Généralités sur les fonctions

Installer le langage fonctionnel : domaine, image, variations, extremums.

Mathématiques Seconde Chapitre 5 / 15 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Déterminer un ensemble de définition
Dresser un tableau de variations à partir d'une courbe
Résoudre graphiquement f(x) = k et f(x) ≤ k

Depuis le collège, tu manipules des fonctions sans toujours le savoir : le prix payé selon le nombre d’articles achetés, la distance parcourue selon le temps, la surface d’un carré selon son côté… Chaque fois qu’une grandeur en détermine une autre de façon unique, une fonction est à l’œuvre. Ce chapitre pose enfin, noir sur blanc, le langage précis qui porte cette idée : ensemble de définition, image, antécédent, courbe représentative, variations, extremums.

Ce vocabulaire n’est pas un exercice de style : c’est l’outil que toute la suite du lycée va utiliser, en mathématiques comme en physique-chimie ou en sciences économiques. Une courbe de température, un signal électrique, un chiffre d’affaires, un profil de vitesse : partout, on te demandera de lire un graphique, de dresser un tableau de variations, ou de résoudre une équation « à l’œil » avant même de savoir la résoudre par le calcul.

La nouveauté par rapport au collège : tu connaissais surtout les fonctions linéaires ( $x \mapsto ax$ ) et affines ( $x \mapsto ax+b$ ), toujours définies sur $\mathbb{R}$ tout entier. À partir de maintenant, une fonction peut être quelconque — donnée par une formule, par une courbe ou par un tableau — et son ensemble de définition peut être plus petit que $\mathbb{R}$ . Il faut donc apprendre à le déterminer avant toute chose.

Fil rouge de ce chapitre : la température relevée heure par heure à Abéché (Tchad), une fonction que tu ne connais que par sa courbe, et sur laquelle tu apprendras à lire, sans aucun calcul, tout ce que ce chapitre te propose d’étudier.

1Définition, ensemble de définition

1.1 Qu’est-ce qu’une fonction ?

Définition

Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}$ . Définir une fonction $f$ sur $D$ , c’est associer à chaque nombre $x$ de $D$ un unique nombre réel, noté $f(x)$ et appelé l’image de $x$ par $f$ . On note :

$f : D \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto f(x)$

Figure 1 — Une fonction

f

associe à chaque nombre

x

un seul nombre

f(x)

, son image.

Attention

Ne confonds jamais $f$ et $f(x)$ . $f$ est la fonction elle-même — la machine tout entière. $f(x)$ est un nombre — le résultat obtenu pour une valeur précise de $x$ . On dit « la fonction $f$ » mais « le nombre $f(2)$ », jamais l’inverse.

1.2 Ensemble de définition

Définition — ensemble de définition

L’ensemble de définition $D_f$ d’une fonction $f$ est le plus grand sous-ensemble de $\mathbb{R}$ sur lequel l’expression de $f(x)$ existe et donne un nombre réel unique.

Méthode — déterminer un ensemble de définition

On cherche les valeurs interdites, puis on les retire de $\mathbb{R}$ .

Quotient $\dfrac{\cdots}{\cdots}$ : le dénominateur ne doit jamais s’annuler.
Racine carrée $\sqrt{\cdots}$ : le radicande doit être positif ou nul.
Situation concrète : $x$ est souvent borné par le contexte (une durée, une longueur, une quantité produite…).

Exemple — ensemble de définition d’un quotient

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x-3}$ .

$f(x)$ existe $\iff x - 3 \neq 0$ un quotient n’existe pas si le dénominateur est nul
$\iff$ $x \neq 3$

Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = \left]-\infty ; 3\right[ \cup \left]3 ; +\infty\right[$ .

Exemple — ensemble de définition d’une racine carrée

Soit $g(x) = \sqrt{2x+6}$ .

$g(x)$ existe $\iff 2x + 6 \geqslant 0$ une racine carrée n’existe que si le radicande est positif ou nul
$\iff$ $2x \geqslant -6$
$\iff$ $x \geqslant -3$

Donc $D_g = \left[-3 ; +\infty\right[$ .

Une fonction peut aussi venir d’une situation concrète : un tisserand de Bamako fabrique $x$ mètres de tissu par jour, avec $x$ compris entre $0$ et $500$ (capacité de son atelier) ; le coût de production $C(x)$ est alors défini sur $D_C = [0 ; 500]$ . Pour la fonction température de notre fil rouge (Figure 2), on aura de même $D_f = [0 ; 24]$ : l’heure $x$ varie sur une seule journée.

Math & Co — Naissance du mot « fonction »

Le mot « fonction » apparaît sous la plume de Gottfried Wilhelm Leibniz en 1673, dans un manuscrit où il désigne par ce terme une grandeur géométrique attachée à une courbe. Le sens s’affine ensuite avec Johann Bernoulli, qui définit vers 1718 une fonction comme « une quantité composée d’une variable et de constantes ».

C’est Leonhard Euler, dans un article de 1734 puis dans son traité Introductio in analysin infinitorum (1748), qui introduit la notation $f(x)$ que tu utilises aujourd’hui. Il faudra encore un siècle, avec Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1837, pour arriver à la définition moderne et générale que tu étudies dans ce chapitre : une correspondance quelconque, sans qu’il y ait forcément une formule.

2Image et antécédent

2.1 Image d’un nombre par une fonction

Définition — image

Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a \in D_f$ . Le nombre $f(a)$ s’appelle l’image de $a$ par $f$ . Tout élément de $D_f$ possède une image, et une seule.

Exemple — calculer une image

Soit $f(x) = 3x^{2} - 2$ . Calculons l’image de $-2$ par $f$ .

$f(-2) = 3 \times (-2)^{2} - 2$
$=$ $3 \times 4 - 2$
$=$ $12 - 2$
$=$ $10$

L’image de $-2$ par $f$ est $10$ ; on note $f(-2) = 10$ .

2.2 Antécédent d’un nombre par une fonction

Définition — antécédent

Soit $f$ une fonction et $k$ un nombre réel. On dit que $b$ est un antécédent de $k$ par $f$ lorsque $b \in D_f$ et $f(b) = k$ . Un nombre $k$ peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents par $f$ .

Attention

Image et antécédent ne jouent pas le même rôle. Un $x$ donné a toujours une seule image $f(x)$ : une seule flèche part de $x$ . En revanche, un $y$ donné peut avoir plusieurs antécédents : plusieurs flèches peuvent arriver sur le même $y$ — ou aucune.

2.3 Trois façons de lire une image ou un antécédent

Selon ce dont on dispose, on lit une image ou un antécédent par le calcul (en remplaçant $x$ dans la formule), dans un tableau de valeurs, ou par lecture graphique sur la courbe.

Exemple — lire dans un tableau de valeurs

Voici quelques valeurs d’une fonction $g$ :

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$2$	$4$
$g(x)$	$7$	$1$	$-1$	$5$	$23$

L’image de $2$ est $5$ (on lit sous $x=2$ ). Le nombre $-1$ a pour antécédent $0$ (on cherche $-1$ sur la seconde ligne, puis on remonte à la première).

Méthode — lire une image ou un antécédent sur une courbe

Image de $a$ : on part de $a$ sur l’axe des abscisses, on monte (ou on descend) jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée du point obtenu sur l’axe des ordonnées.

Antécédent(s) de $k$ : on part de $k$ sur l’axe des ordonnées, on avance horizontalement jusqu’à chaque point de la courbe rencontré, puis on lit les abscisses de ces points.

Reprenons le fil rouge du chapitre : voici (Figure 2) la courbe qui donne la température $T$ (en °C) relevée à Abéché en fonction de l’heure $x$ (en h), pour $x$ variant de $0$ à $24$ . Elle n’est donnée par aucune formule — c’est une courbe expérimentale — et pourtant on peut tout y lire.

Figure 2 — Température

T

à Abéché en fonction de l’heure

x

. En violet, l’image de

2

; en vert, les deux antécédents de

35

On lit sur la Figure 2 : l’image de $2$ est $25$ — à $2$ h du matin, il fait $25$ °C. Le nombre $35$ a deux antécédents, $14$ et $22$ : il fait $35$ °C à deux moments de la journée, une fois en début d’après-midi et une fois en soirée.

3Courbe représentative

3.1 Définition et test d’appartenance

Définition — courbe représentative

Dans un repère du plan, la courbe représentative d’une fonction $f$ , notée $\mathcal{C}_f$ , est l’ensemble des points $M(x ; y)$ tels que :

$x \in D_f \quad \text{et} \quad y = f(x)$

On écrit aussi $M(x ; f(x)) \in \mathcal{C}_f$ .

Méthode — tester l’appartenance d’un point à une courbe

Pour savoir si $M(a ; b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ , on calcule $f(a)$ et on compare le résultat à $b$ :

si $f(a) = b$ , alors $M \in \mathcal{C}_f$ ;
si $f(a) \neq b$ , alors $M \notin \mathcal{C}_f$ .

Reprenons la fonction température de notre fil rouge et deux points candidats : $M(10 ; 27)$ et $N(12 ; 30)$ .

Figure 3 —

f(10)=25 \neq 27

donc

M \notin \mathcal{C}_f

;

f(12) = 30

donc

N \in \mathcal{C}_f

Exemple — tester deux points

$f(10) = 25$ lecture graphique, Figure 3
$25 \neq 27$
donc $M(10 ; 27) \notin \mathcal{C}_f$

$f(12) = 30$ lecture graphique, Figure 3
$30 = 30$
donc $N(12 ; 30) \in \mathcal{C}_f$

3.2 Construire une courbe point par point

Quand une fonction est donnée par une formule, on construit sa courbe en calculant les images de plusieurs valeurs de $x$ , en plaçant les points $M(x ; f(x))$ obtenus, puis en les reliant par un trait continu (si rien n’indique le contraire).

Exemple — tableau de valeurs pour tracer une courbe

Soit $f(x) = x^{2} - 4x + 3$ , définie sur $[0 ; 4]$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

On place les cinq points $(0;3)$ , $(1;0)$ , $(2;-1)$ , $(3;0)$ et $(4;3)$ , puis on les relie : la courbe obtenue est une parabole, plus on calcule de points, plus le tracé est précis.

Math & Co — Quand les nombres rencontrent les figures

Avant 1637, algèbre et géométrie vivaient séparément : d’un côté les nombres et les équations, de l’autre les droites et les cercles. Cette année-là, René Descartes publie La Géométrie, où il propose de repérer chaque point du plan par deux nombres — ses coordonnées. Une équation peut alors « devenir » une courbe, et une courbe peut « devenir » une équation.

Pierre de Fermat, dans le même mouvement, développe de son côté une méthode très voisine à partir de 1636. À eux deux, ils inventent ce qu’on appellera plus tard la géométrie analytique : le repère orthogonal que tu utilises à chaque figure de ce chapitre leur doit tout.

4Variations et tableau de variations

4.1 Sens de variation

Définition — fonction croissante, décroissante

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ :

$a \leqslant b \implies f(a) \leqslant f(b)$

$f$ est décroissante sur $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ :

$a \leqslant b \implies f(a) \geqslant f(b)$

$f$ est constante sur $I$ lorsque tous les éléments de $I$ ont la même image.

Attention

Le sens de variation se lit toujours de gauche à droite, c’est-à-dire dans le sens des $x$ croissants. Une fonction croissante « monte » quand on lit la courbe de gauche à droite ; ce n’est pas le signe de $f(x)$ qui compte, mais la façon dont $f(x)$ évolue.

Démonstration —

f(x) = 2x+1

est croissante sur

\mathbb{R}

Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques tels que $a \leqslant b$ . Montrons que $f(a) \leqslant f(b)$ .

$f(b) - f(a) = (2b+1) - (2a+1)$
$=$ $2b - 2a$
$=$ $2(b-a)$

Or $a \leqslant b$ donc $b - a \geqslant 0$ , et $2 > 0$ : ainsi $2(b-a) \geqslant 0$ , c’est-à-dire $f(b) - f(a) \geqslant 0$ , donc $f(a) \leqslant f(b)$ . Ceci est vrai pour tous $a \leqslant b$ de $\mathbb{R}$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ . C.Q.F.D.

4.2 Tableau de variations

Le tableau de variations résume, sans dessiner la courbe, les intervalles où $f$ est croissante ou décroissante. La flèche ↗ signale une portion croissante, la flèche ↘ une portion décroissante ; les valeurs inscrites sont les images aux bornes de chaque intervalle.

Méthode — dresser un tableau de variations à partir d’une courbe

On repère, en balayant la courbe de gauche à droite, tous les sommets et creux : ce sont les bornes des intervalles de monotonie. On note leurs abscisses sur la première ligne, et les images correspondantes sur la seconde, reliées par les flèches ↗ ou ↘.

Figure 4 — La courbe descend de

0

6

h, monte de

6

18

h, puis redescend jusqu’à

24

h : trois intervalles de monotonie, en vis-à-vis du tableau ci-dessous.

$x$	$0$		$6$		$18$		$24$
$f(x)$	$30$	↘	$20$	↗	$40$	↘	$30$

Exemple — lire le tableau de variations de la Figure 4

$f$ est décroissante sur $[0;6]$ , croissante sur $[6;18]$ , puis décroissante sur $[18;24]$ . Elle vaut $30$ en $x=0$ , descend à $20$ en $x=6$ , remonte à $40$ en $x=18$ , puis redescend à $30$ en $x=24$ . Par exemple, comme $f$ est croissante sur $[6;18]$ et que $9 < 15$ , on peut affirmer sans calcul que $f(9) < f(15)$ .

4.3 Comparer des images grâce aux variations

Méthode — comparer deux images sans les calculer

On place les deux réels dans un même intervalle de monotonie du tableau de variations. Si $f$ y est croissante, les images sont dans le même ordre que les réels ; si $f$ y est décroissante, l’ordre est inversé.

Exemple — comparer deux images grâce à un tableau

Une fonction $h$ est définie sur $[-4;5]$ par le tableau de variations suivant :

$x$	$-4$		$-1$		$3$		$5$
$h(x)$	$6$	↘	$-2$	↗	$9$	↘	$1$

Comparons $h(-3)$ et $h(-2)$ , puis $h(0)$ et $h(2)$ , sans calculer aucune image.

$-4 \leqslant -3 < -2 \leqslant -1$ les deux réels sont dans $[-4;-1]$
or $h$ est décroissante sur $[-4;-1]$
$\Rightarrow$ $h(-3) > h(-2)$ décroissante : l’ordre s’inverse

$-1 \leqslant 0 < 2 \leqslant 3$ les deux réels sont dans $[-1;3]$
or $h$ est croissante sur $[-1;3]$
$\Rightarrow$ $h(0) < h(2)$ croissante : l’ordre est conservé

5Extremums

5.1 Maximum et minimum

Définition — maximum, minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . $f$ admet un maximum $M$ sur $I$ , atteint en $x_0 \in I$ , lorsque :

$f(x_0) = M \qquad \text{et} \qquad \text{pour tout } x \in I,\ f(x) \leqslant M$

$f$ admet un minimum $m$ sur $I$ , atteint en $x_1 \in I$ , lorsque :

$f(x_1) = m \qquad \text{et} \qquad \text{pour tout } x \in I,\ f(x) \geqslant m$

Attention

Un extremum est une valeur (une ordonnée), jamais un point ni une abscisse. Pour la fonction température : « le maximum de $f$ sur $[0;24]$ est $40$ , atteint en $x=18$ » — jamais « le maximum est $18$ ».

Méthode — déterminer un extremum à partir d’un tableau de variations

Les extremums se lisent aux changements de sens de variation (sommets et creux) ainsi qu’aux bornes de l’intervalle d’étude : on compare toutes ces valeurs entre elles.

Exemple — extremums de la fonction température

D’après le tableau de variations de la Figure 4 :

le minimum de $f$ sur $[0;24]$ est $20$ , atteint en $x=6$ ;
le maximum de $f$ sur $[0;24]$ est $40$ , atteint en $x=18$ .

Aucun autre moment de la journée ne descend sous $20$ °C, ni ne dépasse $40$ °C.

Exemple — extremums à partir d’un tableau donné

Reprenons $h$ , définie sur $[-4;5]$ (tableau de la section 4.3). Les valeurs à comparer sont les « sommets » du tableau : $6$ , $-2$ , $9$ et $1$ .

$-2 < 1 < 6 < 9$
doncle minimum de $h$ sur $[-4;5]$ est $-2$ , atteint en $x=-1$
etle maximum de $h$ sur $[-4;5]$ est $9$ , atteint en $x=3$

6Résolution graphique d’équations et d’inéquations

6.1 Résoudre $f(x) = k$ graphiquement

Méthode — résoudre

f(x) = k

graphiquement

On trace la droite horizontale d’équation $y = k$ . Les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points d’intersection de cette droite avec $\mathcal{C}_f$ .

6.2 Résoudre une inéquation $f(x) \leqslant k$

Méthode — résoudre une inéquation graphiquement

On repère la portion de courbe située en dessous (pour $\leqslant$ ou $<$ ) ou au-dessus (pour $\geqslant$ ou $>$ ) de la droite $y=k$ , puis on projette cette portion sur l’axe des abscisses : l’ensemble obtenu est l’ensemble des solutions.

Attention

Une inégalité large ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ) inclut les points d’intersection ; une inégalité stricte ( $<$ , $>$ ) les exclut. N’oublie jamais d’écrire la réponse sous forme d’un ensemble $S$ (un intervalle, ou une réunion d’intervalles avec $\cup$ ).

Figure 5 — La droite

y=25

coupe

\mathcal{C}_f

en deux points, d’abscisses

2

10

; l’arc vert, sous la droite, donne les solutions de

f(x) \leqslant 25

Exemple — résoudre

f(x) = 25

la droite $y=25$ coupe $\mathcal{C}_f$ en deux pointsFigure 5
leurs abscisses sont $2$ et $10$
donc $S = \{2 ; 10\}$

Exemple — résoudre

f(x) \leqslant 25

On garde la portion de courbe sous la droite $y=25$ : c’est l’arc vert de la Figure 5, entre les abscisses $2$ et $10$ (inégalité large : les extrémités sont incluses).

$S = [2 ; 10]$

Exemple — résoudre

f(x) \geqslant 35

D’après la Figure 2 (section 2), $35$ a pour antécédents $14$ et $22$ , et le maximum $40$ est atteint en $x=18 \in [14;22]$ . Entre ces deux bornes, la courbe reste donc au-dessus de la droite $y=35$ .

$S = [14 ; 22]$

7Parité et symétries

7.1 Fonctions paires

Définition — fonction paire

Soit $f$ une fonction dont l’ensemble de définition $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ (pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ ). $f$ est paire lorsque, pour tout $x \in D_f$ :

$f(-x) = f(x)$

Propriété

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ .

7.2 Fonctions impaires

Définition — fonction impaire

Soit $f$ une fonction dont l’ensemble de définition $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ . $f$ est impaire lorsque, pour tout $x \in D_f$ :

$f(-x) = -f(x)$

Propriété

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine $O$ du repère.

Démonstration — cas d’une fonction paire

Soit $M(x ; f(x))$ un point de $\mathcal{C}_f$ , et $M'(-x ; f(-x))$ le point de même abscisse opposée. Comme $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$ , donc $M'$ a pour coordonnées $(-x ; f(x))$ : $M$ et $M'$ ont la même ordonnée et des abscisses opposées. Or deux points de même ordonnée et d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’axe $(Oy)$ . Ceci étant vrai pour tout $x \in D_f$ , $\mathcal{C}_f$ est globalement symétrique par rapport à $(Oy)$ . C.Q.F.D.

Figure 6 — À gauche,

f(x)=x^{2}

, paire : la courbe est symétrique par rapport à

(Oy)

. À droite,

g(x)=x^{3}

, impaire : la courbe est symétrique par rapport à

O

7.3 Démontrer qu’une fonction est paire ou impaire

Méthode — étudier la parité de

f

On vérifie que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ (sinon, $f$ n’est ni paire ni impaire).
On calcule $f(-x)$ et on le compare à $f(x)$ et à $-f(x)$ .
Si $f(-x)=f(x)$ : $f$ est paire. Si $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire. Sinon : $f$ n’est ni paire ni impaire.

Attention

La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires ! Il suffit souvent d’un seul terme qui « casse » la symétrie, comme un terme en $x$ ajouté à un terme en $x^{2}$ .

Exemple — une fonction paire

Soit $f(x) = x^{2} - 3$ , définie sur $\mathbb{R}$ (symétrique par rapport à $0$ ).

$f(-x) = (-x)^{2} - 3$
$=$ $x^{2} - 3$
$=$ $f(x)$

Donc $f$ est paire.

Exemple — une fonction impaire

Soit $g(x) = x^{3} - x$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

$g(-x) = (-x)^{3} - (-x)$
$=$ $-x^{3} + x$
$=$ $-(x^{3} - x)$
$=$ $-g(x)$

Donc $g$ est impaire.

Exemple — une fonction ni paire ni impaire

Soit $h(x) = x^{2} + x$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

$h(-x) = (-x)^{2} + (-x)$
$=$ $x^{2} - x$

Or $h(1) = 2$ et $h(-1) = 0$ : comme $0 \neq 2$ et $0 \neq -2$ , on a $h(-x) \neq h(x)$ et $h(-x) \neq -h(x)$ . Donc $h$ n’est ni paire ni impaire.

Math & Co — La musique cachée des fonctions

En 1822, dans sa Théorie analytique de la chaleur, le mathématicien français Joseph Fourier montre qu’on peut décomposer (presque) n’importe quelle fonction périodique en une somme infinie de fonctions cosinus (paires) et sinus (impaires). Cette idée, née de l’étude de la propagation de la chaleur dans une barre de métal, est aujourd’hui au cœur du traitement du signal : compression audio, images JPEG, reconnaissance vocale… La parité, que tu découvres ici sur de simples polynômes, structure en réalité des pans entiers des mathématiques appliquées.

Fiche mémo

$D_f$ : ensemble de définition — dénominateur $\neq 0$ , radicande $\geqslant 0$ , contexte borné.
Image de $a$ : $f(a)$ , toujours unique. Antécédent de $k$ : $b$ tel que $f(b)=k$ ; il peut y en avoir $0$ , $1$ ou plusieurs.
$\mathcal{C}_f = \{M(x;y) \mid x\in D_f,\ y=f(x)\}$ ; tester $M(a;b)$ : comparer $f(a)$ et $b$ .
$f$ croissante sur $I$ : $a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$ (ordre conservé). Décroissante : ordre inversé.
Tableau de variations : flèches ↗ ↘ entre les valeurs de $f$ aux sommets et aux bornes.
Maximum $M$ en $x_0$ : $f(x_0)=M$ et $f(x)\leqslant M$ pour tout $x\in I$ . Minimum : inégalité inversée.
$f(x)=k$ : abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite $y=k$ .
$f(x)\leqslant k$ : on projette sur l’axe des abscisses la portion de courbe sous la droite $y=k$ .
$f$ paire : $D_f$ symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=f(x)$ — courbe symétrique par rapport à $(Oy)$ .
$f$ impaire : $D_f$ symétrique par rapport à $0$ et $f(-x)=-f(x)$ — courbe symétrique par rapport à $O$ .
Méthode parité : vérifier $D_f$ symétrique, calculer $f(-x)$ , comparer à $f(x)$ et $-f(x)$ .

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Détermine l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

$f(x) = \dfrac{1}{x+5}$
$g(x) = \sqrt{3x-9}$
$h(x) = \dfrac{2x}{(x-2)(x+2)}$
$k(x) = \sqrt{x} + 2$

Voir le corrigé détaillé

$f(x)$ existe $\iff x+5 \neq 0 \iff x \neq -5$

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-5\}$ .

$g(x)$ existe $\iff 3x-9 \geqslant 0 \iff x \geqslant 3$

$D_g = [3 ; +\infty[$ .

$h(x)$ existe $\iff (x-2)(x+2) \neq 0 \iff x \neq 2 \text{ et } x \neq -2$

$D_h = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}$ .

$k(x)$ existe si et seulement si $x \geqslant 0$ (le $+2$ ne change rien) : $D_k = [0 ; +\infty[$ .

Soit $f(x) = 2x^{2} - 5x + 1$ . Calcule $f(0)$ , $f(-1)$ et $f(3)$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(0) = 2\times 0^{2} - 5\times 0 + 1 = 1$
$f(-1) = 2\times(-1)^{2} - 5\times(-1) + 1$
$=$ $2 + 5 + 1 = 8$
$f(3) = 2\times 3^{2} - 5\times 3 + 1$
$=$ $18 - 15 + 1 = 4$

Donc $f(0)=1$ , $f(-1)=8$ et $f(3)=4$ .

Une fonction $g$ est donnée par le tableau ci-dessous.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Donne l’image de $-1$ par $g$ .
Donne le ou les antécédents de $4$ .
Donne le ou les antécédents de $1$ .

Voir le corrigé détaillé

1. On lit sous $x=-1$ : $g(-1) = 4$ .

2. On cherche $4$ sur la seconde ligne : il apparaît en $x=-1$ et en $x=3$ . Les antécédents de $4$ sont donc $-1$ et $3$ .

3. De même, $1$ apparaît en $x=0$ et en $x=2$ : les antécédents de $1$ sont $0$ et $2$ .

Soit $f(x) = x^{2} - 2x + 1$ . Les points $A(3 ; 4)$ et $B(-1 ; 5)$ appartiennent-ils à $\mathcal{C}_f$ ?

Voir le corrigé détaillé

$f(3) = 3^{2} - 2\times 3 + 1$
$=$ $9 - 6 + 1 = 4$

$4 = 4$ donc $A(3;4) \in \mathcal{C}_f$ .

$f(-1) = (-1)^{2} - 2\times(-1) + 1$
$=$ $1 + 2 + 1 = 4$

$4 \neq 5$ donc $B(-1;5) \notin \mathcal{C}_f$ .

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

Tout nombre réel possède au moins un antécédent par une fonction $f$ .
Un nombre peut avoir deux images différentes par une même fonction.
Si $f(2) = 5$ , alors $2$ est un antécédent de $5$ par $f$ .
L’ensemble de définition de $f(x) = \sqrt{x-1}$ est $[1 ; +\infty[$ .
Si $f$ est paire, alors $f(0)$ est nécessairement nul.

Voir le corrigé détaillé

1. Faux. Pour $f(x)=x^{2}$ sur $\mathbb{R}$ , le nombre $-1$ n’a aucun antécédent : aucun réel ne vérifie $x^{2}=-1$ .

2. Faux. Par définition même d’une fonction, tout nombre $x$ du domaine a une seule image.

3. Vrai. C’est exactement la définition de l’antécédent.

4. Vrai. $x-1 \geqslant 0 \iff x \geqslant 1$ .

5. Faux. Contre-exemple : $f(x)=x^{2}+1$ est paire ( $f(-x)=f(x)$ ) et pourtant $f(0)=1 \neq 0$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Voici (Figure 7) le profil d’altitude $h(x)$ , en mètres, d’un sentier de randonnée près de Dakar, en fonction de la distance parcourue $x$ , en km.

Dresse le tableau de variations de $h$ sur $[0;8]$ .
Donne le maximum de $h$ et la distance à laquelle il est atteint.
Sans calculer d’images, compare $h(1)$ et $h(3)$ .

Voir le corrigé détaillé

Figure 7 — Altitude

h

selon la distance parcourue : montée régulière jusqu’au sommet, puis descente.

$x$	$0$		$4$		$8$
$h(x)$	$20$	↗	$140$	↘	$20$

2. Le maximum de $h$ est $140$ m, atteint pour $x=4$ km.

3. $1$ et $3$ sont tous deux dans $[0;4]$ , où $h$ est croissante, et $1<3$ , donc $h(1) < h(3)$ .

Étudie la parité de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ : $f(x)=3x^{4}-2x^{2}$ , $g(x)=5x^{3}-x$ , $h(x)=x^{2}-2x+1$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(-x) = 3(-x)^{4} - 2(-x)^{2}$
$=$ $3x^{4} - 2x^{2} = f(x)$

$f$ est paire.

$g(-x) = 5(-x)^{3} - (-x)$
$=$ $-5x^{3} + x = -(5x^{3}-x) = -g(x)$

$g$ est impaire.

$h(-x) = (-x)^{2} - 2(-x) + 1$
$=$ $x^{2} + 2x + 1$

Or $h(2)=1$ et $h(-2)=9$ : $9 \neq 1$ et $9 \neq -1$ , donc $h(-x) \neq h(x)$ et $h(-x) \neq -h(x)$ . $h$ n’est ni paire ni impaire.

On reprend la fonction température à Abéché (Figure 4). À quelles heures fait-il exactement $30$ °C ? Résous ensuite $f(x) > 30$ .

Voir le corrigé détaillé

La droite $y=30$ coupe la courbe en trois points : $30$ a donc trois antécédents.

$S = \{0 ; 12 ; 24\}$ .

Entre $x=12$ et $x=24$ , la courbe reste strictement au-dessus de la droite $y=30$ (elle monte à $40$ puis redescend à $30$ sans le rester) : $f(x) > 30 \iff x \in \left]12 ; 24\right[$ .

Une fonction $k$ est définie sur $[-5;4]$ par le tableau de variations suivant.

$x$	$-5$		$-2$		$1$		$4$
$k(x)$	$8$	↘	$1$	↗	$6$	↘	$-3$

Compare $k(-4)$ et $k(-3)$ .
Compare $k(-1)$ et $k(0)$ .
Donne le maximum et le minimum de $k$ sur $[-5;4]$ .

Voir le corrigé détaillé

$-5 \leqslant -4 < -3 \leqslant -2$ les deux réels sont dans $[-5;-2]$
or $k$ est décroissante sur $[-5;-2]$
$\Rightarrow$ $k(-4) > k(-3)$

$-2 \leqslant -1 < 0 \leqslant 1$ les deux réels sont dans $[-2;1]$
or $k$ est croissante sur $[-2;1]$
$\Rightarrow$ $k(-1) < k(0)$

Les valeurs de comparaison sont $8$ , $1$ , $6$ et $-3$ : le maximum est $8$ (atteint en $x=-5$ ), le minimum est $-3$ (atteint en $x=4$ ).

Niveau 3 — Défi

On étudie de nouveau la fonction température $f$ à Abéché (Figure 4).

Donne $D_f$ et calcule $f(0)$ , $f(12)$ et $f(24)$ .
Rappelle le tableau de variations de $f$ , avec les extremums et les instants où ils sont atteints.
Résous $f(x) < 20$ .
La fonction $f$ est-elle paire ou impaire ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. $D_f = [0;24]$ . D’après la Figure 4, $f(0)=30$ , $f(12)=30$ , $f(24)=30$ .

$x$	$0$		$6$		$18$		$24$
$f(x)$	$30$	↘	$20$	↗	$40$	↘	$30$

Minimum $20$ en $x=6$ ; maximum $40$ en $x=18$ .

3. Le minimum de $f$ sur $D_f$ vaut exactement $20$ : $f(x)$ ne descend jamais strictement en dessous. Donc $S = \varnothing$ .

4. Non. Pour être paire ou impaire, $D_f$ devrait être symétrique par rapport à $0$ : or $24 \in D_f$ alors que $-24 \notin D_f$ . La condition préalable échoue déjà : $f$ n’est ni paire ni impaire.

Soit $f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}$ .

Détermine $D_f$ .
Montre que, pour tout $x \neq -3$ , $f(x) = 2 - \dfrac{7}{x+3}$ .
Démontre, à l’aide de la définition, que $f$ est strictement croissante sur $\left]-3;+\infty\right[$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $x+3 \neq 0 \iff x \neq -3$ , donc $D_f = \mathbb{R}\setminus\{-3\}$ .

$2 - \dfrac{7}{x+3} = \dfrac{2(x+3) - 7}{x+3}$
$=$ $\dfrac{2x+6-7}{x+3}$
$=$ $\dfrac{2x-1}{x+3} = f(x)$

3. Soient $a$ et $b$ deux réels de $\left]-3;+\infty\right[$ tels que $a<b$ .

$f(b) - f(a) = \left(2 - \dfrac{7}{b+3}\right) - \left(2 - \dfrac{7}{a+3}\right)$
$=$ $\dfrac{7}{a+3} - \dfrac{7}{b+3}$
$=$ $\dfrac{7(b+3) - 7(a+3)}{(a+3)(b+3)}$
$=$ $\dfrac{7(b-a)}{(a+3)(b+3)}$

Comme $a>-3$ et $b>-3$ , on a $a+3>0$ et $b+3>0$ , donc $(a+3)(b+3)>0$ ; de plus $b-a>0$ et $7>0$ . Le quotient est donc strictement positif : $f(b)-f(a) > 0$ , c’est-à-dire $f(a) < f(b)$ . Ceci étant vrai pour tous $a<b$ de $\left]-3;+\infty\right[$ , $f$ y est strictement croissante. C.Q.F.D.

Soit $f(x) = x^{2} - 4x + 3$ , définie sur $\mathbb{R}$ . On pose, pour tout réel $t$ , $g(t) = f(t+2)$ .

Calcule $g(t)$ et simplifie.
Montre que $g$ est paire.
En déduire que $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à la droite d’équation $x=2$ .

Voir le corrigé détaillé

$g(t) = (t+2)^{2} - 4(t+2) + 3$
$=$ $t^{2} + 4t + 4 - 4t - 8 + 3$
$=$ $t^{2} - 1$

2. $g(-t) = (-t)^{2} - 1 = t^{2} - 1 = g(t)$ : $g$ est paire.

3. $g(-t)=g(t)$ signifie que les points de $\mathcal{C}_g$ d’abscisses $t$ et $-t$ ont la même ordonnée. Or l’abscisse $t$ de $g$ correspond à l’abscisse $x=t+2$ de $f$ . Ainsi, pour tout $t$ , les points de $\mathcal{C}_f$ d’abscisses $2+t$ et $2-t$ — symétriques par rapport à $x=2$ — vérifient $f(2+t)=g(t)=g(-t)=f(2-t)$ : ils ont la même ordonnée. C’est exactement dire que $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à la droite $x=2$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le réservoir de Douala. Un réservoir communal à Douala se remplit puis se vide au cours de la journée. La hauteur d’eau $h(x)$ , en mètres, en fonction du temps $x$ , en heures depuis l’ouverture des vannes, est donnée par la Figure 8.

Donne $D_h$ et dresse le tableau de variations de $h$ .
Donne le maximum de $h$ , et pendant combien de temps il est maintenu.
Résous graphiquement $h(x) \geqslant 3$ , puis donne la durée correspondante, en heures.

Voir le corrigé détaillé

Figure 8 — Hauteur d’eau dans le réservoir : remplissage, plateau, puis distribution.

1. $D_h = [0;12]$ .

$x$	$0$		$5$		$7$		$12$
$h(x)$	$0$	↗	$5$	→	$5$	↘	$0$

2. Le maximum est $5$ m, maintenu de $x=5$ à $x=7$ , soit pendant $2$ heures.

3. D’après la Figure 8, $S = [3;9]$ : la hauteur reste $\geqslant 3$ m pendant $9-3=6$ heures.

Forfait internet à Ndjamena. Un opérateur propose : les $5$ premiers Go inclus pour un forfait fixe de $2\,000$ F CFA, puis chaque Go supplémentaire coûte $300$ F CFA. On note $C(x)$ le coût, en F CFA, pour une consommation de $x$ Go dans le mois, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$ .

Donne l’expression de $C(x)$ selon que $x \leqslant 5$ ou $x>5$ , et dresse son tableau de variations sur $[0;20]$ .
Calcule $C(8)$ et $C(12)$ .
Un client a payé $3\,200$ F CFA ce mois-ci. Combien de Go a-t-il consommés ?

Voir le corrigé détaillé

1. $C(x) = 2\,000$ si $0 \leqslant x \leqslant 5$ , et $C(x) = 2\,000 + 300(x-5)$ si $5 < x \leqslant 20$ .

$x$	$0$		$5$		$20$
$C(x)$	$2\,000$	→	$2\,000$	↗	$6\,500$

$C(8) = 2\,000 + 300\times(8-5)$
$=$ $2\,000 + 900 = 2\,900$
$C(12) = 2\,000 + 300\times(12-5)$
$=$ $2\,000 + 2\,100 = 4\,100$

$2\,000 + 300(x-5) = 3\,200$
$\iff$ $300(x-5) = 1\,200$
$\iff$ $x - 5 = 4$
$\iff$ $x = 9$

Le client a consommé $9$ Go.

Rendement agricole près d’Abéché. Un agriculteur étudie l’effet de la quantité d’engrais $x$ (en kg par are) sur le rendement $R(x)$ (en kg) de son champ d’arachides, avec $R(x) = -2x^{2} + 40x + 100$ , pour $x \in [0;20]$ .

Vérifie que, pour tout $x$ , $R(x) = -2(x-10)^{2} + 300$ .
En déduire le rendement maximal et la quantité d’engrais qui permet de l’atteindre.
L’agriculteur souhaite un rendement d’au moins $250$ kg. Résous $R(x) \geqslant 250$ et donne les quantités d’engrais possibles.

Voir le corrigé détaillé

$-2(x-10)^{2} + 300 = -2(x^{2} - 20x + 100) + 300$
$=$ $-2x^{2} + 40x - 200 + 300$
$=$ $-2x^{2} + 40x + 100 = R(x)$

2. Pour tout $x$ , $(x-10)^{2} \geqslant 0$ donc $-2(x-10)^{2} \leqslant 0$ , donc $R(x) \leqslant 300$ , avec égalité si et seulement si $x=10$ . Le rendement maximal est $300$ kg, atteint pour $x=10$ kg d’engrais par are.

$-2(x-10)^{2} + 300 \geqslant 250$
$\iff$ $-2(x-10)^{2} \geqslant -50$
$\iff$ $(x-10)^{2} \leqslant 25$ on divise par $-2$ , l’inégalité change de sens
$\iff$ $-5 \leqslant x-10 \leqslant 5$
$\iff$ $5 \leqslant x \leqslant 15$

$S = [5 ; 15]$ : il faut épandre entre $5$ et $15$ kg d’engrais par are pour garantir un rendement d’au moins $250$ kg.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Définir une fonction $f$ sur un ensemble $D$ , c'est associer à chaque nombre $x$ de $D$ :

plusieurs nombres réels possibles un nombre entier uniquement un unique nombre réel

f(x)

un autre élément de

D

Explication : Par définition, une fonction associe à chaque

x

D

un seul et unique nombre réel

f(x)

, son image. La sortie d'une fonction est toujours unique.

L'ensemble de définition de $f(x) = \dfrac{1}{x-3}$ est :

\mathbb{R}

\mathbb{R} \setminus \{3\}

[3\,;+\infty[

\mathbb{R} \setminus \{-3\}

Explication : Un quotient n'existe pas si le dénominateur est nul :

x-3 \neq 0 \iff x \neq 3

, donc

D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}

L'ensemble de définition de $g(x) = \sqrt{2x+6}$ est :

\mathbb{R}

]-\infty\,;-3]

\mathbb{R} \setminus \{-3\}

[-3\,;+\infty[

Explication : Une racine carrée n'existe que si le radicande est positif ou nul :

2x+6 \geqslant 0 \iff x \geqslant -3

, donc

D_g = [-3\,;+\infty[

Soit $f(x) = 3x^2 - 2$ . L'image de $-2$ par $f$ est :

10

-10

4

14

Explication :

f(-2) = 3\times(-2)^2 - 2 = 3\times 4 - 2 = 12-2 = 10

Soit $f(x) = x^2 - 2x + 1$ . Le point $A(3\,;4)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?

non, car

f(3) = 6

oui, car

f(3) = 4

non, car

f(3) = 3

on ne peut pas savoir sans tracer la courbe

Explication :

f(3) = 3^2 - 2\times 3 + 1 = 9-6+1 = 4

. Comme

4=4

, le point

A(3\,;4)

appartient bien à

\mathcal{C}_f

Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ :

a \leqslant b \implies f(a) \geqslant f(b)

f(a) \leqslant f(b)

toujours, quels que soient

a

b

f(a) = f(b)

a \leqslant b \implies f(a) \leqslant f(b)

Explication : Une fonction croissante sur

I

conserve l'ordre : si

a \leqslant b

(tous deux dans

I

), alors

f(a) \leqslant f(b)

. Le sens de variation se lit toujours de gauche à droite.

Une fonction $k$ , définie sur $[-4\,;5]$ , a le tableau de variations suivant : décroissante de $6$ (en $x=-4$ ) à $-2$ (en $x=-1$ ), puis croissante jusqu'à $9$ (en $x=3$ ), puis décroissante jusqu'à $1$ (en $x=5$ ). Compare $k(-3)$ et $k(-2)$ :

k(-3) > k(-2)

k(-3) < k(-2)

k(-3) = k(-2)

on ne peut pas comparer sans calculer

Explication :

-4 \leqslant -3 < -2 \leqslant -1

: les deux réels sont dans

[-4\,;-1]

, où

k

est décroissante. L'ordre s'inverse donc :

k(-3) > k(-2)

Un maximum $M$ d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ , atteint en $x_0$ , est :

l'abscisse

x_0

la valeur

f(x_0)

, la plus grande image possible sur

I

le point

(x_0\,;f(x_0))

toujours atteint au bord de

I

Explication : Un extremum est une valeur (une ordonnée), jamais une abscisse ni un point. Le maximum de la fonction température, par exemple, est « 40, atteint en x=18 » — jamais « le maximum est 18 ».

Pour résoudre graphiquement $f(x) = k$ , on cherche :

le maximum de la courbe l'ordonnée à l'origine de la courbe les abscisses des points d'intersection de

\mathcal{C}_f

avec la droite

y=k

les ordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses

Explication : On trace la droite horizontale

y=k

; les solutions de

f(x)=k

sont les abscisses de ses points d'intersection avec la courbe

\mathcal{C}_f

Une fonction $f$ est paire lorsque, pour tout $x$ de $D_f$ (symétrique par rapport à $0$ ) :

f(-x) = -f(x)

f(0) = 0

f(x) = -x

f(-x) = f(x)

Explication : Une fonction paire vérifie

f(-x)=f(x)

pour tout

x

D_f

; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

(Oy)

Soit $f(x) = x^2 - 3$ , définie sur $\mathbb{R}$ . Cette fonction est :

paire, car

f(-x) = f(x)

impaire, car

f(-x) = -f(x)

ni paire ni impaire on ne peut pas le savoir sans tracer sa courbe

Explication :

f(-x) = (-x)^2 - 3 = x^2-3 = f(x)

: la fonction est paire, sa courbe est symétrique par rapport à

(Oy)

Soit $h(x) = x^2 + x$ , définie sur $\mathbb{R}$ . On calcule $h(1)=2$ et $h(-1)=0$ . Que peut-on en conclure ?

h

est paire

h

est impaire

h

n'est ni paire ni impaire

h

est à la fois paire et impaire

Explication : Comme

0 \neq 2

0 \neq -2

, on a

h(-1) \neq h(1)

h(-1) \neq -h(1)

h

n'est ni paire ni impaire. Il suffit souvent d'un terme qui « casse » la symétrie.

Une fonction $g$ est donnée par ce tableau de valeurs : $g(-2)=9$ , $g(-1)=4$ , $g(0)=1$ , $g(1)=0$ , $g(2)=1$ , $g(3)=4$ . Les antécédents de $4$ par $g$ sont :

0

1

-1

3

seulement

-1

-2

3

Explication : On cherche

4

sur la ligne des images : il apparaît en

x=-1

et en

x=3

. Les antécédents de

4

sont donc

-1

3

Vrai ou faux : « Tout nombre réel possède au moins un antécédent par une fonction $f$ . »

vrai, c'est toujours le cas vrai, sauf pour les fonctions affines faux, seulement si

f

est paire faux : par exemple pour

f(x)=x^2

sur

\mathbb{R}

-1

n'a aucun antécédent

Explication : C'est faux en général : pour

f(x)=x^2

, aucun réel

x

ne vérifie

x^2=-1

, donc

-1

n'a aucun antécédent par

f

Un opérateur à Ndjamena facture un forfait fixe de $2\,000$ F CFA jusqu'à $5$ Go inclus, puis $300$ F CFA par Go supplémentaire. Un client a payé $3\,200$ F CFA ce mois-ci. Combien de Go a-t-il consommés ?

9

4

12

6

Explication :

2\,000 + 300(x-5) = 3\,200 \iff 300(x-5)=1\,200 \iff x-5=4 \iff x=9

Le rendement d'un champ d'arachides près d'Abéché est $R(x) = -2(x-10)^2 + 300$ (kg), pour $x$ kg d'engrais par are. Le rendement maximal, et la quantité d'engrais correspondante, sont :

300

kg, pour

x=0

100

kg, pour

x=10

300

kg, pour

x=10

le rendement n'a pas de maximum

Explication : Pour tout

x

(x-10)^2 \geqslant 0

, donc

-2(x-10)^2 \leqslant 0

, donc

R(x) \leqslant 300

, avec égalité seulement si

x=10

. Le maximum est

300

kg, atteint pour

10

kg d'engrais par are.

La fonction température à Abéché vaut $30$ °C en $x=0$ , $x=12$ et $x=24$ (heures), avec un minimum $20$ en $x=6$ et un maximum $40$ en $x=18$ . Que dire de sa parité sur $D_f = [0\,;24]$ ?

elle est paire, car

f(0)=f(24)

elle est impaire il faut calculer

f(-x)

pour trancher elle n'est ni paire ni impaire, car

D_f

n'est pas symétrique par rapport à

0

Explication : Pour être paire ou impaire,

D_f

doit d'abord être symétrique par rapport à

0

: or

24 \in D_f

alors que

-24 \notin D_f

. La condition préalable échoue, donc

f

n'est ni paire ni impaire, quelles que soient ses valeurs.

Sur une randonnée près de Dakar, l'altitude $h(x)$ (m) croît de $20$ m (en $x=0$ ) à $140$ m (en $x=4$ ), puis décroît jusqu'à $20$ m (en $x=8$ ). Sans calculer d'image, que peut-on dire de $h(1)$ et $h(3)$ ?

h(1) > h(3)

h(1) < h(3)

h(1) = h(3)

on ne peut rien dire sans calculer

Explication :

1

3

sont tous deux dans

[0\,;4]

, où

h

est croissante ; comme

1<3

, l'ordre est conservé :

h(1) < h(3)

Soit $f(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}$ , et $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ . On a montré que $f(x) = 2 - \dfrac{7}{x+3}$ . Sur $]-3\,;+\infty[$ , $f$ est :

décroissante, comme la fonction inverse constante croissante, car

-\dfrac{7}{x+3}

est croissante sur

]-3\,;+\infty[

ni croissante ni décroissante

Explication :

\dfrac{1}{x+3}

est décroissante sur

]-3\,;+\infty[

(fonction inverse translatée), donc

-\dfrac{7}{x+3}

(facteur négatif) y est croissante, et ajouter la constante

2

ne change pas le sens :

f

est croissante sur

]-3\,;+\infty[

Un réservoir à Douala a une hauteur d'eau $h(x)$ qui croît de $0$ à $5$ m entre $x=0$ et $x=5$ h, reste à $5$ m jusqu'à $x=7$ h, puis décroît jusqu'à $0$ en $x=12$ h. On lit que $h(x) \geqslant 3$ pour $x \in [3\,;9]$ . Pendant combien de temps la hauteur reste-t-elle au moins égale à $3$ m ?

6

heures

2

heures

9

heures

12

heures

Explication : L'ensemble des solutions est l'intervalle

[3\,;9]

, dont l'amplitude vaut

9-3=6

heures.

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En bref

Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 9 h
8 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme

Généralités sur les fonctions

Ce que tu sauras faire à la fin

1Définition, ensemble de définition

1.1 Qu’est-ce qu’une fonction ?

1.2 Ensemble de définition

2Image et antécédent

2.1 Image d’un nombre par une fonction

2.2 Antécédent d’un nombre par une fonction

2.3 Trois façons de lire une image ou un antécédent

3Courbe représentative

3.1 Définition et test d’appartenance

3.2 Construire une courbe point par point

4Variations et tableau de variations

4.1 Sens de variation

4.2 Tableau de variations

4.3 Comparer des images grâce aux variations

5Extremums

5.1 Maximum et minimum

6Résolution graphique d’équations et d’inéquations

6.1 Résoudre f(x)=kf(x) = kf(x)=k graphiquement

6.2 Résoudre une inéquation f(x)⩽kf(x) \leqslant kf(x)⩽k

7Parité et symétries

7.1 Fonctions paires

7.2 Fonctions impaires

7.3 Démontrer qu’une fonction est paire ou impaire

Fiche mémo

8Exercices corrigés

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Fonctions : généralités et lectures graphiques

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

6.1 Résoudre $f(x) = k$ graphiquement

6.2 Résoudre une inéquation $f(x) \leqslant k$