Repérage dans le plan

Se repérer avec des coordonnées et exploiter un repère.

Mathématiques 4ème Chapitre 13 / 13 ⏱ 5 h

Ce que tu sauras faire à la fin

Placer un point à partir de ses coordonnées
Calculer les coordonnées d'un milieu
Calculer une distance dans un repère

Ouvre une carte, un GPS, un jeu vidéo ou simplement une feuille quadrillée : partout, on utilise deux nombres pour dire « où l'on est ». Ce chapitre te donne les outils du géomètre pour repérer n'importe quel point du plan avec une précision absolue, sans rien mesurer à la règle.

Depuis la 5ème, tu sais déjà placer un point grâce à deux nombres, dans un coin de feuille. Ce qui change ici : le repère s'étend maintenant dans les quatre directions à la fois, avec des nombres négatifs ; deux points peuvent être symétriques l'un de l'autre ; et surtout, tu vas apprendre à calculer, sans tracer, le milieu d'un segment et la distance entre deux points.

Cette distance se calcule grâce au théorème de Pythagore, que tu maîtrises déjà depuis la 5ème et la 4ème : le repère et Pythagore vont désormais travailler ensemble. Ces techniques sont incontournables au brevet, et elles annoncent tout ce que tu feras plus tard en géométrie et en fonctions.

1Repère orthonormé, abscisse, ordonnée

1.1 Le repère orthonormé

Définition

Un repère du plan est formé de deux droites graduées qui se coupent en un point appelé origine, noté $O$ :

l'axe des abscisses, horizontal, souvent noté $(Ox)$ ;
l'axe des ordonnées, vertical, souvent noté $(Oy)$ .

Quand les deux axes sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal. Quand, en plus, la même unité de longueur est utilisée sur les deux axes, le repère est dit orthonormé. C'est ce type de repère que l'on utilise dans tout ce chapitre.

Attention

Ne confonds pas les deux mots. Orthogonal concerne uniquement l'angle entre les axes (ils sont perpendiculaires). Orthonormé ajoute une condition sur les longueurs : la même unité sert à graduer les deux axes. Un repère orthogonal aux unités différentes existe (utile pour certains graphiques), mais on ne peut pas y calculer une distance avec Pythagore comme on le fera dans ce chapitre : il faut un repère orthonormé.

1.2 Coordonnées d'un point : abscisse et ordonnée

Définition

Dans un repère, chaque point $M$ du plan est associé à un unique couple de nombres $(x\,;\,y)$ , appelés coordonnées de $M$ :

$x$ est l'abscisse de $M$ : on la lit sur l'axe des abscisses ;
$y$ est l'ordonnée de $M$ : on la lit sur l'axe des ordonnées.

On note $M(x\,;\,y)$ . L'ordre compte : l'abscisse s'écrit toujours en premier, l'ordonnée en second.

Attention

$A(3\,;\,2)$ et $A(2\,;\,3)$ sont deux points différents ! Une bonne astuce pour ne jamais te tromper : « dans l'ordre alphabétique, abscisse avant ordonnée » — comme on lit d'abord à l'horizontale, puis à la verticale.

Pour lire les coordonnées d'un point déjà placé, on procède toujours dans le même ordre : on descend (ou on monte) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour lire $x$ , puis on va horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées pour lire $y$ .

Exemple — lire des coordonnées

Sur la figure 1, le point $A$ est situé $3$ unités à droite de l'origine, puis $2$ unités vers le haut : $A(3\,;\,2)$ . Le point $B$ est situé $4$ unités à gauche, puis $2$ unités vers le bas : $B(-4\,;\,-2)$ .

Figure 1 — Pour lire les coordonnées d'un point, on lit d'abord son abscisse (projection sur l'axe horizontal), puis son ordonnée (projection sur l'axe vertical).

Math & Co — La naissance des coordonnées

L'idée de repérer un point par deux nombres paraît aujourd'hui évidente, mais elle n'a que quatre siècles. C'est le philosophe et mathématicien français René Descartes (1596-1650) qui la popularise en 1637, dans La Géométrie, une annexe de son Discours de la méthode. Son compatriote Pierre de Fermat (1601-1665) développe des idées très proches, indépendamment, à la même époque.

Leur découverte est immense : elle permet de transformer des problèmes de géométrie en calculs sur des nombres, et réciproquement de « voir » une équation comme une courbe. On appelle aujourd'hui « coordonnées cartésiennes » ces couples de nombres, en hommage à Descartes — dont le nom latinisé était Cartesius.

2Lecture et placement de points

2.1 Placer un point à partir de ses coordonnées

Méthode — placer un point

M(x\,;\,y)

1. On part de l'origine $O$ . 2. On se déplace de $x$ unités horizontalement (vers la droite si $x>0$ , vers la gauche si $x<0$ ). 3. Depuis cette position, on se déplace de $y$ unités verticalement (vers le haut si $y>0$ , vers le bas si $y<0$ ). Le point d'arrivée est $M$ .

Le signe de chaque coordonnée indique donc directement la zone du plan (le quadrant) où se trouve le point.

Exemple — placer quatre points

Sur la figure 2 : $C(4\,;\,3)$ a deux coordonnées positives, il est en haut à droite. $D(-3\,;\,4)$ a une abscisse négative et une ordonnée positive, il est en haut à gauche. $E(-4\,;\,-3)$ a deux coordonnées négatives, il est en bas à gauche. $F(3\,;\,-4)$ a une abscisse positive et une ordonnée négative, il est en bas à droite.

Figure 2 — Le signe des coordonnées indique le quadrant :

(+\,;\,+)

en haut à droite,

(-\,;\,+)

en haut à gauche,

(-\,;\,-)

en bas à gauche,

(+\,;\,-)

en bas à droite.

2.2 Points symétriques par rapport aux axes et à l'origine

Trois symétries reviennent sans cesse dans un repère : la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, par rapport à l'axe des ordonnées, et par rapport à l'origine. Observons ce qu'elles font aux coordonnées.

Propriété

Soit $M(x\,;\,y)$ un point du repère.

Symétrie de $M(x\,;\,y)$ par rapport à…	Coordonnées du symétrique
l'axe des abscisses $(Ox)$	$(x\,;\,-y)$
l'axe des ordonnées $(Oy)$	$(-x\,;\,y)$
l'origine $O$	$(-x\,;\,-y)$

La règle est facile à retenir : une symétrie par rapport à un axe change le signe de la coordonnée perpendiculaire à cet axe, et laisse l'autre inchangée. La symétrie par rapport à l'origine change les deux signes.

Exemple — les trois symétriques de

A(4\,;\,2)

symétrique de $A$ par rapport à $(Ox)$ : $A'(4\,;\,-2)$ l'abscisse ne change pas, l'ordonnée change de signe
symétrique de $A$ par rapport à $(Oy)$ : $A''(-4\,;\,2)$ l'ordonnée ne change pas, l'abscisse change de signe
symétrique de $A$ par rapport à $O$ : $A'''(-4\,;\,-2)$ les deux coordonnées changent de signe

Figure 3 —

A'

est le symétrique de

A

par rapport à l'axe des abscisses,

A''

par rapport à l'axe des ordonnées,

A'''

par rapport à l'origine (les trois points

A

O

A'''

sont alignés).

Attention

Ne mélange pas les deux symétries « axiales ». Beaucoup d'élèves changent le mauvais signe : pour la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, c'est l'ordonnée qui change de signe (pas l'abscisse !). Un bon réflexe : imagine l'axe comme un miroir et vérifie que le point et son image sont à la même distance de ce miroir, de part et d'autre.

3Coordonnées du milieu

Tu sais déjà repérer un point et construire son symétrique. Voici maintenant une situation encore plus utile : trouver, sans rien tracer, le point qui se trouve exactement au milieu d'un segment — utile pour un plan d'architecte, un partage équitable, ou une figure géométrique.

Propriété — coordonnées du milieu

Soit $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ deux points du plan. Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

$x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} \qquad\qquad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

Autrement dit, l'abscisse de $I$ est la moyenne des abscisses de $A$ et $B$ , et son ordonnée est la moyenne des ordonnées.

Démonstration — idée de la preuve

Le milieu $I$ de $[AB]$ est le point aligné avec $A$ et $B$ , situé exactement à égale distance des deux. En projetant $A$ , $I$ et $B$ sur l'axe des abscisses, on obtient trois points alignés sur une droite graduée, et $I$ reste le milieu de cette projection : sur une droite graduée, le milieu de deux nombres $x_A$ et $x_B$ est leur moyenne $\dfrac{x_A+x_B}{2}$ . Le même raisonnement, appliqué à la projection sur l'axe des ordonnées, donne $y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2}$ . (Une preuve complète, avec les vecteurs, sera vue au lycée.)

Exemple — milieu de

[AB]

Soit $A(-3\,;\,-2)$ et $B(5\,;\,4)$ .

$x_I = \dfrac{-3+5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$
$y_I = \dfrac{-2+4}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$
$\Rightarrow$ $I(1\,;\,1)$ voir figure 4

Exemple — un milieu à coordonnées décimales

Soit $C(1\,;\,2)$ et $D(4\,;\,5)$ . Le milieu n'est pas toujours un point « à coordonnées entières ».

$x_J = \dfrac{1+4}{2} = 2{,}5$
$y_J = \dfrac{2+5}{2} = 3{,}5$
$\Rightarrow$ $J(2{,}5\,;\,3{,}5)$

Figure 4 — Le milieu

I

[AB]

a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées de

A

B

I(1\,;\,1)

Méthode — retrouver un point à partir du milieu

Si $I$ est le milieu de $[AB]$ et que l'on connaît $A$ et $I$ , on peut retrouver $B$ en « renversant » la formule : $x_B = 2x_I - x_A$ et $y_B = 2y_I - y_A$ . C'est très utile pour construire un parallélogramme : dans un parallélogramme $ABCD$ , les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.

4Distance entre deux points

4.1 La formule de la distance, avec Pythagore

Dernière question, et sans doute la plus puissante : comment calculer la longueur $AB$ , sans la mesurer, en connaissant seulement les coordonnées de $A$ et de $B$ ? La réponse tient dans un triangle rectangle bien choisi et le théorème de Pythagore.

Théorème — distance entre deux points

Soit $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ deux points d'un repère orthonormé. Alors :

$AB = \sqrt{\left(x_B - x_A\right)^{2} + \left(y_B - y_A\right)^{2}}$

Démonstration

On construit le point $C(x_B\,;\,y_A)$ : il a la même abscisse que $B$ et la même ordonnée que $A$ . La droite $(AC)$ est donc horizontale, la droite $(CB)$ est verticale : elles sont perpendiculaires, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ .

$AC = |x_B - x_A|$ distance horizontale entre $A$ et $C$
$CB = |y_B - y_A|$ distance verticale entre $C$ et $B$
le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ABC$ donne :
$AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}$
$=$ $\left(x_B-x_A\right)^{2} + \left(y_B-y_A\right)^{2}$ un carré efface la valeur absolue
$\Rightarrow$ $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^{2} + \left(y_B-y_A\right)^{2}}$ $AB \geqslant 0$ , on garde la racine positive

Exemple — un triangle 3-4-5

Soit $A(-3\,;\,-3)$ et $B(0\,;\,1)$ (figure 5).

$x_B - x_A = 0-(-3) = 3$
$y_B - y_A = 1-(-3) = 4$
$AB = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}$
$=$ $5$

Exemple — un résultat qui n'est pas entier

Soit $E(-2\,;\,1)$ et $F(3\,;\,4)$ .

$EF = \sqrt{\left(3-(-2)\right)^{2} + \left(4-1\right)^{2}}$
$=$ $\sqrt{5^{2}+3^{2}}$
$=$ $\sqrt{34}$
$\approx$ $5{,}83$ à la calculatrice

Figure 5 — Le triangle

ABC

est rectangle en

C

: les côtés de l'angle droit valent

3

4

, l'hypoténuse

AB

vaut

5

4.2 Calculer un périmètre dans un repère

La formule de la distance permet de calculer le périmètre de n'importe quelle figure tracée dans un repère, même si ses côtés ne sont pas parallèles aux axes.

Exemple — périmètre du quadrilatère

ABCD

$A(-4\,;\,-2)$ , $B(3\,;\,-3)$ , $C(4\,;\,2)$ , $D(-2\,;\,3)$ (figure 6).

$AB = \sqrt{\left(3-(-4)\right)^{2}+\left(-3-(-2)\right)^{2}} = \sqrt{7^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$
$BC = \sqrt{\left(4-3\right)^{2}+\left(2-(-3)\right)^{2}} = \sqrt{1^{2}+5^{2}} = \sqrt{26} \approx 5{,}10$
$CD = \sqrt{\left(-2-4\right)^{2}+\left(3-2\right)^{2}} = \sqrt{(-6)^{2}+1^{2}} = \sqrt{37} \approx 6{,}08$
$DA = \sqrt{\left(-4-(-2)\right)^{2}+\left(-2-3\right)^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$
périmètre $\approx 7{,}07+5{,}10+6{,}08+5{,}39$
$\approx$ $23{,}6$ unités

Figure 6 — Le périmètre de

ABCD

est la somme des quatre longueurs

AB

BC

CD

DA

, calculées avec la formule de la distance.

Attention

Dans la formule $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$ , l'ordre de soustraction ne change rien : $(x_B-x_A)^{2} = (x_A-x_B)^{2}$ , car un carré efface le signe. Ne calcule donc jamais une racine de différence sans élever au carré chaque terme séparément : $\sqrt{9+16}=5$ , alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$ — ce n'est pas la même chose !

5Lecture graphique

5.1 Lire un plan quadrillé

Le principe du repère ne sert pas qu'en mathématiques : il est partout dès qu'il faut se situer dans un espace. Un plan de ville, une carte routière, l'écran d'un jeu vidéo ou un tableur utilisent tous la même idée : deux nombres suffisent à désigner un endroit précis.

Sur un plan de ville, on choisit souvent un point de repère (un carrefour, une place) comme origine, et l'on compte les « pâtés de maisons » dans deux directions perpendiculaires — par exemple le long des avenues et le long des rues. Comme la ville s'étend d'un seul côté du point de départ, les coordonnées utilisées sont en général positives.

Exemple — se repérer dans Dakar

Sur le plan de la figure 7, l'origine $O$ est placée à la Place de l'Indépendance. Chaque lieu est repéré par (numéro d'avenue ; numéro de rue). L'École est en $(2\,;\,1)$ , la Mosquée en $(3\,;\,4)$ , le Port en $(7\,;\,5)$ .

Figure 7 — Plan quadrillé du centre de Dakar : chaque lieu est repéré par (avenue ; rue). Sur ce plan, un carreau représente environ

300

Exemple — distance réelle entre deux lieux

Distance « à vol d'oiseau » entre l'École $(2\,;\,1)$ et la Mosquée $(3\,;\,4)$ , sachant qu'un carreau représente $300$ m.

distance en carreaux $= \sqrt{(3-2)^{2}+(4-1)^{2}} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$
distance réelle $\approx 3{,}16 \times 300$
$\approx$ $949$ m

5.2 Repérage à la « bataille navale »

Une autre façon très répandue de quadriller un plan consiste à nommer les colonnes avec des lettres (A, B, C…) et les lignes avec des nombres (1, 2, 3…), comme au jeu de la bataille navale ou sur un plan de salle de cinéma. Une case s'écrit alors, par exemple, « C4 ».

Propriété — même idée, autre écriture

Le principe reste exactement celui d'un repère : la lettre joue le rôle de l'abscisse (on avance horizontalement), le nombre joue le rôle de l'ordonnée (on avance verticalement). La différence : on repère une case (une zone) et non un point précis, et il n'y a jamais de coordonnées négatives.

Attention

Ne confonds pas les deux usages. Dans un repère mathématique $M(x\,;\,y)$ , les deux coordonnées sont des nombres, dans un ordre précis, et peuvent être négatives. Dans le système « bataille navale », la lettre vient toujours en premier par convention, mais ce n'est pas une abscisse au sens mathématique : c'est un simple code de repérage de case.

Fiche mémo

Repère orthonormé : axes perpendiculaires, même unité sur les deux axes.
$M(x\,;\,y)$ : $x$ = abscisse (horizontale, en premier), $y$ = ordonnée (verticale, en second).
Signe des coordonnées → quadrant : $(+;+)$ , $(-;+)$ , $(-;-)$ , $(+;-)$ .
Symétrique par rapport à $(Ox)$ : $(x\,;\,y) \to (x\,;\,-y)$ .
Symétrique par rapport à $(Oy)$ : $(x\,;\,y) \to (-x\,;\,y)$ .
Symétrique par rapport à $O$ : $(x\,;\,y) \to (-x\,;\,-y)$ .
Milieu de $[AB]$ : $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ — la moyenne des coordonnées.
Distance : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$ (Pythagore dans le triangle rectangle formé par les projections).
L'ordre de soustraction n'a pas d'importance : un carré efface le signe.
Un repère orthogonal non orthonormé ne permet pas d'utiliser cette formule de distance.
Pour un périmètre dans un repère : additionner les distances de chaque côté, une à une.
Sur un plan (ville, salle) : coordonnées souvent positives ; système « lettre-numéro » = même principe, sans négatif.

6Exercices corrigés

Niveau 1 — Application directe

Pour chacun des points suivants, indique dans quel quadrant il se trouve, ou sur quel axe : $P(5\,;\,3)$ , $Q(-2\,;\,7)$ , $R(-4\,;\,-1)$ , $S(6\,;\,-3)$ , $T(0\,;\,4)$ , $U(-3\,;\,0)$ .

Voir le corrigé détaillé

$P(5\,;\,3)$ : les deux coordonnées sont positives $\Rightarrow$ quadrant $(+\,;\,+)$ .
$Q(-2\,;\,7)$ : abscisse négative, ordonnée positive $\Rightarrow$ quadrant $(-\,;\,+)$ .
$R(-4\,;\,-1)$ : les deux coordonnées sont négatives $\Rightarrow$ quadrant $(-\,;\,-)$ .
$S(6\,;\,-3)$ : abscisse positive, ordonnée négative $\Rightarrow$ quadrant $(+\,;\,-)$ .
$T(0\,;\,4)$ : abscisse nulle $\Rightarrow$ $T$ est sur l'axe des ordonnées.
$U(-3\,;\,0)$ : ordonnée nulle $\Rightarrow$ $U$ est sur l'axe des abscisses.

Donne les coordonnées : du symétrique de $A(5\,;\,-2)$ par rapport à l'axe des abscisses ; du symétrique de $B(-3\,;\,4)$ par rapport à l'axe des ordonnées ; du symétrique de $C(0\,;\,6)$ par rapport à l'origine.

Voir le corrigé détaillé

symétrique de $A(5\,;\,-2)$ par rapport à $(Ox)$ : $A'(5\,;\,2)$ l'abscisse ne change pas
symétrique de $B(-3\,;\,4)$ par rapport à $(Oy)$ : $B'(3\,;\,4)$ l'ordonnée ne change pas
symétrique de $C(0\,;\,6)$ par rapport à $O$ : $C'(0\,;\,-6)$ les deux coordonnées changent de signe

Calcule les coordonnées du milieu de $[AB]$ , $[CD]$ et $[EF]$ : $A(2\,;\,5)$ , $B(6\,;\,1)$ ; $C(-3\,;\,4)$ , $D(5\,;\,-2)$ ; $E(1\,;\,1)$ , $F(2\,;\,4)$ .

Voir le corrigé détaillé

milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{2+6}{2}\,;\,\dfrac{5+1}{2}\right) = (4\,;\,3)$
milieu de $[CD]$ : $\left(\dfrac{-3+5}{2}\,;\,\dfrac{4+(-2)}{2}\right) = (1\,;\,1)$
milieu de $[EF]$ : $\left(\dfrac{1+2}{2}\,;\,\dfrac{1+4}{2}\right) = (1{,}5\,;\,2{,}5)$

Calcule les distances $AB$ , $CD$ et $EF$ : $A(2\,;\,3)$ , $B(2\,;\,8)$ ; $C(-1\,;\,4)$ , $D(6\,;\,4)$ ; $E(0\,;\,0)$ , $F(6\,;\,8)$ .

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{(2-2)^{2}+(8-3)^{2}} = \sqrt{0+25} = 5$ $A$ et $B$ ont la même abscisse : segment vertical
$CD = \sqrt{(6-(-1))^{2}+(4-4)^{2}} = \sqrt{49+0} = 7$ même ordonnée : segment horizontal
$EF = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

Dans un repère orthonormé, les unités sont différentes sur les deux axes.
L'abscisse s'écrit toujours en premier dans les coordonnées d'un point.
Le symétrique de $M(x\,;\,y)$ par rapport à l'origine est $(-x\,;\,-y)$ .
La formule $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$ nécessite un repère orthonormé.
Le milieu de deux points est toujours à coordonnées entières.

Voir le corrigé détaillé

1. Faux. Dans un repère orthonormé, la même unité est utilisée sur les deux axes ; c'est un repère orthogonal non orthonormé qui peut avoir des unités différentes.
2. Vrai. Par convention, $M(x\,;\,y)$ : abscisse puis ordonnée.
3. Vrai. La symétrie centrale par rapport à $O$ change le signe des deux coordonnées.
4. Vrai. La formule repose sur le théorème de Pythagore, qui exige que les deux axes soient perpendiculaires et gradués avec la même unité.
5. Faux. Par exemple, le milieu de $E(1\,;\,1)$ et $F(2\,;\,4)$ est $(1{,}5\,;\,2{,}5)$ , non entier (voir exercice 3).

Calcule, à la calculatrice si besoin (arrondi au centième) : $AB$ avec $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,6)$ ; $CD$ avec $C(0\,;\,0)$ , $D(3\,;\,5)$ ; $EF$ avec $E(-2\,;\,3)$ , $F(1\,;\,-1)$ .

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$
$CD = \sqrt{3^{2}+5^{2}} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$\approx$ $5{,}83$
$EF = \sqrt{(1-(-2))^{2}+(-1-3)^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Niveau 2 — Approfondissement

Soit $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ et $C(4\,;\,3)$ . Montre, en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, que le triangle $ABC$ est rectangle.

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{4^{2}+0^{2}} = 4$
$BC = \sqrt{0^{2}+3^{2}} = 3$
$AC = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$
le plus grand côté est $AC$ ; on compare $AC^{2}$ et $AB^{2}+BC^{2}$
$AB^{2}+BC^{2} = 16+9 = 25$
$AC^{2} = 25$
$\Rightarrow$ $AC^{2} = AB^{2}+BC^{2}$

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est donc rectangle en $B$ .

Soit $A(1\,;\,1)$ , $B(5\,;\,2)$ et $C(6\,;\,5)$ . Détermine les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Voir le corrigé détaillé

Dans un parallélogramme $ABCD$ , les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.

milieu de $[AC)] = \left(\dfrac{1+6}{2}\,;\,\dfrac{1+5}{2}\right) = (3{,}5\,;\,3)$
ce point est aussi le milieu de $[BD]$ , donc $x_D = 2\times 3{,}5 - x_B$
$=$ $7 - 5 = 2$
$y_D = 2\times 3 - y_B$
$=$ $6 - 2 = 4$
$\Rightarrow$ $D(2\,;\,4)$

Soit $M(3\,;\,5)$ . On construit $M'$ , $M''$ et $M'''$ , ses symétriques par rapport à $(Ox)$ , $(Oy)$ et $O$ . Donne leurs coordonnées, puis calcule le périmètre du rectangle formé par ces quatre points.

Voir le corrigé détaillé

$M'(3\,;\,-5)$ symétrique par rapport à $(Ox)$
$M''(-3\,;\,5)$ symétrique par rapport à $(Oy)$
$M'''(-3\,;\,-5)$ symétrique par rapport à $O$

Les quatre points $M$ , $M'$ , $M'''$ , $M''$ forment un rectangle : la largeur va de $x=-3$ à $x=3$ , soit $6$ unités ; la hauteur va de $y=-5$ à $y=5$ , soit $10$ unités.

périmètre $= 2\times(6+10)$
$=$ $2\times 16$
$=$ $32$ unités

Calcule le périmètre du triangle $ABC$ , arrondi au dixième : $A(-3\,;\,-1)$ , $B(2\,;\,2)$ , $C(0\,;\,-4)$ .

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{(2-(-3))^{2}+(2-(-1))^{2}} = \sqrt{5^{2}+3^{2}} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$
$BC = \sqrt{(0-2)^{2}+(-4-2)^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{40} \approx 6{,}32$
$CA = \sqrt{(-3-0)^{2}+(-1-(-4))^{2}} = \sqrt{(-3)^{2}+3^{2}} = \sqrt{18} \approx 4{,}24$
périmètre $\approx 5{,}83+6{,}32+4{,}24$
$\approx$ $16{,}4$ unités

Niveau 3 — Défi

Soit $A(-2\,;\,-1)$ , $B(4\,;\,-1)$ et $C(1\,;\,4)$ (figure 8).

Calcule $AB$ , $AC$ et $BC$ (valeurs exactes, puis arrondies au centième si nécessaire).
Montre que le triangle $ABC$ est isocèle en $C$ .
Calcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ , puis la longueur $CI$ .

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{(4-(-2))^{2}+(-1-(-1))^{2}} = \sqrt{6^{2}+0^{2}} = 6$
$AC = \sqrt{(1-(-2))^{2}+(4-(-1))^{2}} = \sqrt{3^{2}+5^{2}} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$
$BC = \sqrt{(1-4)^{2}+(4-(-1))^{2}} = \sqrt{(-3)^{2}+5^{2}} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$

2. On a trouvé $AC = BC = \sqrt{34}$ : deux côtés du triangle ont la même longueur, donc le triangle $ABC$ est isocèle en $C$ .

$I = \left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\,\dfrac{-1+(-1)}{2}\right) = (1\,;\,-1)$
$CI = \sqrt{(1-1)^{2}+(4-(-1))^{2}} = \sqrt{0+5^{2}}$
$=$ $5$

Figure 8 — Triangle

ABC

isocèle en

C

AC = BC = \sqrt{34}

. La médiane

[CI]

est verticale et mesure

5

Soit $A(-3\,;\,0)$ , $B(1\,;\,3)$ et $C(5\,;\,0)$ .

Calcule les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Calcule $AB$ et $BC$ . Que peux-tu en déduire sur la nature de $ABCD$ ?
Calcule le périmètre de $ABCD$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ d'un parallélogramme ont le même milieu.

milieu de $[AC] = \left(\dfrac{-3+5}{2}\,;\,\dfrac{0+0}{2}\right) = (1\,;\,0)$
$x_D = 2\times 1 - x_B = 2-1 = 1$
$y_D = 2\times 0 - y_B = 0-3 = -3$
$\Rightarrow$ $D(1\,;\,-3)$

$AB = \sqrt{(1-(-3))^{2}+(3-0)^{2}} = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = \sqrt{25} = 5$
$BC = \sqrt{(5-1)^{2}+(0-3)^{2}} = \sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt{25} = 5$

$AB = BC$ : deux côtés consécutifs d'un parallélogramme sont égaux, donc $ABCD$ est un losange.

3. Dans un losange, les quatre côtés sont égaux.

périmètre $= 4 \times AB$
$=$ $4 \times 5$
$=$ $20$ unités

Un randonneur part du point $A(-5\,;\,2)$ et rejoint le point $B(3\,;\,-4)$ en ligne droite, sur une carte où chaque unité représente $1$ km.

Calcule la distance $AB$ parcourue.
Il s'arrête exactement à mi-parcours pour se reposer. Donne les coordonnées du point de pause.
Un refuge $R(-1\,;\,-2)$ se trouve à proximité. Calcule la distance entre le point de pause et $R$ .

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{(3-(-5))^{2}+(-4-2)^{2}} = \sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}$
$=$ $\sqrt{64+36} = \sqrt{100}$
$=$ $10$ km

point de pause $P = \left(\dfrac{-5+3}{2}\,;\,\dfrac{2+(-4)}{2}\right)$
$=$ $(-1\,;\,-1)$

$PR = \sqrt{(-1-(-1))^{2}+(-2-(-1))^{2}} = \sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}$
$=$ $1$ km

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

Le terrain de Kouassi (Abidjan). Kouassi possède, à Abidjan, un terrain en forme de quadrilatère $ABCD$ (coordonnées en mètres) : $A(0\,;\,0)$ , $B(8\,;\,0)$ , $C(9\,;\,6)$ , $D(1\,;\,5)$ . Il veut l'entourer d'un grillage vendu $2\,800$ F CFA le mètre.

Calcule $AB$ , $BC$ , $CD$ et $DA$ , arrondies au dixième de mètre.
En déduire le périmètre du terrain.
Calcule le coût total du grillage, arrondi au millier de francs.

Voir le corrigé détaillé

$AB = \sqrt{(8-0)^{2}+(0-0)^{2}} = 8$ m
$BC = \sqrt{(9-8)^{2}+(6-0)^{2}} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37} \approx 6{,}1$ m
$CD = \sqrt{(1-9)^{2}+(5-6)^{2}} = \sqrt{64+1} = \sqrt{65} \approx 8{,}1$ m
$DA = \sqrt{(0-1)^{2}+(0-5)^{2}} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \approx 5{,}1$ m

périmètre $\approx 8+6{,}1+8{,}1+5{,}1$
$\approx$ $27{,}3$ m

coût $\approx 27{,}3 \times 2\,800$
$\approx$ $76\,440$ F CFA

Le grillage coûtera environ 76 000 F CFA.

Rendez-vous à Ndjamena. Fatimé habite en $(2\,;\,9)$ et son ami Idriss en $(14\,;\,1)$ , sur un plan quadrillé de Ndjamena où chaque unité représente $100$ m. Ils décident de se retrouver à mi-chemin, dans un café.

Donne les coordonnées du point de rendez-vous.
Calcule la distance parcourue par Fatimé, arrondie au mètre.
Un taxi-moto facture $150$ F CFA les $100$ m. Calcule le prix de la course de Fatimé, arrondi à la dizaine de francs.

Voir le corrigé détaillé

point de rendez-vous $= \left(\dfrac{2+14}{2}\,;\,\dfrac{9+1}{2}\right)$
$=$ $(8\,;\,5)$

distance en carreaux $= \sqrt{(8-2)^{2}+(5-9)^{2}} = \sqrt{6^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{52} \approx 7{,}21$
distance réelle $\approx 7{,}21 \times 100$
$\approx$ $721$ m

prix $\approx \dfrac{721}{100} \times 150$
$\approx$ $1\,080$ F CFA

Livraison à Dakar. Sur le plan de la figure 7, un livreur part du Marché Sandaga $(5\,;\,2)$ , livre à la Mosquée $(3\,;\,4)$ , puis termine au Stade $(1\,;\,5)$ . Un carreau représente $300$ m, et le livreur facture $250$ F CFA par km parcouru (en ligne droite entre chaque étape).

Calcule les distances Marché → Mosquée et Mosquée → Stade, en carreaux puis en mètres.
Calcule la distance totale parcourue, en km.
Calcule le prix total de la livraison, arrondi à la dizaine de francs.

Voir le corrigé détaillé

Marché $\to$ Mosquée : $\sqrt{(3-5)^{2}+(4-2)^{2}} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ carreaux $\approx 849$ m
Mosquée $\to$ Stade : $\sqrt{(1-3)^{2}+(5-4)^{2}} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ carreaux $\approx 671$ m

distance totale $\approx 849+671$
$\approx$ $1\,520$ m $\approx 1{,}52$ km

prix $\approx 1{,}52 \times 250$
$\approx$ $380$ F CFA

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8 questions

Théorème de Pythagore

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📝 QCM de fin de leçon — 20 questions

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Un repère est dit orthonormé quand :

les deux axes ont des couleurs différentes les axes sont perpendiculaires et la même unité de longueur est utilisée sur les deux axes l'origine est au centre de la feuille les axes sont perpendiculaires, sans autre condition

Explication : Orthogonal signifie que les axes sont perpendiculaires. Orthonormé ajoute une condition : la même unité sert à graduer les deux axes.

Dans les coordonnées d'un point $M(x\,;\,y)$ , que représente $x$ ?

l'ordonnée la distance à l'origine l'abscisse le rayon

Explication : Dans

M(x\,;\,y)

x

est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal) et

y

est l'ordonnée (lue sur l'axe vertical). L'abscisse s'écrit toujours en premier.

$A(3\,;\,2)$ et $A(2\,;\,3)$ sont-ils le même point ?

non, ce sont deux points différents oui, l'ordre des coordonnées n'a pas d'importance oui, car la somme

3+2

est la même on ne peut pas savoir sans figure

Explication : L'ordre compte : l'abscisse s'écrit toujours en premier.

A(3\,;\,2)

n'a pas la même abscisse que

A(2\,;\,3)

: ce sont deux points différents.

Un point a une abscisse positive et une ordonnée négative. Où se trouve-t-il ?

en haut à droite en haut à gauche en bas à gauche en bas à droite

Explication : Abscisse positive : à droite de l'origine. Ordonnée négative : en dessous de l'origine. Le point est donc en bas à droite.

On veut placer le point $M(-4\,;\,3)$ . Que fait-on à partir de l'origine $O$ ?

4 unités vers la droite, puis 3 vers le bas 4 unités vers la gauche, puis 3 vers le haut 3 unités vers la gauche, puis 4 vers le haut 4 unités vers le haut, puis 3 vers la gauche

Explication : On se déplace d'abord de

x=-4

unités horizontalement (donc vers la gauche), puis de

y=3

unités verticalement (donc vers le haut).

Soit $A(5\,;\,2)$ . Quelles sont les coordonnées du symétrique de $A$ par rapport à l'axe des abscisses $(Ox)$ ?

(-5\,;\,2)

(-5\,;\,-2)

(5\,;\,-2)

(2\,;\,5)

Explication : Par rapport à l'axe des abscisses, l'ordonnée change de signe et l'abscisse ne change pas :

(x\,;\,y) \to (x\,;\,-y)

, donc

(5\,;\,-2)

Soit $A(5\,;\,2)$ . Quelles sont les coordonnées du symétrique de $A$ par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ ?

(-5\,;\,2)

(5\,;\,-2)

(-5\,;\,-2)

(5\,;\,2)

Explication : Par rapport à l'axe des ordonnées, l'abscisse change de signe et l'ordonnée ne change pas :

(x\,;\,y) \to (-x\,;\,y)

, donc

(-5\,;\,2)

Soit $A(5\,;\,2)$ . Quelles sont les coordonnées du symétrique de $A$ par rapport à l'origine $O$ ?

(5\,;\,2)

(5\,;\,-2)

(-5\,;\,2)

(-5\,;\,-2)

Explication : Par rapport à l'origine, les deux coordonnées changent de signe :

(x\,;\,y) \to (-x\,;\,-y)

, donc

(-5\,;\,-2)

Pour la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, quelle erreur font souvent les élèves ?

ils changent le signe des deux coordonnées ils changent le signe de l'abscisse au lieu de l'ordonnée ils ne changent aucun signe ils échangent l'abscisse et l'ordonnée

Explication : Pour la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, c'est l'ordonnée qui change de signe, pas l'abscisse. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente.

Comment calcule-t-on l'abscisse du milieu $I$ du segment $[AB]$ , avec $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ ?

x_I = x_B - x_A

x_I = x_A \times x_B

x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}

x_I = x_A + x_B

Explication : L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses de

A

B

x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}

. Même formule pour l'ordonnée.

Soit $A(-3\,;\,-2)$ et $B(5\,;\,4)$ . Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?

I(1\,;\,1)

I(2\,;\,2)

I(8\,;\,6)

I(1\,;\,3)

Explication :

x_I = \dfrac{-3+5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1

y_I = \dfrac{-2+4}{2} = \dfrac{2}{2} = 1

d'où

I(1\,;\,1)

Soit $C(1\,;\,2)$ et $D(4\,;\,5)$ . Quelles sont les coordonnées du milieu $J$ de $[CD]$ ?

J(3\,;\,3)

J(5\,;\,7)

J(2\,;\,2)

J(2{,}5\,;\,3{,}5)

Explication :

x_J = \dfrac{1+4}{2} = 2{,}5

y_J = \dfrac{2+5}{2} = 3{,}5

d'où

J(2{,}5\,;\,3{,}5)

. Le milieu n'a pas toujours des coordonnées entières.

Quelle formule permet de calculer la distance $AB$ entre $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ dans un repère orthonormé ?

AB = (x_B - x_A) + (y_B - y_A)

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}

AB = (x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}

AB = \sqrt{x_B^{2} + y_B^{2}}

Explication : Cette formule vient du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections de

A

B

sur les axes.

Soit $A(-3\,;\,-3)$ et $B(0\,;\,1)$ . Que vaut la distance $AB$ ?

7 25 5

\sqrt{7}

Explication :

x_B-x_A = 0-(-3) = 3

y_B-y_A = 1-(-3) = 4

AB = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}

= 5

(triangle 3-4-5)

Soit $E(1\,;\,1)$ et $F(4\,;\,5)$ . Que vaut la distance $EF$ ?

5 7 4 25

Explication :

x_F-x_E = 4-1 = 3

y_F-y_E = 5-1 = 4

EF = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

Pourquoi la formule de la distance $AB$ fonctionne-t-elle grâce au théorème de Pythagore ?

parce que

A

B

sont toujours sur le même axe parce que

A

B

sont toujours symétriques parce que

O

A

B

forment toujours un triangle équilatéral parce que le point

C(x_B\,;\,y_A)

permet de former un triangle rectangle en

C

Explication : En construisant

C(x_B\,;\,y_A)

, le triangle

ABC

est rectangle en

C

(AC)

est horizontale et

(CB)

est verticale. Le théorème de Pythagore donne alors

AB^{2} = AC^{2}+CB^{2}

Peut-on utiliser la formule $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}$ dans un repère orthogonal qui n'est pas orthonormé ?

oui, cela fonctionne toujours non, il faut un repère orthonormé (même unité sur les deux axes) oui, mais seulement si les coordonnées sont positives oui, à condition de multiplier le résultat par 2

Explication : Le théorème de Pythagore suppose que les longueurs sont mesurées avec la même unité sur les deux axes : cette formule n'est valable que dans un repère orthonormé.

Dans un repère, $A$ , $B$ et $C$ sont les sommets d'un triangle. Comment calcule-t-on le périmètre du triangle $ABC$ ?

on multiplie

AB

BC

CA

on calcule seulement la distance

AB

on additionne les trois distances

AB

BC

CA

on calcule la moyenne des trois distances

Explication : Le périmètre d'une figure est la somme des longueurs de tous ses côtés : ici, on calcule chaque distance avec la formule de Pythagore, puis on les additionne.

Dans un parallélogramme $ABCD$ , que peut-on dire des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ?

elles ont le même milieu elles ont la même longueur elles sont perpendiculaires elles sont parallèles

Explication : Dans un parallélogramme, les diagonales

[AC]

[BD]

se coupent en leur milieu commun : c'est une propriété très utile pour vérifier ou construire un parallélogramme avec des coordonnées.

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ , avec $A(2\,;\,1)$ et $I(5\,;\,3)$ . Quelles sont les coordonnées de $B$ ?

B(3\,;\,2)

B(3{,}5\,;\,2)

B(7\,;\,4)

B(8\,;\,5)

Explication : On « renverse » la formule du milieu :

x_B = 2x_I - x_A

y_B = 2y_I - y_A

x_B = 2 \times 5 - 2 = 8

y_B = 2 \times 3 - 1 = 5

d'où

B(8\,;\,5)

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Classe : Classe de Quatrième
Matière : Mathématiques
Durée estimée : 5 h
6 parties · 3 objectifs
Supports inclus : fiche, exercices corrigés, QCM

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