Second degré : équations, factorisation et signe

Maîtriser complètement le trinôme du second degré.

Mathématiques Première Chapitre 1 / 13 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Résoudre toute équation du second degré
Étudier le signe d'un trinôme
Résoudre un problème d'optimisation par le second degré

Un architecte qui calcule la portée d’un arc, un ingénieur qui règle la trajectoire d’un jet d’eau, un commerçant de Dakar qui cherche le prix qui maximise sa recette : dans chacun de ces problèmes se cache la même courbe, la parabole, et la même expression algébrique, le trinôme du second degré. Ce chapitre te donne les outils complets pour le maîtriser : résoudre toute équation $ax^{2}+bx+c=0$ , factoriser le trinôme, étudier son signe, résoudre des inéquations, et exploiter tout cela pour trouver un maximum ou un minimum.

Tu connais déjà quelques cas particuliers : les identités remarquables t’ont permis de factoriser $x^{2}-9$ ou $x^{2}-6x+9$ , et tu sais résoudre $x^{2}=a$ . Ce chapitre généralise complètement ces méthodes grâce à un nombre-clé, le discriminant $\Delta$ , qui te dira en un instant combien de solutions possède une équation, sans avoir à les chercher à tâtons.

C’est aussi un chapitre démonstratif : chaque théorème est établi rigoureusement à partir d’une seule idée, la forme canonique, qui consiste à faire apparaître un carré dans l’expression du trinôme. Une fois cette idée comprise, tout le reste — résolution, factorisation, signe, optimisation — en découle presque automatiquement.

1Forme canonique

Définition

Un trinôme du second degré est une expression de la forme

$f(x) = ax^{2} + bx + c$

où $a$ , $b$ , $c$ sont des nombres réels fixés, avec $a \neq 0$ . On dit que $a$ est le coefficient dominant, $b$ le coefficient du terme du premier degré, et $c$ le terme constant.

Attention

La condition $a \neq 0$ est essentielle : si $a = 0$ , l’expression $bx+c$ n’est plus « du second degré », c’est une expression affine, et toutes les méthodes de ce chapitre (discriminant, parabole…) n’ont plus de sens.

L’objectif de cette première section est de transformer l’écriture $ax^{2}+bx+c$ en une forme où un seul carré apparaît : c’est la forme canonique. Toute la suite du chapitre en découle.

Théorème — forme canonique

Pour tout trinôme $f(x) = ax^{2}+bx+c$ avec $a \neq 0$ , on note $\Delta = b^{2}-4ac$ (le discriminant). Alors, pour tout réel $x$ :

$f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{\Delta}{4a}$

Autrement dit, $f(x) = a(x-\alpha)^{2}+\beta$ , avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$ .

Démonstration

On fait apparaître le début du carré $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}$ en mettant $a$ en facteur dans les deux premiers termes.

$f(x) = ax^{2}+bx+c$
$=$ $a\left(x^{2} + \dfrac{b}{a}x\right) + c$ $a$ mis en facteur (possible car $a \neq 0$ )
$=$ $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{b^{2}}{4a^{2}}\right] + c$ identité $u^{2}+2u\,v = (u+v)^{2}-v^{2}$ avec $u=x$ , $v=\dfrac{b}{2a}$
$=$ $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{b^{2}}{4a} + c$ on distribue le $a$
$=$ $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} + \dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$ réduction au même dénominateur $4a$
$=$ $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{b^{2}-4ac}{4a}$

En posant $\Delta = b^{2}-4ac$ , on obtient exactement $f(x) = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{\Delta}{4a}$ . C.Q.F.D.

Exemple — deux mises sous forme canonique

1) $f(x) = 2x^{2}-4x+5$ .

$f(x) = 2(x^{2}-2x)+5$
$=$ $2\left[(x-1)^{2}-1\right]+5$ $x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1$
$=$ $2(x-1)^{2}-2+5$
$=$ $2(x-1)^{2}+3$

2) $g(x) = -3x^{2}+6x-1$ .

$g(x) = -3(x^{2}-2x)-1$
$=$ $-3\left[(x-1)^{2}-1\right]-1$
$=$ $-3(x-1)^{2}+3-1$
$=$ $-3(x-1)^{2}+2$

1.1 Sommet et axe de symétrie

La forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta$ se lit directement sur le graphique. Comme $(x-\alpha)^{2} \geqslant 0$ pour tout $x$ , et vaut $0$ exactement quand $x=\alpha$ :

Propriété

Si $a>0$ : $f(x) \geqslant \beta$ pour tout $x$ , avec égalité en $x=\alpha$ . Le trinôme admet un minimum $\beta$ , atteint en $\alpha$ . La parabole est tournée vers le haut.
Si $a<0$ : $f(x) \leqslant \beta$ pour tout $x$ , avec égalité en $x=\alpha$ . Le trinôme admet un maximum $\beta$ , atteint en $\alpha$ . La parabole est tournée vers le bas.

Le point $S(\alpha\,;\beta)$ est le sommet de la parabole ; la droite verticale d’équation $x=\alpha$ est son axe de symétrie : la courbe est symétrique par rapport à cette droite.

Pour le premier exemple ci-dessus, $f(x)=2(x-1)^{2}+3$ avec $a=2>0$ : le sommet est $S(1\,;3)$ , c’est un minimum. Pour $g(x)=-3(x-1)^{2}+2$ avec $a=-3<0$ : le sommet $S(1\,;2)$ est un maximum. Nous exploiterons systématiquement cette idée en section 7 pour résoudre des problèmes d’optimisation.

Math & Co — Pourquoi « parabole » ?

Le mot parabole vient du grec ancien parabolê, « application » ou « comparaison ». Il fut choisi par Apollonius de Perga (Asie Mineure, vers $-262$ à $-190$ ), qui étudia systématiquement les courbes obtenues en coupant un cône par un plan — les coniques : ellipse, parabole, hyperbole — dans son traité Les Coniques, l’un des sommets des mathématiques grecques.

Ironie de l’histoire : les Babyloniens résolvaient déjà des équations du second degré, par des méthodes géométriques équivalentes à notre forme canonique, près de $1\,800$ ans avant notre ère — bien avant qu’Apollonius ne nomme la courbe elle-même ! Il faudra attendre René Descartes, en $1637$ , pour que la géométrie des coniques et l’algèbre du trinôme se rejoignent complètement grâce à la géométrie analytique (les coordonnées).

2Discriminant et racines

2.1 Le discriminant

Définition

Pour $f(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a \neq 0$ , on appelle discriminant de $f$ le nombre

$\Delta = b^{2}-4ac$

C’est exactement le nombre apparu dans la forme canonique : $f(x) = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{\Delta}{4a}$ . Son signe va « discriminer » — distinguer — trois situations pour les solutions de $f(x)=0$ .

2.2 Résolution selon le signe de $\Delta$

Théorème

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , $a\neq0$ , de discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$ . L’équation $f(x)=0$ admet :

si $\Delta > 0$ : deux solutions distinctes $x_{1} = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2} = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
si $\Delta = 0$ : une seule solution (racine double) $x_{0} = -\dfrac{b}{2a}$ ;
si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle.

Démonstration

D’après le théorème de la forme canonique, en posant $X = x+\dfrac{b}{2a}$ :

$f(x)=0 \iff a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{\Delta}{4a} = 0$
$\iff$ $a X^{2} = \dfrac{\Delta}{4a}$
$\iff$ $X^{2} = \dfrac{\Delta}{4a^{2}}$ on divise par $a \neq 0$

Cas $\Delta<0$ . Alors $\dfrac{\Delta}{4a^{2}}<0$ (car $4a^{2}>0$ ), et un carré $X^{2}$ ne peut jamais être négatif : l’équation $X^{2}=\dfrac{\Delta}{4a^{2}}$ n’a aucune solution, donc $f(x)=0$ non plus.

Cas $\Delta=0$ . Alors $X^{2}=0 \iff X=0 \iff x=-\dfrac{b}{2a}$ : une unique solution.

Cas $\Delta>0$ . Alors $\dfrac{\Delta}{4a^{2}} = \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^{2}$ (ce carré ne dépend pas du signe de $a$ , car il est déjà élevé au carré). L’équation $X^{2}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^{2}$ équivaut à $X=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $X=-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ (théorème $x^{2}=a$ vu antérieurement). En revenant à $x = X - \dfrac{b}{2a}$ , on obtient $x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ou $x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ . C.Q.F.D.

Méthode — résoudre

ax^{2}+bx+c=0

1) Identifier $a$ , $b$ , $c$ . 2) Calculer $\Delta=b^{2}-4ac$ . 3) Conclure selon le signe de $\Delta$ , en appliquant le théorème ci-dessus.

Exemple — les trois cas

1) $x^{2}-5x+6=0$ : $a=1,b=-5,c=6$ .

$\Delta = (-5)^{2}-4\times1\times6 = 25-24 = 1$
$\Delta>0\Rightarrow$ $x_{1}=\dfrac{5-1}{2}=2$ et $x_{2}=\dfrac{5+1}{2}=3$

2) $x^{2}-6x+9=0$ : $a=1,b=-6,c=9$ .

$\Delta = 36-36=0$
$\Delta=0\Rightarrow$ $x_{0}=\dfrac{6}{2}=3$ racine double, cohérent avec $x^2-6x+9=(x-3)^2$

3) $x^{2}+2x+5=0$ : $a=1,b=2,c=5$ .

$\Delta = 4-20=-16$
$\Delta<0\Rightarrow$ aucune solution réelle

Attention

Deux pièges très fréquents au bac. D’abord, $\Delta=b^{2}-4ac$ et pas $(b-4ac)^{2}$ ni $b^{2}-4c$ : n’oublie jamais le facteur $a$ . Ensuite, quand $\Delta>0$ , il y a deux solutions : oublier le signe $\pm$ devant $\sqrt{\Delta}$ et n’écrire qu’une racine est une erreur classique et coûteuse.

Math & Co — Une formule vieille de

3\,800

ans

Des tablettes d’argile babyloniennes datées d’environ $-1\,800$ montrent déjà des procédures de résolution équivalentes à la formule du discriminant, pour des problèmes concrets de partage de terrains. Les savants arabes, en particulier Al-Khwarizmi à Bagdad vers $820$ , donnèrent les premières méthodes systématiques et classifiées dans son traité Kitab al-jabr wa al-muqabala — d’où vient le mot « algèbre ». Il ne connaissait toutefois que des solutions positives, les nombres négatifs n’étant pas encore acceptés.

La notation moderne et la prise en compte des racines négatives (voire l’absence de racine réelle) se mettent en place progressivement avec François Viète ( $1540-1603$ ), Albert Girard ( $1629$ ) et René Descartes ( $1637$ ), jusqu’à la formule complète que tu utilises aujourd’hui.

2.3 Représentation graphique : parabole selon $a$ et $\Delta$

Le nombre de solutions de $f(x)=0$ correspond exactement au nombre de points où la courbe de $f$ coupe l’axe des abscisses. Le signe de $a$ fixe l’orientation de la parabole (vers le haut ou vers le bas), le signe de $\Delta$ fixe le nombre de points d’intersection avec cet axe : ce sont deux informations indépendantes, ce qui donne six positions possibles.

Figure 1 — Pour

a>0

, la parabole est tournée vers le haut. Selon le signe de

\Delta

: deux points d’intersection avec l’axe des abscisses (noir), un seul point de contact — tangence — (violet), ou aucun point commun (orange).

Figure 2 — Pour

a<0

, la parabole est tournée vers le bas : mêmes trois positions possibles, symétriques des précédentes par rapport à l’axe des abscisses.

	$\Delta>0$	$\Delta=0$	$\Delta<0$
$a>0$	coupe l’axe en 2 points, creux vers le haut	tangente à l’axe en 1 point, creux vers le haut	ne touche jamais l’axe, entièrement au-dessus
$a<0$	coupe l’axe en 2 points, creux vers le bas	tangente à l’axe en 1 point, creux vers le bas	ne touche jamais l’axe, entièrement en dessous

2.4 Équations bicarrées et changements de variable

Définition

Une équation bicarrée est une équation de la forme $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ , avec $a\neq0$ . Elle ne contient que des puissances paires de $x$ .

Méthode — résoudre une équation bicarrée

On pose $X=x^{2}$ (donc $X \geqslant 0$ obligatoirement). L’équation devient $aX^{2}+bX+c=0$ , un vrai second degré en $X$ , que l’on résout avec $\Delta$ . On ne garde que les solutions $X \geqslant 0$ , puis on revient à $x$ par $x=\sqrt{X}$ ou $x=-\sqrt{X}$ .

Exemple — équation bicarrée

1) Résoudre $x^{4}-5x^{2}+4=0$ .

on pose $X=x^{2}$
$\Rightarrow$ $X^{2}-5X+4=0$
$\Delta = 25-16=9$
$\Rightarrow$ $X_{1}=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $X_{2}=\dfrac{5+3}{2}=4$ les deux valeurs sont $\geqslant 0$ , donc valables
$x^{2}=1 \Rightarrow x=-1$ ou $x=1$
$x^{2}=4 \Rightarrow x=-2$ ou $x=2$

L’équation admet quatre solutions : $-2\,;-1\,;1\,;2$ .

2) Résoudre $x^{4}+x^{2}+1=0$ : on pose $X=x^{2}$ , soit $X^{2}+X+1=0$ , de discriminant $\Delta=1-4=-3<0$ : aucune solution en $X$ , donc aucune solution réelle en $x$ (et ce, sans même avoir besoin de discuter le signe de $X$ ).

Le même principe — poser une nouvelle inconnue pour faire apparaître un second degré déguisé — s’applique à d’autres équations : produits, quotients, ou expressions qui se répètent. Tu en verras un exemple travaillé dans les exercices « Défi ».

3Factorisation

Théorème — factorisation du trinôme

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , $a\neq0$ , de discriminant $\Delta$ .

Si $\Delta \geqslant 0$ , $f$ admet une (ou deux) racine(s) $x_{1}$ , $x_{2}$ et, pour tout réel $x$ :

$f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2})$

(si $\Delta=0$ , on a $x_{1}=x_{2}=x_{0}$ , et $f(x)=a(x-x_{0})^{2}$ ).

Si $\Delta<0$ , $f$ ne peut pas se factoriser par des expressions du premier degré à coefficients réels : on dit qu’il est irréductible dans $\mathbb{R}$ .

Démonstration

Supposons $\Delta \geqslant 0$ , avec $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ (éventuellement égales). Calculons leur somme et leur produit.

$x_{1}+x_{2} = \dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})+(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}$
$x_{1}\times x_{2} = \dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^{2}} = \dfrac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}$ identité $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$
$=$ $\dfrac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}} = \dfrac{4ac}{4a^{2}} = \dfrac{c}{a}$

Développons alors $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ :

$a(x-x_{1})(x-x_{2}) = a\left[x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}\right]$
$=$ $a\left[x^{2}-\left(-\dfrac{b}{a}\right)x+\dfrac{c}{a}\right]$
$=$ $ax^{2}+bx+c = f(x)$

Si $\Delta<0$ , une factorisation $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$ donnerait $f(r_1)=0$ , donc une racine réelle — ce qui contredit le théorème de résolution (aucune solution quand $\Delta<0$ ). C.Q.F.D.

Méthode — factoriser un trinôme

1) Calculer $\Delta$ . 2) Si $\Delta<0$ : non factorisable, on s’arrête là. 3) Sinon, calculer la ou les racines, puis écrire $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ (ou $a(x-x_{0})^{2}$ ).

Exemple — trois trinômes à factoriser

1) $f(x)=2x^{2}-3x-2$ .

$\Delta = 9+16 = 25$ , $\sqrt{\Delta}=5$
$x_{1}=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_{2}=\dfrac{3+5}{4}=2$
$\Rightarrow$ $f(x)=2\left(x+\dfrac12\right)(x-2)$
$=$ $(2x+1)(x-2)$ on distribue le $2$ dans le premier facteur

2) $g(x)=x^{2}-6x+9$ : $\Delta=36-36=0$ , racine double $x_{0}=3$ , donc $g(x)=(x-3)^{2}$ .

3) $h(x)=x^{2}+x+1$ : $\Delta=1-4=-3<0$ : $h$ est irréductible, aucune factorisation possible dans $\mathbb{R}$ .

4Signe du trinôme

Théorème — signe du trinôme

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , $a \neq 0$ , de discriminant $\Delta$ .

Si $\Delta<0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (jamais nul).
Si $\Delta=0$ : $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x \neq x_{0}$ , et $f(x_{0})=0$ .
Si $\Delta>0$ (racines $x_{1}<x_{2}$ ) : $f(x)$ a le signe de $a$ à l’extérieur des racines, et le signe de $-a$ (contraire) entre les racines ; $f(x_1)=f(x_2)=0$ .

Démonstration

Cas $\Delta<0$ . D’après la forme canonique, $f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right]$ . Comme $\Delta<0$ , le terme $-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}$ est strictement positif ; il s’ajoute à un carré positif ou nul : le crochet est donc strictement positif pour tout $x$ . Le signe de $f(x)$ est alors exactement celui de $a$ , sans jamais s’annuler.

Cas $\Delta=0$ . $f(x)=a(x-x_{0})^{2}$ : le carré $(x-x_{0})^{2}$ est strictement positif sauf en $x_0$ où il est nul. Le signe de $f(x)$ est donc celui de $a$ , sauf en $x_0$ où $f$ s’annule.

Cas $\Delta>0$ . $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ avec $x_1<x_2$ . Étudions le signe du produit $(x-x_1)(x-x_2)$ : si $x<x_1$ ou $x>x_2$ , les deux facteurs sont de même signe, le produit est positif ; si $x_1<x<x_2$ , les deux facteurs sont de signes contraires, le produit est négatif. Il suffit alors de multiplier par le signe de $a$ pour conclure. C.Q.F.D.

$x$	$-\infty$		$x_{1}$		$x_{2}$		$+\infty$
signe de $f(x)$		signe de $a$	$0$	signe de $-a$	$0$	signe de $a$

Exemple — dresser un tableau de signe

1) $f(x)=-x^{2}+x+6$ .

$\Delta = 1+24=25>0$ , $\sqrt{\Delta}=5$
$x_{1}=\dfrac{-1-5}{-2}=3$ et $x_{2}=\dfrac{-1+5}{-2}=-2$

Attention à l’ordre : les racines rangées dans l’ordre croissant sont $-2$ puis $3$ . Comme $a=-1<0$ : $f(x)$ est du signe de $-a$ (donc positif) entre $-2$ et $3$ , et du signe de $a$ (donc négatif) à l’extérieur.

Figure 3 — Le trinôme

f(x)=-x^{2}+x+6=-(x-3)(x+2)

est positif entre ses racines (segment vert) et négatif à l’extérieur (segments rouges) : ici

a=-1<0

2) $g(x)=2x^{2}+3$ : ici $b=0$ , $\Delta=0-24=-24<0$ , et $a=2>0$ : $g(x)>0$ pour tout réel $x$ (ce qui est cohérent : un carré plus une constante positive).

Attention

L’erreur la plus fréquente : oublier d’inverser le signe entre les racines quand $a<0$ . Retiens la règle par une phrase : « signe de $a$ à l’extérieur, signe contraire à l’intérieur » — seulement si $\Delta>0$ . Si $\Delta \leqslant 0$ , il n’y a pas d’« intérieur » : le trinôme garde un signe constant (à l’annulation éventuelle près).

5Inéquations du second degré

Méthode — résoudre

ax^{2}+bx+c \gtrless 0

1) Ramener l’inéquation à la forme $f(x) \gtrless 0$ (tout d’un côté). 2) Calculer $\Delta$ et les racines éventuelles. 3) Dresser le tableau de signe de $f$ . 4) Lire l’ensemble des solutions dans la ligne des signes, en réunion d’intervalles.

Exemple — trois inéquations

1) $2x^{2}-3x-2 \geqslant 0$ . D’après la section 3, $2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2)$ , racines $-\dfrac12$ et $2$ , $a=2>0$ .

signe de $a$ à l’extérieur des racines : positif ou nul sur $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right]\cup[2\,;+\infty[$

$\mathcal{S} = \left]-\infty\,;-\dfrac12\right]\cup[2\,;+\infty[$

2) $-x^{2}+x+6>0$ : d’après l’exemple de la section 4, racines $-2$ et $3$ , positif strictement entre les racines.

$\mathcal{S} = \left]-2\,;3\right[$

3) $x^{2}-4x+4 \leqslant 0$ .

$\Delta=16-16=0$
$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$
or un carré est toujours $\geqslant 0$
$\Rightarrow$ $(x-2)^{2}\leqslant 0$ seulement si $(x-2)^{2}=0$

$\mathcal{S} = \{2\}$ : un cas limite où l’inéquation n’a qu’une seule solution.

5.1 Position d’une parabole et d’une droite

Comparer une parabole $P: y=f(x)$ et une droite $d: y=g(x)$ revient à étudier le signe de la différence $f(x)-g(x)$ , qui est encore un trinôme du second degré (ou une expression affine si les termes en $x^2$ se compensent).

Exemple — parabole au-dessus ou en dessous d’une droite

Soit $P: y=x^{2}-1$ et $d: y=x+1$ . Étudions le signe de $D(x)=(x^{2}-1)-(x+1)$ .

$D(x) = x^{2}-x-2$
$\Delta = 1+8=9$ , $\sqrt{\Delta}=3$
$x_{1}=\dfrac{1-3}{2}=-1$ et $x_{2}=\dfrac{1+3}{2}=2$
$D(x)=(x+1)(x-2)$ , $a=1>0$

Donc $D(x)>0$ (parabole au-dessus de la droite) sur $]-\infty\,;-1[\cup]2\,;+\infty[$ ; $D(x)<0$ (parabole en dessous) sur $]-1\,;2[$ ; et $D(x)=0$ — les deux courbes se coupent — en $x=-1$ et $x=2$ , c’est-à-dire aux points $(-1\,;0)$ et $(2\,;3)$ .

Figure 4 — La parabole

P: y=x^{2}-1

et la droite

d: y=x+1

se coupent aux points où

x^{2}-1=x+1

, c’est-à-dire en

(-1;0)

(2;3)

Attention

Pour résoudre une inéquation, ne jamais diviser les deux membres par une expression contenant $x$ sans discuter son signe : $x^{2}>x$ n’équivaut pas à $x>1$ (on perd les solutions négatives, où $x^2>x$ est aussi vrai). La bonne méthode est toujours de tout ramener d’un seul côté et de factoriser.

6Somme et produit des racines

Propriété — relations entre coefficients et racines

Si $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ( $a\neq0$ ) admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ (distinctes ou confondues, c’est-à-dire $\Delta \geqslant 0$ ), alors

$S = x_{1}+x_{2} = -\dfrac{b}{a} \qquad\text{et}\qquad P = x_{1}\times x_{2} = \dfrac{c}{a}$

Ces deux égalités ont déjà été établies au passage dans la démonstration de la factorisation (section 3) : c’est exactement le calcul qui a permis de vérifier que $a(x-x_1)(x-x_2)$ redonne $ax^2+bx+c$ . Elles sont extrêmement utiles pour vérifier un calcul de racines sans refaire tout le discriminant, ou pour résoudre le problème inverse.

Math & Co — Les relations de Viète

Ces formules portent le nom de relations de Viète, en hommage à François Viète ( $1540-1603$ ), juriste et mathématicien français, conseiller du roi Henri IV. Il fut l’un des premiers à utiliser des lettres pour désigner à la fois les données connues d’un problème et les inconnues à trouver — une révolution qui a donné naissance à l’algèbre symbolique moderne, celle que tu utilises dans tout ce chapitre. Avant lui, chaque équation se résolvait par des méthodes rédigées entièrement en mots, ce qui rendait toute généralisation extrêmement laborieuse.

6.1 Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Théorème

Deux nombres $x_{1}$ et $x_{2}$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ si et seulement si ils sont solutions de l’équation

$X^{2}-SX+P=0$

Démonstration

Développons $(X-x_1)(X-x_2)$ , sachant $x_1+x_2=S$ et $x_1x_2=P$ :

$(X-x_1)(X-x_2) = X^{2}-(x_1+x_2)X+x_1x_2$
$=$ $X^{2}-SX+P$

Donc $x_1$ et $x_2$ annulent $X^2-SX+P$ : ce sont ses racines. Réciproquement, les racines d’une équation du second degré unitaire $X^2-SX+P=0$ ont, d’après la section 6 elle-même, pour somme $S$ et produit $P$ . C.Q.F.D.

Exemple — deux nombres connaissant

S

P

Trouver deux nombres de somme $7$ et de produit $12$ .

ils sont solutions de $X^{2}-7X+12=0$
$\Delta = 49-48=1$
$\Rightarrow$ $X_{1}=\dfrac{7-1}{2}=3$ et $X_{2}=\dfrac{7+1}{2}=4$

Les deux nombres cherchés sont $3$ et $4$ (on vérifie bien $3+4=7$ et $3\times4=12$ ).

6.2 La méthode de la racine évidente

Propriété — racine évidente

Pour $f(x)=ax^{2}+bx+c$ :

si $a+b+c=0$ , alors $x=1$ est racine, et l’autre racine vaut $\dfrac{c}{a}$ (produit $P=\frac{c}{a}$ , donc $x_2 = P / 1$ ) ;
si $a-b+c=0$ , alors $x=-1$ est racine, et l’autre racine vaut $-\dfrac{c}{a}$ .

Exemple — utiliser une racine évidente

Résoudre $3x^{2}-5x+2=0$ sans calculer $\Delta$ .

$a+b+c = 3-5+2=0$
$\Rightarrow$ $x_{1}=1$ est racine évidente
$P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow$ $x_{2} = \dfrac{P}{x_1} = \dfrac{2/3}{1} = \dfrac{2}{3}$

Vérification par le discriminant : $\Delta = 25-24=1$ , $x=\dfrac{5\pm1}{6}$ , soit $1$ et $\dfrac23$ . Cohérent, et beaucoup plus rapide !

7Problèmes d’optimisation

Méthode — optimiser une grandeur modélisée par un trinôme

1) Choisir une variable et exprimer la grandeur à optimiser en fonction d’elle, sous forme d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ , en précisant l’intervalle de validité (contraintes physiques). 2) Mettre $f$ sous forme canonique, ou calculer directement $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ . 3) Conclure : si $a>0$ , $\beta$ est un minimum ; si $a<0$ , $\beta$ est un maximum, tous deux atteints en $x=\alpha$ (à condition que $\alpha$ appartienne à l’intervalle de validité).

Exemple — enclos rectangulaire d’aire maximale

On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d’un côté, en mètres, avec $x \in ]0\,;20[$ .

périmètre $=40 \Rightarrow$ l’autre côté mesure $20-x$
aire $A(x) = x(20-x) = -x^{2}+20x$
$A(x) = -(x^{2}-20x) = -\left[(x-10)^{2}-100\right]$
$=$ $-(x-10)^{2}+100$

Comme $a=-1<0$ , $A$ admet un maximum $100$ atteint en $x=10$ , valeur qui appartient bien à $]0\,;20[$ . L’aire est donc maximale, égale à $100\ \text{m}^{2}$ , lorsque $x=10$ m — c’est-à-dire lorsque l’enclos est un carré de côté $10$ m.

Figure 5 — Aire

A(x)=x(20-x)

d’un enclos rectangulaire de périmètre

40

m : elle est maximale,

100\ \text{m}^{2}

, pour

x=10

m, c’est-à-dire pour un enclos carré.

Exemple — bénéfice maximal d’un artisan

Un artisan de Ndjamena fabrique et vend $x$ paniers par jour ( $0 \leqslant x \leqslant 70$ ). Son bénéfice quotidien, en francs CFA, est modélisé par $B(x) = -50x^{2}+4\,000x-30\,000$ . Combien de paniers doit-il produire pour maximiser son bénéfice ?

$B(x) = -50(x^{2}-80x)-30\,000$
$=$ $-50\left[(x-40)^{2}-1\,600\right]-30\,000$
$=$ $-50(x-40)^{2}+80\,000-30\,000$
$=$ $-50(x-40)^{2}+50\,000$

Comme $a=-50<0$ , le bénéfice est maximal en $x=40$ , valeur comprise dans $[0\,;70]$ . L’artisan doit produire $40$ paniers par jour, pour un bénéfice maximal de $50\,000$ F CFA.

Attention

Le sommet $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ n’est un maximum ou un minimum utilisable que s’il appartient à l’intervalle de validité du problème. Si $\alpha$ tombe hors de cet intervalle, l’extremum de la grandeur étudiée est atteint à l’une des bornes de l’intervalle : il faut alors comparer les valeurs aux bornes, et non appliquer aveuglément la formule du sommet.

Fiche mémo

Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta$ , avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$ ; sommet $S(\alpha\,;\beta)$ , minimum si $a>0$ , maximum si $a<0$ .
Discriminant : $\Delta = b^{2}-4ac$ .
$\Delta>0$ : deux racines $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ • $\Delta=0$ : racine double $x_{0}=-\dfrac{b}{2a}$ • $\Delta<0$ : aucune racine réelle.
Factorisation : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta\geqslant0$ ; irréductible si $\Delta<0$ .
Signe : hors des racines, signe de $a$ ; entre les racines (si $\Delta>0$ ), signe de $-a$ ; signe constant de $a$ si $\Delta \leqslant 0$ .
Inéquation : tout ramener en $f(x)\gtrless0$ , dresser le tableau de signe, lire les intervalles.
Position parabole/droite : étudier le signe de $f(x)-g(x)$ , trinôme du second degré.
Somme et produit : $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ , $P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ .
Connaissant $S$ et $P$ : $x_1$ , $x_2$ racines de $X^2-SX+P=0$ .
Racine évidente : $a+b+c=0 \Rightarrow x=1$ racine, autre $=\dfrac{c}{a}$ ; $a-b+c=0 \Rightarrow x=-1$ racine, autre $=-\dfrac{c}{a}$ .
Équation bicarrée $ax^4+bx^2+c=0$ : poser $X=x^2\geqslant0$ , résoudre en $X$ , revenir à $x=\pm\sqrt{X}$ .
Optimisation : extremum au sommet $x=\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ , à condition qu’il appartienne à l’intervalle d’étude ; sinon comparer les bornes.

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a) $x^{2}-7x+10=0$ ; b) $4x^{2}-4x+1=0$ ; c) $2x^{2}-3x+5=0$ .

Voir le corrigé détaillé

$\Delta = 49-40=9$
$\Rightarrow$ $x=\dfrac{7-3}{2}=2$ ou $x=\dfrac{7+3}{2}=5$

$\Delta = 16-16=0$
$\Rightarrow$ $x_{0}=\dfrac{4}{8}=\dfrac12$ racine double, cohérent avec $(2x-1)^2$

$\Delta = 9-40=-31<0$
$\Rightarrow$ aucune solution réelle

Mettre sous forme canonique : a) $f(x)=x^{2}+6x+2$ ; b) $g(x)=-2x^{2}+8x-3$ . Préciser dans chaque cas le sommet.

Voir le corrigé détaillé

$f(x) = (x+3)^{2}-9+2$
$=$ $(x+3)^{2}-7$

Sommet $S(-3\,;-7)$ , minimum (car $a=1>0$ ).

$g(x) = -2(x^{2}-4x)-3$
$=$ $-2\left[(x-2)^{2}-4\right]-3$
$=$ $-2(x-2)^{2}+8-3$
$=$ $-2(x-2)^{2}+5$

Sommet $S(2\,;5)$ , maximum (car $a=-2<0$ ).

Factoriser quand c’est possible : a) $x^{2}-2x-15$ ; b) $4x^{2}-12x+9$ ; c) $3x^{2}-2x+4$ .

Voir le corrigé détaillé

$\Delta=4+60=64$ , $\sqrt{\Delta}=8$
racines $\dfrac{2-8}{2}=-3$ et $\dfrac{2+8}{2}=5$
$\Rightarrow$ $x^{2}-2x-15=(x+3)(x-5)$

$\Delta=144-144=0$ , racine double $\dfrac{12}{8}=\dfrac32$
$\Rightarrow$ $4x^{2}-12x+9=4\left(x-\dfrac32\right)^{2}=(2x-3)^{2}$

c) $\Delta=4-48=-44<0$ : non factorisable dans $\mathbb{R}$ .

Dresser le tableau de signe de $f(x)=2x^{2}-8x+6$ .

Voir le corrigé détaillé

$\Delta = 64-48=16$ , $\sqrt{\Delta}=4$
racines $\dfrac{8-4}{4}=1$ et $\dfrac{8+4}{4}=3$

Comme $a=2>0$ :

$x$	$-\infty$		$1$		$3$		$+\infty$
signe de $f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Donner $S$ et $P$ sans résoudre pour a) $x^{2}-9x+20=0$ et b) $3x^{2}+5x-2=0$ . c) Utiliser une racine évidente pour résoudre $5x^{2}-3x-2=0$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $S=-\dfrac{-9}{1}=9$ , $P=\dfrac{20}{1}=20$ .

b) $S=-\dfrac{5}{3}$ , $P=-\dfrac{2}{3}$ .

$a+b+c=5-3-2=0$
$\Rightarrow$ $x_{1}=1$ racine évidente
$x_{2}=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{2}{5}$

Niveau 2 — Approfondissement

Résoudre l’inéquation $3x^{2}-5x-2 \leqslant 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$\Delta=25+24=49$ , $\sqrt{\Delta}=7$
racines $\dfrac{5-7}{6}=-\dfrac13$ et $\dfrac{5+7}{6}=2$
$a=3>0$ : négatif ou nul entre les racines

$\mathcal{S} = \left[-\dfrac13\,;2\right]$

Résoudre l’inéquation $-2x^{2}+5x-2 > 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$\Delta=25-16=9$ , $\sqrt{\Delta}=3$
racines $\dfrac{-5+3}{-4}=\dfrac12$ et $\dfrac{-5-3}{-4}=2$
$a=-2<0$ : positif strictement entre les racines

$\mathcal{S} = \left]\dfrac12\,;2\right[$

Résoudre l’équation bicarrée $x^{4}-13x^{2}+36=0$ .

Voir le corrigé détaillé

on pose $X=x^{2}$
$\Rightarrow$ $X^{2}-13X+36=0$
$\Delta=169-144=25$ , $\sqrt{\Delta}=5$
$\Rightarrow$ $X_{1}=\dfrac{13-5}{2}=4$ et $X_{2}=\dfrac{13+5}{2}=9$ les deux valeurs sont $\geqslant0$
$x^{2}=4\Rightarrow x=\pm2$ ; $x^{2}=9\Rightarrow x=\pm3$

Quatre solutions : $-3\,;-2\,;2\,;3$ .

Un rectangle a un périmètre de $34$ cm et une aire de $60$ cm². Déterminer ses dimensions.

Voir le corrigé détaillé

Les deux côtés $x_{1}$ , $x_{2}$ vérifient $x_{1}+x_{2}=17$ (demi-périmètre) et $x_{1}x_{2}=60$ (aire) : ce sont les racines de $X^{2}-17X+60=0$ .

$\Delta = 289-240=49$ , $\sqrt{\Delta}=7$
$\Rightarrow$ $X_{1}=\dfrac{17-7}{2}=5$ et $X_{2}=\dfrac{17+7}{2}=12$

Le rectangle mesure $12$ cm sur $5$ cm.

Étudier la position relative de $P: y=x^{2}-4x+3$ et $d: y=-x+3$ , et déterminer leurs points d’intersection.

Voir le corrigé détaillé

$D(x) = (x^{2}-4x+3)-(-x+3)$
$=$ $x^{2}-3x$
$=$ $x(x-3)$ racines $0$ et $3$

Comme $a=1>0$ : $D(x)>0$ (parabole au-dessus de la droite) sur $]-\infty\,;0[\cup]3\,;+\infty[$ ; $D(x)<0$ (parabole en dessous) sur $]0\,;3[$ . Intersections en $x=0$ (point $(0\,;3)$ ) et $x=3$ (point $(3\,;0)$ ).

Niveau 3 — Défi

On considère l’équation $(E_{m}) : x^{2}-2mx+m+2=0$ , d’inconnue réelle $x$ , où $m$ est un paramètre réel.

Exprimer le discriminant $\Delta(m)$ de $(E_m)$ en fonction de $m$ , et le factoriser.
Déterminer selon les valeurs de $m$ le nombre de solutions de $(E_m)$ .
Résoudre $(E_m)$ pour $m=3$ .

Voir le corrigé détaillé

$\Delta(m) = (-2m)^{2}-4\times1\times(m+2)$
$=$ $4m^{2}-4m-8$
$=$ $4(m^{2}-m-2)$
$=$ $4(m-2)(m+1)$ $m^2-m-2$ a pour racines $2$ et $-1$ (somme $1$ , produit $-2$ )

2. $\Delta(m)$ est un trinôme du second degré en $m$ (coefficient $4>0$ ), positif à l’extérieur de ses racines $-1$ et $2$ :

$m$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
signe de $\Delta(m)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Donc $(E_m)$ a deux solutions distinctes si $m<-1$ ou $m>2$ ; une solution double si $m=-1$ ou $m=2$ ; aucune solution si $-1<m<2$ .

3. Pour $m=3$ (qui vérifie bien $m>2$ ) : $(E_3): x^{2}-6x+5=0$ .

$\Delta = 36-20=16$ , $\sqrt{\Delta}=4$
$\Rightarrow$ $x=\dfrac{6-4}{2}=1$ ou $x=\dfrac{6+4}{2}=5$

Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ( $a\neq0$ ).

On suppose que $f$ admet deux racines $x_1$ , $x_2$ de signes contraires. Montrer que $ac<0$ .
Réciproquement, montrer que si $ac<0$ , alors $\Delta>0$ et les deux racines sont de signes contraires.
Application : sans calculer $\Delta$ , justifier que $2x^{2}+5x-7=0$ a deux racines de signes contraires, puis les calculer.

Voir le corrigé détaillé

1. Si $x_1$ et $x_2$ sont de signes contraires, leur produit $x_1x_2$ est strictement négatif. Or $x_1x_2=P=\dfrac{c}{a}$ , donc $\dfrac{c}{a}<0$ , ce qui équivaut à $ac<0$ (un quotient est négatif si et seulement si le produit des deux termes l’est, car $\dfrac{c}{a}=\dfrac{ac}{a^{2}}$ et $a^{2}>0$ ).

$ac<0 \Rightarrow -4ac>0$
$\Delta = b^{2}-4ac \geqslant -4ac$ car $b^2 \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $\Delta > 0$ strictement, car $-4ac>0$

$\Delta>0$ donc $f$ a deux racines réelles distinctes, et $P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{ac}{a^{2}}<0$ puisque $ac<0$ et $a^{2}>0$ : leur produit est négatif, donc elles sont de signes contraires.

3. Pour $2x^{2}+5x-7=0$ : $a=2$ , $c=-7$ , donc $ac=-14<0$ . D’après la question 2, l’équation a bien deux racines de signes contraires (inutile de calculer $\Delta$ pour le savoir).

$\Delta = 25+56=81$ , $\sqrt{\Delta}=9$
$\Rightarrow$ $x=\dfrac{-5-9}{4}=-\dfrac72$ ou $x=\dfrac{-5+9}{4}=1$

Une racine négative, une positive : conforme à la prévision.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(x^{2}-x)^{2}-8(x^{2}-x)+12=0$ .

Poser $X=x^{2}-x$ et écrire l’équation vérifiée par $X$ .
Résoudre cette équation en $X$ .
En déduire toutes les solutions en $x$ .

Voir le corrigé détaillé

1. En posant $X=x^{2}-x$ , l’équation devient $X^{2}-8X+12=0$ .

$\Delta = 64-48=16$ , $\sqrt{\Delta}=4$
$\Rightarrow$ $X_{1}=\dfrac{8-4}{2}=2$ et $X_{2}=\dfrac{8+4}{2}=6$

3. On revient à $x$ en résolvant $x^{2}-x=2$ puis $x^{2}-x=6$ .

$x^{2}-x-2=0$ : $\Delta=1+8=9$
$\Rightarrow$ $x=\dfrac{1-3}{2}=-1$ ou $x=\dfrac{1+3}{2}=2$
$x^{2}-x-6=0$ : $\Delta=1+24=25$
$\Rightarrow$ $x=\dfrac{1-5}{2}=-2$ ou $x=\dfrac{1+5}{2}=3$

Quatre solutions : $-2\,;-1\,;2\,;3$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le marché de Dakar. Une commerçante de Dakar vend des mangues au prix unitaire $x$ F CFA (avec $50 \leqslant x \leqslant 300$ ). L’expérience montre qu’elle en vend alors environ $(400-x)$ par jour. Sa recette journalière est $R(x)=x(400-x)$ , en F CFA.

Écrire $R(x)$ sous forme canonique.
Pour quel prix la recette est-elle maximale ? Quelle est cette recette maximale ?
Pour quels prix la recette dépasse-t-elle $37\,500$ F CFA ?

Voir le corrigé détaillé

$R(x) = -x^{2}+400x$
$=$ $-(x^{2}-400x)$
$=$ $-\left[(x-200)^{2}-40\,000\right]$
$=$ $-(x-200)^{2}+40\,000$

2. Comme $a=-1<0$ , $R$ admet un maximum en $x=200$ (valeur bien comprise entre $50$ et $300$ ) : la recette est maximale, $\boldsymbol{40\,000}$ F CFA, pour un prix de $\boldsymbol{200}$ F CFA l’unité.

$-x^{2}+400x>37\,500 \iff x^{2}-400x+37\,500<0$
$\Delta = 160\,000-150\,000=10\,000$ , $\sqrt{\Delta}=100$
racines $\dfrac{400-100}{2}=150$ et $\dfrac{400+100}{2}=250$
$\Rightarrow$ négatif strictement entre les racines

La recette dépasse $37\,500$ F CFA pour un prix compris strictement entre $150$ et $250$ F CFA.

Le champ d’Abéché. Un agriculteur d’Abéché possède un champ rectangulaire de périmètre $100$ m et d’aire $600$ m².

Déterminer les dimensions du champ.
Le mètre de clôture coûtant $2\,500$ F CFA, calculer le coût total de la clôture.

Voir le corrigé détaillé

1. Les deux dimensions $x_1$ , $x_2$ vérifient $x_1+x_2=50$ (demi-périmètre) et $x_1x_2=600$ (aire) : elles sont racines de $X^{2}-50X+600=0$ .

$\Delta = 2\,500-2\,400=100$ , $\sqrt{\Delta}=10$
$\Rightarrow$ $X_{1}=\dfrac{50-10}{2}=20$ et $X_{2}=\dfrac{50+10}{2}=30$

Le champ mesure $30$ m sur $20$ m.

coût $= 100 \times 2\,500$
$=$ $250\,000$ F CFA

Le coup franc d’Abidjan. Lors d’un entraînement à Abidjan, un joueur frappe un ballon depuis le sol. Sa hauteur $h(x)$ , en mètres, en fonction de la distance horizontale parcourue $x$ , en mètres, est modélisée par $h(x) = -0{,}04x^{2}+1{,}2x$ , pour $x \in [0\,;30]$ .

À quelle distance le ballon retombe-t-il au sol ?
Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quelle distance ?
Sur quel intervalle de distances le ballon est-il à plus de $5$ m de hauteur ?

Voir le corrigé détaillé

$h(x)=0 \iff x(-0{,}04x+1{,}2)=0$
$\Rightarrow$ $x=0$ ou $x=30$

Le ballon retombe au sol à $30$ m du point de frappe ( $x=0$ correspond au départ).

$h(x) = -0{,}04(x^{2}-30x)$
$=$ $-0{,}04\left[(x-15)^{2}-225\right]$
$=$ $-0{,}04(x-15)^{2}+9$

Hauteur maximale : $9$ m, atteinte à $15$ m du point de frappe.

Figure 6 — Trajectoire du ballon : hauteur

h(x)=-0{,}04x^{2}+1{,}2x

en fonction de la distance horizontale

x

, toutes deux en mètres.

$-0{,}04x^{2}+1{,}2x>5 \iff x^{2}-30x+125<0$ on multiplie par $-25$ , l’inégalité change de sens
$\Delta = 900-500=400$ , $\sqrt{\Delta}=20$
racines $\dfrac{30-20}{2}=5$ et $\dfrac{30+20}{2}=25$
$\Rightarrow$ négatif strictement entre les racines

Le ballon est à plus de $5$ m de hauteur pour $x \in \left]5\,;25\right[$ .

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8 questions

Second degré : discriminant et signe du trinôme

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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La forme canonique d'un trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ( $a\neq0$ ) s'écrit $f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta$ , avec :

\alpha=\dfrac{b}{2a}

\beta=\dfrac{\Delta}{4a}

\alpha=-\dfrac{b}{2a}

\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}

\alpha=-\dfrac{b}{a}

\beta=-\dfrac{\Delta}{2a}

\alpha=\dfrac{b}{a}

\beta=\dfrac{\Delta}{2a}

Explication : En faisant apparaître un carré dans

ax^{2}+bx+c

, on obtient

f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a}

, soit

\alpha=-\dfrac{b}{2a}

\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}

Pour un trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , le discriminant $\Delta$ est défini par :

\Delta = b^{2}-4c

\Delta = (b-4ac)^{2}

\Delta = b^{2}-4ac

\Delta = 4ac-b^{2}

Explication : C'est la définition du discriminant :

\Delta=b^{2}-4ac

. Piège classique : oublier le facteur

a

ou inverser le signe.

Dans $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , si $a=0$ , alors :

l'expression n'est plus du second degré : c'est une expression affine

bx+c

le discriminant devient toujours positif l'équation admet toujours une racine double rien ne change, toutes les méthodes du chapitre s'appliquent encore

Explication : La condition

a\neq0

est essentielle à la définition même du trinôme du second degré : si

a=0

, on retombe sur une expression affine, et le discriminant n'a plus de sens.

Si $\Delta<0$ , l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ admet :

une solution double deux solutions distinctes une infinité de solutions aucune solution réelle

Explication : D'après la forme canonique, résoudre

f(x)=0

revient à

X^{2}=\dfrac{\Delta}{4a^{2}}

. Si

\Delta<0

, ce membre de droite est négatif, or un carré ne peut jamais être négatif : aucune solution.

Si $a>0$ , le trinôme $f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta$ admet :

un maximum

\beta

, atteint en

x=\alpha

un minimum

\beta

, atteint en

x=\alpha

ni maximum ni minimum un minimum, mais toujours atteint en

x=0

Explication : Comme

(x-\alpha)^{2}\geqslant0

, si

a>0

alors

f(x)\geqslant\beta

pour tout

x

, avec égalité en

x=\alpha

: c'est un minimum.

Si $\Delta<0$ , le trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ :

se factorise en

a(x-x_1)(x-x_2)

avec

x_1

x_2

racines complexes se factorise toujours grâce à une identité remarquable admet une racine double est irréductible dans

\mathbb{R}

: aucune factorisation par des facteurs du premier degré réels

Explication : Une factorisation

f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)

donnerait une racine réelle

r_1

, ce qui contredit l'absence de solution quand

\Delta<0

. Le trinôme reste donc irréductible dans

\mathbb{R}

Calcule le discriminant de $f(x)=x^{2}-5x+6$ .

49

-24

1

11

Explication :

\Delta = (-5)^{2}-4\times1\times6

=25-24

=1

Résous $x^{2}-2x-15=0$ .

x=-3

x=5

x=3

x=-5

x=-4

x=6

x=8

(solution unique)

Explication :

\Delta = 4+60=64

\sqrt{\Delta}=8

x=\dfrac{2-8}{2}=-3

x=\dfrac{2+8}{2}=5

Factorise $f(x)=2x^{2}-3x-2$ .

(x+1)(2x-2)

(2x+1)(x-2)

(2x-1)(x+2)

2(x-1)(x+2)

Explication :

\Delta=9+16=25

\sqrt{\Delta}=5

, racines

-\dfrac12

2

f(x)=2\left(x+\dfrac12\right)(x-2)=(2x+1)(x-2)

en distribuant le

2

dans le premier facteur.

Le trinôme $f(x)=-x^{2}+x+6$ a pour racines $-2$ et $3$ . Sur quel intervalle $f(x)$ est-il positif ?

]-\infty\,;-2[\cup]3\,;+\infty[

]-\infty\,;-2]\cup[3\,;+\infty[

]-2\,;3[

\mathbb{R}

tout entier

Explication : Comme

a=-1<0

f(x)

est du signe de

-a

(donc positif) entre les racines, et du signe de

a

(négatif) à l'extérieur. Piège classique : oublier d'inverser le signe car

a<0

Résous l'inéquation $x^{2}-4x+4 \leqslant 0$ .

\mathcal{S}=\mathbb{R}

\mathcal{S}=\varnothing

\mathcal{S}=]-\infty\,;2]

\mathcal{S}=\{2\}

Explication :

\Delta=16-16=0

, donc

x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}

. Or un carré est toujours

\geqslant0

: l'inégalité

(x-2)^{2}\leqslant0

n'est vraie que si

(x-2)^{2}=0

, c'est-à-dire

x=2

Soit $P: y=x^{2}-1$ et $d: y=x+1$ . En posant $D(x)=(x^{2}-1)-(x+1)=x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)$ , sur quel intervalle la parabole $P$ est-elle strictement en dessous de la droite $d$ ?

]-1\,;2[

]-\infty\,;-1[\cup]2\,;+\infty[

]-2\,;1[

\{-1\,;2\}

Explication :

D(x)=(x+1)(x-2)

a=1>0

D(x)<0

(parabole en dessous de la droite) entre les racines, soit sur

]-1\,;2[

Pour $f(x)=3x^{2}+5x-2$ , donne la somme $S$ et le produit $P$ de ses racines, sans les calculer.

S=\dfrac53

P=\dfrac23

S=-\dfrac53

P=\dfrac23

S=-\dfrac53

P=-\dfrac23

S=\dfrac35

P=-\dfrac23

Explication :

S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac53

P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{3}=-\dfrac23

Résous $3x^{2}-5x+2=0$ en utilisant une racine évidente.

x=1

x=\dfrac32

x=1

x=\dfrac23

x=-1

x=\dfrac23

x=1

x=-\dfrac23

Explication :

a+b+c=3-5+2=0

, donc

x_1=1

est racine évidente. L'autre racine vaut

P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}

(car

x_1\times x_2=P

x_1=1

L'équation bicarrée $x^{4}+x^{2}+1=0$ admet :

aucune solution réelle, car le trinôme en

X=x^{2}

a un discriminant négatif deux solutions réelles opposées quatre solutions réelles une solution double

x=0

Explication : En posant

X=x^{2}

, on obtient

X^{2}+X+1=0

, de discriminant

\Delta=1-4=-3<0

: aucune solution en

X

, donc aucune solution réelle en

x

, sans même avoir besoin de discuter le signe de

X

Pour une grandeur modélisée par un trinôme sur un intervalle $[m\,;n]$ , si le sommet $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ n'appartient pas à $[m\,;n]$ , l'extremum de la grandeur sur cet intervalle est atteint :

toujours en

x=\alpha

, malgré tout au milieu de l'intervalle

[m\,;n]

nulle part : il n'existe pas d'extremum dans ce cas à l'une des bornes de l'intervalle, qu'il faut comparer

Explication : La formule du sommet ne donne un extremum utilisable que si

\alpha

est dans l'intervalle d'étude. Sinon, il faut comparer les valeurs de la grandeur aux bornes

m

n

Marché de Dakar. Une commerçante vend des mangues au prix $x$ F CFA ( $50\leqslant x\leqslant300$ ) ; sa recette journalière est $R(x)=x(400-x)$ . Pour quel prix la recette est-elle maximale, et quelle est cette recette ?

100

F CFA, recette

30\,000

F CFA

400

F CFA, recette

0

F CFA

200

F CFA, recette maximale de

40\,000

F CFA

150

F CFA, recette

37\,500

F CFA

Explication :

R(x)=-x^{2}+400x=-(x-200)^{2}+40\,000

. Comme

a=-1<0

, le maximum

40\,000

est atteint en

x=200

, valeur bien comprise dans

[50\,;300]

Artisan de Ndjamena. Le bénéfice quotidien d'un artisan qui vend $x$ paniers ( $0\leqslant x\leqslant70$ ) est $B(x)=-50x^{2}+4\,000x-30\,000$ F CFA. Combien de paniers doit-il produire pour maximiser son bénéfice, et quel est ce bénéfice ?

30

paniers, bénéfice

45\,000

F CFA

40

paniers, bénéfice maximal de

50\,000

F CFA

50

paniers, bénéfice

48\,000

F CFA

80

paniers, bénéfice

0

F CFA

Explication :

B(x)=-50(x-40)^{2}+50\,000

. Comme

a=-50<0

, le maximum

50\,000

F CFA est atteint en

x=40

, valeur comprise dans

[0\,;70]

Coup franc à Abidjan. La hauteur du ballon est $h(x)=-0{,}04x^{2}+1{,}2x$ (en mètres), pour $x\in[0\,;30]$ . Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quelle distance ?

6

m, à

20

12

m, à

15

9

m, à

30

9

m, à

15

Explication :

h(x)=-0{,}04\left[(x-15)^{2}-225\right]=-0{,}04(x-15)^{2}+9

. Le maximum

9

m est atteint en

x=15

m, valeur comprise dans

[0\,;30]

Pour $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ( $a\neq0$ ), si $ac<0$ , alors :

\Delta>0

et les deux racines sont de signes contraires

\Delta<0

: l'équation n'a aucune racine réelle les deux racines sont nécessairement positives le trinôme est irréductible dans

\mathbb{R}

Explication : Si

ac<0

, alors

-4ac>0

, donc

\Delta=b^{2}-4ac \geqslant -4ac>0

: deux racines réelles distinctes. Leur produit

P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{ac}{a^{2}}<0

(car

ac<0

a^{2}>0

) : elles sont donc de signes contraires.

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En bref

Classe : Classe de Première
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 10 h
8 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme

Second degré : équations, factorisation et signe

Ce que tu sauras faire à la fin

1Forme canonique

1.1 Sommet et axe de symétrie

2Discriminant et racines

2.1 Le discriminant

2.2 Résolution selon le signe de Δ\DeltaΔ

2.3 Représentation graphique : parabole selon aaa et Δ\DeltaΔ

2.4 Équations bicarrées et changements de variable

3Factorisation

4Signe du trinôme

5Inéquations du second degré

5.1 Position d’une parabole et d’une droite

6Somme et produit des racines

6.1 Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit

6.2 La méthode de la racine évidente

7Problèmes d’optimisation

Fiche mémo

8Exercices corrigés

Teste-toi gratuitement

Second degré : discriminant et signe du trinôme

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

2.2 Résolution selon le signe de $\Delta$

2.3 Représentation graphique : parabole selon $a$ et $\Delta$