftrightarrow4x+10=464x+10=46
  3. ⇔\Leftrightarrow4x=364x=36
  4. ⇔\Leftrightarrowx=9x=9

4. Conclusion. 9>09>0 : la solution est acceptable. Le jardin d'Aïcha mesure 99 m de large sur x+5=14x+5=14 m de long ; son aire est 9×14=1269\times14=126 m².

6.3  Exemple guidé — un problème d'âges

Un père a aujourd'hui trois fois l'âge de son fils. Dans 1212 ans, il n'aura plus que le double de l'âge de son fils. Quel est l'âge actuel du fils ?

Résolution

1. Inconnue. Soit xx l'âge actuel du fils, en années (x>0x>0). Le père a aujourd'hui 3x3x ans.

2. Traduction. Dans 1212 ans, le fils aura x+12x+12 ans et le père 3x+123x+12 ans ; le père aura alors le double de l'âge du fils :

  1. 3x+12=2(x+12)3x+12=2(x+12)

3. Résolution.

  1. 3x+12=2x+243x+12=2x+24
  2. ⇔\Leftrightarrow3x−2x=24−123x-2x=24-12
  3. ⇔\Leftrightarrowx=12x=12

4. Conclusion. Le fils a aujourd'hui 1212 ans, et son père 3636 ans. Vérification : dans 1212 ans, le fils aura 2424 ans et le père 4848 ans, soit bien le double.

Math & Co — L'énigme de Diophante

Le mathématicien grec Diophante d'Alexandrie, vers 250250, est l'auteur des Arithmétiques, un recueil de problèmes menant à des équations — l'ancêtre direct de la mise en équation. La tradition lui attribue une épitaphe énigmatique gravée sur sa tombe, donnant son âge au décès sous forme de problème : sa jeunesse dura un sixième de sa vie, sa barbe poussa un douzième de plus, il se maria un septième plus tard, eut un fils cinq ans après, lequel mourut à la moitié de l'âge final de son père, qui lui survécut quatre ans. En posant xx l'âge de Diophante et en traduisant chaque phrase par une équation, on trouve x=84x=84 ans.

Fiche mémo

  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}  ·  (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}  ·  (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
  • Développer : distribuer chaque terme du premier facteur sur chaque terme du second.
  • Facteur commun : ka+kb=k(a+b)ka+kb=k(a+b) — le facteur commun peut être une expression entière.
  • Factoriser : chercher d'abord un facteur commun, puis reconnaître une identité remarquable (repère : « carré moins carré »).
  • Résoudre ax+b=cx+dax+b=cx+d : regrouper les xx d'un côté, les nombres de l'autre, en gardant l'équilibre des deux membres.
  • Produit nul : A×B=0  ⟺  A=0A\times B=0 \iff A=0 ou B=0B=0 — toujours ramener l'équation à cette forme d'abord.
  • Quotient nul : AB=0  ⟺  A=0\dfrac{A}{B}=0 \iff A=0 et B≠0B\neq0 — vérifier la condition avant de conclure.
  • Valeur interdite : toute valeur qui annule un dénominateur ; à exclure du domaine de définition.
  • x2=ax^{2}=a : deux solutions ±a\pm\sqrt{a} si a>0a>0 ; une solution 00 si a=0a=0 ; aucune solution si a<0a<0.
  • Mise en équation : choisir l'inconnue avec son unité, traduire, résoudre, vérifier dans le contexte et conclure.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Développe : a. (3x−2)(x+5)(3x-2)(x+5)   b. (x−6)(2x+1)(x-6)(2x+1).

Voir le corrigé détaillé
  1. (3x−2)(x+5)=3x2+15x−2x−10(3x-2)(x+5) = 3x^{2}+15x-2x-10
  2. ==3x2+13x−103x^{2}+13x-10
  1. (x−6)(2x+1)=2x2+x−12x−6(x-6)(2x+1) = 2x^{2}+x-12x-6
  2. ==2x2−11x−62x^{2}-11x-6
2

Développe à l'aide d'une identité remarquable : a. (x+9)2(x+9)^{2}   b. (4x−1)2(4x-1)^{2}.

Voir le corrigé détaillé
  1. (x+9)2=x2+2×x×9+92(x+9)^{2} = x^{2}+2\times x\times9+9^{2}
  2. ==x2+18x+81x^{2}+18x+81
  1. (4x−1)2=(4x)2−2×4x×1+12(4x-1)^{2} = (4x)^{2}-2\times4x\times1+1^{2}
  2. ==16x2−8x+116x^{2}-8x+1
3

Développe (7x−2)(7x+2)(7x-2)(7x+2).

Voir le corrigé détaillé
  1. (7x−2)(7x+2)=(7x)2−22(7x-2)(7x+2) = (7x)^{2}-2^{2}
  2. ==49x2−449x^{2}-4
4

Factorise en utilisant un facteur commun : a. 18x2−24x18x^{2}-24x   b. 5x(x+3)−2(x+3)5x(x+3)-2(x+3).

Voir le corrigé détaillé
  1. 18x2−24x=6x×3x−6x×418x^{2}-24x = 6x\times3x-6x\times4
  2. ==6x(3x−4)6x(3x-4)
  1. 5x(x+3)−2(x+3)=(x+3)(5x−2)5x(x+3)-2(x+3) = (x+3)(5x-2)(x+3)(x+3) est commun aux deux termes
5

Résous l'équation 5x−3=2x+95x-3=2x+9.

Voir le corrigé détaillé
  1. 5x−3=2x+95x-3=2x+9
  2. ⇔\Leftrightarrow5x−2x=9+35x-2x=9+3
  3. ⇔\Leftrightarrow3x=123x=12
  4. ⇔\Leftrightarrowx=4x=4

S={4}S=\{4\}.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Factorise en reconnaissant une identité remarquable : a. x2−64x^{2}-64   b. 9x2−30x+259x^{2}-30x+25.

Voir le corrigé détaillé
  1. x2−64=x2−82x^{2}-64 = x^{2}-8^{2}
  2. ==(x−8)(x+8)(x-8)(x+8)
  1. 9x2−30x+25=(3x)2−2×3x×5+529x^{2}-30x+25 = (3x)^{2}-2\times3x\times5+5^{2}
  2. ==(3x−5)2(3x-5)^{2}
7

Résous l'équation 4(x−3)+2=3(x+1)−54(x-3)+2=3(x+1)-5.

Voir le corrigé détaillé
  1. 4(x−3)+2=3(x+1)−54(x-3)+2=3(x+1)-5
  2. ⇔\Leftrightarrow4x−12+2=3x+3−54x-12+2=3x+3-5
  3. ⇔\Leftrightarrow4x−10=3x−24x-10=3x-2
  4. ⇔\Leftrightarrow4x−3x=−2+104x-3x=-2+10
  5. ⇔\Leftrightarrowx=8x=8

S={8}S=\{8\}.

8

Résous les équations-produits : a. (3x−1)(x+2)=0(3x-1)(x+2)=0   b. (x−5)(2x+8)=0(x-5)(2x+8)=0.

Voir le corrigé détaillé
  1. (3x−1)(x+2)=0⇔3x−1=0(3x-1)(x+2)=0 \Leftrightarrow 3x-1=0 ou x+2=0x+2=0
  2. ⇔\Leftrightarrowx=13x=\dfrac{1}{3} ou x=−2x=-2
  1. (x−5)(2x+8)=0⇔x−5=0(x-5)(2x+8)=0 \Leftrightarrow x-5=0 ou 2x+8=02x+8=0
  2. ⇔\Leftrightarrowx=5x=5 ou x=−4x=-4

a. S={−2 ; 13}S=\left\{-2\,;\,\dfrac{1}{3}\right\}. b. S={−4 ; 5}S=\{-4\,;\,5\}.

9

Résous : a. 5x2=805x^{2}=80   b. 3x2=543x^{2}=54.

Voir le corrigé détaillé
  1. 5x2=80⇔x2=165x^{2}=80 \Leftrightarrow x^{2}=16
  2. ⇔\Leftrightarrowx=4x=4 ou x=−4x=-4
  1. 3x2=54⇔x2=183x^{2}=54 \Leftrightarrow x^{2}=18
  2. ⇔\Leftrightarrowx=18x=\sqrt{18} ou x=−18x=-\sqrt{18}
  3. ⇔\Leftrightarrowx=32x=3\sqrt{2} ou x=−32x=-3\sqrt{2}18=9×2=32\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}
Niveau 3 — Défi
10

On considère l'équation (x−3)2=(2x+1)2(x-3)^{2}=(2x+1)^{2}.

  1. Ramène l'équation à la forme « produit =0=0 » à l'aide d'une identité remarquable.
  2. Résous l'équation obtenue.
  3. Vérifie une des deux solutions par substitution.
Voir le corrigé détaillé

1. On pose A=x−3A=x-3 et B=2x+1B=2x+1, et on ramène tout à 00.

  1. (x−3)2=(2x+1)2(x-3)^{2}=(2x+1)^{2}
  2. ⇔\Leftrightarrow(x−3)2−(2x+1)2=0(x-3)^{2}-(2x+1)^{2}=0
  3. ⇔\Leftrightarrow[(x−3)−(2x+1)][(x−3)+(2x+1)]=0\left[(x-3)-(2x+1)\right]\left[(x-3)+(2x+1)\right]=0identité A2−B2=(A−B)(A+B)A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)
  4. ⇔\Leftrightarrow(−x−4)(3x−2)=0(-x-4)(3x-2)=0

2. On applique le principe du produit nul.

  1. −x−4=0-x-4=0 ou 3x−2=03x-2=0
  2. ⇔\Leftrightarrowx=−4x=-4 ou x=23x=\dfrac{2}{3}

S={−4 ; 23}S=\left\{-4\,;\,\dfrac{2}{3}\right\}.

3. Pour x=−4x=-4 : (x−3)2=(−7)2=49(x-3)^{2}=(-7)^{2}=49 et (2x+1)2=(−7)2=49(2x+1)^{2}=(-7)^{2}=49. Les deux membres sont égaux : la solution est confirmée.

11

On considère l'équation 2x+1x−4=3\dfrac{2x+1}{x-4}=3.

  1. Détermine la condition d'existence.
  2. Résous l'équation.
  3. Conclus.
Voir le corrigé détaillé

1. Le dénominateur x−4x-4 ne doit pas s'annuler : x≠4x\neq4.

2.

  1. 2x+1x−4=3\dfrac{2x+1}{x-4}=3
  2. ⇔\Leftrightarrow2x+1=3(x−4)2x+1=3(x-4)on multiplie les deux membres par x−4x-4
  3. ⇔\Leftrightarrow2x+1=3x−122x+1=3x-12
  4. ⇔\Leftrightarrow1+12=3x−2x1+12=3x-2x
  5. ⇔\Leftrightarrowx=13x=13

3. 13≠413\neq4 : la valeur est acceptable. S={13}S=\{13\}.

12

On considère l'équation x2−9x+3=5\dfrac{x^{2}-9}{x+3}=5.

  1. Détermine la condition d'existence.
  2. Factorise le numérateur et simplifie l'expression.
  3. Résous l'équation et conclus.
Voir le corrigé détaillé

1. x+3≠0x+3\neq0, soit x≠−3x\neq-3.

2.

  1. x2−9=(x−3)(x+3)x^{2}-9=(x-3)(x+3)
  2. x2−9x+3=(x−3)(x+3)x+3=x−3\dfrac{x^{2}-9}{x+3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3valable car x≠−3x\neq-3

3.

  1. x−3=5x-3=5
  2. ⇔\Leftrightarrowx=8x=8

8≠−38\neq-3 : la valeur est acceptable. S={8}S=\{8\}.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le sac de riz d'Abidjan. Un commerçant d'Abidjan achète xx kilogrammes de riz à 450450 F CFA le kilogramme, puis revend la totalité à 600600 F CFA le kilogramme. Il réalise ainsi un bénéfice total de 13 50013\,500 F CFA.

  1. Écris une équation traduisant la situation.
  2. Détermine la quantité de riz achetée.
  3. Calcule le montant total de l'achat et celui de la vente.
Voir le corrigé détaillé

1. Le bénéfice est la différence entre la recette et la dépense :

  1. 600x−450x=13 500600x-450x=13\,500

2.

  1. 150x=13 500150x=13\,500
  2. ⇔\Leftrightarrowx=90x=90

90>090>0 : la solution convient. Le commerçant a acheté 90 kg de riz.

3. Achat : 450×90=40 500450\times90=40\,500 F CFA. Vente : 600×90=54 000600\times90=54\,000 F CFA. On vérifie 54 000−40 500=13 50054\,000-40\,500=13\,500 F CFA, conforme à l'énoncé.

14

Le terrain agrandi de N'Djaména. Un terrain carré de côté xx mètres, à N'Djaména, est agrandi de 33 mètres de chaque côté : son nouveau côté mesure donc x+3x+3 mètres. Cet agrandissement fait gagner 8787 m² d'aire.

  1. Écris une équation traduisant la situation.
  2. Détermine le côté initial du terrain.
Voir le corrigé détaillé

1. La nouvelle aire moins l'ancienne aire vaut 8787 :

  1. (x+3)2−x2=87(x+3)^{2}-x^{2}=87

2.

  1. x2+6x+9−x2=87x^{2}+6x+9-x^{2}=87on développe (x+3)2(x+3)^{2}
  2. ⇔\Leftrightarrow6x+9=876x+9=87
  3. ⇔\Leftrightarrow6x=786x=78
  4. ⇔\Leftrightarrowx=13x=13

13>013>0 : la solution convient. Le côté initial mesurait 13 m (le nouveau côté mesure 1616 m ; on vérifie 162−132=256−169=8716^{2}-13^{2}=256-169=87).

15

Le partage à Bamako. Trois amis de Bamako se partagent une somme de 45 00045\,000 F CFA. Le deuxième reçoit le double du premier, et le troisième reçoit 5 0005\,000 F CFA de plus que le premier.

  1. En notant xx la part du premier ami, écris une équation.
  2. Détermine la part de chacun.
Voir le corrigé détaillé

1. Le deuxième reçoit 2x2x, le troisième x+5 000x+5\,000, et la somme des trois parts vaut 45 00045\,000 :

  1. x+2x+(x+5 000)=45 000x+2x+(x+5\,000)=45\,000

2.

  1. 4x+5 000=45 0004x+5\,000=45\,000
  2. ⇔\Leftrightarrow4x=40 0004x=40\,000
  3. ⇔\Leftrightarrowx=10 000x=10\,000

Le premier reçoit 10 00010\,000 F CFA, le deuxième 2×10 000=20 0002\times10\,000=20\,000 F CFA, et le troisième 10 000+5 000=15 00010\,000+5\,000=15\,000 F CFA. Vérification : 10 000+20 000+15 000=45 00010\,000+20\,000+15\,000=45\,000 F CFA.

16

Le trajet d'Abéché. Un car relie Abéché à Am-Timan, distantes de 189189 km, en xx heures (x≠0x\neq0). Sa vitesse moyenne, en km/h, est donnée par 189x\dfrac{189}{x}. Sachant que cette vitesse moyenne vaut 6363 km/h, détermine la durée xx du trajet.

Voir le corrigé détaillé

Condition d'existence : x≠0x\neq0 (un temps de trajet ne peut pas être nul).

  1. 189x=63\dfrac{189}{x}=63
  2. ⇔\Leftrightarrow189=63x189=63xon multiplie les deux membres par x≠0x\neq0
  3. ⇔\Leftrightarrowx=3x=3

3≠03\neq0 : la valeur est acceptable, et 3>03>0 est cohérent avec un temps de trajet. Le car met 3 heures pour relier Abéché à Am-Timan.

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8 questions

Fonctions : généralités et lectures graphiques

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Pour tous nombres aa et bb :

Explication : En développant (a+b)(a+b)(a+b)(a+b), on obtient a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 : le double produit 2ab2ab est indispensable.

En écrivant 52=50+252 = 50+2, la valeur de 52252^2 est :

Explication : 522=(50+2)2=502+2×50×2+2252^2=(50+2)^2 = 50^2+2\times50\times2+2^2
=2 500+200+4= 2\,500+200+4
=2 704= 2\,704.

Pour tous nombres aa et bb :

Explication : En écrivant a−b=a+(−b)a-b=a+(-b) et en appliquant l'identité de (a+b)2(a+b)^2, on obtient a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2, car (−b)2=b2(-b)^2=b^2.

Le développement de (3x−4)2(3x-4)^2 est :

Explication : (3x−4)2=(3x)2−2×3x×4+42(3x-4)^2 = (3x)^2 - 2\times3x\times4 + 4^2
=9x2−24x+16= 9x^2 - 24x + 16.

En écrivant 97×103=(100−3)(100+3)97\times103=(100-3)(100+3), on obtient :

Explication : (100−3)(100+3)=1002−32(100-3)(100+3)=100^2-3^2
=10 000−9= 10\,000-9
=9 991= 9\,991.

La factorisation de 20x2−12x20x^2-12x par mise en évidence du facteur commun est :

Explication : 20x2−12x=4x×5x−4x×3=4x(5x−3)20x^2-12x = 4x\times5x - 4x\times3 = 4x(5x-3). Le facteur commun 4x4x est le plus grand possible.

Après factorisation, B=(x−1)(2x+3)+(x−1)(x−5)B=(x-1)(2x+3)+(x-1)(x-5) s'écrit :

Explication : (x−1)(x-1) est le facteur commun aux deux termes : B=(x−1)[(2x+3)+(x−5)]=(x−1)(3x−2)B=(x-1)\left[(2x+3)+(x-5)\right] = (x-1)(3x-2).

La factorisation de x2−16x^2-16 est :

Explication : x2−16=x2−42=(x−4)(x+4)x^2-16 = x^2-4^2 = (x-4)(x+4), en reconnaissant l'identité a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b).

Parmi les expressions suivantes, laquelle ne peut PAS être factorisée à l'aide des identités remarquables étudiées en Seconde ?

Explication : x2+16x^2+16 est une somme de deux carrés : elle ne se factorise pas avec les nombres connus en Seconde. Les trois autres sont respectivement une différence de carrés et deux carrés parfaits.

La solution de l'équation 3x+5=x+133x+5=x+13 est :

Explication : 3x−x=13−53x-x=13-5
2x=82x=8
x=4x=4.

La solution de 2(3x−1)−5=4(x+1)2(3x-1)-5=4(x+1) est :

Explication : On développe : 6x−2−5=4x+46x-2-5=4x+4
6x−7=4x+46x-7=4x+4
2x=112x=11
x=5,5x=5{,}5.

La solution de x3−1=x+24\dfrac{x}{3}-1=\dfrac{x+2}{4} est :

Explication : On multiplie par 1212 (dénominateur commun de 3 et 4) : 4x−12=3(x+2)4x-12=3(x+2)
4x−12=3x+64x-12=3x+6
x=18x=18.

Pour tous nombres AA et BB :

Explication : C'est le principe du produit nul : un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, au moins l'un des deux facteurs est nul.

L'ensemble des solutions de (3x−2)(x+5)=0(3x-2)(x+5)=0 est :

Explication : 3x−2=0⇔x=233x-2=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3} ; x+5=0⇔x=−5x+5=0 \Leftrightarrow x=-5. Par le produit nul, S={23 ; −5}S=\left\{\dfrac{2}{3}\,;\,-5\right\}.

Face à l'équation (x−2)(x+3)=6(x-2)(x+3)=6, la bonne méthode est :

Explication : Le principe du produit nul ne s'applique qu'à une équation de la forme A×B=0A\times B=0. Comme le membre de droite vaut 66 et non 00, il faut développer, tout regrouper d'un côté, refactoriser, puis appliquer le produit nul.

Pour AB=0\dfrac{A}{B}=0 (avec BB non identiquement nul), on a :

Explication : Un quotient est nul exactement quand son numérateur est nul, à condition que le dénominateur ne soit pas nul lui-même (sinon le quotient n'existe pas).

L'ensemble des solutions de x−5x−5=0\dfrac{x-5}{x-5}=0 est :

Explication : Le numérateur ne s'annule qu'en x=5x=5, mais cette valeur annule aussi le dénominateur : elle est interdite. Aucune valeur ne convient, donc S=∅S=\varnothing. Vérifie toujours la condition d'existence avant de conclure.

L'équation x2=ax^2=a (inconnue xx) admet :

Explication : Un carré n'est jamais négatif : si a<0a<0, aucune solution ; si a=0a=0, une seule solution 00 ; si a>0a>0, deux solutions opposées a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a}.

La valeur interdite de l'expression 3x−1x+5\dfrac{3x-1}{x+5} est :

Explication : Le dénominateur s'annule quand x+5=0x+5=0, soit x=−5x=-5 : c'est la seule valeur interdite de cette expression.

Résous x+2x−4=6x−4\dfrac{x+2}{x-4}=\dfrac{6}{x-4} (avec x≠4x\neq4). L'ensemble des solutions est :

Explication : Les deux membres ont le même dénominateur x−4x-4 (non nul) : l'égalité équivaut à celle des numérateurs, x+2=6x+2=6, soit x=4x=4. Mais x=4x=4 est justement la valeur interdite : aucune solution ne convient, S=∅S=\varnothing.
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