Étude et représentation de fonctions

Mener une étude complète et tracer une courbe.

Mathématiques Première Chapitre 6 / 13 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Conduire un plan d'étude complet
Dresser un tableau de variations argumenté
Tracer une courbe avec ses asymptotes et ses tangentes

Depuis la classe de Seconde, tu apprends à connaître les fonctions une par une : la fonction affine, la fonction carré, la fonction inverse, puis les fonctions racine carrée, cube, et enfin les fonctions dérivables du chapitre précédent. Ce chapitre change de posture : il ne s'agit plus d'apprendre une nouvelle fonction, mais de bâtir la méthode générale qui permet d'étudier n'importe quelle fonction et d'en tracer la courbe avec assurance, asymptotes et tangentes comprises.

Cette méthode, tu la retrouveras partout : en physique pour décrire la position d'un mobile au cours du temps, en économie pour représenter un coût ou un bénéfice, en géographie pour lire un profil altimétrique. Elle est aussi, très concrètement, ce qu'on attend de toi au baccalauréat dans la quasi-totalité des exercices d'analyse.

Ce qui change par rapport aux années précédentes : tu vas désormais enchaîner six étapes dans un ordre précis — domaine, parité, limites, dérivée, points remarquables, tracé — au lieu de les traiter séparément ; et tu vas apprendre à déduire la courbe d'une fonction composée ( $f+k$ , $kf$ , $|f|$ …) de celle d'une fonction plus simple, sans tout recalculer.

1Domaine, parité, périodicité

1.1 Domaine de définition

Définition

Le domaine de définition d'une fonction $f$ , noté $D_f$ , est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels le nombre $f(x)$ existe.

Deux situations interdisent l'existence de $f(x)$ , et deux seulement, au niveau de la Première : un dénominateur nul, et une racine carrée d'un nombre strictement négatif. Repérer $D_f$ est donc affaire de bon sens, à condition d'être systématique.

Méthode — déterminer un domaine de définition

On liste les opérations effectuées sur $x$ dans l'expression de $f(x)$ , dans l'ordre. Pour chaque quotient, on écarte les valeurs qui annulent le dénominateur ; pour chaque racine carrée, on résout l'inéquation « radicande $\geqslant 0$ ». Le domaine $D_f$ est l'intersection de toutes ces conditions.

Exemple — fonction rationnelle

Soit $k(x) = \dfrac{x+2}{x^{2}-4}$ .

$k(x)$ existe $\iff x^{2} - 4 \neq 0$
$\iff$ $(x-2)(x+2) \neq 0$
$\iff$ $x \neq 2$ et $x \neq -2$

D'où $D_k = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\} = \;]-\infty;-2[\,\cup\,]-2;2[\,\cup\,]2;+\infty[$ .

Exemple — fonction avec racine carrée

Soit $h(x) = \sqrt{x^{2}-1}$ .

$h(x)$ existe $\iff x^{2} - 1 \geqslant 0$
$\iff$ $(x-1)(x+1) \geqslant 0$
produit de deux facteurs qui s'annulent en $1$ et $-1$ un produit est positif « à l'extérieur des racines »
$\iff$ $x \leqslant -1$ ou $x \geqslant 1$

D'où $D_h = \;]-\infty;-1] \cup [1;+\infty[$ . Nous reviendrons sur cette fonction en fin de chapitre pour une étude complète.

Attention

$D_f$ est presque toujours une réunion d'intervalles, pas un seul intervalle : n'oublie jamais le symbole $\cup$ , et vérifie que chaque borne est ouverte (valeur exclue) ou fermée (valeur incluse) à bon escient.

1.2 Parité d'une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction dont le domaine $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire : $x \in D_f \iff -x \in D_f$ ). On dit que $f$ est :

paire si, pour tout $x \in D_f$ , $f(-x) = f(x)$ ;
impaire si, pour tout $x \in D_f$ , $f(-x) = -f(x)$ .

Propriété — interprétation géométrique

Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ ; la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.

Démonstration

Notons $M(a\,;f(a))$ un point de $\mathcal{C}_f$ , et $M'$ son symétrique par rapport à $(Oy)$ : $M'$ a pour coordonnées $(-a\,;f(a))$ .

Cas pair. Si $f$ est paire, $f(-a) = f(a)$ , donc $M'(-a\,;f(-a))$ : $M'$ appartient bien à $\mathcal{C}_f$ . Le symétrique de tout point de la courbe par rapport à $(Oy)$ est encore sur la courbe : $\mathcal{C}_f$ est globalement invariante par cette symétrie.

Cas impair. Soit $N'$ le symétrique de $M(a\,;f(a))$ par rapport à $O$ : $N'(-a\,;-f(a))$ . Si $f$ est impaire, $f(-a) = -f(a)$ , donc $N'(-a\,;f(-a))$ appartient à $\mathcal{C}_f$ . La courbe est globalement invariante par la symétrie de centre $O$ . C.Q.F.D.

Exemple — fonction paire

Soit $f(x) = 0{,}5x^{2} - 2$ , définie sur $\mathbb{R}$ (symétrique par rapport à $0$ ).

$f(-x) = 0{,}5(-x)^{2} - 2$
$=$ $0{,}5x^{2} - 2$ car $(-x)^{2} = x^{2}$
$=$ $f(x)$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(-x) = f(x)$ : $f$ est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à $(Oy)$ (figure 1).

Figure 1 — La courbe de

f(x) = 0{,}5x^{2} - 2

, fonction paire, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

(Oy)

M(a\,;f(a))

M’(-a\,;f(a))

sont à la même hauteur.

Exemple — fonction impaire

Soit $g(x) = 0{,}42x^{3} - 1{,}3x$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

$g(-x) = 0{,}42(-x)^{3} - 1{,}3(-x)$
$=$ $-0{,}42x^{3} + 1{,}3x$ car $(-x)^{3} = -x^{3}$
$=$ $-\left(0{,}42x^{3} - 1{,}3x\right)$
$=$ $-g(x)$

$g$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ (figure 2).

Figure 2 — La courbe de

g(x) = 0{,}42x^{3} - 1{,}3x

, fonction impaire, est symétrique par rapport à l’origine

O

N

O

N’

sont alignés, avec

g(-a) = -g(a)

Attention

Une fonction peut n'être ni paire ni impaire (par exemple $f(x) = x^{2} + x$ ) : c'est même le cas le plus fréquent. Vérifie toujours d'abord que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ avant de calculer $f(-x)$ : sans cette symétrie, la question de la parité ne se pose même pas.

Math & Co — Nicole Oresme et la naissance du graphique

Bien avant Descartes, un évêque normand, Nicole Oresme (vers 1320-1382), invente l'idée de représenter une grandeur variable par un dessin : dans son Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum (vers 1350), il porte en abscisse le temps et en ordonnée l'intensité d'une qualité — une vitesse, une chaleur — sous forme de segments dont les sommets dessinent une ligne, la toute première « courbe » de l'histoire des mathématiques. Il faudra attendre Descartes, trois siècles plus tard, pour relier ce dessin à l'algèbre ; mais l'intuition d'Oresme — voir une fonction plutôt que seulement la calculer — reste, aujourd'hui encore, tout l'enjeu de ce chapitre.

1.3 Périodicité d'une fonction

Définition

Une fonction $f$ , définie sur $\mathbb{R}$ , est dite périodique de période $T$ ( $T > 0$ ) si, pour tout réel $x$ :

$f(x+T) = f(x)$

Géométriquement, la courbe entière se reconstitue par translations successives de vecteur $T\vec{\imath}$ : il suffit d'étudier $f$ sur un intervalle de longueur $T$ , puis de répéter le motif obtenu. Les fonctions trigonométriques $\cos$ et $\sin$ , déjà rencontrées, sont périodiques de période $2\pi$ ; la fonction $x \mapsto \cos(2x)$ est, elle, périodique de période $\pi$ , puisque $\cos(2(x+\pi)) = \cos(2x+2\pi) = \cos(2x)$ .

Attention

Les fonctions étudiées dans ce chapitre (rationnelles, avec racine carrée) ne sont jamais périodiques : seule une fonction dont le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier, et qui se répète indéfiniment, peut l'être. Ne cherche une période que pour des fonctions construites à partir de $\cos$ et $\sin$ .

2Limites et asymptotes

2.1 Limites aux bornes du domaine

Étudier une fonction, c'est d'abord savoir ce qu'elle devient aux bords de son domaine : en $+\infty$ , en $-\infty$ , et près de chaque valeur interdite. Tu connais déjà les limites de référence.

Propriété — limites usuelles

fonction	limite en $+\infty$	limite en $-\infty$	limite en $0$
$x \mapsto x^{n}$ ( $n$ pair)	$+\infty$	$+\infty$	$0$
$x \mapsto x^{n}$ ( $n$ impair)	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$0$	$0$	$\pm\infty$
$x \mapsto \sqrt{x}$	$+\infty$	—	$0$

Pour une somme ou un quotient de termes de degrés différents en $+\infty$ ou $-\infty$ , la règle est constante : seul le terme de plus haut degré impose la limite.

Méthode — lever une forme indéterminée en

\pm\infty

On factorise par le terme de plus haut degré, au numérateur comme au dénominateur : les termes restants tendent alors vers $1$ , et seul le rapport des puissances dominantes détermine la limite.

Exemple — limite en

+\infty

d'un quotient

Déterminons $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}-x}{x^{2}+5}$ .

$\dfrac{3x^{2}-x}{x^{2}+5} = \dfrac{x^{2}\left(3 - \frac{1}{x}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{5}{x^{2}}\right)}$ on factorise par $x^2$ , terme dominant
$=$ $\dfrac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x^{2}}}$
or $\dfrac{1}{x} \to 0$ et $\dfrac{5}{x^{2}} \to 0$ quand $x \to +\infty$
$\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}-x}{x^{2}+5} = \dfrac{3}{1} = 3$

2.2 Asymptotes verticales et horizontales

Définition

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$ .

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (avec $a \notin D_f$ ), la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ .
Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (ou en $-\infty$ ), la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ .

Dans les deux cas, la distance entre la courbe et la droite tend vers $0$ : la droite devient la meilleure approximation rectiligne du comportement de la courbe, loin du centre ou près de la valeur interdite.

Exemple — deux asymptotes

Soit $f(x) = 3 + \dfrac{1}{x-2}$ , de domaine $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .

quand $x \to 2$ , $x - 2 \to 0$ donc $\dfrac{1}{x-2} \to \pm\infty$
$\Rightarrow$ la droite $x = 2$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$
quand $x \to \pm\infty$ , $\dfrac{1}{x-2} \to 0$
$\Rightarrow$ la droite $y = 3$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$

2.3 Asymptotes obliques

Définition

La droite d'équation $y = ax+b$ (avec $a \neq 0$ ) est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$ ) si :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (ax+b)\right] = 0$

Méthode — mettre en évidence une asymptote oblique

On écrit $f(x)$ sous la forme $f(x) = ax + b + \varepsilon(x)$ , avec $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\varepsilon(x) = 0$ . La droite $y = ax+b$ est alors asymptote, et le signe de $\varepsilon(x)$ indique si la courbe est au-dessus ( $\varepsilon > 0$ ) ou au-dessous ( $\varepsilon < 0$ ) de l'asymptote.

Démonstration — asymptote oblique de

f(x) = x + \frac{1}{x}

Posons $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ , définie sur $\mathbb{R}^{*}$ , et $\varepsilon(x) = f(x) - x = \dfrac{1}{x}$ .

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \varepsilon(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$
de même $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \varepsilon(x) = 0$

La droite $y = x$ est donc asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ , à la fois en $+\infty$ et en $-\infty$ . De plus, $\varepsilon(x) = \frac{1}{x} > 0$ pour $x>0$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote sur $]0;+\infty[$ , et en dessous sur $]-\infty;0[$ . C.Q.F.D.

Attention

Une courbe peut tout à fait couper son asymptote oblique un nombre fini de fois près du centre du repère — l'important est que l'écart tende vers $0$ uniquement à l'infini. Ne confonds pas non plus asymptote (droite qui encadre le comportement global) et tangente (droite qui approche la courbe localement, en un seul point) : ce sont deux notions indépendantes, étudiées section 4.

Math & Co — l'origine grecque du mot « asymptote »

Le mot vient du grec ancien asumptôtos, « qui ne tombe pas avec », littéralement « qui ne se rencontre pas ». Il est déjà employé par Apollonios de Perge (vers -262 à -190), dans son traité Coniques, pour décrire les deux droites vers lesquelles se rapprochent indéfiniment les branches d'une hyperbole sans jamais les toucher. Vingt-trois siècles plus tard, le mot n'a pas changé : chaque asymptote d'une fonction homographique retrouve exactement la géométrie que les Grecs avaient découverte sur le cône.

3Dérivée et tableau de variations

3.1 Rappel : taux d'accroissement et dérivée

Définition (rappel)

Pour $a \in D_f$ et $h \neq 0$ tel que $a+h \in D_f$ , le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Si $\tau(h)$ admet une limite finie quand $h \to 0$ , cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ .

Avant même de calculer une dérivée, on peut souvent établir le sens de variation d'une fonction en étudiant directement le signe du quotient $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ pour deux réels quelconques $a < b$ d'un intervalle : c'est la méthode historique, celle que tu as déjà pratiquée sur $x^2$ , $\frac{1}{x}$ ou $\sqrt{x}$ .

Démonstration — variations de

f(x)=x^{2}

sur

[0;+\infty[

par le taux d'accroissement

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a < b$ .

$f(b)-f(a) = b^{2}-a^{2}$
$=$ $(b-a)(b+a)$ identité remarquable
or $b-a>0$ (hypothèse) et $b+a>0$ (car $0 \leqslant a < b$ )
$\Rightarrow$ $(b-a)(b+a) > 0$
$\Rightarrow$ $f(b) > f(a)$

Pour tous $a,b$ de $[0;+\infty[$ avec $a<b$ , on a $f(a)<f(b)$ : $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ . C.Q.F.D.

3.2 Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Idée de preuve

Ce théorème généralise la démonstration précédente : $f'(a)$ est la limite du taux d'accroissement $\tau(h)$ quand $h \to 0$ . Si $f'$ reste strictement positive sur tout $I$ , le taux d'accroissement entre deux points suffisamment proches de $I$ garde ce même signe positif — un résultat, l'inégalité des accroissements finis, qui sera établi rigoureusement en Terminale. Nous l'admettons ici : c'est l'outil le plus efficace pour étudier les variations d'une fonction dérivable quelconque.

Exemple — tableau de variations par la dérivée

Soit $f(x) = x^{3} - 3x + 1$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x) = 3x^{2} - 3$
$=$ $3(x^{2}-1)$
$=$ $3(x-1)(x+1)$

Un trinôme du second degré de racines $-1$ et $1$ , de coefficient dominant positif, est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur. On en déduit : $f$ croissante sur $]-\infty;-1]$ , décroissante sur $[-1;1]$ , croissante sur $[1;+\infty[$ , avec $f(-1)=3$ (maximum local) et $f(1)=-1$ (minimum local).

3.3 Opérations sur les fonctions et sens de variation

Quand une fonction se construit à partir de fonctions plus simples déjà étudiées, il est souvent inutile de redériver : ces quatre théorèmes suffisent à conclure directement.

Théorème — somme

u+v

Si $u$ et $v$ sont toutes deux croissantes (resp. toutes deux décroissantes) sur un intervalle $I$ , alors $u+v$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$ .

Démonstration

Soient $a,b \in I$ avec $a<b$ , $u$ et $v$ croissantes sur $I$ .

$u(a) \leqslant u(b)$ $u$ croissante
$v(a) \leqslant v(b)$ $v$ croissante
$\Rightarrow$ $u(a)+v(a) \leqslant u(b)+v(b)$ on additionne deux inégalités de même sens

Donc $(u+v)(a) \leqslant (u+v)(b)$ : $u+v$ est croissante sur $I$ . Le cas décroissant se traite de façon identique. C.Q.F.D.

Théorème — multiple

ku

Soit $u$ croissante sur $I$ et $k$ un réel non nul. Si $k>0$ , $ku$ est croissante sur $I$ ; si $k<0$ , $ku$ est décroissante sur $I$ .

Démonstration

Pour $a<b$ dans $I$ , $u(a) \leqslant u(b)$ car $u$ est croissante. Multiplier une inégalité par un réel positif conserve son sens : si $k>0$ , $ku(a) \leqslant ku(b)$ , donc $ku$ croissante. Multiplier par un réel négatif inverse son sens : si $k<0$ , $ku(a) \geqslant ku(b)$ , donc $ku$ décroissante. C.Q.F.D.

Théorème — racine

\sqrt{u}

Si $u$ est positive et croissante sur $I$ , alors $\sqrt{u}$ est croissante sur $I$ . (De même, si $u$ est positive et décroissante, $\sqrt{u}$ est décroissante.)

Démonstration

Pour $a<b$ dans $I$ , $0 \leqslant u(a) \leqslant u(b)$ car $u$ est positive et croissante. Or la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ (chapitre sur les racines carrées) : elle conserve donc l'ordre entre deux nombres positifs.

$0 \leqslant u(a) \leqslant u(b)$
$\Rightarrow$ $\sqrt{u(a)} \leqslant \sqrt{u(b)}$ $\sqrt{\phantom{x}}$ croissante sur $\mathbb{R}^{+}$

Donc $\sqrt{u}$ est croissante sur $I$ . C.Q.F.D.

Théorème — inverse

\frac{1}{u}

Si $u$ est strictement positive (ou strictement négative) et croissante sur $I$ , alors $\dfrac{1}{u}$ est décroissante sur $I$ .

Démonstration

Supposons $u$ strictement positive et croissante. Pour $a<b$ dans $I$ , $0 < u(a) \leqslant u(b)$ .

$\dfrac{1}{u(a)} - \dfrac{1}{u(b)} = \dfrac{u(b)-u(a)}{u(a)\,u(b)}$
le numérateur $u(b)-u(a) \geqslant 0$ $u$ croissante
le dénominateur $u(a)\,u(b) > 0$ $u$ strictement positive
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{u(a)} - \dfrac{1}{u(b)} \geqslant 0$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{u(a)} \geqslant \dfrac{1}{u(b)}$

La fonction $\frac{1}{u}$ prend une valeur plus petite en $b$ qu'en $a$ : elle est décroissante sur $I$ . C.Q.F.D.

Attention

Aucun théorème simple ne donne le sens de variation de $u+v$ si $u$ et $v$ varient en sens contraires : il faut alors dériver, ou étudier le signe de $u(b)+v(b)-u(a)-v(a)$ au cas par cas. Et pour $\frac{1}{u}$ , n'oublie jamais de vérifier que $u$ garde un signe constant sur $I$ : sinon, $\frac{1}{u}$ n'est même pas définie sur tout $I$ .

Exemple — combiner les théorèmes

Étudions le sens de variation de $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}$ sur $[0;+\infty[$ , sans dériver.

on pose $u(x) = x^{2}+1$
$u$ est strictement positive et croissante sur $[0;+\infty[$ somme de $x \mapsto x^2$ (croissante sur $\mathbb{R}^+$ ) et de la constante $1$
$\Rightarrow$ $\sqrt{u}$ est croissante sur $[0;+\infty[$ théorème de la racine

Donc $f = \sqrt{u}$ est croissante sur $[0;+\infty[$ , sans qu'aucune dérivée n'ait été calculée.

3.4 Dresser un tableau de variations

Méthode — construire un tableau de variations complet

Sur la première ligne, place $D_f$ et ses bornes (avec doubles barres $\parallel$ pour une valeur interdite). Sur la deuxième ligne, place le signe de $f'$ (ou la conclusion des théorèmes de variation). Sur la troisième ligne, trace les flèches $\nearrow$ / $\searrow$ et indique les valeurs (ou limites) prises par $f$ à chaque changement de sens.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	0	$-$	0	$+$
variations de $f$		$\nearrow$	3	$\searrow$	−1	$\nearrow$

Ce tableau résume exactement l'exemple $f(x)=x^{3}-3x+1$ étudié plus haut : c'est la traduction directe, en une image, de tout le travail sur le signe de $f'$ .

4Points remarquables et tangentes

4.1 Équation de la tangente en un point

Propriété (rappel)

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(a\,;f(a))$ a pour équation :

$y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Cette droite passe par $A$ , et son coefficient directeur $f'(a)$ est précisément la limite des coefficients directeurs des sécantes $(AM)$ quand $M$ se rapproche de $A$ le long de la courbe : elle en est la meilleure approximation rectiligne locale, au voisinage immédiat de $a$ .

Exemple — équation d'une tangente

Reprenons $f(x) = x^{3}-3x+1$ , et cherchons la tangente en $a=2$ .

$f(2) = 8-6+1 = 3$
$f'(x) = 3x^{2}-3 \Rightarrow f'(2) = 12-3 = 9$
$y = f'(2)(x-2)+f(2)$
$=$ $9(x-2)+3$
$=$ $9x-15$

La tangente en $A(2\,;3)$ a pour équation $y = 9x-15$ .

4.2 Points remarquables : extrema et intersections

Théorème

Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $x_0 \in I$ , alors $f'(x_0) = 0$ : la tangente en ce point est horizontale.

Idée de preuve

Si $f$ admet un maximum local en $x_0$ , alors pour $h$ petit, $f(x_0+h) \leqslant f(x_0)$ . Le taux d'accroissement $\tau(h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ est donc négatif ou nul pour $h>0$ , et positif ou nul pour $h<0$ . À la limite quand $h \to 0$ , ces deux constats ne peuvent coexister que si $f'(x_0) = 0$ .

La réciproque est fausse : $f'(x_0)=0$ n'entraîne pas forcément un extremum (pense à $f(x)=x^{3}$ en $0$ , où la tangente est horizontale sans qu'il y ait de maximum ni de minimum). C'est le changement de signe de $f'$ autour de $x_0$ , lu dans le tableau de variations, qui confirme un extremum.

Méthode — repérer tous les points remarquables avant de tracer

Avant le tracé, détermine systématiquement : les extrema locaux (où $f'$ s'annule en changeant de signe), les intersections avec $(Ox)$ (résoudre $f(x)=0$ ) et avec $(Oy)$ (calculer $f(0)$ s'il existe), et un ou deux points supplémentaires bien choisis (souvent là où le calcul est simple) pour guider le tracé.

Exemple — points remarquables complets

Pour $f(x) = x^{3}-3x+1$ (étudiée depuis la section 3) :

extrema : maximum local $(-1\,;3)$ , minimum local $(1\,;-1)$ — tangentes horizontales en ces deux points ;
intersection avec $(Oy)$ : $f(0) = 1$ , donc le point $(0\,;1)$ ;
intersections avec $(Ox)$ : $f(x)=0$ n'a pas de solution simple ici (elle en a trois, non entières) — on se contente de situer approximativement les changements de signe grâce au tableau de variations.

4.3 Tracer une tangente à partir de son équation

Méthode — construire une tangente sur le graphique

Une fois l'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ obtenue, place le point $A(a\,;f(a))$ , puis un second point en te déplaçant, par exemple, d'une unité en abscisse et de $f'(a)$ unités en ordonnée (le coefficient directeur). Relie les deux points par une droite : c'est la tangente. Une tangente horizontale ( $f'(a)=0$ ) se trace simplement, parallèle à $(Ox)$ .

Attention

Une tangente n'est jamais confondue avec la courbe, même au point de contact : ne la prolonge pas sur toute la largeur du repère si la courbe s'en écarte visiblement — trace-la sur un petit segment autour du point $A$ , assez long pour lire clairement sa pente.

5Tracé de la courbe

5.1 Plan d'étude d'une fonction

Méthode — le plan d'étude complet, dans l'ordre

Pour étudier puis tracer la courbe d'une fonction $f$ , enchaîne systématiquement six étapes : 1. domaine de définition $D_f$ , parité et périodicité éventuelles ; 2. limites aux bornes de $D_f$ et équations des asymptotes ; 3. dérivée $f'$ , étude de son signe, tableau de variations ; 4. points remarquables (extrema, intersections avec les axes) et une ou deux tangentes utiles ; 5. tracé, en plaçant d'abord les asymptotes en pointillés, puis les points remarquables, puis la courbe elle-même ; 6. exploitation graphique si la question le demande.

Réduire le nombre de calculs, c'est souvent reconnaître qu'une fonction se déduit d'une autre, déjà étudiée, par une transformation simple. Les quatre transformations suivantes sont à connaître parfaitement : elles évitent de refaire toute l'étude à chaque fois.

5.2 Fonctions associées : translations, dilatation, valeur absolue

Théorème — translations de

\mathcal{C}_f

Soit $f$ une fonction et $k$ un réel. Dans un repère $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ :

la courbe de $x \mapsto f(x)+k$ est l’image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $k\vec{\jmath}$ ;
la courbe de $x \mapsto f(x-k)$ est l’image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $k\vec{\imath}$ .

Démonstration

Translation verticale. Soit $g(x) = f(x)+k$ , et $M(x\,;y)$ un point du plan.

$M \in \mathcal{C}_g \iff y = f(x)+k$
$\iff$ $y-k = f(x)$
$\iff$ le point $P(x\,;y-k)$ appartient à $\mathcal{C}_f$

Or $M$ est l’image de $P$ par la translation de vecteur $k\vec{\jmath}$ (elle ajoute $k$ à l’ordonnée, laisse l’abscisse inchangée). Donc $\mathcal{C}_g$ est bien l’image de $\mathcal{C}_f$ par cette translation.

Translation horizontale. Soit $h(x) = f(x-k)$ , et $M(x\,;y)$ un point du plan.

$M \in \mathcal{C}_h \iff y = f(x-k)$
$\iff$ le point $P(x-k\,;y)$ appartient à $\mathcal{C}_f$

Or $M$ est l’image de $P$ par la translation de vecteur $k\vec{\imath}$ (elle ajoute $k$ à l’abscisse). Donc $\mathcal{C}_h$ est bien l’image de $\mathcal{C}_f$ par cette translation. C.Q.F.D.

Figure 3 — Deux translations de la courbe de

f(x) = 0{,}4x^{2}-1

(en noir) : en violet,

x \mapsto f(x)+2

, translation de vecteur

2\vec{\jmath}

; en vert,

x \mapsto f(x-2)

, translation de vecteur

2\vec{\imath}

Propriété — dilatation

kf(x)

Pour $k>0$ , la courbe de $x \mapsto k\,f(x)$ s’obtient en multipliant par $k$ chaque ordonnée de $\mathcal{C}_f$ (l’abscisse ne change pas) : c’est une dilatation verticale de rapport $k$ (un « écrasement » si $0<k<1$ ). Pour $k<0$ , on combine cette dilatation avec une symétrie par rapport à $(Ox)$ .

Théorème — courbe de

|f|

La courbe de $|f|$ coïncide avec $\mathcal{C}_f$ là où $f(x) \geqslant 0$ , et en est le symétrique par rapport à $(Ox)$ là où $f(x) < 0$ .

Démonstration

Soit $x \in D_f$ .

si $f(x) \geqslant 0$ : $|f(x)| = f(x)$ le point $(x\,;|f(x)|)$ est celui de $\mathcal{C}_f$
si $f(x) < 0$ : $|f(x)| = -f(x)$ le point $(x\,;-f(x))$ est le symétrique de $(x\,;f(x))$ par rapport à $(Ox)$

Sur toute partie où $f$ est négative, la courbe de $|f|$ est donc le « reflet » vers le haut de $\mathcal{C}_f$ . C.Q.F.D.

Figure 4 — La courbe de

|f|

(en violet) coïncide avec celle de

f

(en noir) là où

f \geqslant 0

, et en est le symétrique par rapport à

(Ox)

là où

f < 0

Attention

Piège classique du bac : la courbe de $x \mapsto f(x+k)$ se déplace vers la gauche quand $k>0$ , et vers la droite quand $k<0$ — le sens est inversé par rapport à l’intuition. Retiens-le en repérant où va le zéro : si $f(0)$ est remarquable, $g(x)=f(x+k)$ place ce même comportement en $x=-k$ , donc décalé « à reculons » de $k$ .

5.3 Exemple complet 1 — une fonction homographique

Appliquons le plan d’étude, sans en sauter une étape, à $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x-1}$ .

Étude complète de

f(x) = 2 + \dfrac{1}{x-1}

1. Domaine et parité. $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , non symétrique par rapport à $0$ : la parité ne se pose pas.

2. Limites et asymptotes.

quand $x \to 1^{-}$ , $x-1 \to 0^{-}$ donc $f(x) \to -\infty$ ; quand $x \to 1^{+}$ , $f(x) \to +\infty$
$\Rightarrow$ asymptote verticale $x=1$
quand $x \to \pm\infty$ , $\dfrac{1}{x-1} \to 0$ donc $f(x) \to 2$
$\Rightarrow$ asymptote horizontale $y=2$

3. Dérivée et variations.

$f'(x) = -\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ dérivée de $u \mapsto \frac{1}{u}$ composée avec $x \mapsto x-1$
$(x-1)^{2} > 0$ pour tout $x \neq 1$
$\Rightarrow$ $f'(x) < 0$ sur chaque intervalle de $D_f$

$f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$ (mais pas sur $D_f$ tout entier : ce sont deux branches distinctes, séparées par la valeur interdite).

4. Points remarquables. $f(0) = 2 - 1 = 1$ (intersection avec $(Oy)$ ) ; $f(x)=0 \iff \frac{1}{x-1} = -2 \iff x = 0{,}5$ (intersection avec $(Ox)$ ) ; tangente en $A(2\,;3)$ d’équation $y=-x+5$ (calculée section 4).

5. Tracé. Voir figure 5 : les deux branches, l’asymptote verticale $x=1$ , l’asymptote horizontale $y=2$ , et la tangente en $A$ .

Figure 5 — Courbe complète de la fonction homographique

f(x) = 2 + \dfrac{1}{x-1}

: deux branches séparées par l’asymptote verticale

x=1

, asymptote horizontale

y=2

, tangente tracée au point

A(2\,;3)

5.4 Exemple complet 2 — la fonction $x \mapsto x + \frac{1}{x}$

Reprenons $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ , dont l’asymptote oblique $y=x$ a déjà été établie section 2.3.

Étude complète de

f(x) = x + \dfrac{1}{x}

1. Domaine et parité. $D_f = \mathbb{R}^{*}$ , symétrique par rapport à $0$ . $f(-x) = -x - \frac{1}{x} = -f(x)$ : $f$ est impaire (courbe symétrique par rapport à $O$ ).

2. Limites et asymptotes. $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = -\infty$ : asymptote verticale $x=0$ . Asymptote oblique $y=x$ (démontrée section 2.3).

3. Dérivée et variations.

$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}$
$x^{2}>0$ sur $\mathbb{R}^{*}$ , donc $f'(x)$ a le signe de $x^{2}-1 = (x-1)(x+1)$
$\Rightarrow$ $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[$ et $]1;+\infty[$ ; $f'(x)<0$ sur $]-1;0[$ et $]0;1[$

$f$ est donc croissante sur $]-\infty;-1]$ , décroissante sur $[-1;0[$ puis sur $]0;1]$ , croissante sur $[1;+\infty[$ .

4. Points remarquables. Maximum local en $(-1\,;-2)$ ; minimum local en $(1\,;2)$ ; aucune intersection avec $(Oy)$ ( $0 \notin D_f$ ) ni avec $(Ox)$ ( $f(x)=0$ donnerait $x^{2}=-1$ , impossible).

5. Tracé. Deux branches symétriques par rapport à $O$ (fonction impaire), chacune tangente à l’asymptote oblique $y=x$ à l’infini et fuyant vers l’asymptote verticale $x=0$ près du centre.

6Résolution graphique

6.1 Résoudre $f(x)=k$ et $f(x) \leqslant k$ graphiquement

Méthode — résoudre

f(x)=k

sur un graphique

Trace la droite horizontale d'équation $y=k$ . Les solutions de $f(x)=k$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec cette droite. Pour $f(x) \leqslant k$ , les solutions sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés sur ou en dessous de la droite $y=k$ : lis l'intervalle correspondant directement sur l'axe des abscisses.

Figure 6 — Les solutions de

f(x)=k

sont les abscisses des points d’intersection de

\mathcal{C}_f

avec la droite horizontale

y=k

: ici

x_1 \approx -2{,}35

x_2 \approx 2{,}35

Exemple — lecture graphique

Sur la figure 6, la courbe de $f(x)=0{,}4x^{2}-1$ coupe la droite $y=1{,}2$ en deux points. Pour $f(x) \leqslant 1{,}2$ , la réponse se lit directement : c'est l'intervalle $[x_1\,;x_2]$ , là où la courbe reste sous la droite.

$f(x) = 1{,}2 \iff 0{,}4x^{2}-1 = 1{,}2$
$\iff$ $x^{2} = 5{,}5$
$\iff$ $x = -\sqrt{5{,}5}$ ou $x = \sqrt{5{,}5}$
$\Rightarrow$ $x_1 \approx -2{,}345$ et $x_2 \approx 2{,}345$

Le calcul confirme la lecture graphique : $f(x) \leqslant 1{,}2$ sur $\left[-\sqrt{5{,}5}\,;\sqrt{5{,}5}\right]$ .

6.2 Comparer deux courbes : résoudre $f(x) \leqslant g(x)$

Méthode — comparer

f

g

graphiquement

Trace $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans le même repère. L'ensemble des solutions de $f(x) \leqslant g(x)$ est l'ensemble des abscisses pour lesquelles $\mathcal{C}_f$ est en dessous ou confondue avec $\mathcal{C}_g$ ; les abscisses des points d'intersection des deux courbes bornent ces intervalles.

Attention

Une lecture graphique donne des valeurs approchées, précises à la finesse du quadrillage près. Dès que l'énoncé le permet (équation ou inéquation qui se résout par le calcul), vérifie ou complète ta lecture par une résolution algébrique exacte, comme dans l'exemple ci-dessus : au bac, une réponse purement graphique sans justification calculatoire est rarement acceptée seule.

Fiche mémo

Domaine : exclure dénominateurs nuls et radicandes négatifs ; $D_f$ est presque toujours une réunion d'intervalles.
Parité : $f(-x)=f(x)$ (paire, symétrie $(Oy)$ ) ou $f(-x)=-f(x)$ (impaire, symétrie $O$ ) — domaine symétrique par rapport à $0$ requis.
Asymptote verticale $x=a$ : $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ . Horizontale $y=\ell$ : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$ . Oblique $y=ax+b$ : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ .
Signe de $f'$ sur $I$ $\Rightarrow$ variations de $f$ sur $I$ (croissante si $f'>0$ , décroissante si $f'<0$ ).
$u,v$ croissantes $\Rightarrow u+v$ croissante ; $k>0$ $\Rightarrow ku$ même sens, $k<0$ $\Rightarrow$ sens contraire ; $u\geqslant0$ croissante $\Rightarrow \sqrt{u}$ croissante ; $u$ strictement positive croissante $\Rightarrow \frac{1}{u}$ décroissante.
Tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Extremum local en $x_0$ (dérivable, $I$ ouvert) $\Rightarrow f'(x_0)=0$ (réciproque fausse).
Translation : $f(x)+k$ → vecteur $k\vec{\jmath}$ ; $f(x-k)$ → vecteur $k\vec{\imath}$ (attention au signe inversé pour $f(x+k)$ ).
$|f|$ : identique à $f$ où $f\geqslant0$ ; symétrique par rapport à $(Ox)$ où $f<0$ .
Plan d'étude : domaine/parité → limites/asymptotes → dérivée/variations → points remarquables/tangentes → tracé → exploitation graphique.
Résolution graphique : $f(x)=k$ → intersections avec $y=k$ ; $f(x)\leqslant g(x)$ → intervalles où $\mathcal{C}_f$ est sous $\mathcal{C}_g$ . Toujours confirmer par le calcul si possible.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Détermine le domaine de définition de $f(x) = \dfrac{x-3}{x^{2}-9}$ et de $g(x) = \sqrt{2x-6}$ .

Voir le corrigé détaillé

Pour $f$ .

$f(x)$ existe $\iff x^{2}-9 \neq 0$
$\iff$ $(x-3)(x+3) \neq 0$
$\iff$ $x \neq 3$ et $x \neq -3$

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\,;3\}$ (le numérateur s'annule aussi en $3$ , mais c'est le dénominateur qui commande le domaine).

Pour $g$ .

$g(x)$ existe $\iff 2x-6 \geqslant 0$
$\iff$ $x \geqslant 3$

$D_g = [3;+\infty[$ .

Étudie la parité de $f(x) = x^{4}-2x^{2}$ puis de $g(x) = x^{3}+x$ .

Voir le corrigé détaillé

Les deux domaines sont $\mathbb{R}$ , symétrique par rapport à $0$ .

$f(-x) = (-x)^{4}-2(-x)^{2} = x^{4}-2x^{2} = f(x)$
$\Rightarrow$ $f$ est paire
$g(-x) = (-x)^{3}+(-x) = -x^{3}-x = -(x^{3}+x) = -g(x)$
$\Rightarrow$ $g$ est impaire

Soit $f(x) = 5 - \dfrac{2}{x+1}$ . Donne les équations des asymptotes de $\mathcal{C}_f$ .

Voir le corrigé détaillé

quand $x \to -1$ , $x+1 \to 0$ donc $\dfrac{2}{x+1} \to \pm\infty$
$\Rightarrow$ asymptote verticale $x=-1$
quand $x \to \pm\infty$ , $\dfrac{2}{x+1} \to 0$
$\Rightarrow$ asymptote horizontale $y=5$

Dresse le tableau de variations de $f(x) = -x^{2}+4x-1$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir le corrigé détaillé

$f'(x) = -2x+4$
$f'(x) = 0 \iff x=2$ ; $f'(x)>0$ pour $x<2$ ; $f'(x)<0$ pour $x>2$
$f(2) = -4+8-1 = 3$

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	0	$-$
variations de $f$		$\nearrow$	3	$\searrow$

Soit $f(x) = x^{2}-5x+2$ . Détermine l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ .

Voir le corrigé détaillé

$f(1) = 1-5+2 = -2$
$f'(x) = 2x-5 \Rightarrow f'(1) = 2-5 = -3$
$y = f'(1)(x-1)+f(1)$
$=$ $-3(x-1)-2$
$=$ $-3x+1$

Niveau 2 — Approfondissement

Sans dériver, étudie le sens de variation de $f(x) = \sqrt{4-x^{2}}$ sur $[-2;2]$ .

Voir le corrigé détaillé

Posons $u(x) = 4-x^{2}$ , positive sur $[-2;2]$ .

$u$ est croissante sur $[-2;0]$ et décroissante sur $[0;2]$ somme de $-x^2$ (opposé de $x^2$ ) et de la constante $4$
$\Rightarrow$ $\sqrt{u}$ est croissante sur $[-2;0]$ théorème de la racine, $u$ positive et croissante
$\Rightarrow$ $\sqrt{u}$ est décroissante sur $[0;2]$ théorème de la racine, $u$ positive et décroissante

$f$ est donc croissante sur $[-2;0]$ , décroissante sur $[0;2]$ — sans avoir calculé une seule dérivée.

Soit $f(x)=x^{3}$ . Vérifie que $f'(0)=0$ , puis montre que $f$ est pourtant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (donc sans extremum en $0$ ).

Voir le corrigé détaillé

$f'(x) = 3x^{2}$ donc $f'(0) = 0$
pour $a<b$ , $f(b)-f(a) = b^{3}-a^{3} = (b-a)(a^{2}+ab+b^{2})$
$a^{2}+ab+b^{2} = \left(a+\frac{b}{2}\right)^{2}+\frac{3b^{2}}{4} \geqslant 0$ , nul seulement si $a=b=0$
or $a<b$ donc $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls
$\Rightarrow$ $a^{2}+ab+b^{2}>0$ , et $b-a>0$ , donc $f(b)-f(a)>0$

$f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier : la tangente horizontale en $0$ ( $f'(0)=0$ ) ne signale aucun extremum, exactement comme annoncé section 4.2 (la réciproque du théorème est fausse).

Soit $f(x) = x + \dfrac{3}{x-2}$ . Détermine l'asymptote oblique de $\mathcal{C}_f$ et précise la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Voir le corrigé détaillé

$\varepsilon(x) = f(x)-x = \dfrac{3}{x-2}$
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\varepsilon(x) = 0$
$\Rightarrow$ la droite $y=x$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$

Pour $x>2$ , $\varepsilon(x)=\frac{3}{x-2}>0$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote. Pour $x<2$ , $\varepsilon(x)<0$ : la courbe est en dessous.

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , d'asymptotes $x=0$ et $y=0$ . Sans recalculer de limite, donne les asymptotes de $g(x) = f(x)+3$ puis de $h(x) = f(x-2)$ .

Voir le corrigé détaillé

$g$ s'obtient à partir de $f$ par translation de vecteur $3\vec{\jmath}$ (théorème section 5.2) : ses asymptotes sont celles de $f$ , translatées de $3$ verticalement. $x=0$ reste inchangée (translation verticale), $y=0$ devient $y=3$ .

$h$ s'obtient par translation de vecteur $2\vec{\imath}$ : $x=0$ devient $x=2$ , $y=0$ reste inchangée (translation horizontale).

Asymptotes de $\mathcal{C}_g$ : $x=0$ et $y=3$ . Asymptotes de $\mathcal{C}_h$ : $x=2$ et $y=0$ .

Soit $f(x) = x^{2}-9$ . Exprime $|f(x)|$ sans valeur absolue, en distinguant les intervalles nécessaires.

Voir le corrigé détaillé

$f(x) = (x-3)(x+3)$ , négatif entre les racines, positif à l'extérieur
$\Rightarrow$ $f(x) \geqslant 0$ sur $]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$ ; $f(x)<0$ sur $]-3;3[$

Donc :

$|f(x)| = x^{2}-9$ pour $x \in \;]-\infty;-3]\cup[3;+\infty[$ ;
$|f(x)| = 9-x^{2}$ pour $x \in \;]-3;3[$ .

Le domaine de $|f|$ reste $\mathbb{R}$ tout entier : seul le signe change, jamais l'existence.

Niveau 3 — Défi

Soit $f(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}$ .

Détermine $D_f$ , et montre que $f(x) = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ .
Détermine les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ et donne les équations des asymptotes.
Calcule $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ .
Détermine les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec les axes, puis l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $D_f = \mathbb{R}\setminus\{-2\}$ .

$3 - \dfrac{7}{x+2} = \dfrac{3(x+2)-7}{x+2}$
$=$ $\dfrac{3x+6-7}{x+2}$
$=$ $\dfrac{3x-1}{x+2} = f(x)$

2. Sous cette forme, $\dfrac{7}{x+2} \to \pm\infty$ quand $x\to-2$ : asymptote verticale $x=-2$ . Quand $x\to\pm\infty$ , $\dfrac{7}{x+2}\to0$ donc $f(x)\to3$ : asymptote horizontale $y=3$ .

$f'(x) = \dfrac{7}{(x+2)^{2}}$ dérivée de $-\frac{7}{x+2}$
$(x+2)^{2}>0$ sur $D_f$ donc $f'(x)>0$

$f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-2[$ et sur $]-2;+\infty[$ .

4. $f(0) = 3-\frac{7}{2} = -0{,}5$ : point $(0\,;-0{,}5)$ . $f(x)=0 \iff 3x-1=0 \iff x=\frac13$ : point $\left(\frac13\,;0\right)$ . Tangente en $0$ : $f'(0)=\frac{7}{4}=1{,}75$ , donc $y = 1{,}75x - 0{,}5$ .

Soit $f(x) = \sqrt{x^{2}-1}$ .

Détermine $D_f$ et la parité de $f$ .
Montre que la droite $y=x$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (indication : multiplie par la quantité conjuguée).
Calcule $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ sur $D_f$ .
Trace l'allure de $\mathcal{C}_f$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $D_f = \;]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$ (établi section 1.1). $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ , et $f(-x)=\sqrt{(-x)^{2}-1}=\sqrt{x^{2}-1}=f(x)$ : $f$ est paire.

$f(x)-x = \sqrt{x^{2}-1}-x$
$=$ $\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}-1}+x\right)}{\sqrt{x^{2}-1}+x}$ on multiplie par la quantité conjuguée
$=$ $\dfrac{(x^{2}-1)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}+x}$
$=$ $\dfrac{-1}{\sqrt{x^{2}-1}+x}$

Quand $x\to+\infty$ , le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc $f(x)-x \to 0$ : $y=x$ est bien asymptote oblique en $+\infty$ . Par parité, $y=-x$ est asymptote oblique en $-\infty$ .

$f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$
pour $x>1$ , $f'(x)>0$ ; pour $x<-1$ , $f'(x)<0$

$f$ est décroissante sur $]-\infty;-1]$ (de $+\infty$ à $0$ ), croissante sur $[1;+\infty[$ (de $0$ à $+\infty$ ) ; $f(\pm1)=0$ , avec tangente verticale en ces deux points.

4. Deux branches symétriques par rapport à $(Oy)$ (fonction paire), chacune tangente verticalement en $\pm1$ puis se rapprochant des asymptotes $y=x$ (à droite) et $y=-x$ (à gauche) : la courbe ressemble à un grand « V » évasé, dont les branches redressent vers les deux droites obliques.

Soit $f(x) = x^{3}-3x^{2}+2$ .

Dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Vérifie que $f(1)=0$ , puis factorise $f(x)$ sous la forme $(x-1)(x^{2}-2x-2)$ .
Résous $f(x)=0$ et retrouve, en les comparant au tableau de variations, le nombre de solutions attendu.

Voir le corrigé détaillé

$f'(x) = 3x^{2}-6x = 3x(x-2)$
racines $0$ et $2$ , signe positif à l'extérieur, négatif entre les deux
$f(0)=2$ (maximum local) ; $f(2)=8-12+2=-2$ (minimum local)

$f$ croissante sur $]-\infty;0]$ , décroissante sur $[0;2]$ , croissante sur $[2;+\infty[$ .

2. $f(1) = 1-3+2 = 0$ , donc $1$ est racine et $(x-1)$ divise $f(x)$ .

$(x-1)(x^{2}-2x-2) = x^{3}-2x^{2}-2x-x^{2}+2x+2$
$=$ $x^{3}-3x^{2}+2 = f(x)$ l'identité est vérifiée

$f(x)=0 \iff x=1$ ou $x^{2}-2x-2=0$
$\Delta = 4+8=12$ , $\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}$
$x = \dfrac{2\pm2\sqrt{3}}{2} = 1\pm\sqrt{3}$

Trois solutions : $1-\sqrt{3}\approx-0{,}73$ , $1$ , $1+\sqrt{3}\approx2{,}73$ . Cela concorde avec le tableau : comme $f$ passe d'un maximum local positif ( $f(0)=2$ ) à un minimum local négatif ( $f(2)=-2$ ) en changeant deux fois de sens, la courbe traverse nécessairement l'axe $(Ox)$ exactement trois fois.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

L'atelier de couture d'Aminata (Bamako). Le bénéfice mensuel de l'atelier, en centaines de milliers de francs CFA, est modélisé par $B(x) = -0{,}5x^{2}+6x-10$ , où $x$ est le nombre de tenues vendues, en centaines.

Calcule $B(0)$ et interprète ce résultat.
Dresse le tableau de variations de $B$ sur $[0;12]$ et donne le bénéfice maximal.
Résous $B(x)=0$ , puis donne l'intervalle de rentabilité de l'atelier (en nombre de tenues).

Voir le corrigé détaillé

1. $B(0) = -10$ : sans aucune vente, l'atelier perd $10$ centaines de milliers de francs, soit $1\,000\,000$ F CFA (charges fixes).

$B'(x) = -x+6$ , nulle en $x=6$ , positive avant, négative après
$B(6) = -18+36-10 = 8$

$B$ croissante sur $[0;6]$ , décroissante sur $[6;12]$ : bénéfice maximal de $8$ centaines de milliers de F CFA ( $800\,000$ F CFA) pour $600$ tenues vendues.

$-0{,}5x^{2}+6x-10=0 \iff x^{2}-12x+20=0$
$\Delta = 144-80=64$ , $\sqrt{\Delta}=8$
$x = \dfrac{12\pm8}{2}$
$\Rightarrow$ $x=2$ ou $x=10$

L'atelier est rentable ( $B(x)\geqslant0$ ) pour $x\in[2;10]$ , soit entre $200$ et $1\,000$ tenues vendues par mois.

Transport de marchandises (Ndjamena). Pour un trajet de $x$ km ( $x\geqslant50$ ), un transporteur facture un tarif unitaire $C(x) = 5\,000 + \dfrac{200\,000}{x}$ (en F CFA par km).

Sans dériver, justifie que $C$ est décroissante sur $[50;+\infty[$ .
Calcule $C(50)$ et $C(500)$ , et interprète leur écart.
Le tarif unitaire peut-il un jour descendre en dessous de $5\,000$ F CFA/km ? Justifie à l'aide d'une limite.

Voir le corrigé détaillé

1. Posons $u(x)=x$ , strictement positive et croissante sur $[50;+\infty[$ .

$\dfrac{1}{u}$ est décroissantethéorème de l'inverse : $u$ strictement positive et croissante
$200\,000 \times \dfrac{1}{u}$ est décroissante $k=200\,000>0$ , même sens que $\frac1u$
$\Rightarrow$ $C = 5\,000 + 200\,000\times\frac1u$ est décroissanteune constante ajoutée ne change pas le sens de variation

2. $C(50) = 5\,000+\frac{200\,000}{50} = 5\,000+4\,000 = 9\,000$ F CFA/km. $C(500) = 5\,000+\frac{200\,000}{500} = 5\,000+400 = 5\,400$ F CFA/km. Pour un trajet dix fois plus long, le tarif au kilomètre a presque diminué de moitié : les frais fixes se répartissent sur davantage de kilomètres.

3. Quand $x\to+\infty$ , $\frac{200\,000}{x}\to0$ donc $C(x)\to5\,000$ : le tarif se rapproche de $5\,000$ F CFA/km sans jamais l'atteindre ( $\frac{200\,000}{x}$ reste strictement positif). Il ne peut donc jamais descendre en dessous de ce seuil : $y=5\,000$ est une asymptote horizontale.

Le pont suspendu de Douala. La hauteur du câble porteur au-dessus du tablier, à $x$ mètres du pilier gauche, est modélisée par $h(x) = 0{,}002x^{2}-0{,}4x+25$ pour $x\in[0;200]$ .

Dresse le tableau de variations de $h$ et donne la hauteur minimale du câble.
Calcule $h(0)$ et $h(200)$ ; que représentent ces valeurs ?
Détermine, au mètre près, les positions où le câble est à $20$ m au-dessus du tablier.

Voir le corrigé détaillé

$h'(x) = 0{,}004x-0{,}4$ , nulle en $x=100$
$h(100) = 0{,}002\times10\,000-40+25 = 20-40+25 = 5$

$h$ décroissante sur $[0;100]$ , croissante sur $[100;200]$ : hauteur minimale de $5$ m, au centre du pont.

2. $h(0)=25$ et $h(200)=0{,}002\times40\,000-80+25=80-80+25=25$ : aux deux piliers, le câble est accroché à $25$ m au-dessus du tablier — cohérent avec la symétrie du câble autour de son point le plus bas.

$0{,}002x^{2}-0{,}4x+25=20 \iff 0{,}002x^{2}-0{,}4x+5=0$
$\iff x^{2}-200x+2\,500=0$ on multiplie par $500$
$\Delta = 40\,000-10\,000 = 30\,000$ , $\sqrt{\Delta}\approx173{,}2$
$x \approx \dfrac{200\pm173{,}2}{2}$

Le câble est à $20$ m de hauteur à environ $x\approx13$ m et $x\approx187$ m du pilier gauche — deux points symétriques par rapport au centre du pont, comme attendu.

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Second degré : discriminant et signe du trinôme

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Le domaine de définition d'une fonction $f$ , noté $D_f$ , est :

l'ensemble des réels

x

tels que

f(x)=0

l'ensemble des réels

x

pour lesquels le nombre

f(x)

existe l'ensemble des réels où

f

est dérivable l'ensemble des réels

x

tels que

f(x)>0

Explication :

D_f

est l'ensemble des réels

x

pour lesquels le calcul de

f(x)

est possible, quel que soit le signe de ce nombre.

Au niveau de la Première, quelles sont les deux seules situations qui interdisent l'existence de $f(x)$ ?

un numérateur nul et un exposant négatif une somme négative et une différence nulle un dénominateur nul et une racine carrée d'un nombre strictement négatif une limite infinie et une dérivée négative

Explication : Un quotient n'existe pas si son dénominateur s'annule, et une racine carrée n'existe pas pour un radicande strictement négatif : ce sont les deux seules interdictions au programme de Première.

Soit $f$ une fonction dont le domaine $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ . On dit que $f$ est impaire lorsque, pour tout $x \in D_f$ :

f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)

f(x) = -x

f(0) = 0

Explication : Par définition,

f

est impaire sur

D_f

(symétrique par rapport à

0

) si

f(-x) = -f(x)

pour tout

x \in D_f

. La condition a) est celle de la parité.

Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à :

l'origine

O

du repère la droite

y=x

l'axe des abscisses

(Ox)

l'axe des ordonnées

(Oy)

Explication : Si

M(a\,;f(a))

est un point de

\mathcal{C}_f

, son symétrique par rapport à

(Oy)

est

M'(-a\,;f(a))

, et

f(-a)=f(a)

place bien

M'

sur la courbe.

Une fonction $f$ , définie sur $\mathbb{R}$ , est dite périodique de période $T$ ( $T>0$ ) si, pour tout réel $x$ :

f(x+T) = f(x)

f(x+T) = f(x) + T

f(-x) = f(x+T)

f(2T) = f(T)

Explication : C'est la définition même de la périodicité : la courbe entière se reconstitue par translations successives de vecteur

T\vec{\imath}

La droite d'équation $y=ax+b$ (avec $a \neq 0$ ) est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ si :

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a

f(x) = ax+b

pour tout

x

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right] = 0

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

Explication : C'est la distance entre la courbe et la droite, mesurée par

f(x)-(ax+b)

, qui doit tendre vers

0

à l'infini.

Quel est le domaine de définition de $k(x) = \dfrac{x+2}{x^{2}-4}$ ?

D_k = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\}

D_k = \mathbb{R} \setminus \{2\}

D_k = \mathbb{R} \setminus \{-2\}

D_k = \mathbb{R}

Explication :

k(x)

existe

\iff x^{2}-4 \neq 0

\iff (x-2)(x+2) \neq 0

\iff x \neq 2

x \neq -2

.
On exclut les deux valeurs interdites, même si le numérateur s'annule aussi en

x=-2

: le dénominateur commande le domaine.

Quel est le domaine de définition de $h(x) = \sqrt{x^{2}-1}$ ?

[-1\,;1]

\mathbb{R}

]-\infty\,;-1] \cup [1\,;+\infty[

]-1\,;1[

Explication :

h(x)

existe

\iff x^{2}-1 \geqslant 0

\iff (x-1)(x+1) \geqslant 0

Un produit de deux facteurs qui s'annulent en

-1

1

est positif « à l'extérieur des racines » :

x \leqslant -1

x \geqslant 1

Quelle est la limite $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}-x}{x^{2}+5}$ ?

0

1

+\infty

3

Explication : On factorise par

x^{2}

, terme dominant au numérateur comme au dénominateur :

\dfrac{3x^{2}-x}{x^{2}+5} = \dfrac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x^{2}}}

\frac{1}{x} \to 0

\frac{5}{x^{2}} \to 0

quand

x \to +\infty

, donc la limite vaut

\dfrac{3}{1}=3

Soit $f(x) = 3 + \dfrac{1}{x-2}$ , de domaine $D_f = \mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Quelles sont les équations des asymptotes de $\mathcal{C}_f$ ?

x=3

y=2

x=2

y=3

x=2

y=0

y=x+3

(asymptote oblique) seulement

Explication : Quand

x \to 2

\dfrac{1}{x-2} \to \pm\infty

: la droite

x=2

est asymptote verticale.
Quand

x \to \pm\infty

\dfrac{1}{x-2} \to 0

: la droite

y=3

est asymptote horizontale.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Si $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors :

f

est constante sur

I

f

est strictement décroissante sur

I

f

est strictement croissante sur

I

f

admet un minimum en tout point de

I

Explication : C'est le théorème fondamental reliant signe de la dérivée et sens de variation :

f'>0

sur

I

entraîne

f

strictement croissante sur

I

Si $u$ et $v$ sont toutes deux croissantes sur un intervalle $I$ , alors :

u \times v

est croissante sur

I

u+v

est croissante sur

I

u-v

est croissante sur

I

\dfrac{1}{u}

est croissante sur

I

Explication : Pour

a<b

dans

I

u(a)\leqslant u(b)

v(a)\leqslant v(b)

; en additionnant ces deux inégalités de même sens,

(u+v)(a)\leqslant(u+v)(b)

Pour étudier, sans dériver, le sens de variation de $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}$ sur $[0;+\infty[$ , on pose $u(x)=x^{2}+1$ . Comme $u$ est positive et croissante sur $[0;+\infty[$ , on en déduit que $f=\sqrt{u}$ est :

décroissante sur

[0;+\infty[

constante sur

[0;+\infty[

croissante sur

[0;+\infty[

ni croissante ni décroissante

Explication : Le théorème de la racine dit que si

u

est positive et croissante sur

I

, alors

\sqrt{u}

est croissante sur

I

: c'est directement le cas ici.

Soit $f(x) = x^{3}-3x+1$ . Quelle est l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a=2$ ?

y = 9x - 15

y = 9x + 15

y = 3x - 15

y = 12x - 21

Explication :

f(2) = 8-6+1 = 3

f'(x) = 3x^{2}-3 \Rightarrow f'(2) = 12-3 = 9

y = f'(2)(x-2)+f(2) = 9(x-2)+3 = 9x-15

Si $u$ est strictement positive et croissante sur un intervalle $I$ , alors $\dfrac{1}{u}$ est :

croissante sur

I

constante sur

I

positive et croissante, comme

u

décroissante sur

I

Explication : Piège classique : passer à l'inverse d'une fonction strictement positive inverse le sens de variation. Pour

a<b

0<u(a)\leqslant u(b)

donne

\frac{1}{u(a)} \geqslant \frac{1}{u(b)}

\frac{1}{u}

est décroissante.

Soit $f(x)=x^{3}$ . On a $f'(0)=0$ , mais $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier (tangente horizontale en $0$ sans extremum). Que peut-on en conclure sur la réciproque du théorème « extremum local $\Rightarrow$ tangente horizontale » ?

elle est toujours vraie elle n'a de sens que pour les fonctions impaires elle est vraie uniquement si

f

est un polynôme elle est fausse :

f'(x_0)=0

n'entraîne pas forcément un extremum

Explication :

f(x)=x^{3}

est le contre-exemple classique :

f'(0)=0

sans que

0

soit un extremum. Seul le changement de signe de

f'

autour d'un point confirme un extremum.

Piège classique du bac : pour $k>0$ , la courbe de $x \mapsto f(x+k)$ se déplace, par rapport à $\mathcal{C}_f$ :

vers la droite vers le haut vers la gauche vers le bas

Explication : Le sens est inversé par rapport à l'intuition : si

f(0)

est remarquable,

g(x)=f(x+k)

place ce même comportement en

x=-k

, donc la courbe se décale « à reculons », vers la gauche.

La courbe de $|f|$ , comparée à $\mathcal{C}_f$ , est :

toujours identique à

\mathcal{C}_f

identique à

\mathcal{C}_f

là où

f(x)\geqslant0

, et son symétrique par rapport à

(Ox)

là où

f(x)<0

toujours symétrique de

\mathcal{C}_f

par rapport à

(Oy)

identique à

\mathcal{C}_f

là où

f(x) \leqslant 0

seulement

Explication : Là où

f(x)\geqslant0

|f(x)|=f(x)

: la courbe ne change pas. Là où

f(x)<0

|f(x)|=-f(x)

: le point

(x\,;-f(x))

est le symétrique de

(x\,;f(x))

par rapport à

(Ox)

L'atelier de couture d'Aminata (Bamako) a un bénéfice mensuel, en centaines de milliers de francs CFA, modélisé par $B(x) = -0{,}5x^{2}+6x-10$ , où $x$ est le nombre de tenues vendues (en centaines). Quel est le bénéfice maximal, et pour combien de tenues vendues ?

8

centaines de milliers de F CFA, pour

600

tenues

10

centaines de milliers de F CFA, pour

500

tenues

6

centaines de milliers de F CFA, pour

600

tenues

8

centaines de milliers de F CFA, pour

1\,000

tenues

Explication :

B'(x) = -x+6

, nulle en

x=6

, positive avant, négative après : maximum en

x=6

B(6) = -18+36-10 = 8

x=6

centaines correspond à

600

tenues vendues.

La hauteur du câble porteur du pont suspendu de Douala, à $x$ mètres du pilier gauche, est $h(x) = 0{,}002x^{2}-0{,}4x+25$ pour $x\in[0;200]$ . Quelle est la hauteur minimale du câble, et à quelle distance du pilier gauche est-elle atteinte ?

5

m, à

x=100

25

m, à

x=0

0

m, à

x=200

10

m, à

x=100

Explication :

h'(x) = 0{,}004x-0{,}4

, nulle en

x=100

, négative avant, positive après : minimum en

x=100

h(100) = 0{,}002\times10\,000-40+25 = 20-40+25 = 5

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En bref

Classe : Classe de Première
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 10 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme

Étude et représentation de fonctions

Ce que tu sauras faire à la fin

1Domaine, parité, périodicité

1.1 Domaine de définition

1.2 Parité d'une fonction

1.3 Périodicité d'une fonction

2Limites et asymptotes

2.1 Limites aux bornes du domaine

2.2 Asymptotes verticales et horizontales

2.3 Asymptotes obliques

3Dérivée et tableau de variations

3.1 Rappel : taux d'accroissement et dérivée

3.2 Signe de la dérivée et sens de variation

3.3 Opérations sur les fonctions et sens de variation

3.4 Dresser un tableau de variations

4Points remarquables et tangentes

4.1 Équation de la tangente en un point

4.2 Points remarquables : extrema et intersections

4.3 Tracer une tangente à partir de son équation

5Tracé de la courbe

5.1 Plan d'étude d'une fonction

5.2 Fonctions associées : translations, dilatation, valeur absolue

5.3 Exemple complet 1 — une fonction homographique

5.4 Exemple complet 2 — la fonction x↦x+1xx \mapsto x + \frac{1}{x}x↦x+x1​

6Résolution graphique

6.1 Résoudre f(x)=kf(x)=kf(x)=k et f(x)⩽kf(x) \leqslant kf(x)⩽k graphiquement

6.2 Comparer deux courbes : résoudre f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)f(x)⩽g(x)

Fiche mémo

7Exercices corrigés

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Second degré : discriminant et signe du trinôme

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

5.4 Exemple complet 2 — la fonction $x \mapsto x + \frac{1}{x}$

6.1 Résoudre $f(x)=k$ et $f(x) \leqslant k$ graphiquement

6.2 Comparer deux courbes : résoudre $f(x) \leqslant g(x)$