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Équations du premier degré

Résoudre une équation à une inconnue et mettre un problème en équation.

Mathématiques 4ème Chapitre 4 / 13 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Résoudre une équation du premier degré
  • Vérifier une solution
  • Traduire un énoncé par une équation et conclure

Depuis la 6ème, tu résous des petits problèmes en devinant, en tâtonnant, ou en remontant les calculs à l’envers. Cette méthode marche pour les problèmes simples, mais elle devient vite fatigante — et parfois impossible — dès que les nombres se compliquent ou que plusieurs opérations s’enchaînent. Ce chapitre t’apporte un outil bien plus puissant : l’équation.

Une équation, c’est une machine à trouver un nombre caché. Tu la rencontres partout : quand un commerçant de Dakar calcule combien de sacs de riz il peut acheter avec un budget donné, quand on cherche l’âge d’une personne à partir d’un indice, ou quand on partage une somme d’argent entre plusieurs personnes selon une règle précise. Dans tous ces cas, on nomme le nombre cherché xx, on traduit l’énoncé par une égalité, puis on résout.

Ce qui change par rapport aux années précédentes : tu ne vas plus deviner, tu vas calculer. Deux règles de transformation, toujours les mêmes, te permettront de trouver la valeur de xx à coup sûr, quelle que soit la complexité de l’équation — avec des parenthèses, des fractions, ou une inconnue des deux côtés du signe ==. C’est un outil que tu retrouveras dans toutes tes années de mathématiques, jusqu’au lycée et au-delà.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître une équation et sa solution, à manier les deux règles qui permettent de « déplacer » les termes en toute sécurité, à résoudre méthodiquement des équations de plus en plus riches, puis à mettre un problème en équation — c’est-à-dire à traduire une situation concrète en langage mathématique. Prêt ? On commence.

1Notion d’équation et de solution

Définition

Une équation est une égalité contenant une lettre, appelée l’inconnue, qui représente un nombre à déterminer. Dans une équation d’inconnue xx, l’expression à gauche du signe == s’appelle le premier membre, celle de droite le second membre.

Une solution de l’équation est une valeur de xx pour laquelle l’égalité est vraie. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Par exemple, dans l’équation x+2=7x + 2 = 7, le premier membre est x+2x+2 et le second membre est 77. Ici, une seule valeur de xx rend l’égalité vraie : c’est 55, car 5+2=75+2=7. On dit que 55 est la solution de cette équation. Dans ce chapitre, on étudie des équations dites du premier degré : l’inconnue xx n’y apparaît qu’à la puissance 11 (jamais de x2x^{2}, jamais de xx sous une racine). Sauf cas particulier, une telle équation possède exactement une solution.

1.1  Tester si un nombre est solution

Méthode — tester une valeur

Pour savoir si un nombre est solution d’une équation, on le substitue à xx dans chaque membre séparément (chaque occurrence de xx), on calcule les deux résultats, puis on les compare. S’ils sont égaux, le nombre est solution ; sinon, il ne l’est pas.

Exemple — 5 est-il solution de 2x+1=3x−42x+1=3x-4 ?
  1. on remplace xx par 55 dans chaque membre
  2. premier membre : 2×5+1=112 \times 5 + 1 = 11
  3. second membre : 3×5−4=113 \times 5 - 4 = 11
  4. ⇒\Rightarrowles deux membres sont égaux, donc 55 est solution de l’équationl’égalité est vraie pour x=5x=5
Exemple — et 3, est-il solution de la même équation ?
  1. on remplace xx par 33
  2. premier membre : 2×3+1=72 \times 3 + 1 = 7
  3. second membre : 3×3−4=53 \times 3 - 4 = 5
  4. ⇒\Rightarrow7≠57 \neq 5, donc 33 n’est pas solution de l’équation
Attention

Remplace toutes les occurrences de xx, même si la lettre apparaît plusieurs fois dans un membre. Et surtout, ne confonds pas vérifier qu’un nombre proposé est solution (en le testant) avec résoudre l’équation, c’est-à-dire trouver la solution sans la connaître à l’avance : c’est l’objet de toute la suite de ce chapitre.

1.2  Repérer la solution sur une droite graduée

La solution d’une équation du premier degré est un nombre unique : on peut donc la placer, comme n’importe quel nombre, sur une droite graduée. C’est une bonne habitude à prendre : une fois l’équation résolue, situer la solution te permet de vérifier qu’elle est cohérente avec l’énoncé (par exemple, une longueur ou un prix doit être positif).

La solution de x + 2 = 7 sur la droite graduée −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x = 5 Vérification : 5 + 2 = 7 → l’égalité est vraie, donc 5 est LA solution.
Figure 1 — La solution d’une équation à une inconnue est un nombre précis, repérable sur une droite graduée : seul x=5x=5 rend vraie l’égalité x+2=7x+2=7.
Math & Co — Le mot qui vient de Bagdad

Vers l’an 820820, le savant al-Khwarizmi travaille à la Maison de la Sagesse de Bagdad. Il écrit un traité au titre étonnant : Kitāb al-jabr wa’l-muqābala, « le livre de la réunion et de la compensation ». Le mot « al-jabr » désigne l’opération qui consiste à déplacer un terme retranché d’un membre à l’autre pour reconstituer une quantité entière — exactement la règle que tu vas apprendre dans la section suivante.

Ce mot arabe a traversé les siècles pour donner en français « algèbre » ; le nom même d’al-Khwarizmi, déformé par les traducteurs latins, a donné le mot « algorithme ». Résoudre une équation, c’est donc littéralement pratiquer un art vieux de douze siècles.

2Règles de transformation

Résoudre une équation, c’est chercher ce nombre unique. Mais comment le trouver sans deviner ? Il existe deux règles, aussi simples que puissantes, qui transforment une équation en une équation plus simple sans changer sa solution. Elles reposent sur une image que tu connais bien : la balance à deux plateaux, en équilibre tant que les deux membres restent égaux.

2.1  Ajouter ou retirer le même nombre

Propriété 1

On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retirant le même nombre aux deux membres.

a=b  ⟺  a+k=b+ka = b \iff a + k = b + k

Démonstration

Soit a=ba=b une égalité vraie, et kk un nombre quelconque. Ajouter kk à deux nombres égaux donne deux résultats égaux : c’est une propriété de base de l’addition, donc a+k=b+ka+k=b+k. Réciproquement, si a+k=b+ka+k=b+k, il suffit d’ajouter −k-k aux deux membres pour retrouver a=ba=b. Les deux équations ont donc exactement les mêmes solutions. C.Q.F.D.

Règle n°1 — ajouter ou retirer le même nombre aux deux plateaux − 3 sur les deux plateaux x + 3 7 x + 3 = 7 x 4 x = 4 On retire le même poids « 3 » de chaque plateau : la balance reste équilibrée.
Figure 2 — La règle n°1 : ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres ne change pas la solution.
Exemple — résoudre x−5=12x - 5 = 12
  1. x−5=12x - 5 = 12
  2. x−5+5=12+5x - 5 + 5 = 12 + 5on ajoute 5 aux deux membres
  3. ⇒\Rightarrowx=17x = 17

Vérification : 17−5=1217 - 5 = 12, c’est exact.

2.2  Multiplier ou diviser par un même nombre non nul

Propriété 2

On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre kk non nul.

a=b  ⟺  k×a=k×b(k≠0)a = b \iff k \times a = k \times b \quad (k \neq 0)

Attention

La règle exige k≠0k \neq 0 : on ne divise jamais par 00. Pense aussi à diviser chaque terme du membre, pas seulement un seul : diviser 2x+62x+6 par 22 donne x+3x+3, et surtout pas x+6x+6.

Règle n°2 — diviser (ou multiplier) les deux plateaux par le même nombre on divise par 2 les deux plateaux 2x 10 2x = 10 x 5 x = 5 On partage également le contenu des deux plateaux : l’équilibre est conservé.
Figure 3 — La règle n°2 : multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul ne change pas la solution.
Exemple — résoudre 4x=364x = 36
  1. 4x=364x = 36
  2. 4x4=364\dfrac{4x}{4} = \dfrac{36}{4}on divise les deux membres par 4
  3. ⇒\Rightarrowx=9x = 9

Vérification : 4×9=364 \times 9 = 36, c’est exact.

Ces deux règles suffisent, à elles seules, à résoudre n’importe quelle équation du premier degré. Voyons maintenant comment les enchaîner pour résoudre une équation complète, avec des xx des deux côtés du signe ==.

3Résolution de ax+b=cx+dax+b=cx+d

Une équation comme 3x+5=x+113x+5=x+11 comporte des termes en xx des deux côtés du signe ==. Pour la résoudre, on applique nos deux règles dans un ordre précis, jusqu’à isoler xx tout seul dans un membre.

Méthode — résoudre ax+b=cx+dax+b=cx+d
  1. On regroupe les termes en xx dans un même membre, en en retirant un des deux côtés (règle n°1).
  2. On regroupe les nombres seuls dans l’autre membre (règle n°1).
  3. On réduit chaque membre.
  4. On divise par le coefficient de xx pour l’isoler (règle n°2).
  5. On vérifie la solution dans l’équation de départ.
Exemple — résoudre 3x+5=x+113x+5=x+11
  1. 3x+5=x+113x+5=x+11
  2. ⇔\Leftrightarrow2x+5=112x+5=11on retire xx aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrow2x=62x=6on retire 55 aux deux membres
  4. ⇔\Leftrightarrowx=3x=3on divise les deux membres par 22
Résoudre 3x + 5 = x + 11, étape par étape 3x + 5 x + 11 − x sur les deux plateaux 2x + 5 11 − 5 sur les deux plateaux 2x 6 on divise par 2 les deux plateaux x 3 x = 3, solution de l’équation
Figure 4 — Résolution de 3x+5=x+113x+5=x+11 : à chaque étape, la balance reste en équilibre, jusqu’à isoler xx.

Vérification dans l’équation de départ : 3×3+5=143 \times 3 + 5 = 14 et 3+11=143 + 11 = 14. Les deux membres sont égaux : 33 est bien la solution.

3.1  Cas particuliers : pas de solution, ou une infinité

Cas particuliers

En regroupant les termes en xx, il arrive qu’ils s’annulent tous. Deux cas se présentent alors :

  • l’égalité restante est fausse (comme 3=73=7) : l’équation n’a aucune solution ;
  • l’égalité restante est toujours vraie (comme 0=00=0) : tout nombre est solution.
Exemple — un cas sans solution
  1. 2x+3=2x+72x+3=2x+7
  2. ⇔\Leftrightarrow3=73=7on retire 2x2x aux deux membres
  3. ⇒\Rightarrowégalité fausse : aucune valeur de xx n’est solution
Math & Co — L’énigme de l’âge de Diophante

Diophante d’Alexandrie, mathématicien grec du IIIe siècle, est resté célèbre pour son Arithmétique, l’un des premiers traités à manipuler des inconnues. La légende raconte que son épitaphe était elle-même une équation : « Sa jeunesse dura le sixième de sa vie ; après un douzième de plus, il eut de la barbe ; après un septième de plus, il se maria ; cinq ans après, son fils naquit, qui vécut la moitié de la vie de son père, et mourut quatre ans avant lui. »

En notant xx l’âge de Diophante à sa mort, cette phrase se traduit par une équation du premier degré dont la résolution donne x=84x = 84 ans — exactement la méthode que tu maîtrises maintenant !

4Équations avec parenthèses et fractions

Certaines équations cachent leur véritable forme derrière des parenthèses ou des fractions. Avant d’appliquer les règles de transformation, il faut d’abord les faire disparaître, en respectant deux techniques précises.

4.1  Développer les parenthèses

Méthode — équation avec parenthèses

On commence toujours par développer chaque parenthèse, grâce à la distributivité k(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kb. L’équation obtenue se résout alors comme en section 3.

Attention

Un signe « moins » devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l’intérieur : −(2x−5)=−2x+5-(2x-5) = -2x+5, et surtout pas −2x−5-2x-5.

Exemple — résoudre 3(x+2)−5=2(x−1)3(x+2)-5=2(x-1)
  1. 3(x+2)−5=2(x−1)3(x+2)-5=2(x-1)
  2. ⇔\Leftrightarrow3x+6−5=2x−23x+6-5=2x-2on développe les deux parenthèses
  3. ⇔\Leftrightarrow3x+1=2x−23x+1=2x-2on réduit 6−56-5
  4. ⇔\Leftrightarrowx+1=−2x+1=-2on retire 2x2x aux deux membres
  5. ⇔\Leftrightarrowx=−3x=-3on retire 11 aux deux membres

Vérification : 3(−3+2)−5=−83(-3+2)-5=-8 et 2(−3−1)=−82(-3-1)=-8. C’est cohérent.

4.2  Équations avec fractions

Méthode — « chasser » les dénominateurs

On multiplie tous les termes des deux membres — y compris ceux qui n’ont pas de dénominateur — par un multiple commun des dénominateurs (le PPCM, si possible). Chaque fraction se simplifie alors en un terme sans dénominateur.

Exemple — résoudre x3+2=x2\dfrac{x}{3}+2=\dfrac{x}{2}
  1. x3+2=x2\dfrac{x}{3}+2=\dfrac{x}{2}
  2. ⇔\Leftrightarrow6×(x3+2)=6×x26\times\left(\dfrac{x}{3}+2\right)=6\times\dfrac{x}{2}on multiplie tous les termes par 6, le PPCM de 3 et 2
  3. ⇔\Leftrightarrow2x+12=3x2x+12=3xon simplifie chaque terme
  4. ⇔\Leftrightarrow12=x12=xon retire 2x2x aux deux membres

Vérification : 123+2=6\dfrac{12}{3}+2=6 et 122=6\dfrac{12}{2}=6. C’est cohérent, donc x=12x=12.

Attention

N’oublie aucun terme lors de la multiplication, même ceux sans fraction (le « 22 » de l’exemple ci-dessus). Un terme oublié change la solution de l’équation.

5Mise en équation d’un problème

Savoir résoudre une équation ne sert à rien si l’on ne sait pas la construire. Cette dernière compétence — la plus délicate, mais aussi la plus utile dans la vraie vie — consiste à traduire un texte en langage mathématique. Elle suit toujours la même méthode, en quatre étapes.

Méthode — mettre un problème en équation
  1. Choisir l’inconnue : on désigne par xx la quantité cherchée, en précisant clairement son unité (F CFA, années, mètres…).
  2. Mettre en équation : on traduit chaque phrase de l’énoncé par une expression algébrique, jusqu’à obtenir une égalité complète.
  3. Résoudre l’équation obtenue, avec les méthodes des sections précédentes.
  4. Vérifier et conclure : on vérifie que la solution est cohérente avec l’énoncé, puis on répond par une phrase complète, avec l’unité.
La méthode en 4 étapes pour mettre un problème en équation 1 Choisir l’inconnue on nomme x, avec son unité 2 Mettre en équation on traduit l’énoncé 3 Résoudre règles de transformation 4 Vérifier, conclure on relit, on répond Ces quatre étapes s’appliquent à tous les problèmes, quel que soit leur contexte.
Figure 5 — La méthode en quatre étapes pour transformer un texte en équation, puis en solution.
Exemple — la somme de deux nombres consécutifs

La somme de deux nombres entiers consécutifs vaut 4747. Quels sont ces deux nombres ?

1. Choix de l’inconnue. On note xx le plus petit des deux nombres ; l’autre s’écrit alors x+1x+1.

2. Mise en équation. Leur somme vaut 4747 :

x+(x+1)=47x + (x+1) = 47

3. Résolution.

  1. x+(x+1)=47x+(x+1)=47
  2. ⇔\Leftrightarrow2x+1=472x+1=47on réduit le premier membre
  3. ⇔\Leftrightarrow2x=462x=46on retire 11 aux deux membres
  4. ⇔\Leftrightarrowx=23x=23on divise les deux membres par 22

4. Vérification, conclusion. 2323 et 2424 sont bien deux entiers consécutifs, et 23+24=4723+24=47. Les deux nombres cherchés sont 23 et 24.

Exemple — les cahiers d’Aminata

Aminata achète des cahiers à 250250 F CFA l’un. Elle paie avec un billet de 5 0005\,000 F CFA et le vendeur lui rend 500500 F CFA. Combien de cahiers a-t-elle achetés ?

1. Choix de l’inconnue. On note xx le nombre de cahiers achetés (xx est un entier).

2. Mise en équation. Le prix payé plus la monnaie rendue reconstitue le billet donné :

250x+500=5 000250x + 500 = 5\,000

3. Résolution.

  1. 250x+500=5 000250x+500=5\,000
  2. ⇔\Leftrightarrow250x=4 500250x=4\,500on retire 500500 aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrowx=18x=18on divise les deux membres par 250250

4. Vérification, conclusion. 1818 est bien un entier, et 250×18+500=5 000250 \times 18 + 500 = 5\,000. Aminata a acheté 18 cahiers.

Attention

La valeur de xx n’est pas toujours la réponse à la question posée : relis l’énoncé, il demande parfois une autre quantité (un prix total, un âge dans plusieurs années…). Vérifie aussi que ta solution a un sens dans le contexte : un nombre de personnes ou un prix ne peut pas être négatif.

Math & Co — La méthode égyptienne de la « fausse position »

Vers −1650-1650, le scribe égyptien Ahmès recopie un rouleau de problèmes aujourd’hui appelé papyrus Rhind, conservé au British Museum. On y trouve des énoncés comme : « une quantité, à laquelle on ajoute son septième, donne 1919 » — exactement le type de problème que tu sais désormais mettre en équation : x+x7=19x + \dfrac{x}{7} = 19.

Les scribes égyptiens ne connaissaient pas encore l’écriture algébrique : ils utilisaient la méthode de la fausse position, qui consiste à essayer une valeur simple, puis à corriger le résultat par proportionnalité. Il faudra attendre plusieurs millénaires, et les travaux d’al-Khwarizmi, pour que la méthode que tu utilises aujourd’hui — poser xx et résoudre directement — remplace ce tâtonnement savant.

Fiche mémo

  • Une équation est une égalité avec une inconnue xx ; une solution rend l’égalité vraie.
  • Règle n°1 : on peut ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres.
  • Règle n°2 : on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre k≠0k \neq 0.
  • Pour ax+b=cx+dax+b=cx+d : regrouper les xx d’un côté, les nombres de l’autre, réduire, puis diviser.
  • Parenthèses : toujours les développer avant de résoudre ; −(a+b)=−a−b-(a+b) = -a-b.
  • Fractions : multiplier tous les termes des deux membres par un dénominateur commun.
  • Cas particuliers : égalité fausse (3=73=7) → aucune solution ; égalité toujours vraie (0=00=0) → infinité de solutions.
  • Mettre en équation, 4 étapes : choisir xx avec son unité, traduire par une équation, résoudre, vérifier puis conclure par une phrase.
  • Toujours vérifier la solution dans l’équation de départ, et dans le contexte du problème.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

Le nombre 44 est-il solution de l’équation 3x−2=2x+23x-2=2x+2 ?

Voir le corrigé détaillé
  1. on remplace xx par 44 dans chaque membre
  2. premier membre : 3×4−2=103\times4-2=10
  3. second membre : 2×4+2=102\times4+2=10
  4. ⇒\Rightarrowles deux membres sont égaux, donc 44 est solution
2

Résous l’équation x+7=15x+7=15.

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  1. x+7=15x+7=15
  2. ⇔\Leftrightarrowx=15−7x=15-7on retire 7 aux deux membres
  3. ⇒\Rightarrowx=8x=8

Vérification : 8+7=158+7=15. ✓

3

Résous l’équation 5x=455x=45.

Voir le corrigé détaillé
  1. 5x=455x=45
  2. ⇔\Leftrightarrowx=455x=\dfrac{45}{5}on divise les deux membres par 5
  3. ⇒\Rightarrowx=9x=9

Vérification : 5×9=455\times9=45. ✓

4

Résous l’équation 3x−4=113x-4=11.

Voir le corrigé détaillé
  1. 3x−4=113x-4=11
  2. ⇔\Leftrightarrow3x=153x=15on ajoute 4 aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrowx=5x=5on divise les deux membres par 3

Vérification : 3×5−4=113\times5-4=11. ✓

5

Résous l’équation 2x+3=x+92x+3=x+9.

Voir le corrigé détaillé
  1. 2x+3=x+92x+3=x+9
  2. ⇔\Leftrightarrowx+3=9x+3=9on retire xx aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrowx=6x=6on retire 3 aux deux membres

Vérification : 2×6+3=152\times6+3=15 et 6+9=156+9=15. ✓

Niveau 2 — Approfondissement
6

Résous l’équation 2(x−3)+5=132(x-3)+5=13.

Voir le corrigé détaillé
  1. 2(x−3)+5=132(x-3)+5=13
  2. ⇔\Leftrightarrow2x−6+5=132x-6+5=13on développe la parenthèse
  3. ⇔\Leftrightarrow2x−1=132x-1=13on réduit −6+5-6+5
  4. ⇔\Leftrightarrow2x=142x=14on ajoute 1 aux deux membres
  5. ⇔\Leftrightarrowx=7x=7on divise les deux membres par 2

Vérification : 2(7−3)+5=132(7-3)+5=13. ✓

7

Résous l’équation 4(x+1)=3(x+5)4(x+1)=3(x+5).

Voir le corrigé détaillé
  1. 4(x+1)=3(x+5)4(x+1)=3(x+5)
  2. ⇔\Leftrightarrow4x+4=3x+154x+4=3x+15on développe les deux parenthèses
  3. ⇔\Leftrightarrowx+4=15x+4=15on retire 3x3x aux deux membres
  4. ⇔\Leftrightarrowx=11x=11on retire 4 aux deux membres

Vérification : 4×12=484\times12=48 et 3×16=483\times16=48. ✓

8

Résous l’équation x3−2=5\dfrac{x}{3}-2=5.

Voir le corrigé détaillé
  1. x3−2=5\dfrac{x}{3}-2=5
  2. ⇔\Leftrightarrowx3=7\dfrac{x}{3}=7on ajoute 2 aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrowx=21x=21on multiplie les deux membres par 3

Vérification : 213−2=5\dfrac{21}{3}-2=5. ✓

9

Résous l’équation x2+x3=10\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=10.

Voir le corrigé détaillé
  1. x2+x3=10\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=10
  2. ⇔\Leftrightarrow6×(x2+x3)=6×106\times\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}\right)=6\times10on multiplie tous les termes par 6, le PPCM de 2 et 3
  3. ⇔\Leftrightarrow3x+2x=603x+2x=60on simplifie chaque terme
  4. ⇔\Leftrightarrow5x=605x=60
  5. ⇔\Leftrightarrowx=12x=12on divise les deux membres par 5

Vérification : 122+123=6+4=10\dfrac{12}{2}+\dfrac{12}{3}=6+4=10. ✓

10

Résous l’équation 5x−2x+4=2x−1+105x-2x+4=2x-1+10.

Voir le corrigé détaillé
  1. 5x−2x+4=2x−1+105x-2x+4=2x-1+10
  2. ⇔\Leftrightarrow3x+4=2x+93x+4=2x+9on réduit chaque membre séparément
  3. ⇔\Leftrightarrowx+4=9x+4=9on retire 2x2x aux deux membres
  4. ⇔\Leftrightarrowx=5x=5on retire 4 aux deux membres

Vérification : les deux membres valent 1919 pour x=5x=5. ✓

Niveau 3 — Défi
11

On considère l’équation 2(x+1)3=x−2\dfrac{2(x+1)}{3}=x-2.

  1. Montre que cette équation équivaut à 2x+2=3x−62x+2=3x-6.
  2. Résous cette équation.
  3. Vérifie ta solution dans l’équation de départ.
Voir le corrigé détaillé

1. On multiplie les deux membres par 33 pour éliminer le dénominateur.

  1. 2(x+1)3=x−2\dfrac{2(x+1)}{3}=x-2
  2. ⇔\Leftrightarrow3×2(x+1)3=3×(x−2)3\times\dfrac{2(x+1)}{3}=3\times(x-2)on multiplie les deux membres par 3
  3. ⇔\Leftrightarrow2(x+1)=3(x−2)2(x+1)=3(x-2)
  4. ⇔\Leftrightarrow2x+2=3x−62x+2=3x-6on développe les deux parenthèses

2.

  1. 2x+2=3x−62x+2=3x-6
  2. ⇔\Leftrightarrow2+6=3x−2x2+6=3x-2xon retire 2x2x et on ajoute 6 aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrowx=8x=8

3. Dans l’équation de départ : 2(8+1)3=183=6\dfrac{2(8+1)}{3}=\dfrac{18}{3}=6 et 8−2=68-2=6. Les deux membres sont égaux : x=8x=8 est bien la solution.

12

On considère l’équation 3(x−1)+5=3x+23(x-1)+5=3x+2.

  1. Développe le premier membre.
  2. Que remarques-tu ? Conclus sur le nombre de solutions.
  3. Propose un exemple de valeur de xx et vérifie-le.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 3(x−1)+53(x-1)+5
  2. ==3x−3+53x-3+5on développe la parenthèse
  3. ==3x+23x+2

2. L’équation devient 3x+2=3x+23x+2=3x+2, c’est-à-dire, en retirant 3x3x aux deux membres, 2=22=2 : une égalité toujours vraie. L’équation admet donc une infinité de solutions : tout nombre xx convient.

3. Prenons x=0x=0 : premier membre 3(0−1)+5=23(0-1)+5=2, second membre 3×0+2=23\times0+2=2. Les deux membres sont égaux, ce qui confirme que x=0x=0 est solution — comme n’importe quel autre nombre.

13

Un nombre xx vérifie : le triple de xx diminué de 77 est égal au double de la somme de xx et 44.

  1. Traduis cet énoncé par une équation.
  2. Résous cette équation.
  3. Vérifie ta solution.
Voir le corrigé détaillé

1. Le triple de xx diminué de 77 s’écrit 3x−73x-7 ; la somme de xx et 44 s’écrit x+4x+4, et son double 2(x+4)2(x+4). L’équation est :

3x−7=2(x+4)3x-7=2(x+4)

2.

  1. 3x−7=2(x+4)3x-7=2(x+4)
  2. ⇔\Leftrightarrow3x−7=2x+83x-7=2x+8on développe la parenthèse
  3. ⇔\Leftrightarrowx−7=8x-7=8on retire 2x2x aux deux membres
  4. ⇔\Leftrightarrowx=15x=15on ajoute 7 aux deux membres

3. Vérification : 3×15−7=383\times15-7=38 et 2×(15+4)=382\times(15+4)=38. ✓

La solution x = 15 sur la droite graduée 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x = 15 3 × 15 − 7 = 38 = 2 × (15 + 4) : l’égalité est vraie.
Figure 6 — La solution x=15x=15 de l’exercice 13, replacée sur une droite graduée.
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Le taxi de Fatou (Dakar). À Dakar, un taxi facture 500500 F CFA de prise en charge, puis 150150 F CFA par kilomètre parcouru. Pour une course, Fatou a payé 3 2003\,200 F CFA. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

Voir le corrigé détaillé

1. Inconnue. On note xx la distance parcourue, en kilomètres.

2. Mise en équation.

500+150x=3 200500+150x=3\,200

3. Résolution.

  1. 500+150x=3 200500+150x=3\,200
  2. ⇔\Leftrightarrow150x=2 700150x=2\,700on retire 500 aux deux membres
  3. ⇔\Leftrightarrowx=18x=18on divise les deux membres par 150

4. Conclusion. 500+150×18=3 200500+150\times18=3\,200. Fatou a parcouru 18 km.

15

Le marché d’Abéché. Au marché d’Abéché, un sac de mil coûte 2 5002\,500 F CFA de plus qu’un sac de sorgho. Boukar achète 33 sacs de sorgho et 22 sacs de mil pour un total de 42 50042\,500 F CFA. Quel est le prix d’un sac de sorgho ?

Voir le corrigé détaillé

1. Inconnue. On note xx le prix, en F CFA, d’un sac de sorgho ; un sac de mil coûte alors x+2 500x+2\,500.

2. Mise en équation.

3x+2(x+2 500)=42 5003x+2(x+2\,500)=42\,500

3. Résolution.

  1. 3x+2(x+2 500)=42 5003x+2(x+2\,500)=42\,500
  2. ⇔\Leftrightarrow3x+2x+5 000=42 5003x+2x+5\,000=42\,500on développe la parenthèse
  3. ⇔\Leftrightarrow5x+5 000=42 5005x+5\,000=42\,500on réduit 3x+2x3x+2x
  4. ⇔\Leftrightarrow5x=37 5005x=37\,500on retire 5 000 aux deux membres
  5. ⇔\Leftrightarrowx=7 500x=7\,500on divise les deux membres par 5

4. Conclusion. 3×7 500+2×10 000=42 5003\times7\,500+2\times10\,000=42\,500. Un sac de sorgho coûte 7 500 F CFA (et un sac de mil, 10 00010\,000 F CFA).

16

Les économies d’Amara (Abidjan). Amara avait économisé une somme d’argent. À Abidjan, il en dépense le tiers pour un titre de transport, puis 4 0004\,000 F CFA pour un repas. Il lui reste alors 6 0006\,000 F CFA. Quelle somme avait-il économisée au départ ?

Voir le corrigé détaillé

1. Inconnue. On note xx la somme initiale, en F CFA.

2. Mise en équation. Il dépense x3\dfrac{x}{3} puis 4 0004\,000 F CFA, et il lui reste 6 0006\,000 F CFA :

x−x3−4 000=6 000x-\dfrac{x}{3}-4\,000=6\,000

3. Résolution.

  1. x−x3−4 000=6 000x-\dfrac{x}{3}-4\,000=6\,000
  2. ⇔\Leftrightarrow3x−x−12 000=18 0003x-x-12\,000=18\,000on multiplie tous les termes par 3
  3. ⇔\Leftrightarrow2x=30 0002x=30\,000on réduit puis on ajoute 12 000 aux deux membres
  4. ⇔\Leftrightarrowx=15 000x=15\,000on divise les deux membres par 2

4. Conclusion. 15 000−15 0003−4 000=15 000−5 000−4 000=6 00015\,000-\dfrac{15\,000}{3}-4\,000=15\,000-5\,000-4\,000=6\,000. Amara avait économisé 15 000 F CFA.

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans l'équation x+2=7x+2=7, comment appelle-t-on l'expression x+2x+2 ?

Explication : L'expression à gauche du signe == s'appelle le premier membre ; celle à droite (ici 77) est le second membre.

Une solution d'une équation est une valeur de xx qui :

Explication : Une solution est une valeur de xx pour laquelle l'égalité devient vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions.

Teste si 55 est solution de 2x+1=3x−42x+1=3x-4.

Explication : On remplace xx par 55 :
premier membre : 2×5+1=112\times 5+1=11
second membre : 3×5−4=113\times 5-4=11.
Les deux membres sont égaux : 55 est bien solution.

Pour résoudre x−5=12x-5=12, quelle opération applique-t-on aux deux membres ?

Explication : On ne change pas les solutions en ajoutant le même nombre aux deux membres. Ici, on ajoute 55 pour isoler xx.

Résous x−5=12x-5=12.

Explication : On ajoute 55 aux deux membres :
x−5+5=12+5x-5+5=12+5
x=17x=17. Vérification : 17−5=1217-5=12.

Pour résoudre 4x=364x=36, quelle opération applique-t-on aux deux membres ?

Explication : On ne change pas les solutions en divisant les deux membres par le même nombre non nul. Ici, on divise par 44 pour isoler xx.

Résous 4x=364x=36.

Explication : 4x4=364\dfrac{4x}{4} = \dfrac{36}{4}
x=9x=9. Vérification : 4×9=364\times 9=36.

Diviser 2x+62x+6 par 22 donne :

Explication : Il faut diviser chaque terme du membre par 22 : 2x2+62=x+3\dfrac{2x}{2}+\dfrac{6}{2} = x+3. Diviser un seul terme sur deux, comme dans x+6x+6, est un piège classique.

Résous l'équation 3x+5=x+113x+5=x+11.

Explication : On retire xx aux deux membres :
2x+5=112x+5=11
on retire 55 :
2x=62x=6
on divise par 22 : x=3x=3.

L'équation 2x+3=2x+72x+3=2x+7 équivaut, après simplification, à 3=73=7. Que peut-on en conclure ?

Explication : Quand les termes en xx s'annulent et que l'égalité restante est fausse (comme 3=73=7), l'équation n'a aucune solution.

L'équation 3(x−1)+5=3x+23(x-1)+5=3x+2 se réduit à 2=22=2. Que peut-on en conclure ?

Explication : Quand les termes en xx s'annulent et que l'égalité restante est toujours vraie (comme 2=22=2), tout nombre xx est solution.

Résous 3(x+2)−5=2(x−1)3(x+2)-5=2(x-1).

Explication : On développe : 3x+6−5=2x−23x+6-5=2x-2, soit 3x+1=2x−23x+1=2x-2.
On retire 2x2x : x+1=−2x+1=-2
on retire 11 : x=−3x=-3.

Développe −(2x−5)-(2x-5).

Explication : Le signe −- devant la parenthèse change le signe de chaque terme : −2x+5-2x+5, et surtout pas −2x−5-2x-5.

Pour résoudre x3+2=x2\dfrac{x}{3}+2=\dfrac{x}{2}, on multiplie tous les termes des deux membres par :

Explication : On multiplie par 66, le PPCM de 33 et 22, afin que chaque fraction se simplifie en un terme sans dénominateur.

Résous x3+2=x2\dfrac{x}{3}+2=\dfrac{x}{2}.

Explication : On multiplie tout par 66 :
2x+12=3x2x+12=3x
on retire 2x2x : 12=x12=x. Vérification : 123+2=6\dfrac{12}{3}+2=6 et 122=6\dfrac{12}{2}=6.

Dans la méthode en quatre étapes pour mettre un problème en équation, la première étape consiste à :

Explication : La première étape consiste toujours à choisir l'inconnue xx et à préciser son unité, avant de traduire l'énoncé par une équation.

La somme de deux entiers consécutifs vaut 4747. En notant xx le plus petit, quelle équation traduit cet énoncé ?

Explication : Le second entier consécutif s'écrit x+1x+1, et leur somme vaut 4747 : x+(x+1)=47x+(x+1)=47.

Aminata achète des cahiers à 250250 F CFA l'un. Avec un billet de 5 0005\,000 F CFA, on lui rend 500500 F CFA. Combien de cahiers a-t-elle achetés ?

Explication : 250x+500=5 000250x+500=5\,000
250x=4 500250x=4\,500
x=18x=18.

Un sac de mil coûte 2 5002\,500 F CFA de plus qu'un sac de sorgho. Boukar achète 33 sacs de sorgho et 22 sacs de mil pour 42 50042\,500 F CFA. Quel est le prix d'un sac de sorgho ?

Explication : 3x+2(x+2 500)=42 5003x+2(x+2\,500)=42\,500
5x+5 000=42 5005x+5\,000=42\,500
5x=37 5005x=37\,500
x=7 500x=7\,500 F CFA.

Amara dépense le tiers de ses économies pour un transport, puis 4 0004\,000 F CFA pour un repas. Il lui reste 6 0006\,000 F CFA. Quelle somme avait-il économisée au départ ?

Explication : x−x3−4 000=6 000x-\dfrac{x}{3}-4\,000=6\,000
en multipliant tout par 33 : 3x−x−12 000=18 0003x-x-12\,000=18\,000
2x=30 0002x=30\,000
x=15 000x=15\,000 F CFA.
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