Limites et continuité : première approche

Introduire le comportement d'une fonction aux bornes de son domaine.

Mathématiques Première Chapitre 4 / 13 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Calculer une limite simple
Lever une forme indéterminée par factorisation
Interpréter graphiquement une asymptote

Que devient une fonction quand $x$ s'approche d'une valeur qui pose problème, ou quand $x$ part à l'infini ? C'est exactement la question que se pose un ingénieur qui calcule la vitesse d'un mobile au moment précis d'un choc, ou un économiste qui veut savoir si un coût moyen de production finit par se stabiliser. Dans les deux cas, on ne peut pas simplement « remplacer $x$ par la valeur » : soit elle est interdite, soit elle n'existe pas (l'infini n'est pas un nombre !). Il faut un nouvel outil : la limite.

Ce chapitre pose les bases du grand chapitre de l'analyse qui t'accompagnera jusqu'au baccalauréat. En Première, on reste au niveau de l'intuition graphique et numérique : tu vas lire des limites sur des courbes, en calculer à partir de tableaux de valeurs, puis apprendre les techniques de calcul (opérations, formes indéterminées, asymptotes) qui te serviront dès l'année prochaine pour définir la dérivée. La définition rigoureuse « en $\varepsilon$ » attendra la Terminale ; ici, on construit le sens.

Ce qui change par rapport à la Seconde : jusqu'ici, tu décrivais une fonction par son tableau de variations sur un intervalle fermé. Désormais, tu vas t'intéresser à ce qui se passe aux bornes du domaine — près d'une valeur interdite, ou quand $x$ devient très grand — et donner un sens précis à des expressions comme « $f(x)$ tend vers $+\infty$ » ou « la courbe se rapproche d'une droite sans jamais la toucher ». Sans ce chapitre, aucune étude de fonction sérieuse n'est possible.

1Limite en un point et à l'infini

1.1 Limite en un point

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant un nombre $a$ , sauf peut-être en $a$ . On dit que $f$ a pour limite le nombre $L$ quand $x$ tend vers $a$ , et on note

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

lorsque $f(x)$ se rapproche d'aussi près que l'on veut de $L$ dès que $x$ se rapproche suffisamment de $a$ (avec $x \neq a$ ).

Prenons $f(x) = \dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ . Cette fonction n'est pas définie en $x=2$ (dénominateur nul). Regardons pourtant ce qui se passe tout près de $2$ , à l'aide d'un tableau de valeurs :

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	→	$2$	←	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	→	?	←	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Que $x$ approche $2$ par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures, $f(x)$ se rapproche de la même valeur $4$ , alors même que $f(2)$ n'existe pas. On écrit $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ .

Figure 1 —

f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}

n'est pas définie en

x=2

, mais

f(x)=x+2

pour

x\neq 2

: la courbe se rapproche du point

(2\,;\,4)

(cercle vide) quand

x

tend vers

2

. On lit

\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 4

Attention

La limite de $f$ en $a$ ne dépend pas de la valeur $f(a)$ , et peut exister même si $f(a)$ n'existe pas (cas ci-dessus). Elle peut aussi être différente de $f(a)$ lorsque celle-ci existe : ce sont deux notions distinctes, qu'il ne faut jamais confondre.

Exemple — lever une indétermination simple par factorisation

Calculons $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ sans tableau de valeurs, par le calcul.

$x^{2}-4 = (x-2)(x+2)$ identité remarquable $a^{2}-b^{2}$
pour $x \neq 2$ : $\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
$=$ $x+2$ on simplifie par $x-2$ , non nul car $x \neq 2$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$

On retrouve exactement la valeur $4$ lue sur le tableau de valeurs et sur la figure.

1.2 Limite à l'infini

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\,;+\infty[$ . On dit que $f$ a pour limite $L$ en $+\infty$ , et on note $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ , lorsque $f(x)$ se rapproche d'aussi près que l'on veut de $L$ dès que $x$ est assez grand. On définit de même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ pour une fonction définie sur un intervalle $]-\infty\,;a]$ .

Une fonction peut aussi tendre vers l'infini : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ signifie que $f(x)$ devient aussi grand que l'on veut dès que $x$ est assez grand (et de même pour $-\infty$ ).

Exemple — deux comportements à l'infini

a) Soit $g(x) = 3 + \dfrac{1}{x}$ . Quand $x$ grandit, $\dfrac{1}{x}$ se rapproche de $0$ , donc $g(x)$ se rapproche de $3$ :

$x$	$10$	$100$	$1\,000$	$10\,000$
$g(x)$	$3{,}1$	$3{,}01$	$3{,}001$	$3{,}000\,1$

D'où $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = 3$ .

b) Soit $h(x) = x^{2}$ . Ici $h(x)$ grandit sans aucune limite : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$ .

Math & Co — Des « quantités évanescentes » à la limite moderne

L'idée de limite est bien plus ancienne que sa formalisation. Dès $1671$ , Isaac Newton parle de « fluxions » et de quantités qui s'évanouissent, et Gottfried Wilhelm Leibniz, en $1684$ , manipule des « infiniment petits » pour fonder son calcul différentiel. Ces notions, très fécondes, restent floues : que signifie exactement une quantité « infiniment petite mais non nulle » ?

Il faudra attendre Augustin-Louis Cauchy et son Cours d'analyse de l'École royale polytechnique ( $1821$ ) pour qu'apparaisse une définition proche de celle que tu utiliseras en Terminale, puis Karl Weierstrass, dans les années $1860$ , pour la version en « $\varepsilon$ - $\delta$ » devenue la norme mondiale. Ce que tu apprends aujourd'hui de façon intuitive a donc mis deux siècles à se stabiliser !

2Limites des fonctions de référence

Plutôt que de refaire un tableau de valeurs à chaque nouvelle fonction, on retient une fois pour toutes les limites des fonctions de référence. Elles serviront de briques de base : combinées aux règles d'opérations de la section suivante, elles permettront de calculer la limite de presque toutes les fonctions du programme.

Propriété — fonctions puissances en

+\infty

et en

-\infty

fonction	$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}$	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}$
$x$	$-\infty$	$+\infty$
$x^{2},\ x^{4},\ x^{6},\dots$ (exposant pair)	$+\infty$	$+\infty$
$x^{3},\ x^{5},\ x^{7},\dots$ (exposant impair)	$-\infty$	$+\infty$

Autrement dit : en $+\infty$ , toute puissance de $x$ tend vers $+\infty$ ; en $-\infty$ , cela dépend de la parité de l'exposant.

Propriété — fonction inverse

x \mapsto \dfrac{1}{x}

$x \to 0^{-}$	$x \to 0^{+}$	$x \to -\infty$	$x \to +\infty$
$-\infty$	$+\infty$	$0$	$0$

Les notations $x \to 0^{-}$ et $x \to 0^{+}$ signifient que $x$ se rapproche de $0$ respectivement par valeurs négatives et par valeurs positives ; c'est indispensable ici, car la fonction inverse ne se comporte pas du tout de la même façon des deux côtés de $0$ .

Figure 2 — La fonction inverse

x \mapsto \dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}^{*}

: asymptote verticale

x=0

(pointillés), asymptote horizontale

y=0

+\infty

et en

-\infty

Propriété — fonction racine carrée

x \mapsto \sqrt{x}

La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$ .

$\lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

Exemple — appliquer directement le tableau des références

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{5} = +\infty$ exposant impair, $x \to +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{4} = +\infty$ exposant pair, $x \to -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

Attention

N'écris jamais $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ tout court : en $0$ , la fonction inverse n'a pas de limite (elle vaut $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite, ce sont deux valeurs différentes). Il faut préciser $0^{-}$ ou $0^{+}$ .

3Opérations sur les limites

Les fonctions de référence sont les briques ; voici maintenant les règles de construction. Si tu connais les limites de $f$ et de $g$ en un point (ou en l'infini), tu peux presque toujours en déduire celles de $f+g$ , $f \times g$ et $\dfrac{f}{g}$ — presque toujours, car quatre cas résisteront et porteront un nom : les formes indéterminées, étudiées en section $4$ .

3.1 Limite d'une somme

Propriété —

\lim (f+g)

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f+g)$
$\ell$ (fini)	$\ell'$ (fini)	$\ell + \ell'$
$\ell$ (fini)	$+\infty$	$+\infty$
$\ell$ (fini)	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	forme indéterminée « $\infty - \infty$ »

3.2 Limite d'un produit

Propriété —

\lim (f \times g)

$\lim f$	$\lim g$	$\lim (f \times g)$
$\ell$ (fini)	$\ell'$ (fini)	$\ell \times \ell'$
$\ell > 0$	$+\infty$	$+\infty$
$\ell > 0$	$-\infty$	$-\infty$
$\ell < 0$	$+\infty$	$-\infty$
$\ell < 0$	$-\infty$	$+\infty$
$+\infty$ ou $-\infty$	$+\infty$ ou $-\infty$	$+\infty$ ou $-\infty$ (règle des signes)
$0$	$+\infty$ ou $-\infty$	forme indéterminée « $0 \times \infty$ »

3.3 Limite d'un quotient

Propriété —

\lim \dfrac{f}{g}

$\lim f$	$\lim g$	$\displaystyle\lim \frac{f}{g}$
$\ell$ (fini)	$\ell' \neq 0$ (fini)	$\ell / \ell'$
$\ell$ (fini)	$+\infty$ ou $-\infty$	$0$
$+\infty$ ou $-\infty$	$\ell' \neq 0$ (fini)	$+\infty$ ou $-\infty$ (règle des signes)
$\ell \neq 0$ (fini)	$0$	$+\infty$ ou $-\infty$ (étudier le signe de $g$ )
$+\infty$ ou $-\infty$	$+\infty$ ou $-\infty$	forme indéterminée « $\infty / \infty$ »
$0$	$0$	forme indéterminée « $0/0$ »

Exemple — appliquer les tableaux

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^{2}+x)$
$=$ $+\infty$ somme de deux limites $+\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{3}{x}$
$=$ $+\infty$ $\ell=3>0$ fini, $\lim \frac{1}{x}=+\infty$ : produit
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x}$
$=$ $0$ quotient : fini sur infini

Attention — les quatre formes indéterminées

Quatre situations échappent aux tableaux ci-dessus : $\infty - \infty$ ; $0 \times \infty$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; $\dfrac{0}{0}$ . Dans chacune de ces situations, on ne peut rien conclure directement : le résultat dépend entièrement de la fonction étudiée (il peut être fini, infini, ou ne pas exister). Il faut transformer l'écriture avant de reprendre la limite : c'est l'objet de la section $4$ .

4Formes indéterminées simples

Deux formes indéterminées dominent le programme de Première, presque toujours sur des polynômes ou des fractions rationnelles : $\infty - \infty$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Bonne nouvelle : une unique méthode, celle du terme dominant, règle les deux cas à la fois.

4.1 Limite d'un polynôme en l'infini

Théorème — terme dominant d'un polynôme

Soit $P(x) = a_n x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ une fonction polynôme, avec $a_n \neq 0$ . Alors, en $+\infty$ comme en $-\infty$ :

$\lim P(x) = \lim \left(a_n x^{n}\right)$

Autrement dit, seul le terme de plus haut degré gouverne la limite à l'infini.

Démonstration

Pour $x \neq 0$ , on factorise $P(x)$ par $a_n x^{n}$ :

$P(x) = a_n x^{n} \left(1 + \dfrac{a_{n-1}}{a_n\, x} + \dfrac{a_{n-2}}{a_n\, x^{2}} + \dots + \dfrac{a_0}{a_n\, x^{n}}\right)$ on vérifie en redéveloppant
chaque terme $\dfrac{a_k}{a_n\, x^{n-k}}$ (pour $k<n$ ) est un quotient d'une constante par une puissance de $x$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_k}{a_n\,x^{n-k}} = 0$ limite de référence $\frac{1}{x^{p}}$
$\Rightarrow$ la parenthèse tend vers $1$
$\Rightarrow$ $P(x)$ a la même limite que $a_n x^{n} \times 1 = a_n x^{n}$

Le résultat suit alors du tableau des limites de référence (section $2$ ) et de la règle du produit. C.Q.F.D.

Exemple — lever une forme

\infty - \infty

Calculons $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-3x^{3}+5x^{2}-1\right)$ . Séparément, $-3x^{3} \to -\infty$ et $5x^{2}-1 \to +\infty$ : c'est bien une forme $\infty-\infty$ .

on garde le terme de plus haut degré : $-3x^{3}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{3} = +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-3x^{3}\right) = -\infty$ coefficient négatif : produit $\ell<0$ par $+\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-3x^{3}+5x^{2}-1\right) = -\infty$

4.2 Limite d'une fonction rationnelle en l'infini

Théorème — terme dominant d'un quotient

Soit $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ une fonction rationnelle, où $P$ et $Q$ sont des polynômes. En $+\infty$ comme en $-\infty$ , $f$ a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré de $P$ et de $Q$ .

Démonstration

Notons $a_p x^{p}$ le terme dominant de $P$ et $b_q x^{q}$ celui de $Q$ .

$f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{a_p x^{p}\left(1 + \varepsilon_1(x)\right)}{b_q x^{q}\left(1+\varepsilon_2(x)\right)}$ on factorise $P$ et $Q$ comme au 4.1
$=$ $\dfrac{a_p}{b_q}\, x^{p-q} \times \dfrac{1+\varepsilon_1(x)}{1+\varepsilon_2(x)}$
$\varepsilon_1(x) \to 0$ et $\varepsilon_2(x) \to 0$ quand $x \to \pm\infty$ démontré au 4.1
$\Rightarrow$ $\dfrac{1+\varepsilon_1(x)}{1+\varepsilon_2(x)} \to 1$
$\Rightarrow$ $f(x)$ a la même limite que $\dfrac{a_p}{b_q}\, x^{p-q} = \dfrac{a_p x^{p}}{b_q x^{q}}$

C.Q.F.D.

Méthode — lever une forme

\infty-\infty

\infty/\infty

1) Repérer le terme de plus haut degré au numérateur et, s'il y en a un, au dénominateur. 2) Factoriser chaque polynôme par son terme dominant. 3) Simplifier l'écriture. 4) Passer à la limite terme à terme, à l'aide des tableaux de la section $3$ .

Exemple — trois degrés relatifs

a) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}-2x+1}{5x^{2}+x-4}$ — mêmes degrés ( $2$ et $2$ ) :

même limite que $\dfrac{3x^{2}}{5x^{2}}$
$=$ $\dfrac{3}{5}$ on simplifie par $x^{2}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}-2x+1}{5x^{2}+x-4} = \dfrac{3}{5}$

b) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x+1}{x^{2}-3}$ — degré du dénominateur plus grand ( $1<2$ ) :

même limite que $\dfrac{2x}{x^{2}} = \dfrac{2}{x}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x+1}{x^{2}-3} = 0$

c) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{x-1}$ — degré du numérateur plus grand ( $3>1$ ) :

même limite que $\dfrac{x^{3}}{x} = x^{2}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{x-1} = +\infty$

Math & Co — Le nom « forme indéterminée »

L'expression « forme indéterminée » apparaît dans les traités d'analyse du $\text{XIX}^{\text{e}}$ siècle pour décrire ces écritures comme $\infty-\infty$ auxquelles on ne peut donner aucune valeur générale. Le mathématicien suisse Guillaume de l'Hospital avait pourtant, dès $1696$ , publié dans le tout premier manuel de calcul différentiel une règle (aujourd'hui dite « règle de l'Hospital », en réalité découverte par Jean Bernoulli) permettant de lever certaines formes $0/0$ à l'aide des dérivées. Tu retrouveras cette règle en étude supérieure ; en Première, la factorisation par le terme dominant suffit amplement pour le programme.

Attention — un piège classique

Ne factorise jamais par une puissance de $x$ sans vérifier le signe : en $-\infty$ , $x^{3}$ est négatif, et $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$ (pas $x$ !). Une erreur de signe change complètement la nature de la limite ( $+\infty$ au lieu de $-\infty$ , par exemple). En cas de doute, teste ta formule sur une grande valeur négative de $x$ avant de conclure.

5Asymptotes horizontales et verticales

Une limite infinie ou une limite finie en l'infini se lit très concrètement sur une courbe : la courbe se rapproche indéfiniment d'une droite, sans jamais s'en écarter, sans forcément la toucher. Cette droite s'appelle une asymptote.

5.1 Asymptote horizontale

Définition

Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (nombre fini), on dit que la droite d'équation $y=L$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ . On définit de même une asymptote horizontale en $-\infty$ .

5.2 Asymptote verticale

Définition

Si $\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \pm\infty$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x) = \pm\infty$ , on dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .

Figure 3 — Fonction homographique

f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}

: asymptote verticale

x=1

(la valeur interdite) et asymptote horizontale

y=2

(le quotient des termes dominants) en

+\infty

comme en

-\infty

Méthode — trouver les asymptotes d'une fonction rationnelle

f = \dfrac{P}{Q}

Verticales : ce sont les droites $x=a$ où $a$ annule $Q$ sans annuler $P$ (valeur interdite). Horizontale : on calcule $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ par la méthode du terme dominant (section $4.2$ ) ; si la limite est un nombre fini $L$ , $y=L$ est asymptote.

Exemple — étude complète de

f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}

Asymptote verticale. $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; en $x=1$ , le numérateur vaut $3 \neq 0$ .

pour $x \to 1^{+}$ : numérateur $\to 3$ , dénominateur $\to 0^{+}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$
pour $x \to 1^{-}$ : numérateur $\to 3$ , dénominateur $\to 0^{-}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty$

La droite $x=1$ est donc asymptote verticale à la courbe de $f$ .

Asymptote horizontale.

même limite que $\dfrac{2x}{x} = 2$ quotient des termes dominants
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$

La droite $y=2$ est asymptote horizontale, en $+\infty$ et en $-\infty$ (Figure $3$ ).

Attention

Une asymptote décrit un comportement à l'infini (ou près d'une valeur interdite) : contrairement à une idée reçue, une courbe peut traverser son asymptote horizontale pour des valeurs de $x$ éloignées de l'infini. Seul compte ce qui se passe « au bout » de la courbe.

6Continuité (approche)

6.1 Continuité en un point

Définition (approche graphique)

Une fonction $f$ est continue en $a$ lorsqu'on peut tracer sa courbe au voisinage de $a$ sans lever le crayon. Cela revient à dire que :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

c'est-à-dire que la limite existe et qu'elle est égale à la valeur de la fonction en $a$ .

Propriété (admise)

Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ . La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ . La fonction inverse est continue sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ (mais pas en $0$ , où elle n'est même pas définie). Plus généralement, toute fonction obtenue par sommes, produits et quotients de fonctions usuelles est continue sur son domaine de définition.

Figure 4 — Une fonction en escalier (tarif postal par palier de masse) : à chaque entier, la courbe fait un saut. Un point plein indique la valeur prise par la fonction, un point vide la valeur qu'elle n'atteint pas. La fonction est discontinue en chaque entier.

Exemple — tester la continuité en un point

Soit $f$ définie par $f(x) = x+1$ si $x \leqslant 2$ , et $f(x) = 2x-2$ si $x>2$ . $f$ est-elle continue en $2$ ?

$f(2) = 2+1 = 3$ on utilise la 1ère formule, valable en $x=2$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x+1) = 3$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (2x-2) = 2$
$\Rightarrow$ les limites à gauche et à droite sont différentes ( $3 \neq 2$ )

La limite de $f$ en $2$ n'existe pas : $f$ est discontinue en $2$ , même si $f(2)$ existe. C'est exactement le même phénomène que sur la Figure $4$ : la courbe « saute ».

6.2 Continuité sur un intervalle, lecture de tableaux avec limites

Définition

$f$ est continue sur un intervalle $I$ lorsqu'elle est continue en chacun des points de $I$ : sa courbe se trace sur $I$ sans lever le crayon et sans saut.

Un tableau de variations peut désormais porter, à ses extrémités, des limites — finies ou infinies — plutôt que de simples valeurs. Les doubles barres $\parallel$ signalent une valeur interdite (asymptote verticale), où $f$ n'est pas définie.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
Variations de $f$	$2$	↘	$\parallel$	↘	$2$
			$-\infty\ \ \parallel\ \ +\infty$

Ce tableau se lit exactement comme celui de la fonction $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ étudiée en section $5$ : $f$ décroît de $2$ (asymptote horizontale en $-\infty$ ) vers $-\infty$ en s'approchant de $x=1$ par la gauche, puis, de l'autre côté de la valeur interdite, décroît de $+\infty$ vers $2$ (asymptote horizontale en $+\infty$ ). C'est la traduction, dans un tableau, de la Figure $3$ .

Math & Co — Donner un sens précis à « sans lever le crayon »

L'idée intuitive de continuité — une courbe « ininterrompue » — est ancienne, mais sa définition rigoureuse est tardive. C'est le mathématicien tchèque Bernard Bolzano qui, en $1817$ , propose l'une des toutes premières définitions précises de la continuité, dans un mémoire sur le théorème des valeurs intermédiaires. La définition se répand grâce au Cours d'analyse de Cauchy ( $1821$ ), celle-là même que tu retrouveras, formalisée avec des $\varepsilon$ , en Terminale.

Ce théorème des valeurs intermédiaires — si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et change de signe, elle s'annule au moins une fois — est l'une des raisons pour lesquelles la continuité est si importante : elle garantit qu'une courbe ne peut pas « sauter » par-dessus l'axe des abscisses. Tu l'étudieras en détail l'an prochain.

Fiche mémo

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ : $f(x)$ s'approche d'aussi près qu'on veut de $L$ quand $x$ s'approche de $a$ ( $x \neq a$ ). Ne dépend pas de $f(a)$ .
Fonctions de référence : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{n} = +\infty$ ; en $-\infty$ , $+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty$ , $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty$ , $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ .
Opérations : additionner/multiplier/diviser les limites sauf dans les quatre formes indéterminées : $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $\dfrac{0}{0}$ .
Terme dominant : en $\pm\infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fonction rationnelle, que le quotient des termes dominants du numérateur et du dénominateur.
Forme $\dfrac{0}{0}$ : on factorise (identité remarquable, mise en facteur commun) puis on simplifie avant de repasser à la limite.
Asymptote horizontale $y=L$ : $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (fini).
Asymptote verticale $x=a$ : $\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x)$ ou $\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x)$ vaut $\pm\infty$ .
$f$ continue en $a$ $\iff$ $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (limite existante et égale à la valeur).
Polynômes, racine carrée (sur $[0\,;+\infty[$ ), fonction inverse (sur $\mathbb{R}^{*}$ ) : continues sur leur domaine de définition.
Une fonction discontinue en $a$ : limites à gauche et à droite différentes, ou limite inexistante, ou limite $\neq f(a)$ .
Double barre $\parallel$ dans un tableau de variations : valeur interdite (souvent une asymptote verticale).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Calcule directement, par substitution ou lecture du tableau des fonctions de référence : $\displaystyle\lim_{x \to -1}(2x^{2}-3x+4)$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0}\sqrt{x+9}$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(5-\dfrac{2}{x}\right)$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{7}{x}$ ; $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{5}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\displaystyle\lim_{x \to -1}(2x^{2}-3x+4) = 2(-1)^{2}-3(-1)+4 = 9$ polynôme : on remplace $x$ directement
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\sqrt{x+9} = \sqrt{9} = 3$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(5-\dfrac{2}{x}\right) = 5-0 = 5$ $\frac{2}{x} \to 0$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\dfrac{7}{x} = +\infty$ $\ell=7>0$ fini, $\lim \frac{1}{x^{+}}=+\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{5} = -\infty$ exposant impair

Parmi ces quatre écritures, indique lesquelles sont des formes indéterminées et lesquelles se calculent directement : a) $(x^{2}) - (x)$ quand $x \to +\infty$ ; b) $(x^{2}) + (x)$ quand $x \to +\infty$ ; c) $\dfrac{x^{2}}{x^{3}}$ quand $x \to +\infty$ ; d) $\dfrac{x-1}{x-1}$ quand $x \to 1$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $x^{2} \to +\infty$ et $x \to +\infty$ : c'est $\infty-\infty$ , forme indéterminée.

b) $x^{2} \to +\infty$ et $x \to +\infty$ : somme de deux limites $+\infty$ , pas indéterminée, la limite est $+\infty$ .

c) $x^{2} \to +\infty$ et $x^{3} \to +\infty$ : c'est $\dfrac{\infty}{\infty}$ , forme indéterminée (même si le résultat, $\frac{1}{x}\to0$ , est facile ensuite).

d) $x-1 \to 0$ au numérateur et au dénominateur : c'est $\dfrac{0}{0}$ , forme indéterminée (ici la fonction vaut $1$ partout où $x\neq1$ , donc la limite est $1$ ).

À l'aide des tableaux d'opérations, calcule : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x^{3}+\sqrt{x}\right)$ ; $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\left(-4\right)\times x^{2}$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\dfrac{-6}{x}$ .

Voir le corrigé détaillé

$x^{3}\to+\infty$ et $\sqrt{x}\to+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x^{3}+\sqrt{x}\right)=+\infty$ somme de deux $+\infty$
$\ell=-4<0$ fini et $x^{2}\to+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(-4)x^{2}=-\infty$ produit $\ell<0$ par $+\infty$
$\ell=-6<0$ fini et $\dfrac{1}{x}\to-\infty$ (car $x\to0^{-}$ ) donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\dfrac{-6}{x}=+\infty$ produit $\ell<0$ par $-\infty$

Soit $f(x) = 3+\dfrac{5}{x-2}$ . Donne le domaine de définition de $f$ , puis les équations de ses asymptotes.

Voir le corrigé détaillé

Le dénominateur $x-2$ s'annule en $x=2$ : $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

$\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} f(x) = 3+(-\infty) = -\infty$ $x-2\to0^{-}$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = 3+(+\infty) = +\infty$ $x-2\to0^{+}$
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3+0 = 3$ $\frac{5}{x-2}\to0$

La droite $x=2$ est asymptote verticale, et la droite $y=3$ est asymptote horizontale (en $+\infty$ et en $-\infty$ ).

Soit $f(x) = x^{2}-4x+1$ . Montre que $f$ est continue en $x=3$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(3) = 9-12+1 = -2$
$\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = 9-12+1 = -2$ $f$ est un polynôme, continue sur $\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$

L'égalité est vérifiée : $f$ est bien continue en $3$ (comme en tout réel, puisque $f$ est un polynôme).

Niveau 2 — Approfondissement

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-2x-3}$ .

Voir le corrigé détaillé

En $x=3$ , numérateur et dénominateur s'annulent tous deux : forme $\dfrac{0}{0}$ . On factorise.

$x^{2}-9 = (x-3)(x+3)$
$x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1)$ $3$ et $-1$ sont racines : somme $2$ , produit $-3$
pour $x\neq3$ : $\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-2x-3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)} = \dfrac{x+3}{x+1}$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-2x-3} = \dfrac{3+3}{3+1} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^{2}+x}{2x^{2}-5}$ puis $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x+3}{x^{2}+1}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{4x^{2}+x}{2x^{2}-5}$ a même limite que $\dfrac{4x^{2}}{2x^{2}} = 2$ degrés égaux : termes dominants
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^{2}+x}{2x^{2}-5} = 2$
$\dfrac{x+3}{x^{2}+1}$ a même limite que $\dfrac{x}{x^{2}} = \dfrac{1}{x}$ degré du dénominateur plus grand
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x+3}{x^{2}+1} = 0$

Soit $g(x)=x^{2}-1$ si $x<1$ , et $g(x)=3x-3$ si $x\geqslant1$ . $g$ est-elle continue en $x=1$ ?

Voir le corrigé détaillé

$g(1) = 3(1)-3 = 0$ on utilise la 2nde formule, valable en $x=1$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} g(x) = 1^{2}-1 = 0$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} g(x) = 3(1)-3 = 0$
$\Rightarrow$ les deux limites latérales et $g(1)$ valent toutes $0$

La limite de $g$ en $1$ existe, vaut $0$ , et est égale à $g(1)$ : $g$ est continue en $1$ .

Soit $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ . Détermine les équations des asymptotes de sa courbe.

Voir le corrigé détaillé

$f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ (numérateur en $-2$ : $-7\neq0$ ).

pour $x \to (-2)^{-}$ : numérateur $\to -7$ , dénominateur $\to 0^{-}$ $\Rightarrow$ $f(x)\to+\infty$
pour $x \to (-2)^{+}$ : numérateur $\to -7$ , dénominateur $\to 0^{+}$ $\Rightarrow$ $f(x)\to-\infty$
en $\pm\infty$ : même limite que $\dfrac{3x}{x}=3$

Asymptote verticale : $x=-2$ . Asymptote horizontale : $y=3$ .

Niveau 3 — Défi

Soit $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+1$ .

Justifie que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)$ est a priori une forme indéterminée.
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)$ .
Que peux-tu en déduire sur le signe de $f(x)$ lorsque $x$ est très grand, positif ou négatif ?

Voir le corrigé détaillé

1. $2x^{3}\to+\infty$ tandis que $-5x^{2}+1\to-\infty$ : on additionne $+\infty$ et $-\infty$ , c'est la forme $\infty-\infty$ .

2. On applique le théorème du terme dominant.

$f(x)$ a même limite que $2x^{3}$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{3} = +\infty$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{3} = -\infty$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

3. Puisque $f(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ , $f(x)$ est positif pour $x$ assez grand ; puisque $f(x)\to-\infty$ quand $x\to-\infty$ , $f(x)$ est négatif pour $x$ très négatif.

La courbe $\mathscr{C}_g$ ci-dessous représente une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ , de la forme $g(x)=a+\dfrac{b}{x+3}$ , avec $g(0)=\dfrac{5}{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

Figure 5 — Courbe

\mathscr{C}_g

d'une fonction

g

: lecture graphique des limites aux bornes du domaine.

Lecture graphique : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = 1$ ; $\displaystyle\lim_{x \to -3^{-}} g(x) = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to -3^{+}} g(x) = +\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1$ .
Les asymptotes sont donc $x=-3$ (verticale) et $y=1$ (horizontale, en $-\infty$ comme en $+\infty$ ).
Comme $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = a = 1$ (le terme $\frac{b}{x+3}$ tend vers $0$ ), on a $a=1$ . On utilise alors $g(0)=\frac53$ :
1. $g(0) = 1+\dfrac{b}{3} = \dfrac{5}{3}$
2. $\Rightarrow$ $\dfrac{b}{3} = \dfrac{5}{3}-1 = \dfrac{2}{3}$
3. $\Rightarrow$ $b=2$
Donc $g(x) = 1+\dfrac{2}{x+3}$ .
Vérification : $\displaystyle\lim_{x \to -3^{+}} \dfrac{2}{x+3} = +\infty$ (car $2>0$ et $x+3\to0^{+}$ ), donc $\displaystyle\lim_{x \to -3^{+}} g(x)=+\infty$ : cohérent avec la lecture graphique.

Soit $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$ si $x\neq1$ , et $f(1)=k$ , où $k$ est un réel.

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Détermine la valeur de $k$ pour laquelle $f$ est continue en $1$ .
Avec cette valeur de $k$ , $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ tout entier ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. Forme $\dfrac00$ en $x=1$ : on factorise.

$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$
pour $x\neq1$ : $f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 1+1 = 2$

2. Pour que $f$ soit continue en $1$ , il faut $\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)=f(1)$ , c'est-à-dire $k=2$ .

3. Avec $k=2$ , $f(x)=x+1$ pour tout $x$ réel (y compris en $1$ , où $f(1)=2=1+1$ ). Or la fonction $x\mapsto x+1$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ : $f$ est bien continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Atelier textile (Abidjan). Un atelier de confection à Abidjan a des coûts fixes de $800\,000$ F CFA par mois (loyer, machines) et un coût variable de $2\,500$ F CFA par pièce produite. Pour $x$ pièces produites ( $x>0$ ), le coût total est $C(x) = 800\,000+2\,500x$ , et le coût moyen par pièce est $A(x)=\dfrac{C(x)}{x}$ .

Exprime $A(x)$ sous la forme $\dfrac{a}{x}+b$ .
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} A(x)$ et interprète.
Calcule $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} A(x)$ et interprète.
À partir de combien de pièces le coût moyen descend-il sous $3\,000$ F CFA ?

Voir le corrigé détaillé

1. $A(x) = \dfrac{800\,000+2\,500x}{x} = \dfrac{800\,000}{x}+2\,500$ .

2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} A(x) = +\infty$ car $\dfrac{800\,000}{x}\to+\infty$ . Interprétation : produire très peu de pièces répartit les coûts fixes sur presque rien, le coût moyen par pièce explose.

3. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} A(x) = 2\,500$ car $\dfrac{800\,000}{x}\to0$ . Interprétation : sur une très grande série, le coût moyen se rapproche du seul coût variable ( $2\,500$ F CFA), les coûts fixes deviennent négligeables par pièce ; $y=2\,500$ est asymptote horizontale.

4. On résout :

$A(x) < 3\,000$
$\iff$ $\dfrac{800\,000}{x} < 500$
$\iff$ $x > \dfrac{800\,000}{500} = 1\,600$ $x>0$ , l'inégalité se conserve

Il faut produire au moins $1\,601$ pièces par mois pour que le coût moyen descende sous $3\,000$ F CFA.

Station de traitement d'eau (Ndjamena). Une station de traitement injecte du chlore dans l'eau potable. La concentration, en mg/L, $t$ heures après le début de l'injection, est modélisée par $C(t) = 5-\dfrac{5}{t+1}$ , pour $t\geqslant0$ .

Calcule $C(0)$ et interprète.
Calcule $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} C(t)$ et interprète.
Au bout de combien d'heures la concentration dépasse-t-elle $4{,}5$ mg/L ?

Voir le corrigé détaillé

1. $C(0) = 5-\dfrac{5}{1} = 0$ : avant traitement, l'eau ne contient pas de chlore.

2. $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} C(t) = 5$ car $\dfrac{5}{t+1}\to0$ : la concentration se stabilise à $5$ mg/L, le seuil visé par la station ; $y=5$ est asymptote horizontale, jamais atteinte mais approchée d'aussi près que l'on veut.

3. On résout :

$C(t) > 4{,}5$
$\iff$ $5-\dfrac{5}{t+1} > 4{,}5$
$\iff$ $\dfrac{5}{t+1} < 0{,}5$
$\iff$ $t+1 > 10$ $t+1>0$ , on peut multiplier en croix
$\iff$ $t>9$

La concentration dépasse $4{,}5$ mg/L au bout de plus de $9$ heures de traitement.

Cars rapides (Bamako). Un réseau de transport en commun à Bamako facture le trajet par palier de $5$ km : $200$ F CFA pour une distance $d$ telle que $0<d\leqslant5$ , $350$ F CFA pour $5<d\leqslant10$ , $500$ F CFA pour $10<d\leqslant15$ , $650$ F CFA pour $15<d\leqslant20$ ( $d$ en km).

Calcule le prix payé pour $4$ km, pour $5$ km, pour $5{,}5$ km et pour $12$ km.
La fonction prix $P$ est-elle continue en $d=5$ ? Justifie à l'aide des limites à gauche et à droite.
Un passager parcourt $18$ km. Quel tarif paie-t-il ?

Voir le corrigé détaillé

1. $P(4)=200$ F CFA (car $0<4\leqslant5$ ) ; $P(5)=200$ F CFA (borne incluse dans le 1ᵉʳ palier) ; $P(5{,}5)=350$ F CFA (car $5<5{,}5\leqslant10$ ) ; $P(12)=500$ F CFA (car $10<12\leqslant15$ ).

$\displaystyle\lim_{d \to 5^{-}} P(d) = 200$ on reste dans le 1ᵉʳ palier
$\displaystyle\lim_{d \to 5^{+}} P(d) = 350$ on entre dans le 2ᵉ palier
$\Rightarrow$ les limites à gauche et à droite sont différentes ( $200\neq350$ )

La limite de $P$ en $5$ n'existe pas : $P$ est discontinue en $d=5$ , comme à chaque changement de palier ( $5$ , $10$ , $15$ …) — même phénomène qu'à la Figure $4$ .

3. $18$ km vérifie $15<18\leqslant20$ : le passager paie $650$ F CFA.

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Second degré : discriminant et signe du trinôme

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Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$ , sauf peut-être en $a$ . On dit que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ lorsque :

f(x)

se rapproche d'aussi près que l'on veut de

L

dès que

x

se rapproche suffisamment de

a

(avec

x \neq a

)

f(a) = L

f

est dérivable en

a

f'(a)=L

f(x)

est toujours égal à

L

pour

x

proche de

a

Explication : C'est la définition intuitive de la limite en un point :

f(x)

s'approche d'aussi près que l'on veut de

L

, sans jamais nécessairement l'atteindre.

Laquelle de ces affirmations est vraie ?

la limite de

f

a

est toujours égale à

f(a)

la limite de

f

a

peut exister même si

f(a)

n'existe pas si

f(a)

existe, alors la limite de

f

a

existe nécessairement la limite de

f

a

dépend de la valeur de

f(a)

Explication : La limite de

f

a

ne dépend pas de

f(a)

, et peut exister même si

f(a)

n'existe pas — c'est exactement le cas de

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}

x=2

, qui a une limite (

4

) sans que

f(2)

existe.

D'après le tableau des fonctions de référence, quelle est $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^{4}$ ?

-\infty

0

+\infty

elle n'existe pas

Explication : Pour un exposant pair, la limite en

-\infty

vaut

+\infty

, tout comme en

+\infty

(contrairement à un exposant impair, où les deux limites sont opposées).

Concernant $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ (sans préciser $0^{-}$ ou $0^{+}$ ), laquelle est vraie ?

elle vaut

+\infty

elle vaut

-\infty

elle vaut

0

elle n'existe pas : il faut distinguer

0^{-}

0^{+}

Explication : La fonction inverse ne se comporte pas de la même façon des deux côtés de

0

\lim_{x\to0^{-}}\frac1x=-\infty

tandis que

\lim_{x\to0^{+}}\frac1x=+\infty

. Il faut toujours préciser le signe de l'approche.

Quelle est $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}$ ?

0

+\infty

1

elle n'existe pas

Explication : La fonction racine carrée, définie sur

[0\,;+\infty[

, tend vers

+\infty

quand

x

tend vers

+\infty

, tout comme les fonctions puissances.

Parmi les propositions suivantes, laquelle liste les quatre formes indéterminées du programme ?

\infty+\infty

0\times0

\dfrac{\infty}{0}

\dfrac{0}{0}

\infty\times\infty

0-0

\dfrac{0}{\infty}

\dfrac{\infty}{1}

\infty-\infty

0\times\infty

\dfrac{\infty}{\infty}

\dfrac{0}{0}

\infty-\infty

1\times\infty

\dfrac{\infty}{1}

\dfrac{1}{0}

Explication : Les quatre formes indéterminées sont

\infty-\infty

0\times\infty

\dfrac{\infty}{\infty}

\dfrac{0}{0}

: dans ces quatre cas, on ne peut rien conclure directement, il faut transformer l'écriture.

Soit $P(x)=a_nx^{n}+\dots+a_1x+a_0$ , avec $a_n \neq 0$ . En $+\infty$ comme en $-\infty$ :

\lim P(x) = \lim\left(a_n x^{n}\right)

\lim P(x) = \lim(a_0)

\lim P(x)

n'existe jamais

\lim P(x)

dépend de tous les termes également

Explication : Seul le terme de plus haut degré gouverne la limite d'un polynôme à l'infini : les autres termes deviennent négligeables devant lui.

Pour une fonction rationnelle $f=\dfrac{P}{Q}$ , en $\pm\infty$ , $f$ a la même limite que :

le quotient des termes constants de

P

Q

P(0)/Q(0)

la somme des termes de plus haut degré de

P

Q

le quotient des termes de plus haut degré de

P

Q

Explication : On factorise numérateur et dénominateur par leur terme dominant respectif ; les parties restantes tendent vers

1

, et seul le quotient des termes dominants détermine la limite.

Quelle est $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ ?

0

elle n'existe pas

4

2

Explication :

x^{2}-4=(x-2)(x+2)

, donc pour

x\neq2

\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2

. D'où

\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4

Quelle est $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-3x^{3}+5x^{2}-1\right)$ ?

+\infty

-\infty

-1

0

Explication : C'est une forme

\infty-\infty

: on garde le terme de plus haut degré,

-3x^{3}

. Comme

\lim_{x\to+\infty}x^{3}=+\infty

et que le coefficient

-3

est négatif,

\lim_{x\to+\infty}(-3x^{3})=-\infty

Quelle est $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}-2x+1}{5x^{2}+x-4}$ ?

\dfrac{3}{5}

0

+\infty

\dfrac{5}{3}

Explication : Numérateur et dénominateur ont le même degré (

2

) : la limite est la même que celle de

\dfrac{3x^{2}}{5x^{2}}=\dfrac{3}{5}

Quelle est $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x+1}{x^{2}-3}$ ?

2

-\infty

+\infty

0

Explication : Le degré du dénominateur (

2

) est plus grand que celui du numérateur (

1

) : la limite est la même que celle de

\dfrac{2x}{x^{2}}=\dfrac{2}{x}

, qui tend vers

0

Quelle est $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{x-1}$ ?

1

+\infty

0

-\infty

Explication : Le degré du numérateur (

3

) est plus grand que celui du dénominateur (

1

) : la limite est la même que celle de

\dfrac{x^{3}}{x}=x^{2}

, qui tend vers

+\infty

Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ . Quelles sont les équations des asymptotes de sa courbe ?

x=2

y=1

x=-1

y=2

x=1

y=2

x=1

y=-1

Explication :

f

est définie sur

\mathbb{R}\setminus\{1\}

; au voisinage de

1

, le dénominateur tend vers

0

alors que le numérateur tend vers

3\neq0

: asymptote verticale

x=1

. En

\pm\infty

f

a la même limite que

\dfrac{2x}{x}=2

: asymptote horizontale

y=2

Une fonction $f$ est continue en $a$ lorsque :

f

est dérivable en

a

f(a)

existe

f

est un polynôme

\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Explication : La continuité en

a

exige deux choses à la fois : que la limite existe, et qu'elle soit égale à la valeur

f(a)

. C'est ce qui permet de tracer la courbe sans lever le crayon.

Soit $f$ définie par $f(x)=x+1$ si $x\leqslant2$ , et $f(x)=2x-2$ si $x>2$ . $f$ est-elle continue en $2$ ?

non, car les limites à gauche et à droite sont différentes (

3

2

) oui, car

f(2)=3

oui, car les deux formules donnent la même chose en

2

non, car

f(2)

n'existe pas

Explication :

f(2)=3

\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}f(x)=3

, mais

\displaystyle\lim_{x\to2^{+}}f(x)=2\times2-2=2

. Les limites à gauche et à droite diffèrent : la limite en

2

n'existe pas, donc

f

est discontinue en

2

, même si

f(2)

existe.

Laquelle de ces affirmations sur la continuité est vraie ?

la fonction inverse est continue sur

\mathbb{R}

tout entier la fonction racine carrée est continue sur

\mathbb{R}

tout entier les fonctions polynômes sont continues sur

\mathbb{R}

toute fonction est continue là où elle est définie

Explication : Les polynômes sont continus sur

\mathbb{R}

tout entier. La fonction inverse n'est même pas définie en

0

(donc pas continue sur

\mathbb{R}

entier), et la racine carrée n'est définie que sur

[0\,;+\infty[

Piège classique : pour $x$ très négatif ( $x \to -\infty$ ), $\sqrt{x^{2}}$ est égal à :

x

-x

x^{2}

\dfrac{1}{x}

Explication :

\sqrt{x^{2}}=|x|

, et pour

x<0

|x|=-x

(un nombre positif). Oublier ce signe est une erreur fréquente qui inverse complètement la nature d'une limite en

-\infty

Atelier textile (Abidjan). Le coût moyen par pièce d'un atelier de confection est $A(x) = \dfrac{800\,000}{x}+2\,500$ (en F CFA), pour $x$ pièces produites. Quelle est $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} A(x)$ , et que signifie-t-elle ?

0

F CFA : le coût moyen finit par être nul

800\,000

F CFA : le coût moyen se stabilise aux coûts fixes

+\infty

: le coût moyen augmente indéfiniment

2\,500

F CFA : sur une grande série, le coût moyen se rapproche du seul coût variable

Explication : Quand

x\to+\infty

\dfrac{800\,000}{x}\to0

, donc

A(x)\to2\,500

: sur une très grande série, les coûts fixes se répartissent sur tant de pièces qu'ils deviennent négligeables, et le coût moyen se rapproche du seul coût variable ;

y=2\,500

est asymptote horizontale.

Cars rapides (Bamako). Un réseau de transport facture $200$ F CFA pour une distance $d$ telle que $0<d\leqslant5$ km, et $350$ F CFA pour $5<d\leqslant10$ km. Que peut-on dire de la fonction prix $P$ en $d=5$ ?

elle est discontinue, car les limites à gauche et à droite sont différentes (

200

350

) elle est continue, car

P(5)

existe elle est continue, car les deux paliers ont le même prix sa limite en

5

vaut

275

F CFA (moyenne des deux paliers)

Explication :

\displaystyle\lim_{d\to5^{-}}P(d)=200

(on reste dans le 1ᵉʳ palier) tandis que

\displaystyle\lim_{d\to5^{+}}P(d)=350

(on entre dans le 2ᵉ palier). Ces deux limites étant différentes, la limite en

5

n'existe pas :

P

est discontinue en

d=5

, comme à chaque changement de palier.

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Classe : Classe de Première
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 9 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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