Translation et vecteurs

Découvrir la translation comme transformation et la notion de vecteur.

Mathématiques 4ème Chapitre 10 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Construire l'image d'une figure par une translation
Reconnaître deux vecteurs égaux
Relier vecteur et parallélogramme

Depuis la 6ème, tu sais déplacer une figure sans la déformer : la symétrie axiale la retourne comme dans un miroir, la symétrie centrale la retourne autour d'un point. Il existe une troisième façon de bouger une figure, la plus simple de toutes : la faire glisser, tout droit, sans la tourner ni la retourner. C'est la translation, et c'est le sujet de ce chapitre.

Tu utilises des translations tous les jours sans le savoir : un tiroir qui coulisse, un ascenseur qui monte, un piéton qui marche en ligne droite, un motif de pagne qui se répète, le carrelage régulier d'une cour... Pour décrire précisément comment une figure glisse — dans quelle direction, dans quel sens, sur quelle longueur — les mathématiciens ont inventé un outil redoutablement efficace : le vecteur. Tu le retrouveras dans presque toutes les matières scientifiques : en physique pour une force ou une vitesse, en géographie pour un déplacement, plus tard au lycée pour la géométrie.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à construire l'image d'une figure par translation, à comparer et additionner des vecteurs, et à découvrir leur lien étroit avec une figure que tu connais bien : le parallélogramme.

1Translation d'une figure

1.1 Glisser une figure

Définition

Une translation est une transformation qui fait glisser une figure entière dans une direction donnée, un sens donné, sur une longueur donnée — sans la faire tourner et sans la retourner. Tous les points de la figure se déplacent exactement de la même façon.

Si la translation transforme $A$ en $B$ (on note $A \mapsto B$ ), alors elle transforme un point $M$ quelconque en un point $M'$ tel que le segment $[MM']$ a la même direction, le même sens et la même longueur que le segment $[AB]$ .

On dit que $M'$ est l'image de $M$ par cette translation, et que $M$ est l'antécédent de $M'$ . L'image d'une figure est l'ensemble des images de tous ses points.

Attention

Ne confonds pas direction et sens ! Deux déplacements peuvent avoir la même direction (des droites parallèles) mais un sens opposé : « vers la droite » et « vers la gauche » sur une même route ont la même direction, mais pas le même sens.

1.2 Propriétés de conservation

Propriété

Une translation conserve :

les longueurs (l'image d'un segment de $5$ cm est un segment de $5$ cm) ;
les angles ;
les aires ;
le parallélisme et l'alignement des points.

Autrement dit, l'image d'une figure par translation a exactement la même forme et les mêmes dimensions que la figure de départ : seule sa position change.

Méthode — construire l'image d'une figure sur quadrillage

1. Repère le déplacement de référence (nombre de carreaux à droite ou à gauche, en haut ou en bas).
2. Reporte ce même déplacement depuis chaque sommet de la figure.
3. Relie les points images dans le même ordre que les points de départ.

Figure 1 — Translation du triangle

ABC

selon le vecteur

\vec{u}=\overrightarrow{AA'}

: chaque sommet se déplace de la même façon. Le triangle image

A'B'C'

conserve la forme et les dimensions du triangle

ABC

Exemple — construire l'image d'un triangle (Figure 1)

On veut construire l'image du triangle $ABC$ par la translation qui envoie $A$ sur $A'$ , c'est-à-dire $5$ carreaux vers la droite et $2$ carreaux vers le haut.

depuis $B$ : $5$ carreaux à droite, $2$ vers le hauton obtient $B'$
depuis $C$ : $5$ carreaux à droite, $2$ vers le hauton obtient $C'$
doncon relie $A'$ , $B'$ , $C'$ dans le même ordre que $A$ , $B$ , $C$

Le triangle $A'B'C'$ obtenu est l'image de $ABC$ : même forme, mêmes longueurs.

Exemple — un cercle transformé par translation

Un cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm subit une translation. Quel est le rayon du cercle image ?

La translation conserve les longueurs : le cercle image a le même rayon, $4$ cm. Seul son centre a changé de position : c'est l'image $O'$ de $O$ .

1.3 Frises et pavages

En répétant un même motif par translations successives, dans une seule direction, on obtient une frise. En le répétant selon deux directions différentes, on obtient un pavage : le motif recouvre tout le plan sans trou ni chevauchement.

Figure 2 — Un pavage s'obtient en répétant un même motif par translations successives : vecteur

\vec{u}

horizontalement, vecteur

\vec{v}

verticalement. Ce procédé décore frises, mosaïques et tissus depuis l'Antiquité.

Math & Co — Le plaisir géométrique des pavages

Décorer par répétition de motifs est une pratique très ancienne. Dans le palais de l'Alhambra, à Grenade, les artisans de la dynastie nasride ont couvert les murs de mosaïques géométriques (zelliges) entre $1338$ et $1391$ : en combinant translations, symétries et rotations d'un même motif, ils ont réalisé la quasi-totalité des $17$ types de pavages que les mathématiciens ont recensés bien plus tard.

Sur le continent africain, les tisserands du bogolan malien et les artisans du tissu wax emploient depuis des siècles le même principe : un motif de base, répété par translation le long du tissu, produit un décor régulier et harmonieux.

2Vecteur : direction, sens, longueur

2.1 Le vecteur associé à une translation

Définition

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est l'objet mathématique qui caractérise complètement le déplacement de $A$ vers $B$ . Il est déterminé par trois informations :

sa direction : la droite $(AB)$ , ou toute droite qui lui est parallèle ;
son sens : de $A$ vers $B$ (et non l'inverse) ;
sa longueur, notée $AB$ : la distance entre $A$ et $B$ .

On le représente par une flèche partant de $A$ (l'origine) et arrivant en $B$ (l'extrémité). À chaque translation correspond un unique vecteur, et réciproquement : donner un vecteur, c'est donner une translation.

Exemple — lire un vecteur (Figure 1)

Sur la Figure 1, le vecteur $\overrightarrow{AA'}$ a pour direction la droite $(AA')$ , pour sens « de $A$ vers $A'$ », et pour longueur la distance $AA'$ . Le vecteur $\overrightarrow{BB'}$ a la même direction, le même sens et la même longueur que $\overrightarrow{AA'}$ : les deux flèches représentent le même déplacement.

2.2 Longueur d'un vecteur sur un quadrillage

Méthode — calculer la longueur d'un vecteur

Si le vecteur est horizontal ou vertical, on compte directement les carreaux. S'il est « en diagonale », le déplacement horizontal, le déplacement vertical et le vecteur forment un triangle rectangle : on utilise le théorème de Pythagore.

Exemple — calculer la longueur d'un vecteur

Le vecteur $\overrightarrow{EF}$ correspond à un déplacement de $3$ carreaux vers la droite et $4$ carreaux vers le haut. On cherche sa longueur $EF$ .

le triangle formé est rectangle, de côtés $3$ et $4$ carreauxthéorème de Pythagore
$EF^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
$=$ $9 + 16 = 25$
$\Rightarrow$ $EF = \sqrt{25} = 5$ carreaux

Attention

Pour un vecteur « en diagonale », ne compte jamais les carreaux traversés un par un : ce serait faux, car la diagonale d'un carreau n'a pas la même longueur qu'un côté. Utilise toujours le théorème de Pythagore.

Math & Co — Un mot venu du latin

Le mot « vecteur » vient du latin vector, « celui qui transporte ». Il entre dans les mathématiques au $19^{\text{e}}$ siècle : c'est le physicien et mathématicien irlandais William Rowan Hamilton qui, en $1843$ , en développant sa théorie des quaternions, popularise l'idée d'une grandeur ayant à la fois une longueur et une direction. La notation moderne, avec la flèche $\overrightarrow{AB}$ , sera ensuite simplifiée à la fin du $19^{\text{e}}$ siècle par les physiciens Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside.

3Égalité de vecteurs

3.1 Deux vecteurs égaux

Définition

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur — même s'ils n'ont pas la même origine ni la même extrémité. Un vecteur peut donc être « déplacé » n'importe où dans le plan : ce qui compte, ce sont ses trois caractéristiques, pas sa position.

C'est exactement ce qui se passait à la Figure 1 : les vecteurs $\overrightarrow{AA'}$ , $\overrightarrow{BB'}$ et $\overrightarrow{CC'}$ sont trois flèches différentes, à des endroits différents, mais ils représentent le même vecteur — celui de la translation.

Propriété — le vecteur opposé

Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ a la même direction et la même longueur que $\overrightarrow{AB}$ , mais le sens contraire. On l'appelle le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont jamais égaux (à moins que $A$ et $B$ soient confondus : on parle alors de vecteur nul $\overrightarrow{AA}$ , de longueur $0$ , sans direction ni sens définis).

Attention

Même longueur ne veut pas dire vecteurs égaux ! Il faut les trois conditions à la fois : même direction, même sens, et même longueur. Deux vecteurs opposés ont la même longueur mais ne sont pas égaux.

3.2 Reconnaître des vecteurs égaux sur un quadrillage

Méthode — comparer deux vecteurs sur quadrillage

On compte, pour chaque vecteur, le nombre de carreaux parcourus horizontalement (à droite ou à gauche) et verticalement (en haut ou en bas), en gardant le signe du sens. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ces deux déplacements sont identiques.

Figure 3 — Sur ce quadrillage,

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{CD}

\overrightarrow{GH}

sont trois représentants du même vecteur : chacun correspond à

3

carreaux à droite et

1

carreau vers le haut. Le vecteur

\overrightarrow{EF}

(

2

carreaux à droite,

1

vers le haut) a une direction différente : il n'est égal à aucun des trois autres.

Exemple — comparer deux vecteurs décrits par des carreaux

Sur un quadrillage, $\overrightarrow{MN}$ correspond à $4$ carreaux à droite et $2$ vers le bas ; $\overrightarrow{PQ}$ correspond aussi à $4$ carreaux à droite et $2$ vers le bas. $\overrightarrow{RS}$ correspond, lui, à $4$ carreaux à droite et $2$ vers le haut.

$\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ ont le même déplacement horizontal et le même déplacement verticalmême direction, même sens, même longueur
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$
$\overrightarrow{RS}$ a le même déplacement horizontal mais un déplacement vertical de sens opposéle sens n'est pas conservé
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{RS} \neq \overrightarrow{MN}$

4Vecteurs et parallélogramme

4.1 De la translation au parallélogramme

Théorème

Soit $A$ , $B$ , $C$ trois points non alignés, et $D$ le point tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Alors le quadrilatère $ABDC$ — dans cet ordre précis des lettres — est un parallélogramme. Réciproquement, si $ABDC$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Attention — l'ordre des lettres

C'est le piège classique : quand $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ , le parallélogramme s'écrit $\boldsymbol{ABDC}$ et non $ABCD$ ! Les sommets consécutifs du parallélogramme sont $A$ , $B$ , puis $D$ (et non $C$ ), puis $C$ . Trace toujours la figure pour vérifier avant d'écrire le nom du quadrilatère.

Démonstration

Supposons $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Par définition de l'égalité des vecteurs, les segments $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles et de même longueur ( $AB = CD$ ).

Or tu sais déjà (propriété vue avec les parallélogrammes) : si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Dans le quadrilatère $ABDC$ , les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont précisément ces deux côtés opposés. Ils sont parallèles et de même longueur : donc $ABDC$ est un parallélogramme. C.Q.F.D.

Exemple — construire le 4ème sommet (Figure 4)

On connaît $A$ , $B$ et $C$ sur un quadrillage. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à $4$ carreaux à droite. On veut placer $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

on veut $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$
depuis $C$ , on avance de $4$ carreaux à droitemême déplacement que de $A$ vers $B$
doncon obtient le point $D$ cherché

4.2 Les diagonales du parallélogramme

Propriété

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Autrement dit, $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu $O$ , appelé centre du parallélogramme.

Cette propriété donne une autre façon de vérifier l'égalité de deux vecteurs : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ équivaut à dire que $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.

Figure 4 — La translation de vecteur

\overrightarrow{AB}

envoie

C

sur

D

. Comme

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}

, le quadrilatère

ABDC

est un parallélogramme : ses diagonales

[AD]

[BC]

se coupent en leur milieu

O

Exemple — justifier qu'un quadrilatère est un parallélogramme

On donne quatre points tels que $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{KL}$ . Justifie que $IJLK$ est un parallélogramme.

Comme $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{KL}$ , les segments $[IJ]$ et $[KL]$ sont parallèles et de même longueur (propriété de l'égalité des vecteurs). Donc, d'après le théorème, le quadrilatère $\boldsymbol{IJLK}$ est un parallélogramme.

5Somme de deux vecteurs (approche)

5.1 Composer deux translations

Définition

Effectuer une translation de vecteur $\vec{u}$ , puis une translation de vecteur $\vec{v}$ , revient toujours à effectuer une seule translation. Le vecteur de cette translation unique s'appelle la somme de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , notée $\vec{u} + \vec{v}$ .

5.2 La relation de Chasles

Propriété — relation de Chasles

Pour trois points quelconques $A$ , $B$ , $C$ :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Elle donne la méthode la plus simple pour additionner deux vecteurs : on les place « bout à bout » — l'extrémité du premier devient l'origine du second — et la somme est le vecteur qui va de l'origine du premier à l'extrémité du second.

Méthode — additionner deux vecteurs sur quadrillage

On additionne séparément les déplacements horizontaux et les déplacements verticaux des deux vecteurs (avec leur signe), pour obtenir le déplacement du vecteur somme.

Exemple — additionner deux vecteurs par leurs déplacements

$\vec{u}$ correspond à $2$ carreaux à droite et $3$ vers le haut ; $\vec{v}$ correspond à $5$ carreaux à droite et $1$ vers le bas. On cherche le déplacement de $\vec{u} + \vec{v}$ .

horizontalement : $2 + 5 = 7$ carreaux à droite
verticalement : $3$ vers le haut et $1$ vers le bas, soit $3 - 1 = 2$ les sens opposés se compensent
$\Rightarrow$ $\vec{u} + \vec{v}$ correspond à $7$ carreaux à droite et $2$ vers le haut

5.3 La règle du parallélogramme

Méthode — additionner deux vecteurs de même origine

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ partent du même point $O$ , on complète le parallélogramme construit sur ces deux vecteurs : le vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ est alors la diagonale de ce parallélogramme, issue de $O$ .

Figure 5 — À gauche, la relation de Chasles : on place

\vec{v}

à la suite de

\vec{u}

, la somme va de l'origine de

\vec{u}

à l'extrémité de

\vec{v}

. À droite, la règle du parallélogramme :

\vec{u}

\vec{v}

partent du même point

O

, la somme

\overrightarrow{OS}

est la diagonale du parallélogramme

OPSQ

Propriété

L'addition des vecteurs est commutative : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ . C'est visible sur la règle du parallélogramme : que l'on parte par $\vec{u}$ ou par $\vec{v}$ , on atteint le même point $S$ , sommet opposé à $O$ .

Attention

La longueur de $\vec{u}+\vec{v}$ n'est pas, en général, la somme des longueurs de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ! Elle ne l'est que dans le cas particulier où $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même direction et le même sens. Dans tous les autres cas, la ligne « bout à bout » forme un triangle, et un côté est toujours plus court que la somme des deux autres.

Math & Co — La relation de Chasles

Michel Chasles ( $1793$ - $1880$ ) est un mathématicien français, professeur à l'École polytechnique et au Collège de France. Grand historien des mathématiques autant que chercheur, il contribue activement, au milieu du $19^{\text{e}}$ siècle, à donner à la géométrie du plan un langage rigoureux fondé sur les vecteurs. La relation $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ porte aujourd'hui son nom dans le monde entier, bien qu'elle ait été utilisée, sous des formes voisines, par plusieurs géomètres avant lui.

Fiche mémo

Translation : glisse une figure sans la tourner ni la retourner ; conserve longueurs, angles, aires, parallélisme.
Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : direction (droite $(AB)$ ), sens (de $A$ vers $B$ ), longueur $AB$ .
Vecteurs égaux $\iff$ même direction, même sens, même longueur (position libre).
Vecteur opposé : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ (même direction et longueur, sens contraire).
Vecteur « en diagonale » sur quadrillage : longueur calculée avec le théorème de Pythagore.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \iff ABDC$ est un parallélogramme $\iff [AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.
Attention à l'ordre des lettres : c'est $ABDC$ , pas $ABCD$ !
Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (vecteurs bout à bout).
Règle du parallélogramme : pour deux vecteurs de même origine, la somme est la diagonale.
$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ : l'ordre de l'addition ne change pas le résultat.
Composer deux translations = effectuer la translation de vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ .
Frise : translations dans une direction. Pavage : translations dans deux directions.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. a) Une translation peut faire tourner une figure. b) Une translation conserve les longueurs. c) L'image d'un cercle de rayon $5$ cm par translation est un cercle de rayon $5$ cm. d) Deux vecteurs de même longueur sont toujours égaux.

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a) Faux. Une translation fait glisser une figure sans jamais la faire tourner.

b) Vrai. C'est une des propriétés de conservation de la translation.

c) Vrai. La translation conserve les longueurs, donc le rayon ne change pas ; seul le centre du cercle est déplacé.

d) Faux. Il faut en plus la même direction et le même sens : deux vecteurs opposés, par exemple, ont la même longueur mais ne sont pas égaux.

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond, sur un quadrillage, à $6$ carreaux vers la droite et $8$ carreaux vers le haut (chaque carreau mesure $1$ cm). Calcule la longueur $AB$ .

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le déplacement forme un triangle rectangle de côtés $6$ cm et $8$ cmthéorème de Pythagore
$AB^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
$=$ $36 + 64 = 100$
$\Rightarrow$ $AB = \sqrt{100} = 10$ cm

Sur un quadrillage : $\overrightarrow{MN}$ correspond à $3$ carreaux à droite et $5$ vers le bas ; $\overrightarrow{PQ}$ correspond à $3$ carreaux à droite et $5$ vers le bas ; $\overrightarrow{RS}$ correspond à $5$ carreaux à droite et $3$ vers le bas. Parmi ces trois vecteurs, lesquels sont égaux ?

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$\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$ ont exactement le même déplacement horizontal et le même déplacement vertical : même direction, même sens, même longueur. Donc $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$ .

$\overrightarrow{RS}$ a un déplacement horizontal et vertical inversés par rapport aux deux autres : sa direction est différente. Donc $\overrightarrow{RS}$ n'est égal ni à $\overrightarrow{MN}$ ni à $\overrightarrow{PQ}$ .

Un point $A$ est placé sur un quadrillage. On lui applique la translation de vecteur $\vec{u}$ : $5$ carreaux vers la gauche et $3$ carreaux vers le bas. Explique, en une phrase, comment construire le point image $A'$ .

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Depuis $A$ , on avance de $5$ carreaux vers la gauche puis de $3$ carreaux vers le bas (ou l'inverse, le résultat est le même) : le point obtenu est $A'$ , l'image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ .

On donne trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés sur un quadrillage. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à $2$ carreaux à droite et $4$ carreaux vers le haut. Où faut-il placer $D$ pour que $ABDC$ soit un parallélogramme ?

Voir le corrigé détaillé

On veut $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ .

depuis $C$ , on avance de $2$ carreaux à droite et $4$ vers le hautmême déplacement que $\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow$ on obtient le point $D$

Le quadrilatère $ABDC$ ainsi obtenu est un parallélogramme.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à $4$ carreaux à droite et $2$ carreaux vers le haut. Donne le déplacement correspondant au vecteur opposé $\overrightarrow{BA}$ .

Voir le corrigé détaillé

$\overrightarrow{BA}$ est le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ : même direction et même longueur, sens contraire. Il correspond donc à $4$ carreaux vers la gauche et $2$ carreaux vers le bas.

Niveau 2 — Approfondissement

Sur un quadrillage ( $1$ carreau $= 1$ cm) : $\overrightarrow{AB}$ correspond à $2$ carreaux à droite et $1$ vers le haut ; $\overrightarrow{BC}$ correspond à $1$ carreau à droite et $3$ vers le haut. 1) Donne le déplacement du vecteur $\overrightarrow{AC}$ . 2) Calcule la longueur $AC$ .

Voir le corrigé détaillé

1. D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .

horizontalement : $2 + 1 = 3$ carreaux à droite
verticalement : $1 + 3 = 4$ carreaux vers le haut

2. Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ correspond à un déplacement de $3$ cm et $4$ cm, perpendiculaires.

$AC^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
$=$ $9 + 16 = 25$
$\Rightarrow$ $AC = \sqrt{25} = 5$ cm

On donne quatre points tels que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}$ . 1) Quelle est la nature du quadrilatère $EFHG$ ? Justifie. 2) Ses diagonales se coupent en un point $K$ . Sachant que $EH = 10$ cm, donne la longueur $EK$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Comme $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}$ , les segments $[EF]$ et $[GH]$ sont parallèles et de même longueur : d'après le théorème de la section 4, le quadrilatère $EFHG$ est un parallélogramme.

2. Les diagonales de $EFHG$ sont $[EH]$ et $[FG]$ ; elles se coupent en leur milieu $K$ . $K$ est donc le milieu de $[EH]$ .

$EK = \dfrac{EH}{2}$
$=$ $\dfrac{10}{2} = 5$ cm

Le quadrilatère $PQRS$ de la Figure 6 a une aire de $8$ carreaux. On lui applique la translation de vecteur $\vec{u}$ : $4$ carreaux à droite et $2$ vers le bas. 1) Décris la construction de l'image $P'Q'R'S'$ . 2) Sans recompter les carreaux, donne l'aire de $P'Q'R'S'$ . Justifie.

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1. On applique à chacun des quatre sommets $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ le même déplacement : $4$ carreaux à droite et $2$ carreaux vers le bas. On relie ensuite les quatre points images dans le même ordre : $P'$ , $Q'$ , $R'$ , $S'$ .

2. La translation conserve les aires (propriété de la section 1.2) : l'aire de $P'Q'R'S'$ est donc encore $8$ carreaux, sans qu'il soit nécessaire de recompter.

Figure 6 — Le quadrilatère

PQRS

(aire

=8

carreaux) est transformé par la translation de vecteur

\vec{u}

(

4

carreaux à droite,

2

vers le bas). Son image

P'Q'R'S'

a la même aire :

8

carreaux.

Un point $M$ a pour image $M'$ par une translation de déplacement horizontal $12$ carreaux et vertical $5$ carreaux ( $1$ carreau $=1$ cm). 1) Calcule $MM'$ . 2) $P$ et $Q$ sont deux points tels que $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MM'}$ . Que vaut $PQ$ , sans nouveau calcul ? Justifie.

Voir le corrigé détaillé

$MM'^{2} = 12^{2} + 5^{2}$
$=$ $144 + 25 = 169$
$\Rightarrow$ $MM' = \sqrt{169} = 13$ cm

2. Puisque $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MM'}$ , ces deux vecteurs sont égaux, donc ils ont la même longueur : $PQ = MM' = 13$ cm.

Niveau 3 — Défi

$ABDC$ est un parallélogramme ( $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ) de centre $O$ . $E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ .

Démontre que $E = D$ .
En déduis le symétrique de $B$ par rapport à $O$ .
Justifie que $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$ (le vecteur nul).

Voir le corrigé détaillé

1. $ABDC$ étant un parallélogramme, ses diagonales $[AD]$ et $[BC]$ se coupent en leur milieu $O$ (propriété de la section 4.2). Donc $O$ est le milieu de $[AD]$ .

Or, par définition, le symétrique de $A$ par rapport à $O$ est l'unique point $E$ tel que $O$ soit le milieu de $[AE]$ . Comme $O$ est déjà le milieu de $[AD]$ , on a $E = D$ .

2. De la même façon, $O$ est aussi le milieu de $[BC]$ (autre diagonale du parallélogramme). Le symétrique de $B$ par rapport à $O$ est donc $C$ .

3. $O$ milieu de $[AD]$ signifie que $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OD}$ ont la même longueur et des sens opposés : $\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA}$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$ .

$EFG$ est un triangle rectangle en $F$ tel que $EF = 6$ cm et $FG = 8$ cm. $H$ est l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FG}$ .

Calcule la longueur $EG$ .
Démontre que $FGHE$ est un parallélogramme.
Donne, sans nouveau calcul, les longueurs $GH$ et $HE$ . Justifie.

Voir le corrigé détaillé

1. Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ : d'après le théorème de Pythagore,

$EG^{2} = EF^{2} + FG^{2}$
$=$ $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$
$\Rightarrow$ $EG = \sqrt{100} = 10$ cm

2. $H$ est l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FG}$ signifie $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{FG}$ . D'après le théorème de la section 4.1, comme $\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EH}$ , le quadrilatère $FGHE$ est un parallélogramme.

3. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux. Dans $FGHE$ , le côté $[GH]$ est opposé à $[FE]$ , et $[HE]$ est opposé à $[GF]$ : donc $GH = FE = 6$ cm et $HE = GF = 8$ cm.

Un artisan pave un mur avec un motif carré. Le vecteur $\vec{u}$ ( $3$ cm horizontalement) et le vecteur $\vec{v}$ ( $4$ cm verticalement, perpendiculaire à $\vec{u}$ ) permettent de passer d'un motif à un motif voisin. Un motif est en $O$ . Un motif voisin est en $M$ , avec $\overrightarrow{OM} = \vec{u} + \vec{v}$ . Un autre motif est en $N$ , avec $\overrightarrow{ON} = \vec{u} + \vec{u}$ .

Calcule la longueur $OM$ .
Donne la longueur $ON$ et sa direction.
L'artisan affirme que $M$ , $O$ , $N$ sont alignés. A-t-il raison ? Justifie.

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1. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ étant perpendiculaires, $\overrightarrow{OM}$ est la diagonale d'un rectangle de côtés $3$ cm et $4$ cm.

$OM^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
$=$ $9 + 16 = 25$
$\Rightarrow$ $OM = \sqrt{25} = 5$ cm

2. $\overrightarrow{ON} = \vec{u} + \vec{u}$ correspond à deux pas horizontaux mis bout à bout : $ON = 3 + 3 = 6$ cm, dans la même direction que $\vec{u}$ (horizontale).

3. L'artisan a tort. Le vecteur $\overrightarrow{ON}$ est purement horizontal, tandis que le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a une composante verticale (celle de $\vec{v}$ ) : $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{ON}$ n'ont pas la même direction, donc $O$ , $M$ et $N$ ne sont pas alignés.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La cuisine d'Awa (Dakar). Awa fait carreler sa cuisine rectangulaire de $3,20$ m sur $2,40$ m, à Dakar. Les carreaux carrés, de $40$ cm de côté, sont posés par translations successives, sans espace ni découpe. Chaque carreau coûte $1\,500$ F CFA.

Combien de carreaux faut-il pour une rangée le long du mur de $3,20$ m ?
Combien de rangées faut-il pour couvrir les $2,40$ m ?
Calcule le nombre total de carreaux, puis le coût total.

Voir le corrigé détaillé

$3,20$ m $= 320$ cm
$320 \div 40 = 8$

Il faut $8$ carreaux par rangée.

$2,40$ m $= 240$ cm
$240 \div 40 = 6$

Il faut $6$ rangées.

nombre de carreaux $= 8 \times 6 = 48$
coût $= 48 \times 1\,500$
$=$ $72\,000$ F CFA

Awa doit poser 48 carreaux, pour un coût total de 72 000 F CFA.

Une livraison à Ndjamena. Un livreur part du marché central, le point $A$ , et effectue un déplacement représenté par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $600$ m vers l'est. Il continue ensuite avec le vecteur $\overrightarrow{BC}$ : $800$ m vers le nord, pour livrer un colis au point $C$ .

Exprime $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ .
Calcule la distance directe (« à vol d'oiseau ») entre le marché et le point de livraison.

Voir le corrigé détaillé

1. D'après la relation de Chasles : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .

2. L'est et le nord sont deux directions perpendiculaires : le trajet $A \to B \to C$ forme un triangle rectangle en $B$ .

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$=$ $600^{2} + 800^{2}$
$=$ $360\,000 + 640\,000 = 1\,000\,000$
$\Rightarrow$ $AC = \sqrt{1\,000\,000} = 1\,000$ m

La distance directe entre le marché et le point de livraison est de 1 000 m, soit 1 km — bien moins que les $1\,400$ m parcourus par le livreur.

Un pagne wax à Abidjan. Une couturière d'Abidjan achète un rouleau de tissu wax orné d'une frise : un même motif est répété par translation tous les $15$ cm. Le rouleau mesure $4,50$ m de long et coûte $2\,500$ F CFA le mètre.

Combien de motifs complets compte-t-on sur le rouleau ?
Calcule le prix total du rouleau.
Pour une commande spéciale, elle veut un rouleau contenant exactement $40$ motifs. Quelle longueur, en mètres, doit-elle commander ?

Voir le corrigé détaillé

$4,50$ m $= 450$ cm
$450 \div 15 = 30$

Le rouleau compte $30$ motifs.

prix $= 4,50 \times 2\,500$
$=$ $11\,250$ F CFA

longueur $= 40 \times 15 = 600$ cm
$=$ $6$ m

Pour obtenir $40$ motifs, elle doit commander un rouleau de 6 mètres.

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

Coche une réponse par question, puis clique sur « Vérifier mes réponses » : tu obtiens ta note sur 20 avec la correction détaillée de chaque question.

Qu'est-ce qu'une translation ?

une transformation qui fait glisser une figure, sans la tourner ni la retourner une transformation qui fait tourner une figure autour d'un point une transformation qui retourne une figure comme dans un miroir une transformation qui agrandit une figure

Explication : La translation fait glisser toute une figure dans une direction, un sens et sur une longueur donnés, sans jamais la faire tourner ni la retourner.

Parmi les propriétés suivantes, laquelle n'est pas conservée par une translation ?

les longueurs la position de la figure les angles les aires

Explication : Une translation conserve les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme. Seule la position change : c'est justement le but d'un glissement.

Un cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm subit une translation. Quel est le rayon du cercle image ?

8

2

4

cm cela dépend du vecteur de la translation

Explication : La translation conserve les longueurs, donc le rayon ne change pas : il reste

4

cm. Seul le centre du cercle change de position.

En répétant un même motif par translations successives selon deux directions différentes, on obtient :

une frise une symétrie un agrandissement un pavage

Explication : Une frise s'obtient en répétant un motif dans une seule direction. Un pavage, lui, utilise deux directions différentes : le motif recouvre alors tout le plan.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est entièrement déterminé par trois informations. Lesquelles ?

sa direction, son sens, et sa longueur son origine, son milieu, et son extrémité sa couleur, sa direction, et son origine sa longueur seulement

Explication : Un vecteur est caractérisé par sa direction (la droite qui le porte, ou toute parallèle), son sens (de l'origine vers l'extrémité) et sa longueur.

Deux déplacements « vers la droite » et « vers la gauche », sur une même route, ont :

la même direction et le même sens la même direction mais un sens opposé une direction différente ni la même direction, ni le même sens

Explication : C'est le piège classique du cours : direction et sens sont différents. « Droite » et « gauche » sur une même route partagent la même direction (des droites parallèles), mais leur sens est opposé.

Sur un quadrillage, un vecteur correspond à un déplacement de $3$ carreaux à droite et $4$ carreaux vers le haut (chaque carreau mesure $1$ cm). Calcule sa longueur.

7

12

5

25

Explication : Le déplacement forme un triangle rectangle, de côtés

3

4

\ell^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25

\ell = \sqrt{25} = 5

cm.

Deux vecteurs sont égaux lorsque :

ils ont la même longueur, peu importe leur direction ils ont la même origine ils ont le même sens, peu importe leur longueur ils ont la même direction, le même sens et la même longueur

Explication : Il faut les trois conditions à la fois : même direction, même sens ET même longueur. La position (origine, extrémité) n'a pas d'importance.

Que peut-on dire du vecteur $\overrightarrow{BA}$ par rapport au vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

même direction, même longueur, mais sens contraire : ils ne sont jamais égaux (sauf si

A=B

) c'est exactement le même vecteur il a une direction différente il a une longueur différente

Explication :

\overrightarrow{BA}

est le vecteur opposé de

\overrightarrow{AB}

: même direction et même longueur, mais sens contraire. Les deux vecteurs ne sont jamais égaux, sauf si

A

B

sont confondus (vecteur nul).

Sur un quadrillage : $\overrightarrow{MN}$ correspond à $4$ carreaux à droite et $2$ vers le bas ; $\overrightarrow{PQ}$ correspond aussi à $4$ carreaux à droite et $2$ vers le bas ; $\overrightarrow{RS}$ correspond à $4$ carreaux à droite et $2$ vers le haut. Que peut-on dire ?

\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{RS}

\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}

, mais

\overrightarrow{RS}

est différent des deux autres les trois vecteurs sont égaux aucun des trois vecteurs n'est égal à un autre

Explication :

\overrightarrow{MN}

\overrightarrow{PQ}

ont exactement le même déplacement horizontal et vertical : ils sont égaux.

\overrightarrow{RS}

a un déplacement vertical de sens opposé (vers le haut au lieu du bas) : le sens n'est pas conservé, donc

\overrightarrow{RS} \neq \overrightarrow{MN}

On sait que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ , avec $A$ , $B$ , $C$ non alignés. Quel quadrilatère, dans cet ordre précis des lettres, est un parallélogramme ?

ABCD

ACBD

ABDC

ADBC

Explication : C'est le piège classique de l'ordre des lettres : quand

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

, le parallélogramme s'écrit

ABDC

(sommets consécutifs

A

B

D

C

), et non

ABCD

On donne quatre points tels que $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{KL}$ . Que peut-on affirmer sur les segments $[IJ]$ et $[KL]$ ?

ils sont perpendiculaires ils ont la même longueur mais ne sont pas parallèles ils se coupent en leur milieu ils sont parallèles et de même longueur

Explication : Par définition de l'égalité des vecteurs,

\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{KL}

entraîne que

[IJ]

[KL]

ont la même direction (ils sont parallèles) et la même longueur :

IJ = KL

Dans un parallélogramme, que peut-on dire de ses deux diagonales ?

elles se coupent en leur milieu elles sont perpendiculaires elles ont la même longueur elles ne se coupent jamais

Explication : Propriété du cours : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, ce point commun étant appelé le centre du parallélogramme.

Que dit la relation de Chasles, pour trois points quelconques $A$ , $B$ , $C$ ?

\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}

Explication : La relation de Chasles s'écrit

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

: en plaçant les vecteurs bout à bout, on relie directement l'origine du premier à l'extrémité du second.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ partent du même point $O$ . Comment construire géométriquement le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ ?

on place

\vec{v}

bout à bout après

\vec{u}

on ne peut pas additionner deux vecteurs de même origine on complète le parallélogramme construit sur

\vec{u}

\vec{v}

: la somme est sa diagonale issue de

O

on multiplie les longueurs de

\vec{u}

\vec{v}

Explication : C'est la règle du parallélogramme, utile quand les deux vecteurs partent du même point : le vecteur somme est la diagonale du parallélogramme construit sur

\vec{u}

\vec{v}

, issue de

O

Que signifie l'égalité $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ ?

que

\vec{u}

\vec{v}

sont égaux que

\vec{u}

\vec{v}

sont opposés rien de particulier, c'est toujours faux que l'addition des vecteurs est commutative : l'ordre n'a pas d'importance

Explication : Cette égalité exprime la commutativité de l'addition des vecteurs : que l'on parte par

\vec{u}

ou par

\vec{v}

, on obtient le même vecteur somme.

$\vec{u}$ correspond à $2$ carreaux à droite et $3$ vers le haut ; $\vec{v}$ correspond à $5$ carreaux à droite et $1$ vers le bas. Quel est le déplacement du vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ ?

7

carreaux à droite et

2

vers le haut

3

carreaux à droite et

4

vers le haut

7

carreaux à droite et

4

vers le bas

3

carreaux à droite et

2

vers le bas

Explication : On additionne séparément les déplacements horizontaux et verticaux :
horizontalement :

2 + 5 = 7

à droite
verticalement :

3

vers le haut et

1

vers le bas, soit

3 - 1 = 2

vers le haut.

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond, sur un quadrillage, à $6$ carreaux vers la droite et $8$ carreaux vers le haut (chaque carreau $=1$ cm). Calcule $AB$ .

14

10

48

2

Explication :

AB^{2} = 6^{2} + 8^{2}

= 36 + 64 = 100

AB = \sqrt{100} = 10

cm.

Vrai ou faux : deux vecteurs de même longueur sont toujours égaux.

Vrai, la longueur suffit toujours Vrai, à condition qu'ils aient la même origine Faux : il faut en plus la même direction et le même sens (deux vecteurs opposés ont la même longueur mais ne sont pas égaux) Faux : deux vecteurs ne peuvent jamais avoir la même longueur

Explication : C'est un piège classique. La même longueur ne suffit pas : il faut aussi la même direction et le même sens. Deux vecteurs opposés, par exemple, ont la même longueur mais ne sont jamais égaux.

Un livreur part du point $A$ et effectue le déplacement $\overrightarrow{AB}$ : $600$ m vers l'est. Il continue avec $\overrightarrow{BC}$ : $800$ m vers le nord, jusqu'au point $C$ . Quelle est la distance directe entre $A$ et $C$ ?

1\,400

600

800

1\,000

Explication : D'après Chasles,

\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

. L'est et le nord étant perpendiculaires, le trajet forme un triangle rectangle en

B

AC^{2} = 600^{2} + 800^{2} = 360\,000 + 640\,000 = 1\,000\,000

AC = \sqrt{1\,000\,000} = 1\,000

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En bref

Classe : Classe de Quatrième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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