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Proportionnalité : applications

Réinvestir la proportionnalité dans les pourcentages, les vitesses et les grandeurs composées.

Mathématiques 4ème Chapitre 5 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité
  • Enchaîner deux pourcentages
  • Calculer avec des grandeurs composées

Depuis la 5ème, tu sais reconnaître un tableau proportionnel et calculer avec un coefficient. Ce chapitre te donne des outils plus puissants pour aller plus loin : trouver une valeur manquante grâce au produit en croix, enchaîner plusieurs pourcentages sans te tromper, calculer avec des grandeurs « doubles » comme la vitesse ou la densité, et reconnaître une situation de proportionnalité rien qu'en regardant un graphique.

Ces notions sont partout : sur l'étiquette d'un article soldé au marché, sur le compteur d'un car qui roule de Dakar à Thiès, sur une carte routière, dans une recette de cuisine à multiplier pour vingt invités. Elles reviennent aussi chaque année au brevet, presque toujours cachées dans un problème de vie courante.

Une nouveauté importante t'attend : en 5ème, tu appliquais un seul pourcentage. Ici, tu vas devoir en enchaîner deux — et découvrir qu'on ne les additionne jamais directement. Tu vas aussi apprendre qu'une droite ne suffit pas à prouver la proportionnalité : elle doit en plus passer par l'origine. Garde ce réflexe en tête à chaque exercice : dès que deux grandeurs varient ensemble, la première question à se poser est « est-ce vraiment proportionnel ? ».

1Quatrième proportionnelle

Reprenons les bases avec un vocabulaire précis, que tu dois maîtriser parfaitement avant d'aller plus loin.

1.1  Tableau de proportionnalité et coefficient

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe des valeurs de la première aux valeurs de la seconde en multipliant toujours par le même nombre kk, appelé coefficient de proportionnalité. Un tableau qui présente ces deux grandeurs est un tableau de proportionnalité.

Méthode — reconnaître un tableau de proportionnalité

On calcule, pour chaque colonne, le quotient (valeur du bas) ÷ (valeur du haut). Si tous les quotients obtenus sont égaux, le tableau est proportionnel et ce quotient commun est le coefficient kk. Si un seul quotient diffère des autres, le tableau n'est pas proportionnel.

Exemple — un marché de mangues à Bamako

Au marché, la masse de mangues achetée et le prix payé sont donnés dans ce tableau.

Masse (kg)225588
Prix (FCFA)9009002 2502\,2503 6003\,600
  1. 900÷2=450900 \div 2 = 450
  2. 2 250÷5=4502\,250 \div 5 = 450
  3. 3 600÷8=4503\,600 \div 8 = 450
  4. ⇒\Rightarrowles trois quotients sont égauxle tableau est proportionnel, de coefficient k=450k = 450

1.2  La quatrième proportionnelle : le produit en croix

Définition

Dans un tableau de proportionnalité à deux lignes et deux colonnes, si l'on connaît trois des quatre valeurs, la quatrième proportionnelle est la valeur manquante xx qui rend le tableau proportionnel.

Reprenons le marché aux mangues : on connaît le prix de 55 kg, et l'on veut le prix de 1212 kg, sans repasser par le coefficient 450450 si l'on ne veut pas le calculer.

Masse (kg)551212
Prix (FCFA)2 2502\,250xx
Trouver x par deux méthodes équivalentes Masse (kg) Prix (FCFA) 5 2 250 12 x ×450 produit en croix : 5 × x = 2 250 × 12
Figure 1 — Deux façons de trouver la 4ᵉ proportionnelle xx : multiplier par le coefficient k=450k=450 (flèches verticales), ou utiliser le produit en croix 5×x=2 250×125 \times x = 2\,250 \times 12 (diagonales).
Théorème — produits en croix

Dans un tableau de proportionnalité à deux lignes,

Situation 1Situation 2
Grandeur Aaacc
Grandeur Bbbdd

on a toujours l'égalité des produits en croix :

a×d=b×ca \times d = b \times c

Démonstration

Le tableau est proportionnel de coefficient kk, donc b=k×ab = k \times a et d=k×cd = k \times c.

  1. a×d=a×(k×c)a \times d = a \times (k \times c)
  2. ==k×a×ck \times a \times c
  3. b×c=(k×a)×cb \times c = (k \times a) \times c
  4. ==k×a×ck \times a \times c
  5. ⇒\Rightarrowa×d=b×ca \times d = b \times cles deux produits valent k×a×ck \times a \times c

C.Q.F.D.

Méthode — calculer une quatrième proportionnelle

On place les 4 valeurs dans un tableau à deux lignes en respectant les correspondances, on repère l'inconnue xx, on écrit l'égalité des produits en croix, puis on isole xx en divisant par le nombre qui lui fait face en diagonale.

Exemple — le prix de 12 kg de mangues
  1. 5×x=2 250×125 \times x = 2\,250 \times 12
  2. 5×x=27 0005 \times x = 27\,000
  3. ⇒\Rightarrowx=27 000÷5x = 27\,000 \div 5
  4. ==5 4005\,400on retrouve 12×450=5 40012 \times 450 = 5\,400, cohérent avec le coefficient

1212 kg de mangues coûtent 5 400 FCFA.

Exemple — adapter une recette

Une recette de crêpes pour 44 personnes utilise 250250 g de farine. Combien de farine pour 77 personnes ?

  1. 4×x=250×74 \times x = 250 \times 7
  2. 4×x=1 7504 \times x = 1\,750
  3. ⇒\Rightarrowx=1 750÷4x = 1\,750 \div 4
  4. ==437,5437{,}5

Il faut 437,5 g de farine pour 77 personnes.

Math & Co — La règle de trois

La technique du produit en croix porte, depuis des siècles, le nom de « règle de trois » : à partir de trois nombres connus, on en trouve un quatrième. Les mathématiciens indiens, notamment Brahmagupta au VIIe siècle, en donnent déjà une description précise pour les calculs commerciaux.

La règle voyage ensuite vers le monde arabo-musulman, puis vers l'Europe grâce aux marchands italiens. En 12021202, le mathématicien Léonard de Pise, dit Fibonacci, la détaille dans son Liber Abaci sous le nom de regula de tri, à l'usage des commerçants qui doivent sans cesse convertir monnaies, poids et mesures. Pendant des siècles, la règle de trois est enseignée sans démonstration — c'est ta chance : tu viens, toi, de la démontrer.

1.3  Échelles : cartes, plans et maquettes

Définition

L'échelle d'un plan, d'une carte ou d'une maquette est le coefficient de proportionnalité entre une longueur mesurée sur la représentation et la longueur réelle correspondante, exprimées dans la même unité. On l'écrit souvent sous la forme 1n\dfrac{1}{n} : « 1 cm sur le plan représente nn cm dans la réalité ».

Attention

Avant tout calcul d'échelle, il faut convertir les deux longueurs dans la même unité (souvent le cm). Oublier cette étape est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice.

Lire une distance sur un plan à l'échelle École Marché 4 cm Échelle : 1 cm ↔ 20 m 0 1 2 3 4 cm
Figure 2 — Sur ce plan à l'échelle 1 cm↔20 m1\ \text{cm} \leftrightarrow 20\ \text{m}, le segment École–Marché mesure 44 cm sur le papier : la distance réelle est donc 4×20=804 \times 20 = 80 m.
Méthode — calculer avec une échelle

On convertit la longueur connue dans la même unité que l'autre, on écrit le tableau de proportionnalité (longueur sur le plan / longueur réelle), puis on utilise le coefficient nn de l'échelle 1n\dfrac{1}{n} ou un produit en croix.

Exemple — carte routière

Sur une carte à l'échelle 125 000\dfrac{1}{25\,000}, la distance entre deux villages mesure 88 cm. Quelle est la distance réelle ?

  1. distance réelle =8×25 000= 8 \times 25\,000échelle 125 000\dfrac{1}{25\,000} : 1 cm représente 25 000 cm
  2. ==200 000200\,000 cm
  3. ==2 0002\,000 m
  4. ==22 km
Exemple — maquette d'avion

Un avion réel mesure 10,810{,}8 m de long. Sa maquette est construite à l'échelle 172\dfrac{1}{72}. Quelle est la longueur de la maquette ?

  1. 10,810{,}8 m =1 080= 1\,080 cm
  2. longueur maquette =1 080÷72= 1\,080 \div 72
  3. ==1515 cm

2Pourcentages successifs

Un pourcentage n'est rien d'autre qu'un coefficient de proportionnalité déguisé : « t %t\ \% de » signifie « multiplier par t100\dfrac{t}{100} ». La difficulté de 4ème n'est pas dans un seul pourcentage, mais dans l'enchaînement de plusieurs.

2.1  Rappels : appliquer et calculer un pourcentage

Définition

Prendre t %t\ \% d'une quantité VV, c'est calculer t100×V\dfrac{t}{100} \times V. Le taux d'évolution entre une valeur de départ ViV_i et une valeur d'arrivée VfV_f est le nombre tt (en %) tel que :

t=Vf−ViVi×100t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100

Exemple — appliquer un pourcentage

Un article coûte 8 0008\,000 FCFA. Il subit une réduction de 15 %15\ \%. Quel est le montant de la réduction ?

  1. réduction =15100×8 000= \dfrac{15}{100} \times 8\,000
  2. ==0,15×8 0000{,}15 \times 8\,000
  3. ==1 2001\,200 FCFA
Exemple — calculer un taux

Le prix d'un sac de riz passe de 5 0005\,000 à 6 0006\,000 FCFA. Quel est le taux d'augmentation ?

  1. t=6 000−5 0005 000×100t = \dfrac{6\,000 - 5\,000}{5\,000} \times 100
  2. ==1 0005 000×100\dfrac{1\,000}{5\,000} \times 100
  3. ==0,2×1000{,}2 \times 100
  4. ==2020le prix augmente de 20 %

2.2  Coefficient multiplicateur : augmentation et réduction

Propriété

Augmenter une quantité de t %t\ \% revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur :

CM=1+t100CM = 1 + \dfrac{t}{100}

Réduire une quantité de t %t\ \% revient à la multiplier par :

CM=1−t100CM = 1 - \dfrac{t}{100}

Démonstration

Augmenter VV de t %t\ \%, c'est ajouter à VV la quantité t100×V\dfrac{t}{100} \times V :

  1. Vf=V+t100×VV_f = V + \dfrac{t}{100} \times V
  2. ==V×(1+t100)V \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)on factorise par VV

Le raisonnement est identique pour une réduction, en soustrayant.

Exemple — retrouver le prix avant une remise

Après une remise de 30 %30\ \%, un vélo coûte 21 00021\,000 FCFA. Quel était son prix avant remise ?

  1. CM=1−30100=0,7CM = 1 - \dfrac{30}{100} = 0{,}7
  2. Pinitial×0,7=21 000P_{initial} \times 0{,}7 = 21\,000
  3. ⇒\RightarrowPinitial=21 000÷0,7P_{initial} = 21\,000 \div 0{,}7
  4. ==30 00030\,000 FCFA
Attention

Réduire de 20 %20\ \% puis augmenter de 20 %20\ \% ne redonne jamais le prix initial ! Sur 10 00010\,000 FCFA : après −20 %-20\ \%, on obtient 8 0008\,000 FCFA ; après +20 %+20\ \% sur ce nouveau prix, on obtient 8 000×1,2=9 6008\,000 \times 1{,}2 = 9\,600 FCFA. Les 20 %20\ \% de la deuxième étape ne portent pas sur la même valeur que ceux de la première.

2.3  Enchaîner deux pourcentages successifs

Théorème

Enchaîner une évolution de coefficient CM1CM_1 puis une évolution de coefficient CM2CM_2 revient à une évolution globale de coefficient :

CMglobal=CM1×CM2CM_{global} = CM_1 \times CM_2

On ne fait jamais t1+t2t_1 + t_2 pour trouver le taux global, sauf si les taux sont très petits (approximation hors-programme en 4ème).

Démonstration

Partons d'une valeur VV. Après la première évolution : V1=CM1×VV_1 = CM_1 \times V. Après la seconde évolution, appliquée à V1V_1 :

  1. V2=CM2×V1V_2 = CM_2 \times V_1
  2. ==CM2×(CM1×V)CM_2 \times (CM_1 \times V)
  3. ==(CM1×CM2)×V(CM_1 \times CM_2) \times Von peut réordonner une multiplication

Le coefficient global qui fait passer de VV à V2V_2 directement est donc bien CM1×CM2CM_1 \times CM_2.

Exemple — deux soldes successifs

Un boubou coûte 15 00015\,000 FCFA. Le magasin applique une première démarque de 20 %20\ \%, puis, la semaine suivante, une seconde démarque de 10 %10\ \% sur le nouveau prix. Quel est le prix final, et quel taux de réduction unique cela représente-t-il ?

  1. CM1=1−0,20=0,8CM_1 = 1 - 0{,}20 = 0{,}8
  2. CM2=1−0,10=0,9CM_2 = 1 - 0{,}10 = 0{,}9
  3. CMglobal=0,8×0,9=0,72CM_{global} = 0{,}8 \times 0{,}9 = 0{,}72
  4. prix final =15 000×0,72= 15\,000 \times 0{,}72
  5. ==10 80010\,800 FCFA
  6. taux global t=(1−0,72)×100t = (1 - 0{,}72) \times 100
  7. ==2828et non 20+10=3020+10=30 !

Le prix final est 10 800 FCFA, ce qui correspond à une réduction unique de 28 % — et non 30 %.

Math & Co — L'origine du signe %

Le mot « pourcentage » vient du latin per centum, « pour cent », utilisé dès l'Antiquité romaine pour les taxes commerciales. Au Moyen Âge, les marchands italiens abrègent per cento en « p 100 » puis en « p ᶜ⁰ » dans leurs registres manuscrits.

Le symbole %\% que nous utilisons aujourd'hui apparaît par déformation progressive de cette abréviation : le « c » finit par disparaître et le petit « o » se scinde en deux ronds séparés par la barre oblique. On retrouve la forme quasiment moderne du symbole dans des manuscrits toscans du XVe siècle.

3Grandeurs quotient (vitesse, débit, densité)

3.1  Qu'est-ce qu'une grandeur quotient ?

Définition

Une grandeur quotient s'obtient en divisant une grandeur par une autre grandeur, de nature différente. Son unité est le quotient des deux unités. Exemples : la vitesse (distance ÷ temps, en km/h ou m/s), le débit (volume ÷ temps, en L/min), la densité de population (nombre d'habitants ÷ superficie, en hab/km²).

Attention

Ne confonds pas une grandeur produit (comme la distance d=v×td = v \times t, ou l'aire A=L×ℓA = L \times \ell) et une grandeur quotient (comme la vitesse v=d÷tv = d \div t). Le bon réflexe : regarde toujours les unités — « km/h » indique une division, « m² » (implicitement m × m) indique une multiplication.

3.2  La vitesse moyenne : d=v×td = v \times t

Propriété

Pour un mouvement à vitesse moyenne constante vv, pendant une durée tt, la distance parcourue dd vérifie :

d=v×tv=dtt=dvd = v \times t \qquad v = \dfrac{d}{t} \qquad t = \dfrac{d}{v}

Le triangle vitesse – distance – temps d v t d = v × t v = d / t t = d / v Cache la grandeur cherchée : il reste l'opération à effectuer.
Figure 3 — Cache la lettre cherchée : si tu caches vv, il reste dd au-dessus de tt, donc v=d/tv = d/t (division). Si tu caches dd, il reste vv à côté de tt, donc d=v×td = v \times t (multiplication).
Méthode — convertir une vitesse km/h ↔ m/s

11 km/h =1 000 m3 600 s= \dfrac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}}, donc pour passer de km/h à m/s on divise par 3,6, et pour passer de m/s à km/h on multiplie par 3,6.

Exemple — conversions de vitesse
  1. 7272 km/h en m/s : 72÷3,672 \div 3{,}6
  2. ==2020 m/s
  3. 1515 m/s en km/h : 15×3,615 \times 3{,}6
  4. ==5454 km/h
Exemple — durée d'un trajet

Un car parcourt 360360 km à une vitesse moyenne de 8080 km/h. Combien de temps dure le trajet ?

  1. t=dv=36080t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{360}{80}
  2. ==4,54{,}5 h
  3. ==44 h 3030 min0,5×60=300{,}5 \times 60 = 30 min

3.3  Débit et densité : d'autres grandeurs quotient

Définition

Le débit d'un robinet, d'une pompe ou d'un tuyau est le volume écoulé divisé par le temps : D=VtD = \dfrac{V}{t} (en L/min ou m³/h). La densité de population d'une région est son nombre d'habitants divisé par sa superficie : ρ=populationsuperficie\rho = \dfrac{\text{population}}{\text{superficie}} (en hab/km²).

Exemple — débit d'un réservoir

Une pompe remplit un réservoir de 2 4002\,400 L en 4040 minutes. Quel est son débit ?

  1. D=2 40040D = \dfrac{2\,400}{40}
  2. ==6060 L/min
Exemple — densité de population

La ville de Ndjamena compte environ 1 600 0001\,600\,000 habitants pour une superficie d'environ 400400 km². Calcule sa densité de population.

  1. ρ=1 600 000400\rho = \dfrac{1\,600\,000}{400}
  2. ==4 0004\,000 hab/km²

4Représentation graphique

4.1  Reconnaître une proportionnalité sur un graphique

Théorème

Dans un repère, les points représentant une situation de proportionnalité sont alignés avec l'origine OO du repère. Autrement dit : une situation est proportionnelle si et seulement si son graphique est une droite qui passe par l'origine.

Démonstration — idée de preuve

Si y=k×xy = k \times x (proportionnalité de coefficient kk), alors le point (0 ;0)(0\,;0) vérifie bien 0=k×00 = k \times 0 : il appartient au graphique. Et pour deux points (x1 ;kx1)(x_1\,;kx_1) et (x2 ;kx2)(x_2\,;kx_2), le rapport entre les différences de coordonnées vaut toujours kk : les points sont donc alignés avec OO. Réciproquement, si tous les points sont alignés avec OO, leur rapport yx\dfrac{y}{x} est constant : c'est le coefficient kk, et la situation est proportionnelle.

Le prix du carburant est proportionnel au volume acheté 0 2 4 6 8 Litres (L) 1000 2000 3000 4000 Prix (FCFA) 4 L → 2 000 FCFA Prix = 500 × Litres
Figure 4 — Le prix du carburant est proportionnel au volume acheté : la droite passe par l'origine OO, de coefficient k=500k = 500 FCFA par litre.
Méthode — lire le coefficient sur un graphique

On choisit un point bien lisible de la droite, autre que l'origine. Le coefficient de proportionnalité est le rapport yx\dfrac{y}{x} de ses coordonnées.

4.2  Lire des valeurs sur un graphique

Exemple — lire puis prédire

Sur la Figure 4, on lit que 44 L coûtent 2 0002\,000 FCFA. Quel est le prix de 1010 L, par simple proportionnalité ?

  1. coefficient k=2 000÷4=500k = 2\,000 \div 4 = 500 FCFA/L
  2. prix de 1010 L =500×10= 500 \times 10
  3. ==5 0005\,000 FCFA

Attention : cette prédiction n'est valable que si la proportionnalité continue au-delà de la portion de droite tracée — ce n'est pas toujours garanti dans un problème réel (voir section 5).

5Non-proportionnalité

5.1  Repérer qu'une situation n'est pas proportionnelle

Propriété

Pour montrer qu'une situation n'est pas proportionnelle, il suffit de trouver un seul contre-exemple : soit deux quotients yx\dfrac{y}{x} différents dans le tableau, soit un graphique qui n'est pas une droite, soit une droite qui ne passe pas par l'origine.

Le prix d'une course de taxi n'est PAS proportionnel à la distance 0 2 4 6 8 10 Distance (km) 500 1000 1500 2000 2500 Prix (FCFA) si c'était proportionnel… 500 FCFA de forfait réalité (avec forfait)
Figure 5 — La relation est une droite, mais elle ne passe pas par l'origine OO : à 00 km, le prix n'est pas nul (forfait de 500500 FCFA). Ce n'est donc pas une situation de proportionnalité.
Exemple — vérifier avec les quotients

Une course de taxi coûte 900900 FCFA pour 22 km, et 1 7001\,700 FCFA pour 66 km. La situation est-elle proportionnelle ?

  1. 900÷2=450900 \div 2 = 450
  2. 1 700÷6≈283,31\,700 \div 6 \approx 283{,}3
  3. ⇒\Rightarrowles quotients sont différents450≠283,3450 \neq 283{,}3

La situation n'est pas proportionnelle : il y a un forfait de départ.

5.2  Exemples classiques à connaître

Attention — pièges classiques
  • Forfaits (taxi, téléphone, abonnement) : prix == fixe ++ variable, la droite ne passe pas par OO.
  • Aire d'un carré : si le côté double, l'aire est multipliée par 44 (et non par 22) — l'aire n'est pas proportionnelle au côté, elle l'est au carré du côté.
  • Âge : la différence d'âge entre deux personnes reste constante, mais le rapport de leurs âges change chaque année — l'âge n'est pas proportionnel au temps.
  • Tarifs dégressifs : au-delà d'une certaine quantité, le prix au kilo diminue — un seul coefficient ne suffit plus.
Exemple — l'aire n'est pas proportionnelle au côté

Un carré a un côté de 33 cm, donc une aire de 99 cm². Si le côté double (66 cm), quelle est la nouvelle aire ?

  1. A=6×6A = 6 \times 6
  2. ==3636 cm²
  3. rapport des aires =36÷9=4= 36 \div 9 = 4alors que le côté n'a été multiplié que par 2

Fiche mémo

  • Tableau proportionnel ⇔\Leftrightarrow tous les quotients ligne 2ligne 1\dfrac{\text{ligne 2}}{\text{ligne 1}} sont égaux au coefficient kk.
  • Produits en croix : a×d=b×ca \times d = b \times c dans un tableau acbd\begin{smallmatrix}a & c\\ b & d\end{smallmatrix} proportionnel.
  • Échelle 1n\dfrac{1}{n} : longueur réelle == longueur sur le plan × n\times\, n (même unité !).
  • Augmenter de t %t\ \% : ×(1+t100)\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right). Réduire de t %t\ \% : ×(1−t100)\times \left(1-\dfrac{t}{100}\right).
  • Deux évolutions successives : les coefficients multiplicateurs se multiplient, CMglobal=CM1×CM2CM_{global}=CM_1 \times CM_2 (jamais les taux qui s'additionnent).
  • Grandeur quotient == grandeur ÷\div grandeur de nature différente : vitesse (km/h), débit (L/min), densité (hab/km²).
  • d=v×td = v \times t ; v=dtv = \dfrac{d}{t} ; t=dvt = \dfrac{d}{v}. Conversion : km/h →\to m/s en divisant par 3,63{,}6.
  • Graphique : proportionnalité ⇔\Leftrightarrow droite passant par l'origine OO.
  • Pièges non proportionnels : forfaits (fixe + variable), aire d'un carré (×k2\times k^2), âges, tarifs dégressifs.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Dans une pâtisserie, 33 croissants coûtent 900900 FCFA. Combien coûtent 77 croissants, au même prix unitaire ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 3×x=900×73 \times x = 900 \times 7
  2. 3×x=6 3003 \times x = 6\,300
  3. ⇒\Rightarrowx=6 300÷3x = 6\,300 \div 3
  4. ==2 1002\,100

77 croissants coûtent 2 100 FCFA.

2

Un tee-shirt affiché à 4 0004\,000 FCFA bénéficie d'une remise de 25 %25\ \%. Calcule le prix après remise.

Voir le corrigé détaillé
  1. CM=1−25100=0,75CM = 1 - \dfrac{25}{100} = 0{,}75
  2. prix final =4 000×0,75= 4\,000 \times 0{,}75
  3. ==3 0003\,000 FCFA
3

Le loyer d'une chambre passe de 25 00025\,000 à 27 50027\,500 FCFA. Quel est le taux d'augmentation ?

Voir le corrigé détaillé
  1. t=27 500−25 00025 000×100t = \dfrac{27\,500 - 25\,000}{25\,000} \times 100
  2. ==2 50025 000×100\dfrac{2\,500}{25\,000} \times 100
  3. ==1010

Le loyer augmente de 10 %.

4

Convertis 9090 km/h en m/s, puis 1212 m/s en km/h.

Voir le corrigé détaillé
  1. 90÷3,6=2590 \div 3{,}6 = 25km/h vers m/s : on divise
  2. 12×3,6=43,212 \times 3{,}6 = 43{,}2m/s vers km/h : on multiplie

9090 km/h =25= 25 m/s, et 1212 m/s =43,2= 43{,}2 km/h.

5

Sur un plan à l'échelle 1200\dfrac{1}{200}, une chambre mesure 3,53{,}5 cm. Quelle est sa longueur réelle, en mètres ?

Voir le corrigé détaillé
  1. longueur réelle =3,5×200= 3{,}5 \times 200
  2. ==700700 cm
  3. ==77 m
Niveau 2 — Approfondissement
6

Un pagne coûte 12 00012\,000 FCFA. Il subit une réduction de 15 %15\ \%, puis une seconde réduction de 5 %5\ \% sur le nouveau prix. Calcule le prix final et le taux de réduction global équivalent.

Voir le corrigé détaillé
  1. CM1=1−0,15=0,85CM_1 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85
  2. CM2=1−0,05=0,95CM_2 = 1 - 0{,}05 = 0{,}95
  3. CMglobal=0,85×0,95=0,8075CM_{global} = 0{,}85 \times 0{,}95 = 0{,}8075
  4. prix final =12 000×0,8075= 12\,000 \times 0{,}8075
  5. ==9 6909\,690 FCFA
  6. taux global =(1−0,8075)×100= (1 - 0{,}8075) \times 100
  7. ==19,2519{,}25

Le prix final est 9 690 FCFA, ce qui correspond à une réduction unique de 19,25 %.

7

Une recette de sauce à l'arachide pour 66 personnes utilise 300300 g de pâte d'arachide. Quelle quantité faut-il pour 1414 personnes ?

Voir le corrigé détaillé
  1. 6×x=300×146 \times x = 300 \times 14
  2. 6×x=4 2006 \times x = 4\,200
  3. ⇒\Rightarrowx=4 200÷6x = 4\,200 \div 6
  4. ==700700

Il faut 700 g de pâte d'arachide.

8

La commune A compte 180 000180\,000 habitants sur 4545 km² ; la commune B compte 260 000260\,000 habitants sur 8080 km². Laquelle des deux communes est la plus dense ?

Voir le corrigé détaillé
  1. ρA=180 000÷45=4 000\rho_A = 180\,000 \div 45 = 4\,000 hab/km²
  2. ρB=260 000÷80=3 250\rho_B = 260\,000 \div 80 = 3\,250 hab/km²
  3. ⇒\Rightarrow4 000>3 2504\,000 > 3\,250

La commune A est la plus dense, bien que la commune B compte davantage d'habitants.

9

Léa fait du vélo à vitesse constante. Le graphique ci-dessous donne la distance parcourue en fonction du temps.

Distance parcourue par Léa à vélo 0 1 2 3 Temps (h) 15 30 45 Distance (km)
Figure 6 — Graphique de la distance parcourue par Léa en fonction du temps.
  1. Détermine la vitesse de Léa.
  2. En supposant qu'elle garde la même vitesse, quelle distance aura-t-elle parcourue après 55 h ?
Voir le corrigé détaillé

1. La droite passe par l'origine : la situation est proportionnelle. On lit sur le graphique qu'à t=3t=3 h correspond d=45d=45 km.

  1. v=dt=453v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{45}{3}
  2. ==1515 km/h

2.

  1. d=v×t=15×5d = v \times t = 15 \times 5
  2. ==7575 km

Léa aura parcouru 75 km après 5 heures.

Niveau 3 — Défi
10

Une friperie vend une veste 18 00018\,000 FCFA. Elle applique une démarque de 25 %25\ \% la première semaine, puis une démarque supplémentaire de 12 %12\ \% la seconde semaine, sur le nouveau prix.

  1. Calcule le prix après la première démarque.
  2. Calcule le prix après la seconde démarque.
  3. Détermine le coefficient multiplicateur global, puis le taux de réduction unique équivalent aux deux démarques.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. CM1=1−0,25=0,75CM_1 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75
  2. prix 1=18 000×0,75_1 = 18\,000 \times 0{,}75
  3. ==13 50013\,500 FCFA

2.

  1. CM2=1−0,12=0,88CM_2 = 1 - 0{,}12 = 0{,}88
  2. prix 2=13 500×0,88_2 = 13\,500 \times 0{,}88
  3. ==11 88011\,880 FCFA

3.

  1. CMglobal=0,75×0,88CM_{global} = 0{,}75 \times 0{,}88
  2. ==0,660{,}66
  3. taux =(1−0,66)×100= (1 - 0{,}66) \times 100
  4. ==3434

Les deux démarques équivalent à une réduction unique de 34 %.

11

Un chauffeur parcourt 120120 km à 6060 km/h, puis 120120 km supplémentaires à 4040 km/h.

  1. Calcule la durée de chaque tronçon.
  2. Calcule la distance totale et la durée totale du trajet.
  3. Calcule la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet. Est-ce la moyenne arithmétique de 6060 et 4040 ?
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. t1=12060=2t_1 = \dfrac{120}{60} = 2 h
  2. t2=12040=3t_2 = \dfrac{120}{40} = 3 h

2.

  1. distance totale =120+120=240= 120 + 120 = 240 km
  2. durée totale =2+3=5= 2 + 3 = 5 h

3.

  1. vmoy=2405v_{moy} = \dfrac{240}{5}
  2. ==4848 km/h

La moyenne arithmétique de 6060 et 4040 est 60+402=50\dfrac{60+40}{2} = 50 km/h. Ce n'est pas la vitesse moyenne réelle (4848 km/h), car le chauffeur a passé plus de temps à la vitesse la plus lente : la vitesse moyenne se calcule toujours par distance totaledureˊe totale\dfrac{\text{distance totale}}{\text{durée totale}}, jamais en moyennant les vitesses.

12

Voici le prix d'une course de taxi selon la distance parcourue :

Distance (km)225599
Prix (FCFA)9009001 5001\,5002 3002\,300
  1. Montre que la situation n'est pas proportionnelle.
  2. Le prix suit une relation du type prix=a×distance+b\text{prix} = a \times \text{distance} + b. Détermine aa et bb à l'aide des deux premières valeurs du tableau.
  3. Vérifie ta formule avec la troisième valeur, puis calcule le prix pour 1212 km.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 900÷2=450900 \div 2 = 450
  2. 1 500÷5=3001\,500 \div 5 = 300
  3. ⇒\Rightarrow450≠300450 \neq 300

Les quotients sont différents : la situation n'est pas proportionnelle.

2. Le prix augmente de 1 500−900=6001\,500 - 900 = 600 FCFA quand la distance augmente de 5−2=35-2=3 km.

  1. a=1 500−9005−2=6003a = \dfrac{1\,500 - 900}{5 - 2} = \dfrac{600}{3}
  2. ==200200
  3. b=900−200×2b = 900 - 200 \times 2
  4. ==500500

3.

  1. pour 99 km : 200×9+500=2 300200 \times 9 + 500 = 2\,300conforme au tableau
  2. pour 1212 km : 200×12+500200 \times 12 + 500
  3. ==2 400+5002\,400 + 500
  4. ==2 9002\,900 FCFA
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Un mariage à Dakar. Pour préparer du jus de bissap pour 1010 personnes, Aminata utilise 200200 g de fleurs de bissap séchées et 500500 g de sucre. Elle doit préparer ce jus pour un mariage de 6565 personnes.

  1. Calcule la quantité de fleurs de bissap nécessaire pour 6565 personnes.
  2. Calcule la quantité de sucre nécessaire.
  3. Sachant que 100100 g de fleurs de bissap coûtent 750750 FCFA et que le kg de sucre coûte 900900 FCFA, calcule le coût total des ingrédients, arrondi à la centaine de francs.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 10×x=200×6510 \times x = 200 \times 65
  2. ⇒\Rightarrowx=13 000÷10x = 13\,000 \div 10
  3. ==1 3001\,300 g

2.

  1. 10×y=500×6510 \times y = 500 \times 65
  2. ⇒\Rightarrowy=32 500÷10y = 32\,500 \div 10
  3. ==3 2503\,250 g =3,25= 3{,}25 kg

3.

  1. coût bissap =13×750= 13 \times 7501 3001\,300 g =13= 13 lots de 100100 g
  2. ==9 7509\,750 FCFA
  3. coût sucre =3,25×900= 3{,}25 \times 900
  4. ==2 9252\,925 FCFA
  5. total =9 750+2 925=12 675= 9\,750 + 2\,925 = 12\,675 FCFA
  6. ≈\approx12 70012\,700 FCFA
14

Ndjamena–Abéché. Un car effectue le trajet Ndjamena–Abéché, soit environ 780780 km, à une vitesse moyenne de 6565 km/h.

  1. Calcule la durée du trajet.
  2. Le car consomme en moyenne 2828 L de carburant pour 100100 km. Calcule sa consommation totale sur le trajet.
  3. Sachant que le litre de gasoil coûte 750750 FCFA, calcule le coût total du carburant pour ce trajet.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. t=dv=78065t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{780}{65}
  2. ==1212 h

2. Le débit de 2828 L pour 100100 km est un coefficient de proportionnalité.

  1. 100×x=28×780100 \times x = 28 \times 780
  2. ⇒\Rightarrowx=21 840÷100x = 21\,840 \div 100
  3. ==218,4218{,}4 L

3.

  1. coût =218,4×750= 218{,}4 \times 750
  2. ==163 800163\,800 FCFA
15

À l'école, à Bamako. Sur un plan du quartier de Bamako-Coura, à l'échelle 18 000\dfrac{1}{8\,000}, la distance entre le domicile de Moussa et son école mesure 66 cm.

  1. Calcule la distance réelle, en mètres.
  2. Moussa marche à une vitesse moyenne de 4,84{,}8 km/h. Calcule, en minutes, le temps qu'il met pour se rendre à l'école.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. distance réelle =6×8 000= 6 \times 8\,000
  2. ==48 00048\,000 cm
  3. ==480480 m

2. 4,84{,}8 km/h =4 800= 4\,800 m/h =80= 80 m/min.

  1. t=48080t = \dfrac{480}{80}
  2. ==66 minutes
16

Soldes à Douala. Dans une boutique de tissus, un wax est affiché à 22 00022\,000 FCFA. Pendant les soldes, la boutique applique une réduction de 10 %10\ \%, puis une réduction supplémentaire de 15 %15\ \% sur le nouveau prix.

  1. Calcule le prix après la première réduction.
  2. Calcule le prix final après la seconde réduction.
  3. Un vendeur ambulant propose le même wax avec une réduction unique de 25 %25\ \% sur le prix affiché. Ce tarif est-il plus avantageux que celui de la boutique ? Justifie par le calcul.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. CM1=1−0,10=0,9CM_1 = 1 - 0{,}10 = 0{,}9
  2. prix 1=22 000×0,9_1 = 22\,000 \times 0{,}9
  3. ==19 80019\,800 FCFA

2.

  1. CM2=1−0,15=0,85CM_2 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85
  2. prix final =19 800×0,85= 19\,800 \times 0{,}85
  3. ==16 83016\,830 FCFA

3.

  1. prix du vendeur =22 000×(1−0,25)= 22\,000 \times (1-0{,}25)
  2. ==22 000×0,7522\,000 \times 0{,}75
  3. ==16 50016\,500 FCFA
  4. 16 500<16 83016\,500 < 16\,830

Le vendeur ambulant est plus avantageux : ses deux réductions successives de 10 %10\ \% puis 15 %15\ \% équivalent en réalité à 0,9×0,85=0,7650{,}9 \times 0{,}85 = 0{,}765, soit une réduction globale de seulement 23,5 %23{,}5\ \% — moins que les 25 %25\ \% annoncés par le vendeur.

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un tableau à deux lignes est un tableau de proportionnalité lorsque :

Explication : Un tableau est proportionnel quand tous les quotients (valeur du bas) ÷ (valeur du haut) sont égaux : ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.

Au marché, 22 kg de mangues coûtent 900900 FCFA. Quel est le coefficient de proportionnalité (prix par kg) ?

Explication : Le coefficient est le quotient prix ÷ masse : 900÷2=450900 \div 2 = 450 FCFA/kg.

Dans un tableau de proportionnalité acbd\begin{smallmatrix}a & c\\ b & d\end{smallmatrix}, l'égalité des produits en croix s'écrit :

Explication : Dans un tableau de proportionnalité à deux lignes, les produits en croix sont toujours égaux : a×d=b×ca \times d = b \times c.

Le prix de 55 kg de mangues est 2 2502\,250 FCFA. Quel est le prix de 1212 kg, au même tarif ?

Explication : Produit en croix : 5×x=2 250×12=27 0005 \times x = 2\,250 \times 12 = 27\,000
x=27 000÷5x = 27\,000 \div 5
x=5 400x = 5\,400 FCFA.

Sur un plan à l'échelle 1n\dfrac{1}{n}, cela signifie que :

Explication : L'échelle 1n\dfrac{1}{n} signifie que 11 cm sur la représentation correspond à nn cm dans la réalité, les deux longueurs étant exprimées dans la même unité.

Sur une carte à l'échelle 125 000\dfrac{1}{25\,000}, deux villages sont distants de 88 cm. Quelle est la distance réelle ?

Explication : distance réelle =8×25 000=200 000= 8 \times 25\,000 = 200\,000 cm
=2 000= 2\,000 m
=2= 2 km.

Un article coûte 8 0008\,000 FCFA. Il subit une réduction de 15 %15\ \%. Quel est le montant de la réduction ?

Explication : réduction =15100×8 000=0,15×8 000=1 200= \dfrac{15}{100} \times 8\,000 = 0{,}15 \times 8\,000 = 1\,200 FCFA.

Le prix d'un sac de riz passe de 5 0005\,000 à 6 0006\,000 FCFA. Quel est le taux d'augmentation ?

Explication : t=6 000−5 0005 000×100=1 0005 000×100=20t = \dfrac{6\,000-5\,000}{5\,000} \times 100 = \dfrac{1\,000}{5\,000} \times 100 = 20.

Augmenter une quantité de t %t\ \% revient à la multiplier par le coefficient :

Explication : Augmenter de t %t\ \%, c'est ajouter t100×V\dfrac{t}{100}\times V à VV, soit multiplier par le coefficient 1+t1001+\dfrac{t}{100}.

Après une remise de 30 %30\ \%, un vélo coûte 21 00021\,000 FCFA. Quel était son prix avant remise ?

Explication : CM=1−0,30=0,7CM = 1-0{,}30 = 0{,}7. Pinitial×0,7=21 000P_{initial} \times 0{,}7 = 21\,000, donc Pinitial=21 000÷0,7=30 000P_{initial} = 21\,000 \div 0{,}7 = 30\,000 FCFA.

Sur 10 00010\,000 FCFA, on applique −20 %-20\ \% puis +20 %+20\ \% sur le nouveau prix. Que peut-on affirmer ?

Explication : Après −20 %-20\ \% : 8 0008\,000 FCFA. Après +20 %+20\ \% sur ce nouveau prix : 8 000×1,2=9 6008\,000 \times 1{,}2 = 9\,600 FCFA. Les deux 20 %20\ \% ne portent pas sur la même valeur, donc on ne retrouve pas le prix initial.

Pour enchaîner deux évolutions successives de coefficients CM1CM_1 et CM2CM_2, le coefficient global est :

Explication : Les coefficients multiplicateurs de deux évolutions successives se multiplient : CMglobal=CM1×CM2CM_{global} = CM_1 \times CM_2. On n'additionne jamais les taux directement.

Un boubou à 15 00015\,000 FCFA subit une démarque de 20 %20\ \% puis une seconde de 10 %10\ \% sur le nouveau prix. Quel est le prix final ?

Explication : CM1=0,8CM_1 = 0{,}8, CM2=0,9CM_2 = 0{,}9
CMglobal=0,8×0,9=0,72CM_{global} = 0{,}8 \times 0{,}9 = 0{,}72
prix final =15 000×0,72=10 800= 15\,000 \times 0{,}72 = 10\,800 FCFA.

Laquelle de ces grandeurs est une grandeur quotient ?

Explication : Une grandeur quotient s'obtient en divisant deux grandeurs de nature différente. La vitesse, distance divisée par temps, en est un exemple ; les autres sont des grandeurs produit.

Convertis 7272 km/h en m/s.

Explication : Pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,63{,}6 : 72÷3,6=2072 \div 3{,}6 = 20 m/s.

Un car parcourt 360360 km à une vitesse moyenne de 8080 km/h. Combien de temps dure le trajet ?

Explication : t=dv=36080=4,5t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{360}{80} = 4{,}5 h, soit 44 h 3030 min (0,5×60=300{,}5 \times 60 = 30 min).

Une pompe remplit un réservoir de 2 4002\,400 L en 4040 minutes. Quel est son débit ?

Explication : D=Vt=2 40040=60D = \dfrac{V}{t} = \dfrac{2\,400}{40} = 60 L/min.

Dans un repère, une situation est proportionnelle si et seulement si son graphique est :

Explication : Une situation est proportionnelle si et seulement si son graphique est une droite passant par l'origine OO du repère.

Une course de taxi coûte 900900 FCFA pour 22 km, et 1 7001\,700 FCFA pour 66 km. Que peut-on en conclure ?

Explication : 900÷2=450900 \div 2 = 450 et 1 700÷6≈283,31\,700 \div 6 \approx 283{,}3 : les quotients sont différents, donc la situation n'est pas proportionnelle. Le prix comprend un forfait de départ.

Un carré a un côté de 33 cm, donc une aire de 99 cm². Si le côté double, l'aire est :

Explication : Pour un côté de 66 cm, l'aire est 6×6=366 \times 6 = 36 cm², et 36÷9=436 \div 9 = 4 : l'aire n'est pas proportionnelle au côté, elle est multipliée par 44 quand le côté double.
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