Calcul littéral : développement et factorisation

Développer avec la double distributivité et factoriser une expression simple.

Mathématiques 4ème Chapitre 3 / 13 ⏱ 8 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Développer (a + b)(c + d)
Factoriser en repérant le facteur commun
Démontrer une propriété numérique par le calcul littéral

Depuis la 5ᵉ, tu manipules des expressions avec des lettres : $2x+3$ , le périmètre $2(L+\ell)$ d’un rectangle, ou encore une aire $x^{2}$ . Ces lettres représentent des nombres inconnus ou variables, et tu sais déjà calculer leur valeur une fois qu’on te la donne. Ce chapitre va plus loin : il t’apprend à transformer une expression littérale sans changer sa valeur, pour la rendre plus simple à calculer ou pour révéler une propriété cachée.

Deux gestes, inverses l’un de l’autre, sont au cœur du chapitre. Développer, c’est transformer un produit en somme : $k(a+b)$ devient $ka+kb$ . Factoriser, c’est l’inverse : transformer une somme en produit. Tu verras que ces deux gestes reposent sur une seule et même propriété, la distributivité, que l’on peut littéralement voir en dessinant des aires de rectangles.

Ces techniques ne sont pas un simple exercice de style : elles servent à calculer plus vite, à écrire l’aire d’un terrain composé de plusieurs parcelles, ou à prouver qu’un programme de calcul donne toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi au départ. Elles sont aussi la porte d’entrée vers les équations, que tu étudieras juste après ce chapitre.

1Réduction d’une expression

Avant de transformer une expression, il faut savoir la simplifier. C’est l’objet de cette première section : repérer ce qui peut être regroupé, et écrire l’expression sous sa forme la plus courte.

1.1 Vocabulaire du calcul littéral

Définition

Une expression littérale est une expression contenant au moins une lettre, qui représente un nombre. Elle est composée de termes, séparés par les signes $+$ ou $-$ . Un terme est soit un nombre seul (un terme constant), soit un produit d’un nombre — le coefficient — et d’une ou plusieurs lettres — la partie littérale.

Par exemple, dans l’expression $E = 5x^{2} - 3x + 7$ , il y a trois termes : $5x^{2}$ (coefficient $5$ , partie littérale $x^{2}$ ), $-3x$ (coefficient $-3$ , partie littérale $x$ ) et $7$ (terme constant).

1.2 Termes semblables et réduction

Définition

Deux termes sont dits semblables quand ils ont exactement la même partie littérale. Réduire une expression, c’est regrouper ses termes semblables pour l’écrire avec le moins de termes possible.

Propriété

Pour réduire une somme de termes semblables, on additionne (ou on soustrait) leurs coefficients ; la partie littérale, elle, ne change pas.

Exemple — réduire une expression à une lettre

Réduis $F = 5x + 3 - 2x + 7$ .

$F = 5x + 3 - 2x + 7$
$=$ $(5x - 2x) + (3+7)$ on regroupe les termes semblables
$=$ $3x + 10$

Exemple — deux types de termes

Réduis $G = 3x^{2} - 5x + 2x^{2} + x$ .

$G = 3x^{2} - 5x + 2x^{2} + x$
$=$ $(3x^{2} + 2x^{2}) + (-5x + x)$
$=$ $5x^{2} - 4x$

Attention

$x$ et $x^{2}$ n’ont pas la même partie littérale : ce ne sont jamais des termes semblables. $3x^{2} + 2x$ ne se réduit pas en $5x^{3}$ ni en rien d’autre : cette expression est déjà réduite.

1.3 Supprimer des parenthèses

Propriété

Une parenthèse précédée du signe $+$ se supprime sans rien changer. Une parenthèse précédée du signe $-$ se supprime en changeant le signe de chaque terme qu’elle contient.

$+(a+b) = a+b \qquad\qquad -(a+b) = -a-b$

Exemple — supprimer puis réduire

Réduis $H = 8 - (2x+3) + (5x-1)$ .

$H = 8 - (2x+3) + (5x-1)$
$=$ $8 - 2x - 3 + 5x - 1$ le signe $-$ change les deux termes ; le signe $+$ ne change rien
$=$ $(8-3-1) + (-2x+5x)$
$=$ $4 + 3x$

Attention

Piège classique : écrire $8-(2x+3) = 8-2x+3$ . C’est faux ! Le signe $-$ devant la parenthèse change tous les signes à l’intérieur, y compris celui du terme constant : $8-(2x+3) = 8-2x-3$ .

Méthode — réduire une expression

1) Supprime les parenthèses en appliquant la règle des signes. 2) Repère les termes semblables (même partie littérale). 3) Additionne leurs coefficients. 4) Écris le résultat, en général du plus haut degré au plus bas.

Math & Co — Pourquoi la lettre

x

C’est le mathématicien et philosophe français René Descartes qui, dans son ouvrage La Géométrie publié en 1637, généralise l’usage des dernières lettres de l’alphabet — $x$ , $y$ , $z$ — pour désigner les inconnues, et des premières — $a$ , $b$ , $c$ — pour les quantités connues. Cette convention, purement pratique au départ, s’est imposée dans le monde entier et n’a plus jamais changé depuis presque quatre siècles.

2Distributivité simple

Développer une expression, c’est la transformer d’un produit en une somme. L’outil de base pour développer s’appelle la distributivité : c’est elle qui explique comment un facteur se répartit sur chaque terme d’une parenthèse.

2.1 La propriété de distributivité simple

Propriété

Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

$k(a+b) = k\times a + k\times b \qquad\qquad k(a-b) = k\times a - k\times b$

Démonstration — preuve en aires

Considère un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a+b$ . Son aire se calcule de deux façons différentes, qui doivent donner le même nombre.

D’une part, comme un seul rectangle de largeur $k$ et de longueur $a+b$ : son aire vaut $k \times (a+b)$ .

D’autre part, on peut partager ce même rectangle en deux rectangles plus petits, de largeur $k$ et de longueurs respectives $a$ et $b$ : leur aire totale vaut $k\times a + k\times b$ .

Ces deux calculs mesurent la même surface, donc $k(a+b) = k\times a + k\times b$ . C.Q.F.D.

Figure 1 — La même aire, calculée de deux façons : comme un seul rectangle

k(a+b)

, ou comme la somme de deux rectangles

ka + kb

2.2 Développer une expression

Méthode — développer

k(a+b)

On multiplie $k$ par chaque terme entre parenthèses, en appliquant soigneusement la règle des signes ( $(+)\times(+)=+$ , $(+)\times(-)=-$ , $(-)\times(-)=+$ ).

Exemple — développer une somme

Développe $4(x+3)$ .

$4(x+3) = 4\times x + 4\times 3$
$=$ $4x + 12$

Exemple — développer avec un coefficient négatif

Développe $-3(2x-5)$ .

$-3(2x-5) = (-3)\times 2x - (-3)\times 5$
$=$ $-6x - (-15)$
$=$ $-6x + 15$

Exemple — un calcul astucieux

Calcule mentalement $7 \times 102$ en utilisant la distributivité.

$7\times 102 = 7\times(100+2)$
$=$ $7\times 100 + 7\times 2$
$=$ $700+14 = 714$

Attention

Le signe $-$ devant une parenthèse se distribue à chaque terme. $-3(2x-5)$ n’est pas égal à $-6x-15$ : le second terme change lui aussi de signe, ce qui donne $-6x+15$ .

Math & Co — Le mot « algèbre »

Vers l’an $820$ , à Bagdad, le savant Al-Khwârizmî écrit un traité intitulé Kitâb al-jabr wa al-muqâbala. Le mot « al-jabr », qui signifie à peu près « réunion des morceaux », désigne la technique consistant à transformer une expression pour la simplifier — exactement ce que tu fais dans ce chapitre ! C’est de ce mot arabe que vient notre mot français « algèbre ». Al-Khwârizmî a lui-même donné son nom à un autre mot que tu connais bien : « algorithme ».

3Double distributivité

Que se passe-t-il quand les deux facteurs d’un produit sont des sommes, comme dans $(a+b)(c+d)$ ? On applique la distributivité deux fois de suite : c’est la double distributivité.

3.1 La formule du double produit

Propriété

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

$(a+b)(c+d) = a\times c + a\times d + b\times c + b\times d$

Démonstration

On pose $X = c+d$ , un nombre comme un autre. La distributivité simple, appliquée à $(a+b)\times X$ , donne :

$(a+b)(c+d) = (a+b)\times X$
$=$ $a\times X + b\times X$ distributivité simple sur $(a+b)$
$=$ $a(c+d) + b(c+d)$ on remplace $X$ par $c+d$
$=$ $ac + ad + bc + bd$ distributivité simple, deux fois de plus

On retrouve bien les quatre produits de la formule. On peut aussi le voir directement sur une aire (Figure 2).

Figure 2 — Le grand rectangle de côtés

(a+b)

(c+d)

se partage en quatre rectangles, d’aires

ac

ad

bc

bd

3.2 Développer un produit de deux sommes

Méthode — développer

(a+b)(c+d)

Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second : cela fait toujours quatre produits à calculer, puis on réduit en regroupant les termes semblables.

Exemple — deux sommes de signe

+

Développe et réduis $(x+3)(x+5)$ .

$(x+3)(x+5) = x\times x + x\times 5 + 3\times x + 3\times 5$
$=$ $x^{2} + 5x + 3x + 15$
$=$ $x^{2} + 8x + 15$

Exemple — avec un coefficient et un signe

-

Développe et réduis $(2x-1)(x+4)$ .

$(2x-1)(x+4) = 2x\times x + 2x\times 4 - 1\times x - 1\times 4$
$=$ $2x^{2} + 8x - x - 4$
$=$ $2x^{2} + 7x - 4$

Exemple — deux signes

-

Développe et réduis $(x-2)(x-5)$ .

$(x-2)(x-5) = x\times x - x\times 5 - 2\times x + 2\times 5$
$=$ $x^{2} - 5x - 2x + 10$
$=$ $x^{2} - 7x + 10$

Attention

L’erreur la plus fréquente est d’oublier un produit parmi les quatre — le plus souvent un des deux « produits croisés ». Coche mentalement les quatre multiplications avant de réduire. Attention aussi au signe : $(-2)\times(-5) = +10$ , pas $-10$ .

4Facteur commun et factorisation

Factoriser, c’est l’opération inverse de développer : transformer une somme en un produit. On l’utilise dès qu’un même facteur se répète dans tous les termes d’une expression.

4.1 Reconnaître un facteur commun

Définition

Dans une somme de termes, un facteur commun est un facteur qui apparaît dans chacun des termes. Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit, en « sortant » ce facteur commun.

Propriété

Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ : $k\times a + k\times b = k(a+b) \qquad\qquad k\times a - k\times b = k(a-b)$

C’est exactement la propriété de distributivité, lue « à l’envers ».

Figure 3 — Les deux rectangles d’aires

7x

21

partagent la même largeur

7

: on peut les regrouper en un seul rectangle, d’aire

7(x+3)

Exemple — facteur commun numérique

Factorise $J = 5x + 15$ .

$J = 5\times x + 5\times 3$ on écrit $15 = 5\times 3$
$=$ $5(x+3)$ $5$ est le facteur commun

Exemple — vérifier en redéveloppant

Factorise $K = 12x - 18$ , puis vérifie.

$K = 6\times 2x - 6\times 3$ $6$ divise $12$ et $18$
$=$ $6(2x-3)$
vérification : $6(2x-3) = 12x-18$ on redéveloppe, on retrouve $K$

4.2 Facteur commun qui est une expression

Méthode — quand le facteur commun est entre parenthèses

Le facteur commun n’est pas toujours un simple nombre : ce peut être toute une expression entre parenthèses, à condition qu’elle soit rigoureusement identique dans les deux termes.

Exemple — facteur commun

(x+2)

Factorise $L = x(x+2) + 5(x+2)$ .

$L = x(x+2) + 5(x+2)$
$=$ $(x+2)(x+5)$ $(x+2)$ est le facteur commun aux deux termes

Exemple — un terme égal au facteur lui-même

Factorise $M = 3x(x-1) - (x-1)$ .

$M = 3x(x-1) - 1\times(x-1)$ $-(x-1)$ signifie $-1 \times (x-1)$
$=$ $(x-1)(3x-1)$

Attention

Une factorisation n’est complète que si le résultat est vraiment un produit (rien à additionner ou soustraire entre les grandes parenthèses). Vérifie toujours en redéveloppant : tu dois retomber sur l’expression de départ.

Math & Co — Les aires, premières preuves d’algèbre

Bien avant que les lettres $a$ , $b$ , $x$ n’existent, les mathématiciens grecs démontraient déjà des identités comme $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ — mais avec des figures, pas des symboles. Dans le Livre II de ses Éléments, écrit vers $-300$ , Euclide énonce et prouve ainsi des dizaines de propriétés à l’aide de rectangles et de carrés découpés. Cette « algèbre géométrique » a dominé les mathématiques pendant près de deux mille ans, avant l’arrivée de l’écriture symbolique moderne.

5Tester et prouver une égalité

Une expression littérale contient une lettre : on obtient une égalité numérique vraie ou fausse dès qu’on la remplace par un nombre. Mais attention : vérifier une égalité pour un seul nombre et la prouver pour tous les nombres sont deux choses très différentes.

5.1 Tester une égalité pour une valeur

Définition

Tester une égalité pour une valeur, c’est remplacer la lettre par ce nombre et calculer séparément chaque membre (chaque côté du signe $=$ ), pour voir si l’on obtient le même résultat.

Exemple — un test qui révèle une erreur

Manon affirme que $(x+2)^{2} = x^{2}+4$ pour tout nombre $x$ . Teste cette égalité pour $x=1$ .

membre de gauche : $(1+2)^{2} = 3^{2} = 9$
membre de droite : $1^{2}+4 = 1+4 = 5$
$\Rightarrow$ $9 \neq 5$

L’égalité est fausse pour $x=1$ : elle est donc fausse en général. En développant correctement avec la double distributivité, $(x+2)^{2}=(x+2)(x+2)=x^{2}+4x+4$ : Manon a simplement oublié les deux termes $4x$ .

Attention

Un test réussi pour une seule valeur ne prouve jamais qu’une égalité est vraie pour toutes les valeurs — il faudrait la tester pour l’infinité des nombres possibles ! En revanche, un seul test qui échoue suffit à prouver qu’elle est fausse : c’est ce qu’on appelle un contre-exemple.

5.2 Prouver une égalité pour tout nombre

Propriété

Pour prouver qu’une égalité littérale est vraie pour tout nombre, on développe puis on réduit séparément chaque membre. Si les deux expressions réduites obtenues sont identiques, alors l’égalité est vraie quel que soit le nombre choisi.

Méthode — prouver qu’un programme de calcul donne toujours le même résultat

1) On note $x$ le nombre choisi au départ. 2) On traduit chaque étape du programme en une expression littérale. 3) On développe et on réduit cette expression. 4) On conclut : le résultat final ne dépend que de $x$ , sous une forme simple.

Exemple — prouver un programme de calcul

Programme : « Choisis un nombre $x$ . Ajoute $5$ . Multiplie le résultat par $3$ . Soustrais $15$ . » Prouve que le résultat est toujours égal à $3x$ .

résultat $= 3(x+5) - 15$
$=$ $3x + 15 - 15$ on développe $3(x+5)$
$=$ $3x$

Quel que soit le nombre $x$ choisi au départ, le résultat de ce programme est toujours le triple de $x$ (Figure 4).

Figure 4 — Chaque flèche traduit une étape du programme ; en développant et en réduisant l’expression finale, on prouve que le résultat vaut toujours

3x

Exemple — prouver une propriété numérique

Prouve que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ .

Si $n$ est le premier entier, les trois entiers consécutifs sont $n$ , $n+1$ et $n+2$ .

$S = n + (n+1) + (n+2)$
$=$ $3n + 3$
$=$ $3(n+1)$ on factorise par $3$

$S$ s’écrit comme $3$ fois un entier $(n+1)$ : $S$ est donc bien un multiple de $3$ , quel que soit l’entier $n$ choisi au départ.

Fiche mémo

Termes semblables : même partie littérale seulement ; on additionne les coefficients. $x$ et $x^{2}$ ne sont jamais semblables.
Parenthèses : $+(a+b)=a+b$ ; $-(a+b) = -a-b$ (tous les signes changent).
Distributivité simple : $k(a+b) = ka+kb$ ; $k(a-b) = ka-kb$ .
Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ — quatre produits, puis on réduit.
Factoriser : $ka+kb = k(a+b)$ , la distributivité lue à l’envers.
Le facteur commun peut être une expression entre parenthèses : $x(x+2)+5(x+2) = (x+2)(x+5)$ .
Vérifier une factorisation : on redéveloppe, on doit retomber sur l’expression de départ.
Tester une valeur : prouve que l’égalité est fausse si le test échoue ; ne prouve jamais qu’elle est vraie.
Prouver une égalité : développer et réduire séparément chaque membre, comparer les résultats.
Programme de calcul : traduire chaque étape avec $x$ , développer, réduire, conclure sur le résultat général.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Réduis chaque expression : a) $5x+3-2x+7$ ; b) $-4x+9+6x-2$ ; c) $7-(2x+3)$ ; d) $3x^{2}-5x+2x^{2}+x$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $5x+3-2x+7 = 3x+10$
b) $-4x+9+6x-2 = 2x+7$
c) $7-(2x+3) = 7-2x-3 = 4-2x$
d) $3x^{2}-5x+2x^{2}+x = 5x^{2}-4x$

Développe (distributivité simple) : a) $6(x+4)$ ; b) $-5(2x-3)$ ; c) $x(x-7)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $6(x+4) = 6x+24$
b) $-5(2x-3) = -10x+15$
c) $x(x-7) = x^{2}-7x$

Développe et réduis (double distributivité) : a) $(x+2)(x+6)$ ; b) $(x-3)(x+8)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $(x+2)(x+6) = x^{2}+6x+2x+12 = x^{2}+8x+12$
b) $(x-3)(x+8) = x^{2}+8x-3x-24 = x^{2}+5x-24$

Factorise en repérant le facteur commun : a) $9x+45$ ; b) $12x-18$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $9x+45 = 9\times x+9\times 5 = 9(x+5)$
b) $12x-18 = 6\times 2x-6\times 3 = 6(2x-3)$

Soit $E = 3(x-2)+5$ . Réduis $E$ , puis calcule sa valeur pour $x=7$ .

Voir le corrigé détaillé

$E = 3(x-2)+5 = 3x-6+5$
$=$ $3x-1$
pour $x=7$ : $E = 3\times 7-1$
$=$ $21-1 = 20$

Niveau 2 — Approfondissement

Développe et réduis $A = 2x(x+3) - (x-1)(x+4)$ .

Voir le corrigé détaillé

$2x(x+3) = 2x^{2}+6x$
$(x-1)(x+4) = x^{2}+4x-x-4 = x^{2}+3x-4$
$A = 2x^{2}+6x - (x^{2}+3x-4)$
$=$ $2x^{2}+6x-x^{2}-3x+4$
$=$ $x^{2}+3x+4$

Factorise : a) $B = x(x+2)+5(x+2)$ ; b) $C = 3x(x-1) - (x-1)$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $B = x(x+2)+5(x+2) = (x+2)(x+5)$
b) $C = 3x(x-1) - 1\times(x-1) = (x-1)(3x-1)$

Un élève affirme que $2(x+3) = 2x+3$ pour tout $x$ . Teste cette égalité pour $x=4$ et conclus.

Voir le corrigé détaillé

membre de gauche : $2\times(4+3) = 2\times 7 = 14$
membre de droite : $2\times 4+3 = 8+3 = 11$
$\Rightarrow$ $14 \neq 11$

L’égalité est fausse. L’élève a oublié de distribuer le $2$ sur le second terme : la bonne formule est $2(x+3) = 2x+6$ .

Programme : « Choisis un nombre $x$ . Soustrais $2$ . Multiplie par $4$ . Ajoute $8$ . » Prouve que le résultat est toujours égal à $4x$ .

Voir le corrigé détaillé

résultat $= 4(x-2)+8$
$=$ $4x-8+8$
$=$ $4x$

Quel que soit le nombre $x$ choisi, le résultat vaut toujours $4x$ , soit $4$ fois le nombre de départ.

Calcule astucieusement, en factorisant : a) $25\times 97+25\times 3$ ; b) $8{,}5\times 26-8{,}5\times 16$ .

Voir le corrigé détaillé

a) $25\times 97+25\times 3 = 25\times(97+3) = 25\times 100 = 2\,500$
b) $8{,}5\times 26-8{,}5\times 16 = 8{,}5\times(26-16) = 8{,}5\times 10 = 85$

Niveau 3 — Défi

Une terrasse rectangulaire a pour largeur $x$ mètres et pour longueur $(x+4)$ mètres. On y retire une allée rectangulaire de largeur $3$ m, sur toute la largeur $x$ de la terrasse (voir Figure 5).

Exprime l’aire totale de la terrasse (avant retrait) en fonction de $x$ .
L’aire de l’allée retirée vaut $3x$ . Exprime l’aire restante $A$ , réduis-la, puis factorise-la.
Calcule l’aire restante pour $x=6$ m.

Voir le corrigé détaillé

1. L’aire totale est le produit largeur $\times$ longueur.

aire totale $= x(x+4) = x^{2}+4x$

2. On retranche l’aire de l’allée.

$A = x(x+4) - 3x$
$=$ $x^{2}+4x-3x$
$=$ $x^{2}+x$
$=$ $x(x+1)$ $x$ est le facteur commun

3. Pour $x=6$ :

$A = 6\times(6+1)$
$=$ $6\times 7 = 42$ m²

Figure 5 — La terrasse totale mesure

x(x+4)

; en retirant l’allée d’aire

3x

, il reste un rectangle de largeur

x

et de longueur

(x+4)-3=x+1

, donc d’aire

x(x+1)

Soit $N$ un entier et $A = (N+1)(N+3) - (N+1)(N-2)$ .

Développe chaque produit puis réduis $A$ .
Factorise $A$ en repérant directement le facteur commun $(N+1)$ , sans tout développer.
Déduis-en que $A$ est un multiple de $5$ , quel que soit l’entier $N$ , puis calcule $A$ pour $N=12$ .

Voir le corrigé détaillé

$(N+1)(N+3) = N^{2}+3N+N+3 = N^{2}+4N+3$
$(N+1)(N-2) = N^{2}-2N+N-2 = N^{2}-N-2$
$A = (N^{2}+4N+3) - (N^{2}-N-2)$
$=$ $N^{2}+4N+3-N^{2}+N+2$
$=$ $5N+5$

2. $(N+1)$ est un facteur commun aux deux produits.

$A = (N+1)\left[(N+3)-(N-2)\right]$
$=$ $(N+1)\times 5$
$=$ $5(N+1)$ cohérent avec $5N+5$ trouvé au 1.

3. $A = 5(N+1)$ s’écrit comme $5$ fois un entier : $A$ est donc un multiple de $5$ pour tout entier $N$ . Pour $N=12$ : $A = 5\times 13 = 65$ .

Programme : « Choisis un nombre $x$ . Ajoute $4$ . Élève le résultat au carré. Soustrais le carré du nombre de départ. »

Teste ce programme pour $x=3$ , étape par étape.
Prouve, à l’aide du calcul littéral, que le résultat est toujours égal à $8(x+2)$ .
Utilise cette forme factorisée pour retrouver rapidement le résultat pour $x=97$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Pour $x=3$ : on ajoute $4$ , on obtient $7$ , on élève au carré : $49$ ; on soustrait $3^{2}=9$ : $49-9=40$ .

résultat $= (x+4)^{2} - x^{2} = (x+4)(x+4) - x^{2}$
$=$ $x^{2}+4x+4x+16-x^{2}$
$=$ $8x+16$
$=$ $8(x+2)$

Vérification pour $x=3$ : $8\times(3+2) = 8\times 5 = 40$ . Cohérent avec le test.

3. Pour $x=97$ :

résultat $= 8\times(97+2)$
$=$ $8\times 99 = 792$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Au grand marché de Bamako. Fatou achète, pour son restaurant, $8$ sacs de riz à $12\,500$ F CFA le sac et $8$ sacs de mil à $4\,500$ F CFA le sac.

Écris le coût total sous la forme d’une somme de deux produits.
Factorise cette expression et calcule le coût total.
Si elle achetait $n$ sacs de chaque, exprime le coût total $C(n)$ en fonction de $n$ , puis calcule $C(15)$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Coût $= 8\times 12\,500 + 8\times 4\,500$ .

Coût $= 8\times(12\,500+4\,500)$
$=$ $8\times 17\,000$
$=$ $136\,000$ F CFA

$C(n) = n\times 12\,500+n\times 4\,500 = n\times 17\,000$
$C(15) = 15\times 17\,000$
$=$ $255\,000$ F CFA

Le terrain de M. Adoum (Ndjamena). M. Adoum possède, à Ndjamena, un terrain rectangulaire de largeur $x$ mètres et de longueur $(x+15)$ mètres. Il veut l’entourer entièrement d’une clôture.

Exprime le périmètre $P$ en fonction de $x$ (utilise $P=2(L+\ell)$ ), développe et réduis.
Calcule $P$ pour $x=20$ m.
La clôture coûte $4\,800$ F CFA le mètre. Calcule le coût total.

Voir le corrigé détaillé

$P = 2\left[(x+15)+x\right]$
$=$ $2(2x+15)$
$=$ $4x+30$

$P = 4\times 20+30$
$=$ $80+30 = 110$ m

coût $= 110\times 4\,800$
$=$ $528\,000$ F CFA

La couturière de Douala. Une couturière achète du tissu wax à $3\,500$ F CFA le mètre, au marché de Douala : $4$ m pour une robe et $6$ m pour un boubou.

Écris le coût total sous la forme d’une somme de deux produits.
Factorise et calcule le coût total.
Une cliente achète $a$ mètres puis $b$ mètres au même prix. Exprime son coût total factorisé, puis calcule-le pour $a=5$ et $b=9$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Coût $= 3\,500\times 4+3\,500\times 6$ .

Coût $= 3\,500\times(4+6)$
$=$ $3\,500\times 10 = 35\,000$ F CFA

Coût $= 3\,500(a+b)$
pour $a=5$ , $b=9$ : Coût $= 3\,500\times 14$
$=$ $49\,000$ F CFA

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8 questions

Théorème de Pythagore

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Dans l'expression $5x^{2} - 3x + 7$ , quel est le coefficient du terme $-3x$ ?

3

-7

-3

7

Explication : Le terme

-3x

est composé du coefficient

-3

et de la partie littérale

x

Parmi ces termes, lequel est semblable à $4x^{2}$ ?

-x^{2}

4x

3x

7

Explication : Deux termes sont semblables quand ils ont exactement la même partie littérale. Ici,

-x^{2}

a la même partie littérale

x^{2}

que

4x^{2}

Peut-on réduire l'expression $3x^{2} + 2x$ en un seul terme ?

oui, cela donne

5x^{3}

oui, cela donne

5x^{2}

oui, cela donne

5x

non, car

x

x^{2}

n'ont pas la même partie littérale

Explication :

x

x^{2}

ne sont jamais des termes semblables. L'expression

3x^{2}+2x

est donc déjà sous sa forme réduite.

Réduis $7 - (2x+3)$ .

10-2x

4-2x

4+2x

-2x-4

Explication : Le signe

-

devant la parenthèse change le signe de chaque terme :

7-2x-3

= 4-2x

Développe $4(x+3)$ .

4x+12

4x+3

x+12

4x+7

Explication : On multiplie

4

par chaque terme :

4\times x + 4\times 3

= 4x+12

Développe $-3(2x-5)$ .

-6x-15

-6x+8

-6x+15

6x-15

Explication :

(-3)\times 2x = -6x

(-3)\times(-5) = +15

donc

-3(2x-5) = -6x+15

. Attention, le second signe change aussi !

En utilisant la distributivité, calcule mentalement $7 \times 102$ .

709

721

700

714

Explication :

7\times 102 = 7\times(100+2) = 7\times 100 + 7\times 2

= 700+14 = 714

Développe et réduis $(x+3)(x+5)$ .

x^{2}+15

x^{2}+8x+15

x^{2}+8x+8

x^{2}+2x+15

Explication : Quatre produits à calculer :

x\times x + x\times 5 + 3\times x + 3\times 5 = x^{2}+5x+3x+15

= x^{2}+8x+15

Développe et réduis $(x-2)(x-5)$ .

x^{2}-7x+10

x^{2}-7x-10

x^{2}+7x+10

x^{2}-3x+10

Explication :

x\times x - x\times 5 - 2\times x + 2\times 5 = x^{2}-5x-2x+10

= x^{2}-7x+10

. Attention :

(-2)\times(-5)=+10

, pas

-10

En développant un produit $(a+b)(c+d)$ , l'erreur la plus fréquente consiste à :

oublier de réduire à la fin changer les signes correctement oublier un des quatre produits, souvent un produit croisé il n'y a jamais d'erreur possible dans ce calcul

Explication : Un développement

(a+b)(c+d)

demande toujours quatre produits. L'erreur la plus fréquente est d'en oublier un, en général un des deux produits croisés.

Factorise $5x + 15$ .

5(x+15)

5(x+3)

x(5+15)

3(x+5)

Explication : On écrit

15 = 5\times 3

5x+15 = 5\times x + 5\times 3 = 5(x+3)

Factorise $x(x+2) + 5(x+2)$ .

(x+2)(x+7)

x(2x+7)

(x+5)(x+5)

(x+2)(x+5)

Explication :

(x+2)

est le facteur commun aux deux termes : on le sort, il reste

x

5

(x+2)(x+5)

Pour vérifier qu'une factorisation est correcte, la bonne méthode consiste à :

redévelopper le résultat et retrouver l'expression de départ remplacer

x

par

0

uniquement compter le nombre de termes faire confiance sans vérifier

Explication : On vérifie toujours une factorisation en redéveloppant le résultat obtenu : on doit retomber exactement sur l'expression de départ.

Manon affirme que $(x+2)^{2} = x^{2}+4$ pour tout $x$ . Le test pour $x=1$ donne $9 \neq 5$ . Que peut-on en conclure ?

l'égalité est vraie pour tout

x

l'égalité est fausse : un seul contre-exemple suffit à le prouver il faudrait tester toutes les valeurs pour être sûr le test ne permet aucune conclusion

Explication : Un seul test qui échoue suffit à prouver qu'une égalité est fausse : c'est un contre-exemple. Ici,

(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4

, et Manon a oublié le terme

4x

Programme : « Choisis $x$ . Ajoute $5$ . Multiplie par $3$ . Soustrais $15$ . » Une fois développé et réduit, le résultat final est :

3x+15

x+15

3x

3x-15

Explication : résultat

= 3(x+5)-15 = 3x+15-15

= 3x

, quel que soit

x

choisi au départ.

La somme de trois entiers consécutifs $n$ , $n+1$ , $n+2$ se réduit puis se factorise en :

3(n+2)

n(n+3)

3n+1

3(n+1)

Explication :

n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)

, ce qui prouve que cette somme est toujours un multiple de

3

Une terrasse d'aire $x(x+4)$ perd une allée d'aire $3x$ . L'aire restante, réduite puis factorisée, vaut $x(x+1)$ . Pour $x=6$ m, cette aire vaut :

42\ \text{m}^2

36\ \text{m}^2

48\ \text{m}^2

54\ \text{m}^2

Explication : Pour

x=6

A = 6 \times (6+1)

= 6\times 7 = 42\ \text{m}^2

Fatou achète $8$ sacs de riz à $12\,500$ F CFA et $8$ sacs de mil à $4\,500$ F CFA. En factorisant par $8$ , le coût total est :

128\,000

F CFA

136\,000

F CFA

140\,000

F CFA

68\,000

F CFA

Explication : Coût

= 8\times(12\,500+4\,500)

= 8\times 17\,000

= 136\,000

F CFA.

Un terrain a pour largeur $x$ et pour longueur $(x+15)$ . Son périmètre $P = 2\left[(x+15)+x\right]$ , une fois réduit, s'écrit :

2x+30

4x+15

4x+30

2x+15

Explication :

P = 2\left[(x+15)+x\right] = 2(2x+15)

= 4x+30

Une couturière paie $3\,500(a+b)$ F CFA pour $a$ mètres puis $b$ mètres de tissu au même prix. Pour $a=5$ et $b=9$ , le coût total est :

45\,500

F CFA

31\,500

F CFA

52\,500

F CFA

49\,000

F CFA

Explication : Coût

= 3\,500\times(5+9)

= 3\,500\times 14

= 49\,000

F CFA.

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En bref

Classe : Classe de Quatrième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 8 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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