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Trigonométrie dans le triangle rectangle

Introduire cosinus, sinus et tangente pour relier angles et longueurs.

Mathématiques 4ème Chapitre 9 / 13 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Choisir le bon rapport trigonométrique
  • Calculer une longueur ou un angle à la calculatrice
  • Résoudre un problème de hauteur inaccessible

Depuis le chapitre sur le théorème de Pythagore, tu sais relier les trois longueurs d’un triangle rectangle entre elles : BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}. Mais Pythagore reste muet sur les angles. Si l’on te donne un angle de 35°35° et une seule longueur, impossible de retrouver les deux autres côtés avec Pythagore seul. C’est exactement le problème que résout la trigonométrie : elle relie enfin les longueurs d’un triangle rectangle à ses angles.

Le maçon qui calcule la pente d’une rampe d’accès, l’architecte qui fixe l’inclinaison d’un toit, le peintre qui positionne son échelle en sécurité contre un mur à Bamako ou à Douala : tous utilisent, sans toujours le savoir, le même outil que toi dans ce chapitre. En 4ème, on se concentre sur le cosinus, le rapport trigonométrique le plus utile pour ces situations. Tu croiseras aussi le sinus et la tangente, que tu approfondiras en 3ème.

Le programme de ce chapitre suit un fil précis : d’abord nommer correctement les côtés d’un triangle rectangle selon l’angle observé ; définir le cosinus ; puis apprendre à calculer, à la calculatrice, tantôt une longueur connaissant un angle, tantôt un angle connaissant deux longueurs. Le chapitre se termine par des problèmes concrets — rampe, toit, échelle — où cette méthode prend tout son sens.

1Vocabulaire : côté adjacent, opposé, hypoténuse

Définition — rappel

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long, celui qui est situé en face de l’angle droit. Elle ne change jamais de nom, quel que soit l’angle aigu que l’on regarde.

1.1  Le côté adjacent et le côté opposé à un angle

Un triangle rectangle possède deux angles aigus (en plus de l’angle droit). Pour chacun de ces deux angles, les deux côtés qui ne sont pas l’hypoténuse reçoivent un nom différent — et c’est là toute la difficulté : ce nom dépend de l’angle que l’on choisit d’observer.

Définition

Soit un angle aigu d’un triangle rectangle.

  • Le côté adjacent à cet angle est le côté de l’angle droit qui touche cet angle (il forme l’un des deux côtés de l’angle, avec l’hypoténuse).
  • Le côté opposé à cet angle est le côté de l’angle droit qui ne le touche pas : il est « en face » de l’angle.
Triangle ABC rectangle en A, vu depuis l’angle B 50° A B C adjacent opposé hypoténuse
Figure 1 — Vu depuis l’angle BB : ABAB est le côté adjacent, ACAC le côté opposé, BCBC l’hypoténuse. L’angle droit est toujours en AA, en face de l’hypoténuse.
Attention

L’hypoténuse ne change jamais. Mais adjacent et opposé s’échangent selon l’angle observé : vu depuis BB, ABAB est adjacent ; vu depuis CC, c’est ACAC qui devient adjacent. Avant tout calcul, demande-toi toujours : « par rapport à quel angle je travaille ? »

Angle choisiCôté adjacentCôté opposéHypoténuse
en BBABABACACBCBC
en CCACACABABBCBC
Exemple — repérer les côtés

Dans un triangle RSTRST rectangle en RR :

  • vu depuis l’angle SS : le côté adjacent est RSRS, le côté opposé est RTRT, l’hypoténuse est STST ;
  • vu depuis l’angle TT : le côté adjacent est RTRT, le côté opposé est RSRS, l’hypoténuse est toujours STST.

2Cosinus, sinus, tangente

Maintenant que tu sais nommer les côtés, tu peux définir des rapports entre eux. Ces rapports ont un nom qui dépend uniquement de l’angle aigu choisi : ce sont le cosinus, le sinus et la tangente. Le programme de 4ème approfondit surtout le cosinus ; le sinus et la tangente ne sont ici qu’une ouverture, que tu retrouveras pleinement en 3ème.

Définition — le cosinus

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ^\widehat{\theta} :

cos⁡θ=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\cos \theta = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}

Triangle ABC rectangle en A, angle θ en B θ A B C adjacent opposé hypoténuse cos θ = adjacent ⁄ hypoténuse sin θ = opposé ⁄ hypoténuse  (ouverture 3ème) tan θ = opposé ⁄ adjacent  (ouverture 3ème)
Figure 2 — Les trois rapports trigonométriques d’un angle aigu θ\theta : le cosinus (au programme de 4ème), le sinus et la tangente (aperçu de 3ème).
Propriété — encadrement du cosinus

Pour tout angle aigu θ\theta (donc 0°<θ<90°0° < \theta < 90°) :

0<cos⁡θ<10 < \cos \theta < 1

En effet, l’hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle rectangle : le côté adjacent, placé au numérateur, est donc strictement plus petit que l’hypoténuse, placée au dénominateur. Le quotient est strictement compris entre 00 et 11.

Attention

Un résultat comme cos⁡θ=1,3\cos \theta = 1{,}3 ou cos⁡θ=−0,4\cos \theta = -0{,}4 est impossible pour un angle aigu : il signale une erreur de calcul (côtés inversés, ou mauvais côté identifié comme adjacent).

2.1  Le cosinus ne dépend que de l’angle

Propriété

Le cosinus d’un angle aigu ne dépend que de la mesure de cet angle, jamais de la taille du triangle.

Démonstration — idée

Deux triangles rectangles ayant le même angle aigu θ\theta sont des triangles réduits ou agrandis l’un de l’autre : ce sont des triangles semblables (déjà rencontrés avec le théorème de Thalès). Dans un agrandissement, tous les côtés sont multipliés par le même coefficient kk. Le rapport adjacenthypoteˊnuse\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} devient k×adjacentk×hypoteˊnuse\dfrac{k \times \text{adjacent}}{k \times \text{hypoténuse}}, et le coefficient kk se simplifie : le quotient ne change pas. C’est ce qui rend le cosinus utilisable : sa valeur est la même pour un petit triangle de maçon et pour un immense triangle formé par une tour et son ombre.

2.2  Trois valeurs à connaître

Ces trois angles reviennent si souvent qu’il est utile de mémoriser leur cosinus :

θ\theta30°30°45°45°60°60°
cos⁡θ\cos \theta32≈0,866\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}86622≈0,707\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}70712=0,5\dfrac{1}{2} = 0{,}5

Remarque : plus l’angle θ\theta grandit (de 0°0° vers 90°90°), plus son cosinus diminue — le triangle s’aplatit et le côté adjacent devient tout petit devant l’hypoténuse.

Exemple — calculer un cosinus à partir des longueurs

Dans un triangle DEFDEF rectangle en DD, avec DE=3DE = 3 cm (adjacent à E^\widehat{E}) et EF=5EF = 5 cm (hypoténuse) :

  1. cos⁡E^=DEEF\cos \widehat{E} = \dfrac{DE}{EF}
  2. ==35\dfrac{3}{5}
  3. ==0,60{,}6valeur bien comprise entre 0 et 1
Exemple — utiliser la calculatrice

Ta calculatrice, en mode degrés, donne directement le cosinus d’un angle connu :

  1. cos⁡24°≈0,914\cos 24° \approx 0{,}914
  2. cos⁡67°≈0,391\cos 67° \approx 0{,}391
  3. cos⁡89°≈0,017\cos 89° \approx 0{,}017

On observe bien la diminution du cosinus quand l’angle augmente.

Math & Co — Du grec au collège

La trigonométrie naît avec l’astronome grec Hipparque de Nicée, vers −150-150, qui construit la première table de « cordes » pour calculer les distances entre étoiles. Les savants indiens, quelques siècles plus tard, préfèrent travailler avec la moitié de la corde : ils l’appellent jîvā (la corde de l’arc). Traduit en arabe puis, par erreur de lecture, en latin sous le mot sinus (qui signifie « pli », « repli de vêtement » !), ce terme nous est resté : c’est notre sinus actuel.

Le mot cosinus, lui, est bien plus récent : il apparaît en 1620 sous la plume de l’Anglais Edmund Gunter, comme abréviation de complementi sinus, « le sinus de l’angle complémentaire » — puisque cos⁡θ\cos \theta est en réalité le sinus de l’angle 90°−θ90° - \theta. La tangente, enfin, tire son nom d’une droite tangente à un cercle, utilisée dès le Xe\text{X}^{\text{e}} siècle par les mathématiciens arabes pour mesurer des ombres.

3Calcul d’une longueur

Voici la première grande utilité du cosinus : connaissant un angle et une longueur du triangle rectangle (l’hypoténuse ou le côté adjacent à cet angle), on peut retrouver la longueur manquante, sans avoir besoin du troisième côté.

Méthode — calculer une longueur avec le cosinus
  1. Repérer le triangle rectangle, l’angle aigu θ\theta utilisé, et nommer adjacent / hypoténuse par rapport à θ\theta.
  2. Écrire l’égalité cos⁡θ=adjacenthypoteˊnuse\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} avec les valeurs connues.
  3. Isoler l’inconnue par un produit en croix, puis calculer avec la calculatrice (mode degrés).
Triangle EFG rectangle en E 52° E F G 6 cm FG = ? cos 52° = EF ⁄ FG  ⇒  FG = EF ⁄ cos 52° ≈ 9,7 cm
Figure 3 — Angle et côté adjacent connus, hypoténuse à calculer.
Exemple — trouver l’hypoténuse

Dans le triangle EFGEFG rectangle en EE, F^=52°\widehat{F} = 52° et EF=6EF = 6 cm (adjacent à F^\widehat{F}). Calculer FGFG.

  1. cos⁡F^=EFFG\cos \widehat{F} = \dfrac{EF}{FG}
  2. cos⁡52°=6FG\cos 52° = \dfrac{6}{FG}
  3. ⇒\RightarrowFG=6cos⁡52°FG = \dfrac{6}{\cos 52°}on isole FG par produit en croix
  4. ≈\approx60,6157\dfrac{6}{0{,}6157}
  5. ≈\approx9,79{,}7 cm
Exemple — trouver le côté adjacent

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 1212 cm et l’angle adjacent connu vaut 35°35°. Calculer la longueur du côté adjacent.

  1. cos⁡35°=adjacent12\cos 35° = \dfrac{\text{adjacent}}{12}
  2. ⇒\Rightarrowadjacent=12×cos⁡35°\text{adjacent} = 12 \times \cos 35°l’hypoténuse était au dénominateur, elle « monte » en multipliant
  3. ≈\approx12×0,819212 \times 0{,}8192
  4. ≈\approx9,89{,}8 cm
Attention

Deux erreurs fréquentes : oublier de repasser la calculatrice en mode degrés (et non radians ou grades) ; et confondre les deux cas — quand l’inconnue est au dénominateur (on cherche l’hypoténuse), on divise ; quand elle est au numérateur (on cherche l’adjacent), on multiplie.

4Calcul d’un angle

Le cosinus fonctionne aussi à l’envers : connaissant deux longueurs (l’adjacent et l’hypoténuse d’un même angle), on peut retrouver la mesure de cet angle, grâce à la touche « cos-1 » (ou « arccos ») de la calculatrice.

Méthode — calculer un angle avec le cosinus
  1. Calculer le quotient cos⁡θ=adjacenthypoteˊnuse\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}.
  2. Vérifier que ce quotient est bien compris entre 00 et 11 (sinon, il y a une erreur).
  3. Appliquer la touche cos⁡−1\cos^{-1} de la calculatrice pour obtenir θ\theta, en mode degrés.
Exemple — retrouver un angle

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle θ\theta mesure 5,45{,}4 cm et l’hypoténuse mesure 88 cm. Calculer θ\theta arrondi au dixième de degré.

  1. cos⁡θ=5,48\cos \theta = \dfrac{5{,}4}{8}
  2. ==0,6750{,}675bien compris entre 0 et 1
  3. ⇒\Rightarrowθ=cos⁡−1(0,675)\theta = \cos^{-1}(0{,}675)
  4. ≈\approx47,5°47{,}5°
Exemple — reconnaître une valeur remarquable

Si un calcul donne cos⁡θ=0,5\cos \theta = 0{,}5 exactement, inutile de sortir la calculatrice : c’est l’une des trois valeurs remarquables vues en section 2.

  1. cos⁡θ=0,5=12\cos \theta = 0{,}5 = \dfrac{1}{2}
  2. ⇒\Rightarrowθ=60°\theta = 60°valeur à connaître par cœur
Attention

La touche cos⁡−1\cos^{-1} (parfois notée arccos) n’est pas 1cos⁡\dfrac{1}{\cos} ! C’est la fonction qui « défait » le cosinus pour retrouver l’angle. Si ta calculatrice affiche une erreur, vérifie que le nombre entré est bien compris entre −1-1 et 11.

5Problèmes concrets (pente, hauteur)

Toute situation où l’on peut dessiner un triangle rectangle avec un angle et deux longueurs (dont une inconnue) se résout avec le cosinus. Pente d’une rampe, inclinaison d’un toit, sécurité d’une échelle, angle de tir : ce sont les mêmes trois étapes qui reviennent à chaque fois — identifier le triangle rectangle, nommer adjacent/opposé/hypoténuse par rapport à l’angle utile, puis calculer.

5.1  Rampe d’accès

Une rampe d’accès pour fauteuil roulant franchit une hauteur de 1,001{,}00 m sur une longueur horizontale au sol de 4,004{,}00 m. Quel est l’angle de la rampe avec le sol ?

Rampe d’accès : coupe de profil θ A C B 4,00 m (adjacent) 1,00 m (opposé) AB (hypoténuse) = √(4,00² + 1,00²) ≈ 4,12 m  ·  θ = cos⁻¹(4,00 ⁄ 4,12) ≈ 14,0°
Figure 4 — La rampe ABAB est l’hypoténuse du triangle rectangle en CC ; on calcule d’abord ABAB par Pythagore, puis l’angle θ\theta par cosinus.
Exemple — angle d’une rampe
  1. AB2=AC2+BC2=4,002+1,002=17AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} = 4{,}00^{2} + 1{,}00^{2} = 17Pythagore, pour obtenir l’hypoténuse
  2. ⇒\RightarrowAB=17≈4,123AB = \sqrt{17} \approx 4{,}123 m
  3. cos⁡θ=ACAB=4,004,123\cos \theta = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4{,}00}{4{,}123}
  4. ≈\approx0,9700{,}970
  5. ⇒\Rightarrowθ≈cos⁡−1(0,970)≈14,0°\theta \approx \cos^{-1}(0{,}970) \approx 14{,}0°

La rampe fait un angle d’environ 14°14° avec le sol : c’est une pente assez forte, réservée à un franchissement court.

5.2  Toit d’une maison

Un toit à deux pans, symétrique, a une demi-largeur au sol de 3,003{,}00 m pour une hauteur de faîtage de 1,501{,}50 m. Quel est l’angle d’inclinaison de chaque pan ?

Coupe d’un toit à deux pans θ L R S M 3,00 m 1,50 m LS (pan) = √(3,00² + 1,50²) ≈ 3,35 m  ·  θ = cos⁻¹(3,00 ⁄ 3,35) ≈ 26,6°
Figure 5 — Le triangle LMSLMS, rectangle en MM, donne l’angle du pan de toit avec l’horizontale.
Exemple — angle d’un pan de toit
  1. LS2=LM2+MS2=3,002+1,502=11,25LS^{2} = LM^{2} + MS^{2} = 3{,}00^{2} + 1{,}50^{2} = 11{,}25
  2. ⇒\RightarrowLS=11,25≈3,354LS = \sqrt{11{,}25} \approx 3{,}354 m
  3. cos⁡θ=LMLS=3,003,354≈0,894\cos \theta = \dfrac{LM}{LS} = \dfrac{3{,}00}{3{,}354} \approx 0{,}894
  4. ⇒\Rightarrowθ≈cos⁡−1(0,894)≈26,6°\theta \approx \cos^{-1}(0{,}894) \approx 26{,}6°

5.3  Échelle contre un mur

Une échelle de 5,005{,}00 m est posée contre un mur ; son pied est placé à 1,301{,}30 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol, et quelle hauteur atteint-elle ?

Échelle contre un mur θ P M H 1,30 m 5,00 m θ = cos⁻¹(1,30 ⁄ 5,00) ≈ 74,9°  ·  PM (hauteur atteinte) = √(5,00² − 1,30²) ≈ 4,83 m
Figure 6 — Triangle PMHPMH rectangle en MM : l’échelle PHPH est l’hypoténuse, le pied PMPM est le côté adjacent à l’angle θ\theta au sol.
Exemple — sécurité d’une échelle
  1. cos⁡θ=PMPH=1,305,00\cos \theta = \dfrac{PM}{PH} = \dfrac{1{,}30}{5{,}00}
  2. ==0,260{,}26
  3. ⇒\Rightarrowθ≈cos⁡−1(0,26)≈74,9°\theta \approx \cos^{-1}(0{,}26) \approx 74{,}9°
  4. MH2=PH2−PM2=5,002−1,302=23,31MH^{2} = PH^{2} - PM^{2} = 5{,}00^{2} - 1{,}30^{2} = 23{,}31Pythagore, pour la hauteur atteinte
  5. ⇒\RightarrowMH=23,31≈4,83MH = \sqrt{23{,}31} \approx 4{,}83 m

Les professionnels du bâtiment recommandent un angle proche de 75°75° : cette échelle est correctement positionnée.

Math & Co — Thalès et la pyramide

Bien avant le mot « trigonométrie », le Grec Thalès de Milet (vers −600-600) aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide de Khéops sans y grimper : il a planté un bâton vertical et comparé, au même instant, la longueur de son ombre à celle de la pyramide — exploitant le fait que deux triangles rectangles formés par le soleil sont semblables. C’est l’ancêtre direct des problèmes de hauteur inaccessible que tu résous aujourd’hui avec le cosinus, en mesurant un angle plutôt qu’une ombre.

Exemple — angle de tir

Un archer vise une cible ; horizontalement, elle est à 2525 m, et 33 m plus haut que sa flèche au départ. Quel angle de tir (par rapport à l’horizontale) doit-il viser ?

  1. hypoténuse =252+32=634≈25,18= \sqrt{25^{2} + 3^{2}} = \sqrt{634} \approx 25{,}18 m
  2. cos⁡θ=2525,18≈0,993\cos \theta = \dfrac{25}{25{,}18} \approx 0{,}993
  3. ⇒\Rightarrowθ≈cos⁡−1(0,993)≈6,8°\theta \approx \cos^{-1}(0{,}993) \approx 6{,}8°

Fiche mémo

  • Vu depuis un angle aigu : adjacent = touche l’angle, opposé = en face, hypoténuse = en face de l’angle droit (toujours le plus grand côté).
  • cos⁡θ=adjacenthypoteˊnuse\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} — encadrement : 0<cos⁡θ<10 < \cos \theta < 1 pour tout angle aigu θ\theta.
  • Ouverture 3ème : sin⁡θ=opposeˊhypoteˊnuse\sin \theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} ; tan⁡θ=opposeˊadjacent\tan \theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.
  • Le cosinus ne dépend que de l’angle, pas de la taille du triangle (triangles semblables).
  • Valeurs à connaître : cos⁡30°=32\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; cos⁡45°=22\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} ; cos⁡60°=12\cos 60° = \dfrac{1}{2}.
  • Calcul d’une longueur : inconnue au numérateur → on multiplie ; inconnue au dénominateur → on divise.
  • Calcul d’un angle : θ=cos⁡−1 ⁣(adjacenthypoteˊnuse)\theta = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right), toujours en mode degrés.
  • Plus l’angle grandit, plus son cosinus diminue (fonction décroissante sur [0°;90°][0°;90°]).
  • Un cosinus calculé hors de ]0;1[]0;1[ signale toujours une erreur (côtés inversés).
  • Problèmes concrets : dessiner le triangle rectangle, repérer angle + une longueur connue, au besoin combiner avec Pythagore pour la longueur restante.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Le triangle MNPMNP est rectangle en MM. Pour l’angle N^\widehat{N}, puis pour l’angle P^\widehat{P}, donne le côté adjacent, le côté opposé et l’hypoténuse.

Voir le corrigé détaillé

L’hypoténuse ne dépend pas de l’angle choisi : c’est toujours NPNP, le côté en face de l’angle droit en MM.

  • Depuis N^\widehat{N} : adjacent =MN= MN ; opposé =MP= MP ; hypoténuse =NP= NP.
  • Depuis P^\widehat{P} : adjacent =MP= MP ; opposé =MN= MN ; hypoténuse =NP= NP.
2

Le triangle HIJHIJ est rectangle en HH, avec HI=8HI = 8 cm, HJ=15HJ = 15 cm et IJ=17IJ = 17 cm. Écris cos⁡I^\cos \widehat{I} et cos⁡J^\cos \widehat{J} sous forme de fraction, puis en valeur décimale arrondie au centième.

Voir le corrigé détaillé
  1. cos⁡I^=HIIJ=817≈0,47\cos \widehat{I} = \dfrac{HI}{IJ} = \dfrac{8}{17} \approx 0{,}47HI est adjacent à I, IJ est l’hypoténuse
  2. cos⁡J^=HJIJ=1517≈0,88\cos \widehat{J} = \dfrac{HJ}{IJ} = \dfrac{15}{17} \approx 0{,}88HJ est adjacent à J
3

Calcule à la calculatrice, arrondi au millième : cos⁡18°\cos 18° ; cos⁡73°\cos 73° ; cos⁡85°\cos 85°. Que remarques-tu ?

Voir le corrigé détaillé
  1. cos⁡18°≈0,951\cos 18° \approx 0{,}951
  2. cos⁡73°≈0,292\cos 73° \approx 0{,}292
  3. cos⁡85°≈0,087\cos 85° \approx 0{,}087

Plus l’angle se rapproche de 90°90°, plus son cosinus se rapproche de 00 : le cosinus est une fonction décroissante sur [0°;90°][0°;90°].

4

Le triangle KLMKLM est rectangle en KK, avec L^=42°\widehat{L} = 42° et KL=5KL = 5 cm. Calcule LMLM arrondi au millimètre près.

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  1. cos⁡L^=KLLM\cos \widehat{L} = \dfrac{KL}{LM}
  2. cos⁡42°=5LM\cos 42° = \dfrac{5}{LM}
  3. ⇒\RightarrowLM=5cos⁡42°LM = \dfrac{5}{\cos 42°}
  4. ≈\approx50,7431\dfrac{5}{0{,}7431}
  5. ≈\approx6,76{,}7 cm
5

Le triangle NOPNOP est rectangle en NN, avec NO=7NO = 7 cm (adjacent à O^\widehat{O}) et OP=9OP = 9 cm (hypoténuse). Calcule O^\widehat{O} arrondi au dixième de degré.

Voir le corrigé détaillé
  1. cos⁡O^=NOOP=79≈0,778\cos \widehat{O} = \dfrac{NO}{OP} = \dfrac{7}{9} \approx 0{,}778
  2. ⇒\RightarrowO^≈cos⁡−1(0,778)\widehat{O} \approx \cos^{-1}(0{,}778)
  3. ≈\approx38,9°38{,}9°
Niveau 2 — Approfondissement
6

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec AB=3AB = 3 cm et AC=4AC = 4 cm. Calcule BCBC, puis les deux angles aigus B^\widehat{B} et C^\widehat{C} (arrondis au dixième de degré). Vérifie que leur somme vaut 90°90°.

Voir le corrigé détaillé
  1. BC2=AB2+AC2=32+42=25BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25
  2. ⇒\RightarrowBC=5BC = 5 cm
  3. cos⁡B^=ABBC=35=0,6⇒B^≈53,1°\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \Rightarrow \widehat{B} \approx 53{,}1°
  4. cos⁡C^=ACBC=45=0,8⇒C^≈36,9°\cos \widehat{C} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \Rightarrow \widehat{C} \approx 36{,}9°
  5. 53,1°+36,9°=90°53{,}1° + 36{,}9° = 90°cohérent : la somme des angles aigus d’un triangle rectangle vaut 90°
7

Sans calculatrice. On donne cos⁡α=0,97\cos \alpha = 0{,}97 ; cos⁡β=0,74\cos \beta = 0{,}74 ; cos⁡γ=0,53\cos \gamma = 0{,}53, pour trois angles aigus α\alpha, β\beta, γ\gamma. Range ces trois angles du plus petit au plus grand.

Voir le corrigé détaillé

Le cosinus est une fonction décroissante sur [0°;90°][0°;90°] : plus le cosinus est grand, plus l’angle est petit.

  1. 0,97>0,74>0,530{,}97 > 0{,}74 > 0{,}53
  2. ⇒\Rightarrowα<β<γ\alpha < \beta < \gamma
8

Un triangle ABCABC est isocèle en AA, avec AB=AC=10AB = AC = 10 cm et BC=8BC = 8 cm. La hauteur issue de AA coupe BCBC en son milieu II. Calcule l’angle B^\widehat{B}, puis l’angle au sommet A^\widehat{A}.

Voir le corrigé détaillé

La hauteur AIAI d’un triangle isocèle coupe la base en son milieu et forme deux triangles rectangles superposables. Dans ABIABI, rectangle en II : BI=4BI = 4 cm, AB=10AB = 10 cm (hypoténuse).

  1. cos⁡B^=BIAB=410=0,4\cos \widehat{B} = \dfrac{BI}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4
  2. ⇒\RightarrowB^≈cos⁡−1(0,4)≈66,4°\widehat{B} \approx \cos^{-1}(0{,}4) \approx 66{,}4°
  3. A^=180°−2×B^\widehat{A} = 180° - 2 \times \widehat{B}somme des angles du triangle ABC, avec B = C par symétrie
  4. ≈\approx180°−132,8°180° - 132{,}8°
  5. ≈\approx47,2°47{,}2°
9

Un triangle rectangle a une hypoténuse de 1010 cm et un angle aigu de 30°30°. Calcule l’aire de ce triangle, arrondie au dixième de cm².

Voir le corrigé détaillé

On nomme le triangle ABCABC, rectangle en AA, avec B^=30°\widehat{B} = 30° et BC=10BC = 10 cm.

  1. AB=BC×cos⁡30°=10×32AB = BC \times \cos 30° = 10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. ≈\approx8,668{,}66 cmcôté adjacent à B
  3. AC2=BC2−AB2=102−8,662AC^{2} = BC^{2} - AB^{2} = 10^{2} - 8{,}66^{2}Pythagore, pour le côté opposé
  4. ≈\approx25⇒AC≈5,0025 \Rightarrow AC \approx 5{,}00 cm
  5. Aire=AB×AC2≈8,66×5,002\text{Aire} = \dfrac{AB \times AC}{2} \approx \dfrac{8{,}66 \times 5{,}00}{2}
  6. ≈\approx21,721{,}7 cm²
10

Un pylône projette une ombre de 1212 m au sol lorsque le soleil forme un angle de 58°58° avec l’horizontale. Calcule la hauteur du pylône, au dixième de mètre.

Voir le corrigé détaillé

L’ombre est le côté adjacent à l’angle du soleil, la hauteur du pylône est le côté opposé : on utilise ici la tangente (vue en ouverture), plus directe que le cosinus dans ce cas.

  1. tan⁡58°=hauteurombre=h12\tan 58° = \dfrac{\text{hauteur}}{\text{ombre}} = \dfrac{h}{12}
  2. ⇒\Rightarrowh=12×tan⁡58°h = 12 \times \tan 58°
  3. ≈\approx12×1,60012 \times 1{,}600
  4. ≈\approx19,219{,}2 m
Niveau 3 — Défi
11

Un triangle ABCABC a pour côtés AB=5AB = 5 cm, AC=12AC = 12 cm et BC=13BC = 13 cm.

  1. Démontre que ce triangle est rectangle en AA.
  2. Calcule l’angle B^\widehat{B}, arrondi au dixième de degré.
  3. Calcule le périmètre et l’aire du triangle.
Voir le corrigé détaillé

1. On compare BC2BC^{2} au plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres (réciproque de Pythagore).

  1. AB2+AC2=52+122=25+144=169AB^{2} + AC^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169
  2. BC2=132=169BC^{2} = 13^{2} = 169
  3. ⇒\RightarrowAB2+AC2=BC2AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA (sommet opposé au plus grand côté BCBC).

2. Le côté ABAB est adjacent à l’angle B^\widehat{B}, BCBC est l’hypoténuse.

  1. cos⁡B^=ABBC=513≈0,385\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385
  2. ⇒\RightarrowB^≈cos⁡−1(0,385)≈67,4°\widehat{B} \approx \cos^{-1}(0{,}385) \approx 67{,}4°

3.

  1. Périmètre =5+12+13=30= 5 + 12 + 13 = 30 cm
  2. Aire =AB×AC2=5×122=30= \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{5 \times 12}{2} = 30 cm²le triangle rectangle en A a pour aire le demi-produit des côtés de l’angle droit
12

Une tour verticale CDCD est observée depuis deux points AA et BB alignés avec son pied CC, avec BB entre AA et CC. On a AC=45AC = 45 m, BC=20BC = 20 m, et l’angle d’élévation du sommet DD depuis AA est DAC^=34°\widehat{DAC} = 34°.

  1. Calcule la longueur ADAD, puis la hauteur CDCD de la tour (arrondis au centième de mètre).
  2. Calcule l’angle d’élévation DBC^\widehat{DBC} depuis BB, arrondi au dixième de degré.
  3. Quelle distance sépare les points AA et BB ?
Voir le corrigé détaillé
La tour vue depuis deux points 34° ? A B C D 25 m 20 m
Figure 7 — Les triangles ACDACD et BCDBCD, tous deux rectangles en CC, partagent la même hauteur CDCD.

1. Dans le triangle ACDACD, rectangle en CC, ACAC est adjacent à A^\widehat{A} et ADAD est l’hypoténuse.

  1. cos⁡34°=ACAD=45AD\cos 34° = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{45}{AD}
  2. ⇒\RightarrowAD=45cos⁡34°≈54,28AD = \dfrac{45}{\cos 34°} \approx 54{,}28 m
  3. CD2=AD2−AC2≈54,282−452CD^{2} = AD^{2} - AC^{2} \approx 54{,}28^{2} - 45^{2}Pythagore dans le triangle ACD
  4. ≈\approx921,3⇒CD≈30,35921{,}3 \Rightarrow CD \approx 30{,}35 m

2. Dans le triangle BCDBCD, rectangle en CC, on connaît maintenant BC=20BC = 20 m et CD≈30,35CD \approx 30{,}35 m : on calcule d’abord l’hypoténuse BDBD par Pythagore.

  1. BD2=BC2+CD2≈202+30,352BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} \approx 20^{2} + 30{,}35^{2}
  2. ≈\approx1 322,3⇒BD≈36,351\,322{,}3 \Rightarrow BD \approx 36{,}35 m
  3. cos⁡DBC^=BCBD≈2036,35≈0,550\cos \widehat{DBC} = \dfrac{BC}{BD} \approx \dfrac{20}{36{,}35} \approx 0{,}550
  4. ⇒\RightarrowDBC^≈cos⁡−1(0,550)≈56,6°\widehat{DBC} \approx \cos^{-1}(0{,}550) \approx 56{,}6°

C’est cohérent : plus proche de la tour, l’angle d’élévation est plus grand.

3. AB=AC−BC=45−20=25AB = AC - BC = 45 - 20 = 25 m.

13

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec B^=40°\widehat{B} = 40° et BC=15BC = 15 cm.

  1. Calcule ABAB, arrondi au centième.
  2. Calcule ACAC, arrondi au centième.
  3. HH est le pied de la hauteur issue de AA sur [BC][BC]. Calcule AHAH, arrondi au centième.
Voir le corrigé détaillé

1. ABAB est adjacent à B^\widehat{B}, BCBC est l’hypoténuse.

  1. AB=BC×cos⁡40°=15×cos⁡40°AB = BC \times \cos 40° = 15 \times \cos 40°
  2. ≈\approx15×0,76615 \times 0{,}766
  3. ≈\approx11,4911{,}49 cm

2. Par le théorème de Pythagore dans ABCABC rectangle en AA :

  1. AC2=BC2−AB2=152−11,492AC^{2} = BC^{2} - AB^{2} = 15^{2} - 11{,}49^{2}
  2. ≈\approx225−132,0≈93,0225 - 132{,}0 \approx 93{,}0
  3. ⇒\RightarrowAC≈9,64AC \approx 9{,}64 cm

3. L’aire de ABCABC se calcule de deux façons : avec les côtés de l’angle droit, ou avec l’hypoténuse et la hauteur AHAH relative.

  1. Aire=AB×AC2=BC×AH2\text{Aire} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{BC \times AH}{2}
  2. ⇒\RightarrowAH=AB×ACBC≈11,49×9,6415AH = \dfrac{AB \times AC}{BC} \approx \dfrac{11{,}49 \times 9{,}64}{15}
  3. ≈\approx7,397{,}39 cm
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

La rampe de Yoff (Dakar). Une entreprise pose une rampe d’accès de 3,603{,}60 m de long (mesurée sur la pente) pour franchir une marche de 0,800{,}80 m de haut.

  1. Calcule la longueur horizontale occupée au sol par la rampe.
  2. Calcule l’angle que fait la rampe avec le sol, arrondi au dixième de degré.
  3. La rampe, large de 1,201{,}20 m, est recouverte d’un revêtement antidérapant facturé 15 00015\,000 F CFA le m². Calcule le coût total.
Voir le corrigé détaillé

1. La rampe (hypoténuse) mesure 3,603{,}60 m, la hauteur (opposé) 0,800{,}80 m.

  1. adjacent2=3,602−0,802=12,96−0,64=12,32\text{adjacent}^{2} = 3{,}60^{2} - 0{,}80^{2} = 12{,}96 - 0{,}64 = 12{,}32
  2. ⇒\Rightarrowadjacent≈3,51\text{adjacent} \approx 3{,}51 m

2.

  1. cos⁡θ=3,513,60≈0,975\cos \theta = \dfrac{3{,}51}{3{,}60} \approx 0{,}975
  2. ⇒\Rightarrowθ≈cos⁡−1(0,975)≈12,9°\theta \approx \cos^{-1}(0{,}975) \approx 12{,}9°

3.

  1. Surface =3,60×1,20=4,32= 3{,}60 \times 1{,}20 = 4{,}32 m²
  2. Coût =4,32×15 000= 4{,}32 \times 15\,000
  3. ==64 80064\,800 F CFA
15

Le hangar de Ndjamena. Le toit d’un hangar a une demi-largeur au sol de 5,005{,}00 m et une hauteur de faîtage de 2,202{,}20 m. Le hangar mesure 1212 m de long.

  1. Calcule la longueur d’un pan de toit (le versant).
  2. Calcule l’angle d’inclinaison du toit, arrondi au dixième de degré.
  3. Chaque tôle couvre 33 m² et coûte 8 5008\,500 F CFA. Calcule le nombre de tôles nécessaires pour les deux versants, puis le coût total.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. versant2=5,002+2,202=25+4,84=29,84\text{versant}^{2} = 5{,}00^{2} + 2{,}20^{2} = 25 + 4{,}84 = 29{,}84
  2. ⇒\Rightarrowversant≈5,46\text{versant} \approx 5{,}46 m

2.

  1. cos⁡θ=5,005,46≈0,915\cos \theta = \dfrac{5{,}00}{5{,}46} \approx 0{,}915
  2. ⇒\Rightarrowθ≈cos⁡−1(0,915)≈23,7°\theta \approx \cos^{-1}(0{,}915) \approx 23{,}7°

3. Chaque versant a une surface de 5,46×12≈65,555{,}46 \times 12 \approx 65{,}55 m².

  1. Surface totale ≈2×65,55=131,10\approx 2 \times 65{,}55 = 131{,}10 m²
  2. Nombre de tôles ≈131,103≈43,7\approx \dfrac{131{,}10}{3} \approx 43{,}7
  3. ⇒\Rightarrow4444 tôleson arrondit toujours à l’entier supérieur
  4. Coût =44×8 500= 44 \times 8\,500
  5. ==374 000374\,000 F CFA
16

Le peintre de Bamako. Un peintre en bâtiment appuie son échelle de 6,006{,}00 m contre une façade ; le pied de l’échelle est placé à 1,501{,}50 m du mur.

  1. Calcule l’angle que fait l’échelle avec le sol, arrondi au dixième de degré.
  2. Calcule la hauteur atteinte sur le mur, arrondie au centième de mètre.
  3. La norme de sécurité recommande un angle proche de 75°75° (règle du quart : le pied doit être à environ un quart de la longueur de l’échelle). Ce réglage est-il sûr ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. cos⁡θ=1,506,00=0,25\cos \theta = \dfrac{1{,}50}{6{,}00} = 0{,}25
  2. ⇒\Rightarrowθ≈cos⁡−1(0,25)≈75,5°\theta \approx \cos^{-1}(0{,}25) \approx 75{,}5°

2.

  1. hauteur2=6,002−1,502=36−2,25=33,75\text{hauteur}^{2} = 6{,}00^{2} - 1{,}50^{2} = 36 - 2{,}25 = 33{,}75
  2. ⇒\Rightarrowhauteur≈5,81\text{hauteur} \approx 5{,}81 m

3. Le rapport 1,506,00=0,25\dfrac{1{,}50}{6{,}00} = 0{,}25 correspond exactement à la « règle du quart », et l’angle obtenu (75,5°75{,}5°) est très proche des 75°75° recommandés. L’échelle est correctement positionnée.

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans un triangle rectangle, quel est le côté appelé hypoténuse ?

Explication : L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle, celui qui fait face à l'angle droit. Elle ne change jamais de nom, quel que soit l'angle aigu observé.

Dans un triangle rectangle, le côté « adjacent » à un angle aigu :

Explication : Attention à ce piège du cours : contrairement à l'hypoténuse, adjacent et opposé s'échangent selon l'angle aigu choisi.

RSTRST est un triangle rectangle en RR. Vu depuis l'angle SS, quel est le côté adjacent ?

Explication : Vu depuis SS, le côté adjacent est celui de l'angle droit qui touche SS : c'est RSRS. RTRT est le côté opposé, et STST est l'hypoténuse.

Quelle est la définition du cosinus d'un angle aigu θ\theta dans un triangle rectangle ?

Explication : Par définition, le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse.

Pour tout angle aigu θ\theta, que peut-on dire de cos⁡θ\cos\theta ?

Explication : L'hypoténuse étant toujours le plus grand côté, le côté adjacent (au numérateur) est plus petit que l'hypoténuse (au dénominateur) : le quotient est donc strictement compris entre 00 et 11.

Deux triangles rectangles ont le même angle aigu θ\theta, mais des tailles différentes. Que peut-on dire de leur cosinus de θ\theta ?

Explication : Deux triangles rectangles ayant le même angle aigu sont des triangles semblables : le rapport adjacent/hypoténuse ne change pas quand on agrandit ou réduit le triangle.

Quelle est la valeur exacte de cos⁡60°\cos 60° ?

Explication : C'est une valeur remarquable à connaître par cœur : cos⁡60°=12=0,5\cos 60° = \dfrac{1}{2} = 0{,}5.

Quand l'angle θ\theta augmente de 0°0° vers 90°90°, que fait son cosinus ?

Explication : Plus l'angle grandit, plus le triangle s'aplatit et plus le côté adjacent devient petit devant l'hypoténuse : le cosinus diminue.

Dans un triangle DEFDEF rectangle en DD, avec DE=3DE = 3 cm (adjacent à l'angle E^\widehat{E}) et EF=5EF = 5 cm (hypoténuse). Calcule cos⁡E^\cos\widehat{E}.

Explication : cos⁡E^=DEEF\cos\widehat{E} = \dfrac{DE}{EF}
=35= \dfrac{3}{5}
=0,6= 0{,}6.

Dans un triangle rectangle, un angle mesure 60°60° et le côté adjacent à cet angle mesure 55 cm. Sachant que cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5, calcule l'hypoténuse.

Explication : cos⁡60°=adjacenthypoteˊnuse\cos 60° = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}
0,5=5hyp0{,}5 = \dfrac{5}{\text{hyp}}
hypoténuse =50,5=10= \dfrac{5}{0{,}5} = 10 cm.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 88 cm et un angle adjacent connu vaut 60°60° (cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5). Calcule le côté adjacent.

Explication : adjacent=hypoteˊnuse×cos⁡60°\text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos 60°
=8×0,5= 8 \times 0{,}5
=4= 4 cm.

Un calcul donne cos⁡θ=0,5\cos\theta = 0{,}5 exactement. Quelle est la mesure de l'angle θ\theta ?

Explication : 0,5=120{,}5 = \dfrac{1}{2} est une valeur remarquable : cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5, donc θ=60°\theta = 60°, sans même avoir besoin de la calculatrice.

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle θ\theta mesure 5,45{,}4 cm et l'hypoténuse mesure 88 cm. À la calculatrice, on trouve θ≈\theta \approx ?

Explication : cos⁡θ=5,48=0,675\cos\theta = \dfrac{5{,}4}{8} = 0{,}675
θ=cos⁡−1(0,675)\theta = \cos^{-1}(0{,}675)
θ≈47,5°\theta \approx 47{,}5°.

Un élève trouve, pour un angle aigu, cos⁡θ=1,3\cos\theta = 1{,}3. Que peut-on en conclure ?

Explication : Pour un angle aigu, le cosinus est toujours strictement compris entre 00 et 11. Une valeur comme 1,31{,}3 signale forcément une erreur de calcul.

La touche « cos⁡−1\cos^{-1} » (arccos) de la calculatrice sert à :

Explication : Attention au piège classique : cos⁡−1\cos^{-1} n'est pas 1cos⁡\dfrac{1}{\cos}. C'est la fonction qui « défait » le cosinus, pour retrouver la mesure de l'angle.

Avant de calculer un cosinus ou un angle à la calculatrice, il faut impérativement vérifier que celle-ci est réglée :

Explication : C'est une erreur fréquente : oublier de repasser la calculatrice en mode degrés (et non radians ou grades) fausse tous les résultats.

Une rampe d'accès franchit une hauteur de 1,001{,}00 m sur une longueur horizontale au sol de 4,004{,}00 m. Que représente le segment de 4,004{,}00 m par rapport à l'angle θ\theta de la rampe avec le sol ?

Explication : Le segment horizontal, qui touche l'angle θ\theta au sol, est le côté adjacent. La hauteur (1,001{,}00 m) est le côté opposé, et la rampe elle-même est l'hypoténuse.

Un toit a une demi-largeur au sol de 3,003{,}00 m et une hauteur de faîtage de 1,501{,}50 m. Sachant que 3,002+1,502=11,253{,}00^{2} + 1{,}50^{2} = 11{,}25, quelle est la longueur du pan de toit (l'hypoténuse) ?

Explication : On utilise le théorème de Pythagore :
pan2=11,25^{2} = 11{,}25
pan =11,25≈3,35= \sqrt{11{,}25} \approx 3{,}35 m.

Une échelle de 6,006{,}00 m est posée contre un mur ; son pied est à 1,501{,}50 m du mur. Calcule cos⁡θ\cos\theta, où θ\theta est l'angle entre l'échelle et le sol.

Explication : Le pied de l'échelle (1,501{,}50 m) est le côté adjacent à θ\theta, l'échelle (6,006{,}00 m) est l'hypoténuse :
cos⁡θ=1,506,00=0,25\cos\theta = \dfrac{1{,}50}{6{,}00} = 0{,}25.

ABCABC est rectangle en AA, avec AB=3AB = 3 cm, AC=4AC = 4 cm, BC=5BC = 5 cm. ABAB est adjacent à l'angle B^\widehat{B}, et BCBC est l'hypoténuse. Calcule cos⁡B^\cos\widehat{B}.

Explication : cos⁡B^=ABBC\cos\widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}
=35= \dfrac{3}{5}
=0,6= 0{,}6.
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