Fonctions de référence

Étudier les fonctions affine, carré, inverse et racine carrée.

Mathématiques Seconde Chapitre 6 / 15 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Tracer et exploiter les courbes de référence
Comparer deux nombres à l'aide des variations
Résoudre graphiquement une inéquation

Depuis le collège, tu sais calculer l'image d'un nombre par une formule, tracer quelques points, lire un graphique. En Seconde, ce savoir se transforme : on étudie désormais des fonctions de référence — affine, carré, inverse, racine carrée, cube — comme de véritables objets mathématiques, avec leurs variations démontrées, leur parité, leur courbe représentative précise. Ce sont les briques de tout le lycée : dès la Première, tu combineras ces fonctions pour en étudier de plus complexes, et en Physique-Chimie, elles décrivent des lois entières (trajectoire d'un projectile, loi d'Ohm, relation entre pression et volume d'un gaz).

La nouveauté principale par rapport au collège, c'est la rigueur : on ne se contente plus de dire « cette courbe monte » en la regardant, on le démontre par le calcul, à partir de la seule expression de la fonction. Cette démarche — conjecturer sur un graphique, puis prouver algébriquement — est la méthode que tu emploieras dans toutes les études de fonctions à venir.

Tu rencontreras ces courbes partout : une droite pour un tarif proportionnel à une distance, une parabole pour la trajectoire d'un ballon, une hyperbole pour le temps de trajet en fonction de la vitesse, une racine carrée pour la vitesse de chute d'un objet. Comparer deux nombres sans calculatrice, résoudre une inéquation en lisant un graphique : voilà les compétences que ce chapitre te donne.

1Fonction affine : variations et signe

1.1 Définition et représentation graphique

Définition

Une fonction affine est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par une expression de la forme :

$f(x) = ax + b$

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels fixés. Le nombre $a$ s'appelle le coefficient directeur (ou pente), et le nombre $b$ l'ordonnée à l'origine.

Si $b = 0$ , on dit que $f$ est une fonction linéaire : $f(x) = ax$ .
Si $a = 0$ , on dit que $f$ est une fonction constante : $f(x) = b$ .

Propriété

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax+b$ est une droite. Le nombre $b$ est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, puisque $f(0) = a \times 0 + b = b$ .

Réciproquement, toute droite non verticale est la représentation graphique d'une fonction affine.

Deux points suffisent à tracer une droite : on choisit deux valeurs de $x$ , on calcule les images correspondantes, on place les deux points et on les relie à la règle.

Exemple — tracer

f(x) = 2x - 1

$f(0) = 2 \times 0 - 1 = -1$ le point $(0\,;-1)$ est sur la droite
$f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3$ le point $(2\,;3)$ est sur la droite

On identifie directement dans l'expression $f(x) = \underbrace{2}_{a}x + (\underbrace{-1}_{b})$ : coefficient directeur $a = 2$ , ordonnée à l'origine $b = -1$ .

1.2 Taux d'accroissement

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle, et $x_{1}$ , $x_{2}$ deux nombres distincts de cet intervalle. Le taux d'accroissement de $f$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$ est le nombre :

$\dfrac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

C'est le coefficient directeur de la droite qui relie les deux points de la courbe d'abscisses $x_{1}$ et $x_{2}$ .

Propriété

Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$ , le taux d'accroissement entre deux nombres quelconques $x_{1} \neq x_{2}$ est constant et vaut $a$ .

Démonstration

$\dfrac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} = \dfrac{(ax_{2}+b) - (ax_{1}+b)}{x_{2}-x_{1}}$
$=$ $\dfrac{ax_{2} - ax_{1} + b - b}{x_{2}-x_{1}}$
$=$ $\dfrac{a(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$ on factorise par $a$
$=$ $a$ on simplifie par $x_{2}-x_{1} \neq 0$

Le résultat ne dépend ni de $x_{1}$ ni de $x_{2}$ : c'est la propriété caractéristique des fonctions affines, celle qui justifie que leur courbe est une droite. C.Q.F.D.

Exemple — vérifier la constance du taux

Pour $f(x) = -3x + 5$ , calculons le taux d'accroissement entre $x_{1}=1$ , $x_{2}=4$ , puis entre $x_{1}=-2$ , $x_{2}=0$ .

$\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{(-7) - 2}{3}$
$=$ $\dfrac{-9}{3} = -3$
$\dfrac{f(0)-f(-2)}{0-(-2)} = \dfrac{5-11}{2}$
$=$ $\dfrac{-6}{2} = -3$ on retrouve bien $a=-3$ dans les deux cas

Figure 1 — Deux fonctions affines. Pour

f

, entre

x=1

x=2

x

augmente de

1

y

augmente de

2

: le coefficient directeur est

a=2

. Les points rouge et violet marquent les ordonnées à l'origine,

-1

3

1.3 Sens de variation

Théorème

Soit $f(x) = ax+b$ une fonction affine.

Si $a > 0$ , $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Si $a < 0$ , $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .
Si $a = 0$ , $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

Démonstration

Soient $x_{1} < x_{2}$ deux réels quelconques. D'après la propriété du taux d'accroissement :

$f(x_{2}) - f(x_{1}) = a(x_{2}-x_{1})$
or $x_{2} - x_{1} > 0$ car $x_{1} < x_{2}$

Le signe de $f(x_{2})-f(x_{1})$ est donc celui de $a$ . Si $a>0$ , $f(x_{2})-f(x_{1})>0$ , donc $f(x_{2})>f(x_{1})$ : $f$ est croissante. Si $a<0$ , on obtient de même $f(x_{2})<f(x_{1})$ : $f$ est décroissante. Si $a=0$ , $f(x_{2})=f(x_{1})$ pour tous $x_1,x_2$ : $f$ est constante. C.Q.F.D.

$a>0$	$x$	$-\infty$		$+\infty$
	$f(x)$	↗

$a<0$	$x$	$-\infty$		$+\infty$
	$f(x)$	↘

1.4 Signe d'une fonction affine

Méthode — étudier le signe de

ax+b

(avec

a \neq 0

)

On résout l'équation $ax+b=0$ , ce qui donne la valeur interdite au signe $x_{0} = -\dfrac{b}{a}$ . Comme $f$ est strictement monotone, elle ne s'annule qu'une fois : $f$ est du signe de $a$ après $x_0$ , et du signe opposé à $a$ avant $x_0$ — c'est immédiat une fois le sens de variation connu.

Exemple — signe de

f(x) = -2x + 6

$-2x+6 = 0$
$\iff$ $-2x = -6$
$\iff$ $x = 3$

Comme $a=-2<0$ , $f$ est décroissante : elle est positive avant $3$ , négative après.

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$-2x+6$	$+$		$0$	$-$

Attention

Pour résoudre $ax+b > 0$ lorsque $a$ est négatif, diviser les deux membres par $a$ change le sens de l'inégalité. Oublier ce changement est l'erreur la plus fréquente sur ce sujet : $-2x+6>0 \iff -2x>-6 \iff x<3$ (et non $x>3$ ).

Math & Co — Descartes et la naissance du repère

En $1637$ , le philosophe et mathématicien français René Descartes publie La Géométrie, en annexe de son Discours de la méthode. Son idée est décisive : associer à chaque point du plan un couple de nombres (ses coordonnées), pour transformer tout problème de géométrie en calcul algébrique, et réciproquement représenter toute relation entre deux nombres par une courbe.

C'est cette invention — le repère cartésien, qui porte encore son nom — qui permet de tracer la droite d'une fonction affine et d'en lire graphiquement les propriétés. Avant Descartes, algèbre et géométrie étaient deux mondes séparés ; depuis, ils ne font plus qu'un.

2Fonction carré

2.1 Définition et courbe représentative

Définition

La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x^{2}$

Sa courbe représentative s'appelle une parabole, de sommet l'origine $O$ du repère.

Figure 2 — La parabole

y=x^{2}

. Les points d'abscisses

2

-2

ont la même ordonnée

4

: la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2.2 Parité

Définition

Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ (ou sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ ) est dite paire lorsque, pour tout $x$ :

$f(-x) = f(x)$

Sa courbe représentative est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Démonstration — la fonction carré est paire

$f(-x) = (-x)^{2}$
$=$ $(-1)^{2} \times x^{2}$
$=$ $x^{2} = f(x)$

La propriété est vraie pour tout réel $x$ : la fonction carré est paire, et sa courbe est bien symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, comme le montre la Figure 2. C.Q.F.D.

2.3 Variations

Théorème

La fonction carré est :

strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ ;
strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

Démonstration (sur

[0\,;+\infty[

)

Soient $0 \leqslant x_{1} < x_{2}$ .

$f(x_{2}) - f(x_{1}) = x_{2}^{2} - x_{1}^{2}$
$=$ $(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})$ identité remarquable $a^{2}-b^{2}$

Or $x_{2} - x_{1} > 0$ (par hypothèse) et $x_{2}+x_{1} > 0$ (somme de deux nombres positifs, non tous deux nuls). Le produit de deux facteurs strictement positifs est strictement positif, donc $f(x_{2}) - f(x_{1}) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

Sur $]-\infty\,;0]$ , on utilise la parité : si $x_{1}<x_{2}\leqslant 0$ , alors $0 \leqslant -x_{2} < -x_{1}$ , donc $f(-x_{2}) < f(-x_{1})$ d'après le cas précédent, soit $f(x_{2}) < f(x_{1})$ (parité) : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ . C.Q.F.D.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x)=x^{2}$	↘		$0$	↗

Méthode — comparer deux carrés

Pour comparer $a^{2}$ et $b^{2}$ , il faut d'abord savoir si $a$ et $b$ sont de même signe : c'est seulement dans ce cas que l'on peut appliquer directement le sens de variation de la fonction carré sur l'intervalle correspondant.

Exemple — comparer

(-7)^{2}

(-4)^{2}

$-7 < -4 \leqslant 0$
$\Rightarrow$ $(-7)^{2} > (-4)^{2}$ fonction carré décroissante sur $]-\infty\,;0]$
soit $49 > 16$ vérification

Attention

Quand $a$ et $b$ sont de signes différents, $a<b$ n'entraîne pas $a^{2}<b^{2}$ : ici, il faut comparer $|a|$ et $|b|$ , pas seulement $a$ et $b$ . Exemple : $-5 < 2$ , pourtant $(-5)^{2} = 25 > 2^{2} = 4$ .

Math & Co — Apollonius, le géomètre des coniques

Apollonius de Perge, mathématicien grec actif vers $-200$ , rédige un traité intitulé Coniques, en huit livres, qui étudie les courbes obtenues en coupant un cône par un plan : ellipse, parabole, hyperbole. C'est lui qui donne son nom à la parabole (du grec « parabolê », qui signifie « comparaison » ou « ajustement »).

Vingt siècles plus tard, ces courbes purement théoriques se révèlent partout dans la nature : trajectoire d'un projectile, forme d'une antenne parabolique, câble d'un pont suspendu. La fonction carré, la plus simple de toutes les paraboles, en est le point de départ.

3Fonction inverse

3.1 Définition et courbe représentative

Définition

La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ par :

$f(x) = \dfrac{1}{x}$

Sa courbe représentative s'appelle une hyperbole. Elle comporte deux branches, l'une pour $x>0$ , l'autre pour $x<0$ , et se rapproche des deux axes du repère sans jamais les toucher : on dit que les axes sont des asymptotes à la courbe.

Figure 3 — L'hyperbole

y=\dfrac{1}{x}

. Les axes (en pointillés) sont les asymptotes : la courbe s'en approche indéfiniment sans jamais les atteindre.

3.2 Imparité

Définition

Une fonction $f$ , définie sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ , est dite impaire lorsque, pour tout $x$ de cet ensemble :

$f(-x) = -f(x)$

Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.

Démonstration — la fonction inverse est impaire

$f(-x) = \dfrac{1}{-x}$
$=$ $-\dfrac{1}{x}$
$=$ $-f(x)$

C'est vrai pour tout $x \neq 0$ : la fonction inverse est impaire. On le voit sur la Figure 3 avec les points $(1\,;1)$ et $(-1\,;-1)$ , symétriques par rapport à $O$ . C.Q.F.D.

3.3 Variations

Théorème

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$ (ce sont deux énoncés séparés : rien n'est dit sur l'ordre entre une valeur négative et une valeur positive).

Démonstration (sur

]0\,;+\infty[

)

Soient $0 < x_{1} < x_{2}$ .

$f(x_{2}) - f(x_{1}) = \dfrac{1}{x_{2}} - \dfrac{1}{x_{1}}$
$=$ $\dfrac{x_{1} - x_{2}}{x_{1}x_{2}}$ même dénominateur $x_{1}x_{2}$

Le numérateur $x_{1}-x_{2}$ est strictement négatif (car $x_1<x_2$ ), et le dénominateur $x_{1}x_{2}$ est strictement positif (produit de deux positifs). Le quotient est donc strictement négatif : $f(x_{2}) < f(x_{1})$ , donc $f$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ . Le même calcul, avec $x_{1}<x_{2}<0$ , donne $x_1 x_2 > 0$ également (produit de deux négatifs) : la conclusion est identique sur $]-\infty\,;0[$ . C.Q.F.D.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$	↘		∥	↘

Méthode — comparer deux inverses

Si $a$ et $b$ sont strictement de même signe, on utilise la décroissance de $f$ sur l'intervalle correspondant : $a<b \Rightarrow \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ . Si $a$ et $b$ sont de signes différents, on compare directement à $0$ (un inverse positif est toujours plus grand qu'un inverse négatif).

Exemple — comparer

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{8}

$0 < 5 < 8$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{8}$ fonction inverse décroissante sur $]0\,;+\infty[$

Attention

La fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^{*}$ tout entier : c'est le piège classique de ce chapitre. Par exemple, $-1 < 2$ , et pourtant $f(-1) = -1 < f(2) = 0{,}5$ : l'ordre semble « croissant » alors que la fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément ! Dès que $a$ et $b$ sont de signes différents, il faut raisonner autrement (voir la méthode ci-dessus).

Math & Co — Boyle, Mariotte et les gaz

En $1662$ , le physicien irlandais Robert Boyle découvre expérimentalement qu'à température constante, la pression $P$ d'un gaz enfermé et son volume $V$ vérifient $P \times V = \text{constante}$ : le volume est donc inversement proportionnel à la pression. Le physicien français Edme Mariotte retrouve la même loi indépendamment en $1676$ , en France : on parle depuis de la loi de Boyle-Mariotte.

C'est un exemple parmi tant d'autres de fonction inverse en physique : la loi d'Ohm $I = \dfrac{U}{R}$ à tension fixée, le temps de trajet $t = \dfrac{d}{v}$ à distance fixée, obéissent au même modèle mathématique.

4Fonction racine carrée

4.1 Définition et courbe représentative

Définition

La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ uniquement par :

$f(x) = \sqrt{x}$

Elle n'est pas définie pour $x<0$ , puisque la racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas. Sa courbe part de l'origine $O$ et « monte » de plus en plus lentement.

Figure 4 — La courbe de la fonction racine carrée sur

[0\,;+\infty[

. Elle progresse très vite près de

0

, puis de plus en plus lentement.

4.2 Variations

Théorème

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

Démonstration

Soient $0 \leqslant x_{1} < x_{2}$ .

$f(x_{2}) - f(x_{1}) = \sqrt{x_{2}} - \sqrt{x_{1}}$
$=$ $\dfrac{\left(\sqrt{x_{2}} - \sqrt{x_{1}}\right)\left(\sqrt{x_{2}} + \sqrt{x_{1}}\right)}{\sqrt{x_{2}} + \sqrt{x_{1}}}$ on multiplie par la quantité conjuguée, non nulle
$=$ $\dfrac{x_{2} - x_{1}}{\sqrt{x_{2}} + \sqrt{x_{1}}}$ identité $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

Le numérateur $x_{2}-x_{1}$ est strictement positif par hypothèse, et le dénominateur $\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}$ est strictement positif (somme de deux racines non toutes deux nulles). Le quotient est donc strictement positif : $f(x_{2}) > f(x_{1})$ , et $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . C.Q.F.D.

$x$	$0$		$+\infty$
$f(x)=\sqrt{x}$	$0$	↗

Méthode — comparer sans calculatrice à l'aide de la racine carrée

Pour comparer $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ avec $a,b \geqslant 0$ , il suffit de comparer $a$ et $b$ : la fonction racine carrée étant croissante, elle conserve l'ordre.

Exemple — comparer

\sqrt{45}

\sqrt{51}

$45 < 51$
$\Rightarrow$ $\sqrt{45} < \sqrt{51}$ fonction racine carrée croissante sur $[0\,;+\infty[$

Exemple — encadrer puis comparer

\sqrt{20}

4{,}5

$4{,}5^{2} = 20{,}25$
$20 < 20{,}25$
$\Rightarrow$ $\sqrt{20} < \sqrt{20{,}25} = 4{,}5$

Attention

L'expression $\sqrt{x}$ n'a de sens que pour $x \geqslant 0$ : avant toute étude, vérifie toujours que le nombre sous la racine est bien positif ou nul. C'est particulièrement important lorsque $x$ est remplacé par une expression, comme $\sqrt{7-x}$ , définie seulement pour $x \leqslant 7$ .

5Fonction cube

5.1 Définition et courbe représentative

Définition

La fonction cube est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x^{3}$

Sa courbe passe par l'origine, monte lentement près de $0$ (elle y est presque « plate »), puis de plus en plus vite quand $|x|$ augmente.

Figure 5 — La courbe de la fonction cube. Elle est symétrique par rapport à l'origine

O

: les points

(1\,;1)

(-1\,;-1)

en sont un exemple.

5.2 Parité et variations

Propriété — imparité

La fonction cube est impaire : pour tout $x$ , $f(-x) = (-x)^{3} = (-1)^{3}x^{3} = -x^{3} = -f(x)$ . Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'origine $O$ .

Théorème

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (sur tout l'ensemble des réels, sans distinction de signe — à la différence des fonctions carré et inverse).

Démonstration — idée de preuve

Soient $x_{1} < x_{2}$ . On admet en Seconde la factorisation suivante, que tu retrouveras en 1ère :

$x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = (x_{2}-x_{1})\left(x_{2}^{2} + x_{2}x_{1} + x_{1}^{2}\right)$

Le premier facteur $x_{2}-x_{1}$ est strictement positif. Le second facteur, $x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}+x_{1}^{2}$ , s'écrit aussi $\left(x_{2}+\dfrac{x_{1}}{2}\right)^{2} + \dfrac{3}{4}x_{1}^{2}$ : une somme de deux carrés, donc positive, et nulle seulement si $x_1=x_2=0$ , exclu ici. Le produit des deux facteurs est donc strictement positif : $f(x_2) > f(x_1)$ . C.Q.F.D.

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$f(x)=x^{3}$	↗

Exemple — comparer

(-4)^{3}

2^{3}

$-4 < 2$
$\Rightarrow$ $(-4)^{3} < 2^{3}$ fonction cube croissante sur $\mathbb{R}$ , aucune précaution de signe nécessaire
soit $-64 < 8$ vérification

Exemple — résoudre

x^{3} \geqslant 27

$x^{3} \geqslant 27 = 3^{3}$
$\iff$ $x \geqslant 3$ fonction cube croissante : elle conserve le sens de l'inégalité

Math & Co — La duplication du cube, énigme de Délos

La légende antique raconte qu'un oracle, consulté par les habitants de l'île de Délos frappés par la peste, leur ordonna de doubler le volume de l'autel cubique consacré à Apollon, tout en conservant sa forme cubique. Le problème revient à construire, à la règle et au compas, un segment de longueur $\sqrt[3]{2}$ fois le côté initial.

Ce problème de la « duplication du cube », posé dès le $\text{V}^{\text{e}}$ siècle avant notre ère, restera insoluble à la règle et au compas seuls — ce que l'algèbre moderne démontrera seulement en $1837$ , grâce au mathématicien français Pierre-Laurent Wantzel. La fonction cube, si simple en apparence, cache ainsi l'une des plus longues énigmes de l'histoire des mathématiques.

6Comparaison de $x$ , $x^{2}$ , $\sqrt{x}$ sur $[0\,;1]$ et $[1\,;+\infty[$

Les trois fonctions de référence $x \mapsto x$ , $x \mapsto x^{2}$ et $x \mapsto \sqrt{x}$ coïncident toutes en $x=0$ (elles valent $0$ ) et en $x=1$ (elles valent $1$ ). Entre ces deux points, et au-delà, leur ordre est parfaitement déterminé — et il s'inverse exactement en $x=1$ .

6.1 Comparaison sur $[0\,;1]$

Propriété

Pour tout $x \in [0\,;1]$ :

$x^{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{x}$

Démonstration

Étape 1 : $x^{2} \leqslant x$ .

$x - x^{2} = x(1-x)$
or $x \geqslant 0$ et $1-x \geqslant 0$ car $x \in [0\,;1]$
$\Rightarrow$ $x(1-x) \geqslant 0$ produit de deux facteurs positifs
$\Rightarrow$ $x^{2} \leqslant x$

Étape 2 : $x \leqslant \sqrt{x}$ . Les deux nombres $x$ et $\sqrt{x}$ sont positifs ou nuls ; la fonction carré étant croissante sur $[0\,;+\infty[$ , comparer $x$ et $\sqrt{x}$ équivaut à comparer leurs carrés :

$\left(\sqrt{x}\right)^{2} = x$ définition de la racine carrée
et $x^{2} \leqslant x$ étape 1
$\Rightarrow$ $x^{2} \leqslant \left(\sqrt{x}\right)^{2}$
$\Rightarrow$ $x \leqslant \sqrt{x}$ fonction carré croissante sur $[0\,;+\infty[$ , donc elle « défait » l'inégalité entre les racines carrées des deux membres

D'où $x^{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{x}$ pour tout $x \in [0\,;1]$ . C.Q.F.D.

6.2 Comparaison sur $[1\,;+\infty[$

Propriété

Pour tout $x \in [1\,;+\infty[$ :

$\sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^{2}$

Démonstration

Étape 1 : $x \leqslant x^{2}$ .

$x^{2} - x = x(x-1)$
or $x \geqslant 0$ et $x - 1 \geqslant 0$ car $x \geqslant 1$
$\Rightarrow$ $x(x-1) \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $x \leqslant x^{2}$

Étape 2 : $\sqrt{x} \leqslant x$ . Comme à la section précédente, on compare les carrés des deux nombres positifs $\sqrt{x}$ et $x$ :

$\left(\sqrt{x}\right)^{2} = x \leqslant x^{2}$ étape 1
$\Rightarrow$ $\sqrt{x} \leqslant x$ fonction carré croissante sur $[0\,;+\infty[$

D'où $\sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^{2}$ pour tout $x \in [1\,;+\infty[$ . C.Q.F.D.

Figure 6 — Les trois courbes se croisent en

O

et en

(1\,;1)

. L'ordre des trois fonctions s'inverse exactement en

x=1

Méthode — comparer sans calculatrice grâce à cet encadrement

Pour plusieurs nombres écrits sous forme de racines, de carrés ou de puissances, repère d'abord s'ils appartiennent à $[0\,;1]$ ou à $[1\,;+\infty[$ , puis applique directement l'encadrement de la propriété : c'est souvent plus rapide qu'un calcul complet.

Exemple — sur

[0\,;1]

, avec

x=0{,}25

$x^{2} = 0{,}0625$
$x = 0{,}25$
$\sqrt{x} = 0{,}5$
$\Rightarrow$ $0{,}0625 \leqslant 0{,}25 \leqslant 0{,}5$ conforme à $x^{2}\leqslant x\leqslant\sqrt{x}$

Exemple — sur

[1\,;+\infty[

, avec

x=9

$\sqrt{9} = 3$
$x = 9$
$x^{2} = 81$
$\Rightarrow$ $3 \leqslant 9 \leqslant 81$ conforme à $\sqrt{x}\leqslant x\leqslant x^{2}$

Attention

L'ordre entre $x$ , $x^{2}$ et $\sqrt{x}$ s'inverse en $x=1$ : sur $[0\,;1]$ , le carré est le plus petit et la racine la plus grande ; sur $[1\,;+\infty[$ , c'est l'inverse. Retiens l'intuition graphique de la Figure 6 plutôt qu'une règle apprise par cœur sans la comprendre — et n'oublie pas que $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x \geqslant 0$ .

Fiche mémo

Affine $f(x)=ax+b$ : droite, taux d'accroissement constant $=a$ ; $a>0$ croissante, $a<0$ décroissante ; signe opposé à $a$ avant $x_0=-\dfrac{b}{a}$ , signe de $a$ après.
Carré $f(x)=x^{2}$ : parabole, paire ( $f(-x)=f(x)$ ), décroissante sur $]-\infty\,;0]$ , croissante sur $[0\,;+\infty[$ .
Inverse $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , sur $\mathbb{R}^{*}$ : hyperbole, impaire ( $f(-x)=-f(x)$ ), décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$ séparément (jamais sur $\mathbb{R}^{*}$ en bloc).
Racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ , sur $[0\,;+\infty[$ seulement : croissante ; conserve l'ordre entre positifs.
Cube $f(x)=x^{3}$ , sur $\mathbb{R}$ : impaire, croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier (aucune précaution de signe).
Comparer $a^{2}$ et $b^{2}$ (ou $\dfrac{1}{a}$ , $\dfrac{1}{b}$ ) : toujours vérifier le signe avant d'utiliser une variation.
Sur $[0\,;1]$ : $x^{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{x}$ . Sur $[1\,;+\infty[$ : $\sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^{2}$ . L'ordre s'inverse en $x=1$ .
Résoudre une inéquation $f(x) \lessgtr k$ : utiliser la stricte monotonie de $f$ sur l'intervalle considéré pour « défaire » $f$ sans changer (fonction croissante) ou en changeant (décroissante) le sens de l'inégalité.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Soit $f(x) = -2x+7$ . Donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$ . Calcule $f(3)$ et $f(-1)$ . Détermine l'antécédent de $1$ par $f$ .

Voir le corrigé détaillé

Dans $f(x) = -2x+7$ , le coefficient directeur est $a=-2$ et l'ordonnée à l'origine est $b=7$ .

$f(3) = -2\times 3 + 7$
$=$ $-6+7 = 1$
$f(-1) = -2\times(-1)+7$
$=$ $2+7=9$

On cherche $x$ tel que $f(x)=1$ :

$-2x+7=1$
$\iff$ $-2x=-6$
$\iff$ $x=3$

L'antécédent de $1$ est $3$ — cohérent avec le calcul de $f(3)$ ci-dessus.

Étudie le signe de $g(x) = 5x-15$ .

Voir le corrigé détaillé

$5x-15=0$
$\iff$ $5x=15$
$\iff$ $x=3$

Comme $a=5>0$ , $g$ est croissante : elle est négative avant $3$ , positive après.

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$5x-15$	$-$		$0$	$+$

Compare, sans calculer les carrés : a) $(-9)^{2}$ et $(-6)^{2}$ ; b) $4^{2}$ et $(-7)^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $-9$ et $-6$ sont tous deux négatifs ou nuls.

$-9 < -6 \leqslant 0$
$\Rightarrow$ $(-9)^{2} > (-6)^{2}$ fonction carré décroissante sur $]-\infty\,;0]$

b) $4$ et $-7$ sont de signes différents : on compare leurs valeurs absolues.

$|4| = 4$ et $|-7|=7$ , et $0 \leqslant 4 < 7$
$\Rightarrow$ $4^{2} < 7^{2}$ fonction carré croissante sur $[0\,;+\infty[$
d'où $4^{2} < (-7)^{2}$

Compare : a) $\dfrac{1}{13}$ et $\dfrac{1}{9}$ ; b) $\dfrac{1}{-5}$ et $\dfrac{1}{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $9$ et $13$ sont strictement positifs.

$0 < 9 < 13$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{9} > \dfrac{1}{13}$ fonction inverse décroissante sur $]0\,;+\infty[$

b) $-5$ est négatif, $2$ est positif : un inverse d'un nombre négatif est toujours négatif, un inverse d'un nombre positif est toujours positif.

$\dfrac{1}{-5} < 0 < \dfrac{1}{2}$

Sans calculatrice, compare : a) $\sqrt{72}$ et $\sqrt{80}$ ; b) $5^{3}$ et $6^{3}$ ; c) $\sqrt{0{,}36}$ et $0{,}7$ .

Voir le corrigé détaillé

$72 < 80$
$\Rightarrow$ $\sqrt{72} < \sqrt{80}$ fonction racine carrée croissante

$5 < 6$
$\Rightarrow$ $5^{3} < 6^{3}$ fonction cube croissante sur $\mathbb{R}$

$0{,}6^{2} = 0{,}36$
$\Rightarrow$ $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$
$0{,}6 < 0{,}7$

Niveau 2 — Approfondissement

La droite représentant une fonction affine $f$ passe par les points $A(1\,;4)$ et $B(3\,;-2)$ .

Calcule le coefficient directeur $a$ de $f$ .
En déduire $b$ , puis l'expression de $f(x)$ .
Étudie le signe de $f(x)$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Le coefficient directeur est le taux d'accroissement entre $A$ et $B$ .

$a = \dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \dfrac{-2-4}{3-1}$
$=$ $\dfrac{-6}{2} = -3$

2. On utilise $f(1)=4$ :

$-3\times 1 + b = 4$
$\iff$ $b = 7$

D'où $f(x) = -3x+7$ .

$-3x+7=0$
$\iff$ $x = \dfrac{7}{3}$

Comme $a=-3<0$ , $f$ est décroissante : positive avant $\dfrac{7}{3}$ , négative après.

Compare et justifie à chaque fois par une propriété de variation : a) $(-3)^{3}$ et $(-5)^{3}$ ; b) $\dfrac{1}{-2}$ et $\dfrac{1}{-7}$ ; c) $\sqrt{15}$ et $4$ .

Voir le corrigé détaillé

$-5 < -3$
$\Rightarrow$ $(-5)^{3} < (-3)^{3}$ fonction cube croissante sur $\mathbb{R}$

b) $-2$ et $-7$ sont tous deux strictement négatifs.

$-7 < -2 < 0$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{-7} > \dfrac{1}{-2}$ fonction inverse décroissante sur $]-\infty\,;0[$

$4^{2} = 16$
$15 < 16$
$\Rightarrow$ $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$

Soient $f(x) = 2x+1$ et $g(x)=-x+7$ .

Résous $f(x)=g(x)$ .
Résous l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$ , et interprète le résultat sur les représentations graphiques de $f$ et $g$ .

Voir le corrigé détaillé

$2x+1 = -x+7$
$\iff$ $3x = 6$
$\iff$ $x = 2$

La solution est $x=2$ , avec $f(2)=g(2)=5$ : les droites se croisent au point $(2\,;5)$ .

2. On étudie le signe de $f(x)-g(x)$ .

$f(x)-g(x) = (2x+1)-(-x+7)$
$=$ $3x-6$

La fonction $x \mapsto 3x-6$ est affine, de coefficient directeur $3>0$ : elle est négative avant $2$ , positive après. Donc $f(x) \geqslant g(x) \iff x \geqslant 2$ .

Graphiquement, la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$ exactement à partir de leur point d'intersection d'abscisse $2$ .

Sachant que $3 \leqslant x \leqslant 7$ , encadre : a) $x^{2}$ ; b) $\dfrac{1}{x}$ ; c) $\sqrt{x}$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $3$ et $7$ appartiennent à $[0\,;+\infty[$ , où la fonction carré est croissante : elle conserve l'ordre.

$3 \leqslant x \leqslant 7$
$\Rightarrow$ $3^{2} \leqslant x^{2} \leqslant 7^{2}$
$\Rightarrow$ $9 \leqslant x^{2} \leqslant 49$

b) La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : elle inverse l'ordre.

$3 \leqslant x \leqslant 7$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{7} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}$

c) La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

$3 \leqslant x \leqslant 7$
$\Rightarrow$ $\sqrt{3} \leqslant \sqrt{x} \leqslant \sqrt{7}$

Niveau 3 — Défi

Soit $f$ une fonction affine telle que $f(2) = 1$ et $f(-3) = 11$ .

Calcule le coefficient directeur $a$ de $f$ à l'aide du taux d'accroissement.
En déduire $b$ , puis l'expression de $f(x)$ .
Étudie le sens de variation et le signe de $f$ .
Résous l'inéquation $f(x) \leqslant -5$ .

Voir le corrigé détaillé

$a = \dfrac{f(2)-f(-3)}{2-(-3)} = \dfrac{1-11}{5}$
$=$ $\dfrac{-10}{5} = -2$

2. On utilise $f(2)=1$ :

$-2\times 2 + b = 1$
$\iff$ $-4+b=1$
$\iff$ $b=5$

D'où $f(x) = -2x+5$ .

3. Comme $a=-2<0$ , $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

$-2x+5=0$
$\iff$ $x=2{,}5$

$f$ est positive avant $2{,}5$ , négative après.

$-2x+5 \leqslant -5$
$\iff$ $-2x \leqslant -10$
$\iff$ $x \geqslant 5$ on divise par $-2$ : le sens de l'inégalité change

L'ensemble des solutions est $[5\,;+\infty[$ .

Soit $f(x) = x^{2}-6x+9$ .

Démontre que pour tout $x$ , $f(x) = (x-3)^{2}$ .
En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ , en justifiant par une propriété de la fonction carré.
Résous $f(x)=4$ .
Résous l'inéquation $f(x) \leqslant 4$ .

Voir le corrigé détaillé

1. On développe $(x-3)^{2}$ :

$(x-3)^{2} = x^{2} - 2\times x \times 3 + 3^{2}$
$=$ $x^{2}-6x+9$
$=$ $f(x)$ c'est exactement l'expression de $f$

2. $f(x) = (x-3)^{2}$ est le carré du nombre $x-3$ . Or la fonction carré est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$ tout entier (son minimum, atteint en $0$ , vaut $0$ ). Donc $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ , avec égalité seulement quand $x-3=0$ , soit $x=3$ .

$(x-3)^{2}=4$
$\iff$ $x-3=2$ ou $x-3=-2$ théorème : $X^2=a>0 \Rightarrow X=\sqrt{a}$ ou $X=-\sqrt{a}$
$\iff$ $x=5$ ou $x=1$

$(x-3)^{2} \leqslant 4$
$\iff$ $-2 \leqslant x-3 \leqslant 2$ un carré est $\leqslant 4$ si et seulement si la base est comprise entre $-2$ et $2$
$\iff$ $1 \leqslant x \leqslant 5$

L'ensemble des solutions est $[1\,;5]$ — cohérent avec la question 3, qui donne les deux bornes.

Soit $g(x) = 3 + \dfrac{1}{x}$ , définie sur $\mathbb{R}^{*}$ .

Justifie l'ensemble de définition de $g$ .
Étudie le sens de variation de $g$ sur $]0\,;+\infty[$ .
Résous $g(x)=5$ .
Étudie le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}^{*}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. L'expression $\dfrac{1}{x}$ n'est définie que pour $x \neq 0$ : $g$ est donc définie sur $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

2. Soient $0<x_{1}<x_{2}$ . La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc $\dfrac{1}{x_{1}} > \dfrac{1}{x_{2}}$ ; ajouter la même constante $3$ aux deux membres ne change pas le sens de l'inégalité, donc $g(x_{1}) > g(x_{2})$ : $g$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ (même comportement que la fonction inverse).

$3+\dfrac{1}{x} = 5$
$\iff$ $\dfrac{1}{x} = 2$
$\iff$ $x = \dfrac{1}{2}$

4. On cherche d'abord où $g$ s'annule.

$3+\dfrac{1}{x}=0$
$\iff$ $\dfrac{1}{x}=-3$
$\iff$ $x=-\dfrac{1}{3}$

Sur $]0\,;+\infty[$ : $\dfrac{1}{x}>0$ , donc $g(x) = 3+\dfrac{1}{x} > 3 > 0$ : $g$ est toujours positive sur $]0\,;+\infty[$ .

Sur $]-\infty\,;0[$ : comme pour la fonction inverse, $g$ y est également décroissante (même raisonnement qu'à la question 2). Elle s'annule en $-\dfrac{1}{3}$ , donc positive avant, négative après :

$x$	$-\infty$		$-\frac{1}{3}$		$0$		$+\infty$
$g(x)$	$+$		$0$	$-$		∥	$+$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Taxis à Dakar. Pour un trajet de $d$ kilomètres, la compagnie A facture $A(d) = 800 + 100d$ francs CFA, la compagnie B facture $B(d) = 180d$ francs CFA.

Calcule le prix d'un trajet de $5$ km avec chaque compagnie.
Résous l'équation $A(d)=B(d)$ et donne le prix commun correspondant.
Pour quelles distances la compagnie B est-elle la moins chère ?

Voir le corrigé détaillé

$A(5) = 800+100\times 5 = 1\,300$ F CFA
$B(5) = 180\times 5 = 900$ F CFA

$800+100d = 180d$
$\iff$ $800 = 80d$
$\iff$ $d=10$

Pour $d=10$ km, les deux compagnies facturent le même prix : $B(10) = 180\times 10 = 1\,800$ F CFA.

3. On étudie le signe de $B(d)-A(d)$ .

$B(d)-A(d) = 180d-(800+100d)$
$=$ $80d-800$

La fonction $d \mapsto 80d-800$ est croissante (coefficient $80>0$ ) et s'annule en $d=10$ : elle est négative avant, positive après. Donc $B(d) < A(d) \iff d < 10$ .

La compagnie B est la moins chère pour les trajets de moins de $10$ km ; au-delà, c'est la compagnie A.

Figure 7 — Comparaison des deux tarifs de taxi à Dakar. Avant

10

km, la droite verte (compagnie B) est en dessous : elle est moins chère.

Le bassin de Ndjamena. Un bassin carré, à Ndjamena, a une aire de $625$ m².

Calcule la longueur $c$ du côté du bassin.
On construit un second bassin carré de côté double. Sans calculer directement son aire, justifie qu'elle est supérieure à celle du premier bassin, puis calcule-la.
Une bâche coûte $4\,500$ F CFA le m². Calcule le coût de la bâche pour chacun des deux bassins.

Voir le corrigé détaillé

1. Une longueur est positive.

$c^{2} = 625$
$\Rightarrow$ $c = \sqrt{625}$ on écarte la solution négative
$=$ $25$ mcar $25^{2}=625$

2. Le second côté vaut $c' = 2\times 25 = 50$ m. Comme $50 > 25 \geqslant 0$ et que la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , on a directement $50^{2} > 25^{2}$ : la seconde aire est bien plus grande, sans même la calculer.

aire $'$ $= 50^{2} = (2\times 25)^{2}$
$=$ $4\times 25^{2}$
$=$ $4\times 625 = 2\,500$ m²

coût $_1$ $= 625 \times 4\,500$
$=$ $2\,812\,500$ F CFA
coût $_2$ $= 2\,500 \times 4\,500$
$=$ $11\,250\,000$ F CFA

Doubler le côté du bassin quadruple l'aire, et donc le coût de la bâche.

Un trajet à Abidjan. Une distance fixe de $D=180$ km sépare deux quartiers d'Abidjan. Le temps de trajet, en heures, en fonction de la vitesse moyenne $v$ (en km/h), est $t(v) = \dfrac{180}{v}$ .

Calcule $t(60)$ et $t(90)$ .
Justifie que $t$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ , et interprète concrètement ce résultat.
À partir de quelle vitesse le trajet dure-t-il moins de $2$ heures ?

Voir le corrigé détaillé

$t(60) = \dfrac{180}{60} = 3$ h
$t(90) = \dfrac{180}{90} = 2$ h

2. $t(v) = 180 \times \dfrac{1}{v}$ : c'est $180$ fois la fonction inverse, qui est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ ; multiplier par le nombre positif $180$ conserve ce sens de variation, donc $t$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ . Concrètement : plus la vitesse moyenne augmente, plus le temps de trajet diminue — ce qui est bien conforme à l'intuition physique.

$\dfrac{180}{v} < 2$
$\iff$ $180 < 2v$ on multiplie par $v>0$ , le sens de l'inégalité ne change pas
$\iff$ $v > 90$

Il faut rouler à plus de $90$ km/h en moyenne pour parcourir le trajet en moins de $2$ heures.

Le grenier à grains d'Abéché. Un grenier à grains, à Abéché, a la forme d'un cube d'arête $c$ mètres et de volume $V(c) = c^{3}$ . On veut un grenier de volume $91{,}125$ m³, sachant que $4{,}5^{3} = 91{,}125$ .

Donne directement l'arête du grenier.
Vérifie ce résultat par encadrement, en utilisant la croissance de la fonction cube.
On double l'arête du grenier. Montre que le volume est alors multiplié par $8$ , sans le recalculer entièrement, puis donne sa valeur.

Voir le corrigé détaillé

1. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : l'équation $c^{3}=91{,}125$ a donc une unique solution. Comme $4{,}5^{3}=91{,}125$ , l'arête cherchée est $c=4{,}5$ m.

$4^{3} = 64$ et $5^{3}=125$
$64 < 91{,}125 < 125$
$\Rightarrow$ $4 < c < 5$ fonction cube croissante : elle conserve l'ordre entre les racines cubiques

Le résultat $c=4{,}5$ est bien compris entre $4$ et $5$ : cohérent.

3. La nouvelle arête est $2c$ .

$V(2c) = (2c)^{3}$
$=$ $2^{3} \times c^{3}$
$=$ $8 \times V(c)$

Le volume est donc bien multiplié par $8$ , quelle que soit l'arête de départ.

$V(2c) = 8 \times 91{,}125$
$=$ $729$ m³on retrouve $9^{3}=729$ , cohérent avec $2\times 4{,}5=9$

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Une fonction affine $f(x) = ax+b$ a pour représentation graphique :

une parabole une droite une hyperbole une courbe qui passe toujours par l'origine

Explication : Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine

f(x)=ax+b

est une droite. Elle passe par l'origine seulement si

b=0

Pour $f(x) = ax+b$ , le taux d'accroissement entre deux nombres quelconques $x_1 \neq x_2$ vaut toujours :

b

x_2 - x_1

a

f(x_1) + f(x_2)

Explication :

\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1} = a

: ce taux constant, égal au coefficient directeur, caractérise les fonctions affines.

Une fonction affine $f(x)=ax+b$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ lorsque :

a < 0

a > 0

b < 0

a = 0

Explication : Le signe du taux d'accroissement, toujours égal à

a

, donne le sens de variation :

a<0

donne une fonction strictement décroissante.

La fonction carré $f(x) = x^2$ est :

impaire, croissante sur

\mathbb{R}

paire, croissante sur

\mathbb{R}

impaire, décroissante sur

]-\infty\,;0]

paire, décroissante sur

]-\infty\,;0]

et croissante sur

[0\,;+\infty[

Explication :

f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)

: la fonction carré est paire. Elle décroît sur

]-\infty\,;0]

puis croît sur

[0\,;+\infty[

, avec un minimum en

0

La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie sur :

\mathbb{R}

\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} \setminus \{0\}

[0\,;+\infty[

]0\,;+\infty[

Explication :

\dfrac{1}{x}

n'a pas de sens pour

x=0

: la fonction inverse est définie sur

\mathbb{R}^{*}

, et sa courbe (une hyperbole) admet les deux axes comme asymptotes.

La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est définie sur :

\mathbb{R}

\mathbb{R}^{*}

[0\,;+\infty[

]-\infty\,;0]

Explication : La racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas :

f(x)=\sqrt{x}

n'est définie que sur

[0\,;+\infty[

, où elle est strictement croissante.

La fonction cube $f(x) = x^3$ est :

impaire, strictement croissante sur

\mathbb{R}

tout entier paire, strictement croissante sur

\mathbb{R}

impaire, croissante seulement sur

[0\,;+\infty[

paire, décroissante sur

]-\infty\,;0]

Explication :

f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)

: la fonction cube est impaire. Contrairement au carré et à l'inverse, elle est croissante sur

\mathbb{R}

tout entier, sans distinction de signe.

Soit $f(x) = 3x - 6$ . L'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de $f$ sont respectivement :

3

-6

-6

6

-6

3

6

3

Explication : Dans

f(x)=ax+b

a

est le coefficient directeur et

b

l'ordonnée à l'origine (car

f(0)=b

). Ici

a=3

b=-6

Le signe de $g(x) = 5x - 15$ est :

toujours positif toujours négatif positif après

3

, négatif avant négatif avant

3

, positif après

Explication :

5x-15=0 \iff x=3

. Comme

a=5>0

g

est croissante : elle est négative avant

3

, positive après.

Compare $(-9)^2$ et $(-6)^2$ :

(-9)^2 > (-6)^2

(-9)^2 < (-6)^2

(-9)^2 = (-6)^2

on ne peut pas comparer sans calculatrice

Explication :

-9

-6

sont tous deux négatifs, avec

-9 < -6 \leqslant 0

: comme la fonction carré est décroissante sur

]-\infty\,;0]

(-9)^2 > (-6)^2

(soit

81 > 36

Compare $\dfrac{1}{13}$ et $\dfrac{1}{9}$ :

\dfrac{1}{13} > \dfrac{1}{9}

\dfrac{1}{13} < \dfrac{1}{9}

\dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{9}

on ne peut rien conclure

Explication :

9

13

sont strictement positifs, avec

0 < 9 < 13

: la fonction inverse étant décroissante sur

]0\,;+\infty[

, on obtient

\dfrac{1}{9} > \dfrac{1}{13}

Compare $\sqrt{72}$ et $\sqrt{80}$ :

\sqrt{72} > \sqrt{80}

\sqrt{72} = \sqrt{80}

\sqrt{72} < \sqrt{80}

impossible de comparer sans calculer les racines

Explication :

72 < 80

, et la fonction racine carrée est croissante sur

[0\,;+\infty[

: elle conserve l'ordre, donc

\sqrt{72} < \sqrt{80}

Résous l'équation $-2x + 7 = 1$ :

x = -3

x = 4

x = -4

x = 3

Explication :

-2x+7=1 \iff -2x=-6 \iff x=3

Une droite passe par les points $A(1\,;4)$ et $B(3\,;-2)$ . Son coefficient directeur $a$ vaut :

-3

3

-2

2

Explication :

a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-2-4}{3-1} = \dfrac{-6}{2} = -3

Sachant que $3 \leqslant x \leqslant 7$ , un encadrement de $\dfrac{1}{x}$ est :

\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{7}

3 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 7

\dfrac{1}{7} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}

9 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 49

Explication : La fonction inverse est décroissante sur

]0\,;+\infty[

: elle inverse l'ordre.

3 \leqslant x \leqslant 7

donne donc

\dfrac{1}{7} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}

Pour tout $x \in [0\,;1]$ , l'ordre correct entre $x$ , $x^2$ et $\sqrt{x}$ est :

\sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^2

x^2 \leqslant x \leqslant \sqrt{x}

x \leqslant x^2 \leqslant \sqrt{x}

l'ordre dépend de la valeur exacte de

x

dans

[0\,;1]

Explication : Sur

[0\,;1]

x^2 \leqslant x \leqslant \sqrt{x}

(le carré rapetisse, la racine agrandit). Cet ordre s'inverse sur

[1\,;+\infty[

, où

\sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^2

On donne $f(x) = x^2 - 6x + 9$ . Sachant que $f(x) = (x-3)^2$ , l'ensemble des solutions de $f(x) \leqslant 4$ est :

\{1\,;5\}

[-2\,;2]

]-\infty\,;1] \cup [5\,;+\infty[

[1\,;5]

Explication :

(x-3)^2 \leqslant 4 \iff -2 \leqslant x-3 \leqslant 2

\iff 1 \leqslant x \leqslant 5

, soit

x \in [1\,;5]

Deux compagnies de taxi à Dakar facturent $A(d) = 800 + 100d$ et $B(d) = 180d$ (F CFA, pour $d$ km). Pour quelles distances la compagnie B est-elle la moins chère ?

pour tout

d > 0

pour

d > 10

pour

d < 10

jamais, A est toujours moins chère

Explication :

B(d)-A(d) = 80d - 800

, affine croissante, nulle en

d=10

: négative avant

10

, donc

B(d) < A(d)

pour

d<10

. B est la moins chère pour les trajets de moins de

10

km.

Le temps de trajet pour $180$ km est $t(v) = \dfrac{180}{v}$ ( $v$ en km/h). À partir de quelle vitesse le trajet dure-t-il moins de $2$ heures ?

v > 90

km/h

v > 180

km/h

v < 90

km/h

v > 360

km/h

Explication :

\dfrac{180}{v} < 2 \iff 180 < 2v

(on multiplie par

v>0

, sens inchangé)

\iff v > 90

Un bassin carré d'Ndjamena a un côté $c=25$ m. On construit un second bassin de côté double, $c'=50$ m. L'aire du second bassin, comparée à celle du premier, est :

doublée quadruplée inchangée multipliée par

8

Explication : aire

'

= (2c)^2 = 4c^2

: doubler le côté quadruple l'aire, car la fonction carré transforme un facteur

2

en facteur

2^2=4

. Vérification :

50^2 = 2\,500 = 4 \times 625

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En bref

Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 8 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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Fonctions de référence

Ce que tu sauras faire à la fin

1Fonction affine : variations et signe

1.1 Définition et représentation graphique

1.2 Taux d'accroissement

1.3 Sens de variation

1.4 Signe d'une fonction affine

2Fonction carré

2.1 Définition et courbe représentative

2.2 Parité

2.3 Variations

3Fonction inverse

3.1 Définition et courbe représentative

3.2 Imparité

3.3 Variations

4Fonction racine carrée

4.1 Définition et courbe représentative

4.2 Variations

5Fonction cube

5.1 Définition et courbe représentative

5.2 Parité et variations

6Comparaison de xxx, x2x^{2}x2, x\sqrt{x}x​ sur [0 ;1][0\,;1][0;1] et [1 ;+∞[[1\,;+\infty[[1;+∞[

6.1 Comparaison sur [0 ;1][0\,;1][0;1]

6.2 Comparaison sur [1 ;+∞[[1\,;+\infty[[1;+∞[

Fiche mémo

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Fonctions : généralités et lectures graphiques

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

6Comparaison de $x$ , $x^{2}$ , $\sqrt{x}$ sur $[0\,;1]$ et $[1\,;+\infty[$

6.1 Comparaison sur $[0\,;1]$

6.2 Comparaison sur $[1\,;+\infty[$