Avec le théorème de Pythagore, tu sais relier les longueurs d’un triangle rectangle entre elles. Avec Thalès, tu sais relier des longueurs proportionnelles. Mais aucun de ces deux outils ne parle des angles. La trigonométrie comble ce manque : elle établit un pont entre les angles et les longueurs. À partir d’un angle et d’une seule longueur, elle permet de tout calculer — c’est ce qui la rend indispensable aux géomètres, aux marins, aux architectes et aux astronomes depuis plus de deux mille ans.

1Le vocabulaire : trois côtés, deux points de vue

Toute la trigonométrie de 3ème se joue dans un triangle rectangle. Il faut donc commencer par nommer ses côtés avec précision — et cette précision réserve une surprise.

Définition — hypoténuse

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le plus long des trois côtés.

L’hypoténuse ne dépend de rien d’autre que de la position de l’angle droit : elle est la même quel que soit l’angle que l’on étudie. Les deux autres côtés, en revanche, changent de nom selon l’angle aigu que l’on regarde.

Définition — côté adjacent et côté opposé

On choisit un angle aigu du triangle rectangle. Alors :

le côté adjacent à cet angle est celui des deux côtés de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse — c’est le côté qui touche l’angle ;
le côté opposé à cet angle est celui qui ne le touche pas — c’est le côté d’en face.

Figure 1 — Triangle

ABC

rectangle en

A

. Vu depuis l’angle

\widehat{B}

[AB]

est le côté adjacent,

[AC]

le côté opposé,

[BC]

l’hypoténuse.

Regardons maintenant le même triangle, mais depuis l’autre angle aigu.

Figure 2 — Le même triangle vu depuis l’angle

\widehat{C}

[AC]

est devenu le côté adjacent et

[AB]

le côté opposé. Seule l’hypoténuse n’a pas bougé.

Attention

Adjacent et opposé ne sont pas des propriétés du côté : ce sont des rôles, qui dépendent entièrement de l’angle choisi. Avant tout calcul, écris toujours : « pour l’angle $\widehat{B}$ , l’adjacent est… ».

Important : Un moyen sûr de ne pas se tromper : place ton doigt sur l’angle étudié. Le côté que ton doigt touche et qui n’est pas l’hypoténuse est l’adjacent ; celui qui est en face, de l’autre côté du triangle, est l’opposé.

2Cosinus, sinus et tangente

Voici l’idée décisive. Si l’on garde le même angle et que l’on agrandit ou réduit le triangle, toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre (c’est Thalès). Les rapports de deux côtés, eux, ne changent pas : ils ne dépendent que de l’angle. Ce sont ces rapports que l’on appelle cosinus, sinus et tangente.

Définition — cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

Soit $x$ un angle aigu d’un triangle rectangle. On pose :

$\cos x = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

$\sin x = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

$\tan x = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , pour l’angle $\widehat{B}$ , cela donne concrètement :

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$
$\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC}$
$\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}$

2.1 Le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA

Ces trois formules se retiennent grâce à trois mots barbares que les élèves du monde entier se transmettent : SOH — CAH — TOA. Chaque groupe de trois lettres donne une fonction, puis son numérateur, puis son dénominateur.

Figure 3 — Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent.

Important : Deux formules sur trois contiennent l’hypoténuse. La tangente est la seule qui ne l’utilise pas : c’est elle qu’il faut penser à choisir quand l’hypoténuse n’est ni connue ni cherchée.

Propriété — encadrement du cosinus et du sinus

Pour tout angle aigu $x$ :

$0 < \cos x < 1 \qquad \text{et} \qquad 0 < \sin x < 1$

Démonstration

Le cosinus et le sinus sont des quotients de longueurs, donc des nombres strictement positifs.

De plus, l’hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle.

$\text{côté adjacent} < \text{hypoténuse}$ l’hypoténuse est le plus grand côté
$\Rightarrow$ $\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} < 1$ on divise par l’hypoténuse, qui est positive
$\Rightarrow$ $\cos x < 1$

Le raisonnement est identique pour le sinus. C.Q.F.D.

Attention

Si tu trouves $\cos x = 1{,}4$ , c’est forcément une erreur : tu as sans doute inversé le numérateur et le dénominateur. La tangente, elle, peut dépasser $1$ sans problème.

3Calculer une longueur

Méthode — calculer une longueur avec la trigonométrie

Repérer le triangle rectangle et l’angle aigu connu.
Nommer, pour cet angle, l’hypoténuse, l’adjacent et l’opposé.
Choisir la formule qui relie la longueur connue, la longueur cherchée et l’angle : c’est la seule des trois qui ne fasse intervenir aucune autre longueur.
Écrire l’égalité, puis isoler l’inconnue par un produit en croix.
Calculer à la calculatrice, en mode degré, et arrondir comme demandé.

Attention — la calculatrice doit être en mode degré

Un petit D ou DEG doit apparaître à l’écran. S’il affiche R, RAD ou G, les résultats seront faux. Test de contrôle : $\cos 60\dg$ doit donner exactement $0{,}5$ .

Exemple — calculer les deux côtés de l’angle droit

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 35\dg$ et $BC = 8$ cm. Calcule $AB$ et $AC$ , arrondis au dixième de centimètre.

Figure 4 — Pour l’angle

\widehat{B}

[AB]

est l’adjacent,

[AC]

l’opposé,

[BC]

l’hypoténuse.

Calcul de $AB$ . On connaît l’hypoténuse, on cherche l’adjacent : c’est le cosinus.

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$ CAH
$\Rightarrow$ $\cos 35\dg = \dfrac{AB}{8}$
$\Rightarrow$ $AB = 8 \times \cos 35\dg$
$\approx$ $8 \times 0{,}8192$
$\approx$ $6{,}6$

Calcul de $AC$ . On connaît l’hypoténuse, on cherche l’opposé : c’est le sinus.

$\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC}$ SOH
$\Rightarrow$ $\sin 35\dg = \dfrac{AC}{8}$
$\Rightarrow$ $AC = 8 \times \sin 35\dg$
$\approx$ $8 \times 0{,}5736$
$\approx$ $4{,}6$

Conclusion. $AB \approx 6{,}6$ cm et $AC \approx 4{,}6$ cm.

Vérification par Pythagore : $6{,}6^2 + 4{,}6^2 = 43{,}56 + 21{,}16 = 64{,}72$ , et $8^2 = 64$ . L’écart vient uniquement des arrondis : c’est cohérent.

Exemple — quand l’hypoténuse n’intervient pas : la tangente

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 28\dg$ et $AB = 12$ m. Calcule $AC$ , arrondi au dixième.

Pour l’angle $\widehat{B}$ , $[AB]$ est l’adjacent (connu) et $[AC]$ l’opposé (cherché). L’hypoténuse n’apparaît pas : on utilise la tangente.

$\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}$ TOA
$\Rightarrow$ $\tan 28\dg = \dfrac{AC}{12}$
$\Rightarrow$ $AC = 12 \times \tan 28\dg$
$\approx$ $12 \times 0{,}5317$
$\approx$ $6{,}4$

Conclusion. $AC \approx 6{,}4$ m.

Exemple — quand l’inconnue est au dénominateur

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{C} = 40\dg$ et $AC = 5$ cm. Calcule $BC$ , arrondi au dixième.

Pour l’angle $\widehat{C}$ , $[AC]$ est l’adjacent et $[BC]$ l’hypoténuse : c’est le cosinus.

$\cos \widehat{C} = \dfrac{AC}{BC}$ CAH
$\Rightarrow$ $\cos 40\dg = \dfrac{5}{BC}$
$\Rightarrow$ $BC \times \cos 40\dg = 5$ produit en croix
$\Rightarrow$ $BC = \dfrac{5}{\cos 40\dg}$
$\approx$ $\dfrac{5}{0{,}766}$
$\approx$ $6{,}5$

Conclusion. $BC \approx 6{,}5$ cm. L’hypoténuse est bien plus longue que le côté $[AC]$ : le résultat est plausible.

4Calculer la mesure d’un angle

On peut aussi remonter dans l’autre sens : à partir de deux longueurs, retrouver l’angle. La calculatrice possède pour cela trois touches spéciales, souvent en seconde fonction : $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ et $\tan^{-1}$ (parfois notées $\arccos$ , $\arcsin$ , $\arctan$ ).

Méthode — calculer un angle

Nommer les deux longueurs connues par rapport à l’angle cherché.
Choisir la formule adaptée et calculer la valeur du rapport.
Appliquer la touche inverse correspondante pour obtenir l’angle.
Arrondir au degré près (ou comme demandé) et conclure.

Attention

La notation $\cos^{-1}$ ne signifie pas $\dfrac{1}{\cos}$ . C’est la touche qui « annule » le cosinus, exactement comme la racine carrée annule le carré.

Exemple — retrouver un angle à partir de deux longueurs

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 5$ cm et $BC = 9$ cm. Calcule la mesure de l’angle $\widehat{B}$ , arrondie au degré près.

Figure 5 — On connaît l’adjacent

AB

et l’hypoténuse

BC

: c’est donc le cosinus qu’il faut utiliser.

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$ CAH
$\Rightarrow$ $\cos \widehat{B} = \dfrac{5}{9}$
$\approx$ $0{,}5556$
$\Rightarrow$ $\widehat{B} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{5}{9}\right)$ touche inverse
$\approx$ $56{,}25\dg$
$\approx$ $56\dg$

Conclusion. $\widehat{B} \approx 56\dg$ .

On peut au passage en déduire le troisième angle :

$\widehat{C} = 90\dg - \widehat{B}$ les angles aigus sont complémentaires
$\approx$ $90\dg - 56\dg$
$\approx$ $34\dg$

Important : Ne saisis jamais la valeur arrondie du rapport dans la touche inverse : garde

\dfrac{5}{9}

tel quel dans la calculatrice. Arrondir trop tôt peut faire perdre un degré entier.

5Deux relations à connaître

5.1 La relation fondamentale

Théorème — relation fondamentale de la trigonométrie

Pour tout angle aigu $x$ :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

où $\cos^2 x$ est une abréviation de $(\cos x)^2$ .

Figure 6 — Le triangle de la démonstration : rectangle en

A

, avec

\widehat{B} = x

Démonstration

Plaçons-nous dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = x$ .

Par définition :

$\cos x = \dfrac{AB}{BC}$
$\sin x = \dfrac{AC}{BC}$

On élève chacun au carré, puis on additionne :

$\cos^2 x + \sin^2 x = \left(\dfrac{AB}{BC}\right)^{2} + \left(\dfrac{AC}{BC}\right)^{2}$
$=$ $\dfrac{AB^{2}}{BC^{2}} + \dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}$ carré d’un quotient
$=$ $\dfrac{AB^{2} + AC^{2}}{BC^{2}}$ même dénominateur

Or le triangle est rectangle en $A$ : le théorème de Pythagore donne $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$ .

$\cos^2 x + \sin^2 x = \dfrac{BC^{2}}{BC^{2}}$ on remplace le numérateur
$=$ $1$

La relation est démontrée. C.Q.F.D.

Exemple — utiliser la relation fondamentale

On sait que $\sin x = 0{,}6$ . Calcule $\cos x$ sans calculatrice.

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
$\Rightarrow$ $\cos^2 x + 0{,}6^2 = 1$
$\Rightarrow$ $\cos^2 x + 0{,}36 = 1$
$\Rightarrow$ $\cos^2 x = 0{,}64$
$\Rightarrow$ $\cos x = \sqrt{0{,}64}$ car $\cos x > 0$ pour un angle aigu
$\Rightarrow$ $\cos x = 0{,}8$

5.2 Le lien entre la tangente, le sinus et le cosinus

Théorème

Pour tout angle aigu $x$ :

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$

Démonstration

Toujours dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = x$ :

$\dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\,\dfrac{AC}{BC}\,}{\dfrac{AB}{BC}}$ on remplace par les définitions
$=$ $\dfrac{AC}{BC} \times \dfrac{BC}{AB}$ diviser, c’est multiplier par l’inverse
$=$ $\dfrac{AC \times BC}{BC \times AB}$
$=$ $\dfrac{AC}{AB}$ on simplifie par $BC$
$=$ $\tan x$ définition de la tangente

La relation est démontrée. C.Q.F.D.

Exemple — enchaîner les deux relations

On reprend $\sin x = 0{,}6$ , d’où $\cos x = 0{,}8$ . Calcule $\tan x$ .

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
$=$ $\dfrac{0{,}6}{0{,}8}$
$=$ $0{,}75$

5.3 Les valeurs remarquables

Trois angles reviennent sans arrêt : $30\dg$ , $45\dg$ et $60\dg$ . Leurs cosinus, sinus et tangentes sont des valeurs exactes, que l’on peut retrouver géométriquement.

Figure 7 — À gauche, la moitié d’un carré de côté

1

donne les valeurs de

45\dg

. À droite, la moitié d’un triangle équilatéral de côté

2

donne celles de

30\dg

et de

60\dg

Angle $x$	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$
$30\dg$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$	$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$
$45\dg$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$	$1$
$60\dg$	$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$	$\sqrt{3} \approx 1{,}732$

On lit ces valeurs directement sur les figures. Par exemple, dans le demi-triangle équilatéral, l’angle de $30\dg$ a pour côté opposé $1$ et pour hypoténuse $2$ :

$\sin 30\dg = \dfrac{1}{2}$ opposé sur hypoténuse

Important : Remarque la symétrie du tableau :

\cos 30\dg = \sin 60\dg

\sin 30\dg = \cos 60\dg

. Ce n’est pas un hasard — c’est la propriété des angles complémentaires, que tu démontreras en exercice.

6Applications concrètes

Math & Co — des cordes de Hipparque au sinus des astronomes arabes

La trigonométrie naît de l’astronomie. Au IIe siècle avant notre ère, Hipparque de Nicée construit la première table de cordes connue : pour chaque angle au centre d’un cercle, il note la longueur de la corde correspondante. C’est l’ancêtre direct de nos tables de sinus, et il est souvent présenté comme le fondateur de la trigonométrie.

Trois siècles plus tard, Claude Ptolémée reprend et perfectionne ce travail dans l’*Almageste*, avec une table de cordes de demi-degré en demi-degré, d’une précision remarquable pour l’époque.

Ce sont les mathématiciens indiens, puis les savants du monde arabo-musulman, qui remplacent la corde par la demi-corde — bien plus commode. Al-Battânî (vers 858-929), astronome de Raqqa, calcule des tables de sinus et de tangentes qui serviront en Europe pendant des siècles. Abû al-Wafâ’ (940-998), à Bagdad, systématise l’usage de la tangente et établit de nombreuses relations trigonométriques.

Le mot « sinus » lui-même garde la trace de ce voyage : l’arabe jayb, transcription d’un mot sanskrit désignant la corde, signifie aussi « pli, repli ». Les traducteurs latins du Moyen Âge l’ont rendu par sinus, qui veut dire… « pli » ou « baie ». Le nom de notre fonction vient donc d’un contresens de traduction.

6.1 La pente d’une route

Sur les panneaux routiers, une pente est indiquée en pourcentage : « $12\ \%$ » signifie que la route monte de $12$ m quand on avance de $100$ m à l’horizontale. Or ce rapport est exactement une tangente.

Figure 8 — La pente en pourcentage est le rapport

\dfrac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}}

, c’est-à-dire la tangente de l’angle

\alpha

que fait la route avec l’horizontale.

Exemple — à quel angle correspond une pente de 12 % ?

$\tan \alpha = \dfrac{12}{100}$ TOA
$=$ $0{,}12$
$\Rightarrow$ $\alpha = \tan^{-1}(0{,}12)$
$\approx$ $6{,}84\dg$

Une pente de $12\ \%$ correspond donc à un angle d’environ $6{,}8\dg$ seulement. Les angles routiers sont toujours plus petits qu’on ne l’imagine.

6.2 La hauteur d’un mât

Exemple — le mât et son hauban

Un mât vertical est maintenu par un hauban tendu du sommet $S$ jusqu’à un piquet $A$ planté au sol, à $8$ m du pied $P$ du mât. Le hauban fait un angle de $62\dg$ avec le sol. Calcule la hauteur du mât, puis la longueur du hauban, au dixième de mètre.

Figure 9 — Le triangle

PAS

est rectangle en

P

: on connaît un angle et le côté adjacent.

Hauteur du mât. Pour l’angle $\widehat{A} = 62\dg$ , $[PA]$ est l’adjacent (connu) et $[PS]$ l’opposé (cherché) : tangente.

$\tan \widehat{A} = \dfrac{PS}{PA}$ TOA
$\Rightarrow$ $\tan 62\dg = \dfrac{PS}{8}$
$\Rightarrow$ $PS = 8 \times \tan 62\dg$
$\approx$ $8 \times 1{,}8807$
$\approx$ $15{,}0$

Longueur du hauban. Cette fois, $[AS]$ est l’hypoténuse : cosinus.

$\cos \widehat{A} = \dfrac{PA}{AS}$ CAH
$\Rightarrow$ $\cos 62\dg = \dfrac{8}{AS}$
$\Rightarrow$ $AS \times \cos 62\dg = 8$
$\Rightarrow$ $AS = \dfrac{8}{\cos 62\dg}$
$\approx$ $\dfrac{8}{0{,}4695}$
$\approx$ $17{,}0$

Conclusion. Le mât mesure environ $15{,}0$ m et le hauban environ $17{,}0$ m.

Fiche mémo

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; adjacent et opposé dépendent de l’angle choisi.
SOH : $\sin x = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ .
CAH : $\cos x = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ .
TOA : $\tan x = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .
Pour un angle aigu : $0 < \cos x < 1$ et $0 < \sin x < 1$ .
Pour trouver un angle : touches $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ , $\tan^{-1}$ , calculatrice en mode degré.
Relation fondamentale : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (démontrée avec Pythagore).
Lien : $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ .
Valeurs exactes : $\sin 30\dg = \dfrac{1}{2}$ , $\cos 45\dg = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan 60\dg = \sqrt{3}$ .
Une pente en pourcentage est une tangente : $12\ \% \Rightarrow \tan \alpha = 0{,}12$ .

Niveau 1 — Application directe

Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ . Pour l’angle $\widehat{T}$ , nomme l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé. Recommence ensuite pour l’angle $\widehat{S}$ .

Figure 10 — Triangle

RST

rectangle en

R

Voir le corrigé détaillé

L’angle droit est en $R$ , donc l’hypoténuse est le côté opposé à $R$ : c’est $[ST]$ . Elle ne change pas d’un angle à l’autre.

Pour l’angle $\widehat{T}$ :

hypoténuse : $[ST]$ ;
côté adjacent : $[RT]$ , car il touche l’angle $\widehat{T}$ sans être l’hypoténuse ;
côté opposé : $[RS]$ , qui est en face.

Pour l’angle $\widehat{S}$ :

hypoténuse : $[ST]$ ;
côté adjacent : $[RS]$ ;
côté opposé : $[RT]$ .

Les rôles d’adjacent et d’opposé se sont échangés : c’est normal, on a changé d’angle.

Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ . Écris $\cos \widehat{M}$ , $\sin \widehat{M}$ et $\tan \widehat{M}$ sous forme de quotients de longueurs.

Voir le corrigé détaillé

L’angle droit est en $N$ , donc l’hypoténuse est $[MP]$ . Pour l’angle $\widehat{M}$ , l’adjacent est $[MN]$ et l’opposé est $[NP]$ .

$\cos \widehat{M} = \dfrac{MN}{MP}$ CAH
$\sin \widehat{M} = \dfrac{NP}{MP}$ SOH
$\tan \widehat{M} = \dfrac{NP}{MN}$ TOA

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 52\dg$ et $BC = 7$ cm. Calcule $AB$ , arrondi au dixième de centimètre.

Figure 11 — On connaît l’hypoténuse et on cherche l’adjacent de l’angle

\widehat{B}

Voir le corrigé détaillé

Pour l’angle $\widehat{B}$ , $[AB]$ est l’adjacent et $[BC]$ l’hypoténuse : on utilise le cosinus.

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$ CAH
$\Rightarrow$ $\cos 52\dg = \dfrac{AB}{7}$
$\Rightarrow$ $AB = 7 \times \cos 52\dg$
$\approx$ $7 \times 0{,}6157$
$\approx$ $4{,}3$

On obtient $AB \approx 4{,}3$ cm.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{C} = 33\dg$ et $AC = 9$ cm. Calcule $AB$ , arrondi au dixième.

Voir le corrigé détaillé

Pour l’angle $\widehat{C}$ , $[AC]$ est l’adjacent (connu) et $[AB]$ l’opposé (cherché). L’hypoténuse n’intervient pas : c’est la tangente.

$\tan \widehat{C} = \dfrac{AB}{AC}$ TOA
$\Rightarrow$ $\tan 33\dg = \dfrac{AB}{9}$
$\Rightarrow$ $AB = 9 \times \tan 33\dg$
$\approx$ $9 \times 0{,}6494$
$\approx$ $5{,}8$

On obtient $AB \approx 5{,}8$ cm.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 4$ cm et $BC = 6{,}5$ cm. Calcule la mesure de l’angle $\widehat{B}$ , arrondie au degré près.

Figure 12 — Deux longueurs connues, un angle cherché : il faut une touche inverse.

Voir le corrigé détaillé

Pour l’angle $\widehat{B}$ , on connaît l’adjacent $AB$ et l’hypoténuse $BC$ : cosinus.

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$ CAH
$\Rightarrow$ $\cos \widehat{B} = \dfrac{4}{6{,}5}$
$\approx$ $0{,}6154$
$\Rightarrow$ $\widehat{B} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{6{,}5}\right)$
$\approx$ $52{,}02\dg$
$\approx$ $52\dg$

On obtient $\widehat{B} \approx 52\dg$ .

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

Il existe un angle aigu $x$ tel que $\cos x = 1{,}2$ .
Il existe un angle aigu $x$ tel que $\tan x = 4$ .
Si $x$ est un angle aigu, alors $\sin x < 1$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Faux. Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de l’adjacent par l’hypoténuse. Or l’hypoténuse est le plus long côté, donc ce quotient est toujours strictement inférieur à $1$ .

2. Vrai. La tangente est le quotient de l’opposé par l’adjacent : aucun des deux n’est l’hypoténuse, donc rien n’empêche l’opposé d’être bien plus grand que l’adjacent. Par exemple $\tan^{-1}(4) \approx 76\dg$ .

3. Vrai. Même argument qu’au 1 : l’opposé est plus court que l’hypoténuse, donc $\sin x < 1$ .

Niveau 2 — Approfondissement

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm.

Figure 13 — Les deux côtés de l’angle droit sont connus.

Calcule $BC$ .
Calcule les mesures des angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ , arrondies au dixième de degré.
Vérifie que $\widehat{B} + \widehat{C} = 90\dg$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Le triangle est rectangle en $A$ : on applique le théorème de Pythagore.

$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$=$ $3^2 + 4^2$
$=$ $9 + 16$
$=$ $25$
$\Rightarrow$ $BC = 5$

2. Pour l’angle $\widehat{B}$ , l’opposé est $AC = 4$ et l’adjacent est $AB = 3$ : tangente.

$\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}$
$=$ $\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow$ $\widehat{B} = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right)$
$\approx$ $53{,}1\dg$

Pour l’angle $\widehat{C}$ , l’opposé est $AB = 3$ et l’adjacent est $AC = 4$ :

$\tan \widehat{C} = \dfrac{AB}{AC}$
$=$ $\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow$ $\widehat{C} = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{3}{4}\right)$
$\approx$ $36{,}9\dg$

3. Vérification :

$53{,}1 + 36{,}9 = 90$

La somme vaut bien $90\dg$ : c’est logique, puisque la somme des trois angles d’un triangle fait $180\dg$ et que l’angle en $A$ vaut déjà $90\dg$ .

On sait que $x$ est un angle aigu vérifiant $\cos x = \dfrac{5}{13}$ . Calcule les valeurs exactes de $\sin x$ puis de $\tan x$ .

Voir le corrigé détaillé

On applique la relation fondamentale.

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
$\Rightarrow$ $\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2} + \sin^2 x = 1$
$\Rightarrow$ $\dfrac{25}{169} + \sin^2 x = 1$
$\Rightarrow$ $\sin^2 x = 1 - \dfrac{25}{169}$
$\Rightarrow$ $\sin^2 x = \dfrac{144}{169}$
$\Rightarrow$ $\sin x = \dfrac{12}{13}$ car $\sin x > 0$

On en déduit la tangente :

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
$=$ $\dfrac{\,\dfrac{12}{13}\,}{\dfrac{5}{13}}$
$=$ $\dfrac{12}{13} \times \dfrac{13}{5}$
$=$ $\dfrac{12}{5}$
$=$ $2{,}4$

Un mur $[AB]$ est vertical et le sol $[AD]$ est horizontal, avec $AB = 6$ m. Depuis le sommet $B$ du mur, on vise deux repères $C$ et $D$ posés au sol. La visée vers $C$ fait un angle de $25\dg$ avec le mur, celle vers $D$ un angle de $40\dg$ .

Figure 14 — Deux triangles rectangles emboîtés, de sommet commun

B

et de côté commun

[AB]

Calcule $AC$ puis $AD$ , au centième de mètre.
En déduis la distance $CD$ .

Voir le corrigé détaillé

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Pour l’angle $\widehat{ABC} = 25\dg$ , $[AB]$ est l’adjacent et $[AC]$ l’opposé : tangente.

$\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB}$ TOA
$\Rightarrow$ $\tan 25\dg = \dfrac{AC}{6}$
$\Rightarrow$ $AC = 6 \times \tan 25\dg$
$\approx$ $6 \times 0{,}4663$
$\approx$ $2{,}80$

Le triangle $ABD$ est lui aussi rectangle en $A$ :

$\tan \widehat{ABD} = \dfrac{AD}{AB}$ TOA
$\Rightarrow$ $\tan 40\dg = \dfrac{AD}{6}$
$\Rightarrow$ $AD = 6 \times \tan 40\dg$
$\approx$ $6 \times 0{,}8391$
$\approx$ $5{,}03$

2. Le point $C$ appartient au segment $[AD]$ :

$CD = AD - AC$
$\approx$ $5{,}03 - 2{,}80$
$\approx$ $2{,}23$

La distance $CD$ vaut environ $2{,}23$ m.

Un triangle rectangle a une hypoténuse de $10$ cm et l’un de ses angles aigus mesure $37\dg$ . Calcule son aire, arrondie au centimètre carré.

Voir le corrigé détaillé

Notons $ABC$ ce triangle, rectangle en $A$ , avec $BC = 10$ cm et $\widehat{B} = 37\dg$ . Les deux côtés de l’angle droit sont $[AB]$ et $[AC]$ .

$AB = BC \times \cos \widehat{B}$ CAH
$=$ $10 \times \cos 37\dg$
$\approx$ $7{,}986$

$AC = BC \times \sin \widehat{B}$ SOH
$=$ $10 \times \sin 37\dg$
$\approx$ $6{,}018$

L’aire d’un triangle rectangle est le demi-produit des côtés de l’angle droit :

$\mathcal{A} = \dfrac{AB \times AC}{2}$
$\approx$ $\dfrac{7{,}986 \times 6{,}018}{2}$
$\approx$ $\dfrac{48{,}06}{2}$
$\approx$ $24{,}0$

L’aire vaut environ $24$ cm $^2$ .

Sans calculatrice, en utilisant le tableau des valeurs remarquables : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 30\dg$ et $BC = 12$ cm. Donne les valeurs exactes de $AC$ et de $AB$ .

Voir le corrigé détaillé

Pour l’angle $\widehat{B}$ , $[AC]$ est l’opposé et $[BC]$ l’hypoténuse : sinus.

$AC = BC \times \sin 30\dg$ SOH
$=$ $12 \times \dfrac{1}{2}$
$=$ $6$

Pour $AB$ , adjacent et hypoténuse : cosinus.

$AB = BC \times \cos 30\dg$ CAH
$=$ $12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=$ $6\sqrt{3}$

Les valeurs exactes sont $AC = 6$ cm et $AB = 6\sqrt{3}$ cm, soit environ $10{,}4$ cm.

Niveau 3 — Défi

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ . Démontre que $\sin \widehat{B} = \cos \widehat{C}$ , puis que $\tan \widehat{B} \times \tan \widehat{C} = 1$ .

Figure 15 — Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut

90\dg

Voir le corrigé détaillé

Première égalité. Pour l’angle $\widehat{B}$ , le côté opposé est $[AC]$ et l’hypoténuse est $[BC]$ .

$\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC}$ SOH

Pour l’angle $\widehat{C}$ , le côté adjacent est $[AC]$ et l’hypoténuse est toujours $[BC]$ .

$\cos \widehat{C} = \dfrac{AC}{BC}$ CAH

Les deux quotients sont identiques, donc $\sin \widehat{B} = \cos \widehat{C}$ . C.Q.F.D.

C’est cette propriété qui explique la symétrie du tableau des valeurs remarquables, puisque $30\dg$ et $60\dg$ sont complémentaires.

Seconde égalité.

$\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}$ TOA
$\tan \widehat{C} = \dfrac{AB}{AC}$ TOA, les rôles sont échangés

$\tan \widehat{B} \times \tan \widehat{C} = \dfrac{AC}{AB} \times \dfrac{AB}{AC}$
$=$ $\dfrac{AC \times AB}{AB \times AC}$
$=$ $1$

Les tangentes de deux angles complémentaires sont donc inverses l’une de l’autre. C.Q.F.D.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On sait seulement que $\tan \widehat{B} = 2$ et que $AB = 5$ cm.

Calcule $AC$ .
Calcule la valeur exacte de $BC$ .
Calcule la mesure de $\widehat{B}$ , arrondie au dixième de degré.

Voir le corrigé détaillé

1. Pour l’angle $\widehat{B}$ , l’opposé est $[AC]$ et l’adjacent est $[AB]$ .

$\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}$ TOA
$\Rightarrow$ $2 = \dfrac{AC}{5}$
$\Rightarrow$ $AC = 2 \times 5$
$\Rightarrow$ $AC = 10$

2. Le triangle est rectangle en $A$ : théorème de Pythagore.

$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$=$ $5^2 + 10^2$
$=$ $25 + 100$
$=$ $125$
$\Rightarrow$ $BC = \sqrt{125}$
$=$ $\sqrt{25 \times 5}$
$=$ $5\sqrt{5}$

La valeur exacte est $BC = 5\sqrt{5}$ cm, soit environ $11{,}2$ cm.

$\widehat{B} = \tan^{-1}(2)$
$\approx$ $63{,}4\dg$

Démontre que, pour tout angle aigu $x$ :

$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$

Voir le corrigé détaillé

On part du membre de gauche et on utilise les deux relations du cours.

$1 + \tan^2 x = 1 + \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}$ car $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
$=$ $1 + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$
$=$ $\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ on met au même dénominateur
$=$ $\dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$
$=$ $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ relation fondamentale

L’égalité est démontrée. Elle a bien un sens, car $\cos x \neq 0$ pour un angle aigu. C.Q.F.D.

Niveau 4 — Problèmes de vie courante

La route du col (Genève). Sur la route qui monte vers un col, un panneau annonce une pente de $12\ \%$ : la route s’élève de $12$ m tous les $100$ m parcourus à l’horizontale. Léa, cycliste, s’y engage.

Figure 16 — La pente affichée sur le panneau est la tangente de l’angle que fait la route avec l’horizontale.

Calcule l’angle $\alpha$ que fait la route avec l’horizontale, au dixième de degré.
Léa parcourt $3$ km le long de la route. Quel dénivelé a-t-elle gravi, au mètre près ?
Un panneau à $18\ \%$ correspond-il à un angle deux fois plus grand ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le dénivelé est le côté opposé à $\alpha$ , le déplacement horizontal son côté adjacent : tangente.

$\tan \alpha = \dfrac{12}{100}$ TOA
$=$ $0{,}12$
$\Rightarrow$ $\alpha = \tan^{-1}(0{,}12)$
$\approx$ $6{,}8\dg$

2. Attention : les $3$ km sont mesurés le long de la route, donc sur l’hypoténuse. Le dénivelé est le côté opposé : sinus.

$\sin \alpha = \dfrac{\text{dénivelé}}{3\,000}$ SOH, en mètres
$\Rightarrow$ $\text{dénivelé} = 3\,000 \times \sin 6{,}84\dg$
$\approx$ $3\,000 \times 0{,}1191$
$\approx$ $357$

Léa a gravi environ 357 m de dénivelé.

3. Non.

$\tan^{-1}(0{,}18) \approx 10{,}2\dg$
$2 \times 6{,}8 = 13{,}6$
$\Rightarrow$ $10{,}2 \neq 13{,}6$

Doubler la pente en pourcentage ne double pas l’angle : la fonction tangente n’est pas proportionnelle.

L’antenne de Dakar. Sur le toit d’un immeuble, une antenne verticale est haubanée : un câble part du sommet $S$ de l’antenne et rejoint un point d’ancrage $A$ fixé sur le toit, à $8$ m du pied $P$ de l’antenne. Ce câble fait un angle de $62\dg$ avec le toit, supposé horizontal.

Figure 17 — Le triangle

PAS

est rectangle en

P

Calcule la hauteur de l’antenne, au dixième de mètre.
Calcule la longueur du câble, au dixième de mètre.
Le technicien ne dispose que de $20$ m de câble. Est-ce suffisant s’il faut $1{,}20$ m supplémentaire pour les fixations ?

Voir le corrigé détaillé

1. Pour l’angle $\widehat{A} = 62\dg$ du triangle $PAS$ rectangle en $P$ , $[PA]$ est l’adjacent et $[PS]$ l’opposé : tangente.

$\tan \widehat{A} = \dfrac{PS}{PA}$ TOA
$\Rightarrow$ $\tan 62\dg = \dfrac{PS}{8}$
$\Rightarrow$ $PS = 8 \times \tan 62\dg$
$\approx$ $8 \times 1{,}8807$
$\approx$ $15{,}0$

L’antenne mesure environ 15,0 m.

2. Le câble est l’hypoténuse $[AS]$ : cosinus.

$\cos \widehat{A} = \dfrac{PA}{AS}$ CAH
$\Rightarrow$ $\cos 62\dg = \dfrac{8}{AS}$
$\Rightarrow$ $AS \times \cos 62\dg = 8$
$\Rightarrow$ $AS = \dfrac{8}{\cos 62\dg}$
$\approx$ $17{,}0$

Le câble mesure environ 17,0 m.

3. Longueur totale nécessaire :

$17{,}0 + 1{,}20 = 18{,}2$
$18{,}2 < 20$
$\Rightarrow$ les $20$ m suffisent.

Il restera même environ $1{,}8$ m de marge.

L’échelle des pompiers (Bruxelles). La grande échelle d’un camion de pompiers mesure $30$ m une fois entièrement déployée. Pour des raisons de sécurité, elle ne doit jamais faire avec le sol un angle supérieur à $75\dg$ .

Figure 18 — L’échelle est déployée à son inclinaison maximale autorisée.

À quelle hauteur $h$ l’échelle permet-elle d’atteindre la façade, au dixième de mètre ?
À quelle distance $d$ du pied de l’immeuble le camion doit-il alors se placer ?
Le camion ne peut pas approcher à moins de $12$ m de la façade à cause d’un parking. Quel angle l’échelle fait-elle alors avec le sol, et quelle hauteur atteint-elle ?

Voir le corrigé détaillé

1. Le triangle $PHT$ est rectangle en $H$ . Pour l’angle de $75\dg$ en $P$ , l’échelle $[PT]$ est l’hypoténuse et la hauteur $[HT]$ le côté opposé : sinus.

$\sin 75\dg = \dfrac{h}{30}$ SOH
$\Rightarrow$ $h = 30 \times \sin 75\dg$
$\approx$ $30 \times 0{,}9659$
$\approx$ $29{,}0$

L’échelle atteint environ 29,0 m, soit à peu près un neuvième étage.

2. La distance $d = PH$ est le côté adjacent : cosinus.

$\cos 75\dg = \dfrac{d}{30}$ CAH
$\Rightarrow$ $d = 30 \times \cos 75\dg$
$\approx$ $30 \times 0{,}2588$
$\approx$ $7{,}8$

Le camion doit se placer à environ 7,8 m de la façade.

3. Cette fois, on connaît l’adjacent ( $12$ m) et l’hypoténuse ( $30$ m) : cosinus, puis touche inverse.

$\cos \alpha = \dfrac{12}{30}$ CAH
$=$ $0{,}4$
$\Rightarrow$ $\alpha = \cos^{-1}(0{,}4)$
$\approx$ $66{,}4\dg$

L’angle vaut environ $66{,}4\dg$ : il est inférieur à $75\dg$ , la consigne de sécurité est donc respectée.

$h = 30 \times \sin 66{,}4\dg$ SOH
$\approx$ $30 \times 0{,}9165$
$\approx$ $27{,}5$

L’échelle n’atteint plus que 27,5 m environ : s’éloigner de la façade fait perdre près d’un mètre et demi de portée.

Trigonométrie du triangle rectangle

Ce que tu sauras faire à la fin

1Le vocabulaire : trois côtés, deux points de vue

2Cosinus, sinus et tangente

2.1 Le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA

3Calculer une longueur

4Calculer la mesure d’un angle

5Deux relations à connaître

5.1 La relation fondamentale

5.2 Le lien entre la tangente, le sinus et le cosinus

5.3 Les valeurs remarquables

6Applications concrètes

6.1 La pente d’une route

6.2 La hauteur d’un mât

Fiche mémo

Teste-toi gratuitement

Identités remarquables et factorisation

Théorème de Thalès