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Triangle rectangle et cercle circonscrit

Relier triangle rectangle, médiane relative à l'hypoténuse et cercle.

Mathématiques 4ème Chapitre 11 / 13 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

  • Utiliser la propriété du cercle circonscrit
  • Démontrer qu'un triangle est rectangle
  • Construire une figure à partir d'un demi-cercle

Tu connais déjà le triangle rectangle et le théorème de Pythagore : ils te permettent de calculer une longueur. Ce chapitre t'apporte un outil complémentaire, tout aussi puissant mais de nature différente : un lien secret entre le triangle rectangle et le cercle. Tu vas découvrir qu'un triangle rectangle tient toujours, parfaitement, dans un demi-cercle — et que cette propriété fonctionne dans les deux sens.

Cet outil est redoutablement efficace pour démontrer qu'un triangle est rectangle sans sortir l'équerre : il suffit parfois d'un cercle et d'un compas. On l'utilise partout où l'on doit vérifier ou construire un angle droit sans instrument de mesure d'angle : sur un chantier, pour tracer les fondations d'une maison, pour installer une charpente, ou pour borner un terrain rectangulaire à l'aide d'une simple corde.

En 5ème puis en 4ème, tu as appris à construire le cercle circonscrit à un triangle grâce aux médiatrices. Ce chapitre étudie un cas très particulier — et très riche — de cette construction : celui où le triangle possède un angle droit. Tu verras que dans ce cas précis, plus besoin de tracer les trois médiatrices : le centre du cercle circonscrit se trouve instantanément, au milieu de l'hypoténuse.

1Cercle circonscrit d'un triangle rectangle

1.1  Rappel : le cercle circonscrit à un triangle

Définition

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Son centre est équidistant des trois sommets : cette distance commune est le rayon du cercle.

Propriété (rappel de 5ème)

Les trois médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un seul point). Ce point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle : il est en effet équidistant des trois sommets, puisqu'il appartient à chacune des trois médiatrices.

Selon la forme du triangle, ce centre change de position : à l'intérieur du triangle s'il est acutangle (tous les angles aigus), à l'extérieur s'il est obtusangle (un angle obtus). Que se passe-t-il quand le triangle est rectangle ? C'est tout l'objet de ce chapitre.

Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit O A B C I J K OA = OB = OC = rayon du cercle circonscrit
Figure 1 — Le triangle ABC n'est pas rectangle ; ses trois médiatrices (en pointillés, issues des milieux I, J, K des côtés) se coupent au point O, centre du cercle circonscrit.

1.2  Le cas du triangle rectangle

Théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

Autrement dit : le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.

Démonstration

Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit O le milieu de l'hypoténuse [BC]. On veut montrer que OA=OB=OCOA = OB = OC.

On construit le point D, symétrique de A par rapport à O. Dans le quadrilatère ABDC :

  1. les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu OO milieu de [BC] par construction, et O milieu de [AD] puisque D est le symétrique de A par rapport à O
  2. ⇒\RightarrowABDC est un parallélogrammeun quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme
  3. ce parallélogramme a un angle droit en Ale triangle ABC est rectangle en A
  4. ⇒\RightarrowABDC est un rectangleun parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle
  5. ⇒\RightarrowAD=BCAD = BCdans un rectangle, les diagonales ont la même longueur

Or O est le milieu commun de [AD] et de [BC], donc OA=AD2OA = \dfrac{AD}{2} et OB=OC=BC2OB = OC = \dfrac{BC}{2}. Comme AD=BCAD = BC, on obtient OA=OB=OCOA = OB = OC. Le point O est donc équidistant de A, B et C : c'est le centre du cercle circonscrit. C.Q.F.D.

O, milieu de l'hypoténuse, est le centre du cercle circonscrit O B C A OA OB OC OA = OB = OC = rayon R, hypoténuse BC = diamètre = 2R
Figure 2 — Triangle ABC rectangle en A, inscrit dans son cercle circonscrit. Le centre O est le milieu de l'hypoténuse [BC] : les trois rayons OA, OB, OC sont bien égaux.
Conséquence — le rayon

Le rayon RR du cercle circonscrit à un triangle rectangle est égal à la moitié de l'hypoténuse :

R=hypoteˊnuse2R = \dfrac{\text{hypoténuse}}{2}

Exemple 1 — trouver le rayon

ABC est un triangle rectangle en A, d'hypoténuse BC=9,4BC = 9{,}4 cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

  1. R=BC2R = \dfrac{BC}{2}O, centre du cercle circonscrit, est le milieu de l'hypoténuse
  2. ==9,42\dfrac{9{,}4}{2}
  3. ==4,74{,}7 cm
Exemple 2 — retrouver l'hypoténuse

Un triangle rectangle EFG est inscrit dans un cercle de rayon 66 cm. Quelle est la longueur de son hypoténuse ?

  1. hypoténuse =2×R= 2 \times R
  2. ==2×62 \times 6
  3. ==1212 cm
Attention

Ce théorème concerne l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit — jamais un autre côté. Pour un triangle rectangle en A d'hypoténuse [BC], le centre du cercle circonscrit est le milieu de [BC], pas le milieu de [AB] ni de [AC].

Math & Co — Thalès et le triangle dans le cercle

Thalès de Milet (vers -625 à -547), l'un des « sept sages » de la Grèce antique, est resté célèbre pour ses travaux de géométrie et d'astronomie. L'historien Diogène Laërce, plusieurs siècles plus tard, raconte que Thalès aurait été le premier à inscrire un triangle rectangle dans un cercle — et qu'il aurait sacrifié un bœuf pour célébrer cette découverte, comme le fit plus tard Pythagore pour son propre théorème.

On ne peut pas vérifier cette anecdote avec certitude, mais elle illustre bien l'admiration des Grecs pour ce résultat. Attention à ne pas confondre cette propriété avec le théorème de Thalès que tu connais déjà (celui des longueurs proportionnelles) : les deux portent le nom du même savant, mais concernent des situations totalement différentes !

2Médiane et demi-hypoténuse

2.1  Rappel : qu'est-ce qu'une médiane ?

Définition

Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est le segment qui relie ce sommet au milieu du côté opposé.

Attention — ne confonds pas

La médiane passe par le milieu du côté opposé. La hauteur est perpendiculaire au côté opposé. Dans un triangle quelconque, ce sont deux segments différents ! Ils ne coïncident que dans des cas particuliers (triangle isocèle, médiane issue du sommet principal).

2.2  La médiane relative à l'hypoténuse

Reprenons le triangle ABC rectangle en A, et notons M le milieu de l'hypoténuse [BC]. Le segment [AM] est donc la médiane issue de A — celle qui part du sommet de l'angle droit. Or tu viens de démontrer, dans la section précédente, que ce point M est exactement le centre du cercle circonscrit ! La longueur AM est donc un rayon du cercle.

Théorème de la médiane relative à l'hypoténuse

Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Pour ABC rectangle en A, de médiane [AM] issue de A (M milieu de [BC]) :

AM=BC2AM = \dfrac{BC}{2}

Démonstration

C'est une conséquence immédiate du théorème de la section 1 : le point M, milieu de l'hypoténuse [BC], est le centre du cercle circonscrit à ABC. Donc M est équidistant des trois sommets : MA=MB=MCMA = MB = MC. Comme M est le milieu de [BC], on a MB=MC=BC2MB = MC = \dfrac{BC}{2}. On en déduit AM=BC2AM = \dfrac{BC}{2}. C.Q.F.D.

La médiane AM mesure la moitié de l'hypoténuse BC M B C A AM AM = BM = CM (le cercle en pointillés le confirme)
Figure 3 — La médiane [AM], issue du sommet de l'angle droit, a la même longueur que [BM] et [CM] : elle vaut la moitié de l'hypoténuse.
Méthode — calculer la longueur d'une médiane dans un triangle rectangle

Si l'énoncé donne directement l'hypoténuse, on divise sa longueur par 2. S'il donne seulement les deux côtés de l'angle droit, on calcule d'abord l'hypoténuse avec le théorème de Pythagore, puis on divise par 2.

Exemple 1 — hypoténuse connue

RST est rectangle en R, ST=15,6ST = 15{,}6 cm. M est le milieu de [ST]. Calcule RM.

  1. RM=ST2RM = \dfrac{ST}{2}médiane issue de l'angle droit dans un triangle rectangle
  2. ==15,62\dfrac{15{,}6}{2}
  3. ==7,87{,}8 cm
Exemple 2 — il faut d'abord Pythagore

NOP est rectangle en N, avec NO=5NO = 5 cm et NP=12NP = 12 cm. M est le milieu de [OP]. Calcule NM.

  1. OP2=NO2+NP2OP^{2} = NO^{2} + NP^{2}théorème de Pythagore dans NOP rectangle en N
  2. ==52+1225^{2} + 12^{2}
  3. ==25+144=16925 + 144 = 169
  4. ⇒\RightarrowOP=169=13OP = \sqrt{169} = 13 cm
  5. NM=OP2NM = \dfrac{OP}{2}médiane issue de l'angle droit
  6. ==132=6,5\dfrac{13}{2} = 6{,}5 cm

3Propriété réciproque

Tu sais maintenant que « triangle rectangle » entraîne « centre du cercle circonscrit au milieu de l'hypoténuse ». Une question naturelle se pose : la réciproque est-elle vraie ? Si l'on sait qu'un triangle est inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre, peut-on affirmer qu'il est rectangle ? La réponse est oui, et c'est un résultat au moins aussi utile que le théorème direct.

Théorème réciproque

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est au sommet opposé à ce diamètre.

Formulation équivalente, avec la médiane : si, dans un triangle ABC, la médiane issue de A mesure la moitié du côté [BC], alors le triangle ABC est rectangle en A.

Démonstration

Soit ABC un triangle et O le milieu de [BC], tel que OA=OB=OCOA = OB = OC (c'est l'hypothèse : A est sur le cercle de diamètre [BC]). Les triangles OAB et OAC sont donc isocèles en O.

Notons β\beta la mesure de l'angle OBA^=OAB^\widehat{OBA} = \widehat{OAB} (angles à la base du triangle isocèle OAB), et γ\gamma la mesure de l'angle OCA^=OAC^\widehat{OCA} = \widehat{OAC} (angles à la base du triangle isocèle OAC).

  1. dans le triangle ABC : ABC^+ACB^+BAC^=180°\widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180°somme des angles d'un triangle
  2. ABC^=β\widehat{ABC} = \beta, ACB^=γ\widehat{ACB} = \gamma, BAC^=OAB^+OAC^=β+γ\widehat{BAC} = \widehat{OAB} + \widehat{OAC} = \beta + \gamma
  3. ⇒\Rightarrowβ+γ+(β+γ)=180°\beta + \gamma + (\beta + \gamma) = 180°
  4. ⇒\Rightarrow2(β+γ)=180°2(\beta + \gamma) = 180°
  5. ⇒\Rightarrowβ+γ=90°\beta + \gamma = 90°

Or BAC^=β+γ=90°\widehat{BAC} = \beta + \gamma = 90°. L'angle en A est donc bien droit. C.Q.F.D.

A est sur le cercle de diamètre [BC] : l'angle en A est droit O B C A β γ [BC] diamètre ⇒ BAC = β + γ = 90°
Figure 4 — Le point A appartient au cercle de diamètre [BC] : les triangles OAB et OAC isocèles imposent BAC^=90°\widehat{BAC} = 90°.
Méthode — trois façons de démontrer qu'un triangle est rectangle
  • Réciproque de Pythagore (déjà connue) : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres.
  • Réciproque du cercle circonscrit / de la médiane (nouveau) : si un côté est un diamètre du cercle passant par les trois sommets, ou si la médiane issue d'un sommet mesure la moitié du côté opposé.
  • Angle inscrit dans un demi-cercle (section suivante).
Attention au piège classique

Un triangle inscrit dans un cercle quelconque n'est pas forcément rectangle ! La propriété ne s'applique que si l'un des côtés du triangle est précisément un diamètre du cercle. Un triangle inscrit dans un cercle sans qu'aucun côté ne passe par le centre peut être acutangle ou obtusangle.

Exemple 1 — avec la médiane

Dans un triangle DEF, la médiane issue de D mesure DM=4,5DM = 4{,}5 cm, et EF=9EF = 9 cm. Le triangle DEF est-il rectangle ?

  1. EF2=92=4,5\dfrac{EF}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 cm
  2. on constate que DM=4,5DM = 4{,}5 cm =EF2= \dfrac{EF}{2}
  3. ⇒\RightarrowDEF est rectangle en Dréciproque : médiane = moitié du côté opposé
Exemple 2 — avec le cercle

Un triangle IJK est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 6 cm. On sait que OI=OJ=OK=6OI = OJ = OK = 6 cm et que I, O, K sont alignés. Que peut-on dire du triangle IJK ?

Comme I, O, K sont alignés et que O est équidistant de I et K avec OI=OK=6OI = OK = 6, le segment [IK] est un diamètre du cercle. D'après le théorème réciproque, le triangle IJK est donc rectangle en J.

4Angle inscrit dans un demi-cercle

Rassemblons maintenant les deux résultats précédents (le théorème direct et sa réciproque) en une seule phrase, plus visuelle : celle de l'angle inscrit dans un demi-cercle. C'est la façon la plus rapide de reconnaître un angle droit sur une figure.

Propriété — équivalence

Soit [BC] un segment et M un point différent de B et de C. On a l'équivalence suivante :

M appartient au cercle de diamètre [BC]  si et seulement si  le triangle BMC est rectangle en M.

Autrement dit : depuis n'importe quel point du cercle de diamètre [BC] (sauf B et C eux-mêmes), on « voit » le segment [BC] sous un angle droit. C'est pour cela qu'on dit que « l'angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit ».

Trois points du même demi-cercle : toujours un angle droit B C M₁ M₂ M₃ BM₁C = BM₂C = BM₃C = 90°, quel que soit le point choisi
Figure 5 — Les points M₁, M₂, M₃ appartiennent tous au même demi-cercle de diamètre [BC] : chacun voit [BC] sous un angle droit.
Math & Co — Euclide met la propriété par écrit

C'est dans le Livre III de ses Éléments, rédigés à Alexandrie vers -300, qu'Euclide énonce et démontre rigoureusement cette propriété (proposition 31) : « l'angle dans le demi-cercle est droit ». Les Éléments rassemblent en treize livres la quasi-totalité des mathématiques grecques connues à l'époque, avec une exigence de démonstration qui a fondé la géométrie telle qu'on l'enseigne encore aujourd'hui.

Exemple 1 — reconnaître l'angle droit

[BC] est un diamètre d'un cercle de centre O. P est un point du cercle tel que BPC^=90°\widehat{BPC} = 90°. Que peut-on affirmer sur le triangle BPC ?

Comme P appartient au cercle de diamètre [BC], le triangle BPC est rectangle en P — c'est exactement la propriété. (Ici, l'angle droit était donné ; on aurait aussi pu le déduire directement du seul fait que P est sur le cercle.)

Exemple 2 — une ligne de points

On donne un segment [XY]. Où se trouvent tous les points Z tels que le triangle XYZ soit rectangle en Z ?

D'après la propriété d'équivalence, l'ensemble de ces points Z est exactement le cercle de diamètre [XY], privé des points X et Y. C'est une manière très efficace de décrire, d'un coup, tous les points « qui voient [XY] à angle droit ».

5Applications aux constructions

Ce chapitre ne sert pas qu'à démontrer : il donne aussi une méthode de construction extrêmement simple pour tracer un triangle rectangle, ou même un angle droit, sans équerre — seulement avec une règle et un compas (ou une corde, sur un chantier).

Méthode — construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse

Pour construire un triangle rectangle en A d'hypoténuse [BC] donnée :

  1. Tracer le segment [BC].
  2. Construire la médiatrice de [BC] (au compas) : elle coupe [BC] en son milieu O.
  3. Tracer le cercle de centre O et de rayon OBOB (donc de diamètre [BC]).
  4. Choisir n'importe quel point A sur ce cercle (différent de B et C) et tracer le triangle ABC.

D'après la propriété de la section précédente, le triangle ABC ainsi obtenu est automatiquement rectangle en A — aucune vérification supplémentaire n'est nécessaire !

Construction pas à pas du triangle rectangle ABC O B C A ① médiatrice ② cercle de diamètre BC ③ A choisi sur le cercle ④ triangle ABC
Figure 6 — Les arcs de compas (en pointillés) donnent la médiatrice de [BC] et le centre O ; le cercle de diamètre [BC] est tracé ; A, choisi librement sur le cercle, donne un triangle rectangle en A.
Méthode — tracer un angle droit sans équerre (la corde à noeuds)

Sur un terrain, on ne dispose souvent que d'un mètre ou d'une corde. On utilise alors la réciproque de Pythagore : on prend une corde nouée en 12 segments égaux (par exemple des intervalles de 1 m), et on forme un triangle de côtés 3, 4 et 5 intervalles. Comme 32+42=523^{2} + 4^{2} = 5^{2}, la réciproque de Pythagore garantit que l'angle entre les côtés 3 et 4 est droit. C'est une méthode complémentaire à celle du cercle, tout aussi utile sur le terrain.

Math & Co — la corde à treize noeuds

Bien avant Pythagore, les bâtisseurs de l'Égypte ancienne utilisaient déjà une corde à treize noeuds, régulièrement espacés, pour tracer des angles droits sur le sol lors de la construction des temples et des pyramides (dès le troisième millénaire avant notre ère). En tendant la corde selon un triangle de côtés 3, 4 et 5 intervalles, ces « tendeurs de corde » (appelés plus tard harpédonaptes par les Grecs) obtenaient un angle droit fiable, sans connaître de démonstration : c'est un exemple magnifique de savoir-faire pratique qui précède, de très loin, sa justification mathématique.

Exemple 1 — construction guidée

On veut construire un triangle rectangle d'hypoténuse BC=8BC = 8 cm. Décris les étapes.

On trace [BC]=8[BC] = 8 cm, on construit sa médiatrice pour obtenir le milieu O, on trace le cercle de centre O et de rayon OB=4OB = 4 cm (le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse), puis on choisit un point A quelconque sur ce cercle : le triangle ABC obtenu est automatiquement rectangle en A.

Exemple 2 — vérifier une construction avec la corde

Un ouvrier tend une corde formant un triangle de côtés 66 m, 88 m et 1010 m. L'angle entre les côtés de 6 m et 8 m est-il droit ?

  1. 62+82=36+64=1006^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100
  2. 102=10010^{2} = 100
  3. ⇒\Rightarrow62+82=1026^{2} + 8^{2} = 10^{2}réciproque de Pythagore

L'angle entre les côtés 6 m et 8 m est bien droit.

Fiche mémo

  • Cercle circonscrit : passe par les 3 sommets ; centre = point de concours des 3 médiatrices.
  • Triangle rectangle ⇒ centre du cercle circonscrit = milieu de l'hypoténuse.
  • Rayon du cercle circonscrit : R=hypoteˊnuse2R = \dfrac{\text{hypoténuse}}{2}.
  • Médiane issue de l'angle droit == moitié de l'hypoténuse : AM=BC2AM = \dfrac{BC}{2}.
  • Ne pas confondre médiane (passe par le milieu) et hauteur (perpendiculaire).
  • Réciproque : un côté = diamètre du cercle circonscrit ⇒ triangle rectangle (angle droit au sommet opposé).
  • Réciproque avec la médiane : AM=BC2AM = \dfrac{BC}{2} ⇒ triangle rectangle en A.
  • Angle inscrit dans un demi-cercle == angle droit, quel que soit le point choisi sur le cercle.
  • Équivalence : M sur le cercle de diamètre [BC] (M≠B,C) ⟺\Longleftrightarrow BMC rectangle en M.
  • Trois outils pour démontrer un triangle rectangle : réciproque de Pythagore, réciproque du cercle circonscrit/médiane, angle inscrit dans un demi-cercle.
  • Construction : médiatrice de l'hypoténuse → cercle de diamètre l'hypoténuse → tout point du cercle donne un sommet de l'angle droit.
  • Piège : un triangle inscrit dans un cercle quelconque n'est pas rectangle — il faut qu'un côté soit un diamètre.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe
1

ABC est un triangle rectangle en A, d'hypoténuse BC=11,2BC = 11{,}2 cm. Calcule le rayon RR de son cercle circonscrit.

Voir le corrigé détaillé
  1. R=BC2R = \dfrac{BC}{2}rayon = moitié de l'hypoténuse
  2. ==11,22\dfrac{11{,}2}{2}
  3. ==5,65{,}6 cm
2

Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle de rayon 3,53{,}5 cm. Calcule la longueur de son hypoténuse.

Voir le corrigé détaillé
  1. hypoténuse =2×R= 2 \times R
  2. ==2×3,52 \times 3{,}5
  3. ==77 cm
3

KLM est un triangle rectangle en K, avec KL=9KL = 9 cm et KM=12KM = 12 cm. N est le milieu de [LM]. Calcule KNKN.

Voir le corrigé détaillé
  1. LM2=KL2+KM2LM^{2} = KL^{2} + KM^{2}théorème de Pythagore dans KLM rectangle en K
  2. ==92+1229^{2} + 12^{2}
  3. ==81+144=22581 + 144 = 225
  4. ⇒\RightarrowLM=225=15LM = \sqrt{225} = 15 cm
  5. KN=LM2KN = \dfrac{LM}{2}médiane issue de l'angle droit
  6. ==152=7,5\dfrac{15}{2} = 7{,}5 cm
4

Réponds par « vrai » ou « faux », et justifie chaque réponse en une phrase.

  1. Dans tout triangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu d'un des côtés.
  2. Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle.
  3. La médiane et la hauteur issues d'un même sommet sont toujours confondues.
  4. Dans un triangle rectangle, le rayon du cercle circonscrit vaut la moitié de l'hypoténuse.
Voir le corrigé détaillé

1. Faux. Vrai seulement si le triangle est rectangle ; sinon le centre n'est le milieu d'aucun côté.

2. Vrai. C'est le théorème réciproque de la section 3.

3. Faux. Elles ne coïncident que dans des cas particuliers (triangle isocèle, sommet principal). En général ce sont deux segments distincts.

4. Vrai. Conséquence directe du théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle.

5

PQR est un triangle inscrit dans un cercle dont [PQ] est un diamètre. Sans mesurer, indique quel angle du triangle est droit, et justifie.

Voir le corrigé détaillé

Le côté [PQ] est un diamètre du cercle circonscrit : d'après le théorème réciproque, le triangle PQR est rectangle, et l'angle droit se trouve au sommet opposé à ce diamètre. L'angle droit est donc en R.

Niveau 2 — Approfondissement
6

Dans un repère (unité : 1 cm), on place A(0 ;0)A(0\,;0), B(6 ;0)B(6\,;0), C(0 ;8)C(0\,;8).

  1. Calcule les longueurs AB et AC.
  2. Calcule BC (Pythagore).
  3. Donne les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ABC et son rayon.
Voir le corrigé détaillé

1. A et B ont la même ordonnée, A et C la même abscisse : AB=6AB = 6 cm et AC=8AC = 8 cm.

2.

  1. BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}Pythagore dans ABC rectangle en A
  2. ==62+82=36+64=1006^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100
  3. ⇒\RightarrowBC=100=10BC = \sqrt{100} = 10 cm

3. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [BC] :

  1. O(0+62 ;8+02)O\left(\dfrac{0+6}{2}\,;\dfrac{8+0}{2}\right)
  2. ==O(3 ;4)O(3\,;4)
  3. R=BC2=102=5R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 cm
02468 2468 O(3;4) A B C
Figure 7 — Le triangle ABC dans le repère, avec son cercle circonscrit de centre O(3 ;4)O(3\,;4) et de rayon 5 cm.
7

Dans un triangle ABC, M est le milieu de [BC]. On donne AM=6,5AM = 6{,}5 cm et BC=13BC = 13 cm.

  1. Que peut-on affirmer sur le triangle ABC ?
  2. Sachant de plus que AB=5AB = 5 cm, calcule AC.
  3. Calcule l'aire du triangle ABC.
Voir le corrigé détaillé

1. On compare : BC2=132=6,5\dfrac{BC}{2} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5 cm =AM= AM. La médiane issue de A mesure la moitié du côté opposé : d'après la propriété réciproque, ABC est rectangle en A.

2.

  1. AC2=BC2−AB2AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}Pythagore dans ABC rectangle en A
  2. ==132−52=169−25=14413^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144
  3. ⇒\RightarrowAC=144=12AC = \sqrt{144} = 12 cm

3.

  1. Aire =AB×AC2= \dfrac{AB \times AC}{2}A est le sommet de l'angle droit
  2. ==5×122\dfrac{5 \times 12}{2}
  3. ==3030 cm²
8

B et C sont deux points fixés, avec BC=10BC = 10 cm. A est un point tel que le triangle ABC est rectangle en A, et D est un point (de l'autre côté de la droite (BC)) tel que le triangle DBC est rectangle en D. Démontre que A, B, D et C appartiennent à un même cercle, et précise son rayon.

Voir le corrigé détaillé

ABC rectangle en A : A appartient au cercle de diamètre [BC] (théorème direct). DBC rectangle en D : D appartient lui aussi au cercle de diamètre [BC]. Comme B et C sont fixés, il n'existe qu'un seul cercle de diamètre [BC] : A, B, D, C sont donc cocycliques (sur un même cercle).

  1. R=BC2R = \dfrac{BC}{2}
  2. ==102=5\dfrac{10}{2} = 5 cm
9

Un triangle a pour côtés 99 cm, 1212 cm et 1515 cm.

  1. Démontre qu'il est rectangle.
  2. Donne le rayon de son cercle circonscrit et précise la position de son centre.
Voir le corrigé détaillé

1. Le plus grand côté mesure 15 cm.

  1. 92+122=81+144=2259^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225
  2. 152=22515^{2} = 225
  3. ⇒\Rightarrow92+122=1529^{2} + 12^{2} = 15^{2}réciproque de Pythagore

Le triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de 15 cm.

2. Le centre du cercle circonscrit est le milieu du côté de 15 cm (l'hypoténuse), et R=152=7,5R = \dfrac{15}{2} = 7{,}5 cm.

Niveau 3 — Défi
10

ABC est un triangle tel que AB=7AB = 7 cm, AC=24AC = 24 cm, BC=25BC = 25 cm.

  1. Démontre que ABC est rectangle en A.
  2. Détermine le centre O et le rayon R du cercle circonscrit à ABC.
  3. M est le milieu de [BC]. Calcule AM de deux façons différentes, et vérifie que les résultats coïncident.
  4. Calcule l'aire du triangle ABC.
Voir le corrigé détaillé

1. Le plus grand côté est BC.

  1. AB2+AC2=72+242AB^{2} + AC^{2} = 7^{2} + 24^{2}
  2. ==49+576=62549 + 576 = 625
  3. BC2=252=625BC^{2} = 25^{2} = 625
  4. ⇒\RightarrowAB2+AC2=BC2AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}réciproque de Pythagore

ABC est donc rectangle en A.

2. Le centre O du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [BC] (théorème de la section 1), et R=BC2=252=12,5R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5 cm.

3. Première méthode — avec le théorème de la médiane :

  1. AM=BC2=252AM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{25}{2}
  2. ==12,512{,}5 cm

Deuxième méthode — dans un repère où A est à l'origine, les côtés de l'angle droit portent les axes : A(0 ;0)A(0\,;0), B(7 ;0)B(7\,;0), C(0 ;24)C(0\,;24). Alors MM a pour coordonnées (72 ;12)=(3,5 ;12)\left(\dfrac{7}{2}\,;12\right) = (3{,}5\,;12).

  1. AM2=3,52+122AM^{2} = 3{,}5^{2} + 12^{2}
  2. ==12,25+144=156,2512{,}25 + 144 = 156{,}25
  3. ⇒\RightarrowAM=156,25=12,5AM = \sqrt{156{,}25} = 12{,}5 cm

Les deux méthodes donnent bien AM=12,5AM = 12{,}5 cm : résultat cohérent.

4.

  1. Aire =AB×AC2= \dfrac{AB \times AC}{2}
  2. ==7×242\dfrac{7 \times 24}{2}
  3. ==8484 cm²
Le triangle 7–24–25, rectangle en A O = M A B C 7 cm 24 cm 25 cm AM = OA = OB = OC = 12,5 cm
Figure 8 — Le triangle rectangle 7–24–25 et son cercle circonscrit : le point M, milieu de [BC], est confondu avec le centre O.
11

ABC est un triangle, O le milieu de [BC]. On donne AO=5AO = 5 cm et BC=10BC = 10 cm.

  1. Que peut-on dire du triangle ABC ? Justifie soigneusement.
  2. Sachant de plus que AB=6AB = 6 cm, calcule AC.
  3. Calcule l'aire du triangle ABC.
  4. En déduire la longueur de la hauteur issue de A.
Voir le corrigé détaillé

1. O est le milieu de [BC] et AO=5=102=BC2AO = 5 = \dfrac{10}{2} = \dfrac{BC}{2} : la médiane issue de A mesure la moitié du côté opposé. D'après la propriété réciproque, ABC est rectangle en A.

2.

  1. AC2=BC2−AB2AC^{2} = BC^{2} - AB^{2}
  2. ==102−62=100−36=6410^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64
  3. ⇒\RightarrowAC=64=8AC = \sqrt{64} = 8 cm

3.

  1. Aire =AB×AC2= \dfrac{AB \times AC}{2}
  2. ==6×82=24\dfrac{6 \times 8}{2} = 24 cm²

4. La hauteur hh issue de A est relative au côté [BC] :

  1. Aire =BC×h2= \dfrac{BC \times h}{2}
  2. ⇒\Rightarrowh=2×AireBCh = \dfrac{2 \times \text{Aire}}{BC}
  3. ==2×2410=4810\dfrac{2 \times 24}{10} = \dfrac{48}{10}
  4. ==4,84{,}8 cm

On remarque que h=4,8h = 4{,}8 cm est différent de AO=5AO = 5 cm : hauteur et médiane issues de A ne sont pas confondues, comme annoncé section 2.

12

Dans un repère orthonormé (unité : 1 cm), on considère A(1 ;1)A(1\,;1), B(5 ;4)B(5\,;4) et C(−2 ;5)C(-2\,;5).

  1. Calcule les longueurs AB, AC et BC (valeurs exactes).
  2. Démontre que le triangle ABC est rectangle.
  3. Donne les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ABC, et son rayon exact.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. AB=(5−1)2+(4−1)2AB = \sqrt{(5-1)^{2} + (4-1)^{2}}
  2. ==16+9=25=5\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 cm
  3. AC=(−2−1)2+(5−1)2AC = \sqrt{(-2-1)^{2} + (5-1)^{2}}
  4. ==9+16=25=5\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 cm
  5. BC=(−2−5)2+(5−4)2BC = \sqrt{(-2-5)^{2} + (5-4)^{2}}
  6. ==49+1=50\sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}
  7. ==525\sqrt{2} cm50=25×250 = 25 \times 2

2.

  1. AB2+AC2=52+52=50AB^{2} + AC^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50
  2. BC2=(52)2=25×2=50BC^{2} = \left(5\sqrt{2}\right)^{2} = 25 \times 2 = 50
  3. ⇒\RightarrowAB2+AC2=BC2AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}réciproque de Pythagore

Le triangle ABC est donc rectangle en A (isocèle de plus, puisque AB=ACAB = AC).

3. Le centre est le milieu de l'hypoténuse [BC] :

  1. O(5+(−2)2 ;4+52)O\left(\dfrac{5+(-2)}{2}\,;\dfrac{4+5}{2}\right)
  2. ==O(1,5 ;4,5)O(1{,}5\,;4{,}5)
  3. R=BC2=522R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} cm
Niveau 4 — Problèmes de vie courante
13

Un terrain à Dakar. Un terrain triangulaire a pour dimensions AB=40AB = 40 m, AC=75AC = 75 m et BC=85BC = 85 m.

  1. Démontre que ce terrain a un angle droit, et précise en quel sommet.
  2. On veut installer un forage à un endroit équidistant des trois coins du terrain. Détermine la position de ce point et sa distance à chaque coin.
  3. Le propriétaire clôture le terrain avec un grillage vendu 2 8002\,800 F CFA le mètre. Calcule le coût total.
Voir le corrigé détaillé

1. Le plus grand côté est BC.

  1. AB2+AC2=402+752AB^{2} + AC^{2} = 40^{2} + 75^{2}
  2. ==1 600+5 625=7 2251\,600 + 5\,625 = 7\,225
  3. BC2=852=7 225BC^{2} = 85^{2} = 7\,225
  4. ⇒\RightarrowAB2+AC2=BC2AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}réciproque de Pythagore

Le terrain a un angle droit en A.

2. Comme le triangle est rectangle en A d'hypoténuse [BC], le point équidistant des trois sommets est le milieu O de [BC] (centre du cercle circonscrit).

  1. distance =BC2=852= \dfrac{BC}{2} = \dfrac{85}{2}
  2. ==42,542{,}5 m

3.

  1. Périmètre =40+75+85= 40 + 75 + 85
  2. ==200200 m
  3. Coût =200×2 800= 200 \times 2\,800
  4. ==560 000560\,000 F CFA
Terrain de Dakar : 40–75–85 m forage O A B C 40 m 75 m 85 m O équidistant des 3 coins : OA = OB = OC = 42,5 m
Figure 9 — Le terrain rectangle en A ; le forage, placé au milieu O de l'hypoténuse, est à la même distance des trois coins.
14

Un menuisier à Ndjamena. Pour vérifier un cadre de porte, un menuisier tend une corde formant un triangle de côtés 9090 cm, 120120 cm et 150150 cm.

  1. Vérifie si l'angle entre les côtés de 90 cm et 120 cm est droit.
  2. Il veut placer une charnière décorative circulaire dont le centre doit être équidistant des trois coins du cadre. Où doit-il la placer, et quel doit être le rayon du cercle ?
  3. Il achète une baguette pour consolider la diagonale (l'hypoténuse), vendue 450450 F CFA le mètre. Calcule le coût de cette baguette.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. 902+1202=8 100+14 40090^{2} + 120^{2} = 8\,100 + 14\,400
  2. ==22 50022\,500
  3. 1502=22 500150^{2} = 22\,500
  4. ⇒\Rightarrow902+1202=150290^{2} + 120^{2} = 150^{2}réciproque de Pythagore

L'angle entre les côtés de 90 cm et 120 cm est bien droit.

2. Le triangle étant rectangle, le point équidistant des trois coins est le milieu du côté de 150 cm (l'hypoténuse), et le rayon vaut 1502=75\dfrac{150}{2} = 75 cm.

3.

  1. longueur =150= 150 cm =1,5= 1{,}5 m
  2. coût =1,5×450= 1{,}5 \times 450
  3. ==675675 F CFA
15

Antennes-relais près d'Abidjan. Trois antennes A, B et C sont installées avec AB=5AB = 5 km, AC=12AC = 12 km, BC=13BC = 13 km.

  1. Montre que le triangle ABC est rectangle, et précise en quel sommet.
  2. L'opérateur veut un poste de contrôle à égale distance des trois antennes. Où le placer, et à quelle distance de chaque antenne ?
  3. La pose du câble coûte 15 00015\,000 F CFA par kilomètre, en ligne droite entre le poste et chaque antenne. Calcule le coût total.
Voir le corrigé détaillé

1.

  1. AB2+AC2=52+122AB^{2} + AC^{2} = 5^{2} + 12^{2}
  2. ==25+144=16925 + 144 = 169
  3. BC2=132=169BC^{2} = 13^{2} = 169
  4. ⇒\RightarrowAB2+AC2=BC2AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}réciproque de Pythagore

Le triangle ABC est rectangle en A (angle droit opposé au plus grand côté BC).

2. Le poste de contrôle doit être placé au milieu O de [BC], centre du cercle circonscrit :

  1. distance =BC2=132= \dfrac{BC}{2} = \dfrac{13}{2}
  2. ==6,56{,}5 km de chaque antenne

3.

  1. longueur totale de câble =3×6,5= 3 \times 6{,}5
  2. ==19,519{,}5 km
  3. coût =19,5×15 000= 19{,}5 \times 15\,000
  4. ==292 500292\,500 F CFA

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Que signifie « le cercle circonscrit à un triangle » ?

Explication : Le cercle circonscrit à un triangle passe exactement par ses trois sommets. Son centre est équidistant de ces trois sommets.

ABCABC est un triangle rectangle en AA. Où se trouve le centre de son cercle circonscrit ?

Explication : C'est le théorème du chapitre : si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est exactement le milieu de l'hypoténuse.

ABCABC est rectangle en AA, avec une hypoténuse BC=14BC = 14 cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

Explication : R=BC2R = \dfrac{BC}{2}
=142= \dfrac{14}{2}
=7= 7 cm.

Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle de rayon 66 cm. Quelle est la longueur de son hypoténuse ?

Explication : hypoténuse =2×R= 2 \times R
=2×6= 2 \times 6
=12= 12 cm.

ABCABC est rectangle en AA, d'hypoténuse [BC][BC]. Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de quel segment ?

Explication : Attention au piège : le théorème concerne toujours l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit — ici [BC][BC], jamais [AB][AB] ni [AC][AC].

Dans un triangle, qu'est-ce que la médiane issue d'un sommet ?

Explication : Par définition, la médiane issue d'un sommet relie ce sommet au milieu du côté opposé.

Dans un triangle quelconque, la médiane et la hauteur issues d'un même sommet sont-elles le même segment ?

Explication : La médiane passe par le milieu du côté opposé, la hauteur est perpendiculaire à ce côté : ce sont deux segments différents en général, sauf dans des cas particuliers (triangle isocèle, sommet principal).

RSTRST est rectangle en RR, avec ST=18ST = 18 cm. MM est le milieu de [ST][ST]. Calcule RMRM.

Explication : [RM][RM] est la médiane issue de l'angle droit :
RM=ST2RM = \dfrac{ST}{2}
=182=9= \dfrac{18}{2} = 9 cm.

NOPNOP est rectangle en NN, avec NO=6NO = 6 cm et NP=8NP = 8 cm. MM est le milieu de [OP][OP]. Calcule NMNM.

Explication : OP2=NO2+NP2OP^{2} = NO^{2} + NP^{2}
=62+82=36+64=100= 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100
OP=100=10OP = \sqrt{100} = 10 cm.
NM=OP2=5NM = \dfrac{OP}{2} = 5 cm.

Dans un triangle DEFDEF, la médiane issue de DD mesure DM=5DM = 5 cm, et EF=10EF = 10 cm. Le triangle DEFDEF est-il rectangle ?

Explication : On a bien DM=5=102=EF2DM = 5 = \dfrac{10}{2} = \dfrac{EF}{2} : d'après la propriété réciproque, le triangle DEFDEF est rectangle en DD.

Un triangle IJKIJK est inscrit dans un cercle de centre OO et de rayon 66 cm, avec OI=OJ=OK=6OI = OJ = OK = 6 cm et II, OO, KK alignés. Que peut-on dire du triangle IJKIJK ?

Explication : II, OO, KK alignés avec OI=OKOI=OK : [IK][IK] est un diamètre du cercle. D'après le théorème réciproque, le triangle IJKIJK est rectangle, l'angle droit étant au sommet opposé au diamètre, donc en JJ.

Laquelle de ces méthodes permet de démontrer qu'un triangle est rectangle ?

Explication : C'est la réciproque du théorème de la médiane relative à l'hypoténuse : si la médiane issue d'un sommet vaut la moitié du côté opposé, le triangle est rectangle en ce sommet. Les trois autres propositions sont soit toujours vraies (a), soit sans rapport avec l'angle droit (b, c).

Un triangle est inscrit dans un cercle, mais aucun de ses côtés n'est un diamètre. Peut-on affirmer qu'il est rectangle ?

Explication : Piège classique : un triangle inscrit dans un cercle quelconque n'est pas forcément rectangle. Il faut précisément qu'un de ses côtés soit un diamètre du cercle.

D'après la propriété de l'angle inscrit dans un demi-cercle, un point MM (différent de BB et CC) du cercle de diamètre [BC][BC] voit toujours le segment [BC][BC] sous :

Explication : C'est exactement la propriété de l'angle inscrit dans un demi-cercle : quel que soit le point MM choisi sur ce cercle (sauf BB et CC), l'angle BMC^\widehat{BMC} est toujours droit.

[BC][BC] est un segment fixé. L'ensemble des points MM tels que le triangle BMCBMC soit rectangle en MM est exactement :

Explication : C'est la propriété d'équivalence du cours : M appartient au cercle de diamètre [BC][BC] si et seulement si le triangle BMCBMC est rectangle en MM.

Pour construire un triangle rectangle en AA d'hypoténuse [BC][BC] donnée, quelle est la démarche correcte ?

Explication : C'est la méthode du cours : la médiatrice donne le milieu OO de l'hypoténuse, le cercle de centre OO et de rayon OBOB est le cercle de diamètre [BC][BC], et n'importe quel point AA choisi dessus donne automatiquement un triangle rectangle en AA.

Un ouvrier tend une corde formant un triangle de côtés 33 m, 44 m et 55 m. L'angle entre les côtés de 33 m et 44 m est-il droit ?

Explication : 32+42=9+16=25=523^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2} : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, l'angle entre les côtés de 33 m et 44 m est bien droit.

On veut construire un triangle rectangle d'hypoténuse BC=8BC = 8 cm par la méthode du cercle. Quel doit être le rayon du cercle tracé ?

Explication : Le rayon du cercle de diamètre [BC][BC] vaut la moitié de l'hypoténuse :
R=82=4R = \dfrac{8}{2} = 4 cm.

Un triangle a pour côtés 66 cm, 88 cm et 1010 cm. Où se trouve le centre de son cercle circonscrit, et quel est son rayon ?

Explication : 62+82=36+64=100=1026^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10^{2} : le triangle est rectangle, l'angle droit opposé au côté de 1010 cm. Le centre du cercle circonscrit est donc le milieu de l'hypoténuse (1010 cm), et R=102=5R = \dfrac{10}{2} = 5 cm.

Un terrain triangulaire a pour côtés AB=6AB = 6 m, AC=8AC = 8 m, BC=10BC = 10 m, avec un angle droit en AA. On veut installer un forage équidistant des trois coins du terrain. À quelle distance de chaque coin doit-il se trouver ?

Explication : Le point équidistant des trois sommets est le centre du cercle circonscrit, c'est-à-dire le milieu de l'hypoténuse [BC][BC] :
distance =BC2=102=5= \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 m.
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