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Suites numériques

Découvrir les suites, les suites arithmétiques et géométriques.

Mathématiques Première Chapitre 3 / 13 ⏱ 10 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Reconnaître la nature d'une suite
  • Calculer un terme de rang n et une somme de termes
  • Modéliser une évolution par une suite

Une population qui augmente chaque année d’un même pourcentage, un capital qui rapporte des intérêts année après année, le nombre de plis d’une feuille pliée en deux encore et encore : dans chacun de ces cas, on fabrique une nouvelle valeur à partir de la précédente, indéfiniment. C’est exactement l’objet de ce chapitre : les suites numériques, des listes infinies de nombres rangés dans un ordre précis, un pour chaque entier naturel 0,1,2,3,…0, 1, 2, 3, \dots

Tu connais déjà les fonctions, qui associent un nombre réel xx à un nombre f(x)f(x), pour xx parcourant un intervalle. Une suite est une cousine des fonctions : elle associe elle aussi un nombre à un autre nombre, mais seulement pour les entiers naturels n=0,1,2,3,…n = 0, 1, 2, 3, \dots Cette différence, en apparence mineure, change beaucoup de choses : on ne trace plus une courbe continue, mais un nuage de points ; et une suite peut se construire de deux façons radicalement différentes, que tu vas apprendre à distinguer.

Les suites sont partout dès qu’il s’agit de modéliser une évolution répétée dans le temps : l’épargne d’un compte bancaire à Bamako, la population d’Abéché, la valeur d’une voiture qui se déprécie à Douala, la cagnotte d’une tontine à Dakar. À la fin de ce chapitre, tu sauras reconnaître la nature d’une suite, calculer n’importe lequel de ses termes, additionner ses premiers termes, et surtout choisir le bon modèle pour une situation concrète.

Le programme se déroule ainsi : définitions et façons de construire une suite, représentation graphique, sens de variation, puis les deux familles reines — suites arithmétiques et suites géométriques — avec, pour chacune, la formule du terme général et celle de la somme des premiers termes, toutes deux démontrées. Le chapitre se referme sur des situations de modélisation authentiques.

1Définition, modes de génération

Définition

Une suite numérique (un)(u_n) est une liste ordonnée de nombres réels, un pour chaque entier naturel nn (à partir d’un certain rang, souvent 00 ou 11). Le nombre associé à l’entier nn se note unu_n — on lit « uu indice nn » — et s’appelle le terme de rang nn (ou terme d’indice nn).

On note la suite entière (un)(u_n), ou (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} ; u0u_0 est le premier terme (si la suite démarre à 00), u1u_1 le deuxième, unu_n et un+1u_{n+1} sont deux termes consécutifs.

Attention

Ne confonds jamais unu_n avec un produit « uu fois nn » : l’indice nn est un repère de position dans la liste, pas un facteur. De même, un+1u_{n+1} n’est pas « un+1u_n + 1 » : c’est le terme suivant unu_n, pas unu_n augmenté de 11.

Il existe deux façons fondamentalement différentes de définir une suite : donner une formule explicite, ou donner une relation de récurrence.

1.1  Génération par une formule explicite

Définition

Une suite (un)(u_n) est définie de manière explicite lorsqu’il existe une fonction ff telle que, pour tout nn :

un=f(n)u_n = f(n)

Chaque terme se calcule directement, sans connaître les termes précédents.

Exemple — suite explicite un=3n−2u_n = 3n - 2
  1. u0=3×0−2=−2u_0 = 3 \times 0 - 2 = -2
  2. u1=3×1−2=1u_1 = 3 \times 1 - 2 = 1
  3. u5=3×5−2=13u_5 = 3 \times 5 - 2 = 13
  4. u10=3×10−2=28u_{10} = 3 \times 10 - 2 = 28on obtient u10u_{10} sans calculer les termes intermédiaires

1.2  Génération par récurrence

Définition

Une suite (un)(u_n) est définie par récurrence lorsqu’on donne son premier terme u0u_0, et une relation qui exprime chaque terme en fonction du précédent :

un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

Pour connaître unu_n, il faut alors calculer tous les termes qui le précèdent, l’un après l’autre.

Exemple — suite récurrente u0=1u_0 = 1, un+1=0,5 un+2u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2
  1. u0=1u_0 = 1
  2. u1=0,5×1+2=2,5u_1 = 0{,}5 \times 1 + 2 = 2{,}5
  3. u2=0,5×2,5+2=3,25u_2 = 0{,}5 \times 2{,}5 + 2 = 3{,}25
  4. u3=0,5×3,25+2=3,625u_3 = 0{,}5 \times 3{,}25 + 2 = 3{,}625
  5. u4=0,5×3,625+2=3,8125u_4 = 0{,}5 \times 3{,}625 + 2 = 3{,}8125
Attention

Avec une définition par récurrence, il est impossible de sauter directement à u10u_{10} : il faut d’abord obtenir u1,u2,…,u9u_1, u_2, \dots, u_9. C’est la différence essentielle avec une suite explicite, où chaque terme s’obtient indépendamment des autres.

Math & Co — Le lapin de Fibonacci

En 12021202, le marchand et mathématicien italien Léonard de Pise, dit Fibonacci, publie le Liber Abaci (« Livre du calcul »), qui introduit en Europe les chiffres indo-arabes. Il y pose un problème resté célèbre : un couple de lapins produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au bout d’un mois. Combien de couples au bout d’un an ?

La suite obtenue vérifie la relation de récurrence Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2} = F_{n+1} + F_n, avec F0=0F_0 = 0 et F1=1F_1 = 1 : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,…0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots Cette suite de Fibonacci, définie uniquement par récurrence (aucune formule explicite simple ne la donne directement), réapparaît depuis dans la disposition des graines de tournesol, les spirales de coquillages et la phyllotaxie des plantes.

2Représentation graphique

Une suite n’étant définie que pour les entiers naturels, sa représentation graphique n’est jamais une courbe continue : c’est un nuage de points isolés.

2.1  Nuage de points

Méthode — représenter une suite (un)(u_n)

Dans un repère, on place en abscisse le rang nn et en ordonnée le terme unu_n : chaque terme donne un point de coordonnées (n ;un)(n\,;u_n). On place autant de points que de termes calculés, sans les relier.

Attention

Ne relie jamais les points d’une suite par un trait continu : entre n=2n = 2 et n=3n = 3, il n’existe aucun terme u2,5u_{2{,}5}. Une suite n’est définie que sur N\mathbb{N}, et un trait continu suggérerait à tort qu’elle l’est aussi sur les nombres décimaux.

2.2  Construire une suite récurrente sur un graphique

Méthode — construction en escalier de un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

Pour une suite définie par récurrence, on trace dans un même repère la courbe de ff et la droite d’équation y=xy = x (la droite des repères). On construit alors les termes successifs par des allers-retours :

  • on place u0u_0 sur l’axe des abscisses ;
  • on monte (ou descend) verticalement jusqu’à la courbe de ff : on atteint la hauteur u1=f(u0)u_1 = f(u_0) ;
  • on se déplace horizontalement jusqu’à la droite y=xy = x : cela reporte u1u_1 sur l’axe des abscisses ;
  • on répète le procédé pour obtenir u2u_2, puis u3u_3, etc.
Construction en escalier de u(n+1) = 0,5 u(n) + 2, avec u(0) = 1 xy0 1 2 3 4 1 2 3 4 y = x y = f(x) u0 u1 u2 u3 u4
Figure 1 — L’escalier se resserre autour du point fixe 44 (intersection de y=xy=x et y=f(x)y=f(x)) : les termes u0=1u_0=1, u1=2,5u_1=2{,}5, u2=3,25u_2=3{,}25, u3=3,625u_3=3{,}625, u4=3,8125u_4=3{,}8125 semblent se rapprocher de 44 sans jamais l’atteindre.
Exemple — lecture de la figure

Sur la figure 1, l’escalier tracé à partir de u0=1u_0 = 1 « s’enroule » autour du point où la droite y=xy=x coupe la courbe de ff, c’est-à-dire le point d’abscisse 44 (solution de x=0,5x+2x = 0{,}5x+2). On observe graphiquement que les termes se rapprochent de 44 ; nous justifierons cette observation de façon rigoureuse à la section 5.2, avec les suites géométriques.

3Sens de variation

Une suite peut « monter », « descendre », rester immobile, ou changer plusieurs fois de comportement. Étudier son sens de variation, c’est déterminer comment unu_n évolue lorsque nn augmente.

Définition

Soit (un)(u_n) une suite.

  • (un)(u_n) est croissante lorsque, pour tout nn, un+1⩾unu_{n+1} \geqslant u_n (strictement croissante si un+1>unu_{n+1} > u_n) ;
  • (un)(u_n) est décroissante lorsque, pour tout nn, un+1⩽unu_{n+1} \leqslant u_n (strictement décroissante si un+1<unu_{n+1} < u_n) ;
  • (un)(u_n) est constante lorsque, pour tout nn, un+1=unu_{n+1} = u_n ;
  • (un)(u_n) est monotone lorsqu’elle est croissante sur tout son domaine, ou décroissante sur tout son domaine.

3.1  Étudier le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n

Méthode — la différence, valable pour toute suite

On calcule un+1−unu_{n+1} - u_n, on la factorise ou on la simplifie, puis on détermine son signe pour tout nn. Un signe constant donne le sens de variation ; un signe qui change signale une suite non monotone.

Exemple — un=n2−3nu_n = n^{2} - 3n
  1. un+1−un=[(n+1)2−3(n+1)]−[n2−3n]u_{n+1} - u_n = \left[(n+1)^{2} - 3(n+1)\right] - \left[n^{2} - 3n\right]
  2. ==n2+2n+1−3n−3−n2+3nn^{2} + 2n + 1 - 3n - 3 - n^{2} + 3n
  3. ==2n−22n - 2
  4. ==2(n−1)2(n-1)

Le facteur 22 est positif ; le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n est donc celui de n−1n-1 : négatif pour n=0n=0, nul pour n=1n=1, strictement positif pour n⩾2n \geqslant 2. La suite (un)\left(u_n\right) n’est pas monotone : elle décroît de u0u_0 à u1u_1, puis croît strictement à partir du rang 11.

3.2  Termes strictement positifs : comparer le quotient à 11

Méthode — le quotient, si tous les termes sont strictement positifs

Lorsque tous les termes d’une suite sont strictement positifs, on peut comparer un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11 : si ce quotient est >1> 1 pour tout nn, la suite est croissante ; s’il est <1< 1, elle est décroissante.

Exemple — un=3nu_n = 3^{n}
  1. un+1un=3n+13n\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3^{n+1}}{3^{n}}
  2. ==33

Tous les termes 3n3^{n} sont strictement positifs, et le quotient vaut 3>13 > 1 pour tout nn : la suite (un)\left(u_n\right) est strictement croissante.

Attention

La méthode du quotient exige que tous les termes soient de même signe (strictement positifs, le plus souvent) : diviser par un terme négatif ou nul n’a aucun sens ou inverse les inégalités. Et vérifier le sens de variation sur seulement quelques termes ne prouve rien : il faut un argument valable pour tout nn.

4Suites arithmétiques : terme général et somme

Définition

Une suite (un)(u_n) est arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel rr, appelé raison, tel que, pour tout nn :

un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r

Autrement dit, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre rr.

4.1  Terme général

Théorème

Si (un)(u_n) est arithmétique de raison rr et de premier terme u0u_0, alors pour tout nn :

un=u0+n ru_n = u_0 + n\,r

Plus généralement, pour deux rangs quelconques pp et nn :

un=up+(n−p) ru_n = u_p + (n-p)\,r

Démonstration (par récurrence)

Montrons par récurrence sur nn la propriété P(n)P(n) : « un=u0+n ru_n = u_0 + n\,r ».

Initialisation. Pour n=0n=0 : u0+0×r=u0u_0 + 0 \times r = u_0, ce qui est bien vrai. P(0)P(0) est vérifiée.

Hérédité. Supposons P(n)P(n) vraie pour un certain rang nn, c’est-à-dire un=u0+n ru_n = u_0 + n\,r. Montrons que P(n+1)P(n+1) est vraie.

  1. un+1=un+ru_{n+1} = u_n + rdéfinition d’une suite arithmétique
  2. ==(u0+n r)+r(u_0 + n\,r) + rhypothèse de récurrence
  3. ==u0+(n+1) ru_0 + (n+1)\,r

P(n+1)P(n+1) est donc vraie. Conclusion. P(0)P(0) est vraie, et P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1) pour tout nn : par récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout entier naturel nn. C.Q.F.D.

Exemple — u0=2u_0 = 2, r=3r = 3
  1. un=2+3nu_n = 2 + 3n
  2. u20=2+3×20u_{20} = 2 + 3 \times 20
  3. ==6262
Propriété — sens de variation

Puisque un+1−un=ru_{n+1} - u_n = r pour tout nn (méthode de la différence, section 3.1), le sens de variation d’une suite arithmétique se lit directement sur le signe de sa raison :

  • si r>0r > 0 : la suite est strictement croissante ;
  • si r<0r < 0 : la suite est strictement décroissante ;
  • si r=0r = 0 : la suite est constante.
Suite arithmétique u(n) = 2 + 3n : des points alignés nu(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 8 12 16 20 24 u8 = 26
Figure 2 — Les points (n ;un)(n\,;u_n) d’une suite arithmétique sont toujours alignés : ils appartiennent à la droite d’équation y=rn+u0y = rn + u_0, ici y=3n+2y = 3n+2.
Attention

Pour résoudre une équation du type un=100u_n = 100, on remplace unu_n par sa formule explicite et on résout l’équation du premier degré obtenue en nn — mais le résultat doit être un entier naturel pour correspondre à un rang réel de la suite.

4.2  Somme des nn premiers termes

Math & Co — le jeune Gauss et la somme de 11 à 100100

Vers 17871787, à l’école de Brunswick (Allemagne), l’instituteur Büttner, pour occuper longtemps sa classe, demande à ses élèves de calculer la somme 1+2+3+⋯+1001+2+3+\dots+100. Le jeune Carl Friedrich Gauss, alors âgé d’une dizaine d’années, pose sa réponse — 5 0505\,050 — presque instantanément.

Son idée : regrouper les nombres par paires dont la somme est constante — 1+100=1011+100=101, 2+99=1012+99=101, 3+98=1013+98=101… — il y a 5050 paires de somme 101101, d’où le total 50×101=5 05050 \times 101 = 5\,050. Devenu l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, Gauss généralisera cette idée bien au-delà de ce premier exploit d’écolier.

Théorème

Pour tout entier n⩾1n \geqslant 1 :

1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

Plus généralement, la somme SS des termes consécutifs d’une suite arithmétique, du rang pp au rang nn, vaut :

S=up+up+1+⋯+un=(nombre de termes)×premier terme+dernier terme2S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}

avec nombre de termes=n−p+1\text{nombre de termes} = n - p + 1.

Démonstration (méthode de Gauss)

Notons S=up+up+1+⋯+unS = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n, somme de N=n−p+1N = n-p+1 termes. Écrivons cette somme deux fois, une fois dans chaque sens, puis additionnons terme à terme :

  1. S=up+up+1+⋯+unS = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n
  2. S=un+un−1+⋯+upS = u_n + u_{n-1} + \dots + u_pla même somme, écrite à l’envers
  3. ⇒\Rightarrow2S=(up+un)+(up+1+un−1)+⋯+(un+up)2S = (u_p+u_n) + (u_{p+1}+u_{n-1}) + \dots + (u_n+u_p)

Or, dans une suite arithmétique, deux termes « symétriques » ont toujours la même somme : chaque fois qu’on avance d’un rang à gauche, on ajoute rr ; chaque fois qu’on avance d’un rang à droite dans l’écriture inversée, on retranche rr — les deux effets se compensent. Chacune des NN parenthèses vaut donc up+unu_p + u_n.

  1. 2S=N×(up+un)2S = N \times (u_p + u_n)
  2. ⇒\RightarrowS=N×up+un2S = N \times \dfrac{u_p+u_n}{2}

C.Q.F.D. Le cas 1+2+⋯+n1+2+\dots+n correspond à uk=ku_k = k, p=1p=1 : S=n×1+n2=n(n+1)2S = n \times \dfrac{1+n}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}.

Exemple — somme des 2020 premiers termes de u0=2u_0=2, r=3r=3
  1. nombre de termes de u0u_0 à u19u_{19} : 19−0+1=2019-0+1=20
  2. u19=2+3×19=59u_{19} = 2 + 3 \times 19 = 59
  3. S=20×u0+u192S = 20 \times \dfrac{u_0+u_{19}}{2}
  4. ==20×2+59220 \times \dfrac{2+59}{2}
  5. ==610610
Attention

Le nombre de termes entre les rangs pp et nn (inclus) vaut n−p+1n-p+1, pas n−pn-p : oublier le « +1+1 » est l’erreur la plus fréquente sur les sommes. Vérifie sur un petit cas : de u0u_0 à u2u_2, il y a bien 33 termes (u0,u1,u2u_0,u_1,u_2), et 2−0+1=32-0+1=3.

5Suites géométriques : terme général et somme

Définition

Une suite (un)(u_n) est géométrique lorsqu’il existe un nombre réel qq non nul, appelé raison, tel que, pour tout nn :

un+1=q×unu_{n+1} = q \times u_n

On passe d’un terme au suivant en le multipliant toujours par le même nombre qq. Si u0≠0u_0 \neq 0, tous les termes sont non nuls.

5.1  Terme général

Théorème

Si (un)(u_n) est géométrique de raison qq et de premier terme u0u_0, alors pour tout nn :

un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}

Plus généralement, pour deux rangs pp et nn : un=up×q n−pu_n = u_p \times q^{\,n-p}.

Démonstration (par récurrence)

Montrons P(n)P(n) : « un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n} ». Initialisation : u0×q0=u0×1=u0u_0 \times q^{0} = u_0 \times 1 = u_0, vrai. Hérédité : supposons un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}.

  1. un+1=q×unu_{n+1} = q \times u_ndéfinition
  2. ==q×(u0×q n)q \times \left(u_0 \times q^{\,n}\right)hypothèse de récurrence
  3. ==u0×q n+1u_0 \times q^{\,n+1}

P(n+1)P(n+1) est vraie. Par principe de récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout nn. C.Q.F.D.

Exemple — u0=3u_0 = 3, q=2q = 2
  1. un=3×2 nu_n = 3 \times 2^{\,n}
  2. u10=3×210u_{10} = 3 \times 2^{10}
  3. ==3×1 0243 \times 1\,024
  4. ==3 0723\,072
Suite géométrique u(n) = 1,4^n : une croissance qui s’accélère nu(n)0 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 10 u7 ≈ 10,54
Figure 3 — Les points d’une suite géométrique de raison q>1q>1 ne sont pas alignés : ils s’écartent de plus en plus de l’axe des abscisses, sur une courbe qui rappelle une exponentielle.

5.2  Sens de variation, et limite intuitive de q nq^{\,n}

Propriété — sens de variation (cas u0>0u_0 > 0)
Raison qq0<q<10<q<1q=1q=1q>1q>1q<0q<0
Sens de variationdécroissanteconstantecroissanteni croissante ni décroissante

(Si u0<0u_0<0, tous les sens de variation ci-dessus s’inversent.) Pour q<0q<0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite oscille, elle n’est pas monotone.

Que devient q nq^{\,n} quand nn grandit indéfiniment ? Observe le tableau suivant, obtenu à la calculatrice :

q nq^{\,n}n=5n=5n=20n=20
q=1,5q=1{,}57,597{,}593 3253\,325
q=0,5q=0{,}50,031 250{,}031\,25≈0\approx 0
q=−0,5q=-0{,}5−0,031 25-0{,}031\,25≈0\approx 0
q=−1,5q=-1{,}5−7,59-7{,}593 3253\,325
Propriété (admise) — comportement de q nq^{\,n} quand n→+∞n \to +\infty
  • si q>1q > 1 : q nq^{\,n} devient infiniment grand ;
  • si q=1q = 1 : q n=1q^{\,n} = 1 pour tout nn (constant) ;
  • si −1<q<1-1 < q < 1 : q nq^{\,n} se rapproche de 00 ;
  • si q⩽−1q \leqslant -1 : q nq^{\,n} oscille (indéfiniment si q<−1q<-1), sans jamais se stabiliser.

Ainsi, dans l’exemple un+1=0,5 un+2u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2 de la figure 1, la suite auxiliaire vn=un−4v_n=u_n-4 est géométrique de raison 0,50{,}5 : comme −1<0,5<1-1<0{,}5<1, vnv_n se rapproche de 00, donc unu_n se rapproche de 44 — exactement ce que l’escalier laissait deviner.

5.3  Somme des nn premiers termes

Théorème

Pour tout q≠1q \neq 1 et tout entier n⩾0n \geqslant 0 :

1+q+q2+⋯+qn=1−q n+11−q1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1-q}

Plus généralement, la somme SS de NN termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q≠1q \neq 1, à partir du premier terme utilisé upu_p, vaut :

S=up×1−q N1−qS = u_p \times \dfrac{1 - q^{\,N}}{1-q}

Si q=1q = 1, tous les termes sont égaux et S=N×upS = N \times u_p.

Démonstration (télescopage)

Notons S=1+q+q2+⋯+qnS = 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}. Multiplions SS par qq, puis calculons S−qSS - qS :

  1. qS=q+q2+q3+⋯+qn+1qS = q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n+1}
  2. S−qS=(1+q+⋯+qn)−(q+q2+⋯+qn+1)S - qS = \left(1 + q + \dots + q^{n}\right) - \left(q + q^{2} + \dots + q^{n+1}\right)
  3. ==1−q n+11 - q^{\,n+1}tous les termes intermédiaires s’éliminent deux à deux
  4. (1−q) S=1−q n+1(1-q)\,S = 1 - q^{\,n+1}
  5. ⇒\RightarrowS=1−q n+11−qS = \dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}car q≠1q \neq 1, donc 1−q≠01-q \neq 0

C.Q.F.D.

Exemple — somme des 88 premiers termes de u0=1u_0=1, q=1,4q=1{,}4
  1. S=1×1−1,481−1,4S = 1 \times \dfrac{1 - 1{,}4^{8}}{1-1{,}4}
  2. ==1−14,76−0,4\dfrac{1 - 14{,}76}{-0{,}4}
  3. ≈\approx34,434{,}4
Comparaison des sommes partielles (arithmétique vs géométrique) nS(n)0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 40 60 80 100 120 arithmétique (r=3) géométrique (q=1,4)
Figure 4 — Sur 88 rangs, la somme arithmétique (u0=2u_0=2, r=3r=3) reste en tête ; mais la somme géométrique (u0=1u_0=1, q=1,4q=1{,}4) accélère, et son rythme de croissance finit toujours par dépasser celui d’une somme arithmétique, quel que soit son retard de départ.
Attention

La formule de la somme géométrique ne s’applique pas si q=1q=1 (division par 1−q=01-q=0 interdite) : dans ce cas, la somme de NN termes tous égaux à upu_p vaut simplement N×upN \times u_p.

6Modélisation (épargne, population, dépréciation)

Face à une situation concrète, reconnaître qu’elle se modélise par une suite arithmétique ou géométrique est une compétence essentielle du programme — et très présente dans la vie économique et sociale.

Méthode — modéliser une situation par une suite
  1. Choisir la grandeur qui évolue dans le temps, et noter unu_n sa valeur au rang nn (souvent une année, un mois…) ;
  2. identifier u0u_0, la valeur de départ ;
  3. traduire l’énoncé en une relation entre un+1u_{n+1} et unu_n : une augmentation (ou diminution) d’un montant fixe donne une suite arithmétique ; une augmentation (ou diminution) d’un pourcentage fixe donne une suite géométrique.

6.1  Intérêts simples et intérêts composés

Définition

Un capital C0C_0 placé au taux annuel tt évolue différemment selon le contrat :

  • intérêts simples : l’intérêt, calculé chaque année sur le capital initial, est ajouté — la suite des capitaux (Cn)(C_n) est arithmétique de raison r=C0×tr = C_0 \times t ;
  • intérêts composés : l’intérêt, calculé chaque année sur le capital de l’année précédente, est ajouté — la suite des capitaux (Cn)(C_n) est géométrique de raison q=1+tq = 1+t.
Exemple — 100 000100\,000 F CFA placés à 5 %5\,\% pendant 1010 ans
  1. intérêts simples : Cn=100 000×(1+0,05 n)C_n = 100\,000 \times (1 + 0{,}05\,n)
  2. C10=100 000×1,5=150 000C_{10} = 100\,000 \times 1{,}5 = 150\,000 F CFA
  3. intérêts composés : Cn=100 000×1,05 nC_n = 100\,000 \times 1{,}05^{\,n}
  4. C10=100 000×1,0510≈162 889C_{10} = 100\,000 \times 1{,}05^{10} \approx 162\,889 F CFA
Épargne de 100 000 F CFA à 5% : simple vs composé annéesF CFA100k 2 4 6 8 10 120k 140k 160k simple composé
Figure 5 — La suite arithmétique (intérêts simples, en orange) et la suite géométrique (intérêts composés, en vert) partent du même capital ; l’écart entre les deux se creuse chaque année davantage.

6.2  Évolution d’une population

Exemple — population d’Abéché (Tchad)

La population d’Abéché est estimée à 90 00090\,000 habitants, avec une croissance annuelle de 3 %3\,\%. On modélise la population de l’année nn par une suite géométrique (Pn)(P_n) de raison q=1,03q=1{,}03.

  1. Pn=90 000×1,03 nP_n = 90\,000 \times 1{,}03^{\,n}
  2. P12=90 000×1,0312P_{12} = 90\,000 \times 1{,}03^{12}
  3. ≈\approx128 318128\,318 habitants
Population d’Abéché : croissance géométrique à 3% par an annéeshabitants90k 2 4 6 8 10 12 100k 110k 120k 130k P12 ≈ 128 318
Figure 6 — La population d’Abéché, modélisée par une suite géométrique de raison 1,031{,}03, suit une courbe qui s’élève de plus en plus vite : c’est la signature d’une croissance exponentielle.

6.3  Dépréciation et tontines

Exemple — dépréciation d’un véhicule (Douala)

Un véhicule acheté 8 000 0008\,000\,000 F CFA à Douala perd 12 %12\,\% de sa valeur chaque année. Sa valeur (Vn)(V_n) est géométrique de raison q=1−0,12=0,88q = 1-0{,}12 = 0{,}88.

  1. Vn=8 000 000×0,88 nV_n = 8\,000\,000 \times 0{,}88^{\,n}
  2. V5=8 000 000×0,885V_5 = 8\,000\,000 \times 0{,}88^{5}
  3. ≈\approx4 181 0004\,181\,000 F CFA
Exemple — une tontine progressive à Dakar

Fatou anime une tontine (épargne collective très répandue en Afrique de l’Ouest) où chaque membre verse chaque mois 1 0001\,000 F CFA de plus que le mois précédent : 1 0001\,000 F CFA le premier mois, 2 0002\,000 le deuxième, etc. — suite arithmétique de raison r=1 000r=1\,000, premier terme u1=1 000u_1 = 1\,000.

  1. total versé en 1212 mois =12×u1+u122= 12 \times \dfrac{u_1+u_{12}}{2}
  2. u12=1 000+11×1 000=12 000u_{12} = 1\,000 + 11 \times 1\,000 = 12\,000
  3. ==12×1 000+12 000212 \times \dfrac{1\,000+12\,000}{2}
  4. ==78 00078\,000 F CFA
Attention

« Augmenter de 10 %10\,\% chaque année » signifie multiplier par 1,101{,}10 (raison géométrique), pas ajouter 1010 à chaque terme. Inversement, « augmenter de 1010 unités chaque année » est une raison arithmétique. Bien lire l’énoncé : montant fixe → arithmétique ; pourcentage fixe → géométrique.

Fiche mémo

  • Suite explicite : un=f(n)u_n = f(n) ; suite récurrente : un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), u0u_0 donné (il faut tous les termes précédents).
  • Représentation : nuage de points (n ;un)(n\,;u_n), jamais relié par un trait continu.
  • Sens de variation : signe de un+1−unu_{n+1}-u_n (toujours valable), ou comparaison de un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11 (si termes >0>0).
  • Arithmétique : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r ; terme général un=u0+nru_n = u_0+nr ; r>0r>0 croissante, r<0r<0 décroissante.
  • Somme arithmétique : (nb termes)×premier+dernier2(\text{nb termes}) \times \dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2} ; en particulier 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
  • Géométrique : un+1=q unu_{n+1}=q\,u_n ; terme général un=u0 q nu_n = u_0\,q^{\,n}.
  • Somme géométrique (q≠1q \neq 1) : up×1−q N1−qu_p \times \dfrac{1-q^{\,N}}{1-q}, avec NN le nombre de termes.
  • Comportement de q nq^{\,n} : →+∞\to +\infty si q>1q>1 ; →0\to 0 si −1<q<1-1<q<1 ; =1=1 si q=1q=1 ; oscille sans limite si q⩽−1q \leqslant -1.
  • Nombre de termes entre les rangs pp et nn inclus : n−p+1n-p+1.
  • Modélisation : montant fixe ajouté → arithmétique ; pourcentage fixe appliqué → géométrique.
  • Intérêts simples = arithmétique ; intérêts composés = géométrique (toujours plus avantageux à long terme).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Soit (un)(u_n) définie explicitement par un=4n−7u_n = 4n-7. Calcule u0u_0, u1u_1 et u8u_8, puis résous l’équation un=101u_n = 101.

Voir le corrigé détaillé
  1. u0=4×0−7=−7u_0 = 4\times 0 - 7 = -7
  2. u1=4×1−7=−3u_1 = 4\times 1 - 7 = -3
  3. u8=4×8−7=25u_8 = 4\times 8 - 7 = 25
  4. 4n−7=1014n-7 = 101
  5. ⇒\Rightarrown=27n = 27

u27=101u_{27} = 101.

2

Soit (un)(u_n) définie par récurrence par u0=5u_0 = 5 et un+1=3un−4u_{n+1} = 3u_n - 4. Calcule u1u_1, u2u_2 et u3u_3.

Voir le corrigé détaillé
  1. u1=3×5−4=11u_1 = 3\times 5 - 4 = 11
  2. u2=3×11−4=29u_2 = 3\times 11 - 4 = 29
  3. u3=3×29−4=83u_3 = 3\times 29 - 4 = 83
3

Précise, en justifiant, si chaque suite est arithmétique, géométrique, ou ni l’une ni l’autre : a) un=7−2nu_n = 7-2n ; b) un=5×3 nu_n = 5\times 3^{\,n} ; c) un=n2u_n = n^{2} ; d) v0=1v_0=1, vn+1=vn+6v_{n+1}=v_n+6.

Voir le corrigé détaillé

a) un+1−un=−2u_{n+1}-u_n = -2 (constant) : arithmétique de raison −2-2. b) un+1un=3\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=3 (constant) : géométrique de raison 33. c) u1−u0=1u_1-u_0=1 et u2−u1=3u_2-u_1=3 : différence non constante, et u1u0\dfrac{u_1}{u_0} n’existe pas (u0=0u_0=0) : ni l’une ni l’autre. d) par définition vn+1−vn=6v_{n+1}-v_n=6 : arithmétique de raison 66.

4

(un)(u_n) est arithmétique, u0=12u_0=12, r=−5r=-5. Calcule u15u_{15}, puis détermine si −100-100 est un terme de la suite.

Voir le corrigé détaillé
  1. u15=12+15×(−5)=−63u_{15} = 12 + 15\times(-5) = -63
  2. 12−5n=−10012 - 5n = -100
  3. ⇒\Rightarrown=1125=22,4n = \dfrac{112}{5} = 22{,}4

nn n’est pas un entier naturel : −100-100 n’est pas un terme de la suite.

5

(un)(u_n) est géométrique, u0=5u_0=5, q=2q=2. Calcule u8u_8 et la somme S=u0+u1+⋯+u5S=u_0+u_1+\dots+u_5.

Voir le corrigé détaillé
  1. u8=5×28=1 280u_8 = 5\times 2^{8} = 1\,280
  2. S=5×1−261−2S = 5\times \dfrac{1-2^{6}}{1-2}
  3. ==5×−63−15\times \dfrac{-63}{-1}
  4. ==315315
Niveau 2 — Approfondissement
6

Calcule la somme 5+9+13+⋯+2015+9+13+\dots+201.

Voir le corrigé détaillé

Suite arithmétique de premier terme 55, de raison 44. Nombre de termes NN tel que le dernier terme vaille 201201 :

  1. 5+4(N−1)=2015 + 4(N-1) = 201
  2. ⇒\RightarrowN−1=49N-1 = 49
  3. ⇒\RightarrowN=50N = 50
  4. S=50×5+2012S = 50 \times \dfrac{5+201}{2}
  5. ==5 1505\,150
7

Chaque mois, Awa met de côté le double du mois précédent, en commençant par 200200 F CFA le premier mois. Calcule le total économisé après 88 mois.

Voir le corrigé détaillé

Suite géométrique, u1=200u_1=200, q=2q=2, N=8N=8 termes.

  1. S=200×1−281−2S = 200 \times \dfrac{1-2^{8}}{1-2}
  2. ==200×−255−1200 \times \dfrac{-255}{-1}
  3. ==51 00051\,000 F CFA
8

(un)(u_n) est définie par u0=2u_0=2, un+1=0,5 un+3u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3. On pose vn=un−6v_n = u_n - 6.

  1. Montre que (vn)(v_n) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
  2. Exprime unu_n en fonction de nn.
  3. Détermine le comportement de unu_n quand n→+∞n\to+\infty.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. vn+1=un+1−6=0,5 un+3−6v_{n+1} = u_{n+1}-6 = 0{,}5\,u_n+3-6
  2. ==0,5 un−30{,}5\,u_n - 3
  3. ==0,5 (un−6)0{,}5\,(u_n-6)
  4. ==0,5 vn0{,}5\,v_n

(vn)(v_n) est géométrique de raison 0,50{,}5, et v0=u0−6=−4v_0=u_0-6=-4.

2.

  1. vn=−4×0,5 nv_n = -4 \times 0{,}5^{\,n}
  2. ⇒\Rightarrowun=6−4×0,5 nu_n = 6 - 4\times 0{,}5^{\,n}

3. Comme −1<0,5<1-1<0{,}5<1, 0,5 n0{,}5^{\,n} se rapproche de 00 quand n→+∞n\to+\infty : donc unu_n se rapproche de 66.

9

Pour q=0,8q=0{,}8, puis q=1,2q=1{,}2, puis q=−1,2q=-1{,}2, précise si la suite (q n)(q^{\,n}) est monotone, et son comportement quand n→+∞n\to+\infty.

Voir le corrigé détaillé

q=0,8q=0{,}8 : 0<q<10<q<1, suite strictement décroissante, tous les termes positifs ; q nq^{\,n} se rapproche de 00. q=1,2q=1{,}2 : q>1q>1, suite strictement croissante ; q nq^{\,n} devient infiniment grand. q=−1,2q=-1{,}2 : q<−1q<-1, les termes alternent de signe, la suite n’est pas monotone ; q nq^{\,n} oscille en s’amplifiant, sans jamais se stabiliser.

Niveau 3 — Défi
10

À Ndjamena, deux offres d’épargne partent d’un dépôt de 50 00050\,000 F CFA. L’offre A ajoute 5 0005\,000 F CFA chaque mois ; l’offre B augmente de 8 %8\,\% chaque mois.

  1. Exprime AnA_n et BnB_n, montants après nn mois.
  2. Calcule A6A_6 et B6B_6.
  3. Détermine, à l’aide d’un tableau de valeurs, à partir de quel mois l’offre B dépasse l’offre A.
Voir le corrigé détaillé

1. An=50 000+5 000 nA_n = 50\,000 + 5\,000\,n (arithmétique) ; Bn=50 000×1,08 nB_n = 50\,000 \times 1{,}08^{\,n} (géométrique).

2.

  1. A6=50 000+5 000×6=80 000A_6 = 50\,000+5\,000\times 6 = 80\,000 F CFA
  2. B6=50 000×1,086≈79 344B_6 = 50\,000\times 1{,}08^{6} \approx 79\,344 F CFA
nn6677
AnA_n80 00080\,00085 00085\,000
BnB_n≈79 344\approx 79\,344≈85 691\approx 85\,691

3. Au mois 66, B6<A6B_6<A_6 ; au mois 77, B7>A7B_7>A_7. L’offre B dépasse donc l’offre A à partir du 7e mois — signature typique d’une croissance géométrique qui finit par l’emporter sur une croissance arithmétique.

11

Soit (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1.

  1. Calcule u1u_1, u2u_2, u3u_3, et conjecture une expression explicite de unu_n.
  2. Démontre par récurrence que, pour tout nn, un=2 n+1−1u_n = 2^{\,n+1}-1.
  3. Déduis-en le sens de variation de (un)(u_n) et son comportement quand n→+∞n\to+\infty.
Voir le corrigé détaillé

1. u1=3u_1=3, u2=7u_2=7, u3=15u_3=15. On conjecture un=2 n+1−1u_n = 2^{\,n+1}-1.

2. Notons P(n)P(n) : « un=2 n+1−1u_n = 2^{\,n+1}-1 ». Initialisation : 21−1=1=u02^{1}-1=1=u_0, vrai. Hérédité : supposons un=2 n+1−1u_n=2^{\,n+1}-1.

  1. un+1=2un+1u_{n+1} = 2u_n+1
  2. ==2(2 n+1−1)+12\left(2^{\,n+1}-1\right)+1
  3. ==2 n+2−2+12^{\,n+2}-2+1
  4. ==2 n+2−12^{\,n+2}-1

P(n+1)P(n+1) est vraie. Par récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout nn. C.Q.F.D.

3.

  1. un+1−un=2 n+2−2 n+1u_{n+1}-u_n = 2^{\,n+2}-2^{\,n+1}
  2. ==2 n+1(2−1)=2 n+1>02^{\,n+1}(2-1) = 2^{\,n+1}>0

(un)(u_n) est strictement croissante. Comme 2 n→+∞2^{\,n}\to+\infty (raison 2>12>1), un=2×2 n−1→+∞u_n=2\times 2^{\,n}-1 \to +\infty.

12

Soit (un)(u_n) arithmétique de raison r=2r=2, u0=1u_0=1. On pose vn=3 unv_n = 3^{\,u_n}.

  1. Montre que (vn)(v_n) est géométrique ; précise sa raison et v0v_0.
  2. Exprime vnv_n en fonction de nn.
  3. Calcule v0+v1+⋯+v5v_0+v_1+\dots+v_5.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. vn+1vn=3 un+13 un=3 un+1−un\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{3^{\,u_{n+1}}}{3^{\,u_n}} = 3^{\,u_{n+1}-u_n}
  2. ==3 r=32=93^{\,r} = 3^{2} = 9

(vn)(v_n) est géométrique de raison 99, et v0=3 u0=31=3v_0 = 3^{\,u_0}=3^{1}=3.

2. vn=3×9 nv_n = 3 \times 9^{\,n}.

3.

  1. S=3×1−961−9S = 3\times \dfrac{1-9^{6}}{1-9}
  2. ==3×−531 440−83\times \dfrac{-531\,440}{-8}
  3. ==199 290199\,290
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Tontine de quartier (Dakar). Le premier mois, une tontine collecte 45 00045\,000 F CFA. Chaque mois suivant, de nouveaux membres rejoignent le groupe et la cagnotte augmente de 3 0003\,000 F CFA.

  1. Donne la nature de la suite des cagnottes (Cn)(C_n), son premier terme et sa raison.
  2. Calcule la cagnotte du 1010e mois.
  3. Calcule le total cumulé collecté sur les 1010 premiers mois.
Voir le corrigé détaillé

1. Suite arithmétique, C1=45 000C_1=45\,000, r=3 000r=3\,000.

2.

  1. C10=45 000+9×3 000C_{10} = 45\,000 + 9\times 3\,000
  2. ==72 00072\,000 F CFA

3.

  1. Total =10×C1+C102= 10 \times \dfrac{C_1+C_{10}}{2}
  2. ==10×45 000+72 000210 \times \dfrac{45\,000+72\,000}{2}
  3. ==585 000585\,000 F CFA
14

Population de Ndjamena. La population de Ndjamena est estimée à 1 200 0001\,200\,000 habitants, avec un taux de croissance annuel de 4 %4\,\%.

  1. Modélise la population PnP_n par une suite géométrique : donne P0P_0 et qq.
  2. Calcule P10P_{10}.
  3. À l’aide d’un tableau de valeurs, détermine à partir de quelle année la population dépasse 2 000 0002\,000\,000 d’habitants.
Voir le corrigé détaillé

1. P0=1 200 000P_0 = 1\,200\,000, q=1,04q=1{,}04, Pn=1 200 000×1,04 nP_n = 1\,200\,000\times 1{,}04^{\,n}.

2.

  1. P10=1 200 000×1,0410P_{10} = 1\,200\,000\times 1{,}04^{10}
  2. ≈\approx1 776 2931\,776\,293 habitants
nn13131414
PnP_n≈1 998 088\approx 1\,998\,088≈2 078 011\approx 2\,078\,011

3. P13P_{13} est encore inférieur à 2 000 0002\,000\,000, P14P_{14} le dépasse : la population franchit 2 000 0002\,000\,000 d’habitants à partir de la 14e année.

15

Location-vente d’une moto (Abidjan). Une moto achetée 1 500 0001\,500\,000 F CFA à Abidjan se déprécie de 8 %8\,\% par an.

  1. Donne la nature de la suite des valeurs (Vn)(V_n) et sa raison qq.
  2. Calcule la valeur de la moto après 66 ans.
  3. À l’aide d’un tableau de valeurs, détermine à partir de quelle année la valeur passe sous 800 000800\,000 F CFA.
Voir le corrigé détaillé

1. Suite géométrique, V0=1 500 000V_0=1\,500\,000, q=1−0,08=0,92q=1-0{,}08=0{,}92.

2.

  1. V6=1 500 000×0,926V_6 = 1\,500\,000\times 0{,}92^{6}
  2. ≈\approx909 533909\,533 F CFA
nn7788
VnV_n≈836 771\approx 836\,771≈769 829\approx 769\,829

3. V7V_7 dépasse encore 800 000800\,000, V8V_8 passe en dessous : la valeur descend sous 800 000800\,000 F CFA à partir de la 8e année.

16

Épargne bancaire (Bamako). Ibrahim place 300 000300\,000 F CFA à Bamako, au taux annuel de 6 %6\,\% en intérêts composés.

  1. Exprime le capital CnC_n après nn années.
  2. Calcule C5C_5.
  3. Détermine, par tâtonnement, au bout de combien d’années le capital aura doublé.
Voir le corrigé détaillé

1. Cn=300 000×1,06 nC_n = 300\,000\times 1{,}06^{\,n} (suite géométrique de raison 1,061{,}06).

2.

  1. C5=300 000×1,065C_5 = 300\,000\times 1{,}06^{5}
  2. ≈\approx401 468401\,468 F CFA

3. Le capital double lorsque 1,06 n⩾21{,}06^{\,n} \geqslant 2.

nn11111212
CnC_n≈569 490\approx 569\,490≈603 659\approx 603\,659

C11C_{11} est encore inférieur à 600 000600\,000, C12C_{12} le dépasse : le capital a doublé à partir de la 12e année.

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8 questions

Second degré : discriminant et signe du trinôme

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Une suite (un)(u_n) est définie de manière explicite lorsque :

Explication : Une suite explicite fournit une fonction ff telle que un=f(n)u_n=f(n) pour tout nn : chaque terme s'obtient directement, sans passer par les précédents — contrairement à une suite récurrente.

Que désigne un+1u_{n+1} dans l'écriture d'une suite ?

Explication : L'indice est un repère de position, pas un facteur. un+1u_{n+1} est le terme suivant unu_n dans la liste, pas « unu_n augmenté de 11 ».

La représentation graphique d'une suite (un)(u_n) est :

Explication : Une suite n'est définie que sur N\mathbb{N} : entre n=2n=2 et n=3n=3, il n'existe aucun terme intermédiaire. On place donc des points isolés, sans les relier.

Pour étudier le sens de variation d'une suite quelconque, la méthode toujours valable consiste à étudier le signe de :

Explication : Le signe de la différence un+1−unu_{n+1}-u_n donne directement le sens de variation, et c'est la seule méthode valable pour toute suite, quel que soit le signe de ses termes.

La méthode qui compare un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11 pour étudier le sens de variation n'est valable que si :

Explication : Diviser par un terme négatif ou nul n'a pas de sens ou inverse les inégalités : la méthode du quotient exige que tous les termes soient de même signe, strictement positifs le plus souvent.

Une suite (un)(u_n) est dite arithmétique de raison rr lorsque, pour tout nn :

Explication : C'est la définition même d'une suite arithmétique : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre rr.

(un)(u_n) est arithmétique, u0=2u_0=2, r=3r=3. Calcule u20u_{20}.

Explication : un=u0+nru_n=u_0+nr, donc u20=2+3×20=2+60=62u_{20}=2+3\times20=2+60=62.

(un)(u_n) est arithmétique, u0=2u_0=2, r=3r=3. Quelle est la somme S=u0+u1+⋯+u19S=u_0+u_1+\dots+u_{19} (2020 termes) ?

Explication : u19=2+3×19=59u_{19}=2+3\times19=59. S=20×u0+u192=20×2+592=20×30,5=610S = 20\times\dfrac{u_0+u_{19}}{2} = 20\times\dfrac{2+59}{2}=20\times30{,}5=610.

Une suite (un)(u_n) est dite géométrique de raison qq (q≠0q\neq0) lorsque, pour tout nn :

Explication : C'est la définition d'une suite géométrique : on passe d'un terme au suivant en le multipliant toujours par le même nombre qq.

(un)(u_n) est géométrique, u0=3u_0=3, q=2q=2. Calcule u10u_{10}.

Explication : un=u0×q nu_n=u_0\times q^{\,n}, donc u10=3×210=3×1 024=3 072u_{10}=3\times2^{10}=3\times1\,024=3\,072.

Quand n→+∞n\to+\infty, si −1<q<1-1<q<1, alors q nq^{\,n} :

Explication : C'est la propriété admise du programme : pour −1<q<1-1<q<1, q nq^{\,n} se rapproche de 00 quand nn grandit indéfiniment.

Pour q≠1q\neq1, la somme 1+q+q2+⋯+qn1+q+q^{2}+\dots+q^{n} vaut :

Explication : C'est le théorème démontré par télescopage (en calculant S−qSS-qS) : 1+q+⋯+qn=1−qn+11−q1+q+\dots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}, valable pour q≠1q\neq1.

Si la raison qq d'une suite géométrique vaut 11, la somme de NN termes consécutifs à partir de upu_p égale :

Explication : La formule générale ne s'applique pas si q=1q=1 (division par 1−q=01-q=0 interdite) : dans ce cas, tous les termes sont égaux à upu_p, donc la somme de NN termes vaut simplement N×upN\times u_p.

Un capital placé à intérêts composés au taux annuel tt forme une suite :

Explication : Aux intérêts composés, l'intérêt se calcule chaque année sur le capital de l'année précédente : la suite des capitaux est géométrique de raison q=1+tq=1+t. (La raison C0×tC_0\times t est celle des intérêts simples, qui donnent une suite arithmétique.)

100 000100\,000 F CFA sont placés à 5 %5\,\% pendant 1010 ans, à intérêts composés. Quel est le capital final, arrondi ?

Explication : C10=100 000×1,0510≈162 889C_{10}=100\,000\times1{,}05^{10}\approx162\,889 F CFA. La valeur 150 000150\,000 F CFA correspondrait à des intérêts simples, moins avantageux.

La population d'Abéché (90 00090\,000 habitants, croissance de 3 %3\,\% par an) est modélisée par Pn=90 000×1,03 nP_n=90\,000\times1{,}03^{\,n}. Quelle est la population après 1212 ans, arrondie ?

Explication : P12=90 000×1,0312≈128 318P_{12}=90\,000\times1{,}03^{12}\approx128\,318 habitants : la croissance géométrique s'accélère avec le temps.

Un véhicule acheté 8 000 0008\,000\,000 F CFA à Douala perd 12 %12\,\% de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur après 55 ans, arrondie ?

Explication : Vn=8 000 000×0,88 nV_n=8\,000\,000\times0{,}88^{\,n}, donc V5=8 000 000×0,885≈4 181 000V_5=8\,000\,000\times0{,}88^{5}\approx4\,181\,000 F CFA. Attention à ne pas soustraire 12 %12\,\% de façon linéaire (piège des réponses a et b).

Dans une tontine à Dakar, chaque membre verse 1 0001\,000 F CFA de plus chaque mois que le mois précédent (1 0001\,000 F CFA le premier mois). Quel est le total versé en 1212 mois ?

Explication : Suite arithmétique, u1=1 000u_1=1\,000, r=1 000r=1\,000, u12=12 000u_{12}=12\,000. Total =12×1 000+12 0002=12×6 500=78 000=12\times\dfrac{1\,000+12\,000}{2}=12\times6\,500=78\,000 F CFA.

« Une grandeur augmente de 10 %10\,\% chaque année » se traduit par une suite :

Explication : « Augmenter de 10 %10\,\% » signifie multiplier par 1,101{,}10 : c'est une raison géométrique, pas arithmétique. Piège classique : confondre pourcentage fixe (géométrique) et montant fixe (arithmétique).

Soit u0=2u_0=2 et un+1=0,5 un+3u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3. En posant vn=un−6v_n=u_n-6, on montre que (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,50{,}5. Que peut-on en conclure sur le comportement de (un)(u_n) quand n→+∞n\to+\infty ?

Explication : Comme −1<0,5<1-1<0{,}5<1, vn=un−6v_n=u_n-6 se rapproche de 00 quand n→+∞n\to+\infty (raison géométrique entre −1-1 et 11) ; donc un=vn+6u_n=v_n+6 se rapproche de 66.
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