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Probabilités et dénombrement

Modéliser une expérience aléatoire et compter les issues.

Mathématiques Seconde Chapitre 10 / 15 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Modéliser une expérience par un univers et une loi
  • Calculer P(A ∪ B)
  • Dénombrer les issues d'une expérience à deux épreuves

Un dé qui roule, un jeu de cartes qu'on bat, une roue de loterie qui tourne, deux joueurs d'awalé qui répartissent leurs graines au hasard des coups : partout autour de toi, des situations dont le résultat n'est pas connu à l'avance. Pendant longtemps, le hasard a semblé échapper à toute logique. Et pourtant, depuis le XVIIᵉ siècle, les mathématiciens ont appris à le mesurer avec une précision redoutable.

Ce chapitre pose les fondations de la théorie des probabilités : modéliser une expérience aléatoire par un univers et une loi de probabilité, calculer la probabilité d'un événement, combiner plusieurs événements avec la réunion, l'intersection et le complémentaire. Tu vas aussi apprendre à compter — combien de menus possibles au restaurant, combien de codes pour un cadenas, combien de mains possibles à un jeu de cartes — car le dénombrement est, neuf fois sur dix, la clé du calcul d'une probabilité.

Ces notions se rencontrent partout : dans les jeux (dés, cartes, awalé, loterie), en sciences (génétique, sondages, contrôle qualité), en économie (assurances) et, plus tard, si tu poursuis des études scientifiques, en statistique et en intelligence artificielle. Dénombrer les issues favorables et l'ensemble des issues possibles, c'est souvent tout ce qu'il faut pour calculer une probabilité.

Au collège, tu as déjà croisé la probabilité de façon intuitive, avec des phrases comme « une chance sur deux ». En Seconde, on structure ces idées avec un vocabulaire précis — univers, événement, loi de probabilité — et des outils nouveaux : arbres pondérés, tableaux à double entrée, diagrammes de Venn. Cette rigueur nouvelle te servira jusqu'au baccalauréat.

1Univers, événements, opérations sur les événements

Avant de calculer la moindre probabilité, il faut décrire précisément l'expérience étudiée : quelles sont toutes les issues possibles ? C'est l'objet de cette première section.

Définition — Expérience aléatoire, univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, appelés issues, mais dont on ne peut pas prédire avec certitude lequel se produira. L'ensemble de toutes les issues possibles s'appelle l'univers de l'expérience, noté Ω\Omega (« oméga »).

Lancer un dé cubique, tirer une carte, faire tourner une roue de loterie, choisir au hasard un trou non vide sur son camp d'awalé : dans chaque cas, on peut lister à l'avance toutes les issues, même si l'on ignore laquelle sortira.

Exemple — trois univers
  • Lancer d'un dé cubique équilibré : Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}, 66 issues.
  • Tirage d'une carte dans un jeu de 3232 cartes : Ω\Omega contient 3232 issues (une par carte).
  • Lancer d'une pièce : Ω={Pile;Face}\Omega = \{\text{Pile};\text{Face}\}, 22 issues.
Attention

Ne confonds pas une issue (un résultat unique, un élément de Ω\Omega, comme « obtenir 3 ») et un événement (une famille de résultats, comme « obtenir un multiple de 3 »). C'est l'objet du paragraphe suivant.

1.1  Événements

Définition — Événement

Un événement est une partie (un sous-ensemble) de l'univers Ω\Omega. On dit qu'un événement est réalisé quand l'issue obtenue lui appartient.

  • Un événement élémentaire ne contient qu'une seule issue, comme {3}\{3\}.
  • L'événement certain est Ω\Omega lui-même : il se réalise à chaque fois.
  • L'événement impossible, noté ∅\varnothing, ne se réalise jamais.
Exemple — un dé et deux événements

On lance un dé équilibré, Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}. On considère les événements AA : « obtenir un nombre pair » et BB : « obtenir un multiple de 3 ».

  1. A={2;4;6}A = \{2;4;6\}les issues paires de Ω\Omega
  2. B={3;6}B = \{3;6\}les multiples de 3 compris dans Ω\Omega

1.2  Opérations sur les événements

Définition — Événement contraire

L'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement AA, noté A‾\overline{A}, est constitué des issues de Ω\Omega qui n'appartiennent pas à AA. L'événement A‾\overline{A} se réalise exactement quand AA ne se réalise pas.

Définition — Réunion et intersection

Soit AA et BB deux événements d'un même univers Ω\Omega.

  • La réunion A∪BA \cup B (« AA union BB ») est l'événement « AA se réalise ou BB se réalise (éventuellement les deux) » : c'est l'ensemble des issues appartenant à AA ou à BB.
  • L'intersection A∩BA \cap B (« AA inter BB ») est l'événement « AA et BB se réalisent simultanément » : c'est l'ensemble des issues communes à AA et à BB.
Définition — Événements incompatibles

Deux événements AA et BB sont incompatibles (ou disjoints) si A∩B=∅A \cap B = \varnothing : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Exemple — réunion, intersection, contraire (dé)

On reprend Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}, A={2;4;6}A = \{2;4;6\} (pair), B={3;6}B = \{3;6\} (multiple de 3), et C={1}C = \{1\} (« obtenir 1 »).

  1. A∩B={6}A \cap B = \{6\}seul 66 est à la fois pair et multiple de 3
  2. A∪B={2;3;4;6}A \cup B = \{2;3;4;6\}issues qui sont dans AA ou dans BB
  3. A‾={1;3;5}\overline{A} = \{1;3;5\}les issues non paires
  4. A∩C=∅A \cap C = \varnothingAA et CC sont incompatibles : 11 n'est pas pair
Univers Ω = {1;2;3;4;5;6} et événement A : « obtenir un nombre pair » Ω A 2 4 6 1 3 5 Ā A = {2 ; 4 ; 6} Ā = {1 ; 3 ; 5}
Figure 1 — Diagramme de Venn de l'univers Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega=\{1;2;3;4;5;6\} (lancer d'un dé) et de l'événement AA : « obtenir un nombre pair ». Le complémentaire A‾\overline{A} regroupe exactement les issues qui n'appartiennent pas à AA.
Exemple — un jeu de 32 cartes

On tire une carte dans un jeu de 3232 cartes (Ω\Omega compte 3232 issues). Soit AA : « tirer un roi » et BB : « tirer un cœur ». AA contient les 44 rois, BB contient les 1313 cœurs, et A∩BA \cap B contient une seule carte : le roi de cœur. Nous reviendrons sur cet exemple pour calculer P(A∪B)P(A \cup B) dans la section 4.

2Loi de probabilité

L'univers décrit ce qui peut arriver. Il reste à préciser avec quelle chance chaque issue se produit : c'est le rôle de la loi de probabilité.

Définition — Loi de probabilité

Soit Ω={e1;e2;…;en}\Omega = \{e_{1};e_{2};\ldots;e_{n}\} un univers. Définir une loi de probabilité sur Ω\Omega, c'est associer à chaque issue eie_{i} un nombre pip_{i}, appelé probabilité de eie_{i}, tel que :

  • chaque pip_{i} est compris entre 00 et 11 : 0⩽pi⩽10 \leqslant p_{i} \leqslant 1 ;
  • la somme de toutes les probabilités vaut 11 : p1+p2+⋯+pn=1p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1.
Définition — Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement AA, notée P(A)P(A), est la somme des probabilités des issues qui le composent :

P(A)=∑ei∈ApiP(A) = \sum_{e_{i} \in A} p_{i}

Si A=∅A = \varnothing, aucune issue ne le compose et l'on convient que P(∅)=0P(\varnothing) = 0.

Propriété — conséquences immédiates

Pour tout événement AA d'un univers Ω\Omega muni d'une loi de probabilité :

  • P(Ω)=1P(\Omega) = 1 (l'événement certain regroupe toutes les issues)
  • P(∅)=0P(\varnothing) = 0 (l'événement impossible)
  • 0⩽P(A)⩽10 \leqslant P(A) \leqslant 1
Méthode — vérifier qu'une loi de probabilité est valide

On contrôle deux points : chaque probabilité annoncée est bien comprise entre 00 et 11, et la somme de toutes les probabilités vaut exactement 11. Si l'une de ces conditions manque, ce n'est pas une loi de probabilité.

Exemple — une roue de loterie à quatre secteurs

Une roue de loterie comporte quatre secteurs colorés, de probabilités P(rouge)=0,4P(\text{rouge}) = 0{,}4, P(bleu)=0,3P(\text{bleu}) = 0{,}3, P(vert)=0,2P(\text{vert}) = 0{,}2 et P(jaune)=0,1P(\text{jaune}) = 0{,}1. On vérifie qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis on calcule la probabilité de l'événement AA : « obtenir rouge ou bleu ».

  1. 0,4+0,3+0,2+0,10{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1somme des quatre probabilités
  2. ==11et chaque probabilité est bien comprise entre 0 et 1 : c'est une loi valide
  3. P(A)=P(rouge)+P(bleu)P(A) = P(\text{rouge}) + P(\text{bleu})rouge et bleu sont deux issues distinctes, donc incompatibles
  4. ==0,4+0,30{,}4 + 0{,}3
  5. ==0,70{,}7
Propriété — probabilité du contraire

Pour tout événement AA :

P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)

Démonstration

Les événements AA et A‾\overline{A} sont incompatibles (A∩A‾=∅A \cap \overline{A} = \varnothing) et leur réunion reconstitue l'univers tout entier : A∪A‾=ΩA \cup \overline{A} = \Omega. Autrement dit, chaque issue de Ω\Omega appartient à AA ou à A‾\overline{A}, jamais aux deux.

  1. P(A)+P(A‾)=∑ei∈Api+∑ei∈A‾piP(A) + P(\overline{A}) = \displaystyle\sum_{e_i \in A} p_i + \sum_{e_i \in \overline{A}} p_i
  2. ==∑ei∈Ωpi\displaystyle\sum_{e_i \in \Omega} p_ichaque issue de Ω\Omega est comptée une seule fois, dans AA ou dans A‾\overline{A}
  3. ==P(Ω)P(\Omega)
  4. ==11
  5. ⇒\RightarrowP(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)
Exemple — utiliser le contraire

Sur la roue précédente, calculons P(rouge‾)P(\overline{\text{rouge}}), la probabilité de ne pas obtenir rouge.

  1. P(rouge‾)=1−P(rouge)P(\overline{\text{rouge}}) = 1 - P(\text{rouge})
  2. ==1−0,41 - 0{,}4
  3. ==0,60{,}6

2.1  Simulation et fréquences

Quand on ne connaît pas à l'avance les probabilités d'une expérience (une pièce est-elle vraiment équilibrée ? un dé est-il pipé ?), on peut les estimer en répétant l'expérience un grand nombre de fois. Pour une issue donnée, on appelle fréquence le quotient :

f=nombre de fois ouˋ l’issue est sortienombre total d’essaisf = \dfrac{\text{nombre de fois où l'issue est sortie}}{\text{nombre total d'essais}}

Propriété admise — loi des grands nombres

Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'une issue se rapproche de plus en plus de sa probabilité.

On simule ainsi 1010, puis 100100, puis 1 0001\,000, puis 10 00010\,000 lancers d'une pièce équilibrée et l'on relève la fréquence de « Pile » :

Nombre de lancers nn10101001001 0001\,00010 00010\,000
Fréquence de « Pile »0,700{,}700,540{,}540,5120{,}5120,5010{,}501

La fréquence s'écarte beaucoup de 0,50{,}5 sur peu d'essais, puis s'en rapproche à mesure que nn augmente : c'est exactement ce qu'annonce la loi des grands nombres. En pratique, un casino ou une compagnie d'assurance s'appuie sur ce principe pour fixer ses probabilités à partir de statistiques observées sur des millions d'essais.

Math & Co — La naissance des probabilités, un problème de dés

En 1654, le chevalier de Méré, joueur invétéré, soumet à Blaise Pascal un problème embarrassant sur le partage des mises dans une partie de dés interrompue avant son terme. Pascal en discute par lettres, entre juillet et octobre 1654, avec Pierre de Fermat, magistrat toulousain féru de mathématiques.

De cette correspondance naît la première théorie rigoureuse du hasard : Pascal et Fermat comprennent qu'on peut dénombrer les issues favorables et les issues possibles pour en tirer une probabilité exacte, plutôt que de se fier à l'intuition. Le mathématicien néerlandais Christian Huygens, informé de leurs travaux, publie en 1657 le premier traité imprimé sur le sujet, De Ratiociniis in Ludo Aleae (« Du calcul dans les jeux de hasard »). La théorie des probabilités était née — d'une question de casino.

3Équiprobabilité

Dans beaucoup de situations concrètes — un dé non pipé, une carte tirée au hasard dans un jeu bien battu, une boule tirée d'une urne sans pouvoir la distinguer au toucher — rien ne favorise une issue plutôt qu'une autre. On dit alors que l'expérience est équiprobable, et cela simplifie énormément les calculs.

Définition — Équiprobabilité

Une expérience aléatoire d'univers fini Ω\Omega est dite équiprobable si toutes ses issues ont la même probabilité. Si Ω\Omega comporte nn issues, chacune a alors pour probabilité 1n\dfrac{1}{n}.

Propriété — probabilité par dénombrement

En situation d'équiprobabilité, pour tout événement AA :

P(A)=card(A)card(Ω)=nombre d’issues favorables aˋ Anombre d’issues possiblesP(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues possibles}}

où card(A)\text{card}(A) désigne le cardinal de AA, c'est-à-dire son nombre d'éléments.

Démonstration

Notons n=card(Ω)n = \text{card}(\Omega). Par équiprobabilité, chaque issue a pour probabilité 1n\dfrac{1}{n}.

  1. P(A)=∑ei∈A1nP(A) = \displaystyle\sum_{e_i \in A} \dfrac{1}{n}somme des probabilités des issues de AA
  2. ==card(A)×1n\text{card}(A) \times \dfrac{1}{n}il y a card(A)\text{card}(A) termes, tous égaux à 1n\dfrac{1}{n}
  3. ==card(A)card(Ω)\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}
Méthode — calculer une probabilité par équiprobabilité

1. Vérifier (et justifier !) que l'on est bien en situation d'équiprobabilité.
2. Dénombrer card(Ω)\text{card}(\Omega), le nombre total d'issues.
3. Dénombrer card(A)\text{card}(A), le nombre d'issues favorables à l'événement AA.
4. Calculer le quotient card(A)card(Ω)\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}.

Exemple — un dé équilibré

On lance un dé équilibré et l'on considère AA : « obtenir un diviseur de 6 ».

  1. Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}dé équilibré : situation équiprobable
  2. A={1;2;3;6}A = \{1;2;3;6\}les diviseurs de 6 compris entre 1 et 6
  3. P(A)=card(A)card(Ω)=46P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \dfrac{4}{6}
  4. ==23\dfrac{2}{3}
Exemple — un jeu de 32 cartes

On tire au hasard une carte dans un jeu de 3232 cartes bien battu. Quelle est la probabilité de tirer une figure (valet, dame ou roi) ?

  1. card(Ω)=32\text{card}(\Omega) = 32tirage au hasard : situation équiprobable
  2. il y a 33 figures (valet, dame, roi) dans chacune des 44 couleurs
  3. card(A)=3×4=12\text{card}(A) = 3 \times 4 = 12
  4. P(A)=1232P(A) = \dfrac{12}{32}
  5. ==38\dfrac{3}{8}
Exemple — un trou d'awalé

Au début d'une partie d'awalé, un joueur dispose de 66 trous sur son camp, chacun garni de 44 graines. Un logiciel de simulation choisit un trou au hasard, de façon équiprobable, parmi les 66. Quelle est la probabilité qu'il choisisse le premier trou (le plus à gauche) ?

  1. card(Ω)=6\text{card}(\Omega) = 66 trous, choix équiprobable
  2. card(A)=1\text{card}(A) = 1un seul trou convient
  3. P(A)=16P(A) = \dfrac{1}{6}
Attention

L'équiprobabilité n'est jamais automatique : il faut toujours la justifier (dé non pipé, tirage au hasard, boules indiscernables au toucher…). Piège classique : si l'on lance deux dés et que l'on s'intéresse à leur somme, les valeurs 2,3,…,122, 3, \ldots, 12 ne sont pas équiprobables — il n'y a qu'une façon d'obtenir 22 (« 1 et 1 ») mais six façons d'obtenir 77. Nous le vérifierons avec un tableau à double entrée en section 5.

4Réunion, intersection, complémentaire

Nous avons défini en section 1 la réunion, l'intersection et le complémentaire de deux événements. Munissons maintenant ces opérations d'une formule qui relie leurs probabilités.

Propriété — probabilité d'une réunion

Pour tous événements AA et BB d'un même univers :

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Démonstration — sur un diagramme

Sur un diagramme de Venn (Figure 2), l'ensemble A∪BA \cup B se partage en trois zones disjointes : la partie de AA qui n'est pas dans BB (notée A\BA \backslash B), la partie de BB qui n'est pas dans AA (notée B\AB \backslash A), et l'intersection A∩BA \cap B.

  1. card(A)=card(A\B)+card(A∩B)\text{card}(A) = \text{card}(A \backslash B) + \text{card}(A \cap B)AA se partage en « A seul » et « A et B »
  2. card(B)=card(B\A)+card(A∩B)\text{card}(B) = \text{card}(B \backslash A) + \text{card}(A \cap B)de même pour BB
  3. card(A)+card(B)=card(A\B)+card(B\A)+2 card(A∩B)\text{card}(A) + \text{card}(B) = \text{card}(A \backslash B) + \text{card}(B \backslash A) + 2\,\text{card}(A \cap B)en additionnant les deux lignes précédentes
  4. ==card(A∪B)+card(A∩B)\text{card}(A \cup B) + \text{card}(A \cap B)car card(A∪B)=card(A\B)+card(B\A)+card(A∩B)\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A \backslash B)+\text{card}(B \backslash A)+\text{card}(A \cap B) : l'intersection, comptée deux fois à la ligne précédente, ne doit l'être qu'une fois dans A∪BA \cup B
  5. ⇒\Rightarrowcard(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)

En situation d'équiprobabilité, il suffit de diviser chaque terme par card(Ω)\text{card}(\Omega) pour obtenir P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Le même raisonnement, mené avec les probabilités pip_i à la place des cardinaux, montre que la formule reste vraie même sans équiprobabilité. C.Q.F.D.

Jeu de 32 cartes : A « tirer un roi », B « tirer un cœur » Ω A B A∩B roi de cœur card(A) = 4 card(B) = 13 card(A∩B) = 1 card(A∪B) = 4 + 13 − 1 = 16 ⇒ P(A∪B) = 16/32 = 1/2
Figure 2 — Diagramme de Venn illustrant P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B) : le roi de cœur appartient à la fois à AA et à BB, il ne doit être compté qu'une seule fois dans A∪BA \cup B.
Propriété — cas des événements incompatibles

Si AA et BB sont incompatibles (A∩B=∅A \cap B = \varnothing), alors P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 et la formule se simplifie :

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Exemple — vérification numérique (cartes)

Reprenons AA : « tirer un roi » et BB : « tirer un cœur » dans un jeu de 3232 cartes.

  1. P(A)=432P(A) = \dfrac{4}{32}, P(B)=1332P(B) = \dfrac{13}{32}, P(A∩B)=132P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}4 rois, 13 cœurs, 1 roi de cœur
  2. P(A∪B)=432+1332−132P(A \cup B) = \dfrac{4}{32} + \dfrac{13}{32} - \dfrac{1}{32}
  3. ==1632\dfrac{16}{32}
  4. ==12\dfrac{1}{2}
Exemple — vérification par un dénombrement direct (dé)

Reprenons A={2;4;6}A = \{2;4;6\} et B={3;6}B = \{3;6\} (dé à 6 faces). Calculons P(A∪B)P(A \cup B) de deux façons.

  1. A∪B={2;3;4;6}A \cup B = \{2;3;4;6\}dénombrement direct
  2. P(A∪B)=46=23P(A \cup B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}
  3. par la formule : P(A)+P(B)−P(A∩B)=36+26−16P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6}
  4. ==46=23\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}on retrouve bien le même résultat
Attention

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de retrancher P(A∩B)P(A \cap B) et d'écrire P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) même quand AA et BB ne sont pas incompatibles. Vérifie toujours si les deux événements peuvent se produire simultanément avant de choisir la formule.

5Arbres et tableaux

Beaucoup d'expériences aléatoires se déroulent en deux épreuves successives : deux lancers de dé, deux tirages de cartes, un tirage suivi d'un second. Pour ne rien oublier, deux outils sont incontournables : le tableau à double entrée et l'arbre pondéré.

5.1  Tableau à double entrée

Définition — Tableau à double entrée

Pour une expérience à deux épreuves, un tableau à double entrée place les issues de la première épreuve en lignes et celles de la seconde épreuve en colonnes. Chaque case du tableau correspond à un couple d'issues, c'est-à-dire à une issue de l'expérience globale.

On lance deux dés équilibrés (un rouge, un bleu) et l'on s'intéresse à la somme des deux résultats. Le tableau ci-dessous croise le résultat du dé rouge (en ligne) et celui du dé bleu (en colonne) :

rouge \ bleu112233445566
11223344556677
22334455667788
33445566778899
4455667788991010
556677889910101111
66778899101011111212

Ce tableau contient 3636 cases, toutes équiprobables (chaque couple de résultats a la probabilité 136\dfrac{1}{36}), et confirme l'avertissement de la section 3 : les sommes ne sont pas équiprobables entre elles.

Exemple — probabilités lues dans le tableau
  1. somme =7=7 : 66 cases du tableau(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)
  2. P(somme=7)=636=16P(\text{somme}=7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}
  3. somme =2=2 : 11 seule case(1;1)
  4. P(somme=2)=136P(\text{somme}=2) = \dfrac{1}{36}

Il est donc six fois plus probable d'obtenir une somme de 77 que d'obtenir une somme de 22 : les sommes ne jouent pas toutes le même rôle, contrairement aux couples de résultats.

5.2  Arbre pondéré

Définition — Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs épreuves successives par des branches partant d'une racine : chaque branche est étiquetée par la probabilité de l'issue qu'elle représente, sachant le chemin déjà parcouru.

Propriété — règles de lecture d'un arbre pondéré
  • La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut 11.
  • Règle du produit : la probabilité d'un chemin (de la racine à une feuille) est le produit des probabilités portées par ses branches.
  • Règle de la somme : la probabilité d'un événement représenté par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

Une urne contient 33 boules rouges et 22 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules, sans remise (la boule tirée n'est pas remise dans l'urne). Le second tirage dépend donc du résultat du premier : après une rouge, il ne reste que 44 boules dont 22 rouges.

Deux tirages SANS remise (urne : 3 rouges, 2 vertes) 3/5 R 1/2 R→ 3/10 1/2 V→ 3/10 2/5 V 3/4 R→ 3/10 1/4 V→ 1/10 on MULTIPLIE le long d'un chemin — somme des 4 chemins = 1
Figure 3 — Arbre pondéré des deux tirages sans remise. Le chemin surligné, « verte puis rouge », illustre la dépendance : après une verte, il reste 44 boules dont 33 rouges, d'où P(V puis R)=25×34=310P(\text{V puis R}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{10}.
Exemple — lire l'événement « exactement une rouge »

L'événement « exactement une boule rouge parmi les deux tirées » est réalisé par deux chemins de l'arbre : « rouge puis verte » (RV) et « verte puis rouge » (VR).

  1. P(RV)=35×12=310P(RV) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}règle du produit
  2. P(VR)=25×34=310P(VR) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{10}
  3. P(exactement une rouge)=P(RV)+P(VR)P(\text{exactement une rouge}) = P(RV) + P(VR)règle de la somme : deux chemins distincts réalisent l'événement
  4. ==310+310\dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10}
  5. ==610=35\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}

6Dénombrement élémentaire

Compter les issues d'une expérience « à la main » devient vite fastidieux dès qu'elles sont nombreuses. Le principe multiplicatif permet de dénombrer sans tout lister.

6.1  Le principe multiplicatif

Propriété — principe multiplicatif

Si une expérience se décompose en kk épreuves successives comportant respectivement n1,n2,…,nkn_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k} issues possibles (le nombre de choix disponibles à chaque étape ne dépendant pas des choix précédents), alors le nombre total d'issues de l'expérience est :

n1×n2×⋯×nkn_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}

Menu « Chez Fatou » (Dakar) : entrée puis plat Ω E1 E2 E3 P1(E1,P1) → menu 1 P2(E1,P2) → menu 2 P1(E2,P1) → menu 3 P2(E2,P2) → menu 4 P1(E3,P1) → menu 5 P2(E3,P2) → menu 6 3 entrées × 2 plats = 6 menus (puis × 2 desserts = 12 menus)
Figure 4 — Arbre de dénombrement complet du choix d'un menu chez « Chez Fatou » (Dakar) : 33 entrées (E1 = salade, E2 = soupe, E3 = accras) puis 22 plats (P1 = thiéboudienne, P2 = yassa). Chaque chemin de la racine à une feuille est un menu différent : 3×2=63 \times 2 = 6 menus, et 6×2=126 \times 2 = 12 menus en ajoutant 22 desserts au choix.
Exemple — un code de cadenas

Un cadenas à code utilise 22 molettes, chacune graduée de 00 à 99. Combien de codes différents peut-on former ?

  1. 1ʳᵉ molette : 1010 choix possibles (0(0 à 9)9)
  2. 2ᵉ molette : 1010 choix possibles, indépendamment de la première
  3. nombre de codes =10×10= 10 \times 10
  4. ==100100 codes
Exemple — une plaque d'immatriculation

Une plaque simplifiée comporte 22 lettres (parmi les 2626 de l'alphabet) suivies de 44 chiffres (de 00 à 99), avec répétitions autorisées.

  1. nombre de plaques =26×26×10×10×10×10= 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10
  2. ==676×10 000676 \times 10\,000
  3. ==6 760 0006\,760\,000 plaques possibles

Un simple produit de six petits nombres donne 6,76 millions de plaques : voilà toute la puissance du principe multiplicatif.

6.2  Choix qui se succèdent sans répétition

Le principe multiplicatif s'applique aussi lorsque le nombre de choix diminue à chaque étape, comme dans un tirage sans remise ou un rangement.

Exemple — ranger trois livres distincts sur une étagère

De combien de façons peut-on ranger, côte à côte, trois livres distincts (un roman, une BD, un dictionnaire) ?

  1. 1ʳᵉ place : 33 livres possibles
  2. 2ᵉ place : il ne reste que 22 livres celui déjà placé n'est plus disponible
  3. 3ᵉ place : il ne reste plus qu'11 livre
  4. nombre de rangements =3×2×1= 3 \times 2 \times 1
  5. ==66 rangements différents
Attention

Distingue bien deux situations : avec répétition (un code, un mot de passe : le nombre de choix reste le même à chaque étape) et sans répétition (un tirage sans remise, un rangement : le nombre de choix diminue de 11 à chaque étape, comme dans l'arbre de la Figure 3).

Fiche mémo

  • Ω\Omega : univers (toutes les issues) ; un événement est un sous-ensemble de Ω\Omega.
  • A‾\overline{A} : contraire ; A∪BA \cup B : réunion (« ou ») ; A∩BA \cap B : intersection (« et ») ; A,BA,B incompatibles   ⟺  A∩B=∅\iff A \cap B = \varnothing.
  • Loi de probabilité : 0⩽pi⩽10 \leqslant p_{i} \leqslant 1 et p1+p2+⋯+pn=1p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n} = 1.
  • P(Ω)=1P(\Omega)=1, P(∅)=0P(\varnothing)=0, et P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A).
  • Équiprobabilité : P(A)=card(A)card(Ω)P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = cas favorables / cas possibles.
  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ; si incompatibles : P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).
  • Arbre pondéré : somme des probabilités issues d'un même nœud =1=1 ; on multiplie le long d'un chemin ; on additionne les chemins qui réalisent l'événement.
  • Tableau à double entrée : pour dénombrer une expérience à deux épreuves, croiser les issues en lignes et en colonnes.
  • Principe multiplicatif : kk épreuves successives à n1,…,nkn_{1}, \ldots, n_{k} issues ⇒n1×⋯×nk\Rightarrow n_{1} \times \cdots \times n_{k} issues au total.
  • Loi des grands nombres : sur un grand nombre d'essais, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

On lance un dé équilibré. Soit AA : « obtenir un multiple de 3 ». Calcule P(A)P(A) puis P(A‾)P(\overline{A}).

Voir le corrigé détaillé
  1. Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}, A={3;6}A = \{3;6\}
  2. P(A)=26=13P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}
  3. P(A‾)=1−P(A)=1−13P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{1}{3}
  4. ==23\dfrac{2}{3}
2

Dans un jeu de 32 cartes, calcule P(roi)P(\text{roi}), P(cœur)P(\text{cœur}), puis P(as ou roi)P(\text{as ou roi}).

Voir le corrigé détaillé
  1. P(roi)=432=18P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}
  2. P(cœur)=1332P(\text{cœur}) = \dfrac{13}{32}
  3. « as » et « roi » sont incompatiblesaucune carte n'est à la fois as et roi
  4. P(as ou roi)=432+432=832P(\text{as ou roi}) = \dfrac{4}{32} + \dfrac{4}{32} = \dfrac{8}{32}
  5. ==14\dfrac{1}{4}
3

Une urne contient 4 boules numérotées de 1 à 4, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Soit AA : « le numéro tiré est pair ». Calcule P(A)P(A) et P(A‾)P(\overline{A}).

Voir le corrigé détaillé
  1. Ω={1;2;3;4}\Omega = \{1;2;3;4\}, A={2;4}A = \{2;4\}tirage au hasard : équiprobabilité
  2. P(A)=24=12P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
  3. P(A‾)=1−12=12P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}
4

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Dresse le tableau à double entrée des issues, puis calcule la probabilité d'obtenir exactement une face.

Voir le corrigé détaillé

Le tableau croise le 1ᵉʳ lancer (ligne) et le 2ᵉ lancer (colonne) : les 4 issues PP,PF,FP,FFPP, PF, FP, FF sont équiprobables, chacune de probabilité 14\dfrac{1}{4}.

  1. « exactement une face » ={PF;FP}= \{PF ; FP\}
  2. P=14+14P = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}
  3. ==12\dfrac{1}{2}
5

Une roue de fête foraine a quatre secteurs : P(rouge)=0,5P(\text{rouge})=0{,}5, P(bleu)=0,25P(\text{bleu})=0{,}25, P(vert)=0,15P(\text{vert})=0{,}15, P(jaune)=0,10P(\text{jaune})=0{,}10. Vérifie qu'il s'agit d'une loi de probabilité, puis calcule P(rouge ou vert)P(\text{rouge ou vert}).

Voir le corrigé détaillé
  1. 0,5+0,25+0,15+0,10=10{,}5+0{,}25+0{,}15+0{,}10 = 1et chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 : loi valide
  2. rouge et vert sont incompatibles
  3. P(rouge ou vert)=0,5+0,15P(\text{rouge ou vert}) = 0{,}5+0{,}15
  4. ==0,650{,}65
6

Un cadenas à code comporte 3 molettes, chacune graduée de 0 à 9. Combien de codes différents peut-on former ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 3 molettes indépendantes, chacune avec 1010 positions
  2. nombre de codes =10×10×10= 10 \times 10 \times 10
  3. ==1 0001\,000 codes
Niveau 2 — Approfondissement
7

On lance deux dés équilibrés. Soit AA : « la somme est paire » et BB : « on obtient au moins un 6 ». Calcule P(A∪B)P(A \cup B) à l'aide d'un tableau à double entrée.

Voir le corrigé détaillé

Sur les 3636 couples équiprobables du tableau des sommes (section 5.1) :

  1. card(A)=18\text{card}(A) = 1818 couples de même parité (les deux pairs ou les deux impairs)
  2. card(B)=11\text{card}(B) = 116 couples avec un 6 en 1ᵉʳ + 6 avec un 6 en 2ᵉ, moins (6;6) compté deux fois
  3. card(A∩B)=5\text{card}(A \cap B) = 5(6;2),(2;6),(6;4),(4;6),(6;6) : sommes paires avec un 6
  4. P(A∪B)=1836+1136−536P(A \cup B) = \dfrac{18}{36} + \dfrac{11}{36} - \dfrac{5}{36}
  5. ==2436\dfrac{24}{36}
  6. ==23\dfrac{2}{3}
8

On tire successivement, sans remise, deux cartes dans un jeu de 32 cartes. Calcule la probabilité de tirer deux rois.

Voir le corrigé détaillé
Deux tirages sans remise (32 cartes, dont 4 rois) 1/8 Roi 3/31 Roi→ 3/248 28/31 non-roi 7/8 non-roi 4/31 Roi 27/31 non-roi
Figure 5 — Arbre pondéré du tirage sans remise de 2 cartes. Le chemin surligné, « roi puis roi », donne P(2 rois)=432×331=3248P(\text{2 rois}) = \dfrac{4}{32} \times \dfrac{3}{31} = \dfrac{3}{248}.
  1. P(roi au 1er tirage)=432=18P(\text{roi au 1er tirage}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}
  2. il reste 3131 cartes dont 33 rois
  3. P(roi au 2e∣roi au 1er)=331P(\text{roi au 2e} \mid \text{roi au 1er}) = \dfrac{3}{31}
  4. P(2 rois)=18×331P(\text{2 rois}) = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{3}{31}
  5. ==3248≈0,012\dfrac{3}{248} \approx 0{,}012
9

Sur son camp d'awalé, un joueur a 6 trous, dont 2 sont vides. Il choisit au hasard, de façon équiprobable, un trou non vide pour jouer. Combien a-t-il de choix possibles, et quelle est la probabilité qu'il choisisse un trou précis ?

Voir le corrigé détaillé
  1. trous non vides : 6−2=46 - 2 = 4
  2. card(Ω)=4\text{card}(\Omega) = 4choix équiprobable parmi les trous non vides
  3. P(un trou preˊcis)=14P(\text{un trou précis}) = \dfrac{1}{4}
10

Un vestiaire propose 3 t-shirts, 4 pantalons et 2 paires de chaussures. Combien de tenues complètes peut-on former ? Si une tenue est choisie au hasard, quelle est la probabilité qu'elle comporte le t-shirt rouge et les baskets ?

Voir le corrigé détaillé
  1. nombre de tenues =3×4×2= 3 \times 4 \times 2principe multiplicatif
  2. ==2424 tenues
  3. tenues avec t-shirt rouge ET baskets =1×4×1=4= 1 \times 4 \times 1 = 4t-shirt et chaussures fixés, pantalon libre
  4. P=424P = \dfrac{4}{24}
  5. ==16\dfrac{1}{6}
Niveau 3 — Défi
11

Une association de 10 membres tire au sort, sans remise et dans l'ordre, un gagnant du 1ᵉʳ prix puis un gagnant du 2ᵉ prix. Aminata fait partie des 10 membres.

  1. Combien de tirages ordonnés (1ᵉʳ prix, 2ᵉ prix) sont possibles ?
  2. Quelle est la probabilité qu'Aminata gagne le 1ᵉʳ prix ?
  3. Quelle est la probabilité qu'Aminata gagne un prix (1ᵉʳ ou 2ᵉ) ?
Voir le corrigé détaillé

1. Principe multiplicatif avec choix qui diminue.

  1. 1010 choix pour le 1ᵉʳ prix, puis 99 choix restants pour le 2ᵉ
  2. nombre de tirages =10×9=90= 10 \times 9 = 90

2. Équiprobabilité sur les 10 membres pour le 1ᵉʳ prix.

  1. P(Aminata 1er)=110P(\text{Aminata 1er}) = \dfrac{1}{10}

3. Deux chemins mènent à « Aminata gagne un prix » : elle est tirée en 1ᵉʳ, ou elle ne l'est pas mais est tirée en 2ᵉ.

  1. P(Aminata 1er)=110P(\text{Aminata 1er}) = \dfrac{1}{10}
  2. P(Aminata pas 1er)=910P(\text{Aminata pas 1er}) = \dfrac{9}{10}
  3. sachant qu'elle n'est pas 1ᵉʳ, 99 personnes restent en lice pour le 2ᵉ prix
  4. P(Aminata 2e∣pas 1er)=19P(\text{Aminata 2e} \mid \text{pas 1er}) = \dfrac{1}{9}
  5. P(Aminata 2e et pas 1er)=910×19=110P(\text{Aminata 2e et pas 1er}) = \dfrac{9}{10} \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{10}
  6. P(Aminata gagne un prix)=110+110P(\text{Aminata gagne un prix}) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10}
  7. ==210=15\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}
12

Un dé truqué à 6 faces est tel que P(k)=k×xP(k) = k \times x pour chaque face kk (kk de 1 à 6), où xx est une constante.

  1. Détermine xx.
  2. Calcule P(obtenir un nombre pair)P(\text{obtenir un nombre pair}).
  3. Calcule P(obtenir au moins 4)P(\text{obtenir au moins 4}).
Voir le corrigé détaillé

1. La somme des probabilités vaut 11.

  1. ∑k=16k×x=1\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k \times x = 1
  2. x(1+2+3+4+5+6)=1x(1+2+3+4+5+6) = 1
  3. 21x=121x = 1
  4. ⇒\Rightarrowx=121x = \dfrac{1}{21}

2. P(k)=k21P(k) = \dfrac{k}{21} pour chaque face.

  1. P(pair)=P(2)+P(4)+P(6)=2+4+621P(\text{pair}) = P(2)+P(4)+P(6) = \dfrac{2+4+6}{21}
  2. ==1221=47\dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}

3.

  1. P(⩾4)=P(4)+P(5)+P(6)=4+5+621P(\geqslant 4) = P(4)+P(5)+P(6) = \dfrac{4+5+6}{21}
  2. ==1521=57\dfrac{15}{21} = \dfrac{5}{7}
13

Dans un jeu de 32 cartes, chaque couleur (cœur, carreau, trèfle, pique) comporte 1 as, 3 figures (valet, dame, roi) et 4 autres cartes (7, 8, 9, 10). On tire une carte au hasard.

  1. Construis le tableau à double entrée (couleur × catégorie) et vérifie card(Ω)=32\text{card}(\Omega)=32.
  2. Calcule P(as ou pique)P(\text{as ou pique}).
  3. Calcule P(figure et cœur)P(\text{figure et cœur}).
Voir le corrigé détaillé
couleur \ catégorieasfigureautretotal
cœur1348
carreau1348
trèfle1348
pique1348
total4121632

1. Chaque ligne totalise 1+3+4=81+3+4=8 cartes, et 4×8=32=card(Ω)4 \times 8 = 32 = \text{card}(\Omega). ✓

2.

  1. card(as)=4\text{card}(\text{as})=4, card(pique)=8\text{card}(\text{pique})=8, card(as∩pique)=1\text{card}(\text{as}\cap\text{pique})=1l'as de pique
  2. P(as ou pique)=432+832−132P(\text{as ou pique}) = \dfrac{4}{32}+\dfrac{8}{32}-\dfrac{1}{32}
  3. ==1132\dfrac{11}{32}

3.

  1. P(figure et cœur)=332P(\text{figure et cœur}) = \dfrac{3}{32}lecture directe dans le tableau
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

La loterie du quartier (Dakar). Pour financer la rénovation d'un terrain de basket à la Médina, une association vend 200 billets. Il y a 1 gros lot et 2 lots secondaires (un billet ne peut gagner qu'un seul lot). Aminata achète un billet.

  1. Calcule P(gros lot)P(\text{gros lot}) et P(lot secondaire)P(\text{lot secondaire}).
  2. Calcule la probabilité qu'Aminata gagne un lot, quel qu'il soit.
  3. Calcule la probabilité qu'elle ne gagne rien.
Voir le corrigé détaillé
  1. P(gros lot)=1200P(\text{gros lot}) = \dfrac{1}{200}
  2. P(lot secondaire)=2200=1100P(\text{lot secondaire}) = \dfrac{2}{200} = \dfrac{1}{100}
  3. les deux événements sont incompatiblesun billet ne peut gagner qu'un seul lot
  4. P(un lot)=1200+2200=3200P(\text{un lot}) = \dfrac{1}{200}+\dfrac{2}{200} = \dfrac{3}{200}
  5. P(rien)=1−3200P(\text{rien}) = 1 - \dfrac{3}{200}
  6. ==197200\dfrac{197}{200}

Aminata a donc environ 98,5 %98{,}5\ \% de chances de ne rien gagner : c'est le principe même d'une loterie.

15

Le trajet en sotrama (Bamako). Pour rentrer chez elle, Fatoumata a le choix entre 4 lignes de sotrama : 3 sont directes, la 4ᵉ nécessite une correspondance à un arrêt parmi 2 arrêts possibles. Elle choisit sa ligne au hasard (équiprobabilité sur les 4 lignes), et en cas de correspondance, choisit l'arrêt au hasard (équiprobabilité sur les 2 arrêts).

  1. Combien de trajets distincts (ligne, puis arrêt éventuel) sont possibles ?
  2. Calcule la probabilité qu'elle emprunte un trajet direct.
  3. Calcule la probabilité qu'elle passe par un arrêt de correspondance précis.
Voir le corrigé détaillé
  1. trajets =3 directs+(1 ligne×2 arreˆts)= 3\ \text{directs} + (1\ \text{ligne} \times 2\ \text{arrêts})
  2. ==3+2=53 + 2 = 5 trajets distincts
  3. P(direct)=34P(\text{direct}) = \dfrac{3}{4}3 des 4 lignes sont directes, choisies équiprobablement
  4. P(ligne aˋ correspondance)=14P(\text{ligne à correspondance}) = \dfrac{1}{4}
  5. P(tel arreˆt∣correspondance)=12P(\text{tel arrêt} \mid \text{correspondance}) = \dfrac{1}{2}
  6. P(cet arreˆt preˊcis)=14×12P(\text{cet arrêt précis}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2}
  7. ==18\dfrac{1}{8}
16

Le marché aux semences (Abéché). Un grossiste dispose de 100 sacs de céréales : 40 sacs de mil qualité A, 25 sacs de mil qualité B, 20 sacs de sorgho qualité A, 15 sacs de sorgho qualité B. Un client choisit un sac au hasard.

  1. Dresse le tableau à double entrée (céréale × qualité) et calcule P(mil)P(\text{mil}) et P(qualiteˊ A)P(\text{qualité A}).
  2. Calcule P(mil et qualiteˊ A)P(\text{mil et qualité A}).
  3. En déduis P(mil ou qualiteˊ A)P(\text{mil ou qualité A}), et vérifie ce résultat par un dénombrement direct.
Voir le corrigé détaillé
céréale \ qualitéABtotal
mil402565
sorgho201535
total6040100
  1. P(mil)=65100=0,65P(\text{mil}) = \dfrac{65}{100} = 0{,}65
  2. P(qualiteˊ A)=60100=0,6P(\text{qualité A}) = \dfrac{60}{100} = 0{,}6
  3. P(mil et A)=40100=0,4P(\text{mil et A}) = \dfrac{40}{100} = 0{,}4lecture directe dans le tableau
  4. P(mil ou A)=0,65+0,6−0,4P(\text{mil ou A}) = 0{,}65+0{,}6-0{,}4
  5. ==0,850{,}85
  6. vérification directe : tous les sacs sauf « sorgho B » =100−15=85= 100-15 = 85 sacs
  7. 85100=0,85\dfrac{85}{100} = 0{,}85résultat cohérent

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8 questions

Fonctions : généralités et lectures graphiques

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire s'appelle :

Explication : Par définition, l'univers Ω\Omega regroupe toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire, même si l'on ignore laquelle se produira.

Un événement élémentaire est :

Explication : Un événement élémentaire, comme {3}\{3\}, ne contient qu'une seule issue de Ω\Omega.

Deux événements AA et BB sont dits incompatibles lorsque :

Explication : Deux événements incompatibles ne peuvent jamais se réaliser en même temps : leur intersection est l'événement impossible, A∩B=∅A \cap B = \varnothing.

On lance un dé équilibré, avec A={2;4;6}A=\{2;4;6\} (nombre pair) et B={3;6}B=\{3;6\} (multiple de 3). L'événement A∩BA \cap B est :

Explication : L'intersection contient les issues communes aux deux événements : seul 66 est à la fois pair et multiple de 3.

Une loi de probabilité sur Ω={e1;…;en}\Omega=\{e_{1};\ldots;e_{n}\} doit vérifier :

Explication : Une loi de probabilité valide exige deux conditions simultanées : chaque probabilité comprise entre 00 et 11, et une somme totale égale à 11.

Pour tout événement AA d'un univers muni d'une loi de probabilité, on a toujours :

Explication : Une probabilité est toujours comprise entre 00 (événement impossible) et 11 (événement certain).

Une roue de loterie a quatre secteurs, avec P(rouge)=0,4P(\text{rouge})=0{,}4 et P(bleu)=0,3P(\text{bleu})=0{,}3. Quelle est la probabilité d'obtenir rouge ou bleu ?

Explication : Rouge et bleu sont deux issues distinctes, donc incompatibles : P(rouge ou bleu)=0,4+0,3=0,7P(\text{rouge ou bleu})=0{,}4+0{,}3=0{,}7.

Pour tout événement AA, la probabilité de son contraire P(A‾)P(\overline{A}) est égale à :

Explication : Comme AA et A‾\overline{A} sont incompatibles et que leur réunion reconstitue Ω\Omega, on a P(A)+P(A‾)=1P(A)+P(\overline{A})=1, soit P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A})=1-P(A).

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement AA vaut :

Explication : En équiprobabilité, chaque issue a la même probabilité 1card(Ω)\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}, d'où P(A)=card(A)card(Ω)P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 3232 cartes bien battu. Quelle est la probabilité de tirer une figure (valet, dame ou roi) ?

Explication : Il y a 33 figures dans chacune des 44 couleurs, soit 3×4=123\times4=12 figures : P(figure)=1232=38P(\text{figure})=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}.

Pour tous événements AA et BB d'un même univers, la formule de la probabilité de leur réunion est :

Explication : Il faut retrancher P(A∩B)P(A\cap B) pour ne pas compter deux fois les issues communes à AA et BB. Sans cette précaution, oublier ce terme est l'erreur la plus fréquente.

Dans un jeu de 3232 cartes, AA : « tirer un roi » (44 cartes), BB : « tirer un cœur » (1313 cartes), et A∩BA\cap B est le roi de cœur (11 carte). Que vaut P(A∪B)P(A\cup B) ?

Explication : P(A∪B)=432+1332−132=1632=12P(A\cup B)=\dfrac{4}{32}+\dfrac{13}{32}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}.

Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin allant de la racine à une feuille s'obtient en :

Explication : C'est la règle du produit : la probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités portées par chacune de ses branches.

Une urne contient 33 boules rouges et 22 boules vertes. On tire successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité de tirer verte puis rouge ?

Explication : Après une boule verte, il reste 44 boules dont 33 rouges : P(V puis R)=25×34=310P(\text{V puis R})=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{10}.

On lance deux dés équilibrés et on s'intéresse à la somme des résultats. Quelle affirmation est correcte ?

Explication : Le tableau à double entrée donne 66 couples pour la somme 77 contre un seul, (1;1)(1;1), pour la somme 22 : les sommes ne sont pas équiprobables, contrairement aux 3636 couples de dés.

Une plaque simplifiée comporte 22 lettres (parmi les 2626 de l'alphabet) suivies de 44 chiffres (de 00 à 99), avec répétitions autorisées. Le nombre de plaques possibles est :

Explication : Le principe multiplicatif s'applique à chaque position, indépendamment des précédentes : 26×26×10×10×10×10=6 760 00026\times26\times10\times10\times10\times10=6\,760\,000 plaques.

On range côte à côte, sur une étagère, trois livres distincts. Le nombre de rangements possibles est :

Explication : À chaque place, le nombre de livres encore disponibles diminue de 11 : 33 choix pour la 1ʳᵉ place, 22 pour la 2ᵉ, 11 pour la 3ᵉ, soit 3×2×1=63\times2\times1=6 rangements.

Quelle différence distingue un dénombrement « avec répétition » d'un dénombrement « sans répétition » ?

Explication : Un code (comme un cadenas) autorise la répétition : le nombre de choix reste constant. Un tirage sans remise ou un rangement fait diminuer le nombre de choix de 11 à chaque étape.

Une association vend 150150 billets de tombola. Il y a 11 gros lot et 33 lots secondaires (un billet ne peut gagner qu'un seul lot). Quelle est la probabilité de gagner un lot, quel qu'il soit, en achetant un billet ?

Explication : « Gros lot » et « lot secondaire » sont incompatibles : P(un lot)=1150+3150=4150P(\text{un lot})=\dfrac{1}{150}+\dfrac{3}{150}=\dfrac{4}{150}.

Un dé à 66 faces est truqué de sorte que P(k)=k×xP(k)=k\times x pour chaque face kk, avec x=121x=\dfrac{1}{21}. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair (11, 33 ou 55) ?

Explication : P(impair)=P(1)+P(3)+P(5)=1+3+521=921=37P(\text{impair})=P(1)+P(3)+P(5)=\dfrac{1+3+5}{21}=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}.
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