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Statistiques à deux variables

Étudier une corrélation et ajuster un nuage de points.

Mathématiques Première Chapitre 12 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Construire un nuage de points et son point moyen
  • Déterminer une droite d'ajustement
  • Faire une prévision et en discuter la validité

Jusqu'ici, en statistique, tu as toujours étudié une seule grandeur à la fois : la taille des élèves d'une classe, les notes d'un contrôle, la durée d'un trajet. Ce chapitre change de perspective : il s'agit désormais d'observer deux grandeurs simultanément sur les mêmes individus, et de se demander si elles varient ensemble. Le rendement d'un champ dépend-il de la pluviométrie ? La réussite à un devoir dépend-elle du temps de travail ? Le chiffre d'affaires d'une boutique dépend-il du nombre de clients ? Ce sont exactement les questions auxquelles répondent les statistiques à deux variables.

Tu croises ce type de raisonnement dès que tu quittes la salle de classe : un agronome de Bamako ajuste ses conseils de semis à la pluviométrie prévue, un commerçant de Dakar anticipe ses achats selon l'affluence, un ingénieur relie la résistance d'un matériau à sa température. Dans chaque cas, on dispose d'un nuage de points expérimental, et l'on cherche la droite qui lui « ressemble » le mieux — pour comprendre le phénomène, et surtout pour prévoir.

Ce chapitre introduit trois outils nouveaux, qui te suivront jusqu'au baccalauréat : le point moyen du nuage, le coefficient de corrélation qui mesure la force d'un lien linéaire, et la droite d'ajustement, obtenue soit « à l'œil », soit par la méthode de Mayer, soit — la plus rigoureuse — par la méthode des moindres carrés. Tu apprendras aussi à distinguer une prévision raisonnable, l'interpolation, d'une prévision hasardeuse, l'extrapolation.

Comme toujours, chaque notion est illustrée par un exemple chiffré complet, calculs détaillés à l'appui. Munis-toi d'une feuille, d'un crayon et d'une règle : ce chapitre se pratique autant qu'il se lit.

1Nuage de points et point moyen

1.1  Série statistique double et nuage de points

Définition

On étudie simultanément deux caractères xx et yy sur une même population de nn individus. Les résultats forment une série statistique double, notée (xi ; yi)1⩽i⩽n\left(x_i \,;\, y_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}.

Dans un repère du plan, le nuage de points associé est l'ensemble des nn points Mi(xi ; yi)M_i\left(x_i \,;\, y_i\right).

Fil rouge de ce chapitre : un agronome de la région de Bamako a relevé, sur six campagnes agricoles successives, la pluviométrie annuelle xix_i (en mm) reçue par une parcelle et le rendement yiy_i obtenu (en tonnes de mil par hectare).

Campagne123456
Pluviométrie xix_i (mm)400400500500600600700700800800900900
Rendement yiy_i (t/ha)1,71{,}72,32{,}32,52{,}53,13{,}13,33{,}33,93{,}9

Placés dans un repère, ces six couples forment le nuage de points de la Figure 1 : plus la pluviométrie augmente, plus le rendement semble augmenter — une tendance linéaire se dessine à l'œil nu. Formaliser cette impression est tout l'objet de ce chapitre.

1.2  Le point moyen GG

Définition

Le point moyen du nuage est le point G(x‾ ; y‾)G\left(\overline{x} \,;\, \overline{y}\right), où x‾\overline{x} et y‾\overline{y} sont les moyennes des deux séries :

x‾=x1+x2+⋯+xnn=1n∑i=1nxiy‾=1n∑i=1nyi\overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad \overline{y} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i

Propriété

Le point GG est le centre du nuage : si l'on place une masse identique en chaque point MiM_i, GG en est le centre de gravité (le barycentre). Cette propriété, admise ici, redeviendra essentielle en section 3 pour justifier la méthode de Mayer.

Exemple — point moyen du nuage pluie/rendement

Calculons GG pour les six campagnes du tableau ci-dessus.

  1. x‾=400+500+600+700+800+9006\overline{x} = \dfrac{400+500+600+700+800+900}{6}
  2. ==3 9006\dfrac{3\,900}{6}
  3. ==650650mm
  4. y‾=1,7+2,3+2,5+3,1+3,3+3,96\overline{y} = \dfrac{1{,}7+2{,}3+2{,}5+3{,}1+3{,}3+3{,}9}{6}
  5. ==16,86\dfrac{16{,}8}{6}
  6. ==2,82{,}8t/ha

Le point moyen du nuage est donc G(650 ; 2,8)G\left(650 \,;\, 2{,}8\right) — voir sa position sur la Figure 1.

Exemple — un second contexte, notes et heures de travail

Cinq élèves d'une même classe ont indiqué leur temps de travail personnel hebdomadaire xix_i (en heures) et la note yiy_i obtenue au devoir suivant (sur 20) : (2 ; 8)(2\,;\,8), (4 ; 11)(4\,;\,11), (6 ; 12)(6\,;\,12), (8 ; 15)(8\,;\,15), (10 ; 17)(10\,;\,17).

  1. x‾=2+4+6+8+105=305=6\overline{x} = \dfrac{2+4+6+8+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6heures
  2. y‾=8+11+12+15+175=635=12,6\overline{y} = \dfrac{8+11+12+15+17}{5} = \dfrac{63}{5} = 12{,}6sur 20

D'où G(6 ; 12,6)G\left(6 \,;\, 12{,}6\right). Nous reviendrons sur cette série en section 2.

Rendement du mil selon la pluviométrie — nuage et point moyen G 400500600700800900 1,52,02,53,03,54,0 x (mm)y (t/ha) G(650 ; 2,8) Chaque point représente une campagne agricole ; G est le point moyen du nuage.
Figure 1 — Nuage de points « pluviométrie / rendement » et son point moyen G(650 ; 2,8)G(650\,;\,2{,}8). La tendance croissante est visible à l'œil, mais reste à préciser.
Math & Co — L'homme moyen de Quetelet

C'est l'astronome et statisticien belge Adolphe Quetelet qui, en 18351835, popularise dans son ouvrage Sur l'homme et le développement de ses facultés l'idée qu'un ensemble de mesures peut être résumé par un individu fictif, l'« homme moyen », doté des caractéristiques moyennes de la population étudiée.

L'idée paraît aujourd'hui évidente, mais elle a fondé toute une discipline : en ramenant un nuage de milliers de points à un seul point représentatif, Quetelet ouvre la voie à la statistique sociale moderne, et prépare — sans le savoir encore — les outils de corrélation que Francis Galton développera un demi-siècle plus tard.

2Covariance et coefficient de corrélation

Le point moyen GG situe le centre du nuage, mais ne dit rien sur sa forme : le nuage est-il étiré le long d'une droite, ou au contraire dispersé sans direction privilégiée ? Deux nouveaux outils vont répondre à cette question : la covariance, puis le coefficient de corrélation qui s'en déduit.

2.1  Variance et covariance

Définition

On appelle variance de la série (xi)\left(x_i\right) et covariance des deux séries les nombres :

V(x)=1n∑i=1n(xi−x‾)2Cov(x,y)=1n∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)V(x) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^{2} \qquad \text{Cov}(x,y) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right)

On note souvent la covariance SxyS_{xy}. L'écart-type de xx est σx=V(x)\sigma_x = \sqrt{V(x)} (et de même σy=V(y)\sigma_y = \sqrt{V(y)} pour yy).

Méthode — calculer SxyS_{xy} et V(x)V(x) avec un tableau d'écarts

On dresse un tableau à cinq lignes : xix_i, yiy_i, les écarts xi−x‾x_i - \overline{x}, les écarts yi−y‾y_i - \overline{y}, puis leurs produits et leurs carrés. On additionne chaque colonne, puis on divise par nn.

Exemple — série notes/heures de travail

Reprenons les cinq élèves de la section 1 : x‾=6\overline{x} = 6, y‾=12,6\overline{y} = 12{,}6.

xix_i224466881010Somme
yiy_i881111121215151717—
xi−x‾x_i-\overline{x}−4-4−2-200224400
yi−y‾y_i-\overline{y}−4,6-4{,}6−1,6-1{,}6−0,6-0{,}62,42{,}44,44{,}400
produit18,418{,}43,23{,}2004,84{,}817,617{,}644,044{,}0
(xi−x‾)2(x_i-\overline{x})^{2}161644004416164040
  1. Sxy=44,05S_{xy} = \dfrac{44{,}0}{5}
  2. ==8,88{,}8
  3. V(x)=405V(x) = \dfrac{40}{5}
  4. ==88

Remarque : la somme des écarts xi−x‾x_i - \overline{x} (et celle des yi−y‾y_i - \overline{y}) vaut toujours 00 — c'est une conséquence directe de la définition de la moyenne, et un excellent moyen de vérifier un tableau de calcul.

Propriété — formule pratique (König-Huygens)

On évite parfois le tableau d'écarts en utilisant les sommes brutes :

V(x)=1n∑xi2−x‾2Sxy=1n∑xiyi−x‾ y‾V(x) = \dfrac{1}{n}\sum x_i^{2} - \overline{x}^{2} \qquad S_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum x_i y_i - \overline{x}\,\overline{y}

Démonstration (formule de SxyS_{xy})

On développe le produit sous la somme, puis on sépare les termes.

  1. Sxy=1n∑(xi−x‾)(yi−y‾)S_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum \left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)
  2. ==1n∑(xiyi−xiy‾−x‾ yi+x‾ y‾)\dfrac{1}{n}\sum \left(x_i y_i - x_i\overline{y} - \overline{x}\,y_i + \overline{x}\,\overline{y}\right)développement
  3. ==1n∑xiyi−y‾⋅1n∑xi−x‾⋅1n∑yi+x‾ y‾\dfrac{1}{n}\sum x_i y_i - \overline{y} \cdot \dfrac{1}{n}\sum x_i - \overline{x} \cdot \dfrac{1}{n}\sum y_i + \overline{x}\,\overline{y}x‾,y‾\overline{x},\overline{y} sont des constantes
  4. ==1n∑xiyi−y‾ x‾−x‾ y‾+x‾ y‾\dfrac{1}{n}\sum x_i y_i - \overline{y}\,\overline{x} - \overline{x}\,\overline{y} + \overline{x}\,\overline{y}par définition de x‾\overline{x} et y‾\overline{y}
  5. ==1n∑xiyi−x‾ y‾\dfrac{1}{n}\sum x_i y_i - \overline{x}\,\overline{y}C.Q.F.D.

Le même calcul, avec yi=xiy_i = x_i, donne la formule analogue pour V(x)V(x).

2.2  Coefficient de corrélation

Définition

Le coefficient de corrélation linéaire de xx et yy est le nombre :

r=Sxyσx σy=Cov(x,y)V(x)×V(y)r = \dfrac{S_{xy}}{\sigma_x \, \sigma_y} = \dfrac{\text{Cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)} \times \sqrt{V(y)}}

Propriété (admise)

Pour toute série statistique double, −1⩽r⩽1-1 \leqslant r \leqslant 1.

  • Si ∣r∣|r| est proche de 11 (disons ∣r∣⩾0,9|r| \geqslant 0{,}9), les points sont presque alignés : la corrélation linéaire est forte.
  • Si rr est proche de 00, le nuage n'a aucune tendance linéaire nette.
  • Le signe de rr indique le sens de la tendance : positif si yy croît globalement avec xx, négatif si yy décroît globalement quand xx croît.
Exemple — corrélation forte (pluie/rendement)
  1. Sxy=121,67S_{xy} = 121{,}67=7306=\dfrac{730}{6}, calculé comme en 1.2
  2. V(x)=29 166,67V(x) = 29\,166{,}67 et V(y)=0,517V(y) = 0{,}517
  3. σx=29 166,67≈170,8\sigma_x = \sqrt{29\,166{,}67} \approx 170{,}8 et σy=0,517≈0,719\sigma_y = \sqrt{0{,}517} \approx 0{,}719
  4. r≈121,67170,8×0,719r \approx \dfrac{121{,}67}{170{,}8 \times 0{,}719}
  5. ≈\approx0,9910{,}991corrélation linéaire très forte, et positive
Exemple — nuage sans corrélation

Dans une classe de Première de Douala, huit élèves ont indiqué leur jour de naissance dans le mois xix_i et la note yiy_i obtenue à un devoir de mathématiques (sur 20) : aucune raison, a priori, que ces deux grandeurs soient liées. Le calcul donne x‾=15,5\overline{x} = 15{,}5, y‾≈12,1\overline{y} \approx 12{,}1, Sxy≈−0,56S_{xy} \approx -0{,}56, σx≈8,53\sigma_x \approx 8{,}53, σy≈2,59\sigma_y \approx 2{,}59, d'où :

  1. r≈−0,568,53×2,59r \approx \dfrac{-0{,}56}{8{,}53 \times 2{,}59}
  2. ≈\approx−0,02-0{,}02quasiment nul

Ce rr proche de 00 confirme ce que la Figure 2 montre déjà à l'œil : le nuage est dispersé sans direction privilégiée. Aucun ajustement affine ne serait pertinent ici.

Jour de naissance et note au devoir — nuage sans corrélation 51015202530 681012141618 jour de naissancenote / 20 G(15,5 ; 12,1) Aucune tendance ne se dégage : les points sont dispersés autour de G dans toutes les directions.
Figure 2 — Nuage « jour de naissance / note » : r≈−0,02r \approx -0{,}02. L'absence de structure linéaire est visible autant sur le graphique que dans le calcul de rr.
Attention — corrélation n'est pas causalité

Un coefficient rr proche de 11 prouve seulement l'existence d'une relation linéaire statistique entre xx et yy — jamais un lien de cause à effet. Deux grandeurs peuvent être fortement corrélées parce qu'une troisième les influence toutes les deux, ou par pur hasard sur un petit échantillon. Ne conclus donc jamais « xx cause yy » à partir du seul calcul de rr : c'est un piège classique, et une erreur de raisonnement, pas seulement de calcul.

Math & Co — Galton, Pearson et la naissance de la corrélation

Le mot « régression » vient d'une observation surprenante du savant britannique Francis Galton, cousin de Darwin : en 18861886, étudiant la taille des fils selon celle de leurs pères, il remarque que les fils de pères très grands sont, en moyenne, un peu moins grands que leur père — la taille « régresse » vers la moyenne de la population. Il baptise ce phénomène regression toward mediocrity.

C'est son collaborateur Karl Pearson qui, en 18961896, donne au coefficient rr sa formule mathématique moderne. Ironiquement, le terme « régression », né d'une observation biologique aujourd'hui bien comprise, est resté pour désigner — dans tous les domaines — la recherche d'une droite d'ajustement.

3Ajustement affine par les moindres carrés

Le nuage de la Figure 1 suggère une tendance linéaire. Il reste à choisir une droite qui la représente au mieux — c'est ce qu'on appelle un ajustement affine du nuage. Trois méthodes, de la plus rapide à la plus rigoureuse, sont au programme.

3.1  Ajustement à l'œil

Méthode — ajuster « à l'œil »

À la règle, on trace une droite qui passe au plus près de l'ensemble des points, en laissant à peu près autant de points au-dessus qu'en-dessous. On veille à ce qu'elle passe par (ou très près de) le point moyen GG, qui est le centre du nuage.

Cette méthode est rapide et donne une bonne intuition, mais elle dépend de la main de celui qui trace : deux élèves obtiennent rarement exactement la même droite. Il faut donc une méthode de calcul, reproductible. La méthode de Mayer est la première étape vers cette rigueur.

3.2  La méthode de Mayer (deux points moyens)

Définition

On partage le nuage, dans l'ordre des xix_i croissants, en deux groupes de tailles n1n_1 et n2n_2 aussi égales que possible (n1+n2=nn_1+n_2=n). On calcule le point moyen G1G_1 du premier groupe et le point moyen G2G_2 du second. La droite de Mayer est la droite (G1G2)(G_1G_2).

Théorème

La droite de Mayer (G1G2)(G_1G_2) passe par le point moyen GG du nuage entier.

Démonstration

Notons x1(1),…,xn1(1)x_1^{(1)}, \ldots, x_{n_1}^{(1)} les abscisses du premier groupe et x1(2),…,xn2(2)x_1^{(2)}, \ldots, x_{n_2}^{(2)} celles du second, de sorte que x‾\overline{x} est la moyenne des n=n1+n2n = n_1+n_2 valeurs réunies.

  1. n x‾=∑i=1nxi=∑i=1n1xi(1)+∑i=1n2xi(2)n\,\overline{x} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{i=1}^{n_1} x_i^{(1)} + \sum_{i=1}^{n_2} x_i^{(2)}on scinde la somme en deux groupes
  2. ==n1 x1‾+n2 x2‾n_1\,\overline{x_1} + n_2\,\overline{x_2}définition de x1‾\overline{x_1} et x2‾\overline{x_2}
  3. ⇒\Rightarrowx‾=n1 x1‾+n2 x2‾n1+n2\overline{x} = \dfrac{n_1\,\overline{x_1} + n_2\,\overline{x_2}}{n_1+n_2}

Le même raisonnement, appliqué aux ordonnées, donne y‾=n1 y1‾+n2 y2‾n1+n2\overline{y} = \dfrac{n_1\,\overline{y_1} + n_2\,\overline{y_2}}{n_1+n_2}.

Or ces deux égalités signifient exactement que G(x‾ ; y‾)G\left(\overline{x}\,;\,\overline{y}\right) est le barycentre des points G1G_1 affecté du coefficient n1n_1 et G2G_2 affecté du coefficient n2n_2. Comme n1>0n_1>0 et n2>0n_2>0, ce barycentre appartient au segment [G1G2][G_1G_2], donc à la droite (G1G2)(G_1G_2). C.Q.F.D.

Exemple — droite de Mayer du nuage pluie/rendement

On partage les six campagnes, dans l'ordre des xix_i, en deux groupes de trois.

  1. Groupe 1 : (400 ; 1,7)(400\,;\,1{,}7), (500 ; 2,3)(500\,;\,2{,}3), (600 ; 2,5)(600\,;\,2{,}5)
  2. G1(400+500+6003 ; 1,7+2,3+2,53)=G1(500 ; 2,17)G_1\left(\dfrac{400+500+600}{3}\,;\,\dfrac{1{,}7+2{,}3+2{,}5}{3}\right) = G_1\left(500\,;\,2{,}17\right)6,5/3≈2,176{,}5/3 \approx 2{,}17
  3. Groupe 2 : (700 ; 3,1)(700\,;\,3{,}1), (800 ; 3,3)(800\,;\,3{,}3), (900 ; 3,9)(900\,;\,3{,}9)
  4. G2(700+800+9003 ; 3,1+3,3+3,93)=G2(800 ; 3,43)G_2\left(\dfrac{700+800+900}{3}\,;\,\dfrac{3{,}1+3{,}3+3{,}9}{3}\right) = G_2\left(800\,;\,3{,}43\right)10,3/3≈3,4310{,}3/3 \approx 3{,}43
  5. coefficient directeur aM=3,43−2,17800−500a_M = \dfrac{3{,}43-2{,}17}{800-500}
  6. ≈\approx0,004220{,}00422
  7. bM=2,17−0,00422×500b_M = 2{,}17 - 0{,}00422 \times 500
  8. ≈\approx0,05560{,}0556

La droite de Mayer a pour équation y≈0,00422 x+0,0556y \approx 0{,}00422\,x + 0{,}0556. Vérification : pour x=650x=650, elle donne y≈0,00422×650+0,0556≈2,80y \approx 0{,}00422 \times 650 + 0{,}0556 \approx 2{,}80 — on retombe bien sur y‾\overline{y} : la droite passe par GG, conformément au théorème. Voir Figure 3.

Construction de la droite de Mayer 400500600700800900 1,52,02,53,03,54,0 x (mm)y (t/ha) G₁ G₂ G La droite (G₁G₂) — droite de Mayer — passe exactement par G.
Figure 3 — La droite de Mayer relie les points moyens G1G_1 et G2G_2 des deux moitiés du nuage ; elle passe par GG, comme démontré ci-dessus.

3.3  Principe des moindres carrés

La méthode de Mayer a un défaut : elle ignore la position individuelle de chaque point à l'intérieur de son groupe — seuls comptent G1G_1 et G2G_2. La méthode des moindres carrés corrige ce défaut en utilisant tous les points.

Pour une droite quelconque d'équation y=ax+by = ax+b, on appelle résidu au point ii l'écart vertical ei=yi−(axi+b)e_i = y_i - (ax_i+b) entre le point observé MiM_i et la droite. On cherche la droite qui rend ces écarts globalement les plus petits possible, en minimisant la somme de leurs carrés (le carré évite que des écarts positifs et négatifs ne s'annulent, et pénalise davantage les grands écarts) :

∑i=1nei2=∑i=1n(yi−(axi+b))2minimale\sum_{i=1}^{n} e_i^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left(y_i - (ax_i+b)\right)^{2} \quad \text{minimale}

Théorème — droite des moindres carrés

Il existe une unique droite qui minimise cette somme, appelée droite de régression de yy en xx (ou droite des moindres carrés). Son équation est y=ax+by = ax+b avec :

a=SxyV(x)b=y‾−a x‾a = \dfrac{S_{xy}}{V(x)} \qquad b = \overline{y} - a\,\overline{x}

Attention — un résultat admis

La démonstration de ce théorème demande de minimiser une fonction de deux variables aa et bb (une fonction polynomiale du second degré en chacune), à l'aide d'outils d'analyse — dérivées partielles — hors programme de Première. On admet donc les formules de aa et bb, mais on peut en retenir l'esprit : la somme ∑ei2\sum e_i^2 est une expression du second degré en aa (à bb fixé) et en bb (à aa fixé) — exactement comme les fonctions polynômes du second degré que tu sais minimiser depuis le chapitre correspondant.

Propriété

La droite des moindres carrés passe, elle aussi, par le point moyen GG.

Démonstration

Il suffit de remplacer xx par x‾\overline{x} dans l'équation de la droite :

  1. a x‾+b=a x‾+(y‾−a x‾)a\,\overline{x} + b = a\,\overline{x} + \left(\overline{y} - a\,\overline{x}\right)par définition de bb
  2. ==y‾\overline{y}les termes en a x‾a\,\overline{x} s'annulent

Le point (x‾ ; y‾)=G\left(\overline{x}\,;\,\overline{y}\right) = G vérifie donc l'équation de la droite. C.Q.F.D.

4Droite de régression

4.1  Calcul des coefficients aa et bb

Méthode — déterminer la droite de régression
  1. Calculer x‾\overline{x}, y‾\overline{y} (point moyen GG).
  2. Calculer SxyS_{xy} et V(x)V(x) (tableau d'écarts ou formule de König).
  3. En déduire a=SxyV(x)a = \dfrac{S_{xy}}{V(x)}, puis b=y‾−a x‾b = \overline{y} - a\,\overline{x}.
  4. Écrire l'équation y=ax+by = ax+b et vérifier qu'elle contient bien GG.
Exemple — droite de régression du nuage pluie/rendement

Les valeurs Sxy=121,67S_{xy} = 121{,}67 et V(x)=29 166,67V(x) = 29\,166{,}67 ont été calculées en section 2.

  1. a=121,6729 166,67a = \dfrac{121{,}67}{29\,166{,}67}
  2. ≈\approx0,004170{,}00417t/ha par mm, arrondi
  3. b=2,8−0,00417×650b = 2{,}8 - 0{,}00417 \times 650
  4. ≈\approx0,0890{,}089

La droite de régression de yy en xx a pour équation :

y≈0,00417 x+0,089y \approx 0{,}00417\,x + 0{,}089

Elle est très proche de la droite de Mayer (aM≈0,00422a_M \approx 0{,}00422) — rassurant, mais elle seule est optimale au sens des moindres carrés. Voir Figure 4.

Droite de régression (moindres carrés) 400500600700800900 1,52,02,53,03,54,0 x (mm)y (t/ha) G y = 0,00417x + 0,089 Cette droite minimise la somme des carrés des écarts verticaux au nuage.
Figure 4 — Droite des moindres carrés du nuage pluie/rendement, d'équation y≈0,00417x+0,089y \approx 0{,}00417x+0{,}089.

4.2  Un exemple de corrélation négative

Toutes les corrélations ne sont pas positives. Dans une boutique de Ndjamena, on a relevé sur cinq semaines la durée d'ensoleillement quotidien moyen xix_i (en heures) et le nombre de bougies vendues yiy_i par semaine (moins il y a de soleil, plus les coupures d'électricité pèsent, et plus on achète de bougies) :

Ensoleillement xix_i (h/j)44668810101212
Bougies vendues yiy_i38383030252518181414
Exemple — régression à pente négative
  1. x‾=4+6+8+10+125=8\overline{x} = \dfrac{4+6+8+10+12}{5} = 8 et y‾=38+30+25+18+145=25\overline{y} = \dfrac{38+30+25+18+14}{5} = 25
  2. Sxy=(−4)(13)+(−2)(5)+0×0+2×(−7)+4×(−11)5S_{xy} = \dfrac{(-4)(13)+(-2)(5)+0\times0+2\times(-7)+4\times(-11)}{5}écarts à x‾=8\overline{x}=8 et y‾=25\overline{y}=25
  3. ==−52−10+0−14−445=−1205=−24\dfrac{-52-10+0-14-44}{5} = \dfrac{-120}{5} = -24
  4. V(x)=16+4+0+4+165=405=8V(x) = \dfrac{16+4+0+4+16}{5} = \dfrac{40}{5} = 8
  5. a=−248=−3a = \dfrac{-24}{8} = -3
  6. b=25−(−3)×8=25+24=49b = 25 - (-3)\times 8 = 25+24 = 49

La droite de régression est y=−3x+49y = -3x+49 : le coefficient directeur est négatif, comme le coefficient de corrélation r≈−0,994r \approx -0{,}994 (calcul analogue à celui de la section 2). Le signe de aa est toujours celui de rr — et celui de SxyS_{xy}, puisque V(x)>0V(x) > 0.

4.3  Comparer Mayer et moindres carrés

Reprenons le nuage pluie/rendement et superposons ses deux ajustements : la droite de Mayer y≈0,00422x+0,0556y \approx 0{,}00422x+0{,}0556 et la droite des moindres carrés y≈0,00417x+0,089y \approx 0{,}00417x+0{,}089 (Figure 5).

Comparaison des deux ajustements affines 400500600700800900 1,52,02,53,03,54,0 x (mm)y (t/ha) G Mayer : y ≈ 0,00422x + 0,0556 Moindres carrés : y ≈ 0,00417x + 0,089
Figure 5 — Les deux ajustements sont très proches, mais seule la droite des moindres carrés (verte) est optimale au sens de la minimisation des carrés des écarts.

Les deux méthodes donnent des droites presque confondues : c'est le signe d'un nuage bien aligné (r≈0,991r \approx 0{,}991). Sur un nuage plus dispersé, l'écart entre les deux ajustements serait plus visible — et seule la méthode des moindres carrés garantirait la meilleure droite possible.

Attention — quelle variable explique quelle variable ?

La droite de régression de yy en xx (celle du programme, avec a=Sxy/V(x)a = S_{xy}/V(x)) n'est pas la même droite que la droite de régression de xx en yy (qui utiliserait a′=Sxy/V(y)a' = S_{xy}/V(y)). Elles ne coïncident que si les points sont parfaitement alignés (∣r∣=1|r|=1). Avant de calculer, identifie clairement quelle variable tu veux prévoir (yy) à partir de quelle variable tu connais (xx) — c'est toujours yy que l'on exprime en fonction de xx.

5Interpolation et extrapolation

Une droite de régression n'est pas un simple exercice de calcul : son intérêt est de prévoir une valeur de yy pour une valeur de xx qui n'a pas été observée. Encore faut-il savoir jusqu'où une telle prévision reste raisonnable.

5.1  Interpolation

Définition

Estimer yy pour une valeur de xx comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs xix_i observées est une interpolation.

Exemple — prévoir un rendement par interpolation

Pour une pluviométrie de 750750 mm — comprise entre 400400 et 900900, les bornes observées — la droite de régression y≈0,00417x+0,089y \approx 0{,}00417x+0{,}089 donne :

  1. y≈0,00417×750+0,089y \approx 0{,}00417 \times 750 + 0{,}089
  2. ≈\approx3,13+0,0893{,}13 + 0{,}089
  3. ≈\approx3,223{,}22t/ha

Cette prévision est fiable : 750750 mm est une pluviométrie du même ordre que celles déjà observées, et rien n'indique que la tendance linéaire cesse de s'appliquer entre 400400 et 900900 mm.

5.2  Extrapolation et limites de validité

Définition

Estimer yy pour une valeur de xx en dehors de l'intervalle des xix_i observés est une extrapolation.

Attention — l'extrapolation est risquée

Rien ne garantit qu'une tendance linéaire, valable sur l'intervalle observé, se poursuive au-delà. En pratique, de nombreux phénomènes changent de comportement loin des valeurs mesurées : saturation, seuil, retournement de tendance. Plus on s'éloigne de l'intervalle [min⁡xi ; max⁡xi]\left[\min x_i \,;\, \max x_i\right], moins la prévision est fiable — et à un moment, elle devient absurde.

Exemple — une extrapolation qui devient absurde

Extrapolons, bien au-delà des 900900 mm observés, pour une pluviométrie hypothétique de 2 0002\,000 mm :

  1. y≈0,00417×2 000+0,089y \approx 0{,}00417 \times 2\,000 + 0{,}089
  2. ≈\approx8,34+0,0898{,}34+0{,}089
  3. ≈\approx8,438{,}43t/ha

Un rendement de 8,438{,}43 t/ha — plus du double du meilleur rendement observé (3,93{,}9 t/ha) — est agronomiquement invraisemblable : au-delà d'un certain seuil, un excès de pluie noie les cultures au lieu de les faire progresser. La relation cesse clairement d'être linéaire. Ce calcul, arithmétiquement correct, est donc scientifiquement absurde : c'est tout le danger de l'extrapolation.

Le même principe s'applique à une seconde série : à Abéché, un test agronomique relie la quantité d'engrais épandue xix_i (kg/ha, de 5050 à 250250) au rendement de sorgho yiy_i (t/ha). Le calcul (mêmes méthodes qu'en section 4) donne x‾=150\overline{x}=150, y‾=1,64\overline{y}=1{,}64, Sxy=32S_{xy}=32, V(x)=5 000V(x)=5\,000, d'où la droite de régression :

  1. a=325 000=0,0064a = \dfrac{32}{5\,000} = 0{,}0064
  2. b=1,64−0,0064×150=0,68b = 1{,}64 - 0{,}0064 \times 150 = 0{,}68

soit y=0,0064x+0,68y = 0{,}0064x+0{,}68. La Figure 6 compare une interpolation raisonnable (x=175x=175 kg/ha, à l'intérieur du domaine observé) à une extrapolation risquée (x=320x=320 kg/ha, bien au-delà du maximum testé, 250250 kg/ha) : au-delà d'un certain apport, l'engrais brûle les racines et le rendement chute au lieu de continuer à croître, contrairement à ce que prédit — à tort — le prolongement de la droite.

Rendement du sorgho selon l'engrais — interpolation et extrapolation 50100150200250300 1,01,52,02,5 engrais (kg/ha)rendement (t/ha) G interpolation (175 kg/ha) extrapolation (320 kg/ha) : risque ! Trait plein : domaine observé. Pointillés : au-delà, la droite n'est plus fiable.
Figure 6 — La prévision à 175175 kg/ha (à l'intérieur du domaine observé, en vert) est fiable ; celle à 320320 kg/ha (extrapolation, en rouge) ne l'est pas.

Retiens la règle : une droite de régression se lit avec confiance à l'intérieur du nuage qui l'a produite, et avec une prudence croissante à mesure qu'on s'en éloigne. Au bac, une question du type « peut-on faire confiance à cette prévision ? » attend précisément cette distinction entre interpolation et extrapolation, justifiée par l'intervalle des valeurs observées.

Fiche mémo

  • Point moyen : G(x‾ ; y‾)G\left(\overline{x}\,;\,\overline{y}\right), avec x‾=1n∑xi\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i et y‾=1n∑yi\overline{y} = \dfrac{1}{n}\sum y_i — le centre du nuage.
  • Covariance : Sxy=1n∑(xi−x‾)(yi−y‾)=1n∑xiyi−x‾ y‾S_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right) = \dfrac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{x}\,\overline{y} ; variance V(x)=1n∑(xi−x‾)2=1n∑xi2−x‾2V(x) = \dfrac{1}{n}\sum\left(x_i-\overline{x}\right)^{2} = \dfrac{1}{n}\sum x_i^{2} - \overline{x}^{2}.
  • Coefficient de corrélation : r=SxyV(x)V(y)∈[−1 ; 1]r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{V(x)}\sqrt{V(y)}} \in [-1\,;\,1] ; ∣r∣|r| proche de 11 = corrélation linéaire forte, proche de 00 = aucune tendance linéaire. Corrélation ≠\neq causalité.
  • Droite de Mayer : on partage le nuage en deux groupes (ordre des xix_i), on relie leurs points moyens G1G_1 et G2G_2 ; cette droite passe toujours par GG (barycentre de G1G_1 et G2G_2).
  • Droite des moindres carrés (droite de régression de yy en xx) : y=ax+by=ax+b avec a=SxyV(x)a = \dfrac{S_{xy}}{V(x)} et b=y‾−a x‾b = \overline{y}-a\,\overline{x} ; elle minimise ∑(yi−(axi+b))2\sum\left(y_i-(ax_i+b)\right)^{2} et passe par GG.
  • Le signe de aa est toujours celui de SxyS_{xy} et de rr.
  • Régression de yy en xx ≠\neq régression de xx en yy : toujours exprimer la grandeur à prévoir en fonction de celle qu'on connaît.
  • Interpolation : prévision pour xx entre min⁡xi\min x_i et max⁡xi\max x_i — fiable. Extrapolation : prévision pour xx hors de cet intervalle — à manier avec prudence, voire à rejeter si le résultat est physiquement absurde.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Un club sportif relève, pour six athlètes, le nombre xix_i de séances d'entraînement hebdomadaires et le temps yiy_i (en secondes) réalisé sur 1 0001\,000 m : (10 ; 4)(10\,;\,4), (20 ; 7)(20\,;\,7), (30 ; 9)(30\,;\,9), (40 ; 11)(40\,;\,11), (50 ; 12)(50\,;\,12), (60 ; 17)(60\,;\,17) — les yiy_i représentent ici un score de progression. Calcule le point moyen GG de ce nuage.

Voir le corrigé détaillé
  1. x‾=10+20+30+40+50+606\overline{x} = \dfrac{10+20+30+40+50+60}{6}
  2. ==2106=35\dfrac{210}{6} = 35
  3. y‾=4+7+9+11+12+176\overline{y} = \dfrac{4+7+9+11+12+17}{6}
  4. ==606=10\dfrac{60}{6} = 10

Le point moyen est G(35 ; 10)G\left(35\,;\,10\right).

2

Soit la série double xix_i : 0 ; 2 ; 4 ; 60\,;\,2\,;\,4\,;\,6 et yiy_i : 1 ; 3 ; 4 ; 81\,;\,3\,;\,4\,;\,8. Calcule SxyS_{xy} et V(x)V(x) à l'aide d'un tableau d'écarts.

Voir le corrigé détaillé
  1. x‾=0+2+4+64=3\overline{x} = \dfrac{0+2+4+6}{4} = 3
  2. y‾=1+3+4+84=4\overline{y} = \dfrac{1+3+4+8}{4} = 4
xix_i00224466Somme
xi−x‾x_i-\overline{x}−3-3−1-1113300
yi−y‾y_i-\overline{y}−3-3−1-1004400
produit99110012122222
(xi−x‾)2(x_i-\overline{x})^{2}991111992020
  1. Sxy=224S_{xy} = \dfrac{22}{4}
  2. ==5,55{,}5
  3. V(x)=204V(x) = \dfrac{20}{4}
  4. ==55
3

Pour une série double, on donne Sxy=18S_{xy}=18, V(x)=9V(x)=9 et V(y)=64V(y)=64. Calcule le coefficient de corrélation rr et interprète-le.

Voir le corrigé détaillé
  1. σx=9=3\sigma_x = \sqrt{9} = 3 et σy=64=8\sigma_y = \sqrt{64} = 8
  2. r=183×8r = \dfrac{18}{3 \times 8}
  3. ==1824\dfrac{18}{24}
  4. ==0,750{,}75

r=0,75r=0{,}75 est positif et assez proche de 11 : la corrélation linéaire entre xx et yy est positive et assez forte, sans être parfaite.

4

Une série double, observée pour xx entre 1010 et 3030, a pour caractéristiques x‾=20\overline{x}=20, y‾=50\overline{y}=50, Sxy=30S_{xy}=30, V(x)=15V(x)=15. Détermine l'équation de la droite de régression de yy en xx, puis calcule la valeur prévue pour x=25x=25.

Voir le corrigé détaillé
  1. a=3015=2a = \dfrac{30}{15} = 2
  2. b=50−2×20=10b = 50 - 2\times20 = 10
  3. ⇒\Rightarrowy=2x+10y = 2x+10
  4. pour x=25x=25 : y=2×25+10y = 2\times25+10
  5. ==6060

x=25x=25 est compris entre 1010 et 3030 : il s'agit d'une interpolation, la prévision y=60y=60 est fiable.

5

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse et justifie.

  1. Le point moyen GG appartient toujours au nuage de points.
  2. La droite de Mayer passe toujours par le point moyen GG.
  3. Le coefficient de corrélation rr peut valoir 1,51{,}5.
  4. Si rr est négatif, alors le coefficient directeur aa de la droite de régression est aussi négatif.
  5. Une extrapolation est en général moins fiable qu'une interpolation.
Voir le corrigé détaillé

1. Faux. GG est le centre du nuage ; rien n'impose qu'un point observé coïncide exactement avec lui (c'est même rarement le cas).

2. Vrai. C'est le théorème démontré en section 3 : GG est le barycentre de G1G_1 (coefficient n1n_1) et G2G_2 (coefficient n2n_2), donc appartient à (G1G2)(G_1G_2).

3. Faux. On a toujours −1⩽r⩽1-1 \leqslant r \leqslant 1 (propriété admise) : r=1,5r=1{,}5 est impossible.

4. Vrai. a=Sxy/V(x)a = S_{xy}/V(x) avec V(x)>0V(x)>0, donc aa a toujours le même signe que SxyS_{xy} — qui est aussi celui de rr.

5. Vrai. Une extrapolation prévoit yy hors du domaine des xix_i observés : rien ne garantit que la tendance linéaire constatée s'y prolonge, alors qu'une interpolation reste dans la zone où elle a été vérifiée.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Un glacier note, sur six journées, la température xix_i (°C) et le nombre de glaces vendues yiy_i : (24 ; 20)(24\,;\,20), (26 ; 25)(26\,;\,25), (28 ; 29)(28\,;\,29), (30 ; 35)(30\,;\,35), (32 ; 38)(32\,;\,38), (34 ; 45)(34\,;\,45). Calcule x‾\overline{x}, y‾\overline{y}, SxyS_{xy}, V(x)V(x), V(y)V(y), puis rr, et interprète.

Voir le corrigé détaillé
  1. x‾=24+26+28+30+32+346=1746=29\overline{x} = \dfrac{24+26+28+30+32+34}{6} = \dfrac{174}{6} = 29
  2. y‾=20+25+29+35+38+456=1926=32\overline{y} = \dfrac{20+25+29+35+38+45}{6} = \dfrac{192}{6} = 32
xix_i242426262828303032323434Somme
xi−x‾x_i-\overline{x}−5-5−3-3−1-111335500
yi−y‾y_i-\overline{y}−12-12−7-7−3-33366131300
produit60602121333318186565170170
(xi−x‾)2(x_i-\overline{x})^{2}25259911119925257070
(yi−y‾)2(y_i-\overline{y})^{2}144144494999993636169169416416
  1. Sxy=1706≈28,33S_{xy} = \dfrac{170}{6} \approx 28{,}33
  2. V(x)=706≈11,67V(x) = \dfrac{70}{6} \approx 11{,}67 ; V(y)=4166≈69,33V(y) = \dfrac{416}{6} \approx 69{,}33
  3. σx≈3,42\sigma_x \approx 3{,}42 ; σy≈8,33\sigma_y \approx 8{,}33
  4. r≈28,333,42×8,33r \approx \dfrac{28{,}33}{3{,}42\times8{,}33}
  5. ≈\approx0,9960{,}996

r≈0,996r \approx 0{,}996 est très proche de 11 : la corrélation entre température et ventes de glaces est quasi parfaite et positive. (Ces valeurs seront réutilisées dans les exercices 7 et 8.)

7

Avec les données de l'exercice 6, détermine l'équation de la droite de Mayer.

Voir le corrigé détaillé
  1. Groupe 1 (3 premières journées) : G1(24+26+283 ; 20+25+293)=G1(26 ; 24,67)G_1\left(\dfrac{24+26+28}{3}\,;\,\dfrac{20+25+29}{3}\right) = G_1\left(26\,;\,24{,}67\right)
  2. Groupe 2 (3 dernières journées) : G2(30+32+343 ; 35+38+453)=G2(32 ; 39,33)G_2\left(\dfrac{30+32+34}{3}\,;\,\dfrac{35+38+45}{3}\right) = G_2\left(32\,;\,39{,}33\right)
  3. aM=39,33−24,6732−26a_M = \dfrac{39{,}33-24{,}67}{32-26}
  4. ==14,676≈2,44\dfrac{14{,}67}{6} \approx 2{,}44
  5. bM=24,67−2,44×26b_M = 24{,}67 - 2{,}44\times26
  6. ≈\approx−38,89-38{,}89

Droite de Mayer : y≈2,44x−38,89y \approx 2{,}44x - 38{,}89.

8

Toujours avec les données de l'exercice 6, détermine l'équation de la droite des moindres carrés, puis compare les prévisions de vente données par les deux méthodes (exercices 7 et 8) pour une température de 3131°C.

Voir le corrigé détaillé
  1. a=SxyV(x)=28,3311,67a = \dfrac{S_{xy}}{V(x)} = \dfrac{28{,}33}{11{,}67}
  2. ≈\approx2,432{,}43
  3. b=32−2,43×29b = 32 - 2{,}43\times29
  4. ≈\approx−38,43-38{,}43

Droite des moindres carrés : y≈2,43x−38,43y \approx 2{,}43x-38{,}43.

  1. Mayer, pour x=31x=31 : y≈2,44×31−38,89≈36,9y \approx 2{,}44\times31-38{,}89 \approx 36{,}9
  2. Moindres carrés, pour x=31x=31 : y≈2,43×31−38,43≈36,9y \approx 2{,}43\times31-38{,}43 \approx 36{,}9

Les deux méthodes donnent une prévision quasiment identique (≈37\approx 37 glaces) — cohérent avec le r≈0,996r \approx 0{,}996 très proche de 11 : plus le nuage est aligné, plus les deux ajustements se rapprochent.

9

Une droite de régression y=2,5x+3y=2{,}5x+3 a été établie à partir d'observations pour xx compris entre 55 et 2020. Calcule la valeur prévue pour x=12x=12, puis pour x=50x=50, et discute la fiabilité de chacune de ces deux prévisions.

Voir le corrigé détaillé
  1. pour x=12x=12 : y=2,5×12+3=33y = 2{,}5\times12+3 = 33
  2. pour x=50x=50 : y=2,5×50+3=128y = 2{,}5\times50+3 = 128

x=12x=12 appartient à [5 ; 20][5\,;\,20] : c'est une interpolation, la valeur y=33y=33 est fiable. En revanche, x=50x=50 est très largement au-delà de 2020 : c'est une extrapolation lointaine, et rien ne garantit que la tendance linéaire observée entre 55 et 2020 reste valable si loin — la valeur y=128y=128 doit être considérée avec la plus grande prudence, voire rejetée sans confirmation par de nouvelles données.

Niveau 3 — Défi
10

Sur n=8n=8 mois, une entreprise a relevé sa production xix_i (en milliers d'unités) et son coût de production yiy_i (en milliers de F CFA), avec ∑xi=80\ \displaystyle\sum x_i = 80,  ∑yi=400\ \displaystyle\sum y_i = 400,  ∑xiyi=4 120\ \displaystyle\sum x_iy_i = 4\,120,  ∑xi2=848\ \displaystyle\sum x_i^{2} = 848.

  1. Calcule x‾\overline{x} et y‾\overline{y}.
  2. À l'aide de la formule de König, calcule SxyS_{xy} et V(x)V(x), puis détermine l'équation de la droite de régression.
  3. Les observations couvrent des productions comprises entre 66 et 1414 milliers d'unités. Prévois le coût pour une production de 14 00014\,000 unités, et précise s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x‾=808=10\overline{x} = \dfrac{80}{8} = 10
  2. y‾=4008=50\overline{y} = \dfrac{400}{8} = 50

2.

  1. Sxy=4 1208−10×50S_{xy} = \dfrac{4\,120}{8} - 10\times50
  2. ==515−500=15515 - 500 = 15
  3. V(x)=8488−102V(x) = \dfrac{848}{8} - 10^{2}
  4. ==106−100=6106-100 = 6
  5. a=156=2,5a = \dfrac{15}{6} = 2{,}5
  6. b=50−2,5×10=25b = 50-2{,}5\times10 = 25

Droite de régression : y=2,5x+25y=2{,}5x+25.

3.

  1. y=2,5×14+25y = 2{,}5\times14+25
  2. ==35+25=6035+25 = 60

Le coût prévu pour 14 00014\,000 unités est de 60 00060\,000 F CFA. Comme x=14x=14 est la borne supérieure de l'intervalle observé [6 ; 14][6\,;\,14], il s'agit d'une interpolation (limite), donc d'une prévision raisonnablement fiable.

11

Un taxi a mesuré, pour six courses, la distance xix_i (km) et la durée yiy_i (min) : (5 ; 12)(5\,;\,12), (10 ; 18)(10\,;\,18), (15 ; 24)(15\,;\,24), (20 ; 29)(20\,;\,29), (25 ; 36)(25\,;\,36), (30 ; 43)(30\,;\,43).

  1. Calcule le point moyen GG.
  2. Détermine l'équation de la droite de Mayer (deux groupes de trois).
  3. Détermine l'équation de la droite des moindres carrés (on donne Sxy≈89,17S_{xy} \approx 89{,}17 et V(x)≈72,92V(x) \approx 72{,}92), puis compare, pour une distance de 2222 km, la prévision de durée obtenue par chacune des deux méthodes.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x‾=5+10+15+20+25+306=1056=17,5\overline{x} = \dfrac{5+10+15+20+25+30}{6} = \dfrac{105}{6} = 17{,}5
  2. y‾=12+18+24+29+36+436=1626=27\overline{y} = \dfrac{12+18+24+29+36+43}{6} = \dfrac{162}{6} = 27

G(17,5 ; 27)G\left(17{,}5\,;\,27\right).

2.

  1. G1(5+10+153 ; 12+18+243)=G1(10 ; 18)G_1\left(\dfrac{5+10+15}{3}\,;\,\dfrac{12+18+24}{3}\right) = G_1\left(10\,;\,18\right)
  2. G2(20+25+303 ; 29+36+433)=G2(25 ; 36)G_2\left(\dfrac{20+25+30}{3}\,;\,\dfrac{29+36+43}{3}\right) = G_2\left(25\,;\,36\right)
  3. aM=36−1825−10=1815=1,2a_M = \dfrac{36-18}{25-10} = \dfrac{18}{15} = 1{,}2
  4. bM=18−1,2×10=6b_M = 18-1{,}2\times10 = 6

Droite de Mayer : y=1,2x+6y=1{,}2x+6.

3.

  1. a=89,1772,92≈1,22a = \dfrac{89{,}17}{72{,}92} \approx 1{,}22
  2. b=27−1,22×17,5≈5,6b = 27-1{,}22\times17{,}5 \approx 5{,}6

Droite des moindres carrés : y≈1,22x+5,6y \approx 1{,}22x+5{,}6.

  1. Mayer, pour x=22x=22 : y=1,2×22+6=32,4y = 1{,}2\times22+6 = 32{,}4
  2. Moindres carrés, pour x=22x=22 : y≈1,22×22+5,6≈32,5y \approx 1{,}22\times22+5{,}6 \approx 32{,}5

Les deux méthodes prévoient une durée quasi identique, environ 3232 à 3333 minutes — la corrélation est en effet très forte ici (r≈0,998r \approx 0{,}998).

12

L'autonomie yiy_i (en % de charge) d'une batterie de smartphone a été relevée en fonction de la durée d'utilisation xix_i (en minutes) : (10 ; 82)(10\,;\,82), (20 ; 68)(20\,;\,68), (30 ; 55)(30\,;\,55), (40 ; 41)(40\,;\,41), (50 ; 29)(50\,;\,29).

  1. Calcule x‾\overline{x}, y‾\overline{y}, SxyS_{xy} et V(x)V(x).
  2. En déduire l'équation de la droite de régression de yy en xx.
  3. Détermine, en résolvant une équation, la durée théorique t0t_0 au bout de laquelle le modèle prévoit une batterie à 0 %0\,\%. Cette valeur constitue-t-elle une extrapolation ? Discute de sa fiabilité.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x‾=10+20+30+40+505=30\overline{x} = \dfrac{10+20+30+40+50}{5} = 30
  2. y‾=82+68+55+41+295=2755=55\overline{y} = \dfrac{82+68+55+41+29}{5} = \dfrac{275}{5} = 55
xix_i10102020303040405050Somme
xi−x‾x_i-\overline{x}−20-20−10-10001010202000
yi−y‾y_i-\overline{y}2727131300−14-14−26-2600
produit−540-540−130-13000−140-140−520-520−1 330-1\,330
(xi−x‾)2(x_i-\overline{x})^{2}400400100100001001004004001 0001\,000
  1. Sxy=−1 3305=−266S_{xy} = \dfrac{-1\,330}{5} = -266
  2. V(x)=1 0005=200V(x) = \dfrac{1\,000}{5} = 200

2.

  1. a=−266200=−1,33a = \dfrac{-266}{200} = -1{,}33
  2. b=55−(−1,33)×30b = 55-(-1{,}33)\times30
  3. ==55+39,9=94,955+39{,}9 = 94{,}9

Droite de régression : y=−1,33x+94,9y=-1{,}33x+94{,}9.

3. On cherche t0t_0 tel que −1,33 t0+94,9=0-1{,}33\,t_0+94{,}9=0.

  1. −1,33 t0=−94,9-1{,}33\,t_0 = -94{,}9
  2. ⇒\Rightarrowt0=94,91,33t_0 = \dfrac{94{,}9}{1{,}33}
  3. ≈\approx71,471{,}4min, soit environ 1 h 11 min

Les observations couvrent x∈[10 ; 50]x \in [10\,;\,50] : t0≈71t_0 \approx 71 min est hors de cet intervalle, donc une extrapolation. Elle est de plus physiquement fragile : la décharge d'une batterie n'est pas rigoureusement linéaire jusqu'à 0 %0\,\% (le système ralentit souvent la consommation en fin de charge pour la préserver) ; t0t_0 donne un ordre de grandeur, pas une prévision garantie.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Boutique de tissus, Dakar. Fatou tient une boutique de tissus à Dakar. Sur six jours, elle a relevé le nombre de clients xix_i reçus et son chiffre d'affaires yiy_i (en milliers de F CFA) : (15 ; 45)(15\,;\,45), (20 ; 58)(20\,;\,58), (25 ; 66)(25\,;\,66), (30 ; 80)(30\,;\,80), (35 ; 90)(35\,;\,90), (40 ; 101)(40\,;\,101).

  1. Calcule le point moyen GG.
  2. Détermine l'équation de la droite de régression de yy en xx (on pourra utiliser Sxy=162,5S_{xy}=162{,}5 et V(x)≈72,92V(x) \approx 72{,}92).
  3. Prévois le chiffre d'affaires pour 3232 clients, puis discute la prévision pour 5555 clients — nombre jamais observé, mais que Fatou espère atteindre pour les fêtes.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x‾=15+20+25+30+35+406=1656=27,5\overline{x} = \dfrac{15+20+25+30+35+40}{6} = \dfrac{165}{6} = 27{,}5
  2. y‾=45+58+66+80+90+1016=4406≈73,33\overline{y} = \dfrac{45+58+66+80+90+101}{6} = \dfrac{440}{6} \approx 73{,}33

G(27,5 ; 73,33)G\left(27{,}5\,;\,73{,}33\right).

2.

  1. a=162,572,92≈2,23a = \dfrac{162{,}5}{72{,}92} \approx 2{,}23
  2. b=73,33−2,23×27,5b = 73{,}33-2{,}23\times27{,}5
  3. ≈\approx12,0512{,}05

Droite de régression : y≈2,23x+12,05y \approx 2{,}23x+12{,}05.

3.

  1. pour x=32x=32 : y≈2,23×32+12,05≈83,4y \approx 2{,}23\times32+12{,}05 \approx 83{,}4
  2. pour x=55x=55 : y≈2,23×55+12,05≈134,7y \approx 2{,}23\times55+12{,}05 \approx 134{,}7

Pour 3232 clients (compris entre 1515 et 4040), 83 40083\,400 F CFA est une interpolation fiable. Pour 5555 clients — jamais observé, très au-delà du maximum de 4040 — les 134 700134\,700 F CFA annoncés par le modèle relèvent de l'extrapolation : la boutique de Fatou pourrait tout simplement ne pas avoir la place ou le stock pour servir autant de clients à la même vitesse, et le lien pourrait cesser d'être linéaire.

14

Vente de bougies, Ndjamena. Dans une boutique de Ndjamena, on a relevé sur cinq semaines la durée d'ensoleillement quotidien moyen xix_i (h/jour) et le nombre de bougies vendues yiy_i par semaine : (4 ; 38)(4\,;\,38), (6 ; 30)(6\,;\,30), (8 ; 25)(8\,;\,25), (10 ; 18)(10\,;\,18), (12 ; 14)(12\,;\,14).

  1. Représente le nuage de points et le point moyen GG.
  2. Détermine l'équation de la droite de régression de yy en xx.
  3. Prévois les ventes pour un ensoleillement de 55 h/jour, puis pour 2020 h/jour, et commente ce second résultat.
Voir le corrigé détaillé

1. Voir la Figure 7 ci-dessous.

2.

  1. x‾=4+6+8+10+125=8\overline{x} = \dfrac{4+6+8+10+12}{5} = 8 ; y‾=38+30+25+18+145=25\overline{y} = \dfrac{38+30+25+18+14}{5} = 25
  2. Sxy=(−4)(13)+(−2)(5)+0+2(−7)+4(−11)5=−1205=−24S_{xy} = \dfrac{(-4)(13)+(-2)(5)+0+2(-7)+4(-11)}{5} = \dfrac{-120}{5} = -24
  3. V(x)=16+4+0+4+165=8V(x) = \dfrac{16+4+0+4+16}{5} = 8
  4. a=−248=−3a = \dfrac{-24}{8} = -3
  5. b=25−(−3)×8=49b = 25-(-3)\times8 = 49

Droite de régression : y=−3x+49y=-3x+49.

3.

  1. pour x=5x=5 : y=−3×5+49=34y = -3\times5+49 = 34interpolation, dans [4 ; 12][4\,;\,12]
  2. pour x=20x=20 : y=−3×20+49=−11y = -3\times20+49 = -11extrapolation, hors [4 ; 12][4\,;\,12]

Pour 55 h d'ensoleillement, on prévoit raisonnablement 3434 bougies vendues. Mais pour 2020 h — bien au-delà du maximum observé (1212 h) — le modèle prédit −11-11 bougies, ce qui est impossible : un nombre de ventes ne peut pas être négatif. Cette absurdité confirme que la droite ne doit jamais être utilisée hors de son domaine de validité (voir Figure 7, où le prolongement en pointillés franchit l'axe des abscisses).

Ventes de bougies selon l'ensoleillement — Ndjamena y=0 468101214161820 -1010203040 ensoleillement (h/j)bougies vendues G(8 ; 25) x=5 : 34 bougies x=20 : −11, impossible
Figure 7 — Le prolongement en pointillés de la droite de régression franchit y=0y=0 : au-delà de 16,316{,}3 h d'ensoleillement, le modèle devient absurde.
15

Vente de jus de bissap, Bamako. Une vendeuse ambulante de jus de bissap à Bamako a noté, sur cinq journées, la température xix_i (°C) et sa recette yiy_i (en milliers de F CFA) : (28 ; 15)(28\,;\,15), (30 ; 18)(30\,;\,18), (32 ; 22)(32\,;\,22), (34 ; 25)(34\,;\,25), (36 ; 29)(36\,;\,29).

  1. Calcule le point moyen GG.
  2. Détermine l'équation de la droite de régression de yy en xx.
  3. Prévois la recette pour une température de 3333°C, puis discute la prévision pour 4545°C, température exceptionnelle jamais observée.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x‾=28+30+32+34+365=32\overline{x} = \dfrac{28+30+32+34+36}{5} = 32
  2. y‾=15+18+22+25+295=1095=21,8\overline{y} = \dfrac{15+18+22+25+29}{5} = \dfrac{109}{5} = 21{,}8

G(32 ; 21,8)G\left(32\,;\,21{,}8\right).

2.

xi−x‾x_i-\overline{x}−4-4−2-2002244Somme
yi−y‾y_i-\overline{y}−6,8-6{,}8−3,8-3{,}80,20{,}23,23{,}27,27{,}200
produit27,227{,}27,67{,}6006,46{,}428,828{,}870,070{,}0
  1. Sxy=705=14S_{xy} = \dfrac{70}{5} = 14
  2. V(x)=16+4+0+4+165=8V(x) = \dfrac{16+4+0+4+16}{5} = 8
  3. a=148=1,75a = \dfrac{14}{8} = 1{,}75
  4. b=21,8−1,75×32b = 21{,}8-1{,}75\times32
  5. ==−34,2-34{,}2

Droite de régression : y=1,75x−34,2y=1{,}75x-34{,}2.

3.

  1. pour x=33x=33 : y=1,75×33−34,2=23,55y = 1{,}75\times33-34{,}2 = 23{,}55
  2. pour x=45x=45 : y=1,75×45−34,2=44,55y = 1{,}75\times45-34{,}2 = 44{,}55

À 3333°C (interpolation, dans [28 ; 36][28\,;\,36]), on prévoit une recette d'environ 23 55023\,550 F CFA, ce qui est cohérent. À 4545°C, en revanche — température jamais observée, largement extrapolée — le modèle annonce 44 55044\,550 F CFA : séduisant, mais peu fiable. À une chaleur aussi extrême, d'autres facteurs entrent en jeu (moins de clients dans la rue aux heures les plus chaudes, rupture de stock de glaçons…) qui pourraient tout aussi bien faire chuter la recette. La prudence s'impose.

16

Transport en taxi-brousse, Douala–Abidjan. Une compagnie de taxi-brousse a relevé, pour six trajets, la distance xix_i (km) et le prix yiy_i (F CFA) : (50 ; 2 000)(50\,;\,2\,000), (100 ; 3 500)(100\,;\,3\,500), (150 ; 5 000)(150\,;\,5\,000), (200 ; 6 800)(200\,;\,6\,800), (250 ; 8 200)(250\,;\,8\,200), (300 ; 9 800)(300\,;\,9\,800).

  1. Calcule le point moyen GG.
  2. Détermine l'équation de la droite de régression de yy en xx (on donne Sxy=228 750S_{xy}=228\,750 et V(x)≈7 291,67V(x) \approx 7\,291{,}67), et interprète bb comme un tarif fixe.
  3. Prévois le prix pour un trajet de 220220 km, puis discute la prévision pour un trajet de 800800 km.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. x‾=50+100+150+200+250+3006=1 0506=175\overline{x} = \dfrac{50+100+150+200+250+300}{6} = \dfrac{1\,050}{6} = 175
  2. y‾=2 000+3 500+5 000+6 800+8 200+9 8006=35 3006≈5 883,3\overline{y} = \dfrac{2\,000+3\,500+5\,000+6\,800+8\,200+9\,800}{6} = \dfrac{35\,300}{6} \approx 5\,883{,}3

G(175 ; 5 883,3)G\left(175\,;\,5\,883{,}3\right).

2.

  1. a=228 7507 291,67a = \dfrac{228\,750}{7\,291{,}67}
  2. ≈\approx31,3731{,}37
  3. b=5 883,3−31,37×175b = 5\,883{,}3-31{,}37\times175
  4. ≈\approx393,3393{,}3

Droite de régression : y≈31,37x+393,3y \approx 31{,}37x+393{,}3. Le terme b≈393b \approx 393 F CFA s'interprète comme un tarif fixe (frais de gare routière, par exemple), auquel s'ajoutent environ 31,431{,}4 F CFA par kilomètre parcouru.

3.

  1. pour x=220x=220 : y≈31,37×220+393,3≈7 295y \approx 31{,}37\times220+393{,}3 \approx 7\,295
  2. pour x=800x=800 : y≈31,37×800+393,3≈25 490y \approx 31{,}37\times800+393{,}3 \approx 25\,490

Pour 220220 km — dans l'intervalle observé [50 ; 300][50\,;\,300] —, un prix voisin de 7 3007\,300 F CFA est une interpolation fiable. Pour 800800 km, en revanche, on sort très largement du domaine étudié : sur une distance aussi longue, la structure tarifaire change souvent (autre transporteur, avion, tarifs dégressifs pour longue distance) et rien ne garantit que le modèle linéaire, construit sur des trajets régionaux de 5050 à 300300 km, reste pertinent.

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Second degré : discriminant et signe du trinôme

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Le point moyen GG d'un nuage de points (xi ; yi)\left(x_i\,;\,y_i\right) est le point de coordonnées :

Explication : Par définition, G(x‾ ; y‾)G(\overline x\,;\,\overline y) où x‾=1n∑xi\overline x=\dfrac1n\sum x_i et y‾=1n∑yi\overline y=\dfrac1n\sum y_i : c'est le centre du nuage, aussi appelé barycentre des points MiM_i.

La covariance SxyS_{xy} de deux séries xx et yy est définie par :

Explication : La covariance est la moyenne des produits des écarts à la moyenne de chaque série : Sxy=1n∑(xi−x‾)(yi−y‾)S_{xy}=\dfrac1n\sum(x_i-\overline x)(y_i-\overline y).

Un agronome de Bamako relève, sur six campagnes, les pluviométries 400 ;500 ;600 ;700 ;800 ;900400\,;500\,;600\,;700\,;800\,;900 (en mm). Quelle est la moyenne x‾\overline x ?

Explication : x‾=400+500+600+700+800+9006=3 9006=650\overline x = \dfrac{400+500+600+700+800+900}{6} = \dfrac{3\,900}{6} = 650 mm. La réponse d oublie de diviser par l'effectif n=6n=6.

Le coefficient de corrélation linéaire rr vérifie toujours :

Explication : C'est une propriété admise du programme : le coefficient de corrélation linéaire est toujours compris entre −1-1 et 11, bornes incluses.

Si le coefficient de corrélation rr est proche de 00, on peut en conclure que :

Explication : Un rr proche de 00 signifie que le nuage est dispersé sans direction privilégiée : aucun ajustement affine ne serait pertinent.

Un coefficient de corrélation rr proche de 11 prouve :

Explication : Corrélation n'est pas causalité : un rr élevé peut provenir d'une troisième variable qui influence les deux grandeurs, ou d'un pur hasard sur un petit échantillon.

Pour cinq élèves (heures de travail / note), la somme des produits des écarts ∑(xi−x‾)(yi−y‾)\sum(x_i-\overline x)(y_i-\overline y) vaut 44,044{,}0. Quelle est la covariance SxyS_{xy} ?

Explication : Sxy=44,0n=44,05=8,8S_{xy} = \dfrac{44{,}0}{n} = \dfrac{44{,}0}{5} = 8{,}8, n=5n=5 étant l'effectif de la série.

La formule pratique de König-Huygens pour la variance de xx s'écrit :

Explication : C'est la formule pratique, équivalente à V(x)=1n∑(xi−x‾)2V(x)=\dfrac1n\sum(x_i-\overline x)^2 mais souvent plus rapide à calculer avec les sommes brutes.

Comment construit-on la droite de Mayer d'un nuage de points ?

Explication : On partage le nuage, dans l'ordre des xix_i croissants, en deux groupes de tailles aussi égales que possible ; la droite de Mayer est la droite (G1G2)(G_1G_2) reliant leurs points moyens.

D'après le théorème vu en cours, la droite de Mayer (G1G2)(G_1G_2) :

Explication : GG est le barycentre de G1G_1 affecté du coefficient n1n_1 et de G2G_2 affecté du coefficient n2n_2 : il appartient donc au segment [G1G2][G_1G_2], donc à la droite (G1G2)(G_1G_2).

La droite des moindres carrés y=ax+by=ax+b a pour coefficients :

Explication : Ce sont les formules admises de la droite de régression de yy en xx : a=SxyV(x)a=\dfrac{S_{xy}}{V(x)}, puis bb se déduit du fait que la droite passe par G(x‾ ; y‾)G(\overline x\,;\,\overline y).

Pour le nuage pluie/rendement, Sxy=121,67S_{xy}=121{,}67 et V(x)=29 166,67V(x)=29\,166{,}67. Quel est le coefficient directeur aa de la droite de régression, arrondi ?

Explication : a=SxyV(x)=121,6729 166,67≈0,00417a=\dfrac{S_{xy}}{V(x)}=\dfrac{121{,}67}{29\,166{,}67}\approx0{,}00417.

Dans une boutique de Ndjamena, la série ensoleillement/bougies vendues donne Sxy=−24S_{xy}=-24 et V(x)=8V(x)=8. Quel est le coefficient directeur aa de la droite de régression ?

Explication : a=SxyV(x)=−248=−3a=\dfrac{S_{xy}}{V(x)}=\dfrac{-24}{8}=-3 : moins il y a de soleil, plus on vend de bougies, d'où un coefficient négatif.

Le signe du coefficient directeur aa de la droite de régression est toujours celui de :

Explication : Comme a=SxyV(x)a=\dfrac{S_{xy}}{V(x)} et que V(x)>0V(x)>0 toujours (sauf cas dégénéré), le signe de aa est celui de SxyS_{xy} — et le coefficient de corrélation rr a aussi ce même signe.

Estimer yy pour une valeur de xx comprise entre le minimum et le maximum des xix_i observés s'appelle :

Explication : C'est la définition de l'interpolation, une prévision généralement fiable car elle reste à l'intérieur du domaine observé.

Avec la droite y≈0,00417x+0,089y\approx0{,}00417x+0{,}089, quelle prévision de rendement (t/ha) donne-t-elle pour une pluviométrie de 750750 mm (comprise entre 400400 et 900900 mm observés) ?

Explication : y≈0,00417×750+0,089≈3,13+0,089≈3,22y\approx0{,}00417\times750+0{,}089\approx3{,}13+0{,}089\approx3{,}22 t/ha. C'est une interpolation fiable, 750750 mm étant dans l'intervalle observé.

Pour la même droite, une pluviométrie hypothétique de 2 0002\,000 mm (bien au-delà du maximum observé de 900900 mm) donne un rendement calculé d'environ 8,438{,}43 t/ha. Que peut-on en conclure ?

Explication : 2 0002\,000 mm est très en dehors du domaine observé [400 ;900][400\,;900] : c'est une extrapolation. Un rendement double du maximum observé est agronomiquement absurde — au-delà d'un seuil, l'excès de pluie noie les cultures.

À Abéché, le domaine observé pour l'apport d'engrais est [50 ;250][50\,;250] kg/ha. Une prévision de rendement à x=320x=320 kg/ha est :

Explication : 320320 kg/ha dépasse le maximum observé de 250250 kg/ha : c'est une extrapolation. Or au-delà d'un certain apport, l'engrais brûle les racines et le rendement chute, contrairement à ce que prédirait le prolongement de la droite.

La droite de régression de yy en xx (celle du programme, a=Sxy/V(x)a=S_{xy}/V(x)) coïncide avec la droite de régression de xx en yy :

Explication : La droite de régression de yy en xx utilise a=Sxy/V(x)a=S_{xy}/V(x), celle de xx en yy utilise a′=Sxy/V(y)a'=S_{xy}/V(y) : ce sont deux droites différentes en général, qui ne coïncident que dans le cas extrême d'un alignement parfait.

Un ingénieur de Kigali étudie x=x= durée d'ensoleillement (en heures) et y=y= production d'un panneau solaire (en kWh). La droite de régression obtenue est y=0,45x+0,2y=0{,}45x+0{,}2, et la série a pour moyenne x‾=6\overline x=6. Quelle est alors la moyenne y‾\overline y de la production ?

Explication : La droite de régression passe toujours par le point moyen G(x‾ ; y‾)G(\overline x\,;\,\overline y) : y‾=0,45×6+0,2=2,7+0,2=2,9\overline y = 0{,}45\times6+0{,}2 = 2{,}7+0{,}2 = 2{,}9 kWh.
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