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Théorème de Pythagore

Calculer une longueur dans un triangle rectangle et démontrer qu'un triangle est rectangle.

Mathématiques 4ème Chapitre 7 / 13 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Rédiger une application correcte du théorème
  • Utiliser la réciproque pour prouver un angle droit
  • Résoudre un problème de hauteur, d'échelle ou de diagonale

Depuis la 5ᵉ, tu sais reconnaître un triangle rectangle et nommer son angle droit. Cette année, ce triangle si particulier devient un véritable outil de calcul : grâce à un seul théorème — sans doute le plus célèbre de toute la géométrie — tu vas pouvoir trouver la longueur d'un côté sans jamais le mesurer, seulement à partir des deux autres. Une échelle appuyée contre un mur, la diagonale d'un écran de télévision, la diagonale d'un terrain de football : partout où se cache un angle droit, le théorème de Pythagore est à l'œuvre.

La nouveauté, par rapport aux années précédentes, tient en un mot : la racine carrée. Tu sais déjà élever un nombre au carré (52=255^{2}=25) ; il va falloir apprendre à faire le chemin inverse pour retrouver une longueur à partir de son carré. Tu découvriras aussi la réciproque du théorème, qui permet cette fois de prouver qu'un angle est droit sans le mesurer — un outil précieux pour un architecte, un menuisier ou un géomètre.

Le nom « théorème de Pythagore » vient d'un savant grec du VIe siècle avant notre ère, mais la relation qu'il décrit était déjà connue, sous une autre forme, par les scribes de Babylone et par les arpenteurs égyptiens, bien avant lui. Tu comprendras pourquoi dans l'encadré historique de ce chapitre.

Comme toujours en géométrie, la rigueur compte : on rédige une démonstration complète, on n'oublie jamais l'unité, et l'on distingue bien la valeur exacte (avec un radical x\sqrt{\phantom{x}}) de la valeur arrondie donnée par la calculatrice. C'est ce que nous allons apprendre, étape par étape.

1Énoncé et démonstration

1.1  Vocabulaire du triangle rectangle

Rappelle-toi : un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Ce sommet particulier mérite un vocabulaire précis, que tu dois maîtriser parfaitement avant d'aller plus loin.

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit — celui qui ne touche pas le sommet de l'angle droit — s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long côté du triangle. Les deux autres côtés, qui portent l'angle droit, s'appellent les côtés de l'angle droit.

Le triangle rectangle et son vocabulaire A B C hypoténuse
Figure 1 — Le triangle ABCABC est rectangle en AA : l'angle droit se trouve au sommet AA. Les côtés [AB][AB] et [AC][AC], qui forment l'angle droit, sont les côtés de l'angle droit. Le côté [BC][BC], toujours le plus long, est l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit.
Attention

L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit, jamais à côté. Dans un triangle rectangle en AA, l'hypoténuse est [BC][BC] — pas [AB][AB] ni [AC][AC]. Une erreur de sommet ici fausse tout le calcul qui suit.

1.2  Le théorème et sa démonstration par les aires

Voici la relation qui relie les trois côtés d'un triangle rectangle — apprends-la parfaitement, tu vas t'en servir toute l'année.

Théorème (Pythagore)

Si un triangle ABCABC est rectangle en AA, alors :

BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}

En mots : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.

Démonstration — par les aires

On note aa et bb les longueurs des deux côtés de l'angle droit et cc celle de l'hypoténuse. On construit un grand carré de côté a+ba+b, et on le découpe de deux façons différentes (Figure 2).

Premier découpage. Sur chacun des quatre côtés du grand carré, on place un point à la distance aa d'un coin, toujours dans le même sens. En reliant ces quatre points, on obtient un carré incliné de côté cc, entouré de quatre triangles rectangles identiques, de côtés aa et bb, chacun d'aire a×b2\dfrac{a\times b}{2}.

  1. aire du grand carré =c2+4×a×b2= c^{2} + 4 \times \dfrac{a\times b}{2}
  2. ==c2+2abc^{2} + 2ab

Second calcul, direct. Ce même grand carré a pour côté a+ba+b ; son aire se calcule aussi en développant :

  1. aire du grand carré =(a+b)2= (a+b)^{2}
  2. ==a2+2ab+b2a^{2} + 2ab + b^{2}

Les deux expressions donnent l'aire du même carré : elles sont donc égales.

  1. c2+2ab=a2+2ab+b2c^{2} + 2ab = a^{2} + 2ab + b^{2}
  2. ⇒\Rightarrowc2=a2+b2c^{2} = a^{2} + b^{2}on retranche 2ab2ab de chaque côté de l'égalité

C'est exactement la relation de Pythagore. C.Q.F.D.

Puzzle de Pythagore : un même carré, deux découpages a b a b c c² Grand carré : (a + b)² = a² + 2ab + b² Aussi égal à c² + 4 triangles = c² + 2ab donc a² + b² = c²
Figure 2 — Le même grand carré de côté a+ba+b est découpé de deux manières : à droite (lecture directe) son aire vaut (a+b)2(a+b)^{2} ; en le voyant comme un carré central de côté cc entouré de quatre triangles rectangles, son aire vaut aussi c2+2abc^{2}+2ab. L'égalité des deux donne a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}.
Math & Co — un théorème plus vieux que Pythagore

Pythagore serait né vers −570-570 à Samos, en Grèce, et aurait fondé à Crotone, dans le sud de l'Italie, une école où l'on étudiait à la fois les mathématiques, la musique et la philosophie. C'est à lui, ou à son école, que la tradition grecque attribue la première démonstration générale de la relation entre les côtés d'un triangle rectangle.

Mais la relation elle-même était connue bien avant lui : une tablette d'argile babylonienne appelée Plimpton 322, datée d'environ −1800-1800, dresse déjà une longue liste de triplets de nombres vérifiant a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}, sans qu'aucune preuve n'y soit écrite. L'apport de Pythagore n'est donc pas d'avoir observé la relation, mais d'avoir cherché à la démontrer pour tout triangle rectangle, quelle que soit la mesure de ses côtés.

2Calcul de l'hypoténuse

Le théorème de Pythagore permet, dès que l'on connaît les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, de calculer l'hypoténuse — sans la mesurer.

2.1  La méthode

Méthode — calculer l'hypoténuse
  1. Repérer le sommet de l'angle droit et nommer l'hypoténuse (le côté qui lui est opposé).
  2. Écrire l'égalité de Pythagore avec les bonnes lettres.
  3. Remplacer par les longueurs connues et calculer la somme des deux carrés.
  4. Prendre la racine carrée de cette somme : c'est l'hypoténuse (valeur exacte, puis arrondie si besoin).
Exemple — un triplet qui « tombe juste »

RSTRST est rectangle en RR, avec RS=5RS = 5 cm et RT=12RT = 12 cm. Calculons STST.

  1. ST2=RS2+RT2ST^{2} = RS^{2} + RT^{2}théorème de Pythagore, triangle rectangle en RR
  2. ==52+1225^{2} + 12^{2}
  3. ==25+14425 + 144
  4. ==169169
  5. ⇒\RightarrowST=169=13ST = \sqrt{169} = 13une longueur est positive

Donc ST=13ST = 13 cm.

Exemple — une racine qui ne tombe pas juste

MNPMNP est rectangle en MM, avec MN=6MN = 6 cm et MP=7MP = 7 cm. Calculons NPNP.

  1. NP2=MN2+MP2NP^{2} = MN^{2} + MP^{2}
  2. ==62+726^{2} + 7^{2}
  3. ==36+4936 + 49
  4. ==8585
  5. ⇒\RightarrowNP=85NP = \sqrt{85}valeur exacte, en centimètres
  6. ≈\approx9,29{,}2à la calculatrice, arrondi au dixième

Donc NP=85NP = \sqrt{85} cm, soit NP≈9,2NP \approx 9{,}2 cm.

2.2  Valeurs exactes et valeurs arrondies

Un nombre comme 85\sqrt{85} est une valeur exacte : elle ne perd aucune information. Dès que la calculatrice l'affiche en décimal (9,2195…9{,}2195\ldots), on obtient une valeur approchée, que l'on arrondit et que l'on relie à la valeur exacte par le symbole ≈\approx. Les deux écritures sont utiles : la valeur exacte pour poursuivre un calcul sans perdre de précision, la valeur arrondie pour donner une réponse concrète (en mètres, en centimètres…).

Attention

N'arrondis jamais une racine carrée avant la toute dernière étape d'un calcul : arrondir trop tôt fausse le résultat final. Écris d'abord la valeur exacte (85\sqrt{85}), et n'utilise la calculatrice qu'à la fin, en indiquant bien le symbole ≈\approx — jamais == — devant une valeur arrondie.

3Calcul d'un côté de l'angle droit

Le théorème de Pythagore ne sert pas qu'à trouver l'hypoténuse : si l'on connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, on peut retrouver l'autre côté de l'angle droit, par une simple soustraction.

3.1  Isoler le côté cherché

Méthode — calculer un côté de l'angle droit

Dans un triangle rectangle en AA, on part toujours de la même égalité BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}, puis on isole le côté cherché en soustrayant :

AC2=BC2−AB2AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}

On soustrait toujours le carré connu de l'angle droit au carré de l'hypoténuse — jamais l'inverse, sous peine d'obtenir un nombre négatif.

Attention

C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : ne confonds pas addition et soustraction. Pour l'hypoténuse, on additionne les deux carrés des côtés de l'angle droit. Pour un côté de l'angle droit, on soustrait le carré de l'autre côté de l'angle droit au carré de l'hypoténuse.

Exemple — retrouver un côté de l'angle droit

ABCABC est rectangle en AA, avec BC=13BC = 13 cm (l'hypoténuse) et AB=5AB = 5 cm. Calculons ACAC.

  1. AC2=BC2−AB2AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}on isole le côté de l'angle droit inconnu
  2. ==132−5213^{2} - 5^{2}
  3. ==169−25169 - 25
  4. ==144144
  5. ⇒\RightarrowAC=144=12AC = \sqrt{144} = 12

Donc AC=12AC = 12 cm.

3.2  Exemple guidé : l'échelle contre le mur

Une échelle de 4,54{,}5 m est posée contre un mur ; son pied est à 1,51{,}5 m du mur. À quelle hauteur du sol l'échelle touche-t-elle le mur ?

Une échelle de 4,5 m contre un mur h = ? 1,5 m 4,5 m sol mur
Figure 3 — Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle : l'angle droit est au pied du mur. L'échelle est l'hypoténuse ; la hauteur hh cherchée est un côté de l'angle droit.

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle en pied de mur, d'hypoténuse l'échelle. On cherche la hauteur hh, un côté de l'angle droit.

  1. h2=4,52−1,52h^{2} = 4{,}5^{2} - 1{,}5^{2}hypoténuse au carré moins l'autre côté de l'angle droit au carré
  2. ==20,25−2,2520{,}25 - 2{,}25
  3. ==1818
  4. ⇒\Rightarrowh=18h = \sqrt{18}valeur exacte, en mètres
  5. ==9×2=32\sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}99 est un carré parfait
  6. ≈\approx4,244{,}24arrondi au centième

L'échelle touche le mur à 323\sqrt{2} m, soit environ 4,244{,}24 m du sol.

4Réciproque du théorème

Le théorème de Pythagore part d'un angle droit pour trouver une longueur. Sa réciproque fait le chemin inverse : elle part des trois longueurs pour prouver qu'un angle est droit.

4.1  Énoncé de la réciproque

Théorème réciproque

Soit un triangle ABCABC tel que BCBC est le côté le plus long. Si :

BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}

alors le triangle ABCABC est rectangle en AA (l'angle droit est au sommet opposé au plus long côté).

Méthode — prouver qu'un triangle est rectangle
  1. Repérer le plus long côté : c'est le seul candidat pour l'hypoténuse.
  2. Calculer séparément le carré du plus long côté, puis la somme des carrés des deux autres.
  3. Comparer les deux résultats.
  4. S'ils sont égaux, conclure avec la réciproque du théorème de Pythagore, en précisant le sommet de l'angle droit.
Exemple — prouver qu'un angle est droit

Dans un triangle EFGEFG, on mesure EF=6EF = 6 cm, FG=8FG = 8 cm et EG=10EG = 10 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Le plus long côté est [EG][EG] : c'est le seul candidat pour l'hypoténuse. Comparons EG2EG^{2} et EF2+FG2EF^{2}+FG^{2}.

  1. EG2=102=100EG^{2} = 10^{2} = 100
  2. EF2+FG2=62+82EF^{2} + FG^{2} = 6^{2} + 8^{2}
  3. ==36+64=10036 + 64 = 100
  4. ⇒\RightarrowEG2=EF2+FG2EG^{2} = EF^{2} + FG^{2}les deux valent 100100

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFGEFG est rectangle en FF (le sommet opposé au plus long côté [EG][EG]).

4.2  La corde à 13 nœuds des Égyptiens

Bien avant qu'on ne sache démontrer le théorème, on savait déjà utiliser sa réciproque pour construire des angles droits sur le terrain — avec une simple corde.

La corde à 13 nœuds des harpédonaptes A B C 4 3 5 13 nœuds → 12 intervalles égaux (3 + 4 + 5)
Figure 4 — Une corde nouée à intervalles réguliers (13 nœuds pour 12 intervalles) est tendue en un triangle 3-4-5. Le point rouge marque le nœud où les deux extrémités de la corde sont attachées ensemble. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, 52=32+425^{2}=3^{2}+4^{2} : l'angle en AA est donc exactement droit.

La méthode est d'une simplicité redoutable. On tend la corde entre trois piquets en respectant 33 intervalles d'un côté, 44 de l'autre et 55 sur le troisième côté. Comme 32+42=523^{2}+4^{2}=5^{2}, la réciproque du théorème de Pythagore garantit que l'angle situé entre les côtés de 33 et 44 intervalles est exactement droit — sans équerre, sans mesure d'angle.

Math & Co — les tendeurs de corde du Nil

Les Grecs appelaient harpédonaptes (« tendeurs de corde ») les arpenteurs égyptiens chargés de retracer les limites des champs après chaque crue du Nil, qui effaçait les bornes. L'historien grec Hérodote, vers −450-450, raconte que cette activité de mesure des terres serait à l'origine même de la géométrie égyptienne (« géométrie » signifie d'ailleurs « mesure de la terre »).

Des scènes représentant des cordes à nœuds figurent sur des monuments égyptiens dès le troisième millénaire avant notre ère. Rien ne prouve que les harpédonaptes utilisaient précisément le triangle 33-44-55, mais la méthode — bâtir un angle droit à partir de longueurs entières — illustre parfaitement comment on peut utiliser la réciproque d'un théorème des siècles avant qu'il ne soit démontré.

5Contraposée et applications

La réciproque permet de prouver qu'un angle est droit. Le même outil, utilisé « à l'envers », permet aussi de prouver qu'un angle n'est pas droit : c'est ce que l'on appelle ici la contraposée.

5.1  La contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

Propriété (contraposée de la réciproque)

Soit un triangle ABCABC tel que BCBC est le côté le plus long. Si :

BC2≠AB2+AC2BC^{2} \neq AB^{2} + AC^{2}

alors le triangle ABCABC n'est pas rectangle en AA — ni d'ailleurs en aucun sommet, puisque l'angle droit ne peut être qu'en face du plus long côté.

Exemple — contrôler l'équerrage d'une fondation

Un maçon de Bamako coule une fondation rectangulaire de 33 m sur 44 m. Pour vérifier que l'angle est bien droit, il mesure la diagonale : il trouve 5,25{,}2 m. L'angle est-il droit ?

  1. si l'angle était droit, la diagonale vaudrait 32+42\sqrt{3^{2}+4^{2}}
  2. ==9+16=25=5\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5
  3. or la diagonale mesurée vaut 5,2≠55{,}2 \neq 5

D'après la contraposée, l'angle n'est pas exactement droit : le maçon doit corriger l'équerrage avant de couler le béton.

Attention

Pour comparer, prends toujours le carré du plus long côté d'un seul côté de l'égalité. Comparer avec un autre côté que le plus long ne prouve rien : c'est le piège le plus fréquent de cette méthode.

5.2  Triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un triplet de trois entiers (a,b,c)(a,b,c) qui vérifie a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}. Ces triplets sont précieux : ils donnent des triangles rectangles dont tous les côtés sont des nombres entiers, sans aucune racine carrée à calculer.

aabbcc
334455
66881010
9912121515
5512121313
8815151717
7724242525
202021212929
Propriété (multiples d'un triplet)

Si (a,b,c)(a,b,c) est un triplet pythagoricien, alors pour tout entier kk, le triplet (ka,kb,kc)(ka,kb,kc) en est un aussi. C'est pourquoi 66-88-1010 et 99-1212-1515 apparaissent dans le tableau : ce sont simplement 33-44-55 multiplié par 22, puis par 33.

Math & Co — le triangle 3-4-5 en Chine et en Inde

En Chine, le Zhoubi suanjing (« Classique mathématique du gnomon des Zhou »), un texte compilé vers le IIe siècle avant notre ère mais rassemblant des connaissances bien plus anciennes, expose une démonstration graphique du triplet 33-44-55 connue sous le nom de théorème gou-gu (« base-hauteur »). En Inde, les Sulba Sûtra, des textes religieux datés d'environ −800-800 à −500-500, donnent des règles de construction d'autels sacrés utilisant elles aussi des triplets pythagoriciens, dont 33-44-55 et 55-1212-1313.

Ce théorème est donc l'un des rares résultats mathématiques que plusieurs civilisations, sans contact entre elles, ont découvert chacune de leur côté.

6Problèmes concrets

Il reste à savoir reconnaître un triangle rectangle caché dans une situation réelle — un terrain, un écran, une charpente — et à rédiger une solution complète.

6.1  Méthode générale de rédaction

Méthode — rédiger un problème concret
  1. Faire un schéma clair et repérer le triangle rectangle caché dans la situation.
  2. Nommer précisément ses sommets sur le schéma.
  3. Choisir l'outil : le théorème (calculer une longueur) ou sa réciproque (prouver un angle droit).
  4. Calculer, en conservant les unités à chaque ligne.
  5. Conclure par une phrase complète, avec la précision demandée par l'énoncé.

6.2  Deux problèmes résolus

Problème A — la diagonale d'un terrain de football. Un terrain de football réglementaire mesure 105105 m de long sur 6868 m de large. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

Diagonale d'un terrain de football (105 m × 68 m) A B C D 105 m 68 m d ≈ 125,1 m AB = 105 m, BC = 68 m ⇒ AC = √(105² + 68²) = √15 649 ≈ 125,1 m
Figure 5 — Le rectangle ABCDABCD représente le terrain. Le triangle ABCABC, rectangle en BB, a pour hypoténuse la diagonale [AC][AC] cherchée.

Le rectangle ABCDABCD représente le terrain. Dans le triangle ABCABC, rectangle en BB, l'hypoténuse est la diagonale [AC][AC].

  1. AC2=AB2+BC2AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}
  2. ==1052+682105^{2} + 68^{2}
  3. ==11 025+4 62411\,025 + 4\,624
  4. ==15 64915\,649
  5. ⇒\RightarrowAC=15 649AC = \sqrt{15\,649}
  6. ≈\approx125,1125{,}1arrondi au dixième de mètre

La diagonale du terrain mesure environ 125,1125{,}1 m.

Problème B — la portée d'une charpente. Une charpente symétrique a une portée (largeur totale) de 88 m et une hauteur de 33 m au sommet. Quelle longueur de bois faut-il pour chaque arbalétrier (chaque poutre inclinée) ?

Une charpente symétrique A B C 4 m 4 m 3 m L = ?
Figure 6 — La charpente est symétrique : le pied du poteau vertical CC tombe au milieu [AB][AB]. Le triangle formé par la moitié de la portée et la hauteur est rectangle ; son hypoténuse est l'arbalétrier [AC][AC].

Par symétrie, chaque moitié de la portée mesure 44 m. Le triangle formé par cette demi-portée et la hauteur est rectangle ; l'arbalétrier [AC][AC] en est l'hypoténuse.

  1. AC2=42+32AC^{2} = 4^{2} + 3^{2}
  2. ==16+916 + 9
  3. ==2525
  4. ⇒\RightarrowAC=25=5AC = \sqrt{25} = 5

Chaque arbalétrier doit mesurer 55 m (en négligeant les découpes d'assemblage) — encore le triplet 33-44-55 !

Fiche mémo

  • Triangle rectangle en AA : hypoténuse [BC][BC] (le plus long côté, opposé à l'angle droit) ; [AB][AB], [AC][AC] sont les côtés de l'angle droit.
  • Théorème : BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}.
  • Hypoténuse inconnue : on additionne les carrés des côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée.
  • Côté de l'angle droit inconnu : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis racine carrée.
  • Toujours écrire la valeur exacte (  \sqrt{\ \ }) avant d'arrondir avec ≈\approx.
  • Réciproque : si BC2=AB2+AC2BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} avec BCBC le plus long côté, alors le triangle est rectangle en AA.
  • Contraposée : si BC2≠AB2+AC2BC^{2}\neq AB^{2}+AC^{2}, le triangle n'est pas rectangle.
  • Toujours comparer avec le carré du plus long côté : c'est le seul candidat pour l'hypoténuse.
  • Triplets pythagoriciens à connaître : 33-44-55, 55-1212-1313, 88-1515-1717, 77-2424-2525, et leurs multiples (66-88-1010, 99-1212-1515…).
  • Méthode de rédaction : schéma, triangle rectangle nommé, théorème ou réciproque, calcul avec unités, phrase de conclusion.

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

RSTRST est rectangle en RR, avec RS=9RS = 9 cm et RT=12RT = 12 cm. Calcule STST.

Voir le corrigé détaillé
  1. ST2=RS2+RT2ST^{2} = RS^{2} + RT^{2}
  2. ==92+122=81+1449^{2} + 12^{2} = 81 + 144
  3. ==225225
  4. ⇒\RightarrowST=225=15ST = \sqrt{225} = 15

ST=15ST = 15 cm.

2

ABCABC est rectangle en AA, avec BC=25BC = 25 cm et AB=7AB = 7 cm. Calcule ACAC.

Voir le corrigé détaillé
  1. AC2=BC2−AB2AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}
  2. ==252−72=625−4925^{2} - 7^{2} = 625 - 49
  3. ==576576
  4. ⇒\RightarrowAC=576=24AC = \sqrt{576} = 24

AC=24AC = 24 cm.

3

MNPMNP est rectangle en MM, avec MN=4MN = 4 cm et MP=9MP = 9 cm. Calcule NPNP (arrondi au dixième).

Voir le corrigé détaillé
  1. NP2=42+92=16+81NP^{2} = 4^{2} + 9^{2} = 16 + 81
  2. ==9797
  3. ⇒\RightarrowNP=97NP = \sqrt{97}
  4. ≈\approx9,89{,}8

NP≈9,8NP \approx 9{,}8 cm.

4

EFGEFG est rectangle en EE, avec FG=12FG = 12 cm (hypoténuse) et EF=5EF = 5 cm. Calcule EGEG (arrondi au dixième).

Voir le corrigé détaillé
  1. EG2=FG2−EF2EG^{2} = FG^{2} - EF^{2}
  2. ==122−52=144−2512^{2} - 5^{2} = 144 - 25
  3. ==119119
  4. ⇒\RightarrowEG=119EG = \sqrt{119}
  5. ≈\approx10,910{,}9

EG≈10,9EG \approx 10{,}9 cm.

5

HIJHIJ est rectangle en HH, avec HI=15HI = 15 cm et HJ=20HJ = 20 cm. Calcule IJIJ.

Voir le corrigé détaillé
  1. IJ2=152+202=225+400IJ^{2} = 15^{2} + 20^{2} = 225 + 400
  2. ==625625
  3. ⇒\RightarrowIJ=625=25IJ = \sqrt{625} = 25

IJ=25IJ = 25 cm.

6

Un triangle KLMKLM a pour côtés KL=9KL = 9 cm, LM=12LM = 12 cm et KM=15KM = 15 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, précise en quel sommet.

Voir le corrigé détaillé

Le plus long côté est [KM][KM].

  1. KM2=152=225KM^{2} = 15^{2} = 225
  2. KL2+LM2=92+122=81+144=225KL^{2} + LM^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225
  3. ⇒\RightarrowKM2=KL2+LM2KM^{2} = KL^{2} + LM^{2}

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLMKLM est rectangle en LL.

Niveau 2 — Approfondissement
7

Un triangle NPQNPQ a pour côtés NP=7NP = 7 cm, PQ=9PQ = 9 cm et NQ=11NQ = 11 cm. Est-il rectangle ?

Voir le corrigé détaillé

Le plus long côté est [NQ][NQ].

  1. NQ2=112=121NQ^{2} = 11^{2} = 121
  2. NP2+PQ2=72+92=49+81=130NP^{2} + PQ^{2} = 7^{2} + 9^{2} = 49 + 81 = 130
  3. ⇒\RightarrowNQ2≠NP2+PQ2NQ^{2} \neq NP^{2} + PQ^{2}121≠130121 \neq 130

D'après la contraposée, le triangle NPQNPQ n'est pas rectangle.

8

Un rectangle a pour longueur 1616 cm et pour diagonale 2020 cm. Calcule sa largeur.

Voir le corrigé détaillé

Dans un rectangle, la diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la longueur et la largeur.

  1. largeur2=202−162^{2} = 20^{2} - 16^{2}
  2. ==400−256400 - 256
  3. ==144144
  4. ⇒\Rightarrowlargeur =144=12= \sqrt{144} = 12

La largeur du rectangle est 1212 cm.

9

ABCABC est un triangle isocèle en AA, de base BC=10BC = 10 cm et de côtés égaux AB=AC=13AB = AC = 13 cm. HH est le milieu de [BC][BC].

  1. Justifie que AHAH est perpendiculaire à [BC][BC], puis calcule BHBH.
  2. Calcule AHAH, puis l'aire du triangle ABCABC.
Voir le corrigé détaillé

1. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal AA est aussi une hauteur : (AH)(AH) est donc perpendiculaire à [BC][BC], et HH étant le milieu de [BC][BC], BH=BC2=5BH = \dfrac{BC}{2} = 5 cm.

2. Le triangle ABHABH est rectangle en HH, d'hypoténuse ABAB.

  1. AH2=AB2−BH2AH^{2} = AB^{2} - BH^{2}
  2. ==132−52=169−2513^{2} - 5^{2} = 169 - 25
  3. ==144144
  4. ⇒\RightarrowAH=144=12AH = \sqrt{144} = 12

L'aire du triangle ABCABC vaut BC×AH2=10×122=60\dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{10 \times 12}{2} = 60 cm².

10

Un écran rectangulaire mesure 2424 cm de large et 1818 cm de haut.

  1. Calcule sa diagonale, en cm.
  2. Sachant que 11 pouce =2,54= 2{,}54 cm, donne la taille de cet écran en pouces (arrondie au dixième).
Voir le corrigé détaillé

1. La diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la largeur et la hauteur.

  1. d2=242+182d^{2} = 24^{2} + 18^{2}
  2. ==576+324576 + 324
  3. ==900900
  4. ⇒\Rightarrowd=900=30d = \sqrt{900} = 30

2. Conversion en pouces :

  1. taille =302,54= \dfrac{30}{2{,}54}
  2. ≈\approx11,811{,}8

La diagonale mesure 3030 cm, soit un écran d'environ 11,811{,}8 pouces.

Niveau 3 — Défi
11

ABCDABCD est un rectangle avec AB=12AB = 12 cm et BC=9BC = 9 cm. EE est le milieu de [AB][AB].

  1. Calcule la diagonale ACAC.
  2. Calcule DEDE et ECEC (valeurs exactes simplifiées).
  3. Le triangle DECDEC est-il rectangle en EE ? Justifie.
Voir le corrigé détaillé

1. Le triangle ABCABC est rectangle en BB (angle du rectangle).

  1. AC2=AB2+BC2=122+92AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 12^{2} + 9^{2}
  2. ==144+81=225144 + 81 = 225
  3. ⇒\RightarrowAC=225=15AC = \sqrt{225} = 15

2. EE milieu de [AB][AB] donc AE=EB=6AE = EB = 6 cm. Le triangle ADEADE est rectangle en AA, avec AD=BC=9AD = BC = 9 cm.

  1. DE2=AD2+AE2=92+62DE^{2} = AD^{2} + AE^{2} = 9^{2} + 6^{2}
  2. ==81+36=11781 + 36 = 117
  3. ⇒\RightarrowDE=117=9×13=313DE = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}99 est un carré parfait
  4. ≈\approx10,810{,}8 cm

Par symétrie (triangle BECBEC rectangle en BB, avec BE=6BE = 6 et BC=9BC = 9), on trouve de même EC2=36+81=117EC^{2} = 36 + 81 = 117, donc EC=313≈10,8EC = 3\sqrt{13} \approx 10{,}8 cm =DE= DE.

3. DC=AB=12DC = AB = 12 cm (côtés opposés du rectangle) : c'est le plus long côté du triangle DECDEC, le seul candidat pour l'hypoténuse.

  1. DC2=122=144DC^{2} = 12^{2} = 144
  2. DE2+EC2=117+117=234DE^{2} + EC^{2} = 117 + 117 = 234
  3. ⇒\RightarrowDC2≠DE2+EC2DC^{2} \neq DE^{2} + EC^{2}144≠234144 \neq 234

D'après la contraposée, le triangle DECDEC n'est pas rectangle en EE (ni en aucun autre sommet, puisque [DC][DC] est bien le plus long côté).

12

Un triangle ABCABC a pour côtés AB=8AB = 8 cm, AC=15AC = 15 cm et BC=17BC = 17 cm.

  1. Montre que ABCABC est rectangle, en précisant le sommet de l'angle droit.
  2. Calcule l'aire du triangle ABCABC.
  3. HH est le pied de la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC. En exprimant l'aire de deux façons, calcule AHAH (arrondi au dixième).
Voir le corrigé détaillé

1. Le plus long côté est [BC][BC].

  1. BC2=172=289BC^{2} = 17^{2} = 289
  2. AB2+AC2=82+152=64+225=289AB^{2} + AC^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289
  3. ⇒\RightarrowBC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}

D'après la réciproque, le triangle ABCABC est rectangle en AA.

2. Les côtés de l'angle droit ABAB et ACAC servent de base et de hauteur :

aire=AB×AC2=8×152=60 cm2\text{aire} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{8 \times 15}{2} = 60 \text{ cm}^{2}

3. En prenant cette fois [BC][BC] comme base et AHAH comme hauteur associée, l'aire vaut aussi BC×AH2\dfrac{BC \times AH}{2}. Les deux expressions de l'aire sont égales :

  1. 17×AH2=60\dfrac{17 \times AH}{2} = 60
  2. ⇒\RightarrowAH=2×6017=12017AH = \dfrac{2 \times 60}{17} = \dfrac{120}{17}
  3. ≈\approx7,17{,}1

AH≈7,1AH \approx 7{,}1 cm.

13

Un élève affirme qu'un triangle XYZXYZ de côtés XY=11XY = 11 cm, YZ=60YZ = 60 cm et XZ=61XZ = 61 cm est rectangle.

  1. L'élève a-t-il raison ? Justifie rigoureusement, en précisant le sommet de l'angle droit s'il y a lieu.
  2. Calcule le périmètre du triangle XYZXYZ.
  3. Calcule son aire (valeur exacte).
Voir le corrigé détaillé

1. Le plus long côté est [XZ][XZ], seul candidat pour l'hypoténuse.

  1. XZ2=612=3 721XZ^{2} = 61^{2} = 3\,721
  2. XY2+YZ2=112+602=121+3 600=3 721XY^{2} + YZ^{2} = 11^{2} + 60^{2} = 121 + 3\,600 = 3\,721
  3. ⇒\RightarrowXZ2=XY2+YZ2XZ^{2} = XY^{2} + YZ^{2}

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, l'élève a raison : le triangle XYZXYZ est rectangle en YY (sommet opposé au plus long côté [XZ][XZ]).

2. Périmètre =11+60+61=132= 11 + 60 + 61 = 132 cm.

3. Les côtés de l'angle droit sont XY=11XY = 11 cm et YZ=60YZ = 60 cm :

aire=11×602=330 cm2\text{aire} = \dfrac{11 \times 60}{2} = 330 \text{ cm}^{2}

Niveau 4 — Problèmes de vie courante
14

Les pompiers de Dakar. Le camion des sapeurs-pompiers de Dakar porte une échelle de 1212 m. Pour des raisons de sécurité, la base de l'échelle doit être placée à 55 m au moins du mur. Une personne est bloquée à une fenêtre située à 1010 m de hauteur.

  1. Calcule, au dixième de mètre près, la hauteur atteinte par l'échelle lorsque sa base est à 55 m du mur.
  2. L'échelle permet-elle d'atteindre la fenêtre ? Justifie.
Voir le corrigé détaillé

1. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle en pied de mur, d'hypoténuse l'échelle (1212 m).

  1. h2=122−52h^{2} = 12^{2} - 5^{2}
  2. ==144−25=119144 - 25 = 119
  3. ⇒\Rightarrowh=119h = \sqrt{119}
  4. ≈\approx10,910{,}9

2. L'échelle atteint environ 10,910{,}9 m, ce qui est supérieur à 1010 m : l'échelle permet donc d'atteindre la fenêtre, avec une marge d'environ 0,90{,}9 m.

15

Le champ de Moussa (Ndjamena). Moussa possède un champ rectangulaire de 8080 m sur 6060 m près de Ndjamena. Il veut poser une clôture tout autour, à 2 2002\,200 F CFA le mètre, et installer en plus un câble d'irrigation en diagonale, à 850850 F CFA le mètre.

  1. Calcule la longueur de la diagonale du champ.
  2. Calcule le coût total de la clôture et du câble.
Voir le corrigé détaillé

1. La diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la longueur et la largeur du champ.

  1. d2=802+602d^{2} = 80^{2} + 60^{2}
  2. ==6 400+3 600=10 0006\,400 + 3\,600 = 10\,000
  3. ⇒\Rightarrowd=10 000=100d = \sqrt{10\,000} = 100

La diagonale mesure 100100 m.

2. Le périmètre du champ vaut 2×(80+60)=2802 \times (80+60) = 280 m.

  1. coût clôture =280×2 200= 280 \times 2\,200
  2. ==616 000616\,000 F CFA
  3. coût câble =100×850= 100 \times 850
  4. ==85 00085\,000 F CFA
  5. coût total =616 000+85 000= 616\,000 + 85\,000
  6. ==701 000701\,000 F CFA

Le coût total de la clôture et du câble est de 701 000701\,000 F CFA.

16

Le mât téléphonique d'Abéché. Une entreprise installe à Abéché un mât téléphonique de 1515 m de haut, maintenu par 44 haubans identiques, chacun ancré au sol à 88 m du pied du mât. Le câble utilisé coûte 4 5004\,500 F CFA le mètre.

  1. Calcule la longueur d'un hauban.
  2. Calcule le coût total des 44 haubans.
Voir le corrigé détaillé

1. Le mât, le sol et un hauban forment un triangle rectangle au pied du mât, d'hypoténuse le hauban.

  1. L2=152+82L^{2} = 15^{2} + 8^{2}
  2. ==225+64=289225 + 64 = 289
  3. ⇒\RightarrowL=289=17L = \sqrt{289} = 17

Chaque hauban mesure 1717 m.

2. Longueur totale des 44 haubans : 4×17=684 \times 17 = 68 m.

  1. coût =68×4 500= 68 \times 4\,500
  2. ==306 000306\,000 F CFA

Le coût total des haubans est de 306 000306\,000 F CFA.

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté opposé à l'angle droit ?

Explication : Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long côté du triangle rectangle.

ABCABC est un triangle rectangle en AA. Quel est son hypoténuse ?

Explication : L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit. Le triangle étant rectangle en AA, l'hypoténuse est le côté [BC][BC], qui ne touche pas le sommet AA.

Si un triangle ABCABC est rectangle en AA, que dit le théorème de Pythagore ?

Explication : Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit : BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}.

RSTRST est rectangle en RR, avec RS=5RS = 5 cm et RT=12RT = 12 cm. Que vaut STST ?

Explication :
ST2=RS2+RT2ST^{2} = RS^{2} + RT^{2}
=52+122= 5^{2} + 12^{2}
=25+144=169= 25 + 144 = 169
ST=169=13ST = \sqrt{169} = 13 cm

Que signifie le symbole ≈\approx devant un nombre ?

Explication : Le symbole ≈\approx indique une valeur approchée (arrondie), obtenue par exemple à la calculatrice, à distinguer de la valeur exacte comme 85\sqrt{85}, reliée par le symbole ==.

Pourquoi ne faut-il jamais arrondir une racine carrée avant la toute dernière étape d'un calcul ?

Explication : Chaque arrondi intermédiaire introduit une petite erreur qui s'accumule : il faut garder la valeur exacte le plus longtemps possible et n'arrondir qu'à la fin.

ABCABC est rectangle en AA, avec BC=13BC = 13 cm (l'hypoténuse) et AB=5AB = 5 cm. Quelle égalité permet de calculer ACAC ?

Explication : Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait le carré de l'autre côté de l'angle droit au carré de l'hypoténuse — jamais l'inverse.

ABCABC est rectangle en AA, avec BC=13BC = 13 cm et AB=5AB = 5 cm. Que vaut ACAC ?

Explication :
AC2=BC2−AB2AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}
=132−52= 13^{2} - 5^{2}
=169−25=144= 169 - 25 = 144
AC=144=12AC = \sqrt{144} = 12 cm

Quelle est l'erreur la plus fréquente de ce chapitre ?

Explication : Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés des côtés de l'angle droit. Pour un côté de l'angle droit, on soustrait un carré à l'autre. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente.

Une échelle de 55 m est posée contre un mur ; son pied est à 33 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

Explication : L'échelle est l'hypoténuse ; on cherche un côté de l'angle droit.
h2=52−32h^{2} = 5^{2} - 3^{2}
=25−9=16= 25 - 9 = 16
h=16=4h = \sqrt{16} = 4 m

Que permet la réciproque du théorème de Pythagore ?

Explication : La réciproque part des trois longueurs d'un triangle pour prouver qu'un angle est droit, sans avoir besoin de le mesurer avec une équerre.

Dans un triangle EFGEFG, on mesure EF=6EF = 6 cm, FG=8FG = 8 cm et EG=10EG = 10 cm. Quelle est la première chose à faire pour savoir si ce triangle est rectangle ?

Explication : On repère d'abord le plus long côté : c'est le seul candidat pour l'hypoténuse. Ici, c'est [EG][EG] (10 cm).

Dans un triangle EFGEFG, EF=6EF = 6 cm, FG=8FG = 8 cm et EG=10EG = 10 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Explication :
EG2=102=100EG^{2} = 10^{2} = 100
EF2+FG2=62+82=36+64=100EF^{2}+FG^{2} = 6^{2}+8^{2} = 36+64 = 100
Les deux valeurs sont égales : le triangle est rectangle en FF, le sommet opposé au plus long côté.

Un maçon coule une fondation rectangulaire de 33 m sur 44 m. Il mesure la diagonale et trouve 5,35{,}3 m. L'angle est-il exactement droit ?

Explication : Si l'angle était droit, la diagonale vaudrait 32+42=25=5\sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5 m. Comme 5,3≠55{,}3 \neq 5, la contraposée du théorème montre que l'angle n'est pas exactement droit.

Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?

Explication : Un triplet pythagoricien est un triplet de trois entiers vérifiant a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2} : ils donnent des triangles rectangles dont tous les côtés sont des nombres entiers.

Le triplet 33-44-55 est pythagoricien. Lequel de ces triplets en est aussi un, obtenu en multipliant par 22 ?

Explication : Si (a,b,c)(a,b,c) est un triplet pythagoricien, alors (ka,kb,kc)(ka,kb,kc) en est un aussi pour tout entier kk. Avec k=2k=2 : 3×2=63\times2=6, 4×2=84\times2=8, 5×2=105\times2=10.

Dans un triangle rectangle, quel est le plus court des trois côtés ?

Explication : L'hypoténuse est toujours le côté le plus long. Le plus court côté est donc nécessairement l'un des deux côtés de l'angle droit.

MNPMNP est rectangle en MM, avec MN=6MN = 6 cm et MP=7MP = 7 cm. Quelle est la valeur exacte de NPNP ?

Explication :
NP2=MN2+MP2NP^{2} = MN^{2} + MP^{2}
=62+72=36+49=85= 6^{2}+7^{2} = 36+49 = 85
NP=85NP = \sqrt{85} (valeur exacte, car 8585 n'est pas un carré parfait)

Un terrain rectangulaire mesure 66 m sur 88 m. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

Explication : La diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par deux côtés du rectangle.
d2=62+82d^{2} = 6^{2}+8^{2}
=36+64=100= 36+64 = 100
d=100=10d = \sqrt{100} = 10 m

Dans un triangle ABCABC rectangle en AA, si l'on ne connaît que ABAB et ACAC, que peut-on calculer directement avec le théorème de Pythagore ?

Explication : Connaissant les deux côtés de l'angle droit ABAB et ACAC, le théorème de Pythagore permet de calculer directement l'hypoténuse : BC=AB2+AC2BC = \sqrt{AB^{2}+AC^{2}}.
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