Trigonométrie : cercle et angles orientés

Passer du triangle rectangle au cercle trigonométrique.

Mathématiques Seconde Chapitre 13 / 15 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Convertir degrés et radians
Placer un point sur le cercle trigonométrique
Résoudre cos x = a et sin x = a sur un intervalle donné

Au collège, le sinus, le cosinus et la tangente n'existaient que dans un triangle rectangle, pour des angles compris entre 0° et 90°. Cette définition, bien pratique pour calculer une hauteur ou une distance, montre vite ses limites : elle ne dit rien d'un angle de 150°, ni d'un angle négatif, ni de la position d'un point qui tourne indéfiniment — comme la valve d'une roue de vélo, l'aiguille d'une montre, ou un satellite en orbite autour de la Terre.

Ce chapitre change de point de vue. Plutôt qu'un triangle, on utilise un cercle : le cercle trigonométrique. En « enroulant » la droite des nombres réels tout autour de ce cercle, chaque nombre réel vient se placer en un point précis — et le cosinus, le sinus deviennent des fonctions définies pour tout réel, sans aucune limite sur l'angle. Une nouvelle unité de mesure d'angle apparaît naturellement dans cette construction : le radian, incontournable dès la classe de Première pour étudier les fonctions trigonométriques et leurs variations.

À la fin du chapitre, tu sauras convertir un angle entre degrés et radians, placer sur le cercle le point correspondant à un réel donné, retrouver de tête les valeurs de cosinus et de sinus des angles usuels, utiliser les symétries du cercle — les « angles associés » — pour simplifier une expression, et résoudre tes toutes premières équations trigonométriques.

1Enroulement de la droite numérique

On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O~;~I,J)$ . Tout ce chapitre repose sur un seul objet géométrique, que l'on va apprendre à « graduer » avec des nombres réels.

1.1 Sens direct et sens indirect

Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni d'un sens de parcours positif appelé sens direct (ou sens trigonométrique) : c'est le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'autre sens est appelé sens indirect. Le point $A$ de coordonnées $(1~;~0)$ sert d'origine sur ce cercle.

Attention

Le sens direct ne dépend pas de la façon dont tu regardes la feuille : c'est une convention universelle, toujours « antihoraire ». Une erreur fréquente en Seconde consiste à parcourir le cercle dans le mauvais sens en le confondant avec le sens de lecture d'une horloge.

1.2 Enrouler la droite réelle

Imagine la droite des nombres réels, graduée avec la même unité de longueur que le rayon du cercle, posée tangente au cercle au point $A$ , verticalement. On « enroule » cette droite autour du cercle : les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les réels négatifs dans le sens indirect. Chaque point de la droite vient alors se superposer à un unique point du cercle.

Propriété

À tout réel $t$ correspond un unique point $M$ , noté $M(t)$ , obtenu en parcourant sur le cercle trigonométrique, à partir de $A$ , une longueur d'arc égale à $|t|$ : dans le sens direct si $t \geqslant 0$ , dans le sens indirect si $t < 0$ . Le nombre $t$ est appelé une mesure de l'angle associé à $M(t)$ .

Figure 1 — On enroule la droite réelle, graduée avec l'unité du rayon, autour du cercle trigonométrique. Chaque réel

t

vient occuper un unique point

M(t)

; après un tour complet (longueur

2\pi

), on revient exactement au point de départ

A

Propriété — périodicité

Le périmètre du cercle trigonométrique vaut $2\pi \times 1 = 2\pi$ . Parcourir une longueur $2\pi$ ramène donc exactement au point de départ. Pour tout réel $t$ et tout entier relatif $k$ :

$M(t + 2k\pi) = M(t)$

Deux réels dont la différence est un multiple de $2\pi$ ont donc la même image sur le cercle.

Exemple — retrouver une image déjà connue

a) Quel est le point $M(4\pi + 1)$ ?

$4\pi = 2 \times 2\pi$ deux tours complets
donc $M(4\pi + 1) = M(1)$

b) Où se trouve $M(10\pi)$ ?

$10\pi = 5 \times 2\pi$ cinq tours complets, un nombre entier de tours
donc $M(10\pi) = M(0) = A$

Math & Co — Ératosthène mesure la Terre

Vers -240, à la grande bibliothèque d'Alexandrie, le savant Ératosthène de Cyrène (né dans l'actuelle Libye) apprend qu'à Syène (aujourd'hui Assouan, en Égypte), le jour du solstice d'été, le Soleil se reflète au fond d'un puits à la verticale : il n'y a aucune ombre. Le même jour, à Alexandrie, un obélisque projette une ombre correspondant à un angle d'environ $7{,}2°$ , soit un cinquantième de cercle complet.

En supposant les rayons du Soleil parallèles et en connaissant la distance entre les deux villes (environ $800$ km), il en déduit que la circonférence de la Terre vaut environ $50 \times 800 = 40\,000$ km — une valeur étonnamment proche des $40\,075$ km mesurés aujourd'hui ! C'est l'une des premières utilisations historiques du lien entre un angle au centre et une longueur d'arc : l'idée même qui fonde le radian.

2Cercle trigonométrique et radian

Le degré n'est pas la seule unité de mesure d'angle. Le cercle trigonométrique en révèle une autre, plus naturelle pour les mathématiques, car directement liée à la longueur d'un arc : le radian.

2.1 Définir le radian

Définition

Le radian (symbole rad) est l'unité de mesure d'angle telle qu'un angle au centre de 1 radian intercepte, sur un cercle de rayon $R$ , un arc de longueur égale au rayon $R$ .

Propriété — longueur d'un arc

Sur un cercle de rayon $R$ , un angle au centre de mesure $\theta$ radians intercepte un arc de longueur :

$\ell = R\theta$

2.2 Convertir degrés et radians

Un tour complet du cercle mesure $360°$ , et sa longueur totale est $2\pi R$ — ce qui correspond, d'après la définition du radian, à une mesure de $2\pi$ radians. Les mesures en degrés et en radians d'un même angle sont donc proportionnelles : c'est un simple passage à l'échelle entre deux unités.

Démonstration — formule de conversion

Soit un angle de mesure $d$ degrés. Comme $360°$ correspondent à un tour complet, cet angle intercepte, sur le cercle trigonométrique ( $R=1$ ), une fraction $\dfrac{d}{360}$ de la circonférence totale $2\pi$ .

longueur d'arc $= \dfrac{d}{360} \times 2\pi$
$=$ $\dfrac{d\pi}{180}$
orpar définition du radian, cette longueur d'arc est aussi la mesure $r$ de l'angle en radians
d'où $r = \dfrac{d\pi}{180}$

En inversant cette égalité, on obtient $d = \dfrac{180 \, r}{\pi}$ . C.Q.F.D.

Propriété — formules de conversion

Pour un angle de mesure $d$ degrés et $r$ radians :

$r = d \times \dfrac{\pi}{180} \qquad\text{et}\qquad d = r \times \dfrac{180}{\pi}$

Degrés	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Exemple — degrés vers radians

$150° \to r = 150 \times \dfrac{\pi}{180}$
$=$ $\dfrac{150\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$

$40° \to r = 40 \times \dfrac{\pi}{180}$
$=$ $\dfrac{2\pi}{9}$

Exemple — radians vers degrés

$\dfrac{5\pi}{4} \text{ rad} \to d = \dfrac{5\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi}$
$=$ $\dfrac{5 \times 180}{4} = 225°$

$-\dfrac{\pi}{3} \text{ rad} \to d = -\dfrac{\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi}$
$=$ $-60°$

2.3 Le cercle gradué en radians

La figure ci-dessous place, tous les $30°$ , les multiples de $\dfrac{\pi}{6}$ sur le cercle trigonométrique. Cette graduation te servira dans tout le reste du chapitre : entraîne-toi à la reconstruire de mémoire.

Figure 2 — Le cercle trigonométrique gradué tous les

\dfrac{\pi}{6}

(soit

30°

). Chaque point est repéré par sa mesure en radians, avec l'équivalent en degrés entre parenthèses.

Attention

Le radian est une mesure sans unité : c'est un nombre réel comme un autre. Écrire $\cos(2)$ désigne le cosinus de l'angle de 2 radians (environ $114,6°$ ), certainement pas de $2°$ ! Vérifie toujours que ta calculatrice est en mode RAD avant de calculer avec des radians, et en mode DEG pour des degrés — c'est l'une des erreurs les plus fréquentes du lycée.

3Cosinus et sinus d'un réel

Le cercle trigonométrique permet enfin de définir le cosinus et le sinus d'un réel quelconque — et non plus seulement d'un angle aigu de triangle rectangle.

3.1 Deux nouvelles définitions

Définition

Soit $t$ un réel et $M(t)$ le point du cercle trigonométrique associé à $t$ (Figure 1). Le cosinus de $t$ , noté $\cos t$ , est l'abscisse de $M(t)$ ; le sinus de $t$ , noté $\sin t$ , est son ordonnée.

$M(t)\left(\cos t~;~\sin t\right)$

Propriété

Pour tout réel $t$ : $-1 \leqslant \cos t \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin t \leqslant 1$ , car $M(t)$ appartient au cercle de rayon $1$ . De plus, comme $M(t+2k\pi) = M(t)$ pour tout entier $k$ :

$\cos(t + 2k\pi) = \cos t \qquad\text{et}\qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t$

On dit que le cosinus et le sinus sont des fonctions périodiques, de période $2\pi$ .

Figure 3 — Pour un réel

t

, le point

M(t)

a pour abscisse

\cos t

et pour ordonnée

\sin t

. Le triangle rectangle

OHM

, d'hypoténuse

OM = 1

, relie ces deux longueurs par le théorème de Pythagore.

Propriété — cohérence avec le collège

Pour tout réel $t$ de $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ , le triangle $OHM$ de la Figure 3 est un triangle rectangle en $H$ , d'hypoténuse $OM = 1$ . Comme $OH = \cos t$ et $HM = \sin t$ , on retrouve exactement les rapports « adjacent/hypoténuse » et « opposé/hypoténuse » du collège. Le cosinus et le sinus définis sur le cercle prolongent donc, pour un angle aigu, ceux que tu connais déjà.

3.2 La relation fondamentale

Théorème

Pour tout réel $t$ :

$\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$

Démonstration

Le point $M(t)$ , de coordonnées $(\cos t~;~\sin t)$ , appartient au cercle trigonométrique, de centre $O$ et de rayon $1$ : la distance $OM$ vaut donc $1$ .

$OM^{2} = (\cos t - 0)^{2} + (\sin t - 0)^{2}$ formule de la distance dans un repère orthonormé
$=$ $\cos^{2} t + \sin^{2} t$
or $OM = 1$
donc $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$ c'est aussi le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $OHM$

C.Q.F.D.

Exemple — retrouver sin t connaissant cos t

On sait que $\cos t = 0{,}6$ et que $t \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Calculer $\sin t$ .

$\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$
$\Rightarrow$ $\sin^{2} t = 1 - 0{,}6^{2} = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$
$\Rightarrow$ $\sin t = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ $\sin t \geqslant 0$ car $t \in [0~;~\pi/2]$

3.3 Signe de cos t et sin t selon le quadrant

Le cercle trigonométrique est partagé en quatre quadrants par les axes. Le signe de l'abscisse et de l'ordonnée de $M(t)$ permet de lire directement le signe de $\cos t$ et de $\sin t$ .

Intervalle de $t$	$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$	$\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$	$\left[\pi~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$	$\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~2\pi\right]$
signe de $\cos t$	$+$	$-$	$-$	$+$
signe de $\sin t$	$+$	$+$	$-$	$-$

Exemple — utiliser le signe

Sachant que $\sin t = 0{,}8$ et que $t \in \left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ , déterminer le signe puis la valeur de $\cos t$ .

$t \in \left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ deuxième quadrant : $\cos t \leqslant 0$
$\cos^{2} t = 1 - \sin^{2} t = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$
$\Rightarrow$ $\cos t = -\sqrt{0{,}36} = -0{,}6$ on choisit la racine négative

4Valeurs remarquables

Cinq angles reviennent sans cesse en mathématiques : $0$ , $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ , $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ . Leurs cosinus et sinus se démontrent une bonne fois pour toutes à l'aide de deux figures géométriques simples, puis se retiennent par cœur.

4.1 Valeurs en 0 et π/2

Elles se lisent directement sur les axes : $M(0) = A(1~;~0)$ et $M\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = (0~;~1)$ .

Propriété

$\cos 0 = 1 \quad \sin 0 = 0 \qquad\qquad \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \quad \sin\dfrac{\pi}{2} = 1$

4.2 Valeurs en π/3 et π/6

Démonstration — le triangle équilatéral

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $1$ , et $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ . Comme le triangle est équilatéral, cette hauteur est aussi une médiane : $H$ est le milieu de $[BC]$ , et l'angle en $B$ vaut $\dfrac{\pi}{3}$ ( $60°$ ).

$BH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{1}{2}$ $H$ milieu de $[BC]$
$AH^{2} = AB^{2} - BH^{2}$ Pythagore dans le triangle rectangle $ABH$
$=$ $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow$ $AH = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $AH \geqslant 0$

Dans le triangle rectangle $ABH$ , d'hypoténuse $AB = 1$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ en $B$ : $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Les deux angles aigus d'un triangle rectangle étant complémentaires, l'angle $\widehat{BAH}$ vaut $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}$ . En l'observant depuis $A$ : adjacent $= AH = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , opposé $= BH = \dfrac{1}{2}$ , donc $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ . C.Q.F.D.

Figure 4 — Triangle équilatéral de côté

1

: la hauteur

AH

partage l'angle en

A

et fournit, dans le triangle rectangle

ABH

\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}

\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}

4.3 Valeur en π/4

Démonstration — le triangle rectangle isocèle

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ , avec $AB = BC = 1$ (la moitié d'un carré de côté $1$ ).

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ Pythagore
$=$ $1 + 1 = 2$
$\Rightarrow$ $AC = \sqrt{2}$

Le triangle est isocèle en $B$ : les deux angles aigus, en $A$ et en $C$ , sont égaux, et leur somme vaut $\dfrac{\pi}{2}$ ; chacun vaut donc $\dfrac{\pi}{4}$ . Dans le triangle rectangle, d'hypoténuse $AC = \sqrt{2}$ , vu depuis $C$ : adjacent $= BC = 1$ , opposé $= AB = 1$ .

$\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad\qquad \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C.Q.F.D.

Figure 5 — Demi-carré : triangle rectangle isocèle de côtés

1

, d'hypoténuse

\sqrt{2}

. L'angle en

C

vaut

\dfrac{\pi}{4}

, d'où

\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin t$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Méthode — retenir le tableau sans erreur

Écris $\sin t$ pour $t = 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$ sous la forme $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ : le nombre sous la racine augmente de $1$ à chaque fois. La ligne de $\cos t$ se lit alors en miroir, de droite à gauche — une conséquence de la symétrie que tu retrouveras en section 5.

Figure 6 — Les cinq points remarquables du premier quadrant, avec leurs projections sur les deux axes : l'abscisse donne

\cos t

, l'ordonnée donne

\sin t

Exemple — combiner deux valeurs remarquables

$\cos\dfrac{\pi}{3} + \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$
$=$ $1$

Exemple — vérifier la relation fondamentale

$\cos^{2}\dfrac{\pi}{4} + \sin^{2}\dfrac{\pi}{4} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$
$=$ $\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{4}$
$=$ $1$ conforme au théorème du 3.2

5Angles associés

Inutile de recalculer $\cos$ et $\sin$ à chaque nouvel angle ! Les symétries du cercle relient le point $M(x)$ à ceux de $-x$ , $\pi - x$ , $\pi + x$ et $\dfrac{\pi}{2} - x$ : on parle d'angles associés à $x$ . Connaître ces quatre relations permet de retrouver le cosinus et le sinus de presque n'importe quel angle à partir des valeurs remarquables.

Figure 7 — Les quatre angles associés à

x

, obtenus par symétrie : (a)

-x

par rapport à l'axe des cosinus ; (b)

\pi - x

par rapport à l'axe des sinus ; (c)

\pi + x

par rapport à

O

; (d)

\dfrac{\pi}{2} - x

par rapport à la droite d'équation

y=x

5.1 L'angle opposé : −x

Propriété

$\cos(-x) = \cos x \qquad\qquad \sin(-x) = -\sin x$

Démonstration

Parcourir la longueur $x$ dans le sens indirect (c'est-à-dire calculer $M(-x)$ ) revient à parcourir $x$ dans le sens direct puis à « renverser » le trajet par rapport à l'axe des abscisses. Le point $M(-x)$ est donc le symétrique de $M(x)$ par rapport à l'axe des cosinus (panneau a, Figure 7). Une symétrie orthogonale par rapport à cet axe conserve l'abscisse et change le signe de l'ordonnée : d'où $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$ . C.Q.F.D.

5.2 L'angle supplémentaire : π−x

Propriété

$\cos(\pi - x) = -\cos x \qquad\qquad \sin(\pi - x) = \sin x$

Démonstration

Le point $M(\pi - x)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à l'axe des sinus (panneau b, Figure 7) : partir de $\pi$ puis reculer de $x$ place le point à la même « hauteur » que $M(x)$ , mais du côté opposé de l'axe vertical. Cette symétrie change le signe de l'abscisse et conserve l'ordonnée : d'où $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$ . C.Q.F.D.

5.3 L'angle π+x

Propriété

$\cos(\pi + x) = -\cos x \qquad\qquad \sin(\pi + x) = -\sin x$

Démonstration

Le point $M(\pi + x)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport au centre $O$ (panneau c, Figure 7) : ajouter $\pi$ fait faire un demi-tour supplémentaire, ce qui place le point exactement à l'opposé sur le cercle. Une symétrie centrale change le signe des deux coordonnées : d'où $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$ . C.Q.F.D.

5.4 L'angle complémentaire : π/2−x

Propriété

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \qquad\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$

Démonstration

Le point $M\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à la droite d'équation $y = x$ , la première bissectrice (panneau d, Figure 7). Cette symétrie échange l'abscisse et l'ordonnée d'un point : d'où $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ . C'est exactement cette relation qui explique la lecture « en miroir » du tableau de la section 4. C.Q.F.D.

Méthode — simplifier une expression trigonométrique

Pour calculer $\cos t$ ou $\sin t$ quand $t$ n'est pas dans le tableau des valeurs remarquables, on cherche à écrire $t$ sous la forme $-x$ , $\pi - x$ , $\pi + x$ ou $\dfrac{\pi}{2} - x$ , avec $x$ une valeur remarquable, puis on applique la formule correspondante.

Exemple — angle supplémentaire

$\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right)$
$=$ $-\cos\dfrac{\pi}{3}$
$=$ $-\dfrac{1}{2}$

Exemple — angle opposé et angle π+x

$\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$

$\cos\dfrac{7\pi}{6} = \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right)$
$=$ $-\cos\dfrac{\pi}{6}$
$=$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Attention

Ne confonds pas $\pi - x$ et $\pi + x$ : seul le signe devant $x$ change, mais les formules sont différentes ( $\pi - x$ change le signe du cosinus seulement, $\pi + x$ change les deux signes). En cas de doute, reviens toujours à la Figure 7 plutôt que d'essayer de mémoriser les quatre formules sans les comprendre.

6Équations trigonométriques simples

Les angles associés permettent aussi de résoudre les premières équations trigonométriques : trouver tous les réels $x$ d'un intervalle donné tels que $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ .

6.1 Résoudre cos x = a

Propriété

Soit $a \in [-1~;~1]$ et $x_{0}$ un réel tel que $\cos x_{0} = a$ . Pour tout réel $x$ :

$\cos x = a \iff x = x_{0} + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = -x_{0} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Si $a \notin [-1~;~1]$ , l'équation $\cos x = a$ n'a aucune solution (rappel : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ ).

Démonstration

Dire que $\cos x = a = \cos x_{0}$ signifie que $M(x)$ a la même abscisse que $M(x_{0})$ . Or, sur le cercle, les seuls points d'abscisse $a$ sont $M(x_{0})$ et son symétrique par rapport à l'axe des cosinus, à savoir $M(-x_{0})$ (section 5.1). Donc $M(x) = M(x_{0})$ ou $M(x) = M(-x_{0})$ , c'est-à-dire $x = x_{0} + 2k\pi$ ou $x = -x_{0} + 2k\pi$ . C.Q.F.D.

6.2 Résoudre sin x = a

Propriété

Soit $a \in [-1~;~1]$ et $x_{0}$ un réel tel que $\sin x_{0} = a$ . Pour tout réel $x$ :

$\sin x = a \iff x = x_{0} + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = \pi - x_{0} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Figure 8 — La droite verticale

x=a

coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des cosinus (équation

\cos x = a

) ; la droite horizontale

y=b

le coupe en deux points symétriques par rapport à l'axe des sinus (équation

\sin x = b

6.3 Méthode et exemples

Méthode — résoudre cos x = a (ou sin x = a) sur un intervalle I

1) Écrire $a$ sous la forme $\cos x_{0}$ (ou $\sin x_{0}$ ) avec $x_{0}$ une valeur remarquable. 2) Écrire les deux familles de solutions sur $\mathbb{R}$ . 3) Ajouter ou retrancher des multiples de $2\pi$ à chaque famille jusqu'à tomber dans $I$ .

Exemple — équation en cosinus

Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[0~;~2\pi[$ .

$\cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$
$\iff$ $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$
sur $[0~;~2\pi[$ : $x = \dfrac{\pi}{3}$ $k=0$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ $k=1$

$S = \left\{\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{3}\right\}$

Exemple — équation en sinus

Résoudre $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi~;~\pi]$ .

$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\iff$ $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2k\pi = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$
sur $]-\pi~;~\pi]$ : $x = -\dfrac{\pi}{4}$ $k=0$ ou $x = \dfrac{5\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{4}$ $k=-1$

$S = \left\{-\dfrac{3\pi}{4}~;~-\dfrac{\pi}{4}\right\}$

Attention

Une équation $\cos x = a$ (avec $a \neq \pm 1$ ) a toujours deux familles de solutions, jamais une seule : oublier la seconde famille ( $-x_{0}$ , ou $\pi - x_{0}$ pour le sinus) est l'erreur la plus fréquente. Vérifie aussi systématiquement que chaque solution trouvée appartient bien à l'intervalle $I$ demandé.

Fiche mémo

Conversion : $r = d \times \dfrac{\pi}{180}$ ; $d = r \times \dfrac{180}{\pi}$ ; longueur d'arc $\ell = R\theta$ .
$M(t)\left(\cos t~;~\sin t\right)$ ; $-1 \leqslant \cos t \leqslant 1$ , $-1 \leqslant \sin t \leqslant 1$ .
Relation fondamentale : $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$ .
Périodicité $2\pi$ : $\cos(t+2k\pi) = \cos t$ ; $\sin(t+2k\pi) = \sin t$ .
Valeurs remarquables ( $t = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ ) : $\cos t = 1, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{1}{2}, 0$ ; $\sin t$ se lit en miroir.
$\cos(-x) = \cos x$ ; $\sin(-x) = -\sin x$ (symétrie axe des cos).
$\cos(\pi-x) = -\cos x$ ; $\sin(\pi-x) = \sin x$ (symétrie axe des sin).
$\cos(\pi+x) = -\cos x$ ; $\sin(\pi+x) = -\sin x$ (symétrie par $O$ ).
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$ ; $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$ (symétrie $y=x$ ).
$\cos x = \cos x_{0} \iff x = x_{0}+2k\pi$ ou $x = -x_{0}+2k\pi$ .
$\sin x = \sin x_{0} \iff x = x_{0}+2k\pi$ ou $x = \pi - x_{0}+2k\pi$ .
Signes : 1er quadrant $(+,+)$ ; 2e $(-,+)$ ; 3e $(-,-)$ ; 4e $(+,-)$ — dans l'ordre $(\cos, \sin)$ .

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Convertis en radians (sous forme de fraction de $\pi$ ) : $60°$ ; $135°$ ; $210°$ ; $300°$ .

Voir le corrigé détaillé

$60° \to 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$
$135° \to 135 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}$
$210° \to 210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}$
$300° \to 300 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{3}$

Convertis en degrés : $\dfrac{3\pi}{4}$ ; $\dfrac{7\pi}{6}$ ; $-\dfrac{\pi}{2}$ ; $\dfrac{5\pi}{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{3\pi}{4} \to \dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 135°$
$\dfrac{7\pi}{6} \to \dfrac{7\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = 210°$
$-\dfrac{\pi}{2} \to -\dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{180}{\pi} = -90°$
$\dfrac{5\pi}{3} \to \dfrac{5\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = 300°$

Donne, sans calculatrice, les valeurs exactes de : $\cos\dfrac{\pi}{4}$ ; $\sin\dfrac{\pi}{3}$ ; $\cos 0$ ; $\sin\dfrac{\pi}{2}$ ; $\cos\dfrac{\pi}{6}$ ; $\sin\dfrac{\pi}{4}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 0 = 1$
$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$
$\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Détermine le signe de $\cos t$ et de $\sin t$ pour : $t = 2$ ; $t = 4$ ; $t = -1$ (en radians, avec $\pi \approx 3{,}14$ ).

Voir le corrigé détaillé

$t=2$ : $\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57 < 2 < \pi \approx 3{,}14$ 2e quadrant
donc $\cos 2 < 0$ et $\sin 2 > 0$
$t=4$ : $\pi \approx 3{,}14 < 4 < \dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ 3e quadrant
donc $\cos 4 < 0$ et $\sin 4 < 0$
$t=-1$ équivaut à $-1+2\pi \approx 5{,}28$ , et $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71 < 5{,}28 < 2\pi\approx6{,}28$ 4e quadrant
donc $\cos(-1) > 0$ et $\sin(-1) < 0$

On donne $\cos t = -\dfrac{5}{13}$ avec $t \in \left]\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ . Calcule $\sin t$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$
$\Rightarrow$ $\sin^{2} t = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$
$\Rightarrow$ $\sin t = \dfrac{12}{13}$ $\sin t \geqslant 0$ car $t$ dans le 2e quadrant

Niveau 2 — Approfondissement

En utilisant les angles associés, calcule les valeurs exactes de : $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ ; $\sin\dfrac{4\pi}{3}$ ; $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)$ ; $\sin\dfrac{11\pi}{6}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\dfrac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{2\pi}{3}$ $\cos(-x)=\cos x$
$=$ $\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$
$\sin\dfrac{11\pi}{6} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
$=$ $-\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$

Résous $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0~;~2\pi[$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4}$
$\iff$ $x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$
sur $[0~;~2\pi[$ : $x = \dfrac{\pi}{4}$ $k=0$ ou $x = -\dfrac{\pi}{4}+2\pi = \dfrac{7\pi}{4}$ $k=1$

$S = \left\{\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{7\pi}{4}\right\}$

Résous $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ sur $]-\pi~;~\pi]$ .

Voir le corrigé détaillé

$\sin x = -\dfrac{1}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
$\iff$ $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$
sur $]-\pi~;~\pi]$ : $x = -\dfrac{\pi}{6}$ $k=0$ ou $x = \dfrac{7\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{6}$ $k=-1$

$S = \left\{-\dfrac{5\pi}{6}~;~-\dfrac{\pi}{6}\right\}$

Un cercle a pour rayon $8$ cm.

Calcule la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\dfrac{2\pi}{3}$ rad.
Un autre arc, sur ce même cercle, mesure $10$ cm. Calcule la mesure en radians de l'angle au centre correspondant.

Voir le corrigé détaillé

$\ell = R\theta = 8 \times \dfrac{2\pi}{3}$
$=$ $\dfrac{16\pi}{3} \approx 16{,}8$ cm

$\ell = R\theta \Rightarrow \theta = \dfrac{\ell}{R}$
$=$ $\dfrac{10}{8} = 1{,}25$ radsoit environ $71{,}6°$

Niveau 3 — Défi

Démontre que, pour tout réel $x$ : $(\cos x + \sin x)^{2} + (\cos x - \sin x)^{2} = 2$ .

Voir le corrigé détaillé

$(\cos x + \sin x)^{2} = \cos^{2}x + 2\cos x \sin x + \sin^{2}x$
$(\cos x - \sin x)^{2} = \cos^{2}x - 2\cos x \sin x + \sin^{2}x$
somme $= 2\cos^{2}x + 2\sin^{2}x$ les termes en $2\cos x \sin x$ s'annulent
$=$ $2\left(\cos^{2}x + \sin^{2}x\right)$
$=$ $2 \times 1 = 2$ relation fondamentale

C.Q.F.D.

On donne $\sin x = \dfrac{12}{13}$ avec $x \in \left]\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right[$ .

Calcule $\cos x$ .
En déduire $\cos(\pi - x)$ et $\sin(\pi + x)$ .
En déduire $\cos(-x)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169}$
$\Rightarrow$ $\cos x = -\dfrac{5}{13}$ $\cos x \leqslant 0$ car $x$ dans le 2e quadrant

$\cos(\pi - x) = -\cos x = \dfrac{5}{13}$
$\sin(\pi + x) = -\sin x = -\dfrac{12}{13}$

$\cos(-x) = \cos x = -\dfrac{5}{13}$
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x = -\dfrac{5}{13}$

Résous $\cos(\pi - x) = \dfrac{1}{2}$ sur $[0~;~2\pi[$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos(\pi - x) = -\cos x$ angle associé, section 5.2
donc $-\cos x = \dfrac{1}{2} \iff \cos x = -\dfrac{1}{2}$
$-\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{2\pi}{3}$
$\iff$ $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$
sur $[0~;~2\pi[$ : $x = \dfrac{2\pi}{3}$ ou $x = -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi = \dfrac{4\pi}{3}$

$S = \left\{\dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{4\pi}{3}\right\}$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La grande roue de Dakar. Une grande roue foraine, installée sur la Corniche de Dakar, a un axe situé à $14$ m du sol et un rayon de $12$ m. Une cabine part du point le plus bas de la roue. Après avoir tourné d'un angle $\theta$ (en radians) depuis ce point bas, sa hauteur au-dessus du sol est donnée par $h(\theta) = 14 - 12\cos\theta$ .

Vérifie que la cabine est bien à $2$ m du sol lorsque $\theta = 0$ .
Calcule sa hauteur après un quart de tour ( $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ ), puis après $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ .
À quelle hauteur maximale la cabine peut-elle monter ? Pour quel $\theta \in [0~;~2\pi[$ cette hauteur est-elle atteinte ?

Voir le corrigé détaillé

$h(0) = 14 - 12\cos 0 = 14 - 12 \times 1$
$=$ $2$ m

$h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 14 - 12\cos\dfrac{\pi}{2} = 14 - 12 \times 0$
$=$ $14$ m
$h\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 14 - 12\cos\dfrac{2\pi}{3} = 14 - 12 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
$=$ $14 + 6 = 20$ m

3. La hauteur est maximale quand $\cos\theta$ est minimal, c'est-à-dire $\cos\theta = -1$ , soit $\theta = \pi$ .

$h(\pi) = 14 - 12 \times (-1)$
$=$ $26$ mhauteur maximale, atteinte pour $\theta = \pi$

Le radar de N'Djaména. Une antenne radar de $6$ m de long, installée près de l'aéroport de N'Djaména, balaie un secteur angulaire de $150°$ à chaque rotation, en $5$ secondes.

Convertis $150°$ en radians.
Calcule la longueur de l'arc balayé par l'extrémité de l'antenne.
En déduire la vitesse moyenne, en m/s, de l'extrémité de l'antenne pendant ce balayage.

Voir le corrigé détaillé

$150° \to 150 \times \dfrac{\pi}{180}$
$=$ $\dfrac{5\pi}{6}$ rad

$\ell = R\theta = 6 \times \dfrac{5\pi}{6}$
$=$ $5\pi \approx 15{,}7$ m

$v = \dfrac{\ell}{\text{temps}} = \dfrac{5\pi}{5}$
$=$ $\pi \approx 3{,}14$ m/s

La noria d'Abéché. Près d'Abéché, une noria (roue à godets) de rayon $1{,}5$ m puise l'eau d'un puits : son axe est situé exactement à $1{,}5$ m au-dessus du niveau de l'eau, si bien qu'un godet parti du niveau de l'eau (point $A$ , à l'horizontale de l'axe) atteint, après avoir tourné d'un angle $\theta$ , la hauteur $h(\theta) = 1{,}5 + 1{,}5\sin\theta$ au-dessus du niveau de l'eau.

Calcule la hauteur du godet pour $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ .
Pour quel $\theta \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ le godet est-il exactement à mi-hauteur de l'axe, soit $0{,}75$ m ?

Voir le corrigé détaillé

$h\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1{,}5 + 1{,}5\sin\dfrac{\pi}{3} = 1{,}5 + 1{,}5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=$ $1{,}5 + 0{,}75\sqrt{3} \approx 2{,}8$ m

$1{,}5 + 1{,}5\sin\theta = 0{,}75$
$\Rightarrow$ $\sin\theta = \dfrac{0{,}75 - 1{,}5}{1{,}5} = -0{,}5$

Or $\sin\theta = -0{,}5 < 0$ est impossible pour $\theta \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ , intervalle où le sinus est positif ou nul. Il n'existe donc aucune solution : sur ce premier quart de tour, le godet reste toujours au-dessus de $1{,}5$ m (il part du niveau de l'eau et ne fait que monter jusqu'au sommet).

La piste d'athlétisme de Bamako. Le virage d'une piste d'athlétisme de Bamako est un arc de cercle de rayon $36{,}5$ m. Un coureur parcourt ce virage, ce qui correspond à un angle au centre de $\dfrac{5\pi}{6}$ rad.

Convertis cet angle en degrés.
Calcule la distance parcourue par le coureur dans ce virage, arrondie au mètre.

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{5\pi}{6} \to \dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi}$
$=$ $150°$

$\ell = R\theta = 36{,}5 \times \dfrac{5\pi}{6}$
$\approx$ $95{,}6$ marrondi au mètre : $96$ m

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Sur le cercle trigonométrique, le sens direct est :

le sens inverse des aiguilles d'une montre le sens des aiguilles d'une montre le sens qui dépend de la façon dont on regarde la feuille toujours le sens qui part du point le plus bas du cercle

Explication : Le sens direct (ou trigonométrique) est une convention universelle, toujours antihoraire, indépendante de l'orientation de la feuille.

Pour tout réel $t$ et tout entier relatif $k$ , on a toujours :

M(t+2k\pi) = M(t/k)

M(t+2k\pi) = M(t)

M(t+k\pi) = M(t)

M(t+2k\pi) = M(-t)

Explication : Le périmètre du cercle trigonométrique vaut

2\pi

: parcourir

2k\pi

revient à faire un nombre entier de tours, donc à revenir exactement au même point.

Un angle au centre de $1$ radian intercepte, sur un cercle de rayon $R$ , un arc de longueur :

égale à

2R

égale à

\pi R

égale à

R

toujours égale à

1

, quel que soit

R

Explication : C'est la définition même du radian : un angle de

1

rad intercepte un arc de longueur égale au rayon.

Pour un angle de $d$ degrés et $r$ radians, la formule de conversion correcte est :

r = d \times \dfrac{180}{\pi}

d = r \times \dfrac{\pi}{180}

r = d + \dfrac{\pi}{180}

r = d \times \dfrac{\pi}{180}

Explication : Comme

360°

correspondent à

2\pi

rad, on a

r = d \times \dfrac{\pi}{180}

(et réciproquement

d = r \times \dfrac{180}{\pi}

Pour un réel $t$ , si $M(t)$ est le point du cercle trigonométrique associé à $t$ , alors :

\cos t

est l'abscisse de

M(t)

\sin t

son ordonnée

\cos t

est l'ordonnée de

M(t)

\sin t

son abscisse

\cos t

\sin t

désignent tous deux l'abscisse de

M(t)

\cos t

est la distance

OM(t)

Explication : Par définition,

M(t)

a pour coordonnées

(\cos t\,;\sin t)

: l'abscisse est le cosinus, l'ordonnée est le sinus.

Pour tout réel $t$ , quelle égalité est toujours vraie ?

\cos t + \sin t = 1

\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1

\cos t \times \sin t = 1

\cos^{2} t - \sin^{2} t = 1

Explication : C'est la relation fondamentale :

M(t)

appartient au cercle de rayon

1

, donc

OM(t)=1

, ce qui donne

\cos^2 t + \sin^2 t = 1

(théorème de Pythagore).

Convertis $220°$ en radians, sous forme de fraction de $\pi$ :

\dfrac{9\pi}{11}

\dfrac{22\pi}{9}

\dfrac{11\pi}{9}

220\pi

Explication :

r = 220 \times \dfrac{\pi}{180}

= \dfrac{220\pi}{180}

= \dfrac{11\pi}{9}

(en simplifiant par

20

Convertis $\dfrac{7\pi}{12}$ rad en degrés :

210°

84°

175°

105°

Explication :

d = \dfrac{7\pi}{12} \times \dfrac{180}{\pi}

= \dfrac{7 \times 180}{12}

= 105°

Que vaut $\sin\dfrac{\pi}{3} - \cos\dfrac{\pi}{6}$ ?

0

\sqrt{3}

1

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Explication :

\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

: ces deux valeurs remarquables sont égales, donc leur différence vaut

0

On sait que $\cos t = 0{,}8$ et que $t \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Que vaut $\sin t$ ?

0{,}36

0{,}6

-0{,}6

0{,}2

Explication :

\sin^{2} t = 1 - \cos^{2} t = 1 - 0{,}64 = 0{,}36

\sin t = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6

(positif car

t \in [0\,;\pi/2]

Pour $t \in \left]\pi\,;\dfrac{3\pi}{2}\right[$ (troisième quadrant), quels sont les signes de $\cos t$ et $\sin t$ ?

\cos t > 0

\sin t > 0

\cos t > 0

\sin t < 0

\cos t < 0

\sin t < 0

\cos t < 0

\sin t > 0

Explication : Dans le troisième quadrant,

M(t)

a une abscisse et une ordonnée toutes deux négatives :

\cos t < 0

\sin t < 0

Pour tout réel $x$ , on a toujours :

\cos(-x) = -\cos x

\sin(-x) = \sin x

\cos(-x) = \sin x

\cos(-x) = \cos x

\sin(-x) = -\sin x

Explication :

M(-x)

est le symétrique de

M(x)

par rapport à l'axe des cosinus : cette symétrie conserve l'abscisse et change le signe de l'ordonnée.

$\cos(\pi - x)$ vaut :

-\cos x

\cos x

-\sin x

\sin x

Explication :

M(\pi - x)

est le symétrique de

M(x)

par rapport à l'axe des sinus : l'abscisse change de signe, l'ordonnée est conservée, d'où

\cos(\pi-x) = -\cos x

$\sin(\pi + x)$ vaut :

\sin x

-\sin x

\cos x

-\cos x

Explication :

M(\pi + x)

est le symétrique de

M(x)

par rapport au centre

O

: les deux coordonnées changent de signe, d'où

\sin(\pi+x) = -\sin x

Que vaut $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ ?

-\cos x

-\sin x

\sin x

\cos x

Explication :

M\left(\frac{\pi}{2}-x\right)

est le symétrique de

M(x)

par rapport à la droite

y=x

, qui échange abscisse et ordonnée :

\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x

. Ne confonds pas avec

\cos(\pi-x)=-\cos x

Un élève affirme que l'unique solution de $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$ est $x = \dfrac{\pi}{3}$ , car $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ . Que penses-tu de cette affirmation ?

Elle est correcte, il n'y a bien qu'une solution Elle est fausse : il faut ajouter

2\pi

à cette solution Elle est fausse : la bonne solution est

x = \dfrac{2\pi}{3}

Elle est incomplète : il manque la seconde famille de solutions

x = -x_0 + 2k\pi

, ici

x = \dfrac{5\pi}{3}

Explication :

\cos x = a

(avec

a \neq \pm1

) a toujours deux familles de solutions :

x=x_0+2k\pi

x=-x_0+2k\pi

. Ici

x=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}

est aussi solution sur

[0;2\pi[

. Oublier cette seconde famille est le piège le plus fréquent.

Résous $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ . L'ensemble des solutions est :

\left\{-\dfrac{3\pi}{4}\,;-\dfrac{\pi}{4}\right\}

\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right\}

\left\{-\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{4}\right\}

\left\{-\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right\}

Explication :

\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)

, donc

x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi

x=\pi-\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2k\pi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi

.
Sur

]-\pi;\pi]

x=-\frac{\pi}{4}

(

k=0

) ou

x=\frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}

(

k=-1

Une grande roue foraine à Lomé a un axe situé à $10$ m du sol et un rayon de $8$ m. La hauteur d'une cabine partie du point le plus bas est $h(\theta) = 10 - 8\cos\theta$ . Quelle est sa hauteur après un sixième de tour ( $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ ) ?

2

6

14

18

Explication :

h\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 10 - 8\cos\dfrac{\pi}{3} = 10 - 8 \times 0{,}5

= 10 - 4 = 6

Une antenne de $2$ m de rayon, installée à Cotonou, balaie un secteur angulaire de $\dfrac{2\pi}{3}$ rad. Quelle est la longueur de l'arc parcouru par son extrémité ?

\dfrac{2\pi}{3}

m (environ

2{,}1

2\pi

\dfrac{4\pi}{3}

m (environ

4{,}2

6

Explication :

\ell = R\theta = 2 \times \dfrac{2\pi}{3}

= \dfrac{4\pi}{3} \approx 4{,}2

Un élève calcule $\cos(2)$ sur sa calculatrice réglée en mode DEGRÉS et trouve $0{,}999$ . Quelle est l'erreur ?

Il n'y a pas d'erreur, le résultat est juste

\cos(2)

n'existe pas car

2

n'est pas un angle valide Il fallait calculer

\cos(2°)

à la place Le nombre

2

, sans unité, désigne

2

radians : la calculatrice doit être réglée en mode RADIANS

Explication : Le radian est l'unité par défaut pour un réel sans indication d'unité.

\cos(2)

désigne le cosinus de l'angle de

2

radians (environ

114{,}6°

) ; utiliser le mode DEGRÉS calcule en réalité

\cos(2°)

, ce qui est faux.

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En bref

Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 8 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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