Calcul avec les nombres relatifs en écriture fractionnaire

Additionner, multiplier et diviser des relatifs écrits sous forme de fractions.

Mathématiques 4ème Chapitre 2 / 13 ⏱ 7 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Calculer une expression fractionnaire relative
Respecter les priorités et les signes
Donner un résultat sous forme irréductible

Depuis la classe de 5ᵉ, tu sais additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres relatifs comme $-7$ ou $+12$ . Depuis la 6ᵉ, tu sais aussi manier des fractions comme $\dfrac{3}{4}$ ou $\dfrac{7}{2}$ . Ce chapitre réunit ces deux savoir-faire : tu vas calculer avec des fractions relatives, c'est-à-dire des fractions munies d'un signe, comme $-\dfrac{5}{3}$ ou $+\dfrac{11}{4}$ .

Ces nombres sont partout dès qu'une grandeur se partage et peut varier dans les deux sens : une variation de température exprimée en fraction de degré, la part d'une dette partagée entre plusieurs personnes, le niveau d'un fleuve qui baisse de $\dfrac{3}{4}$ de mètre en saison sèche, ou la variation d'un stock de marchandises dans une boutique.

La bonne nouvelle : tu ne vas apprendre aucune règle nouvelle. Les règles de signes des relatifs et les règles de calcul sur les fractions, tu les connais déjà séparément. Le seul vrai défi de ce chapitre est de les appliquer ensemble, sans jamais les mélanger, en respectant toujours les priorités opératoires et en donnant un résultat sous forme irréductible.

1Rappels sur les relatifs

Avant de mélanger relatifs et fractions, refaisons le point sur les relatifs seuls : ce sont les fondations de tout le chapitre.

1.1 Addition et soustraction des relatifs

Propriété — additionner deux relatifs

Signes identiques : on additionne leurs distances à zéro, et on garde le signe commun.

Signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Exemple — additionner des relatifs

$-7 + (-4) = -11$ signes identiques : $7+4=11$ , on garde le signe $-$
$+8 + (-3) = +5$ signes contraires : $8-3=5$ , on garde le signe de $8$
$-2 + 9 = +7$ signes contraires : $9-2=7$ , on garde le signe de $9$

Attention

Soustraire un relatif, c'est ajouter son opposé : $a - b = a + (-b)$ . C'est la règle la plus utile de tout le chapitre : dès qu'un calcul se complique, transforme systématiquement les soustractions en additions avant de continuer.

$-5 - (-9) = -5 + 9 = +4$

1.2 Multiplication et division des relatifs : la règle des signes

D'où vient la règle « moins fois moins égale plus » ? Elle n'est pas décrétée par hasard : elle prolonge simplement un motif numérique que tu connais déjà.

Démonstration — pourquoi

(-) \times (-) = (+)

Dans la table de $3$ , chaque fois que le second facteur diminue de $1$ , le résultat diminue de $3$ :

$3 \times 2 = 6$
$3 \times 1 = 3$
$3 \times 0 = 0$
$\Rightarrow$ $3 \times (-1) = -3$ le motif continue : $(+)\times(-) = (-)$

Recommençons avec la table de $-3$ : chaque fois que le second facteur diminue de $1$ , le résultat augmente de $3$ :

$(-3) \times 2 = -6$
$(-3) \times 1 = -3$
$(-3) \times 0 = 0$
$\Rightarrow$ $(-3) \times (-1) = +3$ le motif continue : $(-)\times(-) = (+)$

Le seul moyen de prolonger la table sans rupture du motif est donc bien $(-)\times(-) = (+)$ . C.Q.F.D.

Figure 1 — La règle des signes pour la multiplication et la division : elle ne dépend que du nombre de signes « − » présents, jamais des valeurs des nombres.

Propriété — règle des signes

Cette règle vaut pour la multiplication et pour la division :

$(+) \times (+) = (+)$ et $(+) \div (+) = (+)$
$(+) \times (-) = (-)$ et $(+) \div (-) = (-)$
$(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \div (+) = (-)$
$(-) \times (-) = (+)$ et $(-) \div (-) = (+)$

Astuce : compte le nombre de facteurs négatifs dans un produit. S'il est pair, le résultat est positif ; s'il est impair, le résultat est négatif.

Exemple — appliquer la règle des signes

$(-6) \times (-7) = +42$ deux facteurs négatifs : résultat positif
$(-36) \div 4 = -9$ un facteur négatif : résultat négatif
$(-2) \times (-3) \times (-5) = -30$ trois facteurs négatifs (impair) : résultat négatif

Math & Co — Des bâtonnets rouges et noirs

Les nombres négatifs ne sont pas une invention récente. Dès le Ier siècle avant notre ère, l'ouvrage chinois Jiuzhang Suanshu (« Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique ») explique comment résoudre des systèmes en utilisant des bâtonnets de calcul : des bâtonnets rouges pour les quantités positives, des bâtonnets noirs pour les quantités négatives — l'inverse de notre code couleur habituel pour un compte bancaire !

Ce même traité manipule déjà couramment des fractions, avec des règles de simplification très proches des tiennes. Il faudra ensuite attendre le mathématicien indien Brahmagupta, vers l'an $628$ , pour qu'un texte énonce clairement les règles de signes pour l'addition, la soustraction et la multiplication, en parlant de « biens » (positifs) et de « dettes » (négatifs).

1.3 Comparer des relatifs, y compris des fractions

Propriété — comparer des relatifs

Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif.
Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

Pour comparer deux fractions relatives, on les réduit d'abord au même dénominateur positif, puis on compare simplement les numérateurs, comme des relatifs.

Figure 2 — Une fraction relative occupe une place précise sur la droite graduée : plus elle est à droite, plus elle est grande.

Exemple — comparer

-\dfrac{3}{4}

-\dfrac{4}{5}

$-\dfrac{3}{4} = -\dfrac{15}{20}$ dénominateur commun $20$
$-\dfrac{4}{5} = -\dfrac{16}{20}$
$-15 > -16$ $-15$ a une distance à zéro plus petite que $-16$
$\Rightarrow$ $-\dfrac{3}{4} > -\dfrac{4}{5}$

2Addition et soustraction de fractions relatives

Une fraction relative est une fraction affectée d'un signe, comme $-\dfrac{5}{6}$ ou $+\dfrac{11}{4}$ (que l'on note simplement $\dfrac{11}{4}$ ). Pour l'additionner ou la soustraire, tu vas combiner deux techniques que tu maîtrises déjà séparément : les règles de signes des relatifs, et la réduction au même dénominateur.

2.1 Écrire et simplifier une fraction relative

Définition

Une fraction relative est le quotient de deux nombres relatifs $a$ et $b$ , avec $b \neq 0$ . Son signe est donné par la règle des signes de la division.

Propriété — les trois écritures d'une fraction négative

Pour tous nombres $a$ et $b$ ( $b \neq 0$ ), les trois écritures suivantes désignent le même nombre :

$\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}$

Dans la pratique, on préfère toujours la troisième écriture : le signe devant la fraction, jamais au numérateur ni au dénominateur.

Méthode — simplifier une fraction relative

1) On isole le signe devant la fraction. 2) On calcule le $\text{PGCD}$ du numérateur et du dénominateur, rendus positifs. 3) On divise les deux par ce PGCD.

Figure 3 —

-\dfrac{8}{12}

-\dfrac{2}{3}

représentent la même quantité : la partie colorée occupe exactement la même proportion du rectangle.

Exemple — simplifier des fractions relatives

$-\dfrac{8}{12}$ $\text{PGCD}(8,12)=4$
$=$ $-\dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = -\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{45}{-60} = -\dfrac{45}{60}$ $\text{PGCD}(45,60)=15$
$=$ $-\dfrac{3}{4}$

2.2 Additionner et soustraire des fractions relatives

Propriété — même dénominateur

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c} \qquad\qquad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}$

Si les dénominateurs sont différents, on réduit d'abord les deux fractions au même dénominateur (souvent leur produit, ou mieux, leur $\text{PPCM}$ ), puis on applique cette règle.

Exemple — dénominateurs différents

$-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$
$=$ $-\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}$ dénominateur commun $12$
$=$ $\dfrac{1}{12}$

Exemple — soustraire une fraction négative

$-\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{7}{9}\right) = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{9}$ soustraire, c'est ajouter l'opposé
$=$ $-\dfrac{6}{9} + \dfrac{7}{9}$ dénominateur commun $9$
$=$ $\dfrac{1}{9}$

Figure 4 — Additionner une fraction relative, c'est se déplacer sur une graduation : ici, la température passe de

-\dfrac{7}{2}\ ^{\circ}\text{C}

\dfrac{5}{2}\ ^{\circ}\text{C}

Attention

On n'additionne jamais directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$ . Il faut d'abord réduire les deux fractions au même dénominateur, puis n'additionner que les numérateurs.

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}$
$=$ $\dfrac{5}{6}$ et surtout pas $\dfrac{2}{5}$ !

Math & Co — Qui a inventé la barre de fraction ?

La petite barre horizontale que tu traces entre le numérateur et le dénominateur n'a rien d'évident : les Égyptiens et longtemps les mathématiciens arabes s'en passaient. C'est le mathématicien maghrébin Al-Hassar, actif au XIIe siècle à Fès, qui l'utilise le premier de façon systématique, dans son traité Kitab al-Bayan.

L'idée traverse ensuite la Méditerranée : en $1202$ , le mathématicien italien Fibonacci la reprend dans son Liber Abaci et la diffuse dans toute l'Europe. Depuis huit siècles, cette barre dit toujours la même chose : « ce qui est au-dessus est partagé en autant de parts que l'indique ce qui est en dessous ».

Tu sais maintenant additionner et soustraire des fractions relatives. Passons à la multiplication et à la division, où la règle des signes de la section 1 va se combiner avec les techniques habituelles sur les fractions.

3Multiplication et division

Pour multiplier ou diviser des fractions relatives, tu vas simplement combiner la règle des signes de la section 1 avec les techniques de calcul sur les fractions que tu connais depuis la 6ᵉ.

3.1 Multiplier deux fractions relatives

Propriété — produit de deux fractions

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} \qquad (b \neq 0,\ d \neq 0)$

On multiplie les numérateurs entre eux, on multiplie les dénominateurs entre eux, et le signe du résultat suit la règle des signes vue en section 1.

Méthode — simplifier avant de multiplier

Plutôt que de multiplier de grands nombres puis de simplifier, il est souvent plus rapide de simplifier « en croix » avant de multiplier : on cherche un facteur commun entre un numérateur et n'importe quel dénominateur.

Exemple — multiplier avec simplification croisée

$\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right)$ deux facteurs négatifs : le résultat sera positif
$=$ $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$
$=$ $\dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{3}$ on simplifie $3$ avec $9$ (par $3$ ), et $8$ avec $4$ (par $4$ )
$=$ $\dfrac{2}{3}$

Exemple — un facteur nul

$\left(-\dfrac{7}{10}\right) \times 0 = 0$ tout produit par $0$ est nul, quel que soit le signe

3.2 Diviser deux fractions relatives

Définition

L'inverse d'une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$ ) est la fraction $\dfrac{b}{a}$ , obtenue en « retournant » la fraction.

Démonstration — le produit d'une fraction par son inverse vaut

1

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \times b}{b \times a}$
$=$ $\dfrac{a \times b}{a \times b}$ la multiplication est commutative
$=$ $1$ un nombre non nul divisé par lui-même vaut $1$

Propriété — diviser par une fraction

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \qquad (c \neq 0)$

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. On applique ensuite la règle des signes comme pour une multiplication.

Attention

Ne confonds jamais opposé (on change le signe) et inverse (on retourne la fraction) ! L'inverse d'une fraction négative reste négative : l'inverse de $-\dfrac{3}{5}$ est $-\dfrac{5}{3}$ , et non $\dfrac{5}{3}$ .

Exemple — diviser deux fractions relatives

$\left(-\dfrac{3}{5}\right) \div \dfrac{2}{7} = \left(-\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{7}{2}$ on multiplie par l'inverse de $\dfrac{2}{7}$
$=$ $-\dfrac{21}{10}$
$\left(-\dfrac{5}{6}\right) \div \left(-\dfrac{5}{12}\right) = \left(-\dfrac{5}{6}\right) \times \left(-\dfrac{12}{5}\right)$ deux facteurs négatifs après passage à l'inverse
$=$ $\dfrac{60}{30} = 2$

4Priorités opératoires

Les priorités opératoires que tu connais pour les entiers restent exactement les mêmes pour les fractions relatives. C'est même là que les erreurs de signe se glissent le plus facilement : mieux vaut être méthodique.

Propriété — l'ordre des priorités

On calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, en partant des plus intérieures.
On effectue ensuite les multiplications et divisions, dans l'ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.
On termine par les additions et soustractions, dans l'ordre où elles apparaissent, de gauche à droite.

Méthode — rédiger un calcul avec priorités

Repère d'abord, dans l'expression, l'opération prioritaire (surligne-la mentalement). Effectue-la seule sur une ligne du bloc de calcul, sans toucher au reste de l'expression. Recommence jusqu'à n'avoir plus qu'une seule opération.

Exemple — multiplication prioritaire sur la soustraction

$C = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$
$=$ $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}$ la multiplication d'abord : $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$
$=$ $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6}$
$=$ $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Exemple — une parenthèse à calculer en premier

$D = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{6}{5}\right)$
$=$ $\left(\dfrac{3}{12} - \dfrac{8}{12}\right) \times \left(-\dfrac{6}{5}\right)$ la parenthèse d'abord
$=$ $\left(-\dfrac{5}{12}\right) \times \left(-\dfrac{6}{5}\right)$
$=$ $\dfrac{30}{60} = \dfrac{1}{2}$

Attention

Un signe « $-$ » devant une parenthèse se distribue sur chaque terme à l'intérieur, avec un changement de signe pour chacun.

$-\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right)$
$=$ $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}$ et surtout pas $-\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}$ !
$=$ $-\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = -\dfrac{5}{12}$

5Enchaînements

Un « enchaînement » est un calcul long, qui combine additions, soustractions, multiplications et divisions de fractions relatives, avec parfois des parenthèses imbriquées. La difficulté n'est pas mathématique : elle est méthodologique. Une rédaction soignée, étape par étape, évite presque toutes les erreurs de signe.

Méthode — réussir un enchaînement long

Transforme systématiquement chaque soustraction en addition de l'opposé.
Repère s'il existe un facteur commun à plusieurs termes : factoriser simplifie souvent énormément le calcul.
N'effectue qu'une seule opération par ligne du bloc de calcul, en respectant les priorités.
Simplifie chaque fraction dès qu'elle apparaît, plutôt que d'attendre la fin.

Exemple — un enchaînement complet

$E = \left(-\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}\right) \times (-4) - \dfrac{1}{2} \div \left(-\dfrac{1}{4}\right)$
$=$ $\left(-\dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6}\right) \times (-4) - \dfrac{1}{2} \times (-4)$ parenthèse, puis division transformée en multiplication par l'inverse
$=$ $\dfrac{1}{6} \times (-4) - (-2)$
$=$ $-\dfrac{4}{6} + 2$ soustraire $-2$ , c'est ajouter $2$
$=$ $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{3}$
$=$ $\dfrac{4}{3}$

Exemple — factoriser pour aller plus vite

$F = \dfrac{3}{7} \times \left(-\dfrac{5}{8}\right) + \dfrac{3}{7} \times \dfrac{13}{8}$
$=$ $\dfrac{3}{7} \times \left(-\dfrac{5}{8} + \dfrac{13}{8}\right)$ facteur commun $\dfrac{3}{7}$ : on factorise plutôt que de développer
$=$ $\dfrac{3}{7} \times \dfrac{8}{8}$
$=$ $\dfrac{3}{7} \times 1 = \dfrac{3}{7}$

Tu disposes maintenant de tous les outils pour calculer n'importe quelle expression fractionnaire relative. La fiche mémo ci-dessous résume l'essentiel ; les exercices qui suivent te permettront de t'entraîner, du plus simple au plus exigeant.

Fiche mémo

Addition : signes identiques → on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun ; signes contraires → on soustrait, on garde le signe du plus grand.
Soustraire, c'est ajouter l'opposé : $a - b = a + (-b)$ .
Règle des signes ( $\times$ et $\div$ ) : on compte les facteurs négatifs — nombre pair $\Rightarrow$ résultat positif, nombre impair $\Rightarrow$ résultat négatif.
Écriture d'une fraction négative : $\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}$ — signe toujours devant la fraction.
Simplifier : diviser numérateur et dénominateur par leur $\text{PGCD}$ .
Addition/soustraction de fractions : dénominateur commun obligatoire avant d'opérer sur les numérateurs.
Multiplication : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$ ; simplifier en croix avant de multiplier si possible.
Division : diviser, c'est multiplier par l'inverse : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$ .
Inverse $\neq$ opposé : l'inverse d'une fraction négative reste négative.
Priorités : parenthèses, puis $\times$ et $\div$ (de gauche à droite), puis $+$ et $-$ (de gauche à droite).
Un « $-$ » devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l'intérieur.
Un résultat final s'écrit toujours sous forme irréductible, signe devant la fraction.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Calcule (même dénominateur) : a) $-\dfrac{3}{7} + \left(-\dfrac{2}{7}\right)$ b) $\dfrac{5}{9} - \dfrac{8}{9}$ c) $-\dfrac{4}{11} + \dfrac{7}{11}$ d) $\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right)$

Voir le corrigé détaillé

a) $-\dfrac{3}{7} + \left(-\dfrac{2}{7}\right) = -\dfrac{5}{7}$ signes identiques : on additionne
b) $\dfrac{5}{9} - \dfrac{8}{9} = -\dfrac{3}{9} = -\dfrac{1}{3}$ simplifié par $3$
c) $-\dfrac{4}{11} + \dfrac{7}{11} = \dfrac{3}{11}$
d) $\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$ soustraire, c'est ajouter l'opposé

Calcule (dénominateurs différents) : a) $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}$ b) $-\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6}$ c) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}$ d) $-\dfrac{1}{4} + \left(-\dfrac{2}{3}\right)$

Voir le corrigé détaillé

a) $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = -\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4}$
$=$ $\dfrac{1}{4}$
b) $-\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} = -\dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6}$
$=$ $-\dfrac{5}{6}$
c) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12}$
$=$ $\dfrac{1}{12}$
d) $-\dfrac{1}{4} + \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{3}{12} - \dfrac{8}{12}$
$=$ $-\dfrac{11}{12}$

Simplifie chaque fraction et donne son signe : a) $-\dfrac{18}{24}$ b) $\dfrac{20}{-45}$ c) $-\dfrac{36}{48}$ d) $-\dfrac{14}{49}$

Voir le corrigé détaillé

a) $-\dfrac{18}{24}$ $\text{PGCD}(18,24)=6$
$=$ $-\dfrac{3}{4}$
b) $\dfrac{20}{-45} = -\dfrac{20}{45}$ $\text{PGCD}(20,45)=5$
$=$ $-\dfrac{4}{9}$
c) $-\dfrac{36}{48}$ $\text{PGCD}(36,48)=12$
$=$ $-\dfrac{3}{4}$
d) $-\dfrac{14}{49}$ $\text{PGCD}(14,49)=7$
$=$ $-\dfrac{2}{7}$

Calcule : a) $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{5}{7}$ b) $\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right)$ c) $\dfrac{5}{6} \times \left(-\dfrac{2}{5}\right)$ d) $\left(-\dfrac{7}{10}\right) \times 0$

Voir le corrigé détaillé

a) $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{5}{7} = -\dfrac{10}{21}$ un seul facteur négatif
b) $\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) = \dfrac{24}{36}$ deux facteurs négatifs : résultat positif
$=$ $\dfrac{2}{3}$
c) $\dfrac{5}{6} \times \left(-\dfrac{2}{5}\right) = -\dfrac{10}{30}$
$=$ $-\dfrac{1}{3}$
d) $\left(-\dfrac{7}{10}\right) \times 0 = 0$

Calcule : a) $\left(-\dfrac{3}{5}\right) \div \dfrac{2}{7}$ b) $\dfrac{4}{9} \div \left(-\dfrac{2}{3}\right)$ c) $\left(-\dfrac{5}{6}\right) \div \left(-\dfrac{5}{12}\right)$ d) $\left(-\dfrac{7}{8}\right) \div 1$

Voir le corrigé détaillé

a) $\left(-\dfrac{3}{5}\right) \div \dfrac{2}{7} = \left(-\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{7}{2} = -\dfrac{21}{10}$
b) $\dfrac{4}{9} \div \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{9} \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{12}{18}$
$=$ $-\dfrac{2}{3}$
c) $\left(-\dfrac{5}{6}\right) \div \left(-\dfrac{5}{12}\right) = \left(-\dfrac{5}{6}\right) \times \left(-\dfrac{12}{5}\right) = \dfrac{60}{30}$
$=$ $2$
d) $\left(-\dfrac{7}{8}\right) \div 1 = -\dfrac{7}{8}$

Range dans l'ordre croissant : $-\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{2}{5}$ ; $-\dfrac{5}{6}$ ; $0$ ; $\dfrac{1}{3}$ .

Voir le corrigé détaillé

On convertit chaque fraction en écriture décimale pour comparer facilement.

$-\dfrac{3}{4} = -0{,}75$
$\dfrac{2}{5} = 0{,}4$
$-\dfrac{5}{6} \approx -0{,}83$
$\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$

D'où l'ordre croissant :

$-\dfrac{5}{6} < -\dfrac{3}{4} < 0 < \dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{5}$

Niveau 2 — Approfondissement

Calcule $A = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{6}$ .

Voir le corrigé détaillé

$A = -\dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} - \dfrac{2}{12}$ dénominateur commun $12$
$=$ $\dfrac{-8+15-2}{12}$
$=$ $\dfrac{5}{12}$

Calcule $B = -\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}$ .

Voir le corrigé détaillé

$B = -\dfrac{6}{20} + \dfrac{1}{2}$ multiplication prioritaire
$=$ $-\dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{10}$ $-\dfrac{6}{20}$ simplifiée, dénominateur commun $10$
$=$ $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$

Calcule $C = \dfrac{5}{6} \div \left(-\dfrac{2}{3}\right) - \dfrac{1}{4}$ .

Voir le corrigé détaillé

$C = \dfrac{5}{6} \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) - \dfrac{1}{4}$ division prioritaire, transformée en multiplication
$=$ $-\dfrac{15}{12} - \dfrac{1}{4}$
$=$ $-\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4}$ $-\dfrac{15}{12}$ simplifiée par $3$
$=$ $-\dfrac{6}{4} = -\dfrac{3}{2}$

Calcule $D = -\dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{2}{5} - \dfrac{7}{10}\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{2}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{4}{10} - \dfrac{7}{10} = -\dfrac{3}{10}$ on calcule d'abord la parenthèse
$D = -\dfrac{3}{4} \times \left(-\dfrac{3}{10}\right)$
$=$ $\dfrac{9}{40}$ deux facteurs négatifs

Calcule $E = \left(-\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}\right) \div \left(-\dfrac{1}{6}\right)$ .

Voir le corrigé détaillé

$-\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = -\dfrac{12}{72} = -\dfrac{1}{6}$ on calcule d'abord la parenthèse
$E = \left(-\dfrac{1}{6}\right) \div \left(-\dfrac{1}{6}\right)$
$=$ $1$ un nombre non nul divisé par lui-même

Niveau 3 — Défi

Soit $F = \left(-\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3}\right) \times \left(\dfrac{7}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) \div \left(-\dfrac{3}{8}\right)$ .

Calcule la valeur de chaque parenthèse.
Calcule le produit de ces deux valeurs.
En déduire la valeur de $F$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Les deux parenthèses :

$-\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{6} = -\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{7}{4} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{9}{4}$

2. Le produit :

$\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{9}{4} = -\dfrac{9}{8}$

3. La division finale :

$F = \left(-\dfrac{9}{8}\right) \div \left(-\dfrac{3}{8}\right)$
$=$ $\left(-\dfrac{9}{8}\right) \times \left(-\dfrac{8}{3}\right)$
$=$ $\dfrac{72}{24} = 3$

$F = 3$ .

En repérant un facteur commun, calcule sans développer inutilement : $K = \dfrac{5}{9} \times \left(-\dfrac{3}{7}\right) + \dfrac{5}{9} \times \dfrac{10}{7}$ .

Voir le corrigé détaillé

Le facteur $\dfrac{5}{9}$ est commun aux deux termes : on factorise plutôt que de calculer chaque produit séparément.

$K = \dfrac{5}{9} \times \left(-\dfrac{3}{7} + \dfrac{10}{7}\right)$
$=$ $\dfrac{5}{9} \times \dfrac{7}{7}$
$=$ $\dfrac{5}{9} \times 1 = \dfrac{5}{9}$

Sans calculer leur valeur exacte, détermine le signe de chaque expression, en justifiant :

$M = \left(-\dfrac{7}{5}\right) \times \dfrac{3}{8} \times \left(-\dfrac{2}{9}\right) \times \left(-\dfrac{1}{4}\right)$
$N = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{5}{7}\right) \times \dfrac{4}{9}$

Voir le corrigé détaillé

1. $M$ est un produit de quatre facteurs, dont trois sont négatifs ( $-\dfrac{7}{5}$ , $-\dfrac{2}{9}$ , $-\dfrac{1}{4}$ ). Trois est impair, donc $M$ est négatif.

2. $N$ est un produit de trois facteurs, dont deux sont négatifs ( $-\dfrac{2}{3}$ et $-\dfrac{5}{7}$ ). Deux est pair, donc $N$ est positif.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le stock de riz de Fatou (Abidjan). Fatou tient une boutique. Son stock de riz varie chaque semaine : semaine 1, $-\dfrac{3}{4}$ t (vente) ; semaine 2, $+\dfrac{5}{8}$ t (livraison) ; semaine 3, $-\dfrac{1}{2}$ t (vente).

Calcule la variation totale du stock sur les trois semaines.
Sachant que Fatou avait $5$ tonnes au départ, quel est son stock final, en fraction puis en écriture décimale ?
La tonne de riz coûte $350\,000$ F CFA. Quelle est la valeur du stock final ?

Voir le corrigé détaillé

1. Variation totale, dénominateur commun $8$ :

$-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} - \dfrac{4}{8}$
$=$ $-\dfrac{5}{8}\ \text{t}$

2. Stock final :

$5 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{40}{8} - \dfrac{5}{8}$
$=$ $\dfrac{35}{8} = 4{,}375$ t

3. Valeur du stock :

$4{,}375 \times 350\,000$
$=$ $1\,531\,250$ F CFA

Le stock final de Fatou vaut $1\,531\,250$ F CFA.

Le champ de Moussa (Bamako). Moussa possède un champ de $3\,600$ m² à Bamako. Il en donne $\dfrac{2}{5}$ à son fils, puis reprend $\dfrac{1}{6}$ de ce qu'il lui avait donné.

Quelle fraction du champ le fils possède-t-il finalement ?
Quelle surface cela représente-t-il, en m² ?
Le m² se négocie à $2\,500$ F CFA à Bamako. Quelle est la valeur de cette part ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le fils garde $\dfrac{1}{6}$ de moins que sa part initiale de $\dfrac{2}{5}$ , c'est-à-dire les $\dfrac{5}{6}$ restants de cette part :

$\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5} \times \left(1 - \dfrac{1}{6}\right)$
$=$ $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{6}$
$=$ $\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$

2. Surface :

$3\,600 \times \dfrac{1}{3} = 1\,200\ \text{m}^2$

3. Valeur :

$1\,200 \times 2\,500$
$=$ $3\,000\,000$ F CFA

Le fils de Moussa possède $1\,200$ m², d'une valeur de $3\,000\,000$ F CFA.

La coopérative agricole d'Abéché. Une coopérative tient ses comptes en fraction d'une unité de référence de $1\,200\,000$ F CFA. En janvier, le solde est de $-\dfrac{3}{8}$ de cette unité (dette). En février, une vente rembourse $+\dfrac{5}{6}$ de l'unité. En mars, une dépense retire $\dfrac{1}{3}$ de l'unité.

Calcule le solde final, en fraction de l'unité.
Ce solde est-il positif ou négatif ? Que représente-t-il concrètement pour la coopérative ?
Calcule ce solde en F CFA.

Voir le corrigé détaillé

1. Dénominateur commun $24$ :

$-\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{9}{24} + \dfrac{20}{24} - \dfrac{8}{24}$
$=$ $\dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}$

2. Le solde $\dfrac{1}{8}$ est positif : après ces trois mois, la coopérative n'est plus endettée, elle dispose au contraire d'un excédent.

3. Conversion en F CFA :

$1\,200\,000 \times \dfrac{1}{8}$
$=$ $150\,000$ F CFA

La coopérative dispose d'un excédent de $150\,000$ F CFA.

Teste-toi gratuitement

8 questions

Théorème de Pythagore

Commencer →

📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Calcule : $-7 + (-4) =$

-3

-11

11

-28

Explication : Signes identiques : on additionne les distances à zéro (

7+4=11

) et on garde le signe commun

-

, d'où

-11

Calcule : $-5 - (-9) =$

-14

-4

14

4

Explication : Soustraire un relatif, c'est ajouter son opposé :

-5 - (-9) = -5 + 9

= 4

Calcule : $(-6) \times (-7) =$

42

-42

13

-13

Explication : Deux facteurs négatifs : le résultat est positif.

6 \times 7 = 42

, donc

(-6) \times (-7) = 42

Calcule : $(-2) \times (-3) \times (-5) =$

30

-10

-30

10

Explication : Il y a trois facteurs négatifs : trois est impair, donc le résultat est négatif.

2 \times 3 \times 5 = 30

, d'où

-30

Dans une fraction relative, le signe se place toujours :

au numérateur seulement au dénominateur seulement n'importe où, cela ne change rien devant la fraction

Explication : Les trois écritures

\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}

désignent le même nombre, mais on préfère toujours la dernière : le signe devant la fraction.

Simplifie la fraction $-\dfrac{8}{12}$ .

-\dfrac{4}{6}

-\dfrac{2}{3}

\dfrac{2}{3}

-\dfrac{1}{3}

Explication : Le PGCD de

8

12

est

4

: on divise numérateur et dénominateur par

4

, soit

-\dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = -\dfrac{2}{3}

. Le signe

-

reste devant la fraction.

Calcule : $-\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} =$

-\dfrac{19}{12}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{12}

-\dfrac{1}{12}

Explication : On réduit au dénominateur commun

12

-\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}

= \dfrac{1}{12}

Calcule : $-\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{7}{9}\right) =$

\dfrac{1}{9}

-\dfrac{1}{9}

-\dfrac{13}{9}

\dfrac{13}{9}

Explication : Soustraire, c'est ajouter l'opposé :

-\dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{9} = -\dfrac{6}{9} + \dfrac{7}{9}

= \dfrac{1}{9}

Calcule : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} =$

\dfrac{2}{5}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{5}{6}

Explication : Attention, on n'additionne jamais numérateurs et dénominateurs séparément (

\dfrac{2}{5}

est un piège classique) ! On réduit d'abord au même dénominateur

6

\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}

Calcule : $\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times \left(-\dfrac{8}{9}\right) =$

-\dfrac{2}{3}

\dfrac{2}{3}

-\dfrac{3}{2}

\dfrac{3}{2}

Explication : Deux facteurs négatifs : le résultat est positif. On simplifie avant de multiplier :

3

avec

9

(par

3

) et

8

avec

4

(par

4

), il reste

\dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}

Calcule : $\left(-\dfrac{7}{10}\right) \times 0 =$

0

\dfrac{7}{10}

-\dfrac{7}{10}

\dfrac{10}{7}

Explication : Tout produit par

0

est nul, quel que soit le signe du second facteur.

Quel est l'inverse de $-\dfrac{3}{5}$ ?

\dfrac{5}{3}

\dfrac{3}{5}

-\dfrac{5}{3}

-\dfrac{3}{5}

Explication : On « retourne » la fraction sans changer son signe : l'inverse de

-\dfrac{3}{5}

est

-\dfrac{5}{3}

. Ne confonds pas avec l'opposé, qui serait

\dfrac{3}{5}

Calcule : $\left(-\dfrac{3}{5}\right) \div \dfrac{2}{7} =$

\dfrac{21}{10}

-\dfrac{21}{10}

-\dfrac{6}{35}

\dfrac{6}{35}

Explication : Diviser, c'est multiplier par l'inverse :

\left(-\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{7}{2}

= -\dfrac{21}{10}

Calcule : $\left(-\dfrac{5}{6}\right) \div \left(-\dfrac{5}{12}\right) =$

-2

\dfrac{1}{2}

-\dfrac{1}{2}

2

Explication : On multiplie par l'inverse :

\left(-\dfrac{5}{6}\right) \times \left(-\dfrac{12}{5}\right) = \dfrac{60}{30}

= 2

(deux facteurs négatifs : résultat positif).

Dans un calcul sans parenthèses mêlant addition et multiplication, on effectue en premier :

l'addition, toujours en premier l'opération qui dépend du signe des nombres la multiplication et la division les opérations dans l'ordre où elles sont écrites, sans distinction

Explication : Les priorités opératoires imposent de calculer d'abord les multiplications et divisions, puis seulement les additions et soustractions.

Calcule : $-\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right) =$

\dfrac{5}{12}

-\dfrac{11}{12}

-\dfrac{1}{12}

-\dfrac{5}{12}

Explication : Le signe

-

devant la parenthèse change le signe de chaque terme :

-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12}

= -\dfrac{5}{12}

. Attention à ne pas écrire

-\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}

, qui donnerait

-\dfrac{11}{12}

: c'est le piège classique.

Calcule : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} =$

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{6}

-\dfrac{1}{3}

\dfrac{7}{12}

Explication : La multiplication est prioritaire :

\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}

puis

\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}

En repérant le facteur commun $\dfrac{3}{7}$ , calcule : $\dfrac{3}{7} \times \left(-\dfrac{5}{8}\right) + \dfrac{3}{7} \times \dfrac{13}{8} =$

-\dfrac{3}{7}

\dfrac{3}{7}

1

\dfrac{8}{7}

Explication : On factorise plutôt que de développer :

\dfrac{3}{7} \times \left(-\dfrac{5}{8} + \dfrac{13}{8}\right) = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{8}{8}

= \dfrac{3}{7} \times 1 = \dfrac{3}{7}

Le stock de riz de Fatou varie ainsi sur trois semaines : $-\dfrac{3}{4}$ t, puis $+\dfrac{5}{8}$ t, puis $-\dfrac{1}{2}$ t. Quelle est la variation totale du stock ?

\dfrac{5}{8}\ \text{t}

-\dfrac{1}{8}\ \text{t}

-\dfrac{9}{8}\ \text{t}

-\dfrac{5}{8}\ \text{t}

Explication : On réduit au dénominateur commun

8

-\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} - \dfrac{4}{8}

= -\dfrac{5}{8}\ \text{t}

Moussa donne $\dfrac{2}{5}$ de son champ de $3\,600$ m² à son fils, puis reprend $\dfrac{1}{6}$ de cette part. Il reste finalement $\dfrac{1}{3}$ du champ au fils. Quelle surface, en m², cela représente-t-il ?

1\,200\ \text{m}^2

1\,440\ \text{m}^2

600\ \text{m}^2

2\,400\ \text{m}^2

Explication : La part finale du fils est

\dfrac{1}{3}

du champ :

3\,600 \times \dfrac{1}{3}

= 1\,200\ \text{m}^2

S'inscrire à ce chapitre

Clique et envoie : ton message WhatsApp est déjà pré-rempli avec la classe, la matière et le chapitre.

S'inscrire sur WhatsApp

Demander un cours privé Rejoindre un groupe

En bref

Classe : Classe de Quatrième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 7 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

Les autres chapitres

Tout le programme