Aller au contenu
Skill NovaCours en ligne

Calcul numérique : puissances, radicaux et fractions

Consolider le calcul exact avant d'aborder l'algèbre du lycée.

Mathématiques Seconde Chapitre 2 / 15 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Simplifier une expression numérique exacte
  • Rationaliser un dénominateur
  • Contrôler un résultat par ordre de grandeur

Additionner, multiplier, comparer : tu sais déjà le faire depuis longtemps. Mais avant d'attaquer l'algèbre du lycée — les équations, les fonctions, la trigonométrie — il faut consolider un socle : savoir manipuler sans erreur et sans calculatrice les puissances, les racines carrées et les fractions, et savoir écrire un résultat sous sa forme la plus simple et exacte. C'est l'objet de ce chapitre.

Ces outils ne sont pas seulement scolaires. Un ingénieur qui dimensionne un pont, un pharmacien qui calcule une concentration, un astronome qui compare la taille d'un virus à celle du Système solaire : tous manipulent des puissances de dix. Un artisan qui calcule la diagonale d'un plan de travail carré retrouve 2\sqrt{2}. Ce chapitre te donne les automatismes qui rendront tous tes calculs futurs plus rapides et plus sûrs.

Ce qui change par rapport au collège : les règles sur les puissances, que tu utilisais parfois sans les nommer, sont maintenant démontrées et généralisées aux exposants négatifs ; la notation scientifique devient un outil de calcul à part entière ; et surtout, tu apprends à rationaliser un dénominateur — y compris lorsqu'il contient une somme, grâce à la quantité conjuguée. Cette rigueur d'écriture, exigée dès la Seconde, te servira dans toutes les matières scientifiques.

1Règles sur les puissances

Une puissance est une écriture abrégée d'une multiplication répétée. Formaliser ses règles de calcul — et surtout les comprendre — t'évitera les erreurs de signe et de facteur qui coûtent le plus de points en contrôle.

1.1  Puissance d'exposant entier naturel

Définition

Soit aa un nombre et nn un entier naturel non nul. La puissance nn-ième de aa, notée ana^{n}, est le produit de nn facteurs égaux à aa :

an=a×a×⋯×a⏟n facteursa^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}

On pose de plus a1=aa^{1} = a et, pour a≠0a \neq 0, a0=1a^{0} = 1.

Le nombre aa s'appelle la base, le nombre nn l'exposant. Attention à ne pas confondre ana^{n} (une puissance) avec n×an \times a (un produit) : 23=82^{3} = 8 alors que 3×2=63 \times 2 = 6.

1.2  Exposant nul et exposants négatifs

Définition — exposant négatif

Soit aa un nombre non nul et nn un entier naturel non nul. On pose :

a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}

Un exposant négatif ne rend donc pas le résultat négatif : il indique qu'on passe à l'inverse de la puissance correspondante.

Attention

L'écriture 0n0^{n} avec nn entier négatif n'a aucun sens : elle demanderait de diviser par 00. Quant à 000^{0}, il n'est pas défini au lycée. Retiens : la base d'une puissance d'exposant négatif ou nul doit toujours être non nulle.

Exemple — calculer une puissance d'exposant négatif ou nul
  1. 2−3=1232^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}}définition
  2. ==18\dfrac{1}{8}
  3. 50=15^{0} = 1
  4. 0,1−2=10,12=10,010{,}1^{-2} = \dfrac{1}{0{,}1^{2}} = \dfrac{1}{0{,}01}
  5. ==100100

1.3  Les règles opératoires

Propriété

Pour tous nombres aa, bb non nuls et tous entiers relatifs mm, nn :

  • am×an=am+na^{m}\times a^{n}=a^{m+n}
  • aman=am−n\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
  • (am)n=am×n\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n}
  • (a×b)n=an×bn(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}
  • (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}
Démonstration — de la première règle

Soient mm et nn deux entiers naturels non nuls. Par définition, ama^{m} est un produit de mm facteurs égaux à aa, et ana^{n} un produit de nn facteurs égaux à aa.

  1. am×an=a×⋯×a⏟m facteurs×a×⋯×a⏟n facteursa^{m}\times a^{n} = \underbrace{a\times\cdots\times a}_{m \text{ facteurs}} \times \underbrace{a\times\cdots\times a}_{n \text{ facteurs}}
  2. ==a×⋯×a⏟m+n facteurs\underbrace{a\times\cdots\times a}_{m+n \text{ facteurs}}on regroupe tous les facteurs, il n'y a plus de parenthèses à respecter
  3. ==am+na^{m+n}

La règle se prolonge ensuite à tous les entiers relatifs mm et nn grâce à la définition a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} (on admet ce prolongement en Seconde).

Exemple — simplifier avec les règles opératoires

Simplifier A=57×5−253A = \dfrac{5^{7} \times 5^{-2}}{5^{3}}.

  1. A=57+(−2)53A = \dfrac{5^{7+(-2)}}{5^{3}}on additionne les exposants au numérateur
  2. ==5553\dfrac{5^{5}}{5^{3}}
  3. ==55−35^{5-3}quotient de puissances de même base
  4. ==52=255^{2} = 25

Simplifier B=(23)2×2−4B = \left(2^{3}\right)^{2} \times 2^{-4}.

  1. B=23×2×2−4B = 2^{3\times2} \times 2^{-4}puissance de puissance
  2. ==26×2−42^{6} \times 2^{-4}
  3. ==26+(−4)2^{6+(-4)}
  4. ==22=42^{2} = 4
Attention

Le signe « moins » n'est pas concerné par l'exposant s'il n'est pas entre parenthèses : −24=−(24)=−16-2^{4} = -\left(2^{4}\right) = -16, alors que (−2)4=16(-2)^{4} = 16. De même, (a+b)n(a+b)^{n} n'est presque jamais égal à an+bna^{n}+b^{n} : vérifie-le avec a=b=1a=b=1 et n=2n=2 — (1+1)2=4(1+1)^{2}=4 alors que 12+12=21^{2}+1^{2}=2.

Math & Co — Une notation venue de loin

L'idée d'écrire une puissance grâce à un petit nombre placé en haut à droite n'est pas allée de soi. Dès 1484, dans son Triparty en la science des nombres, le Français Nicolas Chuquet désigne déjà les puissances par une écriture abrégée — et il ose utiliser des exposants nuls et même négatifs, un siècle et demi avant tout le monde !

Il faut attendre René Descartes, en 1637, dans La Géométrie, pour que la notation moderne a2a^{2}, a3a^{3}, a4a^{4}… s'impose durablement en Europe. Descartes n'utilisait cependant pas encore l'exposant négatif : c'est l'Anglais John Wallis qui généralise les écritures a−na^{-n} et a0a^{0} en 1656, dans son Arithmetica Infinitorum.

2Notation scientifique

Les sciences manipulent des nombres extrêmement grands (distance Terre-Soleil, nombre d'étoiles d'une galaxie) ou extrêmement petits (taille d'un virus, d'un atome). Les écrire avec toutes leurs décimales serait illisible et source d'erreurs. La notation scientifique règle ce problème en isolant, dans une puissance de dix, l'information sur l'ordre de grandeur du nombre.

2.1  Écriture scientifique d'un nombre

Définition

Tout nombre décimal xx non nul s'écrit de manière unique sous la forme :

x=a×10nx = a \times 10^{n}

où nn est un entier relatif et aa un nombre décimal tel que 1⩽∣a∣<101 \leqslant |a| < 10. Cette écriture s'appelle la notation scientifique de xx.

Méthode — écrire un nombre en notation scientifique

On déplace la virgule jusqu'à obtenir un seul chiffre non nul avant elle. L'exposant nn compte le nombre de rangs parcourus par la virgule : il est positif si elle recule vers la gauche (grand nombre), négatif si elle avance vers la droite (petit nombre).

Exemple — grands et petits nombres
  1. 45 800 000=4,58×10 000 00045\,800\,000 = 4{,}58 \times 10\,000\,000
  2. ==4,58×1074{,}58 \times 10^{7}la virgule recule de 7 rangs
  3. 0,000 031 2=3,12×10−50{,}000\,031\,2 = 3{,}12 \times 10^{-5}la virgule avance de 5 rangs
Exemple — calculer en notation scientifique

Calculer C=(2×103)×(5×10−6)4×10−2C = \dfrac{\left(2\times10^{3}\right)\times\left(5\times10^{-6}\right)}{4\times10^{-2}} (les règles de la section 1 s'appliquent aux exposants).

  1. C=2×54×103+(−6)−(−2)C = \dfrac{2\times5}{4}\times10^{3+(-6)-(-2)}on regroupe les nombres, puis les puissances de dix
  2. ==104×10−1\dfrac{10}{4}\times10^{-1}
  3. ==2,5×10−12{,}5\times10^{-1}
Attention

45×10645\times10^{6} n'est pas une écriture scientifique : 4545 n'est pas compris entre 11 et 1010. Il faut corriger : 45×106=4,5×10745\times10^{6} = 4{,}5\times10^{7}. Vérifie aussi le signe de l'exposant : un nombre inférieur à 11 a toujours un exposant négatif.

2.2  Ordre de grandeur et contrôle d'un résultat

Définition

L'ordre de grandeur d'un nombre x>0x>0 est la puissance de 1010 la plus proche de xx. En notation scientifique x=a×10nx=a\times10^{n}, c'est 10n10^{n} si a<10≈3,16a<\sqrt{10}\approx3{,}16, et 10n+110^{n+1} sinon.

Méthode — contrôler un résultat

Avant tout calcul précis, estime un ordre de grandeur du résultat attendu. Si le résultat trouvé s'en écarte franchement, c'est le signal d'une erreur (virgule mal placée, signe d'exposant oublié…) : recommence le calcul.

Exemple — durée de trajet de la lumière

La distance Terre-Lune vaut environ d=3,84×105 kmd=3{,}84\times10^{5}\ \text{km}, et la lumière parcourt environ v=3×105 km/sv=3\times10^{5}\ \text{km/s}. Quel est l'ordre de grandeur de la durée du trajet ?

  1. t=dv=3,84×1053×105t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{3{,}84\times10^{5}}{3\times10^{5}}
  2. ==3,843×105−5\dfrac{3{,}84}{3}\times10^{5-5}
  3. ==1,28×100≈1,3 s1{,}28\times10^{0} \approx 1{,}3\ \text{s}

Ordre de grandeur : 11 seconde — cohérent avec la valeur réellement mesurée (1,31{,}3 s environ).

De l'infiniment petit à l'infiniment grand — l'échelle des puissances de 10 Virus≈ 10⁻⁷ m Cheveu≈ 10⁻⁴ m Fourmi≈ 10⁻² m Être humain≈ 10⁰ m Terrain de foot≈ 10² m Diamètre de la Terre≈ 10⁷ m Distance Terre–Soleil≈ 10¹¹ m Système solaire≈ 10¹³ m
Figure 1 — Sur l'échelle des puissances de 10, chaque graduation multiplie (ou divise) la précédente par dix : vingt ordres de grandeur séparent le virus du Système solaire.
Math & Co — L'Arénaire, ou compter les grains de sable de l'Univers

Vers -216, le savant grec Archimède de Syracuse rédige L'Arénaire (Psammitès), un texte adressé au roi Gélon dans lequel il se propose de calculer combien de grains de sable seraient nécessaires pour remplir la sphère des étoiles fixes — l'Univers connu de son temps.

Le système grec de numération, fondé sur la myriade (10 00010\,000), ne permettait pas de nommer des nombres aussi gigantesques. Archimède invente donc un procédé pour construire des nombres arbitrairement grands, ancêtre lointain de nos puissances de dix, et aboutit à une estimation de l'ordre de 106310^{63} grains de sable. C'est l'un des tout premiers textes de l'histoire à raisonner explicitement sur des ordres de grandeur.

3Racines carrées et simplification

La racine carrée est l'opération inverse du carré : élever au carré fait passer de 33 à 99, la racine carrée ramène de 99 à 33. Ce petit symbole x\sqrt{\phantom{x}} introduit surtout des nombres d'un genre nouveau — les irrationnels, que tu ne pourras jamais écrire comme une fraction ni comme un décimal exact.

3.1  Définition de la racine carrée

Définition

Soit aa un nombre positif ou nul. La racine carrée de aa, notée a\sqrt{a}, est l'unique nombre positif ou nul dont le carré vaut aa :

a=b  ⟺  {b⩾0 et b2=a}\sqrt{a} = b \iff \left\{ b \geqslant 0 \ \text{et}\ b^{2} = a \right\}

Attention

Si aa est strictement négatif, a\sqrt{a} n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels R\mathbb{R} : le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, donc aucun nombre réel n'a un carré égal à −4-4. (Tu apprendras plus tard, en Terminale, qu'un ensemble de nombres encore plus vaste redonne un sens à −4\sqrt{-4} — mais ce n'est pas notre affaire ici.)

Exemple — racines qui tombent juste
  1. 225=15\sqrt{225} = 15car 152=22515^{2}=225 et 15⩾015\geqslant0
  2. 0,04=0,2\sqrt{0{,}04} = 0{,}2car 0,22=0,040{,}2^{2}=0{,}04
  3. 1625=45\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}car (45)2=1625\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=\dfrac{16}{25}
  4. 1 000 000=1 000\sqrt{1\,000\,000} = 1\,000
Pourquoi (√2)² = 2 : un carré tourné de 45° 11 2 √2 Grand carré : 2 × 2 = 4 4 triangles retirés : 4 × (1 × 1 ÷ 2) = 2 Carré violet : 4 − 2 = 2 donc son côté vaut √2
Figure 2 — Un carré 2×22\times2 (aire 44) privé de ses quatre coins triangulaires (aire totale 22) laisse un carré tourné de 45°45° d'aire exactement 22 : son côté mesure donc 2\sqrt{2}.

3.2  Racine d'un produit, d'un quotient

Propriété

Pour tous nombres a⩾0a \geqslant 0 et b⩾0b \geqslant 0 (avec b≠0b\neq0 pour le quotient) :

a×b=a×bab=ab\sqrt{a\times b} = \sqrt{a}\times\sqrt{b} \qquad\qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Démonstration — de la première formule

Les deux membres sont positifs ou nuls ; par unicité de la racine carrée, il suffit de vérifier que le carré de a×b\sqrt{a}\times\sqrt{b} vaut bien a×ba\times b.

  1. (a×b)2=(a)2×(b)2\left(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\right)^{2} = \left(\sqrt{a}\right)^{2}\times\left(\sqrt{b}\right)^{2}règle (xy)2=x2y2(xy)^2=x^2y^2
  2. ==a×ba \times b

a×b\sqrt{a}\times\sqrt{b} est donc le nombre positif dont le carré vaut a×ba\times b : c'est exactement la définition de a×b\sqrt{a\times b}. La démonstration pour le quotient est identique.

Attention

Il n'existe aucune formule pour a+b\sqrt{a+b} : la racine carrée ne se distribue que sur un produit ou un quotient, jamais sur une somme. Par exemple 9+16=25=5\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, alors que 9+16=3+4=7\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.

3.3  Simplifier une racine carrée

Méthode — simplifier N\sqrt{N}

On cherche le plus grand carré parfait qui divise NN, on écrit N=k2×mN = k^{2}\times m, puis on applique k2×m=km\sqrt{k^{2}\times m} = k\sqrt{m}.

Exemple — simplifier 72\sqrt{72}
  1. 72=36×272 = 36 \times 236=6236=6^{2} est le plus grand carré parfait qui divise 72
  2. 72=36×2\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}
  3. ==36×2\sqrt{36}\times\sqrt{2}
  4. ==626\sqrt{2}
Exemple — réduire une somme de radicaux

Réduire D=318−50+28D = 3\sqrt{18} - \sqrt{50} + 2\sqrt{8} (on ne peut additionner que des radicaux de même radicande).

  1. 18=9×2=32\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}donc 318=923\sqrt{18}=9\sqrt{2}
  2. 50=25×2=52\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}
  3. 8=4×2=22\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}donc 28=422\sqrt{8}=4\sqrt{2}
  4. D=92−52+42D = 9\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}
  5. ==(9−5+4)2(9-5+4)\sqrt{2}
  6. ==828\sqrt{2}
La spirale de Théodore : construire √2, √3, √4… de proche en proche O 1 √2 2 3 4 √17 Chaque nouveau triangle rectangle a un côté de longueur 1 et un angle droit à son sommet extérieur
Figure 3 — La spirale de Théodore : en accolant à chaque étape un triangle rectangle de côté 11, on obtient successivement des segments OPnO P_{n} de longueur exactement n\sqrt{n}.
Math & Co — Théodore de Cyrène et la limite de √17

Vers -400, le mathématicien grec Théodore de Cyrène démontre — d'après le témoignage de son élève Platon dans le dialogue Théétète — que 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5}, 6\sqrt{6}, … 17\sqrt{17} sont tous des nombres irrationnels, sans qu'aucune fraction ne leur soit égale. Curieusement, le texte dit qu'il « s'arrêta là », à 17\sqrt{17}, sans que la raison en soit connue avec certitude.

La spirale ci-dessus, souvent appelée roue de Théodore, est une reconstitution moderne popularisée au XXe siècle : géométriquement, ajouter un triangle de plus après 17\sqrt{17} fait chevaucher le premier triangle de la spirale, ce qui explique peut-être pourquoi Théodore s'est arrêté précisément là.

3.4  Comparer des nombres réels

Propriété

Pour tous nombres a⩾0a \geqslant 0 et b⩾0b \geqslant 0 : a<b  ⟺  a<b\quad a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}. La racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs.

Méthode — comparer deux réels positifs

On peut comparer deux nombres positifs en comparant leurs carrés : c'est souvent plus simple lorsque des radicaux sont en jeu. Cette technique est fausse si l'un des nombres est négatif !

Exemple — comparer 232\sqrt{3} et 323\sqrt{2}

Les deux nombres sont positifs : on compare leurs carrés.

  1. (23)2=4×3=12\left(2\sqrt{3}\right)^{2} = 4\times3 = 12
  2. (32)2=9×2=18\left(3\sqrt{2}\right)^{2} = 9\times2 = 18
  3. 12<1812 < 18
  4. ⇒\Rightarrow23<322\sqrt{3} < 3\sqrt{2}les deux nombres comparés sont positifs
Méthode — encadrer N\sqrt{N} entre deux entiers

On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent NN ; la propriété ci-dessus transmet l'encadrement aux racines.

Exemple — encadrer 60\sqrt{60}
  1. 49<60<6449 < 60 < 64
  2. ⇒\Rightarrow49<60<64\sqrt{49} < \sqrt{60} < \sqrt{64}
  3. ⇒\Rightarrow7<60<87 < \sqrt{60} < 8
Placer √2, √3, √5, √7 et √10 sur une droite graduée 0 1 2 3 4 √2 √3 √5 √7 √10
Figure 4 — Chaque racine carrée occupe une position précise et calculable sur la droite graduée, entre deux entiers consécutifs.

4Rationalisation

Par convention, un résultat exact ne doit jamais laisser de radical au dénominateur : on dit qu'il faut rendre le dénominateur rationnel. Cette règle facilite la comparaison de deux résultats et évite toute ambiguïté de calcul — c'est l'écriture attendue dans tout devoir de mathématiques.

4.1  Dénominateur avec un seul radical

Méthode — un seul radical au dénominateur

On multiplie le numérateur et le dénominateur par ce radical : comme b×b=b\sqrt{b}\times\sqrt{b}=b, le radical disparaît du dénominateur.

Exemple — rationaliser 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} et 527\dfrac{5}{2\sqrt{7}}
  1. 13=1×33×3\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}
  2. ==33\dfrac{\sqrt{3}}{3}
  3. 527=5×727×7\dfrac{5}{2\sqrt{7}} = \dfrac{5\times\sqrt{7}}{2\sqrt{7}\times\sqrt{7}}on multiplie haut et bas par 7\sqrt7
  4. ==572×7\dfrac{5\sqrt{7}}{2\times7}
  5. ==5714\dfrac{5\sqrt{7}}{14}

4.2  Dénominateur avec une somme : la quantité conjuguée

Définition — quantité conjuguée

La quantité conjuguée de a−ba-\sqrt{b} est a+ba+\sqrt{b} (et réciproquement). Grâce à l'identité remarquable (x−y)(x+y)=x2−y2(x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}, leur produit ne contient plus de radical :

(a−b)(a+b)=a2−b(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^{2}-b

Démonstration
  1. (a−b)(a+b)=a2+ab−ab−(b)2(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^{2} + a\sqrt{b} - a\sqrt{b} - \left(\sqrt{b}\right)^{2}
  2. ==a2−ba^{2} - bles termes croisés s'annulent, et (b)2=b\left(\sqrt{b}\right)^{2}=b
Méthode — dénominateur en somme ou différence de radicaux

On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur, ce qui fait apparaître l'identité ci-dessus et élimine tous les radicaux du bas.

Exemple — écrire F=15−2F=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2} sans radical au dénominateur

La quantité conjuguée de 5−2\sqrt5-2 est 5+2\sqrt5+2.

  1. F=1×(5+2)(5−2)(5+2)F = \dfrac{1\times\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}
  2. (5−2)(5+2)=(5)2−22\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right) = \left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}
  3. ==5−4=15-4 = 1
  4. ⇒\RightarrowF=5+2F = \sqrt{5}+2

Vérification : 5≈2,236\sqrt5\approx2{,}236, donc F≈4,236F\approx4{,}236 ; et 12,236−2≈4,24\dfrac{1}{2{,}236-2}\approx4{,}24. Cohérent.

Exemple — rationaliser G=37+2G=\dfrac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}
  1. G=3(7−2)(7+2)(7−2)G = \dfrac{3\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)}
  2. (7+2)(7−2)=7−2=5\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right) = 7-2 = 5
  3. ⇒\RightarrowG=37−325G = \dfrac{3\sqrt{7}-3\sqrt{2}}{5}
Attention

Trois pièges fréquents : oublier de multiplier le numérateur (et pas seulement le dénominateur) ; se tromper de conjugué — le conjugué de 5−2\sqrt5-2 est 5+2\sqrt5+2, pas −5−2-\sqrt5-2 ; et ne pas simplifier la fraction obtenue quand c'est possible.

5Calcul fractionnaire

Les fractions accompagneront toute ta scolarité scientifique : coefficients d'une fonction affine, probabilités, concentrations molaires… Un rappel rigoureux des quatre opérations s'impose, car une erreur de fraction en Seconde se répercute sur des chapitres entiers d'algèbre.

5.1  Addition et soustraction

Méthode — additionner ou soustraire des fractions

On réduit les fractions au même dénominateur (un multiple commun aux deux dénominateurs, si possible le plus petit), puis on additionne ou soustrait les numérateurs en gardant ce dénominateur commun.

Exemple — dénominateur commun
  1. 23+56=46+56\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}66 est multiple de 33 et de 66
  2. ==96=32\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}
  3. 14−310=520−620\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{20}-\dfrac{6}{20}2020 est le plus petit multiple commun à 44 et 1010
  4. ==−120-\dfrac{1}{20}

5.2  Multiplication, division, simplification

Propriété

Pour bb, cc, dd non nuls :

ab×cd=a×cb×dab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times c}{b\times d} \qquad\qquad \dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}

Exemple — multiplier, diviser, simplifier
  1. 149×37=14×39×7\dfrac{14}{9}\times\dfrac{3}{7} = \dfrac{14\times3}{9\times7}
  2. ==4263\dfrac{42}{63}
  3. ==23\dfrac{2}{3}on divise haut et bas par leur PGCD, 2121
  4. 25÷415=25×154\dfrac{2}{5}\div\dfrac{4}{15} = \dfrac{2}{5}\times\dfrac{15}{4}diviser, c'est multiplier par l'inverse
  5. ==3020=32\dfrac{30}{20} = \dfrac{3}{2}
Attention

On ne simplifie une fraction qu'en divisant le numérateur et le dénominateur en entier par un même facteur. a+2b+2\dfrac{a+2}{b+2} n'est pas égal à ab\dfrac{a}{b} : le 22 n'est pas un facteur commun, c'est un terme ajouté. Seule une expression entièrement factorisée peut être simplifiée.

6Priorités et rigueur d'écriture

Un calcul juste dépend autant de la méthode que de l'ordre dans lequel on effectue les opérations. Cette dernière section rassemble les règles de priorité et les réflexes de vérification qui garantissent un résultat exact — et sans lesquels tout le reste de ce chapitre resterait fragile.

6.1  Les priorités opératoires

Propriété — ordre des priorités
  1. Ce qui est entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
  2. les puissances et les racines carrées ;
  3. les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
  4. les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple — calcul mixte, synthèse du chapitre

Calculer H=23−163+(2)2×5−1H = \dfrac{2^{3}-\sqrt{16}}{3} + \left(\sqrt{2}\right)^{2}\times5^{-1}.

  1. 23=82^{3}=8 et 16=4\sqrt{16}=4on calcule d'abord puissance et racine
  2. H=8−43+(2)2×5−1H = \dfrac{8-4}{3} + \left(\sqrt{2}\right)^{2}\times5^{-1}
  3. ==43+2×15\dfrac{4}{3} + 2\times\dfrac{1}{5}(2)2=2\left(\sqrt2\right)^2=2 et 5−1=155^{-1}=\frac{1}{5}
  4. ==43+25\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{5}
  5. ==2015+615\dfrac{20}{15}+\dfrac{6}{15}dénominateur commun 1515
  6. ==2615\dfrac{26}{15}

6.2  Rigueur d'écriture et vérification

Dans un calcul rédigé, chaque ligne du bloc de calcul doit contenir une seule transformation, justifiée si besoin. Les parenthèses sont obligatoires dès qu'un nombre négatif est substitué dans une expression, et lors de toute soustraction d'une somme.

Attention

Distribuer un signe « moins » devant une parenthèse change le signe de chaque terme : −(3−5)=−3+5=2-(3-5) = -3+5 = 2, et surtout pas −3−5-3-5. C'est l'erreur la plus fréquente dans les calculs avec parenthèses.

Méthode — dernière vérification

Avant de conclure, relis ton résultat et compare-le à un ordre de grandeur estimé mentalement (section 2) : c'est le meilleur filet de sécurité contre une erreur de signe, de parenthèse ou de calculatrice.

Fiche mémo

  • am×an=am+na^{m}\times a^{n}=a^{m+n} ; aman=am−n\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} ; (am)n=amn\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn} ; a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} ; a0=1a^{0}=1 (a≠0a\neq0).
  • Notation scientifique : x=a×10nx=a\times10^{n} avec 1⩽∣a∣<101\leqslant|a|<10. Ordre de grandeur = puissance de 1010 la plus proche.
  • a\sqrt{a} existe seulement si a⩾0a\geqslant0, et a⩾0\sqrt{a}\geqslant0 toujours ; (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a ; a2=∣a∣\sqrt{a^{2}}=|a|.
  • a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b} et ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. Aucune formule pour a+b\sqrt{a+b}.
  • Simplifier : sortir le plus grand carré parfait, 72=62\sqrt{72}=6\sqrt{2}. Réduire : additionner seulement des radicaux de même radicande.
  • Comparer deux réels positifs : comparer leurs carrés.
  • Rationaliser un radical seul : multiplier haut et bas par ce radical, 13=33\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}.
  • Rationaliser une somme : multiplier par la quantité conjuguée, (a−b)(a+b)=a2−b(a-\sqrt b)(a+\sqrt b)=a^{2}-b.
  • Fractions : dénominateur commun pour ++ et −- ; multiplier terme à terme pour ×\times ; multiplier par l'inverse pour ÷\div.
  • Priorités : parenthèses → puissances/racines → ×\times et ÷\div → ++ et −- (de gauche à droite).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule, sans calculatrice : a) 3−23^{-2} ; b) (22)3×2−5\left(2^{2}\right)^{3}\times2^{-5} ; c) 10−3×105×10−110^{-3}\times10^{5}\times10^{-1}.

Voir le corrigé détaillé
  1. a) 3−2=132=193^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}
  2. b) (22)3×2−5=26×2−5\left(2^{2}\right)^{3}\times2^{-5} = 2^{6}\times2^{-5}
  3. ==21=22^{1}=2
  4. c) 10−3×105×10−1=10−3+5−110^{-3}\times10^{5}\times10^{-1} = 10^{-3+5-1}
  5. ==101=1010^{1}=10
2

Écris en notation scientifique : a) 5 340 0005\,340\,000 ; b) 0,000 4020{,}000\,402 ; c) 72×10472\times10^{4}.

Voir le corrigé détaillé
  1. a) 5 340 000=5,34×1065\,340\,000 = 5{,}34\times10^{6}
  2. b) 0,000 402=4,02×10−40{,}000\,402 = 4{,}02\times10^{-4}
  3. c) 72×104=7,2×10×10472\times10^{4} = 7{,}2\times10\times10^{4}7272 n'est pas compris entre 11 et 1010
  4. ==7,2×1057{,}2\times10^{5}
3

Calcule puis simplifie si besoin : a) 196\sqrt{196} ; b) 4981\sqrt{\dfrac{49}{81}} ; c) 98\sqrt{98}.

Voir le corrigé détaillé
  1. a) 196=14\sqrt{196}=14car 142=19614^{2}=196
  2. b) 4981=4981=79\sqrt{\dfrac{49}{81}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\dfrac{7}{9}
  3. c) 98=49×298 = 49\times2
  4. ⇒\Rightarrow98=49×2=72\sqrt{98}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}
4

Rends le dénominateur rationnel : a) 15\dfrac{1}{\sqrt{5}} ; b) 322\dfrac{3}{2\sqrt{2}}.

Voir le corrigé détaillé
  1. a) 15=55×5\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}
  2. ==55\dfrac{\sqrt{5}}{5}
  3. b) 322=3×222×2\dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3\times\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}}
  4. ==322×2=324\dfrac{3\sqrt{2}}{2\times2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}
5

Calcule et simplifie : a) 56−14\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4} ; b) 38×49÷23\dfrac{3}{8}\times\dfrac{4}{9}\div\dfrac{2}{3}.

Voir le corrigé détaillé
  1. a) 56−14=1012−312\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12}-\dfrac{3}{12}dénominateur commun 1212
  2. ==712\dfrac{7}{12}
  3. b) 38×49=1272=16\dfrac{3}{8}\times\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{72}=\dfrac{1}{6}
  4. 16÷23=16×32\dfrac{1}{6}\div\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{2}
  5. ==312=14\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Simplifie K=25×42−1×42K = \dfrac{2^{5}\times\sqrt{4}}{2^{-1}\times4^{2}}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 4=2\sqrt{4}=2 et 42=(22)2=244^{2}=\left(2^{2}\right)^{2}=2^{4}
  2. K=25×212−1×24=2623K = \dfrac{2^{5}\times2^{1}}{2^{-1}\times2^{4}} = \dfrac{2^{6}}{2^{3}}
  3. ==23=82^{3}=8
7

Réduis L=245−20+380L = 2\sqrt{45}-\sqrt{20}+3\sqrt{80}, puis compare LL et 15515\sqrt{5} sans calculatrice.

Voir le corrigé détaillé
  1. 45=35\sqrt{45}=3\sqrt{5} donc 245=652\sqrt{45}=6\sqrt{5}
  2. 20=25\sqrt{20}=2\sqrt{5}
  3. 80=45\sqrt{80}=4\sqrt{5} donc 380=1253\sqrt{80}=12\sqrt{5}
  4. L=65−25+125=165L = 6\sqrt{5}-2\sqrt{5}+12\sqrt{5} = 16\sqrt{5}

LL et 15515\sqrt5 ont le même radicande 5>0\sqrt5>0 : il suffit de comparer les coefficients. Comme 16>1516>15, on a L=165>155L=16\sqrt5>15\sqrt5.

8

Rends rationnel le dénominateur de M=23−7M = \dfrac{2}{3-\sqrt{7}}.

Voir le corrigé détaillé
  1. M=2(3+7)(3−7)(3+7)M = \dfrac{2\left(3+\sqrt{7}\right)}{\left(3-\sqrt{7}\right)\left(3+\sqrt{7}\right)}
  2. (3−7)(3+7)=9−7=2\left(3-\sqrt{7}\right)\left(3+\sqrt{7}\right) = 9-7 = 2
  3. ⇒\RightarrowM=2(3+7)2=3+7M = \dfrac{2\left(3+\sqrt{7}\right)}{2} = 3+\sqrt{7}
9

Calcule N=34×16−(12)−2×15N = \dfrac{3}{4}\times\sqrt{16} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}\times\dfrac{1}{5}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 16=4\sqrt{16}=4donc 34×4=3\dfrac34\times4=3
  2. (12)−2=22=4\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^{2} = 4
  3. N=3−4×15N = 3 - 4\times\dfrac{1}{5}
  4. ==3−45=155−453-\dfrac{4}{5} = \dfrac{15}{5}-\dfrac{4}{5}
  5. ==115\dfrac{11}{5}
Niveau 3 — Défi
10

On considère P=2+32−3−2−32+3P = \dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} - \dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}.

  1. Rationalise séparément chacune des deux fractions.
  2. En déduire la valeur exacte de PP, sous la forme a3a\sqrt{3}.
  3. Donne une valeur approchée de PP au dixième près, sachant que 3≈1,732\sqrt{3}\approx1{,}732.
Voir le corrigé détaillé

1. Le conjugué de 2−32-\sqrt3 est 2+32+\sqrt3, et réciproquement.

  1. (2−3)(2+3)=4−3=1\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right) = 4-3 = 1
  2. 2+32−3=(2+3)(2+3)1=(2+3)2\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3} = \dfrac{\left(2+\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}{1} = \left(2+\sqrt3\right)^{2}
  3. ==4+43+3=7+434+4\sqrt3+3 = 7+4\sqrt3
  4. de même 2−32+3=(2−3)2=7−43\dfrac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3} = \left(2-\sqrt3\right)^{2} = 7-4\sqrt3

2.

  1. P=(7+43)−(7−43)P = \left(7+4\sqrt3\right)-\left(7-4\sqrt3\right)
  2. ==838\sqrt3

3. P≈8×1,732=13,856≈13,9P \approx 8\times1{,}732 = 13{,}856 \approx 13{,}9.

11

Un rectangle a pour longueur 50\sqrt{50} cm et pour largeur 18\sqrt{18} cm.

  1. Calcule l'aire exacte du rectangle.
  2. Calcule la diagonale exacte du rectangle, sous la forme aba\sqrt{b}.
  3. Donne une valeur approchée de cette diagonale, au mm près (17≈4,123\sqrt{17}\approx4{,}123).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 50=52\sqrt{50}=5\sqrt2 et 18=32\sqrt{18}=3\sqrt2
  2. Aire =52×32=15×(2)2= 5\sqrt2\times3\sqrt2 = 15\times\left(\sqrt2\right)^{2}
  3. ==15×2=30 cm215\times2 = 30\ \text{cm}^{2}

2. D'après le théorème de Pythagore, la diagonale dd vérifie d2=(50)2+(18)2d^{2} = \left(\sqrt{50}\right)^{2}+\left(\sqrt{18}\right)^{2}.

  1. d2=50+18=68d^{2} = 50+18 = 68
  2. ⇒\Rightarrowd=68=4×17d = \sqrt{68} = \sqrt{4\times17}on écarte la solution négative
  3. ==217 cm2\sqrt{17}\ \text{cm}

3. d≈2×4,123=8,246≈8,2 cmd \approx 2\times4{,}123 = 8{,}246 \approx 8{,}2\ \text{cm} (au mm près).

12

Soit Q=(1−12)×(1+12)Q = \left(1-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)\times\left(1+\dfrac{1}{\sqrt2}\right).

  1. Développe QQ à l'aide d'une identité remarquable, puis calcule sa valeur exacte.
  2. Retrouve ce résultat en rationalisant d'abord 12\dfrac{1}{\sqrt2}.
Voir le corrigé détaillé

1. QQ est de la forme (1−x)(1+x)=1−x2(1-x)(1+x)=1-x^{2} avec x=12x=\dfrac{1}{\sqrt2}.

  1. Q=1−(12)2Q = 1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^{2}
  2. ==1−121 - \dfrac{1}{2}
  3. ==12\dfrac{1}{2}

2. Rationalisons d'abord : 12=22\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.

  1. Q=(1−22)(1+22)=1−(22)2Q = \left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\left(1+\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = 1-\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{2}
  2. ==1−241-\dfrac{2}{4}
  3. ==12\dfrac{1}{2}

Les deux méthodes donnent bien le même résultat exact.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le marché de Sandaga (Dakar). Un grossiste du marché de Sandaga reçoit une cargaison de 2,4×1052{,}4\times10^{5} kg de riz, répartie en sacs de 5×1015\times10^{1} kg chacun.

  1. Calcule, en notation scientifique, le nombre de sacs reçus.
  2. Chaque sac est revendu 3,2×1043{,}2\times10^{4} F CFA. Calcule la recette totale, en notation scientifique puis en écriture décimale.
  3. Donne un ordre de grandeur de cette recette et vérifie la cohérence du résultat du 2.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. nombre de sacs =2,4×1055×101= \dfrac{2{,}4\times10^{5}}{5\times10^{1}}
  2. ==2,45×105−1=0,48×104\dfrac{2{,}4}{5}\times10^{5-1} = 0{,}48\times10^{4}
  3. ==4,8×103 sacs4{,}8\times10^{3}\ \text{sacs}soit 4 8004\,800 sacs

2.

  1. recette =4,8×103×3,2×104= 4{,}8\times10^{3}\times3{,}2\times10^{4}
  2. ==(4,8×3,2)×103+4\left(4{,}8\times3{,}2\right)\times10^{3+4}
  3. ==15,36×107=1,536×10815{,}36\times10^{7} = 1{,}536\times10^{8}
  4. ==153 600 000 F CFA153\,600\,000\ \text{F CFA}

3. Comme 1,536<10≈3,161{,}536<\sqrt{10}\approx3{,}16, l'ordre de grandeur de la recette est 10810^{8} F CFA : cela correspond bien au résultat trouvé, 1,536×1081{,}536\times10^{8}.

14

Le réservoir d'Abéché (Tchad). Une ONG installe, à Abéché, un réservoir d'eau de base carrée, d'aire 50 m250\ \text{m}^{2}.

  1. Donne la valeur exacte du côté du réservoir, sous la forme aba\sqrt{b}.
  2. Un muret entoure le réservoir, à 45 00045\,000 F CFA le mètre linéaire. Calcule le coût total, arrondi au millier de francs (2≈1,414\sqrt2\approx1{,}414).
Voir le corrigé détaillé

1. Le côté cc (en m) vérifie c2=50c^{2}=50, avec c>0c>0.

  1. c=50=25×2c = \sqrt{50} = \sqrt{25\times2}
  2. ==52 m5\sqrt{2}\ \text{m}

2. Le périmètre est le quadruple du côté.

  1. P=4×52=202 mP = 4\times5\sqrt2 = 20\sqrt2\ \text{m}
  2. ≈\approx20×1,414=28,28 m20\times1{,}414 = 28{,}28\ \text{m}
  3. coût ≈28,28×45 000\approx 28{,}28\times45\,000
  4. ≈\approx1 272 600 F CFA≈1 273 000 F CFA1\,272\,600\ \text{F CFA} \approx 1\,273\,000\ \text{F CFA}

Il faut prévoir environ 1 273 000 F CFA pour le muret.

15

La coopérative de Bamako. Une coopérative de Bamako récolte un champ de mangues. Les 35\dfrac{3}{5} de la récolte sont vendus au marché local, puis 14\dfrac{1}{4} du reste est donné à une école. Ce qui reste ensuite, soit 180180 kg, est conservé par la coopérative.

  1. Quelle fraction de la récolte totale représente la part donnée à l'école ?
  2. Quelle fraction de la récolte totale représente la part conservée (180180 kg) ?
  3. Calcule la masse totale de la récolte.
Voir le corrigé détaillé

1. Après la vente, il reste 1−35=251-\dfrac35=\dfrac25 de la récolte. L'école reçoit le quart de ce reste.

  1. part école =14×25= \dfrac14\times\dfrac25
  2. ==220=110 de la reˊcolte\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\ \text{de la récolte}

2.

  1. part conservée =25−110= \dfrac25-\dfrac1{10}
  2. ==410−110=310 de la reˊcolte\dfrac{4}{10}-\dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{10}\ \text{de la récolte}

3. Les 310\dfrac{3}{10} de la récolte totale valent 180180 kg.

  1. récolte totale =180÷310=180×103= 180 \div \dfrac{3}{10} = 180\times\dfrac{10}{3}
  2. ==1 8003\dfrac{1\,800}{3}
  3. ==600 kg600\ \text{kg}

La récolte totale pèse 600 kg.

Teste-toi gratuitement

8 questions

Fonctions : généralités et lectures graphiques

Commencer →

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Pour un nombre aa non nul et nn entier naturel non nul, on définit a−na^{-n} par :

Explication : Un exposant négatif indique qu'on passe à l'inverse de la puissance correspondante : a−n=1ana^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}. Il ne rend pas le résultat négatif.

La valeur de 4−24^{-2} est :

Explication : 4−2=142=1164^{-2} = \dfrac{1}{4^{2}} = \dfrac{1}{16}.

La valeur de 36×3−23\dfrac{3^{6}\times3^{-2}}{3} est :

Explication : 36×3−2=36−2=343^{6}\times3^{-2}=3^{6-2}=3^{4}.
3431=34−1=33=27\dfrac{3^{4}}{3^{1}}=3^{4-1}=3^{3}=27.

La valeur de −32-3^{2} est :

Explication : Le signe « moins » n'est pas concerné par l'exposant s'il n'est pas entre parenthèses : −32=−(32)=−9-3^{2}=-(3^{2})=-9, alors que (−3)2=9(-3)^{2}=9.

L'écriture scientifique de 6 720 0006\,720\,000 est :

Explication : On place la virgule après le premier chiffre non nul : 6 720 000=6,72×1066\,720\,000 = 6{,}72\times10^{6}, la virgule ayant reculé de 66 rangs.

L'écriture scientifique de 0,00005810{,}0000581 est :

Explication : La virgule avance de 55 rangs pour laisser un seul chiffre non nul avant elle : 0,0000581=5,81×10−50{,}0000581 = 5{,}81\times10^{-5}. Un nombre inférieur à 11 a toujours un exposant négatif.

La valeur de (3×104)×(2×10−7)6×10−2\dfrac{(3\times10^{4})\times(2\times10^{-7})}{6\times10^{-2}} est :

Explication : On regroupe les nombres puis les puissances de dix : 3×26×104+(−7)−(−2)=1×10−1\dfrac{3\times2}{6}\times10^{4+(-7)-(-2)} = 1\times10^{-1}.

Pour un nombre aa strictement négatif, a\sqrt{a} :

Explication : Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul : aucun réel n'a donc un carré négatif, ce qui rend a\sqrt{a} indéfinie pour a<0a<0.

Parmi ces égalités, laquelle est VRAIE pour a⩾0a\geqslant0 et b⩾0b\geqslant0 ?

Explication : La racine carrée se distribue sur un produit (ab=ab\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b), jamais sur une somme : 9+16=25=5\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, alors que 9+16=3+4=7\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7.

La forme simplifiée de 150\sqrt{150} est :

Explication : 150=25×6150 = 25\times6, avec 25=5225=5^2 le plus grand carré parfait qui divise 150150.
150=25×6=56\sqrt{150}=\sqrt{25}\times\sqrt6=5\sqrt6.

La forme réduite de 212+327−482\sqrt{12}+3\sqrt{27}-\sqrt{48} est :

Explication : 12=23\sqrt{12}=2\sqrt3 donc 212=432\sqrt{12}=4\sqrt3.
27=33\sqrt{27}=3\sqrt3 donc 327=933\sqrt{27}=9\sqrt3.
48=43\sqrt{48}=4\sqrt3.
Total : 43+93−43=934\sqrt3+9\sqrt3-4\sqrt3=9\sqrt3.

Pour comparer 525\sqrt2 et 434\sqrt3 (tous deux positifs), on compare leurs carrés : 5050 et 4848. On en déduit :

Explication : Pour deux réels positifs, la racine carrée conserve l'ordre : comme (52)2=50>48=(43)2\left(5\sqrt2\right)^2=50 > 48=\left(4\sqrt3\right)^2, on conclut 52>435\sqrt2 > 4\sqrt3.

La forme rationalisée de 75\dfrac{7}{\sqrt{5}} est :

Explication : On multiplie haut et bas par 5\sqrt5 : 75=7×55×5=755\dfrac{7}{\sqrt5}=\dfrac{7\times\sqrt5}{\sqrt5\times\sqrt5}=\dfrac{7\sqrt5}{5}.

La quantité conjuguée de a−ba-\sqrt{b} est :

Explication : La quantité conjuguée de a−ba-\sqrt b est a+ba+\sqrt b : leur produit, a2−ba^2-b, ne contient plus de radical.

La forme rationalisée de F=47−2F=\dfrac{4}{\sqrt7-2} est :

Explication : On multiplie par la quantité conjuguée 7+2\sqrt7+2 : (7−2)(7+2)=7−4=3\left(\sqrt7-2\right)\left(\sqrt7+2\right)=7-4=3.
F=4(7+2)3F=\dfrac{4\left(\sqrt7+2\right)}{3}.

La valeur de 34−25\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5} est :

Explication : Dénominateur commun 2020 : 34=1520\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{20} et 25=820\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{20}.
1520−820=720\dfrac{15}{20}-\dfrac{8}{20}=\dfrac{7}{20}.

La valeur de 218÷74\dfrac{21}{8}\div\dfrac{7}{4} est :

Explication : Diviser, c'est multiplier par l'inverse : 218×47=8456=32\dfrac{21}{8}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{84}{56}=\dfrac{3}{2} après simplification par 2828.

L'expression x+3y+3\dfrac{x+3}{y+3} est-elle égale à xy\dfrac{x}{y} ?

Explication : On ne simplifie une fraction qu'en divisant numérateur et dénominateur en entier par un même facteur commun. Ici 33 est ajouté, pas multiplié : la simplification est fausse.

Calcule H=32−93+(3)2×2−1H = \dfrac{3^{2}-\sqrt{9}}{3} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}\times2^{-1} :

Explication : 32=93^2=9, 9=3\sqrt9=3 : 9−33=2\dfrac{9-3}{3}=2.
(3)2=3\left(\sqrt3\right)^2=3 et 2−1=122^{-1}=\dfrac12 : 3×12=323\times\dfrac12=\dfrac32.
H=2+32=72H=2+\dfrac32=\dfrac72.

La valeur exacte de Q=(1−15)(1+15)Q=\left(1-\dfrac{1}{\sqrt5}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sqrt5}\right) est :

Explication : QQ est de la forme (1−x)(1+x)=1−x2(1-x)(1+x)=1-x^2 avec x=15x=\dfrac{1}{\sqrt5}, donc x2=15x^2=\dfrac15.
Q=1−15=45Q=1-\dfrac15=\dfrac45.
← Chapitre précédentEnsembles de nombres et intervalles Chapitre suivant →Calcul littéral et équations
S'inscrire