Systèmes d'équations et droites

Résoudre un système et l'interpréter comme intersection de deux droites.

Mathématiques Seconde Chapitre 8 / 15 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Résoudre un système 2×2
Interpréter géométriquement le résultat
Modéliser un problème économique simple

Depuis la Troisième, tu sais qu’une égalité comme $2x+3y=12$ possède une infinité de solutions : tous les couples $(x\,;y)$ qui la vérifient, et que ces couples, placés dans un repère, dessinent une droite. Ce chapitre franchit une étape décisive : on impose à un couple $(x\,;y)$ de vérifier deux équations à la fois. On parle alors de système, et le résoudre revient, comme tu vas le découvrir, à repérer le point commun à deux droites — quand il existe.

Cette question n’a rien d’abstrait. Comparer deux tarifs de transport, répartir une somme entre deux prix de sacs au marché, retrouver l’âge de deux personnes à partir de deux indices, mélanger deux produits pour obtenir une quantité et un coût donnés : toutes ces situations se traduisent par un système de deux équations à deux inconnues. Savoir le poser, puis le résoudre proprement, est l’une des compétences les plus utiles de toute l’algèbre du lycée.

Par rapport à la Troisième, trois choses changent. D’abord, tu vas disposer de deux méthodes de résolution systématiques — substitution et combinaison — au lieu de tâtonnements. Ensuite, l’interprétation graphique devient un outil à part entière : sécantes, parallèles ou confondues, la position relative de deux droites se lit directement sur les coefficients de leurs équations, grâce à un nombre appelé déterminant. Enfin, tu apprendras à traiter des inéquations à deux inconnues, dont la solution n’est plus un point mais toute une région du plan.

À la fin du chapitre, tu sauras résoudre un système par les deux méthodes, l’interpréter géométriquement, discuter du nombre de solutions sans calcul superflu, représenter un système d’inéquations, et modéliser un problème concret de la vie courante par un système.

1Résolution par substitution et combinaison

1.1 Écriture d’un système linéaire $2\times2$

Définition

Soient $a$ , $b$ , $c$ , $a'$ , $b'$ , $c'$ des nombres réels. Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s’écrit :

$\begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases}$

Résoudre ce système, c’est trouver l’ensemble $S$ de tous les couples $(x\,;y)$ qui vérifient simultanément les deux équations. Un tel couple s’appelle une solution du système.

Chaque équation, prise isolément, est celle d’une droite (sauf cas dégénéré où $a=b=0$ ). Résoudre le système, c’est donc chercher les points communs à ces deux droites — nous y reviendrons en détail dans la section 2. Retiens dès maintenant un outil de diagnostic rapide, que nous justifierons complètement en section 3.

Propriété — le déterminant, en ouverture

On appelle déterminant du système le nombre :

$d = ab'-a'b$

Si $d\neq0$ , le système possède une unique solution : c’est le cas le plus fréquent, celui que traitent les méthodes ci-dessous. Si $d=0$ , il faut approfondir l’étude : c’est l’objet de la section 3.

Exemple — calculer un déterminant

Pour le système $\begin{cases} 2x+3y=13 \\ 5x-2y=4 \end{cases}$ , on a $a=2$ , $b=3$ , $a'=5$ , $b'=-2$ .

$d = ab'-a'b$
$=$ $2\times(-2) - 5\times3$
$=$ $-4-15$
$=$ $-19$ $d\neq0$ : une unique solution existe

1.2 La méthode par substitution

Méthode — résoudre par substitution

1. Dans l’une des deux équations, on isole une inconnue (celle dont le coefficient est le plus simple, souvent $1$ ).

2. On remplace cette inconnue par son expression dans l’autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue.

3. On résout cette équation, puis on revient calculer la seconde inconnue.

4. On vérifie le couple obtenu dans les deux équations de départ.

Exemple 1 — substitution simple

Résolvons $\begin{cases} x+y=5 \quad(1)\\ x-y=-1 \quad(2) \end{cases}$ .

de (1) : $y = 5-x$ on isole $y$
on remplace dans (2) : $x-(5-x)=-1$
$\Leftrightarrow$ $x-5+x=-1$
$\Leftrightarrow$ $2x=4$
$\Leftrightarrow$ $x=2$
on revient à $y=5-x$ : $y=5-2=3$

Vérification dans (2) : $2-3=-1$ . ✓ D’où $S=\{(2\,;3)\}$ .

Exemple 2 — quand isoler

x

est plus simple

Résolvons $\begin{cases} 3x-2y=8 \quad(1)\\ x+y=1 \quad(2) \end{cases}$ .

de (2) : $x=1-y$ coefficient $1$ devant $x$ dans (2)
on remplace dans (1) : $3(1-y)-2y=8$
$\Leftrightarrow$ $3-3y-2y=8$
$\Leftrightarrow$ $-5y=5$
$\Leftrightarrow$ $y=-1$
d’où $x=1-(-1)=2$

Vérification dans (1) : $3\times2-2\times(-1)=6+2=8$ . ✓ D’où $S=\{(2\,;-1)\}$ .

Attention

La substitution se fait toujours dans l’équation qui n’a pas servi à isoler l’inconnue. Remplacer dans la même équation donne une identité $0=0$ qui ne renseigne sur rien : c’est l’erreur la plus fréquente en début d’apprentissage.

1.3 La méthode par combinaison linéaire

Méthode — résoudre par combinaison

1. On choisit une inconnue à éliminer. On multiplie chaque équation par un nombre bien choisi (le second membre compris !) pour que cette inconnue ait des coefficients opposés dans les deux équations.

2. On additionne les deux équations membre à membre : l’inconnue choisie disparaît.

3. On résout l’équation à une inconnue restante, puis on substitue pour obtenir la seconde.

Exemple 1 — combinaison après multiplication

Résolvons $\begin{cases} 2x+3y=13 \quad(1)\\ 5x-2y=4 \quad(2) \end{cases}$ en éliminant $y$ .

$(1)\times2$ : $4x+6y=26$
$(2)\times3$ : $15x-6y=12$ coefficients de $y$ opposés : $6$ et $-6$
on additionne : $19x=38$
$\Leftrightarrow$ $x=2$
dans (1) : $2\times2+3y=13$
$\Leftrightarrow$ $3y=9$
$\Leftrightarrow$ $y=3$

D’où $S=\{(2\,;3)\}$ — on retrouve, sans surprise, le déterminant $d=-19\neq0$ calculé plus haut.

Figure 1 — La combinaison élimine

y

: on multiplie chaque équation pour rendre ses coefficients opposés, on additionne, il ne reste plus qu’une inconnue.

Exemple 2 — combinaison directe

Résolvons $\begin{cases} x+y=9 \\ x-y=3 \end{cases}$ : les coefficients de $y$ sont déjà opposés ( $1$ et $-1$ ), on additionne directement.

$(1)+(2)$ : $2x=12$
$\Leftrightarrow$ $x=6$
dans (1) : $6+y=9$
$\Leftrightarrow$ $y=3$

D’où $S=\{(6\,;3)\}$ .

Math & Co — des systèmes vieux de quatre mille ans

Bien avant l’écriture algébrique moderne, les scribes babyloniens résolvaient déjà des systèmes de deux équations à deux inconnues. Des tablettes d’argile datées d’environ $-1800$ , conservées aujourd’hui au British Museum, posent des problèmes du type : « la somme de deux longueurs vaut tant, leur produit ou une combinaison vaut tant » — et donnent une méthode de résolution rédigée en langage courant, sans aucun symbole.

Il faudra attendre le mathématicien grec Diophante d’Alexandrie, vers $250$ , pour voir apparaître un embryon de notation symbolique dans son traité Arithmetica. La méthode de substitution que tu utilises aujourd’hui est, dans son principe, exactement celle des scribes babyloniens : seule l’écriture a changé.

2Interprétation graphique

Une équation de droite peut s’écrire sous deux formes, et savoir passer de l’une à l’autre est indispensable pour tout ce chapitre.

2.1 Forme réduite et forme cartésienne

Définition

Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite :

$y = mx+p$

où $m$ est le coefficient directeur (la pente) et $p$ l’ordonnée à l’origine (l’image de $0$ ). Toute droite du plan, sans exception, admet aussi une équation cartésienne :

$ax+by+c=0 \qquad \text{avec } (a\,;b)\neq(0\,;0)$

Méthode — passer de la forme cartésienne à la forme réduite

Si $b\neq0$ , on isole $y$ dans $ax+by+c=0$ :

$by = -ax-c$
$\Leftrightarrow$ $y = -\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$

D’où $m=-\dfrac{a}{b}$ et $p=-\dfrac{c}{b}$ . Si $b=0$ , la droite est verticale d’équation $x=-\dfrac{c}{a}$ : elle n’a pas d’équation réduite $y=mx+p$ .

Exemple — conversion

La droite $3x+2y-8=0$ a pour équation réduite :

$2y=-3x+8$
$\Leftrightarrow$ $y=-\dfrac{3}{2}x+4$ $m=-\dfrac{3}{2}$ , $p=4$

2.2 Résoudre un système graphiquement

Propriété

Résoudre le système $\begin{cases} y=mx+p \\ y=m'x+p' \end{cases}$ , c’est chercher les points communs aux droites $d$ et $d'$ qu’elles représentent. Le couple solution est constitué des coordonnées du (ou des) point(s) d’intersection.

Reprenons le système $\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=-1 \end{cases}$ résolu par substitution en 1.2, de solution $(2\,;3)$ . Sous forme réduite, il s’écrit $\begin{cases} y=-x+5 \\ y=x+1 \end{cases}$ : deux droites de pentes opposées $-1$ et $1$ , donc sécantes (pentes différentes).

Figure 2 — Les droites

d_1

d_2

sont sécantes (pentes

-1

1

, différentes) : elles ont un unique point commun,

A(2\,;3)

— les pointillés lisent ses coordonnées sur les axes.

Méthode — résoudre graphiquement

1. On met chaque équation sous forme réduite $y=mx+p$ . 2. On trace les deux droites dans un même repère (deux points suffisent pour chacune). 3. On lit les coordonnées du point d’intersection. 4. On vérifie ce résultat par le calcul : une lecture graphique ne donne, en général, qu’une valeur approchée.

Attention

Une lecture graphique n’a jamais la précision d’un calcul. Si les coordonnées lues ne sont pas des nombres « ronds », c’est le signal qu’il faut résoudre algébriquement (substitution ou combinaison) pour obtenir la valeur exacte.

3Systèmes sans solution ou à une infinité de solutions

Tous les systèmes n’ont pas une unique solution. Reprenons le déterminant $d=ab'-a'b$ annoncé en ouverture du chapitre, et allons jusqu’au bout de la discussion.

3.1 Trois cas possibles

Théorème

Soit le système $\begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases}$ , de droites associées $d$ et $d'$ , et de déterminant $d=ab'-a'b$ .

Si $d\neq0$ : les droites sont sécantes, le système a une unique solution.
Si $d=0$ et les deux équations ne sont pas proportionnelles : les droites sont strictement parallèles, le système n’a aucune solution.
Si $d=0$ et les deux équations sont proportionnelles : les droites sont confondues, le système a une infinité de solutions.

Démonstration

Plaçons-nous dans le cas où $b\neq0$ et $b'\neq0$ (le cas des droites verticales se traite de façon analogue). Les formes réduites sont $y=mx+p$ avec $m=-\dfrac{a}{b}$ , et $y=m'x+p'$ avec $m'=-\dfrac{a'}{b'}$ .

$d=0 \iff ab'=a'b$
$\iff$ $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$ $b\neq0$ , $b'\neq0$
$\iff$ $-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{a'}{b'}$
$\iff$ $m=m'$

Donc $d=0$ équivaut à même coefficient directeur : les droites sont parallèles, au sens large (ce qui inclut le cas confondu). Deux droites parallèles distinctes ( $p\neq p'$ ) n’ont, par définition, aucun point commun. Deux droites parallèles confondues ( $p=p'$ ) ont tous leurs points en commun. Réciproquement, si $m\neq m'$ , les droites ne sont pas parallèles : elles sont sécantes, en un unique point. C.Q.F.D.

3.2 Reconnaître les deux cas particuliers

Exemple 1 — droites strictement parallèles

Étudions $\begin{cases} 2x-y=3 \quad(1)\\ 2x-y=-2 \quad(2) \end{cases}$ , soit $\begin{cases} y=2x-3 \\ y=2x+2 \end{cases}$ : même coefficient directeur $m=m'=2$ , mais $p=-3\neq2=p'$ .

$(1)-(2)$ : $(2x-y)-(2x-y)=3-(-2)$
$\Leftrightarrow$ $0=5$ égalité fausse : impossible

La combinaison mène à une égalité fausse : le système n’a aucune solution, $S=\varnothing$ . Les droites sont strictement parallèles.

Exemple 2 — droites confondues

Étudions $\begin{cases} 2x-y-4=0 \quad(1)\\ 4x-2y-8=0 \quad(2) \end{cases}$ . On remarque que (2) $=2\times$ (1).

$(2)-2\times(1)$ : $(4x-2y-8)-2(2x-y-4)$
$=$ $4x-2y-8-4x+2y+8$
$=$ $0$
$\Rightarrow$ $0=0$ égalité toujours vraie : identité

La combinaison donne une identité : les deux équations décrivent la même droite. Le système a une infinité de solutions, tous les couples $(x\,;2x-4)$ avec $x\in\mathbb{R}$ .

Figure 3 — À gauche, deux droites de même pente mais d’ordonnées à l’origine différentes : aucun point commun. À droite, deux équations proportionnelles : la même droite, tracée deux fois.

Attention

Obtenir $0=0$ en combinant deux équations ne signifie pas que « $x$ et $y$ peuvent être n’importe quels réels » ! Cela signifie que les deux équations sont équivalentes : les solutions sont tous les couples $(x\,;y)$ vérifiant l’une des deux équations (elles disent la même chose). $x$ est libre, mais $y$ reste lié à $x$ par l’équation de la droite.

Math & Co — Cramer et la règle des déterminants

Le mathématicien genevois Gabriel Cramer publie en $1750$ , dans son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, une méthode générale pour résoudre un système d’équations linéaires à l’aide de rapports de déterminants — ce que l’on appelle aujourd’hui la règle de Cramer. Le nombre $ab'-a'b$ que tu utilises dans ce chapitre en est le cas le plus simple, pour deux équations à deux inconnues.

Cramer n’a pas inventé seul cette idée : des traces d’un raisonnement analogue apparaissent chez le mathématicien japonais Seki Takakazu dès $1683$ , de façon totalement indépendante. La théorie complète des déterminants ne sera développée qu’au XIX^e siècle, notamment par Cauchy.

4Systèmes d’inéquations

Une inéquation à deux inconnues n’a plus, en général, une solution unique ni même un ensemble fini de solutions : sa solution est une région entière du plan.

4.1 Inéquation linéaire à deux inconnues

Définition

Une inéquation linéaire à deux inconnues $x$ et $y$ est une inégalité du type $ax+by+c\leqslant0$ (ou $<$ , $\geqslant$ , $>$ ). L’ensemble des couples solutions se représente par un demi-plan, délimité par la droite frontière d’équation $ax+by+c=0$ .

Méthode — représenter une inéquation

1. On trace la droite frontière : en trait plein si l’inégalité est large ( $\leqslant$ ou $\geqslant$ , frontière incluse), en pointillé si elle est stricte ( $<$ ou $>$ , frontière exclue). 2. On choisit un point test n’appartenant pas à la droite (souvent l’origine $O$ , si elle convient). 3. Si ses coordonnées vérifient l’inégalité, on hachure le demi-plan qui le contient ; sinon, l’autre demi-plan.

Exemple — un seul demi-plan

Représentons $2x+y\leqslant6$ . Frontière : $y=-2x+6$ , en trait plein. Test en $O(0\,;0)$ :

$2\times0+0=0$
$0\leqslant6$ vrai

$O$ vérifie l’inégalité : on hachure le demi-plan qui contient l’origine, sous la droite.

Attention

Pour isoler $y$ dans une inéquation, on divise parfois par un nombre négatif : dans ce cas, et dans ce cas seulement, le sens de l’inégalité s’inverse. Par exemple $-2y\leqslant4 \iff y\geqslant-2$ (on a divisé par $-2$ ).

4.2 Système de deux inéquations : intersection de demi-plans

Propriété

La solution d’un système de plusieurs inéquations est l’intersection des demi-plans solutions de chaque inéquation. Graphiquement, on hachure chaque demi-plan (ou l’on éclaircit la zone rejetée) : la région restée doublement (ou triplement…) hachurée est la solution du système.

Exemple — région triangulaire

Représentons $\begin{cases} y\leqslant-x+5 \\ y\geqslant x+1 \\ x\geqslant-1 \end{cases}$ — on reconnaît les droites $d_1$ et $d_2$ de la section 2.

Testons le point $(1\,;3)$ : $3\leqslant4$ ✓, $3\geqslant2$ ✓, $1\geqslant-1$ ✓ — les trois inégalités sont vraies, $(1\,;3)$ appartient à la région solution. Testons $(1\,;1)$ : $1\leqslant4$ ✓ mais $1\geqslant2$ est faux — ce point est rejeté.

Figure 4 — La région solution (teintée) est l’intersection des trois demi-plans : le triangle

ABC

, frontières incluses (traits pleins car inégalités larges).

La région solution est ici le triangle plein $ABC$ , sommets compris : les trois frontières sont en trait plein car les trois inégalités sont larges ( $\leqslant$ ou $\geqslant$ ). Si l’une d’elles avait été stricte, le côté correspondant aurait été tracé en pointillé et exclu de la solution.

5Problèmes de modélisation

C’est ici que tout le chapitre prend son sens : transformer une situation racontée en mots en un système que l’on sait désormais résoudre, puis revenir au contexte de départ pour répondre à la question posée.

5.1 La méthode de mise en équation

Méthode — modéliser un problème par un système

1. On choisit clairement les deux inconnues, en précisant leur nature et leur unité (« soit $x$ le nombre de… », « soit $y$ le prix en F CFA de… »). 2. On traduit chaque information de l’énoncé par une équation. 3. On résout le système par substitution ou combinaison. 4. On vérifie que la solution est cohérente avec le contexte (un âge, une quantité, un prix ne sont jamais négatifs), puis on conclut par une phrase répondant à la question posée.

5.2 Problème de tarifs — le marché Sandaga

Exemple — comparer deux fournisseurs

Au marché Sandaga, à Dakar, une couturière hésite entre deux fournisseurs de tissu. Le fournisseur A facture $2\,500$ F CFA le mètre, sans frais. Le fournisseur B facture $1\,500$ F CFA le mètre, plus $4\,000$ F CFA de frais de livraison fixes. À partir de combien de mètres le fournisseur B devient-il plus avantageux ?

Soit $x$ le nombre de mètres achetés, et $y$ le coût total en F CFA. On modélise :

$\begin{cases} y=2\,500x \quad(A)\\ y=1\,500x+4\,000 \quad(B) \end{cases}$

on égalise : $2\,500x=1\,500x+4\,000$
$\Leftrightarrow$ $1\,000x=4\,000$
$\Leftrightarrow$ $x=4$
$y=2\,500\times4=10\,000$

Les deux fournisseurs coûtent le même prix pour $4$ mètres ( $10\,000$ F CFA). Comme $2\,500x<1\,500x+4\,000 \iff x<4$ , le fournisseur A est le moins cher en dessous de $4$ m ; au-delà, c’est le fournisseur B qui devient avantageux.

Figure 5 — Deux offres tarifaires : sous

x=4

m, la droite

A

(sans frais fixes) reste en dessous de

B

; au-delà, c’est l’inverse.

5.3 Problème d’âges

Exemple — retrouver deux âges

Aujourd’hui, l’âge d’Awa est le triple de celui de son frère Ibrahima. Dans $8$ ans, il ne sera plus que le double. Quels sont leurs âges actuels ?

Soit $x$ l’âge actuel d’Ibrahima et $y$ celui d’Awa (en années).

aujourd’hui : $y=3x$ $(1)$
dans $8$ ans : $y+8=2(x+8)$ $(2)$
on développe (2) : $y+8=2x+16$
$\Leftrightarrow$ $y=2x+8$ $(2')$
on substitue (1) dans $(2')$ : $3x=2x+8$
$\Leftrightarrow$ $x=8$
d’où $y=3\times8=24$

Vérification : dans $8$ ans, Ibrahima aura $16$ ans et Awa $32$ ans, et $32=2\times16$ . ✓ Les âges ( $8$ et $24$ ans) sont positifs et vraisemblables : Ibrahima a 8 ans et Awa 24 ans.

5.4 Problème de mélange

Exemple — mélanger deux engrais, à Bamako

Un producteur veut obtenir $10$ kg d’un mélange de deux engrais coûtant au total $52\,000$ F CFA. L’engrais A coûte $4\,000$ F CFA le kg, l’engrais B coûte $6\,000$ F CFA le kg. Quelle masse de chaque engrais faut-il mélanger ?

Soit $x$ la masse (en kg) d’engrais A, $y$ celle d’engrais B.

masse totale : $x+y=10$ $(1)$
coût total : $4\,000x+6\,000y=52\,000$ , soit $2x+3y=26$ $(2)$
de (1) : $x=10-y$
dans (2) : $2(10-y)+3y=26$
$\Leftrightarrow$ $20+y=26$
$\Leftrightarrow$ $y=6$
d’où $x=10-6=4$

Il faut mélanger 4 kg d’engrais A et 6 kg d’engrais B (coût : $4\times4\,000+6\times6\,000=52\,000$ F CFA ✓).

Fiche mémo

Système $2\times2$ : $\begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases}$ ; une solution est un couple $(x\,;y)$ vérifiant les deux équations.
Substitution : isoler une inconnue dans une équation, remplacer dans l’autre, résoudre, puis revenir.
Combinaison : multiplier pour rendre les coefficients d’une inconnue opposés, additionner, résoudre, puis substituer.
Déterminant $d=ab'-a'b$ .
$d\neq0$ : droites sécantes, solution unique. $d=0$ : droites parallèles (au sens large).
Si $d=0$ : combinaison ⇒ égalité fausse $\Rightarrow\varnothing$ (parallèles distinctes) ; égalité toujours vraie $0=0\Rightarrow$ infinité de solutions (confondues).
Forme réduite $y=mx+p$ : $m$ pente, $p$ ordonnée à l’origine. Forme cartésienne $ax+by+c=0$ , avec $m=-\dfrac{a}{b}$ , $p=-\dfrac{c}{b}$ si $b\neq0$ .
Deux droites : mêmes pentes $m=m'$ ⟺ parallèles ; $m=m'$ et $p=p'$ ⟺ confondues ; $m\neq m'$ ⟺ sécantes.
Inéquation $ax+by+c\leqslant0$ : demi-plan. Trait plein si $\leqslant$ ou $\geqslant$ ; pointillé si $<$ ou $>$ .
Pour choisir le demi-plan : tester un point hors de la droite (souvent $O$ ).
Système d’inéquations : la solution est l’intersection des demi-plans.
Diviser une inéquation par un nombre négatif inverse son sens.
Modéliser : choisir les inconnues avec unité, traduire chaque donnée, résoudre, vérifier le contexte, conclure par une phrase.

6Exercices corrigés

Quinze exercices, du plus direct au plus exigeant, pour t’entraîner sur toutes les notions du chapitre. Cherche d’abord seul, rédige ta réponse, puis compare avec le corrigé.

Niveau 1 — Application directe

Résous par substitution : $\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

de la 2^e : $x=1+y$
dans la 1^re : $(1+y)+y=7$
$\Leftrightarrow$ $2y=6$
$\Leftrightarrow$ $y=3$
$x=1+3=4$

Vérification : $4+3=7$ et $4-3=1$ . ✓ $S=\{(4\,;3)\}$ .

Résous par combinaison : $\begin{cases} 3x+y=11 \\ x-y=1 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

Les coefficients de $y$ sont déjà opposés ( $1$ et $-1$ ).

on additionne : $4x=12$
$\Leftrightarrow$ $x=3$
dans la 2^e : $3-y=1$
$\Leftrightarrow$ $y=2$

Vérification : $3\times3+2=11$ . ✓ $S=\{(3\,;2)\}$ .

Donne le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite $4x-3y+6=0$ .

Voir le corrigé détaillé

$-3y=-4x-6$
$\Leftrightarrow$ $y=\dfrac{4}{3}x+2$

D’où $m=\dfrac{4}{3}$ et $p=2$ .

Calcule le déterminant de $\begin{cases} 2x+5y=1 \\ 4x+10y=3 \end{cases}$ et précise la position relative des deux droites.

Voir le corrigé détaillé

$d=2\times10-4\times5$
$=$ $20-20=0$

$d=0$ : les droites sont parallèles au sens large. Or $\dfrac{4}{2}=2$ et $\dfrac{10}{5}=2$ mais $\dfrac{3}{1}=3\neq2$ : les équations ne sont pas proportionnelles. Les droites sont strictement parallèles : $S=\varnothing$ .

Le couple $(2\,;-3)$ est-il solution de $\begin{cases} 5x+2y=4 \\ 3x-y=9 \end{cases}$ ?

Voir le corrigé détaillé

$5\times2+2\times(-3)=10-6=4$ 1^re équation vérifiée
$3\times2-(-3)=6+3=9$ 2^e équation vérifiée

Les deux équations sont vérifiées : oui, $(2\,;-3)$ est solution du système.

Niveau 2 — Approfondissement

Résous $\begin{cases} 2x-y=1 \\ x+y=8 \end{cases}$ , puis vérifie ta solution sur la Figure 6.

Voir le corrigé détaillé

$(1)+(2)$ : $3x=9$ on élimine $y$ directement
$\Leftrightarrow$ $x=3$
dans (2) : $3+y=8$
$\Leftrightarrow$ $y=5$

$S=\{(3\,;5)\}$ , ce que confirme le point d’intersection lu sur la figure ci-dessous.

Figure 6 — Les deux droites se coupent en

A(3\,;5)

, conforme au calcul.

Résous $\begin{cases} \dfrac{x}{3}+y=3 \\ x-\dfrac{y}{2}=2 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

On chasse d’abord les dénominateurs.

$(1)\times3$ : $x+3y=9$
$(2)\times2$ : $2x-y=4$ soit $y=2x-4$
on substitue : $x+3(2x-4)=9$
$\Leftrightarrow$ $7x-12=9$
$\Leftrightarrow$ $x=3$
$y=2\times3-4=2$

$S=\{(3\,;2)\}$ .

Résous $\begin{cases} 3(x+1)-2y=7 \\ x-(y-2)=5 \end{cases}$ .

Voir le corrigé détaillé

On développe d’abord chaque équation.

$(1)$ : $3x+3-2y=7 \Rightarrow 3x-2y=4$
$(2)$ : $x-y+2=5 \Rightarrow x-y=3$ soit $y=x-3$
on substitue : $3x-2(x-3)=4$
$\Leftrightarrow$ $x+6=4$
$\Leftrightarrow$ $x=-2$
$y=-2-3=-5$

Vérification : $3(-2+1)-2(-5)=-3+10=7$ . ✓ $S=\{(-2\,;-5)\}$ .

Pour quelle valeur de $m$ les droites $y=mx+3$ et $y=2x-1$ sont-elles parallèles ? Le système a-t-il alors une solution ?

Voir le corrigé détaillé

Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur : il faut $m=2$ . Les ordonnées à l’origine, $p=3$ et $p'=-1$ , sont différentes quelle que soit la valeur de $m$ : pour $m=2$ , les droites sont donc strictement parallèles, et le système n’a aucune solution.

Niveau 3 — Défi

On considère, pour $m$ réel, le système $\begin{cases} x+my=3 \\ mx+4y=6 \end{cases}$ .

Exprime le déterminant $d$ en fonction de $m$ .
Pour quelles valeurs de $m$ le système a-t-il une unique solution ?
Étudie les cas $m=2$ et $m=-2$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Ici $a=1$ , $b=m$ , $a'=m$ , $b'=4$ .

$d=ab'-a'b$
$=$ $1\times4-m\times m$
$=$ $4-m^{2}$

2. Le système a une unique solution si et seulement si $d\neq0$ :

$4-m^{2}\neq0$
$\Leftrightarrow$ $m^{2}\neq4$
$\Leftrightarrow$ $m\neq2$ et $m\neq-2$

3. Si $m=2$ : le système devient $\begin{cases} x+2y=3 \\ 2x+4y=6 \end{cases}$ . La 2^e équation vaut $2\times$ (1^re) : les droites sont confondues, infinité de solutions. Si $m=-2$ : $\begin{cases} x-2y=3 \\ -2x+4y=6 \end{cases}$ . En multipliant (1) par $-2$ : $-2x+4y=-6$ , qui contredit $-2x+4y=6$ : les droites sont strictement parallèles, $S=\varnothing$ .

On reprend le triangle $ABC$ solution du système $\begin{cases} y\leqslant-x+5 \\ y\geqslant x+1 \\ x\geqslant-1 \end{cases}$ (Figure 4).

Donne les coordonnées des sommets $A$ , $B$ , $C$ .
Calcule la longueur $BC$ .
En déduire l’aire du triangle $ABC$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $A$ est l’intersection de $y=-x+5$ et $y=x+1$ , soit $A(2\,;3)$ . $B$ est l’intersection de $y=-x+5$ et $x=-1$ , soit $B(-1\,;6)$ . $C$ est l’intersection de $y=x+1$ et $x=-1$ , soit $C(-1\,;0)$ .

2. $B$ et $C$ ont la même abscisse $-1$ : $[BC]$ est vertical.

$BC=|y_B-y_C|$
$=$ $|6-0|=6$

3. $[BC]$ est la base du triangle ; la hauteur issue de $A$ est la distance horizontale entre $A$ et la droite $x=-1$ .

$h=|x_A-(-1)|=|2+1|=3$
Aire $=\dfrac{BC\times h}{2}$
$=$ $\dfrac{6\times3}{2}=9$

L’aire du triangle $ABC$ vaut $9$ unités d’aire.

La somme des âges d’Aïcha et de Mariam est $54$ ans. Il y a $3$ ans, Aïcha avait le double de l’âge de Mariam.

Pose le système modélisant la situation.
Résous-le.
Vérifie et conclus.

Voir le corrigé détaillé

1. Soit $x$ l’âge actuel d’Aïcha et $y$ celui de Mariam.

$\begin{cases} x+y=54 \quad(1)\\ x-3=2(y-3) \quad(2) \end{cases}$

(2) développée : $x-3=2y-6$
$\Leftrightarrow$ $x=2y-3$
dans (1) : $(2y-3)+y=54$
$\Leftrightarrow$ $3y=57$
$\Leftrightarrow$ $y=19$
$x=2\times19-3=35$

3. Il y a $3$ ans : Aïcha avait $32$ ans, Mariam $16$ ans, et $32=2\times16$ . ✓ Les âges sont positifs et cohérents : Aïcha a 35 ans et Mariam 19 ans.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Location de vélos à Bamako. Le loueur A facture $500$ F CFA par heure, sans forfait. Le loueur B facture un forfait de $1\,500$ F CFA plus $250$ F CFA par heure.

Écris le système donnant le coût $y$ (en F CFA) en fonction de la durée $x$ (en heures) pour chaque loueur.
Résous-le : à partir de combien d’heures les deux loueurs coûtent-ils le même prix ?
Qui est le moins cher pour une location de $3$ heures ?

Voir le corrigé détaillé

1. $\begin{cases} y=500x \quad(A)\\ y=250x+1\,500 \quad(B) \end{cases}$

$500x=250x+1\,500$
$\Leftrightarrow$ $250x=1\,500$
$\Leftrightarrow$ $x=6$
$y=500\times6=3\,000$

À partir de 6 heures, les deux loueurs coûtent $3\,000$ F CFA.

3. Pour $x=3$ : $A$ coûte $1\,500$ F CFA, $B$ coûte $250\times3+1\,500=2\,250$ F CFA. Le loueur A est le moins cher pour $3$ heures (en dessous de $6$ h).

Figure 7 — Sous

6

h, l’offre

A

(sans forfait) reste la moins chère.

Citerne à Ndjamena. Deux robinets, de débits constants $a$ et $b$ (en litres par minute), remplissent ensemble un bassin de $1\,200$ L en $10$ minutes. Si le premier fonctionne seul $15$ min et le second seul $5$ min, ils versent $1\,100$ L au total.

Écris le système vérifié par $a$ et $b$ .
Résous-le.

Voir le corrigé détaillé

1. $\begin{cases} 10(a+b)=1\,200 \\ 15a+5b=1\,100 \end{cases}$ , soit après simplification $\begin{cases} a+b=120 \quad(1)\\ 3a+b=220 \quad(2) \end{cases}$

$(2)-(1)$ : $2a=100$
$\Leftrightarrow$ $a=50$
dans (1) : $b=120-50=70$

Le premier robinet a un débit de 50 L/min, le second de 70 L/min.

Marché d’Abéché. Aminata achète $3$ sacs de mil et $2$ sacs de sorgho pour $8\,500$ F CFA. Fatimé achète $2$ sacs de mil et $5$ sacs de sorgho pour $13\,000$ F CFA. Quel est le prix d’un sac de chaque céréale ?

Voir le corrigé détaillé

Soit $x$ le prix (F CFA) d’un sac de mil, $y$ celui d’un sac de sorgho : $\begin{cases} 3x+2y=8\,500 \quad(1)\\ 2x+5y=13\,000 \quad(2) \end{cases}$

$(1)\times5$ : $15x+10y=42\,500$
$(2)\times2$ : $4x+10y=26\,000$
on soustrait : $11x=16\,500$
$\Leftrightarrow$ $x=1\,500$
dans (1) : $3\times1\,500+2y=8\,500$
$\Leftrightarrow$ $2y=4\,000$
$\Leftrightarrow$ $y=2\,000$

Un sac de mil coûte 1 500 F CFA, un sac de sorgho 2 000 F CFA.

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8 questions

Fonctions : généralités et lectures graphiques

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Résoudre un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ , c'est trouver :

l'ensemble des couples

(x\,;y)

qui vérifient simultanément les deux équations une valeur de

x

seulement l'ensemble des couples qui vérifient au moins une des deux équations le point d'intersection des axes du repère

Explication : Une solution du système est un couple

(x\,;y)

qui vérifie les deux équations à la fois, pas une seule.

Le déterminant du système $\begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases}$ est défini par :

d=ac'-a'c

d=ab'-a'b

d=aa'-bb'

d=a+b-a'-b'

Explication : Le déterminant se calcule en « croisant » les coefficients de

x

et de

y

d=ab'-a'b

Après avoir isolé $y$ dans la première équation d'un système, on doit substituer cette expression :

dans la même équation, pour vérifier le calcul dans les deux équations à la fois dans l'autre équation, celle qui n'a pas servi à isoler

y

uniquement si le déterminant du système est nul

Explication : Substituer dans la même équation donne une identité

0=0

qui ne renseigne sur rien : c'est l'erreur la plus fréquente en début d'apprentissage.

Pour le système $\begin{cases} x+y=9 \\ x-y=3 \end{cases}$ , les coefficients de $y$ sont déjà opposés. La méthode par combinaison, en additionnant les deux équations, donne directement :

2y=12

y=6

2x=6

2x=12

Explication :

(x+y)+(x-y)=9+3

, soit

2x=12

: le

y

a disparu par addition, il ne reste que

x

La droite d'équation cartésienne $3x+2y-8=0$ a pour équation réduite :

y=-\dfrac{3}{2}x+4

y=\dfrac{3}{2}x-4

y=-3x+8

y=\dfrac{2}{3}x+4

Explication :

2y=-3x+8 \iff y=-\dfrac{3}{2}x+4

: on isole

y

en divisant par le coefficient

2

Résoudre graphiquement un système $\begin{cases} y=mx+p \\ y=m'x+p' \end{cases}$ , c'est chercher :

la pente de chaque droite les coordonnées du (ou des) point(s) communs aux deux droites l'ordonnée à l'origine de chaque droite l'aire comprise entre les deux droites

Explication : Les solutions du système sont exactement les couples

(x\,;y)

correspondant aux points communs aux deux droites représentées.

Si le déterminant $d=ab'-a'b$ d'un système est nul, on peut affirmer que les deux droites associées sont :

nécessairement sécantes nécessairement confondues parallèles, au sens large (distinctes ou confondues) nécessairement perpendiculaires

Explication :

d=0

équivaut à des coefficients directeurs égaux (

m=m'

) : les droites sont parallèles au sens large, ce qui inclut aussi bien le cas distinct que le cas confondu — il faut approfondir pour trancher entre les deux.

Si $d\neq0$ , le système $\begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases}$ admet :

aucune solution une infinité de solutions exactement deux solutions une unique solution

Explication :

d\neq0

signifie que les droites ont des pentes différentes : elles sont sécantes, en un unique point.

En combinant $\begin{cases} 2x-y=3 \\ 2x-y=-2 \end{cases}$ (en soustrayant), on obtient l'égalité $0=5$ . On en conclut que le système :

n'a aucune solution : les droites sont strictement parallèles a une infinité de solutions : les droites sont confondues a une unique solution est mal posé et ne peut pas être résolu

Explication : Une égalité fausse comme

0=5

signale une contradiction : aucun couple ne peut vérifier les deux équations. Les droites, de même pente mais d'ordonnées différentes, ne se coupent jamais.

Pour $\begin{cases} 2x-y-4=0 \\ 4x-2y-8=0 \end{cases}$ , la combinaison $(2)-2\times(1)$ donne $0=0$ . Que peut-on en conclure ?

le système n'a aucune solution les deux équations décrivent la même droite : infinité de solutions

x

y

peuvent être n'importe quels réels, indépendamment l'un de l'autre il faut recommencer le calcul, une erreur a sûrement été commise

Explication :

0=0

est une identité toujours vraie : les deux équations sont équivalentes, donc les deux droites sont confondues.

x

reste libre, mais

y

est toujours lié à

x

par l'équation de la droite.

L'ensemble des solutions d'une inéquation linéaire $ax+by+c\leqslant0$ à deux inconnues se représente par :

un point unique une droite un demi-plan délimité par la droite frontière l'ensemble du plan, sans exception

Explication : Une inéquation linéaire à deux inconnues n'a pas une solution unique : sa solution est toute une région du plan, le demi-plan situé d'un côté de la droite frontière

ax+by+c=0

Pour tracer la droite frontière d'une inéquation, on utilise un trait pointillé lorsque :

l'inégalité est large (

\leqslant

\geqslant

) le déterminant du système est nul la droite passe par l'origine du repère l'inégalité est stricte (

<

>

)

Explication : Un trait plein signale une frontière incluse (inégalité large) ; un trait pointillé signale une frontière exclue (inégalité stricte).

Pour représenter $2x+y\leqslant6$ , on teste le point $O(0\,;0)$ : $0\leqslant6$ est vrai. On en conclut qu'il faut hachurer :

le demi-plan qui contient l'origine le demi-plan qui ne contient pas l'origine toute la droite frontière uniquement aucun demi-plan : l'inéquation n'a pas de solution

Explication : Puisque les coordonnées du point test vérifient l'inégalité, on hachure le demi-plan qui contient ce point.

La solution d'un système de plusieurs inéquations à deux inconnues est :

la réunion des demi-plans solutions de chaque inéquation l'intersection des demi-plans solutions de chaque inéquation la droite frontière commune à toutes les inéquations toujours un triangle, quelle que soit la situation

Explication : Un couple

(x\,;y)

doit vérifier toutes les inéquations à la fois : la région solution est donc l'intersection de tous les demi-plans, chacun hachuré séparément.

Pour isoler $y$ dans l'inéquation $-2y\leqslant4$ , on divise les deux membres par $-2$ . Que devient l'inégalité ?

y\leqslant-2

y\leqslant2

y\geqslant-2

y\geqslant2

Explication : On divise par un nombre négatif : le sens de l'inégalité s'inverse.

-2y\leqslant4 \iff y\geqslant-2

Un loueur A facture $500$ F CFA par heure, sans forfait. Un loueur B facture un forfait de $1\,500$ F CFA plus $250$ F CFA par heure. À partir de combien d'heures les deux loueurs coûtent-ils le même prix ?

x=3

x=4

x=5

x=6

Explication :

500x=250x+1\,500 \iff 250x=1\,500 \iff x=6

. À

6

h, les deux loueurs coûtent

3\,000

F CFA.

La somme des âges de deux sœurs est $40$ ans. Il y a $5$ ans, l'aînée avait le triple de l'âge de la cadette. En notant $x$ l'âge actuel de l'aînée et $y$ celui de la cadette, quel système modélise la situation ?

\begin{cases} x+y=40 \\ x-5=3(y-5) \end{cases}

\begin{cases} x+y=40 \\ x=3y-5 \end{cases}

\begin{cases} x-y=40 \\ x-5=3(y-5) \end{cases}

\begin{cases} x+y=40 \\ 3x-5=y-5 \end{cases}

Explication : La somme des âges actuels donne

x+y=40

. Il y a

5

ans, les âges étaient

x-5

y-5

, et l'aînée avait le triple de la cadette :

x-5=3(y-5)

Un producteur veut obtenir $8$ kg d'un mélange de deux engrais coûtant $38\,000$ F CFA au total. L'engrais A coûte $4\,000$ F CFA le kg, l'engrais B coûte $5\,500$ F CFA le kg. En notant $x$ la masse d'engrais A et $y$ celle d'engrais B, quel système faut-il résoudre ?

\begin{cases} x+y=8 \\ 4\,000x-5\,500y=38\,000 \end{cases}

\begin{cases} x+y=8 \\ 4\,000x+5\,500y=38\,000 \end{cases}

\begin{cases} xy=8 \\ 4\,000x+5\,500y=38\,000 \end{cases}

\begin{cases} x+y=38\,000 \\ 4\,000x+5\,500y=8 \end{cases}

Explication : La masse totale donne

x+y=8

; le coût total, en additionnant le prix de chaque engrais, donne

4\,000x+5\,500y=38\,000

En résolvant le système précédent (mélange de $8$ kg à $38\,000$ F CFA), on trouve :

x=2

kg d'engrais A et

y=6

kg d'engrais B

x=6

kg d'engrais A et

y=2

kg d'engrais B

x=4

kg d'engrais A et

y=4

kg d'engrais B

x=8

kg d'engrais A et

y=0

kg d'engrais B

Explication : De

x=8-y

, on substitue :

4\,000(8-y)+5\,500y=38\,000

\iff 32\,000+1\,500y=38\,000

\iff y=4

d'où

x=8-4=4

4

kg de chaque engrais.

Pour le système $\begin{cases} x+my=3 \\ mx+4y=6 \end{cases}$ , le déterminant vaut $d=4-m^{2}$ . Pour quelles valeurs de $m$ le système admet-il une unique solution ?

pour tout

m

réel uniquement pour

m=2

uniquement pour

m=-2

pour tout

m

différent de

2

et de

-2

Explication : Le système a une unique solution si et seulement si

d\neq0

, c'est-à-dire

4-m^{2}\neq0 \iff m^{2}\neq4 \iff m\neq2

m\neq-2

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En bref

Classe : Classe de Seconde
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme

Systèmes d'équations et droites

Ce que tu sauras faire à la fin

1Résolution par substitution et combinaison

1.1 Écriture d’un système linéaire 2×22\times22×2

1.2 La méthode par substitution

1.3 La méthode par combinaison linéaire

2Interprétation graphique

2.1 Forme réduite et forme cartésienne

2.2 Résoudre un système graphiquement

3Systèmes sans solution ou à une infinité de solutions

3.1 Trois cas possibles

3.2 Reconnaître les deux cas particuliers

4Systèmes d’inéquations

4.1 Inéquation linéaire à deux inconnues

4.2 Système de deux inéquations : intersection de demi-plans

5Problèmes de modélisation

5.1 La méthode de mise en équation

5.2 Problème de tarifs — le marché Sandaga

5.3 Problème d’âges

5.4 Problème de mélange

Fiche mémo

6Exercices corrigés

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Fonctions : généralités et lectures graphiques

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

1.1 Écriture d’un système linéaire $2\times2$