Inéquations et tableaux de signes

Résoudre des inéquations, y compris produits et quotients, à l'aide d'un tableau de signes.

Mathématiques Seconde Chapitre 4 / 15 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Construire un tableau de signes
Résoudre une inéquation produit ou quotient
Écrire les solutions sous forme d'intervalles

Depuis la troisième, tu sais résoudre une inéquation comme $3x - 5 > 1$ : tu isoles $x$ et tu écris la solution. Ce chapitre reprend cette technique à son compte, mais il l'emmène beaucoup plus loin. Que se passe-t-il quand l'inconnue apparaît dans un produit, comme $(2x-4)(x+3) \leqslant 0$ , ou dans un quotient, comme $\dfrac{2x-4}{x+1} \geqslant 0$ ? On ne peut plus « isoler $x$ » directement : il faut d'abord étudier le signe de chaque morceau, puis les combiner. C'est l'objet du tableau de signes, l'outil central de ce chapitre.

Tu rencontres ce genre de question partout dès que tu compares deux quantités qui évoluent différemment : le prix de deux formules de transport à Ndjamena, deux forfaits téléphoniques à Douala, le coût de production et la recette d'un artisan à Dakar. Résoudre une inéquation, c'est répondre précisément à la question « à partir de quand est-ce que… ? ». Tu retrouveras ce même outil, sous une forme enrichie, dans tous les chapitres futurs consacrés à l'étude des fonctions (signe d'une dérivée, tableau de variations) : ce que tu apprends ici est un point d'appui pour tout le reste du lycée.

La difficulté n'est pas calculatoire — les calculs restent simples — mais méthodologique : il faut être rigoureux sur les valeurs interdites (un dénominateur ne s'annule jamais), organiser proprement un tableau à plusieurs lignes, et savoir traduire un résultat en ensemble de solutions, écrit sous forme d'intervalle.

À la fin de ce chapitre, tu sauras construire un tableau de signes complet, résoudre une inéquation produit ou quotient en t'appuyant dessus, et écrire les solutions sous forme d'intervalles, seuls ou réunis par $\cup$ .

1Ordre et opérations

Avant de résoudre quoi que ce soit, il faut savoir précisément ce qu'on a le droit de faire à une inégalité. Deux opérations sont autorisées à chaque étape, mais l'une d'elles cache un piège redoutable.

1.1 Ajouter ou soustraire un même nombre

Définition

Pour deux réels $a$ et $b$ , on dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$ , et on note $a \leqslant b$ , lorsque le nombre $b - a$ est positif ou nul. L'inégalité est stricte, notée $a < b$ , lorsque de plus $a \neq b$ . Les symboles $\geqslant$ et $>$ s'utilisent de la même manière, dans l'autre sens.

Propriété — addition

Pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ :

$a \leqslant b \iff a + c \leqslant b + c$

Ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres d'une inégalité ne change jamais son sens.

Démonstration

$(b+c) - (a+c) = b - a$ . Or $b-a$ est positif ou nul puisque $a \leqslant b$ . Donc $(a+c) \leqslant (b+c)$ . C.Q.F.D.

1.2 Multiplier par un nombre positif ou négatif

Propriété — multiplication

Pour tous réels $a$ , $b$ et pour tout réel $k$ :

si $k > 0$ : $a \leqslant b \iff ka \leqslant kb$ (l'ordre est conservé) ;
si $k < 0$ : $a \leqslant b \iff ka \geqslant kb$ (l'ordre est inversé) ;
si $k = 0$ : $ka = kb = 0$ , l'inégalité devient une égalité.

Démonstration

$kb - ka = k(b-a)$ . Comme $a \leqslant b$ , le facteur $b-a$ est positif ou nul.

Si $k > 0$ : un produit de deux facteurs positifs ou nuls est positif ou nul, donc $k(b-a) \geqslant 0$ , c'est-à-dire $kb \geqslant ka$ .

Si $k < 0$ : le produit d'un facteur positif ou nul par un facteur négatif est négatif ou nul, donc $k(b-a) \leqslant 0$ , c'est-à-dire $kb \leqslant ka$ , soit $ka \geqslant kb$ . C.Q.F.D.

Attention

C'est le piège n°1 de ce chapitre : dès que tu multiplies ou divises les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, tu dois inverser le sens de l'inégalité. Et diviser par $x$ est interdit tant que tu ne connais pas le signe de $x$ — c'est justement pour éviter ce genre de division hasardeuse qu'on utilisera bientôt les tableaux de signes.

Exemple — multiplier par un négatif

$3 < 5$
$\Rightarrow$ $3 \times (-2) > 5 \times (-2)$ on multiplie par $-2 < 0$ : l'ordre s'inverse
$\Rightarrow$ $-6 > -10$

Exemple — encadrer une expression

Sachant que $2 \leqslant x \leqslant 5$ , encadre $3x - 1$ .

$2 \leqslant x \leqslant 5$
$\Rightarrow$ $6 \leqslant 3x \leqslant 15$ on multiplie par $3 > 0$ : l'ordre est conservé
$\Rightarrow$ $5 \leqslant 3x - 1 \leqslant 14$ on ajoute $-1$

Math & Co — La naissance des symboles

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Les signes $<$ et $>$ que tu utilises depuis le collège sont étonnamment récents. C'est le mathématicien et astronome anglais Thomas Harriot (1560-1621) qui les introduit, dans un ouvrage publié après sa mort, en 1631 : Artis Analyticae Praxis. Avant lui, les mathématiciens écrivaient les inégalités en toutes lettres, ce qui rendait les calculs longs et peu lisibles.

Ses symboles s'imposent progressivement dans toute l'Europe au cours du XVIIe siècle, aux côtés du signe $=$ , inventé un peu plus tôt (1557) par le Gallois Robert Recorde, qui expliquait avoir choisi deux traits parallèles « car deux choses ne peuvent être plus égales ».

2Inéquations du premier degré

Définition

Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inéquation qui, après réduction, se ramène à l'une des formes $ax+b>0$ , $ax+b \geqslant 0$ , $ax+b<0$ ou $ax+b \leqslant 0$ , où $a$ et $b$ sont des réels donnés, avec $a \neq 0$ , et $x$ l'inconnue.

Méthode — résoudre une inéquation du premier degré

On isole $x$ comme pour une équation, étape par étape, en appliquant les propriétés de la section 1 : on ajoute ou on soustrait librement, mais on inverse le sens de l'inégalité à chaque multiplication ou division par un nombre négatif.

Exemple — coefficient positif

Résous $2x - 6 > 0$ .

$2x - 6 > 0$
$\iff$ $2x > 6$ on ajoute $6$
$\iff$ $x > 3$ on divise par $2>0$ : le sens est conservé

L'ensemble des solutions est $S = \left]3\,;+\infty\right[$ .

Figure 1 — Représentation de

S = \left]3\,;+\infty\right[

sur une droite graduée : le point en

3

est ouvert car l'inégalité

2x-6>0

est stricte, et le trait épais indique la partie qui « marche ».

Exemple — coefficient négatif

Résous $-2x + 5 \leqslant 11$ .

$-2x + 5 \leqslant 11$
$\iff$ $-2x \leqslant 6$ on ajoute $-5$
$\iff$ $x \geqslant -3$ on divise par $-2<0$ : le sens s'inverse

$S = \left[-3\,;+\infty\right[$ . Cette fois, sur une droite graduée, on placerait un point plein en $-3$ (la valeur $-3$ est solution, car l'inégalité est large) et on hachurerait vers la droite.

3Signe de ax + b

Tu sais désormais résoudre une inéquation isolée. Mais bientôt, il faudra étudier le signe d'expressions plus riches, produits ou quotients de plusieurs morceaux du premier degré. La brique de base de tout tableau de signes est le signe d'une seule expression affine $ax+b$ . Fixons-le une bonne fois pour toutes.

Théorème

Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a \neq 0$ . L'expression $ax+b$ s'annule pour $x = -\dfrac{b}{a}$ (sa racine), et :

si $a>0$ : $ax+b$ est négatif avant cette valeur, positif après ;
si $a<0$ : $ax+b$ est positif avant cette valeur, négatif après.

Autrement dit : $ax+b$ est toujours du signe de $a$ après la racine, et du signe opposé avant.

Démonstration

On factorise :

$ax+b = a\left(x+\dfrac{b}{a}\right)$
$=$ $a\left(x-\left(-\dfrac{b}{a}\right)\right)$

Le facteur $x-\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ est négatif pour $x<-\dfrac{b}{a}$ , nul en $x=-\dfrac{b}{a}$ , positif pour $x>-\dfrac{b}{a}$ : c'est une simple différence, qui change de signe exactement en $-\dfrac{b}{a}$ . Le signe du produit $a \times \left(x-\left(-\dfrac{b}{a}\right)\right)$ s'obtient alors par la règle des signes : il vaut le signe de $a$ quand la différence est positive, et le signe opposé quand elle est négative. C.Q.F.D.

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{b}{a}$		$+\infty$
$ax+b$ ( $a>0$ )		$-$	$0$	$+$
$ax+b$ ( $a<0$ )		$+$	$0$	$-$

Exemple —

a>0

$f(x)=3x-6$ s'annule pour $x=2$ , et $a=3>0$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$3x-6$		$-$	$0$	$+$

Exemple —

a<0

$g(x)=-2x+8$ s'annule pour $x=4$ , et $a=-2<0$ .

$x$	$-\infty$		$4$		$+\infty$
$-2x+8$		$+$	$0$	$-$

Attention

Ne confonds pas le signe du coefficient $a$ (une propriété fixe de l'expression) avec le signe de $ax+b$ pour une valeur de $x$ donnée (qui change selon la position par rapport à la racine). C'est justement parce que ce dernier change de signe qu'on a besoin d'un tableau plutôt que d'une seule réponse.

4Tableau de signes d'un produit

Un produit ne change de signe qu'à l'endroit où l'un de ses facteurs s'annule. L'idée du tableau de signes est donc simple : on étudie chaque facteur affine séparément, ligne par ligne, puis on combine les résultats colonne par colonne, avec la règle des signes que tu connais depuis la 4e.

4.1 Rappel : la règle des signes d'un produit

Propriété — règle des signes

$\times$	$+$	$-$
$+$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

Un produit de deux facteurs est positif si les deux facteurs ont même signe, négatif s'ils ont des signes contraires, et nul dès que l'un des facteurs est nul.

4.2 Construire un tableau de signes

Méthode — tableau de signes d'un produit

On factorise complètement l'expression, si ce n'est pas déjà fait.
On calcule la racine de chaque facteur affine et on les place dans l'ordre croissant en tête du tableau.
On complète une ligne par facteur, grâce à la règle de la section 3.
On complète la dernière ligne (le produit) colonne par colonne, avec la règle des signes.

Exemple — produit de deux facteurs

Étudions le signe de $f(x) = (2x-4)(x+3)$ , puis résolvons $f(x) \leqslant 0$ . Racines : $2x-4=0 \iff x=2$ ; $x+3=0 \iff x=-3$ .

$x$		$-3$		$2$
$2x-4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

On lit la dernière ligne : $f(x)$ est négatif ou nul exactement sur $[-3\,;2]$ . Donc $S = [-3\,;2]$ .

Exemple — trois facteurs, dont une constante négative

Étudions le signe de $k(x) = -2(x-3)(x+1)$ , puis résolvons $k(x) \geqslant 0$ . Racines des facteurs affines : $3$ et $-1$ ; le facteur constant $-2$ ne s'annule jamais et garde toujours le même signe.

$x$		$-1$		$3$
$-2$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$k(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Sur chaque colonne, on multiplie les trois signes (règle des signes appliquée deux fois). On lit : $k(x)$ est positif ou nul exactement sur $[-1\,;3]$ . Donc $S=[-1\,;3]$ .

Attention

N'oublie jamais la ligne du facteur constant quand il est négatif : c'est une erreur très fréquente d'étudier seulement les facteurs qui contiennent $x$ et d'oublier qu'un « $-2$ » devant inverse tout le résultat final.

Le principe est identique pour un quotient — à un détail près, mais capital : un dénominateur ne doit jamais s'annuler.

5Inéquations quotients

Définition

Dans un quotient $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ , toute valeur de $x$ qui annule le dénominateur $v(x)$ est une valeur interdite : elle est exclue de l'ensemble de définition, donc de la solution, quelle que soit l'inégalité étudiée — même large.

Propriété

Pour $v(x) \neq 0$ , le quotient $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ suit exactement la même règle des signes qu'un produit : positif si $u(x)$ et $v(x)$ ont même signe, négatif sinon.

Méthode — tableau de signes d'un quotient

On procède comme pour un produit, avec deux différences : la valeur interdite se note $\|$ (double barre) dans la ligne du quotient — jamais $0$ — et elle est toujours exclue de la solution.

Exemple — inéquation quotient

Résolvons $\dfrac{2x-4}{x+1} \geqslant 0$ . Valeur interdite : $x+1=0 \iff x=-1$ . Racine du numérateur : $2x-4=0 \iff x=2$ .

$x$		$-1$		$2$
$2x-4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$\dfrac{2x-4}{x+1}$	$+$	$\\|$	$-$	$0$	$+$

Le quotient est positif ou nul sur $\left]-\infty\,;-1\right[$ et sur $[2\,;+\infty[$ , la valeur $-1$ étant exclue dans tous les cas. Donc $S = \left]-\infty\,;-1\right[ \cup [2\,;+\infty[$ .

Figure 2 — Le point

-1

(rouge) est une valeur interdite : il est toujours exclu. Le point

2

(violet, plein) est inclus car l'inégalité est large.

Attention

Même quand l'inégalité est large ( $\geqslant$ ou $\leqslant$ ), la valeur interdite reste exclue : un dénominateur nul n'a jamais de sens, il n'y a aucune exception.

6Ensembles de solutions

6.1 Écrire un ensemble de solutions

Définition — intervalles

Pour deux réels $a \leqslant b$ , on note :

Inégalités	Intervalle	Lecture
$a < x < b$	$\left]a\,;b\right[$	ouvert
$a \leqslant x \leqslant b$	$[a\,;b]$	fermé
$a \leqslant x < b$	$[a\,;b[$	semi-ouvert
$a < x \leqslant b$	$\left]a\,;b\right]$	semi-ouvert
$x > a$	$\left]a\,;+\infty\right[$	ouvert
$x \geqslant a$	$[a\,;+\infty[$	fermé à gauche
$x < a$	$\left]-\infty\,;a\right[$	ouvert
$x \leqslant a$	$\left]-\infty\,;a\right]$	fermé à droite

Un crochet tourné vers l'intérieur, $[$ ou $]$ , signifie « valeur incluse » ; un crochet tourné vers l'extérieur, $]$ ou $[$ , signifie « valeur exclue ». Les infinis $-\infty$ et $+\infty$ ne sont jamais inclus.

Math & Co — Qui a inventé l'écriture ]a ; b[ ?

Cette notation, avec des crochets tournés vers l'extérieur pour dire « exclu », vient du groupe Nicolas Bourbaki — le pseudonyme collectif d'un groupe de mathématiciens, surtout français, réunis à partir de 1935 pour refonder les mathématiques sur des bases parfaitement rigoureuses. Dans leur immense traité Éléments de mathématique, publié à partir de 1939, ils imposent cette écriture, devenue depuis un standard mondial de l'enseignement.

6.2 Systèmes d'inéquations : intersection

Définition

Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver tous les réels $x$ qui vérifient toutes les inéquations en même temps. L'ensemble des solutions est l'intersection (notée $\cap$ ) des ensembles de solutions de chaque inéquation.

Exemple — système de deux inéquations

Résolvons $\begin{cases} 2x-4>0 \\ -x+7 \geqslant 0 \end{cases}$ .

$2x-4>0 \iff x>2$
$-x+7 \geqslant 0 \iff x \leqslant 7$

On cherche les $x$ qui vérifient les deux à la fois : $S = \left]2\,;+\infty\right[ \cap \left]-\infty\,;7\right] = \left]2\,;7\right]$ .

Figure 3 — Les lignes ① et ② donnent chacune une solution ; les pointillés verticaux projettent

2

7

sur la ligne du bas, qui retient uniquement la zone commune :

\left]2\,;7\right]

6.3 Application : comparer deux tarifs

Méthode — comparer deux formules de prix

Exprimer le prix de chaque formule en fonction d'une variable $x$ (heures, kilomètres, minutes…).
Poser l'inéquation traduisant « la formule 1 coûte moins cher que la formule 2 ».
La résoudre comme une inéquation du premier degré.
Interpréter le résultat dans le contexte.

Exemple — location de vélo à Yaoundé

Deux formules sont proposées pour $x$ heures de location : Formule A (abonnement) : $600$ F CFA de frais fixes puis $200$ F CFA par heure, $A(x)=600+200x$ . Formule B (à l'heure) : $350$ F CFA par heure, sans frais fixes, $B(x)=350x$ . À partir de combien d'heures la formule A devient-elle plus avantageuse ?

$A(x) < B(x)$
$\iff$ $600+200x < 350x$
$\iff$ $600 < 150x$ on soustrait $200x$
$\iff$ $x > 4$ on divise par $150>0$

La formule A est strictement moins chère dès que $x>4$ heures ; à $x=4$ h, les deux formules coûtent $1\,400$ F CFA.

Figure 4 — Les deux droites se croisent à

x=4

h (

1\,400

F CFA). Au-delà, la formule A (violette) passe sous la formule B (orange) : c'est la solution, en vert, de

600+200x<350x

Fiche mémo

Multiplier ou diviser par un nombre négatif : on inverse le sens de l'inégalité.
$ax+b$ ( $a \neq 0$ ) s'annule en $x=-\dfrac{b}{a}$ : signe de $a$ après la racine, signe opposé avant.
Signe d'un produit : une ligne par facteur, puis on multiplie colonne par colonne (règle des signes).
Un facteur constant ne s'annule jamais : sa ligne garde toujours le même signe.
Signe d'un quotient : même règle qu'un produit, mais une valeur interdite se note $\|$ , jamais $0$ .
Une valeur interdite est toujours exclue de la solution, même avec une inégalité large.
$\left]a\,;b\right[$ : crochets vers l'extérieur = exclu ; $[a\,;b]$ : crochets vers l'intérieur = inclus.
$-\infty$ et $+\infty$ : toujours un crochet ouvert de leur côté.
Système d'inéquations : la solution est l'intersection $\cap$ des solutions de chaque inéquation.
Deux intervalles réunis par « ou » : union $\cup$ .
Comparer deux tarifs : poser $A(x)$ et $B(x)$ , résoudre $A(x)<B(x)$ , interpréter dans le contexte.

7Exercices corrigés

Entraîne-toi sur les quatre niveaux, du plus simple au plus exigeant. Cherche chaque exercice au brouillon avant de dérouler le corrigé : c'est en cherchant, pas en lisant, que tu progresses.

Niveau 1 — Application directe

Sachant que $-4 < 7$ , complète chaque ligne par $<$ ou $>$ , en justifiant l'opération effectuée : a) $-4+5\;\ldots\;7+5$ b) $-4\times 3\;\ldots\;7\times 3$ c) $-4\times(-2)\;\ldots\;7\times(-2)$ d) $-4-10\;\ldots\;7-10$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $-4+5 < 7+5$ on ajoute $5$ : le sens est conservé
b) $-4\times 3 < 7\times 3$ on multiplie par $3>0$ : conservé
c) $-4\times(-2) > 7\times(-2)$ on multiplie par $-2<0$ : inversé
d) $-4-10 < 7-10$ on soustrait $10$ : conservé

Résous puis écris $S$ sous forme d'intervalle : a) $5x-3>12$ b) $-4x+1 \geqslant -7$ c) $2(x-3) < 4x+5$ .

Voir le corrigé détaillé

$5x-3>12$
$\iff$ $5x>15$
$\iff$ $x>3$

$S=\left]3\,;+\infty\right[$ .

$-4x+1 \geqslant -7$
$\iff$ $-4x \geqslant -8$
$\iff$ $x \leqslant 2$ on divise par $-4<0$ : le sens s'inverse

$S=\left]-\infty\,;2\right]$ .

$2(x-3) < 4x+5$
$\iff$ $2x-6 < 4x+5$
$\iff$ $-11 < 2x$
$\iff$ $x > -\dfrac{11}{2}$

$S=\left]-\dfrac{11}{2}\,;+\infty\right[$ .

Soit $f(x)=4x-8$ . Détermine sa racine, dresse son tableau de signes, puis résous $f(x) \geqslant 0$ .

Voir le corrigé détaillé

Racine : $4x-8=0 \iff x=2$ . Le coefficient $a=4$ est positif.

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$4x-8$		$-$	$0$	$+$

$f(x) \geqslant 0$ sur $[2\,;+\infty[$ . Donc $S=[2\,;+\infty[$ .

Sur une droite graduée, un point plein est placé en $-2$ , et la partie hachurée part de $-2$ vers la gauche. a) Donne l'ensemble des solutions $S$ représenté. b) Propose une inéquation du premier degré dont $S$ est la solution.

Voir le corrigé détaillé

a) Le point est plein (inclus) et la zone solution part vers $-\infty$ : $S = \left]-\infty\,;-2\right]$ .

b) Il faut une inéquation équivalente à $x \leqslant -2$ , par exemple $-x-2 \geqslant 0$ .

$-x-2 \geqslant 0$
$\iff$ $-x \geqslant 2$
$\iff$ $x \leqslant -2$ on divise par $-1<0$ : le sens s'inverse

On retrouve bien $S=\left]-\infty\,;-2\right]$ .

Résous $3(2x-1)-5 \leqslant 2(x+4)+1$ .

Voir le corrigé détaillé

$3(2x-1)-5 \leqslant 2(x+4)+1$
$\iff$ $6x-3-5 \leqslant 2x+8+1$ on développe les deux membres
$\iff$ $6x-8 \leqslant 2x+9$
$\iff$ $4x \leqslant 17$
$\iff$ $x \leqslant \dfrac{17}{4}$

$S=\left]-\infty\,;\dfrac{17}{4}\right]$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Étudie le signe de $(3x-9)(x+2)$ , puis résous $(3x-9)(x+2)>0$ .

Voir le corrigé détaillé

Racines : $3x-9=0 \iff x=3$ ; $x+2=0 \iff x=-2$ .

$x$		$-2$		$3$
$3x-9$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
produit	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Le produit est strictement positif sur $\left]-\infty\,;-2\right[ \cup \left]3\,;+\infty\right[$ . Donc $S=\left]-\infty\,;-2\right[ \cup \left]3\,;+\infty\right[$ .

Soit $k(x)=-3(x-1)(x+4)$ . Dresse son tableau de signes, puis résous $k(x)<0$ .

Voir le corrigé détaillé

Racines des facteurs affines : $1$ et $-4$ ; le facteur constant $-3$ ne s'annule jamais.

$x$		$-4$		$1$
$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x+4$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$k(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

$k(x)<0$ (strictement) sur $\left]-\infty\,;-4\right[ \cup \left]1\,;+\infty\right[$ . Donc $S=\left]-\infty\,;-4\right[ \cup \left]1\,;+\infty\right[$ .

Résous $\dfrac{5-x}{x+3} \leqslant 0$ .

Voir le corrigé détaillé

Valeur interdite : $x+3=0 \iff x=-3$ . Racine du numérateur : $5-x=0 \iff x=5$ .

$x$		$-3$		$5$
$5-x$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
quotient	$-$	$\\|$	$+$	$0$	$-$

Le quotient est négatif ou nul sur $\left]-\infty\,;-3\right[$ (avec $-3$ exclu) et en $x=5$ : $S=\left]-\infty\,;-3\right[ \cup [5\,;+\infty[$ .

Résous le système $\begin{cases} 3x+1>x-5 \\ 2x-8 \leqslant 0 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

$3x+1>x-5 \iff 2x>-6 \iff x>-3$
$2x-8 \leqslant 0 \iff x \leqslant 4$

Comme pour la figure 3, on prend l'intersection des deux solutions : $S=\left]-3\,;+\infty\right[ \cap \left]-\infty\,;4\right] = \left]-3\,;4\right]$ .

Niveau 3 — Défi

On veut résoudre $\dfrac{x-1}{3-x} < 2$ .

Ramène l'inéquation à un seul quotient comparé à $0$ .
Dresse le tableau de signes de ce quotient.
Donne l'ensemble des solutions.

Voir le corrigé détaillé

1. On ne multiplie jamais par $3-x$ sans connaître son signe : on regroupe donc tout d'un seul côté.

$\dfrac{x-1}{3-x} - 2 < 0$
$\iff$ $\dfrac{(x-1) - 2(3-x)}{3-x} < 0$
$\iff$ $\dfrac{x-1-6+2x}{3-x} < 0$
$\iff$ $\dfrac{3x-7}{3-x} < 0$

2. Valeur interdite : $3-x=0 \iff x=3$ . Racine du numérateur : $3x-7=0 \iff x=\dfrac{7}{3}$ .

$x$		$\dfrac{7}{3}$		$3$
$3x-7$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$3-x$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
quotient	$-$	$0$	$+$	$\\|$	$-$

3. Le quotient est strictement négatif sur $\left]-\infty\,;\dfrac{7}{3}\right[$ et sur $\left]3\,;+\infty\right[$ . Donc $S=\left]-\infty\,;\dfrac{7}{3}\right[ \cup \left]3\,;+\infty\right[$ .

Soit $h(x)=(x-2)(x+1)^{2}$ .

Détermine les racines de $h$ .
Dresse le tableau de signes de $h$ (attention au facteur au carré).
Résous $h(x) \leqslant 0$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $h(x)=0 \iff x=2$ ou $x=-1$ .

2. Un carré est toujours positif ou nul, quel que soit le signe de ce qu'il élève au carré : $(x+1)^{2}$ est donc positif partout, et nul seulement en $x=-1$ — il ne change jamais de signe.

$x$		$-1$		$2$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x+1)^{2}$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$
$h(x)$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

3. Le piège classique serait de croire que $h$ change de signe en $-1$ : il n'en est rien, puisque $(x+1)^{2} \geqslant 0$ ne fait qu'y toucher $0$ sans changer de signe. $h(x) \leqslant 0$ sur tout l'intervalle $\left]-\infty\,;2\right]$ : $S=\left]-\infty\,;2\right]$ .

Un artisan fabrique $x$ sacs par mois. Son coût de production est $C(x)=2\,500x+15\,000$ (F CFA), et il les vend $4\,000$ F CFA pièce, d'où une recette $R(x)=4\,000x$ .

Pour quelles valeurs de $x$ réalise-t-il un bénéfice, c'est-à-dire $R(x)>C(x)$ ?
Son atelier ne peut produire plus de $40$ sacs par mois. Traduis cette contrainte, puis donne l'intervalle des quantités à la fois rentables et réalisables.
Interprète le résultat.

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$R(x)>C(x)$
$\iff$ $4\,000x > 2\,500x+15\,000$
$\iff$ $1\,500x > 15\,000$
$\iff$ $x>10$

2. La contrainte de production s'écrit $0 \leqslant x \leqslant 40$ . L'ensemble rentable ET réalisable est l'intersection : $S=\left]10\,;+\infty\right[ \cap [0\,;40] = \left]10\,;40\right]$ .

3. L'artisan doit produire au moins 11 sacs (nombre entier) pour être bénéficiaire, et il peut aller jusqu'à sa capacité maximale de $40$ sacs par mois.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Moto-taxis à Ndjamena. Pour un trajet de $x$ kilomètres, le moto-taxi Alpha facture un forfait de $300$ F CFA plus $150$ F CFA par km, soit $A(x)=300+150x$ . Le moto-taxi Beta facture $250$ F CFA par km, sans forfait, soit $B(x)=250x$ . À partir de quelle distance vaut-il mieux choisir Alpha ?

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$A(x) < B(x)$
$\iff$ $300+150x < 250x$
$\iff$ $300 < 100x$
$\iff$ $x>3$

Au-delà de $3$ km, Alpha est strictement moins cher ; à $3$ km exactement, les deux coûtent $750$ F CFA (voir figure 5).

Figure 5 — Les deux droites se croisent à

3

km (

750

F CFA) ; au-delà, la courbe orange (Beta) passe au-dessus de la violette (Alpha).

Couture à Dakar. Aïda coud des boubous. Confectionner $x$ boubous lui coûte $C(x)=3\,500x+40\,000$ F CFA (tissu et charges fixes), et elle les vend $6\,000$ F CFA pièce, soit une recette $R(x)=6\,000x$ . Elle ne peut coudre plus de $25$ boubous par mois.

Pour quelles valeurs de $x$ Aïda est-elle bénéficiaire ?
En tenant compte de sa capacité de production, donne l'intervalle des quantités rentables.

Voir le corrigé détaillé

$R(x)>C(x)$
$\iff$ $6\,000x > 3\,500x+40\,000$
$\iff$ $2\,500x > 40\,000$
$\iff$ $x>16$

2. Avec la contrainte $0 \leqslant x \leqslant 25$ : $S=\left]16\,;+\infty\right[ \cap [0\,;25] = \left]16\,;25\right]$ . Aïda est bénéficiaire à partir du 17e boubou, jusqu'à son maximum de $25$ par mois.

Irrigation à Bamako. Un maraîcher installe un système d'irrigation : $30\,000$ F CFA de pose, puis $400$ F CFA par mètre cube d'eau pompé. Son budget total est de $150\,000$ F CFA. Par ailleurs, ses agronomes estiment qu'il faut pomper au moins $200$ m³ pour que la récolte soit satisfaisante.

Écris et résous l'inéquation traduisant la contrainte de budget, pour $x$ m³ pompés.
Combine-la avec la contrainte agronomique pour donner l'intervalle des volumes possibles.

Voir le corrigé détaillé

$30\,000+400x \leqslant 150\,000$
$\iff$ $400x \leqslant 120\,000$
$\iff$ $x \leqslant 300$

2. Il faut aussi $x \geqslant 200$ . L'ensemble des volumes possibles est l'intersection : $S=[200\,;300]$ . Le maraîcher doit donc pomper entre $200$ et $300$ m³.

Forfaits téléphoniques à Douala. Le forfait P coûte $1\,500$ F CFA plus $20$ F CFA par minute au-delà, soit $P(x)=1\,500+20x$ . Le forfait Q coûte $45$ F CFA par minute, sans abonnement, soit $Q(x)=45x$ , pour $x$ minutes. À partir de combien de minutes le forfait P devient-il plus avantageux ?

Voir le corrigé détaillé

$P(x) < Q(x)$
$\iff$ $1\,500+20x < 45x$
$\iff$ $1\,500 < 25x$
$\iff$ $x>60$

Dès $60$ minutes dépassées, le forfait P est plus avantageux (voir figure 6).

Figure 6 — À

60

minutes, les deux forfaits coûtent

2\,700

F CFA. Au-delà, le forfait P (violet) reste sous le forfait Q (orange).

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Pour deux réels $a$ et $b$ , on écrit $a \leqslant b$ lorsque :

b-a

est positif ou nul

a-b

est positif ou nul

a \times b

est positif

a

b

sont égaux

Explication : Par définition,

a \leqslant b

signifie exactement que le nombre

b-a

est positif ou nul.

Que se passe-t-il quand on multiplie les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif ?

Rien ne change. Le sens de l'inégalité s'inverse. L'inégalité devient une égalité. L'inégalité n'a plus aucune solution.

Explication : C'est le piège n°1 du chapitre : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Ajouter ou soustraire, en revanche, ne change jamais le sens.

Pourquoi ne peut-on pas diviser directement les deux membres d'une inéquation par $x$ ?

Parce que la division par

x

est toujours interdite en mathématiques. Parce que

x

est toujours négatif au lycée. Parce qu'on ne connaît pas le signe de

x

, donc on ignore si le sens s'inverse. Parce que

x

est nécessairement une valeur interdite.

Explication : Diviser change le sens si le diviseur est négatif, le conserve s'il est positif. Sans connaître le signe de

x

, on ne peut pas trancher : c'est justement pour éviter cette division hasardeuse qu'on utilise un tableau de signes.

Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a \neq 0$ . L'expression $ax+b$ est du signe de $a$ :

partout, quelle que soit la valeur de

x

uniquement en sa racine avant sa racine, et du signe opposé après après sa racine, et du signe opposé avant

Explication : Le théorème du signe de

ax+b

dit précisément que l'expression est du signe de

a

après la racine

-\dfrac{b}{a}

, et du signe opposé avant.

Résous $2x - 6 > 0$ .

x>3

x<3

x \geqslant 3

x \leqslant -3

Explication :

2x-6>0

\iff 2x>6

\iff x>3

(on divise par

2>0

: le sens est conservé).

Résous $-2x + 5 \leqslant 11$ .

x \leqslant -3

x \geqslant -3

x \leqslant 3

x \geqslant 3

Explication :

-2x+5\leqslant 11

\iff -2x \leqslant 6

\iff x \geqslant -3

(on divise par

-2<0

: le sens s'inverse).

Soit $f(x)=5x-15$ , qui s'annule en $x=3$ , avec $a=5>0$ . Quel est le signe de $f(x)$ pour $x<3$ ?

positif nul négatif cela dépend de la valeur de

b

Explication : Comme

a=5>0

f(x)

est négatif avant la racine et positif après. Pour

x<3

f(x)

est donc négatif.

Un produit de deux facteurs est négatif lorsque :

les deux facteurs sont positifs les deux facteurs sont négatifs l'un des facteurs est nul les deux facteurs sont de signes contraires

Explication : D'après la règle des signes, un produit est positif si les facteurs ont même signe, négatif s'ils ont des signes contraires, et nul dès que l'un d'eux est nul.

On étudie $f(x)=(2x-4)(x+3)$ , de racines $2$ et $-3$ . Résous $f(x) \leqslant 0$ .

S=[-3\,;2]

S=\left]-\infty\,;-3\right] \cup [2\,;+\infty[

S=\left]-3\,;2\right[

S=[2\,;+\infty[

Explication : Le tableau de signes montre que

f(x)

est négatif entre les racines

-3

2

, et nul en ces valeurs, qui sont donc incluses :

S=[-3\,;2]

On étudie $k(x)=-2(x-3)(x+1)$ . Résous $k(x) \geqslant 0$ .

S=\left]-\infty\,;-1\right] \cup [3\,;+\infty[

S=[-1\,;3]

S=\left]-1\,;3\right[

S=\left]-\infty\,;-1\right[ \cup \left]3\,;+\infty\right[

Explication : Le facteur constant

-2

est toujours négatif : il inverse le résultat obtenu avec les deux autres facteurs. Le tableau donne

k(x)

positif ou nul exactement sur

[-1\,;3]

Dans le quotient $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ , une valeur interdite est une valeur de $x$ qui :

annule le numérateur

u(x)

rend le quotient positif annule le dénominateur

v(x)

rend le quotient nul

Explication : Un dénominateur ne s'annule jamais : toute valeur de

x

qui annule

v(x)

est exclue de l'ensemble de définition, donc de la solution.

Dans la ligne du quotient d'un tableau de signes, la valeur interdite se note :

0

\varnothing

\times

\|

(double barre)

Explication : On réserve le

0

aux racines du numérateur. La valeur interdite (qui annule le dénominateur) se note toujours par une double barre

\|

, jamais par

0

Dans l'intervalle $\left]a\,;b\right]$ :

a

est exclu,

b

est inclus

a

b

sont inclus

a

est inclus,

b

est exclu

a

b

sont exclus

Explication : Un crochet tourné vers l'extérieur,

]

, signifie « exclu » ; un crochet tourné vers l'intérieur,

[

]

selon le côté, signifie « inclus ». Ici

a

a un crochet extérieur (exclu) et

b

un crochet intérieur (inclus).

L'ensemble des solutions d'un système de deux inéquations est :

l'union des deux ensembles de solutions l'intersection des deux ensembles de solutions le produit des deux ensembles de solutions la différence des deux ensembles de solutions

Explication : Résoudre un système, c'est trouver les

x

qui vérifient toutes les inéquations en même temps : l'ensemble des solutions est donc l'intersection

\cap

des ensembles obtenus séparément.

Un taxi-brousse facture $400$ F CFA de prise en charge plus $100$ F CFA par km, soit $A(x)=400+100x$ . Un autre facture $180$ F CFA par km sans prise en charge, soit $B(x)=180x$ , pour $x$ km. À partir de quelle distance $A$ devient-il plus avantageux ?

x>4

x>6

x>5

x<5

Explication :

A(x)<B(x)

\iff 400+100x<180x

\iff 400<80x

\iff x>5

. Au-delà de

5

km, la formule

A

est moins chère.

Résous $\dfrac{2x-4}{x+1} \geqslant 0$ (valeur interdite $x=-1$ , racine du numérateur $x=2$ ).

S=[-1\,;2]

S=\left]-1\,;2\right[

S=\left]-\infty\,;-1\right] \cup [2\,;+\infty[

S=\left]-\infty\,;-1\right[ \cup [2\,;+\infty[

Explication : Le tableau de signes donne le quotient positif sur

\left]-\infty\,;-1\right[

et sur

[2\,;+\infty[

, avec

-1

toujours exclu (valeur interdite) et

2

inclus (racine du numérateur, inégalité large).

Soit $h(x)=(x-2)(x+1)^{2}$ . Que peut-on dire du signe de $h$ autour de $x=-1$ ?

h

ne change pas de signe, car

(x+1)^{2}

est toujours positif ou nul

h

change de signe, car

(x+1)^{2}

s'annule en

x=-1

h

est toujours positif au voisinage de

-1

h

n'est pas défini en

x=-1

Explication : Un carré est toujours positif ou nul :

(x+1)^{2}

touche

0

x=-1

sans jamais devenir négatif. C'est le facteur

(x-2)

qui fixe le signe de

h

de part et d'autre de

-1

, donc

h

ne change pas de signe à cet endroit.

La contrainte de budget d'un projet donne $x \leqslant 300$ , et la contrainte technique donne $x \geqslant 150$ . Quel est l'ensemble des valeurs de $x$ possibles ?

\left]150\,;300\right[

[150\,;300]

[300\,;+\infty[

\left]-\infty\,;150\right]

Explication : On combine les deux contraintes par intersection :

\left]-\infty\,;300\right] \cap [150\,;+\infty[ = [150\,;300]

, avec

150

300

inclus puisque les deux inégalités sont larges.

Pour résoudre correctement $\dfrac{x-1}{3-x} < 2$ , la première étape est :

multiplier les deux membres par

3-x

directement diviser les deux membres par

x-1

tout regrouper d'un même côté pour comparer un seul quotient à

0

résoudre séparément

x-1<2

3-x<2

Explication : On ne multiplie jamais par une expression dont on ignore le signe. Il faut écrire

\dfrac{x-1}{3-x}-2<0

, réduire au même dénominateur, puis étudier le signe du quotient obtenu.

Une coopérative a un coût $C(x)=2\,000x+20\,000$ et une recette $R(x)=3\,000x$ , pour $x$ objets vendus, avec une capacité maximale de $30$ objets par mois. Pour quelles valeurs de $x$ est-elle à la fois bénéficiaire et dans sa capacité de production ?

[0\,;20]

\left]20\,;+\infty\right[

[20\,;30]

\left]20\,;30\right]

Explication :

R(x)>C(x)

\iff 3\,000x>2\,000x+20\,000

\iff x>20

. La contrainte de capacité s'écrit

0 \leqslant x \leqslant 30

. L'intersection donne

\left]20\,;30\right]

: au moins 21 objets, jusqu'à 30.

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Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 8 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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