Depuis le collège, tu sais reconnaître une symétrie, faire glisser une figure sur une feuille, l'agrandir sur un plan. Ce chapitre reprend ces gestes familiers et leur donne un statut mathématique précis : une transformation du plan est une règle qui, à tout point , associe un unique point appelé son image. Translation, symétrie axiale, symétrie centrale, rotation, homothétie : cinq façons de déplacer ou de mettre à l'échelle une figure, que tu vas désormais manier avec la même rigueur qu'un calcul algébrique.
On rencontre ces outils partout : le carrelage d'une cour, le tissage d'un pagne bogolan, la façade sculptée d'une porte d'Afrique de l'Ouest, un logo dupliqué sur une affiche, la hauteur d'un immeuble estimée à partir de son ombre... Partout où une forme se répète, se retourne ou change d'échelle, une transformation est à l'œuvre — architectes, tisserands, topographes et infographistes s'en servent, souvent sans la nommer.
Au collège, tu construisais ces images « à l'œil », à la règle et au compas, sans toujours démontrer pourquoi la construction était juste. En Seconde, tu vas définir chaque transformation avec précision (vecteur, axe, centre, angle, rapport), démontrer les propriétés qu'elle conserve, puis t'en servir comme outil de démonstration : prouver qu'un point est un milieu, que des droites sont parallèles ou concourantes, qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Tu redécouvriras ainsi, sous un jour nouveau, le théorème des milieux, le théorème de Thalès et le centre de gravité d'un triangle.
1Translation, symétries axiale et centrale
Ces trois transformations ont un point commun essentiel : elles ne changent ni les longueurs, ni les angles. On dit que ce sont des isométries (du grec isos, « égal », et metron, « mesure »).
1.1 La translation
Soit un vecteur du plan. La translation de vecteur est la transformation qui, à tout point du plan, associe le point tel que :
Toutes les flèches construites ainsi ont même longueur, même direction et même sens : c'est exactement ce que représente le vecteur . Une translation « fait glisser » le plan tout entier sans le tourner ni le déformer.
Dans un repère, on donne et . On cherche les coordonnées de , image de par la translation de vecteur .
- a pour coordonnées et
Le segment a pour image, par cette translation, le segment avec et : une translation transforme un segment en un segment parallèle et de même longueur, une droite en une droite parallèle, un cercle en un cercle de même rayon.
1.2 La symétrie axiale
Soit une droite du plan. La symétrie axiale d'axe (ou symétrie orthogonale) est la transformation qui, à tout point , associe le point tel que :
- si , alors ;
- si , alors est la médiatrice du segment .
« médiatrice de » signifie deux choses à la fois : et coupe en son milieu. Oublier l'une des deux conditions est l'erreur la plus fréquente en Seconde — une figure « à peu près » symétrique ne suffit pas, il faut les deux propriétés.
Pour construire , image de par la symétrie d'axe : on trace la perpendiculaire à passant par , puis on reporte, de l'autre côté de , la même distance que celle de à . Avec une équerre et un compas, la construction est exacte.
Un triangle isocèle de sommet principal admet la médiatrice de comme axe de symétrie : cette droite échange et , et laisse invariant. C'est pourquoi les deux angles à la base, et , sont égaux — la symétrie transforme l'un en l'autre.
1.3 La symétrie centrale
Soit un point du plan. La symétrie centrale de centre est la transformation qui, à tout point , associe le point tel que :
Autrement dit, , et sont alignés, et . Une symétrie centrale équivaut à un demi-tour autour de : tu la retrouveras au paragraphe suivant comme cas particulier de la rotation.
Soit et . milieu de donne , d'où , et de même pour .
Si est un parallélogramme, ses diagonales et ont le même milieu . Autrement dit, est l'image de , et l'image de , par la symétrie centrale de centre . On approfondira cette idée au paragraphe 5.4.
Le mot « symétrie » vient du grec summetria, « juste mesure », « proportion ». Bien avant qu'Euclide n'en pose une définition rigoureuse vers , les artisans de nombreuses civilisations maîtrisaient déjà la symétrie par la pratique : frises égyptiennes, mosaïques romaines, portes sculptées d'Afrique de l'Ouest, tissus bogolan du Mali dont les motifs géométriques se répètent par réflexion et translation sur toute la largeur du pagne.
Ce n'est qu'au tournant du XIXe et du XXe siècle, avec les travaux du cristallographe russe Evgraf Fedorov et du mathématicien allemand Arthur Schoenflies, que l'on a démontré qu'il n'existe que dix-sept façons fondamentalement différentes de paver le plan par répétition d'un motif — un résultat que les artisans avaient, sans le savoir, presque entièrement exploré à la main des siècles auparavant.
2Rotation
La rotation généralise la symétrie centrale : au lieu d'un demi-tour imposé (), on tourne d'un angle quelconque autour d'un point fixe.
2.1 Définition et construction
Soit un point et un angle. La rotation de centre et d'angle est la transformation qui, à , associe , et à tout point associe le point tel que :
- (même distance au centre) ;
- l'angle mesure , orienté dans le sens choisi (souvent le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre).
Pour construire , image de par la rotation de centre et d'angle : au compas, on trace l'arc de cercle de centre et de rayon ; au rapporteur, on reporte l'angle depuis , dans le sens demandé, pour repérer sur cet arc.
2.2 Cas particuliers
- Si , la rotation de centre et d'angle est exactement la symétrie centrale de centre : et , , alignés.
- Si , tout point est invariant : c'est l'identité.
- Une rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme.
Dans un repère, l'image de par la rotation de centre (origine) et d'angle dans le sens direct a pour coordonnées . Pour :
Vérification : et — bien la même distance à , comme l'exige la définition.
La grande aiguille d'une horloge effectue, en une heure, une rotation de centre le centre du cadran et d'angle (sens horaire, donc négatif dans la convention du sens direct). En minutes, elle tourne d'un quart de tour, soit .
3Homothétie
Contrairement aux trois transformations précédentes, l'homothétie change les longueurs : elle agrandit ou réduit une figure, comme un plan à l'échelle ou une photocopie.
3.1 Définition et rapport
Soit un point et un réel non nul. L'homothétie de centre et de rapport est la transformation qui, à , associe , et à tout point associe le point tel que :
Cette égalité vectorielle dit exactement deux choses : , , sont alignés, et . C'est ce deuxième point qui distingue l'homothétie des isométries précédentes.
3.2 Effets du signe et de la valeur de
| Valeur de | Position de | Effet |
|---|---|---|
| même côté de que , plus loin | agrandissement | |
| même côté de que , plus près | réduction | |
| identité | ||
| de l'autre côté de , à la même distance | symétrie centrale de centre | |
| de l'autre côté de | agrandissement ou réduction et retournement |
Un rapport négatif ne signifie pas « la figure rétrécit » : agrandit la figure (elle est trois fois plus grande) mais la place de l'autre côté de . Seule la valeur de renseigne sur la taille ; le signe de renseigne sur la position par rapport à .
Soit et . Quelle est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport ?
est bien de l'autre côté de par rapport à , et deux fois plus proche de : .
Sur un plan de ville à l'échelle , une avenue mesure cm. Ce plan est l'image du terrain réel par une homothétie (au sens des longueurs) de rapport . La longueur réelle vaut donc cm, soit m.
Au début du XVe siècle, l'architecte florentin Filippo Brunelleschi (–) met au point la perspective linéaire : une méthode pour représenter, sur une surface plane, la profondeur d'une scène réelle. L'idée est reprise et théorisée en par Leon Battista Alberti dans son traité Della Pittura.
Le principe géométrique sous-jacent est très proche de l'homothétie : les objets éloignés du peintre sont représentés comme les images, par un rapport très petit, des objets réels — d'où leur taille réduite tout en conservant leurs proportions. Cette découverte a bouleversé la peinture occidentale et reste, aujourd'hui encore, au cœur des logiciels de rendu 3D.
4Propriétés conservées
Il est temps de dresser le bilan : que devient une figure après chacune de ces cinq transformations ? Cette synthèse est l'outil le plus utile pour rédiger une démonstration.
4.1 Les isométries : translation, symétries, rotation
La translation, la symétrie axiale, la symétrie centrale et la rotation sont des isométries : elles conservent
- les longueurs () ;
- les angles () ;
- l'alignement (trois points alignés ont des images alignées) ;
- le parallélisme et le milieu (l'image du milieu de est le milieu de ) ;
- les aires.
Soit un vecteur, et , les images de , par la translation de vecteur . Par définition, et .
- relation de Chasles
Les vecteurs et sont donc égaux : , et est parallèle à . C.Q.F.D.
4.2 L'homothétie : un rapport, pas une égalité
Une homothétie de rapport conserve les angles, le parallélisme et l'alignement, mais :
- multiplie toutes les longueurs par : ;
- multiplie toutes les aires par .
Idée de preuve (cas d'un triangle). Si un triangle a une base et une hauteur associée, son aire vaut . L'homothétie de rapport multiplie la base par et la hauteur par (car les longueurs sont toutes multipliées par , y compris les distances perpendiculaires). L'aire du triangle image vaut donc :
Le même raisonnement, en découpant toute figure en triangles, s'étend à n'importe quelle figure. C.Q.F.D.
Un champ triangulaire d'aire m² est représenté sur un plan par une figure semblable, à l'échelle (en supposant les unités homogènes). Sur un second plan à l'échelle double (), le facteur d'échelle est multiplié par , donc l'aire dessinée est multipliée par .
Une homothétie de rapport transforme un carré de côté cm (aire cm²) en un carré de côté cm. Son aire vaut cm², et non cm² : c'est bien le facteur qui s'applique, pas .
5Images des figures usuelles
Les transformations ne sont pas seulement des définitions abstraites : elles permettent de redémontrer, avec des outils neufs, des résultats déjà rencontrés sur le triangle, le parallélogramme et les longueurs proportionnelles.
5.1 Les droites remarquables du triangle
Un triangle possède quatre familles de droites remarquables, chacune concourante en un point particulier.
| Droite remarquable | Définition | Point de concours |
|---|---|---|
| Médiane | joint un sommet au milieu du côté opposé | centre de gravité |
| Médiatrice | perpendiculaire à un côté en son milieu | centre du cercle circonscrit |
| Hauteur | passe par un sommet, perpendiculaire au côté opposé | orthocentre |
| Bissectrice | partage un angle en deux angles égaux | centre du cercle inscrit |
Le programme de Seconde se concentre sur les médianes et leur point de concours, qu'on démontre ci-dessous à l'aide du théorème des milieux.
5.2 Le théorème des milieux
Soit un triangle, le milieu de et le milieu de . Alors :
Considérons l'homothétie de centre et de rapport . Comme est le milieu de , : est donc l'image de par . De même, est l'image de par .
Or une homothétie transforme une droite en une droite qui lui est parallèle, et multiplie les longueurs par la valeur absolue de son rapport. La droite , image de , lui est donc parallèle, et :
C.Q.F.D.
5.3 Le centre de gravité, aux deux tiers de chaque médiane
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point , appelé centre de gravité, tel que sur chaque médiane, en partant du sommet :
Notons le milieu de et le milieu de . Les médianes et se coupent en un point . D'après le théorème des milieux appliqué au triangle avec les milieux (de ) et (de ) : et .
Les angles et sont alternes-internes égaux (), de même que et ; les triangles et ont donc leurs angles deux à deux égaux : ils sont semblables, avec un rapport de longueurs .
- triangles semblables de rapport 2
- car et
On obtiendrait de la même façon, en coupant les médianes et en un point , que . Or et appartiennent tous deux au segment à la même distance de : donc . Les trois médianes passent bien par le même point . C.Q.F.D.
Dans un triangle, la médiane issue de mesure cm. La distance du sommet au centre de gravité vaut cm, et cm.
5.4 Caractérisations du parallélogramme
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales et ont le même milieu — c'est-à-dire si et seulement si est l'image de , et l'image de , par la symétrie centrale de centre .
Pour construire le symétrique d'un parallélogramme par rapport au milieu de ses diagonales, il suffit d'observer que cette symétrie échange et : le parallélogramme est donc sa propre image. On dit qu'il est invariant par cette symétrie — une propriété que n'a pas, par exemple, un trapèze quelconque.
5.5 La configuration de Thalès et sa réciproque
Soit , , alignés et , , alignés, avec . Alors :
La configuration de Thalès n'est autre que l'image du triangle par l'homothétie de centre et de rapport : elle envoie sur et sur . C'est cette lecture qui explique pourquoi les trois rapports du théorème sont égaux entre eux — ce sont tous le même rapport d'homothétie .
Si , , et si , alors .
La réciproque exige de comparer les rapports dans le bon ordre ( avec , pas avec ) et suppose que et sont bien situés sur les demi-droites et . Un rapport égal mal apparié ne prouve rien.
On identifie la configuration ( commun, ), on écrit l'égalité des trois rapports, puis on résout par produit en croix.
Avec cm, cm, cm, , calculons .
- cm
Avec , , , : et . Les rapports sont égaux, donc , d'après la réciproque de Thalès.
Thalès de Milet (vers à ), l'un des Sept Sages de la Grèce antique, se rend en Égypte et parvient, dit-on, à calculer la hauteur de la pyramide de Khéops sans y grimper. Selon le récit rapporté par Plutarque et Diogène Laërce, il choisit l'instant de la journée où son propre ombre est exactement égale à sa taille, et mesure alors l'ombre portée de la pyramide : celle-ci est alors, elle aussi, égale à sa hauteur.
D'autres versions racontent qu'il a utilisé un simple bâton planté verticalement et comparé les longueurs des deux ombres à un instant quelconque — exactement la méthode que tu utiliseras dans les exercices de ce chapitre. Le principe reste le même : deux objets verticaux, éclairés par des rayons de soleil considérés comme parallèles, forment une configuration de Thalès.
6Compositions simples
On peut appliquer deux transformations l'une après l'autre : c'est ce qu'on appelle composer des transformations. Le résultat, souvent surprenant, est toujours l'une des transformations déjà étudiées.
6.1 Composer deux symétries
- La composée de deux symétries axiales d'axes parallèles et est une translation, de vecteur perpendiculaire aux axes et de longueur le double de la distance entre et .
- La composée de deux symétries axiales d'axes sécants en est une rotation de centre , d'angle le double de l'angle entre les deux axes.
- La composée de deux symétries centrales, de centres et , est une translation de vecteur .
Soit un point, son image par la symétrie d'axe , et l'image de par la symétrie d'axe , avec . Les points , , sont alignés sur une même perpendiculaire commune aux deux axes. En notant la distance entre et , on montre que quel que soit : le déplacement de à est donc toujours le même vecteur, perpendiculaire aux axes et de longueur . C'est bien la définition d'une translation.
6.2 Applications : frises et pavages
Une frise est un motif qui se répète indéfiniment le long d'une bande, par translations successives d'un même vecteur — parfois combinées à des symétries. Un pavage (ou dallage) répète un motif dans les deux directions du plan, sans trou ni recouvrement.
Ce principe se retrouve dans l'architecture (moucharabiehs, frises de mosquées, claustras), dans les tissus (bogolan malien, pagnes wax) et dans le carrelage (mosaïques). Concevoir un tel motif revient, mathématiquement, à choisir un motif de base puis un ou plusieurs vecteurs et axes de symétrie qui, composés, le reproduisent sans laisser d'espace vide.
Dans un dallage de carreaux carrés identiques, chaque carreau est l'image de son voisin par une translation (horizontale ou verticale). Si les carreaux alternent motif « endroit » et motif « miroir », une symétrie axiale s'ajoute à la translation entre deux carreaux adjacents.
Une rosace à motifs identiques répartis régulièrement autour d'un centre est invariante par la rotation de centre et d'angle : c'est la composition de deux symétries d'axes sécants en formant un angle de .
Fiche mémo
- Translation de vecteur : — isométrie, conserve direction et sens.
- Symétrie axiale d'axe : médiatrice de — isométrie, « retourne » la figure.
- Symétrie centrale de centre : milieu de — isométrie, rotation de .
- Rotation de centre , angle : et — isométrie.
- Homothétie de centre , rapport : — longueurs , aires , alignés.
- : même côté de ; : côté opposé ; = symétrie centrale de centre .
- Isométries (translation, symétries, rotation) : conservent longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme, milieux.
- Homothétie : conserve angles, parallélisme, alignement — pas les longueurs (sauf ).
- Théorème des milieux : milieux de et (homothétie de centre , rapport ).
- Centre de gravité : concours des médianes, .
- Parallélogramme et ont même milieu symétrie centrale de centre invariante.
- Thalès : , , (c'est une homothétie de centre ).
- Réciproque de Thalès : rapports égaux, bien appariés droites parallèles.
- Composée de 2 symétries d'axes parallèles = translation ; d'axes sécants en = rotation de centre ; frises et pavages = translations et symétries répétées.
7Exercices corrigés
Soit et . Détermine les coordonnées de , image de par la translation de vecteur .
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- et
Dans un repère, soit l'axe des ordonnées (droite d'équation ) et . Détermine les coordonnées de , image de par la symétrie d'axe , et justifie.
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L'axe des ordonnées est vertical : une symétrie d'axe vertical conserve l'ordonnée et change le signe de l'abscisse (le point et son image sont à la même distance de l'axe, de part et d'autre).
Soit et . Détermine les coordonnées de , image de par la symétrie de centre .
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est le milieu de , donc et .
Soit l'origine du repère et . Détermine les coordonnées de , image de par la rotation de centre et d'angle dans le sens direct.
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La rotation de centre et d'angle dans le sens direct transforme en .
Vérification : et : même distance au centre, conforme à la définition.
Soit , et . Détermine les coordonnées de , image de par l'homothétie de centre et de rapport . Est-ce un agrandissement ou une réduction ?
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Comme , c'est un agrandissement (et comme , est du même côté de que ).
Dans un triangle , et avec cm, cm, cm, cm et cm.
- Les droites et sont-elles parallèles ? Justifie à l'aide de la réciproque de Thalès.
- Si oui, calcule .
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1. Comparons les rapports et .
Les rapports sont égaux et bien appariés ( sur , sur ) : d'après la réciproque de Thalès, .
2. Le théorème de Thalès donne alors .
- cm
est un quadrilatère tel que . Démontre que le milieu de est aussi le milieu de , puis conclus sur la nature de .
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milieu de signifie . Partons de l'hypothèse , c'est-à-dire .
- on isole B et D d'un côté
- le milieu de = le milieu de =
est donc le milieu commun de et de : est l'image de , et l'image de , par la symétrie centrale de centre (voir Figure 10). D'après la caractérisation du paragraphe 5.4, est un parallélogramme.
Dans un triangle , la médiane issue de mesure cm et coupe en son milieu . est le centre de gravité.
- Calcule et .
- Sachant que la médiane issue de mesure cm, calcule la distance de à .
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1.
- cm
- cm
2.
- cm
Le triangle a un périmètre de cm. , , sont les milieux respectifs de , , . Calcule le périmètre du triangle .
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D'après le théorème des milieux appliqué trois fois (une fois par sommet), chaque côté de mesure la moitié du côté correspondant de : , , .
- périmètre de
- cm
Deux droites parallèles et sont distantes de cm. est un point quelconque du plan ; est le symétrique de par rapport à , et le symétrique de par rapport à .
- Quelle transformation envoie sur ?
- Calcule .
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1. D'après la propriété du paragraphe 6.1, la composée de deux symétries d'axes parallèles est une translation, de vecteur perpendiculaire aux deux axes.
2. La longueur de cette translation vaut le double de la distance entre les axes.
- cm
Théorème de Varignon. Soit un quadrilatère quelconque. On note , , , les milieux respectifs de , , , .
- Exprime en fonction de , puis en fonction de .
- Déduis-en que .
- Conclus sur la nature du quadrilatère .
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1. est le milieu de et le milieu de .
- relation de Chasles
- P, Q milieux
De même, milieu de et milieu de :
2. Les deux calculs donnent le même résultat : .
3. est exactement la condition vectorielle qui caractérise un parallélogramme : est un parallélogramme, quel que soit le quadrilatère de départ (même non convexe). On retrouve ici, deux fois, le théorème des milieux.
est un triangle avec cm, cm et une aire de cm². tel que , et la parallèle à passant par coupe en .
- Quelle transformation envoie sur et sur ? Précise son centre et son rapport.
- Calcule puis .
- Calcule l'aire du triangle .
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1. et appartiennent respectivement à et , avec ; comme , vérifie aussi (Thalès). Il s'agit de l'homothétie de centre et de rapport , qui envoie sur et sur .
2.
- cm
- cm
3. Une homothétie de rapport multiplie les aires par .
- aire
- cm²
est un triangle tel que cm et .
- Démontre, sans trigonométrie, que le triangle est équilatéral.
- Soit la rotation de centre et d'angle telle que . Justifie que est un point tel que soit aussi équilatéral, puis calcule .
- En poursuivant ce principe par rotations successives de , combien de rotations faut-il pour que l'image de revienne sur ?
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1. : le triangle est isocèle en , donc . La somme des angles d'un triangle vaut :
Les trois angles du triangle valent : les côtés opposés à des angles égaux sont égaux, donc . Le triangle est équilatéral.
2. est une rotation de centre , donc c'est une isométrie qui conserve les distances au centre : cm (car ). L'angle de la rotation donne . Le triangle est donc isocèle en avec un angle au sommet de : d'après la question 1 (même raisonnement), est équilatéral.
- angles adjacents
3. Chaque nouvelle rotation de ajoute à l'angle total parcouru depuis . L'image de revient sur lorsque cet angle total est un multiple de :
Il faut rotations de : les six images successives de forment les sommets d'un hexagone régulier centré en .
Le baobab de Ndjamena. À la manière de Thalès, Moussa veut évaluer la hauteur d'un baobab sans y grimper. Il plante un bâton vertical de m de haut, et choisit l'instant de la journée où l'extrémité de l'ombre du bâton coïncide exactement avec l'extrémité de l'ombre du baobab, au même point au sol. Il mesure alors : m (distance du point au pied du bâton) et m (distance du point au pied du baobab).
- Explique pourquoi cette situation forme une configuration de Thalès.
- Calcule la hauteur du baobab.
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1. Les rayons du soleil sont considérés comme parallèles. Le bâton et le baobab sont tous deux verticaux, donc parallèles entre eux. Les points , , sont alignés (le sol), et les points , , sont alignés (le rayon de soleil rasant qui passe par le sommet du bâton et celui du baobab, puisque leurs ombres finissent au même point ) : c'est exactement la configuration de Thalès, de sommet .
2. D'après le théorème de Thalès :
- m
Le baobab mesure environ m de haut.
Le plan d'Abidjan. Sur un plan de la ville d'Abidjan à l'échelle , un terrain rectangulaire mesure cm sur cm.
- Quelle transformation géométrique relie le plan au terrain réel ? Précise son rapport.
- Calcule l'aire réelle du terrain, en m².
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1. Le plan est l'image du terrain réel par une homothétie de rapport (au sens des longueurs) ; réciproquement, le terrain réel est l'image du plan par l'homothétie de rapport .
2. L'aire sur le plan vaut cm². Une homothétie de rapport multiplie les aires par .
- aire réelle
- cm²
- m²1 m² = 10 000 cm²
Le terrain mesure réellement m².
Le bogolan de Bamako. Aminata tisse à Bamako une bande de bogolan. Le motif de base mesure cm de large ; elle le répète par translation horizontale pour couvrir une bande de m.
- Combien de motifs complets peut-elle placer sur la bande ?
- Chaque motif est en réalité le symétrique du précédent par rapport à l'axe vertical qui sépare les deux motifs (le motif 2 est le symétrique du motif 1 par rapport à l'axe situé à cm du bord, le motif 3 est le symétrique du motif 2 par rapport à l'axe suivant, situé cm plus loin, etc.). Quelle est la composée de ces deux symétries entre le motif 1 et le motif 3 ?
Voir le corrigé détaillé
1. On convertit en centimètres : m cm.
- nombre de motifs
- motifs
2. Les deux axes de symétrie utilisés sont parallèles (tous deux verticaux) et distants de cm. D'après la propriété du paragraphe 6.1, la composée de deux symétries d'axes parallèles est une translation, de vecteur perpendiculaire aux axes (donc horizontal) et de longueur le double de la distance entre eux.
- longueur de la translation
- cm
On retrouve ainsi, par un raisonnement différent, que le motif 3 est bien l'image du motif 1 par une translation horizontale de cm — exactement deux largeurs de motif, comme on l'observe directement sur la bande.