Théorème de Thalès et droite des milieux

Utiliser la configuration de Thalès pour calculer des longueurs.

Mathématiques 4ème Chapitre 8 / 13 ⏱ 9 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Reconnaître une configuration de Thalès
Écrire les rapports dans le bon ordre
Démontrer un parallélisme par la réciproque

Ce chapitre est l'un des plus utiles de tout le collège : dès que deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, des longueurs se retrouvent liées entre elles de façon très précise — et tu peux calculer une distance que tu ne peux pas mesurer directement. C'est exactement ce que fit Thalès de Milet, il y a environ vingt-six siècles, pour mesurer la hauteur d'une pyramide égyptienne rien qu'en observant une ombre portée sur le sable.

Tu connais déjà les triangles et les parallélogrammes depuis la 5ème et la 6ème. Ce chapitre te fait franchir un cap : il relie pour la première fois deux droites sécantes coupées par des parallèles — une configuration que tu retrouveras dans toute ta scolarité, jusqu'au lycée sous une forme vectorielle.

Tu verras que ce théorème n'est pas qu'un exercice d'école : il permet de mesurer la hauteur d'un baobab sans y grimper, la largeur d'un fleuve sans le traverser, ou d'agrandir un plan à l'échelle exacte. On commence par le cas le plus simple, celui où les parallèles passent par les milieux des côtés d'un triangle.

1Droite des milieux dans un triangle

Définition

Dans un triangle, la droite des milieux relative à un côté est la droite qui joint les milieux des deux autres côtés.

Dans le triangle $ABC$ , si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$ , la droite $(MN)$ est la droite des milieux relative au côté $[BC]$ .

Figure 1 —

M

est le milieu de

[AB]

N

est le milieu de

[AC]

(petits traits : segments de même longueur). La droite des milieux

(MN)

est parallèle à

[BC]

et deux fois plus courte.

1.1 Les deux propriétés de la droite des milieux

Théorème de la droite des milieux

Dans un triangle $ABC$ , si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$ , alors :

la droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$ ;
$MN = \dfrac{BC}{2}$ .

Démonstration

On construit le point $D$ , symétrique de $M$ par rapport à $N$ : ainsi $N$ est le milieu de $[MD]$ .

Dans le quadrilatère $AMCD$ , les diagonales sont $[AC]$ et $[MD]$ . Or $N$ est le milieu de $[AC]$ (hypothèse) et le milieu de $[MD]$ (construction) : les diagonales de $AMCD$ ont le même milieu, donc $AMCD$ est un parallélogramme.

Ses côtés opposés sont donc parallèles et de même longueur : $(CD)\parallel(AM)$ et $CD = AM$ . Or $(AM)$ est la droite $(AB)$ et $AM = MB$ ( $M$ milieu de $[AB]$ ) ; donc $(CD)\parallel(MB)$ et $CD = MB$ .

Le quadrilatère $MBCD$ a donc un couple de côtés opposés $[MB]$ et $[CD]$ parallèles et de même longueur : c'est encore un parallélogramme. Ses côtés opposés $[BC]$ et $[MD]$ sont donc eux aussi parallèles et de même longueur.

$(MD)\parallel(BC)$ côtés opposés du parallélogramme $MBCD$
or $M$ , $N$ , $D$ sont alignésconstruction de $D$
$\Rightarrow$ $(MN)\parallel(BC)$
$BC = MD$ côtés opposés du parallélogramme $MBCD$
$MD = 2\,MN$ $N$ milieu de $[MD]$
$\Rightarrow$ $MN = \dfrac{BC}{2}$

C.Q.F.D.

Exemple — calculer avec la droite des milieux

Dans un triangle $RST$ , $U$ est le milieu de $[RS]$ et $V$ est le milieu de $[RT]$ , avec $ST = 9{,}4$ cm.

$UV = \dfrac{ST}{2}$ théorème de la droite des milieux
$=$ $\dfrac{9{,}4}{2}$
$=$ $4{,}7$ cm

1.2 La réciproque

Propriété (réciproque)

Dans un triangle $ABC$ , si $M$ est le milieu de $[AB]$ et si la droite parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$ , alors $N$ est le milieu de $[AC]$ .

Démonstration (idée)

Notons $N'$ le vrai milieu de $[AC]$ . D'après le théorème précédent, $(MN')\parallel(BC)$ . Or il n'existe qu'une seule droite parallèle à $(BC)$ passant par $M$ : c'est donc la même droite que $(MN)$ . Comme $(AC)$ n'est pas parallèle à $(BC)$ (le triangle n'est pas aplati), cette droite coupe $(AC)$ en un unique point. Donc $N = N'$ : $N$ est bien le milieu de $[AC]$ .

Cette réciproque est très pratique : elle permet de prouver qu'un point est un milieu sans le mesurer, simplement en montrant un parallélisme. Tu la retrouveras généralisée dans la section 5 avec la réciproque du théorème de Thalès.

2Configuration de Thalès

La droite des milieux est en fait un cas particulier d'une situation beaucoup plus générale : celle où deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, sans que les points soient forcément des milieux. C'est la configuration de Thalès. Elle se présente sous deux formes visuelles, qu'il faut apprendre à reconnaître d'un coup d'œil.

2.1 La configuration « triangle »

Les deux droites sécantes se coupent en un point commun aux deux segments : c'est le sommet d'un triangle, et les parallèles coupent les deux autres côtés.

Figure 2 — Configuration « triangle » :

M\in[AB]

N\in[AC]

(MN)\parallel(BC)

. On lit

AM=4,5

;

MB=3

;

AN=6

;

NC=4

; les rapports

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=0,6

sont bien égaux.

2.2 La configuration « papillon »

Les deux droites sécantes se coupent entre les deux segments parallèles : la figure ressemble à un nœud papillon (ou un sablier).

Figure 3 — Configuration « papillon » :

(AB)

(A'B')

sont parallèles,

O

A

A'

sont alignés et

O

B

B'

sont alignés. Les rapports

\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{AB}{A'B'}=0,4

sont égaux.

Math & Co — Thalès et la pyramide

Vers -600, le savant grec Thalès de Milet voyage en Égypte. Les prêtres égyptiens le mettent au défi de calculer la hauteur de la grande pyramide de Khéops, haute de plus de 140 mètres — impossible à mesurer directement avec les instruments de l'époque.

Thalès plante un bâton verticalement dans le sable et attend que la longueur de son ombre soit exactement égale à sa hauteur. À cet instant précis, il sait que l'ombre de la pyramide est elle aussi égale à sa hauteur : il n'a plus qu'à mesurer cette ombre au sol. Cette méthode, fondée sur des rayons de soleil parallèles, est l'ancêtre direct de la configuration que tu étudies aujourd'hui (tu la retrouveras en section 4, avec un baobab à la place de la pyramide).

De retour en Grèce, Thalès énonce le théorème général sur les proportions dans les figures coupées par des parallèles, qui porte aujourd'hui son nom.

Propriété commune aux deux configurations

Dans les deux cas, les longueurs mesurées à partir du sommet commun (ou du point d'intersection) sur chaque droite sécante sont dans le même rapport que les longueurs des segments parallèles. C'est ce rapport, calculé de trois façons différentes, qui doit toujours donner le même nombre — c'est l'objet précis de la section suivante.

3Énoncé et rédaction type

3.1 Énoncé général du théorème

Théorème de Thalès

Soient deux droites sécantes en un point $A$ . Soient $B$ , $M$ deux points de la première droite et $C$ , $N$ deux points de la seconde droite (avec $M$ et $N$ du même côté de $A$ pour la configuration « triangle », de part et d'autre de $A$ pour la configuration « papillon »).

Si $(MN)\parallel(BC)$ , alors :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Ce théorème est admis en 4ème : il généralise le théorème de la droite des milieux, qui correspond au cas particulier où ce rapport commun vaut exactement $\dfrac{1}{2}$ . Une démonstration complète, utilisant les aires des triangles ou les vecteurs, sera vue au lycée.

Attention — le piège n° 1

Les trois rapports se lisent tous à partir du même point $A$ : au numérateur, la distance du sommet au petit point ; au dénominateur, la distance du sommet au grand point, sur la même droite. N'écris jamais $\dfrac{AM}{MB}$ à la place de $\dfrac{AM}{AB}$ : $MB$ n'est pas la distance depuis $A$ , c'est le petit segment restant — une confusion très fréquente qui fait perdre des points au brevet.

3.2 La rédaction type

Méthode — rédiger un calcul de Thalès

Nommer la configuration : préciser le triangle (ou les deux droites sécantes) et le point commun.
Justifier le parallélisme : le dire, ou le déduire d'une hypothèse de l'énoncé.
Énoncer le théorème de Thalès avec les lettres exactes de la figure.
Remplacer chaque lettre par la longueur connue (laisser l'inconnue en lettre).
Isoler l'inconnue par un produit en croix.
Conclure par une phrase, avec l'unité.

Exemple — rédaction modèle

Énoncé. $ABC$ est un triangle. $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ avec $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 7{,}5$ cm, $AC = 10$ cm et $BC = 8$ cm. On sait que $(MN)\parallel(BC)$ . Calcule $AN$ et $MN$ .

Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés, les points $A$ , $N$ , $C$ sont alignés, et $(MN)\parallel(BC)$ : on est dans la configuration de Thalès relative au triangle $ABC$ .

D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
$\dfrac{4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{AN}{10} = \dfrac{MN}{8}$
$\Rightarrow$ $AN = \dfrac{4{,}5 \times 10}{7{,}5}$ produit en croix dans $\frac{4,5}{7,5}=\frac{AN}{10}$
$=$ $AN = 6$ cm
$\Rightarrow$ $MN = \dfrac{4{,}5 \times 8}{7{,}5}$
$=$ $MN = 4{,}8$ cm

On retrouve exactement les longueurs de la Figure 2.

4Calcul de longueurs

4.1 La méthode du produit en croix

Méthode — produit en croix

Dans une égalité de quotients $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , on obtient l'égalité des produits en croix :

$a \times d = b \times c$

Cette égalité permet de retrouver n'importe laquelle des quatre longueurs dès que les trois autres sont connues — c'est l'outil que tu utiliseras à chaque exercice de ce chapitre.

Attention

Le théorème de Thalès ne donne accès qu'à trois égalités de rapports. Pour calculer une longueur inconnue, il faut donc que les trois autres longueurs de son égalité soient connues : vérifie toujours, avant de te lancer, que tu disposes bien de trois valeurs sur les quatre.

4.2 Mesurer une hauteur inaccessible : le baobab

La méthode de Thalès n'a pas pris une ride : elle sert toujours à mesurer des hauteurs qu'on ne peut pas atteindre avec un mètre-ruban. Un after-midi ensoleillé, à quelques kilomètres de N'Djamena, tu plantes un bâton bien vertical à côté d'un baobab.

Figure 4 — Le bâton (1,5 m) projette une ombre de 2 m ; au même instant, le baobab projette une ombre de 12 m. Les deux triangles ombre/support/rayon sont l'un l'agrandissement de l'autre.

Exemple — hauteur du baobab

Ton bâton mesure $1{,}5$ m et projette une ombre de $2$ m. Au même instant, le baobab projette une ombre de $12$ m. Les rayons du soleil sont parallèles et les deux supports (bâton, tronc) sont verticaux donc parallèles entre eux : les deux triangles « support-ombre-rayon » ont les mêmes angles, l'un est un agrandissement de l'autre, et leurs côtés sont proportionnels.

$\dfrac{\text{hauteur du baobab}}{\text{hauteur du bâton}} = \dfrac{\text{ombre du baobab}}{\text{ombre du bâton}}$
$\dfrac{h}{1{,}5} = \dfrac{12}{2}$
$\Rightarrow$ $h = \dfrac{1{,}5 \times 12}{2}$ produit en croix
$=$ $h = 9$ m

Le baobab mesure 9 mètres — sans qu'on ait eu besoin d'y grimper !

4.3 Mesurer une largeur inaccessible : le fleuve Chari

Même principe pour une distance qu'on ne peut pas traverser : la largeur du fleuve Chari, à N'Djamena. On repère un arbre $A$ sur l'autre rive et on construit, sur notre rive, une configuration « papillon ».

Figure 5 — Configuration papillon :

A'

B

C

alignés sur la rive proche ;

A

B

D

alignés (visée vers l'arbre) ;

(AA')\parallel(DC)

, toutes deux perpendiculaires à la rive.

Exemple — largeur du fleuve Chari

Sur la rive proche, on choisit $A'$ juste en face de l'arbre $A$ (donc $(AA')\perp$ rive). On avance le long de la rive jusqu'à $B$ ( $A'B = 15$ m), puis jusqu'à $C$ ( $BC = 6$ m). En $C$ , on trace la perpendiculaire à la rive et on marque le point $D$ tel que $A$ , $B$ , $D$ soient alignés (on vise l'arbre depuis $D$ en passant par un jalon planté en $B$ ) ; on mesure $CD = 4$ m.

Les droites $(AD)$ et $(A'C)$ sont sécantes en $B$ , et $(AA')\parallel(DC)$ car les deux segments sont perpendiculaires à la même rive : c'est une configuration de Thalès « papillon ».

$\dfrac{BA'}{BC} = \dfrac{AA'}{DC}$
$\dfrac{15}{6} = \dfrac{AA'}{4}$
$\Rightarrow$ $AA' = \dfrac{15 \times 4}{6}$
$=$ $AA' = 10$ m

Le fleuve Chari mesure 10 mètres à cet endroit, sans qu'on ait eu besoin de le traverser.

5Réciproque et parallélisme

5.1 Énoncé de la réciproque

Réciproque du théorème de Thalès

Soient deux droites sécantes en $A$ ; $B$ , $M$ sur la première, $C$ , $N$ sur la seconde. Si :

les points sont rangés dans le même ordre à partir de $A$ ( $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ — ou $M$ , $N$ de part et d'autre de $A$ dans la configuration papillon) ;
et $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ ;

alors $(MN)\parallel(BC)$ .

Démonstration (idée)

Le raisonnement est le même que pour la réciproque de la droite des milieux (section 1.2). Notons $N'$ le point de $(AC)$ tel que $(MN')\parallel(BC)$ : d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AN'}{AC} = \dfrac{AM}{AB}$ . Comme on suppose aussi $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AM}{AB}$ , on obtient $AN = AN'$ . Les points $N$ et $N'$ sont du même côté de $A$ sur la même droite et à la même distance de $A$ : ils sont confondus. Donc $(MN) = (MN')$ est bien parallèle à $(BC)$ .

Attention — le piège n° 2

Deux conditions sont indispensables, pas une seule :

Il faut vérifier les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ — un seul rapport ne suffit jamais à conclure.
Il faut que les points soient dans le même ordre sur chaque droite. Sans cette précision, deux rapports égaux peuvent très bien correspondre à des droites non parallèles (voire sécantes juste à côté).

5.2 Démontrer un parallélisme

Méthode — utiliser la réciproque

Pour prouver que deux droites sont parallèles avec la réciproque de Thalès : calcule séparément les deux rapports (sous forme de fractions simplifiées ou de nombres décimaux), vérifie qu'ils sont bien égaux, vérifie l'ordre des points, puis conclus avec la propriété — jamais l'inverse.

Exemple — prouver un parallélisme

$EFG$ est un triangle avec $EF = 6$ cm et $EG = 9$ cm. $P\in[EF]$ et $Q\in[EG]$ avec $EP = 4$ cm et $EQ = 6$ cm. Les points $E$ , $P$ , $F$ sont dans cet ordre, ainsi que $E$ , $Q$ , $G$ . $(PQ)$ est-elle parallèle à $(FG)$ ?

$\dfrac{EP}{EF} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{EQ}{EG} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{EP}{EF} = \dfrac{EQ}{EG}$ et $E,P,F$ ainsi que $E,Q,G$ rangés dans le même ordre

D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(PQ)$ est parallèle à $(FG)$ .

6Partage d'un segment

6.1 Partager un segment en parts égales

Le théorème de Thalès permet aussi de construire une figure, et pas seulement de calculer. Voici comment partager un segment $[AB]$ en $5$ parts rigoureusement égales, à la règle et au compas, sans mesurer aucune longueur.

Méthode — partager

[AB]

n

parts égales

Tracer une demi-droite auxiliaire d'origine $A$ , différente de $(AB)$ .
Au compas, reporter $n$ fois la même longueur sur cette demi-droite : on obtient les points $P_1, P_2, \dots, P_n$ .
Tracer le segment $[P_nB]$ .
Par chaque point $P_i$ , tracer la parallèle à $(P_nB)$ : elle coupe $[AB]$ en un point $Q_i$ .

D'après le théorème de Thalès dans le triangle $AP_nB$ , $\dfrac{AP_i}{AP_n} = \dfrac{AQ_i}{AB}$ ; comme les $P_i$ sont régulièrement espacés, les $Q_i$ le sont aussi sur $[AB]$ .

Figure 6 — Cinq longueurs égales reportées sur la demi-droite (petits traits) donnent, par des parallèles à

(P_5B)

, cinq points

Q_i

qui partagent

[AB]

en cinq segments rigoureusement égaux (points verts).

6.2 Agrandissement et réduction

Définition

Un agrandissement ou une réduction, c'est reproduire une figure en multipliant toutes ses longueurs par un même nombre $k$ , appelé coefficient d'échelle (ou de réduction). Si $k>1$ , c'est un agrandissement ; si $0<k<1$ , c'est une réduction.

Propriété

Dans une configuration de Thalès, le rapport commun $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ est justement un coefficient d'agrandissement ou de réduction. Une conséquence importante : quand les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires sont multipliées par $k^{2}$ .

Exemple — un plan à l'échelle

Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{200}$ , un terrain rectangulaire mesure $4$ cm sur $3$ cm. Calcule ses dimensions réelles et son aire réelle.

longueur réelle $= 4 \times 200 = 800$ cm $= 8$ m
largeur réelle $= 3 \times 200 = 600$ cm $= 6$ m
aire réelle $= 8 \times 6$
$=$ $48$ m²
vérification : aire sur le plan $= 4\times 3 = 12$ cm², et $12 \times 200^{2} = 480\,000$ cm² $= 48$ m² les aires sont multipliées par $k^2$

Math & Co — les tendeurs de corde du Nil

Bien avant Thalès, les arpenteurs égyptiens, surnommés « tendeurs de corde » (harpédonaptes), utilisaient déjà des cordes à nœuds régulièrement espacés pour partager des terrains en parts égales après les crues annuelles du Nil, qui effaçaient les limites des champs. Le principe est exactement celui de la section 6.1 : des longueurs égales reportées sur une droite, transportées par des parallèles. Ces techniques d'arpentage, vieilles de plus de $4\,000$ ans, sont parmi les plus anciennes applications pratiques de la géométrie que l'on connaisse.

Fiche mémo

Droite des milieux : $M$ , $N$ milieux de $[AB]$ , $[AC]$ $\Rightarrow$ $(MN)\parallel(BC)$ et $MN=\dfrac{BC}{2}$ .
Réciproque (droite des milieux) : $M$ milieu de $[AB]$ et $(MN)\parallel(BC)$ avec $N\in(AC)$ $\Rightarrow$ $N$ milieu de $[AC]$ .
Théorème de Thalès : deux sécantes en $A$ , $(MN)\parallel(BC)$ $\Rightarrow$ $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ .
Deux configurations à reconnaître : triangle ( $M$ , $N$ du même côté de $A$ ) et papillon (de part et d'autre de $A$ ).
Rédaction : nommer la configuration, justifier le parallélisme, écrire l'égalité des rapports avec les bonnes lettres, produit en croix, phrase de conclusion.
Piège n° 1 : les rapports se lisent depuis le sommet commun — jamais $\dfrac{AM}{MB}$ à la place de $\dfrac{AM}{AB}$ .
Réciproque de Thalès : rapports égaux et points dans le même ordre $\Rightarrow$ parallélisme.
Piège n° 2 : un seul rapport égal ne suffit jamais ; il faut vérifier les deux, et l'ordre des points.
Agrandissement / réduction : coefficient $k$ ; les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires par $k^{2}$ .
Partager un segment en $n$ : reporter $n$ longueurs égales sur une demi-droite auxiliaire, puis tracer des parallèles.
Applications : hauteur inaccessible (bâton/ombre), largeur inaccessible (configuration papillon).

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

$ABC$ est un triangle, $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ , $(MN)\parallel(BC)$ , avec $AM=3$ , $AB=5$ , $AC=8$ , $BC=6$ (cm). Calcule $AN$ et $MN$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
$\dfrac{3}{5}=\dfrac{AN}{8}=\dfrac{MN}{6}$
$\Rightarrow$ $AN=\dfrac{3\times8}{5}=4{,}8$ cm
$\Rightarrow$ $MN=\dfrac{3\times6}{5}=3{,}6$ cm

Dans un triangle $ABC$ , $AB=10$ cm, $AC=14$ cm, $BC=9$ cm. $M$ et $N$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ . Calcule $AM$ , $AN$ et $MN$ .

Voir le corrigé détaillé

$M$ et $N$ étant des milieux, $AM=\dfrac{AB}{2}$ et $AN=\dfrac{AC}{2}$ , et $(MN)$ est la droite des milieux relative à $[BC]$ .

$AM=\dfrac{10}{2}=5$ cm
$AN=\dfrac{14}{2}=7$ cm
$MN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{9}{2}=4{,}5$ cm

Configuration papillon : les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles, $O$ est le point d'intersection, avec $OA=2$ , $OA'=7$ , $OB=3$ (cm). Calcule $OB'$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{OA}{OA'}=\dfrac{OB}{OB'}$
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{3}{OB'}$
$\Rightarrow$ $OB'=\dfrac{3\times7}{2}$
$=$ $OB'=10{,}5$ cm

$ABC$ est un triangle, $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ , avec $AM=2$ , $MB=6$ , $AN=3$ , $NC=8$ (cm). $(MN)$ est-elle parallèle à $(BC)$ ?

Voir le corrigé détaillé

On a $AB=AM+MB=8$ et $AC=AN+NC=11$ .

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{8}=0{,}25$
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{11}\approx0{,}27$
$\Rightarrow$ $\dfrac{AM}{AB}\neq\dfrac{AN}{AC}$

Les rapports ne sont pas égaux : $(MN)$ n'est pas parallèle à $(BC)$ .

$ABC$ est un triangle, $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ , $(MN)\parallel(BC)$ , avec $AM=4{,}2$ cm, $AB=6$ cm, $BC=5$ cm. Calcule $MN$ .

Voir le corrigé détaillé

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$
$\dfrac{4{,}2}{6}=\dfrac{MN}{5}$
$\Rightarrow$ $MN=\dfrac{4{,}2\times5}{6}$
$=$ $MN=3{,}5$ cm

Niveau 2 — Approfondissement

Dans un triangle $ABC$ , $M$ et $N$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ , avec $MN=6$ cm. $I$ est le milieu de $[AM]$ , $J$ est le milieu de $[AN]$ . Calcule $IJ$ .

Voir le corrigé détaillé

$I$ est le milieu de $[AM]$ et $J$ le milieu de $[AN]$ : $(IJ)$ est la droite des milieux du triangle $AMN$ , relative à $[MN]$ .

$IJ=\dfrac{MN}{2}$
$=$ $\dfrac{6}{2}$
$=$ $IJ=3$ cm

$ABC$ est un triangle, $AB=6$ cm, $AC=9$ cm, $BC=12$ cm. $D\in[AB]$ avec $AD=2$ cm, $E\in[AC]$ avec $AE=3$ cm. 1° $(DE)$ est-elle parallèle à $(BC)$ ? 2° Si oui, calcule $DE$ .

Voir le corrigé détaillé

1° Les points $A$ , $D$ , $B$ et $A$ , $E$ , $C$ sont dans le même ordre.

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow$ les rapports sont égaux

D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(DE)\parallel(BC)$ .

2°

$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{3}$
$DE=\dfrac{12}{3}$
$=$ $DE=4$ cm

Une photo de $10$ cm sur $15$ cm est agrandie pour un poster dont la largeur devient $40$ cm. 1° Calcule la hauteur du poster. 2° Compare l'aire du poster à celle de la photo.

Voir le corrigé détaillé

1° Coefficient d'agrandissement :

$k=\dfrac{40}{10}=4$
hauteur $=15\times4$
$=$ $60$ cm

2° Les aires sont multipliées par $k^{2}$ :

$k^{2}=4^{2}=16$

L'aire du poster est 16 fois plus grande que celle de la photo.

$ABCD$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[DC]$ parallèles, avec $AB=8$ cm et $DC=5$ cm. Les côtés $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $E$ , avec $EA=10$ cm et $EB=12$ cm. Calcule $ED$ et $EC$ .

Voir le corrigé détaillé

En prolongeant les côtés $[AD]$ et $[BC]$ jusqu'à leur point commun $E$ , on obtient une configuration triangle : $E$ , $D$ , $A$ alignés, $E$ , $C$ , $B$ alignés, $(DC)\parallel(AB)$ .

$\dfrac{ED}{EA}=\dfrac{EC}{EB}=\dfrac{DC}{AB}$
$\dfrac{ED}{10}=\dfrac{EC}{12}=\dfrac{5}{8}$
$\Rightarrow$ $ED=\dfrac{5\times10}{8}=6{,}25$ cm
$\Rightarrow$ $EC=\dfrac{5\times12}{8}=7{,}5$ cm

Niveau 3 — Défi

$ABC$ est un triangle d'aire $54$ cm², avec $AB=12$ cm et $AC=15$ cm. $M\in[AB]$ avec $AM=8$ cm, $N\in[AC]$ avec $AN=10$ cm, et $BC=9$ cm.

Démontre que $(MN)\parallel(BC)$ .
Calcule $MN$ .
Calcule l'aire du triangle $AMN$ .

Voir le corrigé détaillé

Figure 7 — Le triangle

AMN

est une réduction du triangle

ABC

, de rapport

k=\frac{2}{3}

1° Les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont dans le même ordre.

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow$ les rapports sont égaux

D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel(BC)$ .

2°

$\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{2}{3}$
$MN=\dfrac{2\times9}{3}$
$=$ $MN=6$ cm

3° Le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$ de coefficient $k=\dfrac{2}{3}$ ; son aire est donc multipliée par $k^{2}$ .

$k^{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$
aire $AMN=\dfrac{4}{9}\times54$
$=$ aire $AMN=24$ cm²

$ABC$ est un triangle avec $AB=7{,}4$ cm, $BC=8$ cm, et un périmètre de $20$ cm. $M$ est le milieu de $[BC]$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$ .

Démontre que $N$ est le milieu de $[AC]$ .
Calcule $MN$ .
Calcule le périmètre du triangle $MNC$ .

Voir le corrigé détaillé

1° Dans le triangle $CBA$ (mêmes sommets que $ABC$ , lus dans un autre ordre), $M$ est le milieu de $[CB]$ , et la droite passant par $M$ parallèle à $(BA)$ coupe $[CA]$ en $N$ . D'après la réciproque de la droite des milieux, $N$ est le milieu de $[CA]$ , donc de $[AC]$ .

2° $(MN)$ est la droite des milieux relative à $[AB]$ :

$MN=\dfrac{AB}{2}$
$=$ $\dfrac{7{,}4}{2}$
$=$ $MN=3{,}7$ cm

3° Le triangle $CMN$ est une réduction de rapport $\dfrac{1}{2}$ du triangle $CBA$ ( $M$ milieu de $CB$ , $N$ milieu de $CA$ ) ; son périmètre est donc la moitié de celui de $ABC$ .

périmètre $MNC=\dfrac{20}{2}$
$=$ périmètre $MNC=10$ cm

Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$ , avec $A$ , $O$ , $C$ alignés et $B$ , $O$ , $D$ alignés ; $OA=3$ cm, $OB=4$ cm, $OC=7{,}5$ cm, $OD=10$ cm, $AB=6$ cm.

Démontre que $(AB)\parallel(CD)$ .
Calcule $CD$ .
Sachant que l'aire du triangle $OAB$ est $9$ cm², calcule l'aire du triangle $OCD$ .

Voir le corrigé détaillé

Figure 8 — Configuration papillon en

O

;

[CD]

(en vert) est à calculer.

1° $O$ , $A$ , $C$ alignés et $O$ , $B$ , $D$ alignés.

$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$
$\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$
$\Rightarrow$ les rapports sont égaux

D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB)\parallel(CD)$ .

2°

$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{OA}{OC}=0{,}4$
$CD=\dfrac{AB}{0{,}4}=\dfrac{6}{0{,}4}$
$=$ $CD=15$ cm

3° Le triangle $OCD$ est un agrandissement du triangle $OAB$ de coefficient $k=\dfrac{1}{0{,}4}=2{,}5$ .

$k^{2}=2{,}5^{2}=6{,}25$
aire $OCD=9\times6{,}25$
$=$ aire $OCD=56{,}25$ cm²

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le poteau d'Abéché. Boukar veut connaître la hauteur d'un poteau électrique. Il plante un bâton de $1{,}2$ m qui projette une ombre de $1{,}6$ m ; au même instant, l'ombre du poteau mesure $10$ m.

Calcule la hauteur du poteau.
Faire repeindre le poteau coûte $2\,500$ F CFA par mètre. Calcule le coût total.

Voir le corrigé détaillé

1° Les rayons du soleil sont parallèles et les deux supports sont verticaux : les deux triangles support/ombre sont l'un l'agrandissement de l'autre.

$\dfrac{h}{1{,}2}=\dfrac{10}{1{,}6}$
$\Rightarrow$ $h=\dfrac{1{,}2\times10}{1{,}6}$
$=$ $h=7{,}5$ m

2°

coût $=7{,}5\times2\,500$
$=$ coût $=18\,750$ F CFA

Le bras du Niger, à Bamako. Pour mesurer un bras du fleuve, on choisit $A'$ en face d'un arbre $A$ , puis $B$ tel que $A'B=20$ m, puis $C$ tel que $BC=8$ m. En $C$ , on trace la perpendiculaire à la rive et on trouve $D$ tel que $A$ , $B$ , $D$ soient alignés, avec $CD=6$ m (configuration identique à la Figure 5).

Calcule la largeur $AA'$ du bras du fleuve.
Une passerelle piétonne coûte $45\,000$ F CFA par mètre linéaire. Calcule le coût total.

Voir le corrigé détaillé

1° $(AA')$ et $(DC)$ , toutes deux perpendiculaires à la rive, sont parallèles ; $(AD)$ et $(A'C)$ sont sécantes en $B$ : configuration papillon.

$\dfrac{BA'}{BC}=\dfrac{AA'}{DC}$
$\dfrac{20}{8}=\dfrac{AA'}{6}$
$\Rightarrow$ $AA'=\dfrac{20\times6}{8}$
$=$ $AA'=15$ m

2°

coût $=15\times45\,000$
$=$ coût $=675\,000$ F CFA

Un terrain à Dakar. Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{250}$ , un terrain rectangulaire mesure $6$ cm sur $4$ cm.

Calcule les dimensions réelles du terrain, en mètres.
La clôture coûte $4\,000$ F CFA le mètre. Calcule le coût total de la clôture (le portail n'est pas compté).

Voir le corrigé détaillé

1° Le coefficient d'agrandissement est $250$ .

longueur $=6\times250=1\,500$ cm $=15$ m
largeur $=4\times250=1\,000$ cm $=10$ m

2° Le périmètre de la clôture :

$P=2\times(15+10)$
$=$ $P=50$ m
coût $=50\times4\,000$
$=$ coût $=200\,000$ F CFA

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Dans un triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$ . D'après le théorème de la droite des milieux, que peut-on affirmer sur $(MN)$ ?

(MN)

est parallèle à

(BC)

MN = \dfrac{BC}{2}

(MN)

est perpendiculaire à

(BC)

(MN) = BC

(MN)

est parallèle à

(BC)

MN = 2 \times BC

Explication : C'est exactement l'énoncé du théorème de la droite des milieux :

(MN)

est parallèle à

(BC)

, et sa longueur vaut la moitié de

BC

Que signifie exactement l'expression « $M$ est le milieu de $[AB]$ » ?

AM = AB

AM = MB = \dfrac{AB}{2}

AM = 2 \times MB

M

est un point quelconque de la droite

(AB)

Explication : Le milieu d'un segment partage ce segment en deux parties égales :

AM

MB

sont donc égales, et chacune vaut la moitié de

AB

Dans un triangle $RST$ , $U$ est le milieu de $[RS]$ et $V$ est le milieu de $[RT]$ , avec $ST = 12$ cm. Calcule $UV$ .

24

12

6

3

Explication :

(UV)

est la droite des milieux relative à

[ST]

UV = \dfrac{ST}{2}

= \dfrac{12}{2} = 6

cm.

Dans un triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[AB]$ . La droite parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$ . Que peut-on affirmer ?

N

est le milieu de

[AB]

MN = BC

Rien : il faut mesurer pour savoir

N

est le milieu de

[AC]

Explication : C'est la réciproque du théorème de la droite des milieux : quand

M

est un milieu et que la parallèle à

(BC)

passant par

M

coupe

[AC]

, le point d'intersection

N

est forcément le milieu de

[AC]

, sans avoir besoin de mesurer.

Dans la configuration de Thalès dite « triangle », comment sont placés les points $M$ et $N$ par rapport au sommet commun $A$ ?

M

N

sont du même côté de

A

, sur les deux droites sécantes

A

est entre

M

N

M

N

sont confondus les deux droites sécantes ne se coupent pas

Explication : Dans la configuration « triangle »,

A

est le sommet commun aux deux droites sécantes, et

M

N

sont sur les deux côtés issus de

A

, du même côté que

B

C

Dans la configuration de Thalès dite « papillon », où se trouve le point d'intersection des deux droites sécantes ?

à l'extérieur des deux segments parallèles entre les deux segments parallèles sur l'un des deux segments parallèles au milieu de l'un des segments parallèles

Explication : Dans la configuration « papillon », les deux droites sécantes se coupent entre les deux segments parallèles : la figure ressemble à un nœud papillon.

Deux droites sécantes en $A$ sont coupées par deux parallèles, en $B$ , $M$ sur l'une et $C$ , $N$ sur l'autre, avec $(MN)\parallel(BC)$ . Que dit le théorème de Thalès ?

AM \times AB = AN \times AC

\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

AM + MB = AN + NC

Explication : Le théorème de Thalès affirme l'égalité de trois rapports, tous lus à partir du sommet commun

A

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Laquelle des égalités suivantes est fausse en général, dans la configuration de Thalès en $A$ ?

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}

\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{AC}

Explication : C'est le piège classique : les rapports du théorème se lisent tous depuis le sommet

A

(au dénominateur, la distance jusqu'au grand point).

MB

n'est pas une distance depuis

A

\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{AC}

n'a aucune raison d'être vraie.

$ABC$ est un triangle, $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ , $(MN)\parallel(BC)$ , avec $AM=4$ cm, $AB=6$ cm, $AC=9$ cm. Calcule $AN$ .

6

4

9

13{,}5

Explication :

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}

\dfrac{4}{6} = \dfrac{AN}{9}

AN = \dfrac{4 \times 9}{6} = 6

cm.

Même triangle qu'à la question précédente ( $AM=4$ , $AB=6$ , $AC=9$ ), avec $BC=12$ cm. Calcule $MN$ .

12

8

6

4

Explication :

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}

\dfrac{4}{6} = \dfrac{MN}{12}

MN = \dfrac{4 \times 12}{6} = 8

cm.

Pour utiliser la réciproque du théorème de Thalès et conclure à un parallélisme, quelles conditions faut-il vérifier ?

un seul rapport de longueurs égal suffit que toutes les longueurs soient des nombres entiers les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre sur chaque droite que le triangle soit isocèle

Explication : C'est le piège n°2 du cours : un seul rapport égal ne suffit jamais. Il faut vérifier les deux rapports ET que les points soient rangés dans le même ordre depuis le sommet commun.

$EFG$ est un triangle avec $EF=6$ cm, $EG=9$ cm. $P\in[EF]$ avec $EP=3$ cm, $Q\in[EG]$ avec $EQ=4{,}5$ cm, dans le même ordre que $E,F$ et $E,G$ . La droite $(PQ)$ est-elle parallèle à $(FG)$ ?

Non, car

EP

est différent de

EQ

On ne peut pas savoir sans mesurer

(PQ)

Non, car les points ne sont pas alignés dans le même ordre Oui, car

\dfrac{EP}{EF} = \dfrac{EQ}{EG} = 0{,}5

Explication :

\dfrac{EP}{EF} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5

\dfrac{EQ}{EG} = \dfrac{4{,}5}{9} = 0{,}5

Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque de Thalès,

(PQ)\parallel(FG)

Configuration papillon : $(AB)\parallel(A'B')$ , le point $O$ est l'intersection des deux droites, avec $OA=3$ cm, $OB=5$ cm, $OA'=9$ cm. Calcule $OB'$ .

15

9

5

3

Explication :

\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}

\dfrac{3}{9} = \dfrac{5}{OB'}

OB' = \dfrac{5 \times 9}{3} = 15

cm.

Un bâton de $1$ m de haut projette une ombre de $1{,}5$ m. Au même instant, un arbre projette une ombre de $9$ m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

9

6

1{,}5

13{,}5

Explication : Les rayons du soleil sont parallèles : les deux triangles support/ombre sont proportionnels.

\dfrac{h}{1} = \dfrac{9}{1{,}5}

h = \dfrac{1 \times 9}{1{,}5} = 6

Pour mesurer la largeur d'un fleuve (configuration papillon, comme dans le cours), on a $BA'=10$ m, $BC=4$ m et $CD=6$ m. Calcule $AA'$ , la largeur du fleuve.

4

10

15

6

Explication :

\dfrac{BA'}{BC} = \dfrac{AA'}{DC}

\dfrac{10}{4} = \dfrac{AA'}{6}

AA' = \dfrac{10 \times 6}{4} = 15

Pour partager un segment $[AB]$ en $5$ parties rigoureusement égales, à la règle et au compas, quelle est la première étape ?

mesurer

AB

au millimètre près tracer le cercle de diamètre

[AB]

tracer la médiatrice de

[AB]

tracer une demi-droite auxiliaire d'origine

A

, différente de

(AB)

Explication : On trace d'abord une demi-droite auxiliaire issue de

A

, sur laquelle on reportera ensuite 5 longueurs égales au compas, avant de tracer des parallèles pour transférer ce partage sur

[AB]

Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{100}$ , un terrain rectangulaire mesure $5$ cm sur $3$ cm. Quelle est sa longueur réelle (le côté de $5$ cm) ?

5

50

0{,}5

500

Explication : Le coefficient d'agrandissement est

100

5 \times 100 = 500

= 5

Un triangle d'aire $4$ cm² subit un agrandissement de coefficient $k=3$ . Quelle est l'aire du triangle agrandi ?

12

cm²

36

cm²

4

cm²

9

cm²

Explication : Dans un agrandissement de coefficient

k

, les aires sont multipliées par

k^2

k^2 = 3^2 = 9

aire

= 4 \times 9 = 36

cm².

$ABC$ est un triangle, $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ , avec $AM=2$ cm, $AB=8$ cm, $AN=3$ cm, $AC=11$ cm. La droite $(MN)$ est-elle parallèle à $(BC)$ ?

Oui, car

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}

On ne peut pas savoir Non, car

\dfrac{AM}{AB} = 0{,}25

\dfrac{AN}{AC} \approx 0{,}27

: les rapports ne sont pas égaux Oui, car

AM

AN

sont tous les deux plus petits que

AB

AC

Explication :

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{8} = 0{,}25

\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{11} \approx 0{,}27

Les rapports sont différents :

(MN)

n'est pas parallèle à

(BC)

$ABC$ est un triangle d'aire $40$ cm², avec $AB=8$ cm, $AC=10$ cm. $M\in[AB]$ avec $AM=4$ cm, $N\in[AC]$ avec $AN=5$ cm, et $(MN)\parallel(BC)$ . Calcule l'aire du triangle $AMN$ .

40

cm²

20

cm²

5

cm²

10

cm²

Explication : Le coefficient de réduction est

k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5

.
Les aires sont multipliées par

k^2 = 0{,}25

.
Aire

AMN = 40 \times 0{,}25 = 10

cm².

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Classe : Classe de Quatrième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 9 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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