Trigonométrie : formules et équations

Établir et utiliser les formules d'addition et de duplication.

Mathématiques Première Chapitre 7 / 13 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Utiliser les formules d'addition et de duplication
Résoudre une équation trigonométrique
Étudier une fonction trigonométrique simple

Le battement d’un cœur sur un électrocardiogramme, la houle qui soulève un pirogue au large de Dakar, le courant alternatif qui alimente une maison à Abidjan, la hauteur d’une nacelle sur la grande roue du Plateau : toutes ces réalités se décrivent avec les mêmes fonctions, celles que tu vas manier dans ce chapitre. Depuis la Seconde, tu sais calculer le cosinus et le sinus d’un angle dans un triangle rectangle. Il est temps d’aller plus loin.

Le cercle trigonométrique va libérer le cosinus et le sinus du triangle rectangle : ils deviennent des fonctions définies pour tout nombre réel, pas seulement pour les angles entre $0$ et $90°$ . Tu apprendras à calculer $\cos(a+b)$ sans jamais mesurer d’angle, à transformer $a\cos x+b\sin x$ en une seule fonction cosinus décalée, et à résoudre des équations et inéquations trigonométriques avec la même rigueur qu’une équation du second degré.

Ces outils ne sont pas de la gymnastique gratuite : ils sont le langage de tous les phénomènes périodiques que la physique, l’électricité et l’ingénierie rencontrent. Chaque formule démontrée ici te servira dès l’an prochain — et parfois dès la fin de ce chapitre, dans les problèmes concrets qui le referment.

1Cercle trigonométrique et angles associés

Définition — cercle trigonométrique

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})$ . Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni du sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre), appelé aussi sens positif.

À tout nombre réel $x$ , on associe un unique point $M$ du cercle trigonométrique : on part du point $I(1\,;\,0)$ et on parcourt le cercle d’une longueur $|x|$ , dans le sens direct si $x \geqslant 0$ , dans le sens indirect si $x < 0$ . Le point $M$ est le point image de $x$ .

Définition — cosinus et sinus d’un réel

Soit $x$ un réel et $M$ son point image sur le cercle trigonométrique. On appelle cosinus de $x$ , noté $\cos x$ , l’abscisse de $M$ , et sinus de $x$ , noté $\sin x$ , l’ordonnée de $M$ :

$M\left(\cos x\,;\,\sin x\right)$

Comme $M$ appartient au cercle de rayon $1$ , la formule $OM=1$ donne immédiatement la relation la plus utilisée de tout le chapitre.

Propriété fondamentale

Pour tout réel $x$ :

$\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$

De plus, $-1\leqslant\cos x\leqslant 1$ et $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$ .

Figure 1 — Sur le cercle trigonométrique (rayon 1, sens direct), le point

M

associé au réel

x

a pour coordonnées

(\cos x\,;\,\sin x)

. Le signe de

\cos x

et de

\sin x

se lit directement sur le cadran occupé par

M

1.1 Le radian et les valeurs remarquables

Mesurer un angle en degrés est une convention parmi d’autres — il en existe une bien plus naturelle pour un mathématicien : le radian. Un angle de $1$ radian intercepte, sur le cercle trigonométrique, un arc de longueur $1$ . Le cercle entier ayant pour périmètre $2\pi$ , un tour complet mesure $2\pi$ radians, exactement comme il mesure $360°$ .

Conversion degrés–radians

Pour un angle de mesure $d$ en degrés et $r$ en radians :

$\dfrac{r}{\pi}=\dfrac{d}{180}$

Degrés	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Retiens par cœur les cosinus et sinus des cinq angles les plus fréquents : ils reviendront à chaque exercice.

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

Attention

Une calculatrice mal réglée est le piège le plus fréquent du bac : vérifie systématiquement qu’elle est en mode radian lorsque l’énoncé travaille en radians. $\cos(\pi)$ ne vaut $-1$ qu’en mode radian ; en mode degré, la machine calcule $\cos(3{,}14…°)$ , un nombre très proche de $1$ !

1.2 Signe de $\cos x$ et de $\sin x$

Le signe de l’abscisse et de l’ordonnée de $M$ se lit directement sur le cadran du cercle où se trouve $M$ .

Position de $M$	Cadran 1 $0<x<\frac{\pi}{2}$	Cadran 2 $\frac{\pi}{2}<x<\pi$	Cadran 3 $\pi<x<\frac{3\pi}{2}$	Cadran 4 $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi$
$\cos x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\sin x$	$+$	$+$	$-$	$-$

Exemple — lire un signe sans calculatrice

Le réel $x=\dfrac{5\pi}{6}$ vérifie $\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{5\pi}{6}<\pi$ : son point image est dans le cadran 2. On en déduit, sans calcul, que $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)<0$ et $\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)>0$ .

Math & Co — Un mot venu d’un contresens

Le mot « sinus » a une origine étonnante. Au $\text{V}^{\text{e}}$ siècle, le mathématicien indien Āryabhaṭa nomme jyā-ardha (« demi-corde ») la quantité que nous appelons aujourd’hui sinus. Les savants arabes translittèrent ce mot en jiba, un terme sans signification en arabe. Faute de voyelles écrites, les traducteurs latins du $\text{XII}^{\text{e}}$ siècle, dont Gérard de Crémone, lisent jiba comme jaib, qui signifie « pli », « anse » ou « baie ». Ils le traduisent alors tout naturellement par le latin sinus, qui désigne un repli, une baie côtière ! Le nom d’une fonction centrale des mathématiques vient ainsi d’une erreur de lecture entre deux alphabets.

1.3 Angles associés

Deux réels sont dits associés lorsque leurs points images se déduisent l’un de l’autre par une symétrie simple du cercle trigonométrique. Cette lecture géométrique permet de retrouver, sans les apprendre par cœur, toutes les formules qui relient $\cos$ et $\sin$ de $x$ , $-x$ , $\pi-x$ et $\pi+x$ .

Figure 2 — Les angles associés à

x

s'obtiennent par symétrie du point

M(x)

: symétrie par rapport à

(O\,;\,\vec{\imath})

pour

-x

, par rapport à

(O\,;\,\vec{\jmath})

pour

\pi-x

, par rapport à

O

pour

\pi+x

Démonstration — angles associés

Notons $M(\cos x\,;\,\sin x)$ le point image de $x$ .

Le point image de $-x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe $(O\,;\,\vec{\imath})$ , donc de coordonnées $(\cos x\,;\,-\sin x)$ : d’où $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$ .
Le point image de $\pi-x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe $(O\,;\,\vec{\jmath})$ , donc de coordonnées $(-\cos x\,;\,\sin x)$ : d’où $\cos(\pi-x)=-\cos x$ et $\sin(\pi-x)=\sin x$ .
Le point image de $\pi+x$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ , donc de coordonnées $(-\cos x\,;\,-\sin x)$ : d’où $\cos(\pi+x)=-\cos x$ et $\sin(\pi+x)=-\sin x$ .

Propriété — formules des angles associés

Réel	$-x$	$\pi-x$	$\pi+x$	$\dfrac{\pi}{2}-x$	$\dfrac{\pi}{2}+x$
$\cos$	$\cos x$	$-\cos x$	$-\cos x$	$\sin x$	$-\sin x$
$\sin$	$-\sin x$	$\sin x$	$-\sin x$	$\cos x$	$\cos x$

On dit que le cosinus est une fonction paire ( $\cos(-x)=\cos x$ ) et que le sinus est une fonction impaire ( $\sin(-x)=-\sin x$ ). Les deux dernières colonnes se retrouvent en observant que $M\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ est le symétrique de $M(x)$ par rapport à la droite d’équation $y=x$ (bissectrice du cadran 1).

Méthode — calculer avec un angle associé

Pour calculer $\cos x$ ou $\sin x$ lorsque $x$ n’est pas une valeur remarquable, on cherche à écrire $x$ comme $-a$ , $\pi-a$ , $\pi+a$ ou $\dfrac{\pi}{2}\pm a$ , où $a$ est une valeur remarquable, puis on applique le tableau ci-dessus.

Exemple — calculer

\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)

\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)

$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
$\Rightarrow$ $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac12$
$-\dfrac{5\pi}{6}=-\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)$
$\Rightarrow$ $\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)$ imparité du sinus
$=$ $-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12$

Ces symétries ne sont pas de simples curiosités géométriques : elles vont te permettre, dans quelques instants, de retrouver les formules de $\sin(a+b)$ à partir de celle de $\cos(a-b)$ , sans nouvelle démonstration.

2Formules d’addition

Une question naturelle se pose : quelle relation existe entre $\cos(a+b)$ et les cosinus et sinus de $a$ et de $b$ séparément ? La réponse n’est surtout pas $\cos a+\cos b$ — c’est l’erreur la plus commise du chapitre. La bonne formule s’obtient en comparant deux calculs d’un même produit scalaire.

2.1 La formule de $\cos(a-b)$

Figure 3 — Les vecteurs

\vec{OA}

\vec{OB}

, tous deux unitaires, forment l'angle

a-b

: leur produit scalaire vaut à la fois

\cos(a-b)

(définition géométrique) et

\cos a\cos b+\sin a\sin b

(coordonnées).

Démonstration — par produit scalaire

Soit $a$ et $b$ deux réels, $A$ et $B$ leurs points images sur le cercle trigonométrique. Les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ sont unitaires ( $\lVert\vec{OA}\rVert=\lVert\vec{OB}\rVert=1$ ) et l’angle géométrique entre eux mesure $a-b$ . Calculons $\vec{OA}\cdot\vec{OB}$ de deux façons.

Par la définition géométrique du produit scalaire :

$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\lVert\vec{OA}\rVert\times\lVert\vec{OB}\rVert\times\cos(a-b)$
$=$ $1\times1\times\cos(a-b)$
$=$ $\cos(a-b)$

Par les coordonnées : $A(\cos a\,;\,\sin a)$ et $B(\cos b\,;\,\sin b)$ , donc

$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\cos a\times\cos b+\sin a\times\sin b$ produit des abscisses plus produit des ordonnées

Les deux expressions calculent le même nombre : elles sont donc égales. C.Q.F.D.

Théorème — formules d’addition

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

Démonstration — des trois formules restantes

Pour $\cos(a+b)$ , on écrit $a+b=a-(-b)$ et on applique la formule précédente à $a$ et $-b$ :

$\cos(a+b)=\cos\big(a-(-b)\big)$
$=$ $\cos a\cos(-b)+\sin a\sin(-b)$
$=$ $\cos a\cos b-\sin a\sin b$ $\cos$ paire, $\sin$ impaire

Pour $\sin(a+b)$ , on utilise l’angle associé $\sin x=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ :

$\sin(a+b)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-(a+b)\right)$
$=$ $\cos\!\left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)-b\right)$
$=$ $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\cos b+\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\sin b$
$=$ $\sin a\cos b+\cos a\sin b$ angles associés

La formule de $\sin(a-b)$ s’obtient enfin en remplaçant $b$ par $-b$ dans celle de $\sin(a+b)$ , exactement comme pour $\cos(a+b)$ . C.Q.F.D.

Exemple — calculer

\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)

On écrit $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$ , deux valeurs remarquables.

$\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=$ $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=$ $\dfrac12\times\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}$
$=$ $\dfrac{\sqrt2}{4}+\dfrac{\sqrt6}{4}$
$=$ $\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

Exemple — calculer

\sin(75°)

On écrit $75°=45°+30°$ .

$\sin(75°)=\sin(45°+30°)$
$=$ $\sin(45°)\cos(30°)+\cos(45°)\sin(30°)$
$=$ $\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac12$
$=$ $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

Attention

$\cos(a+b)$ n’est presque jamais égal à $\cos a+\cos b$ : prends $a=b=\dfrac{\pi}{2}$ , tu obtiens $\cos(\pi)=-1$ d’un côté, contre $0+0=0$ de l’autre. Les formules d’addition ne se devinent pas : elles se redémontrent ou se récitent.

Math & Co — Les tables de cordes de Ptolémée

Trois siècles avant l’ère chrétienne, l’astronome grec Hipparque de Nicée construit la première table trigonométrique connue pour calculer les positions des astres. Vers $150$ après J.-C., à Alexandrie, Claude Ptolémée perfectionne cet outil dans son traité l’Almageste : il y établit une table de « cordes » très précise, calculée grâce à un théorème équivalent à nos formules d’addition, connu depuis comme le théorème de Ptolémée. Sans notation algébrique, sans même le concept de fonction, les astronomes grecs manipulaient déjà, avec des figures géométriques, l’essentiel de ce que tu viens de démontrer.

2.2 Aperçu : transformer un produit en somme

En additionnant ou en soustrayant les formules d’addition deux à deux, les termes en $\sin a\sin b$ ou $\cos a\sin b$ disparaissent : on obtient des relations qui transforment un produit de cosinus ou de sinus en une somme. Cette transformation dépasse le programme de Première mais éclaire un exercice classique (voir Exercice 7) ; retiens simplement le principe.

Propriété — de la somme au produit

En ajoutant $\cos(a+b)$ et $\cos(a-b)$ , puis en les soustrayant :

$\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$

$\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b$

De même, en ajoutant $\sin(a+b)$ et $\sin(a-b)$ :

$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$

Exemple — vérifier la première identité

$\cos(a+b)+\cos(a-b)$
$=$ $(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+(\cos a\cos b+\sin a\sin b)$
$=$ $2\cos a\cos b$ les termes en $\sin a \sin b$ s'éliminent

3Formules de duplication

Que devient une formule d’addition lorsque les deux angles sont égaux ? Il suffit de poser $b=a$ dans les formules du théorème précédent : on obtient les formules de duplication, qui expriment $\cos(2a)$ et $\sin(2a)$ à partir de $\cos a$ et $\sin a$ seuls.

Démonstration

On pose $b=a$ dans les formules d’addition.

$\cos(2a)=\cos(a+a)=\cos a\cos a-\sin a\sin a$
$=$ $\cos^{2}a-\sin^{2}a$
$\sin(2a)=\sin(a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a$
$=$ $2\sin a\cos a$

Deux autres écritures de $\cos(2a)$ découlent de la relation $\cos^{2}a+\sin^{2}a=1$ :

$\cos(2a)=\cos^{2}a-\sin^{2}a=\cos^{2}a-(1-\cos^{2}a)$
$=$ $2\cos^{2}a-1$
$\cos(2a)=(1-\sin^{2}a)-\sin^{2}a$
$=$ $1-2\sin^{2}a$

Théorème — formules de duplication

Pour tout réel $a$ :

$\cos(2a)=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^{2}a-1=1-2\sin^{2}a$

$\sin(2a)=2\sin a\cos a$

Attention

$\cos(2a)$ n’est pas $2\cos a$ : prends $a=\dfrac{\pi}{2}$ , $\cos(\pi)=-1$ alors que $2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ . Et $\cos^{2}a$ désigne $(\cos a)^{2}$ , jamais $\cos(a^{2})$ .

Exemple — connaissant

\cos a

, calculer

\cos(2a)

\sin(2a)

Soit $a\in\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\cos a=\dfrac35$ . Comme $a$ est dans le premier cadran, $\sin a>0$ .

$\sin^{2}a=1-\cos^{2}a=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}$
$\Rightarrow$ $\sin a=\dfrac45$ $\sin a>0$
$\cos(2a)=2\cos^{2}a-1=2\times\dfrac9{25}-1$
$=$ $\dfrac{18}{25}-\dfrac{25}{25}=-\dfrac{7}{25}$
$\sin(2a)=2\sin a\cos a=2\times\dfrac45\times\dfrac35$
$=$ $\dfrac{24}{25}$

3.1 Linéariser $\cos^{2}a$ et $\sin^{2}a$

Linéariser une expression trigonométrique, c’est la réécrire sans puissance ni produit, uniquement avec des cosinus et des sinus d’angles simples. En isolant $\cos^{2}a$ et $\sin^{2}a$ dans les formules de $\cos(2a)$ , on obtient deux formules très utiles.

Propriété — linéarisation

Pour tout réel $a$ :

$\cos^{2}a=\dfrac{1+\cos(2a)}{2}\qquad\qquad\sin^{2}a=\dfrac{1-\cos(2a)}{2}$

Méthode — linéariser

\cos^{2}a

On part de $\cos(2a)=2\cos^{2}a-1$ , on isole $\cos^{2}a$ : $\cos^{2}a=\dfrac{\cos(2a)+1}{2}$ . Le raisonnement est identique pour $\sin^{2}a$ , à partir de $\cos(2a)=1-2\sin^{2}a$ .

Exemple — linéariser

f(x)=3\cos^{2}x

$f(x)=3\times\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$
$=$ $\dfrac32+\dfrac32\cos(2x)$

Sous cette forme, on lit immédiatement que $f$ varie entre $0$ et $3$ , ce qui n’était pas évident sur l’écriture de départ.

4Transformation $a\cos x+b\sin x$

Une somme comme $\sqrt3\cos x+\sin x$ mélange un cosinus et un sinus : difficile d’en lire directement le maximum, ou de résoudre une équation où elle apparaît. L’idée est de la réécrire comme un seul cosinus, simplement décalé — un outil indispensable pour l’étude des oscillations en physique.

Théorème — forme

R\cos(x-\varphi)

Soient $a$ et $b$ deux réels non tous deux nuls. Il existe un réel $R>0$ et un réel $\varphi$ tels que, pour tout $x$ :

$a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)$

avec $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , $\cos\varphi=\dfrac{a}{R}$ et $\sin\varphi=\dfrac{b}{R}$ .

Démonstration

On développe le membre de droite grâce à la formule d’addition :

$R\cos(x-\varphi)=R\cos x\cos\varphi+R\sin x\sin\varphi$
$=$ $(R\cos\varphi)\cos x+(R\sin\varphi)\sin x$

On veut que cette expression coïncide avec $a\cos x+b\sin x$ pour tout $x$ : il suffit donc de choisir $R\cos\varphi=a$ et $R\sin\varphi=b$ . Un tel couple $(R,\varphi)$ existe : en élevant au carré et en ajoutant,

$R^{2}\cos^{2}\varphi+R^{2}\sin^{2}\varphi=a^{2}+b^{2}$
$\Rightarrow$ $R^{2}=a^{2}+b^{2}$ $\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1$
$\Rightarrow$ $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ on choisit $R>0$

puisque $\left(\dfrac{a}{R}\right)^{2}+\left(\dfrac{b}{R}\right)^{2}=\dfrac{a^2+b^2}{R^2}=1$ , le point de coordonnées $\left(\dfrac{a}{R}\,;\,\dfrac{b}{R}\right)$ est bien sur le cercle trigonométrique : il existe donc un réel $\varphi$ tel que $\cos\varphi=\dfrac aR$ et $\sin\varphi=\dfrac bR$ . C.Q.F.D.

Méthode — écrire

a\cos x+b\sin x

sous forme

R\cos(x-\varphi)

On calcule $R=\sqrt{a^2+b^2}$ , puis on cherche $\varphi$ tel que $\cos\varphi=\dfrac aR$ et $\sin\varphi=\dfrac bR$ : on reconnaît généralement $\varphi$ parmi les valeurs remarquables grâce au tableau de la section 1.

Exemple — transformer

\sqrt3\cos x+\sin x

$R=\sqrt{(\sqrt3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt4=2$
$\cos\varphi=\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\varphi=\dfrac12$
$\Rightarrow$ $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$ valeurs remarquables
$\Rightarrow$ $\sqrt3\cos x+\sin x=2\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$

On lit désormais sans effort que cette expression varie entre $-2$ et $2$ , et atteint son maximum lorsque $x=\dfrac{\pi}{6}$ .

Attention

$R$ n’est jamais $a+b$ : c’est $\sqrt{a^2+b^2}$ . Vérifie aussi le signe de $\varphi$ — une erreur de signe sur $\sin\varphi$ place $\varphi$ dans le mauvais cadran.

5Équations et inéquations trigonométriques

Résoudre $x^{2}=4$ donne deux solutions. Résoudre $\cos x=\dfrac12$ en donne une infinité : le cercle trigonométrique, parcouru indéfiniment, repasse une infinité de fois par les mêmes points. Toute la difficulté — et toute la méthode — consiste à décrire cette infinité de solutions avec seulement deux familles, grâce à l’entier relatif $k$ .

5.1 Équation $\cos x=\cos a$

Figure 4 — Résolution de

\cos x=\cos a

: les deux points du cercle ayant la même abscisse sont

M(a)

M'(-a)

, symétriques par rapport à l'axe des cosinus.

Théorème

Pour tous réels $x$ et $a$ :

$\cos x=\cos a \iff x=a+2k\pi \text{ ou } x=-a+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}$

Démonstration

Soit $M(x)$ et $A(a)$ les points images de $x$ et de $a$ . Dire que $\cos x=\cos a$ revient à dire que $M$ et $A$ ont la même abscisse, donc que $M$ et $A$ sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des cosinus $(O\,;\,\vec{\imath})$ (Figure 4). Or le symétrique de $A(a)$ par rapport à cet axe est exactement le point image de $-a$ (angles associés, section 1). Donc $M=A$ ou $M$ est le point image de $-a$ : comme deux réels ont le même point image si et seulement s’ils diffèrent d’un multiple de $2\pi$ , on obtient $x=a+2k\pi$ ou $x=-a+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ . C.Q.F.D.

Exemple — résoudre

\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}

sur

\left]-\pi\,;\,\pi\right]

$\cos x=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\iff$ $x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ , seul $k=0$ convient dans chaque famille. L’ensemble des solutions est $S=\left\{-\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right\}$ .

5.2 Équation $\sin x=\sin a$

Figure 5 — Résolution de

\sin x=\sin a

: les deux points du cercle ayant la même ordonnée sont

M(a)

M'(\pi-a)

, symétriques par rapport à l'axe des sinus.

Théorème

Pour tous réels $x$ et $a$ :

$\sin x=\sin a \iff x=a+2k\pi \text{ ou } x=\pi-a+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}$

La démonstration recopie celle de la section 5.1, en remplaçant la symétrie par rapport à l’axe des cosinus par la symétrie par rapport à l’axe des sinus (Figure 5), qui envoie $A(a)$ sur le point image de $\pi-a$ .

Exemple — résoudre

\sin x=-\dfrac12

sur

[0\,;\,2\pi[

$\sin x=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
$\iff$ $x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\pi+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $[0\,;\,2\pi[$ : dans la première famille, $k=1$ donne $x=\dfrac{11\pi}{6}$ ; dans la seconde, $k=0$ donne $x=\dfrac{7\pi}{6}$ . Donc $S=\left\{\dfrac{7\pi}{6}\,;\,\dfrac{11\pi}{6}\right\}$ .

5.3 Équation $a\cos x+b\sin x=c$

Grâce à la transformation de la section 4, une telle équation se ramène à une équation du type $\cos x=\cos a$ .

Méthode

On écrit $a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)$ , puis on résout $R\cos(x-\varphi)=c$ , c’est-à-dire $\cos(x-\varphi)=\dfrac cR$ (à condition que $\left|\dfrac cR\right|\leqslant1$ ), avec l’inconnue auxiliaire $u=x-\varphi$ .

Exemple — résoudre

\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2

sur

[0\,;\,2\pi[

On a vu que $\sqrt3\cos x+\sin x=2\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ .

$2\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt2$
$\iff$ $\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\iff$ $\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\iff$ $x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$
$\iff$ $x=\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{12}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $[0\,;\,2\pi[$ : $x=\dfrac{5\pi}{12}$ ( $k=0$ ) et $x=\dfrac{23\pi}{12}$ ( $k=1$ dans la seconde famille). $S=\left\{\dfrac{5\pi}{12}\,;\,\dfrac{23\pi}{12}\right\}$ .

5.4 Inéquations trigonométriques

Pour une inéquation, le cercle trigonométrique ne donne plus deux points mais un arc tout entier de solutions.

Figure 6 — Résolution de l'inéquation

\cos x\geqslant\tfrac12

: l'arc bleu (angles entre

-\pi/3

\pi/3

) rassemble tous les points du cercle situés à droite de la droite

\cos x=\tfrac12

Méthode — résoudre une inéquation trigonométrique

On place sur le cercle les points où l’égalité a lieu (comme pour une équation), puis on repère, par lecture directe du cercle, l’arc où l’inégalité est vérifiée. On revient enfin à l’intervalle demandé en ajoutant $2k\pi$ .

Exemple — résoudre

\cos x\geqslant\dfrac12

sur

\left]-\pi\,;\,\pi\right]

On résout d’abord $\cos x=\dfrac12=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ : $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=-\dfrac{\pi}{3}$ sur cet intervalle. Sur le cercle (Figure 6), l’abscisse d’un point est supérieure ou égale à $\dfrac12$ exactement sur l’arc bleu, situé entre ces deux points et contenant $I(1\,;\,0)$ .

$S=\left[-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$

Exemple — résoudre

\sin x<\dfrac{\sqrt2}{2}

sur

[0\,;\,2\pi[

L’égalité $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ a lieu en $x=\dfrac{\pi}{4}$ et $x=\dfrac{3\pi}{4}$ . L’ordonnée d’un point du cercle est inférieure à $\dfrac{\sqrt2}{2}$ partout sauf sur l’arc supérieur compris entre ces deux points.

$S=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right[\ \cup\ \left]\dfrac{3\pi}{4}\,;\,2\pi\right[$

Attention — pièges classiques du bac

Sur un intervalle autre que $]-\pi\,;\,\pi]$ ou $[0\,;\,2\pi[$ , n’oublie jamais de rajouter les solutions obtenues avec $k\neq0$ : une équation posée sur $[0\,;\,4\pi[$ a typiquement deux fois plus de solutions que sur $[0\,;\,2\pi[$ . Vérifie aussi le sens de l’inégalité après une éventuelle multiplication par un nombre négatif.

Math & Co — Une équation, une infinité de solutions

Reconnaître qu’une équation trigonométrique possède une infinité de solutions a mis du temps à s’imposer. Ce n’est qu’avec la généralisation, au $\text{XVII}^{\text{e}}$ siècle, de la mesure des angles au-delà d’un tour complet — notamment chez le mathématicien anglais John Wallis — que l’écriture $+2k\pi$ prend tout son sens : un angle n’est plus seulement une figure géométrique bornée entre $0$ et $360°$ , mais un nombre pouvant décrire un enroulement indéfini autour du cercle.

6Fonctions sinus et cosinus

Le cercle trigonométrique a défini $\cos x$ et $\sin x$ pour tout réel $x$ : on peut donc étudier les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, exactement comme on a étudié un polynôme ou une fonction rationnelle.

Propriété — périodicité et parité

Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\mathbb{R}$ , à valeurs dans $[-1\,;\,1]$ , et $2\pi$ -périodiques :

$\cos(x+2\pi)=\cos x\qquad\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x$

La fonction cosinus est paire (sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) ; la fonction sinus est impaire (sa courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$ ).

La $2\pi$ -périodicité découle directement de la définition : ajouter $2\pi$ à $x$ , c’est faire faire un tour complet supplémentaire au point image, qui revient donc à sa position de départ. La parité a été démontrée à la section 1 avec les angles associés $-x$ .

Méthode — exploiter la périodicité et la parité

Grâce à ces deux propriétés, il suffit d’étudier une fonction trigonométrique sur un intervalle de longueur $\pi$ , comme $[0\,;\,\pi]$ pour le cosinus, puis de compléter la courbe par symétrie et par translations de vecteur $2k\pi\,\vec{\imath}$ .

6.1 Variations de la fonction cosinus

Sur le cercle trigonométrique, lorsque $x$ parcourt $[0\,;\,\pi]$ dans le sens direct, le point $M(x)$ descend du point $I(1\,;\,0)$ jusqu’au point $(-1\,;\,0)$ : son abscisse, c’est-à-dire $\cos x$ , décroît continûment de $1$ à $-1$ .

Théorème — tableau de variations de cosinus sur

[-\pi\,;\,\pi]

$x$	$-\pi$		$0$		$\pi$
$\cos x$	$-1$	↗	$1$	↘	$-1$

6.2 Variations de la fonction sinus

De même, lorsque $x$ parcourt $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ , le point $M(x)$ monte du bas du cercle vers le haut : son ordonnée $\sin x$ croît de $-1$ à $1$ ; puis elle décroît lorsque $x$ parcourt $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$ .

Théorème — tableau de variations de sinus sur

\left[-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{3\pi}{2}\right]

$x$	$-\dfrac{\pi}{2}$		$\dfrac{\pi}{2}$		$\dfrac{3\pi}{2}$
$\sin x$	$-1$	↗	$1$	↘	$-1$

Figure 7 — La fonction cosinus est paire et

2\pi

-périodique. Les points rouges marquent les solutions de

\cos x=\tfrac12

sur

[-\pi\,;\,2\pi]

x=-\pi/3

x=\pi/3

x=5\pi/3

Figure 8 — La fonction sinus est impaire et

2\pi

-périodique. Les points rouges marquent les solutions de

\sin x=\tfrac12

sur

[-\pi\,;\,2\pi]

x=\pi/6

x=5\pi/6

6.3 Amplitude et période d’une fonction $x\mapsto R\cos(\omega x+\varphi)$

De nombreux phénomènes périodiques (marée, oscillation, courant alternatif) se modélisent par une fonction de la forme $t\mapsto R\cos(\omega t+\varphi)+h$ , où $R$ est l’amplitude, $\dfrac{2\pi}{\omega}$ la période, $\varphi$ la phase à l’origine et $h$ la valeur moyenne.

Propriété

La fonction $t\mapsto R\cos(\omega t+\varphi)+h$ (avec $R>0$ , $\omega>0$ ) est périodique de période $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ , et prend ses valeurs entre $h-R$ et $h+R$ .

Attention

Ne confonds pas la pulsation $\omega$ (en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ , ou par unité de temps choisie) et la période $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ : doubler $\omega$ revient à diviser la période par $2$ , pas à la multiplier.

Math & Co — Décomposer tous les sons en sinusoïdes

En $1822$ , le mathématicien français Joseph Fourier publie sa Théorie analytique de la chaleur, dans laquelle il affirme un résultat stupéfiant : n’importe quel phénomène périodique, aussi compliqué soit-il, peut s’écrire comme une somme de fonctions sinus et cosinus de fréquences multiples les unes des autres. Cette idée, d’abord contestée, est aujourd’hui à la base du traitement du son, de la compression d’image (JPEG) et de la téléphonie mobile : chaque note de musique, chaque voix, se décompose en une somme des fonctions que tu étudies dans ce chapitre.

Fiche mémo

Cercle trigonométrique : $M(x)$ a pour coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$ , et $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ .
Angles associés : $\cos(-x)=\cos x$ ; $\sin(-x)=-\sin x$ ; $\cos(\pi-x)=-\cos x$ ; $\sin(\pi-x)=\sin x$ ; $\cos(\pi+x)=-\cos x$ ; $\sin(\pi+x)=-\sin x$ .
Formules d’addition : $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ ; $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$ .
Duplication : $\cos(2a)=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^{2}a-1=1-2\sin^{2}a$ ; $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ .
Linéarisation : $\cos^{2}a=\dfrac{1+\cos(2a)}{2}$ ; $\sin^{2}a=\dfrac{1-\cos(2a)}{2}$ .
$a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)$ , avec $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , $\cos\varphi=\dfrac aR$ , $\sin\varphi=\dfrac bR$ .
$\cos x=\cos a \iff x=a+2k\pi$ ou $x=-a+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
$\sin x=\sin a \iff x=a+2k\pi$ ou $x=\pi-a+2k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Inéquation : on place les points d’égalité sur le cercle, puis on lit l’arc solution.
Cosinus et sinus sont $2\pi$ -périodiques ; cosinus est paire, sinus est impaire.
Cosinus décroît sur $[0\,;\,\pi]$ ; sinus croît sur $\left[-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ , décroît sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{3\pi}{2}\right]$ .
$R\cos(\omega t+\varphi)+h$ : amplitude $R$ , période $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ , valeurs entre $h-R$ et $h+R$ .

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Convertis en radians : $150°$ ; $225°$ ; $315°$ . Convertis en degrés : $\dfrac{7\pi}{6}$ ; $\dfrac{5\pi}{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

On utilise $\dfrac{r}{\pi}=\dfrac{d}{180}$ .

$150°=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$
$225°=225\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{4}$
$315°=315\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}$
$\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{7}{6}\times180°=210°$
$\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{5}{3}\times180°=300°$

Sans calculatrice, donne le signe de $\cos x$ et de $\sin x$ pour $x=\dfrac{2\pi}{3}$ , $x=-\dfrac{\pi}{4}$ et $x=\dfrac{7\pi}{6}$ .

Voir le corrigé détaillé

On situe chaque réel dans un cadran du cercle trigonométrique.

$\dfrac{2\pi}{3}\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$ : cadran 2, donc $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)<0$ et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)>0$ .
$-\dfrac{\pi}{4}\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right[$ : cadran 4, donc $\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)>0$ et $\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)<0$ .
$\dfrac{7\pi}{6}\in\left]\pi\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right[$ : cadran 3, donc $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)<0$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)<0$ .

Calcule la valeur exacte de $\cos(105°)$ à l’aide d’une formule d’addition.

Voir le corrigé détaillé

$105°=60°+45°$
$\cos(105°)=\cos(60°+45°)$
$=$ $\cos(60°)\cos(45°)-\sin(60°)\sin(45°)$
$=$ $\dfrac12\times\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}$
$=$ $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$

On vérifie que ce nombre est bien négatif ( $\sqrt2<\sqrt6$ ), cohérent avec $105°$ dans le cadran 2.

Soit $a\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$ tel que $\sin a=\dfrac45$ . Calcule $\cos a$ , puis $\cos(2a)$ et $\sin(2a)$ .

Voir le corrigé détaillé

Comme $a$ est dans le cadran 2, $\cos a<0$ .

$\cos^{2}a=1-\sin^{2}a=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac9{25}$
$\Rightarrow$ $\cos a=-\dfrac35$ $\cos a<0$
$\cos(2a)=2\cos^{2}a-1=2\times\dfrac9{25}-1$
$=$ $-\dfrac{7}{25}$
$\sin(2a)=2\sin a\cos a=2\times\dfrac45\times\left(-\dfrac35\right)$
$=$ $-\dfrac{24}{25}$

Résous $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi[$ .

Voir le corrigé détaillé

$\cos x=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\iff$ $x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $[0\,;\,2\pi[$ : $x=\dfrac{\pi}{4}$ ( $k=0$ ) et $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}$ ( $k=1$ ). $S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{7\pi}{4}\right\}$ .

Résous $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ sur $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ .

Voir le corrigé détaillé

$\sin x=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$
$\iff$ $x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ : dans la première famille, $k=0$ donne $x=-\dfrac{\pi}{3}$ ; dans la seconde, $k=-1$ donne $x=\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}$ . $S=\left\{-\dfrac{2\pi}{3}\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right\}$ .

Niveau 2 — Approfondissement

À l’aide de la formule $\cos p+\cos q=2\cos\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ , calcule la valeur exacte de $A=\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

Ici $p=\dfrac{5\pi}{12}$ et $q=\dfrac{\pi}{12}$ .

$\dfrac{p+q}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{6\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{p-q}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}$
$A=2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
$=$ $2\times\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}$
$=$ $\dfrac{\sqrt6}{2}$

Calcule la valeur exacte de $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ en écrivant $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=$ $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=$ $\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac12\times\dfrac{\sqrt2}{2}$
$=$ $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$

Résous $2\cos^{2}x-1=0$ sur $[0\,;\,2\pi[$ .

Voir le corrigé détaillé

On reconnaît la formule de duplication $\cos(2x)=2\cos^{2}x-1$ .

$2\cos^{2}x-1=0 \iff \cos(2x)=0$
$\iff$ $\cos(2x)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
$\iff$ $2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ ou $2x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$
$\iff$ $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $[0\,;\,2\pi[$ , les deux familles donnent, en balayant $k=0,1$ : $S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{3\pi}{4}\,;\,\dfrac{5\pi}{4}\,;\,\dfrac{7\pi}{4}\right\}$ .

Écris $f(x)=\cos x-\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$ , puis résous $f(x)=1$ sur $[0\,;\,2\pi[$ .

Voir le corrigé détaillé

Ici $a=1$ et $b=-\sqrt3$ .

$R=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt3)^{2}}=\sqrt{1+3}=2$
$\cos\varphi=\dfrac12$ et $\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow$ $\varphi=-\dfrac{\pi}{3}$
$\Rightarrow$ $f(x)=2\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

On résout ensuite $f(x)=1$ :

$2\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$
$\iff$ $\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
$\iff$ $x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$
$\iff$ $x=2k\pi$ ou $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $[0\,;\,2\pi[$ : $x=0$ ( $k=0$ ) et $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{4\pi}{3}$ ( $k=1$ ). $S=\left\{0\,;\,\dfrac{4\pi}{3}\right\}$ .

Niveau 3 — Défi

Soit $f(x)=\cos(2x)-\cos x$ , définie sur $[0\,;\,2\pi[$ .

En posant $t=\cos x$ , exprime $f(x)$ sous la forme d’un polynôme du second degré en $t$ .
Factorise ce polynôme, puis résous $f(x)=0$ sur $[0\,;\,2\pi[$ .

Voir le corrigé détaillé

1. On utilise $\cos(2x)=2\cos^{2}x-1$ , donc $2t^{2}-1$ avec $t=\cos x$ .

$f(x)=\cos(2x)-\cos x=2\cos^{2}x-1-\cos x$
$=$ $2t^{2}-t-1$ $t=\cos x$

2. Le discriminant de $2t^{2}-t-1$ vaut $\Delta=(-1)^{2}-4\times2\times(-1)=9$ , racines $t=\dfrac{1\pm3}{4}$ , soit $t=1$ et $t=-\dfrac12$ . Donc $2t^{2}-t-1=2(t-1)\!\left(t+\dfrac12\right)=(t-1)(2t+1)$ .

$f(x)=0 \iff (\cos x-1)(2\cos x+1)=0$
$\iff$ $\cos x=1$ ou $\cos x=-\dfrac12$

Sur $[0\,;\,2\pi[$ : $\cos x=1$ donne $x=0$ ; $\cos x=-\dfrac12=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ donne $x=\dfrac{2\pi}{3}$ ou $x=2\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$ . $S=\left\{0\,;\,\dfrac{2\pi}{3}\,;\,\dfrac{4\pi}{3}\right\}$ .

Résous l’inéquation $\cos x\geqslant\dfrac12$ sur $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ , puis sur $[0\,;\,4\pi[$ .

Voir le corrigé détaillé

Sur $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ (voir Figure 6), $S_1=\left[-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$ : c’est la solution « de référence », valable pour $k=0$ dans l’écriture générale $\left[-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\,;\,\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\right]$ .

Pour $[0\,;\,4\pi[$ , on balaie les valeurs de $k$ qui rencontrent cet intervalle :

$k=0$ : $\left[-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$ , intersecté avec $[0\,;\,4\pi[$ donne $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$
$k=1$ : $\left[\dfrac{5\pi}{3}\,;\,\dfrac{7\pi}{3}\right]$ , entièrement dans $[0\,;\,4\pi[$
$k=2$ : $\left[\dfrac{11\pi}{3}\,;\,\dfrac{13\pi}{3}\right]$ , intersecté avec $[0\,;\,4\pi[$ donne $\left[\dfrac{11\pi}{3}\,;\,4\pi\right[$

$S_2=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3}\,;\,\dfrac{7\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{3}\,;\,4\pi\right[$

On retrouve bien deux arcs solutions complets sur les deux tours de $[0\,;\,4\pi[$ , plus un morceau du troisième.

Démontre que, pour tout réel $a$ : $\cos^{4}a-\sin^{4}a=\cos(2a)$ .

Voir le corrigé détaillé

On reconnaît une identité remarquable $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ avec $A=\cos^{2}a$ et $B=\sin^{2}a$ .

$\cos^{4}a-\sin^{4}a=\left(\cos^{2}a\right)^{2}-\left(\sin^{2}a\right)^{2}$
$=$ $\left(\cos^{2}a-\sin^{2}a\right)\left(\cos^{2}a+\sin^{2}a\right)$
$=$ $\left(\cos^{2}a-\sin^{2}a\right)\times1$ $\cos^2a+\sin^2a=1$
$=$ $\cos^{2}a-\sin^{2}a$
$=$ $\cos(2a)$ formule de duplication

C.Q.F.D.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La marée à Dakar. Dans le port de Dakar, la hauteur d’eau $h(t)$ , en mètres, $t$ heures après minuit, est modélisée par $h(t)=6+3\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ , pour $t\in[0\,;\,24[$ .

Calcule la hauteur d’eau à $4$ h du matin.
Résous $h(t)=7{,}5$ sur $[0\,;\,24[$ et donne les heures correspondantes.

Voir le corrigé détaillé

$h(4)=6+3\cos\!\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)=6+3\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$
$=$ $6+3\times\left(-\dfrac12\right)$
$=$ $4{,}5$ m

$6+3\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)=7{,}5$
$\iff$ $\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)=0{,}5=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$
$\iff$ $\dfrac{\pi t}{6}=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $\dfrac{\pi t}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$
$\iff$ $t=2+12k$ ou $t=-2+12k,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $[0\,;\,24[$ : $t=2$ , $t=10$ , $t=14$ , $t=22$ . La mer atteint $7{,}5$ m à $2$ h, $10$ h, $14$ h et $22$ h — deux fois par cycle de marée de $12$ h, comme attendu.

La grande roue d’Abidjan. Sur la grande roue installée au Plateau, la hauteur $h(t)$ , en mètres, d’une nacelle au-dessus du sol, $t$ minutes après le départ, vérifie $h(t)=17+15\sin\!\left(\dfrac{2\pi t}{10}-\dfrac{\pi}{2}\right)$ , une période dure $10$ minutes.

Quelle est la hauteur d’embarquement (à $t=0$ ) ? Quelle est la hauteur maximale atteinte ?
Résous $h(t)=24{,}5$ sur $[0\,;\,20]$ (deux tours de roue).
Déduis-en la durée, par tour, pendant laquelle la nacelle est à plus de $24{,}5$ m de hauteur.

Figure 9 — Hauteur

h(t)

d'une nacelle de la grande roue d'Abidjan, en mètres, en fonction du temps

t

en minutes :

h(t)=17+15\sin\!\left(\frac{2\pi t}{10}-\frac{\pi}{2}\right)

. Points rouges : instants où

h(t)=24{,}5

Voir le corrigé détaillé

$h(0)=17+15\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=17-15=2$ membarquement
hauteur maximale $=17+15=32$ mquand $\sin(\cdots)=1$

$17+15\sin\!\left(\dfrac{2\pi t}{10}-\dfrac{\pi}{2}\right)=24{,}5$
$\iff$ $\sin\!\left(\dfrac{2\pi t}{10}-\dfrac{\pi}{2}\right)=0{,}5$
$\iff$ $\dfrac{2\pi t}{10}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $\dfrac{2\pi t}{10}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$
$\iff$ $t=\dfrac{10}{3}+10k$ ou $t=\dfrac{20}{3}+10k,\ k\in\mathbb{Z}$

Sur $[0\,;\,20]$ : $t=\dfrac{10}{3}\approx3\text{ min }20\text{ s}$ ; $t=\dfrac{20}{3}\approx6\text{ min }40\text{ s}$ ; $t=\dfrac{40}{3}\approx13\text{ min }20\text{ s}$ ; $t=\dfrac{50}{3}\approx16\text{ min }40\text{ s}$ (voir les quatre points rouges, Figure 9).

3. Par tour, la nacelle dépasse $24{,}5$ m entre le premier et le deuxième instant trouvés :

durée $=\dfrac{20}{3}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{10}{3}$ min
$\approx$ $3$ min $20$ s par tour

Les haubans d’un poteau, à Ndjamena. Un poteau électrique fragilisé est stabilisé par deux câbles (haubans) tendus au sol, faisant avec l’horizontale des angles aigus $a$ et $b$ tels que $\cos a=\dfrac35$ et $\cos b=\dfrac{5}{13}$ .

Calcule $\sin a$ et $\sin b$ .
Calcule la valeur exacte de $\cos(a+b)$ .
L’angle $a+b$ est-il aigu ou obtus ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. $a$ et $b$ sont aigus, donc $\sin a>0$ et $\sin b>0$ .

$\sin^{2}a=1-\cos^{2}a=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow\sin a=\dfrac45$
$\sin^{2}b=1-\cos^{2}b=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\Rightarrow\sin b=\dfrac{12}{13}$

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
$=$ $\dfrac35\times\dfrac5{13}-\dfrac45\times\dfrac{12}{13}$
$=$ $\dfrac{15}{65}-\dfrac{48}{65}$
$=$ $-\dfrac{33}{65}$

3. Comme $a$ et $b$ sont aigus, $a+b\in\,]0\,;\,\pi[$ . Or $\cos(a+b)=-\dfrac{33}{65}<0$ : sur cet intervalle, le cosinus n’est négatif que dans le cadran 2. Donc $a+b$ est obtus : les deux haubans, ensemble, ouvrent un angle de plus de $90°$ au sommet du poteau, ce qui est un bon signe de stabilité pour l’ancrage.

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8 questions

Second degré : discriminant et signe du trinôme

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Sur le cercle trigonométrique, le point image $M$ d'un réel $x$ a pour coordonnées :

(\sin x\,;\,\cos x)

(x\,;\,1)

(\cos x\,;\,\sin x)

(\tan x\,;\,1)

Explication : Par définition,

\cos x

est l'abscisse et

\sin x

l'ordonnée du point image

M

sur le cercle trigonométrique.

Pour tout réel $x$ , la relation fondamentale est :

\cos x+\sin x=1

\cos^{2}x+\sin^{2}x=1

\cos^{2}x-\sin^{2}x=1

\cos^{2}x+\sin^{2}x=2

Explication : Le point

M(\cos x\,;\,\sin x)

appartient au cercle de rayon

1

centré en

O

, donc

OM=1

, soit

\cos^{2}x+\sin^{2}x=1

Un angle de $180°$ mesure, en radians :

\pi

2\pi

\dfrac{\pi}{2}

180

Explication : Avec

\dfrac{r}{\pi}=\dfrac{d}{180}

, pour

d=180

on obtient

r=\pi

La valeur exacte de $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ est :

\dfrac12

\dfrac{\sqrt2}{2}

1

\dfrac{\sqrt3}{2}

Explication : Dans le tableau des valeurs remarquables,

\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}

(ne pas confondre avec

\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12

Pour un réel $x$ tel que $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ (cadran 2), on a :

\cos x>0

\sin x>0

\cos x<0

\sin x>0

\cos x<0

\sin x<0

\cos x>0

\sin x<0

Explication : Dans le cadran 2 (en haut à gauche du cercle), l'abscisse est négative et l'ordonnée positive :

\cos x<0

\sin x>0

Les formules d'angles associés donnent, pour tout réel $x$ :

\cos(-x)=-\cos x

\sin(-x)=\sin x

\cos(\pi-x)=-\cos x

\sin(\pi+x)=\sin x

Explication : Le point image de

\pi-x

est le symétrique de

M(x)

par rapport à l'axe des sinus, de coordonnées

(-\cos x\,;\,\sin x)

, d'où

\cos(\pi-x)=-\cos x

Sachant $\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}$ , la valeur exacte de $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ est :

\dfrac{\sqrt3}{2}

-\dfrac{\sqrt3}{2}

\dfrac12

-\dfrac12

Explication :

\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}

La formule d'addition correcte pour $\cos(a+b)$ est :

\cos a+\cos b

\cos a\cos b+\sin a\sin b

\sin a\cos b+\cos a\sin b

\cos a\cos b-\sin a\sin b

Explication :

\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

. Attention :

\cos(a+b)\neq\cos a+\cos b

, l'erreur la plus fréquente du chapitre.

En écrivant $75°=45°+30°$ , la valeur exacte de $\cos(75°)$ est :

\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}

\dfrac{\sqrt3}{2}

Explication :

\cos(45°+30°)=\cos45°\cos30°-\sin45°\sin30°

=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac12

=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

La formule de duplication de $\sin(2a)$ est :

2\sin a

\sin^{2}a

2\sin a\cos a

\cos^{2}a-\sin^{2}a

Explication : En posant

b=a

dans

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

, on obtient

\sin(2a)=2\sin a\cos a

Sachant $\cos a=\dfrac35$ avec $a\in\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$ , la valeur de $\cos(2a)$ est :

\dfrac{9}{25}

-\dfrac{7}{25}

\dfrac{7}{25}

\dfrac{6}{5}

Explication :

\cos(2a)=2\cos^{2}a-1=2\times\dfrac9{25}-1

=\dfrac{18}{25}-\dfrac{25}{25}

=-\dfrac{7}{25}

La linéarisation de $\cos^{2}a$ s'écrit :

\dfrac{1-\cos(2a)}{2}

1+\cos(2a)

2\cos(2a)-1

\dfrac{1+\cos(2a)}{2}

Explication : À partir de

\cos(2a)=2\cos^{2}a-1

, on isole

\cos^{2}a=\dfrac{1+\cos(2a)}{2}

. Ne pas confondre avec la formule de

\sin^{2}a

, qui a un signe moins.

Pour écrire $\sqrt3\cos x+\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$ , le coefficient $R$ vaut :

2

4

\sqrt3+1

\sqrt3

Explication :

R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\sqrt3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt4=2

. Le piège classique est de croire que

R=a+b

Les solutions de l'équation $\cos x=\cos a$ sont exactement :

x=a+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

x=a+2k\pi

uniquement

x=a+2k\pi

x=-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

x=\pi-a+2k\pi

x=-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Explication :

M(x)

A(a)

ont la même abscisse si et seulement si ils sont confondus ou symétriques par rapport à l'axe des cosinus, ce qui donne

x=a+2k\pi

x=-a+2k\pi

L'ensemble des solutions de $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ est :

\left\{\dfrac{\pi}{4}\right\}

\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right\}

\left\{\dfrac{3\pi}{4}\,;\,-\dfrac{3\pi}{4}\right\}

\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\,-\dfrac{\pi}{4}\right\}

Explication :

\cos x=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\iff x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi

x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi

. Sur

\left]-\pi\,;\,\pi\right]

, seul

k=0

convient dans chaque famille.

Pour résoudre l'inéquation $\cos x\geqslant\dfrac12$ sur $\left]-\pi\,;\,\pi\right]$ , la méthode consiste à :

résoudre l'équation associée et ne garder que

x=\dfrac{\pi}{3}

placer les points d'égalité sur le cercle puis lire l'arc où l'abscisse dépasse

\dfrac12

diviser directement les deux membres par

\cos

remplacer

\cos x

par

x

et résoudre une inéquation affine

Explication : On place d'abord les points où

\cos x=\dfrac12

, puis on lit sur le cercle l'arc correspondant à l'inégalité, avant de revenir à l'intervalle demandé.

Les fonctions cosinus et sinus, sur $\mathbb{R}$ , sont :

toutes deux

2\pi

-périodiques, cosinus paire et sinus impaire toutes deux

\pi

-périodiques et paires cosinus impaire et sinus paire non périodiques

Explication :

\cos(x+2\pi)=\cos x

\sin(x+2\pi)=\sin x

: les deux fonctions sont

2\pi

-périodiques. De plus

\cos(-x)=\cos x

(paire) et

\sin(-x)=-\sin x

(impaire).

Pour la fonction $t\mapsto R\cos(\omega t+\varphi)+h$ (avec $R>0$ , $\omega>0$ ), la période $T$ vaut :

T=\omega

T=2\pi\omega

T=\dfrac{2\pi}{\omega}

T=\dfrac{\omega}{2\pi}

Explication : La pulsation

\omega

et la période

T

vérifient

T=\dfrac{2\pi}{\omega}

. Attention au piège : doubler

\omega

divise

T

par

2

, ça ne le multiplie pas.

À Dakar, la hauteur d'eau dans le port suit $h(t)=6+3\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ (en mètres, $t$ en heures après minuit). La hauteur maximale atteinte est :

6

3

9

12

Explication : Le maximum de

\cos

vaut

1

, donc la hauteur maximale est

h_{max}=6+3\times1=9

Deux haubans d'un poteau font, avec l'horizontale, des angles aigus $a$ et $b$ tels que $\cos a=\dfrac35$ et $\cos b=\dfrac{5}{13}$ , donc $\sin a=\dfrac45$ et $\sin b=\dfrac{12}{13}$ . La valeur exacte de $\cos(a+b)$ est :

\dfrac{63}{65}

\dfrac{15}{65}

\dfrac{33}{65}

-\dfrac{33}{65}

Explication :

\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

=\dfrac35\times\dfrac5{13}-\dfrac45\times\dfrac{12}{13}

=\dfrac{15}{65}-\dfrac{48}{65}

=-\dfrac{33}{65}

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En bref

Classe : Classe de Première
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 10 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme

Trigonométrie : formules et équations

Ce que tu sauras faire à la fin

1Cercle trigonométrique et angles associés

1.1 Le radian et les valeurs remarquables

1.2 Signe de cos⁡x\cos xcosx et de sin⁡x\sin xsinx

1.3 Angles associés

2Formules d’addition

2.1 La formule de cos⁡(a−b)\cos(a-b)cos(a−b)

2.2 Aperçu : transformer un produit en somme

3Formules de duplication

3.1 Linéariser cos⁡2a\cos^{2}acos2a et sin⁡2a\sin^{2}asin2a

4Transformation acos⁡x+bsin⁡xa\cos x+b\sin xacosx+bsinx

5Équations et inéquations trigonométriques

5.1 Équation cos⁡x=cos⁡a\cos x=\cos acosx=cosa

5.2 Équation sin⁡x=sin⁡a\sin x=\sin asinx=sina

5.3 Équation acos⁡x+bsin⁡x=ca\cos x+b\sin x=cacosx+bsinx=c

5.4 Inéquations trigonométriques

6Fonctions sinus et cosinus

6.1 Variations de la fonction cosinus

6.2 Variations de la fonction sinus

6.3 Amplitude et période d’une fonction x↦Rcos⁡(ωx+φ)x\mapsto R\cos(\omega x+\varphi)x↦Rcos(ωx+φ)

Fiche mémo

7Exercices corrigés

Teste-toi gratuitement

Second degré : discriminant et signe du trinôme

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

1.2 Signe de $\cos x$ et de $\sin x$

2.1 La formule de $\cos(a-b)$

3.1 Linéariser $\cos^{2}a$ et $\sin^{2}a$

4Transformation $a\cos x+b\sin x$

5.1 Équation $\cos x=\cos a$

5.2 Équation $\sin x=\sin a$

5.3 Équation $a\cos x+b\sin x=c$

6.3 Amplitude et période d’une fonction $x\mapsto R\cos(\omega x+\varphi)$