Polynômes et fractions rationnelles

Factoriser un polynôme de degré 3 et simplifier une fraction rationnelle.

Mathématiques Première Chapitre 2 / 13 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Factoriser un polynôme connaissant une racine évidente
Simplifier une fraction rationnelle
Résoudre une inéquation quotient

Depuis la Seconde, tu sais résoudre une équation du second degré et factoriser à l'aide des identités remarquables. Ce chapitre te fait franchir une marche : tu vas apprendre à factoriser des polynômes de degré 3, à diviser deux polynômes comme on divise deux entiers, et à manipuler des fractions rationnelles — des quotients de polynômes qui, comme les fractions numériques, exigent un dénominateur non nul.

Ces objets ne sont pas de simples exercices d'entraînement. Un ingénieur qui calcule le volume d'une caisse en fonction de l'épaisseur retirée aux coins obtient un polynôme de degré 3 ; un économiste qui étudie un coût moyen obtient une fraction rationnelle ; un physicien qui combine deux résistances en parallèle retrouve exactement ce type de quotient. Savoir factoriser une racine « évidente » et diviser proprement, c'est se donner les moyens de résoudre des problèmes concrets que les identités remarquables, à elles seules, ne suffisent plus à traiter.

Trois outils neufs structurent ce chapitre : la division euclidienne des polynômes, qui généralise celle des entiers ; le schéma de Horner, qui organise ce calcul de façon rapide et fiable ; et l'étude du signe d'une expression factorisée ou d'un quotient, indispensable pour résoudre une inéquation. À la fin du chapitre, factoriser un polynôme de degré 3 et résoudre une inéquation rationnelle seront pour toi des automatismes.

1Degré, racine, division euclidienne des polynômes

Avant de factoriser quoi que ce soit, il faut poser un vocabulaire précis. Cette section fixe les définitions de base, puis présente l'outil central du chapitre : la division d'un polynôme par un autre.

1.1 Définition et degré d'un polynôme

Définition

Un polynôme à une indéterminée $x$ est une expression de la forme

$P(x) = a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

où $n$ est un entier naturel et $a_0, a_1, \ldots, a_n$ sont des nombres réels, appelés coefficients de $P$ . Si $a_n \neq 0$ , l'entier $n$ s'appelle le degré de $P$ , noté $\deg P$ . Le terme $a_n x^{n}$ est le terme dominant, et $a_0$ le terme constant.

Un polynôme de degré $0$ est une constante non nulle ; le polynôme nul (tous les coefficients égaux à $0$ ) n'a pas de degré défini. Tu connais déjà les polynômes de degré $1$ (fonctions affines) et de degré $2$ (fonctions trinômes) : ce chapitre les prolonge au degré $3$ , et parfois plus.

Propriété — égalité de deux polynômes

Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, ils ont le même degré et les mêmes coefficients, terme à terme. Autrement dit, si pour tout $x$ réel :

$a_n x^{n} + \cdots + a_0 = b_n x^{n} + \cdots + b_0$

alors $a_k = b_k$ pour tout $k$ . On dit qu'on identifie les coefficients.

Attention

Le principe d'identification n'a de sens que si les deux écritures sont déjà développées et ordonnées selon les puissances de $x$ . N'oublie jamais d'écrire un coefficient $0$ pour une puissance manquante : dans $x^{3} - 5x + 6$ , le coefficient de $x^{2}$ est $0$ , pas « rien ».

Exemple — degré et coefficients

Soit $P(x) = 4x^{3} - x^{2} + 7$ et $Q(x) = (x-2)(x+1)^{2}$ . Donne le degré et les coefficients de chacun.

$P(x) = 4x^{3} - x^{2} + 0 \cdot x + 7$ on rend visible le coefficient manquant
$\deg P = 3$ , coefficients $(4,\,-1,\,0,\,7)$
$Q(x) = (x-2)(x^{2}+2x+1)$ on développe $(x+1)^{2}$
$=$ $x^{3}+2x^{2}+x-2x^{2}-4x-2$
$=$ $x^{3} - 3x - 2$ on réduit
$\deg Q = 3$ , coefficients $(1,\,0,\,-3,\,-2)$

Math & Co — le mot « algèbre » et la naissance des polynômes

Le mot algèbre vient de l'arabe al-jabr (« la réunion des morceaux »), titre d'un traité écrit vers $820$ à Bagdad par Muhammad al-Khwârizmî, dont le nom latinisé a aussi donné le mot « algorithme ». Al-Khwârizmî résolvait déjà des équations du second degré, mais entièrement en mots : aucun symbole $x$ , aucun exposant.

Il faudra attendre le mathématicien français François Viète, à la fin du XVIᵉ siècle, pour voir apparaître un calcul littéral proche du nôtre, avec des lettres pour désigner aussi bien les inconnues que les coefficients connus. C'est cette notation, perfectionnée ensuite par René Descartes vers $1637$ (qui impose l'usage des dernières lettres de l'alphabet pour les inconnues), qui permet enfin d'écrire un polynôme comme tu le fais aujourd'hui.

1.2 Opérations et racine d'un polynôme

Comme les nombres, les polynômes s'additionnent et se multiplient. On additionne les coefficients de même degré ; on multiplie en distribuant chaque terme, comme pour un double produit.

Propriété — degré d'une somme, d'un produit

Pour deux polynômes non nuls $P$ et $Q$ :

$\deg(P+Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)$ (avec égalité sauf si les termes dominants s'annulent) ;
$\deg(P \times Q) = \deg P + \deg Q$ .

Définition — racine d'un polynôme

Un nombre réel $a$ est une racine (ou un zéro) du polynôme $P$ lorsque

$P(a) = 0$

Trouver les racines de $P$ , c'est donc résoudre l'équation $P(x) = 0$ .

Exemple — tester une racine

Le nombre $1$ est-il racine de $P(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ ? Et le nombre $2$ ?

$P(1) = 1^{3} - 2 \times 1^{2} - 5 \times 1 + 6$
$=$ $1 - 2 - 5 + 6$
$=$ $0$ donc $1$ est racine de $P$
$P(2) = 8 - 8 - 10 + 6$
$=$ $-4 \neq 0$ donc $2$ n'est pas racine de $P$

Méthode — trouver une racine « évidente »

Pour un polynôme à coefficients entiers, on teste d'abord les petits entiers $-2, -1, 0, 1, 2$ , puis les diviseurs du terme constant $a_0$ . Astuce rapide : si la somme des coefficients vaut $0$ , alors $1$ est racine ; si la somme des coefficients de rang pair moins ceux de rang impair vaut $0$ , alors $-1$ est racine.

1.3 Division euclidienne des polynômes

Tu sais diviser $37$ par $4$ : on trouve un quotient $9$ et un reste $1$ , avec $37 = 4 \times 9 + 1$ et le reste strictement inférieur au diviseur. Les polynômes obéissent à la même logique, en remplaçant « la valeur du reste » par « son degré ».

Théorème — division euclidienne des polynômes

Soient $A$ et $B$ deux polynômes, $B$ non nul. Il existe un unique couple de polynômes $(Q, R)$ tel que

$A = B \times Q + R \qquad \text{avec } R = 0 \text{ ou } \deg R < \deg B$

$Q$ s'appelle le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ .

Démonstration (idée)

Existence. On construit $Q$ terme par terme. On divise le terme dominant de $A$ par celui de $B$ : cela donne le premier terme de $Q$ . On multiplie $B$ par ce terme et on le soustrait à $A$ : le degré du polynôme obtenu a strictement diminué. On répète l'opération sur ce nouveau reste, jusqu'à obtenir un polynôme de degré strictement inférieur à $\deg B$ : c'est exactement l'algorithme de la division posée présenté ci-dessous, et il s'arrête forcément puisque le degré diminue à chaque étape.

Unicité. Si $A = BQ_1 + R_1 = BQ_2 + R_2$ avec les deux restes de degré $< \deg B$ , alors $B(Q_1 - Q_2) = R_2 - R_1$ . Si $Q_1 \neq Q_2$ , le membre de gauche a un degré supérieur ou égal à $\deg B$ (propriété du degré d'un produit), alors que le membre de droite a un degré strictement inférieur à $\deg B$ : contradiction. Donc $Q_1 = Q_2$ , puis $R_1 = R_2$ . C.Q.F.D.

Méthode — poser une division de polynômes

On ordonne les deux polynômes par puissances décroissantes (en écrivant les coefficients nuls manquants). À chaque étape : diviser le terme dominant du reste courant par le terme dominant du diviseur ; écrire ce quotient partiel ; multiplier le diviseur par ce quotient partiel et soustraire le résultat au reste courant ; recommencer avec le nouveau reste tant que son degré est supérieur ou égal à celui du diviseur.

Figure 1 — Division posée de

P(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6

par

x - 1

: à chaque étape, on multiplie le diviseur par le quotient partiel et on soustrait, jusqu'à obtenir un reste de degré inférieur à celui du diviseur.

Exemple — effectuer la division en détail

Divisons $A(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ par $B(x) = x - 1$ , en détaillant chaque soustraction (voir Figure 1).

$x^{3} \div x = x^{2}$ 1ᵉʳ terme du quotient
$x^{2}(x-1) = x^{3} - x^{2}$
$(x^{3}-2x^{2}-5x+6) - (x^{3}-x^{2}) = -x^{2} - 5x + 6$ 1ᵉʳ reste partiel
$-x^{2} \div x = -x$ 2ᵉ terme du quotient
$-x(x-1) = -x^{2} + x$
$(-x^{2}-5x+6) - (-x^{2}+x) = -6x + 6$ 2ᵉ reste partiel
$-6x \div x = -6$ 3ᵉ terme du quotient
$-6(x-1) = -6x + 6$
$(-6x+6) - (-6x+6) = 0$ le reste est nul : la division est exacte
$\Rightarrow$ $A(x) = (x-1)(x^{2}-x-6)$ quotient $x^{2}-x-6$ , reste $0$

Exemple — division avec reste non nul

Divisons $A(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 4$ par $B(x) = x + 2$ .

$2x^{3} \div x = 2x^{2}$
$2x^{2}(x+2) = 2x^{3} + 4x^{2}$
$(2x^{3}+3x^{2}+0x-4) - (2x^{3}+4x^{2}) = -x^{2} + 0x - 4$
$-x^{2} \div x = -x$
$-x(x+2) = -x^{2} - 2x$
$(-x^{2}+0x-4) - (-x^{2}-2x) = 2x - 4$
$2x \div x = 2$
$2(x+2) = 2x + 4$
$(2x-4) - (2x+4) = -8$ degré $0 <$ degré du diviseur $(=1)$ : on s'arrête
$\Rightarrow$ $A(x) = (x+2)(2x^{2}-x+2) - 8$ quotient $2x^{2}-x+2$ , reste $-8$

Attention

Deux erreurs reviennent sans cesse dans une division posée : oublier un coefficient nul (un polynôme comme $2x^{3}+3x^{2}-4$ doit être écrit $2x^{3}+3x^{2}+0x-4$ avant de commencer), et se tromper de signe en soustrayant (soustraire, c'est changer le signe de chaque terme du produit avant d'additionner). Vérifie toujours ta division en développant $B(x)Q(x)+R(x)$ : tu dois retrouver $A(x)$ .

2Factorisation par (x − a)

La division euclidienne que tu viens d'apprendre porte en elle un résultat remarquable : quand le reste est nul, elle factorise le polynôme. C'est tout l'enjeu de cette section, qui te donne la méthode-clé du chapitre pour résoudre une équation de degré 3.

2.1 Théorème du reste et théorème de factorisation

Théorème du reste

Le reste de la division euclidienne d'un polynôme $P$ par $x - a$ est égal à $P(a)$ .

Démonstration

La division euclidienne de $P$ par $x-a$ s'écrit $P(x) = (x-a)Q(x) + R$ , où $R$ est de degré strictement inférieur à $\deg(x-a) = 1$ : $R$ est donc une constante. En évaluant l'égalité en $x = a$ :

$P(a) = (a-a)Q(a) + R$
$=$ $0 \times Q(a) + R$
$=$ $R$

Donc $R = P(a)$ . C.Q.F.D.

Théorème de factorisation

Soit $P$ un polynôme et $a$ un nombre réel. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

$a$ est une racine de $P$ ( $P(a) = 0$ ) ;
le polynôme $x - a$ divise $P$ ;
il existe un polynôme $Q$ , avec $\deg Q = \deg P - 1$ , tel que $P(x) = (x-a)\,Q(x)$ .

Démonstration

C'est une conséquence immédiate du théorème du reste : le reste de la division de $P$ par $x-a$ vaut $P(a)$ . Or, dire que $x-a$ divise $P$ signifie exactement que ce reste est nul. Donc « $x-a$ divise $P$ » équivaut à « $P(a) = 0$ », c'est-à-dire à « $a$ est racine de $P$ ». Dans ce cas, la division euclidienne s'écrit $P(x) = (x-a)Q(x) + 0$ , ce qui donne la troisième proposition. C.Q.F.D.

2.2 Méthode : factoriser connaissant une racine évidente

Méthode — factoriser un polynôme de degré 3

Chercher une racine « évidente » $a$ (petit entier ou diviseur du terme constant) telle que $P(a) = 0$ .
Diviser $P(x)$ par $(x-a)$ , soit en posant la division, soit par identification des coefficients : on écrit $P(x) = (x-a)(bx^{2}+cx+d)$ , on développe le membre de droite, puis on identifie avec les coefficients de $P$ .
Si le quotient $bx^{2}+cx+d$ se factorise à son tour (discriminant, identité remarquable), on obtient la factorisation complète de $P$ en produit de facteurs du premier degré.
Pour résoudre $P(x) = 0$ , on utilise la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul.

Exemple — factoriser par identification

Factorise entièrement $P(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ , sachant que $1$ est racine (vérifié en section 1).

on pose $P(x) = (x-1)(x^{2}+bx+c)$ le quotient est de degré 2, coefficient dominant 1
$(x-1)(x^{2}+bx+c) = x^{3}+bx^{2}+cx-x^{2}-bx-c$
$=$ $x^{3}+(b-1)x^{2}+(c-b)x-c$
par identification avec $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ : $b-1=-2$ , $c-b=-5$ , $-c=6$
$\Rightarrow$ $b=-1$ et $c=-6$ les trois équations sont cohérentes : bon signe de vérifier
$P(x) = (x-1)(x^{2}-x-6)$
$\Delta = (-1)^{2}-4\times1\times(-6) = 25$ discriminant du quotient
racines du quotient : $\dfrac{1-5}{2}=-2$ et $\dfrac{1+5}{2}=3$
$\Rightarrow$ $x^{2}-x-6 = (x+2)(x-3)$
$\Rightarrow$ $P(x) = (x-1)(x+2)(x-3)$ factorisation complète

Figure 2 — Courbe de

P(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6

. Les points rouges sont les trois racines

-2

1

3

: ce sont exactement les points où la courbe coupe l'axe des abscisses, en cohérence avec la factorisation

P(x) = (x-1)(x+2)(x-3)

Exemple — résoudre une équation de degré 3

Résous $x^{3} + x^{2} - 4x - 4 = 0$ .

test de $-1$ : $(-1)^{3}+(-1)^{2}-4(-1)-4 = -1+1+4-4 = 0$ $-1$ est racine évidente
on pose $x^{3}+x^{2}-4x-4 = (x+1)(x^{2}+bx+c)$
$(x+1)(x^{2}+bx+c) = x^{3}+(b+1)x^{2}+(c+b)x+c$
identification : $b+1=1$ , $c+b=-4$ , $c=-4$
$\Rightarrow$ $b=0$ , $c=-4$ cohérent avec $c+b=-4$
$x^{3}+x^{2}-4x-4 = (x+1)(x^{2}-4)$
$x^{2}-4 = (x-2)(x+2)$ identité remarquable $a^{2}-b^{2}$
$\Rightarrow$ $(x+1)(x-2)(x+2) = 0$
$\Leftrightarrow$ $x=-1$ ou $x=2$ ou $x=-2$ règle du produit nul

L'ensemble des solutions est $S = \{-2\,;\,-1\,;\,2\}$ .

Attention

Un polynôme de degré 3 admet au moins une racine réelle (sa courbe part de $-\infty$ et va vers $+\infty$ , ou l'inverse, elle traverse donc forcément l'axe des abscisses), mais pas nécessairement trois : si le quotient du second degré a un discriminant strictement négatif, il ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ , et $P$ n'a qu'une seule racine réelle. Vérifie toujours ton résultat en développant le produit final : tu dois retrouver le polynôme de départ.

Math & Co — le duel des équations du troisième degré

À Bologne, au début du XVIᵉ siècle, Scipione del Ferro découvre une méthode pour résoudre certaines équations de degré 3, mais la garde secrète : à l'époque, les professeurs italiens se défiaient en public par « cartelli di matematica », et un tel résultat était une arme. Le secret passe à son élève Antonio Fior.

En 1535, le mathématicien Nicolo Fontana, dit Tartaglia (« le bègue »), retrouve la méthode de son côté et écrase Fior lors d'un concours public. Jérôme Cardan le supplie alors de lui confier la formule, jurant de ne jamais la publier — puis la publie en 1545 dans son Ars Magna, déclenchant une querelle de priorité restée célèbre. C'est ce même ouvrage qui contient, pour la première fois, l'usage de racines de nombres négatifs : la porte vers les nombres complexes, que tu étudieras plus tard.

3Schéma de Horner

La division posée fonctionne, mais elle prend de la place et multiplie les occasions d'erreur de signe. Le schéma de Horner organise le même calcul dans un tableau compact, en ne manipulant que des nombres : c'est l'outil que tu utiliseras le plus souvent en pratique.

3.1 Écriture et schéma de Horner

Définition — forme de Horner

Tout polynôme peut s'écrire sous forme imbriquée : pour $P(x) = a_3x^{3}+a_2x^{2}+a_1x+a_0$ ,

$P(x) = \bigl( (a_3\,x + a_2)\,x + a_1 \bigr) x + a_0$

Cette écriture ne demande que des multiplications et des additions, sans jamais calculer de puissance séparément : c'est la façon la plus rapide d'évaluer un polynôme, à la main comme sur machine.

Propriété — le schéma de Horner divise par

(x-a)

Pour évaluer $P(a)$ , on construit une ligne de nombres $b_2, b_1, b_0, r$ à partir des coefficients $a_3,a_2,a_1,a_0$ de $P$ :

$b_2 = a_3 \qquad b_1 = a_2 + a\,b_2 \qquad b_0 = a_1 + a\,b_1 \qquad r = a_0 + a\,b_0$

Alors $r = P(a)$ , et si $r = 0$ , les nombres $b_2, b_1, b_0$ sont exactement les coefficients du quotient de $P$ par $(x-a)$ : $P(x) = (x-a)(b_2x^{2}+b_1x+b_0)$ . C'est le même résultat que la division posée, obtenu plus vite.

Figure 3 — Schéma de Horner pour

P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6

a=1

: on descend le premier coefficient, puis on multiplie par

a

et on ajoute au coefficient suivant, jusqu'au reste

P(1)

3.2 Deux exemples d'application

Exemple — retrouver la factorisation de P par Horner

Applique le schéma de Horner à $P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ avec $a=1$ (voir Figure 3).

$b_2 = 1$ on recopie le premier coefficient
$b_1 = -2 + 1 \times 1 = -1$
$b_0 = -5 + 1 \times (-1) = -6$
$r = 6 + 1 \times (-6) = 0$ reste nul : $1$ est bien racine
$\Rightarrow$ $P(x) = (x-1)(x^{2}-x-6)$ on retrouve exactement le résultat de la section 2

Exemple — vérifier une racine avec un tableau de Horner

Reprends $Q(x) = x^{3}+x^{2}-4x-4$ et $a=-1$ : retrouve par Horner la factorisation obtenue par identification.

a = −1	1	1	−4	−4
Horner	1	0	−4	0

$1$ (copié), puis $1+(-1)\times1=0$ , puis $-4+(-1)\times0=-4$ , puis $-4+(-1)\times(-4)=0$
$\Rightarrow$ $Q(x) = (x+1)(x^{2}+0x-4) = (x+1)(x^{2}-4)$ reste nul, on retrouve la Section 2

Math & Co — une méthode chinoise, italienne… et anglaise

Le « schéma de Horner » doit son nom au mathématicien britannique William George Horner, qui le publie en 1819. Mais la méthode est bien plus ancienne : le mathématicien italien Paolo Ruffini l'avait déjà décrite en 1804, si bien que les pays francophones parlent souvent de « méthode de Ruffini-Horner ».

Plus étonnant encore : en Chine, le mathématicien Qin Jiushao utilisait un algorithme rigoureusement équivalent dès 1247, dans son traité Shùshū Jiǔzhāng (« Traité mathématique en neuf chapitres »), pour résoudre des équations polynomiales de degré élevé — près de six siècles avant Ruffini et Horner.

4Fractions rationnelles et domaine

Une fraction numérique comme $\dfrac{2}{5}$ exige un dénominateur non nul. Il en va exactement de même quand le numérateur et le dénominateur sont des polynômes : c'est ce qu'on appelle une fraction rationnelle, et son domaine de définition demande la même vigilance qu'un dénominateur numérique — en plus délicat, puisqu'il faut d'abord résoudre une équation pour le trouver.

4.1 Définition et domaine de définition

Définition

Une fraction rationnelle est une expression de la forme $f(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$ , où $A$ et $B$ sont deux polynômes, $B$ n'étant pas le polynôme nul. Le domaine de définition de $f$ , noté $D_f$ , est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $B(x) \neq 0$ :

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{x \mid B(x) = 0\}$

Les valeurs exclues sont appelées valeurs interdites.

Méthode — déterminer un domaine de définition

On résout l'équation $B(x) = 0$ (en factorisant si $B$ est de degré $\geqslant 2$ , avec les techniques des sections précédentes). $D_f$ est alors $\mathbb{R}$ privé de ces solutions.

Exemple — domaine avec deux valeurs interdites

Détermine le domaine de définition de $k(x) = \dfrac{2x-1}{x^{2}-1}$ .

$x^{2}-1 = 0$
$\Leftrightarrow$ $(x-1)(x+1) = 0$ identité remarquable $a^{2}-b^{2}$
$\Leftrightarrow$ $x=1$ ou $x=-1$
$\Rightarrow$ $D_k = \mathbb{R}\setminus\{-1\,;\,1\} = \left]-\infty;-1\right[\cup\left]-1;1\right[\cup\left]1;+\infty\right[$

Exemple — domaine égal à

\mathbb{R}

Détermine le domaine de définition de $m(x) = \dfrac{x+5}{x^{2}+1}$ .

pour tout réel $x$ , $x^{2} \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $x^{2}+1 \geqslant 1 > 0$ une somme de deux termes positifs, dont un strictement
$\Rightarrow$ $x^{2}+1$ ne s'annule jamais
$\Rightarrow$ $D_m = \mathbb{R}$

4.2 Simplifier une fraction rationnelle

Propriété — simplification

Si $A(x) = (x-a)A_1(x)$ et $B(x) = (x-a)B_1(x)$ , alors, pour tout $x \neq a$ :

$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{A_1(x)}{B_1(x)}$

On factorise donc entièrement numérateur et dénominateur, puis on simplifie par les facteurs communs.

Attention — le piège du domaine

Simplifier une fraction rationnelle ne change jamais son domaine de définition. Après simplification, l'expression obtenue peut sembler définie en une valeur qui était pourtant interdite au départ : il faut conserver toutes les valeurs interdites initiales à côté du résultat simplifié.

Exemple — simplifier en gardant le bon domaine

Simplifie $h(x) = \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-5x+6}$ .

$x^{2}-5x+6 = 0$
$\Delta = 25 - 24 = 1$
racines : $\dfrac{5-1}{2}=2$ et $\dfrac{5+1}{2}=3$
$\Rightarrow$ $D_h = \mathbb{R}\setminus\{2\,;\,3\}$
$x^{2}-4 = (x-2)(x+2)$
$x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3)$
$h(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}$
$=$ $\dfrac{x+2}{x-3}$ simplification par $(x-2)$ , valable car $x\neq 2$

On écrit donc $h(x) = \dfrac{x+2}{x-3}$ pour $x \in \mathbb{R}\setminus\{2\,;\,3\}$ : l'expression simplifiée semble définie en $2$ , mais $2$ reste exclu du domaine.

4.3 Décomposition simple d'une fraction rationnelle

Méthode — décomposer

\dfrac{A(x)}{x-a}

Quand le dénominateur est de degré $1$ , la division euclidienne de $A$ par $(x-a)$ donne $A(x) = (x-a)Q(x) + R$ , avec $R$ une constante. On en déduit, pour $x \neq a$ :

$\frac{A(x)}{x-a} = Q(x) + \frac{R}{x-a}$

C'est la décomposition simple : une partie polynomiale (souvent constante quand $\deg A = 1$ ) et une partie en $\dfrac{1}{x-a}$ , qui pilote le comportement de la courbe près de la valeur interdite.

Exemple — décomposer et lire le résultat

Décompose $g(x) = \dfrac{x+3}{x-2}$ .

division de $x+3$ par $x-2$ : $x+3 = 1\times(x-2) + 5$
$\Rightarrow$ $g(x) = \dfrac{(x-2)+5}{x-2}$
$=$ $1 + \dfrac{5}{x-2}$ pour $x \neq 2$

Cette écriture explique la forme de la courbe (Figure 4). Quand $x$ devient très grand, $\dfrac{5}{x-2}$ devient très petit : $g(x)$ se rapproche de $1$ , on note $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1$ . Quand $x$ se rapproche de $2$ , $x-2$ devient un tout petit nombre : $\dfrac{5}{x-2}$ devient très grand en valeur absolue, et $g(x)$ explose.

Figure 4 — Courbe de

g(x) = \dfrac{x+3}{x-2} = 1 + \dfrac{5}{x-2}

. En pointillés : l'asymptote verticale

x=2

(valeur interdite) et l'asymptote horizontale

y=1

, toutes deux lisibles directement dans la décomposition simple.

Math & Co — le mot « asymptote »

Le mot asymptote vient du grec asumptôtos, « qui ne tombe pas ensemble », c'est-à-dire qui ne rencontre jamais la courbe qu'elle approche. On doit l'étude systématique de ces droites au mathématicien grec Apollonios de Perge (vers $-200$ ), dans son traité Coniques, où il étudie déjà les asymptotes de l'hyperbole — exactement la forme que dessine la courbe d'une fraction rationnelle comme $g$ ci-dessus.

5Signe et résolution d'inéquations

Toute la difficulté d'une inéquation polynomiale ou rationnelle tient en une règle : on ne peut étudier un signe qu'à partir d'un produit ou d'un quotient de facteurs déjà factorisés. Cette dernière section réunit tout ce que tu as appris pour construire un tableau de signes et en tirer un ensemble de solutions.

5.1 Signe d'un polynôme factorisé

Propriété — signe d'un produit de facteurs affines

Un facteur affine $x - r$ est négatif pour $x < r$ , nul en $x=r$ , positif pour $x>r$ . Le signe d'un produit de plusieurs facteurs se lit en appliquant la règle des signes (produit de nombres positifs et négatifs) sur chaque intervalle délimité par les racines.

Exemple — tableau de signes de P

Étudie le signe de $P(x) = (x-1)(x+2)(x-3)$ sur $\mathbb{R}$ .

$x$	$-\infty$	$-2$		$1$		$3$
$x+2$	−	0	+
$x-1$	−			0	+
$x-3$	−					0	+
$P(x)$	−	0	+	0	−	0	+

On lit directement : $P(x) \geqslant 0$ sur $\left[-2\,;\,1\right] \cup \left[3\,;\,+\infty\right[$ .

5.2 Signe d'une fraction rationnelle

Méthode — tableau de signes d'un quotient

On étudie séparément le signe du numérateur et celui du dénominateur, puis on applique la règle des signes du quotient — exactement comme pour un produit. À la valeur interdite, on place une double barre $\parallel$ : le quotient n'est pas défini, quel que soit son signe autour.

Exemple — tableau de signes de g

Étudie le signe de $g(x) = \dfrac{x+3}{x-2}$ .

$x$	$-\infty$	$-3$		$2$
$x+3$	−	0	+
$x-2$	−			∥	+
$g(x)$	+	0	−	∥	+

5.3 Résoudre une inéquation

Méthode — résoudre une inéquation polynomiale ou rationnelle

Tout ramener d'un seul côté : l'inéquation doit être comparée à $0$ .
Factoriser entièrement le membre non nul (racine évidente, identités, discriminant).
Construire le tableau de signes complet.
Lire l'ensemble des solutions en respectant le sens de l'inégalité, et en excluant les valeurs interdites du domaine.

Attention — l'erreur la plus fréquente

On ne multiplie jamais les deux membres d'une inéquation par une expression dont on ne connaît pas le signe (comme $x-2$ ) : suivant le signe de cette expression, l'inégalité change de sens ou non. Pour résoudre $\dfrac{x+3}{x-2} \leqslant 0$ , il ne faut donc surtout pas écrire « $x+3 \leqslant 0$ » en multipliant par $x-2$ : on utilise le tableau de signes du quotient.

Exemple — résoudre une inéquation quotient

Résous $\dfrac{x+3}{x-2} \leqslant 0$ .

domaine : $x \neq 2$
d'après le tableau de signes (5.2), $g(x) < 0$ sur $\left]-3;2\right[$ et $g(-3)=0$
$\Rightarrow$ $g(x) \leqslant 0$ sur $\left[-3;2\right[$ $2$ est exclu du domaine

L'ensemble des solutions est $S = \left[-3\,;\,2\right[$ (voir Figure 5).

Figure 5 — Ligne de signes de

g(x) = \dfrac{x+3}{x-2}

et ensemble solution de

g(x) \leqslant 0

: point plein en

-3

(inclus), point creux en

2

(exclu du domaine).

Fiche mémo

Degré $n$ : plus grand exposant à coefficient non nul ; deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients (identification).
$a$ racine de $P$ $\Leftrightarrow$ $P(a)=0$ $\Leftrightarrow$ le reste de la division de $P$ par $(x-a)$ est nul $\Leftrightarrow$ $(x-a)$ divise $P$ .
Division euclidienne : $A = BQ+R$ , $R=0$ ou $\deg R < \deg B$ (unique).
Factoriser un cubique : racine évidente $a$ $\to$ diviser par $(x-a)$ (division posée, identification, ou Horner) $\to$ factoriser le quotient de degré $2$ .
Schéma de Horner : $b_2=a_3$ , puis $b_{k-1} = a_k + a\,b_k$ ; le dernier nombre est $P(a)$ .
Fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ : domaine $= \mathbb{R}\setminus\{x \mid B(x)=0\}$ .
Simplifier une fraction : factoriser, annuler les facteurs communs, mais garder le domaine de départ.
Décomposition simple : $\dfrac{A(x)}{x-a} = Q(x) + \dfrac{R}{x-a}$ (division euclidienne) — pilote les asymptotes.
Signe d'un produit ou d'un quotient de facteurs affines : alterne à chaque racine simple ; double barre $\parallel$ à une valeur interdite.
Résoudre une inéquation : tout ramener à $0$ , factoriser, tableau de signes — jamais multiplier par une expression de signe inconnu.

6Exercices corrigés

Seize exercices, du plus direct au plus exigeant, pour t'entraîner sur l'ensemble du chapitre. Cherche chaque exercice avant de dérouler le corrigé.

Niveau 1 — Application directe

Soit $P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + x - 5$ . Donne son degré et ses coefficients, puis calcule $P(0)$ et $P(-1)$ .

Voir le corrigé détaillé

$\deg P = 3$ , coefficients $(2,\,-3,\,1,\,-5)$
$P(0) = -5$ seul le terme constant subsiste
$P(-1) = 2(-1)^{3} - 3(-1)^{2} + (-1) - 5$
$=$ $-2 - 3 - 1 - 5$
$=$ $-11$

Vérifie que $2$ est racine de $Q(x) = x^{3} - 4x^{2} + x + 6$ , puis factorise entièrement $Q$ par identification.

Voir le corrigé détaillé

$Q(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$ $2$ est bien racine
on pose $Q(x) = (x-2)(x^{2}+bx+c)$
$(x-2)(x^{2}+bx+c) = x^{3}+(b-2)x^{2}+(c-2b)x-2c$
identification : $b-2=-4$ , $c-2b=1$ , $-2c=6$
$\Rightarrow$ $b=-2$ , $c=-3$ les trois équations concordent
$Q(x) = (x-2)(x^{2}-2x-3)$
$\Delta = 4+12 = 16$ discriminant du quotient
racines : $\dfrac{2-4}{2}=-1$ et $\dfrac{2+4}{2}=3$
$\Rightarrow$ $Q(x) = (x-2)(x-3)(x+1)$

Utilise un schéma de Horner pour calculer $R(3)$ , où $R(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$ , et donne le quotient de $R$ par $(x-3)$ .

Voir le corrigé détaillé

a = 3	1	−6	11	−6
Horner	1	−3	2	0

$1$ (copié) ; $-6+3\times1=-3$ ; $11+3\times(-3)=2$ ; $-6+3\times2=0$
$\Rightarrow$ $R(3)=0$ , quotient $x^{2}-3x+2$
$x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ $\Delta=9-8=1$ , racines $1$ et $2$
$\Rightarrow$ $R(x)=(x-3)(x-1)(x-2)$

Détermine le domaine de définition de $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}-9}$ et de $h(x)=\dfrac{x-4}{x^{2}+4}$ .

Voir le corrigé détaillé

$x^{2}-9=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0 \Leftrightarrow x=3$ ou $x=-3$
$\Rightarrow$ $D_f = \mathbb{R}\setminus\{-3\,;\,3\}$
pour tout $x$ , $x^{2}+4 \geqslant 4 > 0$ ne s'annule jamais
$\Rightarrow$ $D_h = \mathbb{R}$

Résous l'inéquation $(x-2)(x+5) \leqslant 0$ à l'aide d'un tableau de signes.

Voir le corrigé détaillé

$x$	$-\infty$	$-5$		$2$
$x+5$	−	0	+
$x-2$	−			0	+
produit	+	0	−	0	+

L'ensemble des solutions est $S = \left[-5\,;\,2\right]$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Résous $x^{3} - 7x + 6 = 0$ .

Voir le corrigé détaillé

test de $1$ : $1-7+6=0$ racine évidente
on pose $x^{3}-7x+6=(x-1)(x^{2}+bx+c)$
$(x-1)(x^{2}+bx+c)=x^{3}+(b-1)x^{2}+(c-b)x-c$
identification (coeff. de $x^{2}$ nul) : $b-1=0$ , $c-b=-7$ , $-c=6$
$\Rightarrow$ $b=1$ , $c=-6$
$x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)$ $\Delta=1+24=25$
$\Rightarrow$ $(x-1)(x-2)(x+3)=0$

L'ensemble des solutions est $S=\{-3\,;\,1\,;\,2\}$ .

Simplifie $F(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{2}-4}$ en précisant son domaine de définition.

Voir le corrigé détaillé

$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$
$\Rightarrow$ $D_F = \mathbb{R}\setminus\{-2\,;\,2\}$
$x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)$ $\Delta=1+24=25$
$F(x)=\dfrac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$
$=$ $\dfrac{x+3}{x+2}$ simplification par $(x-2)$ , valable car $x\neq2$

$F(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ pour $x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\,;\,2\}$ : le domaine garde les deux valeurs interdites de départ.

Décompose $g(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ , donne ses asymptotes, puis calcule $g(10)$ de deux façons pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

$2x-1 = 2(x+1) - 3$ division de $2x-1$ par $x+1$
$\Rightarrow$ $g(x) = 2 - \dfrac{3}{x+1}$ pour $x\neq -1$
asymptote verticale $x=-1$ ; asymptote horizontale $y=2$
$g(10) = \dfrac{19}{11}$ calcul direct
$g(10) = 2 - \dfrac{3}{11} = \dfrac{22-3}{11} = \dfrac{19}{11}$ forme décomposée : même résultat

Résous $x^{3} - x^{2} - 4x + 4 \geqslant 0$ .

Voir le corrigé détaillé

test de $1$ : $1-1-4+4=0$
identification donne $x^{3}-x^{2}-4x+4=(x-1)(x^{2}-4)$
$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$
$\Rightarrow$ $(x-1)(x-2)(x+2)$

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$2$		$+\infty$
signe	−		0	+	0	−	0	+

L'ensemble des solutions est $S = \left[-2\,;\,1\right] \cup \left[2\,;\,+\infty\right[$ .

Résous $\dfrac{x-3}{2x+4} < 0$ .

Voir le corrigé détaillé

domaine : $2x+4\neq0 \Leftrightarrow x\neq-2$

$x$	$-\infty$	$-2$		$3$
$x-3$	−			0	+
$2x+4$	−	∥	+
quotient	+	∥	−	0	+

L'ensemble des solutions est $S = \left]-2\,;\,3\right[$ .

Niveau 3 — Défi

Soit $P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 11x + 6$ .

Montre que $3$ est racine de $P$ .
Détermine $b$ et $c$ tels que $P(x) = (x-3)(2x^{2}+bx+c)$ .
Résous $P(x) = 0$ , puis $P(x) > 0$ .

Voir le corrigé détaillé

$P(3) = 2\times27 - 3\times9 - 33 + 6$
$=$ $54-27-33+6=0$ $3$ est bien racine

$(x-3)(2x^{2}+bx+c) = 2x^{3}+(b-6)x^{2}+(c-3b)x-3c$
identification : $b-6=-3$ , $c-3b=-11$ , $-3c=6$
$\Rightarrow$ $b=3$ , $c=-2$

$2x^{2}+3x-2$ : $\Delta = 9+16=25$
racines $\dfrac{-3-5}{4}=-2$ et $\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow$ $P(x) = (x-3)(x+2)(2x-1)$
$\Rightarrow$ $P(x)=0 \Leftrightarrow x\in\left\{-2\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,3\right\}$

Le coefficient dominant $2$ est positif : le signe de $P$ alterne en partant de « négatif » avant la plus petite racine. D'où $P(x)>0$ sur $\left]-2\,;\,\dfrac12\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[$ .

Soit $f(x) = \dfrac{x^{2}-x-6}{x-1}$ .

Détermine le domaine de définition de $f$ .
Effectue la décomposition simple de $f$ et donne l'équation de son asymptote.
Étudie le signe de $f$ et résous $f(x) \geqslant 0$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

$x^{2}-x-6 = (x-1)\times x + (-6)$ division euclidienne : $(x-1)\times x = x^{2}-x$
$\Rightarrow$ $f(x) = x - \dfrac{6}{x-1}$ pour $x\neq1$

Ici le quotient $x$ n'est pas constant : la courbe de $f$ se rapproche de la droite oblique $y=x$ quand $x$ devient très grand (et de l'asymptote verticale $x=1$ près de la valeur interdite) — une généralisation naturelle de la décomposition simple vue en cours.

3. $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ , donc $f(x)=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-1}$ .

$x$	$-\infty$	$-2$		$1$		$3$
$x+2$	−	0	+
$x-1$	−			∥	+
$x-3$	−					0	+
$f(x)$	−	0	+	∥	−	0	+

L'ensemble des solutions est $S = \left[-2\,;\,1\right[ \cup \left[3\,;\,+\infty\right[$ .

Soit $P$ un polynôme de degré 3, de coefficient dominant $3$ , tel que $P(1)=P(-1)=0$ et $P(0)=6$ .

Justifie que $P(x) = 3(x-1)(x+1)(x-r)$ pour un certain réel $r$ .
Utilise $P(0)=6$ pour déterminer $r$ .
Résous $P(x) < 0$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Puisque $1$ et $-1$ sont racines de $P$ , les facteurs $(x-1)$ et $(x+1)$ divisent $P$ (théorème de factorisation, appliqué deux fois). Le produit $(x-1)(x+1)$ est de degré $2$ ; comme $\deg P = 3$ , le facteur restant est de degré $1$ , donc de la forme $k(x-r)$ . Le coefficient dominant de $P$ est alors $k$ , qui vaut $3$ par hypothèse : $P(x) = 3(x-1)(x+1)(x-r)$ .

$P(0) = 3(0-1)(0+1)(0-r)$
$=$ $3\times(-1)\times1\times(-r)$
$=$ $3r$
$3r = 6$
$\Rightarrow$ $r=2$

3. $P(x) = 3(x-1)(x+1)(x-2)$ , racines $-1$ , $1$ , $2$ , coefficient dominant positif : le signe part négatif avant $-1$ .

D'où $P(x)<0$ sur $\left]-\infty\,;\,-1\right[ \cup \left]1\,;\,2\right[$ .

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La caisse de Modou (Dakar). Modou découpe, à chaque coin d'une plaque de carton carrée de côté $6$ cm, un petit carré de côté $x$ cm ( $0<x<3$ ), puis replie les bords pour former une caisse sans couvercle. Le volume de la caisse est $V(x) = x(6-2x)^{2}$ cm³.

Développe et vérifie que $V(x) = 4x^{3}-24x^{2}+36x$ .
Modou veut une caisse de volume $16$ cm³. Montre que cela revient à résoudre $x^{3}-6x^{2}+9x-4=0$ , vérifie que $1$ est solution, puis factorise entièrement.
Donne la (les) valeur(s) de $x$ qui conviennent, dans $\left]0\,;\,3\right[$ .

Voir le corrigé détaillé

$(6-2x)^{2} = 36-24x+4x^{2}$
$V(x) = x(36-24x+4x^{2})$
$=$ $4x^{3}-24x^{2}+36x$

$V(x)=16 \Leftrightarrow 4x^{3}-24x^{2}+36x-16=0$
$\Leftrightarrow$ $x^{3}-6x^{2}+9x-4=0$ on divise par $4$
test de $1$ : $1-6+9-4=0$ racine évidente
identification : $x^{3}-6x^{2}+9x-4=(x-1)(x^{2}+bx+c)$ donne $b=-5$ , $c=4$
$x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)$ $\Delta=25-16=9$
$\Rightarrow$ $(x-1)^{2}(x-4)=0$

3. Les solutions sont $x=1$ (racine double) et $x=4$ . Seul $x=1$ appartient à $\left]0\,;\,3\right[$ : Modou doit découper des carrés de $1$ cm de côté.

Le mil d'Abakar (N'Djamena). Une coopérative agricole de N'Djamena, dirigée par Abakar, produit $x$ tonnes de mil par mois ( $x>0$ ). Le coût total mensuel, en milliers de francs CFA, est $C(x) = x^{2}+9x+20$ , et le coût moyen par tonne est $C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}$ .

Écris $C_m(x)$ sous forme décomposée.
Résous $C_m(x)=18$ .
La coopérative ne peut cultiver que $4{,}5$ tonnes au maximum ce mois-ci. Quelle production choisir ?

Voir le corrigé détaillé

$C(x) = x(x+9)+20$
$\Rightarrow$ $C_m(x) = x+9+\dfrac{20}{x}$ pour $x\neq0$

$x+9+\dfrac{20}{x}=18$
$\Leftrightarrow$ $x+\dfrac{20}{x}=9$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}-9x+20=0$ on multiplie par $x>0$
$\Delta = 81-80=1$
$\Rightarrow$ $x=\dfrac{9-1}{2}=4$ ou $x=\dfrac{9+1}{2}=5$

3. Seule $x=4$ tonnes respecte la limite de $4{,}5$ tonnes : Abakar doit produire $4$ tonnes de mil.

L'huilerie de Bamako. Une usine de Bamako produit $x$ centaines de bidons d'huile par jour, $x$ entier avec $0 \leqslant x \leqslant 10$ . Le bénéfice journalier, en centaines de milliers de F CFA, est $B(x) = -x^{3}+7x^{2}-4x-12$ .

Vérifie que $6$ est solution de $B(x)=0$ .
Factorise entièrement $B(x)$ (indication : $-1$ est aussi racine).
Résous $B(x)\geqslant0$ sur $\left[0\,;\,10\right]$ et conclus sur la production rentable.

Voir le corrigé détaillé

$B(6) = -216+7\times36-24-12$
$=$ $-216+252-24-12=0$

$B(x) = -(x^{3}-7x^{2}+4x+12)$
$(-1)$ est racine du polynôme entre parenthèses : $-1-7-4+12=0$
on pose $x^{3}-7x^{2}+4x+12=(x+1)(x^{2}+bx+c)$ , identification donne $b=-8$ , $c=12$
$x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6)$ $\Delta=64-48=16$
$\Rightarrow$ $B(x) = -(x+1)(x-2)(x-6)$

3. Sur $\left[0\,;\,10\right]$ , le facteur $(x+1)$ est toujours strictement positif. Le signe de $B(x)$ est donc l'opposé de celui de $(x-2)(x-6)$ : négatif avant $2$ , positif entre $2$ et $6$ , négatif après $6$ .

Donc $B(x)\geqslant0$ sur $\left[2\,;\,6\right]$ : l'usine est rentable pour une production comprise entre 200 et 600 bidons par jour.

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8 questions

Second degré : discriminant et signe du trinôme

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans un polynôme $P(x)=a_nx^{n}+\dots+a_0$ , avec $a_n\neq0$ , le degré de $P$ est :

l'entier

n

le nombre de termes de

P

le coefficient

a_n

la plus petite puissance de

x

présente

Explication : Le degré est l'exposant de la plus grande puissance de

x

dont le coefficient est non nul : c'est

n

, à condition que

a_n\neq0

Deux polynômes sont égaux si, et seulement si :

ils ont la même valeur en

x=0

ils ont le même degré et les mêmes coefficients, terme à terme ils ont le même degré ils ont les mêmes racines

Explication : C'est le principe d'identification des coefficients : deux polynômes (déjà développés et ordonnés) sont égaux exactement quand chaque coefficient coïncide, degré par degré.

Un nombre réel $a$ est une racine du polynôme $P$ lorsque :

P'(a) = 0

a

divise le terme constant de

P

P(a) = 0

P(x)

s'annule pour tout

x

Explication : Trouver les racines de

P

, c'est résoudre l'équation

P(x)=0

a

est racine exactement quand

P(a)=0

Le théorème de la division euclidienne des polynômes affirme que, pour $A$ et $B$ ( $B$ non nul), il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que :

A = B \times Q

, avec

R=0

toujours

A = B + Q \times R

A = Q \times R

, avec

\deg Q = \deg B

A = B \times Q + R

, avec

R=0

\deg R < \deg B

Explication : C'est exactement la même logique que la division euclidienne des entiers : un quotient

Q

, et un reste

R

strictement plus « petit » (de degré inférieur) que le diviseur

B

Le théorème du reste affirme que le reste de la division euclidienne d'un polynôme $P$ par $(x-a)$ est égal à :

P(0)

P(a)

P'(a)

a

Explication : En écrivant

P(x)=(x-a)Q(x)+R

(avec

R

constant, car

\deg(x-a)=1

) puis en évaluant en

x=a

, il reste

P(a)=R

D'après le théorème de factorisation, $a$ est une racine de $P$ si, et seulement si :

P

est de degré

1

a

est positif

(x-a)

divise

P

le quotient de

P

par

(x-a)

est nul

Explication : Conséquence directe du théorème du reste :

(x-a)

divise

P

signifie que le reste

P(a)

est nul, c'est-à-dire exactement que

a

est racine de

P

Le nombre $1$ est-il racine de $P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ ?

oui, car

P(1)=1-2-5+6=0

non, car

P(1)=-4

non, car

P(1)=6

on ne peut pas savoir sans factoriser

Explication :

P(1) = 1^{3}-2\times1^{2}-5\times1+6 = 1-2-5+6=0

: le nombre

1

est bien racine de

P

En divisant $A(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ par $B(x)=x-1$ , on obtient un quotient et un reste égaux à :

quotient

x^{2}+x-6

, reste

0

quotient

x^{2}-x-6

, reste

1

quotient

x^{2}-2x-5

, reste

6

quotient

x^{2}-x-6

, reste

0

Explication : En posant la division (ou en identifiant), on trouve

A(x)=(x-1)(x^{2}-x-6)

: le reste est nul, puisque

1

est racine de

A

Dans le schéma de Horner appliqué à $P(x)=a_3x^{3}+a_2x^{2}+a_1x+a_0$ pour évaluer $P(a)$ , la formule utilisée pour chaque nouveau nombre $b_{k-1}$ est :

b_{k-1} = a_k \times a

b_{k-1} = a_k - a\,b_k

b_{k-1} = a_k + a\,b_k

b_{k-1} = a_k / a

Explication : Le schéma de Horner évalue

P(a)

en n'utilisant que des multiplications et des additions : chaque nombre s'obtient en ajoutant au coefficient courant le produit de

a

par le nombre précédent.

Applique le schéma de Horner à $P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ avec $a=1$ . Que vaut le dernier nombre $r$ , et qu'en déduit-on ?

r=6

1

n'est pas racine

r=0

1

est racine de

P

r=-4

1

n'est pas racine

r=1

: le calcul est incomplet

Explication :

b_2=1

;

b_1=-2+1\times1=-1

;

b_0=-5+1\times(-1)=-6

;

r=6+1\times(-6)=0

. Le reste étant nul,

1

est bien racine de

P

La factorisation complète de $P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ est :

(x-1)(x+2)(x-3)

(x-1)(x-2)(x+3)

(x+1)(x-2)(x+3)

(x-1)(x^{2}-x-6)

, non factorisable davantage

Explication : On sait déjà que

P(x)=(x-1)(x^{2}-x-6)

. Le quotient a pour discriminant

\Delta=1+24=25

, et pour racines

-2

3

x^{2}-x-6=(x+2)(x-3)

, d'où

P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)

Quel est le domaine de définition de $k(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-1}$ ?

\mathbb{R}\setminus\{1\}

\mathbb{R}\setminus\{0\}

\mathbb{R}

\mathbb{R}\setminus\{-1\,;\,1\}

Explication :

x^{2}-1=0 \iff (x-1)(x+1)=0 \iff x=1

x=-1

: ces deux valeurs sont exclues du domaine.

Après simplification, $h(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-5x+6}$ s'écrit $\dfrac{x+2}{x-3}$ . Quel est le domaine de définition de $h$ ?

\mathbb{R}\setminus\{3\}

(le domaine de la forme simplifiée)

\mathbb{R}\setminus\{2\,;\,3\}

(le domaine initial, avant simplification)

\mathbb{R}\setminus\{-2\,;\,3\}

\mathbb{R}

Explication : Piège classique : simplifier une fraction ne change jamais son domaine. Le dénominateur initial

x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)

s'annule en

2

3

: ces deux valeurs restent interdites, même si

2

« disparaît » de l'écriture simplifiée.

La décomposition simple de $g(x)=\dfrac{x+3}{x-2}$ est :

g(x) = x + \dfrac{3}{2}

g(x) = 2 + \dfrac{3}{x-2}

g(x) = 1 + \dfrac{5}{x-2}

g(x) = 1 - \dfrac{5}{x-2}

Explication : La division de

x+3

par

x-2

donne

x+3 = 1\times(x-2)+5

, donc

g(x) = \dfrac{(x-2)+5}{x-2} = 1+\dfrac{5}{x-2}

pour

x\neq2

Soit $P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$ . Quel est le signe de $P(x)$ sur l'intervalle $\left]-2\,;\,1\right[$ ?

négatif nul le signe change à l'intérieur de l'intervalle positif

Explication : Sur

\left]-2\,;\,1\right[

, on a

x+2>0

x-1<0

x-3<0

: le produit de deux facteurs négatifs et d'un facteur positif est positif.

Résous $\dfrac{x+3}{x-2}\leqslant0$ .

S=\left[-3\,;\,2\right[

S=\left]-\infty\,;\,-3\right]

S=\left[-3\,;\,2\right]

S=\left]-3\,;\,2\right[

Explication : D'après le tableau de signes du quotient, il est négatif sur

\left]-3;2\right[

et nul en

-3

: donc

\leqslant0

sur

\left[-3;2\right[

, avec

2

exclu car hors du domaine.

Pour résoudre $\dfrac{x+3}{x-2}\leqslant0$ , quelle méthode est correcte ?

multiplier les deux membres par

x-2

pour obtenir

x+3\leqslant0

résoudre

x+3=0

x-2=0

séparément et prendre l'intersection construire le tableau de signes du quotient, sans jamais multiplier par une expression de signe inconnu élever les deux membres au carré

Explication : On ne multiplie jamais une inéquation par une expression dont on ne connaît pas le signe : selon que

x-2

est positif ou négatif, l'inégalité changerait de sens ou non. Le tableau de signes évite ce piège.

Un polynôme de degré 3 (à coefficients réels) admet toujours :

exactement trois racines réelles au moins une racine réelle aucune racine réelle si son discriminant est négatif trois racines réelles distinctes si le coefficient dominant est positif

Explication : Sa courbe part de

-\infty

et va vers

+\infty

(ou l'inverse) : elle traverse forcément l'axe des abscisses au moins une fois. Mais si le quotient de degré 2, après factorisation de cette première racine, a un discriminant strictement négatif, il n'y a qu'une seule racine réelle en tout.

La caisse de Modou (Dakar). Modou découpe des carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de côté $6$ cm ; le volume obtenu est $V(x)=x(6-2x)^{2}$ . Pour un volume de $16$ cm³, l'équation à résoudre se ramène à $x^{3}-6x^{2}+9x-4=0$ , qui se factorise en $(x-1)^{2}(x-4)=0$ . Quelle valeur de $x$ , dans $\left]0\,;\,3\right[$ , convient ?

x=4

x=1

cm ou

x=4

cm aucune valeur ne convient

x=1

Explication : Les solutions de

(x-1)^{2}(x-4)=0

sont

x=1

(racine double) et

x=4

. Seul

x=1

appartient à l'intervalle

\left]0\,;\,3\right[

autorisé par le découpage : Modou doit découper des carrés de

1

cm de côté.

L'huilerie de Bamako. Le bénéfice journalier d'une usine est $B(x)=-x^{3}+7x^{2}-4x-12=-(x+1)(x-2)(x-6)$ , où $x$ est le nombre de centaines de bidons produits, $0\leqslant x\leqslant10$ . Pour quelles valeurs de $x$ l'usine est-elle rentable ( $B(x)\geqslant0$ ) ?

\left[2\,;\,6\right]

\left[0\,;\,2\right]

\left[6\,;\,10\right]

\left[0\,;\,6\right]

Explication : Sur

\left[0;10\right]

, le facteur

(x+1)

est toujours strictement positif : le signe de

B(x)

est l'opposé de celui de

(x-2)(x-6)

, qui est négatif entre

2

6

. Donc

B(x)\geqslant0

sur

\left[2\,;\,6\right]

, soit entre 200 et 600 bidons.

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En bref

Classe : Classe de Première
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 9 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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