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Ensembles de nombres et intervalles

Situer les nombres dans ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ et manipuler les intervalles.

Mathématiques Seconde Chapitre 1 / 15 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Écrire un ensemble de solutions sous forme d'intervalle
  • Utiliser la valeur absolue comme distance
  • Encadrer un nombre et donner une valeur approchée

Depuis le collège, tu manies des nombres entiers, des fractions, des nombres décimaux… sans toujours savoir à quelle « famille » chacun appartient, ni comment nommer proprement un ensemble de solutions comme « tous les nombres compris entre 22 et 77 ». C'est exactement ce que ce chapitre va t'apprendre : ranger les nombres dans des ensembles emboîtés les uns dans les autres, et décrire des morceaux entiers de la droite numérique avec des intervalles.

Ces outils ne sont pas un simple vocabulaire supplémentaire : ils forment la grammaire de tout le programme de Seconde et des classes suivantes. Résoudre une inéquation, donner l'ensemble de définition d'une fonction, encadrer une mesure physique avec son incertitude, exprimer une distance… toutes ces situations se terminent par une réponse écrite sous forme d'intervalle. Tu en auras besoin dans chaque chapitre qui suit cette année.

La nouveauté par rapport au collège est double. D'abord, tu vas côtoyer des nombres qui ne sont ni entiers, ni décimaux, ni même des fractions : les nombres irrationnels, comme 2\sqrt{2}, dont on va démontrer proprement qu'aucune fraction ne peut lui être exactement égale. Ensuite, tu vas apprendre une écriture rigoureuse — les intervalles — pour remplacer une phrase comme « xx est compris au sens large entre −2-2 et 55 » par l'écriture compacte x∈[−2 ; 5]x \in [-2\,;\,5].

Tu retrouveras ces notions bien au-delà des mathématiques : une tolérance de fabrication en mécanique, une fourchette de température pour conserver un vaccin, une plage de prix dans un budget… Ranger les nombres, les encadrer, en donner une valeur approchée : c'est le métier de tout scientifique, et c'est ce que tu commences aujourd'hui.

1Les ensembles N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R}

On construit ces cinq ensembles comme des poupées russes : chacun contient le précédent et lui ajoute de nouveaux nombres, pour résoudre des problèmes que le précédent ne savait pas résoudre.

1.1  Les entiers : N\mathbb{N} et Z\mathbb{Z}

Définition

L'ensemble des entiers naturels, noté N\mathbb{N}, regroupe les nombres qui servent à compter :

N={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}\mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\, \ldots\}

Il n'a pas de plus grand élément : pour tout entier nn, l'entier n+1n+1 existe aussi.

Dans N\mathbb{N}, l'addition et la multiplication de deux entiers redonnent toujours un entier. Mais la soustraction pose problème : 3−53-5 n'a pas de solution dans N\mathbb{N}. Pour lever cette limite, on agrandit l'ensemble.

Définition

L'ensemble des entiers relatifs, noté Z\mathbb{Z} (de l'allemand Zahl, « nombre »), regroupe les entiers naturels et leurs opposés :

Z={… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}\mathbb{Z} = \{\ldots\,;\,-3\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\, \ldots\}

Dans Z\mathbb{Z}, toute soustraction est possible : 3−5=−23-5=-2.

Tout entier naturel est un entier relatif (positif), donc N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}. En revanche, −2∈Z-2 \in \mathbb{Z} mais −2∉N-2 \notin \mathbb{N} : l'inclusion est stricte.

Math & Co — Des nombres « absurdes » aux nombres relatifs

Les nombres négatifs ont mis des siècles à être admis. Dès le VIIe siècle, le mathématicien indien Brahmagupta les manipule couramment dans son traité Brahmasphutasiddhanta (628628), en particulier pour représenter des dettes en comptabilité. En Europe, l'histoire est différente : au XVIIe siècle encore, Descartes qualifie les solutions négatives d'une équation de « racines fausses », et de nombreux mathématiciens leur refusent le statut de véritables nombres.

Il faudra attendre le début du XIXe siècle, avec des mathématiciens comme Carl Friedrich Gauss, pour que Z\mathbb{Z} soit pleinement légitimé, avec les règles de calcul que tu utilises aujourd'hui.

1.2  Les décimaux D\mathbb{D}

Définition

Un nombre est décimal lorsqu'il peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, c'est-à-dire sous la forme :

x=a10navec a∈Z et n∈Nx = \dfrac{a}{10^{n}} \quad \text{avec } a \in \mathbb{Z} \text{ et } n \in \mathbb{N}

L'ensemble des nombres décimaux se note D\mathbb{D}.

Exemple — reconnaître un décimal
  1. 0,5=5100{,}5 = \dfrac{5}{10}décimal : a=5a=5, n=1n=1
  2. −7=−7100-7 = \dfrac{-7}{10^{0}}tout entier est décimal, avec n=0n=0
  3. 3,14=3141003{,}14 = \dfrac{314}{100}décimal : a=314a=314, n=2n=2
  4. 25=0,4\dfrac{2}{5} = 0{,}4cette fraction EST décimale : son écriture décimale s'arrête

Tout entier relatif est décimal (avec n=0n=0), donc Z⊂D\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}. Mais un nombre rationnel n'est pas toujours décimal, comme le montre l'exemple suivant.

Démonstration — 13\dfrac{1}{3} n'est pas décimal

Supposons, par l'absurde, que 13\dfrac{1}{3} soit décimal : il existerait un entier aa et un entier naturel nn tels que 13=a10n\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^{n}}.

  1. 13=a10n\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^{n}}
  2. ⇒\Rightarrow10n=3a10^{n} = 3aproduit en croix
  3. donc 33 diviserait 10n=2n×5n10^{n} = 2^{n} \times 5^{n}

Or 33 est un nombre premier différent de 22 et de 55 : il ne peut diviser aucune puissance de 1010, quel que soit l'entier nn. L'égalité 10n=3a10^{n} = 3a est donc impossible. Par conséquent, 13∉D\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}. C.Q.F.D.

1.3  Les rationnels Q\mathbb{Q}

Définition

L'ensemble des nombres rationnels, noté Q\mathbb{Q} (comme quotient), regroupe tous les nombres qui s'écrivent comme le quotient de deux entiers :

Q={pq | p∈Z, q∈Z, q≠0}\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{p}{q} \ \middle|\ p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0 \right\}

Un décimal a10n\dfrac{a}{10^{n}} est un quotient particulier de deux entiers, donc D⊂Q\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}. Et l'on vient de démontrer que 13∈Q\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q} alors que 13∉D\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D} : cette inclusion est donc, elle aussi, stricte.

Propriété (admise)

Un nombre est rationnel si, et seulement si, son écriture décimale est finie ou illimitée périodique (une suite de chiffres se répète indéfiniment).

Exemple — écritures décimales de rationnels
  1. 13=0,333 333…\dfrac{1}{3} = 0{,}333\,333\ldotsla période est « 3 »
  2. 17=0,142 857 142 857…\dfrac{1}{7} = 0{,}142\,857\,142\,857\ldotsla période est « 142857 »
  3. 74=1,75\dfrac{7}{4} = 1{,}75écriture décimale finie : 74∈D\dfrac{7}{4} \in \mathbb{D}

1.4  Les réels R\mathbb{R} et les irrationnels

Définition

L'ensemble des nombres réels, noté R\mathbb{R}, regroupe tous les nombres utilisés en mathématiques de lycée : les rationnels, et tous les nombres dont l'écriture décimale est illimitée non périodique. Ces derniers sont appelés nombres irrationnels.

Les irrationnels les plus célèbres sont 2\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5} (racines carrées d'entiers qui ne sont pas des carrés parfaits) et π\pi. Aucun d'eux ne peut s'écrire sous forme de fraction : leur écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète jamais.

Démonstration — 2\sqrt{2} n'est pas rationnel

Supposons, par l'absurde, que 2\sqrt{2} soit rationnel. Il existerait alors deux entiers pp et qq, avec q≠0q \neq 0, tels que 2=pq\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}, la fraction étant irréductible (pp et qq sans diviseur commun autre que 11).

  1. 2=pq\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}
  2. ⇒\Rightarrow2=p2q22 = \dfrac{p^{2}}{q^{2}}en élevant au carré
  3. ⇒\Rightarrowp2=2q2p^{2} = 2q^{2}

Donc p2p^{2} est pair. Or le carré d'un nombre impair est impair, donc pp est lui-même pair : on peut écrire p=2kp = 2k avec k∈Zk \in \mathbb{Z}.

  1. (2k)2=2q2(2k)^{2} = 2q^{2}
  2. ⇒\Rightarrow4k2=2q24k^{2} = 2q^{2}
  3. ⇒\Rightarrowq2=2k2q^{2} = 2k^{2}

Donc q2q^{2} est pair, donc qq est pair également. Mais alors pp et qq sont tous les deux pairs : ils admettent 22 comme diviseur commun, ce qui contredit le caractère irréductible de pq\dfrac{p}{q}.

Cette contradiction montre que l'hypothèse de départ est fausse : 2\sqrt{2} n'est pas un nombre rationnel, 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}. C.Q.F.D.

Math & Co — Le scandale des irrationnels

Vers −500-500, l'école pythagoricienne de Crotone professe que « tout est nombre » et que deux longueurs quelconques sont toujours dans un rapport d'entiers. En appliquant leur propre théorème à la diagonale du carré de côté 11, qui vaut 2\sqrt{2}, les pythagoriciens découvrent au contraire qu'aucune fraction ne peut l'exprimer exactement. La tradition antique attribue cette découverte à Hippase de Métaponte, sans qu'on puisse aujourd'hui le confirmer avec certitude.

Il faudra attendre le Livre X des Éléments d'Euclide, vers −300-300, pour qu'une théorie rigoureuse de ces grandeurs « incommensurables » voie le jour — l'ancêtre lointain de notre ensemble R\mathbb{R}.

2Appartenance et inclusion

Cinq ensembles sont maintenant définis. Il faut à présent savoir écrire proprement qu'un nombre appartient à l'un d'eux, ou qu'un ensemble est contenu dans un autre.

2.1  Appartenance : ∈\in et ∉\notin

Définition

Le symbole ∈\in signifie « appartient à » : x∈Ex \in E se lit « xx appartient à l'ensemble EE ». Le symbole ∉\notin signifie « n'appartient pas à ».

Exemple — tester une appartenance
  1. 3∈N3 \in \mathbb{N}
  2. −3∉N-3 \notin \mathbb{N}N\mathbb{N} ne contient aucun nombre négatif
  3. −3∈Z-3 \in \mathbb{Z}
  4. 13∉D\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}démontré en section 1
  5. 13∈Q\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}
  6. 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}démontré en section 1
  7. 2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R}

2.2  Inclusion : ⊂\subset

Définition

Un ensemble AA est inclus dans un ensemble BB, noté A⊂BA \subset B, lorsque tout élément de AA est aussi élément de BB. On dit aussi que AA est une partie, ou un sous-ensemble, de BB.

Propriété

Les cinq ensembles étudiés sont emboîtés les uns dans les autres :

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Toutes ces inclusions sont strictes : chaque ensemble contient des nombres que le précédent ne contient pas — par exemple −3-3, 0,50{,}5, 13\dfrac{1}{3} et 2\sqrt{2} respectivement.

Les ensembles emboîtés ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ℝ √2 ; π ; −√7 ℚ 1/3 ; −7/2 𝔻 0,5 ; −7,25 ℤ −3 ; −10 ℕ 0 ; 7 ; 42 Chaque nombre appartient à son ensemble ET à tous les ensembles qui l'entourent
Figure 1 — Les cinq ensembles de nombres sont emboîtés : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est décimal, tout décimal est rationnel, et tout rationnel est réel.
Attention

Ne confonds jamais ∈\in et ⊂\subset : ∈\in relie un élément à un ensemble (3∈N3 \in \mathbb{N}), tandis que ⊂\subset relie deux ensembles (N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}). L'écriture 3⊂N3 \subset \mathbb{N} n'a pas de sens : la bonne écriture, si l'on veut vraiment relier 33 à N\mathbb{N} par une inclusion, est {3}⊂N\{3\} \subset \mathbb{N}, avec des accolades.

Méthode — situer un nombre parmi les cinq ensembles

On teste l'appartenance en partant du plus petit ensemble (N\mathbb{N}) et en élargissant jusqu'à trouver le premier ensemble qui convient : le nombre appartient alors automatiquement à tous les ensembles suivants, grâce à la chaîne d'inclusions N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Exemple — classer −94-\dfrac{9}{4}
  1. −94-\dfrac{9}{4} est négatifdonc −94∉N-\dfrac{9}{4} \notin \mathbb{N}
  2. −94=−2,25-\dfrac{9}{4} = -2{,}25ce n'est pas un entier : −94∉Z-\dfrac{9}{4} \notin \mathbb{Z}
  3. −2,25=−225100-2{,}25 = \dfrac{-225}{100}écriture décimale finie
  4. ⇒\Rightarrow−94∈D-\dfrac{9}{4} \in \mathbb{D}, donc aussi −94∈Q-\dfrac{9}{4} \in \mathbb{Q} et −94∈R-\dfrac{9}{4} \in \mathbb{R}

3Intervalles de R\mathbb{R}

La droite des réels n'a aucun « trou » : entre deux réels quelconques, aussi proches soient-ils, il en existe toujours d'autres. Un intervalle est un morceau de cette droite sans coupure : un segment, une demi-droite, ou la droite entière.

3.1  Intervalles bornés

Définition

Soient aa et bb deux réels tels que a⩽ba \leqslant b. L'intervalle fermé [a ; b][a\,;\,b] est l'ensemble des réels xx vérifiant a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b :

[a ; b]={x∈R∣a⩽x⩽b}[a\,;\,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leqslant x \leqslant b\}

Les nombres aa et bb sont les bornes de l'intervalle ; un crochet tourné vers l'intérieur signifie que la borne correspondante est incluse.

Quand une borne est exclue (inégalité stricte), le crochet se tourne vers l'extérieur. On obtient ainsi quatre types d'intervalles bornés, puis des intervalles non bornés à l'aide des symboles −∞-\infty et +∞+\infty.

NotationDéfinitionNom
[a ; b][a\,;\,b]a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant bfermé, borné
[a ; b[[a\,;\,b[a⩽x<ba \leqslant x < bsemi-ouvert (fermé à gauche)
]a ; b]]a\,;\,b]a<x⩽ba < x \leqslant bsemi-ouvert (fermé à droite)
]a ; b[]a\,;\,b[a<x<ba < x < bouvert, borné
[a ; +∞[[a\,;\,+\infty[x⩾ax \geqslant afermé, non borné
]a ; +∞[]a\,;\,+\infty[x>ax > aouvert, non borné
]−∞ ; a]]-\infty\,;\,a]x⩽ax \leqslant afermé, non borné
]−∞ ; a[]-\infty\,;\,a[x<ax < aouvert, non borné
]−∞ ; +∞[]-\infty\,;\,+\infty[x∈Rx \in \mathbb{R}R\mathbb{R} tout entier
Attention

−∞-\infty et +∞+\infty ne sont pas des nombres réels : ce ne sont que des symboles indiquant que l'intervalle se prolonge indéfiniment. Le crochet à côté de −∞-\infty ou +∞+\infty est donc toujours tourné vers l'extérieur (ouvert) : les écritures [ −∞ ; a][\,-\infty\,;\,a] ou [a ; +∞][a\,;\,+\infty] n'ont aucun sens.

3.2  Représentation sur la droite graduée

Sur une droite graduée, une borne incluse se représente par un point plein, et une borne exclue par un point vide (un petit cercle non rempli). Le morceau de droite correspondant à l'intervalle est mis en évidence.

Méthode — passer d'une inégalité à un intervalle

On repère les deux bornes et la nature (large ou stricte) de chaque inégalité, puis on choisit le crochet correspondant : intérieur pour ⩽\leqslant ou ⩾\geqslant, extérieur pour << ou >>.

Exemple — écrire un intervalle
  1. 2⩽x<72 \leqslant x < 7borne 22 incluse, borne 77 exclue
  2. ⟺\Longleftrightarrowx∈[2 ; 7[x \in [2\,;\,7[
  1. x>−3x > -3une seule borne, exclue
  2. ⟺\Longleftrightarrowx∈]−3 ; +∞[x \in ]-3\,;\,+\infty[
Deux intervalles sur la droite graduée [−2 ; 4] ]1 ; 5] −3−2−10123456 ● borne incluse    ○ borne exclue
Figure 2 — L'intervalle [−2 ; 4][-2\,;\,4] (bornes incluses, points pleins) et l'intervalle ]1 ; 5]]1\,;\,5] (borne 11 exclue, point vide ; borne 55 incluse, point plein).

4Réunion et intersection

Deux intervalles se combinent de deux façons : en gardant ce qu'ils ont en commun (intersection), ou en rassemblant tout ce qu'ils contiennent (réunion).

4.1  Intersection

Définition

L'intersection de deux ensembles AA et BB, notée A∩BA \cap B, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à AA et à BB :

A∩B={x∣x∈A et x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}

Quand AA et BB n'ont aucun élément commun, on écrit A∩B=∅A \cap B = \varnothing (l'ensemble vide).

Exemple — intersections d'intervalles
  1. [−3 ; 5]∩[0 ; 8][-3\,;\,5] \cap [0\,;\,8]on garde la partie commune aux deux
  2. ==[0 ; 5][0\,;\,5]
  1. [−5 ; −2]∩[0 ; 3][-5\,;\,-2] \cap [0\,;\,3]les deux intervalles ne se touchent pas
  2. ==∅\varnothing

4.2  Réunion

Définition

La réunion de deux ensembles AA et BB, notée A∪BA \cup B, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à AA, ou à BB, ou aux deux :

A∪B={x∣x∈A ou x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}

Exemple — réunions d'intervalles
  1. [−3 ; 5]∪[0 ; 8][-3\,;\,5] \cup [0\,;\,8]les intervalles se chevauchent : la réunion est un seul intervalle
  2. ==[−3 ; 8][-3\,;\,8]
  1. ]−∞ ; 2]∪]5 ; +∞[]-\infty\,;\,2] \cup ]5\,;\,+\infty[les intervalles sont disjoints : on ne peut pas les fondre en un seul
  2. ==]−∞ ; 2]∪]5 ; +∞[]-\infty\,;\,2] \cup ]5\,;\,+\infty[
Attention

Contrairement à l'intersection, la réunion de deux intervalles n'est pas toujours un intervalle : si les deux morceaux ne se touchent pas, il faut garder le symbole ∪\cup et écrire les deux morceaux séparément. C'est le cas, par exemple, de l'ensemble des solutions de ∣x∣>2|x| > 2, qui s'écrit ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[]-\infty\,;\,-2[\, \cup \,]2\,;\,+\infty[ et non un intervalle unique.

Méthode — intersection ou réunion sur la droite graduée

On place les deux intervalles sur une même droite graduée, l'un au-dessus de l'autre. L'intersection est la zone couverte par les deux bandes en même temps ; la réunion est la zone couverte par au moins une des deux bandes.

Intersection et réunion de A=[−1 ; 4]A = [-1\,;\,4] et B=[2 ; 6]B = [2\,;\,6] A A = [−1 ; 4] B B = [2 ; 6] A∩B [2 ; 4] A∪B [−1 ; 6] −3−2−10123456
Figure 3 — L'intersection A∩BA \cap B retient la zone couverte par les deux bandes ; la réunion A∪BA \cup B retient la zone couverte par au moins une des deux.
Exemple — trois intervalles
  1. E=]−2 ; 3]∩[1 ; 6[E = ]-2\,;\,3] \cap [1\,;\,6[
  2. ==[1 ; 3][1\,;\,3]on garde le plus grand des deux minorants inclus, le plus petit des deux majorants inclus
  1. F=]−2 ; 3]∪[1 ; 6[F = ]-2\,;\,3] \cup [1\,;\,6[
  2. ==]−2 ; 6[]-2\,;\,6[les deux intervalles se chevauchent, la réunion est un seul intervalle

5Valeur absolue et distance

La valeur absolue mesure « la taille » d'un nombre, sans tenir compte de son signe. Elle va nous permettre d'exprimer très simplement une distance sur la droite des réels.

5.1  Définition de la valeur absolue

Définition

La valeur absolue d'un réel xx, notée ∣x∣|x|, est définie par :

∣x∣={xsi x⩾0−xsi x<0|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Géométriquement, ∣x∣|x| est la distance entre le point d'abscisse xx et l'origine 00 sur la droite graduée.

Propriété

Pour tout réel xx :

∣x∣⩾0et∣x∣=0  ⟺  x=0et∣−x∣=∣x∣|x| \geqslant 0 \qquad \text{et} \qquad |x| = 0 \iff x = 0 \qquad \text{et} \qquad |-x| = |x|

Exemple — calculer une valeur absolue
  1. ∣5∣=5|5| = 55⩾05 \geqslant 0
  2. ∣−3∣=−(−3)=3|-3| = -(-3) = 3−3<0-3 < 0
  3. ∣0∣=0|0| = 0

5.2  Valeur absolue et distance entre deux points

Propriété

Pour tous réels aa et bb, la distance entre les points d'abscisses aa et bb sur la droite graduée vaut :

d(a ; b)=∣a−b∣=∣b−a∣d(a\,;\,b) = |a-b| = |b-a|

Exemple — distances
  1. d(3 ; 9)=∣3−9∣d(3\,;\,9) = |3-9|
  2. ==∣−6∣|-6|
  3. ==66
  1. d(−4 ; 2)=∣−4−2∣d(-4\,;\,2) = |-4-2|
  2. ==∣−6∣|-6|
  3. ==66

5.3  L'équivalence ∣x−a∣⩽r  ⟺  x∈[a−r ; a+r]|x-a| \leqslant r \iff x \in [a-r\,;\,a+r]

Théorème

Soient aa un réel et rr un réel positif. Pour tout réel xx :

∣x−a∣⩽r  ⟺  x∈[a−r ; a+r]|x-a| \leqslant r \iff x \in [a-r\,;\,a+r]

∣x−a∣<r  ⟺  x∈ ]a−r ; a+r[|x-a| < r \iff x \in \,]a-r\,;\,a+r[

∣x−a∣⩾r  ⟺  x∈ ]−∞ ; a−r]∪[a+r ; +∞[|x-a| \geqslant r \iff x \in \,]-\infty\,;\,a-r] \cup [a+r\,;\,+\infty[

Démonstration

∣x−a∣|x-a| est la distance entre xx et aa. Dire que ∣x−a∣⩽r|x-a| \leqslant r signifie donc que xx est situé à une distance au plus rr de aa, c'est-à-dire ni trop à gauche, ni trop à droite de aa.

  1. ∣x−a∣⩽r|x-a| \leqslant r
  2. ⟺\Longleftrightarrow−r⩽x−a⩽r-r \leqslant x-a \leqslant rdéfinition de la valeur absolue appliquée à x−ax-a
  3. ⟺\Longleftrightarrowa−r⩽x⩽a+ra-r \leqslant x \leqslant a+ron ajoute aa aux trois membres
  4. ⟺\Longleftrightarrowx∈[a−r ; a+r]x \in [a-r\,;\,a+r]

Le même raisonnement, avec des inégalités strictes, donne la deuxième équivalence ; la troisième s'obtient en niant la première. C.Q.F.D.

Résolution de |x − 2| ≤ 3 33 a = 2 [] −3−2−101234567 Solution : x ∈ [−1 ; 5]
Figure 4 — L'ensemble des solutions de ∣x−2∣⩽3|x-2| \leqslant 3 est l'intervalle [−1 ; 5][-1\,;\,5] : tous les points situés à une distance au plus 33 de 22.
Attention

L'équivalence n'a de sens que si r⩾0r \geqslant 0, puisqu'une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Si r<0r < 0, l'inéquation ∣x−a∣⩽r|x-a| \leqslant r n'a aucune solution. Si r=0r = 0, l'unique solution est x=ax = a.

Exemple — résoudre avec un coefficient
  1. ∣2x−3∣⩽5|2x-3| \leqslant 5
  2. ⟺\Longleftrightarrow−5⩽2x−3⩽5-5 \leqslant 2x-3 \leqslant 5
  3. ⟺\Longleftrightarrow−2⩽2x⩽8-2 \leqslant 2x \leqslant 8on ajoute 33 aux trois membres
  4. ⟺\Longleftrightarrow−1⩽x⩽4-1 \leqslant x \leqslant 4on divise les trois membres par 2>02 > 0
  5. ⟺\Longleftrightarrowx∈[−1 ; 4]x \in [-1\,;\,4]

6Encadrements et approximations

Certains nombres, comme 2\sqrt{2} ou π\pi, n'ont pas d'écriture décimale exacte finie : impossible de les taper entièrement sur une calculatrice. On les encadre alors entre deux décimaux de plus en plus proches, pour obtenir des valeurs approchées aussi précises que nécessaire.

6.1  Encadrer un nombre

Définition

Un encadrement d'un réel xx est la donnée de deux réels aa et bb tels que a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b (ou avec des inégalités strictes). Le nombre b−ab - a s'appelle l'amplitude de l'encadrement : plus elle est petite, plus l'encadrement est précis.

Exemple — encadrer π\pi
  1. 3<π<43 < \pi < 4amplitude 11
  2. 3,1<π<3,23{,}1 < \pi < 3{,}2amplitude 0,10{,}1
  3. 3,14<π<3,153{,}14 < \pi < 3{,}15amplitude 0,010{,}01
  4. 3,141<π<3,1423{,}141 < \pi < 3{,}142amplitude 0,0010{,}001

6.2  Valeurs approchées, troncature, arrondi

Définition

Soit xx un réel et nn un entier naturel. Parmi les deux décimaux qui encadrent xx à 10−n10^{-n} près :

  • le plus petit est la valeur approchée par défaut (ou troncature) de xx à 10−n10^{-n} près ;
  • le plus grand est la valeur approchée par excès ;
  • la plus proche des deux (celle qui minimise l'écart) est l'arrondi de xx à 10−n10^{-n} près.
Exemple — π\pi à 10−210^{-2} près
  1. π=3,141 592…\pi = 3{,}141\,592\ldots
  2. valeur approchée par défaut : 3,143{,}14
  3. valeur approchée par excès : 3,153{,}15
  4. arrondi : 3,143{,}14le troisième chiffre décimal, 11, est inférieur à 55
Attention

Une valeur approchée n'est pas le nombre lui-même : l'usage du signe ≈\approx (« environ égal à ») remplace le signe ==. Dans un calcul exact, on garde π\pi ou 2\sqrt{2} tel quel et l'on n'introduit une valeur approchée qu'à la toute dernière ligne, pour donner un résultat numérique.

6.3  Opérations sur les encadrements

Propriété — addition d'encadrements

Si a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b et c⩽y⩽dc \leqslant y \leqslant d, alors :

a+c⩽x+y⩽b+da + c \leqslant x + y \leqslant b + d

On additionne les encadrements terme à terme.

Attention — la soustraction ne se fait JAMAIS terme à terme

Pour soustraire des encadrements, on encadre d'abord −y-y en changeant le sens des inégalités, puis on additionne :

c⩽y⩽d ⟹ −d⩽−y⩽−c ⟹ a−d⩽x−y⩽b−cc \leqslant y \leqslant d \ \Longrightarrow\ -d \leqslant -y \leqslant -c \ \Longrightarrow\ a - d \leqslant x - y \leqslant b - c

Exemple — encadrer une somme, une différence, un produit

On donne 2,1<a<2,32{,}1 < a < 2{,}3 et 0,4<b<0,60{,}4 < b < 0{,}6, avec aa et bb positifs.

  1. 2,1+0,4<a+b<2,3+0,62{,}1 + 0{,}4 < a+b < 2{,}3+0{,}6
  2. ⟹\Longrightarrow2,5<a+b<2,92{,}5 < a+b < 2{,}9
  1. −0,6<−b<−0,4-0{,}6 < -b < -0{,}4on inverse le sens des inégalités
  2. 2,1−0,6<a−b<2,3−0,42{,}1 - 0{,}6 < a-b < 2{,}3 - 0{,}4
  3. ⟹\Longrightarrow1,5<a−b<1,91{,}5 < a-b < 1{,}9
  1. toutes les bornes sont positiveson peut alors multiplier terme à terme
  2. 2,1×0,4<ab<2,3×0,62{,}1 \times 0{,}4 < ab < 2{,}3 \times 0{,}6
  3. ⟹\Longrightarrow0,84<ab<1,380{,}84 < ab < 1{,}38

Fiche mémo

  • N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} : chaque ensemble ajoute de nouveaux nombres au précédent.
  • Décimal D\mathbb{D} : écriture décimale finie, x=a10nx=\dfrac{a}{10^n}. Rationnel Q\mathbb{Q} : écriture décimale finie ou illimitée périodique.
  • 13∈Q\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q} mais 13∉D\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D} ; 2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R} mais 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} (irrationnel).
  • ∈\in relie un élément à un ensemble ; ⊂\subset relie deux ensembles.
  • [a ; b][a\,;\,b] : bornes incluses. ]a ; b[]a\,;\,b[ : bornes exclues. Le crochet à côté de ±∞\pm\infty est toujours ouvert.
  • A∩BA \cap B : éléments communs aux deux (« et »). A∪BA \cup B : éléments d'au moins un des deux (« ou »).
  • La réunion de deux intervalles disjoints n'est pas un intervalle : on garde le symbole ∪\cup.
  • ∣x∣|x| = distance de xx à 00 ; ∣a−b∣|a-b| = distance entre aa et bb.
  • Pour r⩾0r \geqslant 0 : ∣x−a∣⩽r  ⟺  x∈[a−r ; a+r]|x-a| \leqslant r \iff x \in [a-r\,;\,a+r].
  • Amplitude d'un encadrement a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b : b−ab-a.
  • Encadrements : on additionne terme à terme ; pour soustraire, on encadre l'opposé puis on additionne ; on ne multiplie terme à terme que si toutes les bornes sont positives.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Pour chaque nombre, indique le plus petit des cinq ensembles N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R} auquel il appartient : 88 ; −5-5 ; 0,750{,}75 ; 23\dfrac{2}{3} ; 16\sqrt{16} ; 7\sqrt{7} ; −94-\dfrac{9}{4} ; 00.

Voir le corrigé détaillé
NombrePlus petit ensembleJustification
88N\mathbb{N}entier positif
−5-5Z\mathbb{Z}entier négatif
0,750{,}75D\mathbb{D}écriture décimale finie
23\dfrac{2}{3}Q\mathbb{Q}0,666…0{,}666\ldots : illimitée périodique, non décimale
16\sqrt{16}N\mathbb{N}16=4\sqrt{16}=4
7\sqrt{7}R\mathbb{R}77 n'est pas un carré parfait : irrationnel
−94-\dfrac{9}{4}D\mathbb{D}−94=−2,25-\dfrac{9}{4}=-2{,}25
00N\mathbb{N}entier naturel
2

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. a) −6∈N-6 \in \mathbb{N}   b) −6∈Z-6 \in \mathbb{Z}   c) Z⊂N\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}   d) 0,2∈D0{,}2 \in \mathbb{D}   e) 5∈Q\sqrt{5} \in \mathbb{Q}   f) N⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{R}

Voir le corrigé détaillé
  • a) Faux : N\mathbb{N} ne contient aucun nombre négatif.
  • b) Vrai : Z\mathbb{Z} contient tous les entiers, positifs et négatifs.
  • c) Faux : c'est l'inverse, N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} ; par exemple −6∈Z-6 \in \mathbb{Z} mais −6∉N-6 \notin \mathbb{N}.
  • d) Vrai : 0,2=2100{,}2 = \dfrac{2}{10}, écriture décimale finie.
  • e) Faux : 55 n'est pas un carré parfait, 5\sqrt{5} est irrationnel.
  • f) Vrai : c'est la chaîne d'inclusions N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
3

Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des réels xx vérifiant : a) −3⩽x<5-3 \leqslant x < 5   b) x>2x > 2   c) x⩽−1x \leqslant -1   d) −4<x<0-4 < x < 0

Voir le corrigé détaillé
  • a) x∈[−3 ; 5[x \in [-3\,;\,5[
  • b) x∈ ]2 ; +∞[x \in \,]2\,;\,+\infty[
  • c) x∈ ]−∞ ; −1]x \in \,]-\infty\,;\,-1]
  • d) x∈ ]−4 ; 0[x \in \,]-4\,;\,0[
4

Calcule : ∣−7∣|-7| ; ∣3−9∣|3-9| ; la distance d(−4 ; 5)d(-4\,;\,5) ; ∣0∣|0|.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∣−7∣=7|-7| = 7
  2. ∣3−9∣=∣−6∣=6|3-9| = |-6| = 6
  3. d(−4 ; 5)=∣−4−5∣=∣−9∣=9d(-4\,;\,5) = |-4-5| = |-9| = 9
  4. ∣0∣=0|0| = 0
5

Détermine l'intersection puis la réunion de : a) [−4 ; 2][-4\,;\,2] et [0 ; 6][0\,;\,6]   b) [1 ; 3][1\,;\,3] et [5 ; 9][5\,;\,9]

Voir le corrigé détaillé

a)

  1. [−4 ; 2]∩[0 ; 6]=[0 ; 2][-4\,;\,2] \cap [0\,;\,6] = [0\,;\,2]
  2. [−4 ; 2]∪[0 ; 6]=[−4 ; 6][-4\,;\,2] \cup [0\,;\,6] = [-4\,;\,6]les intervalles se chevauchent

b)

  1. [1 ; 3]∩[5 ; 9]=∅[1\,;\,3] \cap [5\,;\,9] = \varnothingaucun point commun
  2. [1 ; 3]∪[5 ; 9][1\,;\,3] \cup [5\,;\,9]ne peut pas se fondre en un seul intervalle
Niveau 2 — Approfondissement
6

Démontre, sur le modèle du cours, que 3\sqrt{3} n'est pas un nombre rationnel.

Voir le corrigé détaillé

Supposons par l'absurde que 3=pq\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}, fraction irréductible avec p,q∈Zp, q \in \mathbb{Z}, q≠0q \neq 0.

  1. 3=pq\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}
  2. ⇒\Rightarrow3=p2q23 = \dfrac{p^{2}}{q^{2}}
  3. ⇒\Rightarrowp2=3q2p^{2} = 3q^{2}

Donc 33 divise p2p^{2}. Comme 33 est premier, 33 divise pp : on écrit p=3kp = 3k avec k∈Zk \in \mathbb{Z}.

  1. (3k)2=3q2(3k)^{2} = 3q^{2}
  2. ⇒\Rightarrow9k2=3q29k^{2} = 3q^{2}
  3. ⇒\Rightarrowq2=3k2q^{2} = 3k^{2}

Donc 33 divise aussi q2q^{2}, donc 33 divise qq. Ainsi pp et qq sont tous deux multiples de 33, ce qui contredit le caractère irréductible de pq\dfrac{p}{q}. Donc 3∉Q\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}. C.Q.F.D.

7

Résous ∣2x−5∣⩽7|2x-5| \leqslant 7 et écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∣2x−5∣⩽7|2x-5| \leqslant 7
  2. ⟺\Longleftrightarrow−7⩽2x−5⩽7-7 \leqslant 2x-5 \leqslant 7
  3. ⟺\Longleftrightarrow−2⩽2x⩽12-2 \leqslant 2x \leqslant 12on ajoute 55
  4. ⟺\Longleftrightarrow−1⩽x⩽6-1 \leqslant x \leqslant 6on divise par 2>02>0
  5. ⟺\Longleftrightarrowx∈[−1 ; 6]x \in [-1\,;\,6]
8

On pose A=[−2 ; 6[A = [-2\,;\,6[ et B= ]10 ; +∞[B = \,]10\,;\,+\infty[. 1) Donne A∪BA \cup B. 2) Donne A∩BA \cap B. 3) Donne (A∪B)∩[0 ; 20](A \cup B) \cap [0\,;\,20].

Voir le corrigé détaillé

1. 6<106 < 10 : les deux intervalles sont disjoints, on ne peut pas les fondre.

  1. A∪B=[−2 ; 6[ ∪ ]10 ; +∞[A \cup B = [-2\,;\,6[\, \cup \,]10\,;\,+\infty[

2. Aucun réel n'est à la fois dans AA et dans BB puisqu'ils ne se touchent pas.

  1. A∩B=∅A \cap B = \varnothing

3. On intersecte chaque morceau avec [0 ; 20][0\,;\,20] séparément.

  1. [−2 ; 6[ ∩[0 ; 20]=[0 ; 6[[-2\,;\,6[\, \cap [0\,;\,20] = [0\,;\,6[
  2. ]10 ; +∞[ ∩[0 ; 20]= ]10 ; 20]]10\,;\,+\infty[\, \cap [0\,;\,20] = \,]10\,;\,20]
  3. ⇒\Rightarrow(A∪B)∩[0 ; 20]=[0 ; 6[ ∪ ]10 ; 20](A \cup B) \cap [0\,;\,20] = [0\,;\,6[\, \cup \,]10\,;\,20]
9

On donne 1,8<p<2,11{,}8 < p < 2{,}1 et 3,4<q<3,73{,}4 < q < 3{,}7, avec pp et qq positifs. Encadre p+qp+q, puis p−qp-q, puis pqpq.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1,8+3,4<p+q<2,1+3,71{,}8+3{,}4 < p+q < 2{,}1+3{,}7
  2. ⇒\Rightarrow5,2<p+q<5,85{,}2 < p+q < 5{,}8
  1. −3,7<−q<−3,4-3{,}7 < -q < -3{,}4on change le sens des inégalités
  2. 1,8−3,7<p−q<2,1−3,41{,}8-3{,}7 < p-q < 2{,}1-3{,}4
  3. ⇒\Rightarrow−1,9<p−q<−1,3-1{,}9 < p-q < -1{,}3
  1. toutes les bornes sont positiveson peut multiplier terme à terme
  2. 1,8×3,4<pq<2,1×3,71{,}8 \times 3{,}4 < pq < 2{,}1 \times 3{,}7
  3. ⇒\Rightarrow6,12<pq<7,776{,}12 < pq < 7{,}77
Niveau 3 — Défi
10
  1. Résous ∣x−3∣>2|x-3| > 2.
  2. Résous ∣x+1∣⩽5|x+1| \leqslant 5.
  3. En déduis l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions à la fois.
Voir le corrigé détaillé

1. ∣x−3∣>2|x-3|>2 signifie que xx est à une distance de 33 strictement supérieure à 22 :

  1. ∣x−3∣>2|x-3| > 2
  2. ⟺\Longleftrightarrowx<3−2x < 3-2 ou x>3+2x > 3+2
  3. ⟺\Longleftrightarrowx∈ ]−∞ ; 1[ ∪ ]5 ; +∞[x \in \,]-\infty\,;\,1[\, \cup \,]5\,;\,+\infty[

2.

  1. ∣x+1∣⩽5|x+1| \leqslant 5
  2. ⟺\Longleftrightarrow−5⩽x+1⩽5-5 \leqslant x+1 \leqslant 5
  3. ⟺\Longleftrightarrow−6⩽x⩽4-6 \leqslant x \leqslant 4
  4. ⟺\Longleftrightarrowx∈[−6 ; 4]x \in [-6\,;\,4]

3. On intersecte les deux ensembles de solutions, morceau par morceau.

  1. [−6 ; 4]∩ ]−∞ ; 1[ =[−6 ; 1[[-6\,;\,4] \cap \,]-\infty\,;\,1[\, = [-6\,;\,1[
  2. [−6 ; 4]∩ ]5 ; +∞[ =∅[-6\,;\,4] \cap \,]5\,;\,+\infty[\, = \varnothing4<54 < 5
  3. ⇒\Rightarrowl'ensemble cherché est [−6 ; 1[[-6\,;\,1[
11
  1. Démontre que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est toujours irrationnelle.
  2. Déduis-en que 5+25+\sqrt{2} est irrationnel.
  3. Déduis-en que 3−23-\sqrt{2} est irrationnel.
Voir le corrigé détaillé

1. Soit r∈Qr \in \mathbb{Q} et x∉Qx \notin \mathbb{Q}. Supposons par l'absurde que r+x∈Qr+x \in \mathbb{Q}.

  1. x=(r+x)−rx = (r+x) - r
  2. r+x∈Qr+x \in \mathbb{Q} et r∈Qr \in \mathbb{Q}hypothèse de l'absurde, et donnée
  3. ⇒\Rightarrowx∈Qx \in \mathbb{Q}Q\mathbb{Q} est stable par soustraction

Or x∉Qx \notin \mathbb{Q} par hypothèse : contradiction. Donc r+x∉Qr+x \notin \mathbb{Q}. C.Q.F.D.

2. 5∈Q5 \in \mathbb{Q} et 2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} (démontré en section 1), donc d'après la question 1, 5+2∉Q5+\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

3. Si −2-\sqrt{2} était rationnel, alors 2=−(−2)\sqrt{2} = -(-\sqrt{2}) le serait aussi, ce qui est faux : donc −2∉Q-\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}. Comme 3∈Q3 \in \mathbb{Q}, la question 1 donne 3+(−2)=3−2∉Q3+(-\sqrt{2}) = 3-\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

12
  1. Une pièce a une longueur LL telle que ∣L−12,4∣⩽0,05|L-12{,}4| \leqslant 0{,}05 (LL en cm). Donne l'intervalle contenant LL.
  2. On assemble un carré avec quatre pièces de longueur LL identiques ; son périmètre vaut P=4LP=4L. Donne un encadrement de PP.
  3. Donne l'amplitude de l'encadrement obtenu pour PP, et compare-la à celle de l'encadrement de LL.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. ∣L−12,4∣⩽0,05|L-12{,}4| \leqslant 0{,}05
  2. ⟺\LongleftrightarrowL∈[12,35 ; 12,45]L \in [12{,}35\,;\,12{,}45]

2. Toutes les bornes sont positives, on multiplie l'encadrement par 44.

  1. 4×12,35⩽P⩽4×12,454 \times 12{,}35 \leqslant P \leqslant 4 \times 12{,}45
  2. ⇒\RightarrowP∈[49,4 ; 49,8]P \in [49{,}4\,;\,49{,}8]

3.

  1. amplitude de l'encadrement de LL : 12,45−12,35=0,112{,}45-12{,}35 = 0{,}1
  2. amplitude de l'encadrement de PP : 49,8−49,4=0,449{,}8-49{,}4 = 0{,}4

L'amplitude a été multipliée par 44, exactement comme la longueur elle-même : l'incertitude se propage proportionnellement.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Fatou, au marché de Dakar. Fatou dispose d'un budget BB (en F CFA) tel que 45 000⩽B⩽60 00045\,000 \leqslant B \leqslant 60\,000. Elle achète 33 sacs de riz à 12 50012\,500 F CFA l'un, puis un bidon d'huile dont le prix PP vérifie 8 000⩽P⩽9 5008\,000 \leqslant P \leqslant 9\,500.

  1. Donne un encadrement de sa dépense totale DD.
  2. Peut-elle être certaine, quel que soit le prix exact de l'huile, de pouvoir régler ses achats si son budget réel est le plus faible possible (45 00045\,000 F CFA) ? Justifie.
Voir le corrigé détaillé

1. Les 33 sacs de riz coûtent un montant fixe.

  1. 3×12 500=37 5003 \times 12\,500 = 37\,500
  2. D=37 500+PD = 37\,500 + P
  3. 8 000⩽P⩽9 5008\,000 \leqslant P \leqslant 9\,500
  4. ⇒\Rightarrow45 500⩽D⩽47 00045\,500 \leqslant D \leqslant 47\,000on ajoute 37 50037\,500 aux trois membres

2. Même dans le meilleur des cas (huile la moins chère, P=8 000P=8\,000), la dépense minimale est 45 50045\,500 F CFA, ce qui dépasse déjà 45 00045\,000 F CFA. Non, Fatou ne peut pas être certaine de régler ses achats si son budget réel se révèle être le plus faible de la fourchette.

14

Moussa, au centre de santé de Ndjamena. Le thermomètre électronique affiche une température de 38,238{,}2°C, avec une incertitude de mesure de ±0,3\pm 0{,}3°C.

  1. Note TT la température réelle de Moussa. Traduis la situation à l'aide d'une valeur absolue.
  2. Donne l'intervalle contenant TT.
  3. On considère qu'il y a fièvre lorsque T>37,5T > 37{,}5°C. Peut-on affirmer avec certitude que Moussa a de la fièvre ?
Voir le corrigé détaillé

1. ∣T−38,2∣⩽0,3|T-38{,}2| \leqslant 0{,}3

2.

  1. ∣T−38,2∣⩽0,3|T-38{,}2| \leqslant 0{,}3
  2. ⟺\LongleftrightarrowT∈[37,9 ; 38,5]T \in [37{,}9\,;\,38{,}5]
Température mesurée : 38,2 °C ± 0,3 °C seuil fièvre 37,5 °C mesure 38,2 °C [] 3636,53737,53838,53939,540 Conclusion : T ∈ [37,9 ; 38,5], donc T > 37,5 °C dans tous les cas
Figure 5 — Même avec l'incertitude de mesure, la borne basse 37,937{,}9°C reste supérieure au seuil de fièvre 37,537{,}5°C.

3. La plus petite valeur possible de TT est 37,937{,}9°C, qui est déjà strictement supérieure à 37,537{,}5°C. Oui, on peut affirmer avec certitude que Moussa a de la fièvre, quelle que soit la valeur exacte de TT dans l'intervalle trouvé.

15

Atelier mécanique d'Abidjan. Une pièce cylindrique doit avoir un diamètre nominal de 2020 mm, avec une tolérance de fabrication de ±0,08\pm 0{,}08 mm : une pièce de diamètre dd est acceptée si ∣d−20∣⩽0,08|d-20| \leqslant 0{,}08.

  1. Donne l'intervalle des diamètres acceptés.
  2. Le contrôle qualité mesure trois pièces : d1=20,05d_1=20{,}05 mm, d2=19,90d_2=19{,}90 mm, d3=20,09d_3=20{,}09 mm. Pour chacune, calcule ∣di−20∣|d_i-20| et dis si la pièce est acceptée.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. ∣d−20∣⩽0,08|d-20| \leqslant 0{,}08
  2. ⟺\Longleftrightarrowd∈[19,92 ; 20,08]d \in [19{,}92\,;\,20{,}08]

2.

  1. ∣d1−20∣=∣20,05−20∣=0,05|d_1-20| = |20{,}05-20| = 0{,}050,05⩽0,080{,}05 \leqslant 0{,}08 : pièce acceptée
  2. ∣d2−20∣=∣19,90−20∣=0,10|d_2-20| = |19{,}90-20| = 0{,}100,10>0,080{,}10 > 0{,}08 : pièce refusée
  3. ∣d3−20∣=∣20,09−20∣=0,09|d_3-20| = |20{,}09-20| = 0{,}090,09>0,080{,}09 > 0{,}08 : pièce refusée (de justesse)
16

Couverture réseau à Douala. Le long d'un grand axe routier, on repère la distance dd (en km) au centre-ville. L'opérateur A couvre les points situés à moins de 1515 km : A=[0 ; 15[A=[0\,;\,15[. L'opérateur B couvre les points situés entre 88 et 2222 km : B=[8 ; 22]B=[8\,;\,22].

  1. Détermine A∩BA \cap B : la zone couverte par les deux opérateurs à la fois.
  2. Détermine A∪BA \cup B : la zone couverte par au moins un des deux opérateurs.
  3. Aïcha parcourt cet axe du centre-ville jusqu'au point situé à 2020 km. Sur quelle portion de son trajet ne capte-t-elle aucun des deux opérateurs ?
Voir le corrigé détaillé
  1. A∩B=[8 ; 15[A \cap B = [8\,;\,15[partie commune aux deux bandes
  2. A∪B=[0 ; 22]A \cup B = [0\,;\,22]les deux intervalles se chevauchent : réunion en un seul morceau
Couverture réseau : distance au centre-ville (km) A A = [0 ; 15[ B B = [8 ; 22] A∩B [8 ; 15[ A∪B [0 ; 22] 081522km
Figure 6 — L'intersection A∩B=[8 ; 15[A \cap B = [8\,;\,15[ est couverte par les deux opérateurs ; la réunion A∪B=[0 ; 22]A \cup B = [0\,;\,22] est couverte par au moins l'un des deux.

3. Le trajet d'Aïcha correspond à l'intervalle [0 ; 20][0\,;\,20]. Or [0 ; 20]⊂[0 ; 22]=A∪B[0\,;\,20] \subset [0\,;\,22] = A \cup B : tout point de son trajet est donc couvert par au moins un opérateur. Aucune portion du trajet n'est privée de réseau.

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8 questions

Fonctions : généralités et lectures graphiques

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Quel est l'ordre correct de l'inclusion des cinq ensembles de nombres ?

Explication : Chaque ensemble ajoute de nouveaux nombres au précédent, comme des poupées russes : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Un nombre est dit décimal lorsque :

Explication : Un décimal s'écrit x=a10nx = \dfrac{a}{10^n} avec a∈Za \in \mathbb{Z} et n∈Nn \in \mathbb{N}, c'est-à-dire avec un nombre fini de décimales.

Un nombre est dit rationnel lorsque son écriture décimale est :

Explication : Un nombre est rationnel si, et seulement si, son écriture décimale est finie ou illimitée périodique. Sinon, il est irrationnel.

Lequel de ces nombres est irrationnel ?

Explication : 2\sqrt{2} n'est le quotient d'aucun couple d'entiers (on le démontre par l'absurde) : son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète jamais.

Quelle est la différence entre les symboles ∈\in et ⊂\subset ?

Explication : On écrit 3∈N3 \in \mathbb{N} (élément dans ensemble) mais N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} (ensemble dans ensemble). L'écriture 3⊂N3 \subset \mathbb{N} n'a pas de sens.

Sur la droite graduée, une borne exclue d'un intervalle se représente par :

Explication : Une borne incluse se représente par un point plein, une borne exclue par un point vide, comme dans ]1 ; 5]]1\,;\,5] où le 11 est exclu.

L'ensemble {x∈R∣−2<x⩽5}\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leqslant 5\} s'écrit, avec des intervalles :

Explication : La borne −2-2 est exclue (inégalité stricte <<) donc crochet extérieur ; la borne 55 est incluse (⩽\leqslant) donc crochet intérieur : ]−2 ; 5]]-2\,;\,5].

Le plus petit ensemble parmi N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R} auquel appartient −94-\dfrac{9}{4} est :

Explication : −94=−2,25-\dfrac{9}{4} = -2{,}25, ce n'est pas un entier mais son écriture décimale est finie : c'est un décimal, donc −94∈D-\dfrac{9}{4} \in \mathbb{D}, le plus petit ensemble possible ici.

x⩾−3x \geqslant -3 s'écrit sous forme d'intervalle :

Explication : Une seule borne, −3-3, incluse (inégalité large) : [−3 ; +∞[[-3\,;\,+\infty[. Le crochet du côté de +∞+\infty est toujours ouvert.

[−3 ; 5]∩[0 ; 8][-3\,;\,5] \cap [0\,;\,8] est égal à :

Explication : L'intersection garde la partie commune : on prend le plus grand des minorants (00) et le plus petit des majorants (55), d'où [0 ; 5][0\,;\,5].

[−3 ; 5]∪[0 ; 8][-3\,;\,5] \cup [0\,;\,8] est égal à :

Explication : Les deux intervalles se chevauchent (0⩽50 \leqslant 5) : la réunion se fond en un seul intervalle, du plus petit minorant au plus grand majorant, [−3 ; 8][-3\,;\,8].

Calcule ∣3−9∣|3-9| :

Explication : 3−9=−63-9 = -6, donc ∣3−9∣=∣−6∣=6|3-9| = |-6| = 6 (l'opposé de −6-6, puisque −6<0-6 < 0).

La distance entre les points d'abscisses −4-4 et 22 sur la droite graduée vaut :

Explication : d(−4 ; 2)=∣−4−2∣=∣−6∣=6d(-4\,;\,2) = |-4-2| = |-6| = 6. Une distance est toujours positive ou nulle.

Résous ∣2x−3∣⩽5|2x-3| \leqslant 5 :

Explication : ∣2x−3∣⩽5  ⟺  −5⩽2x−3⩽5|2x-3| \leqslant 5 \iff -5 \leqslant 2x-3 \leqslant 5
  ⟺  −2⩽2x⩽8\iff -2 \leqslant 2x \leqslant 8
  ⟺  −1⩽x⩽4\iff -1 \leqslant x \leqslant 4, soit x∈[−1 ; 4]x \in [-1\,;\,4].

On donne 1,8<p<2,11{,}8 < p < 2{,}1 et 3,4<q<3,73{,}4 < q < 3{,}7, avec pp et qq positifs. Un encadrement de p+qp+q est :

Explication : Pour une somme, on additionne les encadrements terme à terme :
1,8+3,4<p+q<2,1+3,71{,}8+3{,}4 < p+q < 2{,}1+3{,}7
⇒5,2<p+q<5,8\Rightarrow 5{,}2 < p+q < 5{,}8.

Avec les mêmes données (1,8<p<2,11{,}8 < p < 2{,}1, 3,4<q<3,73{,}4 < q < 3{,}7), pour encadrer p−qp - q, la bonne méthode est :

Explication : On ne soustrait jamais un encadrement terme à terme. On écrit d'abord −3,7<−q<−3,4-3{,}7 < -q < -3{,}4, puis on additionne avec l'encadrement de pp.

Pièce mécanique : le diamètre dd (en mm) est accepté si ∣d−20∣⩽0,08|d-20| \leqslant 0{,}08. Une pièce mesurée à d=20,05d = 20{,}05 mm est :

Explication : ∣20,05−20∣=0,05|20{,}05-20| = 0{,}05, et 0,05⩽0,080{,}05 \leqslant 0{,}08 : la pièce respecte la tolérance, elle est acceptée.

Un thermomètre affiche 38,238{,}2°C avec une incertitude de ±0,3\pm 0{,}3°C. La borne basse de l'intervalle contenant la température réelle TT est :

Explication : ∣T−38,2∣⩽0,3  ⟺  T∈[38,2−0,3 ; 38,2+0,3]=[37,9 ; 38,5]|T-38{,}2| \leqslant 0{,}3 \iff T \in [38{,}2-0{,}3\,;\,38{,}2+0{,}3] = [37{,}9\,;\,38{,}5]. La borne basse est 37,937{,}9°C.

Résous ∣x−3∣>2|x-3| > 2 :

Explication : ∣x−3∣>2|x-3|>2 signifie que xx est à une distance de 33 strictement supérieure à 22 :
x<3−2x < 3-2 ou x>3+2x > 3+2
x∈ ]−∞ ; 1[ ∪ ]5 ; +∞[x \in \,]-\infty\,;\,1[\, \cup \,]5\,;\,+\infty[. Attention, cette réunion n'est pas un intervalle unique.

Deux opérateurs téléphoniques couvrent A=[0 ; 15[A = [0\,;\,15[ et B=[8 ; 22]B = [8\,;\,22] (distances en km au centre-ville). La zone couverte par les deux opérateurs à la fois est :

Explication : On cherche A∩BA \cap B : le plus grand des minorants est 88 (inclus), le plus petit des majorants est 1515 (exclu, car exclu dans AA), d'où [8 ; 15[[8\,;\,15[.
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