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Produit scalaire

Définir le produit scalaire et l'appliquer à la géométrie métrique.

Mathématiques Première Chapitre 9 / 13 ⏱ 11 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Calculer un produit scalaire par la méthode la plus adaptée
  • Démontrer une orthogonalité
  • Appliquer Al-Kashi dans un triangle quelconque

Depuis la Seconde, tu sais additionner deux vecteurs, les multiplier par un réel, calculer leurs coordonnées : toutes ces opérations transforment des vecteurs en d'autres vecteurs. Ce chapitre introduit une opération radicalement différente, le produit scalaire : elle prend deux vecteurs en entrée et rend un nombre en sortie. Ce nombre encode à la fois les longueurs des deux vecteurs et l'angle qu'ils forment — une information géométrique complète, condensée en une seule valeur.

Tu croises déjà cette idée sans le savoir. En physique, le travail d'une force le long d'un déplacement vaut W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d : pousser une caisse dans le sens du mouvement fournit un travail positif, la freiner en fournit un négatif. En navigation ou en topographie, retrouver une distance inaccessible à partir d'un angle mesuré et de deux distances connues (une triangulation) repose sur le produit scalaire. En architecture, vérifier que deux murs sont parfaitement perpendiculaires sans équerre géante se fait par un calcul de produit scalaire nul.

Le gain principal de cet outil est de généraliser le théorème de Pythagore à n'importe quel triangle, pas seulement aux triangles rectangles : c'est le théorème d'Al-Kashi, que tu démontreras dans ce chapitre. Il permet aussi d'écrire l'équation d'une droite à partir d'un simple vecteur perpendiculaire, et l'équation d'un cercle à partir de son centre et de son rayon — deux outils qui feront le lien entre géométrie et algèbre pour le reste de l'année.

Nouveauté par rapport aux années précédentes : chaque définition sera démontrée équivalente aux autres, et chaque théorème d'application (Al-Kashi, médiane) sera intégralement démontré. C'est le niveau d'exigence attendu en Première scientifique.

1Définitions équivalentes

Le produit scalaire peut se définir de trois façons différentes, parfaitement équivalentes. Chacune est utile selon les données du problème : angle connu, projection visible, ou coordonnées disponibles.

1.1  Définition à partir de la norme et de l'angle

Définition

Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs non nuls. On note θ\theta une mesure de l'angle géométrique (u⃗,v⃗)\left(\vec u , \vec v\right) qu'ils forment. Le produit scalaire de u⃗\vec u par v⃗\vec v, noté u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, est le nombre réel :

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert \times \cos\theta

Si l'un des deux vecteurs est nul, on convient que u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Le produit scalaire est donc un nombre, pas un vecteur : c'est un scalaire, d'où son nom. Son signe dépend uniquement de l'angle θ\theta, puisque les normes sont toujours positives.

Exemple — signe du produit scalaire

Soient u⃗\vec u, v⃗\vec v avec ∥u⃗∥=6\lVert \vec u \rVert = 6 et ∥v⃗∥=4\lVert \vec v \rVert = 4.

  1. si θ=60°\theta = 60° : u⃗⋅v⃗=6×4×cos⁡60°\vec u \cdot \vec v = 6 \times 4 \times \cos 60°
  2. ==24×0,524 \times 0{,}5
  3. ==1212angle aigu ⇒\Rightarrow produit scalaire positif
  4. si θ=120°\theta = 120° : u⃗⋅v⃗=6×4×cos⁡120°\vec u \cdot \vec v = 6 \times 4 \times \cos 120°
  5. ==24×(−0,5)24 \times (-0{,}5)
  6. ==−12-12angle obtus ⇒\Rightarrow produit scalaire négatif
Angle entre deux vecteurs et projection θ O H u v ‖v‖ cos θ u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ = ‖u‖ × OH (mesure algébrique)
Figure 1 — H est le projeté orthogonal de l'extrémité de v⃗\vec v sur la droite portant u⃗\vec u ; la longueur OHOH est ∥v⃗∥cos⁡θ\lVert \vec v \rVert \cos\theta, la projection de v⃗\vec v sur u⃗\vec u.

1.2  Interprétation par projection orthogonale

Définition (équivalente)

Soient AA, BB, CC trois points du plan, avec u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec v = \overrightarrow{AC}. Notons HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB). Alors :

AB→⋅AC→=AB×AH‾\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times \overline{AH}

où AH‾\overline{AH} est la mesure algébrique de AH→\overrightarrow{AH} sur (AB)(AB) munie du sens de AB→\overrightarrow{AB} : positive si HH est du même côté que BB par rapport à AA, négative sinon.

Projection orthogonale de C sur (AB) θ A B C H H : projeté orthogonal de C sur (AB) — AB·AC = AB × AH (avec signe)
Figure 2 — Projection orthogonale : AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} est le produit de la longueur ABAB par la mesure algébrique AH‾\overline{AH}, où HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB).
Démonstration — équivalence des deux définitions

Plaçons-nous dans le cas où θ=BAC^\theta = \widehat{BAC} est aigu (le cas obtus se traite de façon symétrique, avec HH situé du côté opposé à BB, ce qui donne AH‾\overline{AH} négative et cos⁡θ\cos\theta négatif également). Le triangle AHCAHC est rectangle en HH par construction de la projection orthogonale. Dans ce triangle rectangle :

  1. cos⁡θ=AHAC\cos\theta = \dfrac{AH}{AC}cosinus dans le triangle rectangle AHC
  2. ⇒\RightarrowAH=AC×cos⁡θAH = AC \times \cos\theta
  3. ⇒\RightarrowAB×AH‾=AB×AC×cos⁡θAB \times \overline{AH} = AB \times AC \times \cos\theta
  4. ⇒\RightarrowAB×AH‾=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡θAB \times \overline{AH} = \lVert \overrightarrow{AB}\rVert \times \lVert \overrightarrow{AC}\rVert \times \cos\theta

On retrouve exactement la définition par la norme et l'angle. Dans le cas obtus, AH‾=−AH\overline{AH} = -AH et cos⁡θ=−cos⁡(180°−θ)<0\cos\theta = -\cos(180°-\theta) < 0 ; les deux signes négatifs se compensent de la même façon dans le triangle AHCAHC rectangle en HH. C.Q.F.D.

Exemple — calcul par projection

Dans un triangle ABCABC, on mesure AB=9AB = 9 et, en projetant CC orthogonalement sur (AB)(AB), on trouve HH situé du côté de BB avec AH=2,5AH = 2{,}5.

  1. AB→⋅AC→=AB×AH‾\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times \overline{AH}
  2. ==9×2,59 \times 2{,}5H du même côté que B : mesure algébrique positive
  3. ==22,522{,}5

1.3  Cas particuliers immédiats

Propriété
  • u⃗\vec u, v⃗\vec v colinéaires de même sens (θ=0\theta = 0) : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert.
  • u⃗\vec u, v⃗\vec v colinéaires de sens contraires (θ=180°\theta = 180°) : u⃗⋅v⃗=−∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec u \cdot \vec v = -\lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert.
  • u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v (θ=90°\theta = 90°) : u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0 car cos⁡90°=0\cos 90° = 0 — voir section 4.
  • Carré scalaire : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u \cdot \vec u = \lVert \vec u \rVert^{2}, noté aussi u⃗ 2\vec u^{\,2} car θ=0\theta = 0 et cos⁡0=1\cos 0 = 1.
Exemple — carré scalaire

Si ∥u⃗∥=7\lVert \vec u \rVert = 7, alors u⃗⋅u⃗=u⃗ 2=72=49\vec u \cdot \vec u = \vec u^{\,2} = 7^{2} = 49.

Math & Co — La naissance du produit scalaire

Le symbole « ⋅\cdot » que tu utilises aujourd'hui est récent. En 1843, le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton invente les quaternions, des nombres à quatre composantes censés généraliser les nombres complexes à l'espace. En manipulant ces objets, il fait apparaître, mêlées en une seule opération, deux quantités que l'on distinguera plus tard : une partie « scalaire » et une partie « vectorielle ».

C'est dans les années 1880 que le physicien américain Josiah Willard Gibbs (université Yale), suivi par l'ingénieur britannique Oliver Heaviside, sépare ces deux parties pour fonder le calcul vectoriel moderne, jugé plus maniable pour la physique que les quaternions. Le produit scalaire et le produit vectoriel, tels que tu les apprends, datent de cette scission.

Les idées géométriques sous-jacentes, elles, sont bien plus anciennes : dans le Livre II de ses Éléments (vers −300-300), Euclide établissait déjà, en termes d'aires de rectangles et de carrés, des identités que le produit scalaire permettra plus tard d'écrire en une ligne.

2Propriétés et bilinéarité

Le produit scalaire se manipule presque comme une multiplication ordinaire : il est symétrique et il se distribue sur l'addition des vecteurs. C'est cette dernière propriété, la bilinéarité, qui rend les calculs pratiques.

2.1  Symétrie

Propriété

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v :

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u

C'est immédiat avec la définition par l'angle : ∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ=∥v⃗∥×∥u⃗∥×cos⁡θ\lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert \times \cos\theta = \lVert \vec v \rVert \times \lVert \vec u \rVert \times \cos\theta, la multiplication de deux réels étant elle-même commutative.

2.2  Bilinéarité

Théorème — bilinéarité

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w et tout réel kk :

u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗(ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)=u⃗⋅(kv⃗)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w \qquad (k\vec u)\cdot \vec v = k(\vec u \cdot \vec v) = \vec u \cdot (k\vec v)

Démonstration

Additivité. Reprenons la définition par projection : plaçons AA, BB et posons AC→=v⃗\overrightarrow{AC} = \vec v, AD→=w⃗\overrightarrow{AD} = \vec w, de sorte que AC→+AD→=AE→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE} où EE est le quatrième sommet du parallélogramme ACEDACED... plus simplement : notons H1H_1, H2H_2, HH les projetés orthogonaux respectifs de CC, DD et du point FF tel que AF→=v⃗+w⃗\overrightarrow{AF}=\vec v + \vec w, sur la droite (AB)(AB). La projection orthogonale sur une droite est une application linéaire : le projeté d'une somme est la somme des projetés, donc les mesures algébriques s'additionnent : AH‾=AH1‾+AH2‾\overline{AH} = \overline{AH_1} + \overline{AH_2}. D'où :

  1. u⃗⋅(v⃗+w⃗)=AB×AH‾\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = AB \times \overline{AH}
  2. ==AB×(AH1‾+AH2‾)AB \times \left(\overline{AH_1} + \overline{AH_2}\right)
  3. ==AB×AH1‾+AB×AH2‾AB \times \overline{AH_1} + AB \times \overline{AH_2}
  4. ==u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w

Homogénéité. Si v⃗′=kv⃗\vec v' = k\vec v, l'image de CC par l'homothétie de rapport kk se projette en un point H′H' tel que AH′‾=k×AH‾\overline{AH'} = k \times \overline{AH} (une homothétie multiplie toutes les longueurs signées par son rapport). Donc (ku⃗ )⋅v⃗  (k\vec u_{\,}) \cdot \vec v\;… le même argument appliqué à u⃗\vec u donne ku⃗⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)k\vec u \cdot \vec v = k(\vec u \cdot \vec v). C.Q.F.D.

Exemple — utiliser la bilinéarité

Sachant u⃗⋅v⃗=5\vec u \cdot \vec v = 5 et u⃗⋅w⃗=−2\vec u \cdot \vec w = -2, calcule u⃗⋅(2v⃗−3w⃗)\vec u \cdot (2\vec v - 3\vec w).

  1. u⃗⋅(2v⃗−3w⃗)=2(u⃗⋅v⃗)−3(u⃗⋅w⃗)\vec u \cdot (2\vec v - 3\vec w) = 2(\vec u\cdot\vec v) - 3(\vec u \cdot \vec w)bilinéarité
  2. ==2×5−3×(−2)2 \times 5 - 3 \times (-2)
  3. ==10+610 + 6
  4. ==1616

2.3  Carré scalaire et identités remarquables

Propriété — identités remarquables vectorielles

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v :

(u⃗+v⃗)2=u⃗ 2+2 u⃗⋅v⃗+v⃗ 2(u⃗−v⃗)2=u⃗ 2−2 u⃗⋅v⃗+v⃗ 2(\vec u + \vec v)^{2} = \vec u^{\,2} + 2\,\vec u\cdot\vec v + \vec v^{\,2} \qquad (\vec u - \vec v)^{2} = \vec u^{\,2} - 2\,\vec u\cdot\vec v + \vec v^{\,2}

(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=u⃗ 2−v⃗ 2(\vec u + \vec v)\cdot(\vec u - \vec v) = \vec u^{\,2} - \vec v^{\,2}

Démonstration

Il suffit d'appliquer la bilinéarité et la symétrie, exactement comme pour développer (a+b)2(a+b)^2 avec des réels.

  1. (u⃗+v⃗)2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)(\vec u+\vec v)^{2} = (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)
  2. ==u⃗⋅u⃗+u⃗⋅v⃗+v⃗⋅u⃗+v⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec u + \vec u \cdot \vec v + \vec v \cdot \vec u + \vec v \cdot \vec vbilinéarité (double distribution)
  3. ==u⃗ 2+2 u⃗⋅v⃗+v⃗ 2\vec u^{\,2} + 2\,\vec u\cdot\vec v + \vec v^{\,2}symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u
Exemple — norme d'une somme

On donne ∥u⃗∥=5\lVert \vec u \rVert = 5, ∥v⃗∥=3\lVert \vec v \rVert = 3 et u⃗⋅v⃗=−2\vec u \cdot \vec v = -2. Calcule ∥u⃗+v⃗∥\lVert \vec u + \vec v \rVert.

  1. ∥u⃗+v⃗∥2=u⃗ 2+2 u⃗⋅v⃗+v⃗ 2\lVert \vec u + \vec v \rVert^{2} = \vec u^{\,2} + 2\,\vec u\cdot\vec v + \vec v^{\,2}
  2. ==52+2×(−2)+325^{2} + 2\times(-2) + 3^{2}
  3. ==25−4+925 - 4 + 9
  4. ==3030
  5. ⇒\Rightarrow∥u⃗+v⃗∥=30≈5,48\lVert \vec u + \vec v \rVert = \sqrt{30} \approx 5{,}48
Attention

Ne confonds jamais (u⃗+v⃗)2(\vec u+\vec v)^{2} avec u⃗ 2+v⃗ 2\vec u^{\,2}+\vec v^{\,2} ! L'égalité ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+∥v⃗∥2\lVert \vec u+\vec v\rVert^{2} = \lVert \vec u\rVert^{2}+\lVert \vec v\rVert^{2} n'est vraie que si u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0, c'est-à-dire si u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v : c'est exactement le théorème de Pythagore, cas particulier du théorème d'Al-Kashi que tu démontreras en section 5.

3Expression analytique

Dès que le plan est muni d'un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule en une ligne à partir des coordonnées, sans jamais mesurer d'angle. C'est la méthode la plus rapide dès que tu disposes de coordonnées.

3.1  Formule en coordonnées

Théorème

Dans un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗)\left(O;\vec\imath,\vec\jmath\right), si u⃗(x ;y)\vec u(x\,;y) et v⃗(x′ ;y′)\vec v(x'\,;y'), alors :

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'

Démonstration

Le repère étant orthonormé, ı⃗\vec\imath et ȷ⃗\vec\jmath sont unitaires et orthogonaux : ı⃗⋅ı⃗=1\vec\imath\cdot\vec\imath = 1, ȷ⃗⋅ȷ⃗=1\vec\jmath\cdot\vec\jmath = 1, ı⃗⋅ȷ⃗=0\vec\imath\cdot\vec\jmath = 0. On décompose u⃗=xı⃗+yȷ⃗\vec u = x\vec\imath + y\vec\jmath et v⃗=x′ı⃗+y′ȷ⃗\vec v = x'\vec\imath + y'\vec\jmath, puis on développe par bilinéarité (section 2) :

  1. u⃗⋅v⃗=(xı⃗+yȷ⃗)⋅(x′ı⃗+y′ȷ⃗)\vec u \cdot \vec v = (x\vec\imath+y\vec\jmath)\cdot(x'\vec\imath+y'\vec\jmath)
  2. ==xx′(ı⃗⋅ı⃗)+xy′(ı⃗⋅ȷ⃗)+yx′(ȷ⃗⋅ı⃗)+yy′(ȷ⃗⋅ȷ⃗)xx'(\vec\imath\cdot\vec\imath) + xy'(\vec\imath\cdot\vec\jmath) + yx'(\vec\jmath\cdot\vec\imath) + yy'(\vec\jmath\cdot\vec\jmath)bilinéarité, quatre termes
  3. ==xx′×1+xy′×0+yx′×0+yy′×1xx' \times 1 + xy' \times 0 + yx' \times 0 + yy' \times 1
  4. ==xx′+yy′xx' + yy'

C.Q.F.D. Cette démonstration montre bien pourquoi le repère doit être orthonormé : dans un repère seulement orthogonal (axes non gradués pareil) ou quelconque, les termes croisés ne s'annulent plus.

Attention

La formule u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx'+yy' n'est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité). C'est un piège classique du bac : vérifie toujours la nature du repère avant d'appliquer cette formule.

3.2  Norme et distance en coordonnées

Propriété — conséquences immédiates

Pour u⃗(x ;y)\vec u(x\,;y), en appliquant la formule à u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u :

∥u⃗∥=x2+y2\lVert \vec u \rVert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Pour deux points A(xA ;yA)A(x_A\,;y_A) et B(xB ;yB)B(x_B\,;y_B), en appliquant ceci à AB→\overrightarrow{AB} :

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^{2}+\left(y_B-y_A\right)^{2}}

3.3  Angle en coordonnées

Propriété

Pour u⃗\vec u, v⃗\vec v non nuls, en combinant les deux définitions :

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥=xx′+yy′x2+y2×x′2+y′2\cos\theta = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\lVert \vec u \rVert \times \lVert \vec v \rVert} = \dfrac{xx'+yy'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}

Exemple — calcul complet en coordonnées

Soient u⃗(4 ;1)\vec u(4\,;1) et v⃗(2 ;5)\vec v(2\,;5) dans un repère orthonormé. Calcule u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, les normes, puis l'angle θ\theta.

  1. u⃗⋅v⃗=4×2+1×5\vec u \cdot \vec v = 4\times 2 + 1\times 5
  2. ==8+5=138+5 = 13
  3. ∥u⃗∥=42+12=17\lVert \vec u \rVert = \sqrt{4^{2}+1^{2}} = \sqrt{17}
  4. ∥v⃗∥=22+52=29\lVert \vec v \rVert = \sqrt{2^{2}+5^{2}} = \sqrt{29}
  5. cos⁡θ=1317×29=13493\cos\theta = \dfrac{13}{\sqrt{17}\times\sqrt{29}} = \dfrac{13}{\sqrt{493}}
  6. ≈\approx0,5850{,}585produit scalaire positif : angle aigu
  7. ⇒\Rightarrowθ≈54,2°\theta \approx 54{,}2°
Math & Co — la géométrie devient calcul

C'est le philosophe et mathématicien français René Descartes qui, en 1637, dans un appendice de son Discours de la méthode intitulé La Géométrie, propose pour la première fois de repérer un point du plan par deux nombres — ce que nous appelons aujourd'hui des coordonnées. Cette invention fusionne deux mondes que les Grecs avaient toujours tenus séparés : l'algèbre (les nombres, les équations) et la géométrie (les figures).

Le produit scalaire, deux siècles plus tard, est l'aboutissement de ce programme cartésien : une propriété purement géométrique — un angle, une perpendicularité — devient un simple calcul sur des nombres, xx′+yy′xx'+yy', aussi mécanique qu'une addition.

4Orthogonalité

4.1  Caractérisation par le produit scalaire

Définition

Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v non nuls sont orthogonaux, noté u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, si et seulement si :

u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0

(Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.)

Méthode — démontrer une orthogonalité

Pour démontrer que (AB)⊥(CD)(AB) \perp (CD) : détermine les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} dans un repère orthonormé, calcule leur produit scalaire, puis conclus selon qu'il est nul ou non.

Exemple — tester une orthogonalité

Dans un repère orthonormé, A(1 ;1)A(1\,;1), B(3 ;4)B(3\,;4), C(5 ;1)C(5\,;1), D(−1 ;5)D(-1\,;5). Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles perpendiculaires ?

  1. AB→(3−1 ;4−1)=AB→(2 ;3)\overrightarrow{AB}\left(3-1\,;4-1\right) = \overrightarrow{AB}(2\,;3)
  2. CD→(−1−5 ;5−1)=CD→(−6 ;4)\overrightarrow{CD}\left(-1-5\,;5-1\right) = \overrightarrow{CD}(-6\,;4)
  3. AB→⋅CD→=2×(−6)+3×4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = 2\times(-6) + 3\times 4
  4. ==−12+12=0-12+12 = 0
  5. ⇒\Rightarrow(AB)⊥(CD)(AB) \perp (CD)produit scalaire nul

4.2  Vecteur normal et équation de droite

Définition

Un vecteur normal à une droite dd est un vecteur non nul, orthogonal à tout vecteur directeur de dd.

Théorème

Dans un repère orthonormé, une droite dd passant par A(x0 ;y0)A(x_0\,;y_0) et de vecteur normal n⃗(a ;b)\vec n(a\,;b) (avec (a,b)≠(0,0)(a,b)\neq(0,0)) a pour équation cartésienne :

a(x−x0)+b(y−y0)=0soitax+by+c=0a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0 \quad\text{soit}\quad ax+by+c=0

Réciproquement, toute droite d'équation ax+by+c=0ax+by+c=0 admet n⃗(a ;b)\vec n(a\,;b) comme vecteur normal.

Démonstration

Un point M(x ;y)M(x\,;y) appartient à dd si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} est un vecteur directeur de dd, donc orthogonal à n⃗\vec n :

  1. M∈d  ⟺  AM→⊥n⃗M \in d \iff \overrightarrow{AM} \perp \vec n
  2.   ⟺  \iffAM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0
  3.   ⟺  \iffa(x−x0)+b(y−y0)=0a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0coordonnées de AM(x-x₀ ; y-y₀), formule analytique

En posant c=−(ax0+by0)c = -(ax_0+by_0), on obtient ax+by+c=0ax+by+c=0. C.Q.F.D.

Droite définie par un point et un vecteur normal d A(x₀ , y₀) n(a , b) M(x,y) ∈ d ⇔ a(x−x₀) + b(y−y₀) = 0
Figure 3 — Une droite dd est entièrement déterminée par un point AA et un vecteur n⃗\vec n normal (perpendiculaire) à dd ; MM décrit dd exactement quand AM→\overrightarrow{AM} est orthogonal à n⃗\vec n.
Exemple — équation à partir d'un point et d'un vecteur normal

Détermine l'équation de la droite dd passant par A(2 ;−1)A(2\,;-1) de vecteur normal n⃗(3 ;−2)\vec n(3\,;-2).

  1. 3(x−2)−2(y−(−1))=03(x-2) - 2(y-(-1)) = 0
  2. ==3x−6−2y−2=03x-6-2y-2=0
  3. ⇒\Rightarrow3x−2y−8=03x-2y-8=0
Attention

Ne confonds pas vecteur normal (perpendiculaire à la droite) et vecteur directeur (parallèle à la droite). Si d : ax+by+c=0d\,{:}\ ax+by+c=0, un vecteur normal est n⃗(a ;b)\vec n(a\,;b), et un vecteur directeur est u⃗(−b ;a)\vec u(-b\,;a) (on l'obtient en « échangeant et changeant un signe », car n⃗⋅u⃗=−ab+ba=0\vec n \cdot \vec u = -ab+ba = 0).

5Théorème d'Al-Kashi et théorème de la médiane

5.1  Théorème d'Al-Kashi

Théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle ABCABC, en notant a=BCa=BC, b=CAb=CA, c=ABc=AB les longueurs des côtés et A^\widehat A l'angle en AA :

a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat A

(et les deux formules obtenues par permutation circulaire des sommets).

Triangle quelconque : théorème d'Al-Kashi A B C a b c a² = b² + c² − 2bc·cos A
Figure 4 — Notations usuelles : aa, bb, cc sont les côtés respectivement opposés aux sommets AA, BB, CC.
Démonstration

On part de la relation de Chasles BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}, puis on élève au carré scalaire en utilisant l'identité remarquable de la section 2 :

  1. BC2=BC→ 2=(AC→−AB→)2BC^{2} = \overrightarrow{BC}^{\,2} = \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^{2}
  2. ==AC→ 2−2 AC→⋅AB→+AB→ 2\overrightarrow{AC}^{\,2} - 2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}^{\,2}
  3. ==AC2+AB2−2 AB→⋅AC→AC^{2} + AB^{2} - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}symétrie du produit scalaire
  4. ==b2+c2−2×AB×AC×cos⁡A^b^{2}+c^{2} - 2 \times AB\times AC \times \cos\widehat Adéfinition par l'angle, appliquée à AB·AC
  5. ==b2+c2−2bccos⁡A^b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat A

D'où a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat A. C.Q.F.D.

Propriété — cas particulier

Si A^=90°\widehat A = 90°, alors cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 et la formule devient a2=b2+c2a^{2}=b^{2}+c^{2} : on retrouve le théorème de Pythagore. Al-Kashi le généralise donc à un triangle quelconque, rectangle ou non.

Exemple — calculer un côté

Dans un triangle ABCABC, AB=c=6AB=c=6, AC=b=4AC=b=4 et A^=70°\widehat A = 70°. Calcule BCBC.

  1. a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat A
  2. ==42+62−2×4×6×cos⁡70°4^{2}+6^{2}-2\times 4\times 6\times\cos 70°
  3. ==16+36−48×0,34216+36-48\times 0{,}342
  4. ≈\approx52−16,42=35,5852-16{,}42 = 35{,}58
  5. ⇒\RightarrowBC≈35,58≈5,97BC \approx \sqrt{35{,}58} \approx 5{,}97
Math & Co — le mathématicien Al-Kashi

Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi (vers 1380 – 1429) est un astronome et mathématicien persan. Vers 1420, l'astronome-prince Ulugh Beg, petit-fils de Tamerlan, l'invite à diriger l'observatoire qu'il fonde à Samarcande (actuel Ouzbékistan), l'un des plus grands centres scientifiques de son temps.

Dans son traité Miftah al-Hisab (« Clé de l'arithmétique », 1427), al-Kashi établit la relation générale entre les côtés et les angles d'un triangle quelconque, aujourd'hui appelée théorème d'Al-Kashi en français — les pays anglophones parlent, eux, de law of cosines. Les cas particuliers (triangle acutangle ou obtusangle) figuraient déjà, sous forme d'aires, dans le Livre II des Éléments d'Euclide vingt-trois siècles plus tôt ; la contribution d'al-Kashi est de l'exprimer avec la trigonométrie et de la rendre calculable pour ses tables astronomiques d'une précision inégalée à l'époque.

5.2  Théorème de la médiane

Théorème de la médiane

Dans un triangle ABCABC, si MM est le milieu de [BC][BC], alors :

AB2+AC2=2AM2+BC22AB^{2}+AC^{2} = 2AM^{2} + \dfrac{BC^{2}}{2}

Démonstration

Comme MM est le milieu de [BC][BC], MB→=−MC→\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC}, et MB=MC=BC2MB=MC=\dfrac{BC}{2}. On écrit AB→=AM→+MB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} et AC→=AM→+MC→=AM→−MB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB} :

  1. AB2+AC2=(AM→+MB→)2+(AM→−MB→)2AB^{2}+AC^{2} = \left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)^{2} + \left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB}\right)^{2}
  2. ==(AM2+2 AM→⋅MB→+MB2)+(AM2−2 AM→⋅MB→+MB2)\left(AM^{2}+2\,\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}+MB^{2}\right) + \left(AM^{2}-2\,\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}+MB^{2}\right)
  3. ==2AM2+2MB22AM^{2}+2MB^{2}les termes croisés s'annulent
  4. ==2AM2+2(BC2)22AM^{2}+2\left(\dfrac{BC}{2}\right)^{2}
  5. ==2AM2+BC222AM^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2}

C.Q.F.D. On en tire la longueur de la médiane : AM2=2AB2+2AC2−BC24AM^{2} = \dfrac{2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2}}{4}.

Exemple — longueur d'une médiane

Triangle ABCABC avec AB=5AB=5, AC=7AC=7, BC=6BC=6. MM est le milieu de [BC][BC]. Calcule AMAM.

  1. AM2=2×52+2×72−624AM^{2} = \dfrac{2\times 5^{2}+2\times 7^{2}-6^{2}}{4}
  2. ==50+98−364=1124\dfrac{50+98-36}{4} = \dfrac{112}{4}
  3. ==2828
  4. ⇒\RightarrowAM=28=27≈5,29AM = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29

5.3  Formules d'addition trigonométriques

Démonstration — cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a \sin b

Dans un repère orthonormé, munissons le cercle trigonométrique de deux vecteurs unitaires u⃗(cos⁡a ;sin⁡a)\vec u(\cos a\,;\sin a) et v⃗(cos⁡b ;sin⁡b)\vec v(\cos b\,;\sin b). L'angle entre u⃗\vec u et v⃗\vec v vaut a−ba-b. Calculons u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v de deux façons :

  1. par la norme et l'angle : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)\vec u \cdot \vec v = \lVert \vec u\rVert \times \lVert \vec v\rVert \times \cos(a-b) = \cos(a-b)u et v unitaires
  2. par les coordonnées : u⃗⋅v⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b
  3. ⇒\Rightarrowcos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin bles deux expressions valent le même produit scalaire

En remplaçant bb par −b-b (et en utilisant cos⁡(−b)=cos⁡b\cos(-b)=\cos b, sin⁡(−b)=−sin⁡b\sin(-b)=-\sin b), on obtient aussitôt cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a \sin b.

Exemple — calculer cos⁡15°\cos 15°
  1. cos⁡15°=cos⁡(45°−30°)\cos 15° = \cos(45°-30°)
  2. ==cos⁡45°cos⁡30°+sin⁡45°sin⁡30°\cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°
  3. ==22×32+22×12\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac12
  4. ==6+24≈0,966\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \approx 0{,}966

6Lignes de niveau

Étant donné deux points fixes AA et BB, on s'intéresse à l'ensemble des points MM du plan vérifiant une condition portant sur MA→⋅MB→\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}. On appelle cet ensemble une ligne de niveau.

6.1  Réduction de MA·MB

Théorème

Soient AA, BB deux points et II le milieu de [AB][AB]. Pour tout point MM du plan :

MA→⋅MB→=IM2−(AB2)2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = IM^{2} - \left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}

Démonstration

Comme II est le milieu de [AB][AB], IA→=−IB→\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}. On écrit MA→=MI→+IA→\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} et MB→=MI→+IB→=MI→−IA→\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}, puis on reconnaît une différence de carrés :

  1. MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right)
  2. ==MI→ 2−IA→ 2\overrightarrow{MI}^{\,2} - \overrightarrow{IA}^{\,2}identité (p⃗+q⃗)⋅(p⃗−q⃗)=p⃗ 2−q⃗ 2(\vec p+\vec q)\cdot(\vec p-\vec q)=\vec p^{\,2}-\vec q^{\,2}
  3. ==IM2−IA2IM^{2} - IA^{2}
  4. ==IM2−(AB2)2IM^{2} - \left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}I milieu de [AB] donc IA = AB/2

C.Q.F.D.

6.2  Nature de l'ensemble {M : MA·MB = k}

Propriété

Soit kk un réel fixé et r2=k+(AB2)2r^{2} = k + \left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}. D'après le théorème précédent, MA→⋅MB→=k  ⟺  IM2=r2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k \iff IM^{2}=r^{2}.

  • si r2>0r^{2}>0 : l'ensemble est le cercle de centre II et de rayon r=r2r=\sqrt{r^{2}} ;
  • si r2=0r^{2}=0 : l'ensemble est réduit au point II ;
  • si r2<0r^{2}<0 : l'ensemble est vide.
Ligne de niveau : MA·MB = k (k fixé) r A B I M MA·MB = IM² − (AB/2)² , I = milieu de [AB]
Figure 5 — Quand k+(AB/2)2>0k+(AB/2)^2 > 0, l'ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=k\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k est un cercle de centre II, milieu de [AB][AB].
Exemple — déterminer une ligne de niveau

AA et BB sont tels que AB=6AB=6. Détermine l'ensemble EkE_k des points MM tels que MA→⋅MB→=k\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k pour k=7k=7, puis pour k=−9k=-9.

  1. r2=k+(AB2)2=k+32=k+9r^{2} = k + \left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2} = k+3^{2} = k+9
  2. si k=7k=7 : r2=16>0r^{2}=16>0
  3. ⇒\RightarrowE7E_7 est le cercle de centre II (milieu de [AB]) et de rayon 44
  4. si k=−9k=-9 : r2=0r^{2}=0
  5. ⇒\RightarrowE−9={I}E_{-9} = \{I\}un seul point

6.3  Complément : la ligne de niveau MA² − MB²

Propriété

Avec II milieu de [AB][AB] :   MA2−MB2=2 BA→⋅MI→\;MA^{2}-MB^{2} = 2\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MI}.

Démonstration (rapide)
  1. MA2−MB2=MA→ 2−MB→ 2=(MA→−MB→)⋅(MA→+MB→)MA^{2}-MB^{2} = \overrightarrow{MA}^{\,2}-\overrightarrow{MB}^{\,2} = \left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)
  2. ==BA→⋅(MA→+MB→)\overrightarrow{BA}\cdot\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)
  3. ==BA→⋅2MI→\overrightarrow{BA}\cdot 2\overrightarrow{MI}I milieu de [AB] : MA+MB = 2 MI

Fixer MA2−MB2=kMA^2-MB^2=k revient donc à fixer la projection de MI→\overrightarrow{MI} sur BA→\overrightarrow{BA} : l'ensemble obtenu est une droite perpendiculaire à (AB)(AB).

7Équation d'un cercle

7.1  Équation réduite

Théorème

Dans un repère orthonormé, le cercle C\mathcal C de centre Ω(a ;b)\Omega(a\,;b) et de rayon r>0r>0 a pour équation :

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = r^{2}

Démonstration

M(x ;y)M(x\,;y) appartient à C\mathcal C si et seulement si ΩM=r\Omega M = r, ce qui équivaut à ΩM2=r2\Omega M^{2}=r^{2} (les deux membres sont positifs) :

  1. M∈C  ⟺  ΩM2=r2M \in \mathcal C \iff \Omega M^{2} = r^{2}
  2.   ⟺  \iff(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}formule analytique de la distance
Cercle de centre Ω(a , b) et de rayon r x y O a b Ω r M(x , y) ΩM = r ⇔ (x − a)² + (y − b)² = r²
Figure 6 — Le cercle de centre Ω(a ;b)\Omega(a\,;b) et de rayon rr est l'ensemble des points MM situés exactement à distance rr de Ω\Omega.
Exemple — équation à partir du centre et du rayon

Cercle de centre Ω(3 ;−1)\Omega(3\,;-1) et de rayon 55 : (x−3)2+(y+1)2=25(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=25.

7.2  Forme développée

En développant (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, on obtient x2+y2−2ax−2by+(a2+b2−r2)=0x^{2}+y^{2}-2ax-2by+(a^{2}+b^{2}-r^{2})=0, de la forme générale x2+y2+Dx+Ey+F=0x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0.

Méthode — reconnaître un cercle depuis une équation développée

On identifie D=−2aD=-2a, E=−2bE=-2b, F=a2+b2−r2F=a^{2}+b^{2}-r^{2}, donc a=−D2a=-\dfrac D2, b=−E2b=-\dfrac E2, et r2=a2+b2−Fr^{2}=a^{2}+b^{2}-F. On complète le carré pour xx et pour yy séparément, puis on regroupe.

Attention

L'équation x2+y2+Dx+Ey+F=0x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0 ne représente un vrai cercle que si D2+E2−4F>0D^{2}+E^{2}-4F>0. Si cette quantité est nulle, l'ensemble est réduit à un point ; si elle est négative, l'ensemble est vide — exactement comme pour les lignes de niveau de la section 6.

Exemple — compléter le carré

Détermine la nature de l'ensemble d'équation x2+y2−4x+2y−4=0x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0.

  1. x2−4x=(x−2)2−4x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4
  2. y2+2y=(y+1)2−1y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1
  3. (x−2)2−4+(y+1)2−1−4=0(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1-4=0
  4. ⇒\Rightarrow(x−2)2+(y+1)2=9(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9
  5. c'est le cercle de centre (2 ;−1)(2\,;-1) et de rayon 339 > 0

7.3  Cercle de diamètre [AB]

Propriété

Le cercle de diamètre [AB][AB] est exactement la ligne de niveau E0E_0 de la section 6 (cas k=0k=0) :

M∈cercle de diameˋtre [AB]  ⟺  MA→⋅MB→=0M \in \text{cercle de diamètre } [AB] \iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0

ce qui correspond, pour M≠A,BM\neq A,B, à AMB^=90°\widehat{AMB}=90° : on retrouve le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle.

Exemple — vérifier l'appartenance à un cercle de diamètre

A(1 ;2)A(1\,;2), B(7 ;2)B(7\,;2). Vérifie que M(4 ;5)M(4\,;5) appartient au cercle de diamètre [AB][AB].

  1. MA→(1−4 ;2−5)=MA→(−3 ;−3)\overrightarrow{MA}(1-4\,;2-5) = \overrightarrow{MA}(-3\,;-3)
  2. MB→(7−4 ;2−5)=MB→(3 ;−3)\overrightarrow{MB}(7-4\,;2-5) = \overrightarrow{MB}(3\,;-3)
  3. MA→⋅MB→=−3×3+(−3)×(−3)=−9+9=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = -3\times 3 + (-3)\times(-3) = -9+9=0
  4. ⇒\RightarrowMM appartient au cercle de diamètre [AB][AB]

Fiche mémo

  • u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ=AB×AH‾\vec u\cdot\vec v = \lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\cos\theta = AB\times\overline{AH} (projection) =xx′+yy′= xx'+yy' (repère orthonormé).
  • Symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u. Bilinéarité : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w.
  • u⃗ 2=∥u⃗∥2\vec u^{\,2}=\lVert\vec u\rVert^{2} ; (u⃗±v⃗)2=u⃗ 2±2u⃗⋅v⃗+v⃗ 2(\vec u\pm\vec v)^{2}=\vec u^{\,2}\pm2\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2} ; (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=u⃗ 2−v⃗ 2(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u^{\,2}-\vec v^{\,2}.
  • u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0.
  • Droite ax+by+c=0ax+by+c=0 : vecteur normal n⃗(a ;b)\vec n(a\,;b), vecteur directeur u⃗(−b ;a)\vec u(-b\,;a).
  • Al-Kashi : a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat A — généralise Pythagore (A^=90°⇒a2=b2+c2\widehat A=90°\Rightarrow a^2=b^2+c^2).
  • Médiane (MM milieu de [BC][BC]) : AB2+AC2=2AM2+BC22AB^{2}+AC^{2}=2AM^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2}.
  • cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b ; cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
  • II milieu de [AB][AB] : MA→⋅MB→=IM2−(AB2)2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=IM^{2}-\left(\dfrac{AB}2\right)^{2} — ligne de niveau = cercle, point, ou ensemble vide.
  • Cercle de centre Ω(a ;b)\Omega(a\,;b), rayon rr : (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} ; forme développée x2+y2+Dx+Ey+F=0x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0 cercle ssi D2+E2−4F>0D^{2}+E^{2}-4F>0, centre (−D2 ;−E2)\left(-\dfrac D2\,;-\dfrac E2\right).
  • Cercle de diamètre [AB][AB] : MM dessus   ⟺  MA→⋅MB→=0  ⟺  AMB^=90°\iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \iff \widehat{AMB}=90°.

8Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v dans les deux cas suivants : (a) ∥u⃗∥=6\lVert \vec u\rVert=6, ∥v⃗∥=5\lVert \vec v\rVert=5, angle 45°45° ; (b) ∥u⃗∥=8\lVert \vec u\rVert=8, ∥v⃗∥=3\lVert \vec v\rVert=3, angle 150°150°.

Voir le corrigé détaillé
  1. (a) u⃗⋅v⃗=6×5×cos⁡45°\vec u\cdot\vec v = 6\times5\times\cos 45°
  2. ==30×2230\times\dfrac{\sqrt2}{2}
  3. ==152≈21,2115\sqrt2 \approx 21{,}21
  4. (b) u⃗⋅v⃗=8×3×cos⁡150°\vec u\cdot\vec v = 8\times3\times\cos150°
  5. ==24×(−32)24\times\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)
  6. ==−123≈−20,78-12\sqrt3\approx -20{,}78

(a) est positif (angle aigu) ; (b) est négatif (angle obtus).

2

Dans un triangle ABCABC, on projette orthogonalement CC sur (AB)(AB) et on obtient HH. Calcule AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} : (a) AB=10AB=10, AH=4AH=4, HH du côté de BB ; (b) AB=7AB=7, AH=1,5AH=1{,}5, HH du côté opposé à BB.

Voir le corrigé détaillé
  1. (a) AB→⋅AC→=AB×AH‾=10×4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times\overline{AH} = 10\times4
  2. ==4040H du côté de B : mesure algébrique positive
  3. (b) AB→⋅AC→=AB×AH‾=7×(−1,5)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times\overline{AH} = 7\times(-1{,}5)
  4. ==−10,5-10{,}5H du côté opposé à B : mesure algébrique négative
3

Dans un repère orthonormé, u⃗(5 ;−3)\vec u(5\,;-3) et v⃗(2 ;4)\vec v(2\,;4). Calcule u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v, ∥u⃗∥\lVert\vec u\rVert, ∥v⃗∥\lVert\vec v\rVert puis l'angle entre u⃗\vec u et v⃗\vec v au degré près.

Voir le corrigé détaillé
  1. u⃗⋅v⃗=5×2+(−3)×4\vec u\cdot\vec v = 5\times2+(-3)\times4
  2. ==10−12=−210-12=-2
  3. ∥u⃗∥=52+(−3)2=34\lVert\vec u\rVert=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{34}
  4. ∥v⃗∥=22+42=20=25\lVert\vec v\rVert=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt5
  5. cos⁡θ=−234×25≈−0,0767\cos\theta = \dfrac{-2}{\sqrt{34}\times2\sqrt5}\approx-0{,}0767
  6. ⇒\Rightarrowθ≈94,4°\theta\approx94{,}4°
4

Dans un repère orthonormé, A(0 ;0)A(0\,;0), B(4 ;3)B(4\,;3), C(1 ;1)C(1\,;1), D(4 ;−3)D(4\,;-3). Démontre que (AB)⊥(CD)(AB)\perp(CD).

Voir le corrigé détaillé
  1. AB→(4−0 ;3−0)=AB→(4 ;3)\overrightarrow{AB}(4-0\,;3-0)=\overrightarrow{AB}(4\,;3)
  2. CD→(4−1 ;−3−1)=CD→(3 ;−4)\overrightarrow{CD}(4-1\,;-3-1)=\overrightarrow{CD}(3\,;-4)
  3. AB→⋅CD→=4×3+3×(−4)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=4\times3+3\times(-4)
  4. ==12−12=012-12=0
  5. ⇒\Rightarrow(AB)⊥(CD)(AB)\perp(CD)produit scalaire nul
5

On donne ∥u⃗∥=4\lVert\vec u\rVert=4, ∥v⃗∥=6\lVert\vec v\rVert=6, u⃗⋅v⃗=5\vec u\cdot\vec v=5. Calcule ∥u⃗+v⃗∥\lVert\vec u+\vec v\rVert et ∥u⃗−v⃗∥\lVert\vec u-\vec v\rVert.

Voir le corrigé détaillé
  1. ∥u⃗+v⃗∥2=42+2×5+62\lVert\vec u+\vec v\rVert^{2}=4^{2}+2\times5+6^{2}
  2. ==16+10+36=6216+10+36=62
  3. ⇒\Rightarrow∥u⃗+v⃗∥=62≈7,87\lVert\vec u+\vec v\rVert=\sqrt{62}\approx7{,}87
  4. ∥u⃗−v⃗∥2=42−2×5+62\lVert\vec u-\vec v\rVert^{2}=4^{2}-2\times5+6^{2}
  5. ==16−10+36=4216-10+36=42
  6. ⇒\Rightarrow∥u⃗−v⃗∥=42≈6,48\lVert\vec u-\vec v\rVert=\sqrt{42}\approx6{,}48
Niveau 2 — Approfondissement
6

ABCDABCD est un losange de côté aa, avec u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec v=\overrightarrow{AD}. Démontre que les diagonales (AC)(AC) et (BD)(BD) sont perpendiculaires, puis calcule leurs longueurs pour a=5a=5 et un angle A^=70°\widehat{A}=70°.

Voir le corrigé détaillé

Dans un losange, tous les côtés ont la même longueur : ∥u⃗∥=∥v⃗∥=a\lVert\vec u\rVert=\lVert\vec v\rVert=a. Les diagonales sont AC→=u⃗+v⃗\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v et DB→=u⃗−v⃗\overrightarrow{DB}=\vec u-\vec v.

  1. AC→⋅DB→=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB} = (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)
  2. ==u⃗ 2−v⃗ 2\vec u^{\,2}-\vec v^{\,2}
  3. ==a2−a2=0a^{2}-a^{2}=0u et v de même norme dans un losange
  4. ⇒\Rightarrow(AC)⊥(BD)(AC)\perp(BD)

Longueurs numériques (a=5a=5, u⃗⋅v⃗=a2cos⁡70°=25×0,342≈8,55\vec u\cdot\vec v=a^{2}\cos70°=25\times0{,}342\approx8{,}55) :

  1. AC2=(u⃗+v⃗)2=2a2+2u⃗⋅v⃗≈50+17,1=67,1AC^{2}=(\vec u+\vec v)^{2}=2a^{2}+2\vec u\cdot\vec v\approx50+17{,}1=67{,}1
  2. ⇒\RightarrowAC≈8,19AC\approx8{,}19
  3. BD2=(u⃗−v⃗)2=2a2−2u⃗⋅v⃗≈50−17,1=32,9BD^{2}=(\vec u-\vec v)^{2}=2a^{2}-2\vec u\cdot\vec v\approx50-17{,}1=32{,}9
  4. ⇒\RightarrowBD≈5,74BD\approx5{,}74
7

Détermine l'équation cartésienne de la droite dd passant par A(−3 ;2)A(-3\,;2) et de vecteur normal n⃗(5 ;−1)\vec n(5\,;-1). Le point M1(−1 ;12)M_1(-1\,;12) appartient-il à dd ? Et M2(1 ;3)M_2(1\,;3) ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 5(x−(−3))−1(y−2)=05(x-(-3)) -1(y-2)=0
  2. ==5x+15−y+2=05x+15-y+2=0
  3. ⇒\Rightarrow5x−y+17=05x-y+17=0
  1. pour M1M_1 : 5×(−1)−12+17=05\times(-1)-12+17=0
  2. ⇒\RightarrowM1∈dM_1\in d
  3. pour M2M_2 : 5×1−3+17=19≠05\times1-3+17=19\neq0
  4. ⇒\RightarrowM2∉dM_2\notin d
8

Détermine le centre et le rayon du cercle d'équation x2+y2−6x+4y−3=0x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0.

Voir le corrigé détaillé
  1. x2−6x=(x−3)2−9x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9
  2. y2+4y=(y+2)2−4y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4
  3. (x−3)2−9+(y+2)2−4−3=0(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4-3=0
  4. ⇒\Rightarrow(x−3)2+(y+2)2=16(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16

C'est le cercle de centre (3 ;−2)(3\,;-2) et de rayon 44 (car 16>016>0).

9

AA et BB sont tels que AB=8AB=8. Détermine la nature de l'ensemble Ek={M:MA→⋅MB→=k}E_k=\{M : \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k\} pour k=9k=9, k=−16k=-16 et k=−20k=-20.

Voir le corrigé détaillé
  1. r2=k+(AB2)2=k+16r^{2}=k+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}=k+16
  2. k=9  ⇒  r2=25>0  ⇒  E9k=9\;\Rightarrow\;r^{2}=25>0\;\Rightarrow\;E_9 cercle de centre II (milieu de [AB]), rayon 55
  3. k=−16  ⇒  r2=0  ⇒  E−16={I}k=-16\;\Rightarrow\;r^{2}=0\;\Rightarrow\;E_{-16}=\{I\}
  4. k=−20  ⇒  r2=−4<0  ⇒  E−20=∅k=-20\;\Rightarrow\;r^{2}=-4<0\;\Rightarrow\;E_{-20}=\varnothing
10

Dans un repère orthonormé, u⃗(2 ;5)\vec u(2\,;5) et v⃗(−3 ;1)\vec v(-3\,;1). Calcule l'angle entre u⃗\vec u et v⃗\vec v au dixième de degré près, et précise s'il est aigu ou obtus.

Voir le corrigé détaillé
  1. u⃗⋅v⃗=2×(−3)+5×1\vec u\cdot\vec v = 2\times(-3)+5\times1
  2. ==−6+5=−1-6+5=-1
  3. ∥u⃗∥=29\lVert\vec u\rVert=\sqrt{29}, ∥v⃗∥=10\lVert\vec v\rVert=\sqrt{10}
  4. cos⁡θ=−129×10≈−0,0587\cos\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{29}\times\sqrt{10}}\approx-0{,}0587
  5. ⇒\Rightarrowθ≈93,4°\theta\approx93{,}4°

Produit scalaire négatif : l'angle est obtus (tout juste, car proche de 90°90°).

Niveau 3 — Défi
11

Dans un triangle ABCABC, AB=c=7AB=c=7, AC=b=5AC=b=5, A^=60°\widehat A=60°.

  1. Calcule BCBC (valeur exacte puis arrondie au centième).
  2. Calcule B^\widehat B au dixième de degré près.
  3. En déduis C^\widehat C.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat A
  2. ==52+72−2×5×7×cos⁡60°5^{2}+7^{2}-2\times5\times7\times\cos60°
  3. ==25+49−70×0,525+49-70\times0{,}5
  4. ==74−35=3974-35=39
  5. ⇒\Rightarrowa=BC=39≈6,24a=BC=\sqrt{39}\approx6{,}24

2. On applique de nouveau Al-Kashi, cette fois pour isoler cos⁡B^\cos\widehat B :

  1. b2=a2+c2−2accos⁡B^b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\widehat B
  2. ⇒\Rightarrowcos⁡B^=a2+c2−b22ac=39+49−252×39×7\cos\widehat B=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\dfrac{39+49-25}{2\times\sqrt{39}\times7}
  3. ==631439≈0,7206\dfrac{63}{14\sqrt{39}}\approx0{,}7206
  4. ⇒\RightarrowB^≈43,9°\widehat B\approx43{,}9°

3. La somme des angles d'un triangle vaut 180°180° :

  1. C^=180°−A^−B^\widehat C = 180°-\widehat A-\widehat B
  2. ≈\approx180−60−43,9180-60-43{,}9
  3. ==76,1°76{,}1°
12

Un triangle ABCABC a pour côtés AB=6AB=6, AC=8AC=8, BC=10BC=10. MM est le milieu de [BC][BC]. Calcule AMAM grâce au théorème de la médiane, puis commente le résultat obtenu.

Voir le corrigé détaillé
  1. AM2=2AB2+2AC2−BC24AM^{2}=\dfrac{2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2}}{4}
  2. ==2×36+2×64−1004\dfrac{2\times36+2\times64-100}{4}
  3. ==72+128−1004=1004\dfrac{72+128-100}{4}=\dfrac{100}{4}
  4. ==2525
  5. ⇒\RightarrowAM=5AM=5

Comme 62+82=36+64=100=1026^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2}, le triangle est rectangle en AA (réciproque de Pythagore). On retrouve ici une propriété connue : dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse, soit BC2=5\dfrac{BC}{2}=5. Le calcul par Al-Kashi/médiane confirme donc ce résultat classique.

13

En utilisant la formule d'addition démontrée en cours, calcule la valeur exacte de cos⁡75°\cos75°, puis déduis-en sin⁡15°\sin15°.

Voir le corrigé détaillé
  1. cos⁡75°=cos⁡(45°+30°)\cos75°=\cos(45°+30°)
  2. ==cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°\cos45°\cos30°-\sin45°\sin30°
  3. ==22×32−22×12\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac12
  4. ==6−24≈0,259\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259

Comme 75°75° et 15°15° sont complémentaires (75+15=9075+15=90), sin⁡15°=cos⁡(90°−15°)=cos⁡75°\sin15°=\cos(90°-15°)=\cos75° :

  1. sin⁡15°=cos⁡75°\sin15° = \cos75°
  2. ==6−24≈0,259\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259
14

Soit Ω(1 ;2)\Omega(1\,;2) le centre d'un cercle C\mathcal C de rayon 55, et dm : 3x−4y+m=0d_m\,{:}\ 3x-4y+m=0 une droite.

  1. Démontre que la distance d'un point P(x0 ;y0)P(x_0\,;y_0) à une droite ax+by+c=0ax+by+c=0 de vecteur normal n⃗(a ;b)\vec n(a\,;b) vaut d(P,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(P,d)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
  2. Détermine les valeurs de mm pour lesquelles dmd_m est tangente à C\mathcal C.
Voir le corrigé détaillé

1. ROC — démonstration. Soit A(xA ;yA)A(x_A\,;y_A) un point quelconque de dd (donc axA+byA+c=0ax_A+by_A+c=0). La distance de PP à dd est la longueur PKPK, où KK est le projeté orthogonal de PP sur dd : c'est la valeur absolue de la projection de AP→\overrightarrow{AP} sur le vecteur normal unitaire n⃗∥n⃗∥\dfrac{\vec n}{\lVert\vec n\rVert}.

  1. d(P,d)=∣AP→⋅n⃗∥n⃗∥∣d(P,d) = \left|\overrightarrow{AP}\cdot\dfrac{\vec n}{\lVert\vec n\rVert}\right|
  2. ==∣a(x0−xA)+b(y0−yA)∣a2+b2\dfrac{\left|a(x_0-x_A)+b(y_0-y_A)\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
  3. ==∣ax0+by0−(axA+byA)∣a2+b2\dfrac{\left|ax_0+by_0-(ax_A+by_A)\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
  4. ==∣ax0+by0+c∣a2+b2\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}car ax_A+by_A = −c

2. Application. dmd_m est tangente à C\mathcal C si et seulement si d(Ω,dm)=5d(\Omega,d_m)=5 :

  1. d(Ω,dm)=∣3×1−4×2+m∣32+(−4)2=∣m−5∣5d(\Omega,d_m) = \dfrac{|3\times1-4\times2+m|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} = \dfrac{|m-5|}{5}
  2. ∣m−5∣5=5  ⟺  ∣m−5∣=25\dfrac{|m-5|}{5}=5 \iff |m-5|=25
  3. ⇒\Rightarrowm−5=25m-5=25 ou m−5=−25m-5=-25
  4. ⇒\Rightarrowm=30m=30 ou m=−20m=-20
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
15

Relais télécom (Ndjamena). Un technicien se poste au point AA, d'où il voit deux antennes-relais BB et CC. Il mesure AB=850AB=850 m, AC=620AC=620 m, et un angle BAC^=74°\widehat{BAC}=74° entre les deux directions. Calcule la distance BCBC entre les deux relais, au mètre près.

Voir le corrigé détaillé
Triangulation entre deux relais (Ndjamena) 74° A B C 850 m 620 m ? Poste A ; distances et angle connus ; distance BC inconnue
Figure 7 — Triangulation : connaissant ABAB, ACAC et l'angle BAC^\widehat{BAC}, Al-Kashi donne BCBC sans mesure directe.
  1. BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡BAC^BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}
  2. ==8502+6202−2×850×620×cos⁡74°850^{2}+620^{2}-2\times850\times620\times\cos74°
  3. ==722 500+384 400−1 054 000×0,2756722\,500+384\,400-1\,054\,000\times0{,}2756
  4. ≈\approx1 106 900−290 5301\,106\,900-290\,530
  5. ==816 370816\,370
  6. ⇒\RightarrowBC≈816 370≈904BC\approx\sqrt{816\,370}\approx904 m

Les deux relais sont distants d'environ 904 mètres.

16

Port de Douala. Un docker pousse un chariot en exerçant une force constante de 250250 N, formant un angle de 25°25° avec le déplacement horizontal du chariot, qui parcourt 1212 m. Le travail de cette force vaut W=F⃗⋅d⃗=∥F⃗∥×∥d⃗∥×cos⁡θW=\vec F\cdot\vec d = \lVert\vec F\rVert\times\lVert\vec d\rVert\times\cos\theta (en joules). Calcule WW, arrondi au joule près.

Voir le corrigé détaillé
  1. W=250×12×cos⁡25°W = 250\times12\times\cos25°
  2. ==3 000×0,90633\,000\times0{,}9063
  3. ≈\approx2 7192\,719 J

Le travail fourni est d'environ 2 719 joules. C'est bien le produit scalaire de la force par le déplacement : la composante de la force perpendiculaire au sol ne « travaille » pas, seule sa projection sur le déplacement compte.

17

Antenne relais (Dakar). Sur un plan local gradué en kilomètres et muni d'un repère orthonormé, une antenne wifi communautaire est installée en Ω(2 ;5)\Omega(2\,;5) et a une portée de 77 km.

  1. Donne l'équation du cercle délimitant la zone couverte.
  2. Le village de Yoff est situé en V(6 ;9)V(6\,;9) : est-il couvert ?
  3. Le village de Waoundé est situé en W(9 ;10)W(9\,;10) : est-il couvert ?
Voir le corrigé détaillé

1. Cercle de centre Ω(2 ;5)\Omega(2\,;5), rayon 77 :

(x−2)2+(y−5)2=49(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=49

2. VV est couvert si ΩV⩽7\Omega V \leqslant 7, c'est-à-dire ΩV2⩽49\Omega V^{2}\leqslant49 :

  1. ΩV2=(6−2)2+(9−5)2\Omega V^{2}=(6-2)^{2}+(9-5)^{2}
  2. ==16+16=3216+16=32
  3. 32<4932<49
  4. ⇒\RightarrowVV est couvert (ΩV=32≈5,66\Omega V=\sqrt{32}\approx5{,}66 km <7<7 km)

3.

  1. ΩW2=(9−2)2+(10−5)2\Omega W^{2}=(9-2)^{2}+(10-5)^{2}
  2. ==49+25=7449+25=74
  3. 74>4974>49
  4. ⇒\RightarrowWW n'est pas couvert (ΩW=74≈8,60\Omega W=\sqrt{74}\approx8{,}60 km >7>7 km)

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Second degré : discriminant et signe du trinôme

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Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v non nuls, formant un angle θ\theta, est défini par :

Explication : Par définition, le produit scalaire de deux vecteurs non nuls vaut le produit de leurs normes par le cosinus de l'angle qu'ils forment.

Si l'un des deux vecteurs u⃗\vec u ou v⃗\vec v est le vecteur nul, alors u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v vaut, par convention :

Explication : La définition par l'angle exige des vecteurs non nuls ; si l'un des deux est nul, on convient que le produit scalaire vaut 00.

Avec HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB), la définition de AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} par projection s'écrit :

Explication : AB→⋅AC→=AB×AH‾\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times\overline{AH}, où AH‾\overline{AH} est la mesure algébrique de AH→\overrightarrow{AH} sur (AB)(AB) : elle change de signe selon que HH est du côté de BB ou non.

Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires et de sens contraires, alors u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v vaut :

Explication : Sens contraires signifie θ=180°\theta = 180°, donc cos⁡θ=−1\cos\theta = -1 : u⃗⋅v⃗=−∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec u\cdot\vec v = -\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert.

Pour tout vecteur u⃗\vec u, le carré scalaire u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u est égal à :

Explication : u⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec u correspond à θ=0\theta=0, donc cos⁡θ=1\cos\theta=1, d'où u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥×∥u⃗∥=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u = \lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec u\rVert = \lVert\vec u\rVert^{2}.

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, la propriété de symétrie du produit scalaire s'écrit :

Explication : ∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ=∥v⃗∥×∥u⃗∥×cos⁡θ\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert\times\cos\theta = \lVert\vec v\rVert\times\lVert\vec u\rVert\times\cos\theta : la multiplication de réels est commutative, donc le produit scalaire est symétrique.

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w, la bilinéarité du produit scalaire donne :

Explication : Le produit scalaire se distribue sur l'addition des vecteurs : c'est la bilinéarité, à la base de la plupart des calculs du chapitre.

Soient u⃗\vec u, v⃗\vec v avec ∥u⃗∥=6\lVert\vec u\rVert=6, ∥v⃗∥=4\lVert\vec v\rVert=4 et un angle θ=120°\theta=120° entre eux. Calcule u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

Explication : u⃗⋅v⃗=6×4×cos⁡120°\vec u\cdot\vec v = 6\times4\times\cos120°
=24×(−0,5)=24\times(-0{,}5)
=−12=-12. L'angle est obtus, donc le produit scalaire est négatif.

Dans un triangle ABCABC, on projette orthogonalement CC sur (AB)(AB) et on obtient HH, avec AB=12AB=12 et AH=3AH=3, HH situé du côté opposé à BB. Calcule AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

Explication : HH opposé à BB donne une mesure algébrique négative : AH‾=−3\overline{AH}=-3.
AB→⋅AC→=AB×AH‾=12×(−3)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times\overline{AH} = 12\times(-3)
=−36=-36.

Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, l'identité remarquable (u⃗−v⃗)2(\vec u - \vec v)^{2} est égale à :

Explication : (u⃗−v⃗)2=(u⃗−v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=u⃗ 2−2 u⃗⋅v⃗+v⃗ 2(\vec u-\vec v)^{2} = (\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v) = \vec u^{\,2} - 2\,\vec u\cdot\vec v + \vec v^{\,2}, exactement comme (a−b)2(a-b)^2 avec des réels.

On donne ∥u⃗∥=5\lVert\vec u\rVert=5, ∥v⃗∥=6\lVert\vec v\rVert=6 et u⃗⋅v⃗=4\vec u\cdot\vec v=4. Calcule ∥u⃗−v⃗∥\lVert\vec u-\vec v\rVert.

Explication : ∥u⃗−v⃗∥2=u⃗ 2−2 u⃗⋅v⃗+v⃗ 2\lVert\vec u-\vec v\rVert^{2} = \vec u^{\,2}-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v^{\,2}
=52−2×4+62=5^{2}-2\times4+6^{2}
=25−8+36=53=25-8+36=53
d'où ∥u⃗−v⃗∥=53≈7,28\lVert\vec u-\vec v\rVert=\sqrt{53}\approx7{,}28.

Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ;y)\vec u(x\,;y) et v⃗(x′ ;y′)\vec v(x'\,;y'), alors u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v vaut :

Explication : En décomposant u⃗\vec u et v⃗\vec v sur une base orthonormée et en développant par bilinéarité, les termes croisés s'annulent : il reste u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'.

Dans un repère orthonormé, u⃗(3 ;−4)\vec u(3\,;-4) et v⃗(5 ;2)\vec v(5\,;2). Calcule u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

Explication : u⃗⋅v⃗=3×5+(−4)×2\vec u\cdot\vec v = 3\times5+(-4)\times2
=15−8=15-8
=7=7.

Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v non nuls sont dits orthogonaux si et seulement si :

Explication : C'est la caractérisation fondamentale de l'orthogonalité par le produit scalaire, très utilisée pour démontrer qu'une droite est perpendiculaire à une autre.

La droite dd d'équation 3x−5y+2=03x-5y+2=0 admet comme vecteur directeur :

Explication : Un vecteur normal de dd est n⃗(3 ;−5)\vec n(3\,;-5) (les coefficients de xx et yy). Un vecteur directeur s'obtient en échangeant les coordonnées et en changeant un signe : u⃗(−(−5) ;3)=(5 ;3)\vec u(-(-5)\,;3)=(5\,;3). On vérifie n⃗⋅u⃗=3×5+(−5)×3=0\vec n\cdot\vec u = 3\times5+(-5)\times3=0.

Triangulation à Bamako. Un technicien posté en AA vise deux pylônes BB et CC, avec AB=5AB=5 km, AC=8AC=8 km et un angle BAC^=60°\widehat{BAC}=60°. Quelle est la distance BCBC, en kilomètres ?

Explication : Théorème d'Al-Kashi : BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡BAC^BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\times AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}
=52+82−2×5×8×cos⁡60°=5^{2}+8^{2}-2\times5\times8\times\cos60°
=25+64−80×0,5=25+64-80\times0{,}5
=89−40=49=89-40=49
d'où BC=49=7BC=\sqrt{49}=7 km.

Dans un triangle ABCABC, AB=8AB=8, AC=10AC=10, BC=12BC=12, et MM est le milieu de [BC][BC]. D'après le théorème de la médiane, AMAM vaut :

Explication : AM2=2AB2+2AC2−BC24AM^{2} = \dfrac{2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2}}{4}
=2×64+2×100−1444=\dfrac{2\times64+2\times100-144}{4}
=128+200−1444=1844=46=\dfrac{128+200-144}{4}=\dfrac{184}{4}=46
d'où AM=46≈6,78AM=\sqrt{46}\approx6{,}78.

AA et BB sont deux points tels que AB=10AB=10. Quelle est la nature de l'ensemble Ek={M:MA→⋅MB→=k}E_k=\{M : \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k\} pour k=−30k=-30 ?

Explication : Avec II milieu de [AB][AB], r2=k+(AB2)2=−30+52=−30+25=−5<0r^{2}=k+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}=-30+5^{2}=-30+25=-5<0 : EkE_k est donc vide, aucun point ne vérifie cette condition.

Antenne à Kigali. La portée d'une antenne est modélisée, dans un repère orthonormé (coordonnées en km), par l'équation x2+y2−2x+6y+12=0x^{2}+y^{2}-2x+6y+12=0. Que peut-on en conclure ?

Explication : Ici D=−2D=-2, E=6E=6, F=12F=12, donc D2+E2−4F=4+36−48=−8<0D^{2}+E^{2}-4F = 4+36-48=-8<0. L'équation ne représente aucun point du plan : le modèle ne correspond pas à un vrai cercle de couverture.

Poste d'observation à Lomé. A(2 ;3)A(2\,;3) et B(8 ;3)B(8\,;3) sont deux capteurs, dans un repère orthonormé (coordonnées en km). Le point M(5 ;8)M(5\,;8) appartient-il au cercle de diamètre [AB][AB] ?

Explication : MA→(2−5 ;3−8)=(−3 ;−5)\overrightarrow{MA}(2-5\,;3-8)=(-3\,;-5) et MB→(8−5 ;3−8)=(3 ;−5)\overrightarrow{MB}(8-5\,;3-8)=(3\,;-5).
MA→⋅MB→=−3×3+(−5)×(−5)\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = -3\times3+(-5)\times(-5)
=−9+25=16=-9+25=16
Comme 16≠016\neq0, MM n'appartient pas au cercle de diamètre [AB][AB] : l'angle AMB^\widehat{AMB} n'est pas droit.
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