Statistiques : moyennes

Calculer et interpréter une moyenne simple ou pondérée.

Mathématiques 4ème Chapitre 6 / 13 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Calculer une moyenne pondérée (coefficients scolaires)
Interpréter une moyenne
Comparer deux séries statistiques

Une moyenne, tu en croises tous les jours sans même y penser : la moyenne de tes notes sur le bulletin, la température moyenne annoncée à la radio, la moyenne des buts marqués par une équipe de football, ou encore la pluviométrie moyenne d’une saison des pluies. Calculer une moyenne, c’est résumer en un seul nombre toute une série de valeurs — pour comparer, pour décider, pour comprendre.

Tu sais déjà lire un tableau d’effectifs et calculer des fréquences depuis la 5ème. Ce chapitre va plus loin : il t’apprend à calculer une moyenne pondérée, c’est-à-dire une moyenne où certaines valeurs comptent plus que d’autres — exactement comme au collège, où une composition trimestrielle pèse souvent plus lourd qu’une interrogation surprise. Tu apprendras aussi à calculer une moyenne quand on ne connaît pas les valeurs exactes, seulement des classes — par exemple des durées de trajet ou des hauteurs de pluie regroupées par tranches.

Enfin, tu découvriras qu’une moyenne, aussi juste soit-elle, ne dit jamais tout : deux séries très différentes peuvent avoir exactement la même moyenne. Savoir interpréter une moyenne — et connaître ses limites — est une compétence aussi importante que savoir la calculer.

Au programme : les rappels d’effectifs et de fréquences, la moyenne simple, la moyenne pondérée, la moyenne par classes, puis l’interprétation et les limites de la moyenne — avant une longue série d’exercices corrigés, du calcul direct aux problèmes concrets de la vie quotidienne.

1Rappels : effectifs et fréquences

Avant de calculer des moyennes, il faut savoir lire correctement une série statistique. Revoyons deux mots-clés indispensables.

1.1 Effectif et effectif total

Définition

Dans une série statistique, l’effectif d’une valeur (ou d’une catégorie) est le nombre de fois où cette valeur apparaît. La somme de tous les effectifs s’appelle l’effectif total, noté $N$ : c’est le nombre total d’individus étudiés.

Prenons l’exemple d’une enquête sur les sports pratiqués par les 24 élèves de la 4ème B.

Sport pratiqué	Football	Basket-ball	Athlétisme	Danse
Effectif	$10$	$6$	$4$	$4$

L’effectif total est $N = 10+6+4+4 = 24$ : il y a bien 24 élèves dans la classe.

1.2 Fréquence

Définition

La fréquence d’une valeur est la proportion que représente son effectif $n_i$ par rapport à l’effectif total $N$ :

$f_i = \dfrac{n_i}{N}$

Une fréquence s’écrit sous forme de fraction, de nombre décimal, ou de pourcentage (en multipliant par $100$ ).

Propriété

La somme de toutes les fréquences d’une série vaut toujours $1$ , soit $100\ \%$ :

$f_1+f_2+\cdots+f_k = 1$

Exemple — fréquences des sports pratiqués

$f_{\text{football}} = \dfrac{10}{24} \approx 0{,}417$ soit environ $41{,}7\ \%$
$f_{\text{basket}} = \dfrac{6}{24} = 0{,}25$ soit $25\ \%$
$f_{\text{athlétisme}} = \dfrac{4}{24} \approx 0{,}167$ soit environ $16{,}7\ \%$
$f_{\text{danse}} = \dfrac{4}{24} \approx 0{,}167$ soit environ $16{,}7\ \%$
$41{,}7+25+16{,}7+16{,}7 \approx 100$ on retrouve bien $100\ \%$ , aux arrondis près

Figure 1 — Diagramme circulaire de la répartition des 24 élèves selon le sport pratiqué ; l’angle de chaque secteur est proportionnel à sa fréquence (

360° \times f_i

1.3 Lire un diagramme en bâtons ou circulaire

Méthode — lire un diagramme

Dans un diagramme en bâtons, la hauteur de chaque bâton donne directement l’effectif de la valeur correspondante. Dans un diagramme circulaire, l’angle de chaque secteur est proportionnel à la fréquence : un secteur qui occupe la moitié du disque représente une fréquence de $50\ \%$ .

La figure suivante donne les notes sur 20 obtenues par les 25 élèves de la 4ème A au dernier contrôle de mathématiques. Nous utiliserons cette série tout au long du chapitre.

Figure 2 — Diagramme en bâtons des notes de la 4ème A (effectif total

N = 25

) : 7 élèves ont eu 14, la note la plus fréquente (le mode) de la série.

Math & Co — L’inventeur des diagrammes

Les diagrammes en bâtons et circulaires que tu utilises n’ont rien d’évident : ils ont été inventés. C’est l’ingénieur et économiste écossais William Playfair qui, en 1786, publie le tout premier diagramme en bâtons dans son Commercial and Political Atlas, pour représenter le commerce extérieur de l’Angleterre. Quinze ans plus tard, en 1801, il invente également le diagramme circulaire (le fameux « camembert ») pour comparer les territoires des empires. Avant lui, on ne montrait les chiffres qu’en tableaux : Playfair a compris qu’une image bien construite se lit — et se retient — bien plus vite qu’une colonne de nombres.

Attention

Ne confonds jamais effectif et fréquence : l’effectif est un nombre d’individus (entier, sans unité), la fréquence est une proportion (entre 0 et 1, ou entre 0 % et 100 %). Une fréquence de $50\ \%$ obtenue sur un petit échantillon (8 élèves sur 16) n’a d’ailleurs pas la même fiabilité que sur un grand échantillon (800 sur 1 600) !

2Moyenne simple

Occupons-nous maintenant du nombre le plus utilisé de toute la statistique : la moyenne.

2.1 Calculer une moyenne simple

Définition

La moyenne (ou moyenne arithmétique) d’une série de $n$ valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ est le nombre $\bar x$ (on lit « x barre ») défini par :

$\bar x = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

On additionne toutes les valeurs, puis on divise par leur nombre.

Exemple — moyenne des notes de Moussa

Ce trimestre, Moussa a obtenu les notes suivantes en cinq matières : $12\ ;\ 15\ ;\ 9\ ;\ 14\ ;\ 11$ .

$\bar x = \dfrac{12+15+9+14+11}{5}$
$=$ $\dfrac{61}{5}$
$=$ $12{,}2$

La moyenne de Moussa ce trimestre est $12{,}2$ .

2.2 Moyenne à partir d’un tableau d’effectifs

Quand plusieurs individus ont la même valeur, il est plus rapide de passer par le tableau d’effectifs plutôt que d’écrire chaque valeur une à une.

Propriété

Si une série comporte $k$ valeurs distinctes $x_1, \ldots, x_k$ d’effectifs respectifs $n_1, \ldots, n_k$ , et d’effectif total $N = n_1+\cdots+n_k$ , alors :

$\bar x = \dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{N} = \dfrac{\displaystyle\sum n_i x_i}{N}$

Démonstration

Cette formule n’est qu’une écriture raccourcie de la définition. Si la valeur $x_1$ est répétée $n_1$ fois, sa contribution à la somme totale est $x_1+x_1+\cdots+x_1$ ( $n_1$ fois), c’est-à-dire $n_1 x_1$ . En regroupant ainsi chaque valeur distincte, la somme de tous les individus devient $n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_kx_k$ , et le nombre total d’individus est bien $N$ . On retrouve exactement la définition de la moyenne. C.Q.F.D.

Méthode — moyenne d’un tableau d’effectifs

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous ces produits, puis on divise par l’effectif total $N$ .

Exemple — moyenne des notes de la 4ème A (Figure 2)

Note $x_i$	$5$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$20$
Effectif $n_i$	$1$	$2$	$4$	$6$	$7$	$3$	$1$	$1$

$\displaystyle\sum n_i x_i = 1\times5+2\times8+4\times10+6\times12+7\times14+3\times16+1\times18+1\times20$
$=$ $5+16+40+72+98+48+18+20$
$=$ $317$
$N = 1+2+4+6+7+3+1+1 = 25$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{317}{25} = 12{,}68$

La moyenne de la classe est $12{,}68$ , soit environ $12{,}7$ sur 20.

2.3 Moyenne à partir des fréquences

Propriété

On peut aussi calculer la moyenne directement à partir des fréquences $f_i$ , écrites sous forme décimale :

$\bar x = f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_kx_k = \displaystyle\sum f_i x_i$

C’est la même moyenne que précédemment : diviser chaque effectif par $N$ avant de multiplier, ou diviser la somme totale par $N$ après, donne exactement le même résultat.

Exemple — vérification avec les fréquences

Pour la série des notes de la 4ème A, les fréquences sont $0{,}04\ ;\ 0{,}08\ ;\ 0{,}16\ ;\ 0{,}24\ ;\ 0{,}28\ ;\ 0{,}12\ ;\ 0{,}04\ ;\ 0{,}04$ .

$\bar x = 0{,}04\times5+0{,}08\times8+0{,}16\times10+0{,}24\times12+0{,}28\times14+0{,}12\times16+0{,}04\times18+0{,}04\times20$
$=$ $0{,}2+0{,}64+1{,}6+2{,}88+3{,}92+1{,}92+0{,}72+0{,}8$
$=$ $12{,}68$

On retrouve bien $\bar x = 12{,}68$ : les deux méthodes sont rigoureusement équivalentes.

Retiens surtout la première formule, avec les effectifs : c’est celle que tu utiliseras le plus souvent, en particulier pour calculer une moyenne pondérée, l’objet de la section suivante.

3Moyenne pondérée

3.1 Pourquoi pondérer ?

Au collège, toutes les notes ne se valent pas : une interrogation surprise compte souvent coefficient 1, tandis qu’une composition trimestrielle compte coefficient 3. Regarde ce que cela change.

Exemple — le bulletin de Karim

Karim a obtenu $12$ à un devoir (coefficient $1$ ), $8$ à un second devoir (coefficient $1$ ) et $14$ à sa composition (coefficient $3$ ).

moyenne simple, sans tenir compte des coefficients :
$\dfrac{12+8+14}{3} = \dfrac{34}{3} \approx 11{,}3$

Cette moyenne « simple » ignore complètement que la composition, plus importante, a été plutôt réussie. Elle est donc injuste : il faut faire compter la composition trois fois plus que chaque devoir.

C’est exactement le rôle de la moyenne pondérée : chaque valeur y « pèse » proportionnellement à son coefficient.

3.2 Calculer une moyenne pondérée

Définition

Soit une série de valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_k$ affectées des coefficients (ou « poids ») $c_1, c_2, \ldots, c_k$ . La moyenne pondérée de cette série est :

$\bar x = \dfrac{c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_kx_k}{c_1+c_2+\cdots+c_k}$

On divise par la somme des coefficients, et non par le nombre de valeurs.

Méthode — calculer une moyenne pondérée

1) On multiplie chaque valeur par son coefficient. 2) On additionne tous ces produits. 3) On divise par la somme de tous les coefficients (jamais par le nombre de notes).

Exemple — la moyenne pondérée de Karim

$\bar x = \dfrac{1\times12+1\times8+3\times14}{1+1+3}$
$=$ $\dfrac{12+8+42}{5}$
$=$ $\dfrac{62}{5}$
$=$ $12{,}4$

La moyenne pondérée de Karim est $12{,}4$ : elle tient compte, à juste titre, de sa bonne composition.

Figure 3 — La moyenne pondérée est le point d’équilibre des notes : la composition (coefficient 3, cercle le plus gros) attire la moyenne vers elle, bien plus que chaque devoir (coefficient 1).

Attention

L’erreur la plus fréquente : diviser par le nombre de notes au lieu de la somme des coefficients. Pour Karim, il y a 3 notes mais la somme des coefficients vaut $1+1+3=5$ : c’est bien par $5$ qu’il faut diviser, pas par $3$ .

Exemple — le bulletin complet d’Aïssatou

Matière	Maths	Français	SVT	Histoire-Géo	EPS
Note	$15$	$12$	$14$	$11$	$16$
Coefficient	$4$	$4$	$2$	$2$	$1$

$\displaystyle\sum c_i x_i = 4\times15+4\times12+2\times14+2\times11+1\times16$
$=$ $60+48+28+22+16$
$=$ $174$
$\displaystyle\sum c_i = 4+4+2+2+1 = 13$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{174}{13} \approx 13{,}38$

La moyenne générale pondérée d’Aïssatou est environ $13{,}38$ .

4Moyenne par classes

Il arrive qu’on ne connaisse pas les valeurs exactes d’une série, seulement le nombre d’individus dans chaque classe (ou tranche) de valeurs — par exemple des durées de trajet regroupées par tranches de 10 minutes.

4.1 Le centre d’une classe

Définition

Une classe $[a\ ;\ b[$ est un intervalle de valeurs, de borne inférieure $a$ et de borne supérieure $b$ . Son centre (ou valeur centrale) est :

$\text{centre} = \dfrac{a+b}{2}$

Pour calculer une moyenne par classes, on remplace tous les individus d’une classe par sa valeur centrale.

Attention

Une moyenne calculée par classes n’est qu’une valeur approchée de la vraie moyenne : on suppose que les valeurs sont réparties uniformément dans chaque classe, ce qui n’est pas toujours exact. Plus les classes sont larges, moins l’approximation est bonne.

4.2 Calculer une moyenne par classes

Méthode — moyenne par classes

1) On calcule le centre de chaque classe. 2) On calcule la moyenne pondérée de ces centres, avec pour coefficients les effectifs de chaque classe.

Exemple — durée du trajet domicile-collège

On a demandé à 30 élèves la durée de leur trajet jusqu’au collège, en minutes.

Classe (min)	$[0\ ;10[$	$[10\ ;20[$	$[20\ ;30[$	$[30\ ;40[$	$[40\ ;50[$
Effectif	$6$	$10$	$8$	$4$	$2$
Centre	$5$	$15$	$25$	$35$	$45$

$\displaystyle\sum n_i \times \text{centre}_i = 6\times5+10\times15+8\times25+4\times35+2\times45$
$=$ $30+150+200+140+90$
$=$ $610$
$N = 6+10+8+4+2 = 30$
$\Rightarrow$ $\bar x \approx \dfrac{610}{30} \approx 20{,}3$ min

Figure 4 — Histogramme des effectifs par classes de durée (en minutes). Chaque classe est remplacée par son centre pour calculer la moyenne, marquée en pointillés rouges.

Exemple — récolte de mil à Bamako

Un exploitant agricole près de Bamako a pesé ses 40 sacs de mil, regroupés par classes de poids.

Classe (kg)	$[20\ ;30[$	$[30\ ;40[$	$[40\ ;50[$	$[50\ ;60[$
Effectif	$8$	$15$	$12$	$5$
Centre	$25$	$35$	$45$	$55$

$\displaystyle\sum n_i \times \text{centre}_i = 8\times25+15\times35+12\times45+5\times55$
$=$ $200+525+540+275$
$=$ $1\,540$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{1\,540}{40} = 38{,}5$ kg

Le poids moyen d’un sac est d’environ $38{,}5$ kg.

5Interprétation et limites de la moyenne

Savoir calculer une moyenne ne suffit pas : il faut aussi savoir l’interpréter, et connaître ce qu’elle ne dit pas.

5.1 L’étendue d’une série

Définition

L’étendue d’une série statistique est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur :

$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

Elle mesure la dispersion de la série : plus elle est grande, plus les valeurs sont éparpillées.

Exemple — températures à Abéché

Sur une semaine, les températures maximales relevées à Abéché (Tchad) ont été : $28\ ;\ 31\ ;\ 35\ ;\ 40\ ;\ 33\ ;\ 29\ ;\ 31$ (en °C).

maximum $= 40\ °\text{C}$
minimum $= 28\ °\text{C}$
$\Rightarrow$ étendue $= 40-28 = 12\ °\text{C}$

5.2 Comparer deux séries

Propriété

Pour comparer deux séries statistiques, la moyenne seule ne suffit jamais : il faut aussi comparer leur étendue (ou plus généralement leur dispersion). Deux séries peuvent avoir la même moyenne et être pourtant très différentes.

Exemple — deux classes, même moyenne

Classe A : $8\ ;\ 9\ ;\ 10\ ;\ 11\ ;\ 12$ . Classe B : $2\ ;\ 6\ ;\ 10\ ;\ 14\ ;\ 18$ .

moyenne de A $= \dfrac{8+9+10+11+12}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$
moyenne de B $= \dfrac{2+6+10+14+18}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$
étendue de A $= 12-8 = 4$
étendue de B $= 18-2 = 16$

Les deux classes ont exactement la même moyenne, mais des résultats bien plus resserrés en A qu’en B.

Figure 5 — Les deux séries ont la même moyenne

\bar x = 10

, mais la classe B est bien plus dispersée (étendue

16

) que la classe A (étendue

4

5.3 Les limites de la moyenne

Attention

Une moyenne peut être fortement déformée par une valeur extrême (très grande ou très petite), même si elle ne représente qu’un seul individu.

Exemple — les ventes de mangues au marché de Ndjamena

Un vendeur relève ses ventes quotidiennes de mangues (en kg) pendant six jours : $40\ ;\ 35\ ;\ 38\ ;\ 42\ ;\ 37\ ;\ 320$ — ce dernier jour, un grossiste a fait un achat exceptionnel.

moyenne des 6 jours $= \dfrac{40+35+38+42+37+320}{6} = \dfrac{512}{6} \approx 85{,}3$ kg
moyenne des 5 jours « ordinaires » $= \dfrac{40+35+38+42+37}{5} = \dfrac{192}{5} = 38{,}4$ kg

La moyenne « $85{,}3$ kg » ne représente aucune journée réelle de vente : elle est tirée vers le haut par le seul jour exceptionnel. Ici, la moyenne des jours ordinaires ( $38{,}4$ kg) décrit bien mieux l’activité habituelle du vendeur.

Math & Co — L’« homme moyen » de Quetelet

En 1835, l’astronome et statisticien belge Adolphe Quetelet publie Sur l’homme et le développement de ses facultés, où il invente le concept d’« homme moyen » : en mesurant la taille, le poids ou l’âge de milliers de personnes, il construit un individu fictif qui représenterait la moyenne de toute une population. L’idée connaît un immense succès — on l’utilise encore aujourd’hui en médecine, en économie ou dans l’industrie (tailles de vêtements, sièges d’avion…).

Mais Quetelet lui-même mettait en garde : « l’homme moyen » n’existe nulle part réellement. Une population où la moitié des habitants mesure $1,50$ m et l’autre moitié $1,90$ m a la même taille moyenne ( $1,70$ m) qu’une population où tout le monde mesure $1,70$ m — et pourtant, ce sont deux réalités totalement différentes. C’est exactement la leçon de ce chapitre : une moyenne se calcule avec exactitude, mais s’interprète toujours avec prudence, en gardant un œil sur la dispersion des valeurs.

Pour conclure : une bonne étude statistique donne toujours la moyenne (la tendance générale) accompagnée de l’étendue (la dispersion). C’est ce double réflexe que tu dois retenir avant d’aborder les exercices.

Fiche mémo

Effectif $n_i$ : nombre d’apparitions d’une valeur. Effectif total $N = \sum n_i$ .
Fréquence $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ ; toujours $\displaystyle\sum f_i = 1$ (soit $100\ \%$ ).
Moyenne simple : $\bar x = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ .
Moyenne à partir d’un tableau d’effectifs : $\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$ .
Moyenne à partir des fréquences : $\bar x = \sum f_i x_i$ (même résultat).
Moyenne pondérée (coefficients $c_i$ ) : $\bar x = \dfrac{\sum c_i x_i}{\sum c_i}$ — on divise par la somme des coefficients, jamais par le nombre de notes.
Centre d’une classe $[a\ ;b[$ : $\dfrac{a+b}{2}$ . Moyenne par classes = moyenne pondérée des centres → valeur approchée.
Étendue $=$ valeur maximale $-$ valeur minimale : mesure la dispersion d’une série.
Comparer deux séries : toujours comparer la moyenne et l’étendue — deux séries peuvent avoir la même moyenne et des dispersions très différentes.
Une valeur extrême peut fortement déformer une moyenne, qui ne représente alors plus aucun individu réel.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Dans une classe de 20 élèves, on a demandé leur boisson préférée : Jus de fruit (8 élèves), Eau (5 élèves), Soda (4 élèves), Lait (3 élèves). Calcule l’effectif total, puis la fréquence de chaque boisson en pourcentage.

Voir le corrigé détaillé

effectif total $N = 8+5+4+3 = 20$
$f_{\text{jus}} = \dfrac{8}{20} = 0{,}40$ soit $40\ \%$
$f_{\text{eau}} = \dfrac{5}{20} = 0{,}25$ soit $25\ \%$
$f_{\text{soda}} = \dfrac{4}{20} = 0{,}20$ soit $20\ \%$
$f_{\text{lait}} = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$ soit $15\ \%$
$40+25+20+15 = 100$ on retrouve bien $100\ \%$

Calcule la moyenne simple de la série suivante : $13\ ;\ 10\ ;\ 16\ ;\ 8\ ;\ 14\ ;\ 11$ .

Voir le corrigé détaillé

$\bar x = \dfrac{13+10+16+8+14+11}{6}$
$=$ $\dfrac{72}{6}$
$=$ $12$

Une enquête sur le nombre d’enfants dans 15 familles donne le tableau suivant. Calcule le nombre moyen d’enfants par famille.

Nombre d’enfants	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif (familles)	$4$	$6$	$3$	$2$

Voir le corrigé détaillé

$\displaystyle\sum n_ix_i = 4\times1+6\times2+3\times3+2\times4$
$=$ $4+12+9+8 = 33$
$N = 4+6+3+2 = 15$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{33}{15} = 2{,}2$

Il y a en moyenne $2{,}2$ enfants par famille.

Un élève a obtenu $14$ (coefficient $1$ ), $9$ (coefficient $1$ ) et $16$ (coefficient $2$ ). Calcule sa moyenne pondérée.

Voir le corrigé détaillé

$\bar x = \dfrac{1\times14+1\times9+2\times16}{1+1+2}$
$=$ $\dfrac{14+9+32}{4}$
$=$ $\dfrac{55}{4}$
$=$ $13{,}75$

Voici les températures maximales (en °C) relevées sur 6 jours : $22\ ;\ 26\ ;\ 19\ ;\ 31\ ;\ 24\ ;\ 27$ . Calcule l’étendue de cette série.

Voir le corrigé détaillé

maximum $= 31\ °\text{C}$
minimum $= 19\ °\text{C}$
$\Rightarrow$ étendue $= 31-19 = 12\ °\text{C}$

Niveau 2 — Approfondissement

Calcule la moyenne générale du trimestre à partir du bulletin suivant.

Matière	Maths	Français	Anglais	SVT	EPS
Note	$16$	$10$	$13$	$12$	$15$
Coefficient	$4$	$3$	$2$	$2$	$1$

Voir le corrigé détaillé

$\displaystyle\sum c_ix_i = 4\times16+3\times10+2\times13+2\times12+1\times15$
$=$ $64+30+26+24+15 = 159$
$\displaystyle\sum c_i = 4+3+2+2+1 = 12$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{159}{12} = 13{,}25$

La durée des appels téléphoniques de 25 élèves (en minutes) est regroupée par classes. Calcule la durée moyenne d’un appel.

Classe (min)	$[0\ ;5[$	$[5\ ;10[$	$[10\ ;15[$	$[15\ ;20[$
Effectif	$5$	$8$	$7$	$5$

Voir le corrigé détaillé

Centres des classes : $2{,}5\ ;\ 7{,}5\ ;\ 12{,}5\ ;\ 17{,}5$ .

$\displaystyle\sum n_i\times\text{centre}_i = 5\times2{,}5+8\times7{,}5+7\times12{,}5+5\times17{,}5$
$=$ $12{,}5+60+87{,}5+87{,}5 = 247{,}5$
$N = 5+8+7+5 = 25$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{247{,}5}{25} = 9{,}9$ min

Deux groupes de 5 élèves passent le même test. Groupe 1 : $12\ ;\ 13\ ;\ 11\ ;\ 14\ ;\ 10$ . Groupe 2 : $5\ ;\ 10\ ;\ 15\ ;\ 18\ ;\ 12$ . Calcule la moyenne et l’étendue de chaque groupe, puis compare.

Voir le corrigé détaillé

moyenne groupe 1 $= \dfrac{12+13+11+14+10}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$
moyenne groupe 2 $= \dfrac{5+10+15+18+12}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$
étendue groupe 1 $= 14-10 = 4$
étendue groupe 2 $= 18-5 = 13$

Les deux groupes ont la même moyenne ( $12$ ), mais le groupe 2 est beaucoup plus hétérogène (étendue $13$ contre $4$ ) : ses résultats sont bien plus dispersés.

Une enquête de satisfaction (note de $1$ à $5$ ) auprès de 200 clients d’une boutique d’Abidjan est donnée par un diagramme circulaire : note $5$ → $40\ \%$ ; note $4$ → $35\ \%$ ; note $3$ → $15\ \%$ ; note $2$ → $6\ \%$ ; note $1$ → $4\ \%$ .

Calcule l’effectif correspondant à chaque note.
Calcule la note moyenne pondérée de cette enquête.

Voir le corrigé détaillé

note 5 : $0{,}40\times200 = 80$ clients
note 4 : $0{,}35\times200 = 70$ clients
note 3 : $0{,}15\times200 = 30$ clients
note 2 : $0{,}06\times200 = 12$ clients
note 1 : $0{,}04\times200 = 8$ clients

2. Vérification : $80+70+30+12+8 = 200$ , c’est cohérent.

$\displaystyle\sum n_ix_i = 80\times5+70\times4+30\times3+12\times2+8\times1$
$=$ $400+280+90+24+8 = 802$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{802}{200} = 4{,}01$

La note moyenne de satisfaction est d’environ $4{,}01$ sur $5$ .

Niveau 3 — Défi

Un professeur a interrogé 28 élèves à un devoir. Le tableau des effectifs est incomplet :

Note	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
Effectif	$3$	$x$	$9$	$6$	$4$

Sachant que la classe compte 28 élèves, calcule $x$ .
Calcule alors la moyenne de la classe.
Le professeur affirme : « Plus de la moitié des élèves ont eu 12 ou plus. » A-t-il raison ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. L’effectif total est la somme de tous les effectifs.

$3+x+9+6+4 = 28$
$\Rightarrow$ $22+x = 28$
$\Rightarrow$ $x = 6$

$\displaystyle\sum n_ix_i = 3\times8+6\times10+9\times12+6\times14+4\times16$
$=$ $24+60+108+84+64 = 340$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{340}{28} \approx 12{,}14$

3. Les élèves ayant eu 12 ou plus sont ceux des notes 12, 14 et 16 : $9+6+4 = 19$ élèves. Or la moitié de 28 élèves représente 14 élèves, et $19 > 14$ . Le professeur a raison : $19$ élèves sur $28$ (soit environ $67{,}9\ \%$ ) ont eu 12 ou plus.

Deux athlètes préparent une finale du 100 m. Leurs cinq derniers temps (en secondes) sont : Athlète A : $12{,}1\ ;\ 12{,}3\ ;\ 12{,}0\ ;\ 12{,}4\ ;\ 12{,}2$ . Athlète B : $11{,}8\ ;\ 12{,}6\ ;\ 11{,}5\ ;\ 13{,}0\ ;\ 11{,}6$ .

Calcule le temps moyen de chaque athlète.
Calcule l’étendue de chaque série.
L’entraîneur veut sélectionner l’athlète le plus régulier pour la finale. Lequel doit-il choisir ? Justifie avec tes résultats.

Voir le corrigé détaillé

moyenne A $= \dfrac{12{,}1+12{,}3+12{,}0+12{,}4+12{,}2}{5} = \dfrac{61{,}0}{5} = 12{,}2$ s
moyenne B $= \dfrac{11{,}8+12{,}6+11{,}5+13{,}0+11{,}6}{5} = \dfrac{60{,}5}{5} = 12{,}1$ s

étendue A $= 12{,}4-12{,}0 = 0{,}4$ s
étendue B $= 13{,}0-11{,}5 = 1{,}5$ s

3. L’athlète B est en moyenne légèrement plus rapide ( $12{,}1$ s contre $12{,}2$ s), mais son étendue ( $1{,}5$ s) est presque quatre fois plus grande que celle de A ( $0{,}4$ s) : ses performances sont beaucoup plus irrégulières. Pour une finale unique, où la fiabilité compte, l’entraîneur devrait choisir l’athlète A, plus régulier, même si sa moyenne est très légèrement moins bonne.

Sur une année, le nombre de jours de pluie par mois à Douala est regroupé par classes de largeurs différentes :

Classe (jours)	$[0\ ;5[$	$[5\ ;15[$	$[15\ ;25[$
Nombre de mois	$4$	$3$	$5$

Calcule le centre de chaque classe.
Calcule le nombre moyen de jours de pluie par mois.
Explique pourquoi cette moyenne n’est qu’une valeur approchée.

Voir le corrigé détaillé

1. Le centre d’une classe est toujours $\dfrac{a+b}{2}$ , même si les classes n’ont pas la même largeur.

centre de $[0\ ;5[$ $= \dfrac{0+5}{2} = 2{,}5$
centre de $[5\ ;15[$ $= \dfrac{5+15}{2} = 10$
centre de $[15\ ;25[$ $= \dfrac{15+25}{2} = 20$

$\displaystyle\sum n_i\times\text{centre}_i = 4\times2{,}5+3\times10+5\times20$
$=$ $10+30+100 = 140$
$N = 4+3+5 = 12$
$\Rightarrow$ $\bar x = \dfrac{140}{12} \approx 11{,}7$ jours/mois

3. Ce calcul suppose que, dans chaque classe, le nombre de jours de pluie de tous les mois vaut exactement le centre — par exemple que les 5 mois de la classe $[15\ ;25[$ ont tous eu exactement 20 jours de pluie. En réalité, les valeurs sont seulement réparties quelque part dans chaque intervalle : la moyenne obtenue n’est donc qu’une estimation, d’autant plus imprécise que les classes sont larges.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le marché de Dakar. Un commerçant a vendu du riz à trois prix différents selon les arrivages : $50$ kg à $450$ F CFA le kg, $80$ kg à $400$ F CFA le kg, et $20$ kg à $500$ F CFA le kg.

Calcule la recette totale (en F CFA) obtenue pour la vente de tout le riz.
Calcule le prix moyen pondéré du kilogramme de riz vendu.

Voir le corrigé détaillé

recette $= 50\times450+80\times400+20\times500$
$=$ $22\,500+32\,000+10\,000$
$=$ $64\,500$ F CFA

2. Le prix moyen pondéré est la moyenne des prix, pondérée par les quantités vendues (en kg).

quantité totale $= 50+80+20 = 150$ kg
$\Rightarrow$ prix moyen $= \dfrac{64\,500}{150} = 430$ F CFA/kg

Le commerçant a vendu son riz à un prix moyen pondéré de $430$ F CFA le kilogramme.

Deux climats. Voici les précipitations mensuelles (en mm) de janvier à juin, à Ndjamena et à Abidjan.

Mois	Jan.	Fév.	Mars	Avr.	Mai	Juin
Ndjamena	$0$	$0$	$5$	$60$	$130$	$90$
Abidjan	$40$	$60$	$130$	$180$	$250$	$200$

Calcule la pluviométrie moyenne mensuelle de chaque ville sur ces six mois.
Calcule l’étendue de chaque série.
Compare les deux climats à l’aide de tes résultats.

Voir le corrigé détaillé

moyenne Ndjamena $= \dfrac{0+0+5+60+130+90}{6} = \dfrac{285}{6} = 47{,}5$ mm
moyenne Abidjan $= \dfrac{40+60+130+180+250+200}{6} = \dfrac{860}{6} \approx 143{,}3$ mm

étendue Ndjamena $= 130-0 = 130$ mm
étendue Abidjan $= 250-40 = 210$ mm

3. Sur cette période, Abidjan reçoit en moyenne trois fois plus de pluie que Ndjamena ( $143{,}3$ mm contre $47{,}5$ mm), ce qui correspond bien à un climat tropical humide face à un climat sahélien. Les deux séries sont très dispersées (grandes étendues), ce qui montre que la pluviométrie varie fortement d’un mois à l’autre dans les deux villes — avec une saison sèche marquée à Ndjamena (deux mois à $0$ mm).

Le budget de la famille Traoré, à Bamako. Sur quatre mois, les dépenses du foyer se sont élevées à $85\,000$ ; $90\,000$ ; $88\,000$ et $250\,000$ F CFA — ce dernier mois correspond au mariage d’un enfant de la famille.

Calcule la dépense mensuelle moyenne sur les quatre mois.
Calcule la dépense mensuelle moyenne en excluant le mois du mariage.
Laquelle de ces deux moyennes décrit le mieux le budget « ordinaire » de la famille ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

$\bar x_4 = \dfrac{85\,000+90\,000+88\,000+250\,000}{4}$
$=$ $\dfrac{513\,000}{4}$
$=$ $128\,250$ F CFA

$\bar x_3 = \dfrac{85\,000+90\,000+88\,000}{3}$
$=$ $\dfrac{263\,000}{3}$
$\approx$ $87\,667$ F CFA

3. La moyenne sur 4 mois ( $128\,250$ F CFA) est fortement tirée vers le haut par la dépense exceptionnelle du mariage : elle ne correspond à aucun mois réel de dépenses courantes. La moyenne sur 3 mois (environ $87\,667$ F CFA) décrit bien mieux le budget ordinaire de la famille ; le mois du mariage doit être analysé séparément, comme une dépense exceptionnelle.

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Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans une série statistique, que représente l'effectif d'une valeur ?

le nombre de fois où cette valeur apparaît la moyenne des valeurs la proportion en pourcentage la différence entre le maximum et le minimum

Explication : L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. La somme de tous les effectifs s'appelle l'effectif total, noté

N

Une classe compte des élèves pratiquant 4 sports, d'effectifs $10\ ;\ 6\ ;\ 4\ ;\ 4$ . Quel est l'effectif total $N$ ?

20 24 14 16

Explication : L'effectif total est la somme de tous les effectifs.

N = 10+6+4+4

= 24

Comment calcule-t-on la fréquence $f_i$ d'une valeur, connaissant son effectif $n_i$ et l'effectif total $N$ ?

f_i = n_i \times N

f_i = \dfrac{N}{n_i}

f_i = \dfrac{n_i}{N}

f_i = n_i + N

Explication : La fréquence est la proportion que représente l'effectif d'une valeur par rapport à l'effectif total :

f_i = \dfrac{n_i}{N}

La somme de toutes les fréquences d'une série vaut toujours :

l'effectif total

N

0 cela dépend de la série 1 (soit 100 %)

Explication : Quelle que soit la série, la somme de toutes les fréquences vaut toujours

1

, c'est-à-dire

100\ \%

Dans un diagramme en bâtons, que représente la hauteur d'un bâton ?

l'effectif de la valeur correspondante la fréquence en pourcentage l'étendue de la série la moyenne de la série

Explication : Dans un diagramme en bâtons, la hauteur de chaque bâton donne directement l'effectif de la valeur correspondante.

Quelle est la formule de la moyenne simple d'une série de $n$ valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ?

\bar x = x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n

\bar x = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

\bar x = (x_1+x_2+\cdots+x_n) \times n

\bar x

est la valeur la plus fréquente

Explication : La moyenne s'obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par leur nombre

n

Moussa a obtenu les notes $10$ , $14$ et $12$ en trois matières. Quelle est sa moyenne ?

36 13 12 14

Explication :

\bar x = \dfrac{10+14+12}{3}

= \dfrac{36}{3}

= 12

Pour calculer une moyenne à partir d'un tableau d'effectifs (valeurs $x_i$ , effectifs $n_i$ , effectif total $N$ ), quelle formule utilise-t-on ?

\bar x = \dfrac{\sum (n_i + x_i)}{N}

\bar x = \dfrac{\sum x_i}{k}

, où

k

est le nombre de valeurs distinctes

\bar x = \dfrac{\sum n_i}{\sum x_i}

\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}

Explication : On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous ces produits, puis on divise par l'effectif total

N

\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}

Dans une classe, 3 élèves ont eu $8$ et 2 élèves ont eu $14$ . Quelle est la moyenne de ces 5 notes ?

10,4 11 22 10

Explication :

\bar x = \dfrac{3\times8+2\times14}{5}

= \dfrac{24+28}{5}

= \dfrac{52}{5} = 10{,}4

Qu'est-ce qu'une moyenne pondérée ?

une moyenne où toutes les valeurs comptent de façon identique une moyenne où certaines valeurs comptent plus que d'autres, selon un coefficient la moyenne des coefficients seuls la plus grande valeur de la série

Explication : Dans une moyenne pondérée, chaque valeur « pèse » proportionnellement à son coefficient : une valeur de coefficient 3 compte trois fois plus qu'une valeur de coefficient 1.

Dans le calcul d'une moyenne pondérée, par quoi divise-t-on la somme des produits valeur × coefficient ?

par le nombre de valeurs par la plus grande valeur de la série par la somme des coefficients par 100

Explication : On divise par la somme de tous les coefficients, et non par le nombre de valeurs : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de calcul.

Karim a eu $12$ (coefficient $1$ ), $8$ (coefficient $1$ ) et $14$ (coefficient $3$ ). Quelle est sa moyenne pondérée ?

11,3 34 13 12,4

Explication :

\bar x = \dfrac{1\times12+1\times8+3\times14}{1+1+3}

= \dfrac{12+8+42}{5}

= \dfrac{62}{5} = 12{,}4

Une classe $[a\ ;\ b[$ a pour bornes $a$ et $b$ . Quel est son centre ?

\dfrac{a+b}{2}

b - a

a \times b

a + b

Explication : Le centre d'une classe est la moyenne de ses deux bornes :

\text{centre} = \dfrac{a+b}{2}

Pourquoi une moyenne calculée par classes n'est-elle qu'une valeur approchée ?

parce que toutes les classes ont forcément la même largeur parce qu'on remplace tous les individus d'une classe par sa valeur centrale, ce qui n'est pas toujours exact parce que l'effectif total reste inconnu parce que les fréquences ne somment pas à 1 dans ce cas

Explication : On suppose que les valeurs sont réparties uniformément dans chaque classe, ce qui n'est pas toujours exact : le résultat est donc une valeur approchée.

10 sacs de mil pèsent entre $20$ et $30$ kg (classe $[20\ ;30[$ , centre $25$ ), et 10 autres pèsent entre $30$ et $40$ kg (classe $[30\ ;40[$ , centre $35$ ). Quel est le poids moyen approché d'un sac ?

25 kg 35 kg 30 kg 60 kg

Explication :

\bar x = \dfrac{10\times25+10\times35}{20}

= \dfrac{250+350}{20}

= \dfrac{600}{20} = 30

L'étendue d'une série statistique est :

la moyenne des valeurs la valeur la plus fréquente la somme de toutes les valeurs la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale

Explication : L'étendue mesure la dispersion d'une série :

\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}

Sur une semaine, les températures relevées à Abéché ont varié entre $28\ °\text{C}$ et $40\ °\text{C}$ . Quelle est l'étendue de cette série ?

12 °C 34 °C 68 °C 8 °C

Explication :
étendue

= \text{maximum} - \text{minimum}

= 40 - 28

= 12\ °\text{C}

Deux classes ont exactement la même moyenne, égale à $10$ . Que peut-on en conclure sur leurs résultats ?

les deux classes ont forcément exactement les mêmes notes rien de plus : les deux séries peuvent avoir des étendues très différentes les deux classes ont forcément le même effectif les deux classes ont forcément la même étendue

Explication : Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne tout en étant très différentes : il faut aussi comparer leur étendue (ou dispersion) pour bien les comparer.

Pourquoi faut-il se méfier d'une moyenne calculée avec une valeur très extrême (par exemple un salaire beaucoup plus élevé que tous les autres) ?

parce que cela rend le calcul de la moyenne impossible parce que la moyenne devient alors forcément négative parce qu'une valeur extrême peut fortement déformer la moyenne, qui ne représente plus aucun individu réel parce que l'effectif total change automatiquement

Explication : Une valeur très extrême « tire » la moyenne vers elle, au point qu'elle peut ne plus représenter la situation réelle de la plupart des individus.

Awa a obtenu $16$ à un devoir de maths (coefficient $2$ ) et $10$ à une interrogation (coefficient $1$ ). Quelle est sa moyenne pondérée ?

13 26 21 14

Explication :

\bar x = \dfrac{2\times16+1\times10}{2+1}

= \dfrac{32+10}{3}

= \dfrac{42}{3} = 14

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En bref

Classe : Classe de Quatrième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 5 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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