Aller au contenu
Skill NovaCours en ligne

Dérivation

Définir le nombre dérivé et calculer des fonctions dérivées.

Mathématiques Première Chapitre 5 / 13 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer la dérivée d'une fonction usuelle
  • Écrire l'équation d'une tangente
  • Déduire les variations d'une fonction du signe de sa dérivée

Lâche une pierre depuis un pont, mesure la distance qu'elle parcourt chaque dixième de seconde : tu obtiendras une vitesse moyenne. Mais quelle est sa vitesse à l'instant précis où elle touche l'eau ? Cette question, en apparence anodine, est restée sans réponse rigoureuse pendant des siècles — jusqu'à ce que la notion de dérivée vienne y répondre, au XVIIe siècle.

La dérivation est l'outil qui permet de mesurer une variation instantanée : vitesse d'un mobile, taux de croissance d'une population, pente d'une route en un point précis, bénéfice marginal d'une entreprise. Tu l'utiliseras dans toutes les disciplines scientifiques, et elle est au cœur du programme de Terminale.

Jusqu'ici, tu savais calculer un taux de variation moyen d'une fonction entre deux points (comme le coefficient directeur d'une droite). La nouveauté de ce chapitre est de faire tendre l'écart entre ces deux points vers zéro, à l'aide d'une limite : c'est le passage du moyen à l'instantané, et c'est ce qui donne naissance au nombre dérivé, puis à la fonction dérivée.

Ce chapitre est fondateur : toute l'étude des fonctions en Terminale (variations, extremums, convexité, primitives) repose sur la dérivation. Prends le temps de bien comprendre chaque définition — la suite du programme s'appuie entièrement dessus.

1Taux de variation et nombre dérivé

1.1  Taux de variation d'une fonction

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II, aa un réel de II, et hh un réel non nul tel que a+h∈Ia+h \in I. Le taux de variation de ff entre aa et a+ha+h est le nombre :

τ(h)=f(a+h)−f(a)h\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

C'est le coefficient directeur de la droite (AM)(AM), où A(a ;f(a))A\left(a\,;f(a)\right) et M(a+h ;f(a+h))M\left(a+h\,;f(a+h)\right) sont deux points de la courbe représentative de ff.

Tu connais déjà cette formule : c'est exactement yM−yAxM−xA\dfrac{y_M - y_A}{x_M - x_A}, le coefficient directeur d'une droite passant par deux points. Rien de nouveau ici — la nouveauté arrive au paragraphe suivant.

Exemple — calculer et simplifier un taux de variation

Soit f(x)=x2−3x+1f(x) = x^{2} - 3x + 1. Calculons le taux de variation de ff entre 22 et 2+h2+h.

  1. τ(h)=f(2+h)−f(2)h\tau(h) = \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}
  2. f(2)=22−3×2+1=−1f(2) = 2^{2} - 3 \times 2 + 1 = -1
  3. f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)+1f(2+h) = (2+h)^{2} - 3(2+h) + 1
  4. ==4+4h+h2−6−3h+14 + 4h + h^{2} - 6 - 3h + 1
  5. ==h2+h−1h^{2} + h - 1
  6. f(2+h)−f(2)=(h2+h−1)−(−1)=h2+hf(2+h) - f(2) = \left(h^{2}+h-1\right) - (-1) = h^{2} + h
  7. ==h(h+1)h(h+1)on factorise par hh
  8. ⇒\Rightarrowτ(h)=h(h+1)h=h+1\tau(h) = \dfrac{h(h+1)}{h} = h + 1h≠0h \neq 0, on simplifie

Remarque essentielle : la factorisation par hh au numérateur, suivie de la simplification, est systématique dans ce chapitre — elle seule permet d'éviter la forme 00\dfrac{0}{0} lorsque hh se rapproche de 00.

1.2  Nombre dérivé en un point

Que se passe-t-il si, dans l'exemple précédent, on fait tendre hh vers 00 ? Le point MM se rapproche indéfiniment du point AA le long de la courbe, et le taux de variation τ(h)=h+1\tau(h) = h+1 tend vers 11. C'est cette valeur limite qui porte le nom de nombre dérivé.

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II contenant aa. On dit que ff est dérivable en aa lorsque le taux de variation τ(h)\tau(h) admet une limite finie quand hh tend vers 00. Cette limite s'appelle le nombre dérivé de ff en aa, noté f′(a)f'(a) :

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

De façon équivalente, en posant x=a+hx = a+h (donc x→ax \to a lorsque h→0h \to 0) :

f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}

Méthode — calculer un nombre dérivé avec la définition

1. Former le taux de variation τ(h)=f(a+h)−f(a)h\tau(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
2. Développer et factoriser par hh au numérateur, puis simplifier la fraction.
3. Faire tendre hh vers 00 dans l'expression simplifiée : la limite obtenue est f′(a)f'(a).

Exemple — nombre dérivé de f(x)=x2f(x)=x^{2} en a=3a=3
  1. τ(h)=f(3+h)−f(3)h\tau(h) = \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}
  2. ==(3+h)2−32h\dfrac{(3+h)^{2} - 3^{2}}{h}
  3. ==9+6h+h2−9h\dfrac{9 + 6h + h^{2} - 9}{h}
  4. ==6h+h2h\dfrac{6h + h^{2}}{h}
  5. ==h(6+h)h\dfrac{h(6+h)}{h}on factorise par hh
  6. ==6+h6 + hh≠0h \neq 0
  7. lim⁡h→0(6+h)=6\displaystyle\lim_{h \to 0} (6+h) = 6
  8. ⇒\Rightarrowff est dérivable en 33, et f′(3)=6f'(3) = 6
Exemple — nombre dérivé de f(x)=2x2+xf(x) = 2x^{2}+x en a=−1a=-1
  1. f(−1)=2×(−1)2+(−1)=1f(-1) = 2 \times (-1)^{2} + (-1) = 1
  2. f(−1+h)=2(−1+h)2+(−1+h)f(-1+h) = 2(-1+h)^{2} + (-1+h)
  3. ==2(1−2h+h2)−1+h2\left(1 - 2h + h^{2}\right) - 1 + h
  4. ==2h2−3h+12h^{2} - 3h + 1
  5. f(−1+h)−f(−1)=2h2−3hf(-1+h) - f(-1) = 2h^{2} - 3h
  6. ==h(2h−3)h(2h-3)
  7. ⇒\Rightarrowτ(h)=2h−3\tau(h) = 2h - 3h≠0h \neq 0
  8. lim⁡h→0(2h−3)=−3\displaystyle\lim_{h \to 0} (2h-3) = -3

Donc ff est dérivable en −1-1 et f′(−1)=−3f'(-1) = -3.

Attention

Ne remplace jamais hh par 00 directement dans τ(h)\tau(h) avant d'avoir simplifié : tu obtiendrais 00\dfrac{0}{0}, une forme totalement indéterminée. La factorisation par hh au numérateur n'est pas une astuce optionnelle, c'est l'étape obligatoire qui élimine le hh gênant du dénominateur avant de passer à la limite.

Que représente géométriquement ce nombre f′(a)f'(a) ? C'est le coefficient directeur de la droite (AM)(AM) lorsque MM devient infiniment proche de AA. La figure suivante fige trois positions successives de MM pour que tu voies cette convergence.

Les sécantes (AM) tendent vers la tangente quand M se rapproche de A -0,50,51,52,50,41,42,43,44,45,46,47,4O A(1;1) M₁ (h=1,3) M₂ (h=0,75) M₃ (h=0,3) tangente plus h se rapproche de 0, plus le coefficient directeur de (AM) se rapproche de f′(1) = 2
Figure 1 — Pour f(x)=x2f(x)=x^{2} et AA d'abscisse 11, les sécantes (AM1)(AM_1), (AM2)(AM_2), (AM3)(AM_3) ont pour coefficients directeurs 3,3 ; 2,75 ; 2,33{,}3\ ;\ 2{,}75\ ;\ 2{,}3 : elles se rapprochent de la tangente en AA, de coefficient directeur f′(1)=2f'(1)=2.
Math & Co — La naissance de la dérivée

Dès les années 1630, le magistrat toulousain Pierre de Fermat invente une méthode pour trouver les tangentes et les maximums d'une courbe : il compare f(a)f(a) et f(a+e)f(a+e), néglige les termes en e2e^{2}, puis pose e=0e=0 — une manipulation qu'il appelle l'adégalité, sans disposer encore de la notion rigoureuse de limite.

Une génération plus tard, Isaac Newton (vers 1665-1666) et Gottfried Wilhelm Leibniz (vers 1675-1684) développent chacun de leur côté un calcul différentiel complet — Newton parle de « fluxions », Leibniz invente la notation dydx\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} que l'on utilise encore aujourd'hui. Une querelle de priorité, restée célèbre, opposera longtemps les deux savants et leurs partisans.

Il faudra attendre Augustin-Louis Cauchy, dans les années 1820, pour que la notion de limite soit enfin définie avec toute la rigueur nécessaire, donnant au nombre dérivé la définition précise que tu étudies dans ce chapitre.

2Tangente à une courbe

2.1  De la sécante à la tangente

La figure 1 vient de te le montrer : quand MM se rapproche de AA le long de la courbe, la sécante (AM)(AM) pivote autour de AA et se rapproche d'une position limite. C'est cette droite limite que l'on appelle la tangente.

Définition

Soit ff une fonction dérivable en aa, et Cf\mathscr{C}_f sa courbe représentative. La tangente à Cf\mathscr{C}_f au point A(a ;f(a))A\left(a\,;f(a)\right) est la droite passant par AA, position limite des sécantes (AM)(AM) lorsque MM tend vers AA le long de Cf\mathscr{C}_f. Son coefficient directeur est le nombre dérivé f′(a)f'(a).

2.2  Équation de la tangente en un point

Théorème

Soit ff une fonction dérivable en aa. La tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa a pour équation :

y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x-a) + f(a)

Démonstration

Toute droite non verticale passant par un point A(a ;f(a))A(a\,;f(a)) et de coefficient directeur mm a pour équation y=m(x−a)+f(a)y = m(x-a) + f(a) (propriété connue depuis la Seconde : une droite est entièrement déterminée par un point et son coefficient directeur).

Or, par définition, la tangente en AA est précisément la droite passant par AA dont le coefficient directeur vaut f′(a)f'(a). Il suffit donc de remplacer mm par f′(a)f'(a) dans l'équation ci-dessus pour obtenir y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x-a)+f(a). C.Q.F.D.

Exemple — tangente à f(x)=x2f(x)=x^{2} au point d'abscisse 22

Calculons d'abord f′(2)f'(2) avec la définition.

  1. f(2+h)−f(2)h=(2+h)2−4h=4h+h2h\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^{2}-4}{h} = \dfrac{4h+h^{2}}{h}
  2. ==4+h4+hh≠0h \neq 0
  3. ⇒\Rightarrowf′(2)=lim⁡h→0(4+h)=4f'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0}(4+h) = 4

On a aussi f(2)=4f(2)=4. L'équation de la tangente en a=2a=2 est donc :

  1. y=f′(2)(x−2)+f(2)y = f'(2)(x-2) + f(2)
  2. ==4(x−2)+44(x-2) + 4
  3. ==4x−44x - 4
Exemple — tangente à f(x)=x3f(x)=x^{3} au point d'abscisse 11

On utilise l'identité (1+h)3=1+3h+3h2+h3(1+h)^{3} = 1+3h+3h^{2}+h^{3}.

  1. f(1+h)−f(1)=(1+3h+3h2+h3)−1f(1+h)-f(1) = \left(1+3h+3h^{2}+h^{3}\right) - 1
  2. ==3h+3h2+h33h+3h^{2}+h^{3}
  3. ==h(3+3h+h2)h\left(3+3h+h^{2}\right)
  4. ⇒\Rightarrowτ(h)=3+3h+h2\tau(h) = 3+3h+h^{2}h≠0h \neq 0
  5. lim⁡h→0(3+3h+h2)=3⇒f′(1)=3\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(3+3h+h^{2}\right) = 3 \Rightarrow f'(1)=3

Comme f(1)=1f(1)=1, l'équation de la tangente au point d'abscisse 11 est y=3(x−1)+1=3x−2y = 3(x-1)+1 = 3x-2.

Attention

La tangente en AA ne coupe pas forcément la courbe seulement en AA : elle peut la retraverser ailleurs (c'est le cas au voisinage d'un point d'inflexion, que tu étudieras en Terminale). Ne confonds jamais « la tangente touche la courbe en un seul point » (souvent faux) avec « la tangente a le même coefficient directeur que la courbe en ce point » (toujours vrai, c'est la définition).

Une fonction n'est pas toujours dérivable partout : si la courbe présente un point anguleux (par exemple f(x)=∣x∣f(x)=|x| en 00, où la courbe forme un « V »), il existe deux demi-tangentes de pentes différentes et ff n'est pas dérivable en ce point. De même, une tangente peut être verticale (cas de x\sqrt{x} en 00) : le coefficient directeur n'existe alors pas, et ff n'est pas dérivable en ce point non plus.

Le coefficient directeur de la tangente change évidemment de point en point. Calculons-le en un point quelconque d'abscisse aa pour f(x)=0,5x2f(x)=0{,}5x^{2} :

  1. f(a+h)−f(a)=0,5(a+h)2−0,5a2f(a+h)-f(a) = 0{,}5(a+h)^{2} - 0{,}5a^{2}
  2. ==0,5(a2+2ah+h2)−0,5a20{,}5\left(a^{2}+2ah+h^{2}\right) - 0{,}5a^{2}
  3. ==ah+0,5h2ah + 0{,}5h^{2}
  4. ==h(a+0,5h)h(a+0{,}5h)
  5. ⇒\Rightarrowτ(h)=a+0,5h\tau(h) = a + 0{,}5hh≠0h \neq 0
  6. lim⁡h→0(a+0,5h)=a\displaystyle\lim_{h \to 0}(a+0{,}5h) = a

Ainsi f′(a)=af'(a) = a pour tout réel aa : la pente de la tangente vaut exactement l'abscisse du point ! La figure 2 le montre en trois points : la tangente descend là où a<0a<0, est horizontale en a=0a=0, et remonte là où a>0a>0.

Trois points, trois tangentes : le coefficient directeur varie avec le point -3-2-112312345O (-2;2) (0;0) (2;2) f′(-2)=-2 f′(2)=2
Figure 2 — Courbe de f(x)=0,5x2f(x)=0{,}5x^{2} et ses tangentes aux points d'abscisses −2-2, 00 et 22. Le coefficient directeur de la tangente, ici égal à l'abscisse aa, change de signe exactement là où la courbe change de sens de variation.

3Fonction dérivée

3.1  Définition de la fonction dérivée

Dans la section précédente, tu as vu que pour f(x)=0,5x2f(x)=0{,}5x^{2}, le nombre f′(a)f'(a) valait aa, quel que soit le réel aa choisi. Rien n'empêche alors de considérer f′f' elle-même comme une fonction, qui à chaque abscisse associe le nombre dérivé correspondant.

Définition

Soit ff une fonction dérivable en tout point d'un intervalle II (on dit que ff est dérivable sur II). La fonction qui, à tout réel xx de II, associe le nombre dérivé f′(x)f'(x), s'appelle la fonction dérivée de ff sur II, notée f′f'.

Exemple — fonction dérivée de f(x)=−x2+2xf(x) = -x^{2}+2x
  1. f(a+h)−f(a)=[−(a+h)2+2(a+h)]−[−a2+2a]f(a+h) - f(a) = \left[-(a+h)^{2}+2(a+h)\right] - \left[-a^{2}+2a\right]
  2. ==−a2−2ah−h2+2a+2h+a2−2a-a^{2}-2ah-h^{2}+2a+2h+a^{2}-2a
  3. ==−2ah−h2+2h-2ah - h^{2} + 2h
  4. ==h(−2a−h+2)h(-2a-h+2)
  5. ⇒\Rightarrowτ(h)=−2a−h+2\tau(h) = -2a - h + 2h≠0h \neq 0
  6. lim⁡h→0(−2a−h+2)=−2a+2\displaystyle\lim_{h \to 0} (-2a-h+2) = -2a+2

Ce résultat est valable pour tout réel aa : on écrit donc f′(x)=−2x+2f'(x) = -2x+2 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

Exemple — une fonction affine a une dérivée constante

Soit g(x)=3x+5g(x) = 3x+5. Pour tout réel aa et tout h≠0h \neq 0 :

  1. τ(h)=g(a+h)−g(a)h=[3(a+h)+5]−[3a+5]h\tau(h) = \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h} = \dfrac{\left[3(a+h)+5\right]-\left[3a+5\right]}{h}
  2. ==3hh\dfrac{3h}{h}
  3. ==33

Le taux de variation vaut 33 quel que soit hh : la limite est donc 33 elle-même. On retrouve un fait que tu connaissais déjà sous une autre forme : g′(x)=3g'(x) = 3, le coefficient directeur de la droite. Une droite est sa propre tangente en chacun de ses points !

3.2  Ensemble de dérivabilité

L'ensemble sur lequel f′f' est définie s'appelle l'ensemble de dérivabilité de ff. Il peut être plus petit que l'ensemble de définition de ff : tu verras dans la section suivante que x\sqrt{x} est définie en 00, mais n'y est pas dérivable (tangente verticale).

Méthode — trouver la fonction dérivée avec la définition

La démarche est la même qu'en section 1, mais on garde aa quelconque (on ne remplace jamais aa par une valeur numérique). On forme τ(h)\tau(h), on factorise par hh, on simplifie, puis on calcule la limite quand h→0h \to 0 : le résultat, valable pour tout aa, devient f′(x)f'(x) en renommant aa en xx.

4Dérivées usuelles

Refaire à chaque fois le calcul avec la définition serait fastidieux. On démontre une fois pour toutes la dérivée des fonctions de référence, puis on les retient dans un tableau.

4.1  Tableau des dérivées usuelles

Fonction ffDérivée f′f'Ensemble de dérivabilité
f(x)=kf(x) = k (constante)f′(x)=0f'(x) = 0R\mathbb{R}
f(x)=xf(x) = xf′(x)=1f'(x) = 1R\mathbb{R}
f(x)=x2f(x) = x^{2}f′(x)=2xf'(x) = 2xR\mathbb{R}
f(x)=x3f(x) = x^{3}f′(x)=3x2f'(x) = 3x^{2}R\mathbb{R}
f(x)=xnf(x) = x^{n} (nn entier, n⩾1n \geqslant 1)f′(x)=n xn−1f'(x) = n\,x^{n-1}R\mathbb{R}
f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}f′(x)=−1x2f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}R∗\mathbb{R}^{*}
f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f′(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[
Attention

x\sqrt{x} est définie sur [0 ;+∞[\left[0\,;+\infty\right[ mais n'est dérivable que sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[ : en 00, la tangente à la courbe est verticale, donc son « coefficient directeur » n'existe pas. De même, 1x\dfrac{1}{x} n'est ni définie ni dérivable en 00. Vérifie toujours le domaine avant d'appliquer une formule.

4.2  Démonstrations des formules

Démonstration — dérivées de x2x^{2} et x3x^{3}

Cas de f(x)=x2f(x)=x^{2}. Soit aa un réel quelconque.

  1. f(a+h)−f(a)=(a+h)2−a2f(a+h)-f(a) = (a+h)^{2} - a^{2}
  2. ==2ah+h22ah + h^{2}
  3. ==h(2a+h)h(2a+h)
  4. ⇒\Rightarrowτ(h)=2a+h\tau(h) = 2a+hh≠0h \neq 0
  5. lim⁡h→0(2a+h)=2a\displaystyle\lim_{h \to 0}(2a+h) = 2a

Donc f′(x)=2xf'(x) = 2x pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

Cas de g(x)=x3g(x)=x^{3}. On utilise l'identité (a+h)3=a3+3a2h+3ah2+h3(a+h)^{3} = a^{3}+3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}.

  1. g(a+h)−g(a)=3a2h+3ah2+h3g(a+h)-g(a) = 3a^{2}h+3ah^{2}+h^{3}
  2. ==h(3a2+3ah+h2)h\left(3a^{2}+3ah+h^{2}\right)
  3. ⇒\Rightarrowτ(h)=3a2+3ah+h2\tau(h) = 3a^{2}+3ah+h^{2}h≠0h \neq 0
  4. lim⁡h→0(3a2+3ah+h2)=3a2\displaystyle\lim_{h \to 0}\left(3a^{2}+3ah+h^{2}\right) = 3a^{2}

Donc g′(x)=3x2g'(x) = 3x^{2} pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}. C.Q.F.D. (On admet, sans la redémontrer, la généralisation à tout exposant entier : (xn)′=nxn−1(x^{n})' = nx^{n-1}.)

Démonstration — dérivées de 1x\dfrac{1}{x} et x\sqrt{x}

Cas de f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}, avec a≠0a \neq 0.

  1. f(a+h)−f(a)=1a+h−1af(a+h)-f(a) = \dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}
  2. ==a−(a+h)a(a+h)\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}même dénominateur
  3. ==−ha(a+h)\dfrac{-h}{a(a+h)}
  4. ⇒\Rightarrowτ(h)=−1a(a+h)\tau(h) = \dfrac{-1}{a(a+h)}h≠0h \neq 0, on divise par hh
  5. lim⁡h→0−1a(a+h)=−1a2\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{a(a+h)} = -\dfrac{1}{a^{2}}

Donc f′(x)=−1x2f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} pour tout x≠0x \neq 0.

Cas de f(x)=xf(x)=\sqrt{x}, avec a>0a > 0. On multiplie par l'expression conjuguée.

  1. τ(h)=a+h−ah\tau(h) = \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}
  2. ==(a+h−a)(a+h+a)h(a+h+a)\dfrac{\left(\sqrt{a+h}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}
  3. ==(a+h)−ah(a+h+a)\dfrac{(a+h)-a}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}identité (x−y)(x+y)=x2−y2(x-y)(x+y)=x^2-y^2
  4. ==hh(a+h+a)\dfrac{h}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)}
  5. ==1a+h+a\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}
  6. lim⁡h→01a+h+a=12a\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}

Donc f′(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} pour tout x>0x > 0. C.Q.F.D.

Exemple — lecture directe du tableau
  1. si f(x)=x7f(x) = x^{7}, alors f′(x)=7x6f'(x) = 7x^{6}
  2. si f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, alors f′(2)=−122=−14f'(2) = -\dfrac{1}{2^{2}} = -\dfrac{1}{4}
  3. si f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, alors f′(9)=129=16f'(9) = \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{6}
Exemple — combiner plusieurs formules du tableau

Soit f(x)=x3−1x+xf(x) = x^{3} - \dfrac{1}{x} + \sqrt{x}, dérivable sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[. En dérivant terme à terme (voir section 5.1) :

  1. f′(x)=3x2−(−1x2)+12xf'(x) = 3x^{2} - \left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right) + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  2. ==3x2+1x2+12x3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

5Opérations : somme, produit, quotient, composée simple

Pour dériver une fonction plus complexe (somme, produit, quotient de fonctions usuelles), on n'utilise jamais la définition directement : on décompose la fonction et on applique des règles de calcul, exactement comme pour les identités remarquables en algèbre.

5.1  Somme et multiple par un réel

Propriété

Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II, et kk un réel. Alors u+vu+v, u−vu-v et kuku sont dérivables sur II, et :

(u+v)′=u′+v′(u−v)′=u′−v′(ku)′=k u′(u+v)' = u'+v' \qquad (u-v)' = u'-v' \qquad (ku)' = k\,u'

Exemple

Soit f(x)=3x2−5x+2f(x) = 3x^{2}-5x+2.

  1. f′(x)=3×(2x)−5×1+0f'(x) = 3 \times (2x) - 5 \times 1 + 0
  2. ==6x−56x-5

D'où f′(1)=6×1−5=1f'(1) = 6\times1-5 = 1.

5.2  Produit de deux fonctions

Théorème

Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II. Alors uvuv est dérivable sur II, et :

(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'

Démonstration

Soit a∈Ia \in I. On admet qu'une fonction dérivable en aa y est continue, c'est-à-dire que u(a+h)→u(a)u(a+h) \to u(a) quand h→0h \to 0. On écrit le taux de variation de uvuv en ajoutant et en retranchant le terme u(a+h)v(a)u(a+h)v(a) :

  1. τuv(h)=u(a+h)v(a+h)−u(a)v(a)h\tau_{uv}(h) = \dfrac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h}
  2. ==u(a+h)v(a+h)−u(a+h)v(a)+u(a+h)v(a)−u(a)v(a)h\dfrac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}
  3. ==u(a+h)×v(a+h)−v(a)h+v(a)×u(a+h)−u(a)hu(a+h)\times\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h} + v(a)\times\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}
  4. ==u(a+h) τv(h)+v(a) τu(h)u(a+h)\,\tau_v(h) + v(a)\,\tau_u(h)

Quand h→0h \to 0 : u(a+h)→u(a)u(a+h) \to u(a) (continuité), τv(h)→v′(a)\tau_v(h) \to v'(a) et τu(h)→u′(a)\tau_u(h) \to u'(a) (dérivabilité de uu et vv). Par somme et produit de limites :

τuv(h)→h→0u(a)v′(a)+v(a)u′(a)\tau_{uv}(h) \xrightarrow[h \to 0]{} u(a)v'(a) + v(a)u'(a)

Donc (uv)′(a)=u′(a)v(a)+u(a)v′(a)(uv)'(a) = u'(a)v(a)+u(a)v'(a), pour tout a∈Ia \in I. C.Q.F.D.

Exemple — dériver un produit

Soit f(x)=(x2+1)(3x−2)f(x) = \left(x^{2}+1\right)(3x-2). On pose u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1, v(x)=3x−2v(x)=3x-2, donc u′(x)=2xu'(x)=2x et v′(x)=3v'(x)=3.

  1. f′(x)=2x(3x−2)+(x2+1)×3f'(x) = 2x(3x-2) + \left(x^{2}+1\right)\times3
  2. ==6x2−4x+3x2+36x^{2}-4x+3x^{2}+3
  3. ==9x2−4x+39x^{2}-4x+3

5.3  Quotient de deux fonctions

Propriété (admise)

Soient uu et vv deux fonctions dérivables sur un intervalle II, avec v(x)≠0v(x) \neq 0 pour tout x∈Ix \in I. Alors uv\dfrac{u}{v} est dérivable sur II, et :

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}

Exemple — dériver un quotient

Soit f(x)=3x+1x−1f(x) = \dfrac{3x+1}{x-1}, définie et dérivable sur R∖{1}\mathbb{R}\setminus\{1\}. On pose u(x)=3x+1u(x)=3x+1, v(x)=x−1v(x)=x-1, donc u′(x)=3u'(x)=3, v′(x)=1v'(x)=1.

  1. f′(x)=3(x−1)−(3x+1)×1(x−1)2f'(x) = \dfrac{3(x-1) - (3x+1)\times1}{(x-1)^{2}}
  2. ==3x−3−3x−1(x−1)2\dfrac{3x-3-3x-1}{(x-1)^{2}}
  3. ==−4(x−1)2\dfrac{-4}{(x-1)^{2}}

5.4  Dérivée de x↦f(ax+b)x \mapsto f(ax+b) (composée simple)

Propriété

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle JJ, et aa, bb deux réels (a≠0a \neq 0). Si, pour tout xx d'un intervalle II, ax+b∈Jax+b \in J, alors la fonction g(x)=f(ax+b)g(x) = f(ax+b) est dérivable sur II et :

g′(x)=a×f′(ax+b)g'(x) = a \times f'(ax+b)

Retiens l'idée : on dérive ff « normalement », on l'évalue en ax+bax+b au lieu de xx, puis on multiplie par aa — le coefficient devant xx. C'est un cas particulier (et le seul exigible cette année) de la dérivation des fonctions composées, que tu généraliseras en Terminale.

Exemple — trois composées simples
  1. g(x)=(3x−2)2g(x) = (3x-2)^{2} : ici f(t)=t2f(t)=t^{2}, f′(t)=2tf'(t)=2t, a=3a=3
  2. ⇒\Rightarrowg′(x)=3×2(3x−2)=18x−12g'(x) = 3 \times 2(3x-2) = 18x-12
  3. h(x)=12x+1h(x) = \dfrac{1}{2x+1} : ici f(t)=1tf(t)=\dfrac{1}{t}, f′(t)=−1t2f'(t)=-\dfrac{1}{t^{2}}, a=2a=2
  4. ⇒\Rightarrowh′(x)=2×(−1(2x+1)2)=−2(2x+1)2h'(x) = 2 \times \left(-\dfrac{1}{(2x+1)^{2}}\right) = -\dfrac{2}{(2x+1)^{2}}
  5. k(x)=4x−1k(x) = \sqrt{4x-1} : ici f(t)=tf(t)=\sqrt{t}, f′(t)=12tf'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}, a=4a=4
  6. ⇒\Rightarrowk′(x)=4×124x−1=24x−1k'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{4x-1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x-1}}

Vérification sur le premier exemple : en développant, g(x)=(3x−2)2=9x2−12x+4g(x)=(3x-2)^{2}=9x^{2}-12x+4, donc g′(x)=18x−12g'(x)=18x-12. Cohérent avec le résultat trouvé par la formule.

Attention — trois pièges classiques du bac

1. (uv)′≠u′v′(uv)' \neq u'v' : il ne faut jamais dériver un produit terme à terme. 2. Dans (uv)′\left(\dfrac{u}{v}\right)', n'oublie pas le carré au dénominateur ni le signe « moins » au numérateur : u′v−uv′u'v-uv', pas u′v+uv′u'v+uv'. 3. Pour f(ax+b)f(ax+b), n'oublie jamais de multiplier par aa : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de calcul.

6Dérivée et sens de variation

Tu sais désormais calculer la dérivée de n'importe quelle fonction usuelle. Reste la question la plus utile : à quoi cela sert-il concrètement ? Réponse : le signe de f′f' donne instantanément le sens de variation de ff, sans qu'il soit nécessaire de comparer des valeurs deux à deux comme tu le faisais avant ce chapitre.

6.1  Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème (admis)

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II.

  • Si f′(x)>0f'(x) > 0 pour tout x∈Ix \in I (sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f′(x)=0f'(x)=0), alors ff est strictement croissante sur II.
  • Si f′(x)<0f'(x) < 0 sur II (sous la même réserve), alors ff est strictement décroissante sur II.
  • Si f′(x)=0f'(x) = 0 pour tout x∈Ix \in I, alors ff est constante sur II.
Idée de preuve (théorème admis en Première)

Le nombre f′(x)f'(x) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse xx. Si f′(x)>0f'(x)>0, cette tangente « monte » ; comme la courbe se confond localement avec sa tangente (c'est tout le sens de la section 2), la courbe monte elle aussi au voisinage de xx. Le théorème affirme que ce comportement local, répété en tout point de l'intervalle, se propage en un comportement global : la fonction croît sur l'intervalle tout entier. La démonstration rigoureuse de ce passage du local au global (le théorème des accroissements finis) est au programme de Terminale ; regarde la figure 3, qui illustre parfaitement cette correspondance sur un exemple complet.

Courbe de f, avec f(x) = x³ − 3x -2-112-11O max. local (-1;2) min. local (1;-2) Courbe de la fonction dérivée f′, avec f′(x) = 3x² − 3 -2-112369O f′(-1)=0 f′(1)=0 f′<0f′>0
Figure 3 — En vis-à-vis : là où f′f' (courbe du bas) est positive, ff (courbe du haut) croît ; là où f′f' est négative, ff décroît. Les zéros de f′f' correspondent exactement aux extremums locaux de ff.

6.2  Extremums locaux

Définition

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II, et a∈Ia \in I. On dit que ff admet un maximum local en aa s'il existe un intervalle ouvert autour de aa sur lequel f(x)⩽f(a)f(x) \leqslant f(a) pour tout xx. On définit de même un minimum local. Un maximum ou un minimum local s'appelle un extremum local.

Propriété

Si ff est dérivable sur un intervalle ouvert contenant aa, et si ff admet un extremum local en aa, alors f′(a)=0f'(a) = 0.

Réciproquement, si f′f' s'annule en changeant de signe en aa, alors ff admet un extremum local en aa (maximum si f′f' passe de ++ à −-, minimum si f′f' passe de −- à ++).

Attention — la réciproque simple est fausse

f′(a)=0f'(a)=0 ne suffit pas à garantir un extremum : il faut en plus que f′f' change de signe en aa. Contre-exemple classique : f(x)=x3f(x)=x^{3} a pour dérivée f′(x)=3x2f'(x)=3x^{2}, qui s'annule en 00 mais reste positive de part et d'autre (elle ne change pas de signe). La fonction cube est strictement croissante sur R\mathbb{R} tout entier : 00 n'est pas un extremum, seulement un point où la tangente est horizontale.

6.3  Dresser un tableau de variations

Méthode

1. Déterminer l'ensemble de définition (et de dérivabilité) de ff, puis calculer f′(x)f'(x).
2. Étudier le signe de f′(x)f'(x) (factoriser si besoin, comme pour un trinôme).
3. En déduire le sens de variation de ff sur chaque intervalle, et construire le tableau (flèches ↗\nearrow et ↘\searrow).
4. Calculer les valeurs de ff aux bornes et aux points où f′f' s'annule : ce sont les extremums locaux.

Exemple complet — tableau de variations de f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3x

ff est dérivable sur R\mathbb{R} (polynôme). Calculons sa dérivée et factorisons-la.

  1. f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^{2} - 3
  2. ==3(x2−1)3\left(x^{2}-1\right)
  3. ==3(x−1)(x+1)3(x-1)(x+1)identité a2−b2a^{2}-b^{2}

f′(x)f'(x) est un produit de trois facteurs dont un est toujours positif (33) : son signe est celui du trinôme, positif à l'extérieur des racines −1-1 et 11, négatif entre les deux.

xx−∞-\infty−1-111+∞+\infty
signe de f′(x)f'(x)++00−-00++
variations de ff↗\nearrow22↘\searrow−2-2↗\nearrow

On lit directement sur ce tableau : ff admet un maximum local égal à 22 en x=−1x=-1, et un minimum local égal à −2-2 en x=1x=1 — exactement ce que montre la figure 3.

6.4  Application : un problème d'optimisation

C'est là que la dérivation devient un outil puissant : elle permet de trouver, par le calcul et sans tâtonner, la valeur qui rend une quantité maximale ou minimale.

Exemple — un enclos d'aire maximale

Un fermier dispose de 4040 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?

Notons xx la largeur de l'enclos, en mètres. Le périmètre valant 4040, la somme largeur + longueur vaut 2020 ; la longueur est donc 20−x20-x, avec x∈]0 ;20[x \in \left]0\,;20\right[. L'aire, en m², est :

A(x)=x(20−x)=20x−x2A(x) = x(20-x) = 20x - x^{2}

  1. A′(x)=20−2xA'(x) = 20 - 2x
  2. A′(x)>0  ⟺  20−2x>0  ⟺  x<10A'(x) > 0 \iff 20-2x>0 \iff x<10
  3. A′(x)<0  ⟺  x>10A'(x) < 0 \iff x>10
xx0010102020
signe de A′(x)A'(x)++00−-
variations de AA00↗\nearrow100100↘\searrow00

L'aire est maximale en x=10x=10 : l'enclos doit donc être un carré de 1010 m de côté, pour une aire maximale de 100100 m².

Aire de l'enclos A(x) = x(20−x), en fonction de la largeur x 246810121416182020406080100O max : A(10)=100 tangente horizontale
Figure 4 — La courbe de A(x)=x(20−x)A(x)=x(20-x) admet un unique maximum en x=10x=10, là où la tangente est horizontale, c'est-à-dire là où A′(x)=0A'(x)=0.

Fiche mémo

  • Taux de variation entre aa et a+ha+h : τ(h)=f(a+h)−f(a)h\tau(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  • Nombre dérivé : f′(a)=lim⁡h→0τ(h)f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h), s'il existe (sinon ff n'est pas dérivable en aa).
  • Équation de la tangente au point d'abscisse aa : y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x-a) + f(a).
  • Dérivées usuelles : (k)′=0(k)'=0 ; (x)′=1(x)'=1 ; (xn)′=nxn−1(x^{n})' = nx^{n-1} ; (1x)′=−1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R}^{*} ; (x)′=12x(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[.
  • Somme et multiple : (u+v)′=u′+v′(u+v)'=u'+v' ; (ku)′=ku′(ku)'=ku'.
  • Produit : (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v+uv' (jamais u′v′u'v' !).
  • Quotient : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} (là où v≠0v \neq 0).
  • Composée simple : [f(ax+b)]′=a×f′(ax+b)\left[f(ax+b)\right]' = a \times f'(ax+b) — ne pas oublier le facteur aa.
  • f′>0f'>0 sur II ⇒\Rightarrow ff strictement croissante sur II ; f′<0f'<0 ⇒\Rightarrow ff strictement décroissante.
  • Extremum local en aa ⇒\Rightarrow f′(a)=0f'(a)=0, mais la réciproque exige un changement de signe (contre-exemple : x3x^{3} en 00).
  • Méthode du tableau de variations : calculer f′f', étudier son signe, en déduire les variations et les extremums.
  • En optimisation : la quantité à optimiser est maximale (ou minimale) là où sa dérivée s'annule en changeant de signe.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule le taux de variation de f(x)=x2+2xf(x) = x^{2}+2x entre 33 et 3+h3+h, puis simplifie l'expression obtenue.

Voir le corrigé détaillé
  1. f(3)=32+2×3=15f(3) = 3^{2}+2\times3 = 15
  2. f(3+h)=(3+h)2+2(3+h)f(3+h) = (3+h)^{2}+2(3+h)
  3. ==9+6h+h2+6+2h9+6h+h^{2}+6+2h
  4. ==h2+8h+15h^{2}+8h+15
  5. f(3+h)−f(3)=h2+8h+15−15=h2+8hf(3+h)-f(3) = h^{2}+8h+15-15 = h^{2}+8h
  6. ==h(h+8)h(h+8)
  7. ⇒\Rightarrowτ(h)=h(h+8)h=h+8\tau(h) = \dfrac{h(h+8)}{h} = h+8h≠0h \neq 0
2

En utilisant la définition, calcule le nombre dérivé de f(x)=x2−5x+4f(x)=x^{2}-5x+4 en a=1a=1.

Voir le corrigé détaillé
  1. f(1)=1−5+4=0f(1) = 1-5+4 = 0
  2. f(1+h)=(1+h)2−5(1+h)+4f(1+h) = (1+h)^{2}-5(1+h)+4
  3. ==1+2h+h2−5−5h+41+2h+h^{2}-5-5h+4
  4. ==h2−3hh^{2}-3h
  5. f(1+h)−f(1)=h2−3hf(1+h)-f(1) = h^{2}-3h
  6. ==h(h−3)h(h-3)
  7. ⇒\Rightarrowτ(h)=h−3\tau(h) = h-3h≠0h \neq 0
  8. lim⁡h→0(h−3)=−3\displaystyle\lim_{h\to0}(h-3) = -3

Donc f′(1)=−3f'(1) = -3.

3

Donne, à l'aide du tableau des dérivées usuelles, la dérivée de chacune des fonctions suivantes : x6x^{6} ; 1x\dfrac{1}{x} ; x\sqrt{x} ; 4x3−2x4x^{3}-2x ; la fonction constante égale à 77.

Voir le corrigé détaillé
  1. (x6)′=6x5\left(x^{6}\right)' = 6x^{5}
  2. (1x)′=−1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}}sur R∗\mathbb{R}^{*}
  3. (x)′=12x\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}sur ]0 ;+∞[\left]0\,;+\infty\right[
  4. (4x3−2x)′=12x2−2\left(4x^{3}-2x\right)' = 12x^{2}-2
  5. (7)′=0(7)' = 0
4

Détermine une équation de la tangente à la courbe de f(x)=x2f(x)=x^{2} au point d'abscisse a=−1a=-1.

Voir le corrigé détaillé

On sait (démontré section 4) que pour f(x)=x2f(x)=x^{2}, f′(x)=2xf'(x)=2x pour tout xx.

  1. f(−1)=(−1)2=1f(-1) = (-1)^{2} = 1
  2. f′(−1)=2×(−1)=−2f'(-1) = 2\times(-1) = -2
  3. y=f′(−1)(x−(−1))+f(−1)y = f'(-1)(x-(-1)) + f(-1)
  4. ==−2(x+1)+1-2(x+1)+1
  5. ==−2x−1-2x-1
5

Calcule la fonction dérivée de f(x)=5x2−4x+7f(x)=5x^{2}-4x+7, puis évalue f′(−1)f'(-1).

Voir le corrigé détaillé
  1. f′(x)=5×(2x)−4×1+0f'(x) = 5\times(2x) - 4\times1 + 0
  2. ==10x−410x-4
  3. f′(−1)=10×(−1)−4f'(-1) = 10\times(-1)-4
  4. ==−14-14
Niveau 2 — Approfondissement
6

Calcule la dérivée de f(x)=(2x−1)(x+3)f(x) = (2x-1)(x+3) avec la formule du produit, puis vérifie le résultat en développant f(x)f(x) au préalable.

Voir le corrigé détaillé

On pose u(x)=2x−1u(x)=2x-1, v(x)=x+3v(x)=x+3, donc u′(x)=2u'(x)=2, v′(x)=1v'(x)=1.

  1. f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
  2. ==2(x+3)+(2x−1)×12(x+3)+(2x-1)\times1
  3. ==2x+6+2x−12x+6+2x-1
  4. ==4x+54x+5

Vérification : f(x)=2x2+5x−3f(x)=2x^{2}+5x-3, donc f′(x)=4x+5f'(x)=4x+5. Les deux méthodes concordent.

7

Détermine l'ensemble de définition de f(x)=x+1x−2f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}, puis calcule f′(x)f'(x).

Voir le corrigé détaillé

ff est définie et dérivable sur R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\}. On pose u(x)=x+1u(x)=x+1, v(x)=x−2v(x)=x-2, donc u′(x)=1u'(x)=1, v′(x)=1v'(x)=1.

  1. f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left(v(x)\right)^{2}}
  2. ==1×(x−2)−(x+1)×1(x−2)2\dfrac{1\times(x-2) - (x+1)\times1}{(x-2)^{2}}
  3. ==x−2−x−1(x−2)2\dfrac{x-2-x-1}{(x-2)^{2}}
  4. ==−3(x−2)2\dfrac{-3}{(x-2)^{2}}
8

Calcule la dérivée de f(x)=2x+3f(x)=\sqrt{2x+3}, en précisant son ensemble de dérivabilité.

Voir le corrigé détaillé

ff est définie sur [−32 ;+∞[\left[-\dfrac32\,;+\infty\right[ et dérivable sur ]−32 ;+∞[\left]-\dfrac32\,;+\infty\right[. On applique la formule de la composée simple avec t↦tt \mapsto \sqrt{t}, a=2a=2, b=3b=3 :

  1. f′(x)=2×122x+3f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x+3}}
  2. ==12x+3\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}
9

Détermine une équation de la tangente à la courbe de f(x)=x3−2x+1f(x)=x^{3}-2x+1 au point d'abscisse a=1a=1.

Voir le corrigé détaillé
  1. f(1)=1−2+1=0f(1) = 1-2+1 = 0
  2. f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^{2}-2
  3. f′(1)=3−2=1f'(1) = 3-2 = 1
  4. y=f′(1)(x−1)+f(1)y = f'(1)(x-1)+f(1)
  5. ==1×(x−1)+01\times(x-1)+0
  6. ==x−1x-1
10

Dresse le tableau de variations de f(x)=−x2+4x−3f(x)=-x^{2}+4x-3 sur R\mathbb{R}.

Voir le corrigé détaillé
  1. f′(x)=−2x+4f'(x) = -2x+4
  2. ==−2(x−2)-2(x-2)
  3. f′(x)>0  ⟺  −2(x−2)>0  ⟺  x<2f'(x) > 0 \iff -2(x-2)>0 \iff x<2

Comme −2<0-2<0, f′f' est positive avant 22 et négative après. De plus f(2)=−4+8−3=1f(2)=-4+8-3=1.

xx−∞-\infty22+∞+\infty
signe de f′(x)f'(x)++00−-
variations de ff↗\nearrow11↘\searrow

ff admet un maximum local (ici global) égal à 11 en x=2x=2.

Niveau 3 — Défi
11

On considère f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^{3}-3x^{2}+2, définie sur R\mathbb{R}.

  1. Calculer f′(x)f'(x) et l'écrire sous forme factorisée.
  2. Dresser le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R} (préciser les limites en −∞-\infty et +∞+\infty).
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 11.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^{2}-6x
  2. ==3x(x−2)3x(x-2)

2. f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2) est positive à l'extérieur de [0 ;2]\left[0\,;2\right], négative entre les deux racines. ff est un polynôme de degré 33 à coefficient dominant positif, donc f(x)→−∞f(x)\to-\infty en −∞-\infty et f(x)→+∞f(x)\to+\infty en +∞+\infty. De plus f(0)=2f(0)=2 et f(2)=8−12+2=−2f(2)=8-12+2=-2.

xx−∞-\infty0022+∞+\infty
signe de f′(x)f'(x)++00−-00++
variations de ff−∞-\infty↗\nearrow22↘\searrow−2-2↗\nearrow+∞+\infty

3. f(1)=1−3+2=0f(1)=1-3+2=0 et f′(1)=3−6=−3f'(1)=3-6=-3.

  1. y=f′(1)(x−1)+f(1)y = f'(1)(x-1)+f(1)
  2. ==−3(x−1)+0-3(x-1)+0
  3. ==−3x+3-3x+3
Courbe de f(x) = x³ − 3x² + 2 et tangente au point d'inflexion -1123-212O max. local (0;2) min. local (2;-2) inflexion (1;0)
Figure 5 — La courbe de f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^{3}-3x^{2}+2, ses deux extremums locaux, et la tangente (en violet) au point d'inflexion d'abscisse 11.
12

On considère f(x)=x+1xf(x) = x + \dfrac{1}{x}, définie sur R∗\mathbb{R}^{*}.

  1. Calculer f′(x)f'(x) en mettant au même dénominateur.
  2. Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur R∗\mathbb{R}^{*}.
  3. Dresser le tableau de variations de ff (limites en 00 et en ±∞\pm\infty admises : ±∞\pm\infty partout).
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. f′(x)=1−1x2f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^{2}}
  2. ==x2−1x2\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}

2. Le dénominateur x2x^{2} est strictement positif sur R∗\mathbb{R}^{*} : le signe de f′(x)f'(x) est celui du numérateur x2−1=(x−1)(x+1)x^{2}-1 = (x-1)(x+1), positif à l'extérieur de [−1 ;1]\left[-1\,;1\right], négatif entre les deux (sauf en 00, exclu du domaine).

3. f(−1)=−1−1=−2f(-1) = -1-1 = -2 et f(1)=1+1=2f(1) = 1+1 = 2.

xx−∞-\infty−1-10011+∞+\infty
signe de f′(x)f'(x)++00−-∥−-00++
variations de ff−∞-\infty↗\nearrow−2-2↘\searrow∥↘\searrow22↗\nearrow+∞+\infty

ff admet un maximum local −2-2 en x=−1x=-1 et un minimum local 22 en x=1x=1 : le minimum local dépasse le maximum local, ce qui est possible ici car les deux branches sont séparées par la valeur interdite x=0x=0.

13

Soit f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3x (celle de la figure 3). Détermine les points de la courbe de ff où la tangente est parallèle à la droite d'équation y=9x−1y=9x-1.

Voir le corrigé détaillé

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur. On cherche donc les abscisses xx telles que f′(x)=9f'(x)=9.

  1. f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^{2}-3
  2. f′(x)=9  ⟺  3x2−3=9f'(x) = 9 \iff 3x^{2}-3=9
  3.   ⟺  \iff3x2=123x^{2}=12
  4.   ⟺  \iffx2=4x^{2}=4
  5.   ⟺  \iffx=2x=2 ou x=−2x=-2

On calcule les ordonnées : f(2)=8−6=2f(2)=8-6=2 et f(−2)=−8+6=−2f(-2)=-8+6=-2. Il y a donc deux points, A(2 ;2)A(2\,;2) et B(−2 ;−2)B(-2\,;-2), en lesquels la tangente est parallèle à y=9x−1y=9x-1. Ces deux tangentes ont pour équations y=9(x−2)+2=9x−16y=9(x-2)+2=9x-16 en AA, et y=9(x+2)−2=9x+16y=9(x+2)-2=9x+16 en BB.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

L'enclos du maraîcher (Ndjamena). Un maraîcher de Ndjamena clôture, contre le mur de son compound, un enclos rectangulaire pour ses poules avec 6060 m de grillage (le mur tient lieu de quatrième côté).

  1. En notant xx la largeur des deux côtés perpendiculaires au mur, exprime l'aire A(x)A(x) de l'enclos.
  2. Étudie les variations de AA sur ]0 ;30[\left]0\,;30\right[ et détermine la valeur de xx qui maximise l'aire.
  3. Donne les dimensions de l'enclos optimal et l'aire maximale obtenue.
Voir le corrigé détaillé

1. Le grillage sert pour les deux largeurs xx et une longueur LL : 2x+L=602x+L=60, donc L=60−2xL=60-2x, avec x∈]0 ;30[x\in\left]0\,;30\right[ (pour que L>0L>0).

A(x)=x×L=x(60−2x)=60x−2x2A(x) = x\times L = x(60-2x) = 60x-2x^{2}

2.

  1. A′(x)=60−4xA'(x) = 60-4x
  2. A′(x)=0  ⟺  x=15A'(x) = 0 \iff x=15
  3. A′(x)>0  ⟺  x<15A'(x) > 0 \iff x<15
xx0015153030
signe de A′(x)A'(x)++00−-
variations de AA00↗\nearrow450450↘\searrow00

3. L'aire est maximale pour x=15x=15 m, avec L=60−30=30L=60-30=30 m. L'enclos optimal mesure donc 15 m×30 m15\text{ m} \times 30\text{ m}, pour une aire maximale de 450450 m².

Aire de l'enclos A(x) = 60x − 2x², en fonction de la largeur x 51015202530100200300400O max : A(15)=450
Figure 6 — L'aire A(x)=60x−2x2A(x)=60x-2x^{2} de l'enclos est maximale en x=15x=15 m, là où la tangente à la courbe est horizontale.
15

Bénéfice d'un atelier (Dakar). Un atelier de vannerie de Dakar réalise, pour la vente de xx centaines de paniers, un bénéfice (en milliers de francs CFA) modélisé par B(x)=−2x2+120x−800B(x) = -2x^{2}+120x-800, pour x∈[0 ;60]x \in \left[0\,;60\right].

  1. Calcule B′(x)B'(x).
  2. Étudie le signe de B′(x)B'(x) et dresse le tableau de variations de BB.
  3. Détermine le nombre de paniers à vendre pour un bénéfice maximal, et calcule ce bénéfice.
Voir le corrigé détaillé

1. B′(x)=−4x+120B'(x) = -4x+120.

2. B′(x)=0  ⟺  x=30B'(x)=0 \iff x=30 ; B′(x)>0B'(x)>0 pour x<30x<30, B′(x)<0B'(x)<0 pour x>30x>30. Et B(0)=−800B(0)=-800, B(30)=1 000B(30)=1\,000, B(60)=−800B(60)=-800.

xx0030306060
signe de B′(x)B'(x)++00−-
variations de BB−800-800↗\nearrow1 0001\,000↘\searrow−800-800

3. Le bénéfice est maximal pour x=30x=30, c'est-à-dire pour 3 0003\,000 paniers vendus, et vaut alors 1 0001\,000 milliers de F CFA, soit 1 000 0001\,000\,000 F CFA.

16

Une boîte en carton (Douala). Un atelier de Douala fabrique des boîtes sans couvercle à partir de feuilles de carton carrées de 3030 cm de côté : on retire un carré de côté xx (en cm) à chaque coin, puis on relève les bords.

  1. Exprime le volume V(x)V(x) de la boîte, en précisant l'ensemble de définition de xx.
  2. Développe V(x)V(x), calcule V′(x)V'(x) et factorise-le.
  3. Dresse le tableau de variations de VV sur ]0 ;15[\left]0\,;15\right[ et détermine le volume maximal.
Voir le corrigé détaillé

1. La base de la boîte est un carré de côté 30−2x30-2x, et sa hauteur vaut xx : V(x)=x(30−2x)2V(x) = x(30-2x)^{2}, pour x∈]0 ;15[x \in \left]0\,;15\right[ (il faut 30−2x>030-2x>0).

2.

  1. (30−2x)2=900−120x+4x2(30-2x)^{2} = 900-120x+4x^{2}
  2. V(x)=x(900−120x+4x2)V(x) = x\left(900-120x+4x^{2}\right)
  3. ==4x3−120x2+900x4x^{3}-120x^{2}+900x
  4. V′(x)=12x2−240x+900V'(x) = 12x^{2}-240x+900
  5. ==12(x2−20x+75)12\left(x^{2}-20x+75\right)
  6. ==12(x−5)(x−15)12(x-5)(x-15)racines 55 et 1515

3. Sur ]0 ;15[\left]0\,;15\right[, V′(x)V'(x) est positive avant 55 et négative après (racines 55 et 1515, coefficient 12>012>0). Et V(5)=5×400=2 000V(5)=5\times400=2\,000.

xx00551515
signe de V′(x)V'(x)++00−-
variations de VV↗\nearrow2 0002\,000↘\searrow

Le volume est maximal pour des carrés découpés de 55 cm de côté, et vaut alors 2 0002\,000 cm³.

Teste-toi gratuitement

8 questions

Second degré : discriminant et signe du trinôme

Commencer →

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Le taux de variation de ff entre aa et a+ha+h est défini par :

Explication : Le taux de variation est le coefficient directeur de la droite (AM)(AM), avec A(a;f(a))A(a;f(a)) et M(a+h;f(a+h))M(a+h;f(a+h)), soit τ(h)=f(a+h)−f(a)h\tau(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Le nombre dérivé f′(a)f'(a) est, par définition :

Explication : f′(a)=lim⁡h→0τ(h)f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h), lorsque cette limite existe et est finie : on dit alors que ff est dérivable en aa.

Pourquoi factorise-t-on systématiquement par hh au numérateur de τ(h)\tau(h) avant de faire tendre hh vers 00 ?

Explication : Remplacer directement h=0h=0 dans τ(h)\tau(h) donne 00\frac{0}{0}, une forme indéterminée. La factorisation par hh au numérateur, suivie de la simplification, élimine ce hh gênant avant de passer à la limite.

Pour f(x)=x2f(x) = x^{2}, le nombre dérivé f′(3)f'(3) vaut :

Explication : τ(h)=(3+h)2−9h=6h+h2h=6+h\tau(h) = \dfrac{(3+h)^2-9}{h} = \dfrac{6h+h^2}{h} = 6+h, qui tend vers 66 quand h→0h \to 0. Donc f′(3)=6f'(3)=6.

L'équation de la tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa est :

Explication : La tangente passe par A(a;f(a))A(a;f(a)) et a pour coefficient directeur f′(a)f'(a) : son équation est y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x-a) + f(a).

La tangente à la courbe de f(x)=x2f(x)=x^{2} au point d'abscisse 22 a pour équation :

Explication : f(2)=4f(2)=4 et f′(2)=4f'(2)=4 (car f′(x)=2xf'(x)=2x). L'équation est y=4(x−2)+4=4x−4y = 4(x-2)+4 = 4x-4.

Concernant la tangente à une courbe en un point AA, l'affirmation correcte est :

Explication : Ne confonds jamais « la tangente touche la courbe en un seul point » (souvent faux) avec « elle a le même coefficient directeur que la courbe en ce point » (toujours vrai). Au voisinage d'un point d'inflexion, la tangente retraverse effectivement la courbe.

La fonction x\sqrt{x}, définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, n'est pas dérivable en 00 car :

Explication : x\sqrt{x} est bien définie en 00, mais la tangente y est verticale : une droite verticale n'a pas de coefficient directeur, donc f′(0)f'(0) n'existe pas.

Si ff est dérivable en tout point d'un intervalle II, la fonction qui à chaque xx de II associe f′(x)f'(x) s'appelle :

Explication : C'est la définition de la fonction dérivée f′f' : à chaque réel xx de II, elle associe le nombre dérivé f′(x)f'(x).

Si f(x)=x7f(x) = x^{7}, alors f′(x)f'(x) vaut :

Explication : D'après la formule (xn)′=n xn−1(x^n)' = n\,x^{n-1}, avec n=7n=7 : f′(x)=7x6f'(x) = 7x^{6}.

Pour f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, le nombre dérivé f′(2)f'(2) vaut :

Explication : f′(x)=−1x2f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}, donc f′(2)=−122=−14f'(2) = -\dfrac{1}{2^{2}} = -\dfrac{1}{4}.

Pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, le nombre dérivé f′(9)f'(9) vaut :

Explication : f′(x)=12xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, donc f′(9)=129=12×3=16f'(9) = \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{2\times3} = \dfrac{1}{6}.

La dérivée de f(x)=3x2−5x+2f(x) = 3x^{2} - 5x + 2 est :

Explication : On dérive terme à terme : (3x2)′=6x(3x^2)' = 6x, (−5x)′=−5(-5x)'=-5, (2)′=0(2)'=0. D'où f′(x)=6x−5f'(x) = 6x - 5.

Soit f(x)=(x2+1)(3x−2)f(x) = \left(x^{2}+1\right)(3x-2), avec u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1 et v(x)=3x−2v(x)=3x-2. En utilisant (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv', f′(x)f'(x) vaut :

Explication : u′(x)=2xu'(x)=2x, v′(x)=3v'(x)=3. f′(x)=2x(3x−2)+(x2+1)×3=6x2−4x+3x2+3=9x2−4x+3f'(x) = 2x(3x-2) + (x^2+1)\times3 = 6x^2-4x+3x^2+3 = 9x^2-4x+3.

Concernant la dérivée d'un produit de deux fonctions uu et vv, l'affirmation correcte est :

Explication : C'est un piège classique du bac : il ne faut jamais dériver un produit terme à terme. La formule correcte est (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.

La dérivée du quotient uv\dfrac{u}{v} (avec vv ne s'annulant pas) est donnée par :

Explication : N'oublie ni le carré au dénominateur, ni le signe « moins » au numérateur : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.

Pour g(x)=(3x−2)2g(x) = (3x-2)^{2}, en utilisant [f(ax+b)]′=a×f′(ax+b)[f(ax+b)]' = a \times f'(ax+b) avec f(t)=t2f(t)=t^{2}, la dérivée g′(x)g'(x) vaut :

Explication : f′(t)=2tf'(t)=2t, a=3a=3, donc g′(x)=3×2(3x−2)=18x−12g'(x) = 3 \times 2(3x-2) = 18x-12. Vérification : g(x)=9x2−12x+4g(x)=9x^2-12x+4, donc g′(x)=18x−12g'(x)=18x-12.

Si f′(x)>0f'(x) > 0 pour tout xx d'un intervalle II, alors ff est :

Explication : Le signe de la dérivée donne le sens de variation : f′>0f'>0 sur II entraîne que ff est strictement croissante sur II.

Pour f(x)=x3f(x)=x^{3}, on a f′(x)=3x2f'(x)=3x^{2}, qui s'annule en x=0x=0 sans changer de signe (positif de part et d'autre). On en déduit que :

Explication : f′(a)=0f'(a)=0 ne garantit pas un extremum : il faut en plus que f′f' change de signe en aa. Ici f′f' reste positive de part et d'autre de 00 : ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}, et 00 est seulement un point à tangente horizontale.

Un fermier dispose de 4040 m de grillage pour un enclos rectangulaire de largeur xx (et de longueur 20−x20-x). L'aire A(x)=x(20−x)A(x)=x(20-x) est maximale pour :

Explication : A′(x)=20−2xA'(x)=20-2x, qui s'annule et change de signe (de ++ à −-) en x=10x=10 : c'est un maximum. A(10)=10×10=100 m2A(10) = 10\times10 = 100\ \text{m}^2, l'enclos est alors un carré.
← Chapitre précédentLimites et continuité : première approche Chapitre suivant →Étude et représentation de fonctions
S'inscrire