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Puissances d'un nombre

Manipuler les puissances entières, la notation scientifique et les préfixes d'unités.

Mathématiques 4ème Chapitre 1 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Appliquer les cinq règles de calcul sur les puissances
  • Écrire un nombre en notation scientifique
  • Comparer deux nombres très grands ou très petits

Un microbe mesure environ un millionième de mètre. La Terre contient environ six mille milliards de milliards de tonnes de matière. La mémoire d'un smartphone stocke plusieurs milliards d'octets. Écrire ces nombres avec tous leurs zéros serait long et risqué : on oublie vite un zéro en chemin. Les puissances résolvent ce problème : elles compressent une multiplication répétée en une seule petite écriture, perchée en haut à droite d'un nombre.

Tu connais déjà le carré d'un nombre (a2=a×aa^{2} = a \times a), pour une aire, et son cube (a3=a×a×aa^{3} = a \times a \times a), pour un volume. Ce chapitre généralise cette idée à n'importe quel exposant entier — grand, petit, et même négatif, ce qui est la vraie nouveauté de la 4ème. Tu apprendras cinq règles de calcul qui permettent de manipuler les puissances sans jamais revenir aux multiplications de base, puis à écrire n'importe quel nombre, du plus minuscule au plus gigantesque, sous une forme unique : la notation scientifique.

Cet outil te suivra longtemps : en physique-chimie pour les mesures (vitesse de la lumière, taille d'un atome), en technologie pour les capacités de stockage, et dès l'an prochain pour le calcul littéral et les racines carrées.

1Puissance d'exposant entier positif

Définition

Soit aa un nombre et nn un entier supérieur ou égal à 1. La puissance nn-ième de aa, notée ana^{n}, est le produit de nn facteurs tous égaux à aa :

an=a×a×⋯×a⏟n facteursa^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}

Le nombre aa s'appelle la base, le nombre nn s'appelle l'exposant. On lit ana^{n} « aa puissance nn » ou « aa exposant nn ». Par convention, pour a≠0a \neq 0 : a0=1a^{0} = 1.

Deux cas ont un nom particulier, que tu utilises depuis longtemps : a2a^{2} se lit « aa au carré » et a3a^{3} se lit « aa au cube ». Pour n⩾4n \geqslant 4, on dit simplement « aa puissance nn ».

Exemple — calculer des puissances
  1. 34=3×3×3×33^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3
  2. ==8181
  3. (−2)3=(−2)×(−2)×(−2)(-2)^{3} = (-2) \times (-2) \times (-2)
  4. ==−8-8
  5. 1,52=1,5×1,51{,}5^{2} = 1{,}5 \times 1{,}5
  6. ==2,252{,}25

1.1  Le signe d'une puissance

Propriété — règle des signes
  • Si a>0a > 0, alors an>0a^{n} > 0 quel que soit nn.
  • Si a<0a < 0 et nn pair, alors an>0a^{n} > 0.
  • Si a<0a < 0 et nn impair, alors an<0a^{n} < 0.
Démonstration

Si a<0a < 0, chaque facteur du produit a×a×⋯×aa \times a \times \cdots \times a est négatif. Or, multiplier deux nombres négatifs donne un résultat positif : les facteurs négatifs « s'annulent » deux par deux. S'il y a un nombre pair de facteurs, ils s'annulent tous et le résultat est positif ; s'il en reste un seul non annulé (nombre impair de facteurs), le résultat garde le signe négatif.

Attention — le piège n°1 du chapitre

Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre écrit juste avant lui, pas sur le signe « −- » qui le précède.

  1. −32=−(32)=−9-3^{2} = -\left(3^{2}\right) = -9le signe −- n'est pas élevé au carré
  2. (−3)2=(−3)×(−3)=9(-3)^{2} = (-3) \times (-3) = 9les parenthèses incluent le signe

Sur ta calculatrice, tape toujours (−3)2(-3)^{2} avec les parenthèses si tu veux élever −3-3 au carré.

Exemple — ne pas confondre −an-a^{n} et (−a)n(-a)^{n}
  1. −24=−(24)=−16-2^{4} = -\left(2^{4}\right) = -16
  2. (−2)4=24=16(-2)^{4} = 2^{4} = 16exposant pair ⇒\Rightarrow résultat positif
  3. (−2)5=−32(-2)^{5} = -32exposant impair ⇒\Rightarrow résultat négatif

1.2  Cas particuliers à connaître

Propriété

Pour tout entier n⩾1n \geqslant 1 : 1n=11^{n} = 1 et 0n=00^{n} = 0. Pour tout nombre a≠0a \neq 0 : a0=1a^{0} = 1 (y compris (−7)0=1(-7)^{0} = 1).

Ces cas surprennent souvent : élever 00 à n'importe quelle puissance (non nulle) donne toujours 00, et élever n'importe quel nombre non nul à la puissance 00 donne toujours 11 — même un très grand nombre !

Math & Co — Le grain de riz sur l'échiquier

Selon une légende venue d'Inde, autour du VIᵉ siècle, un sage nommé Sissa aurait inventé le jeu d'échecs pour son roi. Ravi, le souverain lui propose une récompense de son choix. Sissa demande une chose modeste en apparence : un grain de riz sur la première case de l'échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite — le double à chaque case, jusqu'à la 64ᵉ.

Le roi accepte en riant… avant de découvrir que le nombre de grains double à chaque case suit les puissances de 22 : 20,21,22,…,2632^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \ldots, 2^{63}. La somme totale dépasse 1818 trillions de grains — bien plus que toute la production de riz de l'histoire de l'humanité. C'est l'une des plus anciennes illustrations connues de la croissance exponentielle : une quantité qui double régulièrement finit toujours par dépasser toute borne, même en partant d'un seul grain.

Les puissances de 2 : une croissance qui explose n 2ⁿ 0 2 4 6 8 1 16 64 256 La courbe grimpe presque à la verticale : à la 8ᵉ case, on a déjà 256 grains. À la 64ᵉ case : 2⁶³ ≈ 9,22 × 10¹⁸ grains, soit plus de 18 trillions !
Figure 1 — Les huit premières puissances de 22 : de 11 à 256256, la courbe passe d'une pente presque plate à une montée verticale. C'est la signature de toute croissance exponentielle.

2Puissance d'exposant négatif

Jusqu'ici, l'exposant comptait un nombre de facteurs : impossible d'avoir « −3-3 facteurs » dans un produit ! Les mathématiciens ont pourtant donné un sens à a−na^{-n}, en choisissant la définition qui prolonge le plus naturellement les règles de calcul que tu vas découvrir juste après.

Définition

Soit aa un nombre non nul et nn un entier supérieur ou égal à 11. On pose :

a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}

Élever un nombre à une puissance négative, c'est prendre l'inverse de la puissance positive correspondante.

Exemple — calculer une puissance négative
  1. 2−3=1232^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}}
  2. ==18\dfrac{1}{8}
  3. ==0,1250{,}125
  4. 10−2=1102=110010^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = \dfrac{1}{100}
  5. ==0,010{,}01
Attention

Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif ! 2−3=0,1252^{-3} = 0{,}125 est un nombre positif, simplement petit. Le signe « −- » de l'exposant signifie « inverse », pas « nombre négatif ». Et aa doit être non nul : 0−20^{-2} n'existe pas, car cela reviendrait à diviser par 00.

2.1  Passer d'une écriture à l'autre

Méthode — reconnaître une puissance négative dans une fraction

Quand le dénominateur d'une fraction est une puissance, on peut la réécrire comme une puissance négative, et inversement. Cela évite d'écrire de longues fractions décimales.

Exemple — deux écritures d'un même nombre
  1. 125=152=5−2\dfrac{1}{25} = \dfrac{1}{5^{2}} = 5^{-2}
  2. 0,001=11 000=1103=10−30{,}001 = \dfrac{1}{1\,000} = \dfrac{1}{10^{3}} = 10^{-3}
  3. 7−1=171=177^{-1} = \dfrac{1}{7^{1}} = \dfrac{1}{7}exposant −1-1 : l'inverse tout simplement

2.2  Puissance négative d'une fraction

Propriété

Pour a≠0a \neq 0 et b≠0b \neq 0 :

(ab)−n=(ba)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}

Élever une fraction à une puissance négative revient à retourner la fraction puis à élever à la puissance positive.

Exemple — inverser une fraction
  1. (23)−2=(32)2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}
  2. ==94\dfrac{9}{4}
  3. ==2,252{,}25

Retiens bien l'idée générale : plus l'exposant est grand et positif, plus la puissance est grande ; plus l'exposant est grand et négatif, plus la puissance est petite (proche de 00) — sans jamais devenir négative si la base est positive. C'est cette idée qui va nous servir tout au long du chapitre, notamment avec les puissances de 1010.

3Règles de calcul

Voici les cinq règles qui te permettent de calculer directement sur les exposants, sans jamais revenir à l'écriture en produit de facteurs. Elles fonctionnent pour des exposants positifs, négatifs, ou nuls.

Propriété — les cinq règles des puissances

Pour aa et bb non nuls, mm et nn entiers relatifs :

  • Produit de même base : am×an=am+na^{m} \times a^{n} = a^{m+n}
  • Quotient de même base : aman=am−n\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}
  • Puissance d'une puissance : (am)n=am×n\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}
  • Puissance d'un produit : (a×b)n=an×bn(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}
  • Puissance d'un quotient : (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}
Démonstration — les deux premières règles, vérifiées sur un exemple

Vérifions la règle du produit avec a=2a = 2, m=3m = 3, n=2n = 2 en revenant à la définition :

  1. 23×22=(2×2×2)×(2×2)2^{3} \times 2^{2} = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2)
  2. ==2×2×2×2×2⏟5 facteurs\underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}_{5 \text{ facteurs}}
  3. ==25=23+22^{5} = 2^{3+2}

Le nombre total de facteurs est bien la somme des deux exposants : 33 facteurs, puis encore 22 facteurs, cela fait 3+2=53+2=5 facteurs en tout. C'est vrai pour tous les exposants, y compris négatifs, car la définition a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}} a justement été choisie pour prolonger cette règle.

Vérifions la règle de la puissance de puissance avec a=3a=3, m=2m=2, n=3n=3 :

  1. (32)3=32×32×32\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2}
  2. ==32+2+23^{2+2+2}règle du produit, trois fois
  3. ==36=32×33^{6} = 3^{2 \times 3}
Attention — les erreurs les plus fréquentes
  • am×an≠am×na^{m} \times a^{n} \neq a^{m \times n} : le produit de deux puissances additionne les exposants, il ne les multiplie pas ! (am×na^{m \times n}, c'est (am)n\left(a^{m}\right)^{n}.)
  • am+an≠am+na^{m} + a^{n} \neq a^{m+n} : il n'existe aucune règle pour l'addition de deux puissances de même base : 22+23=4+8=122^{2} + 2^{3} = 4 + 8 = 12, alors que 22+3=25=322^{2+3} = 2^{5} = 32.
  • (a+b)n≠an+bn(a+b)^{n} \neq a^{n} + b^{n} : les règles ne concernent que les produits et les quotients, jamais les sommes.

3.1  Appliquer les cinq règles

Exemple — un calcul pour chaque règle
  1. 53×54=53+4=575^{3} \times 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}
  2. 7672=76−2=74\dfrac{7^{6}}{7^{2}} = 7^{6-2} = 7^{4}
  3. (42)3=42×3=46\left(4^{2}\right)^{3} = 4^{2 \times 3} = 4^{6}
  4. (2×5)3=23×53=8×125=1 000(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3} = 8 \times 125 = 1\,000
  5. (63)2=6232=369=4\left(\dfrac{6}{3}\right)^{2} = \dfrac{6^{2}}{3^{2}} = \dfrac{36}{9} = 4
Exemple — mélanger exposants positifs et négatifs
  1. 35×3−2=35+(−2)3^{5} \times 3^{-2} = 3^{5+(-2)}
  2. ==33=273^{3} = 27
  3. 2225=22−5\dfrac{2^{2}}{2^{5}} = 2^{2-5}
  4. ==2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}
  5. (5−2)3=5−2×3\left(5^{-2}\right)^{3} = 5^{-2 \times 3}
  6. ==5−65^{-6}

3.2  Simplifier une expression avec puissances

Méthode — simplifier un produit ou un quotient de puissances

1. Repère les bases identiques et regroupe-les. 2. Applique la règle qui correspond à l'opération (produit, quotient, puissance de puissance). 3. Termine, si possible, par un calcul numérique.

Exemple — simplifier A=24×2325A = \dfrac{2^{4} \times 2^{3}}{2^{5}}
  1. A=24+325A = \dfrac{2^{4+3}}{2^{5}}règle du produit au numérateur
  2. ==2725\dfrac{2^{7}}{2^{5}}
  3. ==27−52^{7-5}règle du quotient
  4. ==22=42^{2} = 4

4Puissances de 10

Les puissances de 1010 sont partout dans les sciences : elles permettent de compter les zéros sans se tromper, et de comparer d'un coup d'œil des grandeurs très différentes.

Propriété

Pour tout entier n⩾1n \geqslant 1 :

  • 10n10^{n} s'écrit 11 suivi de nn zéros.
  • 10−n=110n10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}} s'écrit 0,0{,} suivi de (n−1)(n-1) zéros puis d'un 11.
Puissance10−310^{-3}10−210^{-2}10−110^{-1}10010^{0}10110^{1}10210^{2}10310^{3}10610^{6}
Valeur0,0010{,}0010,010{,}010,10{,}11110101001001 0001\,0001 000 0001\,000\,000
Méthode — multiplier ou diviser par une puissance de 10

Multiplier par 10n10^{n} (n>0n>0) : on déplace la virgule de nn rangs vers la droite. Diviser par 10n10^{n} (ou multiplier par 10−n10^{-n}) : on déplace la virgule de nn rangs vers la gauche.

Exemple — déplacer la virgule
  1. 4,7×103=4 7004{,}7 \times 10^{3} = 4\,700virgule décalée de 3 rangs à droite
  2. 4,7×10−2=0,0474{,}7 \times 10^{-2} = 0{,}047virgule décalée de 2 rangs à gauche
  3. 6 300÷104=0,636\,300 \div 10^{4} = 0{,}63
L'échelle des puissances de 10 10⁻³0,001 10⁻²0,01 10⁻¹0,1 10⁰1 10¹10 10²100 10³1 000 10⁴10 000 10⁵100 000 10⁶1 000 000 Chaque pas vers la droite multiplie par 10 ; chaque pas vers la gauche divise par 10.
Figure 2 — Sur cette échelle, chaque graduation correspond à un facteur 1010 : l'exposant compte simplement le nombre de pas depuis 100=110^{0}=1.

4.1  Les préfixes du système international

En sciences, on associe souvent une puissance de 1010 à un préfixe placé devant une unité, pour éviter d'écrire trop de zéros (kilomètre, millimètre, mégaoctet…).

PréfixeSymbolePuissanceExemple d'usage
gigaG10910^{9}1 Go = 10910^{9} octets
mégaM10610^{6}1 MW = 10610^{6} watts
kilok10310^{3}1 km = 10310^{3} m
hectoh10210^{2}1 hL = 10210^{2} L
década10110^{1}1 dam = 10110^{1} m
décid10−110^{-1}1 dL = 10−110^{-1} L
centic10−210^{-2}1 cm = 10−210^{-2} m
millim10−310^{-3}1 mL = 10−310^{-3} L
microμ10−610^{-6}1 μm = 10−610^{-6} m
nanon10−910^{-9}1 ns = 10−910^{-9} s
Math & Co — Descartes invente l'exposant

Avant le XVIIᵉ siècle, les mathématiciens écrivaient a3a^{3} sous la forme « aaa » ou « a cubus » : répéter la lettre était le seul moyen d'indiquer une puissance. En 16371637, dans son livre La Géométrie, le mathématicien et philosophe français René Descartes (1596–1650) introduit la notation moderne : le petit chiffre placé en exposant, comme dans a2a^{2}, a3a^{3}, a4a^{4}…

Cette simple invention notationnelle a eu un effet immense : elle a rendu les calculs sur les puissances beaucoup plus lisibles et a ouvert la voie, un siècle plus tard, aux exposants négatifs et même fractionnaires, utilisés systématiquement par le mathématicien suisse Leonhard Euler dans ses travaux du milieu du XVIIIᵉ siècle.

Exemple — calculer avec des puissances de 10
  1. 105×10−3=105+(−3)10^{5} \times 10^{-3} = 10^{5+(-3)}
  2. ==102=10010^{2} = 100
  3. (102)4=102×4\left(10^{2}\right)^{4} = 10^{2 \times 4}
  4. ==10810^{8}

5Notation scientifique

Comparer 458 000458\,000 et 0,000720{,}00072 à l'œil nu n'est pas facile : il faut compter les zéros un par un. La notation scientifique range chaque nombre dans un même « format », pour que sa taille saute aux yeux immédiatement.

Définition

La notation scientifique d'un nombre décimal positif est son écriture sous la forme :

a×10na \times 10^{n}

où aa est un nombre décimal tel que 1⩽a<101 \leqslant a < 10 (la mantisse), et nn est un entier relatif (l'exposant). Cette écriture est unique pour chaque nombre.

Méthode — écrire un nombre en notation scientifique

On déplace la virgule pour obtenir un seul chiffre non nul avant elle (la mantisse aa), et l'exposant nn compte le nombre de rangs parcourus : positif si le nombre de départ est grand (virgule déplacée vers la gauche), négatif s'il est petit (virgule déplacée vers la droite).

Exemple — un grand nombre et un petit nombre
  1. 458 000=4,58×100 000458\,000 = 4{,}58 \times 100\,000
  2. ==4,58×1054{,}58 \times 10^{5}virgule décalée de 5 rangs vers la gauche
  3. 0,00072=7,2×0,00010{,}00072 = 7{,}2 \times 0{,}0001
  4. ==7,2×10−47{,}2 \times 10^{-4}virgule décalée de 4 rangs vers la droite
Anatomie d'une notation scientifique 458 000 = 4,58 × 105 mantisse : 1 ⩽ a < 10 exposant : 5 rangs vers la gauche 458 000 → 4,58 × 10⁵ (virgule reculée de 5 rangs) 0,000 72 → 7,2 × 10⁻⁴ (virgule avancée de 4 rangs)
Figure 3 — La mantisse aa est toujours comprise entre 11 et 1010 ; l'exposant nn compte les rangs parcourus par la virgule, avec son signe.

5.1  Comparer des nombres en notation scientifique

Méthode — comparer deux nombres écrits en notation scientifique

1. On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant l'emporte. 2. Si les exposants sont égaux, on compare alors les mantisses.

Exemple — ranger trois nombres

Comparons A=3,1×108A = 3{,}1 \times 10^{8}, B=9,6×107B = 9{,}6 \times 10^{7} et C=3,9×108C = 3{,}9 \times 10^{8}.

  1. BB a l'exposant le plus petit (7<87 < 8)donc BB est le plus petit des trois
  2. AA et CC ont le même exposant 88
  3. 3,1<3,93{,}1 < 3{,}9on compare les mantisses
  4. ⇒\RightarrowB<A<CB < A < C

5.2  Calculer en notation scientifique

Pour multiplier ou diviser deux nombres en notation scientifique, on regroupe les mantisses ensemble et les puissances de 1010 ensemble, en utilisant les règles de la section 3. Il faut parfois renormaliser le résultat si la mantisse obtenue n'est plus comprise entre 11 et 1010.

Exemple — un produit qu'il faut renormaliser

Calculons (8×105)×(5×103)\left(8 \times 10^{5}\right) \times \left(5 \times 10^{3}\right).

  1. (8×5)×(105×103)(8 \times 5) \times \left(10^{5} \times 10^{3}\right)
  2. ==40×10840 \times 10^{8}
  3. 40=4×1040 = 4 \times 1040 n'est pas une mantisse valide (il n'est pas < 10)
  4. ==4×101×1084 \times 10^{1} \times 10^{8}
  5. ==4×1094 \times 10^{9}
Attention

Une notation scientifique correcte a toujours une mantisse aa telle que 1⩽a<101 \leqslant a < 10. 40×10840 \times 10^{8} n'est pas une notation scientifique valide, même si le nombre est juste : il faut le réécrire en 4×1094 \times 10^{9}.

Math & Co — Archimède compte les grains de sable

Vers −250-250, le savant grec Archimède de Syracuse rédige un texte étonnant, L'Arénaire (« Le Compteur de sable »), pour répondre à une question qui semblait absurde : combien de grains de sable faudrait-il pour remplir tout l'Univers ? Les Grecs de son époque n'avaient pas de mot pour des nombres aussi immenses — leur système s'arrêtait à la « myriade de myriades » (10810^{8}).

Archimède invente alors un système pour nommer des puissances de 1010 de plus en plus grandes, et obtient une estimation d'environ 106310^{63} grains de sable. Ce texte est considéré comme l'un des tout premiers exemples d'utilisation systématique des puissances de 1010 pour exprimer des quantités gigantesques — l'ancêtre direct de notre notation scientifique.

6Ordres de grandeur

Faut-il retenir tous les chiffres d'une distance ou d'une population pour se faire une idée de sa taille ? Pas toujours : souvent, une seule puissance de 1010 suffit à donner le bon ordre d'idée. C'est le rôle de l'ordre de grandeur.

Définition

L'ordre de grandeur d'un nombre positif est la puissance de 1010 la plus proche de ce nombre. Pour le déterminer, on écrit le nombre en notation scientifique a×10na \times 10^{n} :

  • si a<5a < 5, l'ordre de grandeur est 10n10^{n} ;
  • si a⩾5a \geqslant 5, l'ordre de grandeur est 10n+110^{n+1}.
Exemple — deux ordres de grandeur
  1. population mondiale ≈8,1×109\approx 8{,}1 \times 10^{9} habitants
  2. ⇒\Rightarrowordre de grandeur : 101010^{10}car 8,1⩾58{,}1 \geqslant 5
  3. distance Terre–Lune ≈3,84×108\approx 3{,}84 \times 10^{8} m
  4. ⇒\Rightarrowordre de grandeur : 10810^{8}car 3,84<53{,}84 < 5

6.1  Comparer deux grandeurs très différentes

Méthode — « combien de fois plus » ?

Pour savoir combien de fois une grandeur est plus grande qu'une autre, on divise les deux nombres, en appliquant les règles de calcul sur les puissances de 1010.

Exemple — comparer un cheveu et une bactérie

Un cheveu mesure environ 7×10−57 \times 10^{-5} m de diamètre ; une bactérie mesure environ 2×10−62 \times 10^{-6} m.

  1. 7×10−52×10−6=72×10−5−(−6)\dfrac{7 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-6}} = \dfrac{7}{2} \times 10^{-5-(-6)}
  2. ==3,5×1013{,}5 \times 10^{1}
  3. ==3535

Un cheveu est environ 3535 fois plus large qu'une bactérie.

De l'infiniment petit à l'infiniment grand (tailles en mètres) ← plus petit plus grand → 10⁻⁸ 10⁻⁴ 10⁰ 10⁴ 10⁸ 10¹² 10¹⁶ 10²⁰ Virus 10⁻⁷ m Cheveu 10⁻⁴ m Fourmi 10⁻² m Être humain 10⁰ m Tour Eiffel 10² m Diamètre Terre 10⁷ m Terre–Soleil 10¹¹ m Galaxie 10²¹ m
Figure 4 — Du virus à la galaxie, chaque objet est placé selon l'ordre de grandeur de sa taille en mètres, sur une échelle où chaque graduation représente un facteur 1010.
Attention

Ne confonds pas ordre de grandeur (toujours une puissance de 1010, comme 10910^{9}) et valeur arrondie (qui peut garder plusieurs chiffres, comme 8×1098 \times 10^{9}). L'ordre de grandeur est une estimation « au pas de 10 », volontairement grossière, pour comparer très vite deux quantités.

Fiche mémo

  • an=a×a×⋯×aa^{n} = a \times a \times \cdots \times a (nn facteurs) ; a0=1a^{0}=1 (a≠0a \neq 0) ; a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}} (a≠0a \neq 0).
  • Sans parenthèses, l'exposant ne porte pas sur le signe : −32=−9-3^{2} = -9 mais (−3)2=9(-3)^{2} = 9.
  • Produit : am×an=am+na^{m} \times a^{n} = a^{m+n} — on additionne les exposants.
  • Quotient : aman=am−n\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} — on soustrait les exposants.
  • Puissance de puissance : (am)n=am×n\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n} — on multiplie les exposants.
  • Puissance d'un produit / quotient : (ab)n=anbn(ab)^{n}=a^{n}b^{n} ; (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}.
  • Aucune règle pour am+ana^{m}+a^{n} ni pour (a+b)n(a+b)^{n} : ces expressions ne se simplifient pas ainsi.
  • 10n10^{n} : 11 suivi de nn zéros ; 10−n=110n10^{-n} = \dfrac{1}{10^{n}}.
  • Notation scientifique : a×10na \times 10^{n} avec 1⩽a<101 \leqslant a < 10 et nn entier relatif — écriture unique.
  • Comparer deux notations scientifiques : d'abord les exposants, puis les mantisses si égalité.
  • Après un calcul, renormaliser si la mantisse obtenue sort de l'intervalle [1 ; 10[[1\,;\,10[.
  • Ordre de grandeur de a×10na \times 10^{n} : 10n10^{n} si a<5a<5, sinon 10n+110^{n+1}.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Calcule sans calculatrice : 252^{5} ; (−3)3(-3)^{3} ; 505^{0} ; 171^{7} ; 040^{4}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 25=2×2×2×2×2=322^{5} = 2\times2\times2\times2\times2 = 32
  2. (−3)3=(−3)×(−3)×(−3)=−27(-3)^{3} = (-3)\times(-3)\times(-3) = -27
  3. 50=15^{0} = 1tout nombre non nul à la puissance 0
  4. 17=11^{7} = 1
  5. 04=00^{4} = 0
2

Calcule et compare : −42-4^{2} et (−4)2(-4)^{2} ; puis −23-2^{3} et (−2)3(-2)^{3}.

Voir le corrigé détaillé
  1. −42=−(42)=−16-4^{2} = -\left(4^{2}\right) = -16
  2. (−4)2=(−4)×(−4)=16(-4)^{2} = (-4)\times(-4) = 16
  3. −23=−(23)=−8-2^{3} = -\left(2^{3}\right) = -8
  4. (−2)3=(−2)×(−2)×(−2)=−8(-2)^{3} = (-2)\times(-2)\times(-2) = -8

Les deux premiers résultats diffèrent (−16≠16-16 \neq 16) car l'exposant ne porte pas sur le signe sans parenthèses. Les deux derniers sont égaux par coïncidence : l'exposant 33 est impair, donc (−2)3(-2)^{3} est déjà négatif.

3

Calcule et donne le résultat sous forme décimale : 3−23^{-2} ; 10−410^{-4} ; 5−15^{-1} ; (23)−2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 3−2=132=193^{-2} = \dfrac{1}{3^{2}} = \dfrac{1}{9}
  2. ==0,111…0{,}111\ldots
  3. 10−4=110 000=0,000110^{-4} = \dfrac{1}{10\,000} = 0{,}0001
  4. 5−1=15=0,25^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2
  5. (23)−2=(32)2=94\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}
  6. ==2,252{,}25
4

Écris chaque nombre sous la forme d'une puissance : 116\dfrac{1}{16} (puissance de 22) ; 0,00010{,}0001 (puissance de 1010) ; 4949 (puissance de 77).

Voir le corrigé détaillé
  1. 16=2416 = 2^{4}
  2. ⇒\Rightarrow116=2−4\dfrac{1}{16} = 2^{-4}
  3. 0,0001=110 000=11040{,}0001 = \dfrac{1}{10\,000} = \dfrac{1}{10^{4}}
  4. ==10−410^{-4}
  5. 49=7249 = 7^{2}
5

Écris en notation scientifique : 3 400 0003\,400\,000 ; 0,0000560{,}000056 ; 72 00072\,000.

Voir le corrigé détaillé
  1. 3 400 000=3,4×1 000 0003\,400\,000 = 3{,}4 \times 1\,000\,000
  2. ==3,4×1063{,}4 \times 10^{6}
  3. 0,000056=5,6×0,000010{,}000056 = 5{,}6 \times 0{,}00001
  4. ==5,6×10−55{,}6 \times 10^{-5}
  5. 72 000=7,2×10 00072\,000 = 7{,}2 \times 10\,000
  6. ==7,2×1047{,}2 \times 10^{4}
Niveau 2 — Approfondissement
6

Simplifie, en donnant le résultat sous forme d'une seule puissance : 73×757^{3} \times 7^{5} ; 9893\dfrac{9^{8}}{9^{3}} ; (23)4\left(2^{3}\right)^{4} ; (3×5)2(3 \times 5)^{2}.

Voir le corrigé détaillé
  1. 73×75=73+5=787^{3} \times 7^{5} = 7^{3+5} = 7^{8}
  2. 9893=98−3=95\dfrac{9^{8}}{9^{3}} = 9^{8-3} = 9^{5}
  3. (23)4=23×4=212\left(2^{3}\right)^{4} = 2^{3 \times 4} = 2^{12}
  4. (3×5)2=32×52=9×25=225(3\times5)^{2} = 3^{2}\times5^{2} = 9\times25 = 225
7

Simplifie A=23×2524A = \dfrac{2^{3}\times2^{5}}{2^{4}} et B=(32)3×3−4B = \left(3^{2}\right)^{3}\times3^{-4}, puis donne leur valeur numérique.

Voir le corrigé détaillé
  1. A=23+524=2824A = \dfrac{2^{3+5}}{2^{4}} = \dfrac{2^{8}}{2^{4}}
  2. ==28−4=24=162^{8-4} = 2^{4} = 16
  3. B=32×3×3−4=36×3−4B = 3^{2\times3}\times3^{-4} = 3^{6}\times3^{-4}
  4. ==36+(−4)=32=93^{6+(-4)} = 3^{2} = 9
8

Range dans l'ordre croissant : P=6,2×105P = 6{,}2\times10^{5} ; Q=40×104Q = 40\times10^{4} ; R=5,9×105R = 5{,}9\times10^{5}.

Voir le corrigé détaillé

QQ n'est pas en notation scientifique correcte : on la renormalise d'abord.

  1. Q=40×104=4×101×104Q = 40\times10^{4} = 4\times10^{1}\times10^{4}
  2. ==4×1054\times10^{5}
  3. P, Q, RP,\ Q,\ R ont désormais le même exposant 55
  4. 4<5,9<6,24 < 5{,}9 < 6{,}2on compare les mantisses
  5. ⇒\RightarrowQ<R<PQ < R < P
9

Calcule et donne le résultat en notation scientifique : (6×107)×(5×10−3)\left(6\times10^{7}\right)\times\left(5\times10^{-3}\right) ; puis 9×10−23×105\dfrac{9\times10^{-2}}{3\times10^{5}}. Donne aussi l'ordre de grandeur de chaque résultat.

Voir le corrigé détaillé
  1. (6×5)×(107×10−3)=30×104(6\times5)\times\left(10^{7}\times10^{-3}\right) = 30\times10^{4}
  2. ==3×101×104=3×1053\times10^{1}\times10^{4} = 3\times10^{5}ordre de grandeur : 10510^{5} (car 3<53<5)
  3. 93×10−2−5=3×10−7\dfrac{9}{3}\times10^{-2-5} = 3\times10^{-7}ordre de grandeur : 10−710^{-7}
Niveau 3 — Défi
10

On pose N=27×2−3(23)2N = \dfrac{2^{7}\times2^{-3}}{\left(2^{3}\right)^{2}}.

  1. Simplifie le numérateur 27×2−32^{7}\times2^{-3}.
  2. Simplifie le dénominateur (23)2\left(2^{3}\right)^{2}.
  3. Déduis-en NN sous la forme 2k2^{k}, puis sous forme décimale.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 27×2−3=27+(−3)2^{7}\times2^{-3} = 2^{7+(-3)}
  2. ==242^{4}

2.

  1. (23)2=23×2\left(2^{3}\right)^{2} = 2^{3\times2}
  2. ==262^{6}

3.

  1. N=2426=24−6N = \dfrac{2^{4}}{2^{6}} = 2^{4-6}
  2. ==2−22^{-2}
  3. ==14=0,25\dfrac{1}{4} = 0{,}25
11

On donne A=2,4×1012A = 2{,}4\times10^{12} et B=800×109B = 800\times10^{9}.

  1. Écris BB en notation scientifique correcte.
  2. Compare AA et BB.
  3. Calcule le quotient AB\dfrac{A}{B} et donne sa signification concrète.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. B=800×109=8×102×109B = 800\times10^{9} = 8\times10^{2}\times10^{9}
  2. ==8×10118\times10^{11}

2. AA a l'exposant 1212, BB a l'exposant 1111 : comme 12>1112 > 11, on a A>BA > B.

3.

  1. AB=2,48×1012−11\dfrac{A}{B} = \dfrac{2{,}4}{8}\times10^{12-11}
  2. ==0,3×1010{,}3\times10^{1}
  3. ==3×100=33\times10^{0} = 3

Le nombre AA est exactement 33 fois plus grand que BB.

12

La lumière voyage à c=3×108c = 3\times10^{8} m/s. La distance Terre–Soleil vaut d1=1,5×1011d_{1} = 1{,}5\times10^{11} m, et la distance jusqu'à l'étoile Proxima du Centaure vaut environ d2=4×1016d_{2} = 4\times10^{16} m (on donne 11 an ≈3,15×107\approx 3{,}15\times10^{7} s).

  1. Calcule le temps t1t_{1} (en secondes) mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre, puis convertis-le en minutes.
  2. Calcule le temps t2t_{2} (en secondes) mis par la lumière de Proxima pour atteindre la Terre.
  3. Convertis t2t_{2} en années et donne un ordre de grandeur du résultat.
Voir le corrigé détaillé

1. Le temps est le quotient de la distance par la vitesse.

  1. t1=d1c=1,5×10113×108t_{1} = \dfrac{d_{1}}{c} = \dfrac{1{,}5\times10^{11}}{3\times10^{8}}
  2. ==0,5×103=5×1020{,}5\times10^{3} = 5\times10^{2}
  3. ==500500 s
  4. 500÷60≈8,3500 \div 60 \approx 8{,}3 min

2.

  1. t2=4×10163×108=43×1016−8t_{2} = \dfrac{4\times10^{16}}{3\times10^{8}} = \dfrac{4}{3}\times10^{16-8}
  2. ≈\approx1,33×1081{,}33\times10^{8} s

3.

  1. t21 an≈1,33×1083,15×107\dfrac{t_{2}}{1\text{ an}} \approx \dfrac{1{,}33\times10^{8}}{3{,}15\times10^{7}}
  2. ≈\approx4,24{,}2 ans

Comme 4,2<54{,}2 < 5, l'ordre de grandeur est 10010^{0} an : la lumière de Proxima met de l'ordre de quelques années à nous parvenir — c'est déjà l'étoile la plus proche du Soleil !

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Le riz du Sénégal (Dakar). Le Sénégal compte environ 1,8×1071{,}8\times10^{7} habitants. Au marché de Sandaga, à Dakar, un sac de riz de 5050 kg coûte 22 50022\,500 F CFA.

  1. Si chaque habitant consommait en moyenne un sac de riz par an, calcule la masse totale de riz consommée en une année (en kg, en notation scientifique).
  2. Calcule le coût total correspondant, en F CFA, en notation scientifique, puis donne son ordre de grandeur.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. masse =1,8×107×50= 1{,}8\times10^{7} \times 50
  2. ==1,8×5×101×1071{,}8\times5\times10^{1}\times10^{7}
  3. ==9×1089\times10^{8} kg

2. On écrit d'abord le prix en notation scientifique : 22 500=2,25×10422\,500 = 2{,}25\times10^{4} F CFA.

  1. coût =1,8×107×2,25×104= 1{,}8\times10^{7} \times 2{,}25\times10^{4}
  2. ==(1,8×2,25)×107+4(1{,}8\times2{,}25)\times10^{7+4}
  3. ==4,05×10114{,}05\times10^{11} F CFA

Comme 4,05<54{,}05 < 5, l'ordre de grandeur du coût total est 101110^{11} F CFA, soit une centaine de milliards de francs.

14

Le cybercafé de Ndjamena. Dans un cybercafé de Ndjamena, une clé USB de capacité 6,4×10106{,}4\times10^{10} octets (6464 Go) coûte 8 0008\,000 F CFA. Une photo occupe environ 4×1064\times10^{6} octets.

  1. Calcule le nombre de photos que peut contenir une clé, en notation scientifique puis en écriture décimale.
  2. Le gérant vend l'enregistrement à 500500 F CFA le millier de photos stockées. S'il remplit entièrement 1010 clés identiques, quelle recette totale obtient-il, en F CFA ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. nombre de photos =6,4×10104×106= \dfrac{6{,}4\times10^{10}}{4\times10^{6}}
  2. ==6,44×1010−6\dfrac{6{,}4}{4}\times10^{10-6}
  3. ==1,6×1041{,}6\times10^{4}
  4. ==16 00016\,000 photos

2.

  1. pour 1010 clés : 10×16 000=160 00010\times16\,000 = 160\,000 photos
  2. nombre de milliers : 160 000÷1 000=160160\,000 \div 1\,000 = 160
  3. recette =160×500= 160\times500
  4. ==80 00080\,000 F CFA
15

Le bassin de Bamako. Un bassin de rétention d'eau, près de Bamako, contient environ 2,5×1062{,}5\times10^{6} litres. Une calebasse contient environ 55 litres, et l'eau destinée à l'irrigation coûte 33 F CFA le litre.

  1. Combien de calebasses faudrait-il pour vider entièrement le bassin ? Donne le résultat en notation scientifique.
  2. Calcule le coût total de l'eau du bassin, en F CFA, en notation scientifique, puis donne son ordre de grandeur.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. nombre de calebasses =2,5×1065= \dfrac{2{,}5\times10^{6}}{5}
  2. ==0,5×1060{,}5\times10^{6}
  3. ==5×1055\times10^{5}on renormalise : 0,50{,}5 n'est pas une mantisse valide

2.

  1. coût =2,5×106×3= 2{,}5\times10^{6} \times 3
  2. ==7,5×1067{,}5\times10^{6} F CFA

Comme 7,5⩾57{,}5 \geqslant 5, l'ordre de grandeur du coût est 10710^{7} F CFA, soit une dizaine de millions de francs.

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Que signifie l'écriture a4a^{4} ?

Explication : Par définition, ana^{n} est le produit de nn facteurs tous égaux à aa. Ici, a4=a×a×a×aa^{4} = a \times a \times a \times a (4 facteurs).

Dans l'écriture 959^{5}, comment appelle-t-on le nombre 99 ?

Explication : Dans ana^{n}, le nombre aa s'appelle la base et le nombre nn s'appelle l'exposant. Ici, la base est 99 et l'exposant est 55.

Pour a≠0a \neq 0, que vaut a0a^{0} ?

Explication : Par convention, tout nombre non nul élevé à la puissance 00 vaut 11. Par exemple, 90=19^{0} = 1.

aa est un nombre négatif et nn est un nombre pair. Quel est le signe de ana^{n} ?

Explication : Avec un exposant pair, les facteurs négatifs s'annulent deux par deux : le résultat est toujours positif. Par exemple, (−2)4=16(-2)^{4} = 16.

aa est un nombre négatif et nn est un nombre impair. Quel est le signe de ana^{n} ?

Explication : Avec un exposant impair, il reste un facteur négatif « non annulé » : le résultat garde le signe négatif. Par exemple, (−2)3=−8(-2)^{3} = -8.

Que vaut −42-4^{2} ?

Explication : Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le 44, pas sur le signe « - ».
−42=−(42)-4^{2} = -\left(4^{2}\right)
=−16= -16

Que vaut (−4)2(-4)^{2} ?

Explication : Ici, les parenthèses incluent le signe.
(−4)2=(−4)×(−4)(-4)^{2} = (-4) \times (-4)
=16= 16

Comment définit-on a−na^{-n}, pour a≠0a \neq 0 et nn entier positif ?

Explication : Élever un nombre à une puissance négative, c'est prendre l'inverse de la puissance positive correspondante : a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}.

Que vaut 2−32^{-3} ?

Explication : 2−3=1232^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}}
=18= \dfrac{1}{8}

Parmi ces affirmations sur 3−23^{-2}, laquelle est vraie ?

Explication : Le signe « - » de l'exposant signifie « inverse », pas « nombre négatif ». 3−2=193^{-2} = \dfrac{1}{9} est bien un nombre positif, simplement petit.

Que vaut 252^{5} (calcul mental) ?

Explication : 25=2×2×2×2×22^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2
=32= 32

Que vaut (−2)3(-2)^{3} ?

Explication : (−2)3=(−2)×(−2)×(−2)(-2)^{3} = (-2) \times (-2) \times (-2)
=4×(−2)= 4 \times (-2)
=−8= -8

Quelle règle permet de simplifier am×ana^{m} \times a^{n} (même base aa) ?

Explication : Pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants.

Que vaut 53×525^{3} \times 5^{2} ?

Explication : On additionne les exposants (même base 5).
53×52=53+25^{3} \times 5^{2} = 5^{3+2}
=55= 5^{5}

Que vaut 7672\dfrac{7^{6}}{7^{2}} ?

Explication : Pour un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants.
7672=76−2\dfrac{7^{6}}{7^{2}} = 7^{6-2}
=74= 7^{4}

Que vaut (32)3\left(3^{2}\right)^{3} ?

Explication : Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants.
(32)3=32×3\left(3^{2}\right)^{3} = 3^{2 \times 3}
=36= 3^{6}

Que vaut (2×5)3(2 \times 5)^{3} ?

Explication : On applique la puissance à chaque facteur.
(2×5)3=23×53(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}
=8×125= 8 \times 125
=1 000= 1\,000

Laquelle de ces égalités est FAUSSE ?

Explication : Il n'existe aucune règle pour additionner deux puissances de même base.
Exemple : 22+23=4+8=122^{2} + 2^{3} = 4 + 8 = 12
alors que 22+3=25=322^{2+3} = 2^{5} = 32
Les deux résultats sont différents : l'égalité b est fausse.

Que vaut 10410^{4} ?

Explication : 10n10^{n} s'écrit 11 suivi de nn zéros.
10410^{4} : 11 suivi de 4 zéros
=10 000= 10\,000

Un marché de Kaolack vend chaque jour environ 3 2003\,200 kg de mangues. Écris ce nombre en notation scientifique.

Explication : La notation scientifique s'écrit a×10na \times 10^{n} avec 1⩽a<101 \leqslant a < 10.
3 200=3,2×1 0003\,200 = 3{,}2 \times 1\,000
=3,2×103= 3{,}2 \times 10^{3}
Dans les réponses a et b, la mantisse n'est pas comprise entre 1 et 10 : ce ne sont pas des écritures scientifiques valides.
Chapitre suivant →Calcul avec les nombres relatifs en écriture fractionnaire
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