Géométrie dans l'espace

Se repérer dans l'espace : positions relatives, sections et calculs.

Mathématiques Seconde Chapitre 15 / 15 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Représenter un solide en perspective
Déterminer une section plane
Calculer aire et volume d'un solide composé

Depuis la classe de 4ème, tu sais calculer une aire, un périmètre, appliquer le théorème de Pythagore. Ce chapitre te fait changer de dimension : on ne travaille plus seulement dans un plan, mais dans l'espace, celui où tu vis réellement. Une salle de classe, un ballon, un immeuble, un réservoir d'eau : tout ce qui t'entoure est un solide, et pour le décrire, le dessiner et le calculer, il te faut de nouveaux outils.

Le premier défi est presque artistique : comment représenter, sur une feuille plate, un objet qui a trois dimensions ? La réponse s'appelle la perspective cavalière — une méthode précise, avec des règles strictes, que les ingénieurs et les architectes utilisent encore aujourd'hui pour leurs plans. Le second défi est plus géométrique : deux droites de l'espace peuvent être parallèles, sécantes, ou bien ne se rencontrer jamais sans être parallèles — une situation qui n'existait pas dans le plan et qui va t'obliger à raisonner autrement.

Tu retrouveras enfin, avec un regard neuf, les solides usuels — pavé, prisme, pyramide, cylindre, cône, sphère — pour calculer leurs aires et leurs volumes, couper un solide par un plan, et repérer un point dans l'espace avec trois coordonnées au lieu de deux. Ces notions sont partout : architecture, plomberie, agriculture, construction d'un château d'eau ou d'un silo à grains. Prends ton compas, ta règle et ton équerre : on entre dans la troisième dimension.

1Solides usuels et perspective cavalière

Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir dessiner correctement un solide. C'est l'objet de la perspective cavalière : une convention de dessin qui donne une illusion convaincante de profondeur tout en restant calculable avec précision.

1.1 Les règles de la perspective cavalière

Définition

La perspective cavalière est une représentation plane d'un solide de l'espace, construite à partir de trois règles :

une face du solide, dite face avant, est dessinée en vraie grandeur (mêmes longueurs, mêmes angles que dans la réalité) ;
les arêtes non contenues dans la face avant, dites arêtes fuyantes, sont dessinées parallèles entre elles, inclinées d'un angle de fuite (souvent $45°$ ) par rapport à l'horizontale ;
les longueurs des arêtes fuyantes sont multipliées par un coefficient $k$ (souvent $k = 0{,}5$ ), appelé coefficient de réduction.

Par convention, les arêtes cachées (invisibles depuis le point de vue choisi) sont tracées en pointillés.

Autrement dit, la perspective cavalière ne cherche pas à imiter l'œil humain (ce que fait la perspective conique, utilisée en dessin d'art) : elle privilégie le calcul. C'est pour cela qu'un ingénieur peut reporter directement, sur son dessin, la vraie longueur d'une arête de la face avant.

Méthode — construire un cube en perspective cavalière

Pour un cube d'arête $a$ , avec un angle de fuite de $45°$ et un coefficient $k = 0{,}5$ :

on trace la face avant : un carré de côté $a$ , en vraie grandeur ;
depuis chaque sommet de cette face, on trace un segment incliné à $45°$ , de longueur $0{,}5 \times a$ : on obtient la face arrière ;
on relie les sommets de la face arrière entre eux ;
on repasse en pointillés les arêtes cachées par le solide.

Figure 1 — un cube ABCDEFGH dessiné en perspective cavalière : la face avant ABFE garde ses vraies grandeurs, les arêtes fuyantes (comme [BC]) sont tracées à 45° et réduites de moitié ; les arêtes cachées [DA], [DC] et [DH] sont en pointillés.

Attention

Sur le dessin, l'angle en $C$ (par exemple) ne mesure pas $90°$ sur la feuille, même si dans la réalité c'est un angle droit ! Seuls les angles de la face avant sont représentés en vraie grandeur. Ne mesure jamais un angle ou une longueur fuyante directement sur un dessin en perspective : utilise toujours les données de l'énoncé.

1.2 Les solides usuels : aires et volumes

Voici les formules à connaître par cœur. Dans toutes les formules, $B$ désigne l'aire d'une base, $h$ une hauteur, $r$ un rayon.

Solide	Volume	Aire latérale
Prisme droit	$V = B \times h$	périmètre de la base $\times\, h$
Pyramide	$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$	somme des aires des faces latérales
Cylindre de révolution	$V = \pi r^{2} h$	$2\pi r h$
Cône de révolution	$V = \dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$	$\pi r \ell$ ( $\ell$ : génératrice)
Sphère de rayon $r$	$V = \dfrac{4}{3} \pi r^{3}$	$4\pi r^{2}$ (aire totale)

Attention

Le facteur $\dfrac{1}{3}$ dans la pyramide et le cône est un piège classique : on l'oublie souvent. Retiens l'image : une pyramide et un prisme de même base et même hauteur — la pyramide « tient » exactement trois fois dans le prisme.

Figure 2 — prisme droit à base triangulaire ABC et pyramide à base carrée ABCD de sommet S : les faces avant gardent leurs vraies grandeurs, les arêtes cachées sont en pointillés.

Figure 3 — les trois autres solides usuels : cylindre et cône de rayon

r

tracés selon les mêmes règles (base en ellipse, arc arrière en pointillés), et représentation habituelle d'une sphère de rayon

r

Exemple — volume d'un prisme droit

Un prisme droit a une base triangulaire d'aire $B = 12\ \text{cm}^{2}$ et une hauteur $h = 7\ \text{cm}$ .

$V = B \times h$
$=$ $12 \times 7$
$=$ $84\ \text{cm}^{3}$

Exemple — volume d'un cône de révolution

Un cône a un rayon de base $r = 3\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 8\ \text{cm}$ .

$V = \dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^{2} \times 8$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 72$
$=$ $24\pi$
$\approx$ $75{,}4\ \text{cm}^{3}$

Math & Co — Archimède et la sphère

Archimède de Syracuse (vers $-287$ à $-212$ ) considérait comme sa plus belle découverte le lien entre le volume de la sphère et celui du cylindre qui la contient exactement (même rayon $r$ , hauteur $2r$ ) : le volume de la sphère vaut les deux tiers de celui du cylindre, et son aire vaut aussi les deux tiers de l'aire totale du cylindre.

Le calcul est facile à vérifier :

$V_{\text{cylindre}} = \pi r^{2} \times 2r = 2\pi r^{3}$
$V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{V_{\text{sphère}}}{V_{\text{cylindre}}} = \dfrac{4/3}{2} = \dfrac{2}{3}$

Selon la tradition rapportée par Cicéron, Archimède demanda qu'une sphère inscrite dans un cylindre soit gravée sur sa tombe, en souvenir de ce résultat. Deux mille ans plus tard, c'est toujours l'une des plus belles preuves que la géométrie révèle des vérités cachées derrière les formes les plus simples.

2Positions relatives de droites et de plans

Dans le plan, deux droites distinctes sont soit parallèles, soit sécantes : il n'y a pas d'autre possibilité. Dans l'espace, une troisième situation apparaît, et c'est elle qui change tout.

2.1 Deux droites de l'espace

Définition

Deux droites de l'espace sont :

parallèles si elles ont la même direction (confondues, ou sans aucun point commun) ;
sécantes si elles ont un unique point commun ; deux droites sécantes (ou parallèles) sont toujours coplanaires : il existe un plan qui les contient toutes les deux ;
non coplanaires (on dit aussi gauches) si aucun plan ne les contient toutes les deux. Elles n'ont alors aucun point commun, sans pour autant être parallèles.

C'est ce troisième cas qui n'existe pas dans le plan : deux droites de l'espace peuvent très bien ne jamais se croiser sans être parallèles. Pense aux arêtes d'un cube : certaines partent dans des directions qui ne se rencontreront jamais, mais qui ne sont pas non plus parallèles entre elles.

Figure 4 — positions relatives dans un cube. À gauche :

(AB)

(EF)

sont parallèles,

(AF)

(BE)

sont sécantes en un point. À droite :

(BC)

(AE)

ne sont pas coplanaires (aucun plan ne les contient toutes les deux) ; le plan

(ACG)

est représenté en teinte.

Attention

Pour affirmer que deux droites sont parallèles, il ne suffit pas qu'elles semblent ne pas se couper sur un dessin : dans l'espace, l'absence de point commun peut aussi signifier qu'elles sont non coplanaires. Une preuve de parallélisme doit toujours s'appuyer sur une propriété (voir section 3), jamais sur l'aspect du dessin.

2.2 Une droite et un plan, deux plans

Définition

Une droite $d$ et un plan $P$ peuvent être :

sécants : ils ont un unique point commun ;
parallèles : $d$ est incluse dans $P$ , ou bien $d$ et $P$ n'ont aucun point commun.

Deux plans $P$ et $Q$ peuvent être :

sécants : leur intersection est une droite (jamais un seul point) ;
parallèles : confondus, ou sans aucun point commun.

Exemple — lire un cube

Dans le cube $ABCDEFGH$ de la Figure 4, précise la position de la droite $(AE)$ et du plan $(EFG)$ (le plan qui contient la face du dessus).

Le point $A$ n'appartient pas au plan $(EFG)$ ; en revanche, $E$ appartient à la fois à la droite $(AE)$ et au plan $(EFG)$ . La droite $(AE)$ n'est donc pas parallèle au plan : elle est sécante en $E$ .

Exemple — deux plans sécants

Les plans $(ABC)$ (la face du dessous) et $(ABF)$ (la face avant) du cube ont-ils un point commun ?

Les deux plans contiennent tous les deux les points $A$ et $B$ : ils ne sont donc pas parallèles. Deux plans distincts sécants se coupent selon une droite : ici, c'est la droite $(AB)$ .

3Parallélisme dans l'espace

Comment prouver que deux droites, ou une droite et un plan, sont parallèles, sans pouvoir « mesurer » sur un dessin en perspective ? Il faut des propriétés solides. En voici les trois plus utiles en Seconde.

3.1 Propriétés de parallélisme

Propriété

Transitivité. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Droite et plan. Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$ contenue dans un plan $P$ , et si $d$ n'est pas contenue dans $P$ , alors $d$ est parallèle à $P$ .

Deux plans. Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan $Q$ , alors $P$ et $Q$ sont parallèles.

3.2 Le théorème du toit

Théorème (du toit)

Soit $d$ une droite d'un plan $P$ et $d'$ une droite d'un plan $Q$ , avec $d \parallel d'$ . Si les plans $P$ et $Q$ sont sécants selon une droite $\Delta$ , alors :

$\Delta \parallel d \quad \text{et} \quad \Delta \parallel d'$

Démonstration (idée de preuve)

Par l'absurde : supposons que $\Delta$ ne soit pas parallèle à $d$ . Comme $\Delta$ et $d$ sont toutes deux dans le plan $P$ , elles seraient alors sécantes en un point $I$ . Or $I \in \Delta \subset Q$ , donc $I \in Q$ ; et $I \in d$ , or $d \parallel d'$ avec $d' \subset Q$ . Une droite $d$ qui coupe le plan $Q$ en un point situé sur $d'$ , tout en étant parallèle à $d'$ , n'est possible que si $d$ est elle-même incluse dans $Q$ . Mais alors $P$ , qui contient $d$ , et $Q$ partageraient une droite entière : ils seraient confondus, ce qui contredit l'hypothèse que $P$ et $Q$ sont sécants selon la seule droite $\Delta$ . L'hypothèse de départ est donc fausse : $\Delta \parallel d$ . Le même raisonnement donne $\Delta \parallel d'$ . C.Q.F.D.

Le nom de ce théorème vient de son application la plus parlante : la charpente d'un toit à deux pans.

Figure 5 — théorème du toit : la droite

(AB)

est dans le plan violet, la droite

(DC)

— parallèle à

(AB)

— est dans le plan vert ; les deux plans se coupent selon la droite

(EF)

, qui est alors nécessairement parallèle à

(AB)

et à

(DC)

Exemple — retrouver la ligne de faîte

Un hangar a un toit à deux pans reposant sur un mur rectangulaire $ABCD$ , avec $(AB) \parallel (DC)$ . Les deux pans du toit se rejoignent le long d'une arête horizontale $(EF)$ , la ligne de faîte. Justifie que $(EF) \parallel (AB)$ .

Le plan du premier pan contient $(AB)$ , le plan du second pan contient $(DC)$ , et $(AB) \parallel (DC)$ . Les deux plans du toit sont sécants selon $(EF)$ . D'après le théorème du toit, $(EF) \parallel (AB)$ (et donc aussi $(EF) \parallel (DC)$ ).

Exemple — utiliser la transitivité

Dans un cube $ABCDEFGH$ , on sait que $(AB) \parallel (EF)$ et $(EF) \parallel (HG)$ . Que peux-tu dire de $(AB)$ et $(HG)$ ?

D'après la propriété de transitivité du parallélisme, deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles. Donc $(AB) \parallel (HG)$ .

4Sections planes

Couper un solide par un plan fait apparaître une figure plane : la section. Savoir la construire est essentiel — pour comprendre la structure d'un solide, mais aussi très concrètement, pour calculer le débit d'une canalisation ou la coupe d'une pièce mécanique.

4.1 Principe de construction d'une section

Méthode — construire la section d'un solide par un plan

Si deux points du plan sécant appartiennent à une même face du solide, on peut tracer directement le segment qui les joint : ce segment est un côté de la section.
Si deux faces sont parallèles, l'intersection du plan sécant avec chacune d'elles donne deux segments parallèles (c'est une conséquence directe du théorème du toit, appliqué à deux plans parallèles).
On recommence jusqu'à obtenir un polygone fermé : c'est la section cherchée.

Figure 6 — le plan

(IJK)

, où

I

J

K

sont les milieux de

[AB]

[BC]

[BF]

, coupe le cube selon le triangle

IJK

: chaque côté du triangle est tracé dans la face du cube qui contient les deux points.

Exemple — nature de la section IJK

Dans le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$ , $I$ , $J$ , $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ , $[BC]$ et $[BF]$ (Figure 6). Quelle est la nature du triangle $IJK$ ?

Dans le triangle rectangle $ABF$ (rectangle en $B$ ), $I$ et $K$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BF]$ : par le théorème des milieux, $IK = \dfrac{AF}{2}$ . Or $AF$ est la diagonale d'une face du cube, donc $AF = a\sqrt{2}$ , d'où $IK = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ . Le même raisonnement dans les triangles $ABC$ et $BCF$ donne $IJ = JK = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ : le triangle $IJK$ est équilatéral.

Exemple — section d'un pavé par un plan utilisant le parallélisme

Dans un pavé droit $ABCDEFGH$ , on coupe par un plan contenant l'arête $[AB]$ et le point $K$ , milieu de $[CG]$ . Construis la section.

$[AB]$ est déjà un côté (il est commun aux faces $ABCD$ et $ABFE$ ). La face $(BCGF)$ contient $B$ et $K$ : on trace $(BK)$ . La face $(ADHE)$ est parallèle à la face $(BCGF)$ : la section coupe donc $(ADHE)$ selon un segment parallèle à $(BK)$ , passant par $A$ — il coupe $[DH]$ en un point $L$ tel que $DL = CK$ . On ferme le polygone $A, B, K, L$ : c'est un parallélogramme (deux côtés opposés parallèles et de même longueur par construction).

5Aires et volumes

Un château d'eau, un silo, une case traditionnelle : la plupart des objets réels ne sont pas des solides usuels « purs », mais des assemblages de plusieurs solides usuels. Savoir calculer leur volume est une compétence directement utile.

5.1 Volumes composés

Méthode — calculer le volume d'un solide composé

On décompose le solide en solides usuels (prisme, pyramide, cylindre, cône, sphère, demi-sphère...) dont on connaît les formules.
Selon la situation, on additionne les volumes (solides accolés) ou on les soustrait (solide creux, partie retirée).
On vérifie que les grandeurs utilisées dans chaque formule sont cohérentes (un rayon commun aux deux parties, une hauteur qui n'est pas comptée deux fois).

Figure 8 — un château d'eau modélisé par un cylindre de rayon

r

, hauteur

h_1

, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur

h_2

: le volume total est la somme des deux volumes.

Exemple — volume d'un château d'eau

Le réservoir de la Figure 8 est formé d'un cylindre de rayon $r = 2{,}5\ \text{m}$ et de hauteur $h_1 = 4\ \text{m}$ , surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur $h_2 = 1{,}8\ \text{m}$ . Calcule le volume total, arrondi au m³.

$V_{\text{cylindre}} = \pi r^{2} h_1 = \pi \times 2{,}5^{2} \times 4$
$=$ $25\pi\ \text{m}^{3}$
$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi r^{2} h_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 2{,}5^{2} \times 1{,}8$
$=$ $3{,}75\pi\ \text{m}^{3}$
$V = V_{\text{cylindre}} + V_{\text{cône}} = 25\pi + 3{,}75\pi$
$=$ $28{,}75\pi$
$\approx$ $90\ \text{m}^{3}$

Le château d'eau peut stocker environ 90 m³, soit $90\,000$ litres.

Exemple — un volume par soustraction

Une pièce métallique cylindrique pleine (rayon $5\ \text{cm}$ , hauteur $12\ \text{cm}$ ) est percée en son centre par un trou cylindrique traversant de rayon $2\ \text{cm}$ . Calcule le volume de métal restant, arrondi au $\text{cm}^{3}$ .

$V_{\text{plein}} = \pi \times 5^{2} \times 12 = 300\pi\ \text{cm}^{3}$
$V_{\text{trou}} = \pi \times 2^{2} \times 12 = 48\pi\ \text{cm}^{3}$
$V = V_{\text{plein}} - V_{\text{trou}} = 300\pi - 48\pi$
$=$ $252\pi$
$\approx$ $791\ \text{cm}^{3}$

5.2 Patrons d'un solide

Définition

Un patron d'un solide est une figure plane qui, une fois découpée puis pliée le long de certains segments, permet de reconstituer exactement le solide, sans trou ni superposition.

Attention

Un solide peut avoir plusieurs patrons différents (un cube en a onze !). Dans tous les cas, l'aire totale du solide est égale à l'aire de son patron : c'est souvent le moyen le plus simple de calculer l'aire totale d'un solide composé de faces planes (prisme, pyramide).

6Repérage dans l'espace

Tu sais repérer un point du plan par un couple de coordonnées $(x\,;\,y)$ . Dans l'espace, il en faut une de plus.

6.1 Un repère de l'espace

Définition

Un repère de l'espace est la donnée d'un point $O$ , appelé origine, et de trois axes gradués, deux à deux non coplanaires, passant par $O$ : l'axe des abscisses $(x)$ , l'axe des ordonnées $(y)$ et l'axe des cotes $(z)$ .

Tout point $M$ de l'espace est alors repéré par un unique triplet de coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ , obtenu en menant par $M$ les plans parallèles aux plans du repère.

Figure 7 — dans le repère

(O ; x, y, z)

, le point

M

de coordonnées

(x\,;\,y\,;\,z)

se place comme le sommet d'un pavé droit construit sur les trois axes, en pointillés.

Exemple — placer et lire des coordonnées

Dans un repère $(O ; x, y, z)$ , place le point $M(4\,;\,2\,;\,3)$ .

On avance de $4$ sur l'axe $(x)$ , de $2$ sur l'axe $(y)$ , de $3$ sur l'axe $(z)$ , puis on construit le pavé droit correspondant (comme sur la Figure 7) : $M$ est le sommet opposé à $O$ .

6.2 Distance entre deux points

Propriété (admise)

Dans un repère orthonormé de l'espace, la distance entre l'origine $O$ et un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ est :

$OM = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Démonstration (idée de preuve)

Avec les notations de la Figure 7, le point $P_2$ , projeté de $M$ sur le plan $(x,y)$ , a pour coordonnées $(x\,;\,y\,;\,0)$ . Le triangle $OP_1P_2$ est rectangle en $P_1$ (les axes sont orthogonaux), donc $OP_2 = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ par Pythagore. Le triangle $OP_2M$ est rectangle en $P_2$ (l'arête verticale $[P_2M]$ , de longueur $z$ , est orthogonale au plan $(x,y)$ ), donc, par Pythagore une seconde fois : $OM = \sqrt{OP_2^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ . C.Q.F.D. — c'est exactement la même idée que pour la diagonale d'un pavé.

Exemple — calculer une distance dans l'espace

Dans un repère orthonormé, calcule $OM$ pour $M(6\,;\,2\,;\,3)$ .

$OM = \sqrt{6^{2} + 2^{2} + 3^{2}}$
$=$ $\sqrt{36 + 4 + 9}$
$=$ $\sqrt{49}$
$=$ $7$

Fiche mémo

Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur ; arêtes fuyantes parallèles, inclinées (souvent $45°$ ) et réduites (souvent $\times\,0{,}5$ ) ; arêtes cachées en pointillés.
Volumes : prisme $V=B\times h$ ; pyramide $V=\dfrac{1}{3}Bh$ ; cylindre $V=\pi r^{2}h$ ; cône $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$ ; sphère $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ .
Aire de la sphère : $4\pi r^{2}$ . Aire latérale du cylindre : $2\pi rh$ . Aire latérale du cône : $\pi r \ell$ .
Deux droites de l'espace : parallèles, sécantes, ou non coplanaires (ce dernier cas n'existe pas dans le plan).
Deux plans distincts sont parallèles, ou sécants selon une droite (jamais un point).
Théorème du toit : $d \subset P$ , $d' \subset Q$ , $d \parallel d'$ , $P \cap Q = \Delta$ $\Rightarrow$ $\Delta \parallel d \parallel d'$ .
Pour prouver un parallélisme dans l'espace : toujours une propriété, jamais l'aspect du dessin.
Section d'un solide : deux points d'une même face → on trace le segment ; deux faces parallèles → sections parallèles.
Un patron d'un solide a la même aire totale que le solide.
Solide composé : on décompose, puis on additionne ou on soustrait les volumes usuels.
Repère de l'espace $(O ; x, y, z)$ : tout point a un unique triplet de coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ .
Distance à l'origine (repère orthonormé) : $OM = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Un prisme droit a une base rectangulaire de dimensions $6\ \text{cm} \times 4\ \text{cm}$ et une hauteur de $9\ \text{cm}$ . Calcule son volume.

Voir le corrigé détaillé

$B = 6 \times 4 = 24\ \text{cm}^{2}$
$V = B \times h$
$=$ $24 \times 9$
$=$ $216\ \text{cm}^{3}$

Un cylindre de révolution a un rayon de base $r = 4\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 10\ \text{cm}$ . Calcule son volume et son aire latérale, arrondis au dixième.

Voir le corrigé détaillé

$V = \pi r^{2} h = \pi \times 4^{2} \times 10$
$=$ $160\pi$
$\approx$ $502{,}7\ \text{cm}^{3}$
$\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 10$
$=$ $80\pi$
$\approx$ $251{,}3\ \text{cm}^{2}$

Une pyramide a une base carrée de côté $5\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 12\ \text{cm}$ . Un cône a un rayon $r = 5\ \text{cm}$ et la même hauteur $h = 12\ \text{cm}$ . Calcule les deux volumes, arrondis au dixième, et compare-les.

Voir le corrigé détaillé

$V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times (5\times5) \times 12$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 25 \times 12$
$=$ $100\ \text{cm}^{3}$
$V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 5^{2} \times 12$
$=$ $100\pi$
$\approx$ $314{,}2\ \text{cm}^{3}$

Le cône a un volume environ trois fois plus grand que la pyramide, car sa base (un disque d'aire $25\pi \approx 78{,}5\ \text{cm}^2$ ) est plus grande que le carré de $25\ \text{cm}^2$ .

Une sphère a un rayon $r = 6\ \text{cm}$ . Calcule son aire et son volume, arrondis à l'unité.

Voir le corrigé détaillé

$\mathcal{A} = 4\pi r^{2} = 4\pi \times 6^{2}$
$=$ $144\pi$
$\approx$ $452\ \text{cm}^{2}$
$V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^{3}$
$=$ $288\pi$
$\approx$ $905\ \text{cm}^{3}$

Dans un cube $ABCDEFGH$ dessiné comme à la Figure 1 (arête $a = 4\ \text{cm}$ ) :

Quelle est la nature de la position des droites $(AB)$ et $(HG)$ ?
Quelle est la position des droites $(AE)$ et $(BC)$ ?
Sur le dessin, quelle est la longueur en centimètres de l'arête fuyante $[BC]$ , avec un coefficient $0{,}5$ ?

Voir le corrigé détaillé

1. $(AB)$ et $(HG)$ sont deux arêtes opposées de la face du dessus et de la face du dessous, de même direction : elles sont parallèles.

2. $(AE)$ est une arête verticale, $(BC)$ est une arête horizontale de la face du dessous ; elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles (l'une est verticale, l'autre non) : elles sont non coplanaires.

longueur dessinée $= 0{,}5 \times a$
$=$ $0{,}5 \times 4$
$=$ $2\ \text{cm}$

Niveau 2 — Approfondissement

Une tente à toit à deux pans repose sur un rectangle $ABCD$ avec $AB = 5\ \text{m}$ , $AD = 3\ \text{m}$ . La ligne de faîte $[EF]$ , de longueur $5\ \text{m}$ , est parallèle à $[AB]$ et $[DC]$ , à une hauteur de $2\ \text{m}$ , centrée au-dessus du rectangle. Chaque pan du toit est le trapèze $ABFE$ (ou $DCFE$ ), de hauteur (mesurée dans le plan du trapèze) $2{,}5\ \text{m}$ .

Justifie que $(EF) \parallel (AB)$ .
Calcule l'aire d'un seul pan du toit (trapèze de bases $AB = 5\ \text{m}$ et $EF = 5\ \text{m}$ ).

Voir le corrigé détaillé

1. $(AB)$ est une droite du plan du pan avant, $(DC)$ une droite du plan du pan arrière, avec $(AB) \parallel (DC)$ . Les deux plans des pans sont sécants selon $(EF)$ . D'après le théorème du toit, $(EF) \parallel (AB)$ .

2. $AB = EF = 5\ \text{m}$ : le trapèze est en réalité un rectangle ou un parallélogramme de côtés parallèles égaux.

aire du pan $= AB \times 2{,}5$
$=$ $5 \times 2{,}5$
$=$ $12{,}5\ \text{m}^{2}$

Dans un cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$ , on coupe par le plan passant par $I$ , milieu de $[AE]$ , $J$ , milieu de $[AB]$ , et $K$ , milieu de $[AD]$ (les trois arêtes issues de $A$ ). Construis la section et donne sa nature.

Voir le corrigé détaillé

$I$ et $J$ sont dans la face $(ABFE)$ : on trace $[IJ]$ . $J$ et $K$ sont dans la face $(ABCD)$ : on trace $[JK]$ . $K$ et $I$ sont dans la face $(ADHE)$ : on trace $[KI]$ . La section est le triangle $IJK$ .

Dans chacun des triangles rectangles $AIJ$ , $AJK$ , $AKI$ (rectangles en $A$ , avec deux côtés de longueur $\frac{a}{2}$ ), le théorème de Pythagore donne la même longueur d'hypoténuse :

$IJ^{2} = \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} + \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}$
$=$ $2 \times \dfrac{a^{2}}{4} = \dfrac{a^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ $IJ = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Par symétrie du problème (les trois arêtes issues de $A$ jouent le même rôle), $IJ = JK = KI$ : le triangle $IJK$ est équilatéral.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $M(3\,;\,-1\,;\,2)$ et $N(3\,;\,4\,;\,2)$ . Sachant que la distance entre deux points $M(x_M;y_M;z_M)$ et $N(x_N;y_N;z_N)$ se calcule par $MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2+(z_N-z_M)^2}$ (même principe que pour $OM$ ), calcule $MN$ .

Voir le corrigé détaillé

$MN = \sqrt{(3-3)^{2} + (4-(-1))^{2} + (2-2)^{2}}$
$=$ $\sqrt{0^{2} + 5^{2} + 0^{2}}$
$=$ $\sqrt{25}$
$=$ $5$

Un abri de jardin a la forme d'un pavé droit ( $4\ \text{m} \times 2{,}5\ \text{m} \times 2\ \text{m}$ ) surmonté d'un demi-cylindre couché de même longueur $4\ \text{m}$ et de rayon $1{,}25\ \text{m}$ (le rayon du demi-cylindre égale la demi-largeur du pavé). Calcule le volume total, arrondi au $\text{m}^{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

$V_{\text{pavé}} = 4 \times 2{,}5 \times 2 = 20\ \text{m}^{3}$
$V_{\text{demi-cylindre}} = \dfrac{1}{2} \times \pi r^{2} \times L$
$=$ $\dfrac{1}{2} \times \pi \times 1{,}25^{2} \times 4$
$=$ $3{,}125\pi$
$\approx$ $9{,}82\ \text{m}^{3}$
$V = 20 + 9{,}82$
$\approx$ $30\ \text{m}^{3}$

Dans un cube $ABCDEFGH$ , démontre par l'absurde que les droites $(AB)$ et $(CG)$ ne sont pas coplanaires (indication : si elles l'étaient, quel plan les contiendrait, et quelle contradiction obtiendrait-on avec $C$ ou $G$ ?).

Voir le corrigé détaillé

Supposons que $(AB)$ et $(CG)$ soient coplanaires : il existerait un plan $P$ contenant les quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $G$ . Or $A$ , $B$ , $C$ déterminent déjà un unique plan, qui est le plan de la face $(ABCD)$ (la face du dessous). $P$ serait donc ce plan. Mais $G$ est un sommet de la face du dessus, qui n'appartient pas au plan $(ABCD)$ (le cube a une hauteur non nulle) : $G \notin (ABCD)$ . Contradiction. Les droites $(AB)$ et $(CG)$ ne sont donc pas coplanaires.

Niveau 3 — Défi

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $a$ .

Exprime $AC$ en fonction de $a$ .
En déduire $AG$ en fonction de $a$ .
Application : pour $a = 6\ \text{cm}$ , calcule la valeur exacte puis arrondie au mm de $AG$ .

Voir le corrigé détaillé

Figure 9 — le triangle

ABC

rectangle en

B

donne

AC = a\sqrt{2}

; le triangle

ACG

rectangle en

C

donne alors la diagonale

AG = a\sqrt{3}

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ (deux arêtes du cube).

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = a^{2} + a^{2}$
$=$ $2a^{2}$
$\Rightarrow$ $AC = a\sqrt{2}$

2. Le triangle $ACG$ est rectangle en $C$ : $[CG]$ est une arête verticale, donc orthogonale au plan $(ABC)$ , donc à $(AC)$ .

$AG^{2} = AC^{2} + CG^{2} = 2a^{2} + a^{2}$
$=$ $3a^{2}$
$\Rightarrow$ $AG = a\sqrt{3}$

$AG = 6\sqrt{3}\ \text{cm}$ (valeur exacte)
$\sqrt{3} \approx 1{,}732$
$AG \approx 6 \times 1{,}732$
$\approx$ $103{,}9\ \text{mm}$

Soit $P$ et $Q$ deux plans sécants selon une droite $\Delta$ . Soit $d$ une droite de $P$ et $d'$ une droite de $Q$ , avec $d \parallel d'$ .

Explique pourquoi, si $\Delta$ et $d$ étaient sécantes en un point $I$ , on aurait $I \in Q$ .
Explique pourquoi cela entraînerait que $d$ , passant par $I \in Q$ et parallèle à $d' \subset Q$ , serait nécessairement incluse dans $Q$ .
Conclus, en utilisant l'hypothèse « $P$ et $Q$ sont sécants selon la seule droite $\Delta$ », que $\Delta \parallel d$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $\Delta \subset Q$ par définition de $\Delta = P \cap Q$ . Si $I \in \Delta$ , alors $I \in Q$ .

2. Une droite parallèle à une droite $d' \subset Q$ et passant par un point $I$ de $Q$ est entièrement contenue dans le plan $Q$ (deux droites parallèles distinctes déterminent un plan unique, et ce plan contient déjà $d'$ et $I$ , donc c'est $Q$ lui-même). Donc $d \subset Q$ .

3. Si $d \subset Q$ , alors $d \subset P$ (donnée) et $d \subset Q$ : $d$ serait une droite commune à $P$ et $Q$ , donc $d \subset P \cap Q$ . Or $P \cap Q = \Delta$ , qui est une unique droite : cela forcerait $d = \Delta$ , ce qui est absurde car on a supposé $\Delta$ et $d$ sécantes (donc distinctes). L'hypothèse de départ ( $\Delta$ et $d$ sécantes) est donc impossible : $\Delta \parallel d$ . C'est exactement la démonstration du théorème du toit.

$ABCDEFGH$ est un pavé droit avec $AB = 6\ \text{cm}$ , $AD = 4\ \text{cm}$ , $AE = 3\ \text{cm}$ . On coupe le pavé par le plan passant par $A$ , $B$ et $K$ , milieu de $[DH]$ .

Construis la section (indication : la face $(ADHE)$ contient $A$ et $K$ ; la face $(BCGF)$ lui est parallèle).
Le plan de coupe partage le pavé en deux solides. Celui qui contient l'arête $[AD]$ est un prisme dont la base est le trapèze $ADKA'$ ... plus simplement : calcule son volume sachant qu'il s'écrit $V = \left(\text{aire du trapèze } AEK'D \text{ dans la face avant}\right) \times AB$ , où le trapèze a pour bases $AE = 3$ et $DK = 1{,}5$ (la moitié de $DH = 3$ ) et pour hauteur $AD = 4\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $A$ et $B$ sont dans la face $(ABCD)$ et dans la face $(ABFE)$ : $[AB]$ est déjà un côté. $A$ et $K$ sont dans la face $(ADHE)$ : on trace $[AK]$ . La face $(BCGF)$ est parallèle à $(ADHE)$ : la section y coupe selon un segment parallèle à $(AK)$ , issu de $B$ ; il coupe $[CG]$ en un point $L$ tel que $CL = DK = 1{,}5\ \text{cm}$ . La section est le quadrilatère $A, B, L, K$ .

2. L'aire du trapèze de bases $3\ \text{cm}$ et $1{,}5\ \text{cm}$ et de hauteur $4\ \text{cm}$ :

$\mathcal{A} = \dfrac{(3 + 1{,}5) \times 4}{2}$
$=$ $\dfrac{4{,}5 \times 4}{2}$
$=$ $9\ \text{cm}^{2}$
$V = \mathcal{A} \times AB = 9 \times 6$
$=$ $54\ \text{cm}^{3}$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le château d'eau de Ndjamena. La commune fait construire un château d'eau modélisé comme à la Figure 8 : un cylindre de rayon $r = 3\ \text{m}$ et de hauteur $h_1 = 5\ \text{m}$ , surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur $h_2 = 2\ \text{m}$ (le cône sert de toit, il n'est pas rempli d'eau).

Calcule le volume d'eau que peut contenir le cylindre, en m³ puis en litres (arrondis à l'unité).
La commune peint la surface latérale du cylindre (pas le toit, pas le fond). La peinture coûte $2\,800$ F CFA le m². Calcule le coût, arrondi au millier de francs.

Voir le corrigé détaillé

$V = \pi r^{2} h_1 = \pi \times 3^{2} \times 5$
$=$ $45\pi$
$\approx$ $141\ \text{m}^{3}$
$=$ $141\,000$ litres

$\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r h_1 = 2\pi \times 3 \times 5$
$=$ $30\pi$
$\approx$ $94{,}2\ \text{m}^{2}$
coût $\approx 94{,}2 \times 2\,800$
$\approx$ $264\,000$ F CFA

Le château d'eau peut contenir environ 141 000 litres, et peindre sa paroi coûte environ 264 000 F CFA.

Le grenier à mil de Bamako. Fatoumata construit un grenier traditionnel modélisé comme à la Figure 10 : un mur cylindrique de rayon $r = 1{,}2\ \text{m}$ et de hauteur $h_1 = 1{,}8\ \text{m}$ , coiffé d'un toit conique de hauteur $h_2 = 1{,}1\ \text{m}$ , fait de paille.

Calcule le volume de grain que peut contenir la partie cylindrique, arrondi au $\text{m}^{3}$ .
Le toit de paille a besoin d'une génératrice $\ell = \sqrt{r^{2}+h_2^{2}}$ . Calcule $\ell$ arrondie au cm, puis l'aire de paille nécessaire (aire latérale du cône), arrondie au $\text{m}^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

Figure 10 — un grenier traditionnel modélisé par un cylindre de rayon

r

et de hauteur

h_1

, coiffé d'un toit conique de hauteur

h_2

$V = \pi r^{2} h_1 = \pi \times 1{,}2^{2} \times 1{,}8$
$=$ $2{,}592\pi$
$\approx$ $8\ \text{m}^{3}$

$\ell = \sqrt{1{,}2^{2} + 1{,}1^{2}} = \sqrt{1{,}44 + 1{,}21}$
$=$ $\sqrt{2{,}65}$
$\approx$ $1{,}63\ \text{m}$ (soit environ 163 cm)
$\mathcal{A}_{\text{lat}} = \pi r \ell \approx \pi \times 1{,}2 \times 1{,}63$
$\approx$ $6{,}1\ \text{m}^{2}$

Le grenier peut stocker environ 8 m³ de mil, et il faut environ 6 m² de paille pour couvrir le toit.

Le hangar d'Abidjan. Un hangar de stockage a un toit à deux pans reposant sur un mur rectangulaire de longueur $AB = 12\ \text{m}$ et de largeur $AD = 8\ \text{m}$ . La ligne de faîte, parallèle à $(AB)$ et $(DC)$ , est centrée à $4\ \text{m}$ de hauteur au-dessus du niveau des murs (les murs ont tous la même hauteur). On veut couvrir chaque pan (rectangle) d'une bâche.

Justifie que la ligne de faîte est parallèle à $(AB)$ .
La largeur d'un pan, mesurée en suivant la pente du toit, vaut $\sqrt{4^{2}+4^{2}}\ \text{m}$ (demi-largeur du hangar $4\ \text{m}$ , montée $4\ \text{m}$ ). Calcule cette largeur, valeur exacte puis arrondie au cm.
Sachant que la ligne de faîte a la même longueur que $\left[AB\right]$ , calcule l'aire d'un pan, puis l'aire totale de bâche nécessaire pour les deux pans, arrondie au $\text{m}^{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $(AB)$ est une droite du plan du premier pan, $(DC)$ une droite du plan du second pan, avec $(AB)\parallel(DC)$ . Les deux plans sont sécants selon la ligne de faîte : d'après le théorème du toit, elle est parallèle à $(AB)$ (et à $(DC)$ ).

largeur $= \sqrt{4^{2}+4^{2}} = \sqrt{32}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16\times2} = 4\sqrt{2}\ \text{m}$ (valeur exacte)
$4\sqrt{2} \approx 4 \times 1{,}414$
$\approx$ $5{,}66\ \text{m}$ (soit environ 566 cm)

aire d'un pan $= 12 \times 4\sqrt{2}$
$=$ $48\sqrt{2}$
$\approx$ $67{,}9\ \text{m}^{2}$
aire totale $\approx 2 \times 67{,}9$
$\approx$ $135{,}8\ \text{m}^{2}$

Il faut environ 136 m² de bâche pour couvrir les deux pans du toit.

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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En perspective cavalière, la face avant d'un solide est dessinée :

réduite d'un coefficient

0{,}5

en vraie grandeur (mêmes longueurs, mêmes angles) toujours en pointillés inclinée à

45°

Explication : La face avant est dessinée en vraie grandeur ; ce sont les arêtes fuyantes qui sont inclinées (souvent

45°

) et réduites (souvent par

0{,}5

Sur un dessin en perspective cavalière, un angle droit de la réalité qui n'appartient pas à la face avant :

est toujours dessiné à

90°

sur la feuille est dessiné à

45°

systématiquement disparaît du dessin peut ne pas mesurer

90°

sur le dessin

Explication : Seuls les angles de la face avant sont représentés en vraie grandeur. Un angle droit fuyant peut ne pas mesurer

90°

sur la feuille : il ne faut jamais mesurer un angle fuyant directement sur le dessin.

Le volume d'une pyramide de base d'aire $B$ et de hauteur $h$ est :

V = B \times h

V = 2 \times B \times h

V = \dfrac{1}{3} \times B \times h

V = \dfrac{1}{2} \times B \times h

Explication :

V = \dfrac{1}{3}Bh

: c'est un piège classique d'oublier ce facteur

\dfrac{1}{3}

. Une pyramide « tient » exactement trois fois dans un prisme de même base et même hauteur.

Un cône a un rayon de base $r=3$ cm et une hauteur $h=8$ cm. Son volume exact vaut :

24\pi

cm³

72\pi

cm³

8\pi

cm³

75\pi

cm³

Explication :

V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\times \pi \times 3^2 \times 8 = \dfrac{1}{3}\times \pi \times 72 = 24\pi

cm³.

Dans l'espace, deux droites qui n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles sont dites :

confondues sécantes non coplanaires (ou gauches) orthogonales

Explication : C'est le troisième cas, propre à l'espace : deux droites non coplanaires n'ont aucun point commun sans pour autant être parallèles. Aucun plan ne les contient toutes les deux.

Pour affirmer que deux droites de l'espace sont parallèles :

il suffit qu'elles semblent ne pas se couper sur le dessin il suffit qu'elles soient dans des faces différentes du solide il suffit qu'elles n'aient aucun point commun il faut s'appuyer sur une propriété, jamais sur l'aspect du dessin

Explication : Dans l'espace, l'absence de point commun peut aussi signifier que les droites sont non coplanaires. Une preuve de parallélisme s'appuie toujours sur une propriété (transitivité, théorème du toit, etc.), jamais sur l'aspect du dessin.

Deux plans distincts et sécants de l'espace ont pour intersection :

un unique point une droite un plan tout entier l'ensemble vide

Explication : Deux plans distincts sécants se coupent toujours selon une droite entière, jamais selon un seul point.

Théorème du toit : $d \subset P$ , $d' \subset Q$ , $d \parallel d'$ , et $P \cap Q = \Delta$ . Que peut-on en conclure ?

\Delta

est perpendiculaire à

d

d'

P

Q

sont parallèles

\Delta \parallel d

\Delta \parallel d'

d

d'

sont sécantes

Explication : C'est l'énoncé même du théorème du toit : la droite d'intersection

\Delta

des deux plans est nécessairement parallèle à

d

et à

d'

Dans un cube $ABCDEFGH$ , on sait que $(AB) \parallel (EF)$ et $(EF) \parallel (HG)$ . Que peut-on dire de $(AB)$ et $(HG)$ ?

(AB) \parallel (HG)

, par transitivité du parallélisme elles sont non coplanaires elles sont sécantes on ne peut rien affirmer sans mesurer

Explication : Par la propriété de transitivité, deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles : donc

(AB) \parallel (HG)

Pour construire la section d'un solide par un plan, lorsque deux faces du solide sont parallèles :

le plan ne peut pas les couper toutes les deux les deux segments de section obtenus sont toujours perpendiculaires on ne peut rien dire sans mesurer le plan les coupe selon deux segments parallèles

Explication : C'est une conséquence directe du théorème du toit appliqué à deux plans parallèles : la section d'un plan sécant avec deux faces parallèles donne deux segments parallèles.

Dans un cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$ , $I$ , $J$ , $K$ sont les milieux de $[AB]$ , $[BC]$ et $[BF]$ . La section $IJK$ du cube par ce plan est un triangle :

rectangle isocèle non équilatéral équilatéral, de côté

\dfrac{a\sqrt{2}}{2}

quelconque

Explication : Par le théorème des milieux dans chacun des trois triangles rectangles issus de

B

, on obtient

IJ=JK=KI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}

: le triangle

IJK

est équilatéral.

Un patron d'un solide (comme le cube, qui en a onze différents) a toujours :

le même volume que le solide la même aire totale que le solide moins de faces que le solide une seule forme possible

Explication : Un solide peut avoir plusieurs patrons différents, mais l'aire totale du patron est toujours égale à l'aire totale du solide : c'est souvent le moyen le plus simple de calculer une aire totale.

Un château d'eau est formé d'un cylindre de rayon $2{,}5$ m et de hauteur $4$ m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur $1{,}8$ m. Le volume total, arrondi au m³, est environ :

25

m³

4

m³

79

m³

90

m³

Explication :

V_{\text{cyl}} = \pi \times 2{,}5^2 \times 4 = 25\pi

;

V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 2{,}5^2 \times 1{,}8 = 3{,}75\pi

. Total

= 28{,}75\pi \approx 90

m³.

Une pièce cylindrique pleine (rayon $5$ cm, hauteur $12$ cm) est percée d'un trou cylindrique traversant de rayon $2$ cm. Le volume de métal restant se calcule par :

V_{\text{plein}} - V_{\text{trou}}

, en soustrayant les deux volumes

V_{\text{plein}} + V_{\text{trou}}

, en additionnant les deux volumes

V_{\text{plein}} \times V_{\text{trou}}

uniquement

V_{\text{trou}}

Explication : Le trou est une partie retirée de la pièce pleine : on soustrait les volumes.

V = \pi\times 5^2\times 12 - \pi\times 2^2\times 12 = 300\pi - 48\pi = 252\pi \approx 791

cm³.

Dans un repère de l'espace $(O~;~x,y,z)$ , un point $M$ est repéré par :

un couple

(x\,;\,y)

une seule coordonnée un unique triplet

(x\,;\,y\,;\,z)

quatre coordonnées

Explication : Dans l'espace, un repère a trois axes (abscisses, ordonnées, cotes) : tout point

M

est repéré par un unique triplet

(x\,;\,y\,;\,z)

Dans un repère orthonormé de l'espace, la distance entre l'origine $O$ et un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ est donnée par :

OM = x+y+z

OM = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

OM = x^2+y^2+z^2

OM = \sqrt{x^2+y^2}

Explication : C'est le prolongement à trois dimensions du théorème de Pythagore, appliqué deux fois successivement :

OM = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Dans un repère orthonormé de l'espace, calcule $OM$ pour $M(6\,;\,2\,;\,3)$ :

11

\sqrt{11}

49

7

Explication :

OM = \sqrt{6^2+2^2+3^2} = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7

Une pyramide a une base carrée de côté $5$ cm et une hauteur $12$ cm ; un cône a un rayon $5$ cm et la même hauteur $12$ cm. Pourquoi le cône a-t-il un volume plus grand que la pyramide ?

le facteur

\dfrac{1}{3}

n'est pas le même pour les deux solides le cône a une hauteur plus grande le disque de base (aire

25\pi

) est plus grand que le carré de base (aire

25

) ce n'est pas vrai, les deux volumes sont égaux

Explication : Les deux formules utilisent le même facteur

\dfrac{1}{3}

et la même hauteur : seule l'aire de la base diffère. Le disque de rayon

5

(aire

25\pi \approx 78{,}5

cm²) est plus grand que le carré de côté

5

(aire

25

cm²), donc

V_{\text{cône}} > V_{\text{pyramide}}

Un abri de jardin (pavé droit $4\,\text{m}\times 2{,}5\,\text{m}\times 2\,\text{m}$ ) est surmonté d'un demi-cylindre couché de longueur $4$ m et de rayon $1{,}25$ m. Le volume total, arrondi au m³, est d'environ :

20

m³

30

m³

10

m³

50

m³

Explication :

V_{\text{pavé}} = 4\times 2{,}5\times 2 = 20

m³.

V_{\text{demi-cyl}} = \dfrac{1}{2}\pi \times 1{,}25^2\times 4 = 3{,}125\pi \approx 9{,}82

m³. Total

\approx 30

m³.

Dans un cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$ , la diagonale $AC$ d'une face vaut $a\sqrt{2}$ . La grande diagonale $AG$ du cube (par Pythagore dans le triangle rectangle $ACG$ ) vaut alors :

a\sqrt{3}

a\sqrt{2}

2a\sqrt{2}

3a

Explication :

AG^2 = AC^2 + CG^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2+a^2 = 3a^2

, donc

AG = a\sqrt{3}

: c'est bien cohérent avec la formule

OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

appliquée à un pavé de côtés

a

a

a

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Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 7 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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