Pyramides et cônes

Décrire, représenter et calculer le volume des pyramides et des cônes.

Mathématiques 4ème Chapitre 12 / 13 ⏱ 6 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Construire un patron de pyramide ou de cône
Calculer un volume
Résoudre un problème de contenance

Regarde autour de toi : le toit conique d'une case traditionnelle, un tas de mil entassé sur un marché, un cornet de glace, ou encore les célèbres pyramides d'Égypte. Tous ces objets ont un point commun que ni le pavé, ni le prisme, ni le cylindre ne possèdent : ils se terminent en une pointe unique, un sommet. C'est cette famille de solides — les pyramides et les cônes — que tu vas apprendre à décrire, à construire et à mesurer dans ce chapitre.

Jusqu'ici, avec les prismes droits et les cylindres, la formule de volume était toujours « aire de la base $\times$ hauteur » : le solide gardait la même section sur toute sa hauteur. Avec une pyramide ou un cône, la section rétrécit à mesure qu'on monte vers le sommet, jusqu'à devenir un point. Il faudra donc une formule différente pour le volume — et tu verras qu'elle est étonnamment simple : un simple tiers de ce que donnerait un prisme ou un cylindre de même base et de même hauteur.

À la fin du chapitre, tu sauras construire le patron d'une pyramide ou d'un cône, calculer un volume en $\text{cm}^3$ , $\text{m}^3$ ou en litres, et résoudre des problèmes de contenance bien concrets : combien de mil tient dans un tas conique, combien de béton pour couler un socle pyramidal, ou quel volume de pierre représentent les pyramides d'Égypte. Tu retrouveras aussi le théorème de Pythagore, que tu connais déjà, dans un tout nouveau rôle : calculer la « génératrice » d'un cône.

1Description et vocabulaire

Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir nommer chaque élément d'une pyramide et d'un cône. C'est la condition pour comprendre un énoncé, lire une figure en perspective, et ne pas confondre deux longueurs qui se ressemblent mais qui n'ont rien à voir.

1.1 La pyramide

Définition

Une pyramide est un solide formé :

d'un polygone appelé base (triangle, carré, rectangle, pentagone…) ;
d'un point situé hors du plan de la base, appelé sommet, noté $S$ ;
de faces latérales triangulaires, qui joignent le sommet à chaque côté de la base.

Une pyramide porte le nom de sa base : pyramide à base carrée, à base triangulaire, etc. La hauteur de la pyramide est la distance du sommet $S$ au plan de la base ; le pied de cette hauteur est noté $O$ .

Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier (carré, triangle équilatéral…) et que le sommet $S$ est situé à la verticale du centre $O$ de la base.

Les côtés de la base s'appellent des arêtes de base ; les segments qui joignent le sommet aux sommets de la base s'appellent des arêtes latérales. Pour une pyramide régulière, toutes les arêtes latérales ont la même longueur, et toutes les faces latérales sont des triangles isocèles superposables.

Apothème d'une pyramide régulière

Dans une pyramide régulière, l'apothème est la hauteur d'une face latérale, c'est-à-dire le segment $[SM]$ où $M$ est le milieu d'une arête de base. Comme la face $SAB$ est isocèle en $S$ , la droite $(SM)$ est perpendiculaire à $[AB]$ .

Figure 1 — Pyramide régulière

SABCD

: base carrée

ABCD

de centre

O

, sommet

S

, hauteur

h = SO

(perpendiculaire à la base), apothème

a = SM

(

M

milieu de

[AB]

), arêtes latérales

SA

SB

SC

SD

. L'arête

[SD]

et les côtés

[DA]

[DC]

sont en pointillés car cachés à la vue.

Exemple — calculer l'apothème d'une pyramide régulière

Une pyramide régulière a une base carrée de côté $c = 6\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 4\ \text{cm}$ . Calculons son apothème $a$ .

Le triangle $SOM$ est rectangle en $O$ (car $h \perp$ base), avec $OM = \dfrac{c}{2} = 3\ \text{cm}$ . D'après Pythagore :

$a^{2} = h^{2} + OM^{2}$
$=$ $4^{2} + 3^{2}$
$=$ $16 + 9$
$=$ $25$
$\Rightarrow$ $a = \sqrt{25}$
$=$ $5\ \text{cm}$

Attention

Ne confonds jamais ces trois longueurs, toutes issues du sommet $S$ :

la hauteur $SO$ : perpendiculaire à la base, elle joint $S$ au centre $O$ de la base (à l'intérieur du solide) ;
l'apothème $SM$ : elle joint $S$ au milieu d'une arête de base (elle est sur une face) ;
l'arête latérale $SA$ : elle joint $S$ à un sommet de la base.

Ces trois longueurs sont différentes, et $SO < SM < SA$ : c'est le côté d'un angle droit qui est toujours le plus court dans un triangle rectangle.

1.2 Le cône de révolution

Définition

Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle $OSA$ (rectangle en $O$ ) autour du côté $[SO]$ , appelé axe du cône.

On obtient ainsi un solide avec :

une base circulaire, de centre $O$ et de rayon $r = OA$ ;
un sommet $S$ , situé à la verticale de $O$ ;
une hauteur $h = SO$ , perpendiculaire à la base ;
une génératrice $g$ : c'est n'importe quel segment joignant $S$ à un point du cercle de base, comme $SA$ . Toutes les génératrices d'un même cône ont la même longueur.

Le cône n'a pas d'arêtes ni de « faces » planes latérales : sa surface latérale est une seule surface courbe, enroulée autour de l'axe. C'est ce qui le distingue fondamentalement d'une pyramide.

Figure 2 — Cône de révolution de sommet

S

: base circulaire de centre

O

et de rayon

r = OA

, hauteur

h = SO

, génératrice

g = SA

. Le triangle

SOA

est rectangle en

O

, donc d'après Pythagore

g^{2} = r^{2} + h^{2}

. Le demi-cercle arrière est en pointillés (partie cachée).

Exemple — calculer la génératrice d'un cône

Un cône de révolution a un rayon $r = 5\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 12\ \text{cm}$ . Calculons sa génératrice $g$ .

$g^{2} = r^{2} + h^{2}$
$=$ $5^{2} + 12^{2}$
$=$ $25 + 144$
$=$ $169$
$\Rightarrow$ $g = \sqrt{169}$
$=$ $13\ \text{cm}$

On reconnaît le triplet pythagoricien $5$ - $12$ - $13$ , très utile à mémoriser pour aller vite.

1.3 Comparer pyramide et cône

Pyramide et cône partagent la même idée — une base, un sommet, une hauteur — mais leurs vocabulaires ne se recouvrent pas totalement, car l'un est fait de morceaux plans (des triangles) et l'autre d'une seule surface courbe.

Élément	Pyramide	Cône de révolution
Base	polygone (carré, triangle…)	disque de centre $O$ , rayon $r$
Surface latérale	plusieurs faces triangulaires planes	une seule surface courbe
Hauteur	$h = SO$ , $\perp$ à la base	$h = SO$ , $\perp$ à la base
Segment sommet-base	arête latérale $SA$	génératrice $g = SA$
Apothème	$SM$ (si pyramide régulière)	n'existe pas

Math & Co — D'où vient le mot « pyramide » ?

C'est l'historien grec Hérodote, vers $-450$ , qui décrit le premier en détail les pyramides d'Égypte pour un public grec, sous le nom de pyramis ( $\pi\upsilon\rho\alpha\mu\acute{\iota}\varsigma$ ). L'origine exacte du mot reste débattue : certains linguistes y voient une déformation d'un mot égyptien ancien désignant l'arête verticale du monument (per-em-us), d'autres un rapprochement avec un mot grec désignant un gâteau de blé de forme conique — les deux pistes restent discutées faute de sources décisives.

Ce qui est certain, c'est que les bâtisseurs égyptiens, dès $-2600$ environ (pyramide de Khéops), maîtrisaient déjà parfaitement la géométrie de ce solide, bien avant que les mathématiciens grecs n'en démontrent les propriétés.

2Patrons

Le patron d'un solide est la figure plane que l'on obtient en le « dépliant » complètement à plat. Construire un patron sert à deux choses : fabriquer réellement le solide en carton, et calculer son aire totale (la somme des aires de chaque morceau du patron).

2.1 Patron d'une pyramide régulière

Méthode — construire le patron d'une pyramide régulière à base carrée

Tracer la base : un carré de côté $c$ (la longueur réelle d'une arête de base).
Sur chaque côté du carré, construire un triangle isocèle tourné vers l'extérieur, de base $c$ et dont les deux autres côtés mesurent l'arête latérale $SA$ (à tracer au compas depuis les deux extrémités du côté).
Les côtés du carré sont des lignes de pliage (pointillés) ; les côtés extérieurs des triangles sont des lignes de découpe (traits pleins).

Figure 3 — Patron de la pyramide régulière

SABCD

: le carré

ABCD

(pliages en pointillés) et ses quatre triangles latéraux isocèles (découpes en trait plein), de base

c

et de hauteur l'apothème

a

. Une fois pliés vers le haut le long des pointillés, les quatre sommets marqués

S

se rejoignent en un seul point.

2.2 Patron d'un cône

Le patron d'un cône de révolution est formé de deux morceaux : le disque de base (rayon $r$ ) et un secteur circulaire qui se déplie pour former la surface latérale, de rayon égal à la génératrice $g$ (jamais la hauteur $h$ : la surface latérale « se déroule » le long de la pente, pas verticalement).

Propriété — angle du secteur

Le secteur circulaire du patron a pour rayon $g$ et pour angle au centre :

$\theta = \dfrac{r}{g} \times 360°$

Démonstration — idée de la preuve

Une fois roulé, l'arc du secteur doit venir recouvrir exactement le cercle de base : sa longueur vaut donc $2\pi r$ , la circonférence du cercle de base.

Or, pour un secteur de rayon $g$ et d'angle $\theta$ (en degrés), la longueur de l'arc est proportionnelle à l'angle : un cercle complet de rayon $g$ (angle $360°$ ) a pour circonférence $2\pi g$ . Par proportionnalité :

$\dfrac{\theta}{360} = \dfrac{2\pi r}{2\pi g}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{\theta}{360} = \dfrac{r}{g}$
$\Rightarrow$ $\theta = \dfrac{r}{g} \times 360°$

Figure 4 — Patron d'un cône : le secteur circulaire de rayon

g

(génératrice) et d'angle

\theta = \frac{r}{g}\times 360°

, et le disque de base de rayon

r

. Une fois découpés, l'arc du secteur et le cercle se collent bord à bord : ils ont exactement la même longueur.

Exemple — angle du secteur d'un patron de cône

Un cône a un rayon $r = 6\ \text{cm}$ et une génératrice $g = 18\ \text{cm}$ . Calculons l'angle $\theta$ du secteur de son patron.

$\theta = \dfrac{r}{g} \times 360$
$=$ $\dfrac{6}{18} \times 360$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 360$
$=$ $120°$

Attention

Le rayon du secteur du patron est la génératrice $g$ , jamais la hauteur $h$ ! La surface latérale du cône « se déroule » le long de sa pente inclinée, pas verticalement : c'est une confusion très fréquente, qui fausse tout le patron.

3Représentation en perspective

Pour dessiner un solide en trois dimensions sur une feuille plane, on utilise une convention appelée perspective cavalière. C'est celle que tu as déjà vue dans les Figures 1 et 2 de ce chapitre, et que tu retrouves aussi pour les pavés et les prismes.

Méthode — dessiner un solide en perspective cavalière

Les arêtes parallèles au plan frontal (celles qui font face au regard) se dessinent en vraie grandeur, sans déformation.
Les arêtes qui « fuient » vers l'arrière se tracent selon un angle choisi (souvent $30°$ ou $45°$ ) et sont réduites par un coefficient choisi (souvent $\frac12$ ).
Le sommet se place à la verticale du point voulu de la base, à la hauteur réelle : les verticales ne sont jamais déformées.
On relie le sommet à chaque sommet de la base : ce sont les arêtes latérales (ou les génératrices pour un cône).
Les arêtes cachées par le solide se repassent en pointillés.

Cette méthode fonctionne pour n'importe quelle base, pas seulement le carré : voici une pyramide à base triangulaire, dessinée avec les mêmes règles.

Figure 5 — Pyramide à base triangulaire

SABC

en perspective cavalière : l'arête frontale

[AB]

est en vraie grandeur, les arêtes fuyantes vers

C

sont réduites et inclinées ; les arêtes

[AC]

[BC]

[SC]

, cachées par le solide, sont en pointillés.

4Volume de la pyramide

Remplis un moule pyramidal de sable, puis verse-le dans un moule prismatique de même base et de même hauteur : il te faudra recommencer trois fois pour remplir complètement le prisme. C'est exactement ce que dit la formule du volume d'une pyramide.

Propriété — volume d'une pyramide

Le volume $V$ d'une pyramide de base d'aire $B$ et de hauteur $h$ est :

$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$

Idée de la preuve (résultat admis en 4ème)

L'expérience du moule (sable ou eau) montre qu'il faut exactement trois pyramides pour remplir un prisme de même base et même hauteur — la formule $V = \frac13 \times B \times h$ traduit ce fait.

Une démonstration rigoureuse existe : elle consiste à découper un prisme triangulaire droit en trois pyramides de même volume. Elle fut conjecturée par Démocrite puis démontrée par Eudoxe de Cnide, mais elle demande des outils qui dépassent le programme de 4ème. On admet donc ici la formule.

Math & Co — Une formule devinée avant d'être prouvée

Vers $-360$ , le philosophe grec Démocrite d'Abdère affirme, sans le démontrer, que le volume d'une pyramide vaut le tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur. C'est une intuition géniale, mais ce n'est pas une preuve.

Il faut attendre Eudoxe de Cnide, quelques décennies plus tard, pour obtenir une démonstration rigoureuse, grâce à une technique appelée « méthode d'exhaustion » — l'ancêtre du calcul intégral, qui ne sera formalisé que deux mille ans plus tard. Cette histoire montre bien que, en mathématiques, deviner juste et démontrer sont deux étapes bien distinctes.

Exemple 1 — pyramide à base carrée

Calculons le volume d'une pyramide régulière de base carrée de côté $c = 9\ \text{cm}$ et de hauteur $h = 10\ \text{cm}$ .

$B = c^{2}$
$=$ $9^{2}$
$=$ $81\ \text{cm}^{2}$
$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 81 \times 10$
$=$ $\dfrac{810}{3}$
$=$ $270\ \text{cm}^{3}$

Exemple 2 — pyramide à base triangulaire

La base d'une pyramide est un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $6\ \text{cm}$ et $4\ \text{cm}$ . La hauteur de la pyramide est $h = 7\ \text{cm}$ .

$B = \dfrac{6 \times 4}{2}$
$=$ $12\ \text{cm}^{2}$
$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 12 \times 7$
$=$ $\dfrac{84}{3}$
$=$ $28\ \text{cm}^{3}$

Attention

Dans $V = \frac13 \times B \times h$ , la lettre $h$ désigne uniquement la hauteur $SO$ , perpendiculaire à la base. N'utilise jamais l'apothème ni l'arête latérale à sa place : ce sont des longueurs plus grandes que $h$ , et ton volume serait faux.

5Volume du cône

Le cône se comporte comme une pyramide dont la base serait un cercle : la même règle du tiers s'applique, avec $B = \pi r^{2}$ (l'aire du disque de base).

Propriété — volume d'un cône

Le volume $V$ d'un cône de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ est :

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$

Là encore, l'expérience du moule le confirme : il faut trois cônes pleins pour remplir un cylindre de même base et de même hauteur.

Exemple 1 — volume d'un cône

Calculons le volume d'un cône de rayon $r = 6\ \text{cm}$ et de hauteur $h = 15\ \text{cm}$ (arrondi au $\text{cm}^{3}$ près, avec $\pi \approx 3{,}14$ ).

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^{2} \times 15$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 15$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 540\pi$
$=$ $180\pi$
$\approx$ $180 \times 3{,}14$
$\approx$ $565{,}2\ \text{cm}^{3}$

Exemple 2 — retrouver la hauteur connaissant le volume

Un cône de rayon $r = 3\ \text{cm}$ a un volume $V = 37{,}68\ \text{cm}^{3}$ (avec $\pi \approx 3{,}14$ ). Calculons sa hauteur $h$ .

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$\Rightarrow$ $h = \dfrac{3 \times V}{\pi r^{2}}$
$=$ $\dfrac{3 \times 37{,}68}{3{,}14 \times 3^{2}}$
$=$ $\dfrac{113{,}04}{28{,}26}$
$=$ $4\ \text{cm}$

Attention

Le rayon $r$ qui figure dans $\pi r^{2}$ est le rayon, pas le diamètre. Si un énoncé donne le diamètre $d$ , commence toujours par calculer $r = \dfrac{d}{2}$ avant d'appliquer la formule : oublier cette étape est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice.

6Problèmes concrets

6.1 Agrandissement, réduction et volume

Quand on agrandit ou réduit une pyramide ou un cône, toutes ses longueurs sont multipliées par un même nombre $k$ (le coefficient d'agrandissement ou de réduction). Que devient alors le volume ?

Propriété — effet d'un agrandissement de coefficient

k

Si toutes les longueurs d'un solide sont multipliées par $k$ ( $k > 0$ ), alors :

les aires sont multipliées par $k^{2}$ ;
les volumes sont multipliés par $k^{3}$ .

Démonstration (cas de la pyramide)

Si les longueurs sont multipliées par $k$ , la base (une surface) voit son aire multipliée par $k^{2}$ , et la hauteur $h$ est multipliée par $k$ . Le nouveau volume $V'$ vaut :

$V' = \dfrac{1}{3} \times (k^{2}B) \times (kh)$
$=$ $k^{3} \times \dfrac{1}{3} \times B \times h$
$=$ $k^{3} \times V$

Exemple — maquette agrandie

Une maquette de pyramide a un volume de $12\ \text{cm}^{3}$ . On en construit une version agrandie avec un coefficient $k = 3$ . Quel est le volume de la version agrandie ?

$V' = k^{3} \times V$
$=$ $3^{3} \times 12$
$=$ $27 \times 12$
$=$ $324\ \text{cm}^{3}$

6.2 Deux applications classiques

Figure 6 — Un tas de mil entassé au marché prend spontanément la forme d'un cône de révolution, de rayon

r

et de hauteur

h

: on peut estimer sa quantité en calculant son volume.

Exemple — le tas de mil

Un vendeur de mil, à Ndjamena, entasse son mil en un tas conique de rayon $r = 0{,}6\ \text{m}$ et de hauteur $h = 0{,}45\ \text{m}$ . En admettant que $1\ \text{m}^{3}$ de mil pèse environ $750\ \text{kg}$ , estimons la masse du tas ( $\pi \approx 3{,}14$ ).

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 0{,}6^{2} \times 0{,}45$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 0{,}36 \times 0{,}45$
$\approx$ $\dfrac{1}{3} \times 0{,}5087$
$\approx$ $0{,}170\ \text{m}^{3}$
masse $\approx 0{,}170 \times 750$
$\approx$ $127{,}5\ \text{kg}$

Le tas représente donc un peu plus de 127 kg de mil.

Figure 7 — Coupe de la pyramide de Khéops, base carrée de

230\ \text{m}

de côté et hauteur d'origine

146{,}6\ \text{m}

: cette section passe par le sommet

S

et les milieux de deux côtés opposés de la base, si bien que ses côtés inclinés sont exactement les apothèmes des faces. À cette échelle, une personne de

1{,}70\ \text{m}

serait un trait de moins de

3\ \text{mm}

Exemple — le volume de la pyramide de Khéops

Calculons le volume de la pyramide de Khéops (base carrée de côté $230\ \text{m}$ , hauteur d'origine $146{,}6\ \text{m}$ ), arrondi au millier de $\text{m}^{3}$ près.

$B = 230^{2}$
$=$ $52\,900\ \text{m}^{2}$
$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 52\,900 \times 146{,}6$
$=$ $\dfrac{7\,755\,140}{3}$
$\approx$ $2\,585\,047\ \text{m}^{3}$

Soit environ 2,585 millions de mètres cubes de pierre — de quoi remplir plus de mille piscines olympiques.

Math & Co — Mesurer une pyramide au mètre près

Comment connaît-on la hauteur exacte de la pyramide de Khéops, alors qu'une partie de son sommet a disparu au fil des siècles ? C'est l'ingénieur et archéologue britannique William Flinders Petrie qui réalise, entre $1880$ et $1882$ , le relevé le plus précis de son époque : à partir des angles des faces encore intactes et de la base, il reconstitue par le calcul la hauteur d'origine du monument.

Ses mesures, publiées en $1883$ , restent une référence : elles illustrent qu'en géométrie, on peut retrouver une dimension manquante par le calcul, sans avoir besoin de la mesurer directement.

Fiche mémo

Pyramide : sommet $S$ , base polygonale, faces latérales triangulaires ; hauteur $h = SO$ ; si régulière, apothème $a = SM$ ( $M$ milieu d'une arête de base).
Cône de révolution : base circulaire de rayon $r$ , hauteur $h = SO$ , génératrice $g = SA$ , avec $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ (Pythagore).
Patron pyramide régulière : la base + un triangle isocèle par côté (base $c$ , hauteur $a$ ).
Patron cône : le disque de base (rayon $r$ ) + un secteur de rayon $g$ et d'angle $\theta = \dfrac{r}{g} \times 360°$ .
Perspective cavalière : faces frontales en vraie grandeur ; arêtes fuyantes inclinées et réduites ; verticales en vraie grandeur ; arêtes cachées en pointillés.
Volume pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ ( $B$ = aire de la base).
Volume cône : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$ .
Agrandissement/réduction de coefficient $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .
Ne jamais confondre $h$ (hauteur), $a$ (apothème) et l'arête latérale ou la génératrice : $h$ est toujours la plus petite.
Rappel d'unités : $1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{L}$ et $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^{3}$ .

7Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Réponds par vrai ou faux, en justifiant brièvement.

L'apothème d'une pyramide régulière est toujours plus long que sa hauteur.
Un cône de révolution possède des arêtes.
Toutes les génératrices d'un même cône ont la même longueur.
Dans une pyramide régulière, la hauteur passe par le centre de la base.

Voir le corrigé détaillé

1. Vrai. Dans le triangle $SOM$ rectangle en $O$ , l'apothème $SM$ est l'hypoténuse : elle est donc toujours strictement plus longue que le côté $SO$ (la hauteur).

2. Faux. Une arête est l'intersection de deux faces planes. Le cône n'a qu'une seule surface latérale, courbe : il n'a donc pas d'arête latérale (seulement le cercle de base).

3. Vrai. C'est une conséquence directe de la définition : le cône est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés, donc tous les points du cercle de base sont à la même distance du sommet.

4. Vrai. C'est la définition même d'une pyramide régulière : base = polygone régulier, et sommet à la verticale du centre de la base.

Une pyramide régulière a une base carrée de côté $c = 16\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 15\ \text{cm}$ . Calcule son apothème $a$ .

Voir le corrigé détaillé

Le triangle $SOM$ est rectangle en $O$ , avec $OM = \dfrac{c}{2} = 8\ \text{cm}$ .

$a^{2} = h^{2} + OM^{2}$
$=$ $15^{2} + 8^{2}$
$=$ $225 + 64$
$=$ $289$
$\Rightarrow$ $a = \sqrt{289}$
$=$ $17\ \text{cm}$

Un cône de révolution a un rayon $r = 9\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 12\ \text{cm}$ . Calcule sa génératrice $g$ .

Voir le corrigé détaillé

$g^{2} = r^{2} + h^{2}$
$=$ $9^{2} + 12^{2}$
$=$ $81 + 144$
$=$ $225$
$\Rightarrow$ $g = \sqrt{225}$
$=$ $15\ \text{cm}$

Calcule le volume d'une pyramide régulière de base carrée de côté $c = 5\ \text{cm}$ et de hauteur $h = 12\ \text{cm}$ .

Voir le corrigé détaillé

$B = 5^{2} = 25\ \text{cm}^{2}$
$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 25 \times 12$
$=$ $\dfrac{300}{3}$
$=$ $100\ \text{cm}^{3}$

Calcule le volume d'un cône de rayon $r = 4\ \text{cm}$ et de hauteur $h = 9\ \text{cm}$ ( $\pi \approx 3{,}14$ , arrondi au $\text{cm}^{3}$ près).

Voir le corrigé détaillé

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 4^{2} \times 9$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 16 \times 9$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 452{,}16$
$\approx$ $150{,}7\ \text{cm}^{3}$

Niveau 2 — Approfondissement

Une pyramide régulière a une base carrée de côté $c = 8\ \text{cm}$ et un apothème $a = 10\ \text{cm}$ . Calcule l'aire totale de son patron.

Voir le corrigé détaillé

aire de la base $= 8^{2} = 64\ \text{cm}^{2}$
aire d'un triangle $= \dfrac{8 \times 10}{2} = 40\ \text{cm}^{2}$
aire des 4 triangles $= 4 \times 40 = 160\ \text{cm}^{2}$
aire totale $= 64 + 160$
$=$ $224\ \text{cm}^{2}$

Un cône a un rayon $r = 4\ \text{cm}$ et une génératrice $g = 10\ \text{cm}$ . Calcule l'angle du secteur de son patron, puis l'aire de sa surface latérale ( $\pi \approx 3{,}14$ ).

Voir le corrigé détaillé

L'angle du secteur :

$\theta = \dfrac{r}{g} \times 360$
$=$ $\dfrac{4}{10} \times 360$
$=$ $144°$

L'aire latérale d'un cône est l'aire de ce secteur, qui vaut $\pi r g$ :

aire latérale $= \pi \times r \times g$
$=$ $3{,}14 \times 4 \times 10$
$=$ $125{,}6\ \text{cm}^{2}$

Une pyramide a pour base un rectangle de $6\ \text{cm}$ sur $4\ \text{cm}$ , et une hauteur $h = 9\ \text{cm}$ . Calcule son volume.

Voir le corrigé détaillé

$B = 6 \times 4 = 24\ \text{cm}^{2}$
$V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 24 \times 9$
$=$ $\dfrac{216}{3}$
$=$ $72\ \text{cm}^{3}$

Un cône a un diamètre de base $d = 10\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 6\ \text{cm}$ . Calcule son volume ( $\pi \approx 3{,}14$ ).

Voir le corrigé détaillé

Attention : la formule utilise le rayon, pas le diamètre.

$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\ \text{cm}$
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 5^{2} \times 6$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 6$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 471$
$=$ $157\ \text{cm}^{3}$

Une pyramide miniature a un volume de $6\ \text{cm}^{3}$ . On en fabrique une version agrandie, de volume $750\ \text{cm}^{3}$ . Calcule le coefficient d'agrandissement $k$ .

Voir le corrigé détaillé

$V' = k^{3} \times V$
$\Rightarrow$ $k^{3} = \dfrac{V'}{V}$
$=$ $\dfrac{750}{6}$
$=$ $125$
$\Rightarrow$ $k = \sqrt[3]{125}$
$=$ $5$

Le coefficient d'agrandissement est $k = 5$ .

Niveau 3 — Défi

Un cône de révolution a une génératrice $g = 17\ \text{cm}$ et un rayon $r = 8\ \text{cm}$ ( $\pi \approx 3{,}14$ ).

Calcule la hauteur $h$ du cône.
Calcule le volume $V$ du cône, arrondi au $\text{cm}^{3}$ près.
Donne ce volume en litres, arrondi au centième.

Voir le corrigé détaillé

1. Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$ , donc $g^{2} = r^{2} + h^{2}$ , d'où $h^{2} = g^{2} - r^{2}$ .

$h^{2} = 17^{2} - 8^{2}$
$=$ $289 - 64$
$=$ $225$
$\Rightarrow$ $h = \sqrt{225}$
$=$ $15\ \text{cm}$

2. Volume :

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 64 \times 15$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3\,014{,}4$
$\approx$ $1\,005\ \text{cm}^{3}$

3. Comme $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^{3} = 1\,000\ \text{cm}^{3}$ :

$V \approx \dfrac{1\,004{,}8}{1\,000}$
$\approx$ $1{,}00\ \text{L}$

Un socle est formé d'un cube d'arête $6\ \text{cm}$ , surmonté d'une pyramide régulière à base carrée de même côté ( $6\ \text{cm}$ ) et de hauteur $4\ \text{cm}$ .

Calcule le volume du cube.
Calcule le volume de la pyramide.
Calcule le volume total du solide.

Voir le corrigé détaillé

Figure 8 — Solide composé : un cube d'arête

6\ \text{cm}

surmonté d'une pyramide régulière de hauteur

4\ \text{cm}

, de même base que le cube.

1. Le cube est un pavé de côté $6\ \text{cm}$ .

$V_{\text{cube}} = 6^{3}$
$=$ $216\ \text{cm}^{3}$

2. La pyramide a pour base le carré de côté $6\ \text{cm}$ (aire $B = 36\ \text{cm}^{2}$ ) et pour hauteur $4\ \text{cm}$ .

$V_{\text{pyr}} = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 4$
$=$ $\dfrac{144}{3}$
$=$ $48\ \text{cm}^{3}$

3. Le volume total est la somme des deux volumes.

$V = V_{\text{cube}} + V_{\text{pyr}}$
$=$ $216 + 48$
$=$ $264\ \text{cm}^{3}$

Un cône de révolution a un rayon $r = 6\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 8\ \text{cm}$ ( $\pi \approx 3{,}14$ ).

Calcule la génératrice $g$ du cône.
Calcule l'angle $\theta$ du secteur de son patron.
Calcule le volume du cône, arrondi au $\text{cm}^{3}$ près.

Voir le corrigé détaillé

$g^{2} = r^{2} + h^{2}$
$=$ $6^{2} + 8^{2}$
$=$ $36 + 64$
$=$ $100$
$\Rightarrow$ $g = \sqrt{100}$
$=$ $10\ \text{cm}$

$\theta = \dfrac{r}{g} \times 360$
$=$ $\dfrac{6}{10} \times 360$
$=$ $216°$

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 36 \times 8$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 904{,}32$
$\approx$ $301{,}4\ \text{cm}^{3}$

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le toit de la case (Abéché). À Abéché, une case traditionnelle a un toit conique en chaume, de rayon $r = 2{,}1\ \text{m}$ et de hauteur $h = 2{,}8\ \text{m}$ . Le chaume coûte $4\,500$ F CFA le $\text{m}^{2}$ ( $\pi \approx 3{,}14$ ).

Calcule la génératrice $g$ du toit.
Calcule l'aire latérale du toit, arrondie au $\text{m}^{2}$ supérieur (pour prévoir une marge).
En déduire le coût du chaume nécessaire.

Voir le corrigé détaillé

$g^{2} = r^{2} + h^{2}$
$=$ $2{,}1^{2} + 2{,}8^{2}$
$=$ $4{,}41 + 7{,}84$
$=$ $12{,}25$
$\Rightarrow$ $g = \sqrt{12{,}25}$
$=$ $3{,}5\ \text{m}$

2. L'aire latérale du toit est celle du secteur du patron, $\pi r g$ .

aire latérale $= \pi \times r \times g$
$=$ $3{,}14 \times 2{,}1 \times 3{,}5$
$=$ $23{,}08\ \text{m}^{2}$
$\Rightarrow$ arrondie à l'entier supérieur $: 24\ \text{m}^{2}$

coût $= 24 \times 4\,500$
$=$ $108\,000$ F CFA

Il faut prévoir environ 108 000 F CFA de chaume.

Le cornet de glace (Dakar). Une glacière de Dakar vend deux cornets coniques : un petit, de rayon $2{,}5\ \text{cm}$ et de hauteur $8\ \text{cm}$ , à $500$ F CFA ; un grand, de rayon $3\ \text{cm}$ et de hauteur $10\ \text{cm}$ , à $750$ F CFA. Quel cornet offre le meilleur rapport quantité/prix ( $\pi \approx 3{,}14$ ) ?

Voir le corrigé détaillé

Petit cornet :

$V = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 2{,}5^{2} \times 8$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 6{,}25 \times 8$
$=$ $\dfrac{157}{3}$
$\approx$ $52{,}3\ \text{cm}^{3}$
prix au $\text{cm}^{3}$ $\approx \dfrac{500}{52{,}3}$
$\approx$ $9{,}56$ F CFA/ $\text{cm}^{3}$

Grand cornet :

$V = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 3^{2} \times 10$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 9 \times 10$
$=$ $\dfrac{282{,}6}{3}$
$=$ $94{,}2\ \text{cm}^{3}$
prix au $\text{cm}^{3}$ $\approx \dfrac{750}{94{,}2}$
$\approx$ $7{,}96$ F CFA/ $\text{cm}^{3}$

Le grand cornet coûte moins cher au $\text{cm}^{3}$ ( $7{,}96 < 9{,}56$ ) : c'est lui qui offre le meilleur rapport quantité/prix.

Le tas de sable (Bamako). Sur un chantier à Bamako, un tas de sable conique a un rayon $r = 1{,}2\ \text{m}$ et une hauteur $h = 0{,}9\ \text{m}$ . Le sable est vendu $15\,000$ F CFA le $\text{m}^{3}$ ( $\pi \approx 3{,}14$ ). Calcule le coût de ce tas de sable.

Voir le corrigé détaillé

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 1{,}2^{2} \times 0{,}9$
$=$ $\dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 1{,}44 \times 0{,}9$
$\approx$ $\dfrac{1}{3} \times 4{,}069$
$\approx$ $1{,}36\ \text{m}^{3}$
coût $\approx 1{,}36 \times 15\,000$
$\approx$ $20\,400$ F CFA

Ce tas de sable représente environ 20 400 F CFA.

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Une pyramide est un solide formé d'un polygone (la base) et :

d'un deuxième polygone parallèle au premier d'une surface courbe d'un sommet relié à chaque côté de la base par des faces triangulaires de deux sommets opposés

Explication : Une pyramide est formée d'un polygone de base et d'un point hors du plan de la base, le sommet

S

, relié à chaque côté de la base par une face latérale triangulaire.

Dans une pyramide, comment appelle-t-on la distance du sommet $S$ au plan de la base ?

l'apothème la hauteur l'arête latérale la génératrice

Explication : La hauteur

h = SO

est la distance du sommet

S

au plan de la base, perpendiculairement à celle-ci ;

O

est le pied de la hauteur.

Dans une pyramide régulière, qu'appelle-t-on l'apothème ?

la distance du sommet au centre de la base le côté de la base la distance entre deux sommets de la base la hauteur d'une face latérale, du sommet

S

au milieu d'une arête de base

Explication : L'apothème est le segment

[SM]

, où

M

est le milieu d'une arête de base : c'est la hauteur d'une face latérale triangulaire.

Parmi ces trois longueurs d'une pyramide régulière — hauteur $SO$ , apothème $SM$ , arête latérale $SA$ — laquelle est toujours la plus courte ?

la hauteur

SO

l'apothème

SM

l'arête latérale

SA

elles sont toujours égales

Explication : On a toujours

SO < SM < SA

: dans un triangle rectangle, le côté de l'angle droit est toujours le plus court.

Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle $OSA$ autour du côté :

[OA]

, le rayon

[SO]

, qui devient l'axe du cône

[SA]

, la génératrice aucun côté, on le fait tourner autour d'un point

Explication : On fait tourner le triangle rectangle

OSA

(rectangle en

O

) autour du côté

[SO]

, qui devient l'axe du cône. Le côté

[OA]

balaie alors le disque de base.

Dans un cône de révolution, qu'appelle-t-on la génératrice $g$ ?

la distance du sommet au centre de la base le rayon de la base n'importe quel segment joignant le sommet à un point du cercle de base le diamètre de la base

Explication : La génératrice

g = SA

est un segment joignant le sommet

S

à un point du cercle de base. Toutes les génératrices d'un même cône ont la même longueur.

Un cône a un rayon $r = 3\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 4\ \text{cm}$ . Que vaut sa génératrice $g$ ?

7 cm 1 cm 12 cm 5 cm

Explication : Le triangle

SOA

est rectangle en

O

, donc d'après Pythagore :

g^{2} = r^{2} + h^{2}

= 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25

g = \sqrt{25} = 5\ \text{cm}

Qu'est-ce qui distingue fondamentalement un cône d'une pyramide ?

le cône n'a pas d'arêtes, sa surface latérale est une seule surface courbe le cône n'a pas de hauteur le cône n'a pas de sommet le cône n'a pas de base

Explication : La pyramide a des faces latérales planes (des triangles) séparées par des arêtes ; le cône a une seule surface latérale courbe, sans arêtes.

Dans le patron d'un cône, quel est le rayon du secteur circulaire qui forme la surface latérale ?

le rayon

r

de la base la hauteur

h

la génératrice

g

le double du rayon

Explication : Le secteur du patron a pour rayon la génératrice

g

, jamais la hauteur

h

: la surface latérale se déroule le long de la pente, pas verticalement.

Quelle est la formule du volume d'une pyramide, de base d'aire $B$ et de hauteur $h$ ?

V = B \times h

V = \dfrac{1}{3} \times B \times h

V = \dfrac{1}{2} \times B \times h

V = 3 \times B \times h

Explication : Le volume d'une pyramide est le tiers de celui d'un prisme de même base et de même hauteur :

V = \dfrac{1}{3} \times B \times h

Une pyramide régulière a une base carrée de côté $c = 5\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 6\ \text{cm}$ . Quel est son volume ?

150 cm³ 75 cm³ 30 cm³ 50 cm³

Explication : On calcule d'abord l'aire de la base.

B = c^{2} = 5^{2} = 25\ \text{cm}^{2}

V = \dfrac{1}{3} \times B \times h = \dfrac{1}{3} \times 25 \times 6

= \dfrac{150}{3} = 50\ \text{cm}^{3}

Quelle est la formule du volume d'un cône de révolution, de rayon $r$ et de hauteur $h$ ?

V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h

V = \pi r^{2} \times h

V = \dfrac{1}{3} \times \pi r \times h

V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2}

Explication : Le cône se comporte comme une pyramide dont la base est un disque d'aire

\pi r^{2}

V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h

Un cône a un rayon $r = 3\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 7\ \text{cm}$ ( $\pi \approx 3$ ). Quel est, à peu près, son volume ?

63 cm³ 189 cm³ 21 cm³ 42 cm³

Explication :

V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h \approx \dfrac{1}{3} \times 3 \times 3^{2} \times 7

= \dfrac{1}{3} \times 3 \times 9 \times 7

= \dfrac{189}{3} = 63

Attention à bien diviser par 3 : le résultat est

63\ \text{cm}^{3}

, pas

189\ \text{cm}^{3}

Un cône a un diamètre de base de $10\ \text{cm}$ . Quel rayon $r$ doit-on utiliser dans la formule du volume ?

10 cm 5 cm 20 cm 2,5 cm

Explication : Le rayon est la moitié du diamètre :

r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\ \text{cm}

. Oublier cette étape et utiliser le diamètre à la place du rayon est l'erreur la plus fréquente.

Dans la formule $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ , que représente exactement $h$ ?

l'apothème l'arête latérale la génératrice la hauteur

SO

, perpendiculaire à la base

Explication :

h

désigne uniquement la hauteur

SO

, perpendiculaire à la base. L'apothème et l'arête latérale sont des longueurs plus grandes : les utiliser à la place de

h

donnerait un volume faux.

On agrandit une pyramide avec un coefficient $k = 2$ (toutes les longueurs sont doublées). Par quel nombre le volume est-il multiplié ?

8 (car

2^{3}=8

) 2 4 6

Explication : Quand les longueurs sont multipliées par

k

, le volume est multiplié par

k^{3}

. Ici,

k=2

donc le volume est multiplié par

2^{3} = 8

Une maquette de cône a un volume de $5\ \text{cm}^{3}$ . On construit une version réduite avec un coefficient $k = \dfrac{1}{2}$ . Quel est le volume de la version réduite ?

2,5 cm³ 1,25 cm³ 0,625 cm³ 10 cm³

Explication : Le volume est multiplié par

k^{3}

V' = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} \times 5

= \dfrac{1}{8} \times 5

= 0{,}625\ \text{cm}^{3}

On verse le contenu d'un moule pyramidal plein dans un moule prismatique de même base et même hauteur. Combien de fois faut-il recommencer pour remplir complètement le prisme ?

deux fois trois fois une seule fois quatre fois

Explication : Le volume de la pyramide est le tiers de celui du prisme de même base et même hauteur : il faut donc verser trois pyramides pour remplir le prisme.

Un vendeur de mil, à Ndjamena, entasse son mil en un tas conique de rayon $r = 1\ \text{m}$ et de hauteur $h = 3\ \text{m}$ ( $\pi \approx 3$ ). Quel est le volume de ce tas ?

9 m³ 1 m³ 6 m³ 3 m³

Explication :

V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h \approx \dfrac{1}{3} \times 3 \times 1^{2} \times 3

= \dfrac{1}{3} \times 3 \times 1 \times 3

= \dfrac{9}{3} = 3

Le volume du tas est d'environ

3\ \text{m}^{3}

. (Réponse a : oubli de diviser par 3.)

Une pyramide régulière à base carrée a un côté de base $c = 6\ \text{cm}$ et une hauteur $h = 4\ \text{cm}$ . Sachant que $OM = \dfrac{c}{2}$ , quelle est la longueur de son apothème $a$ ?

5 cm 7 cm 10 cm 4,5 cm

Explication : Le triangle

SOM

est rectangle en

O

, avec

OM = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}

. D'après Pythagore :

a^{2} = h^{2} + OM^{2} = 4^{2} + 3^{2}

= 16 + 9 = 25

a = \sqrt{25} = 5\ \text{cm}

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En bref

Classe : Classe de Quatrième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 6 h
7 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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