Statistiques descriptives

Résumer et comparer des séries à l'aide d'indicateurs de position et de dispersion.

Mathématiques Seconde Chapitre 9 / 15 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Calculer les indicateurs d'une série
Construire un diagramme en boîte
Interpréter et comparer deux distributions

Chaque jour, les journaux annoncent la pluviométrie du mois, un commerçant calcule sa recette moyenne, un club sportif compare les temps de ses athlètes, un État publie le salaire médian des ménages. Toutes ces informations reposent sur la même démarche : recueillir des données, les résumer par quelques nombres, puis les comparer. C'est l'objet de la statistique descriptive.

Tu connais déjà, depuis le collège, les effectifs, les fréquences et quelques diagrammes. Ce chapitre reprend brièvement ces notions, puis va plus loin : tu vas apprendre à situer une valeur dans une série grâce aux quartiles, à mesurer la dispersion d'une série avec l'écart type, et à représenter tout cela d'un seul coup d'œil grâce au diagramme en boîte. Ce sont des outils que tu retrouveras dans toutes les filières scientifiques, économiques et médicales.

La difficulté de ce chapitre n'est pas le calcul — les formules sont simples — mais le sens à donner aux nombres obtenus. Une moyenne de $13$ sur $20$ peut cacher une classe très homogène ou une classe très hétérogène : seuls les indicateurs de dispersion permettent de trancher. C'est cette lecture critique des chiffres, plus que le calcul lui-même, que ce chapitre veut t'apprendre.

1Effectifs, fréquences, cumuls

1.1 Vocabulaire de base

Définition

On étudie un ensemble d'individus appelé population (une classe, un village, une récolte…). Sur chaque individu, on observe un caractère (ou variable statistique), qui peut être :

qualitatif : ses valeurs ne sont pas des nombres (la qualité d'un cacao : A, B, C) ;
quantitatif discret : ses valeurs sont des nombres isolés, en quantité limitée (une note sur $20$ ) ;
quantitatif continu : ses valeurs remplissent un intervalle (une hauteur de pluie, une durée).

Pour chaque valeur $x_i$ du caractère, on appelle effectif $n_i$ le nombre d'individus qui présentent cette valeur. La somme de tous les effectifs est l'effectif total, noté $N$ .

Définition — fréquence

La fréquence de la valeur $x_i$ est la proportion d'individus qui présentent cette valeur :

$f_i = \dfrac{n_i}{N}$

On l'exprime souvent en pourcentage ( $f_i \times 100$ ). La somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ , soit $100\ \%$ .

Attention

Ne confonds pas l'effectif total $N$ avec le nombre de valeurs distinctes du caractère. Dans une classe de $25$ élèves notés de $8$ à $19$ , il y a $N = 25$ élèves mais seulement $12$ notes différentes : ce sont les $12$ effectifs $n_i$ qui, additionnés, redonnent $25$ .

Voici l'exemple qui va nous accompagner tout au long de ce chapitre : les notes sur $20$ obtenues par les $25$ élèves de la classe de 2nde C du lycée Blaise Diagne, à Dakar, lors d'un devoir de mathématiques.

Exemple — les notes de la 2nde C (Dakar)

Notes relevées, déjà triées dans l'ordre croissant :

$8\,;9\,;9\,;10\,;10\,;10\,;11\,;11\,;12\,;12\,;12\,;12\,;13\,;13\,;13\,;14\,;14\,;14\,;15\,;15\,;16\,;16\,;17\,;18\,;19$

On organise ces $25$ notes en tableau, avec les effectifs, les fréquences, et l'effectif cumulé croissant (ECC), c'est-à-dire le nombre d'élèves ayant une note inférieure ou égale à chaque valeur.

Note $x_i$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
Effectif $n_i$	$1$	$2$	$3$	$2$	$4$	$3$	$3$	$2$	$2$	$1$	$1$	$1$
Fréquence $f_i$	$4\ \%$	$8\ \%$	$12\ \%$	$8\ \%$	$16\ \%$	$12\ \%$	$12\ \%$	$8\ \%$	$8\ \%$	$4\ \%$	$4\ \%$	$4\ \%$
ECC	$1$	$3$	$6$	$8$	$12$	$15$	$18$	$20$	$22$	$23$	$24$	$25$

Définition — effectifs et fréquences cumulés

L'effectif cumulé croissant d'une valeur $x_i$ est le nombre d'individus dont la valeur du caractère est $\leqslant x_i$ . La fréquence cumulée croissante s'obtient en divisant par $N$ (ou en additionnant les fréquences). On définit de même l'effectif (ou la fréquence) cumulé décroissant, avec « $\geqslant$ ».

Exemple — lire un tableau cumulé

D'après le tableau, l'ECC de la valeur $15$ vaut $20$ . Cela signifie que $20$ élèves sur $25$ ont eu une note inférieure ou égale à $15$ , soit une fréquence cumulée de :

$\dfrac{20}{25} = 0{,}8$
$=$ $80\ \%$

$80\ \%$ des élèves de la classe ont eu $15$ ou moins ; autrement dit, seuls $20\ \%$ ont dépassé $15$ .

Figure 1 — Diagramme en bâtons des notes de la 2nde C : la hauteur de chaque bâton est l'effectif de la note correspondante.

1.2 Le diagramme circulaire

Quand on veut montrer comment un total se répartit entre plusieurs catégories, le diagramme circulaire (« camembert ») est bien adapté : chaque catégorie devient un secteur dont l'angle est proportionnel à son effectif.

Méthode — calculer l'angle d'un secteur

Une catégorie d'effectif $n_i$ , dans une population d'effectif total $N$ , occupe une fraction $\dfrac{n_i}{N}$ du disque complet ( $360°$ ). Son angle vaut donc :

$\alpha_i = \dfrac{n_i}{N}\times 360°$

Exemple — récolte d'une coopérative de Bamako

Une coopérative agricole de Bamako a récolté $120$ tonnes de céréales et légumineuses, réparties ainsi : mil $45$ t, sorgho $30$ t, arachide $25$ t, niébé $15$ t, coton $5$ t.

angle du mil $= \dfrac{45}{120}\times 360°$
$=$ $135°$
angle du sorgho $= \dfrac{30}{120}\times 360° = 90°$
angle de l'arachide $= \dfrac{25}{120}\times 360° = 75°$
angle du niébé $= \dfrac{15}{120}\times 360° = 45°$
angle du coton $= \dfrac{5}{120}\times 360° = 15°$
$\Rightarrow$ $135°+90°+75°+45°+15° = 360°$ vérification indispensable : la somme doit toujours faire $360°$

Attention

Après avoir calculé tous les angles d'un diagramme circulaire, vérifie toujours que leur somme fait $360°$ . Une erreur d'arrondi ou de calcul se repère immédiatement de cette façon.

Figure 2 — Diagramme circulaire de la récolte : l'angle de chaque secteur est proportionnel au tonnage de la catégorie.

1.3 L'histogramme et les classes d'amplitudes inégales

Définition

Un histogramme représente une série quantitative continue, regroupée en classes. Sur chaque classe $[a_i\,;b_i[$ , on construit un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif $n_i$ de la classe.

Attention

Si toutes les classes ont la même amplitude, la hauteur peut être prise égale à l'effectif : les aires restent proportionnelles. Mais dès qu'une classe est plus large qu'une autre, prendre la hauteur égale à l'effectif fausse le dessin — la classe large paraît plus « importante » qu'elle ne l'est.

Méthode — hauteur d'une classe d'amplitude quelconque

On appelle amplitude de la classe $[a_i\,;b_i[$ le nombre $a_i^{\,\text{amp}} = b_i - a_i$ . La hauteur correcte du rectangle est la densité d'effectif :

$h_i = \dfrac{n_i}{b_i - a_i}$

Exemple — pluviométrie de Ndjamena

On a relevé la hauteur de pluie (en mm) tombée lors de $60$ jours de pluie observés pendant une saison des pluies à Ndjamena, regroupée en classes d'amplitudes inégales :

Classe (mm)	$[0;5[$	$[5;10[$	$[10;20[$	$[20;40[$	$[40;80[$
Effectif $n_i$	$18$	$14$	$16$	$9$	$3$
Amplitude	$5$	$5$	$10$	$20$	$40$
Hauteur $h_i$	$3{,}6$	$2{,}8$	$1{,}6$	$0{,}45$	$0{,}075$

classe $[10;20[$ : $h = \dfrac{16}{20-10}$
$=$ $\dfrac{16}{10} = 1{,}6$
classe $[40;80[$ : $h = \dfrac{3}{80-40}$
$=$ $\dfrac{3}{40} = 0{,}075$ très large, très basse : ce jour de pluie exceptionnelle reste rare

Figure 3 — Histogramme des hauteurs de pluie journalières à Ndjamena : les classes ont des amplitudes différentes, la hauteur affichée est la densité

h_i = n_i / a_i

, pas l'effectif brut.

Math & Co — La naissance de la statistique

En $1662$ , à Londres, le drapier John Graunt publie Natural and Political Observations upon the Bills of Mortality : il dépouille des années de registres de naissances et de décès paroissiaux, les classe par cause, par âge, par saison — et en tire les premières lois régulières sur la mortalité humaine. C'est l'un des tout premiers travaux de statistique descriptive de l'histoire.

Le mot « statistique » lui-même vient du latin status (l'état) : il est forgé au XVIIIe siècle par l'Allemand Gottfried Achenwall, en $1749$ , pour désigner la « science de l'État », c'est-à-dire l'ensemble des données chiffrées utiles à son gouvernement — population, récoltes, impôts. Aujourd'hui, la statistique dépasse largement les États : météorologie, agriculture, médecine, sport, tout se mesure et se résume par des nombres.

2Moyenne, médiane, mode

Une série statistique peut compter des centaines de valeurs : impossible de la garder telle quelle en tête. On cherche donc un ou plusieurs nombres qui la résument. On les appelle indicateurs de position, car ils indiquent « où se situe » la série sur l'axe des valeurs. Les trois plus classiques sont la moyenne, la médiane et le mode.

2.1 La moyenne simple

Définition

Soit une série de valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_k$ d'effectifs respectifs $n_1, n_2, \ldots, n_k$ , et d'effectif total $N = n_1+n_2+\cdots+n_k$ . La moyenne de la série est :

$\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{N} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$

Exemple — moyenne de la 2nde C

Reprenons le tableau d'effectifs de la section précédente ( $N = 25$ ).

$\displaystyle\sum n_i x_i = 1{\times}8 + 2{\times}9 + 3{\times}10 + 2{\times}11 + 4{\times}12 + 3{\times}13 + 3{\times}14 + 2{\times}15 + 2{\times}16 + 1{\times}17 + 1{\times}18 + 1{\times}19$
$=$ $323$
$\bar{x} = \dfrac{323}{25}$
$=$ $12{,}92$

La moyenne de la classe est $\bar{x} = 12{,}92$ .

2.2 Propriétés de linéarité de la moyenne

Propriété

Soit une série de moyenne $\bar{x}$ , et deux nombres réels $a$ et $b$ .

Si l'on ajoute $b$ à toutes les valeurs, la nouvelle moyenne est $\bar{x} + b$ .
Si l'on multiplie toutes les valeurs par $a$ , la nouvelle moyenne est $a\,\bar{x}$ .

Démonstration

Notons $y_i = a x_i + b$ la nouvelle valeur associée à l'ancienne valeur $x_i$ , d'effectif $n_i$ inchangé. L'effectif total reste $N$ .

$\bar{y} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i y_i$
$=$ $\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i (a x_i + b)$
$=$ $\dfrac{1}{N}\left(a\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i x_i + b\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i\right)$ on distribue puis on sépare la somme
$=$ $\dfrac{a}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i x_i + \dfrac{b}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i$
$=$ $a\,\bar{x} + \dfrac{b \times N}{N}$ car $\sum n_i x_i = N\bar{x}$ et $\sum n_i = N$
$=$ $a\,\bar{x} + b$

En prenant $a=1$ on retrouve la première règle, et en prenant $b=0$ la seconde. C.Q.F.D.

Exemple — bonus et changement de barème

La moyenne de la 2nde C est $\bar{x} = 12{,}92$ .

Le professeur décide d'ajouter $1$ point bonus à toutes les copies : la nouvelle moyenne est $12{,}92 + 1 = 13{,}92$ .
Les notes sont recalculées sur $100$ au lieu de $20$ (on multiplie par $5$ ) : la nouvelle moyenne est $12{,}92 \times 5 = 64{,}6$ .

2.3 Moyenne pondérée et moyenne de données groupées

Définition — moyenne pondérée

Quand chaque valeur $x_i$ est affectée d'un coefficient (ou poids) $c_i$ qui traduit son importance relative, la moyenne pondérée est :

$\bar{x} = \dfrac{c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_k x_k}{c_1 + c_2 + \cdots + c_k}$

C'est la même formule que la moyenne simple, en remplaçant les effectifs par des coefficients.

Exemple — bulletin de Fatima (Bamako)

Fatima obtient, au 1er trimestre : Mathématiques $14$ (coefficient $4$ ), Français $12$ (coefficient $3$ ), SVT $16$ (coefficient $2$ ), EPS $18$ (coefficient $1$ ).

somme des coefficients $= 4+3+2+1 = 10$
$\bar{x} = \dfrac{14{\times}4 + 12{\times}3 + 16{\times}2 + 18{\times}1}{10}$
$=$ $\dfrac{56+36+32+18}{10}$
$=$ $\dfrac{142}{10} = 14{,}2$

La moyenne générale de Fatima est $14{,}2$ .

Méthode — moyenne d'une série groupée en classes

Quand les données sont regroupées en classes (comme les jours de pluie de Ndjamena), on ne connaît pas les valeurs exactes. On les remplace par le centre de chaque classe $\dfrac{a_i+b_i}{2}$ , puis on calcule une moyenne pondérée par les effectifs : c'est une valeur approchée de la vraie moyenne.

Exemple — pluviométrie moyenne d'un jour de pluie à Ndjamena

Classe (mm)	$[0;5[$	$[5;10[$	$[10;20[$	$[20;40[$	$[40;80[$
Centre	$2{,}5$	$7{,}5$	$15$	$30$	$60$
Effectif $n_i$	$18$	$14$	$16$	$9$	$3$

$\displaystyle\sum n_i \times \text{centre}_i = 2{,}5{\times}18 + 7{,}5{\times}14 + 15{\times}16 + 30{\times}9 + 60{\times}3$
$=$ $45+105+240+270+180 = 840$
$\bar{x} \approx \dfrac{840}{60}$
$=$ $14$ mm

Un jour de pluie, à Ndjamena, apporte en moyenne environ $14$ mm d'eau.

Attention

La moyenne calculée sur des données groupées en classes n'est qu'une estimation : en remplaçant chaque valeur réelle par le centre de sa classe, on perd un peu de précision. Plus les classes sont larges, plus l'approximation est grossière.

2.4 La médiane

Définition

On trie la série dans l'ordre croissant. La médiane $\mathrm{Me}$ est la valeur qui partage la série triée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont $\leqslant \mathrm{Me}$ , et au moins la moitié sont $\geqslant \mathrm{Me}$ .

Méthode — calculer la médiane d'une série triée de longueur

N

Si $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ .
Si $N$ est pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ .

Exemple — médiane de la 2nde C (effectif impair)

$N = 25$ est impair ; la médiane est la valeur de rang $\dfrac{25+1}{2} = 13$ .

ECC : $8{\to}1\,;9{\to}3\,;10{\to}6\,;11{\to}8\,;12{\to}12\,;13{\to}15$
$\Rightarrow$ le rang $13$ tombe dans le groupe des $13$ car l'ECC passe de $12$ à $15$ sur la valeur $13$
$\Rightarrow$ $\mathrm{Me} = 13$

Exemple — médiane d'un effectif pair

Moussa, à Abéché, met les temps suivants (en min) pour rejoindre son lycée sur $6$ jours : $12\,;15\,;10\,;18\,;14\,;16$ .

série triée : $10\,;12\,;14\,;15\,;16\,;18$
$N=6$ pair, rangs $3$ et $4$ : valeurs $14$ et $15$
$\mathrm{Me} = \dfrac{14+15}{2}$
$=$ $14{,}5$ min

2.5 Le mode

Définition

Le mode d'une série (quand le caractère est discret ou qualitatif) est la valeur qui a le plus grand effectif. Pour une série groupée en classes, on parle de classe modale : celle de plus grande densité.

Exemple

Dans la 2nde C, la note $12$ a l'effectif le plus élevé ( $4$ élèves) : le mode est $12$ . Dans la récolte de la coopérative de Bamako (section 1), la catégorie la plus récoltée est le mil : c'est le mode de la répartition par culture.

Attention

Une série peut avoir plusieurs modes (on dit qu'elle est bimodale, trimodale…), ou aucun mode évident si tous les effectifs sont proches. Contrairement à la moyenne et à la médiane, le mode n'utilise aucun calcul : c'est une simple lecture du tableau.

3Quartiles et écart interquartile

La médiane coupe la série triée en deux. Les quartiles vont plus loin : ils la coupent en quatre parties de même effectif, et permettent de mesurer où se concentre le « cœur » de la série.

3.1 Définition des quartiles

Définition

Soit une série triée dans l'ordre croissant, d'effectif total $N$ .

Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25\ \%$ des données lui soient inférieures ou égales.
Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $75\ \%$ des données lui soient inférieures ou égales.

Méthode — calculer un quartile par les rangs

On calcule le rang théorique ( $0{,}25 \times N$ pour $Q_1$ , $0{,}75\times N$ pour $Q_3$ ). Si ce nombre n'est pas entier, on l'arrondit à l'entier supérieur ; s'il est entier, on le garde tel quel. $Q_1$ (resp. $Q_3$ ) est alors la valeur de la série triée qui a ce rang, c'est-à-dire la première valeur dont l'effectif cumulé atteint ce rang.

Exemple — quartiles de la 2nde C

rang de $Q_1$ : $0{,}25\times 25 = 6{,}25$ , non entier $\Rightarrow$ rang $7$
ECC : $\ldots ; 10{\to}6\,;11{\to}8$
$\Rightarrow$ le rang $7$ tombe sur la valeur $11$ $\Rightarrow$ $Q_1 = 11$
rang de $Q_3$ : $0{,}75\times 25 = 18{,}75$ , non entier $\Rightarrow$ rang $19$
ECC : $\ldots ; 14{\to}18\,;15{\to}20$
$\Rightarrow$ le rang $19$ tombe sur la valeur $15$ $\Rightarrow$ $Q_3 = 15$

Au moins $25\ \%$ des élèves ont une note $\leqslant 11$ , et au moins $75\ \%$ ont une note $\leqslant 15$ .

Exemple — quartiles des temps de trajet de Moussa

Série triée ( $N=6$ ) : $10\,;12\,;14\,;15\,;16\,;18$ .

rang de $Q_1$ : $0{,}25\times 6 = 1{,}5 \Rightarrow$ rang $2$ $\Rightarrow$ $Q_1 = 12$
rang de $Q_3$ : $0{,}75\times 6 = 4{,}5 \Rightarrow$ rang $5$ $\Rightarrow$ $Q_3 = 16$

3.2 L'écart interquartile

Définition

L'écart interquartile est l'étendue de l'intervalle $[Q_1;Q_3]$ :

$\mathrm{EIQ} = Q_3 - Q_1$

Il contient la moitié « centrale » des valeurs de la série.

Propriété

L'écart interquartile est peu sensible aux valeurs extrêmes : une valeur exceptionnellement grande ou petite peut faire bouger le minimum ou le maximum sans changer ni $Q_1$ ni $Q_3$ . C'est l'un des grands intérêts des quartiles par rapport à l'étendue (section suivante).

Exemple

Pour la 2nde C : $\mathrm{EIQ} = Q_3 - Q_1 = 15 - 11 = 4$ . Pour les trajets de Moussa : $\mathrm{EIQ} = 16-12 = 4$ min : la moitié de ses trajets durent entre $12$ et $16$ minutes.

Attention

Ne confonds pas écart interquartile ( $Q_3-Q_1$ , utilise les quartiles) et étendue (max $-$ min, utilise les valeurs extrêmes) : ce sont deux mesures de dispersion très différentes, la seconde beaucoup plus sensible aux valeurs exceptionnelles. On l'étudie dans la section suivante.

4Étendue et écart type

Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne et pourtant être très différentes : l'une resserrée autour de sa moyenne, l'autre très dispersée. Les indicateurs de dispersion mesurent cet écartement.

4.1 L'étendue

Définition

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur :

$e = x_{\max} - x_{\min}$

Exemple

Pour la 2nde C : $x_{\max}=19$ , $x_{\min}=8$ , donc $e = 19-8 = 11$ .

Attention

L'étendue ne dépend que de deux valeurs de la série (le minimum et le maximum) : elle est donc extrêmement sensible à une seule valeur exceptionnelle, et ignore tout ce qui se passe entre les deux. C'est un indicateur de dispersion très fruste, à toujours compléter par l'écart interquartile ou l'écart type.

4.2 Variance et écart type

Définition

La variance d'une série de moyenne $\bar{x}$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

$V = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} n_i\left(x_i - \bar{x}\right)^{2}$

L'écart type est la racine carrée de la variance : $\sigma = \sqrt{V}$ . Il s'exprime dans la même unité que les données (contrairement à la variance, exprimée dans l'unité au carré).

Propriété — formule pratique

On démontre (programme de Première) que la variance se calcule aussi par :

$V = \left(\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i^{2}\right) - \bar{x}^{2}$

« moyenne des carrés moins carré de la moyenne » : c'est souvent la formule la plus rapide en pratique, car elle évite de calculer chaque écart $x_i-\bar x$ séparément.

Méthode — tableau de calcul

On ajoute une ligne $x_i^{2}$ au tableau d'effectifs, on calcule $\displaystyle\sum n_i x_i^{2}$ , on divise par $N$ , puis on soustrait $\bar{x}^{2}$ : c'est la variance. On termine par une racine carrée pour obtenir $\sigma$ .

Exemple — écart type de la 2nde C

On a déjà $\bar{x} = 12{,}92$ . Calculons $\displaystyle\sum n_i x_i^{2}$ :

$\displaystyle\sum n_i x_i^{2} = 1{\times}8^{2}+2{\times}9^{2}+3{\times}10^{2}+2{\times}11^{2}+4{\times}12^{2}+3{\times}13^{2}+3{\times}14^{2}+2{\times}15^{2}+2{\times}16^{2}+1{\times}17^{2}+1{\times}18^{2}+1{\times}19^{2}$
$=$ $4\,375$
moyenne des carrés $= \dfrac{4\,375}{25} = 175$
$V = 175 - 12{,}92^{2}$
$=$ $175 - 166{,}9264$
$=$ $8{,}0736$
$\sigma = \sqrt{8{,}0736}$
$\approx$ $2{,}84$

L'écart type de la classe est $\sigma \approx 2{,}84$ points.

Exemple — écart type des trajets de Moussa

Série : $10\,;12\,;14\,;15\,;16\,;18$ , $N=6$ .

$\bar{x} = \dfrac{10+12+14+15+16+18}{6} = \dfrac{85}{6} \approx 14{,}17$
$\displaystyle\sum x_i^{2} = 100+144+196+225+256+324 = 1\,245$
moyenne des carrés $= \dfrac{1\,245}{6} \approx 207{,}5$
$V \approx 207{,}5 - 14{,}17^{2} \approx 207{,}5-200{,}69$
$=$ $6{,}81$
$\sigma \approx \sqrt{6{,}81}$
$\approx$ $2{,}61$ min

Attention

L'écart type est toujours positif ou nul (c'est une racine carrée). Il vaut $0$ uniquement si toutes les valeurs de la série sont égales. N'oublie jamais la racine carrée finale : la variance, elle, est dans l'unité au carré et ne se compare pas directement aux données.

Math & Co — Qui a inventé l'écart type ?

Le terme anglais standard deviation (écart type) est introduit en $1893$ par le statisticien britannique Karl Pearson, dans un article sur la variation des populations biologiques. Avant lui, les astronomes et les géomètres utilisaient déjà des sommes de carrés d'écarts — notamment Carl Friedrich Gauss, au début du XIXe siècle, pour évaluer la précision de mesures astronomiques — mais sans nom unifié ni symbole standard.

Le symbole $\sigma$ (sigma minuscule) s'est imposé peu après, et reste aujourd'hui la notation universelle de l'écart type, aussi bien en statistique qu'en physique des mesures.

5Diagramme en boîte

Comment résumer une série entière — sa position et sa dispersion — en une seule image ? Le diagramme en boîte (ou « boîte à moustaches ») répond à cette question : il condense cinq nombres clés en un schéma lisible d'un coup d'œil.

5.1 Les cinq indicateurs du diagramme

Définition

Le diagramme en boîte d'une série repose sur cinq valeurs, appelées son résumé à cinq chiffres : le minimum $x_{\min}$ , le premier quartile $Q_1$ , la médiane $\mathrm{Me}$ , le troisième quartile $Q_3$ , et le maximum $x_{\max}$ .

Méthode — construire un diagramme en boîte

Sur un axe gradué représentant les valeurs de la série :

on trace un rectangle (la « boîte ») de $Q_1$ à $Q_3$ ;
on trace un trait vertical à l'intérieur, à la médiane $\mathrm{Me}$ ;
on prolonge la boîte par deux segments (les « moustaches »), de $Q_1$ à $x_{\min}$ , et de $Q_3$ à $x_{\max}$ .

Exemple — diagramme en boîte de la 2nde C

On a déjà calculé, pour les notes de la 2nde C : $x_{\min}=8$ , $Q_1=11$ , $\mathrm{Me}=13$ , $Q_3=15$ , $x_{\max}=19$ .

Figure 4 — Diagramme en boîte des notes de la 2nde C. La boîte contient la moitié centrale des notes ([11 ; 15]) ; les moustaches rejoignent les valeurs extrêmes.

Propriété — lire la forme d'un diagramme en boîte

Si la médiane est proche du centre de la boîte et les deux moustaches de longueurs comparables, la série est plutôt symétrique. Si la médiane est décalée vers un bord de la boîte, ou si une moustache est nettement plus longue que l'autre, la série est asymétrique (étalée d'un côté).

Attention

Le diagramme en boîte ne montre ni la moyenne, ni le mode, et ne dit rien du nombre exact de valeurs dans chaque partie au-delà de leur égalité approximative (chaque « quart » de la boîte contient environ un quart des données, jamais visible directement). Il complète les autres indicateurs, il ne les remplace pas.

6Comparaison de séries

Comparer deux séries, c'est répondre à deux questions distinctes : « laquelle est globalement plus grande ? » (position) et « laquelle est la plus régulière ? » (dispersion). Il faut toujours répondre aux deux, car l'une ne renseigne jamais sur l'autre.

6.1 Deux classes, deux profils

Comparons la 2nde C à une autre classe du même lycée de Dakar, la 2nde D, qui a composé sur le même devoir. Voici ses $24$ notes, déjà triées :

$3\,;5\,;9\,;10\,;10\,;11\,;12\,;12\,;12\,;13\,;13\,;13\,;13\,;14\,;14\,;14\,;15\,;15\,;16\,;16\,;17\,;18\,;19\,;20$

Indicateur	2nde C	2nde D
Effectif $N$	$25$	$24$
Moyenne $\bar{x}$	$12{,}92$	$13{,}08$
Médiane $\mathrm{Me}$	$13$	$13$
$Q_1$ ; $Q_3$	$11$ ; $15$	$11$ ; $15$
Écart interquartile	$4$	$4$
Étendue	$11$	$17$
Écart type $\sigma$	$2{,}84$	$3{,}87$

Exemple — lecture du tableau

La moyenne ( $13{,}08$ ) et la médiane ( $13$ ) de la 2nde D sont très proches de celles de la 2nde C : les deux classes ont, en position, un niveau comparable. En revanche, la 2nde D a un écart type nettement plus grand ( $3{,}87$ contre $2{,}84$ ) et une étendue presque double ( $17$ contre $11$ ) : elle est beaucoup moins homogène. Cela s'explique par un seul élève noté $3$ , très en dessous du reste de la classe.

Remarque importante : l'écart interquartile, lui, reste identique ( $4$ dans les deux classes) — l'élève à $3$ ne modifie ni $Q_1$ ni $Q_3$ , preuve que l'écart interquartile résiste bien mieux aux valeurs extrêmes que l'étendue ou l'écart type.

Figure 5 — Diagrammes en boîte comparés : même boîte centrale (

Q_1=11

Q_3=15

) pour les deux classes, mais une moustache beaucoup plus longue pour la 2nde D, à cause d'un élève à

3

6.2 Même moyenne, dispersions très différentes

Propriété — comparer, c'est croiser position et dispersion

Deux séries de moyennes (ou médianes) presque égales peuvent avoir des dispersions très différentes. Comparer deux séries exige donc de croiser toujours les deux familles d'indicateurs : jamais la position seule, jamais la dispersion seule.

Exemple — deux coopératives, une récolte plus fiable que l'autre

Deux coopératives récoltent du mil (en tonnes) sur $5$ parcelles chacune :

Coopérative A : $12\,;13\,;12\,;14\,;13$ — Coopérative B : $8\,;20\,;9\,;21\,;7$

$\bar{x}_A = \dfrac{12+13+12+14+13}{5} = \dfrac{64}{5} = 12{,}8$ t
$\bar{x}_B = \dfrac{8+20+9+21+7}{5} = \dfrac{65}{5} = 13$ t
$\sigma_A \approx 0{,}75$ t (calcul identique aux exemples précédents)
$\sigma_B \approx 6{,}16$ t

Les deux coopératives récoltent presque la même moyenne ( $12{,}8$ et $13$ tonnes), mais la coopérative A est huit fois plus régulière ( $\sigma_A \approx 0{,}75$ ) que la coopérative B ( $\sigma_B \approx 6{,}16$ ), dont les parcelles alternent très bonnes et très mauvaises récoltes. Pour un acheteur qui a besoin d'un approvisionnement fiable, la coopérative A est le choix le plus sûr, malgré une moyenne presque identique.

Attention

Ne dis jamais « la série A est meilleure que la série B » sans préciser selon quel critère : une moyenne plus haute, une meilleure régularité, une médiane plus favorable ? Une comparaison statistique rigoureuse nomme toujours l'indicateur utilisé.

Math & Co — L'homme moyen de Quetelet

En $1835$ , l'astronome et statisticien belge Adolphe Quetelet publie Sur l'homme et le développement de ses facultés, où il introduit la notion d'« homme moyen » (l'homme moyen) : il applique aux mesures humaines — taille, poids, âge au mariage — les mêmes méthodes que les astronomes utilisaient pour combiner leurs observations d'étoiles.

Quetelet est aussi l'inventeur de l'indice de masse corporelle (IMC), qu'il définit dans ce même ouvrage comme le rapport entre le poids et le carré de la taille — un indicateur encore utilisé aujourd'hui en santé publique, deux siècles plus tard.

Fiche mémo

Effectif $n_i$ , fréquence $f_i = n_i/N$ , effectif cumulé croissant (ECC) : nombre de valeurs $\leqslant x_i$ .
Diagramme circulaire : angle d'un secteur $= \dfrac{n_i}{N}\times 360°$ — vérifier que la somme des angles fait $360°$ .
Histogramme, amplitudes inégales : hauteur $= \dfrac{n_i}{b_i-a_i}$ (densité), jamais l'effectif brut.
Moyenne $\bar{x} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum n_i x_i$ ; linéarité : $\overline{ax+b} = a\bar{x}+b$ .
Moyenne pondérée $= \dfrac{\sum c_i x_i}{\sum c_i}$ ; moyenne par classes : remplacer chaque classe par son centre (valeur approchée).
Médiane : rang $\dfrac{N+1}{2}$ si $N$ impair ; demi-somme des rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ si $N$ pair.
Mode : valeur (ou classe) d'effectif maximal — simple lecture, sans calcul.
Quartiles $Q_1$ , $Q_3$ : plus petite valeur telle qu'au moins $25\ \%$ (resp. $75\ \%$ ) des données lui soient $\leqslant$ .
Écart interquartile $\mathrm{EIQ} = Q_3-Q_1$ : peu sensible aux valeurs extrêmes.
Étendue $e = x_{\max}-x_{\min}$ : très sensible aux valeurs extrêmes.
Variance $V = \left(\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum n_i x_i^{2}\right) - \bar{x}^{2}$ ; écart type $\sigma = \sqrt{V}$ , même unité que les données.
Diagramme en boîte : boîte de $Q_1$ à $Q_3$ , trait à $\mathrm{Me}$ , moustaches jusqu'à $x_{\min}$ et $x_{\max}$ .
Comparer deux séries : toujours croiser position (moyenne, médiane) et dispersion (étendue, EIQ, écart type).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Une boutique de Yaoundé a vendu $20$ paires de chaussures en une journée. Voici les pointures et leurs effectifs : $38\to 2\,;39\to 3\,;40\to 6\,;41\to 5\,;42\to 3\,;43\to 1$ . Calcule la fréquence de chaque pointure (en $\%$ ), puis l'effectif cumulé croissant. Quel pourcentage des paires vendues fait au plus $40$ ?

Voir le corrigé détaillé

L'effectif total est $N = 2+3+6+5+3+1 = 20$ .

Pointure	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$	$43$
Effectif	$2$	$3$	$6$	$5$	$3$	$1$
Fréquence	$10\ \%$	$15\ \%$	$30\ \%$	$25\ \%$	$15\ \%$	$5\ \%$
ECC	$2$	$5$	$11$	$16$	$19$	$20$

paires de pointure $\leqslant 40$ : ECC $(40) = 11$
proportion $= \dfrac{11}{20}$
$=$ $0{,}55 = 55\ \%$

$55\ \%$ des paires vendues font au plus $40$ .

Une équipe de football d'Abidjan a marqué, lors de $8$ matchs : $1\,;2\,;0\,;3\,;1\,;2\,;4\,;1$ buts. Calcule le nombre moyen de buts marqués par match.

Voir le corrigé détaillé

somme des buts $= 1+2+0+3+1+2+4+1$
$=$ $14$
$\bar{x} = \dfrac{14}{8}$
$=$ $1{,}75$ but par match

Les âges de $7$ enfants inscrits à un club de basket à Douala sont : $12\,;14\,;11\,;13\,;15\,;12\,;14$ . Détermine l'âge médian.

Voir le corrigé détaillé

série triée : $11\,;12\,;12\,;13\,;14\,;14\,;15$
$N=7$ impair, rang $\dfrac{7+1}{2} = 4$
$\Rightarrow$ $\mathrm{Me} = 13$ ans4e valeur de la série triée

Un marché de Bamako a vendu $6$ sacs de riz de poids (en kg) : $25\,;27\,;25\,;26\,;28\,;25$ . Détermine la médiane et le mode de cette série.

Voir le corrigé détaillé

série triée : $25\,;25\,;25\,;26\,;27\,;28$
$N=6$ pair, rangs $3$ et $4$ : $25$ et $26$
$\mathrm{Me} = \dfrac{25+26}{2}$
$=$ $25{,}5$ kg

Le poids $25$ apparaît $3$ fois, plus souvent que les autres : le mode est $25$ kg.

Voici $8$ notes sur $10$ , déjà triées : $4\,;6\,;6\,;7\,;8\,;8\,;9\,;10$ . Calcule l'étendue, puis $Q_1$ et $Q_3$ .

Voir le corrigé détaillé

étendue $e = 10-4$
$=$ $6$
rang de $Q_1$ : $0{,}25\times 8 = 2$ (entier) $\Rightarrow$ rang $2$
$\Rightarrow$ $Q_1 = 6$ 2e valeur de la série triée
rang de $Q_3$ : $0{,}75\times 8 = 6$ (entier) $\Rightarrow$ rang $6$
$\Rightarrow$ $Q_3 = 8$ 6e valeur de la série triée

Les températures maximales relevées pendant $4$ jours à Abéché sont (en °C) : $40\,;42\,;38\,;40$ . Calcule l'écart type de cette série.

Voir le corrigé détaillé

$\bar{x} = \dfrac{40+42+38+40}{4} = \dfrac{160}{4}$
$=$ $40$
$\displaystyle\sum x_i^{2} = 1\,600+1\,764+1\,444+1\,600$
$=$ $6\,408$
$V = \dfrac{6\,408}{4} - 40^{2}$
$=$ $1\,602-1\,600 = 2$
$\sigma = \sqrt{2}$
$\approx$ $1{,}41$ °C

Niveau 2 — Approfondissement

Une classe de $20$ élèves a obtenu les notes $8\,;12\,;16\,;18$ , d'effectifs respectifs $4\,;a\,;b\,;3$ . On sait que la fréquence de la note $16$ est $30\ \%$ . Détermine $a$ et $b$ , puis calcule la moyenne de la classe.

Voir le corrigé détaillé

$b = 30\ \% \times 20$
$=$ $6$
effectif total : $4+a+6+3 = 20$
$\Rightarrow$ $a = 20-13$
$=$ $7$
$\bar{x} = \dfrac{8{\times}4+12{\times}7+16{\times}6+18{\times}3}{20}$
$=$ $\dfrac{32+84+96+54}{20} = \dfrac{266}{20}$
$=$ $13{,}3$

Le relevé de notes de Koffi (Abidjan) comporte : Mathématiques $15$ (coefficient $4$ ), Français $11$ (coefficient $3$ ), Anglais $13$ (coefficient $2$ ), EPS $16$ (coefficient $1$ ). Calcule sa moyenne pondérée.

Voir le corrigé détaillé

somme des coefficients $= 4+3+2+1 = 10$
$\bar{x} = \dfrac{15{\times}4+11{\times}3+13{\times}2+16{\times}1}{10}$
$=$ $\dfrac{60+33+26+16}{10} = \dfrac{135}{10}$
$=$ $13{,}5$

Les salaires mensuels (en milliers de F CFA) de $50$ employés d'une entreprise de Dakar se répartissent ainsi : $[100;150[\to 10$ , $[150;200[\to 20$ , $[200;300[\to 15$ , $[300;500[\to 5$ . Estime le salaire moyen.

Voir le corrigé détaillé

On remplace chaque classe par son centre.

Classe	$[100;150[$	$[150;200[$	$[200;300[$	$[300;500[$
Centre	$125$	$175$	$250$	$400$
Effectif	$10$	$20$	$15$	$5$

$\displaystyle\sum n_i\,\text{centre}_i = 125{\times}10+175{\times}20+250{\times}15+400{\times}5$
$=$ $1\,250+3\,500+3\,750+2\,000 = 10\,500$
$\bar{x} \approx \dfrac{10\,500}{50}$
$=$ $210$ milliers de F CFA, soit $210\,000$ F CFA

Les temps (en minutes) de $16$ coureurs à une course d'Abéché, triés : $22\,;23\,;24\,;24\,;25\,;25\,;26\,;26\,;27\,;27\,;28\,;29\,;30\,;31\,;33\,;36$ . Calcule $Q_1$ , $Q_3$ , et l'écart interquartile.

Voir le corrigé détaillé

rang de $Q_1$ : $0{,}25\times 16 = 4$ (entier)
$\Rightarrow$ $Q_1 = 24$ 4e valeur de la série triée
rang de $Q_3$ : $0{,}75\times 16 = 12$ (entier)
$\Rightarrow$ $Q_3 = 29$ 12e valeur de la série triée
$\mathrm{EIQ} = 29-24$
$=$ $5$ min

La moitié « centrale » des coureurs a mis entre $24$ et $29$ minutes.

Niveau 3 — Défi

Un club sportif de Ndjamena a relevé, sur $20$ coureurs, la distance parcourue (en km) lors d'un entraînement : $5\to 2\,;6\to 3\,;7\to 4\,;8\to 5\,;9\to 3\,;10\to 2\,;12\to 1$ .

Calcule la moyenne, la médiane et le mode de cette série.
Détermine $Q_1$ , $Q_3$ , l'écart interquartile, l'étendue, puis l'écart type.
Construis (décris) le diagramme en boîte correspondant.

Voir le corrigé détaillé

1. $N = 2+3+4+5+3+2+1 = 20$ . ECC : $5{\to}2\,;6{\to}5\,;7{\to}9\,;8{\to}14\,;9{\to}17\,;10{\to}19\,;12{\to}20$ .

$\displaystyle\sum n_i x_i = 5{\times}2+6{\times}3+7{\times}4+8{\times}5+9{\times}3+10{\times}2+12{\times}1$
$=$ $10+18+28+40+27+20+12 = 155$
$\bar{x} = \dfrac{155}{20}$
$=$ $7{,}75$ km
$N=20$ pair, rangs $10$ et $11$ : tous deux tombent dans la classe $8$ ECC passe de $9$ à $14$ sur la valeur $8$
$\Rightarrow$ $\mathrm{Me} = 8$ km

Le mode est $8$ (effectif $5$ , le plus grand).

rang de $Q_1$ : $0{,}25\times 20 = 5$ (entier) $\Rightarrow$ $Q_1 = 6$ ECC atteint $5$ exactement sur la valeur $6$
rang de $Q_3$ : $0{,}75\times 20 = 15$ $\Rightarrow$ $Q_3 = 9$ ECC passe de $14$ à $17$ sur la valeur $9$
$\mathrm{EIQ} = 9-6 = 3$ km ; étendue $e = 12-5 = 7$ km
$\displaystyle\sum n_i x_i^{2} = 5^2{\times}2+6^2{\times}3+7^2{\times}4+8^2{\times}5+9^2{\times}3+10^2{\times}2+12^2{\times}1$
$=$ $50+108+196+320+243+200+144 = 1\,261$
$V = \dfrac{1\,261}{20} - 7{,}75^{2} = 63{,}05-60{,}0625$
$=$ $2{,}9875$
$\sigma = \sqrt{2{,}9875}$
$\approx$ $1{,}73$ km

3. Résumé à cinq chiffres : $x_{\min}=5$ , $Q_1=6$ , $\mathrm{Me}=8$ , $Q_3=9$ , $x_{\max}=12$ .

Figure 6 — Diagramme en boîte de l'entraînement du club sportif de Ndjamena.

Deux stations, l'une à Abéché, l'autre à Ndjamena, ont mesuré leurs précipitations mensuelles (en mm) sur les $6$ mois de la saison des pluies $2024$ . Abéché : $5\,;45\,;80\,;120\,;60\,;10$ . Ndjamena : $40\,;90\,;150\,;180\,;100\,;30$ .

Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue de chaque station.
Calcule l'écart type de chaque station.
Compare les deux stations : laquelle reçoit le plus de pluie ? Laquelle est la plus régulière ?

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1. Abéché — série triée : $5\,;10\,;45\,;60\,;80\,;120$ .

$\bar{x} = \dfrac{5+45+80+120+60+10}{6} = \dfrac{320}{6}$
$\approx$ $53{,}3$ mm
$\mathrm{Me} = \dfrac{45+60}{2}$
$=$ $52{,}5$ mm
étendue $= 120-5 = 115$ mm

Ndjamena — série triée : $30\,;40\,;90\,;100\,;150\,;180$ .

$\bar{x} = \dfrac{590}{6}$
$\approx$ $98{,}3$ mm
$\mathrm{Me} = \dfrac{90+100}{2}$
$=$ $95$ mm
étendue $= 180-30 = 150$ mm

Abéché : $\displaystyle\sum x_i^2 = 26\,550$ , $V = \dfrac{26\,550}{6}-53{,}3^2 \approx 4\,425-2\,844{,}4$
$\approx$ $1\,580{,}6$ $\Rightarrow\ \sigma \approx 39{,}8$ mm
Ndjamena : $\displaystyle\sum x_i^2 = 75\,500$ , $V = \dfrac{75\,500}{6}-98{,}3^2 \approx 12\,583{,}3-9\,669{,}4$
$\approx$ $2\,913{,}9$ $\Rightarrow\ \sigma \approx 54{,}0$ mm

3. Ndjamena reçoit nettement plus de pluie en moyenne ( $98{,}3$ mm contre $53{,}3$ mm), et sa médiane confirme cet écart. Mais Ndjamena est aussi moins régulière : son écart type ( $54{,}0$ ) et son étendue ( $150$ ) sont plus grands que ceux d'Abéché ( $39{,}8$ et $115$ ) : les mois y sont plus contrastés, entre mois secs et mois très pluvieux.

Une série de $10$ valeurs prend les valeurs $10\,;12\,;14\,;16$ , avec les effectifs cumulés croissants suivants : ECC $(10)=3$ , ECC $(12)=7$ , ECC $(14)=9$ , ECC $(16)=10$ . Retrouve l'effectif de chaque valeur, puis calcule la moyenne de la série.

Voir le corrigé détaillé

L'effectif d'une valeur est la différence entre son ECC et celui de la valeur précédente.

$n(10) = \text{ECC}(10) = 3$
$n(12) = 7-3$
$=$ $4$
$n(14) = 9-7$
$=$ $2$
$n(16) = 10-9$
$=$ $1$
vérification : $3+4+2+1 = 10 = N$

$\bar{x} = \dfrac{10{\times}3+12{\times}4+14{\times}2+16{\times}1}{10}$
$=$ $\dfrac{30+48+28+16}{10} = \dfrac{122}{10}$
$=$ $12{,}2$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Aminata, commerçante à Dakar. Aminata a noté ses ventes journalières de tissu (en mètres) sur $10$ jours : $12\,;15\,;10\,;40\,;14\,;13\,;11\,;16\,;12\,;14$ (le jour à $40$ m correspond à une commande de mariage exceptionnelle).

Calcule la moyenne et la médiane de ses ventes.
Recalcule la moyenne en excluant le jour exceptionnel.
Pour prévoir son stock d'un « jour normal », Aminata doit-elle utiliser la moyenne des $10$ jours, ou la médiane ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. Série triée : $10\,;11\,;12\,;12\,;13\,;14\,;14\,;15\,;16\,;40$ .

$\displaystyle\sum x_i = 12+15+10+40+14+13+11+16+12+14$
$=$ $157$
$\bar{x} = \dfrac{157}{10}$
$=$ $15{,}7$ m
$N=10$ pair, rangs $5$ et $6$ : $13$ et $14$
$\mathrm{Me} = \dfrac{13+14}{2}$
$=$ $13{,}5$ m

somme sans le jour exceptionnel $= 157-40$
$=$ $117$
$\bar{x}' = \dfrac{117}{9}$
$=$ $13$ m

3. Sans le jour exceptionnel, la moyenne ( $13$ m) est très proche de la médiane ( $13{,}5$ m) : c'est bien la médiane, peu sensible à la valeur extrême de $40$ m, qui représente le mieux un jour de vente ordinaire. La moyenne des $10$ jours ( $15{,}7$ m) est artificiellement gonflée par la commande exceptionnelle : elle risquerait de faire surestimer le stock nécessaire un jour normal.

Cacao à Douala. Une coopérative a récolté $8$ tonnes de cacao, réparties en trois qualités : A ( $45\ \%$ ), B ( $35\ \%$ ), C ( $20\ \%$ ). Elle vend la qualité A à $1\,500$ F CFA/kg, la B à $1\,200$ F CFA/kg, la C à $900$ F CFA/kg.

Calcule le tonnage de chaque qualité, puis l'angle de son secteur dans un diagramme circulaire.
Calcule la recette totale de la coopérative.

Voir le corrigé détaillé

qualité A : $45\ \% \times 8 = 3{,}6$ t ; angle $= 45\ \%\times 360° = 162°$
qualité B : $35\ \% \times 8 = 2{,}8$ t ; angle $= 35\ \%\times 360° = 126°$
qualité C : $20\ \% \times 8 = 1{,}6$ t ; angle $= 20\ \%\times 360° = 72°$
vérification : $162+126+72 = 360°$

2. On convertit les tonnages en kilogrammes ( $1$ t $=1\,000$ kg).

recette A $= 3\,600\times 1\,500$
$=$ $5\,400\,000$ F CFA
recette B $= 2\,800\times 1\,200$
$=$ $3\,360\,000$ F CFA
recette C $= 1\,600\times 900$
$=$ $1\,440\,000$ F CFA
recette totale $= 5\,400\,000+3\,360\,000+1\,440\,000$
$=$ $10\,200\,000$ F CFA

Bus ou taxi-moto à Bamako ? Pour se rendre chaque matin au marché central, un vendeur chronomètre $6$ trajets en bus (en minutes) : $25\,;28\,;26\,;24\,;27\,;26$ , puis $6$ trajets en taxi-moto : $15\,;40\,;12\,;45\,;10\,;38$ .

Calcule la durée moyenne de chaque mode de transport.
Calcule l'écart type de chaque série.
Le vendeur a un rendez-vous important : quel mode de transport lui conseilles-tu, et pourquoi ?

Voir le corrigé détaillé

$\bar{x}_{\text{bus}} = \dfrac{25+28+26+24+27+26}{6} = \dfrac{156}{6}$
$=$ $26$ min
$\bar{x}_{\text{moto}} = \dfrac{15+40+12+45+10+38}{6} = \dfrac{160}{6}$
$\approx$ $26{,}7$ min

bus : $\displaystyle\sum x_i^2 = 4\,066$ , $V = \dfrac{4\,066}{6}-26^2 \approx 677{,}7-676$
$\approx$ $1{,}67$ $\Rightarrow\ \sigma_{\text{bus}} \approx 1{,}29$ min
moto : $\displaystyle\sum x_i^2 = 5\,538$ , $V = \dfrac{5\,538}{6}-26{,}7^2 \approx 923-711{,}1$
$\approx$ $211{,}9$ $\Rightarrow\ \sigma_{\text{moto}} \approx 14{,}6$ min

3. Les deux modes de transport ont une durée moyenne presque identique ( $26$ et $26{,}7$ min), mais le bus est beaucoup plus régulier ( $\sigma \approx 1{,}3$ min) que le taxi-moto ( $\sigma \approx 14{,}6$ min), dont les trajets varient énormément selon la circulation. Pour un rendez-vous où l'heure d'arrivée compte, le bus est le choix le plus sûr, malgré une moyenne comparable.

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Fonctions : généralités et lectures graphiques

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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La fréquence $f_i$ d'une valeur $x_i$ , d'effectif $n_i$ dans une population d'effectif total $N$ , est définie par :

f_i = \dfrac{n_i}{N}

f_i = n_i \times N

f_i = N - n_i

f_i = \dfrac{N}{n_i}

Explication : La fréquence est la proportion d'individus présentant la valeur

x_i

, soit son effectif divisé par l'effectif total.

L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur $x_i$ est :

l'effectif de

x_i

uniquement le nombre d'individus dont la valeur du caractère est

\leqslant x_i

le nombre d'individus dont la valeur du caractère est

\geqslant x_i

la fréquence de

x_i

exprimée en pourcentage

Explication : L'ECC compte tous les individus dont la valeur est inférieure ou égale à

x_i

, pas seulement ceux qui présentent exactement cette valeur.

Dans un diagramme circulaire, l'angle du secteur associé à une catégorie d'effectif $n_i$ , sur un total $N$ , est :

\dfrac{N}{n_i}\times 360°

n_i \times 360°

\dfrac{n_i}{N}\times 360°

\dfrac{n_i}{N}\times 100

Explication : La catégorie occupe une fraction

\dfrac{n_i}{N}

du disque complet de

360°

: son angle est donc

\dfrac{n_i}{N}\times 360°

. La somme de tous les angles doit toujours redonner

360°

Pour un histogramme à classes d'amplitudes inégales, la hauteur correcte du rectangle représentant une classe $[a_i\,;b_i[$ d'effectif $n_i$ est :

n_i

n_i \times (b_i-a_i)

b_i - a_i

\dfrac{n_i}{b_i-a_i}

Explication : C'est la densité d'effectif. Prendre la hauteur égale à l'effectif brut fausserait le dessin dès que les classes ont des amplitudes différentes.

La moyenne d'une série de valeurs $x_i$ d'effectifs $n_i$ , d'effectif total $N$ , est donnée par :

\bar{x}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum n_i x_i

\bar{x}=\displaystyle\sum n_i x_i

\bar{x}=\dfrac{N}{\sum n_i x_i}

\bar{x}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum x_i

Explication : La moyenne pondère chaque valeur par son effectif avant de diviser par l'effectif total

N

Une classe a une moyenne $\bar{x}=11$ . Le professeur ajoute $2$ points bonus à toutes les copies. La nouvelle moyenne est :

22

13

11

9

Explication : Ajouter un même nombre

b

à toutes les valeurs ajoute exactement

b

à la moyenne :

11+2=13

Amadou obtient : Mathématiques $16$ (coefficient $3$ ), Français $10$ (coefficient $2$ ), EPS $14$ (coefficient $1$ ). Sa moyenne pondérée vaut :

13

13{,}3

13{,}67

14

Explication :

\bar{x}=\dfrac{16{\times}3+10{\times}2+14{\times}1}{3+2+1}=\dfrac{48+20+14}{6}=\dfrac{82}{6}\approx13{,}67

Pour calculer la moyenne d'une série de valeurs groupées en classes, on remplace chaque classe par :

sa borne inférieure sa borne supérieure son amplitude son centre

\dfrac{a_i+b_i}{2}

Explication : Faute de connaître les valeurs exactes à l'intérieur de chaque classe, on les approche par le centre de la classe, ce qui donne une valeur approchée de la moyenne.

Une série triée compte $N=9$ valeurs. Quel est le rang de sa médiane ?

rang

5

rang

4

rang

4{,}5

rang

9

Explication : Pour

N

impair, la médiane est la valeur de rang

\dfrac{N+1}{2}=\dfrac{9+1}{2}=5

Série triée de $N=10$ valeurs : $4\,;5\,;6\,;7\,;8\,;9\,;10\,;11\,;12\,;13$ . Quelle est la médiane ?

8

8{,}5

9

5{,}5

Explication :

N=10

est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs

5

6

, soit

\dfrac{8+9}{2}=8{,}5

Le mode d'une série statistique est :

la moyenne des valeurs extrêmes la valeur qui coupe la série en deux parts égales la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif la différence entre le maximum et le minimum

Explication : Le mode se lit directement dans le tableau d'effectifs, sans aucun calcul : c'est la valeur la plus fréquente.

Pour une série triée de $N=40$ valeurs, le rang théorique de $Q_1$ est $0{,}25\times40=10$ , un nombre entier. Que fait-on alors ?

on prend la valeur de rang

10{,}5

on arrondit à l'entier supérieur, rang

11

on prend la moyenne des rangs

9

10

on garde directement le rang

10

, puisqu'il est déjà entier

Explication : On n'arrondit à l'entier supérieur que lorsque le rang théorique n'est pas entier. Ici

10

est déjà entier :

Q_1

est la valeur de rang

10

L'écart interquartile $\mathrm{EIQ}$ d'une série est défini par :

\mathrm{EIQ}=Q_3-Q_1

\mathrm{EIQ}=Q_1-Q_3

\mathrm{EIQ}=x_{\max}-x_{\min}

\mathrm{EIQ}=\dfrac{Q_1+Q_3}{2}

Explication : L'écart interquartile est l'étendue de l'intervalle

[Q_1\,;Q_3]

, qui contient la moitié centrale de la série.

Pourquoi l'écart interquartile est-il souvent préféré à l'étendue pour mesurer la dispersion d'une série ?

il se calcule plus rapidement, sans trier la série il est peu sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à l'étendue il donne toujours un nombre plus petit que l'étendue il ne dépend pas de la médiane de la série

Explication : Une valeur exceptionnellement grande ou petite peut faire bouger le minimum ou le maximum (donc l'étendue) sans changer ni

Q_1

Q_3

: l'écart interquartile résiste bien mieux aux valeurs extrêmes.

La variance $V$ d'une série de moyenne $\bar{x}$ peut se calculer par la formule pratique :

V=\bar{x}^{2} - \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum n_i x_i

V=\sqrt{\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum n_i x_i^{2}}

V=\left(\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum n_i x_i^{2}\right)-\bar{x}^{2}

V=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum n_i x_i^{2} + \bar{x}^{2}

Explication : C'est la formule « moyenne des carrés moins carré de la moyenne », souvent plus rapide que de calculer chaque écart

x_i-\bar x

séparément.

L'écart type $\sigma$ d'une série :

peut être négatif si les valeurs de la série sont petites s'exprime dans l'unité au carré des données vaut toujours exactement

1

est toujours positif ou nul, et s'exprime dans la même unité que les données

Explication :

\sigma=\sqrt{V}

est une racine carrée, donc toujours positive ou nulle, et cette racine ramène l'unité de la variance (au carré) à l'unité initiale des données.

Le diagramme en boîte d'une série repose sur cinq valeurs, appelées son résumé à cinq chiffres :

x_{\min}

Q_1

\mathrm{Me}

Q_3

x_{\max}

la moyenne, la médiane, le mode, l'écart type et l'étendue les quatre quartiles et la moyenne le minimum, le maximum, et trois valeurs intermédiaires arbitraires

Explication : Le diagramme en boîte trace une boîte de

Q_1

Q_3

, un trait à la médiane, et deux moustaches jusqu'aux valeurs extrêmes

x_{\min}

x_{\max}

Pour les notes de la 2nde C, on a trouvé $Q_1=11$ et $Q_3=15$ . L'écart interquartile vaut :

11

4

15

26

Explication :

\mathrm{EIQ}=Q_3-Q_1=15-11=4

Deux coopératives récoltent en moyenne presque la même quantité de mil, mais la coopérative B a un écart type bien plus grand que la coopérative A. Que peut-on en conclure ?

la coopérative B récolte globalement plus que la coopérative A les deux coopératives ont exactement les mêmes récoltes chaque année la coopérative A est plus régulière : ses parcelles varient moins d'une année à l'autre l'écart type ne permet aucune conclusion utile dans ce cas

Explication : Une moyenne comparable ne dit rien de la dispersion : un écart type plus petit signale une série plus homogène, donc une récolte plus régulière et plus fiable.

Deux classes ont exactement la même médiane et le même écart interquartile, mais une étendue très différente. Que peut-on en déduire ?

les deux séries sont forcément identiques rien : l'étendue n'a aucun rapport avec la dispersion d'une série la classe à la plus grande étendue a nécessairement la plus grande moyenne leur dispersion « centrale » est comparable, mais l'une contient des valeurs extrêmes bien plus éloignées que l'autre

Explication : L'écart interquartile identique montre que la moitié centrale des deux séries se ressemble ; l'étendue, très sensible aux valeurs extrêmes, révèle que l'une des deux séries a des valeurs bien plus éloignées du centre.

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En bref

Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 7 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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