Géométrie analytique : droites du plan

Traduire les objets géométriques en équations dans un repère.

Mathématiques Seconde Chapitre 12 / 15 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points
Reconnaître deux droites parallèles
Calculer les coordonnées d'un point d'intersection

Depuis la classe de 4ème, tu sais placer un point dans un repère et lire ses coordonnées comme on lit une adresse : un numéro sur l'axe horizontal, un numéro sur l'axe vertical. Ce chapitre va beaucoup plus loin. Il te propose un marché : tu donnes tes figures, tes droites, tes distances, tes alignements — et tu reçois en échange des calculs. Plus besoin de mesurer à la règle pour savoir si trois points sont alignés, ni de sortir le compas pour connaître une distance : un simple calcul, toujours exact, remplace l'instrument.

Cette idée — traduire la géométrie en algèbre — porte un nom : la géométrie analytique. Elle est partout autour de toi. Le GPS de ton téléphone, les cartes numériques, les jeux vidéo, les plans d'architecte ou les logiciels de conception industrielle manipulent en permanence des coordonnées, des distances et des équations de droites. C'est aussi la porte d'entrée vers toute la suite de tes études scientifiques : les fonctions affines que tu connais déjà ne sont rien d'autre que des équations de droites, et le produit scalaire que tu verras en Première prolongera exactement ce que tu apprends ici.

Trois savoir-faire vont structurer ce chapitre : déterminer l'équation d'une droite qui passe par deux points donnés, reconnaître si deux droites sont parallèles sans les tracer, et calculer les coordonnées exactes du point où deux droites se coupent. À la fin, une droite ne sera plus un dessin, mais une égalité — et une figure géométrique tout entière (triangle, quadrilatère) deviendra un problème de calcul que tu sauras résoudre avec méthode.

1Repère et coordonnées

1.1 Repère orthonormé du plan

Définition

Un repère du plan est la donnée d'un point origine $O$ et de deux droites graduées non parallèles passant par $O$ , appelées axes : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical). On le note $(O~; I~; J)$ , où $I$ et $J$ sont les points marquant l'unité sur chaque axe.

Le repère est dit orthonormé lorsque les deux axes sont perpendiculaires et portent la même unité de longueur ( $OI = OJ$ ). C'est le seul type de repère utilisé dans ce chapitre : il est indispensable pour que les formules de distance restent valables.

Dans un repère orthonormé, chaque point $M$ du plan est repéré par un unique couple de nombres $(x~;~y)$ , appelé coordonnées de $M$ : $x$ est l'abscisse de $M$ (sa position horizontale), $y$ son ordonnée (sa position verticale). On écrit $M(x~;~y)$ .

Attention

L'ordre des deux nombres compte ! Le couple $(x~;~y)$ n'est pas le même objet que $(y~;~x)$ dès que $x \neq y$ . Le point $A(2~;~5)$ et le point $B(5~;~2)$ sont deux points différents du plan. Retiens l'ordre alphabétique : abscisse avant ordonnée.

1.2 Coordonnées d'un point : lecture et symétries

Exemple — lire des coordonnées

Le point $M$ situé à $3$ unités à droite de l'axe des ordonnées et à $4$ unités au-dessous de l'axe des abscisses a pour coordonnées $M(3~;~-4)$ . Le point $N$ situé exactement sur l'axe des abscisses, à $2$ unités à gauche de l'origine, a pour coordonnées $N(-2~;~0)$ : un point de l'axe des abscisses a toujours une ordonnée nulle.

Une compétence à automatiser : retrouver les coordonnées d'un point symétrique par rapport à un axe ou à l'origine. Ces trois propriétés se déduisent directement de la définition des coordonnées et te seront très utiles pour construire rapidement des figures.

Propriété — symétriques d'un point

Soit $M(x~;~y)$ un point du plan. Dans un repère orthonormé :

le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses a pour coordonnées $(x~;~-y)$ ;
le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées a pour coordonnées $(-x~;~y)$ ;
le symétrique de $M$ par rapport à l'origine $O$ a pour coordonnées $(-x~;~-y)$ .

Exemple — symétriques de

M(4~;~-3)

symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses : $(4~;~3)$ on change le signe de $y$
symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées : $(-4~;~-3)$ on change le signe de $x$
symétrique de $M$ par rapport à $O$ : $(-4~;~3)$ on change les deux signes

Math & Co — La naissance des coordonnées

L'idée de repérer un point par deux nombres semble aujourd'hui évidente, mais elle n'a que quatre siècles. En $1637$ , le philosophe et mathématicien français René Descartes publie La Géométrie, en annexe de son Discours de la méthode : il y montre comment associer à chaque point du plan un couple de nombres, et comment traduire une courbe géométrique par une équation. C'est la naissance de ce qu'on appellera plus tard, en son honneur, les coordonnées cartésiennes.

Fait moins connu : au même moment, un autre Français, Pierre de Fermat, développe de son côté une méthode très semblable dans un texte rédigé vers $1636$ (Ad locos planos et solidos isagoge), mais publié seulement après sa mort, en $1679$ . Les deux hommes ne travaillaient pas ensemble, et Fermat reste aujourd'hui trop peu crédité pour cette double découverte, qui a fondé la géométrie analytique — celle que tu étudies dans ce chapitre.

2Distance et milieu

2.1 Coordonnées du milieu d'un segment

Propriété — coordonnées du milieu

Soit $A(x_A~;~y_A)$ et $B(x_B~;~y_B)$ deux points du plan. Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

$x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} \qquad\qquad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

En clair : l'abscisse du milieu est la moyenne des deux abscisses, et son ordonnée est la moyenne des deux ordonnées.

Démonstration

On note $I$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ et on calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ .

$\overrightarrow{AI}$ a pour coordonnées $\left(x_I - x_A~;~y_I - y_A\right)$
$=$ $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} - x_A~;~\dfrac{y_A+y_B}{2} - y_A\right)$
$=$ $\left(\dfrac{x_B-x_A}{2}~;~\dfrac{y_B-y_A}{2}\right)$
$\overrightarrow{IB}$ a pour coordonnées $\left(x_B - x_I~;~y_B-y_I\right)$
$=$ $\left(x_B - \dfrac{x_A+x_B}{2}~;~y_B-\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
$=$ $\left(\dfrac{x_B-x_A}{2}~;~\dfrac{y_B-y_A}{2}\right)$

Les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont exactement les mêmes coordonnées : ils sont donc égaux. Or $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ signifie précisément que $I$ est le milieu de $[AB]$ . C.Q.F.D.

2.2 Distance entre deux points

Théorème — distance entre deux points

Soit $A(x_A~;~y_A)$ et $B(x_B~;~y_B)$ deux points d'un repère orthonormé. La distance $AB$ est donnée par :

$AB = \sqrt{\left(x_B - x_A\right)^{2} + \left(y_B - y_A\right)^{2}}$

Démonstration

On introduit le point auxiliaire $C(x_B~;~y_A)$ : il a la même abscisse que $B$ et la même ordonnée que $A$ . Le segment $[AC]$ est donc horizontal et le segment $[CB]$ est vertical : comme les deux axes du repère sont perpendiculaires, l'angle $\widehat{ACB}$ est droit. Le triangle $ACB$ est rectangle en $C$ (voir Figure 1).

$AC = \left|x_B - x_A\right|$ distance entre deux points de même ordonnée
$CB = \left|y_B - y_A\right|$ distance entre deux points de même abscisse
Pythagore dans le triangle rectangle $ACB$ : $AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}$
$=$ $\left|x_B-x_A\right|^{2} + \left|y_B-y_A\right|^{2}$
$=$ $\left(x_B-x_A\right)^{2} + \left(y_B-y_A\right)^{2}$ un carré efface la valeur absolue

Comme $AB$ est une longueur, $AB \geqslant 0$ : on en déduit $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^{2}+\left(y_B-y_A\right)^{2}}$ . C.Q.F.D.

AB

et milieu

I

du segment [AB] -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 O xy A(-3 ; -2) B(3 ; 6) C(3 ; -2) I AB = 10 6 8 AB² = 6² + 8² = 100 donc AB = 10

Figure 1 — Pour

A(-3~;~-2)

B(3~;~6)

: le point auxiliaire

C(3~;~-2)

forme le triangle rectangle de la démonstration (

AC = 6

CB = 8

), et

I(0~;~2)

, marqué par les petits traits d'égalité sur

[AB]

, est le milieu de

[AB]

Exemple — calculer une distance et un milieu

Soit $A(-3~;~-2)$ et $B(3~;~6)$ , les points de la Figure 1.

$x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{-3+3}{2} = 0$
$y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{-2+6}{2} = 2$
$\Rightarrow$ $I(0~;~2)$
$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$
$=$ $\sqrt{(3-(-3))^{2}+(6-(-2))^{2}}$
$=$ $\sqrt{6^{2}+8^{2}} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}$
$=$ $10$

Exemple — un radical qui ne se simplifie pas

Soit $C(1~;~2)$ et $D(4~;~-1)$ . Calculons $CD$ .

$CD = \sqrt{(4-1)^{2}+(-1-2)^{2}}$
$=$ $\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}$
$=$ $\sqrt{9+9} = \sqrt{18}$
$=$ $3\sqrt{2}$ $18 = 9\times 2$

La distance n'est pas toujours un nombre entier : on laisse alors le résultat sous forme de radical, comme ici $CD = 3\sqrt{2}$ .

Attention

La formule de la distance utilise des carrés, jamais l'ordre de la soustraction n'a d'importance : $(x_B-x_A)^2 = (x_A-x_B)^2$ . En revanche, n'oublie jamais la racine carrée à la fin du calcul : $AB^{2} = 100$ n'est pas une réponse, $AB = 10$ en est une. Enfin, cette formule suppose le repère orthonormé : dans un repère quelconque, elle serait fausse.

Distance et milieu sont les deux premiers outils de la boîte à outils de la géométrie analytique. Ils suffisent déjà à déterminer la nature d'un triangle (isocèle, rectangle) par le seul calcul, comme tu le verras dans les exercices. Mais pour étudier une droite — et non plus seulement deux points — il faut un troisième outil : le vecteur directeur, objet de la section suivante.

3Vecteur directeur

3.1 Définition

Définition

Soit $D$ une droite du plan et $A$ , $B$ deux points distincts de $D$ . Le vecteur $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ est appelé vecteur directeur de la droite $D$ : il indique la direction de $D$ .

Un vecteur directeur ne dépend pas des deux points particuliers choisis pour le construire : deux points quelconques de $D$ donnent toujours un vecteur directeur, éventuellement différent en apparence, mais toujours colinéaire aux autres. C'est cette propriété qui rend l'outil si pratique : une droite entière est résumée par un seul vecteur (à un coefficient multiplicateur près).

Propriété

Une droite $D$ admet une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires entre eux. Si $\vec{u}$ dirige $D$ , alors pour tout réel $k \neq 0$ , le vecteur $k\vec{u}$ dirige aussi $D$ . Réciproquement, un point $M$ appartient à $D$ passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.

\vec{u}(3~;~2)

de la droite

D

-2 2 4 -2 2 O xy Δx = 3 Δy = 2 u A(-2 ; -2) B(4 ; 2) A + u AB = 2u : tout vecteur colinéaire à u dirige aussi la droite D

Figure 2 — La droite

D

passe par

A(-2~;~-2)

B(4~;~2)

. Le vecteur

\vec{u}\left(3~;~2\right)

, de coordonnées

\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)

, est un vecteur directeur de

D

: on avance de

3

et on monte de

2

pour rester sur la droite.

Exemple — déterminer un vecteur directeur

La droite $(AB)$ passe par $A(-2~;~-2)$ et $B(4~;~2)$ (Figure 2). Un vecteur directeur est $\overrightarrow{AB}$ .

$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\left(x_B-x_A~;~y_B-y_A\right)$
$=$ $\left(4-(-2)~;~2-(-2)\right)$
$=$ $\left(6~;~4\right)$

Le vecteur $\vec{u}\left(3~;~2\right)$ — obtenu en divisant chaque coordonnée par $2$ — est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ : c'est un vecteur directeur plus simple, tout aussi valable, de la même droite.

3.2 Tester la colinéarité de deux vecteurs

Méthode — savoir si deux vecteurs sont colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}(x~;~y)$ et $\vec{v}(x'~;~y')$ sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul :

$xy' - x'y = 0$

C'est le test à utiliser pour savoir si un point appartient à une droite dirigée par un vecteur donné, ou si deux droites sont parallèles.

Exemple — un vecteur dirige-t-il la droite

(AB)

Avec $A(-2~;~-2)$ et $B(4~;~2)$ , le vecteur $\overrightarrow{AB}(6~;~4)$ dirige $(AB)$ . Le vecteur $\vec{v}(9~;~6)$ dirige-t-il lui aussi cette droite ?

déterminant $= 6 \times 6 - 9 \times 4$
$=$ $36 - 36 = 0$

Le déterminant est nul : $\vec{v}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ , donc $\vec{v}$ dirige lui aussi la droite $(AB)$ (on remarque d'ailleurs que $\vec{v} = 1{,}5\,\overrightarrow{AB}$ ).

Math & Co — D'où vient le mot « vecteur » ?

Le mot vecteur vient du latin vector, « celui qui transporte ». Il est d'abord employé en astronomie, au XVIIIe siècle, pour désigner le segment orienté reliant une planète au Soleil (le « rayon vecteur »). La notion moderne — un segment orienté caractérisé par une direction, un sens et une longueur, exactement comme dans ce chapitre — se construit au XIXe siècle : vers $1835$ , l'Italien Giusto Bellavitis introduit la notion d'équipollence de deux segments orientés (deux segments sont équipollents s'ils ont même longueur, même direction et même sens), ce qui revient exactement à notre égalité de vecteurs. En $1844$ , l'Allemand Hermann Grassmann publie son Ausdehnungslehre (« théorie de l'extension »), qui pose les bases d'un véritable calcul vectoriel. C'est cet outil, longtemps réservé aux savants, que tu manies aujourd'hui dès la classe de Seconde.

4Équation cartésienne d'une droite

4.1 Forme générale

Définition

Une équation cartésienne d'une droite $D$ est une égalité de la forme :

$ax + by + c = 0$

où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels fixés, avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls, et où $(x~;~y)$ désigne les coordonnées d'un point quelconque de $D$ . On dit qu'un point $M(x_0~;~y_0)$ appartient à $D$ lorsque le couple $(x_0~;~y_0)$ vérifie l'équation, c'est-à-dire lorsque $ax_0+by_0+c=0$ .

Propriété — lien avec le vecteur directeur

Si $D$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ , alors le vecteur $\vec{u}(-b~;~a)$ est un vecteur directeur de $D$ . Réciproquement, une droite dirigée par $\vec{u}(\alpha~;~\beta)$ admet une équation cartésienne de la forme $\beta x - \alpha y + c = 0$ .

Démonstration

Soit $M(x~;~y)$ un point du plan et $A(x_A~;~y_A)$ un point de $D$ . Par la méthode de la section précédente, $M \in D \iff \overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}(\alpha~;~\beta)$ .

$\overrightarrow{AM}(x-x_A~;~y-y_A)$ colinéaire à $\vec{u}(\alpha~;~\beta)$
$\iff$ $\alpha(y-y_A) - \beta(x-x_A) = 0$ déterminant nul
$\iff$ $-\beta x + \alpha y + \left(\beta x_A - \alpha y_A\right) = 0$

On retrouve la forme $ax+by+c=0$ avec $a=-\beta$ , $b=\alpha$ et $c = \beta x_A - \alpha y_A$ : un vecteur directeur associé est bien $(-b~;~a) = (\alpha~;~\beta)$ . C.Q.F.D.

4.2 Déterminer une équation cartésienne

Méthode — équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur

Pour trouver une équation cartésienne de la droite passant par $A(x_A~;~y_A)$ et dirigée par $\vec{u}(\alpha~;~\beta)$ : on écrit que $\overrightarrow{AM}(x-x_A~;~y-y_A)$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, puis on développe.

Exemple — équation cartésienne de la droite de la Figure 2

La droite $D$ passe par $A(-2~;~-2)$ et est dirigée par $\vec{u}(3~;~2)$ .

$M(x~;~y) \in D \iff \overrightarrow{AM}(x+2~;~y+2)$ colinéaire à $\vec{u}(3~;~2)$
$\iff$ $3(y+2) - 2(x+2) = 0$
$\iff$ $3y + 6 - 2x - 4 = 0$
$\iff$ $-2x + 3y + 2 = 0$

Vérifions avec $B(4~;~2)$ : $-2\times 4 + 3\times 2 + 2 = -8+6+2=0$ . ✓ $B$ appartient bien à $D$ .

Exemple — un point appartient-il à la droite ?

La droite $D'$ a pour équation $5x - 2y - 4 = 0$ . Le point $M(2~;~3)$ appartient-il à $D'$ ?

$5 \times 2 - 2 \times 3 - 4$
$=$ $10 - 6 - 4 = 0$

L'égalité est vérifiée : $M \in D'$ . En revanche pour $N(1~;~1)$ : $5-2-4 = -1 \neq 0$ , donc $N \notin D'$ .

Attention

Une même droite possède une infinité d'équations cartésiennes : si $ax+by+c=0$ en est une, alors $kax+kby+kc=0$ (pour $k\neq 0$ ) en est une autre, tout aussi correcte. Il ne faut donc jamais dire « l'équation de $D$ » sans préciser, mais « une équation de $D$ ». Autre piège : le cas particulier $b=0$ , c'est-à-dire une équation du type $x = k$ , correspond à une droite verticale — un cas que la forme réduite de la section suivante ne sait pas représenter.

5Équation réduite et coefficient directeur

5.1 De la forme cartésienne à la forme réduite

Définition

Lorsque $b \neq 0$ , l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ peut s'écrire sous la forme réduite :

$y = mx + p$

où $m = -\dfrac{a}{b}$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite, et $p$ son ordonnée à l'origine (l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, en $x=0$ ).

Attention

Si $b = 0$ , l'équation cartésienne devient $ax + c = 0$ , soit $x = -\dfrac{c}{a}$ : c'est une droite verticale. Elle n'a pas d'équation réduite $y=mx+p$ (on ne peut pas isoler $y$ ) et son coefficient directeur n'est pas défini. Ne l'oublie jamais dans un exercice de classification de droites !

5.2 Lire le coefficient directeur par des déplacements

Propriété — calcul du coefficient directeur

Si $A(x_A~;~y_A)$ et $B(x_B~;~y_B)$ sont deux points distincts d'une droite non verticale, son coefficient directeur vaut :

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Ce quotient ne dépend pas des deux points choisis sur la droite : c'est toujours le même « pas » — de combien on monte (ou descend) quand on avance d'une unité vers la droite.

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2}{3}

-2 2 4 -2 2 O xy Δx = 6 Δy = 4 A(-2 ; -2) B(4 ; 2) p = -2/3 y = (2/3)x - 2/3 : équation réduite de la droite (AB)

Figure 3 — Pour aller de

A

B

, on avance de

\Delta x = 6

et on monte de

\Delta y = 4

: le coefficient directeur

m = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

est constant, quel que soit le couple de points choisi sur la droite.

5.3 Ordonnée à l'origine et équation réduite

Méthode — équation réduite à partir de deux points

On calcule d'abord $m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ , puis on utilise les coordonnées d'un des deux points dans $y=mx+p$ pour déterminer $p$ .

Exemple — équation réduite de la droite de la Figure 3

Avec $A(-2~;~-2)$ et $B(4~;~2)$ :

$m = \dfrac{2-(-2)}{4-(-2)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$
$y = \dfrac{2}{3}x + p$
en $A(-2~;~-2)$ : $-2 = \dfrac{2}{3}\times(-2) + p$
$\iff$ $-2 = -\dfrac{4}{3} + p$
$\iff$ $p = -2 + \dfrac{4}{3} = -\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow$ $y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}$

Exemple — lire graphiquement

m

p

Une droite passe par les points de coordonnées entières $(0~;~5)$ et $(3~;~-1)$ .

ordonnée à l'origine : $p = 5$ la droite passe par $(0~;~5)$
$m = \dfrac{-1-5}{3-0} = \dfrac{-6}{3} = -2$
$\Rightarrow$ $y = -2x + 5$

Un coefficient directeur négatif : la droite descend quand on va vers la droite.

Avec le coefficient directeur, comparer deux droites devient un jeu d'enfant : il suffit de comparer deux nombres. C'est tout l'objet de la dernière section de ce chapitre.

6Parallélisme et intersection

6.1 Droites parallèles

Propriété — critère de parallélisme

Deux droites non verticales, d'équations réduites $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ , sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur :

$D \parallel D' \iff m = m'$

Plus généralement (droites verticales incluses) : deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Attention

Même coefficient directeur ne veut pas dire même droite ! Les droites $y=2x+1$ et $y=2x-4$ sont strictement parallèles (elles ne se coupent jamais) : elles ont même $m$ mais des $p$ différents. Si $m=m'$ et $p=p'$ , les deux équations décrivent la même droite : on dit qu'elles sont confondues.

6.2 Droites perpendiculaires

Théorème — critère de perpendicularité

Deux droites non verticales, de coefficients directeurs $m$ et $m'$ , sont perpendiculaires si, et seulement si :

$m \times m' = -1$

c'est-à-dire $m' = -\dfrac{1}{m}$ : les coefficients directeurs sont opposés et inverses l'un de l'autre.

Démonstration (idée)

On admet le fait géométrique suivant : faire tourner un vecteur $\vec{u}(\alpha~;~\beta)$ d'un quart de tour ( $90°$ ) donne le vecteur $\vec{v}(-\beta~;~\alpha)$ . Une droite $D$ de coefficient directeur $m$ admet le vecteur directeur $\vec{u}(1~;~m)$ ; la droite $D'$ perpendiculaire à $D$ admet donc pour vecteur directeur l'image de $\vec{u}$ par un quart de tour, à savoir $\vec{v}(-m~;~1)$ .

coefficient directeur de $D'$ dirigée par $\vec{v}(-m~;~1)$
$=$ $m' = \dfrac{1}{-m} = -\dfrac{1}{m}$
$\Rightarrow$ $m \times m' = m \times \left(-\dfrac{1}{m}\right) = -1$

La réciproque se démontre de la même façon. C.Q.F.D. (le fait admis sur le quart de tour sera justifié rigoureusement en Première, à l'aide du produit scalaire).

m \times m' = -1

-2 2 4 6 8 -2 2 4 6 O xy P(2 ; 3) d₁ : y = 2x - 1 d₂ : y = -0,5x + 4

Figure 4 — Les droites

d_1

(coefficient directeur

2

) et

d_2

(coefficient directeur

-0{,}5

) vérifient

2 \times (-0{,}5) = -1

: elles sont perpendiculaires. Leur point d'intersection est

P(2~;~3)

6.3 Intersection de deux droites sécantes

Méthode — trouver le point d'intersection de deux droites

Deux droites non parallèles ( $m \neq m'$ ) sont sécantes : elles se coupent en un unique point. On résout le système formé par leurs deux équations, le plus souvent en égalant les deux expressions de $y$ .

Exemple — intersection des droites de la Figure 4

$d_1 : y = 2x-1$ et $d_2 : y=-0{,}5x+4$ .

$2x - 1 = -0{,}5x + 4$
$\iff$ $2x + 0{,}5x = 4+1$
$\iff$ $2{,}5x = 5$
$\iff$ $x = 2$
$y = 2\times 2 - 1 = 3$

Les droites se coupent au point $P(2~;~3)$ . On peut vérifier avec l'autre équation : $-0{,}5\times 2+4 = 3$ . ✓

6.4 Alignement de trois points

Méthode — trois points sont-ils alignés ?

Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires (déterminant nul). C'est équivalent à dire que le coefficient directeur de $(AB)$ est égal à celui de $(AC)$ .

Exemple — tester un alignement

$A(-1~;~0)$ , $B(1~;~3)$ , $C(3~;~7)$ sont-ils alignés ?

$\overrightarrow{AB}(1-(-1)~;~3-0) = (2~;~3)$
$\overrightarrow{AC}(3-(-1)~;~7-0) = (4~;~7)$
déterminant $= 2\times 7 - 4 \times 3 = 14-12=2$

Le déterminant n'est pas nul : $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.

6.5 Application : nature d'un triangle ou d'un quadrilatère

Distance, milieu, coefficient directeur et colinéarité, combinés, permettent de démontrer par le calcul la nature d'une figure — sans jamais sortir la règle ou l'équerre.

Figure 5 — Le quadrilatère

ABCD

a ses côtés opposés parallèles et égaux (

AB=DC=2\sqrt{5}

AD=BC=\sqrt{5}

), un angle droit en

A

, et ses diagonales

[AC]

[BD]

partagent le même milieu

M(-0{,}5~;~1)

: c'est un rectangle.

Exemple — démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle

$A(-2~;~-1)$ , $B(2~;~1)$ , $C(1~;~3)$ , $D(-3~;~1)$ (Figure 5). Montrons que $ABCD$ est un rectangle.

1) $ABCD$ est un parallélogramme si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

$\overrightarrow{AB}(2-(-2)~;~1-(-1)) = (4~;~2)$
$\overrightarrow{DC}(1-(-3)~;~3-1) = (4~;~2)$
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : $ABCD$ est un parallélogramme

2) Un parallélogramme est un rectangle si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.

coefficient directeur de $(AB)$ : $\dfrac{1-(-1)}{2-(-2)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
coefficient directeur de $(AD)$ : $\dfrac{1-(-1)}{-3-(-2)} = \dfrac{2}{-1} = -2$
produit $= \dfrac{1}{2}\times(-2) = -1$
$\Rightarrow$ $(AB) \perp (AD)$ : $ABCD$ est un rectangle

Math & Co — Le postulat des parallèles

Que deux droites parallèles ne se rencontrent jamais paraît une évidence. C'est pourtant l'énoncé le plus discuté de toute l'histoire des mathématiques : le cinquième postulat d'Euclide, formulé dans ses Éléments vers $-300$ (300 ans avant notre ère), affirme en substance que par un point extérieur à une droite, il passe une unique parallèle à cette droite.

Pendant plus de deux mille ans, des générations de mathématiciens ont tenté, en vain, de démontrer ce postulat à partir des autres axiomes d'Euclide. Il a fallu attendre $1829$ , avec les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski (rejoint peu après par le Hongrois János Bolyai), pour comprendre qu'il s'agit d'un axiome indépendant : en le remplaçant par un autre, on construit des géométries tout aussi cohérentes, dites « non euclidiennes ». La géométrie analytique que tu étudies ici reste, elle, entièrement fidèle au plan euclidien classique.

Fiche mémo

Milieu de $[AB]$ : $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ .
Distance : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$ (repère orthonormé obligatoire).
Vecteur directeur : $\overrightarrow{AB}$ , ou tout vecteur colinéaire ( $k\overrightarrow{AB}$ , $k\neq 0$ ).
Colinéarité de $\vec{u}(x~;~y)$ et $\vec{v}(x'~;~y')$ : $xy'-x'y=0$ .
Équation cartésienne : $ax+by+c=0$ ; vecteur directeur associé $(-b~;~a)$ .
Équation réduite (si $b\neq 0$ ) : $y=mx+p$ , $m=-\dfrac{a}{b}$ ; $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
Droite verticale : $x=k$ , pas d'équation réduite, pente non définie.
Parallèles (non verticales) : $D\parallel D' \iff m=m'$ . Mêmes $m$ et $p$ ⇒ droites confondues.
Perpendiculaires : $D\perp D' \iff m\times m' = -1$ .
Intersection de deux sécantes : résoudre $mx+p = m'x+p'$ .
Alignement de $A,B,C$ : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires (déterminant nul).
Parallélogramme : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (côtés opposés) ; rectangle si en plus un angle droit ; losange si en plus deux côtés consécutifs égaux.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Soit $A(1~;~5)$ et $B(7~;~-3)$ . Calcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ , puis la distance $AB$ .

Voir le corrigé détaillé

$x_I = \dfrac{1+7}{2} = 4$
$y_I = \dfrac{5+(-3)}{2} = 1$
$\Rightarrow$ $I(4~;~1)$
$AB = \sqrt{(7-1)^{2}+(-3-5)^{2}}$
$=$ $\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}} = \sqrt{36+64}$
$=$ $\sqrt{100} = 10$

Soit $A(2~;~-1)$ et $B(8~;~3)$ . Détermine un vecteur directeur simplifié de la droite $(AB)$ , puis donne un autre vecteur directeur de cette même droite.

Voir le corrigé détaillé

$\overrightarrow{AB}(8-2~;~3-(-1)) = (6~;~4)$
$\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (3~;~2)$ on divise par le facteur commun $2$

$\vec{u}(3~;~2)$ est un vecteur directeur simplifié de $(AB)$ . N'importe quel multiple non nul convient aussi, par exemple $\vec{v}(-6~;~-4)$ ou $\vec{w}(9~;~6)$ .

La droite $D$ a pour équation $2x - y - 2 = 0$ . Les points $M(3~;~4)$ et $N(-1~;~-5)$ appartiennent-ils à $D$ ?

Voir le corrigé détaillé

pour $M$ : $2\times 3 - 4 - 2$
$=$ $6-4-2 = 0$
pour $N$ : $2\times(-1) - (-5) - 2$
$=$ $-2+5-2 = 1$

$M$ vérifie l'équation $(0=0)$ : $M \in D$ . $N$ ne la vérifie pas $(1 \neq 0)$ : $N \notin D$ .

Détermine l'équation réduite de la droite passant par $C(-2~;~1)$ et $D(4~;~-3)$ .

Voir le corrigé détaillé

$m = \dfrac{-3-1}{4-(-2)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}$
$y = -\dfrac{2}{3}x + p$
en $C(-2~;~1)$ : $1 = -\dfrac{2}{3}\times(-2) + p = \dfrac{4}{3}+p$
$\iff$ $p = 1 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow$ $y = -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}$

Précise, pour chaque paire de droites, si elles sont parallèles, perpendiculaires, ou sécantes sans être perpendiculaires : a) $y=2x+1$ et $y=2x-4$ ; b) $y=3x+2$ et $y=-\dfrac{1}{3}x+5$ ; c) $y=x-1$ et $y=2x+1$ .

Voir le corrigé détaillé

a) Même coefficient directeur $m=2$ , ordonnées à l'origine différentes ( $1 \neq -4$ ) : droites strictement parallèles.

b) $3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$ : droites perpendiculaires.

c) $1 \neq 2$ (non parallèles) et $1\times 2 = 2 \neq -1$ (non perpendiculaires) : droites sécantes, sans être perpendiculaires.

Niveau 2 — Approfondissement

Les points $A(-3~;~-2)$ , $B(1~;~2)$ et $C(4~;~5)$ sont-ils alignés ?

Voir le corrigé détaillé

$\overrightarrow{AB}(1-(-3)~;~2-(-2)) = (4~;~4)$
$\overrightarrow{AC}(4-(-3)~;~5-(-2)) = (7~;~7)$
déterminant $= 4\times 7 - 7\times 4 = 28-28 = 0$

Le déterminant est nul : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, donc $A$ , $B$ , $C$ sont alignés (on peut d'ailleurs remarquer que $\overrightarrow{AC} = 1{,}75\,\overrightarrow{AB}$ ).

Détermine une équation cartésienne de la droite passant par $E(1~;~2)$ et parallèle à $d : 3x-2y+5=0$ .

Voir le corrigé détaillé

Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on peut choisir la même paire $(a~;~b)$ , seul $c$ change.

équation cherchée : $3x - 2y + c = 0$
en $E(1~;~2)$ : $3\times 1 - 2\times 2 + c = 0$
$\iff$ $3-4+c=0 \iff c = 1$
$\Rightarrow$ $3x - 2y + 1 = 0$

Détermine les coordonnées du point d'intersection des droites $d_1 : y=2x-3$ et $d_2 : y=-x+3$ .

Voir le corrigé détaillé

$2x-3 = -x+3$
$\iff$ $3x = 6$
$\iff$ $x=2$
$y = 2\times 2 - 3 = 1$

Les droites se coupent en $P(2~;~1)$ . Vérification avec $d_2$ : $-2+3=1$ . ✓

Soit $A(0~;~0)$ , $B(4~;~0)$ et $C(4~;~3)$ . Détermine la nature du triangle $ABC$ en calculant les trois côtés.

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{(4-0)^{2}+(0-0)^{2}} = \sqrt{16} = 4$
$BC = \sqrt{(4-4)^{2}+(3-0)^{2}} = \sqrt{9} = 3$
$AC = \sqrt{(4-0)^{2}+(3-0)^{2}} = \sqrt{25} = 5$
$AB^{2}+BC^{2} = 16+9 = 25 = AC^{2}$

La réciproque du théorème de Pythagore s'applique : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ (sommet opposé au plus grand côté $[AC]$ ).

Détermine l'équation réduite de la droite perpendiculaire à $d : y = \dfrac{1}{2}x - 1$ et passant par $F(2~;~5)$ .

Voir le corrigé détaillé

$m \times m' = -1$ avec $m=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow$ $m' = -2$
$y = -2x + p$ , en $F(2~;~5)$ : $5 = -2\times 2 + p$
$\iff$ $p = 5+4 = 9$
$\Rightarrow$ $y = -2x + 9$

Niveau 3 — Défi

Soit $A(0~;~0)$ , $B(3~;~1)$ , $C(2~;~4)$ et $D(-1~;~3)$ .

Montre que $ABCD$ est un parallélogramme.
Montre que l'angle en $A$ est droit.
Montre que $AB = AD$ , puis conclus sur la nature exacte de $ABCD$ .
Calcule l'aire de $ABCD$ .

Voir le corrigé détaillé

1) On compare $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ .

$\overrightarrow{AB}(3~;~1)$ et $\overrightarrow{DC}(2-(-1)~;~4-3) = (3~;~1)$
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ : $ABCD$ est un parallélogramme

2) On compare les coefficients directeurs de $(AB)$ et $(AD)$ .

coefficient directeur de $(AB)$ : $\dfrac{1}{3}$
coefficient directeur de $(AD)$ : $\dfrac{3}{-1} = -3$
produit $= \dfrac{1}{3}\times(-3) = -1$
$\Rightarrow$ $(AB)\perp(AD)$ : l'angle en $A$ est droit

3) Longueurs des côtés consécutifs :

$AB = \sqrt{3^{2}+1^{2}} = \sqrt{10}$
$AD = \sqrt{(-1)^{2}+3^{2}} = \sqrt{10}$
$\Rightarrow$ $AB = AD$

Parallélogramme avec un angle droit et deux côtés consécutifs égaux : $ABCD$ est un carré de côté $\sqrt{10}$ (voir Figure 6).

Figure 6 —

ABCD

: côtés opposés égaux et parallèles, angle droit en

A

AB=AD=\sqrt{10}

: c'est un carré.

4) L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^{2}$ :

aire $= AB^{2} = \left(\sqrt{10}\right)^{2}$
$=$ $10$

L'aire de $ABCD$ est $10$ unités d'aire.

Soit la droite $d : 3x+4y-12=0$ .

Donne un vecteur directeur de $d$ , puis son équation réduite.
Détermine les coordonnées des points d'intersection de $d$ avec chacun des deux axes du repère.
Calcule l'aire du triangle formé par $d$ et les deux axes du repère.

Voir le corrigé détaillé

1) Avec $a=3$ , $b=4$ , $c=-12$ : un vecteur directeur est $(-b~;~a) = (-4~;~3)$ .

$4y = -3x+12$
$\iff$ $y = -\dfrac{3}{4}x + 3$

2) Intersection avec l'axe des ordonnées ( $x=0$ ) et avec l'axe des abscisses ( $y=0$ ) :

$x=0 \Rightarrow y = 3$ point $(0~;~3)$
$y=0 \Rightarrow 3x-12=0 \Rightarrow x=4$ point $(4~;~0)$

3) Le triangle formé par $d$ et les deux axes est rectangle en $O$ , de côtés $4$ et $3$ .

aire $= \dfrac{1}{2}\times 4 \times 3$
$=$ $6$ unités d'aire

Soit $A(1~;~1)$ , $B(4~;~3)$ et $C(7~;~4)$ .

Ces trois points sont-ils alignés ?
Donne la nature du triangle $ABC$ en calculant ses trois côtés.
Détermine l'équation réduite de $(AB)$ et vérifie que $C$ n'appartient pas à cette droite.

Voir le corrigé détaillé

1) On compare les coefficients directeurs de $(AB)$ et $(AC)$ .

coefficient directeur de $(AB)$ : $\dfrac{3-1}{4-1} = \dfrac{2}{3}$
coefficient directeur de $(AC)$ : $\dfrac{4-1}{7-1} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{1}{2}$ : les points ne sont pas alignés.

2) Longueurs des côtés :

$AB = \sqrt{3^{2}+2^{2}} = \sqrt{13}$
$BC = \sqrt{3^{2}+1^{2}} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{6^{2}+3^{2}} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Les trois longueurs sont distinctes (aucun triangle isocèle), et $AB^{2}+BC^{2}=23 \neq AC^{2}=45$ , $AB^{2}+AC^{2}=58\neq BC^{2}$ , $BC^{2}+AC^{2}=55\neq AB^{2}$ : aucun angle droit. $ABC$ est un triangle quelconque (scalène, non rectangle).

3) Équation réduite de $(AB)$ :

$y = \dfrac{2}{3}x + p$ , en $A(1~;~1)$ : $1 = \dfrac{2}{3}+p$
$\iff$ $p = \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow$ $(AB) : y = \dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}$
en $C(7~;~4)$ : $\dfrac{2}{3}\times 7+\dfrac{1}{3} = \dfrac{14+1}{3} = 5 \neq 4$

$C$ ne vérifie pas l'équation de $(AB)$ : $C \notin (AB)$ , ce qui confirme la non-alignement trouvé au 1).

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Les avenues de Dakar. On modélise deux avenues rectilignes de Dakar dans un repère orthonormé (unité : $1$ km), l'origine étant placée à la Place de l'Indépendance. L'avenue Léopold Sédar Senghor suit la droite $d_1 : y=0{,}5x+1$ et l'avenue Blaise Diagne suit la droite $d_2 : y=-2x+6$ .

Montre que $d_1$ et $d_2$ sont perpendiculaires.
Détermine les coordonnées du carrefour $C$ , point d'intersection de $d_1$ et $d_2$ .
Une troisième avenue passe par $C$ et par le point $P(6~;~-2)$ . Est-elle parallèle, perpendiculaire, ou simplement sécante à $d_1$ ?

Voir le corrigé détaillé

1) $d_1$ a pour coefficient directeur $0{,}5$ et $d_2$ a pour coefficient directeur $-2$ .

$0{,}5 \times (-2) = -1$

Les deux avenues sont bien perpendiculaires.

2) Résolution du système :

$0{,}5x+1 = -2x+6$
$\iff$ $2{,}5x = 5$
$\iff$ $x=2$
$y = 0{,}5\times 2+1 = 2$

Le carrefour est le point $C(2~;~2)$ (voir Figure 7).

Figure 7 — Deux avenues de Dakar (

1

unité

=1

km) :

d_1

(Senghor) et

d_2

(Diagne) sont perpendiculaires et se croisent au carrefour

C(2~;~2)

3) Coefficient directeur de la troisième avenue, passant par $C(2~;~2)$ et $P(6~;~-2)$ :

$m'' = \dfrac{-2-2}{6-2} = \dfrac{-4}{4} = -1$
comparaison à $d_1$ ( $m=0{,}5$ ) : $m'' \neq m$ et $m \times m'' = 0{,}5\times(-1) = -0{,}5 \neq -1$

La troisième avenue n'est ni parallèle ni perpendiculaire à $d_1$ : elle lui est simplement sécante.

Canal d'irrigation à Abéché. Deux champs sont repérés, dans un plan cadastral centré sur Abéché (unité : $1$ km), par les points $A(-3~;~2)$ et $B(5~;~-4)$ . Un agriculteur veut installer un point de pompage $I$ exactement à mi-chemin entre les deux champs, relié à chacun par un canal rectiligne.

Calcule les coordonnées du point $I$ .
Calcule la distance $AB$ , longueur totale du canal, en kilomètres puis en mètres.
Le creusement du canal coûte $1\,200$ F CFA par mètre. Calcule le coût total.

Voir le corrigé détaillé

1) $I$ est le milieu de $[AB]$ .

$x_I = \dfrac{-3+5}{2} = 1$
$y_I = \dfrac{2+(-4)}{2} = -1$
$\Rightarrow$ $I(1~;~-1)$

2) Distance $AB$ :

$AB = \sqrt{(5-(-3))^{2}+(-4-2)^{2}}$
$=$ $\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{64+36}$
$=$ $\sqrt{100} = 10$ km
$=$ $10\,000$ m

3) Coût total :

coût $= 10\,000 \times 1\,200$
$=$ $12\,000\,000$ F CFA

Le point de pompage est en $I(1~;~-1)$ ; le canal de $10$ km coûtera 12 000 000 F CFA.

Pente d'une toiture à Douala. Dans un repère où l'axe des abscisses est horizontal (unité : $1$ mètre), le versant d'une toiture de hangar passe par les points $P(0~;~3)$ et $Q(8~;~5)$ .

Calcule le coefficient directeur de ce versant.
Exprime cette pente en pourcentage.
La réglementation locale impose, pour l'évacuation des eaux de pluie, une pente comprise entre $20\%$ et $35\%$ . Cette toiture est-elle conforme ?

Voir le corrigé détaillé

$m = \dfrac{5-3}{8-0} = \dfrac{2}{8} = 0{,}25$
pente en pourcentage : $0{,}25 \times 100 = 25\%$

Comme $20\% \leqslant 25\% \leqslant 35\%$ , la toiture respecte la réglementation.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un repère du plan est dit orthonormé lorsque :

les deux axes sont parallèles les deux axes sont perpendiculaires et portent la même unité de longueur l'origine est au centre de la feuille un seul axe est gradué

Explication : Un repère orthonormé a ses deux axes perpendiculaires (

OI \perp OJ

) avec la même unité (

OI=OJ

). C'est indispensable pour que la formule de distance reste valable.

Le symétrique du point $M(4\,;-3)$ par rapport à l'axe des ordonnées a pour coordonnées :

(4\,;3)

(-4\,;3)

(-4\,;-3)

(3\,;-4)

Explication : Le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées change le signe de

x

seulement, donc

(-4\,;-3)

Soit $A(-3\,;-2)$ et $B(3\,;6)$ . Les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ sont :

I(0\,;2)

I(6\,;8)

I(3\,;4)

I(0\,;4)

Explication :

x_I = \dfrac{-3+3}{2}=0

y_I = \dfrac{-2+6}{2}=2

, donc

I(0\,;2)

: l'abscisse et l'ordonnée du milieu sont les moyennes des abscisses et des ordonnées.

Avec les mêmes points $A(-3\,;-2)$ et $B(3\,;6)$ , la distance $AB$ vaut :

100

14

\sqrt{14}

10

Explication :

AB = \sqrt{(3-(-3))^2+(6-(-2))^2} = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10

. Ne jamais oublier la racine carrée finale :

AB^2=100

n'est pas la réponse.

Soit $D$ une droite et $A$ , $B$ deux points distincts de $D$ . Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est appelé :

le coefficient directeur de

D

l'ordonnée à l'origine de

D

un vecteur directeur de

D

une équation cartésienne de

D

Explication :

\overrightarrow{AB}

, formé par deux points distincts de

D

, est un vecteur directeur de

D

: il indique sa direction. Une droite en admet une infinité, tous colinéaires entre eux.

Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires si, et seulement si :

x+y = x'+y'

xy' - x'y = 0

x = x'

y = y'

xy = x'y'

Explication : Le test de colinéarité repose sur le déterminant nul :

xy'-x'y=0

. C'est l'outil pour tester un alignement ou un parallélisme.

Avec $A(-2\,;-2)$ et $B(4\,;2)$ , le vecteur $\overrightarrow{AB}(6\,;4)$ dirige $(AB)$ . Le vecteur $\vec{v}(9\,;6)$ dirige-t-il lui aussi cette droite ?

non, car les coordonnées ne sont pas identiques non, car

9 \neq 6

on ne peut pas savoir sans tracer la figure oui, car le déterminant

6\times 6 - 9\times 4 = 0

Explication : Déterminant

= 6\times 6 - 9\times 4 = 36-36=0

: les vecteurs sont colinéaires (

\vec{v}=1{,}5\,\overrightarrow{AB}

), donc

\vec{v}

dirige aussi

(AB)

Une équation cartésienne d'une droite $D$ est de la forme $ax+by+c=0$ , avec :

a

b

non tous les deux nuls

a

b

c

tous strictement positifs

a

b

nécessairement non nuls tous les deux

c

obligatoirement nul

Explication : Dans

ax+by+c=0

, on impose seulement que

a

b

ne soient pas tous les deux nuls (sinon ce n'est plus l'équation d'une droite). Le cas

b=0

correspond à une droite verticale.

La droite $D'$ a pour équation $5x-2y-4=0$ . Le point $M(2\,;3)$ appartient-il à $D'$ ?

non, car

5\times 2 - 2\times 3 - 4 = 2

on ne peut pas savoir sans tracer

D'

oui, car

5\times 2 - 2\times 3 - 4 = 0

non, car

M

n'a pas de coordonnées entières

Explication :

5\times 2 - 2\times 3 - 4 = 10-6-4 = 0

: l'égalité est vérifiée, donc

M \in D'

Quand $b=0$ , l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ devient $x = -\dfrac{c}{a}$ : cette droite est :

horizontale, de coefficient directeur nul confondue avec l'axe des abscisses parallèle à l'axe des ordonnées uniquement si

c=0

verticale, et son coefficient directeur n'est pas défini

Explication :

x=k

est une droite verticale : elle n'a pas d'équation réduite

y=mx+p

et son coefficient directeur n'existe pas. C'est un piège classique à ne jamais oublier.

Une droite passe par $(0\,;5)$ et $(3\,;-1)$ . Son équation réduite est :

y = 2x+5

y = -2x+5

y = -2x-5

y = \dfrac{1}{2}x+5

Explication : L'ordonnée à l'origine est

p=5

(la droite passe par

(0\,;5)

m = \dfrac{-1-5}{3-0} = \dfrac{-6}{3}=-2

, d'où

y=-2x+5

Les droites $y=2x+1$ et $y=2x-4$ sont :

confondues perpendiculaires strictement parallèles (elles ne se coupent jamais) sécantes

Explication : Même coefficient directeur (

m=2

) mais ordonnées à l'origine différentes (

1 \neq -4

) : les droites sont strictement parallèles, jamais confondues dans ce cas.

Les droites $y=3x+2$ et $y=-\dfrac{1}{3}x+5$ sont, sachant qu'elles sont perpendiculaires si et seulement si $m \times m' = -1$ :

strictement parallèles confondues sécantes, sans être perpendiculaires perpendiculaires

Explication :

3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1

: les droites sont perpendiculaires.

Détermine le point d'intersection de $d_1 : y=2x-3$ et $d_2 : y=-x+3$ :

P(1\,;2)

P(3\,;3)

P(2\,;1)

P(0\,;-3)

Explication :

2x-3=-x+3 \iff 3x=6 \iff x=2

, puis

y=2\times 2-3=1

: les droites se coupent en

P(2\,;1)

Les points $A(-1\,;0)$ , $B(1\,;3)$ , $C(3\,;7)$ sont-ils alignés ?

oui, car

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

sont colinéaires non, car le déterminant de

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

vaut

2 \neq 0

oui, ils sont toujours alignés dans

\mathbb{R}^2

on ne peut pas savoir sans tracer la figure

Explication :

\overrightarrow{AB}(2\,;3)

\overrightarrow{AC}(4\,;7)

, déterminant

=2\times 7-4\times 3=14-12=2 \neq 0

: les points ne sont pas alignés.

Pour $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ , $C(4\,;3)$ , on trouve $AB=4$ , $BC=3$ , $AC=5$ , avec $AB^2+BC^2=AC^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est :

rectangle en

B

rectangle en

A

équilatéral isocèle non rectangle

Explication :

AB^2+BC^2=16+9=25=AC^2

: le triangle est rectangle, avec l'angle droit au sommet opposé au plus grand côté

[AC]

, c'est-à-dire en

B

Pour montrer qu'un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme par le calcul, on vérifie que :

AB = CD

uniquement les diagonales sont perpendiculaires

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

les quatre côtés sont égaux

Explication :

ABCD

est un parallélogramme si, et seulement si,

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

: les côtés opposés

[AB]

[DC]

sont alors parallèles et de même longueur.

Pour $A(0\,;0)$ , $B(3\,;1)$ , $C(2\,;4)$ , $D(-1\,;3)$ , on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ , $(AB)\perp(AD)$ , et $AB=AD=\sqrt{10}$ . $ABCD$ est donc :

un simple parallélogramme, rien de plus un losange non rectangle un rectangle non carré un carré de côté

\sqrt{10}

Explication : Parallélogramme (

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

) avec un angle droit (

(AB)\perp(AD)

) et deux côtés consécutifs égaux (

AB=AD

) : c'est un carré, d'aire

AB^2=10

La droite $d : 3x+4y-12=0$ coupe l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées respectivement en :

(3\,;0)

(0\,;4)

(4\,;0)

(0\,;3)

(0\,;0)

(12\,;12)

(-4\,;0)

(0\,;-3)

Explication : Pour

y=0

3x-12=0 \iff x=4

, point

(4\,;0)

. Pour

x=0

4y-12=0 \iff y=3

, point

(0\,;3)

Détermine l'équation réduite de la droite perpendiculaire à $d : y = \dfrac{1}{2}x - 1$ et passant par $F(2\,;5)$ :

y = \dfrac{1}{2}x + 4

y = 2x + 1

y = -2x + 9

y = -2x + 5

Explication :

m\times m'=-1

avec

m=\dfrac{1}{2}

donne

m'=-2

. Puis

5 = -2\times 2+p \iff p=9

, d'où

y=-2x+9

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En bref

Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 9 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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