Géométrie analytique : droites et cercles

Traduire droites et cercles par des équations et résoudre des problèmes d'intersection.

Mathématiques Première Chapitre 10 / 13 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Déterminer l'équation d'un cercle
Étudier l'intersection d'une droite et d'un cercle
Caractériser un ensemble de points par une équation

Depuis la Seconde, tu sais placer un point dans un repère, calculer les coordonnées d'un vecteur, et reconnaître une droite sur un graphique. Ce chapitre change ta façon de voir la géométrie : au lieu de dessiner une droite ou un cercle, tu vas les écrire — sous la forme d'une équation — puis résoudre des problèmes purement géométriques (alignement, distance, tangence, intersection) par du calcul algébrique. C'est exactement l'idée géniale de Descartes : transformer la géométrie en algèbre.

Cette méthode n'est pas une curiosité d'école : elle est partout. Un GPS calcule ta position comme l'intersection de cercles (les distances aux satellites) ; un radar de contrôle aérien vérifie si un avion entre dans une zone circulaire interdite ; un architecte calcule si une façade rectiligne est tangente à un rond-point ; un ingénieur GPS urbain trace la route la plus courte, c'est-à-dire la distance d'un point à une droite.

Tu vas apprendre à écrire l'équation d'une droite de trois façons complémentaires (cartésienne, réduite, par un vecteur normal), à mesurer une distance point-droite par une formule que tu vas démontrer, à écrire l'équation d'un cercle sous deux formes, puis à étudier toutes les positions relatives possibles entre une droite et un cercle, et entre deux cercles. Chaque propriété est prouvée : rien n'est admis sans raison.

1Équations de droites

1.1 Vecteur directeur et équation cartésienne

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ . Une droite est entièrement déterminée par un point et une direction.

Définition

Soit $(d)$ une droite du plan. Un vecteur $\vec{u}$ , non nul, est un vecteur directeur de $(d)$ si $\vec{u}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ pour deux points quelconques $A$ et $B$ de $(d)$ — autrement dit si $\vec{u}$ « pointe » dans la direction de la droite.

Un vecteur directeur n'est jamais unique : tous les vecteurs colinéaires à $\vec{u}$ (et non nuls) dirigent la même droite.

Théorème — équation cartésienne d'une droite

Une droite $(d)$ admet une équation de la forme

$ax + by + c = 0$

où $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ . Réciproquement, toute équation de cette forme est celle d'une droite. Le vecteur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ est alors un vecteur directeur de $(d)$ .

Démonstration

Soit $(d)$ une droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ , de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)$ , avec $\vec{u} \neq \vec{0}$ .

Un point $M(x\,;\,y)$ appartient à $(d)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}$ , c'est-à-dire si le déterminant de ces deux vecteurs est nul.

$M \in (d) \iff \overrightarrow{AM} \text{ et } \vec{u} \text{ colinéaires}$
$\iff$ $(x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$ condition de colinéarité, coordonnées de $\overrightarrow{AM}(x-x_A\,;\,y-y_A)$
$\iff$ $\beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0$

En posant $a = \beta$ , $b = -\alpha$ et $c = \alpha y_A - \beta x_A$ , on obtient bien $ax+by+c=0$ , avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ puisque $\vec{u} \neq \vec{0}$ .

Inversement, si $ax+by+c=0$ avec $(a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)$ , on vérifie que le vecteur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ dirige l'ensemble des points solutions : c'est bien une droite. C.Q.F.D.

Exemple — lire un vecteur directeur

La droite $(d)$ d'équation $x - 3y + 2 = 0$ a pour coefficients $a=1$ , $b=-3$ . Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(3\,;\,1)$ .

Figure 1 — La droite

(d)

d'équation

x-3y+2=0

admet le vecteur directeur

\vec{u}(3\,;\,1)

, porté par

(d)

, et le vecteur normal

\vec{n}(1\,;\,-3)

, perpendiculaire à

(d)

: ses coordonnées sont exactement les coefficients de

x

et de

y

dans l'équation (voir 1.3).

Méthode — écrire l'équation cartésienne d'une droite

(AB)

On connaît un point $A(x_A\,;\,y_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)$ (par exemple $\overrightarrow{AB}$ ). Un point $M(x\,;\,y)$ est sur la droite si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, ce qui s'écrit $\beta(x-x_A) - \alpha(y-y_A) = 0$ .

Exemple — équation de

(AB)

Soit $A(2\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$ . Le vecteur $\overrightarrow{AB}(3\,;\,4)$ dirige la droite $(AB)$ .

$M(x\,;\,y) \in (AB) \iff 4(x-2) - 3(y-(-1)) = 0$
$\iff$ $4x - 8 - 3y - 3 = 0$
$\iff$ $4x - 3y - 11 = 0$

Vérification : pour $B(5\,;\,3)$ , $4 \times 5 - 3 \times 3 - 11 = 20 - 9 - 11 = 0$ . ✓

1.2 Équation réduite et coefficient directeur

Propriété

Une droite $(d)$ non parallèle à l'axe des ordonnées (c'est-à-dire non verticale) admet une unique équation de la forme

$y = mx + p$

appelée équation réduite. Le nombre $m$ est le coefficient directeur (ou pente) de $(d)$ , et $p$ son ordonnée à l'origine.

On passe de l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ à l'équation réduite quand $b \neq 0$ , en isolant $y$ : $y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$ , donc $m = -\dfrac{a}{b}$ et $p = -\dfrac{c}{b}$ . Si $b = 0$ , la droite est verticale (équation $x = k$ ) et n'a pas d'équation réduite.

Propriété — calcul du coefficient directeur

Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ sont deux points distincts d'une droite non verticale, alors

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Exemple — des deux formes à l'autre

$(d)\,:\ 2x + 4y - 8 = 0$
$\iff$ $4y = -2x + 8$
$\iff$ $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$ on divise par 4

Coefficient directeur $m = -\dfrac{1}{2}$ , ordonnée à l'origine $p = 2$ .

1.3 Vecteur normal à une droite

Définition

Un vecteur $\vec{n}$ , non nul, est un vecteur normal à une droite $(d)$ s'il est orthogonal à un (donc à tout) vecteur directeur de $(d)$ .

Théorème

Si $(d)$ a pour équation $ax+by+c=0$ , alors le vecteur $\vec{n}(a\,;\,b)$ est un vecteur normal à $(d)$ . Réciproquement, une droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b)$ a pour équation $a(x-x_A) + b(y-y_A) = 0$ .

Démonstration

On a établi en 1.1 que $\vec{u}(-b\,;\,a)$ dirige $(d)$ . Calculons le produit scalaire de $\vec{u}$ et de $\vec{n}(a\,;\,b)$ :

$\vec{u}\cdot\vec{n} = (-b)\times a + a \times b$
$=$ $-ab + ab$
$=$ $0$

Le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux : $\vec{n}$ est bien normal à $(d)$ . Pour la réciproque, $M(x\,;\,y)$ appartient à la droite passant par $A$ et normale à $\vec{n}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} = 0$ , ce qui s'écrit exactement $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$ . C.Q.F.D.

Attention

Ne confonds jamais vecteur directeur et vecteur normal ! Pour $ax+by+c=0$ : le vecteur normal est $\vec{n}(a\,;\,b)$ — on lit directement les coefficients — tandis que le vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;\,a)$ — on échange les coefficients et on change un signe. C'est une erreur très fréquente au bac.

Exemple — équation par point et vecteur normal

Droite passant par $A(1\,;\,2)$ , de vecteur normal $\vec{n}(3\,;\,-2)$ .

$3(x-1) - 2(y-2) = 0$
$\iff$ $3x - 3 - 2y + 4 = 0$
$\iff$ $3x - 2y + 1 = 0$

1.4 Droites parallèles, droites perpendiculaires

Théorème

Soit $(d)$ de vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b)$ et $(d')$ de vecteur normal $\vec{n}'(a'\,;\,b')$ .

$(d) \parallel (d') \iff \vec{n} \text{ et } \vec{n}' \text{ colinéaires} \iff ab' - a'b = 0$ .
$(d) \perp (d') \iff \vec{n} \text{ et } \vec{n}' \text{ orthogonaux} \iff aa' + bb' = 0$ .

Démonstration

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont la même direction, donc si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ; comme le vecteur normal est orthogonal au vecteur directeur, cela équivaut à la colinéarité des vecteurs normaux $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ , soit $ab'-a'b=0$ (déterminant nul).

Deux droites sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre. Or un vecteur directeur de $(d)$ est normal à $(d')$ exactement quand $\vec{n}$ (normal à $(d)$ ) est colinéaire à un vecteur directeur de $(d')$ — donc orthogonal à $\vec{n}'$ . On obtient $\vec{n}\cdot\vec{n}' = 0$ , soit $aa'+bb'=0$ . C.Q.F.D.

En équation réduite, ces conditions se retiennent encore plus simplement à partir des coefficients directeurs $m$ et $m'$ :

Propriété — avec les coefficients directeurs

$(d) \parallel (d') \iff m = m' \qquad\qquad (d) \perp (d') \iff m \times m' = -1$

Exemple — tester parallélisme et orthogonalité

$(d)\,:\ 2x - 3y + 1 = 0$ et $(d')\,:\ 4x - 6y + 5 = 0$ : vecteurs normaux $\vec{n}(2\,;\,-3)$ et $\vec{n}'(4\,;\,-6)$ .

$ab' - a'b = 2\times(-6) - 4\times(-3)$
$=$ $-12 + 12 = 0$
$\Rightarrow$ $(d) \parallel (d')$ vecteurs normaux colinéaires

Avec $(d'')\,:\ 3x + 2y - 7 = 0$ , vecteur normal $\vec{n}''(3\,;\,2)$ :

$\vec{n}\cdot\vec{n}'' = 2\times 3 + (-3)\times 2$
$=$ $6 - 6 = 0$
$\Rightarrow$ $(d) \perp (d'')$

Math & Co — la révolution de 1637

En 1637, deux savants français inventent indépendamment la géométrie analytique. René Descartes (1596-1650) publie La Géométrie, en annexe de son Discours de la méthode : il y montre qu'un point repéré par deux longueurs permet de traduire une courbe en équation. Au même moment, Pierre de Fermat (1607-1665), magistrat toulousain et mathématicien amateur de génie, formule dans son Ad locos planos et solidos isagoge la même idée, avec une notation plus proche de la nôtre : à toute équation entre deux inconnues correspond un lieu géométrique.

Leur méthode unifie deux mondes que les Grecs avaient tenus séparés : la géométrie d'Euclide et l'algèbre héritée des Arabes ( $\text{al-jabr}$ , d'où vient le mot « algèbre »). Aujourd'hui, cette fusion est si naturelle qu'on l'appelle simplement « les coordonnées » — mais elle a mis près de deux mille ans à voir le jour après Euclide.

2Distance d'un point à une droite

2.1 Formule et démonstration

Définition

La distance d'un point $A$ à une droite $(d)$ , notée $d(A,(d))$ , est la plus petite distance entre $A$ et un point de $(d)$ . Elle est atteinte au projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(d)$ : $d(A,(d)) = AH$ , avec $(AH) \perp (d)$ .

Théorème — formule de la distance

Soit $(d)\,:\ ax+by+c=0$ et $A(x_A\,;\,y_A)$ un point du plan. Alors

$d(A,(d)) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Démonstration

Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ . Comme $(AH) \perp (d)$ , le vecteur $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b)$ de $(d)$ : il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AH} = k\vec{n}$ .

Le point $H$ est sur $(d)$ , donc ses coordonnées $(x_A + ka\,;\,y_A+kb)$ vérifient l'équation de $(d)$ :

$a(x_A+ka) + b(y_A+kb) + c = 0$
$\iff$ $ax_A+by_A+c + k(a^{2}+b^{2}) = 0$
$\iff$ $k = -\dfrac{ax_A+by_A+c}{a^{2}+b^{2}}$ car $a^{2}+b^{2}\neq 0$

Or $AH = \lVert\overrightarrow{AH}\rVert = \lVert k\vec{n}\rVert = |k|\times\lVert\vec{n}\rVert = |k|\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ . En remplaçant $k$ :

$AH = \left|-\dfrac{ax_A+by_A+c}{a^{2}+b^{2}}\right| \times \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$=$ $\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$=$ $\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ car $\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Il reste à justifier que $AH$ est bien la plus petite distance de $A$ à un point de $(d)$ : pour tout point $M \in (d)$ , le triangle $AHM$ est rectangle en $H$ (ou $M=H$ ), donc par le théorème de Pythagore $AM^{2} = AH^{2}+HM^{2} \geqslant AH^{2}$ , donc $AM \geqslant AH$ . C.Q.F.D.

Figure 2 — Le projeté orthogonal

H

A

sur

(d)

réalise la plus petite distance : pour tout autre point

M

(d)

, le triangle

AHM

rectangle en

H

donne

AM \geqslant AH

par Pythagore.

Exemple — appliquer la formule

Distance de $A(1\,;\,-2)$ à la droite $(d)\,:\ 3x - 4y + 5 = 0$ .

$d(A,(d)) = \dfrac{|3\times 1 - 4\times(-2) + 5|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}$
$=$ $\dfrac{|3+8+5|}{\sqrt{9+16}}$
$=$ $\dfrac{16}{\sqrt{25}}$
$=$ $\dfrac{16}{5} = 3{,}2$

Attention

La formule exige que la droite soit sous forme $ax+by+c=0$ avec tous les termes du même côté. Une erreur classique : appliquer la formule à $y=2x+3$ sans la réécrire $2x-y+3=0$ au préalable — le signe de $b$ change alors, et la valeur absolue masque le piège en apparence, mais $a$ et $b$ doivent être ceux de la forme égalée à zéro.

2.2 Distance entre deux droites parallèles

Propriété

Deux droites parallèles $(d)$ et $(d')$ sont partout à la même distance l'une de l'autre. On calcule cette distance en prenant un point quelconque de l'une et en appliquant la formule de la distance point-droite à l'autre.

Exemple — deux droites parallèles

$(d)\,:\ 2x+y-1=0$ et $(d')\,:\ 2x+y+9=0$ sont parallèles (même vecteur normal). Le point $A(0\,;\,1)$ appartient à $(d)$ .

$d((d),(d')) = d(A,(d')) = \dfrac{|2\times 0 + 1 + 9|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}$
$=$ $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$
$=$ $2\sqrt{5}$ $\dfrac{10}{\sqrt5}=\dfrac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5$

3Équation cartésienne d'un cercle

3.1 Forme canonique

Théorème — équation d'un cercle

Le cercle $\mathscr{C}$ de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r > 0$ a pour équation, appelée forme canonique :

$(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}$

Démonstration

Un point $M(x\,;\,y)$ appartient au cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ si, et seulement si, $\Omega M = r$ , ce qui équivaut à $\Omega M^{2} = r^{2}$ (les deux membres sont positifs). Or, d'après la formule de la distance entre deux points :

$\Omega M^{2} = (x-a)^{2} + (y-b)^{2}$
$\Rightarrow$ $M \in \mathscr{C} \iff (x-a)^{2}+(y-b)^{2} = r^{2}$

C.Q.F.D.

Figure 3 —

M

appartient au cercle si, et seulement si,

\Omega M = r

; le triangle rectangle en

(x\,;\,b)

, de côtés

x-a

y-b

, donne

\Omega M^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}

par Pythagore.

Exemple — écrire l'équation d'un cercle

Cercle de centre $\Omega(-1\,;\,3)$ et de rayon $r=4$ : équation $(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}$ , soit $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=16$ .

3.2 Forme développée et mise sous forme canonique

En développant $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ , on obtient $x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}-r^{2}=0$ , c'est-à-dire une équation de la forme :

Définition — forme développée

$x^{2} + y^{2} + dx + ey + f = 0$

avec $d = -2a$ , $e=-2b$ et $f = a^{2}+b^{2}-r^{2}$ .

Méthode — retrouver centre et rayon (complétion du carré)

On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$ , puis on fait apparaître deux carrés parfaits en ajoutant et retranchant les mêmes quantités : $x^{2}+dx = \left(x+\dfrac{d}{2}\right)^{2} - \dfrac{d^{2}}{4}$ , et de même en $y$ .

Exemple — mettre sous forme canonique

Soit $(\mathscr{E})\,:\ x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$ .

$(x^{2}-6x) + (y^{2}+4y) - 3 = 0$
$\iff$ $\left[(x-3)^{2}-9\right] + \left[(y+2)^{2}-4\right] - 3 = 0$ $x^2-6x=(x-3)^2-9\ ;\ y^2+4y=(y+2)^2-4$
$\iff$ $(x-3)^{2}+(y+2)^{2} - 16 = 0$
$\iff$ $(x-3)^{2}+(y+2)^{2} = 16$

On reconnaît un cercle de centre $\Omega(3\,;\,-2)$ et de rayon $r=\sqrt{16}=4$ .

Théorème — condition d'existence

L'équation $x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0$ est celle d'un cercle si, et seulement si, $\dfrac{d^{2}}{4}+\dfrac{e^{2}}{4}-f > 0$ . Son centre est alors $\Omega\!\left(-\dfrac{d}{2}\,;\,-\dfrac{e}{2}\right)$ et son rayon $r=\sqrt{\dfrac{d^{2}}{4}+\dfrac{e^{2}}{4}-f}$ .

Attention

Si $\dfrac{d^{2}}{4}+\dfrac{e^{2}}{4}-f = 0$ , l'équation n'admet qu'une seule solution : le point $\Omega$ lui-même (un « cercle-point »). Si cette quantité est strictement négative, l'équation n'a aucune solution réelle : ce n'est le cercle d'aucune figure. Vérifie toujours ce signe avant de conclure.

Exemple — discuter l'existence

$x^{2}+y^{2}+2x-4y+9=0$ : ici $d=2$ , $e=-4$ , $f=9$ .

$\dfrac{d^{2}}{4}+\dfrac{e^{2}}{4}-f = \dfrac{4}{4}+\dfrac{16}{4}-9$
$=$ $1+4-9 = -4 < 0$

Cette équation n'est celle d'aucun cercle : l'ensemble des points solutions est vide.

4Position relative d'une droite et d'un cercle

4.1 Discussion par la distance au centre

Soit $\mathscr{C}$ un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ , et $(d)$ une droite. On note $\delta = d(\Omega,(d))$ la distance du centre à la droite. L'intuition est claire : plus la droite « frôle » le cercle, plus $\delta$ se rapproche de $r$ .

Théorème

Trois cas, et trois seulement, sont possibles :

si $\delta < r$ : $(d)$ est sécante au cercle, elle le coupe en deux points ;
si $\delta = r$ : $(d)$ est tangente au cercle, elle le touche en un seul point ;
si $\delta > r$ : $(d)$ est extérieure au cercle, elle ne le rencontre en aucun point.

Démonstration

Soit $H$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(d)$ ; par définition, $\Omega H = \delta$ . Pour tout point $M$ de $(d)$ , le triangle $\Omega H M$ est rectangle en $H$ (ou $M=H$ ), donc par Pythagore :

$\Omega M^{2} = \Omega H^{2} + HM^{2} = \delta^{2} + HM^{2}$

$M$ appartient au cercle si, et seulement si, $\Omega M = r$ , soit $\Omega M^{2}=r^{2}$ , ce qui équivaut à $HM^{2} = r^{2}-\delta^{2}$ .

si $\delta < r$ : $r^{2}-\delta^{2} > 0$ , donc $HM = \pm\sqrt{r^{2}-\delta^{2}}$
$\Rightarrow$ deux points de $(d)$ , symétriques par rapport à $H$ , conviennent
si $\delta = r$ : $HM^{2}=0$ , donc $HM=0$
$\Rightarrow$ seul $M=H$ convient : un unique point
si $\delta > r$ : $r^{2}-\delta^{2} < 0$
$\Rightarrow$ $HM^{2}$ devrait être négatif : impossible, aucun point ne convient

C.Q.F.D.

Figure 4 — Les trois positions relatives d'une droite et d'un cercle, selon la distance

\delta

du centre

\Omega

à la droite, comparée au rayon

r

4.2 Méthode par le système et le discriminant

Méthode — trouver les points d'intersection

Pour déterminer les coordonnées des points d'intersection (quand ils existent), on remplace $y$ (tiré de l'équation de la droite) dans l'équation du cercle : on obtient une équation du second degré en $x$ , dont le signe du discriminant $\Delta$ redonne la discussion précédente ( $\Delta>0$ : sécante, $\Delta=0$ : tangente, $\Delta<0$ : extérieure).

Exemple — calculer les points d'intersection

Cercle $\mathscr{C}\,:\ x^{2}+y^{2}=5$ (centre $O$ , rayon $\sqrt5$ ) et droite $(d)\,:\ y = x+1$ .

$x^{2} + (x+1)^{2} = 5$
$\iff$ $x^{2}+x^{2}+2x+1 = 5$
$\iff$ $2x^{2}+2x-4=0$
$\iff$ $x^{2}+x-2=0$ on divise par 2
$\Delta = 1^{2}-4\times1\times(-2) = 9$
$\Rightarrow$ $x_1 = \dfrac{-1-3}{2}=-2\ ;\quad x_2=\dfrac{-1+3}{2}=1$

D'où les points $M_1(-2\,;\,-1)$ et $M_2(1\,;\,2)$ . $\Delta>0$ : on retrouve que $(d)$ est sécante, conformément à $\delta = d(O,(d)) = \dfrac{|0-0+1|}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2} < \sqrt5$ .

5Tangente à un cercle

5.1 Tangente en un point du cercle

Définition

La tangente à un cercle $\mathscr{C}$ de centre $\Omega$ en un point $T \in \mathscr{C}$ est la droite passant par $T$ et perpendiculaire au rayon $[\Omega T]$ .

Propriété

C'est l'unique droite passant par $T$ qui ne coupe le cercle qu'en ce seul point : c'est le cas $\delta = r$ du théorème 4.1, avec $H = T$ .

Méthode — équation de la tangente en

T

Le vecteur $\overrightarrow{\Omega T}$ est normal à la tangente $(t)$ (d'après la définition ci-dessus). On applique alors le théorème du 1.3 : la tangente en $T(x_T\,;\,y_T)$ au cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ a pour équation

$(x_T-a)(x-x_T) + (y_T-b)(y-y_T) = 0$

Figure 5 — La tangente

(t)

T

est l'unique droite passant par

T

et perpendiculaire au rayon

[\Omega T]

Exemple — équation d'une tangente

Cercle $\mathscr{C}\,:\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ (centre $\Omega(1\,;\,2)$ ), et point $T(4\,;\,6)$ .

Vérifions d'abord que $T \in \mathscr{C}$ : $(4-1)^{2}+(6-2)^{2}=9+16=25$ . ✓

$(x_T-a)(x-x_T)+(y_T-b)(y-y_T)=0$
$\iff$ $(4-1)(x-4) + (6-2)(y-6) = 0$
$\iff$ $3(x-4) + 4(y-6) = 0$
$\iff$ $3x - 12 + 4y - 24 = 0$
$\iff$ $3x + 4y - 36 = 0$

5.2 Tangentes issues d'un point extérieur

Propriété

Depuis un point $A$ extérieur à un cercle ( $\Omega A > r$ ), on peut mener exactement deux tangentes au cercle. Les deux points de contact $T_1$ et $T_2$ sont symétriques par rapport à $(\Omega A)$ , et les longueurs des deux tangentes sont égales : $AT_1 = AT_2 = \sqrt{\Omega A^{2}-r^{2}}$ (Pythagore dans le triangle rectangle $\Omega T_1 A$ ).

Math & Co — le problème d'Apollonius

Apollonius de Perge (env. $-262$ à $-190$ ), surnommé « le Grand Géomètre », est l'auteur d'un traité en huit livres, les Coniques, qui fixe le vocabulaire encore utilisé aujourd'hui (ellipse, parabole, hyperbole). Dans un ouvrage aujourd'hui perdu, De tactionibus, il pose un défi resté célèbre : construire un cercle tangent à trois cercles donnés.

Ce problème, résolu à la règle et au compas par Apollonius lui-même selon la tradition, a fasciné les mathématiciens pendant des siècles. En 1643, Descartes en donne une solution algébrique élégante par une relation entre les rayons des quatre cercles mutuellement tangents, aujourd'hui appelée le théorème du cercle de Descartes. La tangence entre droites et cercles, que tu étudies dans ce chapitre, est au cœur de tous ces problèmes.

6Ensembles de points

Jusqu'ici, tu es parti d'une droite ou d'un cercle pour en trouver l'équation. Dans cette dernière section, tu vas faire le chemin inverse : partir d'une condition géométrique vérifiée par un point $M$ mobile, et découvrir, par le calcul, quelle courbe elle dessine.

6.1 Médiatrice d'un segment

Propriété

Soit $A$ et $B$ deux points distincts. L'ensemble des points $M$ tels que $MA=MB$ est la médiatrice du segment $[AB]$ : une droite, perpendiculaire à $(AB)$ et passant par son milieu.

Exemple — équation d'une médiatrice

$A(1\,;\,1)$ , $B(5\,;\,3)$ . Soit $M(x\,;\,y)$ .

$MA = MB \iff MA^{2}=MB^{2}$
$\iff$ $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = (x-5)^{2}+(y-3)^{2}$
$\iff$ $x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1 = x^{2}-10x+25+y^{2}-6y+9$
$\iff$ $-2x-2y+2 = -10x-6y+34$
$\iff$ $8x+4y-32=0$
$\iff$ $2x+y-8=0$ on divise par 4

On retrouve bien une équation de droite (les termes en $x^2$ et $y^2$ ont disparu) : c'est la signature algébrique d'une médiatrice.

6.2 Cercle de diamètre [AB]

Théorème

Soit $A$ et $B$ deux points distincts. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$ , c'est-à-dire le cercle de centre le milieu $I$ de $[AB]$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ .

Démonstration

Notons $I$ le milieu de $[AB]$ . D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$ , avec $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$ puisque $I$ est le milieu de $[AB]$ .

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right)$
$=$ $\overrightarrow{MI}\,^{2} - \overrightarrow{IA}\,^{2}$ identité $(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\,^2-\vec{b}\,^2$
$=$ $MI^{2} - IA^{2}$

Donc $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \iff MI^{2}=IA^{2} \iff MI = IA$ (distances positives). Or $IA = \dfrac{AB}{2}$ : $M$ décrit donc le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ . C.Q.F.D.

Attention

Ce théorème est la version vectorielle du théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ signifie que $(MA)\perp(MB)$ , donc que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ — sauf si $M=A$ ou $M=B$ , cas limites où l'angle n'est pas défini mais où $M$ est bien sur le cercle.

6.3 Position relative de deux cercles

La même démarche « distance entre deux points contre somme/différence de rayons » permet de classer les positions de deux cercles $\mathscr{C}(\Omega_1,r_1)$ et $\mathscr{C}'(\Omega_2,r_2)$ , en notant $D=\Omega_1\Omega_2$ .

Condition sur $D$	Position relative	Points communs
$D > r_1+r_2$	cercles extérieurs l'un à l'autre	aucun
$D = r_1+r_2$	tangents extérieurement	un seul
$\|r_1-r_2\| < D < r_1+r_2$	sécants	deux
$D = \|r_1-r_2\|$	tangents intérieurement	un seul
$D < \|r_1-r_2\|$	l'un à l'intérieur de l'autre	aucun

Cette classification se retrouve par l'inégalité triangulaire dans le triangle $\Omega_1 M \Omega_2$ formé avec un éventuel point commun $M$ , exactement comme pour la droite et le cercle.

Figure 6 — Deux cercles sécants : les points communs

M

M'

sont symétriques par rapport à la droite des centres

(\Omega_1\Omega_2)

, qui porte aussi la corde commune

[MM']

perpendiculairement.

Exemple — étudier la position de deux cercles

$\mathscr{C}$ de centre $\Omega_1(0\,;\,0)$ , rayon $3$ ; $\mathscr{C}'$ de centre $\Omega_2(4\,;\,0)$ , rayon $2$ .

$D = \Omega_1\Omega_2 = \sqrt{(4-0)^{2}+(0-0)^{2}} = 4$
$r_1+r_2 = 5\ ;\quad |r_1-r_2| = 1$
$\Rightarrow$ $1 < 4 < 5$

Donc $1 < D < r_1+r_2$ : les deux cercles sont sécants, en deux points.

Fiche mémo

Droite $(d)\,:\ ax+by+c=0$ : vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b)$ , vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;\,a)$ .
Équation réduite $y=mx+p$ : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ ; verticale ⇔ pas d'équation réduite.
$(d)\parallel(d') \iff ab'-a'b=0 \iff m=m'$ .
$(d)\perp(d') \iff aa'+bb'=0 \iff mm'=-1$ .
Distance : $d(A,(d)) = \dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ , démontrée via le projeté orthogonal $H$ et Pythagore.
Cercle, forme canonique : $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ , centre $\Omega(a\,;\,b)$ , rayon $r$ .
Forme développée $x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0$ : cercle ⇔ $\dfrac{d^2}{4}+\dfrac{e^2}{4}-f>0$ ; alors $\Omega\!\left(-\frac{d}{2}\,;\,-\frac{e}{2}\right)$ , $r=\sqrt{\frac{d^2}{4}+\frac{e^2}{4}-f}$ .
Droite/cercle, $\delta=d(\Omega,(d))$ : $\delta<r$ sécante (2 pts), $\delta=r$ tangente (1 pt), $\delta>r$ extérieure (0 pt).
Tangente en $T\in\mathscr{C}$ : $(x_T-a)(x-x_T)+(y_T-b)(y-y_T)=0$ , normale $\overrightarrow{\Omega T}$ .
Depuis un point extérieur : deux tangentes, longueurs égales $\sqrt{\Omega A^{2}-r^{2}}$ .
$MA=MB$ : médiatrice de $[AB]$ . $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ : cercle de diamètre $[AB]$ .
Deux cercles, $D=\Omega_1\Omega_2$ : sécants ⇔ $|r_1-r_2|<D<r_1+r_2$ ; tangents ⇔ $D=r_1+r_2$ ou $D=|r_1-r_2|$ .

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Soit $(d)\,:\ 5x-2y+3=0$ . Donne un vecteur directeur et un vecteur normal de $(d)$ , puis son équation réduite.

Voir le corrigé détaillé

Coefficients : $a=5$ , $b=-2$ .

vecteur normal $\vec{n}(a\,;\,b) = \vec{n}(5\,;\,-2)$
vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;\,a) = \vec{u}(2\,;\,5)$
$5x-2y+3=0 \iff 2y = 5x+3$
$\iff$ $y = \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{2}$

Écris l'équation cartésienne de la droite passant par $A(-2\,;\,3)$ , de vecteur directeur $\vec{u}(4\,;\,-1)$ .

Voir le corrigé détaillé

$M(x\,;\,y)\in(d) \iff -1\times(x-(-2)) - 4\times(y-3) = 0$ colinéarité de $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$
$\iff$ $-(x+2) - 4(y-3) = 0$
$\iff$ $-x-2-4y+12=0$
$\iff$ $x+4y-10=0$ on multiplie par $-1$

Calcule la distance du point $A(2\,;\,-3)$ à la droite $(d)\,:\ 4x+3y-6=0$ .

Voir le corrigé détaillé

$d(A,(d)) = \dfrac{|4\times2+3\times(-3)-6|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}$
$=$ $\dfrac{|8-9-6|}{\sqrt{25}}$
$=$ $\dfrac{7}{5} = 1{,}4$

Le cercle $\mathscr{C}$ a pour équation $x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0$ . Détermine son centre et son rayon.

Voir le corrigé détaillé

$(x^{2}-4x) + (y^{2}+6y) - 12 = 0$
$\iff$ $\left[(x-2)^{2}-4\right] + \left[(y+3)^{2}-9\right] - 12 = 0$
$\iff$ $(x-2)^{2}+(y+3)^{2} = 25$

Centre $\Omega(2\,;\,-3)$ , rayon $r=\sqrt{25}=5$ .

Étudie la position relative du cercle de centre $\Omega(1\,;\,1)$ , rayon $5$ , et de la droite $(d)\,:\ 3x+4y-4=0$ .

Voir le corrigé détaillé

$\delta = d(\Omega,(d)) = \dfrac{|3\times1+4\times1-4|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$
$=$ $\dfrac{|3+4-4|}{5} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$

$\delta = 0{,}6 < r = 5$ : la droite est sécante au cercle, elle le coupe en deux points.

Niveau 2 — Approfondissement

Vérifie que $(d)\,:\ 2x+3y-1=0$ et $(d')\,:\ 4x+6y+5=0$ sont parallèles, puis calcule la distance entre elles.

Voir le corrigé détaillé

Vecteurs normaux $\vec{n}(2\,;\,3)$ et $\vec{n}'(4\,;\,6)$ .

$ab'-a'b = 2\times6-4\times3 = 12-12=0$
$\Rightarrow$ $(d)\parallel(d')$

Point de $(d)$ : pour $x=2$ , $3y=1-4=-3$ , donc $A(2\,;\,-1)\in(d)$ .

$d((d),(d')) = d(A,(d')) = \dfrac{|4\times2+6\times(-1)+5|}{\sqrt{4^{2}+6^{2}}}$
$=$ $\dfrac{|8-6+5|}{\sqrt{52}}$
$=$ $\dfrac{7}{2\sqrt{13}} = \dfrac{7\sqrt{13}}{26}$

Détermine l'équation du cercle de diamètre $[AB]$ , avec $A(-1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,-4)$ , en utilisant $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ .

Voir le corrigé détaillé

Pour $M(x\,;\,y)$ : $\overrightarrow{MA}(-1-x\,;\,2-y)$ , $\overrightarrow{MB}(3-x\,;\,-4-y)$ .

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (-1-x)(3-x) + (2-y)(-4-y) = 0$
$\iff$ $(x^{2}-2x-3) + (y^{2}+2y-8) = 0$ $(-1-x)(3-x)=x^2-2x-3\ ;\ (2-y)(-4-y)=y^2+2y-8$
$\iff$ $x^{2}+y^{2}-2x+2y-11=0$

Vérification par la méthode du centre : $I=\text{milieu}[AB]=(1\,;\,-1)$ , $AB=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{52}$ , rayon $\dfrac{\sqrt{52}}{2}$ , donc $r^{2}=13$ . Forme canonique attendue : $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=13$ , qui développée donne $x^{2}+y^{2}-2x+2y+1+1-13=x^{2}+y^{2}-2x+2y-11=0$ . ✓

Détermine $m$ pour que $(d)\,:\ (m-1)x+2y-3=0$ et $(d')\,:\ 3x+(m+1)y+1=0$ soient perpendiculaires.

Voir le corrigé détaillé

Vecteurs normaux $\vec{n}(m-1\,;\,2)$ et $\vec{n}'(3\,;\,m+1)$ .

$(d)\perp(d') \iff 3(m-1) + 2(m+1) = 0$
$\iff$ $3m-3+2m+2=0$
$\iff$ $5m-1=0$
$\iff$ $m = \dfrac{1}{5}$

Détermine les points d'intersection du cercle $\mathscr{C}\,:\ x^{2}+y^{2}-2x-2y-3=0$ et de la droite $(d)\,:\ x-y+1=0$ .

Voir le corrigé détaillé

De $(d)$ : $x=y-1$ . On substitue dans $\mathscr{C}$ .

$(y-1)^{2}+y^{2}-2(y-1)-2y-3=0$
$\iff$ $y^{2}-2y+1+y^{2}-2y+2-2y-3=0$
$\iff$ $2y^{2}-6y=0$
$\iff$ $2y(y-3)=0$
$\Rightarrow$ $y=0$ ou $y=3$

Si $y=0$ : $x=-1$ . Si $y=3$ : $x=2$ . Points d'intersection : $M_1(-1\,;\,0)$ et $M_2(2\,;\,3)$ .

Niveau 3 — Défi

On considère la famille de cercles $(\mathscr{C}_k)\,:\ x^{2}+y^{2}-2kx-4y+k^{2}-5=0$ , pour $k\in\mathbb{R}$ .

Montre que, pour tout $k$ , $(\mathscr{C}_k)$ est un cercle de centre $\Omega_k(k\,;\,2)$ et de rayon $r=3$ , indépendant de $k$ .
En déduire l'ensemble décrit par $\Omega_k$ lorsque $k$ décrit $\mathbb{R}$ .
Détermine les valeurs de $k$ pour lesquelles $(\mathscr{C}_k)$ est tangent à la droite $(\Delta)\,:\ x=6$ .

Voir le corrigé détaillé

1. On met sous forme canonique.

$(x^{2}-2kx) + (y^{2}-4y) + k^{2}-5 = 0$
$\iff$ $\left[(x-k)^{2}-k^{2}\right] + \left[(y-2)^{2}-4\right] + k^{2}-5 = 0$
$\iff$ $(x-k)^{2}+(y-2)^{2} - 9 = 0$ les termes en $k^{2}$ s'annulent
$\iff$ $(x-k)^{2}+(y-2)^{2} = 9$

Pour tout $k$ , $9>0$ : c'est bien un cercle, de centre $\Omega_k(k\,;\,2)$ et de rayon $r=\sqrt9=3$ , qui ne dépend pas de $k$ .

2. $\Omega_k$ a pour coordonnées $(k\,;\,2)$ : son ordonnée vaut toujours $2$ , et son abscisse $k$ prend toutes les valeurs réelles. $\Omega_k$ décrit donc la droite horizontale d'équation $y=2$ .

3. La distance de $\Omega_k(k\,;\,2)$ à $(\Delta)\,:\ x=6$ (droite verticale) vaut $|k-6|$ .

tangence $\iff |k-6| = r = 3$
$\iff$ $k-6=3$ ou $k-6=-3$
$\iff$ $k=9$ ou $k=3$

Soit $\mathscr{C}\,:\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9$ (centre $\Omega(1\,;\,2)$ , rayon $3$ ), et $A(1\,;\,8)$ .

Vérifie que $A$ est extérieur à $\mathscr{C}$ .
Calcule la longueur $AT$ des tangentes issues de $A$ ( $T$ : point de contact).
Une droite non verticale passant par $A$ s'écrit $y=m(x-1)+8$ , soit $mx-y+8-m=0$ . Détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles cette droite est tangente à $\mathscr{C}$ .

Voir le corrigé détaillé

1. $\Omega A = \sqrt{(1-1)^{2}+(8-2)^{2}} = \sqrt{36} = 6$ . Comme $6 > 3=r$ , $A$ est bien extérieur à $\mathscr{C}$ .

2. Le triangle $\Omega TA$ est rectangle en $T$ (tangente $\perp$ rayon), donc par Pythagore :

$AT^{2} = \Omega A^{2} - \Omega T^{2} = 6^{2}-3^{2} = 27$
$\Rightarrow$ $AT = \sqrt{27} = 3\sqrt3$

3. La droite est tangente si, et seulement si, $d(\Omega,(d))=r=3$ .

$d(\Omega,(d)) = \dfrac{|m\times1 - 2 + 8-m|}{\sqrt{m^{2}+1}} = \dfrac{|6|}{\sqrt{m^{2}+1}}$
$=$ $\dfrac{6}{\sqrt{m^{2}+1}}$

$\dfrac{6}{\sqrt{m^{2}+1}} = 3$
$\iff$ $\sqrt{m^{2}+1} = 2$
$\iff$ $m^{2}+1=4$
$\iff$ $m^{2}=3$
$\iff$ $m=\sqrt3$ ou $m=-\sqrt3$

On retrouve bien deux tangentes, symétriques par rapport à la droite verticale $(\Omega A)\,:\ x=1$ , conformément à la propriété du 5.2.

Soit $\mathscr{C}_1\,:\ x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0$ et $\mathscr{C}_2\,:\ x^{2}+y^{2}+2x-6y+1=0$ .

Détermine le centre et le rayon de chacun des deux cercles.
Calcule la distance $D$ entre les deux centres.
Étudie la position relative de $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ .
Sans résoudre le système, détermine une équation de la droite passant par les points communs, en soustrayant les deux équations.

Voir le corrigé détaillé

1. Pour $\mathscr{C}_1$ : $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4+1+4=9$ , centre $\Omega_1(2\,;\,1)$ , rayon $r_1=3$ . Pour $\mathscr{C}_2$ : $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=1+9-1=9$ , centre $\Omega_2(-1\,;\,3)$ , rayon $r_2=3$ .

$D = \sqrt{(2-(-1))^{2}+(1-3)^{2}}$
$=$ $\sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

3. $r_1+r_2=6$ et $|r_1-r_2|=0$ . Comme $\sqrt{13}\approx3{,}61$ , on a $0 < \sqrt{13} < 6$ : les deux cercles sont sécants, en deux points.

$(x^{2}+y^{2}-4x-2y-4) - (x^{2}+y^{2}+2x-6y+1) = 0$
$\iff$ $-4x-2y-4-2x+6y-1=0$
$\iff$ $-6x+4y-5=0$
$\iff$ $6x-4y+5=0$

C'est l'équation de la droite radicale : elle passe par les deux points communs aux deux cercles.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

L'antenne de Dakar. Une antenne relais est installée au point $A(0\,;\,0)$ d'un repère (unité : le kilomètre) et couvre un disque de rayon $8$ km. La route nationale suit la droite $(d)\,:\ 3x+4y-50=0$ .

Calcule la distance de l'antenne $A$ à la route $(d)$ .
La route traverse-t-elle la zone couverte par l'antenne ? Justifie.
Quelle devrait être la portée minimale de l'antenne, en km, pour que la route entre dans la zone couverte ?

Voir le corrigé détaillé

$d(A,(d)) = \dfrac{|3\times0+4\times0-50|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$
$=$ $\dfrac{50}{5} = 10$ km

2. La distance de l'antenne à la route vaut $10$ km, alors que le rayon de couverture est $8$ km. Comme $10 > 8$ , la route est extérieure à la zone couverte : elle ne la traverse pas, elle passe à $2$ km au-delà de la portée de l'antenne.

3. Pour que la route entre dans la zone couverte, il faut que le rayon $r$ vérifie $r > d(A,(d)) = 10$ km. Une portée d'au moins $10$ km (strictement) est nécessaire.

Les forages de Ndjamena. Deux forages alimentent des villages en eau (repère en km) : le forage $A$ , en $(0\,;\,0)$ , dessert un rayon de $6$ km ; le forage $B$ , en $(10\,;\,0)$ , dessert un rayon de $5$ km.

Calcule la distance $AB$ entre les deux forages.
Étudie la position relative des deux zones de desserte.
Un village $C(6\,;\,4)$ est-il desservi par le forage $A$ ? par le forage $B$ ?

Voir le corrigé détaillé

1. $AB = \sqrt{(10-0)^{2}+(0-0)^{2}} = 10$ km.

2. $r_1+r_2 = 11$ et $|r_1-r_2|=1$ . Comme $1 < 10 < 11$ , les deux zones de desserte, circulaires, sont sécantes : elles se chevauchent, en deux points.

$AC = \sqrt{(6-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} \approx 7{,}2$ km
$BC = \sqrt{(6-10)^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} \approx 5{,}7$ km

Comme $AC \approx 7{,}2 > 6$ , le village $C$ est hors de portée du forage $A$ . Comme $BC \approx 5{,}7 > 5$ , il est aussi hors de portée du forage $B$ . Le village $C$ n'est desservi par aucun des deux forages : il faudrait envisager un troisième point d'eau.

Le rond-point d'Abidjan. Un rond-point circulaire de rayon $15$ m est centré en $O(0\,;\,0)$ (repère en mètres). Une avenue rectiligne $(d)$ a pour équation $4x-3y-75=0$ .

Vérifie que l'avenue $(d)$ est tangente au rond-point.
Détermine les coordonnées du point de contact $T$ .
Un poteau électrique $P(20\,;\,10)$ empiète-t-il sur le rond-point ?

Voir le corrigé détaillé

$d(O,(d)) = \dfrac{|4\times0-3\times0-75|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}$
$=$ $\dfrac{75}{5} = 15$

$d(O,(d)) = 15 = r$ : l'avenue est bien tangente au rond-point.

2. Le point de contact $T$ est le projeté orthogonal de $O$ sur $(d)$ . Avec $a=4$ , $b=-3$ , $c=-75$ :

$k = -\dfrac{a\times0+b\times0+c}{a^{2}+b^{2}} = -\dfrac{-75}{25} = 3$
$T = (0+ka\,;\,0+kb) = (3\times4\,;\,3\times(-3))$
$=$ $(12\,;\,-9)$

Vérification : $4\times12-3\times(-9)-75 = 48+27-75=0$ ✓, et $OT=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{225}=15$ ✓.

Figure 7 — L'avenue

(d)

est tangente au rond-point : elle touche le cercle en l'unique point

T(12\,;\,-9)

, avec

(OT)\perp(d)

$OP = \sqrt{20^{2}+10^{2}} = \sqrt{500} = 10\sqrt5 \approx 22{,}4$ m

Comme $OP \approx 22{,}4 > 15 = r$ , le poteau $P$ est situé à l'extérieur du rond-point : il n'empiète pas dessus.

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Second degré : discriminant et signe du trinôme

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un vecteur $\vec{u}$ , non nul, est un vecteur directeur d'une droite $(d)$ si :

il est colinéaire à

\overrightarrow{AB}

pour deux points quelconques

A

B

(d)

il est unitaire et parallèle à

(d)

ses coordonnées vérifient l'équation

ax+by+c=0

il est colinéaire au vecteur normal de

(d)

Explication : Par définition, un vecteur directeur « pointe » dans la direction de la droite : il est colinéaire au vecteur

\overrightarrow{AB}

formé par deux points quelconques de

(d)

. Il n'a besoin d'être ni unitaire, ni colinéaire au vecteur normal (qui, lui, en est orthogonal).

Une droite $(d)$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ , avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ . Quel vecteur est alors un vecteur directeur de $(d)$ ?

\vec{u}(a\,;\,b)

\vec{u}(-b\,;\,a)

\vec{u}(b\,;\,a)

\vec{u}(-a\,;\,b)

Explication : Le vecteur

\vec{u}(-b\,;\,a)

dirige toujours la droite

ax+by+c=0

: on « échange » les coefficients

a

b

et on change un signe.

Si $(d)$ a pour équation $ax+by+c=0$ , quel vecteur est normal à $(d)$ ?

\vec{n}(-b\,;\,a)

\vec{n}(b\,;\,a)

\vec{n}(a\,;\,b)

\vec{n}(-a\,;\,b)

Explication : Les coefficients

a

b

de l'équation cartésienne sont directement les coordonnées d'un vecteur normal :

\vec{n}(a\,;\,b)

Pour une droite d'équation $ax+by+c=0$ , quelle affirmation est vraie ?

le vecteur normal est

\vec{u}(-b\,;\,a)

et le vecteur directeur est

\vec{n}(a\,;\,b)

normal et directeur sont toujours colinéaires normal et directeur sont toujours égaux le vecteur normal est

\vec{n}(a\,;\,b)

et le vecteur directeur est

\vec{u}(-b\,;\,a)

Explication : Piège classique du bac : ne pas confondre les deux ! On lit directement les coefficients pour le vecteur normal

\vec{n}(a\,;\,b)

, tandis qu'on échange les coefficients (avec un signe) pour le vecteur directeur

\vec{u}(-b\,;\,a)

. Ces deux vecteurs sont orthogonaux, jamais colinéaires ni égaux.

Une droite $(d)$ non parallèle à l'axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme :

ax+by+c=0

y=mx+p

x=my+p

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

Explication : C'est l'équation réduite, valable uniquement pour une droite non verticale :

m

est le coefficient directeur,

p

l'ordonnée à l'origine.

Deux droites $(d)\,:\ ax+by+c=0$ et $(d')\,:\ a'x+b'y+c'=0$ sont parallèles si, et seulement si :

aa'+bb'=0

a=a'

b=b'

ab'-a'b=0

c=c'

Explication : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont colinéaires, c'est-à-dire si le déterminant

ab'-a'b

est nul.

Deux droites $(d)$ et $(d')$ sont perpendiculaires si, et seulement si :

aa'+bb'=0

ab'-a'b=0

m \times m' = 1

m + m' = 0

Explication : Deux droites sont perpendiculaires si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c'est-à-dire si

\vec{n}\cdot\vec{n}' = aa'+bb' = 0

(équivalent à

mm'=-1

en coefficients directeurs).

La droite $(d)$ d'équation $x - 3y + 2 = 0$ a pour coefficients $a=1$ , $b=-3$ . Quel est un vecteur directeur de $(d)$ ?

\vec{u}(1\,;\,-3)

\vec{u}(-3\,;\,1)

\vec{u}(1\,;\,3)

\vec{u}(3\,;\,1)

Explication : Un vecteur directeur est

\vec{u}(-b\,;\,a)

. Ici

-b=3

a=1

, donc

\vec{u}(3\,;\,1)

Soit $A(2\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$ . Quelle est l'équation cartésienne de la droite $(AB)$ ?

3x-4y-11=0

4x+3y-11=0

4x-3y-11=0

4x-3y+11=0

Explication : Le vecteur

\overrightarrow{AB}(3\,;\,4)

dirige la droite.

M(x\,;\,y)\in(AB) \iff 4(x-2)-3(y+1)=0

\iff 4x-8-3y-3=0

\iff 4x-3y-11=0

La distance d'un point $A(x_A\,;\,y_A)$ à une droite $(d)\,:\ ax+by+c=0$ est donnée par :

d(A,(d)) = \dfrac{ax_A+by_A+c}{a+b}

d(A,(d)) = \dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

d(A,(d)) = \sqrt{ax_A^{2}+by_A^{2}+c^{2}}

d(A,(d)) = \dfrac{|ax_A+by_A+c|}{a^{2}+b^{2}}

Explication : Cette formule se démontre via le projeté orthogonal

H

A

sur

(d)

et le théorème de Pythagore ; attention à ne pas oublier la racine carrée au dénominateur.

Quelle est la distance du point $A(1\,;\,-2)$ à la droite $(d)\,:\ 3x-4y+5=0$ ?

\dfrac{16}{5}=3{,}2

\dfrac{8}{5}=1{,}6

\dfrac{16}{7}

3

Explication :

d(A,(d)) = \dfrac{|3\times1-4\times(-2)+5|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}

=\dfrac{|3+8+5|}{\sqrt{25}}

=\dfrac{16}{5}=3{,}2

Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r>0$ a pour équation, sous forme canonique :

ax+by+c=0

x^{2}+y^{2}=r

(x-a)^{2}-(y-b)^{2}=r^{2}

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

Explication :

M(x\,;\,y)

appartient au cercle si, et seulement si,

\Omega M = r

, soit

\Omega M^{2}=r^{2}

, c'est-à-dire

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

Le cercle d'équation $x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$ a pour centre et rayon :

\Omega(-3\,;\,2)

r=4

\Omega(3\,;\,-2)

r=4

\Omega(3\,;\,-2)

r=16

\Omega(6\,;\,-4)

r=3

Explication :

(x^{2}-6x)+(y^{2}+4y)-3=0

\iff \left[(x-3)^{2}-9\right]+\left[(y+2)^{2}-4\right]-3=0

\iff (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16

.
Centre

\Omega(3\,;\,-2)

, rayon

r=\sqrt{16}=4

L'équation $x^{2}+y^{2}+2x-4y+9=0$ :

est celle d'un cercle de rayon

2

est celle d'un cercle-point (rayon

0

) n'est celle d'aucun cercle : l'ensemble des solutions est vide est celle d'un cercle de rayon

4

Explication : Avec

d=2

e=-4

f=9

\dfrac{d^{2}}{4}+\dfrac{e^{2}}{4}-f = 1+4-9=-4<0

. Cette quantité doit être strictement positive pour obtenir un cercle : ici elle est négative, il n'y a aucune solution réelle.

Le cercle de centre $\Omega(1\,;\,1)$ et de rayon $5$ , et la droite $(d)\,:\ 3x+4y-4=0$ , sont dans la position suivante :

extérieure (

0

point commun) tangente (

1

point commun) confondues sécante (

2

points communs)

Explication :

\delta = d(\Omega,(d)) = \dfrac{|3\times1+4\times1-4|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} = \dfrac{3}{5}=0{,}6

.
Comme

\delta = 0{,}6 < r = 5

, la droite coupe le cercle en deux points : elle est sécante.

La tangente à un cercle de centre $\Omega$ en un point $T$ du cercle est la droite :

passant par

T

et perpendiculaire au rayon

[\Omega T]

parallèle au rayon

[\Omega T]

passant par

\Omega

et perpendiculaire à

[\Omega T]

passant par le milieu de

[\Omega T]

Explication : C'est la définition même de la tangente en un point du cercle : elle passe par

T

et est perpendiculaire au rayon

[\Omega T]

— c'est le cas limite

\delta=r

avec

H=T

Depuis un point $A$ extérieur à un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ , le nombre de tangentes que l'on peut mener au cercle, et leur longueur commune, sont :

une seule tangente, de longueur

\Omega A - r

deux tangentes, de longueur

\Omega A + r

deux tangentes, de longueur

\sqrt{\Omega A^{2}-r^{2}}

une infinité de tangentes

Explication : Depuis un point extérieur, on mène exactement deux tangentes, de points de contact symétriques par rapport à

(\Omega A)

. Le triangle

\Omega T A

est rectangle en

T

: par Pythagore,

AT = \sqrt{\Omega A^{2}-r^{2}}

Soit $A$ et $B$ deux points distincts. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ est :

la médiatrice de

[AB]

le cercle de diamètre

[AB]

une droite parallèle à

(AB)

le cercle de centre

A

et de rayon

AB

Explication :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0

signifie

(MA)\perp(MB)

: c'est le cercle de diamètre

[AB]

, de centre le milieu

I

[AB]

et de rayon

\frac{AB}{2}

. Ne confonds pas avec

MA=MB

, condition de la médiatrice.

Le rond-point d'Abidjan. Un rond-point circulaire de rayon $15$ m est centré en $O(0\,;\,0)$ (repère en mètres). Une avenue rectiligne $(d)$ a pour équation $4x-3y-75=0$ . Quelle est la position de l'avenue par rapport au rond-point ?

sécante, elle coupe le rond-point en

2

points extérieure au rond-point elle passe par le centre

O

tangente au rond-point

Explication :

d(O,(d)) = \dfrac{|4\times0-3\times0-75|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = \dfrac{75}{5} = 15

. Comme

d(O,(d))=15=r

, l'avenue est tangente au rond-point : elle le touche en un seul point.

les zones sont sécantes, elles se chevauchent en deux points les zones sont extérieures l'une à l'autre (aucun point commun) une zone est entièrement à l'intérieur de l'autre les zones sont tangentes extérieurement, en un seul point

Explication :

D=AB=\sqrt{(10-0)^{2}+0^{2}}=10

km.

r_1+r_2=11

|r_1-r_2|=1

.
Comme

1 < 10 < 11

, les deux cercles sont sécants : les zones de desserte se chevauchent en deux points.

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En bref

Classe : Classe de Première
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 8 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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